Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil e-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Tarafımızca toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Bernoulli, Cauchy - Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev eşitsizlikleri dahil olmak üzere ana eşitsizlik türleri sunulmaktadır. Eşitsizliklerin özellikleri ve onlara etkileri dikkate alınır. Eşitsizlikleri çözmenin temel yöntemleri verilmiştir.
Temel eşitsizlikler için formüller
Evrensel eşitsizliklerin formülleri
Evrensel eşitsizlikler, içerdikleri miktarların herhangi bir değeri için karşılanır. Başlıca türleri aşağıda listelenmiştir evrensel eşitsizlikler.
1) | bir b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |bir 1 | + |a 2 | + ... + |a n |
2) |bir| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |bir| - |b| |
3)
Eşitlik yalnızca a 1 = a 2 = ... = a n olduğunda ortaya çıkar.
4)
Cauchy-Bunyakovsky eşitsizliği
Eşitlik ancak ve ancak tüm k = 1, 2, ..., n ve bazı α, β, |α| için α a k = β b k olması durumunda geçerlidir. + |β| > 0 .
5)
Minkowski eşitsizliği, p ≥ 1 için
Tatmin edilebilir eşitsizliklerin formülleri
Tatmin edilebilir eşitsizlikler, içerdikleri miktarların belirli değerleri için karşılanır.
1)
Bernoulli eşitsizliği:
.
Daha fazla genel görünüm:
,
burada , aynı işaretli ve daha büyük sayılar -1
:
.
Bernoulli'nin Lemması:
.
Bkz. "Eşitsizliklerin kanıtları ve Bernoulli lemması".
2)
a ben ≥ 0 için (i = 1, 2, ..., n) .
3)
Chebyshev eşitsizliği
en 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Ve 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Şu tarihte: 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Ve b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
4)
Genelleştirilmiş Chebyshev eşitsizlikleri
en 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Ve 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
ve doğal
.
Şu tarihte: 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Ve b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
Eşitsizliklerin özellikleri
Eşitsizliklerin özellikleri, onları dönüştürürken karşılanan bir dizi kuraldır. Aşağıda eşitsizliklerin özellikleri verilmiştir. Orijinal eşitsizliklerin önceden belirlenmiş bir aralığa ait x i (i = 1, 2, 3, 4) değerleri için sağlandığı anlaşılmaktadır.
1) Kenarların sırası değiştiğinde eşitsizlik işareti ters yönde değişir.
Eğer x 1 ise< x 2
,
то x 2 >x 1.
Eğer x 1 ≤ x 2 ise x 2 ≥ x 1 olur.
Eğer x 1 ≥ x 2 ise x 2 ≤ x 1 olur.
Eğer x 1 > x 2 ise x 2< x 1
.
2) Bir eşitlik iki zayıf eşitsizliğe eşdeğerdir farklı işaret.
Eğer x 1 = x 2 ise, x 1 ≤ x 2 ve x 1 ≥ x 2 olur.
Eğer x 1 ≤ x 2 ve x 1 ≥ x 2 ise x 1 = x 2 olur.
3) Geçişlilik özelliği
Eğer x 1 ise< x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
Eğer x 1 ise< x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 < x 3
.
Eğer x 1 ≤ x 2 ve x 2 ise< x 3
,
то x 1 < x 3
.
Eğer x 1 ≤ x 2 ve x 2 ≤ x 3 ise x 1 ≤ x 3 olur.
4) Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir (çıkarılabilir).
Eğer x 1 ise< x 2
,
то x 1 + A < x 2 + A
.
Eğer x 1 ≤ x 2 ise, x 1 + A ≤ x 2 + A olur.
Eğer x 1 ≥ x 2 ise, x 1 + A ≥ x 2 + A olur.
Eğer x 1 > x 2 ise, bu durumda x 1 + A > x 2 + A.
5) Aynı yönde işaretli iki veya daha fazla eşitsizlik varsa bunların sol ve sağ tarafları toplanabilir.
Eğer x 1 ise< x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Eğer x 1 ise< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Eğer x 1 ≤ x 2, x 3< x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Eğer x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4 ise x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 olur.
Benzer ifadeler ≥, > işaretleri için de geçerlidir.
Orijinal eşitsizlikler katı olmayan eşitsizliklerin işaretlerini içeriyorsa ve en az bir katı eşitsizlik(ancak tüm işaretler aynı yöne sahiptir), daha sonra toplandığında katı bir eşitsizlik elde edilir.
6) Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılabilir (bölünebilir).
Eğer x 1 ise< x 2
и A >0, ardından A x 1< A · x 2
.
Eğer x 1 ≤ x 2 ve A > 0 ise A x 1 ≤ A x 2 olur.
Eğer x 1 ≥ x 2 ve A > 0 ise A x 1 ≥ A x 2 olur.
Eğer x 1 > x 2 ve A > 0 ise A · x 1 > A · x 2.
7) Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılabilir (bölünebilir). Bu durumda eşitsizliğin işareti ters yönde değişecektir.
Eğer x 1 ise< x 2
и A < 0
,
то A · x 1 >Bir x 2.
Eğer x 1 ≤ x 2 ve A ise< 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
Eğer x 1 ≥ x 2 ve A ise< 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
Eğer x 1 > x 2 ve A ise< 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
8) Pozitif terimli ve aynı yönde işaretli iki veya daha fazla eşitsizlik varsa bunların sol ve sağ tarafları birbiriyle çarpılabilir.
Eğer x 1 ise< x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 sonra x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Eğer x 1 ise< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 sonra x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Eğer x 1 ≤ x 2, x 3< x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 sonra x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Eğer x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 ise x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Benzer ifadeler ≥, > işaretleri için de geçerlidir.
Orijinal eşitsizlikler katı olmayan eşitsizliklerin işaretlerini ve en az bir katı eşitsizliği içeriyorsa (ancak tüm işaretler aynı yöne sahipse), o zaman çarpma katı bir eşitsizlikle sonuçlanır.
9) f(x) monoton olarak artan bir fonksiyon olsun. Yani herhangi bir x 1 > x 2 için f(x 1) > f(x 2).
Eğer x 1 ise< x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
Daha sonra bu fonksiyon eşitsizliğin her iki tarafına da uygulanabilir, bu da eşitsizliğin işaretini değiştirmez.
Eğer x 1 ≤ x 2 ise f(x 1) ≤ f(x 2) .
Eğer x 1 ≥ x 2 ise f(x 1) ≥ f(x 2) .
Eğer x 1 > x 2 ise f(x 1) > f(x 2).< f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Eğer x 1 ise< x 2
,
то f(x 1) >10) f(x) monoton olarak azalan bir fonksiyon olsun, yani herhangi bir x 1 > x 2 için, f(x 1)
f(x2) .
Eğer x 1 ≤ x 2 ise f(x 1) ≥ f(x 2) .
Eğer x 1 > x 2 ise f(x 1)< f(x 2)
.
Eşitsizlikleri çözme yöntemleri
Aralık yöntemini kullanarak eşitsizlikleri çözme
Aralık yöntemi, eşitsizliğin x olarak gösterdiğimiz bir değişken içermesi ve şu şekilde olması durumunda uygulanabilir:
f(x) > 0
burada f(x) - sürekli fonksiyon, sahip son sayı kırılma noktaları. Eşitsizlik işareti herhangi bir şey olabilir: >, ≥,<, ≤
.
Aralık yöntemi aşağıdaki gibidir.
1) f(x) fonksiyonunun tanım tanım kümesini bulun ve bunu sayı ekseninde aralıklarla işaretleyin.
2) f(x) fonksiyonunun süreksizlik noktalarını bulun.
Örneğin bu bir kesir ise paydanın sıfır olduğu noktaları buluruz. Bu noktaları sayı ekseninde işaretliyoruz.
3) Denklemi çözün
f(x) = 0.
Bu denklemin köklerini sayı ekseninde işaretliyoruz.
4) Sonuç olarak sayı ekseni noktalara göre aralıklara (bölümlere) bölünecektir. Tanım alanına giren her aralıkta herhangi bir noktayı seçip bu noktada fonksiyonun değerini hesaplıyoruz. Bu değer sıfırdan büyükse segmentin (aralığın) üzerine “+” işareti koyarız.
Bu değer sıfırdan küçükse segmentin (aralığın) üstüne “-” işareti koyarız.
5) Eşitsizlik f(x) > 0 şeklindeyse “+” işaretli aralıkları seçin.< 0
,
то выбираем интервалы с знаком „-“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Eşitsizliğin çözümü, sınırlarını içermeyen bu aralıkları birleştirmektir.
Eşitsizlik f(x) ≥ 0 biçimindeyse, çözüme f(x) = 0 olan noktaları ekleriz.
Yani bazı aralıkların kapalı sınırları olabilir (sınır aralığa aittir). diğer kısmın sınırları açık olabilir (sınır aralığa ait değildir). Benzer şekilde, eşitsizlik şu şekildeyse: f(x) Eşitsizlik f(x) ≤ 0 biçimindeyse, çözüme f(x) = 0 olan noktaları ekleriz.
Eşitsizlikleri özelliklerini kullanarak çözme
Bu yöntem herhangi bir karmaşıklıktaki eşitsizliklere uygulanabilir. Eşitsizlikleri daha da artırmak için (yukarıda sunulan) özelliklerin uygulanmasından oluşur.
basit görünüm ve bir çözüm bulun. Bunun sadece bir eşitsizlik sistemi değil, bir eşitsizlikler sistemi ile sonuçlanması oldukça muhtemeldir. Bu evrensel bir yöntemdir. Her türlü eşitsizlik için geçerlidir. Kullanılan literatür: İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009. Matematikte
sonsuz küme işlevler. Ve her birinin kendi karakteri vardır.) Çok çeşitli işlevlerle çalışmak için ihtiyacınız olan Bekar yaklaşmak. Yoksa bu nasıl bir matematik?!) Bir de öyle bir yaklaşım var ki! Herhangi bir fonksiyonla çalışırken onu sunarız standart set sorular. Ve ilki, en çok kabul edilebilir değerler argüman, fonksiyon spesifikasyon alanı vb.
Bir fonksiyonun etki alanı nedir? Nasıl bulunur? Bu sorular genellikle karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor... Aslında her şey son derece basit olmasına rağmen. Bu sayfayı okuyarak kendiniz görebilirsiniz. Hadi gidelim mi?)
Peki, ne diyeyim... Sadece saygı gösterin.) Evet! Bir fonksiyonun doğal alanı (burada tartışılmaktadır) maçlarİle ODZ ifadeleri fonksiyona dahil edilmiştir. Buna göre aynı kurallara göre aranırlar.
Şimdi tamamen doğal olmayan bir tanım alanına bakalım.)
Bir işlevin kapsamına ilişkin ek kısıtlamalar.
Burada görevin getirdiği kısıtlamalardan bahsedeceğiz. Onlar. görev biraz içeriyor ek koşullar derleyici tarafından icat edilmiştir. Veya kısıtlamalar, işlevi tanımlama yönteminin kendisinden ortaya çıkar.
Görevdeki kısıtlamalara gelince, her şey basit. Genellikle hiçbir şey aramaya gerek yoktur, her şey görevde zaten söylenmiştir. Görevin yazarının yazdığı kısıtlamaların iptal edilmediğini hatırlatmama izin verin. Matematiğin temel sınırlamaları. Sadece görevin koşullarını dikkate almayı hatırlamanız gerekir.
Örneğin bu görev:
Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun:
pozitif sayılar kümesinde.
Yukarıda bu fonksiyonun doğal tanım alanını bulduk. Bu alan:
D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪
İÇİNDE sözlü yol Bir işlevi belirtirken koşulu dikkatlice okumanız ve orada X ile ilgili kısıtlamaları bulmanız gerekir. Bazen gözler formül arar ama kelimeler bilinçten ıslık çalarak geçer evet...) Önceki dersten örnek:
İşlev koşulla belirtilir: doğal bağımsız değişken x'in her değeri, x'in değerini oluşturan rakamların toplamı ile ilişkilendirilir.
Burada konuştuğumuzu belirtmek gerekir. sadece O doğal değerler X. Daha sonra D(f) anında kaydedildi:
D(f): x ∈ N
Gördüğünüz gibi bir fonksiyonun kapsamı öyle değil karmaşık kavram. Bu bölgeyi bulmak, fonksiyonu incelemek, bir eşitsizlik sistemi yazmak ve bu sistemi çözmekten geçer. Elbette basit ve karmaşık her türlü sistem var. Ancak...
onu açacağım küçük sır. Bazen tanım alanını bulmanız gereken bir işlev çok korkutucu görünebilir. Solgunlaşıp ağlamak istiyorum.) Ama eşitsizlik sistemini yazar yazmaz... Ve birdenbire sistemin temel olduğu ortaya çıkıyor! Üstelik çoğu zaman işlev ne kadar kötüyse sistem de o kadar basit olur...
Ahlaki: gözler korkar, kafa karar verir!)
Bilimsel süpervizör:
1. Giriş 3
2. Tarihsel eskiz 4
3. Denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken ODZ'nin “Yeri” 5-6
4. ODZ 7'nin özellikleri ve tehlikeleri
5. ODZ – bir çözüm var 8-9
6. ODZ'yi bulmak ekstra bir iştir. Geçişlerin denkliği 10-14
7. Birleşik Devlet Sınavında ODZ 15-16
8. Sonuç 17
9. Edebiyat 18
1. Giriş
Sorun: ODZ'yi bulmanın gerekli olduğu denklemler ve eşitsizlikler cebir dersinde sistematik sunum için yer bulamadı, bu yüzden muhtemelen akranlarım ve ben bu tür örnekleri çözerken sık sık hata yapıyoruz, bunları çözmek için çok zaman harcıyoruz ve unutuyoruz ODZ hakkında.
Hedef: DL'yi dikkate almanın gerekli olduğu örneklerde durumu analiz edebilme ve mantıksal olarak doğru sonuçlar çıkarabilme.
Görevler:
1. Teorik materyali inceleyin;
2. Birçok denklemi, eşitsizliği çözün: a) kesirli-rasyonel; b) irrasyonel; c) logaritmik; d) ters trigonometrik fonksiyonları içeren;
3. Çalışılan materyalleri standarttan farklı bir durumda uygulayın;
4. “Kabul edilebilir değerler alanı: teori ve pratik” konulu bir çalışma oluşturun
Proje üzerinde çalışın: Bildiğim fonksiyonları tekrarlayarak proje üzerinde çalışmaya başladım. Birçoğunun kapsamı sınırlıdır.
ODZ oluşur:
1. Karar verirken kesirli rasyonel denklemler ve eşitsizlikler
2. Karar verirken irrasyonel denklemler ve eşitsizlikler
3. Karar verirken logaritmik denklemler ve eşitsizlikler
4. Ters trigonometrik fonksiyonlar içeren denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken
Birçok örneği çözdükten sonra çeşitli kaynaklar(birleşik devlet sınav kılavuzları, ders kitapları, referans kitapları), örneklerin çözümünü aşağıdakilere göre sistemleştirdim: aşağıdaki ilkeler:
· örneği çözebilir ve ODZ'yi (en yaygın yöntem) dikkate alabilirsiniz.
· ODZ'yi dikkate almadan örneği çözmek mümkündür
· Doğru karara varmak ancak ODZ'yi dikkate almakla mümkündür.
Çalışmada kullanılan yöntemler: 1) analiz; 2) istatistiksel analiz; 3) kesinti; 4) sınıflandırma; 5) tahmin.
Analizi inceledim Birleşik Devlet Sınavı sonuçları Geçtiğimiz yıllarda. DL'nin dikkate alınması gereken örneklerde birçok hata yapılmıştır. Bunu bir kez daha vurguluyor alaka benim konumum.
2. Tarihsel taslak
Matematiğin diğer kavramları gibi, fonksiyon kavramı da hemen gelişmedi, uzun bir gelişim sürecinden geçti. P. Fermat'ın “Düz ve Katı Yerlerin Giriş ve İncelenmesi” (1636, 1679'da yayınlandı) adlı eseri şöyle diyor: “Ne zaman son denklem Bilinmeyen iki nicelik var, bir yer var.” Esasen fonksiyonel bağımlılıktan ve onun grafik gösterimi(Fermat dilinde “yer” çizgi anlamına gelir). Çizgilerin R. Descartes'ın "Geometri" (1637) eserindeki denklemlerine göre incelenmesi, aynı zamanda ikisinin karşılıklı bağımlılığının da açık bir şekilde anlaşıldığını gösterir. değişkenler. I. Barrow'da (“Geometri Dersleri”, 1670) geometrik şekil farklılaşma ve bütünleşme eylemlerinin karşılıklı ters doğası belirlenir (tabii ki bu terimlerin kendisi kullanılmadan). Bu zaten fonksiyon kavramına tamamen hakim olunduğunu gösteriyor. Geometrik ve mekanik form Bu kavramı I. Newton'da da buluyoruz. Ancak "işlev" terimi ilk kez ancak 1692'de G. Leibniz'de ortaya çıktı ve üstelik modern anlayışıyla da pek örtüşmüyor. G. Leibniz, bir eğriyle ilişkili çeşitli bölümleri (örneğin, noktalarının apsisi) bir fonksiyon olarak adlandırır. L'Hopital (1696) tarafından yazılan ilk basılı ders olan “Eğri çizgilerin bilgisi için sonsuz küçüklerin analizi”nde “fonksiyon” terimi kullanılmamıştır.
Bir fonksiyonun modern tanımına yakın anlamda ilk tanımı I. Bernoulli'de (1718) bulunur: “Fonksiyon, bir değişken ve bir sabitten oluşan bir niceliktir.” Tamamen açık olmayan bu tanım, bir işlevi belirtme fikrine dayanmaktadır. analitik formül. Aynı fikir, L. Euler'in “Sonsuzların Analizine Giriş” (1748) adlı eserinde verdiği tanımında da görülmektedir: “Fonksiyon değişken miktar bu değişken miktar ve sayılardan bir şekilde oluşan analitik bir ifadedir veya sabit miktarlar" Ancak L. Euler artık yabancı değil modern anlayış Bir fonksiyon kavramını onun herhangi bir analitik ifadesine bağlamayan fonksiyon. Onun " Diferansiyel hesap” (1755) şöyle diyor: “Bazı nicelikler diğerlerine, ikincisi değiştiğinde kendileri de değişmeye tabi olacak şekilde bağlı olduğunda, birincisine ikincinin işlevleri denir.”
İLE XIX'in başı yüzyıllar boyunca, bir fonksiyon kavramını, onun analitik temsilinden bahsetmeden giderek daha sık tanımlamışlardır. "Diferansiyel ve Diferansiyel Üzerine İnceleme"de integral hesabı"(1797-1802) S. Lacroix şöyle diyor: “Değeri bir veya daha fazla niceliğe bağlı olan her niceliğe, bunların bir fonksiyonu denir.” İÇİNDE " Analitik teori J. Fourier'in (1822) ısı" adlı eserinde şöyle bir ifade vardır: "Fonksiyon f(x) tamamen keyfi bir işlevi, yani, alt düzeyde olsun ya da olmasın, verilen değerlerin bir dizisini belirtir genel hukuk ve tüm değerlere karşılık gelen X 0 ile bir değer arasında yer alır X" N. I. Lobachevsky'nin tanımı modern olana yakındır: “... Genel konsept işlev şunu gerektirir: X her biri için verilen numarayı adlandırın X ve birlikte X yavaş yavaş değişir. Fonksiyon değeri verilebilir veya analitik ifade, ya da tüm sayıları test etmek ve bunlardan birini seçmek için bir araç sağlayan bir koşul ya da son olarak bir bağımlılık var olabilir ve bilinmiyor olabilir." Biraz aşağıda da söyleniyor: “Teorinin geniş görüşü, yalnızca sayıların birbiriyle bağlantılı olarak sanki birlikte verilmiş gibi anlaşılması anlamında bağımlılığın varlığına izin veriyor.” Böylece, modern çözünürlüklü referanslardan arındırılmış işlevler analitik görev Genellikle P. Dirichlet'e (1837) atfedilen, ondan önce defalarca önerildi.
Bir y fonksiyonunun tanım alanı (kabul edilebilir değerler), bu fonksiyonun tanımlandığı bağımsız değişken x'in değerler kümesidir, yani bağımsız değişkenin (argüman) değişim alanıdır.
3. Denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken kabul edilebilir değerler aralığının “Yeri”
1. Kesirli rasyonel denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken payda sıfır olmamalıdır.
2. İrrasyonel denklem ve eşitsizliklerin çözümü.
2.1..gif" genişlik = "212" yükseklik = "51"> .
İÇİNDE bu durumda ODZ'yi bulmaya gerek yoktur: ilk denklemden elde edilen x değerlerinin aşağıdaki eşitsizliği karşıladığı sonucu çıkar: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif" width= "107" height = "27 src = " > sistem:
Denkleme eşit olarak girdikleri için eşitsizlik yerine eşitsizliği dahil edebilirsiniz https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49"> 
https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51"> 
3. Logaritmik denklem ve eşitsizliklerin çözümü.
3.1. Logaritmik bir denklemi çözme şeması
Ancak ODZ'nin yalnızca bir durumunu kontrol etmek yeterlidir.
3.2..gif" genişlik = "115" yükseklik = "48 src = ">.gif" genişlik = "115" yükseklik = "48 src = ">
4. Trigonometrik denklemler tip sisteme eşdeğerdir (eşitsizlik yerine eşitsizliği sisteme dahil edebilirsiniz https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> eşdeğerdir denklem
4. İzin verilen değer aralığının özellikleri ve tehlikeleri
Matematik derslerinde her örnekte DL'yi bulmamız gerekmektedir. Aynı zamanda matematiksel öz Bu durumda, ODZ'yi bulmak hiç de zorunlu değildir, çoğu zaman gerekli değildir ve bazen imkansızdır - ve tüm bunlar, örneğin çözümüne herhangi bir zarar vermeden. Öte yandan, çoğu zaman okul çocukları bir örneği çözdükten sonra DL'yi hesaba katmayı, onu son cevap olarak yazmayı ve yalnızca bazı koşulları dikkate almayı unuturlar. Bu durum iyi biliniyor ama “savaş” her yıl devam ediyor ve uzun süre de devam edecek gibi görünüyor.
Örneğin aşağıdaki eşitsizliği düşünün:
Burada ODZ aranır ve eşitsizlik çözülür. Ancak bu eşitsizliği çözerken okul çocukları bazen DL'yi aramadan yapmanın oldukça mümkün olduğuna, daha doğrusu koşul olmadan yapmanın mümkün olduğuna inanırlar.
Aslında doğru cevaba ulaşmak için hem eşitsizliği hem de eşitsizliği hesaba katmak gerekir.
Ancak örneğin denklemin çözümü: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">
bu ODZ ile çalışmaya eşdeğerdir. Ancak bu örnekte böyle bir çalışma gereksizdir; bu eşitsizliklerden yalnızca ikisinin veya herhangi ikisinin yerine getirilip getirilmediğini kontrol etmek yeterlidir.
Herhangi bir denklemin (eşitsizliğin) forma indirgenebileceğini hatırlatmama izin verin. ODZ basitçe sol taraftaki fonksiyonun tanım alanıdır. Bu alanın izlenmesi gerektiği gerçeği, kökün belirli bir fonksiyonun tanım alanından, dolayısıyla ODZ'den bir sayı olarak tanımlanmasından kaynaklanmaktadır. Burada komik örnek bu konuda..gif" width="20" height="21 src="> bir dizi pozitif sayının tanım alanına sahiptir (bu, elbette, bir fonksiyonun dikkate alınması için bir anlaşmadır, ancak makuldür), ve bu durumda -1 bir kök değildir.
5. Kabul edilebilir değer aralığı – bir çözüm var
Ve son olarak, birçok örnekte ODZ'yi bulmak cevaba ulaşmanızı sağlar hantal düzenler olmadan, hatta sözlü olarak.
1. OD3 boş bir kümedir, yani orijinal örneğin hiçbir çözümü yoktur.
1)
2) 3) 
2.B ODZ bir veya daha fazla sayı bulunur ve basit bir değişiklik, kökleri hızlı bir şekilde belirler.
1)
, x=3
2)
Burada ODZ'de yalnızca 1 sayısı var ve değiştirildikten sonra bunun bir kök olmadığı anlaşılıyor.
3) ODZ'de iki sayı vardır: 2 ve 3 ve her ikisi de uygundur.
4) > ODZ'de 0 ve 1 olmak üzere iki sayı vardır ve yalnızca 1 uygundur.
ODZ, ifadenin kendisinin analiziyle birlikte etkili bir şekilde kullanılabilir.
5) 
< ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только pozitif sayılar yani x=2'yi bırakıyoruz. Daha sonra eşitsizliğin yerine 2 koyarız.
6) 
ODZ'den şu sonuç çıkıyor: ..gif" width="143" height="24"> ODZ'den elimizde: . Ama sonra ve . Çünkü hiçbir çözüm yok.
ODZ'den elimizde: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, yani . Son eşitsizliği çözerek x elde ederiz<- 4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.
3) ODZ: . O zamandan beri
Öte yandan, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">
ODZ:. [-1; 0).
Aşağıdaki eşitsizlikleri yerine getirir https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src = "> ve hiçbir çözüm yok. İşlev ve https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">.ODZ: x>2..gif" width="233" ile height ="45 src="> ODZ'yi bulalım:
Tamsayı çözümü yalnızca x=3 ve x=5 için mümkündür. Kontrol ederek x=3 kökünün uymadığını buluyoruz, bu da cevabın x=5 olduğu anlamına geliyor.
6. Kabul edilebilir değer aralığını bulmak ekstra iştir. Geçişlerin denkliği.
DZ'yi bulmadan da durumun net olduğu örnekler verebilirsiniz.
1. 
Eşitlik imkansızdır çünkü daha büyük bir ifadeyi daha küçük bir ifadeden çıkarırken sonuç negatif bir sayı olmalıdır.
2. 
.
Negatif olmayan iki fonksiyonun toplamı negatif olamaz.
Ayrıca ODZ'yi bulmanın zor, bazen de imkansız olduğu örnekler vereceğim.
Ve son olarak, ODZ'yi aramak çoğu zaman sadece ekstra bir iştir ve bunu onsuz yapabilirsiniz, böylece neler olduğuna dair anlayışınızı kanıtlarsınız. Burada verilebilecek çok sayıda örnek var, bu yüzden yalnızca en tipik olanları seçeceğim. Bu durumda ana çözüm yöntemi, bir denklemden (eşitsizlik, sistem) diğerine geçerken eşdeğer dönüşümlerdir.
1.
. ODZ gerekli değildir, çünkü x2 = 1 olan x değerlerini bulduktan sonra x = 0 elde edemeyiz.
2. . ODZ'ye ihtiyaç yoktur çünkü radikal ifadenin pozitif bir sayıya eşit olduğunu buluruz.
3. . Önceki örnektekiyle aynı nedenlerden dolayı ODZ'ye ihtiyaç yoktur.
4. 
ODZ'ye gerek yoktur çünkü radikal ifade bazı fonksiyonların karesine eşittir ve bu nedenle negatif olamaz.
5. 
6. ..gif" width="271" height="51"> Çözmek için köklü ifade için yalnızca bir kısıtlama yeterlidir. Aslında yazılı karma sistemden diğer köklü ifadenin negatif olmadığı sonucu çıkar.
8. Önceki örnektekiyle aynı nedenlerden dolayı DZ'ye ihtiyaç yoktur.
9. 
ODZ'ye ihtiyaç yoktur çünkü logaritma işaretleri altındaki üç ifadeden ikisinin pozitif olması üçüncünün pozitifliğini sağlamak için yeterlidir.
10. 
.gif" width="357" height="51"> ODZ, önceki örnektekiyle aynı nedenlerden dolayı gerekli değildir.
Bununla birlikte, eşdeğer dönüşümler yöntemini kullanarak çözerken ODZ (ve fonksiyonların özellikleri) bilgisinin yardımcı olduğunu belirtmekte fayda var.
İşte bazı örnekler.
1. . Sağ taraftaki ifadenin pozitif olduğunu ima eden OD3 ve buna eşdeğer bir denklemi şu şekilde yazmak mümkün https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" width ="112" height="27 "> ODZ: Ama o zaman ve bu eşitsizliği çözerken, şu durumu dikkate almaya gerek yok: sağ taraf 0'dan az.
3. . ODZ'den şunu takip eder ve bu nedenle https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Geçiş genel olarak şuna benzer: :
https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" genişlik = "303" yükseklik = "24">
İki olası durum vardır: 0
Bu, orijinal eşitsizliğin aşağıdaki eşitsizlik sistemleri kümesine eşdeğer olduğu anlamına gelir:
İlk sistemin çözümü yok ama ikincisinden şunu elde ediyoruz: x<-1 – решение неравенства.
Denklik koşullarını anlamak bazı inceliklerin bilinmesini gerektirir. Örneğin, aşağıdaki denklemler neden eşdeğerdir:
Veya 
Ve son olarak belki de en önemlisi. Gerçek şu ki eşdeğerlik, denklemin kendisinde bazı dönüşümler yapılırsa cevabın doğruluğunu garanti eder, ancak parçalardan yalnızca birindeki dönüşümler için kullanılmaz. Kısaltmalar ve parçalardan birinde farklı formüllerin kullanılması eşdeğerlik teoremlerinin kapsamına girmez. Bu türden bazı örnekleri daha önce vermiştim. Birkaç örneğe daha bakalım.
1. Bu karar doğaldır. Mülkiyet tarafından sol tarafta logaritmik fonksiyon..gif" width=111" height=48"> ifadesine geçelim.
Bu sistemi çözdükten sonra sonucu (-2 ve 2) alıyoruz, ancak bu bir cevap değil çünkü -2 sayısı ODZ'ye dahil değil. Peki ODS kurmamız gerekiyor mu? Tabii ki değil. Ancak çözümde logaritmik fonksiyonun belirli bir özelliğini kullandığımız için, bunun sağlandığı koşulları sağlamak zorundayız. Böyle bir durum logaritma işaretinin altındaki ifadelerin pozitifliğidir..gif" width="65" height="48">.
2. 
..gif" width = "143" height = "27 src = "> sayılar bu şekilde değiştirilmeye tabidir 
. Kim bu kadar sıkıcı hesaplamalar yapmak ister?.gif" width="12" height="23 src="> bir koşul ekleyin ve yalnızca https://pandia.ru/text/78/083 sayısının olduğunu hemen görebilirsiniz. / bu koşulu karşılıyor Images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) teste katılanların %52'si tarafından kanıtlandı. Oranların bu kadar düşük olmasının nedenlerinden biri de pek çok mezunun denklemin karesini aldıktan sonra elde edilen kökleri seçmemesidir.
3) Örneğin, C1 sorunlarından birinin çözümünü düşünün: “Fonksiyonun grafiğinin noktalarının olduğu tüm x değerlerini bulun. 
fonksiyonun grafiğinin karşılık gelen noktalarının üzerinde yer alır ". Görev, çözmekten ibarettir kesirli eşitsizlik içeren logaritmik ifade. Bu tür eşitsizlikleri çözmenin yöntemlerini biliyoruz. Bunlardan en yaygın olanı aralık yöntemidir. Ancak sınava girenler bunu kullanırken çeşitli hatalar yaparlar. Eşitsizliği örnek olarak kullanarak en yaygın hatalara bakalım:
X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие X < 10.
8. Sonuç
Özetlemek gerekirse denklem ve eşitsizliklerin çözümü için evrensel bir yöntem olmadığını söyleyebiliriz. Her seferinde, ne yaptığınızı anlamak ve mekanik olarak hareket etmek istemiyorsanız, bir ikilem ortaya çıkıyor: özellikle hangi çözümü seçmelisiniz, ODZ'yi aramalı mı aramamalı mı? Kazandığım deneyimin bu ikilemi çözmeme yardımcı olacağını düşünüyorum. ODZ'yi doğru kullanmayı öğrenerek hata yapmayı bırakacağım. Bunu yapıp yapamayacağımı zaman, daha doğrusu Birleşik Devlet Sınavı gösterecek.
9. Edebiyat
Ve diğerleri “Cebir ve analizin başlangıcı 10-11” problem kitabı ve ders kitabı, M.: “Prosveshchenie”, 2002. “Handbook for ilköğretim matematik" M.: “Nauka”, 1966. “Matematik” Gazetesi No: 46, Gazete “Matematik” No. Gazete “Matematik” No. “Okul VII-VIII. Sınıflarda Matematik Tarihi”. M .: “Aydınlanma”, 1982. vb. “Seçeneklerin en eksiksiz baskısı gerçek görevler Birleşik Devlet Sınavı: 2009/FIPI" - M.: "Astrel", 2009. vb. "Birleşik Devlet Sınavı. Matematik. Öğrencileri hazırlamak için evrensel materyaller/FIPI" - M.: "İstihbarat Merkezi", 2009. vb. "Cebir ve analizin başlangıcı 10-11." M.: “Aydınlanma”, 2007. , “Sorunların Çözümü Çalıştayı” okul matematik(cebir atölyesi).” M.: Eğitim, 1976. “25.000 matematik dersi.” M.: “Aydınlanma”, 1993. “Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık.” M.: “Sınav”, 2006. “Çocuklar için Ansiklopedi “MATEMATİK” cilt 11, M.: Avanta +; 2002. www.sitelerden materyaller. *****, www. *****.
