Fonksiyonun en büyük tamsayı değeri. Bir fonksiyonun en büyük değeri nasıl bulunur? Pratik dersler için metodolojik öneriler Konu: Giriş

Yaşamın birçok alanında, örneğin ekonomi ve muhasebede sayıları kullanarak bir şeyi çözme ihtiyacıyla karşı karşıya kalabilirsiniz, optimizasyonu kullanarak bazı göstergelerin yalnızca minimum ve maksimum değerlerini öğrenebilirsiniz. belirtilen parametreler. Ve bu, fonksiyonun belirli bir bölümündeki en büyük ve en küçük değerleri bulmaktan başka bir şey değildir. Şimdi nasıl bulacağımıza bakalım en yüksek değer işlevler.

En büyük değeri bulma: talimatlar

1. Değeri hesaplamak için fonksiyonun hangi segmentine ihtiyacınız olduğunu öğrenin, bunu noktalarla belirtin. Bu aralık açık (fonksiyon parçaya eşit olduğunda), kapalı (fonksiyon parça üzerinde olduğunda) ve sonsuz (fonksiyon bitmediğinde) olabilir.
2. Türev fonksiyonunu bulun.
3. Fonksiyonun parçası üzerinde türevin sıfıra eşit olduğu noktaları bulun, işte bu kadar kritik noktalar. Daha sonra fonksiyonun bu noktalardaki değerlerini hesaplayın ve denklemi çözün. Elde edilen değerler arasında en büyüğünü bulun.
4. Fonksiyon değerlerini ortaya çıkar bitiş noktaları, bunlardan büyük olanı belirleyin
5. Verileri en büyük değerle karşılaştırın ve en büyüğünü seçin. Bu, fonksiyonun en büyük değeri olacaktır.

Bir fonksiyonun en büyük tam sayı değeri nasıl bulunur? Fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu hesaplamanız ve ardından çözmeniz gerekir. somut örnek. Sayı kesirli olarak elde edilmişse dikkate almayın; fonksiyonun en büyük tam sayı değerinin sonucu yalnızca tam sayı olacaktır.

Böyle bir matematiksel analiz nesnesinin fonksiyon olarak incelenmesi büyük önem taşımaktadır. Anlam ve diğer bilim alanlarında. Örneğin, ekonomik analiz davranışın sürekli değerlendirilmesi gerekir işlevler kârı, yani onun en büyük değerini belirlemek Anlam ve bunu başarmak için bir strateji geliştirin.

Talimatlar

Herhangi bir davranışın incelenmesi her zaman tanım alanının araştırılmasıyla başlamalıdır. Genellikle duruma göre özel görev en büyüğünü belirlemek gerekir Anlam işlevler ya bu alanın tamamı boyunca ya da belirli bir aralığı boyunca açık veya kapalı sınırlarla.

Buna göre en büyüğü Anlam işlevler y(x0), burada tanım alanındaki herhangi bir nokta için y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) eşitsizliği geçerlidir. Grafiksel olarak, argüman değerleri apsis ekseni boyunca ve fonksiyonun kendisi de ordinat ekseni boyunca yerleştirilirse bu nokta en yüksek olacaktır.

En büyüğünü belirlemek için Anlam işlevler, üç adımlı algoritmayı izleyin. Türevi hesaplamanın yanı sıra tek taraflı ve ile çalışabilmeniz gerektiğini lütfen unutmayın. O halde, bir y(x) fonksiyonu verilsin ve onun en büyüğünü bulmanız gerekir. Anlam A ve B sınır değerleri ile belirli bir aralıkta.

Bu aralığın tanımın kapsamında olup olmadığını öğrenin işlevler. Bunu yapmak için, olası tüm kısıtlamaları göz önünde bulundurarak bulmanız gerekir: ifadede bir kesirin varlığı, karekök vesaire. Tanım alanı, fonksiyonun anlamlı olduğu argüman değerleri kümesidir. Verilen aralığın onun bir alt kümesi olup olmadığını belirleyin. Cevabınız evet ise bir sonraki adıma geçin.

Türevi bulun işlevler ve türevi sıfıra eşitleyerek elde edilen denklemi çözün. Bu şekilde sözde durağan noktaların değerlerini alacaksınız. Bunlardan en az birinin A, B aralığına ait olup olmadığını değerlendirin.

Üçüncü aşamada bu noktaları göz önünde bulundurun ve değerlerini fonksiyonda yerine koyun. Aralık türüne bağlı olarak aşağıdaki ek adımları uygulayın. [A, B] biçiminde bir bölüm varsa, sınır noktaları aralığa dahil edilir; bu parantezlerle gösterilir. Değerleri Hesapla işlevler x = A ve x = B için. Aralık açıksa (A, B), sınır değerleri delinir, yani. buna dahil değildir. x→A ve x→B için tek taraflı limitleri çözün. Sınırlarından biri kendisine ait olan, diğeri olmayan, [A, B) veya (A, B) biçiminde birleştirilmiş aralık. x'in delinen değere yönelmesi nedeniyle tek taraflı limiti bulun ve diğerini yerine koyun. Fonksiyon: Sonsuz iki taraflı aralık (-∞, +∞) veya tek taraflı sonsuz aralıklar: , (-∞, B). Gerçek limitler A ve B için daha önce açıklanan ilkelere göre ilerleyin ve için. sonsuz olanlar için sırasıyla x→-∞ ve x→+∞ limitlerini arayın.

Bu aşamada görev

“Bir fonksiyonun çoklu değerleri” konusunu incelemek için metodolojik öneriler. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri.”

Matematiğin kendisinde ana araç

gerçeğe ulaşmak için - tümevarım ve analoji.

Verilenler: - fonksiyon. Haydi belirtelim
- fonksiyonun tanım alanı.

Bir fonksiyonun değerleri kümesi (etki alanı), bir fonksiyonun alabileceği tüm değerlerin kümesidir.
.Geometrik olarak bu, bir fonksiyonun grafiğinin eksene izdüşümü anlamına gelir.
.

Bir nokta varsa öyle ki herkes için kümesinde bir eşitsizlik var
sonra setteki fonksiyonun görevini üstlendiğini söylüyorlar. hayır daha düşük değer

Herhangi bir küme için eşitsizliğin geçerli olduğu bir nokta varsa
sonra setteki fonksiyonun görevini üstlendiğini söylüyorlar. en yüksek değer .

Fonksiyon çağrılır aşağıda sınırlı eğer böyle bir sayı varsa sette
. Geometrik olarak bu, fonksiyonun grafiğinin düz çizgiden daha düşük olmadığı anlamına gelir.
.

Fonksiyon çağrılır yukarıda sınırlanmış eğer böyle bir sayı varsa sette herhangi bir küme için eşitsizlik doğrudur
. Geometrik olarak bu, fonksiyonun grafiğinin düz çizgiden daha yüksek olmadığı anlamına gelir

Fonksiyon çağrılır sınırlı Bu kümeye alttan ve üstten sınırlanmışsa küme üzerindedir. Bir fonksiyonun sınırlılığı, grafiğinin belirli bir yatay bant içinde olduğu anlamına gelir.

Aritmetik ortalama ve geometrik ortalamaya ilişkin Cauchy eşitsizliği
:

>,>0) Örnek:

Bir fonksiyonun bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri

(bölüm, aralık, ışın)

Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özellikleri.

1. Bir fonksiyon bir doğru parçası üzerinde sürekli ise hem maksimum hem de minimum değerlerine ulaşır.

2. Sürekli bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine hem bir doğru parçasının uçlarında hem de içinde ulaşabilir

3. Segment içinde en büyük (veya en küçük) değere ulaşılmışsa, bu yalnızca durağan veya kritik bir noktada elde edilir.

En büyük ve en küçük değerleri bulma algoritması segmentte sürekli fonksiyon

1. Türevi bulun
.

2. Segmentin içinde yer alan sabit ve kritik noktaları bulun .

3. Seçilen durağan ve kritik noktalarda ve segmentin uçlarında fonksiyonun değerlerini bulun;
Ve
.

4. Bulunan değerler arasında en küçüğünü seçin (bu
) ve en büyüğü (bu olacak
)

Bir aralıkta monoton olan sürekli fonksiyonların özellikleri:

Bir segmentte sürekli artan fonksiyon en büyük değerine şu anda ulaşır:
, en küçüğü – en
.

Bir segmentte sürekli azalma Fonksiyon en büyük değerine noktasında, minimum değerine ise noktasında ulaşır.

Fonksiyon değeri ise
belirli bir aralıkta negatif değilse bu fonksiyon ve fonksiyon
n bir doğal sayı olmak üzere, aynı noktada en büyük (en küçük) değeri alır.

En büyük ve en küçük değerleri bulma sürekli fonksiyon aralıkta
veya ışın üzerinde

(optimizasyon sorunları).

Sürekli bir fonksiyonun bir aralık veya ışın üzerinde tek bir uç noktası varsa ve bu uç nokta maksimum veya minimum ise, bu noktada en büyük veya en büyük değer en küçük değer işlevler ( veya )

Fonksiyonların monotonluk özelliğinin uygulanması.

1. Artan iki fonksiyondan oluşan karmaşık bir fonksiyon artmaktadır.

2.Eğer fonksiyon artarsa ​​ve fonksiyon
azalırsa fonksiyon
- azalıyor.

3. İki artan (azalan) fonksiyonun toplamı, artan (azalan) fonksiyon.

4. Denklemde ise.
sol taraf artan (veya azalan) bir fonksiyon ise denklemin en fazla bir kökü vardır.

5.Fonksiyon artıyorsa (azılıyorsa) ve fonksiyon azalıyorsa (artansa), denklem
en fazla bir çözümü vardır.

6. Denklem
en az bir kökü vardır ancak ve ancak şu durumda

birden fazla anlama aittir
işlevler .

Sınırlı fonksiyonların özelliğinin uygulanması.

1. Denklemin sol tarafı ise (eşitsizlik) (
bir sayıdan küçük veya ona eşit (
), A sağ taraf bu sayıdan büyük veya ona eşitse (), bu durumda sistem geçerli olur
çözümü denklemin (eşitsizliğin) çözümüdür.

Öz kontrol görevleri

Başvuru:

3. Denklemin geçerli olduğu tüm değerleri bulun
bir çözümü var.

Ev ödevi

1. Fonksiyonun en büyük değerini bulun:

, Eğer
.

2. Fonksiyonun en küçük değerini bulun:

.

3. Fonksiyonun en büyük tamsayı değerini bulun:

. karşılık gelenler en büyük. İdeal-...

Pratik açıdan bakıldığında en büyük ilgi, bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için türevi kullanmaktır. Bunun neyle bağlantısı var? Kârı en üst düzeye çıkarmak, maliyetleri en aza indirmek, optimum ekipman yükünü belirlemek... Başka bir deyişle, hayatın birçok alanında bazı parametreleri optimize etme sorunlarını çözmek zorundayız. Bunlar da bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma görevleridir.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerinin genellikle, ya fonksiyonun tüm alanı ya da tanım alanının bir parçası olan belirli bir X aralığında arandığına dikkat edilmelidir. X aralığının kendisi bir parça, açık bir aralık olabilir , sonsuz bir aralık.

Bu yazımızda en büyük ve en küçük değerlerin açık bir şekilde bulunmasından bahsedeceğiz. verilen fonksiyon bir değişken y=f(x) .

Sayfada gezinme.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri - tanımlar, çizimler.

Kısaca ana tanımlara bakalım.

Fonksiyonun en büyük değeri bu herkes için eşitsizlik doğrudur.

Fonksiyonun en küçük değeri X aralığında y=f(x)'e böyle bir değer denir bu herkes için eşitsizlik doğrudur.

Bu tanımlar sezgiseldir: Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, apsiste söz konusu aralıkta kabul edilen en büyük (en küçük) değerdir.

Sabit noktalar– bunlar, fonksiyonun türevinin sıfır olduğu argümanın değerleridir.

En büyük ve en küçük değerleri bulurken neden sabit noktalara ihtiyacımız var? Bu sorunun cevabı Fermat teoremi ile verilmektedir. Bu teoremden, türevlenebilir bir fonksiyonun bir ekstremuma sahip olması durumunda ( yerel minimum veya yerel maksimum) belirli bir noktada ise bu nokta durağandır. Bu nedenle, fonksiyon çoğu zaman en büyük (en küçük) değerini X aralığında bu aralığın durağan noktalarından birinde alır.

Ayrıca bir fonksiyon çoğu zaman en büyük ve minimum değerlerini bu fonksiyonun birinci türevinin bulunmadığı ve fonksiyonun kendisinin tanımlandığı noktalarda alabilir.

Bu konuyla ilgili en sık sorulan sorulardan birine hemen cevap verelim: “Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini belirlemek her zaman mümkün müdür?” Hayır, her zaman değil. Bazen X aralığının sınırları, fonksiyonun tanım bölgesinin sınırlarıyla çakışır veya X aralığı sonsuzdur. Ve sonsuzdaki ve tanım alanının sınırlarındaki bazı fonksiyonlar hem sonsuz büyük hem de sonsuz küçük değerler alabilir. Bu durumlarda fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri hakkında bir şey söylenemez.

Netlik sağlamak için grafiksel bir gösterim vereceğiz. Resimlere baktığınızda pek çok şey daha net hale gelecektir.

Segmentte

İlk şekilde fonksiyon [-6;6] segmenti içerisinde yer alan durağan noktalardaki en büyük (max y) ve en küçük (min y) değerlerini almaktadır.

İkinci şekilde gösterilen durumu düşünün. Segmenti olarak değiştirelim. Bu örnekte fonksiyonun en küçük değerine şu noktada ulaşılır: sabit nokta ve en büyüğü - apsisin aralığın sağ sınırına karşılık geldiği noktada.

Şekil 3'te [-3;2] doğru parçasının sınır noktaları, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelen noktaların apsisleridir.

Açık bir aralıkta

Dördüncü şekilde fonksiyon, açık aralık (-6;6) içerisinde yer alan durağan noktalardaki en büyük (max y) ve en küçük (min y) değerlerini almaktadır.

Aralıkta en büyük değer hakkında hiçbir sonuç çıkarılamaz.

sonsuzlukta

Yedinci şekilde sunulan örnekte fonksiyon, apsis x=1 olan durağan bir noktada en büyük değeri (max y) almakta ve en küçük değere (min y) aralığın sağ sınırında ulaşmaktadır. Eksi sonsuzda fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır.

Aralık boyunca fonksiyon ne en küçük ne de en büyük değere ulaşır. x=2 sağdan yaklaştıkça fonksiyon değerleri eksi sonsuza doğru yönelir (x=2 düz çizgisi dikey asimptot) ve apsis artı sonsuza doğru yöneldiğinden fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır. Bu örneğin grafiksel gösterimi Şekil 8'de gösterilmektedir.

Bir segment üzerinde sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma algoritması.

Bir segment üzerindeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmamızı sağlayan bir algoritma yazalım.

1. Fonksiyonun tanım alanını buluyoruz ve tüm segmenti içerip içermediğini kontrol ediyoruz.
2. Birinci türevin bulunmadığı ve segmentte yer alan tüm noktaları buluruz (genellikle bu tür noktalar, modül işareti altında argümanı olan fonksiyonlarda bulunur ve güç fonksiyonları kesirli-rasyonel bir üs ile). Eğer böyle bir nokta yoksa, bir sonraki noktaya geçin.
3. Segment içerisine düşen tüm sabit noktaları belirliyoruz. Bunu yapmak için onu sıfıra eşitliyoruz, ortaya çıkan denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri seçiyoruz. Durağan nokta yoksa veya hiçbiri doğru parçasına girmiyorsa bir sonraki noktaya geçin.
4. Fonksiyonun değerlerini seçilen sabit noktalarda (varsa), birinci türevin bulunmadığı noktalarda (varsa) ve ayrıca x=a ve x=b'de hesaplıyoruz.
5. Fonksiyonun elde edilen değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçiyoruz - bunlar sırasıyla fonksiyonun gerekli en büyük ve en küçük değerleri olacak.

Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmaya yönelik bir örneği çözmek için algoritmayı analiz edelim.

Örnek.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulma

• segmentte;
• [-4;-1] segmentinde.

Çözüm.

Bir fonksiyonun etki alanı kümenin tamamıdır gerçek sayılar, sıfır hariç, yani . Her iki segment de tanım alanına girer.

Fonksiyonun türevini aşağıdakilere göre bulun:

Açıkçası, fonksiyonun türevi doğru parçalarının tüm noktalarında ve [-4;-1]'de mevcuttur.

Denklemden sabit noktaları belirliyoruz. Tek gerçek kök x=2'dir. Bu durağan nokta ilk segmente girer.

İlk durumda fonksiyonun değerlerini parçanın uçlarında ve sabit noktada yani x=1, x=2 ve x=4 için hesaplıyoruz:

Bu nedenle fonksiyonun en büyük değeri x=1'de elde edilir ve en küçük değer – x=2'de.

İkinci durumda, fonksiyon değerlerini yalnızca [-4;-1] segmentinin uçlarında hesaplıyoruz (çünkü tek bir durağan nokta içermemektedir):

Bu makalede bulma becerisinin bir fonksiyonun incelenmesine nasıl uygulanacağından bahsedeceğim: onun en büyük veya en küçük değerini bulmak. Daha sonra Görev B15'teki birkaç sorunu çözeceğiz. Açık Banka için görevler.

Her zamanki gibi önce teoriyi hatırlayalım.

Bir fonksiyonun herhangi bir çalışmasının başlangıcında onu buluruz

Bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak için fonksiyonun hangi aralıklarda arttığını, hangi aralıklarda azaldığını incelemeniz gerekir.

Bunu yapmak için fonksiyonun türevini bulmamız ve onun sabit işaretli aralıklarını, yani türevin işaretini koruduğu aralıkları incelememiz gerekir.

Bir fonksiyonun türevinin pozitif olduğu aralıklar artan fonksiyonun aralıklarıdır.

Bir fonksiyonun türevinin negatif olduğu aralıklar, azalan fonksiyonun aralıklarıdır.

1. B15 (No. 245184) görevini çözelim.

Bunu çözmek için aşağıdaki algoritmayı takip edeceğiz:

a) Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun

b) Fonksiyonun türevini bulalım.

c) Sıfıra eşitleyelim.

d) Fonksiyonun sabit işaretli aralıklarını bulalım.

e) Fonksiyonun en büyük değeri aldığı noktayı bulun.

f) Fonksiyonun bu noktadaki değerini bulun.

VİDEO EĞİTİMİ'nde bu göreve ayrıntılı bir çözüm veriyorum:

Tarayıcınız muhtemelen desteklenmiyor. Eğiticiyi kullanmak için " Birleşik Devlet Sınav Saati", indirmeyi deneyin
Firefox

2. B15 (No. 282862) görevini çözelim.

Fonksiyonun en büyük değerini bulun segmentte

Fonksiyonun parça üzerinde en büyük değeri maksimum noktada, x=2'de aldığı açıktır. Bu noktada fonksiyonun değerini bulalım:

Cevap: 5

3. B15 (No. 245180) görevini çözelim:

Fonksiyonun en büyük değerini bulun

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Çünkü orijinal fonksiyonun tanım alanına göre title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Pay sıfıra eşit. Ait olup olmadığını kontrol edelim ODZ işlevleri. Bunun için title="4-2x-x^2>0 koşulunun geçerli olup olmadığını kontrol edelim."> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

bu, noktanın ODZ işlevine ait olduğu anlamına gelir

Noktanın sağındaki ve solundaki türevin işaretini inceleyelim:

Fonksiyonun en büyük değerini noktasında aldığını görüyoruz. Şimdi fonksiyonun değerini şurada bulalım:

Açıklama 1. Bu problemde fonksiyonun tanım bölgesini bulamadık: sadece kısıtlamaları düzelttik ve türevin sıfıra eşit olduğu noktanın fonksiyonun tanım bölgesine ait olup olmadığını kontrol ettik. Bunun bu görev için yeterli olduğu ortaya çıktı. Ancak bu her zaman böyle değildir. Göreve bağlıdır.

Not 2. Davranışı incelerken karmaşık fonksiyon bu kuralı kullanabilirsiniz:

• Karmaşık bir fonksiyonun dış fonksiyonu artıyorsa, fonksiyon en büyük değerini aynı noktada alır. dahili fonksiyon en büyük değeri alır. Bu, artan bir fonksiyonun tanımından çıkar: Bir fonksiyon I aralığında artarsa, daha yüksek değer bu aralıktaki argüman, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir.
• Karmaşık bir fonksiyonun dış fonksiyonu azalıyorsa, fonksiyon en büyük değerini iç fonksiyonun en küçük değerini aldığı noktada alır. . Bu, azalan fonksiyonun tanımından kaynaklanmaktadır: eğer bu aralıktaki argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa, bir fonksiyon I aralığında azalır.

Örneğimizde, dış fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artmaktadır. Logaritmanın işaretinin altında bir ifade var - ikinci dereceden üç terimli Negatif bir öncü katsayı ile o noktada en büyük değeri alan , . Daha sonra bu x değerini fonksiyonun denkleminde yerine koyarız. ve en büyük değerini bulun.