Gauss eleme yöntemini kullanarak sistemleri çözme. Gauss yöntemi: bir doğrusal denklem sistemini çözmek için algoritmanın açıklaması, örnekler, çözümler

Sistemleri değerlendirmeye devam ediyoruz doğrusal denklemler. Bu ders konuyla ilgili üçüncü derstir. Genel olarak doğrusal denklem sisteminin ne olduğuna dair belirsiz bir fikriniz varsa, kendinizi çaydanlık gibi hissediyorsanız, o zaman Sonraki sayfasındaki temel bilgilerle başlamanızı öneririm, dersi incelemenizde fayda var.

Gauss yöntemi kolaydır! Neden? Ünlü Alman matematikçi Johann Carl Friedrich Gauss yaşamı boyunca tanındı en büyük matematikçi tüm zamanların bir dahisi ve hatta “matematiğin kralı” lakabıyla anılıyor. Ve bildiğiniz gibi ustaca olan her şey basit! Bu arada, sadece enayiler değil, dahiler de para alıyor - Gauss'un portresi 10 Alman Markı banknotun üzerindeydi (euro'nun piyasaya sürülmesinden önce) ve Gauss hala sıradan posta pullarından Almanlara gizemli bir şekilde gülümsüyor.

Gauss yöntemi basittir, çünkü BEŞİNCİ SINIF ÖĞRENCİSİNİN BİLGİSİ bu konuda uzmanlaşmak için YETERLİDİR. Toplama ve çarpmayı bilmelisiniz!Öğretmenlerin okul matematik seçmeli derslerinde bilinmeyenlerin sıralı olarak hariç tutulması yöntemini sıklıkla düşünmeleri tesadüf değildir. Bu bir paradoks ama öğrenciler Gauss yöntemini en zor buluyorlar. Şaşırtıcı bir şey yok - her şey metodolojiyle ilgili ve yöntemin algoritması hakkında erişilebilir bir biçimde konuşmaya çalışacağım.

Öncelikle doğrusal denklem sistemleri hakkında biraz bilgi verelim. Bir doğrusal denklem sistemi şunları yapabilir:

1) Var tek karar. 2) Sonsuz sayıda çözümü var. 3) Çözümünüz yok (olun) uyumsuz).

Gauss yöntemi çözüm bulmak için en güçlü ve evrensel araçtır herhangi Doğrusal denklem sistemleri. Hatırladığımız kadarıyla, Cramer kuralı ve matris yöntemi sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda uygun değildir. Ve bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi Her neyse bizi cevaba götürecek! Açık bu ders 1 numaralı durum için (sistemin tek çözümü) Gauss yöntemini tekrar ele alacağız, 2-3 numaralı noktaların durumlarına bir makale ayrılmıştır. Yöntemin algoritmasının her üç durumda da aynı şekilde çalıştığını not ediyorum.

Hadi geri dönelim en basit sistem sınıftan Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür? Gauss metodunu kullanarak çözelim.

İlk adım yazmaktır genişletilmiş sistem matrisi: . Katsayıların hangi prensibe göre yazıldığını sanırım herkes görebilir. Matrisin içindeki dikey çizginin herhangi bir matematiksel anlamı yoktur; bu sadece tasarım kolaylığı için üstü çizili bir çizgidir.

Referans : hatırlamanı tavsiye ederim şartlar lineer Cebir. Sistem Matrisi yalnızca bilinmeyenler için katsayılardan oluşan bir matristir; bu örnekte sistemin matrisi: . Genişletilmiş Sistem Matrisi sistemin aynı matrisi artı serbest terimlerin bir sütunu, bu durumda: . Kısaca belirtmek gerekirse, matrislerden herhangi birine basitçe matris adı verilebilir.

Genişletilmiş sistem matrisi yazıldıktan sonra onunla bazı eylemlerin gerçekleştirilmesi gerekir. temel dönüşümler.

Aşağıdaki temel dönüşümler mevcuttur:

1) Teller matrisler Olabilmek yeniden düzenlemek bazı yerlerde. Örneğin, söz konusu matriste birinci ve ikinci satırları ağrısız bir şekilde yeniden düzenleyebilirsiniz:

2) Matris orantılıysa (veya ortaya çıkmışsa) (gibi) özel durum– aynı) çizgiler, ardından takip eder silmek Bu satırların biri hariç tümü matristendir. Örneğin matrisi düşünün . Bu matriste son üç satır orantılı olduğundan yalnızca birini bırakmak yeterlidir: .

3) Dönüşümler sırasında matriste sıfır satır görünüyorsa, o zaman aynı zamanda silmek. Tabii ki çizmeyeceğim, sıfır çizgisi hangi çizgidir? hepsi sıfır.

4) Matris satırı şu şekilde olabilir: çarpmak (bölmek) herhangi bir numaraya sıfır olmayan. Örneğin matrisi düşünün. Burada ilk satırı –3'e bölmeniz ve ikinci satırı 2 ile çarpmanız önerilir: . Bu hareketçok faydalıdır çünkü daha sonraki matris dönüşümlerini basitleştirir.

5) Bu dönüşüm en çok zorluğa neden olur, ancak aslında karmaşık bir şey de yoktur. Bir matrisin bir satırına şunları yapabilirsiniz: bir sayıyla çarpılan başka bir dize ekle, sıfırdan farklı. Matrisimizi düşünün pratik örnek: . İlk önce dönüşümü çok detaylı bir şekilde anlatacağım. İlk satırı –2 ile çarpın: , Ve ikinci satıra ilk satırı -2 ile çarparak ekliyoruz: . Artık ilk satır “geriye” –2 ile bölünebilir: . Gördüğünüz gibi EKLENEN satır LI – değişmedi. Her zaman EKLENEN satır değişir UT.

Pratikte elbette bu kadar ayrıntılı yazmıyorlar, kısaca yazıyorlar: Bir kez daha: ikinci satıra ilk satırı –2 ile çarparak ekledim. Bir satır genellikle sözlü olarak veya taslak üzerinde çarpılır ve zihinsel hesaplama süreci şöyle olur:

“Matrisi yeniden yazıyorum ve ilk satırı yeniden yazıyorum: »

"İlk sütun. En altta sıfır almam gerekiyor. Bu nedenle üsttekini -2: ile çarpıyorum ve ilkini ikinci satıra ekliyorum: 2 + (–2) = 0. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: »

“Şimdi ikinci sütun. En üstte -1 ile -2'yi çarpıyorum: . İlkini ikinci satıra ekliyorum: 1 + 2 = 3. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: »

“Ve üçüncü sütun. En üstte -5 ile -2'yi çarpıyorum: . İlkini ikinci satıra ekliyorum: –7 + 10 = 3. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: »

Lütfen bu örneği dikkatlice anlayın ve sıralı hesaplama algoritmasını anlayın, bunu anlarsanız Gauss yöntemi pratik olarak cebinizde. Ama elbette bu dönüşüm üzerinde çalışmaya devam edeceğiz.

Temel dönüşümler denklem sisteminin çözümünü değiştirmez

! DİKKAT: dikkate alınan manipülasyonlar kullanılamaz, matrislerin "kendi başlarına" verildiği bir görev teklif edilirse. Örneğin “klasik” matrislerle işlemler Hiçbir durumda matrislerin içindeki hiçbir şeyi yeniden düzenlememelisiniz! Sistemimize dönelim. Pratik olarak parçalara ayrılır.

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu şuna indirelim: kademeli görünüm:

(1) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. Ve yine: neden ilk satırı –2 ile çarpıyoruz? Altta sıfır elde etmek için bu, ikinci satırda bir değişkenden kurtulmak anlamına gelir.

(2) İkinci satırı 3'e bölün.

Temel dönüşümlerin amacı – matrisi aşamalı forma indirgeyin: . Görevin tasarımında, sadece "merdivenleri" basit bir kalemle işaretliyorlar ve ayrıca "basamaklarda" bulunan sayıları da daire içine alıyorlar. "Adımlı görünüm" teriminin kendisi tamamen teorik değildir, bilimsel ve eğitim literatürü sıklıkla denir yamuk görünüm veya üçgen görünüm.

Temel dönüşümler sonucunda elde ettik eş değer orijinal denklem sistemi:

Şimdi sistemin ters yönde "çözülmesi" gerekiyor - aşağıdan yukarıya doğru bu işleme denir Gauss yönteminin tersi.

Alt denklemde zaten hazır bir sonucumuz var: .

Sistemin ilk denklemini ele alalım ve zaten bilinen “y” değerini onun içine koyalım:

Gauss yönteminin üç bilinmeyenli üç doğrusal denklemden oluşan bir sistemin çözülmesini gerektirdiği en yaygın durumu ele alalım.

örnek 1

Denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün:

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım:

Şimdi çözüm sırasında ulaşacağımız sonucu hemen çizeceğim: Tekrar ediyorum, amacımız temel dönüşümleri kullanarak matrisi adım adım forma getirmektir. Nereden başlamalı?

İlk önce sol üstteki numaraya bakın: Neredeyse her zaman burada olmalı birim. Genel olarak konuşursak, -1 (ve bazen diğer sayılar) işe yarar, ancak bir şekilde geleneksel olarak bir genellikle oraya yerleştirilir. Bir birim nasıl organize edilir? İlk sütuna bakıyoruz - bitmiş bir birimimiz var! Birinci dönüşüm: birinci ve üçüncü satırları değiştirin:

Artık ilk satır çözümün sonuna kadar değişmeden kalacak. Şimdi iyi.

Soldaki birim üst köşe organize edildi. Şimdi bu yerlerde sıfır almanız gerekiyor:

Sıfırları “zor” bir dönüşüm kullanarak elde ederiz. İlk önce ikinci satırla ilgileniyoruz (2, –1, 3, 13). İlk pozisyonda sıfır almak için ne yapılması gerekiyor? Gerekiyor ikinci satıra ilk satırı –2 ile çarparak ekleyin. Zihinsel olarak veya taslakta ilk satırı –2 ile çarpın: (–2, –4, 2, –18). Ve sürekli olarak (yine zihinsel olarak veya taslak üzerinde) ekleme yapıyoruz, ikinci satıra zaten –2 ile çarpılmış olan ilk satırı ekliyoruz:

Sonucu ikinci satıra yazıyoruz:

Üçüncü satırı da aynı şekilde ele alıyoruz (3, 2, –5, –1). İlk pozisyonda sıfır almak için ihtiyacınız olan üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekleyin. Zihinsel olarak veya taslakta ilk satırı –3 ile çarpın: (–3, –6, 3, –27). VE üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekliyoruz:

Sonucu üçüncü satıra yazıyoruz:

Uygulamada bu eylemler genellikle sözlü olarak gerçekleştirilir ve tek adımda yazılır:

Her şeyi aynı anda ve aynı anda saymaya gerek yok. Hesaplamaların sırası ve sonuçların “girilmesi” tutarlı ve genellikle şu şekildedir: önce ilk satırı yeniden yazarız ve yavaşça kendimize üfleriz - SÜREKLİ ve DİKKATLİCE:
Yukarıda hesaplamaların zihinsel sürecini zaten tartışmıştım.

İÇİNDE bu örnekte Bunu yapmak kolaydır, ikinci satırı -5'e bölün (çünkü oradaki tüm sayılar 5'e kalansız bölünebilir). Aynı zamanda üçüncü satırı -2'ye bölüyoruz çünkü sayılar ne kadar küçük olursa çözüm o kadar basit olur:

Temel dönüşümlerin son aşamasında, burada bir sıfır daha almanız gerekir:

Bunun için üçüncü satıra ikinci satırı –2 ile çarparak ekliyoruz:
Bu eylemi kendiniz anlamaya çalışın - ikinci satırı zihinsel olarak –2 ile çarpın ve ekleme işlemini gerçekleştirin.

Gerçekleştirilen son eylem, sonucun saç modelidir, üçüncü satırı 3'e bölün.

Temel dönüşümler sonucunda eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde edildi: Serin.

Şimdi Gauss yönteminin tersi devreye giriyor. Denklemler aşağıdan yukarıya doğru “gevşemektedir”.

Üçüncü denklemde zaten hazır bir sonucumuz var:

İkinci denkleme bakalım: . "Zet"in anlamı zaten bilinmektedir, dolayısıyla:

Ve son olarak ilk denklem: . "Igrek" ve "zet" biliniyor, bu sadece küçük şeyler meselesi:

Cevap:

Tekrar tekrar belirtildiği gibi, herhangi bir denklem sistemi için bulunan çözümü kontrol etmek mümkün ve gereklidir, neyse ki bu kolay ve hızlıdır.

Örnek 2

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnek, nihai tasarımın bir örneği ve dersin sonunda bir cevaptır.

Şunu belirtmek gerekir ki kararın ilerlemesi karar sürecimle örtüşmeyebilir, ve bu Gauss yönteminin bir özelliğidir. Ama cevaplar aynı olmalı!

Örnek 3

Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme

Sol üstteki “adıma” bakıyoruz. Orada bir birimimiz olmalı. Sorun şu ki, ilk sütunda hiç birim yok, dolayısıyla satırları yeniden düzenlemek hiçbir şeyi çözmeyecek. Bu gibi durumlarda ünitenin temel bir dönüşüm kullanılarak düzenlenmesi gerekir. Bu genellikle birkaç yolla yapılabilir. Bunu yaptım: (1) İlk satıra ikinci satırı -1 ile çarparak ekliyoruz. Yani ikinci satırı zihinsel olarak –1 ile çarpıp birinci ve ikinci satırları ekledik ama ikinci satır değişmedi.

Şimdi sol üstte “eksi bir” var ki bu da bize çok yakışıyor. +1 almak isteyen herkes ek bir hareket yapabilir: İlk satırı –1 ile çarpın (işaretini değiştirin).

(2) Birinci satırın 5 ile çarpılması ikinci satıra eklendi. İlk satırın 3 ile çarpılması üçüncü satıra eklendi.

(3) İlk satır -1 ile çarpılmıştır, prensip olarak bu güzellik içindir. Üçüncü satırın işareti de değiştirilerek ikinci sıraya taşındı, böylece ikinci “adım”da gerekli üniteye sahip olduk.

(4) İkinci satır üçüncü satıra 2 ile çarpılarak eklendi.

(5) Üçüncü satır 3'e bölündü.

Hesaplamalarda bir hata olduğunu (daha nadiren bir yazım hatası) gösteren kötü bir işaret, "kötü" bir sonuçtur. Yani, eğer aşağıda , gibi bir şey varsa ve buna göre, , sonra ile büyük bir pay olasılık, temel dönüşümler sırasında bir hata yapıldığı iddia edilebilir.

Biz bunun tersini uyguluyoruz, örneklerin tasarımında genellikle sistemin kendisini yeniden yazmıyorlar, ancak denklemler "doğrudan verilen matristen alınıyor." Size hatırlatırım, ters vuruş aşağıdan yukarıya doğru çalışır. Evet, işte bir hediye:

Cevap: .

Örnek 4

Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, biraz daha karmaşıktır. Birisinin kafası karışırsa sorun olmaz. Dersin sonunda tam çözüm ve örnek tasarım. Sizin çözümünüz benim çözümümden farklı olabilir.

Son bölümde Gauss algoritmasının bazı özelliklerine bakacağız. İlk özellik bazen sistem denklemlerinde bazı değişkenlerin eksik olmasıdır, örneğin: Genişletilmiş sistem matrisi nasıl doğru şekilde yazılır? Derste bu noktadan zaten bahsetmiştim. Cramer kuralı. Matris yöntemi. Sistemin genişletilmiş matrisinde eksik değişkenlerin yerine sıfırları koyarız: Bu arada, bu çok hoş kolay örnekçünkü ilk sütunda zaten bir sıfır var ve gerçekleştirilecek daha az temel dönüşüm var.

İkinci özellik şudur. Ele alınan tüm örneklerde “adımlara” –1 veya +1 yerleştirdik. Orada başka numaralar olabilir mi? Bazı durumlarda bunu yapabilirler. Sistemi düşünün: .

Burada sol üst “adım”da iki tane var. Ancak ilk sütundaki tüm sayıların 2'ye kalansız bölünebildiğini, diğerinin ise iki ve altı olduğunu fark ediyoruz. Ve sol üstteki ikisi bize yakışacak! İlk adımda aşağıdaki dönüşümleri yapmanız gerekir: ilk satırı –1 ile çarparak ikinci satıra ekleyin; üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekleyin. Bu şekilde ilk sütunda gerekli sıfırları alacağız.

Veya bunun gibi bir şey koşullu örnek: . Burada ikinci “adım”daki üç de bize uyar, çünkü 12 (sıfır almamız gereken yer) 3'e kalansız bölünebilir. Aşağıdaki dönüşümü gerçekleştirmek gerekir: ikinci satırı üçüncü satıra -4 ile çarparak ekleyin, bunun sonucunda ihtiyacımız olan sıfır elde edilecektir.

Gauss'un yöntemi evrenseldir ancak bir özelliği vardır. Diğer yöntemleri kullanarak sistemleri çözmeyi güvenle öğrenin (Cramer yöntemi, matris yöntemi) kelimenin tam anlamıyla ilk seferde yapabilirsiniz - çok katı bir algoritma var. Ancak Gauss yöntemine güvenebilmek için en az 5-10 onlu sistemi “işe sokmalı” ve çözmelisiniz. Bu nedenle ilk başta hesaplamalarda karışıklıklar ve hatalar olabilir ve bunda olağandışı veya trajik bir şey yoktur.

Pencerenin dışında yağmurlu bir sonbahar havası... Bu nedenle daha fazlasını isteyen herkes için karmaşık örnek bağımsız çözüm için:

Örnek 5

Dört bilinmeyenli 4 doğrusal denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün.

Böyle bir görev pratikte o kadar da nadir değildir. Bu sayfayı iyice inceleyen bir çaydanlığın bile böyle bir sistemi sezgisel olarak çözme algoritmasını anlayacağını düşünüyorum. Temelde her şey aynı; yalnızca daha fazla eylem var.

Sistemin çözümünün olmadığı (tutarsız) veya sonsuz sayıda çözümün olduğu durumlar derste tartışılmaktadır. Uyumsuz sistemler ve ortak bir çözüme sahip sistemler. Burada Gauss yönteminin dikkate alınan algoritmasını düzeltebilirsiniz.

Sana başarılar diliyorum!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2: Çözüm : Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim.
Gerçekleştirilen temel dönüşümler: (1) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. Birinci satır üçüncü satıra -1 ile çarpılarak eklendi. Dikkat! Burada birinciyi üçüncü satırdan çıkarmak isteyebilirsiniz; bunu çıkarmamanızı şiddetle tavsiye ederim - hata riski büyük ölçüde artar. Sadece katla! (2) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). İkinci ve üçüncü satırlar değiştirildi. Not , "adımlarda" yalnızca bir tanesinden değil, aynı zamanda -1'den de memnunuz ki bu daha da uygun. (3) İkinci satır üçüncü satıra 5 ile çarpılarak eklendi. (4) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). Üçüncü satır 14'e bölündü.

Tersi:

Cevap : .

Örnek 4: Çözüm : Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim:

Gerçekleştirilen dönüşümler: (1) Birinci satıra ikinci satır eklendi. Böylece sol üstteki “basamak”ta istenilen ünite düzenlenmiştir. (2) Birinci satırın 7 ile çarpılması ikinci satıra eklendi. İlk satırın 6 ile çarpılması üçüncü satıra eklendi.

İkinci “adım”la her şey daha da kötüye gidiyor , bunun için "adaylar" 17 ve 23 sayılarıdır ve bizim ya bir ya da -1'e ihtiyacımız var. Dönüşümler (3) ve (4) istenen birimin elde edilmesini amaçlayacaktır. (3) İkinci satır üçüncü satıra -1 ile çarpılarak eklendi. (4) Üçüncü satır, ikinci satıra -3 ile çarpılarak eklendi. İkinci adımda gerekli öğe alındı . (5) İkinci satır üçüncü satıra 6 ile çarpılarak eklendi. (6) İkinci satır -1 ile çarpılır, üçüncü satır -83'e bölünür.

Tersi:

Cevap :

Örnek 5: Çözüm : Sistemin matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu aşamalı bir forma getirelim:

Gerçekleştirilen dönüşümler: (1) Birinci ve ikinci satırlar değiştirildi. (2) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. İlk satır -2 ile çarpılarak üçüncü satıra eklendi. Birinci satır dördüncü satıra -3 ile çarpılarak eklendi. (3) İkinci satır üçüncü satıra 4 ile çarpılarak eklenir. İkinci satır ise –1 ile çarpılarak dördüncü satıra eklenir. (4) İkinci satırın işareti değiştirildi. Dördüncü satır 3'e bölünerek üçüncü satırın yerine yerleştirildi. (5) Üçüncü satır dördüncü satıra –5 ile çarpılarak eklenir.

Tersi:

Cevap :

Gauss yöntemi doğrusal sistemleri çözmek için mükemmel cebirsel denklemler(SLAU). Diğer yöntemlere göre bir takım avantajları vardır:

• öncelikle tutarlılık açısından denklem sistemini incelemeye gerek yoktur;
• ikinci olarak, Gauss yöntemi yalnızca denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakıştığı ve sistemin ana matrisinin tekil olmadığı SLAE'leri değil, aynı zamanda denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerle çakışmadığı denklem sistemlerini de çözebilir. bilinmeyen değişkenlerin sayısı veya ana matrisin determinantı sıfıra eşit;
• üçüncü olarak, Gauss yöntemi göreceli olarak sonuçlara yol açmaktadır. az miktarda hesaplama işlemleri.

Makaleye kısa genel bakış.

Önce verelim gerekli tanımlar ve gösterimi tanıtın.

Daha sonra, en basit durum için Gauss yönteminin algoritmasını açıklayacağız, yani doğrusal cebirsel denklem sistemleri için, bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakışan denklemlerin sayısı ve sistemin ana matrisinin determinantı şöyledir: sıfıra eşit değil. Bu tür denklem sistemlerini çözerken Gauss yönteminin özü en açık şekilde görülebilir. tutarlı dışlama bilinmeyen değişkenler Bu nedenle Gauss yöntemine bilinmeyenlerin sıralı olarak yok edilmesi yöntemi de denir. sana göstereceğiz detaylı çözümler birkaç örnek.

Sonuç olarak, ana matrisi dikdörtgen veya tekil olan lineer cebirsel denklem sistemlerinin Gauss yöntemiyle çözümünü ele alacağız. Bu tür sistemlerin çözümü, örneklerle detaylı olarak inceleyeceğimiz bazı özelliklere sahiptir.

Sayfada gezinme.

Temel tanımlar ve gösterimler.

N bilinmeyenli (p, n'ye eşit olabilir) p doğrusal denklemden oluşan bir sistemi düşünün:

Bilinmeyen değişkenler, sayılar (gerçek veya karmaşık) ve serbest terimlerdir.

Eğer , o zaman doğrusal cebirsel denklemler sistemi denir homojen, aksi takdirde - heterojen.

Sistemin tüm denklemlerinin özdeşlik haline geldiği bilinmeyen değişkenlerin değerleri kümesine denir SLAU'nun kararı.

Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin en az bir çözümü varsa buna denir. eklem yeri, aksi takdirde - uyumsuz.

Bir SLAE'nin benzersiz bir çözümü varsa buna denir. kesin. Birden fazla çözüm varsa sistem çağrılır. belirsiz.

Sistemin yazılı olduğunu söylüyorlar koordinat formu , eğer formu varsa
.

Bu sistem de matris formu kayıtlar şu şekildedir: - SLAE'nin ana matrisi, - bilinmeyen değişkenler sütununun matrisi, - serbest terimler matrisi.

A matrisine (n+1)'inci sütun olarak serbest terimlerden oluşan bir matris sütunu eklersek, sözde elde ederiz. genişletilmiş matris Doğrusal denklem sistemleri. Genellikle genişletilmiş matris T harfiyle gösterilir ve serbest terimler sütunu ayrılır dikey çizgi kalan sütunlardan, yani

A kare matrisi denir dejenere determinantı sıfır ise. Eğer ise A matrisi denir dejenere olmayan.

Aşağıdaki noktaya dikkat edilmelidir.

Aşağıdaki işlemleri bir doğrusal cebirsel denklem sistemiyle gerçekleştirirseniz

• iki denklemin yerini değiştir,
• herhangi bir denklemin her iki tarafını keyfi ve sıfır olmayan bir gerçek (veya karmaşık) sayı k ile çarpın,
• herhangi bir denklemin her iki tarafına başka bir denklemin karşılık gelen kısımlarını şununla çarparak ekleyin: Rasgele sayı k,

o zaman aynı çözümlere sahip (veya tıpkı orijinal sistem gibi hiçbir çözümü olmayan) eşdeğer bir sistem elde edersiniz.

Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin genişletilmiş matrisi için bu eylemler, satırlarla temel dönüşümlerin gerçekleştirilmesi anlamına gelecektir:

• iki satırı değiştirerek,
• T matrisinin herhangi bir satırının tüm elemanlarını sıfırdan farklı bir k sayısıyla çarpmak,
• Bir matrisin herhangi bir satırının elemanlarına başka bir satırın karşılık gelen elemanlarının rastgele bir k sayısıyla çarpılmasıyla eklenmesi.

Artık Gauss yönteminin açıklamasına geçebiliriz.

Denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu ve sistemin ana matrisinin tekil olmadığı doğrusal cebirsel denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözme.

Bir denklem sistemine çözüm bulma görevi bize verilseydi okulda ne yapardık? .

Bazıları bunu yapardı.

İkinci denklemin sol tarafına ekleme yapıldığına dikkat edin Sol Taraf ilk olarak ve sağ tarafta - sağ tarafta, bilinmeyen x 2 ve x 3 değişkenlerinden kurtulabilir ve hemen x 1'i bulabilirsiniz:

Bulunan x 1 =1 değerini sistemin birinci ve üçüncü denklemlerinde yerine koyarız:

Sistemin üçüncü denkleminin her iki tarafını -1 ile çarpıp birinci denklemin karşılık gelen kısımlarına eklersek bilinmeyen x 3 değişkeninden kurtuluruz ve x 2'yi bulabiliriz:

Ortaya çıkan x 2 = 2 değerini üçüncü denklemde yerine koyarız ve kalan bilinmeyen değişken x 3'ü buluruz:

Diğerleri farklı yapardı.

Sistemin ilk denklemini bilinmeyen x 1 değişkenine göre çözelim ve elde edilen ifadeyi sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinde bu değişkeni hariç tutmak için yerine koyalım:

Şimdi sistemin ikinci denklemini x 2 için çözelim ve elde edilen sonucu üçüncü denklemde yerine koyarak bilinmeyen x 2 değişkenini ortadan kaldıralım:

Sistemin üçüncü denkleminden x 3 =3 olduğu açıktır. Bulduğumuz ikinci denklemden ve elde ettiğimiz ilk denklemden.

Tanıdık çözümler, değil mi?

Buradaki en ilginç şey, ikinci çözüm yönteminin esasen bilinmeyenlerin sıralı olarak yok edilmesi yöntemi yani Gauss yöntemi olmasıdır. Bilinmeyen değişkenleri (ilk x 1, sonraki aşamada x 2) ifade edip sistemin geri kalan denklemlerine yerleştirdiğimizde onları dışarıda bırakmış oluyoruz. Son denklemde tek bir bilinmeyen değişken kalana kadar yok etme işlemi yaptık. Bilinmeyenlerin sırayla ortadan kaldırılması işlemine ne ad verilir? doğrudan Gauss yöntemi. İleriye doğru hamleyi tamamladıktan sonra son denklemde bulunan bilinmeyen değişkeni hesaplama fırsatına sahip oluyoruz. Onun yardımıyla sondan bir önceki denklemden bir sonraki bilinmeyen değişkeni buluruz vb. İşlem sıralı bulma Son denklemden ilkine geçerken bilinmeyen değişkenlere denir Gauss yönteminin tersi.

İlk denklemde x 1'i x 2 ve x 3 cinsinden ifade ettiğimizde ve elde edilen ifadeyi ikinci ve üçüncü denklemlerde değiştirdiğimizde, aşağıdaki eylemlerin aynı sonuca yol açacağına dikkat edilmelidir:

Aslında böyle bir prosedür, bilinmeyen x 1 değişkeninin sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden çıkarılmasını da mümkün kılar:

Sistem denklemleri bazı değişkenler içermediğinde, Gauss yöntemini kullanarak bilinmeyen değişkenlerin ortadan kaldırılmasıyla ilgili nüanslar ortaya çıkar.

Örneğin, SLAU'da birinci denklemde bilinmeyen x 1 değişkeni yoktur (yani önündeki katsayı sıfırdır). Dolayısıyla bu bilinmeyen değişkeni kalan denklemlerden çıkarmak için sistemin ilk denklemini x 1 için çözemeyiz. Bu durumdan çıkmanın yolu sistemin denklemlerini değiştirmektir. Ana matrislerin determinantları sıfırdan farklı olan lineer denklem sistemlerini ele aldığımız için her zaman ihtiyacımız olan değişkenin bulunduğu bir denklem vardır ve bu denklemi ihtiyacımız olan konuma yeniden düzenleyebiliriz. Örneğimiz için sistemin birinci ve ikinci denklemlerinin yer değiştirmesi yeterlidir. , daha sonra x 1 için ilk denklemi çözebilir ve onu sistemin geri kalan denklemlerinden hariç tutabilirsiniz (her ne kadar x 1 artık ikinci denklemde mevcut olmasa da).

Ana fikri anladığınızı umuyoruz.

Hadi tarif edelim Gauss yöntemi algoritması.

n bilinmeyenli n tane lineer cebirsel denklemden oluşan bir sistemi çözmemiz gerektiğini varsayalım. formun değişkenleri ve ana matrisinin determinantının sıfırdan farklı olmasına izin verin.

Bunu her zaman sistemin denklemlerini yeniden düzenleyerek başarabileceğimiz için bunu varsayacağız. Bilinmeyen değişken x 1'i ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden çıkaralım. Bunu yapmak için sistemin ikinci denklemine birincisini çarptığımız denklemi, üçüncü denklemine birincisini ekliyoruz ve bu şekilde devam ederek n'inci denkleme birincisini çarpıyoruz. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

Nerede ve .

Sistemin ilk denkleminde x 1'i diğer bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade edip, elde edilen ifadeyi diğer tüm denklemlerde yerine koysaydık aynı sonuca ulaşırdık. Böylece x 1 değişkeni ikinciden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra benzer şekilde ilerliyoruz, ancak yalnızca sonuçtaki sistemin şekilde işaretlenmiş kısmıyla

Bunu yapmak için sistemin üçüncü denklemine ikinciyi çarpıyoruz, dördüncü denkleme ikinciyi ekliyoruz ve bu şekilde devam ederek n'inci denkleme ikinciyi çarpıyoruz. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

Nerede ve . Böylece x2 değişkeni üçüncüden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra sistemin şekilde işaretlenen kısmı ile benzer şekilde hareket ederek bilinmeyen x 3'ü ortadan kaldırmaya devam ediyoruz.

Böylece sistem aşağıdaki formu alana kadar Gauss yönteminin doğrudan ilerlemesine devam ederiz.

Bu andan itibaren Gauss yönteminin tersini başlatırız: son denklemden x n'yi şu şekilde hesaplarız, x n'nin elde edilen değerini kullanarak sondan bir önceki denklemden x n-1'i buluruz ve bu şekilde devam ederek ilk denklemden x 1'i buluruz .

Bir örnek kullanarak algoritmaya bakalım.

Örnek.

Gauss yöntemi.

Çözüm.

a 11 katsayısı sıfır değildir, bu nedenle Gauss yönteminin doğrudan ilerlemesine, yani bilinmeyen x 1 değişkeninin birincisi hariç sistemin tüm denklemlerinden hariç tutulmasına geçelim. Bunu yapmak için ikinci, üçüncü ve sağ kısımların sol ve sağ kısımlarına dördüncü denklem birinci denklemin sol ve sağ taraflarını sırasıyla ile çarparak toplayalım, Ve :

Bilinmeyen x 1 değişkeni elendi, şimdi x 2'yi yok etmeye geçelim. Sistemin üçüncü ve dördüncü denklemlerinin sol ve sağ taraflarına, ikinci denklemin sol ve sağ taraflarını sırasıyla çarparak ekleriz. Ve :

Gauss yönteminin ileri ilerlemesini tamamlamak için sistemin son denkleminden bilinmeyen x3 değişkenini çıkarmamız gerekir. Dördüncü denklemin sol ve sağ taraflarına sırasıyla üçüncü denklemin sol ve sağ taraflarını çarparak ekleyelim. :

Gauss yöntemini tersine çevirmeye başlayabilirsiniz.

Elimizdeki son denklemden ,
elde ettiğimiz üçüncü denklemden,
ikinciden itibaren,
ilkinden.

Kontrol etmek için bilinmeyen değişkenlerin elde edilen değerlerini orijinal denklem sistemine değiştirebilirsiniz. Tüm denklemlerin özdeşliğe dönüşmesi Gauss yöntemini kullanan çözümün doğru bulunduğunu gösterir.

Cevap:

Şimdi aynı örneğe matris gösteriminde Gauss yöntemini kullanarak bir çözüm verelim.

Örnek.

Denklem sisteminin çözümünü bulun Gauss yöntemi.

Çözüm.

Sistemin genişletilmiş matrisi şu şekildedir: . Her sütunun üstünde matrisin elemanlarına karşılık gelen bilinmeyen değişkenler bulunur.

Buradaki Gauss yönteminin doğrudan yaklaşımı, sistemin genişletilmiş matrisinin temel dönüşümler kullanılarak yamuk forma indirilmesini içerir. Bu işlem, sistemle koordinat formunda yaptığımız bilinmeyen değişkenlerin ortadan kaldırılmasına benzer. Şimdi bunu göreceksiniz.

Matrisi, ikinci sütundan başlayarak ilk sütundaki tüm öğeler sıfır olacak şekilde dönüştürelim. Bunu yapmak için, ikinci, üçüncü ve dördüncü satırların elemanlarına, birinci satırın karşılık gelen elemanlarını ile çarparak ekleriz, ve buna göre:

Daha sonra, ortaya çıkan matrisi, ikinci sütunda üçüncüden başlayarak tüm öğelerin sıfır olacağı şekilde dönüştürüyoruz. Bu, bilinmeyen x 2 değişkeninin ortadan kaldırılmasına karşılık gelecektir. Bunu yapmak için, üçüncü ve dördüncü satırların elemanlarına, matrisin ilk satırının karşılık gelen elemanlarını sırasıyla çarparak ekleriz. Ve :

Geriye bilinmeyen x3 değişkenini sistemin son denkleminden hariç tutmak kalır. Bunu yapmak için öğelere gidin son satır elde edilen matrisin sondan bir önceki satırın karşılık gelen elemanlarını şununla çarparak toplarız: :

Bu matrisin bir doğrusal denklem sistemine karşılık geldiğine dikkat edilmelidir.

ileri bir hamleden sonra daha erken elde edildi.

Geri dönmenin zamanı geldi. Matris gösteriminde, Gauss yönteminin tersi, elde edilen matrisin şekilde işaretlenen matrisi elde edecek şekilde dönüştürülmesini içerir.

köşegen oldu, yani şeklini aldı

bazı sayılar nerede?

Bu dönüşümler Gauss yönteminin ileri dönüşümlerine benzer ancak ilk satırdan sonuncuya değil, sondan birinciye doğru gerçekleştirilir.

Üçüncü, ikinci ve birinci satırların elemanlarına, son satırın karşılık gelen elemanlarını şununla çarparak ekleyin: , durmadan sırasıyla:

Şimdi ikinci ve birinci satırların elemanlarına üçüncü satırın karşılık gelen elemanlarını sırasıyla ve ile çarparak ekleyin:

Ters Gauss yönteminin son adımında, ilk satırın elemanlarına ikinci satırın karşılık gelen elemanlarını şununla çarparak ekleriz:

Ortaya çıkan matris denklem sistemine karşılık gelir bilinmeyen değişkenleri bulduğumuz yerden.

Cevap:

NOT.

Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemini kullanırken, tamamen yanlış sonuçlara yol açabileceğinden yaklaşık hesaplamalardan kaçınılmalıdır. Ondalık sayıları yuvarlamamanızı öneririz. Daha iyi ondalık sayılar gitmek sıradan kesirler.

Örnek.

Gauss yöntemini kullanarak üç denklemden oluşan bir sistemi çözme .

Çözüm.

Bu örnekte bilinmeyen değişkenlerin farklı bir atamaya sahip olduğuna dikkat edin (x 1, x 2, x 3 değil, x, y, z). Sıradan kesirlere geçelim:

Bilinmeyen x'i sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden çıkaralım:

Ortaya çıkan sistemde, bilinmeyen değişken y ikinci denklemde yok ama üçüncü denklemde y mevcut, bu nedenle ikinci ve üçüncü denklemleri yer değiştirelim:

Bu, Gauss yönteminin doğrudan ilerleyişini tamamlar (bu bilinmeyen değişken artık mevcut olmadığından y'yi üçüncü denklemden çıkarmaya gerek yoktur).

Ters harekete başlayalım.

Bulduğumuz son denklemden ,
sondan bir öncekinden


elimizdeki ilk denklemden

Cevap:

X = 10, y = 5, z = -20.

Denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla örtüşmediği veya sistemin ana matrisinin tekil olduğu doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin Gauss yöntemini kullanarak çözülmesi.

Ana matrisi dikdörtgen veya kare tekil olan denklem sistemlerinin çözümü olmayabilir, tek çözümü olabilir veya sonsuz sayıda çözümü olabilir.

Şimdi Gauss yönteminin bir doğrusal denklem sisteminin uyumluluğunu veya tutarsızlığını belirlememize ve uyumlu olması durumunda tüm çözümleri (veya tek bir çözümü) belirlememize nasıl izin verdiğini anlayacağız.

Prensip olarak, bu tür SLAE'ler durumunda bilinmeyen değişkenleri ortadan kaldırma süreci aynı kalır. Ancak ortaya çıkabilecek bazı durumlar hakkında detaya inmekte fayda var.

Gelelim en önemli aşamaya.

Dolayısıyla, Gauss yönteminin ileri ilerlemesini tamamladıktan sonra doğrusal cebirsel denklemler sisteminin şu şekli aldığını varsayalım: ve tek bir denklem bile indirgenmedi (bu durumda sistemin uyumsuz olduğu sonucuna varırdık). Mantıklı bir soru ortaya çıkıyor: "Bundan sonra ne yapmalı?"

Ortaya çıkan sistemin tüm denklemlerinde ilk sırada yer alan bilinmeyen değişkenleri yazalım:

Örneğimizde bunlar x 1, x 4 ve x 5'tir. Sistemin denklemlerinin sol taraflarında yalnızca yazılı bilinmeyen değişkenler x 1, x 4 ve x 5'i içeren terimleri bırakıyoruz, geri kalan terimler ters işaretle denklemlerin sağ tarafına aktarılıyor:

Denklemlerin sağ tarafında yer alan bilinmeyen değişkenlere keyfi değerler verelim; - keyfi sayılar:

Bundan sonra SLAE'mizin tüm denklemlerinin sağ tarafları sayılar içerir ve Gauss yönteminin tersine ilerleyebiliriz.

Sistemin sahip olduğumuz son denkleminden, bulduğumuz sondan bir önceki denklemden, elde ettiğimiz ilk denklemden

Bir denklem sisteminin çözümü, bilinmeyen değişkenlerin değerlerinin bir kümesidir

Numara Vermek Farklı anlamlar, Alacağız çeşitli çözümler denklem sistemleri. Yani denklem sistemimizin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Cevap:

Nerede - keyfi sayılar.

Malzemeyi pekiştirmek için birkaç örneğin daha çözümlerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Örnek.

Karar vermek homojen sistem doğrusal cebirsel denklemler Gauss yöntemi.

Çözüm.

Bilinmeyen x değişkenini sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden hariç tutalım. Bunu yapmak için ikinci denklemin sol ve sağ taraflarına sırasıyla birinci denklemin sol ve sağ taraflarını ile çarparak, üçüncü denklemin sol ve sağ taraflarına ise sol ve sağ taraflarını ekliyoruz. ilk denklemin sağ tarafları şununla çarpılır:

Şimdi ortaya çıkan denklem sisteminin üçüncü denkleminden y'yi hariç tutalım:

Ortaya çıkan SLAE, sisteme eşdeğerdir .

Sistem denklemlerinin sol tarafında yalnızca bilinmeyen x ve y değişkenlerini içeren terimleri bırakıp, bilinmeyen z değişkenini içeren terimleri sağ tarafa taşıyoruz:

Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için en yaygın yöntemlerden biri olan Gauss yöntemini ele alalım. Bu yöntem (aynı zamanda bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi olarak da adlandırılır), çeşitli versiyonları 2000 yıldan fazla bir süredir bilinmektedir.

Gauss yöntemi kullanılarak yapılan hesaplamalar ileri hareket ve geri hareket (geriye doğru ikame) adı verilen iki ana adımdan oluşur. Gauss yönteminin doğrudan yaklaşımı, bilinmeyenleri sistemden (5.1) sırayla eleyerek onu sisteme dönüştürmekten oluşur. eşdeğer sistem bir üst üçgen matris ile. Bilinmeyenlerin değerlerinin hesaplanması ters aşamada gerçekleştirilir.

1. Tek bir bölümün şeması.

Önce düşünelim en basit seçenek Gauss yöntemi, tek bölme şeması olarak adlandırılır.

İleriye doğru hamle eleme adımlarından oluşur.

1. adım. Bu adımın amacı sayılarla denklemlerden bilinmeyenleri ortadan kaldırmaktır. Diyelim ki katsayıya 1. adımın ana (veya öncü) elemanı diyeceğiz.

Miktarları bulalım

1. adım çarpanları denir. Sistemin ikinci, üçüncü denklemlerini sırasıyla (5.1) ile çarparak birinci denklemi çıkaralım.

birincisi hariç tüm denklemlerde sıfır katsayılar. Sonuç olarak eşdeğer bir sistem elde ederiz.

formüller kullanılarak hesaplanırlar

2. adım. Bu adımın amacı sayılarla denklemlerden bilinmeyenleri ortadan kaldırmaktır. Adımın ana (veya öncü) elemanı olarak adlandırılan bir katsayı nerede olsun. 2. adımın faktörlerini hesaplayalım

ve sırasıyla (5.30) sisteminin üçüncü, dördüncü denklemlerinden ikinci denklemi ile çarparak çıkarın. Sonuç olarak sistemi elde ediyoruz.

Burada katsayılar formüller kullanılarak hesaplanır.

Geriye kalan adımlar da benzer şekilde gerçekleştirilir. Bir sonraki adımı anlatalım.

k. adım. Adımın ana (öncü) öğesinin sıfırdan farklı olduğunu varsayarak adım çarpanlarını hesaplıyoruz

ve önceki adımda elde edilen sistem denklemlerinden sırayla denklemin çarpılmasıyla çıkarılır.

Yok etme adımından sonra bir denklem sistemi elde ederiz

matrisi üst üçgendir. Bu ileri hesaplamaları tamamlar.

Ters hareket. Sistemin son denkleminden (5.33) bulduğumuz değeri sondan bir önceki denklemde yerine koyarak, ters ikameyi gerçekleştirerek, burada formüller kullanılarak başarılı bir şekilde hesaplamalar yaparız.

Yöntemin karmaşıklığı. Tek bölme şemasını uygulamak için gereken aritmetik işlem sayısını tahmin edelim.

(5.29), (5.31) formüllerini kullanarak 1. eleme adımının hesaplamaları bölme, çarpma ve çıkarmayı gerektirir; toplam sayısı aritmetik işlemler Benzer şekilde, bir adım işlem gerektirir ve bir adım işlem gerektirir.

Şimdi sistemin boyutunun yeterince büyük olduğunu dikkate alarak ileri aritmetik işlemlerin toplam sayısını yaklaşık olarak hesaplayalım:

Görülmesi kolay olduğu gibi, formül (5.34)'e göre ters vuruşu uygulamak için toplam operasyona ihtiyacınız vardır; bu, büyük operasyonlar için ileri vuruş operasyonlarının sayısıyla karşılaştırıldığında ihmal edilebilir düzeydedir.

Bu nedenle Gauss yöntemini uygulamak için yaklaşık olarak aritmetik işlemler gerekir ve bu işlemlerin büyük çoğunluğu ileri aşamada gerçekleştirilir.

Örnek 5.7. Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözüyoruz

Doğrudan hareket. 1. adım. Faktörleri hesaplayalım. Sistemin ikinci, üçüncü ve dördüncü denklemlerinden (5.35) çıkararak sırasıyla birinci denklemi elde ederiz.

2. adım. Faktörleri hesaplayalım. Sistemin üçüncü ve dördüncü denklemlerinden (5.36) sırasıyla ikinci denklemi çıkararak sisteme ulaşıyoruz.

3. adım. Faktörü hesaplayıp sistemin dördüncü denkleminden (5.37) üçüncü denklemi çıkararak sistemi üçgen forma indirgemiş oluyoruz:

Ters hareket. Bulduğumuz sistemin son denkleminden değeri üçüncü denklemde yerine koyarsak, buluruz.

Hesaplama sonuçları aşağıdaki tabloda özetlenebilir.

Tablo 5.2 (bkz. tarama)

Ana unsurları seçme ihtiyacı. Faktörlerin hesaplanmasının yanı sıra ters ikamenin de ana öğelere bölünmesi gerektiğini unutmayın. Bu nedenle, ana öğelerden biri sıfıra eşitse tek bölme şeması uygulanamaz. Sağduyu tüm ana unsurların sıfırdan farklı olduğu ancak aralarında sıfıra yakın olanların da bulunduğu bir durumda hatanın kontrolsüz bir şekilde artmasının mümkün olduğunu ileri sürmektedir.

Örnek 5.8. Gauss yöntemini kullanarak denklem sistemini çözüyoruz

-bit ondalık bilgisayarda.

Doğrudan hareket. 1. adım. Faktörleri hesaplayıp sistemi forma dönüştürüyoruz

Bu adımdaki tüm hesaplamalar yuvarlama yapılmadan gerçekleştirilir.

2. adım. Çarpan hesaplandıktan sonra sistemin son denklemi aşağıdaki forma dönüştürülmelidir. Ancak kullanılan bilgisayarda denklem elde edilecektir.

Aslında katsayı kesin olarak belirlenir, çünkü hesaplanırken mantisleri 6 rakamdan fazla olan sayılar yoktur. Aynı zamanda hesaplama yaparken 3,0001 katsayısı ile çarpıldığında 7 basamaklı 105003,5 sayısı elde edilir, 6 basamağa yuvarlandıktan sonra sonuç 105004 olur. Hesaplama 62) çıkarma işlemi yapılarak tamamlanır: . Yuvarlamadan sonra son tarih Mantisin 6 hanesine kadar denklem (5.41)'e ulaşıyoruz.

Ters hareket. Denklem (5.41)'den de 1.00001'i buluyoruz. Gerçek değerle karşılaştırıldığında bu değerin kullanılan bilgisayar için oldukça yüksek doğrulukla elde edildiği görülmektedir. Daha ileri hesaplamalar

Yuvarlamadan sonra elimizde .

Görülmesi kolay olduğu gibi bilinmeyenlerin bulunan değerlerinin gerçek değerlerçözümler

Bu kadar önemli bir hatanın nedeni nedir? Toplamda 28 aritmetik işlem gerçekleştirildiğinden ve sadece 4 durumda yuvarlama gerekli olduğundan yuvarlama hatalarının birikmesinden bahsetmeye gerek yoktur. Sistemin kötü şartlandırıldığı varsayımı doğrulanmadı; hesaplama değeri ve 100'ü verir.

Gerçekte bunun nedeni, basamakta küçük bir öncü unsurun kullanılmasıdır, bunun sonucu olarak büyük bir unsurun ortaya çıkması olmuştur.

çarpan ve sistemin son denklemindeki katsayıda önemli bir artış.

Böylece, Gauss yönteminin yukarıdaki versiyonunun (tek bölme şeması) hatalı olduğu ve dolayısıyla bilgisayar hesaplamaları için uygun olmadığı ortaya çıktı. Bu yöntem acil durdurmaya yol açabilir (eğer herhangi bir nedenden dolayı ve onu kullanan hesaplamalar kararsız olabilirse).

2. Ana elemanın sütuna göre seçilmesiyle Gauss yöntemi (kısmi seçim şeması).

Yöntemin açıklaması. İleri adımda sistemin sayılarla denklemlerinin katsayıları formüllere göre dönüştürülür.

Sistem katsayılarında ve ilgili hatalarda güçlü bir artıştan kaçınmak için büyük çarpanların ortaya çıkmasına izin verilmemesi gerektiği sezgisel olarak açıktır.

Ana elemanın sütuna göre seçildiği Gauss yönteminde, tüm k'lar için garanti edilir. Gauss yönteminin bu versiyonu ile tek bölme şeması arasındaki fark, yok etme adımında maksimum modülo katsayısı a'nın seçilmesidir. ana unsur olarak. Sayılı denklemlerde bilinmeyen için, seçilen katsayıya karşılık gelen sayının denklemi sistemin denklemi ile değiştirilir. ana unsur katsayının yerini aldı

Bu permütasyondan sonra tek bölmeli şemada olduğu gibi bilinmeyenlerin hariç tutulması gerçekleştirilir.

Örnek 5.9. Denklem sistemini (5.39) Gauss yöntemini kullanarak, ana elemanın sütun bazında seçilmesiyle -bitlik bir ondalık bilgisayarda çözelim.

Doğrudan hareket. 1. adım. Matrisin ilk sütundaki maksimum elemanı ilk satırda olduğundan denklemlerin yeniden düzenlenmesine gerek yoktur. Burada 1. adım örnek 5.8'dekiyle tamamen aynı şekilde gerçekleştirilir.

2. adım. Sistem matrisinin (5.40) elemanlarından en büyüğü üçüncü denkleme aittir. İkinci ve üçüncü denklemleri değiştirerek sistemi elde ederiz

Hesaplamanın ardından sistemin son denklemi forma dönüştürülür.

Ters hareket. Bulduğumuz son denklemden ayrıca, bu durumda cevabın doğru olduğu ortaya çıktı.

dikkat et ki ekstra iş Kısmi bir seçim şemasında ana elemanların seçimi, pratikte yöntemin genel karmaşıklığını etkilemeyen bir dizi eylem gerektirir.

Kısmi seçim şemasının hesaplamalı kararlılığı. Gauss yönteminin ayrıntılı bir çalışması, tek bölümlü şemanın istikrarsızlığının gerçek nedeninin, ileri hareket sürecinde ara matris elemanlarının sınırsız büyüme olasılığı olduğunu göstermektedir. Kısmi seçim şemasının 1. adımında, formül (5.42) kullanılarak hesaplanan elemanlar için aşağıdaki tahmin geçerlidir: Bu nedenle, matris elemanlarının maksimum mutlak değeri bir adımda en fazla 2 kat artar ve en olumsuz durumda durumda, ileri adım bir büyüme katsayısı verecektir

Matris elemanlarının büyümesinin sınırlı olduğunun garantisi, kısmi seçim şemasını hesaplama açısından kararlı hale getirir. Ayrıca bunun için aşağıdaki hata tahmininin geçerli olduğu ortaya çıkmaktadır:

İşte sisteme bilgisayar destekli bir çözüm; göreceli hatası; matris koşulu numarası em - makine epsilon; son olarak sistemin sırasına bağlı olarak yavaş yavaş büyüyen bazı işlevler (örneğin güç fonksiyonu küçük bir göstergeyle), büyüme oranı.

Tahminde (5.43) bir çarpanın bulunması, büyük olduğunda kısmi seçim şemasının koşulsuz olabileceğini ve önemli bir doğruluk kaybının mümkün olabileceğini gösterir. Ancak pratik matris hesaplamaları matris elemanlarının önemli büyümesinin son derece nadir meydana geldiğini göstermektedir. Vakaların büyük çoğunluğunda Gerçek değer büyüme faktörü 8-10'u geçmez. Sistem iyi koşullandırılmışsa, hesaplanan çözümün hatası kural olarak küçüktür.

Bazen yaklaşık çözümün kalitesini kontrol etmek için x

Tutarsızlığı hesaplarlar ve yaklaşık çözümün kesin çözüme yakınlık derecesini, tutarsızlığın ne kadar küçük olduğuna karar vermeye çalışırlar. Bu yöntem kısmi seçim şemasına göre güvenilmezdir çünkü küçük hatalar vereceği garantidir. Daha doğrusu bu ifade şu şekilde formüle edilebilir: Tahmin adildir

nerede tahmin (5.43) ile aynıdır. Eşitsizliğin (5.44) koşul numarasını içermediğine dikkat edin.

3. Matris boyunca ana elemanın örnekleriyle Gauss yöntemi (tam seçim şeması).

Bu plan, bilinmeyenlerin ortadan kaldırılmasına ilişkin doğal düzenin ihlal edilmesine olanak tanır.

Yöntemin 1. adımında elemanlardan mutlak değeri en büyük olan eleman belirlenir. Sistemin ilk denklemi ile numaralı denklem yer değiştirir. Daha sonra bilinmeyen x, birincisi dışındaki tüm denklemlerden standart bir şekilde hariç tutulur. (bu, kısmi seçim şemasına karşılık gelen değerden önemli ölçüde düşüktür). için henüz bir matris bulunmadığını vurguluyoruz. tam seçim değeri verecektir. Dolayısıyla iyi koşullandırılmış sistemler için Gauss yönteminin bu versiyonu iyi koşullandırılmıştır.

Ancak burada iyi koşulluluk garantisi, ana unsurların seçimi için önemli maliyetler pahasına elde edilir. Bunun için ayrıca Aritmetik işlemler Bilgisayardaki sorunu çözme sürecini önemli ölçüde yavaşlatabilecek yaklaşık karşılaştırma işlemlerinin yapılması gerekir. Bu nedenle, çoğu durumda, uygulamada hala kısmi seçim şeması tercih edilmektedir. Daha önce belirtildiği gibi, Gauss yönteminin bu versiyonunu kullanırken elementlerde önemli bir artışın meydana geldiği durumlar son derece nadirdir. Üstelik bu durumlar yerleşik yazılım kullanılarak kolaylıkla tespit edilebilir. modern programlar etkili yöntemler matris elemanlarının büyümesinin izlenmesi.

4. Ana elemanların seçiminin gerekli olmadığı durumlar.

Bazı matris sınıfları için, tek bölme şeması kullanıldığında ana elemanların ana köşegen üzerinde yer almasının garanti edildiği ve bu nedenle kısmi seçimin kullanılmasına gerek olmadığı bilinmektedir. Bu, örneğin pozitif tanımlı matrislere sahip sistemler için olduğu kadar, pozitif tanımlı matrislere sahip sistemler için de geçerlidir. aşağıdaki özellikçapraz hakimiyet:

(5.45) koşulunu karşılayan matrisler, her satırda ana köşegen üzerinde bulunan elemanın modülü, satırın diğer tüm elemanlarının modüllerinin toplamından daha büyük olacak şekildedir.

5. Ölçekleme.

Çözüme başlamadan önce, katsayıları birlik düzeyinde olacak şekilde sistemi ölçeklendirmeniz önerilir.

İki tane doğal yol sistemin ölçeklendirilmesi Birincisi, denklemlerin her birinin bir ölçeklendirme faktörü ile çarpılmasından oluşur. İkincisi, matrisin her sütununun, değişkenlerin değiştirilmesine karşılık gelen ölçeklendirme faktörü ile çarpılmasından oluşur (aslında bu, birimlerin değiştirilmesidir). ölçüm). İÇİNDE gerçek durumlarÇoğu zaman ölçeklendirme önemli zorluklar olmadan gerçekleştirilebilir. Ancak şunu vurguluyoruz: Genel dava tatmin edici bir ölçeklendirme yöntemi henüz bulunamamıştır.

Pratikte ölçeklendirme genellikle her denklemin büyüklük açısından en büyük katsayısına bölünmesiyle yapılır. Bu, çoğu gerçek hayat problemi için tamamen tatmin edici bir yöntemdir.

Bugün doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemini inceliyoruz. Aynı SLAE'leri Cramer yöntemini kullanarak çözmeye ayrılmış önceki makalede bu sistemlerin ne olduğunu okuyabilirsiniz. Gauss yöntemi herhangi bir özel bilgi gerektirmez, yalnızca dikkat ve tutarlılığa ihtiyacınız vardır. Matematik açısından bakıldığında onu uygulamak yeterli olmasına rağmen okul hazırlığı, öğrenciler genellikle bu yöntemde uzmanlaşmakta zorlanırlar. Bu yazıda bunları hiçliğe indirgemeye çalışacağız!

Gauss yöntemi

M Gauss yöntemi– SLAE'leri çözmek için en evrensel yöntem (çok büyük sistemler). Daha önce tartışılanın aksine sadece tek çözümü olan sistemler için değil aynı zamanda sonsuz sayıda çözümü olan sistemler için de uygundur. Burada üç olası seçenek var.

1. Sistemin benzersiz bir çözümü vardır (sistemin ana matrisinin determinantı sıfıra eşit değildir);
2. Sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır;
3. Çözüm yok, sistem uyumsuz.

Yani bir sistemimiz var (bir çözümü olsun) ve onu Gauss yöntemini kullanarak çözeceğiz. Nasıl çalışır?

Gauss yöntemi ileri ve ters olmak üzere iki aşamadan oluşur.

Gauss yönteminin doğrudan vuruşu

Öncelikle sistemin genişletilmiş matrisini yazalım. Bunu yapmak için ana matrisücretsiz üyelerden oluşan bir sütun ekleme.

Gauss yönteminin tüm özü, temel dönüşümler yoluyla, bu matris kademeli (veya aynı zamanda üçgen dedikleri gibi) bir görünüme. Bu formda, matrisin ana köşegeninin altında (veya üstünde) yalnızca sıfırlar bulunmalıdır.

Ne yapabilirsin:

1. Matrisin satırlarını yeniden düzenleyebilirsiniz;
2. Bir matriste eşit (veya orantılı) satırlar varsa, bunlardan biri hariç tümünü kaldırabilirsiniz;
3. Bir dizeyi herhangi bir sayıyla (sıfır hariç) çarpabilir veya bölebilirsiniz;
4. Boş satırlar kaldırıldı;
5. Bir dizeye sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılan bir dize ekleyebilirsiniz.

Ters Gauss Yöntemi

Sistemi bu şekilde dönüştürdükten sonra bilinmeyen bir Xn bilinir hale gelir ve yapabilirsiniz Ters sipariş Geriye kalan tüm bilinmeyenleri, zaten bilinen x'leri sistemin denklemlerinde birinciye kadar yerine koyarak bulun.

İnternet her zaman elinizin altında olduğunda, Gauss yöntemini kullanarak bir denklem sistemini çözebilirsiniz. çevrimiçi. Katsayıları çevrimiçi hesap makinesine girmeniz yeterlidir. Ama kabul etmelisiniz ki örneğin çözülmediğini fark etmek çok daha keyifli bilgisayar programı, ama kendi beyninizle.

Gauss yöntemini kullanarak bir denklem sistemini çözme örneği

Ve şimdi - her şeyin net ve anlaşılır hale gelmesi için bir örnek. Bir doğrusal denklem sistemi verilse, bunu Gauss yöntemini kullanarak çözmeniz gerekir:

Öncelikle genişletilmiş matrisi yazalım:

Şimdi dönüşümleri yapalım. Neyi başarmamız gerektiğini hatırlıyoruz görünüşte üçgen matrisler. 1. satırı (3) ile çarpalım. 2. satırı (-1) ile çarpın. 2. satırı 1. satıra ekleyin ve şunu elde edin:

Daha sonra 3. satırı (-1) ile çarpın. 3. satırı 2. satıra ekleyelim:

1. satırı (6) ile çarpalım. 2. satırı (13) ile çarpalım. 2. satırı 1. satıra ekleyelim:

Voila - sistem uygun forma getirildi. Bilinmeyenleri bulmak için kalır:

Bu örnekteki sistemin benzersiz bir çözümü var. Sistemleri çözme sonsuz sayıÇözümlere ayrı bir makalede bakacağız. Belki ilk başta matrisi dönüştürmeye nereden başlayacağınızı bilemeyeceksiniz, ancak uygun uygulamadan sonra alışacaksınız ve SLAE'leri Gauss yöntemini kullanarak fındık gibi kıracaksınız. Ve aniden kırılması çok zor olan bir SLA ile karşılaşırsanız yazarlarımızla iletişime geçin! Yazışma Bürosuna bir talep bırakarak bunu yapabilirsiniz. Birlikte her sorunu çözeceğiz!

(SLAE), bilinmeyenli denklemlerden oluşur:

Yani sisteme tek bir çözümün olduğu varsayılmaktadır.

Bu makalede, Gauss yöntemini kullanarak bir sistemi çözerken ortaya çıkan hatanın nedenleri, bu hatayı belirleme ve ortadan kaldırma (azaltma) yolları tartışılacaktır.

Yöntemin açıklaması

Doğrusal denklem sistemini çözme süreci

Gauss yöntemine göre 2 aşamadan oluşur:

• Tersi Doğrudan tanım Bilinmeyen

Yöntemin analizi

Bu yöntem, bir denklem sistemini çözmek için doğrudan yöntemler sınıfına aittir; bu, şu anlama gelir: son sayı Adımlarda, giriş verilerinin (matris ve matris) sağlanması koşuluyla kesin bir çözüm elde edebilirsiniz. sağ kısım denklemleri - ) tam olarak belirtilir ve hesaplama yuvarlama yapılmadan gerçekleştirilir. Çözüm elde etmek için çarpma ve bölme işlemleri yani işlem sırası gereklidir.

Yöntemin kesin bir çözüm ürettiği koşullar pratikte mümkün değildir; hem girdi verisi hataları hem de yuvarlama hataları kaçınılmazdır. O zaman şu soru ortaya çıkıyor: Gauss yöntemi kullanılarak ne kadar doğru bir çözüm elde edilebilir, yöntem ne kadar doğrudur? Giriş parametrelerine göre çözümün kararlılığını belirleyelim. Orijinal sistemin yanı sıra bozulmuş sistemi de göz önünde bulundurun:

Bazı normların getirilmesine izin verin. - matrisin koşul numarası olarak adlandırılır.

3 olası durum vardır:

Bir matrisin koşul numarası her zaman . Büyükse (), matrisin kötü koşullandığı söylenir. Bu durumda sistemin sağ tarafında ya başlangıç ​​verilerinin belirtilmesindeki yanlışlıktan ya da hesaplama hatalarından kaynaklanan küçük bozulmalar sistemin çözümünü önemli ölçüde etkiler. Kabaca söylemek gerekirse, eğer sağ tarafın hatası ise, o zaman çözümün hatası da olacaktır.

Elde edilen sonuçları aşağıdaki sayısal örnekle açıklayalım: Verilen bir sistem

Onun bir çözümü var.

Şimdi tedirgin sistemi düşünün:

Böyle bir sistemin çözümü bir vektör olacaktır.

Sağ tarafta çok küçük bir tedirginlikle kıyaslanamaz bir sonuç elde ettik büyük öfkeçözümler. Çözümün bu "güvenilmezliği", matrisin neredeyse tekil olmasıyla açıklanabilir: iki denkleme karşılık gelen düz çizgiler, grafikte görülebileceği gibi neredeyse çakışmaktadır:

Bu sonuç, matrisin zayıf koşulluluğu nedeniyle tahmin edilebilirdi:

Hesaplama oldukça karmaşıktır, tüm sistemin çözümüyle karşılaştırılabilir, bu nedenle hatayı tahmin etmek için daha basit ancak uygulaması daha basit yöntemler kullanılır.

Hataları değerlendirme yöntemleri

Sistemin kontrol elemanlarından oluşan bir kontrol sütunu oluşturuyoruz:

Denklemleri dönüştürürken kontrol elemanları üzerinde de aynı işlemler gerçekleştirilir. ücretsiz üyeler Denk. Sonuç olarak kontrol elemanı Her yeni denklemin değeri bu denklemin katsayılarının toplamına eşit olmalıdır. Aralarında büyük bir tutarsızlık, hesaplamalardaki hataları veya hesaplama algoritmasının hesaplama hatasına göre kararsızlığını gösterir.

2) Bilinen bir çözümün göreceli hatası önemli ek maliyetler olmadan kararın hatası hakkında bir yargıya varmanızı sağlar.

İstenilen çözümün bileşenleri ile mümkünse aynı sıra ve işarete sahip bileşenlerle belirli bir vektör belirtilir. Vektör hesaplanır ve sistem orijinal denklem sistemiyle birlikte çözülür.

Bu sistemlerin gerçekte elde edilen çözümleri olsun ve olsun. İstenilen çözümün hatası hakkında bir yargıya hipoteze dayanarak ulaşılabilir: göreceli hatalar Aynı matrise ve farklı sağ taraflara sahip sistemler, yani miktarlar sırasıyla eleme yöntemiyle çözülürken, çok fazla farklılık göstermezler. Büyük sayı bir kere.

3) Ölçekleri değiştirme - Hesaplamalarda yuvarlama nedeniyle ortaya çıkan hatanın gerçek büyüklüğü hakkında fikir edinmek için kullanılan bir teknik.

Orijinal sistemle birlikte sistem aynı yöntemle çözülür.

Yuvarlama hatası olmasaydı, orijinal ve ölçeklendirilmiş sistemlerin çözümleri için eşitlik geçerli olurdu: . Bu nedenle ikinin kuvvetleri olmayan ve için vektörlerin karşılaştırılması hesaplama hatasının büyüklüğü hakkında fikir verir.

Gauss Eliminasyon Yönteminin Geliştirilmesi

Aşağıda tartışılan Gauss yöntemindeki değişiklikler sonucun hatasını azaltabilir.

Ana elemanın seçilmesi

Yöntemdeki hatadaki ana artış, ileri hareket sırasında, öndeki satır katsayılarla çarpıldığında meydana gelir. Katsayılar 1%20" alt= >1 "> ise önceki adımlarda elde edilen hatalardır. Bunu önlemek için, ana elemanın seçimi ile yöntemin bir modifikasyonu uygulanır. Her adımda, olağan devreye bir seçim eklenir. maksimum eleman aşağıdaki gibi sütuna göre:

Bilinmeyenlerin elenmesiyle denklem sistemi elde edilsin:

-e ve -e seviyelerinin yerlerini değiştirecek şekilde bulalım.

Çoğu durumda böyle bir dönüşüm, çözümün hesaplamalardaki yuvarlama hatalarına karşı duyarlılığını önemli ölçüde azaltır.

Sonucun yinelemeli iyileştirilmesi

Ortaya çıkan çözümün ciddi şekilde bozulduğuna dair bir şüphe varsa, sonucu aşağıdaki şekilde iyileştirebilirsiniz. miktarına artık denir. Hata denklem sistemini karşılıyor

Bu sistemi çözerek bir yaklaşıklık elde ederiz ve şunu varsayarız:

Bu yaklaşımın doğruluğu tatmin edici değilse, bu işlemi tekrarlarız.

Tüm bileşenler yeterince küçük olana kadar işleme devam edilebilir. Bu durumda, artık vektörünün tüm bileşenleri yeterince küçük olduğu için hesaplamaları durduramazsınız: bu, katsayı matrisinin kötü koşullandırılmasının bir sonucu olabilir.

Sayısal örnek

Örneğin 7x7'lik bir Vandermonde matrisini ve 2 farklı sağ tarafı düşünün:

Bu sistemler iki şekilde çözüldü. Veri türü - kayan nokta. Sonuç olarak aşağıdaki sonuçları elde ettik: