Bir parça üzerinde adım adım bir yardımcı fonksiyon oluşturalım. Sıfır adımında iki nokta belirleyeceğiz:

Ve .

Daha sonra parametreyi düzeltiyoruz. İlk ve sonraki adımlarda noktaları şu şekilde ayarlayacağız: sonraki kural: x ekseni boyunca bitişik önceden inşa edilmiş her iki nokta için, noktalarla tanımlanan dikdörtgenin merkezine göre merkezi olarak simetrik ve bir katsayıya sahip iki yeni nokta inşa edeceğiz k. Yani ilk adımda iki yeni nokta belirlenir:

Ve , vesaire.

Açık (m+1)- apsisli önceden oluşturulmuş noktalara ek olarak om adım

Önceden inşa edilmiş bitişik noktalar arasındaki apsis boyunca tüm boşluklara iki nokta inşa edilir. Bu inşaat şu şekilde gerçekleştirilir: apsis ekseni boyunca bitişik noktalar arasındaki boşluklar (kenarları olan dikdörtgenler) A Ve B) her biri 3 eşit parçaya bölünür. Daha sonra aşağıdaki şemalardan birine göre iki yeni nokta inşa edilir:

Komşu noktalardan hangisinin daha yüksek veya daha yüksek olduğuna bağlı olarak sol veya sağ şemayı kullanırız. İlk adımda yukarıda gösterildiği gibi kabul ediyoruz. a = b = 1.

m = 1, 2, 3, … için inşayı sayılabilir sayıda tekrarlıyoruz. Sonuç olarak, belirli bir dereceye kadar benzer olacak bir fraktal elde edeceğiz. afin dönüşüm Her şeritte bulunan parçalardan herhangi birinin (gerilmesi, sıkıştırılması, döndürülmesi):

;

Fraktal oluşturmanın bir sonucu olarak, bir dizi nokta üzerinde tanımlanan bir fonksiyon elde ederiz.

segmentin her yerinde yoğundur.

Oluşturulan fonksiyon hangi özelliklere sahiptir?

· formun (*) her noktasında ya kesin bir maksimum ya da kesin bir minimum vardır; işlev g(x) hiçbir yerde monoton değildir ve segment üzerinde yoğun ekstremum noktaları vardır;

· g(x) fonksiyonu süreklidir ve hatta (*) noktaları kümesinde düzgün biçimde süreklidir;

· segment üzerinde sürekli oluşturulan fonksiyonun herhangi bir noktası yoktur bu bölüm tek taraflı türevler bile;

Yukarıdaki özellikler “Matematiksel Analizin Seçilmiş Bölümleri” dersinde kanıtlanmıştır.

Ele alınan örnekte parametreyi varsaydık. Bu parametrenin değerini değiştirerek kendi özel özelliklerine sahip fonksiyon aileleri elde edebilirsiniz.

· . Bu işlevler süreklidir ve kesinlikle monoton bir şekilde artmaktadır. Parçanın her yerinde yoğun olan nokta kümeleri üzerinde sıfır ve sonsuz türevleri (sırasıyla bükülme noktaları) vardır.

· . Kabul edilmiş doğrusal fonksiyon y = x

· . Fonksiyon ailesinin özellikleri, birinci aralıktaki k değerleriyle aynıdır.

· . Daha önce detaylı olarak incelediğimiz Cantor fonksiyonunu elde ettik.

· . Bu fonksiyonlar süreklidir, hiçbir yerde monoton değildir, kesin minimum ve maksimumlara sahiptir, parçanın her yerinde yoğun olan nokta kümeleri üzerinde sıfır ve sonsuz (her iki işaretin) tek taraflı türevleri vardır.

· . Bu işlev yukarıda tarafımızdan incelenmiştir.

· . Bu aralıktaki işlevler, konumundaki işlevle aynı özelliklere sahiptir.

Çözüm.

Çalışmamda “Matematiksel Analizin Seçilmiş Bölümleri” dersinden bazı örnekleri uyguladım. İÇİNDE bu iş Görselleştirdiğim programların ekran görüntüleri eklendi. Aslında hepsi etkileşimlidir; öğrenci işlevin görünümünü görebilir; özel adım, bunları yinelemeli olarak kendiniz oluşturun ve ölçeği yaklaştırın. İnşaat algoritmalarının yanı sıra bazı kütüphane fonksiyonları İskelet için özel olarak seçildi ve geliştirildi bu tip problemler (çoğunlukla fraktallar dikkate alındı).

Bu materyal şüphesiz öğretmenler ve öğrenciler için faydalı olacaktır ve “Matematiksel Analizin Seçilmiş Bölümleri” dersinin derslerine iyi bir eşlik edecektir. Bu görselleştirmelerin etkileşimli olması, oluşturulan setlerin doğasını daha iyi anlamaya yardımcı olur ve materyalin öğrenciler tarafından algılanma sürecini kolaylaştırır.

Açıklanan programlar, www.visualmath.ru projesinin görsel modülleri kütüphanesine dahil edilmiştir, örneğin, burada daha önce ele aldığımız Cantor işlevi verilmiştir:

Gelecekte görselleştirilmiş görevler listesinin genişletilmesi ve daha fazlası için inşaat algoritmalarının iyileştirilmesi planlanıyor. verimli çalışma programlar. Www.visualmath.ru projesinde çalışmak şüphesiz pek çok fayda ve deneyim, ekip çalışması becerileri, eğitim materyallerini mümkün olduğunca net bir şekilde değerlendirme ve sunma yeteneği getirdi.

Edebiyat.

1. B. Gelbaum, J. Olmsted, Analizdeki karşı örnekler. M.: Mir.1967.

2. B.M. Makarov ve ark. Gerçek analizde seçilmiş problemler. Nevsky lehçesi, 2004.

3. B. Mandelbrot. Doğanın fraktal geometrisi. Bilgisayar Çalışmaları Enstitüsü, 2002.

4. Yu.S. Ochan, TFDP'de problem ve teoremlerin toplanması. M.: Aydınlanma. 1963.

5.V.M. Shibinsky Matematiksel analiz sürecinde örnekler ve karşı örnekler. M.: Yüksek Lisans, 2007.

6. R.M. Kronover, Fraktallar ve kaos dinamik sistemler, M .: Postmarket, 2000.

7. A. A. Nikitin, Matematiksel analizin seçilmiş bölümleri // Moskova Devlet Üniversitesi Hesaplamalı Matematik ve Matematik Fakültesi'nin genç bilim adamlarının makalelerinin toplanması, 2011 / ed. S. A. Lozhkin. M .: Moskova Devlet Üniversitesi Hesaplamalı Matematik ve Matematik Fakültesi Yayıncılık bölümü. M.V. Lomonosova, 2011. s. 71-73.

8. R.M. Kronover, Fraktallar ve dinamik sistemlerde kaos, M.: Postmarket, 2000.

9. Fraktal ve her yerde sürekli olan ancak hiçbir yerde türevlenemeyen fonksiyonun oluşturulması // XVI Uluslararası Lomonosov Okumaları: Koleksiyon bilimsel çalışmalar. – Arkhangelsk: Pomeranya Devlet Üniversitesi, 2004. S.266-273.

Sayılabilir sayıda açık kümenin (bitişik aralıklar) birleşimi açıktır ve açık bir kümenin tamamlayıcısı kapalıdır.

Bir noktanın herhangi bir mahallesi A Cantor kümesinden farklı en az bir nokta var A.

Kapalı ve içermiyor yalıtılmış noktalar(her nokta bir limittir).

En fazla her yerde yoğun olan sayılabilir bir küme vardır.

Bir A kümesi, eğer varsa, R uzayının hiçbir yerinde yoğun değildir açık set Bu uzayın bir kısmı A kümesinin noktalarından tamamen bağımsız başka bir açık küme içerir.

Herhangi bir komşuluğu, belirli bir kümenin sayılamayan nokta kümesini içeren bir nokta.

Düzlemdeki bir kümenin hiçbir yerde yoğun olmadığını söyleyeceğiz. metrik uzay R, eğer bu uzayın herhangi bir açık çemberi bu kümenin noktalarından tamamen bağımsız başka bir açık çember içeriyorsa.

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI

DEVLET EĞİTİM KURUMU

YÜKSEK MESLEKİ EĞİTİM

"USSURI DEVLET PEDAGOJİ ENSTİTÜSÜ"

Fizik ve Matematik Fakültesi

Ders çalışması matematiksel analiz

Konu: “Sürekli fakat türevlenemeyen fonksiyonlar”

Tamamlayan: Plyasheshnik Ksenia

131. grubun öğrencisi

Başkan: Delyukova Y.V.

Ussuriysk - 2011

Giriiş................................................. ....... ................................................... 3

Tarihsel referans.................................................. ...................... 4

Temel tanımlar ve teoremler.................................................. ................................... ....... 5

Örnek sürekli fonksiyon türevsiz................................ 10

Alıştırmaların çözümü................................................. ...................................... 13

Çözüm................................................. ................................................... 21

Kaynakça.................................................. . ................................. 22

giriiş

Ders çalışması, süreklilik ile tek değişkenli bir fonksiyonun türevinin varlığı arasındaki bağlantının incelenmesine ayrılmıştır. Hedefe göre aşağıdaki görevler belirlendi:

1. Eğitim literatürünü inceleyin;

2. Van der Waerden tarafından oluşturulan, herhangi bir noktada türevi olmayan sürekli bir fonksiyon örneğini inceleyin;

3. Egzersiz sistemine karar verin.

Tarihsel referans

Bartel Leendert van der Waerden (Hollandalı Bartel Leendert van der Waerden, 2 Şubat 1903, Amsterdam, Hollanda - 12 Ocak 1996, Zürih, İsviçre) - Hollandalı matematikçi.

Önce Amsterdam Üniversitesi'nde, ardından Emmy Noether'in üzerinde büyük etkisi olduğu Göttingen Üniversitesi'nde okudu.

Cebir, cebirsel geometri alanında (Andre Weil ve O. Zariski ile birlikte) titizlik düzeyini yükselttiği önemli çalışmalar ve matematiksel fizik grup teorisinin sorulara uygulanması üzerinde çalıştı Kuantum mekaniği(Hermann Weyl ve Yu. Wigner ile birlikte). Klasik kitabı Modern Cebir (1930), soyut cebir üzerine daha sonraki ders kitaplarına model oldu ve birçok baskıdan geçti.

Van der Waerden matematik ve astronomi tarihinin önde gelen uzmanlarından biridir. Antik Dünya. Uyanış Bilimi (Ontwakende wetenschap 1950, Rusça çevirisi 1959) matematik ve astronomi tarihinin kapsamlı bir açıklamasını verir. Antik Mısır, Babil ve Yunanistan. Bu kitabın Rusça çevirisinin ekinde, Pisagor'un müzikal uyum hakkındaki görüşlerinin temel bir sunumu olan “Pisagor Uyum Doktrini” (1943) makalesi bulunmaktadır.

Temel tanımlar ve teoremler

Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti. Sol ve sağ sınırlar

Tanım (Cauchy limiti, Sayı dilinde, bir fonksiyonun bir noktadaki limiti olarak adlandırılır.

Tanım (komşuluk dilinde) Eğer sayının herhangi bir -komşuluğu için noktanın bir -komşuluğu mevcutsa, sayıya bir fonksiyonun bir noktadaki limiti denir.

Tanım (Heine'ye göre) Herhangi bir dizi için yakınsaksa (yani, karşılık gelen fonksiyon değerleri dizisi sayıya yakınsa), sayıya bir fonksiyonun bir noktadaki limiti denir.

Tanım Bir sayıya, bir fonksiyonun bir noktadaki sol limiti denir.

Tanım: Bir sayıya, bir fonksiyonun bir noktadaki sağ limiti denir.

Teorem (gerekli ve yeterli koşul bir sınırın varlığı)

Bir fonksiyonun bir noktada limitinin var olabilmesi için sol ve sağ limitlerinin birbirine eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Türev kavramı. Tek taraflı türevler.

Kümede tanımlanmış bir işlevi düşünün

1. Artışı alalım. Noktaya bir artış verelim.

2. Fonksiyonun değerini noktalarda hesaplayalım. Ve

3. .

4. .

ve argümanın artışı pozitif ya da negatif olabilir, bu durumda bu limite bir noktadaki türev denir ve ile gösterilir. Aynı zamanda sonsuz da olabilir.

fonksiyonun noktadaki sol (sol taraflı) türevi ve eğer

sonlu bir sınır var o zaman buna fonksiyonun noktadaki sağdan türevi denir.

Bir fonksiyonun bir noktada olması ancak ve ancak sol ve sağ türevlerinin o noktada çakışması durumunda mümkündür:

( ( .

İşlevi düşünün noktasında tek taraflı türevleri bulalım.

Buradan, ( =-1; ( =1 Ve ( ( , yani fonksiyonun bir noktada türevi yoktur.

Çeşitli tanımlar Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği.

Tanım 1 (ana) Bir fonksiyonun limiti şu noktada sürekli ise, fonksiyona o noktada sürekli denir. değere eşit bu noktada görev yapıyor.

Tanım 2 (A dilinde, ε, δ>0 ise, bir noktada sürekli olan fonksiyona denir; öyle ki .

Tanım 3 (Heine'ye göre, dizi dilinde) Bir noktaya yakınsayan herhangi bir dizi için karşılık gelen fonksiyon değerleri dizisi yakınsıyorsa, bir fonksiyona bir noktada sürekli denir.

Tanım 4 (artışlar dilinde) Eğer argümanın sonsuz küçük bir artışı, fonksiyonun sonsuz küçük bir artışına karşılık geliyorsa, fonksiyona o noktada sürekli denir.

Türevlenebilir fonksiyon kavramı

Tanım 1 Bir küme üzerinde tanımlanan bir fonksiyon (bir noktada türevlenebilir olarak adlandırılır, eğer bu noktadaki artışı (*) ile temsil edilebiliyorsa, burada A sabittir, 'den bağımsızdır ve sonsuz küçüktür.

Tanım 2 Kümenin herhangi bir noktasında türevi alınabilen bir fonksiyona kümede türevlenebilir denir.

Türevlenebilirlik ve süreklilik arasındaki ilişki

Teorem. Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse o noktada süreklidir.

Kanıt.

Bir fonksiyon verilsin, fonksiyon diferansiyellenebilir olsun.

Converse teoremi. Bir fonksiyon sürekli ise türevlenebilirdir.

Tersi teorem doğru değil.

B sürekli olmasına rağmen türevlenebilir değildir.

Kırılma noktalarının sınıflandırılması

Tanım Bir noktada sürekli olmayan bir fonksiyon o noktada süreksizdir ve bu noktaya süreksizlik noktası adı verilir.

Kırılma noktalarının iki sınıflandırması vardır: tip I ve tip II.

Tanım Bir noktada birbirine eşit olmayan sonlu tek taraflı limitler varsa, bu noktaya birinci türden süreksizlik noktası denir.

Tanım: Bir noktaya çıkarılabilir aralık noktası denir. yva, if , ancak fonksiyonun o noktadaki değerine eşit değiller .

Tanım Bir noktaya, eğer bu noktada tek taraflı limitler eşitse veya tek taraflı limitlerden biri sonsuzsa veya noktada limit yoksa, bu noktaya ikinci tür süreksizlik noktası denir.

· – sonsuz;

· – sonsuz veya – sonsuz;

İşaretler düzgün yakınsama yanında V

Weierstrasse işareti.

Eğer üyeler işlevsel aralık(1) alandaki eşitsizlikleri karşılayın bazı yakınsakların terimi nerede sayı serisi bu durumda (1) serisi düzgün yakınsar.

Teorem 1 Fonksiyonlar bir aralıkta tanımlanır ve hepsi bu aralığın bir noktasında süreklidir. Eğer (1) serisi aralıkta düzgün yakınsaksa, o noktadaki serilerin toplamı da sürekli olacaktır.

Türevi olmayan sürekli fonksiyon örneği

Bu türün ilk örneği Weierstrass tarafından yapılmıştır; işlevi şu şekilde tanımlanır:

nerede 0< a <1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab >1+π). Bu seri, yakınsak bir ilerlemeyle büyükleştirilir, dolayısıyla (serinin düzgün yakınsaklığının işaretleri), düzgün bir şekilde yakınsar ve toplamı, x'in her yerde sürekli bir fonksiyonudur. Özenli araştırmalar sonucunda Weierstrass, yine de bunun herhangi bir noktada sonlu bir türevinin olmadığını göstermeyi başardı.

Burada van der Waerden'in esas olarak aynı fikir üzerine inşa ettiği daha basit bir örneği ele alacağız; yalnızca y = cosωχ salınım eğrilerinin yerini salınımlı kesikli çizgiler almıştır.

Yani şununla belirtelim mutlak değerχ sayısı ile en yakın tam sayı arasındaki fark. Bu fonksiyon formun her aralığında doğrusal olacaktır; burada s bir tam sayıdır; süreklidir ve periyodu 1'dir. Grafiği kesikli çizgidir, Şekil 1'de gösterilmiştir; kesikli çizginin bireysel bağlantılarının açısal katsayısı ±1'dir.

O halde k=1,2,3,… için varsayalım:

Bu fonksiyon formun aralıklarında doğrusal olacaktır; aynı zamanda süreklidir ve bir periyodu vardır. Grafiği de bozuk ama dişleri daha küçük; Örneğin Şekil 1(b) fonksiyonunun bir grafiğini göstermektedir. Her durumda yamaçlar kesikli çizginin bireysel bağlantıları ve burada ±1'e eşittir.

Şimdi x'in tüm gerçek değerleri için f(x) fonksiyonunu eşitlikle tanımlayalım.

Açıkça 0≤ (k =0,1,2,...) olduğundan, seri yakınsak ilerlemeyle büyükleştirilir, o zaman (Weierstrass fonksiyonunda olduğu gibi) seri düzgün yakınsar ve fonksiyon her yerde süreklidir.

Herhangi bir değerde duralım. Eksiklik ve fazlalığa göre (burada n =0,1,2,...) içeride hesaplayarak, onu aşağıdaki formdaki sayıların arasına yerleştireceğiz:

≤ , burada bir tam sayıdır.

(n =0,1,2,…).

Kapalı aralıkların iç içe geçtiği açıktır. Her birinde, noktadan uzaklığı aralığın uzunluğunun yarısına eşit olacak bir nokta vardır.

N arttıkça seçeneklerin arttığı açıktır.

Şimdi artışların oranını oluşturalım

Ancak k > n olduğunda, sayı fonksiyonun periyotlarının tamsayı katı olduğunda serinin karşılık gelen terimleri 0'a döner ve ihmal edilebilir. Eğer k ≤ n ise, aralıkta doğrusal olan bir fonksiyon, içerdiği aralıkta da doğrusal olacaktır ve

(k=0,1,…,n).

Böylece nihayet elimizde diğer bir deyişle bu oran, n tek olduğunda çift tam sayıya, n çift olduğunda tek sayıya eşittir. Buradan, artışların herhangi bir değere oranının ne zaman olduğu açıktır. sonlu sınır eğilimi olamaz, dolayısıyla fonksiyonumuzun sonlu türevi yoktur.

Egzersizlerin çözümü

Alıştırma 1 (, No. 909)

Fonksiyon şu şekilde tanımlanır: . Sürekliliği keşfedin ve varoluşu keşfedin

Na bir polinom olarak süreklidir;

Açık (0;1) bir polinom olarak süreklidir;

On (1;2) bir polinom olarak süreklidir;

On (2; temel fonksiyon olarak süreklidir.

Yırtılma açısından şüpheli noktalar

Sol limit sağ limite ve fonksiyonun noktadaki değerine eşit olduğundan fonksiyon o noktada süreklidir.

Sol limit fonksiyonun noktadaki değerine eşit olduğundan fonksiyon bu noktada süreksizdir.

1 yol. Fonksiyonun bir noktada sonlu türevi yoktur. Aslında tam tersini varsayalım. Fonksiyonun bir noktada sonlu bir türevi olsun bir noktada süreklidir (Teorem 1'e göre: Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse, o zaman süreklidir.

Yöntem 2. Fonksiyonun x =0 noktasındaki tek taraflı limitlerini bulalım.

Alıştırma 2 (, №991)

Bu işlevi göster süreksiz bir türevi vardır.

Fonksiyonun türevini bulalım.

Limit noktasında süreksizlik yoktur

Çünkü - sonsuz küçük fonksiyon, - sınırlı.

Fonksiyonun olduğunu kanıtlayalım noktada bir sınırı yoktur.

Bunu kanıtlamak için, 0'a yakınsayan ancak yakınsamayan iki argüman değeri dizisinin olduğunu göstermek yeterlidir.

Çıkış: işlev noktada bir sınırı yoktur.

Alıştırma 3 (, No. 995)

Fonksiyonun sürekli bir fonksiyon olduğunu ve bu noktada türevinin olmadığını gösterin. Tek taraflı türevler neye eşittir?

Tek taraflı limitler eşit değildir; fonksiyonun bu noktada türevi yoktur.

Alıştırma 4 (, No. 996)

Verilen noktalarda türev fonksiyonu olmayan sürekli bir fonksiyonun örneğini oluşturun:

Fonksiyonu noktalarda düşünün

Tek taraflı limitleri bulalım

Tek taraflı limitler eşit değildir; fonksiyonun bu noktada türevi yoktur. Benzer şekilde fonksiyonun diğer noktalarda türevi yoktur

Alıştırma 5 (, No. 125)

Fonksiyonun bu noktada türevinin olmadığını gösterin.

Fonksiyonun o noktadaki artışını bulalım.

Bir fonksiyonun bir noktadaki artışının argümanın artışına oranını oluşturalım

Hadi sınıra gidelim

Alıştırma 6 (, №128)

Bu işlevi göster noktada türevi yoktur.

Artışı alalım Noktaya bir artış verelim Elde edeceğiz

Fonksiyonun değerini noktalarda bulalım ve

Fonksiyonun o noktadaki artışını bulalım.

Bir fonksiyonun bir noktadaki artışının argümanın artışına oranını oluşturalım

Hadi sınıra gidelim

Sonuç: noktada sonlu bir türevi yoktur.

Egzersiz 7 (, №131)

Bir fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin

– yırtılma açısından şüpheli nokta

Sol limit fonksiyonun bir noktadaki değerine eşit olduğundan fonksiyon o noktada süreklidir ve birinci türden bir süreksizlik vardır.

Çözüm

İÇİNDE ders çalışması“Sürekli fakat türevlenemeyen fonksiyonlar” kavramı ile ilgili materyal sunulmuş, bu çalışmanın amaçlarına ulaşılmış, sorunlar çözülmüştür.

Kaynakça

1. B. P. Demidovich, / Matematiksel analiz dersi için problemlerin toplanması. öğretici Fizik ve Matematik Fakültesi öğrencileri için pedagoji enstitüleri. – M.: Eğitim, 1990 –624 s.

2. G. N. Berman, / Matematiksel analiz dersi için problemlerin toplanması. – M.: Nauka, 1977 – 416 s.

3. G. M. Fikhtengolts, / Diferansiyel ve Integral hesabı Cilt II. - M., Bilim, 1970-800'ler.

4. I.A. Vinogradova, /Matematiksel analizde görevler ve alıştırmalar, bölüm 1. – M.: Bustard, 2001 – 725 s.

5. İnternet kaynağı \ http://ru.wikipedia.org/wiki.

6. İnternet kaynağı \http://www.mathelp.spb.ru/ma.htm.

Uçakta ilginç bir set oluşturalım İÇİNDEşu şekilde: böl, düz çizgilerle karele
9'a kadar eşit kareler ve beş tanesini orijinal karenin köşelerine bitişik olmayan açık bir şekilde atın. Daha sonra kalan karelerin her birini de 9 parçaya bölüyoruz ve beşini atıyoruz, vb. Sayılabilir sayıda adımdan sonra kalan küme şu şekilde gösterilir: B ve hadi arayalım Sierpinski Mezarlığı. Atılan karelerin alanını hesaplayalım:

Sierpinski Mezarlığı mükemmel ve hiçbir yerde yoğun olmayan bir kalabalıktır.

Kümenin fraktal yapısına dikkat edelim.

2.2 Cantor'un tarağı

Hadi arayalım Kantor tarağı bir demet D yüzeyde Oksi tüm noktalardan oluşan
Koordinatları aşağıdaki koşulları karşılayan:
, Nerede
- Eksen üzerinde ayarlanan cantor Oy. Bir Cantor tarağı, uçakta hiçbir yerde yoğun olmayan mükemmel bir settir. Bir demet D tüm noktalardan oluşur
orijinal birim kare apsisleri keyfi olan
ve koordinatlar, üçlü işaretleri arasında bir birim içermeyen üçlü kesir olarak yazılabilir.

ayarlamak mümkün mü B(Sierpinski Mezarlığı) ve D(Cantor tarağı) Cantor seti aracılığıyla eksprese edilir
Segmentin tamamlayıcısı ve Kartezyen çarpımının operasyonlarını mı kullanıyorsunuz? Belli ki setler B Ve D basitçe ifade edildi:

B=
X

D=x

3 Cantor işlevi

Bir parçanın hiçbir yerinde yoğun olmayan bir kümeyi bu parçanın kendisine sürekli olarak haritalamak mümkün müdür?

Evet hiçbir yerde yoğun olmayan Cantor kümesini ele alalım. Yapımın ilk adımında, birinci türden bitişik aralığın noktalarında fonksiyonun değerini 0,5'e eşitliyoruz. İkinci adımda, ikinci türden her bir bitişik aralık için sırasıyla 0,25 ve 0,75 fonksiyon değerini atarız. Onlar. her parçayı bir eksene bölmüş gibiyiz Oy yarısında ( sen Ben) ve karşılık gelen bitişik aralıkta fonksiyonun değerini şu değere eşit olarak ayarlayın: evet.

Sonuç olarak, segment üzerinde tanımlanmış ve setteki her noktanın belirli bir mahallesinde sabit olan, azalmayan bir fonksiyon aldık (“Matematiksel Analizin Seçilmiş Bölümleri” dersinde kanıtlanmıştır) \
. Yapılandırılmış işlev
isminde Cantor işlevi(Cantor fonksiyonu) ve aşağıdaki grafiği ""şeytanın merdivenleri"".

Fonksiyonun fraktal yapısına dikkat edin:

İşlev
aşağıdaki eşitsizliği karşılar:

Cantor fonksiyonu aralıkta süreklidir. Azalmaz ve değerleri kümesi tüm segmenti oluşturur. Bu nedenle fonksiyon
hiçbir sıçraması yok. Ve çünkü monotonik bir fonksiyonun sıçramalar dışında süreksizlik noktaları olamaz (bkz. süreklilik kriteri) monoton fonksiyonlar), o zaman süreklidir.

İlginç bir gözlem, sürekli Cantor fonksiyonunun grafiğinin olmasıdır.
"Kalemi kağıttan kaldırmadan" çizim yapmak imkansızdır.

Her yerde sürekli olan fakat hiçbir yerde türevi alınamayan fonksiyon

Yardımcı fonksiyon oluşturalım
bir segmentte adım adım. Sıfır adımında iki nokta belirleyeceğiz:

Ve
.

Daha sonra parametreyi düzeltiyoruz . İlk ve sonraki adımlarda noktaları aşağıdaki kurala göre belirleyeceğiz: apsis eksenine bitişik önceden oluşturulmuş her iki nokta için Ve iki yeni nokta inşa edeceğiz Ve noktalarla tanımlanan dikdörtgenin merkezine göre merkezi olarak simetrik Ve katsayılı k. Yani ilk adımda iki yeni nokta belirlenir:

Ve
, vesaire.

Açık (m+1)- apsisli önceden oluşturulmuş noktalara ek olarak om adım

Komşu noktalardan hangisine bağlı olarak veya yukarıda sol veya sağ şemayı kullanın. İlk adımda yukarıda gösterildiği gibi kabul ediyoruz. a = b = 1.

m = 1, 2, 3, … için inşayı sayılabilir sayıda tekrarlıyoruz. Sonuç olarak, her şeritte bulunan herhangi bir parçanın bazı afin dönüşümlerine (gerilme, sıkıştırma, döndürme) kadar benzer olacak bir fraktal elde edeceğiz:

;

Fraktalı oluşturmanın bir sonucu olarak aşağıdaki fonksiyonu elde ederiz:
bir dizi nokta üzerinde tanımlanmış

,
;
(*)

segmentin her yerinde yoğundur.

Oluşturulan fonksiyon hangi özelliklere sahiptir?

Formun (*) her noktasında ya kesin bir maksimum ya da kesin bir minimum vardır; işlev G(X) hiçbir yerde monoton değildir ve segment üzerinde yoğun uç noktalara sahiptir;

g(x) fonksiyonu süreklidir ve hatta (*) noktaları kümesinde düzgün biçimde süreklidir;

bir parça üzerinde sürekli oluşturulan fonksiyonun bu parçanın herhangi bir noktasında tek taraflı türevleri bile yoktur;

Yukarıdaki özellikler “Matematiksel Analizin Seçilmiş Bölümleri” dersinde kanıtlanmıştır.

Ele alınan örnekte parametreyi varsaydık. . Bu parametrenin değerini değiştirerek kendi özel özelliklerine sahip fonksiyon aileleri elde edebilirsiniz.