Matematiksel analiz yöntemlerinin genel özellikleri. Matematiksel araştırma

1774'te L. Euler şunu gösterdi: y(x) doğrusal integrale minimumu verir J = J[y(x), o zaman daha sonra adı verilen bazı diferansiyel denklemleri karşılaması gerekir. Euler denklemleri. Bu gerçeğin keşfi matematiksel modellemede (matematiksel modeller oluşturma) önemli bir başarıydı. Aynı matematiksel modelin iki eşdeğer biçimde temsil edilebileceği ortaya çıktı: fonksiyonel formda veya Euler diferansiyel denklemi (diferansiyel denklem sistemi) formunda. Bu bağlamda, bir diferansiyel denklemin bir fonksiyonel ile değiştirilmesine denir. varyasyon hesabının ters problemi. Dolayısıyla bir fonksiyonelin ekstremum probleminin çözümü, bu fonksiyonele karşılık gelen Euler diferansiyel denkleminin çözümüyle aynı şekilde düşünülebilir. Sonuç olarak, aynı fiziksel problemin matematiksel formülasyonu, karşılık gelen sınır koşullarıyla birlikte bir fonksiyonel formunda (bu fonksiyonelin ekstremumu, fiziksel probleme bir çözüm sağlar) veya buna karşılık gelen Euler diferansiyel denklemi formunda sunulabilir. Bu fonksiyonele aynı sınır koşullarıyla (bu denklemin entegrasyonu problemin çözümünü sağlar).

Uygulamalı bilimlerde varyasyonel yöntemlerin yaygın şekilde yayılması, 1908'de W. Ritz'in, daha sonra adı verilen, fonksiyonelleri en aza indirme yöntemiyle ilgili bir yayının ortaya çıkmasıyla kolaylaştırıldı. Ritz yöntemi. Bu yöntem klasik varyasyonel yöntem olarak kabul edilir. Ana fikri, istenen fonksiyonun y = y(x) y fonksiyonelin sağlanması (A ) İle sınır koşulları y(a) = A, y(b)) = İÇİNDE minimum değer, seri olarak arandı

Nerede Cj (ben = 0, yy) - bilinmeyen katsayılar; (r/(d) (r = 0, P) - koordinat fonksiyonları(cebirsel veya trigonometrik polip).

Koordinat fonksiyonları problemin sınır koşullarını tam olarak sağlayacak şekilde bulunur.

Fonksiyonelin türevlerini belirledikten sonra (c)'yi (A)'da değiştirmek J bilinmeyenlerden C, (r = 0, r) ikincisine göre, bir cebirsel doğrusal denklem sistemi elde edilir. C katsayıları belirlendikten sonra problemin kapalı formdaki çözümü (c)'den bulunur.

Çok sayıda seri terimi kullanıldığında (c) (P- 5 mi? °о) prensip olarak gerekli doğrulukta bir çözüm elde etmek mümkündür. Ancak nasıl belirli problemlerin hesaplamalarını, katsayılar matrisini gösterir C, (g = 0, P) katsayıların geniş bir yayılımına sahip dolu bir kare matristir. mutlak değer. Bu tür matrisler tekillere yakındır ve kural olarak kötü koşullanmıştır. Bunun nedeni, matrislerin iyi koşullandırılabileceği koşulların hiçbirini karşılamamalarıdır. Bu koşullardan bazılarına bakalım.

• 1. Matrisin pozitif kesinliği (ana köşegende yer alan terimler pozitif ve maksimum olmalıdır).
• 2. Minimum bant genişliğine sahip ana köşegenle ilgili matrisin şerit görünümü (bantın dışında bulunan matris katsayıları sıfıra eşittir).
• 3. Matrisin ana köşegene göre simetrikliği.

Bu bağlamda, Ritz yöntemindeki yaklaşımların artmasıyla birlikte, bir matrisin maksimum özdeğerinin minimum özdeğerine oranıyla belirlenen koşul sayısı, sonsuz büyük bir değere doğru yönelir. Ve çözme sırasında yuvarlama hatalarının hızlı birikmesi nedeniyle ortaya çıkan çözümün doğruluğu büyük sistemler cebirsel doğrusal denklemler iyileşmeyebilir, ancak kötüleşebilir.

Ritz yöntemiyle birlikte ilgili Galerkin yöntemi de geliştirildi. 1913'te I. G. Bubnov, bilinmeyenler C'ye göre cebirsel doğrusal denklemlerin (/ = 0, N(c)'den ), (A) formundaki bir fonksiyonel kullanılmadan elde edilebilir. Problemin matematiksel formülasyonu bu durumda uygun sınır koşullarına sahip bir diferansiyel denklem içerir. Çözüm Ritz yönteminde olduğu gibi (c) formunda yapılır. φ,(x) koordinat fonksiyonlarının özel tasarımı sayesinde, çözüm (c) problemin sınır koşullarını tam olarak karşılamaktadır. Bilinmeyen C katsayılarını belirlemek için, (g = 0, P) diferansiyel denklemin tutarsızlığı derlenir ve tutarsızlığın tüm koordinat fonksiyonlarına dik olması gerekir φ 7 Cr) (/ = ben = 0, P). Alıcıların belirlenmesi Bilinmeyen C katsayılarına göre integraller vardır, (G= 0, r) Ritz yönteminin benzer denklemler sistemiyle tamamen örtüşen bir cebirsel doğrusal denklemler sistemi elde ederiz. Bu nedenle, aynı koordinat fonksiyonları sistemlerini kullanarak aynı problemleri çözerken, Ritz ve Bubnov-Galerkin yöntemleri aynı sonuçlara yol açar.

Elde edilen sonuçların aynı olmasına rağmen Bubnov-Galerkin yönteminin Ritz yöntemine göre önemli bir avantajı, diferansiyel denklemin varyasyonel bir analogunun (fonksiyonel) oluşturulmasını gerektirmemesidir. Böyle bir analogun her zaman oluşturulamayacağını unutmayın. Bubnov-Galerkin yöntemiyle bağlantılı olarak klasik varyasyonel yöntemlerin uygulanamadığı problemler çözülebilmektedir.

Varyasyon grubuna ait bir diğer yöntem ise Kantorovich yöntemidir. Onun ayırt edici özellik(c) tipi doğrusal kombinasyonlarda bilinmeyen katsayıların sabit değil, bağımsız fonksiyonlardan birine bağlı fonksiyonlar olmasıdır. problem değişkenleri(örneğin zaman). Burada, Bubnov-Galerkin yönteminde olduğu gibi, diferansiyel denklemin tutarsızlığı derlenir ve tutarsızlığın tüm koordinat fonksiyonlarına dik olması gerekir (ру(дг) (j = ben = 0, P). Bilinmeyen fonksiyonlara göre integralleri tanımladıktan sonra fj(x) birinci dereceden adi diferansiyel denklemler sistemimiz olacak. Bu tür sistemlerin çözümüne yönelik yöntemler iyi geliştirilmiştir (standart bilgisayar programları mevcuttur).

Çözerken yönlerden biri sınır değeri problemleriöyle paylaşım kesin (Fourier, integral dönüşümleri, vb.) ve yaklaşık (değişimsel, ağırlıklı artıklar, sıralamalar vb.) analitik yöntemler. Çok entegre yaklaşım izin verir mümkün olan en iyi şekilde kullanmak olumlu yönler Uygulamalı matematiğin bu en önemli iki aygıtı, ince ve hantal matematiksel hesaplamalar yapmadan, sonsuz bir fonksiyonel seriden oluşan kesin çözümün ana kısmına eşdeğer olan basit formdaki ifadeleri elde etmek mümkün hale gelir. Pratik hesaplamalar için, kural olarak, birkaç terimin bu kısmi toplamı kullanılır. Daha doğru sonuçlar elde etmek için bu tür yöntemleri kullanırken başlangıç ​​bölümü parabolik koordinatlar gerçekleştirilmelidir büyük sayı yaklaşımlar. Ancak büyük olan N Bitişik indeksli koordinat fonksiyonları neredeyse doğrusal bir ilişkiyle ilişkili cebirsel denklemlere yol açar. Bu durumda katsayı matrisi dolduruluyor kare matris, yozlaşmaya yakındır ve kural olarak kötü şartlandırılmış olduğu ortaya çıkar. Ve ne zaman N- 3 mü? °° yaklaşık çözüm, doğruluğu zayıf bir çözüme bile yakınsamayabilir. Cebirsel doğrusal denklem sistemlerinin kötü koşullandırılmış matrislerle çözülmesi, yuvarlama hatalarının hızla birikmesi nedeniyle önemli teknik zorluklar sunar. Bu nedenle, bu tür denklem sistemlerinin ara hesaplamaların yüksek doğruluğu ile çözülmesi gerekir.

Zamanın (parabolik) koordinatının başlangıç ​​bölümünde analitik çözümler elde etmeyi mümkün kılan yaklaşık analitik yöntemler arasında özel bir yer, kavramı kullanan yöntemler tarafından işgal edilmektedir. sıcaklık bozukluğunun önünde. Bu yöntemlere göre, gövdelerin ısıtılması veya soğutulması sürecinin tamamı resmi olarak iki aşamaya ayrılmıştır. Bunlardan ilki, sıcaklık bozukluğunun ön kısmının vücut yüzeyinden merkezine kademeli olarak yayılması ve ikincisi, vücudun tüm hacmi boyunca sıcaklık değişiminin başlangıcına kadar değişmesi ile karakterize edilir. kararlı hal. Termal sürecin zaman içinde iki aşamaya bölünmesi, sabit olmayan termal iletkenlik sorunlarının adım adım çözülmesine ve her aşama için ayrı ayrı, kural olarak, zaten ilk yaklaşımda tatmin edici hesaplama formüllerinin bulunmasına olanak tanır. doğruluk açısından oldukça basit ve mühendislik uygulamalarında kullanışlıdır. Bu yöntemlerin aynı zamanda önemli bir dezavantajı da vardır; bu da istenen sıcaklık fonksiyonunun koordinat bağımlılığının önceden seçilmesi ihtiyacıdır. Genellikle ikinci dereceden veya kübik paraboller kabul edilir. Çözümün bu belirsizliği doğruluk sorununa yol açmaktadır, çünkü sıcaklık alanının şu veya bu profilini önceden varsayarsak, her seferinde farklı nihai sonuçlar elde edeceğiz.

Sıcaklık bozulmasının ön kısmındaki hareketin sonlu hızı fikrini kullanan yöntemler arasında en yaygın olanı integral yöntemidir. ısı dengesi. Onun yardımıyla kısmi bir diferansiyel denklem, belirli başlangıç ​​koşullarıyla sıradan bir diferansiyel denkleme indirgenebilir ve bunun çözümü genellikle kapalı analitik formda elde edilebilir. Örneğin integral yöntemi, termofiziksel özelliklerin sabit olmadığı, ancak karmaşık bir fonksiyonel bağımlılıkla belirlendiği ve termal iletkenliğin yanı sıra konveksiyonun da dikkate alınması gereken problemlerin olduğu problemleri yaklaşık olarak çözmek için kullanılabilir. İntegral yöntemin yukarıda belirtilen dezavantajı da vardır: sıcaklık profilinin önceden seçilmesi, çözümün benzersizliği sorununa yol açar ve doğruluğunun düşük olmasına yol açar.

T. Goodman'ın çalışmasında ısı iletimi problemlerini çözmek için integral yöntemin uygulanmasına ilişkin çok sayıda örnek verilmiştir. Bu çalışmada, büyük olasılıkların bir gösteriminin yanı sıra, sınırlamaları da gösterilmektedir. Dolayısıyla birçok problemin integral yöntemiyle başarıyla çözülmesine rağmen, bütün sınıf bu yöntemin pratik olarak uygulanamadığı görevler. Bunlar, örneğin giriş fonksiyonlarındaki ani değişikliklerle ilgili problemlerdir. Bunun nedeni, ikinci dereceden veya kübik parabol formundaki sıcaklık profilinin, bu tür problemler için gerçek sıcaklık profiline karşılık gelmemesidir. Bu nedenle, incelenen vücuttaki gerçek sıcaklık dağılımı monotonik olmayan bir fonksiyon şeklini alıyorsa, o zaman hiçbir durumda problemin fiziksel anlamı ile tutarlı tatmin edici bir çözüm elde etmek mümkün olamaz.

İntegral yönteminin doğruluğunu arttırmanın açık bir yolu, daha yüksek mertebeden polinom sıcaklık fonksiyonlarını kullanmaktır. Bu durumda sıcaklık bozulmasının önündeki ana sınır koşulları ve düzgünlük koşulları bu tür polinomların katsayılarını belirlemek için yeterli değildir. Bu bağlamda, verilenlerle birlikte, tüm bunları dikkate alarak daha yüksek bir derecenin optimal sıcaklık profilinin katsayılarını belirlememize olanak tanıyan eksik sınır koşullarının araştırılmasına ihtiyaç vardır. fiziksel özellikler incelenmekte olan sorun. Bu tür ek sınır koşulları, ana sınır koşullarından ve orijinal diferansiyel denklemden, bunların sınır noktalarında uzaysal koordinatlarda ve zaman içinde farklılaştırılmasıyla elde edilebilir.

Çeşitli ısı transferi problemlerini incelerken, termofiziksel özelliklerin sıcaklığa bağlı olmadığı ve sınır özellikleri olarak kabul edildiği varsayılmaktadır. doğrusal koşullar. Bununla birlikte, eğer vücut sıcaklığı geniş bir aralıkta değişiyorsa, termofiziksel özelliklerin sıcaklığa bağlı olması nedeniyle termal iletkenlik denklemi doğrusal olmayan hale gelir. Çözümü çok daha karmaşık hale geliyor ve bilinen doğru analitik yöntemlerin etkisiz olduğu ortaya çıkıyor. İntegral ısı dengesi yöntemi, problemin doğrusal olmamasından kaynaklanan bazı zorlukların üstesinden gelinmesini sağlar. Örneğin, doğrusal olmayan sınır koşullarına sahip bir kısmi diferansiyel denklemi, çözümü genellikle kapalı analitik formda elde edilebilen, belirli başlangıç ​​koşullarına sahip sıradan bir diferansiyel denkleme indirger.

Proseslerin birçok önemli özelliğinin (doğrusal olmama, özelliklerin değişkenliği ve sınır koşulları vb.) dikkate alınmadığı durumlarda, şu anda yalnızca basitleştirilmiş matematiksel formülasyondaki problemler için kesin analitik çözümlerin elde edildiği bilinmektedir. Bütün bunlar matematiksel modellerin gerçek olanlardan önemli ölçüde sapmasına yol açar. fiziksel süreçler belirli enerji santrallerinde meydana gelir. Ek olarak, kesin çözümler, sınır noktalarının yakınında ve zaman koordinatının küçük değerleri için yavaş yavaş yakınlaşan karmaşık sonsuz fonksiyonel serilerle ifade edilir. Bu tür çözümler mühendislik uygulamaları için çok az kullanışlıdır ve özellikle sıcaklık probleminin çözülmesinin diğer bazı problemlerin (ısıl esneklik problemleri, ısıl esneklik problemleri) çözümünde bir ara adım olduğu durumlarda. ters problemler, kontrol görevleri vb.). Bu bağlamda, yukarıda sıralanan uygulamalı matematik yöntemleri büyük ilgi görmektedir; bu yöntemler, yaklaşık olmasına rağmen, analitik bir biçimde, birçok durumda mühendislik uygulamaları için yeterli bir doğrulukla çözümler elde edilmesine olanak sağlamaktadır. Bu yöntemler, klasik yöntemlere kıyasla analitik çözümlerin elde edilebileceği problem yelpazesini önemli ölçüde genişletmeyi mümkün kılar.

Matematik tarihinde kabaca iki ana dönemi ayırt edebiliriz: İlköğretim ve modern matematik. Yeni (bazen daha yüksek olarak da adlandırılır) matematik çağını saymanın geleneksel olduğu dönüm noktası, matematiksel analizin ortaya çıktığı yüzyıl olan 17. yüzyıldı. 17. yüzyılın sonunda. I. Newton, G. Leibniz ve öncülleri yeni bir aparat yarattılar diferansiyel hesap ve matematiksel analizin temelini ve hatta belki de tüm modern doğa bilimlerinin matematiksel temelini oluşturan integral hesap.

Matematiksel analiz, karakteristik bir çalışma nesnesi (değişken miktar), benzersiz bir araştırma yöntemi (sonsuz küçükler aracılığıyla veya limitlere geçiş yoluyla analiz), belirli bir temel kavram sistemi (fonksiyon, limit) içeren geniş bir matematik alanıdır. , türev, diferansiyel, integral, seri) ve temeli diferansiyel ve integral hesabı olan, sürekli gelişen ve gelişen bir aparat.

17. yüzyılda ne tür bir matematiksel devrimin gerçekleştiğine, geçişi neyin karakterize ettiğine dair bir fikir vermeye çalışalım. ilköğretim matematik matematiksel analizde şu anda araştırmanın konusu olan ve bunun tüm modern teorik ve uygulamalı bilgi sistemindeki temel rolünü neyin açıkladığı ile ilgili.

Önünüzde güzelce yapılmış bir şey olduğunu hayal edin renkli fotoğrafçılık kıyıya doğru koşan fırtınalı bir okyanus dalgası: güçlü bir kambur sırt, dik ama hafifçe çökmüş bir göğüs, zaten öne doğru eğilmiş ve rüzgarın eziyet ettiği gri bir yele ile düşmeye hazır bir kafa. Anı durdurdunuz, dalgayı yakalamayı başardınız ve artık onu acele etmeden, her detayını dikkatle inceleyebilirsiniz. Bir dalga ölçülebilir ve temel matematiğin araçlarını kullanarak bu dalga ve dolayısıyla onun tüm okyanus kardeşleri hakkında birçok önemli sonuca varabilirsiniz. Ama dalgayı durdurarak onu hareketten ve hayattan mahrum ettiniz. Kökeni, gelişimi, koşusu, kıyıya çarpma kuvveti - tüm bunların görüş alanınızın dışında olduğu ortaya çıktı, çünkü henüz statik değil, tanımlamaya ve çalışmaya uygun bir diliniz veya matematik aygıtınız yok, ama gelişen, dinamik süreçler, değişkenler ve onların ilişkileri.

“Matematiksel analiz doğanın kendisinden daha az kapsamlı değildir: tüm somut ilişkileri belirler, zamanları, uzayları, kuvvetleri, sıcaklıkları ölçer.” J. Fourier

Hareket, değişkenler ve bunların ilişkileri her yerde bizi çevreliyor. Çeşitli hareket türleri ve bunların kalıpları, belirli bilimlerin (fizik, jeoloji, biyoloji, sosyoloji vb.) ana çalışma nesnesini oluşturur. Bu nedenle, değişken nicelikleri tanımlamak ve incelemek için kesin bir dil ve buna karşılık gelen matematiksel yöntemlerin, bilimin tüm alanlarında gerekli olduğu ortaya çıktı. Niceliksel ilişkileri tanımlarken yaklaşık olarak sayılar ve aritmetik kadar bilgi gereklidir. Bu yüzden, matematiksel analiz değişkenleri ve ilişkilerini açıklamaya yönelik dilin ve matematiksel yöntemlerin temelini oluşturur. Günümüzde matematiksel analiz olmadan yalnızca uzay yörüngelerini hesaplamak değil, aynı zamanda iş yapmak da imkansızdır. nükleer reaktörler, okyanus dalgasının akışı ve kasırganın gelişim kalıpları, aynı zamanda üretimi, kaynak dağıtımını ve organizasyonu ekonomik olarak yönetmek için teknolojik süreçler, kimyasal reaksiyonların seyrini veya doğadaki birbirine bağlı çeşitli hayvan ve bitki türlerinin sayısındaki değişiklikleri tahmin edin, çünkü bunların hepsi dinamik süreçlerdir.

İlköğretim matematik çoğunlukla matematikti sabit değerler, ağırlıklı olarak geometrik şekillerin elemanları arasındaki ilişkileri, sayıların aritmetik özelliklerini ve cebirsel denklemleri inceledi. Gerçekliğe karşı tutumu, bir dereceye kadar, değişen, gelişen canlı dünyayı kendi hareketi içinde yakalayan, ancak ayrı bir çerçevede görünmeyen bir filmin her sabit karesinin dikkatli, hatta kapsamlı ve eksiksiz bir çalışmasıyla karşılaştırılabilir. bunu ancak kasete bir bütün olarak bakıldığında gözlemlenebilir. Ancak nasıl ki fotoğrafsız sinema düşünülemezse, aynı şekilde sinema da fotoğrafsız düşünülemez. modern matematik Geleneksel olarak temel dediğimiz kısmı olmadan, birçok seçkin bilim adamının, bazen onlarca yüzyılla ayrılmış fikirleri ve başarıları olmadan imkansızdır.

Matematik birdir ve inşaat halindeki bir evin bir sonraki katının bir önceki katıyla bağlantılı olması ve matematiğin açtığı ufukların genişliği gibi, onun "üst" kısmı da "ilköğretim" kısmıyla bağlantılıdır. bize etrafımızdaki dünya, bu binanın hangi katına çıkmayı başardığımıza bağlı. 17. yüzyılda doğdu. matematiksel analiz bizim için olasılıkların kapısını açtı bilimsel açıklama Kelimenin geniş anlamıyla değişkenlerin ve hareketin niceliksel ve niteliksel incelenmesi.

Matematiksel analizin ortaya çıkmasının önkoşulları nelerdir?

17. yüzyılın sonunda. Aşağıdaki durum ortaya çıktı. İlk olarak, matematiğin kendi çerçevesinde, uzun yıllardır Bazı önemli benzer problem sınıfları birikmiş (örneğin, standart olmayan şekillerin alanlarını ve hacimlerini ölçme problemleri, eğrilere teğet çizme problemleri) ve bunları çeşitli özel durumlarda çözme yöntemleri ortaya çıkmıştır. İkinci olarak, bu problemlerin keyfi (tekdüze olması gerekmeyen) mekanik hareketi tanımlama problemleriyle ve özellikle onun anlık özelliklerinin (herhangi bir zamanda hız, ivme) hesaplanması ve aynı zamanda mekanik hareketin mekanik hareketini bulma problemleriyle yakından ilişkili olduğu ortaya çıktı. Belirli bir değişken hızda meydana gelen hareket için kat edilen mesafe. Fizik, astronomi ve teknolojinin gelişmesi için bu sorunların çözümü gerekliydi.

Son olarak üçüncü olarak 17. yüzyılın ortaları V. R. Descartes ve P. Fermat'ın çalışmaları temelleri attı analitik yöntem sayıların ve sayısal bağımlılıkların genel (analitik) dilinde veya şimdi söylediğimiz gibi sayısal işlevlerde heterojen kökenli geometrik ve fiziksel problemleri formüle etmeyi mümkün kılan koordinatlar (sözde analitik geometri).

Modern Sovyet ve yabancı matematikçiler eserlerinde N. N. Luzin'in fikirlerini geliştiriyorlar. Bu koşulların bir araya gelmesi şu gerçeği ortaya çıkardı: XVII sonu

V. iki bilim adamı - I. Newton ve G. Leibniz - birbirlerinden bağımsız olarak, eski bilim adamı Arşimed ve Newton ve Leibniz'in çağdaşları da dahil olmak üzere seleflerinin bireysel sonuçlarını özetleyerek ve genelleştirerek bu sorunları çözmek için matematiksel bir aparat oluşturmayı başardılar - B. Cavalieri, B. Pascal, D. Gregory, I. Barrow. Bu aparat, çeşitli geliştirme süreçlerini inceleyen yeni bir matematik dalı olan matematiksel analizin temelini oluşturdu; matematikte fonksiyonel bağımlılıklar veya başka bir deyişle fonksiyonlar olarak adlandırılan değişkenler arasındaki ilişkiler. Bu arada, "işlev" teriminin kendisi de gerekliydi ve doğal olarak tam olarak 17. yüzyılda ortaya çıktı ve şimdiye kadar yalnızca genel matematiksel değil, aynı zamanda genel bilimsel önem de kazandı.

Temel kavramlar ve matematiksel analiz aparatları hakkında ilk bilgiler “Diferansiyel hesap” ve “İntegral hesap” makalelerinde verilmektedir. Sonuç olarak, tüm matematikte ortak olan ve analizin karakteristiği olan tek bir matematiksel soyutlama ilkesi üzerinde durmak ve bu bağlamda matematiksel analizin değişken nicelikleri hangi biçimde incelediğini ve yöntemlerinin bu kadar evrensel olmasının sırrının ne olduğunu açıklamak istiyorum. her türlü betonun incelenmesi için ve onların ilişkileri.

Birkaç açıklayıcı örneğe ve benzetmeye bakalım.

Bazen, örneğin elmalar, sandalyeler veya filler için değil de belirli nesnelerden soyutlanmış soyut bir biçimde yazılmış bir matematiksel ilişkinin olağanüstü bir bilimsel başarı olduğunun farkına varmayız. Bu, deneyimlerin gösterdiği gibi çeşitli belirli nesnelere uygulanabilen bir matematik yasasıdır. Bu, matematikte soyut, soyut sayıların genel özelliklerini inceleyerek gerçek dünyanın niceliksel ilişkilerini incelediğimiz anlamına gelir.

Örneğin, bir okul matematik dersinden, bu nedenle, özel durumşöyle diyebilirsiniz: “Eğer bana 12 ton toprağı taşımak için iki adet altı tonluk damperli kamyon vermezlerse, o zaman üç adet dört tonluk damperli kamyon isteyebilirim ve iş tamamlanır, ancak bana verirlerse sadece dört tonluk bir damperli kamyon, o zaman üç yolculuk yapması gerekecek.” Böylece, artık bize tanıdık gelen soyut sayılar ve sayısal modeller, onların spesifik tezahürleri ve uygulamalarıyla ilişkilendirilir.

Belirli değişkenlerdeki ve doğanın gelişen süreçlerindeki değişim yasaları, bunların matematiksel analizde ortaya çıktığı ve incelendiği soyut, soyut biçim-işlev ile yaklaşık olarak aynı şekilde ilişkilidir.

Örneğin, soyut bir oran, eğer 20 20 kopek ise bir biletin fiyatı ise, bir sinemanın gişesinin satılan bilet sayısına bağımlılığını yansıtabilir. Ancak otoyolda bisiklet sürüyorsak, saatte 20 km gidiyorsak, o zaman aynı oran bisiklet yolculuğumuzun süresi (saat) ile bu süre içinde kat edilen mesafe (kilometre) arasındaki ilişki olarak da yorumlanabilir. her zaman, örneğin birkaç kerelik bir değişikliğin, değerinde orantılı (yani aynı sayıda) bir değişime yol açtığını iddia edin ve eğer , o zaman bunun tersi sonuç da doğrudur. Bu, özellikle bir sinema salonunun gişesini iki katına çıkarmak için iki kat daha fazla seyirci çekmeniz gerektiği ve bisikletle aynı hızda iki kat daha fazla yol kat etmek için iki kat daha uzun yolculuk yapmanız gerektiği anlamına gelir. .

Matematik, hem en basit bağımlılığı hem de diğer çok daha karmaşık bağımlılıkları, belirli bir yorumdan soyutlanmış genel, soyut bir biçimde inceler. Böyle bir çalışmada tanımlanan bir fonksiyonun özellikleri veya bu özellikleri incelemeye yönelik yöntemler, hangi alanda olursa olsun, soyut formda incelenen fonksiyonun meydana geldiği her spesifik olaya uygulanabilir genel matematiksel tekniklerin, sonuçların, yasaların ve sonuçların doğasında olacaktır. Bu fenomenin ait olduğu bilgi.

Böylece matematiğin bir dalı olarak matematiksel analiz 17. yüzyılın sonlarında şekillenmeye başladı. Matematiksel analizde çalışmanın konusu (modern konumlardan görüldüğü gibi) fonksiyonlardır veya başka bir deyişle değişken büyüklükler arasındaki bağımlılıklardır.

Matematiksel analizin ortaya çıkışıyla birlikte matematik, gerçek dünyada gelişen süreçlerin incelenmesi ve yansıtılması için erişilebilir hale geldi; matematik değişkenleri ve hareketi içeriyordu.

Evrensel yaratma konusunda muazzam potansiyele sahip bir proje yöntemi eğitim faaliyetleri, okul eğitim sisteminde giderek yaygınlaşmaktadır ancak proje yöntemini sınıf sistemine “uydurmak” oldukça zordur. Mini çalışmaları da dahil ediyorum düzenli ders. Bu çalışma şekli formasyon için büyük fırsatlar yaratıyor bilişsel aktiviteöğrencilerin bireysel özelliklerinin dikkate alınmasını sağlayarak büyük projelerde becerilerin geliştirilmesine zemin hazırlar.

İndirmek:

Önizleme:

"Okuldaki bir öğrenci kendi başına bir şey yaratmayı öğrenmediyse, o zaman hayatta yalnızca taklit edecek ve kopyalayacaktır, çünkü kopyalamayı öğrenen çok az kişi bu bilgiyi bağımsız olarak uygulayabilecektir." L.N.

Karakteristik özellik çağdaş eğitimÖğrencilerin öğrenmesi gereken bilgi miktarında keskin bir artış var. Öğrencinin gelişim derecesi, bağımsız olarak yeni bilgi edinme ve bunu eğitimsel ve pratik faaliyetlerde kullanma yeteneği ile ölçülür ve değerlendirilir. Modern pedagojik süreç kullanım gerektirir yenilikçi teknolojileröğretimde.

Yeni nesil Federal Devlet Eğitim Standardı, aşağıdaki alanlarda kullanılmasını gerektirir: eğitim süreci etkinlik türü teknolojiler, tasarım ve araştırma yöntemleri, ana eğitim programının uygulanmasının koşullarından biri olarak tanımlanmaktadır.

Matematik derslerinde bu tür etkinliklere özel bir rol verilmektedir ve bu tesadüf değildir. Matematik dünyayı anlamanın anahtarı, bilimsel ve teknolojik ilerlemenin temeli ve kişisel gelişimin önemli bir bileşenidir. Bir kişide kendisine verilen görevin anlamını anlama yeteneğini, mantıksal akıl yürütme yeteneğini, algoritmik düşünme becerilerini kazanma yeteneğini geliştirmek için tasarlanmıştır.

Proje yöntemini sınıf sistemine sığdırmak oldukça zordur. Düzenli derslere araştırma unsurlarını dahil ederek geleneksel ve öğrenci merkezli sistemleri mantıklı bir şekilde birleştirmeye çalışıyorum. Bir dizi örnek vereceğim.

Bu nedenle “Çember” konusunu incelerken öğrencilerle aşağıdaki araştırmayı yapıyoruz.

Matematiksel çalışma "Çember".

1. Nasıl bir daire oluşturulacağını, bunun için hangi araçlara ihtiyaç duyulduğunu düşünün. Daire sembolü.
2. Bir daireyi tanımlamak için bu geometrik şeklin hangi özelliklere sahip olduğuna bakalım. Çemberin merkezini çembere ait bir noktaya bağlayın. Bu parçanın uzunluğunu ölçelim. Deneyi üç kez tekrarlayalım. Bir sonuç çıkaralım.
3. Çemberin merkezini üzerindeki herhangi bir noktaya bağlayan doğru parçasına çemberin yarıçapı denir. Bu yarıçapın tanımıdır. Yarıçap tanımı. Bu tanımı kullanarak yarıçapı 2cm5mm olan bir daire çizin.
4. İsteğe bağlı yarıçaplı bir daire oluşturun. Bir yarıçap oluşturun ve onu ölçün. Ölçümlerinizi kaydedin. Üç farklı yarıçap daha oluşturun. Bir daireye kaç yarıçap çizilebilir?
5. Bir dairenin noktalarının özelliğini bilerek, onun tanımını vermeye çalışalım.
6. İsteğe bağlı yarıçaplı bir daire oluşturun. Bu parçanın dairenin merkezinden geçmesi için daire üzerindeki iki noktayı birleştirin. Bu segmente çap denir. Çapı tanımlayalım. Çap tanımı. Üç çap daha oluşturun. Bir dairenin kaç çapı vardır?
7. İsteğe bağlı yarıçaplı bir daire oluşturun. Çapı ve yarıçapı ölçün. Onları karşılaştırın. Deneyi farklı dairelerle üç kez daha tekrarlayın. Bir sonuç çıkarın.
8. Çember üzerindeki herhangi iki noktayı birleştirin. Ortaya çıkan parçaya akor denir. Bir akor tanımlayalım. Üç akor daha oluşturun. Bir dairenin kaç akoru vardır?
9. Yarıçap bir akor mu? Kanıtla.
10. Çap bir akor mu? Kanıtla.

Eserler araştırma niteliğinde doğası gereği hazırlık niteliğinde olabilir. Çemberi inceledikten sonra seriyi düşünebiliriz. ilginç özelliklerÖğrencilerin bir hipotez düzeyinde formüle edebileceği ve ardından bu hipotezi kanıtlayabileceği. Örneğin aşağıdaki çalışma:

"Matematiksel Araştırma"

1. Yarıçapı 3 cm olan bir daire oluşturun ve çapını çizin. Çapın uçlarını daire üzerinde isteğe bağlı bir noktaya bağlayın ve kirişlerin oluşturduğu açıyı ölçün. Aynı yapıları iki daire daha yapın. Ne fark ettin?
2. Deneyi rastgele yarıçaplı bir daire için tekrarlayın ve bir hipotez formüle edin. Yapılan yapılar ve ölçümler kullanılarak kanıtlanmış sayılabilir mi?

“Bir düzlemdeki çizgilerin göreceli konumu” konusunu incelerken gruplar halinde matematiksel araştırmalar yapılır.

Gruplar için görevler:

1. grup.

1. Bir koordinat sisteminde fonksiyonun grafiklerini oluşturun

Y = 2x, y = 2x+7, y = 2x+3, y = 2x-4, y = 2x-6.

2.Tabloyu doldurarak soruları cevaplayın:

Makalenin içeriği

MATEMATİKSEL ANALİZ,çeşitli değişim süreçlerinin niceliksel incelenmesi için yöntemler sağlayan bir matematik dalı; Değişim hızının incelenmesi (diferansiyel hesap) ve eğrilerin uzunluklarının, eğri konturlar ve yüzeylerle sınırlanan şekillerin alanlarının ve hacimlerinin belirlenmesi (integral hesap) ile ilgilenir. Matematiksel analiz problemlerinin çözümlerinin limit kavramıyla ilişkili olması tipiktir.

Matematiksel analizin başlangıcı 1665 yılında I. Newton ve (1675 civarında) bağımsız olarak G. Leibniz tarafından atılmış olsa da, önemli hazırlık çalışmaları I. Kepler (1571–1630), F. Cavalieri (1598–1647) tarafından yürütülmüştür. P. Fermat (1601–1665), J. Wallis (1616–1703) ve I. Barrow (1630–1677).

Sunumu daha canlı hale getirmek için grafik diline başvuracağız. Bu nedenle okuyucunun bu makaleyi okumaya başlamadan önce ANALİTİK GEOMETRİ makalesini incelemesi faydalı olabilir.

DİFERANSİYEL HESABI

Teğetler.

Şek. Şekil 1 eğrinin bir parçasını göstermektedir sen = 2X – X 2, arasında kapalı X= –1 ve X= 3. Bu eğrinin yeterince küçük bölümleri düz görünüyor. Başka bir deyişle, eğer R bu eğrinin rastgele bir noktasıysa, o zaman bu noktadan geçen belirli bir düz çizgi vardır ve bu, noktanın küçük bir komşuluğundaki eğrinin tahminidir. R ve mahalle ne kadar küçük olursa yaklaşım o kadar iyi olur. Böyle bir çizgiye o noktada eğriye teğet denir. R. Diferansiyel hesabın ana görevi, bir eğri üzerinde teğetin bulunduğu herhangi bir noktada teğetin yönünü bulmayı sağlayan genel bir yöntem oluşturmaktır. Keskin bir kırılmaya sahip bir eğri hayal etmek zor değil (Şekil 2). Eğer R böyle bir kırılmanın tepesi ise, o zaman yaklaşık bir düz çizgi oluşturabiliriz P.T. 1 – noktanın sağında R ve yaklaşan başka bir düz çizgi RT 2 – noktanın solunda R. Ancak bir noktadan geçen tek bir düz çizgi yoktur R, noktanın yakınında eğriye eşit derecede iyi yaklaşan P hem sağda hem de solda olduğundan bu noktadaki teğet P mevcut değil.

Şek. 1 teğet İTİBAREN orijinden çizilmiş HAKKINDA= (0,0). Bu çizginin açısal katsayısı 2'dir, yani. apsis 1 birim değiştiğinde ordinat 2 birim artar. X Ve sen– rastgele bir noktanın koordinatları İTİBAREN sonra uzaklaşarak HAKKINDA bir mesafeye X birimler sağa doğru uzaklaşıyoruz HAKKINDA 2'ye kadar sen birimler yukarı. Buradan, sen/X= 2 veya sen = 2X. Bu teğet denklemdir İTİBAREN eğriye sen = 2X – X 2 noktada HAKKINDA.

Şimdi noktadan geçen doğrular kümesinden bunun nedenini açıklamak gerekiyor. HAKKINDA, düz çizgi seçilir İTİBAREN. Eğimi 2 olan bir doğrunun diğer düz çizgilerden farkı nedir? Basit bir cevap var ve bunu bir daireye teğet benzetmesini kullanarak vermenin cazibesine direnmek zordur: teğet İTİBAREN Eğriyle yalnızca bir ortak noktaya sahipken, bu noktadan geçen herhangi bir dikey olmayan çizgi HAKKINDA, eğriyi iki kez kesiyor. Bu aşağıdaki şekilde doğrulanabilir.

İfadeden bu yana sen = 2X – X 2 çıkarma işlemiyle elde edilebilir X 2 tanesi sen = 2X(çizgi denklemleri İTİBAREN), ardından değerler sen grafik için daha az bilgi var sen noktası dışındaki tüm noktalarda düz bir çizgi için X= 0. Dolayısıyla grafik nokta dışında her yerdedir. HAKKINDA, aşağıda yer alan İTİBAREN ve bu doğru ile grafiğin tek bir ortak noktası var. Üstelik eğer sen = mx- bir noktadan geçen başka bir doğrunun denklemi HAKKINDA o zaman mutlaka iki kesişme noktası olacaktır. Gerçekten mi, mx = 2X – X 2 sadece ne zaman değil X= 0, fakat aynı zamanda X = 2 – M. Ve sadece ne zaman M= 2 her iki kesişim noktası çakışıyor. Şek. 3 durumu gösterir M 2'den küçüktür, yani sağda HAKKINDA ikinci bir kesişme noktası belirir.

Ne İTİBAREN– Bir noktadan geçen dikey olmayan tek düz çizgi HAKKINDA ve grafikle tek bir ortak noktaya sahip olmak, onun en önemli özelliği değil. Gerçekten de diğer grafiklere dönersek, teğetin özelliğinin genel durum idam edilmez. Örneğin, Şekil 2'den. Şekil 4'te eğrinin grafiğinin (1,1) noktasına yakın olduğu açıktır. sen = X 3'e düz bir çizgiyle iyi bir şekilde yaklaşılmıştır RT ancak birden fazla ortak noktası var. Ancak dikkate almak isteriz RT bu grafiğe teğet bir noktada R. Bu nedenle, teğeti vurgulamanın ilk örnekte bize çok iyi hizmet eden yöntemden başka bir yolunu bulmak gerekir.

Bu noktadan sonra şunu varsayalım HAKKINDA ve keyfi bir nokta Q = (H,k) eğri grafiğinde sen = 2X – XŞekil 2'de (Şekil 5) düz bir çizgi (sekant olarak adlandırılır) çizilir. Değerleri eğrinin denkleminde değiştirmek X = H Ve sen = k, bunu anladık k = 2H – H 2, dolayısıyla sekantın açısal katsayısı şuna eşittir:

Çok küçük H Anlam M 2'ye yakın. Üstelik, H 0'a yeterince yakın yapabiliriz M keyfi olarak 2'ye yakın. Bunu söyleyebiliriz M"sınıra yönelme eğilimi" 2'ye eşit olduğunda H sıfıra ya da sınır ne olursa olsun eğilimlidir M 2'ye eşittir H sıfıra doğru gidiyor. Sembolik olarak şöyle yazılır:

Daha sonra grafiğe bu noktada teğet HAKKINDA bir noktadan geçen düz çizgi olarak tanımlanır HAKKINDA, bu sınıra eşit bir eğimle. Teğetin bu tanımı genel durumda geçerlidir.

Bu yaklaşımın avantajlarını bir örnekle daha gösterelim: eğrinin grafiğine teğetin eğimini bulalım. sen = 2X – X herhangi bir zamanda 2 P = (X,sen), en basit durumla sınırlı değildir; P = (0,0).

İzin vermek Q = (X + H, sen + k) – grafikte belli bir mesafede bulunan ikinci nokta H sağında R(Şekil 6). Eğimi bulmamız lazım k/H sekant Güç kalitesi. Nokta Q uzakta

eksenin üstünde X.

Parantezleri açtığımızda şunu buluyoruz:

Bu denklemden çıkarma sen = 2X – X 2, noktadan dikey mesafeyi bulun R asıl noktaya Q:

Bu nedenle eğim M sekant Güç kalitesi eşittir

Şimdi bu H sıfıra eğilimlidir, M 2 – 2 eğilimindedir X; Son değeri tanjantın açısal katsayısı olarak alacağız P.T.. (Aynı sonuç şu durumlarda da ortaya çıkacaktır: H kabul eder negatif değerler nokta seçimine karşılık gelir Q solunda P.) Şunu unutmayın: X= 0 elde edilen sonuç bir öncekiyle örtüşüyor.

İfade 2 – 2 X 2'nin türevi denir X – X 2. Eski günlerde türev aynı zamanda "diferansiyel oran" ve " diferansiyel katsayı" İfade 2'ye göre ise X – X 2 belirlemek F(X), yani.

o zaman türev gösterilebilir

Fonksiyonun grafiğine teğetin eğimini bulmak için sen = F(X) bir noktada, yerine geçmek gerekir Fў ( X) bu noktaya karşılık gelen değer X. Böylece eğim Fў (0) = 2'de X = 0, Fў (0) = 0 X= 1 ve Fў (2) = –2'de X = 2.

Türev aynı zamanda gösterilir enў , ölmek/dx, D x y Ve Du.

Gerçek şu ki, eğri sen = 2X – X Belirli bir noktanın yakınındaki 2, bu noktada pratik olarak teğetinden ayırt edilemez, teğetin açısal katsayısından teğet noktasındaki "eğrinin açısal katsayısı" olarak bahsetmemize olanak sağlar. Dolayısıyla ele aldığımız eğrinin eğiminin (0,0) noktasında 2 eğime sahip olduğunu söyleyebiliriz. X= 0 değişim oranı sen nispeten X 2'ye eşittir. (2,0) noktasında teğetin (ve eğrinin) eğimi –2'dir. (Eksi işareti, arttıkça X değişken sen azalır.) (1,1) noktasında teğet yataydır. Bunun bir eğri olduğunu söylüyoruz sen = 2X – X 2 bu noktada durağan bir değere sahiptir.

Yüksekler ve alçaklar.

Az önce eğrinin olduğunu göstermiştik. F(X) = 2X – X 2, (1,1) noktasında durağandır. Çünkü Fў ( X) = 2 – 2X = 2(1 – X), ne zaman olacağı açıktır X 1'den az, Fў ( X) pozitiftir ve bu nedenle sen artar; en X, büyük 1, Fў ( X) negatiftir ve bu nedenle sen azalır. Böylece, Şekil 2'de gösterilen (1,1) noktasının yakınında. 6 harf M, Anlam en bir noktaya kadar büyüyor M, noktada sabit M noktadan sonra azalır M. Bu noktaya “maksimum” denir çünkü değer en bu noktada yeterince küçük bir mahalledeki değerlerinden herhangi birini aşıyor. Benzer şekilde “minimum”, tüm değerlerin yakınındaki nokta olarak tanımlanır. sen değeri aşmak en tam da bu noktada. Ayrıca türevi olmasına rağmen olabilir F(X) belli bir noktada kaybolur ve bu noktanın yakınındaki işareti değişmez. Ne maksimum ne de minimum olmayan böyle bir noktaya bükülme noktası denir.

Örnek olarak bulalım sabit noktaçarpık

Bu fonksiyonun türevi eşittir

ve sıfıra gidiyor X = 0, X= 1 ve X= –1; onlar. (0,0), (1, –2/15) ve (–1, 2/15) noktalarında. Eğer X-1'den biraz daha az, o zaman Fў ( X) negatiftir; Eğer X-1'den biraz daha fazla, o zaman Fў ( X) pozitiftir. Bu nedenle (–1, 2/15) noktası maksimumdur. Benzer şekilde (1, –2/15) noktasının da minimum olduğu gösterilebilir. Fakat türev Fў ( X) hem (0,0) noktasından önce hem de sonra negatiftir. Bu nedenle (0,0) dönüm noktasıdır.

Eğrinin şeklinin yanı sıra eğrinin eksenle kesiştiği gerçeğinin incelenmesi X en F(X) = 0 (yani ne zaman X= 0 veya ) grafiğini yaklaşık olarak Şekil 2'de gösterildiği gibi sunmamıza izin verir. 7.

Genel olarak hariç tutarsak olağandışı vakalar(düz bölümler veya sonsuz sayıda büküm içeren eğriler), dört seçenek vardır göreceli konum teğet noktasının yakınındaki eğri ve teğet R. (Santimetre. pirinç. 8, burada teğet pozitif bir eğime sahiptir.)

1) Noktanın her iki tarafında R eğri teğetin üzerinde yer alır (Şekil 8, A). Bu durumda noktadaki eğrinin R dışbükey aşağı veya içbükey.

2) Noktanın her iki tarafında R eğri teğetin altında bulunur (Şekil 8, B). Bu durumda eğrinin yukarıya doğru dışbükey veya basitçe dışbükey olduğu söylenir.

3) ve 4) Eğri, noktanın bir tarafındaki teğetin üzerinde yer alır R ve aşağıda - diğer tarafta. Bu durumda R– bükülme noktası.

Değerleri karşılaştırma Fў ( X) her iki tarafta R noktasındaki değeriyle R belirli bir problemde bu dört durumdan hangisiyle uğraşmamız gerektiğini belirleyebiliriz.

Uygulamalar.

Yukarıdakilerin hepsinin önemli uygulamaları vardır. çeşitli alanlar. Örneğin bir cisim dikey olarak yukarı doğru fırlatılırsa başlangıç ​​hızı Saniyede 200 feet, ardından yükseklik S, bunların nerede bulunacağı T saniye ile karşılaştırıldığında başlangıç ​​noktası olacak

İncelediğimiz örneklerde olduğu gibi ilerleyerek şunu buluyoruz:

bu miktar c'de sıfıra gider. Türev Fў ( X) c değerine kadar pozitif, bu saatten sonra negatiftir. Buradan, Sönce artar, sonra durağanlaşır ve sonra azalır. İşte böyle genel açıklama yukarıya doğru fırlatılan bir vücudun hareketleri. Ondan cesedin ne zaman ulaştığını biliyoruz. en yüksek nokta. Daha sonra, ikame T= 25/4V F(T), maksimum kaldırma yüksekliği olan 625 fit elde ederiz. Bu problemde Fў ( T) fiziksel bir anlamı vardır. Bu türev vücudun bir anda hareket ettiği hızı gösterir. T.

Şimdi başka türden bir uygulamayı ele alalım (Şekil 9). 75 cm2 alana sahip bir karton levhadan kare tabanlı bir kutu yapmanız gerekir. Bu kutunun maksimum hacme sahip olabilmesi için boyutları ne olmalıdır? Eğer X– kutunun tabanının tarafı ve H yüksekliği ise kutunun hacmi V = X 2 H ve yüzey alanı 75 = X 2 + 4xh. Denklemi dönüştürdüğümüzde şunu elde ederiz:

Türevi V eşit olduğu ortaya çıkıyor

ve sıfıra gidiyor X= 5. Sonra

Ve V= 125/2. Bir fonksiyonun grafiği V = (75X – X 3)/4 Şekil 2'de gösterilmektedir. 10 (negatif değerler X olmadığı için atlandı fiziksel anlam bu problemde).

Türevler.

Diferansiyel hesabın önemli bir görevi, türevleri hızlı ve kolay bir şekilde bulmanızı sağlayan yöntemlerin oluşturulmasıdır. Örneğin bunu hesaplamak kolaydır.

(Bir sabitin türevi elbette sıfırdır.) Genel bir kural türetmek zor değil:

Nerede N– herhangi bir tam sayı veya kesir. Örneğin,

(Bu örnek, ne kadar yararlı olduğunu gösterir. kesirli göstergeler derece.)

İşte en önemli formüllerden bazıları:

Ayrıca aşağıdaki kurallar da vardır: 1) eğer iki fonksiyondan her biri G(X) Ve F(X)'nin türevleri varsa, bunların toplamlarının türevi bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir ve farkın türevi, türevlerin farkına eşittir, yani.

2) iki fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:

3) iki fonksiyonun oranının türevi şu şekildedir:

4) bir fonksiyonun bir sabitle çarpımı türevi, sabitin bu fonksiyonun türeviyle çarpımına eşittir, yani.

Çoğu zaman bir fonksiyonun değerlerinin adım adım hesaplanması gerekir. Örneğin günah hesaplamak için X 2, önce bulmamız gerekiyor sen = X 2 ve sayının sinüsünü hesaplayın sen. Bu tür karmaşık fonksiyonların türevini “zincir kuralı” olarak adlandırılan yöntemi kullanarak buluyoruz:

Örneğimizde F(sen) = günah sen, Fў ( sen) = çünkü sen, buradan,

Bu ve benzeri kurallar, birçok fonksiyonun türevlerini hemen yazmanıza olanak tanır.

Doğrusal yaklaşımlar.

Türevi bilerek, birçok durumda bir fonksiyonun grafiğini bu noktada teğetinin belirli bir noktasına yakın bir yerde değiştirebileceğimiz gerçeği, büyük önemçünkü düz çizgilerle çalışmak daha kolaydır.

Bu fikir, fonksiyonların yaklaşık değerlerinin hesaplanmasında doğrudan uygulama bulur. Örneğin değeri hesaplamak oldukça zordur. X= 1,033. Ancak 1,033 sayısının 1'e yakın olması gerçeğini kullanabilirsiniz. yakından X= 1 ise ciddi bir hata yapmadan grafiği teğet bir eğri ile değiştirebiliriz. Böyle bir teğetin eğimi değere eşit türev ( X 1/3)ў = (1/3) X–2/3, x = 1'de, yani. 1/3. (1,1) noktası eğri üzerinde yer aldığından ve bu noktada eğriye teğetin açısal katsayısı 1/3'e eşit olduğundan, teğet denklemi şu şekildedir:

Bu düz çizgide X = 1,033

Alınan değer sen gerçek değere çok yakın olmalı sen; ve gerçekten de gerçek olandan yalnızca 0,00012 daha fazladır. Matematiksel analizde bu tür doğrusal yaklaşımların doğruluğunun arttırılmasını mümkün kılan yöntemler geliştirilmiştir. Bu yöntemler yaklaşık hesaplamalarımızın güvenilirliğini sağlar.

Az önce anlatılan prosedür yararlı bir gösterim önermektedir. İzin vermek P– fonksiyon grafiğine karşılık gelen nokta F değişken X ve fonksiyonun F(X) diferansiyellenebilir. Eğrinin grafiğini noktaya yakın bir yere koyalım R bu noktada çizilene teğettir. Eğer X değere göre değişiklik H, o zaman teğetin ordinatı miktara göre değişecektir H H F ў ( X). Eğer Hçok küçükse, ikinci değer ordinattaki gerçek değişime iyi bir yaklaşım görevi görür sen grafikler. Bunun yerine H sembolü yazacağız dx(bu bir ürün değil!), ancak koordinatta bir değişiklik sen hadi belirtelim ölmek, sonra elde ederiz ölmek = F ў ( X)dx, veya ölmek/dx = F ў ( X) (santimetre. pirinç. 11). Bu nedenle, bunun yerine Dy veya F ў ( X) sembolü genellikle bir türevi belirtmek için kullanılır ölmek/dx. Bu gösterimin uygunluğu esas olarak zincir kuralının açık görünümüne bağlıdır (farklılaştırma karmaşık fonksiyon); yeni gösterimde bu formül şöyle görünür:

nerede ima ediliyor en bağlıdır sen, A sen sırayla bağlıdır X.

Büyüklük ölmek diferansiyel denir en; gerçekte buna bağlıdır iki değişkenler, yani: itibaren X ve artışlar dx. Artış ne zaman dxçok küçük boyut ölmek değerdeki karşılık gelen değişime yakındır sen. Ancak artışın olduğunu varsayalım dx az, gerek yok.

Bir fonksiyonun türevi sen = F(X) belirledik F ў ( X) veya ölmek/dx. Türevin türevini almak çoğu zaman mümkündür. Sonucun ikinci türevi denir F (X) ve gösterilir F ўў ( X) veya D 2 sen/dx 2. Örneğin, eğer F(X) = X 3 – 3X 2, o zaman F ў ( X) = 3X 2 – 6X Ve F ўў ( X) = 6X– 6. Benzer gösterim yüksek dereceli türevler için de kullanılır. Ancak kaçınmak için büyük miktar vuruş (türevin sırasına eşit), dördüncü türev (örneğin) şu şekilde yazılabilir: F (4) (X) ve türevi N-inci sıra şu şekilde F (N) (X).

Bir noktadaki eğrinin, ikinci türev pozitifse aşağı doğru dışbükey, ikinci türev negatifse yukarıya doğru dışbükey olduğu gösterilebilir.

Bir fonksiyonun ikinci türevi varsa değerindeki değişiklik sen, artışa karşılık gelen dx değişken X, aşağıdaki formül kullanılarak yaklaşık olarak hesaplanabilir

Bu yaklaşım genellikle diferansiyel tarafından verilenden daha iyidir. Fў ( X)dx. Eğrinin bir kısmının düz bir çizgiyle değil, bir parabolle değiştirilmesine karşılık gelir.

Eğer fonksiyon F(X) daha yüksek mertebeden türevler varsa, o zaman

Geriye kalan terim şu şekle sahiptir:

Nerede X- arasında bir sayı X Ve X + dx. Yukarıdaki sonuç, kalan terimli Taylor formülü olarak adlandırılır. Eğer F(X) tüm mertebelerden türevlere sahiptir, bu durumda genellikle Rn® 0 en N ® Ґ .

İNTEGRAL HESABI

Kareler.

Eğrisel alanları incelerken düz rakamlar Matematiksel analizin yeni yönleri açılıyor. Eski Yunanlılar, örneğin bir dairenin alanını belirlemenin şunlardan biri olduğu bu tür problemleri çözmeye çalıştılar. en zor görevler. Çok başarılı Parabolik bir parçanın alanını da bulmayı başaran Arşimet bu soruna bir çözüm buldu (Şekil 12). Arşimet, çok karmaşık bir akıl yürütme kullanarak, parabolik bir parçanın alanının çevrelenen dikdörtgenin alanının 2/3'ü olduğunu ve dolayısıyla bu durumda (2/3)(16) = 32/'ye eşit olduğunu kanıtladı. 3. Daha sonra göreceğimiz gibi bu sonuç matematiksel analiz yöntemleriyle kolaylıkla elde edilebilir.

Newton ve Leibniz'in öncülleri, özellikle de Kepler ve Cavalieri, eğrisel şekillerin alanlarının hesaplanmasıyla ilgili problemleri, mantıksal olarak pek sağlam sayılamayacak, ancak son derece verimli olduğu ortaya çıkan bir yöntem kullanarak çözdüler. Wallis 1655'te Kepler ve Cavalieri'nin yöntemlerini Descartes'ın yöntemleriyle birleştirdiğinde ( analitik geometri) ve yeni doğan cebirin avantajlarından yararlanarak, sahne tamamen Newton'un ortaya çıkışı için hazırlandı.

Wallis, alanının hesaplanması gereken şekli, her biri yaklaşık olarak bir dikdörtgen olarak kabul ettiği çok dar şeritlere böldü. Daha sonra yaklaşık dikdörtgenlerin alanlarını topladı ve en basit durumlarda, şerit sayısı sonsuza yaklaştığında dikdörtgenlerin alanlarının toplamının yöneldiği değeri elde etti. Şek. Şekil 13, eğrinin altındaki alanın şeritlere bölünmesine karşılık gelen dikdörtgenleri göstermektedir sen = X 2 .

Ana teorem.

Newton ve Leibniz'in büyük keşfi, zaman alıcı alan toplamı sınırına gitme sürecini ortadan kaldırmayı mümkün kıldı. Bu, alan kavramına yeni bir bakış sayesinde yapıldı. Buradaki önemli nokta, eğrinin altındaki alanın soldan sağa doğru hareket eden bir ordinat tarafından oluşturulduğunu hayal etmemiz ve ordinatların taradığı alanın ne oranda değiştiğini sormamız gerektiğidir. Alanın önceden bilindiği iki özel durumu ele alırsak bu soruyu yanıtlamanın anahtarını elde etmiş oluruz.

Doğrusal bir fonksiyonun grafiğinin altındaki alanla başlayalım sen = 1 + Xçünkü bu durumda alan temel geometri kullanılarak hesaplanabilir.

İzin vermek A(X) – düz çizgi arasında kalan düzlemin parçası sen = 1 + X ve bir bölüm OQ(Şekil 14). Araba sürerken QP sağ alan A(X) artar. Hangi hızda? Bu soruyu cevaplamak zor değil çünkü bir yamuğun alanının yüksekliğinin çarpımına ve tabanlarının toplamının yarısına eşit olduğunu biliyoruz. Buradan,

Alan değişim oranı A(X) türevi tarafından belirlenir

Bunu görüyoruz Aў ( X) ordinatla çakışıyor en puan R. Bu bir tesadüf mü? Şekil 2'de gösterilen parabolü kontrol etmeye çalışalım. 15. Alan A (X) parabolün altında en = X 0 ila 2 aralığında X eşit A(X) = (1 / 3)(X)(X 2) = X 3/3. Bu alanın değişim hızı ifadeyle belirlenir.

ordinatla tam olarak örtüşüyor en hareket noktası R.

Bu kuralın genel durumda geçerli olduğunu varsayarsak,

fonksiyonun grafiğinin altındaki alanın değişim hızıdır sen = F(X), o zaman bu hesaplamalar ve diğer alanlar için kullanılabilir. Aslında oran Aў ( X) = F(X) aşağıdaki şekilde formüle edilebilecek temel bir teoremi ifade eder: alanın bir fonksiyonu olarak türevi veya değişim oranı X, fonksiyon değerine eşit F (X) noktada X.

Örneğin bir fonksiyonun grafiğinin altındaki alanı bulmak için sen = X 0'dan 3'e X(Şek. 16), hadi koyalım

Olası bir cevap şöyledir:

türevinden beri X 4/4 gerçekten eşittir X 3. Ayrıca, A(X) sıfıra eşittir X= 0 olması gerektiği gibi A(X) gerçekten bir alandır.

Matematiksel analiz yukarıdaki ifadeden başka bir cevabın olmadığını kanıtlamaktadır. A(X), mevcut değil. Aşağıdaki buluşsal (kesin olmayan) akıl yürütmeyi kullanarak bu ifadenin makul olduğunu gösterelim. Diyelim ki ikinci bir çözüm var İÇİNDE(X). Eğer A(X) Ve İÇİNDE(X) aynı anda sıfır değerinden “başlat” X= 0 ise ve her zaman aynı oranda değişiyorsa değerleri olamaz X farklı olamaz. Her yerde çakışmaları gerekir; bu nedenle benzersiz bir çözüm var.

İlişkiyi nasıl haklı çıkarabilirsiniz? Aў ( X) = F(X) genel durumda? Bu soru ancak alanın değişim hızının bir fonksiyonu olarak incelenerek cevaplanabilir. X genel durumda. İzin vermek M – en küçük değer işlevler F (X) aralığında X ile ( X + H), A M – en yüksek değer bu fonksiyon aynı aralıktadır. Daha sonra buradan giderken alandaki artış Xİle ( X + H) iki dikdörtgenin alanları arasına alınmalıdır (Şekil 17). Her iki dikdörtgenin tabanları eşittir H. Küçük dikdörtgenin yüksekliği vardır M ve alan mh, sırasıyla daha büyük, M Ve Mh. Alan-alan grafiğinde X(Şek. 18), apsisin değiştiği zaman açıktır. H, ordinat değeri (yani alan), arasındaki miktar kadar artar. mh Ve Mh. Bu grafikteki sekant eğimi arasındadır. M Ve M. Ne zaman olur? H sıfıra doğru gidiyor mu? Bir fonksiyonun grafiği ise sen = F(X) süreklidir (yani süreksizlikler içermez), bu durumda M, Ve M için çabalamak F(X). Bu nedenle eğim Aў ( X) alanın bir fonksiyonu olarak grafiği X eşittir F(X). Ulaşılması gereken sonuç tam olarak budur.

Leibniz bir eğrinin altındaki alan için önerdi sen = F(X) 0'dan A atama

Kesin bir yaklaşımla, belirli integral denilen bu şeyin Wallis'in yöntemiyle belirli toplamların limiti olarak tanımlanması gerekir. Yukarıda elde edilen sonuç dikkate alındığında böyle bir fonksiyonu bulmamız şartıyla bu integralin hesaplandığı açıktır. A(X), ne zaman kaybolur X= 0 ve türevi var Aў ( X), eşit F (X). Böyle bir fonksiyonun bulunmasına genellikle entegrasyon adı verilir, ancak bu işlemi bir anlamda farklılaşmanın tersi olduğu anlamına gelen farklılaşma karşıtı olarak adlandırmak daha uygun olacaktır. Bir polinom durumunda entegrasyon basittir. Örneğin, eğer

farklılaştırarak doğrulamak kolaydır A(X).

Alanı hesaplamak için A 1 eğrinin altında sen = 1 + X + X 2/2, ordinatları 0 ile 1 arasında yer alır, basitçe yazarız

ve yerine X= 1, şunu elde ederiz A 1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3. Kare A(X) 0'dan 2'ye eşittir A 2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3. Şekil 2'den görülebileceği gibi. Şekil 19'da, 1 ve 2 koordinatları arasında kalan alan şuna eşittir: A 2 – A 1 = 11/3. Genellikle belirli bir integral olarak yazılır

Birimler.

Benzer akıl yürütme, dönen cisimlerin hacimlerini hesaplamayı şaşırtıcı derecede kolaylaştırır. Bunu bir topun hacmini hesaplama örneğini kullanarak gösterelim. klasik problem Antik Yunanlıların bildikleri yöntemleri kullanarak büyük zorluklarla çözmeyi başardıkları.

Düzlemin çeyrek yarıçaplı daire içindeki kısmını döndürelim R, eksen etrafında 360° açıyla X. Sonuç olarak, hacmini belirttiğimiz bir yarım küre (Şekil 20) elde ederiz. V(X). Artış hızını belirlememiz gerekiyor. V(X) artan X. Şuradan taşınıyorum: Xİle X + H hacimdeki artışın hacimden daha az olduğunu doğrulamak kolaydır P(R 2 – X 2)H yarıçapı ve yüksekliği olan dairesel silindir H ve hacimden daha fazlası P[R 2 – (X + H) 2 ]H silindir yarıçapı ve yüksekliği H. Bu nedenle fonksiyonun grafiğinde V(X) sekantın açısal katsayısı arasındadır P(R 2 – X 2) ve P[R 2 – (X + H) 2 ]. Ne zaman H sıfıra doğru eğilim gösterir, eğim ise

Şu tarihte: X = R aldık

yarım kürenin hacmi için ve dolayısıyla 4 pr Tüm topun hacmi için 3/3.

Benzer bir yöntem, eğrilerin uzunluklarını ve eğri yüzeylerin alanlarını bulmayı sağlar. Örneğin, eğer A(X) – yay uzunluğu halkla ilişkilerŞek. 21, o zaman görevimiz hesaplamaktır Aў( X). Buluşsal düzeyde, gerektiğinde gerekli olan sınıra olağan geçişe başvurmamamızı sağlayan bir teknik kullanalım. kesin kanıt sonuç. Fonksiyonun değişim oranının olduğunu varsayalım. A(X) noktada R eğrinin yerini teğet alırsa olacağıyla aynı P.T. bu noktada P. Ancak Şek. 21 adım atıldığında doğrudan görülebilir H noktanın sağında veya solunda X birlikte RT Anlam A(X) olarak değişir

Bu nedenle fonksiyonun değişim hızı A(X)

Fonksiyonun kendisini bulmak için A(X), eşitliğin sağ tarafındaki ifadeyi entegre etmeniz yeterlidir. Çoğu fonksiyon için entegrasyonun oldukça zor olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle integral hesabı yöntemlerinin geliştirilmesi çoğu matematiksel analiz.

Antitürevler.

Türevi verilen fonksiyona eşit olan her fonksiyon F(X), antiderivatif (veya ilkel) olarak adlandırılır. F(X). Örneğin, X 3/3 – fonksiyonun ters türevi X 2'den beri ( X 3 /3)ў = X 2. Elbette X 3/3 fonksiyonun tek terstürevi değil X 2 çünkü X 3 /3 + C aynı zamanda bunun bir türevidir X Herhangi bir sabit için 2 İLE. Ancak aşağıda bu tür toplamsal sabitleri göz ardı etmeyi kabul ediyoruz. Genel olarak

Nerede N pozitif bir tamsayıdır, çünkü ( xn + 1/(N+ 1))ў = xn. İlişki (1) daha genel anlamda sağlanırsa: N herhangi bir rasyonel sayıyla değiştirin k-1 hariç.

için keyfi bir antiderivatif fonksiyon verilen fonksiyon F(X) genellikle belirsiz integral olarak adlandırılır F(X) ve formda belirtin

Örneğin, çünkü (günah X)ў = çünkü X, formül geçerlidir

Belirli bir fonksiyonun belirsiz integrali için bir formülün bulunduğu birçok durumda, bu formül, geniş çapta yayınlanmış çok sayıda belirsiz integral tablosunda bulunabilir. integralleri temel işlevler(bunlara kuvvetler, logaritmalar, üstel fonksiyon, trigonometrik fonksiyonlar ters trigonometrik fonksiyonlar ve bunların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri kullanılarak elde edilen sonlu kombinasyonları). Tablo integrallerini kullanarak daha karmaşık fonksiyonların integrallerini hesaplayabilirsiniz. Belirsiz integralleri hesaplamanın birçok yolu vardır; Bunlardan en yaygın olanı değişken ikame veya ikame yöntemidir. Bu, belirsiz integrali (2) değiştirmek istersek, X bazı türevlenebilir fonksiyonlara X = G(sen), o zaman integralin değişmeden kalması için gereklidir Xşununla değiştir: Gў ( sen)du. Başka bir deyişle eşitlik

(ikame 2 X = sen, nereden 2 dx = du).

Başka bir entegrasyon yöntemi sunalım - parçalara göre entegrasyon yöntemi. Zaten bilinen formüle dayanmaktadır

Sol ve sağ tarafları entegre ederek ve bunu dikkate alarak

Bu formüle parçalara göre entegrasyon formülü denir.

Örnek 2. Bulmanız gerekiyor. çünkü X= (günah X)ў, bunu yazabiliriz

(5)'ten, varsayarak sen = X Ve v= günah X, alıyoruz

Ve o zamandan beri (–çünkü X)ў = günah X bunu bulduk

Kendimizi sadece çok sınırlı tuttuğumuzu vurgulamak gerekir. kısa bir girişçok sayıda ustaca tekniğin toplandığı çok geniş bir konuya dönüştürüyoruz.

İki değişkenli fonksiyonlar.

Eğri nedeniyle sen = F(X) iki sorunu ele aldık.

1) Belirli bir noktada eğriye teğetin açısal katsayısını bulun. Bu problem türevin değeri hesaplanarak çözülür. Fў ( X) belirtilen noktada.

2) Eksen parçasının üzerindeki eğrinin altında kalan alanı bulun X, sınırlı dikey çizgiler X = A Ve X = B. Bu problem belirli bir integralin hesaplanmasıyla çözülür.

Bu problemlerin her birinin bir yüzey durumunda bir analogu vardır. z = F(X,sen).

1) Verilen bir noktada yüzeye teğet olan düzlemi bulun.

2) Düzlemin üst kısmındaki yüzeyin altındaki hacmi bulun xy bir eğri ile sınırlanmış İLE ve yandan – düzleme dik xy sınır eğrisinin noktalarından geçerek İLE (santimetre. pirinç. 22).

Aşağıdaki örnekler bu sorunların nasıl çözüldüğünü göstermektedir.

Örnek 4. Yüzeye teğet olan düzlemi bulun

(0,0,2) noktasında.

Bir düzlem, içinde yatan iki kesişen çizgi verilirse tanımlanır. Bu düz çizgilerden biri ( ben 1) uçağa biniyoruz xz (en= 0), saniye ( ben 2) – düzlemde yz (X = 0) (santimetre. pirinç. 23).

Her şeyden önce eğer en= 0 ise z = F(X,0) = 2 – 2X – 3X 2. Türev X, belirtilen Fў X(X,0) = –2 – 6X, en X= 0 –2 değerine sahiptir. Dümdüz ben 1 denklemlerle verilmiştir z = 2 – 2X, en= 0 – teğet İLE 1, yüzeyin düzlemle kesişme çizgileri en= 0. Benzer şekilde eğer X= 0 ise F(0,sen) = 2 – sen – sen 2 ve buna göre türevi en benziyor

Çünkü Fў sen(0,0) = –1, eğri İLE 2 – yüzeyin düzlemle kesişme çizgisi yz– teğeti var ben 2 denklemlerle verilmiştir z = 2 – sen, X= 0. İstenilen teğet düzlem her iki çizgiyi de içerir ben 1 ve ben 2 ve denklem tarafından yazılır

Bu düzlemin denklemidir. Ayrıca doğrudan alıyoruz ben 1 ve ben 2, varsayalım, sırasıyla, en= 0 ve X = 0.

Denklemin (7) gerçekten bir teğet düzlemi tanımladığı gerçeği, bu denklemin denklem (6)'da yer alan birinci dereceden terimleri içerdiği ve ikinci dereceden terimlerin - olarak temsil edilebileceği dikkate alınarak buluşsal düzeyde doğrulanabilir. Bu ifade tüm değerler için negatif olduğundan X Ve en, hariç X = en= 0, yüzey (6), nokta hariç her yerde düzlemin (7) altında yer alır R= (0,0,0). Yüzeyin (6) bu noktada yukarıya doğru dışbükey olduğunu söyleyebiliriz. R.

Örnek 5. Yüzeye teğet düzlemi bulun z = F(X,sen) = X 2 – sen 0 başlangıç ​​noktasında 2.

Uçakta en= 0 elimizde: z = F(X,0) = X 2 ve Fў X(X,0) = 2X. Açık İLE 1, kesişim çizgileri, z = X 2. bu noktada O eğim eşittir Fў X(0,0) = 0. Düzlemde X= 0 elimizde: z = F(0,sen) = –sen 2 ve Fў sen(0,sen) = –2sen. Açık İLE 2, kesişim çizgileri, z = –sen 2. bu noktada O eğri eğimi İLE 2 eşittir Fў sen(0,0) = 0. Teğetler olduğundan İLE 1 ve İLE 2 eksen X Ve en, bunları içeren teğet düzlem düzlemdir z = 0.

Ancak orijin civarında yüzeyimiz teğet düzlemin aynı tarafında değildir. Aslında bir eğri İLE 0 noktası dışında her yerde 1, teğet düzlemin üzerinde yer alır ve eğri İLE 2 – sırasıyla onun altında. Yüzey teğet düzlemle kesişiyor z= 0 düz çizgilerde en = X Ve en = –X. Böyle bir yüzeyin orijinde bir eyer noktasına sahip olduğu söylenir (Şekil 24).

Kısmi türevler.

Önceki örneklerde türevlerini kullandık F (X,sen) İle X ve tarafından en. Şimdi bu tür türevleri daha ayrıntılı olarak ele alalım. genel anlamda. Örneğin iki değişkenli bir fonksiyonumuz varsa, F(X,sen) = X 2 – xy, o zaman her noktada onun "kısmi türevlerinden" ikisini belirleyebiliriz; bunlardan biri fonksiyonun şuna göre diferansiyelini almaktır: X ve sabitleme en, diğeri – farklılaştıran en ve sabitleme X. Bu türevlerden ilki şu şekilde gösterilir: Fў X(X,sen) veya ¶ F/¶ X; ikinci - nasıl F f ş sen. Her iki karışık türev ise (tarafından X Ve en, İle en Ve X) sürekli ise ¶ 2 F/¶ X¶ sen= ¶ 2 F/¶ sen¶ X; örneğimizde ¶ 2 F/¶ X¶ sen= ¶ 2 F/¶ sen¶ X = –1.

Kısmi türev Fў X(X,sen) fonksiyonun değişim oranını gösterir F noktada ( X,sen) artma yönünde X, A Fў sen(X,sen) – fonksiyonun değişim hızı F Artma yönünde en. Fonksiyonun değişim hızı F noktada ( X,en) bir açı oluşturan düz bir çizgi yönünde Q pozitif eksen yönü ile X, fonksiyonun türevi olarak adlandırılır F yönde; değeri, fonksiyonun iki kısmi türevinin birleşimidir teğet düzlemdeki f neredeyse eşittir (küçük dx Ve ölmek) gerçek değişim z yüzeyde, ancak farkı hesaplamak genellikle daha kolaydır.

Tek boyutlu durumda karmaşık bir fonksiyonun türevi veya zincir kuralı olarak bilinen, daha önce ele aldığımız değişken değişimi yönteminden elde edilen formül: en bağlıdır X, A X bağlıdır T, şu forma sahiptir:

İki değişkenli fonksiyonlar için benzer bir formül şu şekildedir:

Kısmi farklılaşma kavram ve gösterimlerinin daha yüksek boyutlara genelleştirilmesi kolaydır. Özellikle yüzey örtülü olarak denklemle belirtilmişse F(X,sen,z) = 0, yüzeye teğet düzlemin denklemine daha simetrik bir form verilebilir: () noktasındaki teğet düzlemin denklemi x(x 2/4)], daha sonra entegre edildi X 0'dan 1'e. Nihai sonuç 3/4'tür.

Formül (10) aynı zamanda çift katlı integral olarak da yorumlanabilir; temel "hücrelerin" hacimlerinin toplamının sınırı olarak. Bu tür her hücrenin bir D tabanı vardır X D sen ve yükseklik, yüksekliğe eşit Dikdörtgen tabanın bir noktasının üzerindeki yüzey ( santimetre. pirinç. 26). Formül (10)'a ilişkin her iki bakış açısının da eşdeğer olduğu gösterilebilir. Çift katlı integraller Mekanikte karşılaşılan ağırlık merkezlerini ve çok sayıda momenti bulmak için kullanılır.

Matematiksel aygıtın daha katı bir gerekçesi.

Şu ana kadar matematiksel analiz kavramlarını ve yöntemlerini sezgisel düzeyde sunduk ve aşağıdaki yöntemlere başvurmaktan çekinmedik: geometrik şekiller. Daha fazlasını kısaca düşünmek bize kalıyor katı yöntemler 19. ve 20. yüzyıllarda ortaya çıktı.

19. yüzyılın başında “matematiksel analizin yaratılmasında” fırtına ve baskı dönemi sona erdiğinde, bunun gerekçesi soruları gündeme geldi. Abel, Cauchy ve diğer bazı seçkin matematikçilerin çalışmalarında “limit”, “sürekli fonksiyon”, “yakınsak seriler” kavramları kesin olarak tanımlanmıştı. Bu, matematiksel analizin temeline mantıksal düzeni kazandırmak ve onu güvenilir bir araştırma aracı haline getirmek için gerekliydi. Kapsamlı bir gerekçelendirme ihtiyacı, 1872'de Weierstrass'ın her yerde sürekli olan ancak hiçbir yerde türevlenemeyen fonksiyonları keşfetmesinden sonra daha da açık hale geldi (bu tür fonksiyonların grafiğinde her noktada bir bükülme vardır). Bu sonuç matematikçiler üzerinde çarpıcı bir etki yarattı çünkü onların geometrik sezgileriyle açıkça çelişiyordu. Geometrik sezginin güvenilmezliğinin daha da çarpıcı bir örneği, D. Peano tarafından oluşturulan ve belirli bir kareyi tamamen dolduran sürekli eğridir; tüm noktalarından geçiyor. Bunlar ve diğer keşifler matematiğin “aritmetikleştirilmesi” programının ortaya çıkmasına neden oldu; hepsini kanıtlayarak daha güvenilir hale getirmek matematiksel kavramlar Sayı kavramını kullanıyoruz. Matematiğin temelleri üzerine yapılan çalışmalarda netlikten neredeyse püriten bir biçimde kaçınmanın tarihsel bir gerekçesi vardı.

Modern mantıksal kesinlik kurallarına göre, eğrinin altında kalan alan hakkında konuşmak kabul edilemez. sen = F(X) ve eksen segmentinin üstünde X, olsa bile F – sürekli fonksiyonönce tanımlamadan kesin anlam Bu şekilde tanımlanan alanın gerçekten var olduğunu kanıtlamadan "alan" terimini kullanabilirsiniz. Bu problem 1854 yılında B. Riemann tarafından başarıyla çözüldü. kesin tanım Belirli bir integral kavramı. O günden bu yana belirli integral kavramının ardındaki toplama fikri birçok derinlemesine çalışmaya ve genellemelere konu oldu. Sonuç olarak bugün anlam vermek mümkün belirli integral, integral her yerde süreksiz olsa bile. A. Lebesgue (1875–1941) ve diğer matematikçilerin yaratılmasına büyük katkı sağladığı yeni entegrasyon kavramları, modern matematiksel analizin gücünü ve güzelliğini artırdı.

Tüm bu ve diğer kavramların ayrıntısına girmek pek doğru olmaz. Kendimizi yalnızca limitin ve belirli integralin kesin tanımlarını vermekle sınırlayacağız.

Sonuç olarak şunu söyleyelim ki, bir bilim insanı ve mühendisin elinde son derece değerli bir araç olan matematiksel analiz, verimli bir fikir kaynağı olarak günümüzde de matematikçilerin ilgisini çekmektedir. Aynı zamanda modern gelişme matematiksel analizin 20. yüzyılda egemen olanlar tarafından giderek daha fazla özümsendiğini gösteriyor gibi görünüyor. soyut cebir ve topoloji gibi matematiğin dalları.