Normal dağılım

Dağıtım, çokgen (veya özel çokgen) ve dağıtım eğrisi kavramlarına zaten aşinayız. Bu kavramların özel bir durumu “normal dağılım” ve “normal eğri”dir. Ancak bu özel seçenek, psikolojik olanlar da dahil olmak üzere herhangi bir bilimsel veriyi analiz ederken çok önemlidir. Gerçek şu ki, grafiksel olarak gösterilen normal dağılım normal eğri Nesnel gerçeklikte nadiren bulunan ideal bir dağılım vardır. Ancak kullanımı, ayni olarak elde edilen verilerin işlenmesini ve açıklanmasını büyük ölçüde kolaylaştırır ve basitleştirir. Üstelik sadece normal bir dağılım için verilen korelasyon katsayıları bağlantının yakınlığının bir ölçüsü olarak yorumlanabilir; diğer durumlarda ise böyle bir işlev görmezler ve bunların hesaplanması açıklanması zor paradokslara yol açar.

İÇİNDE bilimsel araştırma varsayım genellikle kabul edilir O gerçek verilerin dağılımının normalliği ve bu temelde işlenir, ardından bir takım özel istatistiksel tekniklerin kullanıldığı gerçek dağılımın normal dağılımdan ne kadar farklı olduğu açıklığa kavuşturulur ve gösterilir. Kural olarak, bu varsayım oldukça kabul edilebilirdir, çünkü çoğu psişik olaylar ve özellikleri normale çok yakın dağılımlara sahiptir.

Peki normal dağılım nedir ve bilim adamlarını cezbeden özellikleri nelerdir? Normal Bir büyüklüğün oluşma ve oluşmama olasılıkları aynı olacak şekilde dağılımına denir. Klasik örnek yazı tura atmaktır. Eğer para adilse ve atışlar aynı şekilde yapılıyorsa, yazı veya tura gelme olasılığı da eşit derecede yüksektir. Yani, “turalar” aynı olasılıkla düşebilir ve düşmeyebilir, aynı durum “yazı” için de geçerlidir.

“Olasılık” kavramını tanıttık. Bunu açıklığa kavuşturalım. Olasılık– bu, bir olayın beklenen gerçekleşme sıklığıdır (oluşma – bir değerin ortaya çıkışı değil). Olasılık, payı gerçekleşen olayların sayısı (frekans) olan bir kesirle ifade edilir ve V payda - maksimum olası sayı bu olaylar. Örnek alındığında (sayı olası vakalar) sınırlıysa, olasılık hakkında konuşmak daha iyidir, ancak O zaten aşina olduğumuz frekans. Olasılık şeytanı gösteriyor son sayıörnekler Ancak pratikte bu incelik sıklıkla göz ardı edilir.

Matematikçilerin olasılık teorisine yoğun ilgisi V genel olarak ve özel olarak normal dağılıma görünür V Katılımcıların isteği üzerine XVII. yüzyılda kumar Minimum riskle maksimum kazanç için bir formül bulun. Ünlü matematikçiler J. Bernoulli (1654-1705) ve P. S. Laplace (1749-1827) bu soruları ele aldılar. Birinci matematiksel açıklama madeni para birden çok kez atıldığında tura gelme olasılıklarının dağılım diyagramının bölümlerini birleştiren eğri, Abraham de Moivre(1667-1754). Bu eğri çok yakın normal eğri verdiği tam bir açıklama büyük matematikçi K. F. Gauss(1777-1855) bugün hâlâ adını taşıyor. Normal (Gauss) bir eğrinin grafiği ve formülü aşağıdaki gibidir.

burada P olasılıktır (daha doğrusu olasılık yoğunluğu), yani yukarıdaki eğrinin yüksekliği verilen değer Z; e – taban doğal logaritma(2,718...); π= 3,142...; M – numune ortalaması; σ – standart sapma.

Normal bir eğrinin özellikleri

1. Ortalama (M), mod (Mo) ve medyan (Me) aynıdır.

2. Ortalama M'ye göre simetri.

3. Açıkça yalnızca iki parametreyle belirlenir - M ve o.

4. Eğrinin “dalları” hiçbir zaman apsis Z'yi geçmez ve ona asimptotik olarak yaklaşır.

5. M = 0 ve o = 1 için, altındaki alan 1'e eşit olduğundan birim normal eğri elde ederiz.

6. Birim eğri için: P m = 0,3989 ve eğrinin altındaki alan şu aralıktadır:

-σ ila +σ = %68,26; -2σ ila + 2σ = %95,46; -Зσ ila + Зσ = %99,74.

7. Birim olmayan normal eğriler için (M ≠0, σ ≠1), alanlardaki desen korunur. Aradaki fark yüzlerce.

Normal dağılımın varyasyonları

Aşağıda sunulan varyasyonlar yalnızca normal dağılım için değil, herhangi biri için geçerlidir. Ancak netlik sağlamak amacıyla bunları burada sunuyoruz.

1. Asimetri – merkezi değere göre eşit olmayan dağılım.

4.1. Gözlemlerin dağılımı genellikle normal midir?

Özellikle pazarlama ve yönetim süreçlerinin, kurumsal ve bölgesel yönetimin incelenmesinde ve optimizasyonunda kullanılan ekonometrik ve ekonomik-matematiksel modellerde, teknolojik süreçlerin doğruluğu ve istikrarı, güvenilirlik sorunları, çevre güvenliği de dahil olmak üzere güvenliğin sağlanması, Teknik cihazların ve nesnelerin işleyişi, organizasyon şemalarının geliştirilmesi sıklıkla olasılık teorisinin kavramlarını ve sonuçlarını uygular ve matematiksel istatistik. Bu durumda, sıklıkla bir veya daha fazla parametrik olasılık dağılım ailesi kullanılır. En popüler olanı normal dağılımdır. Lognormal dağılım, üstel dağılım, gama dağılımı, Weibull-Gnedenko dağılımı vb. de kullanılır.

Açıkçası, modellerin gerçekliğe uygunluğunu her zaman kontrol etmek gerekir.

İki soru ortaya çıkıyor. Gerçek dağılımlar modelde kullanılanlardan farklı mı? Bu fark sonuçları ne kadar etkiliyor?

Aşağıda, normal dağılım örneği ve buna dayalı olarak çok farklı gözlemleri (aykırı değerleri) reddetmek için kullanılan yöntemler kullanılarak, gerçek dağılımların neredeyse her zaman klasik parametrik ailelerin içerdiği dağılımlardan farklı olduğu ve verilen ailelerden mevcut sapmaların yanlış sonuçlara yol açtığı gösterilmektedir. ele alınan davada, bu ailelerin kullanımına dayalı olarak reddedilme hakkında.

Ölçüm sonuçlarının normal olduğunu önceden varsaymak için herhangi bir gerekçe var mı? Bazen, ölçüm hatasının (veya başka bir rastgele değişkenin) birçok küçük faktörün birleşik eyleminin bir sonucu olarak belirlendiği durumda, o zaman Merkezi faktörden kaynaklandığı iddia edilir. Limit Teoremi Olasılık teorisinin (CPT), bu niceliğe normal bir rastgele değişkenle (dağılımda) iyi bir şekilde yaklaşılır. Bu ifade, eğer küçük faktörler birbirine eklenerek ve birbirlerinden bağımsız olarak hareket ediyorsa doğrudur. Çarpımsal olarak hareket ediyorlarsa, aynı CLT nedeniyle, logaritmik olarak normal bir dağılımla yaklaştırılmaları gerekir. İÇİNDE uygulamalı problemler Küçük faktörlerin etkisinin çokluğu yerine toplanabilirliğini kanıtlamak genellikle mümkün değildir. Bağımlılık varsa

genel karakter , toplamsal veya çarpımsal forma indirgenmemişse ve ayrıca üstel, Weibull-Gnedenko, gama veya diğer dağılımları veren modelleri kabul etmek için hiçbir neden yoksa, o zaman son rastgele değişkenin dağılımı hakkında intra-in dışında pratik olarak hiçbir şey bilinmemektedir. düzenlilik gibi matematiksel özellikler. Hem yerel düzenleyici ve teknik belgelerde hem de uluslararası standartlarda bulunmaya devam eden regresyon, varyans, faktör analizleri, metrolojik modeller. Operasyonel güvenliği sağlamaya yönelik sistemlerin tasarımında kullanılan belirli özelliklerin ulaşılabilir maksimum seviyelerinin hesaplanmasına yönelik modeller de aynı varsayıma dayanmaktadır. ekonomik yapılar , teknik cihazlar ve nesneler. Fakat teorik temeller

böyle bir varsayım yoktur. Hata dağılımlarının deneysel olarak incelenmesi gerekmektedir.

Deneysel sonuçlar ne gösteriyor? Monografide verilen özet, çoğu durumda ölçüm hatalarının dağılımının normalden farklı olduğunu göstermektedir. Böylece, Makine ve Elektrik Mühendisliği Enstitüsü'nde (Varna, Bulgaristan), analog elektrikli ölçüm cihazlarının ölçeklerinin kalibrasyonunda hataların dağılımı incelenmiştir. Çekoslovakya, SSCB ve Bulgaristan'da üretilen cihazlar incelendi. Hata dağıtım yasasının aynı olduğu ortaya çıktı. Yoğunluğu var Veriler, hem elektriksel hem de elektriksel olmayan ölçümler sırasında farklı yazarlar tarafından incelenen 219 gerçek hata dağılımının parametreleri üzerinde analiz edildi. elektriksel büyüklükler

çok çeşitli (elektrikli) cihazlar. Bu çalışma sonucunda 111 dağılımın yani; yaklaşık %50'si yoğunluğa sahip dağılımlar sınıfına aittir derece parametresi nerede; B

- kaydırma parametresi; - ölçek parametresi; - bağımsız değişkenin gama işlevi;

(santimetre. ); 63 dağıtım, yani. %30, düz tepeli ve sığ uzun eğimli yoğunluklara sahiptir ve normal veya örneğin üstel olarak tanımlanamaz. Geriye kalan 45 dağılımın iki modlu olduğu ortaya çıktı. Ünlü metrolog prof'un kitabında. P. V. Novitsky, çeşitli ölçüm hatalarının dağılım yasalarına ilişkin bir çalışmanın sonuçlarını sunar. Elektromekanik cihazların çekirdek numuneleri üzerindeki hata dağılımlarını inceledi,

Tartu Uygulamalı Matematik Laboratuvarında devlet üniversitesi Gerçek istatistiksel verilerden oluşan arşivden 2500 örnek analiz edildi.

%92 oranında normallik hipotezinin reddedilmesi gerekti. Deneysel verilerin verilen açıklamaları, çoğu durumda ölçüm hatalarının normal olanlardan farklı dağılımlara sahip olduğunu göstermektedir. Bu, özellikle çoğu uygulamanın Öğrenci t testi, klasik regresyon analizi ve diğerleri istatistiksel yöntemler.

normal teoriye dayalı olması, tam olarak doğrulanamaz, çünkü karşılık gelen dağılımların normalliğine ilişkin altta yatan aksiyom

rastgele değişkenler

Açıkçası, mevcut istatistiksel veri analizi uygulamasındaki bir değişikliği haklı çıkarmak veya haklı çıkarmak için, "yasadışı" kullanıldığında veri analizi prosedürlerinin özelliklerini incelemek gerekir. Reddetme prosedürleri üzerine yapılan bir çalışma, bunların normallikten sapmalara karşı son derece kararsız olduğunu ve bu nedenle bunları gerçek verileri işlemek için kullanmanın uygun olmadığını göstermiştir (aşağıya bakın); bu nedenle keyfi olarak seçilen bir prosedürün normallikten sapmalara karşı dirençli olduğu iddia edilemez. Bazen, örneğin iki numunenin homojenliği için Öğrenci testi kullanılmadan önce normalliğin kontrol edilmesi önerilir. Bunun için pek çok test olmasına rağmen normallik testi, homojenlik testinden (hem Öğrenci tipi istatistikler hem de parametrik olmayan testler kullanılarak) daha karmaşık ve zaman alıcı bir istatistiksel prosedürdür. Normalliği güvenilir bir şekilde oluşturmak için çok fazla sayıda gözlem gereklidir. Bu nedenle, gözlemsel sonuçların dağılım fonksiyonunun bazı normal olanlardan (argümanın herhangi bir değeri için) 0,01'den fazla farklılık göstermediğini garanti etmek için yaklaşık 2500 gözlem gereklidir. Çoğu ekonomik, teknik, biyomedikal ve diğer uygulamalı çalışmalarda gözlem sayısı önemli ölçüde daha azdır. Bu özellikle ekonomik yapıların ve teknik tesislerin güvenli işleyişinin sağlanmasına ilişkin sorunların incelenmesinde kullanılan veriler için geçerlidir. Bazen ölçüm cihazının teknolojik tasarımına özel toplayıcılar dahil ederek hata dağılımını normale yaklaştırmak için CPT'yi kullanmaya çalışırlar. Bu önlemin yararlılığını değerlendirelim. İzin vermek Z 1, Z 2,…, Zk

Toplayıcı tarafından sağlanan normale yakınlık göstergesi

Son ilişkideki sağdaki eşitsizlik, kitapta elde edilen Berry-Esseen eşitsizliğindeki sabitin tahminlerinden, soldaki ise monografideki örnekten kaynaklanmaktadır. İçin normal hukuk=1,6, düzgün için = 1,3, iki nokta için =1 (bu, için alt sınırdır). Sonuç olarak, normal dağılıma olan mesafenin (Kolmogorov metriğinde) 0,01'den fazla olmamasını sağlamak için, “başarısız” dağılımlar için en azından k 0şartlar, nerede

Yaygın olarak kullanılan toplayıcılarda önemli ölçüde daha az terim vardır. Olası dağılımların sınıfının daraltılması H Monografide gösterildiği gibi daha hızlı yakınsama elde etmek mümkündür, ancak buradaki teori henüz pratikle yakınlaşmamaktadır. Ayrıca dağılımın normale yakınlığının (belirli bir metrikte), bu dağılıma sahip rastgele değişkenlerden oluşturulan istatistiklerin dağılımının, normal gözlem sonuçlarına karşılık gelen istatistiklerin dağılımına da yakın olmasını sağlayıp sağlamadığı da açık değildir.

Görünüşe göre, her spesifik istatistik için özel teorik çalışmalara ihtiyaç vardır. Monografinin yazarının vardığı sonuç budur. Aykırı değerlerin reddedilmesi problemlerinde cevap “Sağlamıyor”dur (aşağıya bakınız). Herhangi bir gerçek ölçümün sonucunun, genellikle küçük (2-5) olmak üzere sonlu sayıda ondalık basamak kullanılarak yazıldığını unutmayın; bu nedenle, herhangi bir gerçek verinin yalnızca sonlu sayıda değer alan ayrık rastgele değişkenler kullanılarak modellenmesi tavsiye edilir. Normal dağılım gerçek dağılımın yalnızca bir tahminidir. Yani örneğin veriler spesifik araştırmaçalışmada verilen 1,0'dan 2,2'ye kadar değerler alır, yani. toplam 13 olası değerler. Dirichlet prensibinden, iş verilerinden oluşturulan dağılım fonksiyonunun bir noktada en yakın normal dağılım fonksiyonundan en az 1/26 oranında farklı olduğu sonucu çıkar; 0,04'e kadar. Ayrıca bir rastgele değişkenin normal dağılımı için ayrık bir kümede olma olasılığının da olduğu açıktır. ondalık sayılarİle

Yukarıdakilerden, ölçüm sonuçlarının ve istatistiksel verilerin genel olarak, normal olanlardan az çok farklı dağılımlara sahip rastgele değişkenler tarafından modellenmesi gerektiği gerçeğine yol açan özelliklere sahip olduğu anlaşılmaktadır. Çoğu durumda dağılımlar normal olanlardan önemli ölçüde farklılık gösterir; diğerlerinde ise normal dağılımlar görünüşe göre bir tür yaklaşım olarak düşünülebilir, ancak hiçbir zaman tam bir eşleşme olmaz. Bu, klasik istatistiksel prosedürlerin özelliklerini klasik olmayan istatistiklerde inceleme ihtiyacını ima eder. olasılıksal modeller(aşağıda Öğrenci testi için yapıldığına benzer şekilde) ve dağılımdan bağımsız prosedürler dahil olmak üzere kararlı (normallikten sapmaların varlığı dikkate alınarak) ve parametrik olmayan geliştirme ihtiyacı ve bunların pratikte yaygın uygulanması istatistiksel işleme veri.

Diğer parametrik aileler için burada göz ardı edilen hususlar benzer sonuçlara yol açmaktadır. Sonuç aşağıdaki gibi formüle edilebilir. Gerçek verilerin dağılımları neredeyse hiçbir zaman belirli bir parametrik aileye ait değildir. Gerçek dağılımlar her zaman parametrik ailelerin içerdiği dağılımlardan farklıdır. Farklılıklar büyük ya da küçük olabilir ama her zaman oradadırlar. Bu farklılıkların ekonometrik analiz için ne kadar önemli olduğunu anlamaya çalışalım.

Orlov A.I. Gözlemlerin dağılımı genellikle normal midir? – “Fabrika Laboratuvarı” Dergisi. 1991 T.57. No.7 S.64-66.

Gözlemlerin dağılımı genellikle normal midir?

A.I.Orlov

Ölçüm sonuçları ve istatistiksel veriler genel olarak normal dağılımlardan az çok farklı dağılımlara sahip rastgele değişkenler tarafından modellenmelerini gerektirecek özelliklere sahiptir. Çoğu durumda dağılımlar normal olanlardan önemli ölçüde farklılık gösterir. Diğerlerinde normal dağılımlar görünüşe göre bir tür yaklaşım olarak düşünülebilir. Ancak hiçbir zaman tam bir tesadüf diye bir şey söz konusu değildir. Bu, hem klasik istatistiksel prosedürlerin özelliklerini klasik olmayan olasılıksal modellerde inceleme ihtiyacını hem de dağılımdan bağımsız prosedürler dahil olmak üzere kararlı (normallikten sapmaların varlığını hesaba katarak) ve parametrik olmayan geliştirme ihtiyacını ve bunların yaygın uygulamasını gerektirir. istatistiksel veri işleme pratiğinde.

Özellikle pazarlama ve yönetim süreçlerinin, kurumsal ve bölgesel yönetimin, doğruluk ve istikrarın incelenmesinde ve optimizasyonunda kullanılan ekonometrik ve ekonomik-matematiksel modellerde teknolojik süreçler, güvenilirlik problemlerinde, çevre güvenliği de dahil olmak üzere güvenliğin sağlanması, teknik cihazların ve nesnelerin işleyişi ve organizasyon şemalarının geliştirilmesi, olasılık teorisi ve matematiksel istatistik kavramları ve sonuçları sıklıkla kullanılır. Bu durumda, bir veya daha fazla parametrik olasılık dağılım ailesi sıklıkla kullanılır. En popüler olanı normal dağılımdır. Lognormal dağılım, üstel dağılım, gama dağılımı, Weibull-Gnedenko dağılımı vb. de kullanılır.

Açıkçası, modellerin gerçekliğe uygunluğunu her zaman kontrol etmek gerekir. İki soru ortaya çıkıyor. Gerçek dağılımlar modelde kullanılanlardan farklı mı? Bu fark sonuçları ne kadar etkiliyor?

Ölçüm sonuçlarının normal olduğunu önceden varsaymak için herhangi bir gerekçe var mı?

Bazen, ölçüm hatasının (veya başka bir rastgele değişkenin) birçok küçük faktörün birleşik eyleminin bir sonucu olarak belirlendiği durumda, olasılık teorisinin Merkezi Limit Teoremi (CLT) nedeniyle bu değerin şu şekilde olduğu iddia edilir: normal bir rastgele değişken tarafından iyi bir şekilde tahmin edilmiştir (dağılımda). Bu ifade, eğer küçük faktörler birbirine eklenerek ve birbirlerinden bağımsız olarak hareket ediyorsa doğrudur. Çarpımsal olarak hareket ediyorlarsa, aynı CLT nedeniyle, logaritmik olarak normal bir dağılımla yaklaştırılmaları gerekir. Uygulamalı problemlerde, küçük faktörlerin etkisinin çokluğundan ziyade toplanabilirliğini kanıtlamak genellikle mümkün değildir. Bağımlılık genel nitelikteyse, toplamalı veya çarpımsal bir forma indirgenmemişse ve üstel, Weibull-Gnedenko, gama veya diğer dağılımları veren modelleri kabul etmek için hiçbir neden yoksa, o zaman dağılım hakkında pratikte hiçbir şey bilinmemektedir. düzenlilik gibi matematik içi özellikler dışında son rastgele değişken.

Belirli verileri işlerken bazen ölçüm hatalarının normal dağılıma sahip olduğu varsayılır. Normallik varsayımı üzerine, hem yerel düzenleyici ve teknik belgelerde hem de uluslararası standartlarda bulunmaya devam eden klasik regresyon, varyans, faktör analizleri ve metrolojik modeller inşa edilmiştir. Ekonomik yapıların, teknik cihazların ve nesnelerin işleyişinin güvenliğini sağlamak için sistemlerin tasarımında kullanılan belirli özelliklerin maksimum ulaşılabilir seviyelerinin hesaplanmasına yönelik modeller aynı varsayıma dayanmaktadır. Ancak böyle bir varsayımın teorik dayanağı yoktur. Hata dağılımlarının deneysel olarak incelenmesi gerekmektedir.

Deneysel sonuçlar ne gösteriyor? Monografide verilen özet, çoğu durumda ölçüm hatalarının dağılımının normalden farklı olduğunu göstermektedir. Böylece, Makine ve Elektrik Mühendisliği Enstitüsü'nde (Varna, Bulgaristan), analog elektriksel ölçüm cihazlarının ölçeklerindeki kalibrasyon hatalarının dağılımı incelenmiştir. Çekoslovakya, SSCB ve Bulgaristan'da üretilen cihazlar incelendi. Hata dağıtım yasasının aynı olduğu ortaya çıktı. Yoğunluğu var

Farklı yazarlar tarafından incelenen 219 gerçek hata dağılımının parametrelerine ilişkin veriler, hem elektriksel hem de elektriksel olmayan nicelikler çok çeşitli (elektrikli) aletlerle ölçülürken analiz edildi. Bu çalışma sonucunda 111 dağılımın yani; yaklaşık %50'si yoğunluğa sahip dağılımlar sınıfına aittir

derece parametresi nerede; derece parametresi nerede;- kaydırma parametresi; - ölçek parametresi; - bağımsız değişkenin gama işlevi;

Ünlü metrolog prof'un kitabında. P. V. Novitsky, çeşitli ölçüm hatalarının dağılım yasalarına ilişkin bir çalışmanın sonuçlarını sunar. Çekirdekler üzerindeki elektromekanik aletlerin, sıcaklıkları ve kuvvetleri ölçmek için kullanılan elektronik aletlerin ve manuel dengelemeli dijital aletlerin hata dağılımlarını inceledi. Her numune için deneysel veri örneklerinin hacmi 100-400 sayımdı. 47 dağılımdan 46'sının normalden önemli ölçüde farklı olduğu ortaya çıktı. Hata dağılımının şekli, aralığın 10 noktasında 25 kopya Shch-1411 dijital voltmetre için incelenmiştir. Sonuçlar benzer. Daha fazla bilgi monografide yer almaktadır.

Tartu Devlet Üniversitesi Uygulamalı Matematik Laboratuvarı, gerçek istatistiksel veriler arşivinden 2.500 örneği analiz etti. %92 oranında normallik hipotezinin reddedilmesi gerekti.

Deneysel verilerin verilen açıklamaları, çoğu durumda ölçüm hatalarının normal olanlardan farklı dağılımlara sahip olduğunu göstermektedir. Bu, özellikle Öğrenci testinin, klasik regresyon analizinin ve normal teoriye dayalı diğer istatistiksel yöntemlerin çoğu uygulamasının, karşılık gelen rastgele değişkenlerin normal dağılıma ilişkin temel aksiyomunun yanlış olması nedeniyle, kesin olarak doğrulanmadığı anlamına gelir.

Bazen, örneğin iki numunenin homojenliği için Öğrenci testi kullanılmadan önce normalliğin kontrol edilmesi önerilir. Bunun için pek çok kriter olmasına rağmen normallik testi, homojenlik testinden (hem Öğrenci tipi istatistikler hem de parametrik olmayan testler kullanılarak) daha karmaşık ve zaman alıcı bir istatistiksel prosedürdür. Normalliği güvenilir bir şekilde oluşturmak için çok fazla sayıda gözlem gereklidir. Dolayısıyla, gözlemsel sonuçların dağılım fonksiyonunun bazı normal olanlardan (argümanın herhangi bir değeri için) 0,01'den fazla farklı olmayacağını garanti etmek için yaklaşık 2500 gözlem gereklidir. Çoğu ekonomik, teknik, biyomedikal ve diğer alanlarda uygulamalı araştırma gözlem sayısı önemli ölçüde daha azdır. Bu özellikle ekonomik yapıların ve teknik tesislerin güvenli işleyişinin sağlanmasına ilişkin sorunların incelenmesinde kullanılan veriler için geçerlidir.

Bazen ölçüm cihazının teknolojik şemasındaki özel toplayıcılar da dahil olmak üzere hata dağılımını normale yaklaştırmak için CPT'yi kullanmaya çalışırlar. Bu önlemin yararlılığını değerlendirelim. İzin vermek Z 1 , Z 2 ,…, Z k- dağıtım fonksiyonuna sahip bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler H=H(X) Öyle ki düşünün

Toplayıcı tarafından sağlanan normalliğe yakınlık göstergesi

Son ilişkideki sağdaki eşitsizlik, kitapta elde edilen Berry-Esseen eşitsizliğindeki sabitin tahminlerinden, soldaki ise monografideki örnekten kaynaklanmaktadır. Normal yasa için = 1,6, düzgün için = 1,3, iki nokta için = 1 (bu alt sınırdır). Sonuç olarak, normal dağılıma olan mesafenin (Kolmogorov metriğinde) 0,01'den fazla olmamasını sağlamak için, “başarısız” dağılımlar için en azından k 0 şartlar, nerede

Yaygın olarak kullanılan toplayıcılarda önemli ölçüde daha az terim vardır. Olası dağılımların sınıfının daraltılması H Monografide gösterildiği gibi daha hızlı yakınsama elde etmek mümkündür, ancak buradaki teori henüz pratikle yakınlaşmamaktadır. Ayrıca dağılımın normale (belirli bir metrikte) yakınlığının, bu dağılıma sahip rastgele değişkenlerden oluşturulan istatistiklerin dağılımının, normal gözlem sonuçlarına karşılık gelen istatistiklerin dağılımına da yakın olmasını sağlayıp sağlamadığı da açık değildir. Görünüşe göre, her özel istatistik için özel teorik araştırma Monografinin yazarının vardığı sonuç tam olarak budur. Aykırı değerlerin reddedilmesi problemlerinde cevap “Sağlamıyor”dur (aşağıya bakınız).

Herhangi bir gerçek ölçümün sonucunun, genellikle küçük (2-5) olmak üzere sonlu sayıda ondalık basamak kullanılarak yazıldığını unutmayın; bu nedenle, herhangi bir gerçek verinin yalnızca sonlu sayıda değer alan ayrık rastgele değişkenler kullanılarak modellenmesi tavsiye edilir. Normal dağılım gerçek dağılımın yalnızca bir tahminidir. Yani örneğin çalışmada verilen belirli bir çalışmadan elde edilen veriler 1,0 ile 2,2 arasında değerler alır, yani. Yalnızca 13 olası değer vardır. Dirichlet prensibinden, iş verilerinden oluşturulan dağılım fonksiyonunun bir noktada en yakın normal dağılım fonksiyonundan en az 1/26 oranında farklı olduğu sonucu çıkar; 0,04'e kadar. Ek olarak, bir rastgele değişkenin normal dağılımı için, belirli sayıda ondalık basamakla ayrık bir ondalık sayılar kümesine düşme olasılığının 0 olduğu açıktır.

Yukarıdakilerden, ölçüm sonuçlarının ve istatistiksel verilerin genel olarak, normal olanlardan az çok farklı dağılımlara sahip rastgele değişkenler tarafından modellenmesi gerektiği gerçeğine yol açan özelliklere sahip olduğu anlaşılmaktadır. Çoğu durumda dağılımlar normal olanlardan önemli ölçüde farklılık gösterir; diğerlerinde normal dağılımlar görünüşte bir tür yaklaşım olarak düşünülebilir, ancak hiçbir zaman tam bir eşleşme olmaz. Bu, hem klasik istatistiksel prosedürlerin özelliklerini klasik olmayan olasılık modellerinde inceleme ihtiyacını (aşağıda Öğrenci testi için yapılana benzer şekilde) hem de kararlı geliştirme ihtiyacını (normallikten sapmaların varlığını dikkate alarak) ve dağıtımdan bağımsız prosedürler de dahil olmak üzere parametrik olmayan, bunların istatistiksel veri işleme pratiğinde yaygın olarak uygulanması.

Edebiyat

1. Novitsky P.V., Zograf I.A. Ölçüm sonuçlarındaki hataların tahmini. - L.: Energoatomizdat, 1985. - 248 s.

2. Novitsky P.V. Ölçme cihazlarının bilgi teorisinin temelleri. -L.: enerji, 1968. - 248 s.

3. Borovkov A.A. Olasılık teorisi. - M .: Nauka, 1976. - 352 s.

4.Petrov V.V. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamları. - M .: Nauka, 1972. - 416 s.

5. Zolotarev V.M. Bağımsız rastgele değişkenlerin modern toplamı teorisi. - M .: Nauka, 1986. - 416 s.

6. Egorova L.A., Kharitonov Yu.S., Sokolovskaya L.V.//Fabrika laboratuvarı. - 1976.T.42. 10 numara. S.1237.

Finansal analiz konusunda uzman değilseniz işletmenizin finansmanını nasıl düzgün bir şekilde yönetebilirsiniz - Finansal analiz

Mali yönetim - kuruluşlar arasındaki mali ilişkiler, mali yönetim farklı seviyeler, menkul kıymet portföy yönetimi, finansal kaynakların hareketini yönetme teknikleri - bunlar olmaktan uzaktır. tam liste ders" Finansal yönetim"

Ne olduğu hakkında konuşalım koçluk? Bazıları bunun bir burjuva markası olduğuna inanıyor, bazıları ise modern iş dünyasında bir atılım olduğuna inanıyor. Koçluk bir kurallar bütünüdür. iyi şanslar iş ve bu kuralları doğru şekilde yönetme yeteneği

4.1. Gözlemlerin dağılımı genellikle normal midir?

Özellikle pazarlama ve yönetim süreçlerinin, kurumsal ve bölgesel yönetimin incelenmesinde ve optimizasyonunda kullanılan ekonometrik ve ekonomik-matematiksel modellerde, teknolojik süreçlerin doğruluğu ve istikrarı, güvenilirlik sorunları, çevre güvenliği de dahil olmak üzere güvenliğin sağlanması, Teknik cihazların ve nesnelerin işleyişi, organizasyon şemalarının geliştirilmesinde sıklıkla olasılık teorisi ve matematiksel istatistik kavramlarını ve sonuçlarını kullanır. Bu durumda, sıklıkla bir veya daha fazla parametrik olasılık dağılım ailesi kullanılır. En popüler olanı normal dağılımdır. Lognormal dağılım, üstel dağılım, gama dağılımı, Weibull-Gnedenko dağılımı vb. de kullanılır.

Ölçüm sonuçlarının normal olduğunu önceden varsaymak için herhangi bir gerekçe var mı?

Bazen, ölçüm hatasının (veya başka bir rastgele değişkenin) birçok küçük faktörün birleşik eyleminin bir sonucu olarak belirlendiği durumda, olasılık teorisinin Merkezi Limit Teoremi (CLT) nedeniyle bu değerin şu şekilde olduğu iddia edilir: normal bir rastgele değişken tarafından iyi bir şekilde tahmin edilmiştir (dağılımda). Bu ifade, eğer küçük faktörler birbirine eklenerek ve birbirlerinden bağımsız olarak hareket ediyorsa doğrudur. Çarpımsal olarak hareket ediyorlarsa, aynı CLT nedeniyle, logaritmik olarak normal bir dağılımla yaklaştırılmaları gerekir. Uygulamalı problemlerde, küçük faktörlerin etkisinin çokluğundan ziyade toplanabilirliğini kanıtlamak genellikle mümkün değildir. Bağımlılık genel nitelikteyse, toplam veya çarpımsal forma indirgenmemişse ve üstel, Weibull-Gnedenko, gama veya diğer dağılımları veren modelleri kabul etmek için hiçbir neden yoksa, o zaman nihai dağılımın dağıtımı hakkında pratikte hiçbir şey bilinmemektedir. Düzenlilik gibi matematik içi özellikler dışında rastgele değişken.

Deneysel sonuçlar ne gösteriyor? Monografide verilen özet, çoğu durumda ölçüm hatalarının dağılımının normalden farklı olduğunu göstermektedir. Böylece, Makine ve Elektrik Mühendisliği Enstitüsü'nde (Varna, Bulgaristan), analog elektriksel ölçüm cihazlarının ölçeklerindeki kalibrasyon hatalarının dağılımı incelenmiştir. Çekoslovakya, SSCB ve Bulgaristan'da üretilen cihazlar incelendi. Hata dağıtım yasasının aynı olduğu ortaya çıktı. Yoğunluğu var

derece parametresi nerede; b - kaydırma parametresi; - ölçek parametresi; - bağımsız değişkenin gama işlevi;

Ünlü metrolog prof'un kitabında. P. V. Novitsky, çeşitli ölçüm hatalarının dağılım yasalarına ilişkin bir çalışmanın sonuçlarını sunar. Çekirdekler üzerindeki elektromekanik aletlerin, sıcaklıkları ve kuvvetleri ölçmek için elektronik aletlerin ve manuel dengelemeli dijital aletlerin hata dağılımlarını inceledi. Her numune için deneysel veri örneklerinin hacmi 100-400 sayımdı. 47 dağılımdan 46'sının normalden önemli ölçüde farklı olduğu ortaya çıktı. Hata dağılımının şekli, aralığın 10 noktasında 25 kopya Shch-1411 dijital voltmetre için incelenmiştir. Sonuçlar benzer. Daha fazla bilgi monografide yer almaktadır.

Tartu Devlet Üniversitesi Uygulamalı Matematik Laboratuvarı, gerçek istatistiksel veriler arşivinden 2.500 örneği analiz etti. %92 oranında normallik hipotezinin reddedilmesi gerekti.

Bazen, örneğin iki numunenin homojenliği için Öğrenci testi kullanılmadan önce normalliğin kontrol edilmesi önerilir. Bunun için pek çok kriter olmasına rağmen normallik testi, homojenlik testinden (hem Öğrenci tipi istatistikler hem de parametrik olmayan testler kullanılarak) daha karmaşık ve zaman alıcı bir istatistiksel prosedürdür. Normalliği güvenilir bir şekilde oluşturmak için çok fazla sayıda gözlem gereklidir. Dolayısıyla, gözlemsel sonuçların dağılım fonksiyonunun bazı normal olanlardan (argümanın herhangi bir değeri için) 0,01'den fazla farklı olmayacağını garanti etmek için yaklaşık 2500 gözlem gereklidir. Ekonomik, teknik, biyomedikal ve diğer uygulamalı çalışmaların çoğunda gözlem sayısı önemli ölçüde daha azdır. Bu özellikle ekonomik yapıların ve teknik tesislerin güvenli işleyişinin sağlanmasına ilişkin sorunların incelenmesinde kullanılan veriler için geçerlidir.

Bazen ölçüm cihazının teknolojik şemasındaki özel toplayıcılar da dahil olmak üzere hata dağılımını normale yaklaştırmak için CPT'yi kullanmaya çalışırlar. Bu önlemin yararlılığını değerlendirelim. Z1 , Z2 ,…, Zk bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler olsun ve H = H(x) dağılım fonksiyonuna sahip olsun;

Toplayıcı tarafından sağlanan normale yakınlık göstergesi

Son ilişkideki sağdaki eşitsizlik, kitapta elde edilen Berry-Esseen eşitsizliğindeki sabitin tahminlerinden, soldaki ise monografideki örnekten kaynaklanmaktadır. Normal yasa için = 1,6, tekdüze yasa için = 1,3, iki nokta yasası için = 1 (bu, için alt sınırdır). Sonuç olarak, "başarısız" dağılımlar için normal dağılıma olan mesafenin (Kolmogorov metriğine göre) 0,01'den fazla olmamasını sağlamak için en az k0 terim gereklidir; burada

Yaygın olarak kullanılan toplayıcılarda önemli ölçüde daha az terim vardır. H olası dağılımlarının sınıfı daraltılarak, monografide gösterildiği gibi daha hızlı yakınsama elde edilebilir, ancak buradaki teori henüz pratikle yakınsamamaktadır. Ayrıca dağılımın normale (belirli bir metrikte) yakınlığının, bu dağılıma sahip rastgele değişkenlerden oluşturulan istatistiklerin dağılımının, normal gözlem sonuçlarına karşılık gelen istatistiklerin dağılımına da yakın olmasını sağlayıp sağlamadığı da açık değildir. Görünüşe göre, her spesifik istatistik için özel teorik çalışmalara ihtiyaç vardır. Monografinin yazarının vardığı sonuç budur. Aykırı değerlerin reddedilmesi problemlerinde cevap “Sağlamıyor”dur (aşağıya bakınız).

Yukarıdakilerden, ölçüm sonuçlarının ve istatistiksel verilerin genel olarak, normal olanlardan az çok farklı dağılımlara sahip rastgele değişkenler tarafından modellenmesi gerektiği gerçeğine yol açan özelliklere sahip olduğu anlaşılmaktadır. Çoğu durumda dağılımlar normal olanlardan önemli ölçüde farklılık gösterir; diğerlerinde ise normal dağılımlar görünüşe göre bir tür yaklaşım olarak düşünülebilir, ancak hiçbir zaman tam bir eşleşme olmaz. Bu, hem klasik istatistiksel prosedürlerin özelliklerini klasik olmayan olasılıksal modellerde inceleme ihtiyacını (aşağıda Öğrenci testi için yapılana benzer şekilde) hem de kararlı geliştirme ihtiyacını (normallikten sapmaların varlığını dikkate alarak) ve dağıtımdan bağımsız prosedürler de dahil olmak üzere parametrik olmayan, bunların istatistiksel veri işleme pratiğinde yaygın olarak uygulanması.

Normal yasalara tabi olan iki bağımsız rastgele değişkeni ve 'yi ele alalım:

, (12.6.1)

. (12.6.2)

Bu yasaların bir bileşimini üretmek, yani miktarın dağılım yasasını bulmak gerekir:

Dağıtım yasalarının bileşimi için genel formülü (12.5.3) uygulayalım:

. (12.6.3)

İntegralin üssündeki parantezleri açarsak ve getirirsek benzer üyeler, şunu elde ederiz:

;

Bu ifadeleri daha önce karşılaştığımız formül (9.1.3)'te yerine koyarsak:

, (12.6.4)

dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz:

, (12.6.5)

ve bu, dağılım merkezi olan normal bir yasadan başka bir şey değildir

ve standart sapma

. (12.6.7)

Aşağıdaki nitel akıl yürütme kullanılarak aynı sonuca çok daha kolay ulaşılabilir.

Parantezleri açmadan ve integralde (12.6.3) herhangi bir dönüşüm yapmadan hemen üssün şu sonuca varıyoruz: ikinci dereceden üç terimli türle ilgili

miktarın katsayıya hiç dahil edilmediği durumlarda katsayı birinci kuvvete dahil edilir ve katsayı karesi alınır. Bunu aklımızda tutarak ve (12.6.4) formülünü uygulayarak, üssü 'ye göre üç terimli kare olan bir üstel fonksiyonun olduğu ve bu tipin dağılım yoğunluğunun normal yasaya karşılık geldiği sonucuna varıyoruz. Böylece tamamen niteliksel bir sonuca varıyoruz: miktarın dağılım yasası normal olmalıdır.

Bu yasanın parametrelerini bulmak için - ve - matematiksel beklentilerin toplamı teoremini ve varyansların toplamı teoremini kullanacağız. Matematiksel beklentilerin eklenmesi teoremine göre

Varyansların toplamı teoremi ile

buradan formül (12.6.7) gelir.

Ortalamadan hareket etmek kare sapmalar bunlarla orantılı olası sapmalara göre şunu elde ederiz:

Böylece şu kurala ulaştık: Normal yasaları birleştirdiğimizde yine normal bir yasa elde ederiz ve matematiksel beklentiler ve varyanslar (veya olası sapmaların karesi) toplanır.

Normal yasaların oluşumuna ilişkin kural duruma genelleştirilebilir herhangi bir sayı bağımsız rastgele değişkenler.

Bağımsız rastgele değişkenler varsa:

dağılım merkezlerine sahip normal yasalara tabidir

ve standart sapmalar

o zaman değer

parametrelerle birlikte normal yasaya da tabidir

Formül (12.6.12) yerine eşdeğer bir formül kullanabilirsiniz:

Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem normal bir yasaya göre dağıtılıyorsa, ancak değerler bağımlıysa, o zaman daha önce olduğu gibi aşağıdakilere dayanarak kanıtlamak zor değildir: genel formül(12.5.1) miktarın dağıtım kanunu

Normal bir yasa da var. Saçılma merkezleri hâlâ cebirsel olarak ekleniyor ancak standart sapmalar için kural daha karmaşık hale geliyor:

, (12.6.14)

miktarların korelasyon katsayısı nerede ve .

Bütünüyle normal kanuna tabi olan birkaç bağımlı rastgele değişken toplandığında, toplamın dağılım kanunu da parametrelerle normal olarak ortaya çıkar.

, (12.6.16)

veya olası sapmalarda

, (12.6.17)

miktarların korelasyon katsayısı nerede ve toplam, miktarların tüm farklı ikili kombinasyonlarına kadar uzanıyor.

Normal hukukun çok önemli bir özelliğine ikna olduk: Normal yasaların bileşimiyle yeniden normal bir yasa elde edilir. Buna “kararlılık özelliği” denir. Bu türden iki yasanın bileşimi yine aynı türde bir yasayla sonuçlanıyorsa, bir dağıtım yasasına kararlı denir. Yukarıda normal yasanın kararlı olduğunu gösterdik. Çok az sayıda dağıtım kanunu istikrar özelliğine sahiptir. Önceki örnekte (örnek 2), örneğin tekdüze yoğunluk yasasının kararsız olduğuna ikna olmuştuk: 0'dan 1'e kadar bölümlerdeki iki tekdüze yoğunluk yasasının birleşimiyle Simpson yasasını elde ettik.

Normal hukukun istikrarı, uygulamada yaygın olarak kullanılmasının temel koşullarından biridir. Ancak normal olanın yanı sıra diğer bazı dağıtım kanunları da kararlılık özelliğine sahiptir. Normal yasanın bir özelliği de kompozisyonunun yeterli olmasıdır. büyük sayı pratik olarak keyfi yasalar Dağıtım, terimlerin dağılım yasalarının ne olduğuna bakılmaksızın toplam yasanın normale istenildiği kadar yakın olduğu ortaya çıkar. Bu, örneğin 0'dan 1'e kadar alanlardaki tekdüze yoğunluğun üç yasasını oluşturarak gösterilebilir. Ortaya çıkan dağılım yasası, Şekil 2'de gösterilmektedir. 12.6.1. Çizimden de görülebileceği gibi fonksiyonun grafiği normal yasanın grafiğine çok benzemektedir.

Sayısal değerlerin istatistiksel analizi (parametrik olmayan istatistikler). Normal dağılım

Normal dağılım

4.1. Gözlemlerin dağılımı genellikle normal midir?