Miktar düğümü. En Büyük Ortak Bölen (GCD): Tanımı, Örnekleri ve Özellikleri

Cevrimici hesap makinesi hem iki sayının hem de herhangi başka sayıda sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını hızlı bir şekilde bulmanızı sağlar.

GCD ve LCM'yi bulmak için hesap makinesi

GCD ve LOC'yi bulun

Bulunan GCD ve LOC: 5806

Hesap makinesi nasıl kullanılır?

Giriş alanına sayıları girin
Yanlış karakterler girerseniz giriş alanı kırmızı renkle vurgulanır
"GCD ve LCM'yi Bul" düğmesini tıklayın

Sayılar nasıl girilir

Sayılar boşluk, nokta veya virgülle ayrılarak girilir
Girilen sayıların uzunluğu sınırlı değildir, dolayısıyla uzun sayıların GCD'sini ve LCM'sini bulmak zor değil

GCD ve NOC nedir?

En büyük ortak böleni birkaç sayı, tüm orijinal sayıların kalansız bölünebildiği en büyük doğal tamsayıdır. En büyük ortak bölen şu şekilde kısaltılır: GCD.
En küçük ortak Kat birkaç sayı var hayır daha küçük sayı, orijinal sayıların her birine kalansız bölünebilen. En küçük ortak kat şu şekilde kısaltılır: NOC.

Bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünüp bölünemediği nasıl kontrol edilir?

Bir sayının diğerine kalansız bölünüp bölünemeyeceğini öğrenmek için sayıların bazı bölünebilme özelliklerini kullanabilirsiniz. Daha sonra bunları birleştirerek bazılarının bölünebilirliğini ve kombinasyonlarını kontrol edebilirsiniz.

Sayıların bölünebilirliğine ilişkin bazı işaretler

1. Bir sayının 2'ye bölünebilme testi
Bir sayının ikiye bölünebilir olup olmadığını (çift olup olmadığını) belirlemek için bu sayının son rakamına bakmak yeterlidir: 0, 2, 4, 6 veya 8'e eşitse sayı çifttir, yani 2'ye bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 2'ye bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: bakmak son rakam: 8 sayının ikiye bölünebildiği anlamına gelir.

2. Bir sayının 3'e bölünebilme testi
Bir sayının rakamlarının toplamı üçe bölünüyorsa bu sayı 3'e bölünür. Dolayısıyla bir sayının 3'e bölünüp bölünemeyeceğini belirlemek için rakamların toplamını hesaplayıp 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmeniz gerekir. Rakamların toplamı çok büyük olsa bile aynı işlemi tekrarlayabilirsiniz.
Örnek: 34938 sayısının 3'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 3'e bölünüyor, yani sayı üçe bölünüyor.

3. Bir sayının 5'e bölünebilme testi
Bir sayının son rakamı sıfır veya beş ise 5'e bölünür.
Örnek: 34938 sayısının 5'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: son rakama bakın: 8, sayının beşe bölünmediği anlamına gelir.

4. Bir sayının 9'a bölünebilme testi
Bu işaret üçe bölünebilme işaretine çok benzer: Bir sayı, rakamlarının toplamı 9'a bölünüyorsa 9'a bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 9'a bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9'a bölünüyor, yani sayı dokuza bölünüyor.

İki sayının GCD'si ve LCM'si nasıl bulunur?

İki sayının gcd'si nasıl bulunur

En basit bir şekildeİki sayının en büyük ortak bölenini hesaplamak, bu sayıların tüm olası bölenlerini bulmak ve içlerinden en büyüğünü seçmektir.

Bu yöntemi OBEB(28, 36) bulma örneğini kullanarak ele alalım:

Her iki sayıyı da çarpanlarına ayırıyoruz: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
Bulduk Ortak etkenler yani her iki sayının da sahip olduğu sayılar: 1, 2 ve 2.
Bu faktörlerin çarpımını hesaplıyoruz: 1 2 2 = 4 - bu, 28 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenidir.

İki sayının LCM'si nasıl bulunur?

İki sayının en küçük katını bulmanın en yaygın iki yolu vardır. İlk yöntem, iki sayının ilk katlarını yazabilmeniz ve ardından bunların arasından her iki sayı için ortak ve aynı zamanda en küçük olan sayıyı seçebilmenizdir. İkincisi ise bu sayıların gcd'sini bulmak. Sadece onu düşünelim.

LCM'yi hesaplamak için orijinal sayıların çarpımını hesaplamanız ve ardından bunu daha önce bulunan GCD'ye bölmeniz gerekir. Aynı 28 ve 36 sayıları için LCM'yi bulalım:

28 ve 36 sayılarının çarpımını bulun: 28·36 = 1008
OBEB(28, 36), zaten bilindiği gibi, 4'e eşittir
LCM(28, 36) = 1008/4 = 252 .

Birkaç numara için GCD ve LCM'yi bulma

En büyük ortak bölen sadece iki sayı için değil birden fazla sayı için bulunabilir. Bu amaçla en büyük ortak bölen için bulunacak sayılar asal çarpanlara ayrılarak ortak çarpanların çarpımı bulunur. asal faktörler bu sayılar. Birkaç sayının gcd'sini bulmak için aşağıdaki ilişkiyi de kullanabilirsiniz: OBEB(a, b, c) = OBEB(a, b), c).

Benzer bir ilişki en küçük ortak kat için de geçerlidir: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Örnek: 12, 32 ve 36 sayıları için OBE ve LCM'yi bulun.

Öncelikle sayıları çarpanlarına ayıralım: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
Ortak çarpanları bulalım: 1, 2 ve 2.
Çarpımları OBEB'yi verecektir: 1·2·2 = 4
Şimdi LCM'yi bulalım: Bunu yapmak için önce LCM(12, 32)'yi bulalım: 12·32 / 4 = 96.
Her üç sayının da LCM'sini bulmak için GCD(96, 36)'yı bulmanız gerekir: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2·2 3 = 12.
LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Cihazlara yerleştirilmiş hesap makinelerini uygun ve uygunsuz şekilde kullanmaya alışkın olan modern okul çocukları için sorun teşkil eden görevlerden biri, iki veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenini (GCD) bulmaktır.

Hiçbirini çözmek imkansız Matematik problemi, eğer gerçekte ne sordukları bilinmiyorsa. Bunu yapmak için şu veya bu ifadenin ne anlama geldiğini bilmeniz gerekir., matematikte kullanılır.

Bilmem gerek:

Belirli bir sayı saymak için kullanılabiliyorsa çesitli malzemelerörneğin dokuz sütun, on altı ev, o zaman bu doğaldır. Bunlardan en küçüğü bir olacak.
Bir doğal sayı başka bir doğal sayıya bölündüğünde, küçük olan sayıya büyük sayının böleni denir.
İki veya daha fazla ise farklı sayılar belirli bir sayıya kalansız bölünebiliyorsa, bu sayının ortak bölenleri (CD) olacağını söylerler.
OD'lerin en büyüğüne en büyük ortak bölen (GCD) denir.
Böyle bir durumda, bir sayının yalnızca iki tane olması durumunda doğal bölen(kendisi bir birimdir), buna basit denir. Aralarında en küçüğü ikidir ve aynı zamanda serilerindeki tek çift sayıdır.
İki sayının maksimum ortak böleni bir ise, o zaman bunlar aralarında asal olacaktır.
İkiden fazla böleni olan sayılara bileşik sayı denir.
Bir araya getirildiğinde çarpımı verecek tüm asal faktörleri bulma süreci başlangıç değeri matematikte buna çarpanlara ayırma denir. Üstelik genişlemedeki aynı faktörler birden fazla kez ortaya çıkabilir.

Matematikte aşağıdaki gösterimler kabul edilir:

Bölenler D (45) = (1;3;5;9;45).
OD (8;18) = (1;2).
GCD (8;18) = 2.

GCD'yi bulmanın farklı yolları

Soruyu cevaplamanın en kolay yolu gcd nasıl bulunur küçük sayının büyük sayının böleni olması durumunda. İçinde olacak böyle bir durum en büyük ortak böleni.

Örneğin, GCD (15;45) = 15, GCD (48;24) = 24.

Ancak matematikte bu tür durumlar çok nadirdir, bu nedenle GCD'yi bulmak için daha karmaşık teknikler kullanılır, ancak yine de çalışmaya başlamadan önce bu seçeneğin kontrol edilmesi şiddetle tavsiye edilir.

Basit faktörlere ayırma yöntemi

İki veya daha fazla farklı sayının gcd'sini bulmanız gerekiyorsa, her birini basit faktörlere ayırmak ve ardından sayıların her birinde mevcut olanları çarpma işlemini gerçekleştirmek yeterlidir.

örnek 1

GCD 36 ve 90'ı nasıl bulacağımıza bakalım:

36 = 1*2*2*3*3;
90 = 1*2*3*3*5;

OBEB (36;90) = 1*2*3*3 = 18.

Şimdi aynı şeyi nasıl bulacağımızı görelim. V üç durum sayılarörnek olarak 54'ü ele alalım; 162; 42.

36'yı nasıl ayrıştıracağımızı zaten biliyoruz, gerisini çözelim:

162 = 1*2*3*3*3*3;
42 = 1*2*3*7;

Böylece, gcd (36;162;42) = 1*2*3 = 6 olur.

Genişlemede bir birim yazmanın tamamen isteğe bağlı olduğunu belirtmek gerekir.

Bir yol düşünelim asal çarpanları basit bir şekilde nasıl hesaba katabilirim Bunun için ihtiyacımız olan sayıyı sola, sağa da yazacağız. asal faktörler.

Sütunlar bir bölme işareti veya basit bir dikey çizgi kullanılarak ayrılabilir.

36/2 bölünme sürecimize devam edeceğiz;
18/2 ayrıca;
9/3 ve tekrar;
3/3 artık oldukça basit bir sayıdır;
1 - sonuç hazır.

Gerekli 36 = 2*2*3*3.

Öklid yolu

Bu seçenek o zamandan beri insanlık tarafından bilinmektedir. eski Yunan uygarlığı, birçok yönden daha basittir ve daha önce çok benzer algoritmalar kullanılmış olmasına rağmen büyük matematikçi Öklid'e atfedilir. Bu yöntem aşağıdaki algoritmayı kullanmaktır, Biz paylaşıyoruz daha büyük sayı geri kalanıyla daha azına. Daha sonra bölenimizi kalana bölüyoruz ve bunu tam bir bölme oluşana kadar daire şeklinde yapmaya devam ediyoruz. Son değer ve istenen en büyük ortak bölen olduğu ortaya çıkıyor.

İşte bir kullanım örneği bu algoritmanın :

816 ve 252'nin GCD'sinin ne olduğunu bulmaya çalışalım:

816 / 252 = 3 ve kalan 60. Şimdi 252'yi 60'a bölüyoruz;
252 / 60 = 4 bu sefer kalan 12 olacak. Dairesel işlemimize devam edelim, altmışı on ikiye bölelim;
60/12 = 5. Bu sefer kalan alamadığımız için elimizde hazır bir sonuç var, aradığımız değer on iki olacak.

Yani işlemimiz sonunda gcd'miz var (816;252) = 12.

İkiden fazla değer belirtilmişse GCD'nin belirlenmesi gerekiyorsa yapılacak işlemler

İki farklı sayı olması durumunda ne yapacağımızı zaten anlamıştık, şimdi varsa nasıl davranacağımızı öğreneceğiz. 3 veya daha fazla.

Görünen tüm karmaşıklığa rağmen, bu görev artık bizim için sorun yaratmayacaktır. Şimdi herhangi iki sayıyı seçip aradığımız değeri belirliyoruz. Bir sonraki adım, elde edilen sonucun gcd'sini ve üçüncüsünü bulmaktır. değerleri belirle. Sonra yine dördüncü, beşinci vb. için zaten bildiğimiz prensibe göre hareket ediyoruz.

Çözüm

Dolayısıyla, başlangıçta önümüze konulan görevin görünüşte büyük karmaşıklığına rağmen, aslında her şey basittir. asıl önemli olan bölme işlemini doğru bir şekilde yürütebilmektir ve yukarıda açıklanan iki algoritmadan herhangi birine uyun.

Her iki yöntem de oldukça kabul edilebilir olmasına rağmen, ortaokul ilk yöntem çok daha sık kullanılır. Bunun nedeni, aşağıdakileri incelerken asal faktörlere ayırmanın gerekli olacağı gerçeğidir. eğitici konu- en büyük ortak katın (LCM) belirlenmesi. Ancak yine de Öklid algoritmasının kullanımının hiçbir şekilde hatalı sayılamayacağını bir kez daha belirtmekte fayda var.

Video

Bu videoyla en büyük ortak böleni nasıl bulacağınızı öğrenebilirsiniz.

Sorunuza cevap alamadınız mı? Yazarlara bir konu önerin.

Bu makale en büyük ortak böleni bulma konusuna ayrılmıştır. Öncelikle ne olduğunu açıklayıp örnekler vereceğiz, 2, 3 veya daha fazla sayının en büyük ortak böleninin tanımlarını vereceğiz ve ardından şu konuya odaklanacağız: Genel Özellikler bu kavram ve bunları kanıtlayacağız.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ortak bölenler nelerdir

En büyük ortak bölenin ne olduğunu anlamak için öncelikle tamsayıların ortak böleninin genel olarak ne olduğunu formüle ediyoruz.

Katlar ve bölenler hakkındaki yazımızda bir tam sayının her zaman birden fazla böleni olduğunu söylemiştik. Burada belirli sayıda tamsayıların, özellikle de herkes için ortak olanların (özdeş olanların) aynı anda bölenleriyle ilgileniyoruz. Ana tanımı yazalım.

Tanım 1

Birkaç tam sayının ortak böleni, belirtilen kümedeki her sayının böleni olabilen bir sayıdır.

örnek 1

İşte böyle bir bölenin örnekleri: 9 = 3 · 3 ve − 12 = 3 · (− 4) eşitlikleri doğru olduğundan, üç - 12 ve 9 sayıları için ortak bölen olacaktır. 3 ve -12 sayılarının 1, -1 ve -3 gibi başka ortak çarpanları da vardır. Başka bir örnek alalım. Dört tam sayı olan 3, − 11, − 8 ve 19'un iki ortak çarpanı olacaktır: 1 ve - 1.

Bölünebilme özelliklerini bildiğimizden, herhangi bir tam sayının bir ve eksi bire bölünebileceğini söyleyebiliriz; bu, herhangi bir tam sayı kümesinin zaten en az iki ortak böleni olacağı anlamına gelir.

Ayrıca, birden fazla sayı için ortak bir b bölenimiz varsa, aynı sayıların şu sayılara bölünebileceğini unutmayın: karşı sayı, yani - b. Prensip olarak yalnızca pozitif bölenleri alabiliriz, o zaman tüm ortak bölenler de 0'dan büyük olacaktır. Bu yaklaşım da kullanılabilir ancak tamamen göz ardı edilebilir negatif sayılar bunu yapma.

En büyük ortak bölen nedir (GCD)

Bölünebilme özelliklerine göre, b, 0'a eşit olmayan bir a tam sayısının böleni ise, b'nin modülü a'nın modülünden büyük olamaz, dolayısıyla 0'a eşit olmayan herhangi bir sayı, son sayı bölücüler. Bu, en az biri sıfırdan farklı olan birkaç tam sayının ortak bölenlerinin sayısının da sonlu olacağı ve bunların tüm kümesinden her zaman en fazlasını seçebileceğimiz anlamına gelir. Büyük sayı(Daha önce en büyük ve en küçük tam sayı kavramından bahsetmiştik, bu materyali tekrarlamanızı tavsiye ederiz).

Daha sonraki tartışmalarda, en büyük ortak böleni bulmamız gereken sayı kümelerinden en az birinin 0'dan farklı olacağını varsayacağız. Eğer hepsi 0'a eşitse, bölenleri herhangi bir tam sayı olabilir ve sonsuz sayıda oldukları için en büyüğünü seçemeyiz. Yani 0'a eşit bir sayı kümesinin en büyük ortak bölenini bulmak imkansızdır.

Ana tanımın formülasyonuna geçelim.

Tanım 2

Birkaç sayının en büyük ortak böleni, bu sayıları bölen en büyük tam sayıdır.

Yazılı olarak en büyük ortak bölen çoğunlukla GCD kısaltmasıyla gösterilir. İki sayı için gcd (a, b) şeklinde yazılabilir.

Örnek 2

İki tamsayı için bir gcd örneği nedir? Örneğin 6 ve -15 için 3 olur. Bunu meşrulaştıralım. Önce altının tüm bölenlerini yazıyoruz: ± 6, ± 3, ± 1 ve ardından on beşin tüm bölenlerini: ± 15, ± 5, ± 3 ve ± 1. Daha sonra ortak olanları seçiyoruz: bunlar − 3, − 1, 1 ve 3. Bunlardan en büyük sayıyı seçmeniz gerekiyor. Bu 3 olacak.

Üç veya daha fazla sayı için en büyük ortak faktörün belirlenmesi hemen hemen aynı olacaktır.

Tanım 3

Üç veya daha fazla sayının en büyük ortak böleni, bu sayıların hepsini aynı anda bölen en büyük tam sayı olacaktır.

a 1, a 2, …, an n sayıları için böleni GCD (a 1, a 2, …, an n) olarak belirtmek uygundur. Bölenin değeri OBEB (a 1, a 2, ..., a n) = b olarak yazılır.

Örnek 3

Birkaç tam sayının en büyük ortak bölenine örnekler: 12, - 8, 52, 16. Dörde eşit olacak, yani OBEB (12, - 8, 52, 16) = 4 yazabiliriz.

Bu sayıların tüm bölenlerini yazıp en büyüğünü seçerek bu ifadenin doğruluğunu kontrol edebilirsiniz.

Pratikte çoğu zaman en büyük ortak bölenin sayılardan birine eşit olduğu durumlar vardır. Bu ne zaman olur verilen numara diğer tüm sayıları bölebilirsiniz (makalenin ilk paragrafında bu ifadenin kanıtını verdik).

Örnek 4

Böylece 60, 15 ve -45 sayılarının en büyük ortak böleni 15'tir, çünkü on beş sadece 60 ve -45'e değil, kendine de bölünebilir ve bu sayıların hepsinden daha büyük bir bölen yoktur.

Karşılıklı olarak özel durum oluşturuldu asal sayılar. En büyük ortak böleni 1 olan tam sayılardır.

GCD ve Öklid algoritmasının temel özellikleri

En büyük ortak bölenin bazı değerleri vardır karakteristik özellikler. Bunları teorem şeklinde formüle edelim ve her birini kanıtlayalım.

Bu özelliklerin tamsayılar için formüle edildiğini unutmayın. Sıfırın üstünde ve yalnızca pozitif bölenleri dikkate alacağız.

Tanım 4

a ve b sayılarının en büyük ortak böleni b ve a için gcd'ye eşittir, yani gcd (a, b) = gcd (b, a). Sayıların ters çevrilmesi nihai sonucu etkilemez.

Bu özellik, GCD'nin tanımından kaynaklanmaktadır ve kanıt gerektirmez.

Tanım 5

Eğer a sayısı b sayısına bölünebiliyorsa, bu iki sayının ortak bölenleri kümesi b sayısının bölenleri kümesine benzer olacaktır, yani gcd (a, b) = b olacaktır.

Bu ifadeyi kanıtlayalım.

Kanıt 1

A ve b sayılarının ortak bölenleri varsa, bunlardan herhangi biri onlara bölünebilir. Aynı zamanda, eğer a, b'nin katı ise, o zaman b'nin herhangi bir böleni aynı zamanda a'nın da böleni olacaktır, çünkü bölünebilirlik, geçişlilik gibi bir özelliğe sahiptir. Bu, herhangi bir b böleninin a ve b sayılarıyla ortak olacağı anlamına gelir. Bu, eğer a'yı b'ye bölebilirsek, her iki sayının tüm bölenleri kümesinin bir b sayısının bölenleri kümesiyle çakışacağını kanıtlar. Ve herhangi bir sayının en büyük böleni bu sayının kendisi olduğuna göre, a ve b sayılarının en büyük ortak böleni de b'ye eşit olacaktır; GCD (a , b) = b . a = b ise, o zaman gcd (a, b) = gcd (a, a) = gcd (b, b) = a = b, örneğin, gcd (132, 132) = 132.

Bu özelliği kullanarak, iki sayıdan biri diğerine bölünebiliyorsa en büyük ortak bölenini bulabiliriz. Bu bölen, ikinci sayının bölünebileceği bu iki sayıdan birine eşittir. Örneğin, gcd (8, 24) = 8, çünkü 24 sekizin katıdır.

Tanım 6 Kanıt 2

Bu özelliği kanıtlamaya çalışalım. Başlangıçta a = b q + c eşitliğine sahibiz ve a ile b'nin herhangi bir ortak böleni aynı zamanda c'yi de bölecektir; karşılık gelen özellik bölünebilirlik. Bu nedenle b ve c'nin herhangi bir ortak böleni a'yı böler. Bu, a ve b ortak bölenleri kümesinin, en büyüğü de dahil olmak üzere, b ve c bölenleri kümesiyle çakışacağı anlamına gelir; bu, gcd (a, b) = gcd (b, c) eşitliğinin doğru olduğu anlamına gelir.

Tanım 7

Aşağıdaki özelliğe Öklid algoritması denir. Onun yardımıyla iki sayının en büyük ortak bölenini hesaplayabilir ve GCD'nin diğer özelliklerini kanıtlayabilirsiniz.

Özelliği formüle etmeden önce makalemizde kanıtladığımız teoremi kalanla bölme işlemini tekrarlamanızı tavsiye ederiz. Buna göre, bölünebilir sayı a, b · q + r olarak temsil edilebilir; burada b bir bölendir, q bir tam sayıdır (eksik bölüm olarak da adlandırılır) ve r, 0 ≤ r ≤ koşulunu karşılayan bir kalandır. B.

Diyelim ki 0'dan büyük iki tamsayımız var ve bunlar için aşağıdaki eşitlikler doğru olacaktır:

a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Bu eşitlikler r k + 1'in 0'a eşit olmasıyla sona erer. Bu kesinlikle gerçekleşecektir, çünkü b > r 1 > r 2 > r 3, ... dizisi yalnızca sonlu sayıda içerebilen, azalan tamsayılardan oluşan bir seridir. Bu, r k'nin a ve b'nin en büyük ortak böleni olduğu anlamına gelir, yani r k = gcd (a, b).

Öncelikle rk'nin a ve b sayılarının ortak böleni olduğunu, ardından rk'nin sadece bir bölen değil, verilen iki sayının en büyük ortak böleni olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

Yukarıdaki eşitlik listesine aşağıdan yukarıya doğru bakalım. Son eşitliğe göre,
r k - 1 r k'ye bölünebilir. Bu gerçeğe ve en büyük ortak bölenin daha önce kanıtlanmış özelliğine dayanarak, r k - 2'nin r k'ye bölünebileceği ileri sürülebilir, çünkü
r k - 1, rk'ye bölünür ve rk, rk'ye bölünür.

Aşağıdan üçüncü eşitlik, r k - 3'ün r k vb.'ye bölünebileceği sonucuna varmamızı sağlar. Alttan ikincisi b'nin rk'ye bölünebilmesi, birincisi ise a'nın rk'ye bölünebilmesidir. Bütün bunlardan r k'nin a ve b'nin ortak böleni olduğu sonucunu çıkarıyoruz.

Şimdi r k = OBE (a , b) olduğunu kanıtlayalım. Ne yapmaya ihtiyacım var? a ve b'nin herhangi bir ortak böleninin rk'yi böleceğini gösterin. Bunu r 0 olarak gösterelim.

Aynı eşitlikler listesine yukarıdan aşağıya doğru bakalım. Önceki özelliğe dayanarak, r 1'in r 0'a bölünebilir olduğu sonucuna varabiliriz; bu, ikinci eşitliğe göre r 2'nin r 0'a bölündüğü anlamına gelir. Tüm eşitlikleri inceliyoruz ve sonuncusundan r k'nin r 0'a bölünebildiği sonucuna varıyoruz. Bu nedenle r k = gcd (a , b) .

Bu özelliği göz önünde bulundurarak, a ve b ortak bölenleri kümesinin bu sayıların OBEB bölenleri kümesine benzer olduğu sonucuna varıyoruz. Öklid algoritmasının bir sonucu olan bu ifade, verilen iki sayının tüm ortak bölenlerini hesaplamamızı sağlayacaktır.

Gelelim diğer özelliklere.

Tanım 8

Eğer a ve b 0'a eşit olmayan tam sayılarsa, o zaman GCD (a, b) = a · u 0 + b · v 0 eşitliğinin geçerli olacağı iki u 0 ve v 0 tamsayısı daha olmalıdır.

Özellik ifadesinde verilen eşitlik, a ve b'nin en büyük ortak böleninin doğrusal bir temsilidir. Buna Bezout ilişkisi denir ve u 0 ve v 0 sayılarına Bezout katsayıları denir.

Kanıt 3

Bu özelliği kanıtlayalım. Öklid algoritmasını kullanarak eşitlik dizisini yazalım:

İlk eşitlik bize r 1 = a − b · q 1 olduğunu söyler. 1 = s 1 ve − q 1 = t 1'i gösterelim ve bu eşitliği r 1 = s 1 · a + t 1 · b biçiminde yeniden yazalım. Burada s 1 ve t 1 sayıları tam sayı olacaktır. İkinci eşitlik, r 2 = b − r 1 · q 2 = b − (s 1 · a + t 1 · b) · q 2 = − s 1 · q 2 · a + (1 − t 1) sonucunu çıkarmamızı sağlar. · q 2) b . − s 1 · q 2 = s 2 ve 1 − t 1 · q 2 = t 2'yi gösterelim ve eşitliği r 2 = s 2 · a + t 2 · b olarak yeniden yazalım; burada s 2 ve t 2 de olacaktır tamsayılar. Çünkü tam sayıların toplamı, çarpımı ve farkı da tam sayıdır. Tamamen aynı şekilde üçüncü eşitlik r 3 = s 3 · a + t 3 · b'den, sonraki eşitlikten r 4 = s 4 · a + t 4 · b vb. elde ederiz. Sonunda sk ve tk tamsayıları için rk = sk · a + tk · b olduğu sonucuna varırız. r k = GCD (a, b) olduğundan, sk = u 0 ve t k = v 0'ı belirtiriz. Sonuç olarak, GCD'nin doğrusal bir temsilini gerekli biçimde elde edebiliriz: OBEB (a, b) = a · u 0 + b · v 0.

Tanım 9

OBEB (m a, m b) = m OBEB (a, b) herhangi biri için doğal değer M.

Kanıt 4

Bu özellik aşağıdaki gibi gerekçelendirilebilir. Öklid algoritmasındaki her eşitliğin her iki tarafını da m sayısıyla çarpalım ve OBEB (m · a, m · b) = m · rk ve rk'nin OBEB (a, b) olduğunu elde edelim. Bu, OBEB (m a, m b) = m OBEB (a, b) anlamına gelir. Çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak GCD'yi bulurken kullanılan, en büyük ortak bölenin bu özelliğidir.

Tanım 10

A ve b sayılarının ortak böleni p varsa, o zaman gcd (a: p, b: p) = gcd (a, b): p. p = OBEB (a, b) olması durumunda OBEB (a: OBEB (a, b), b: OBEB (a, b) = 1 elde ederiz, dolayısıyla a: OBEB (a, b) ve b sayıları elde edilir : OBEB (a , b) göreceli olarak asaldır.

a = p (a: p) ve b = p (b: p) olduğundan, önceki özelliğe dayanarak gcd (a, b) = gcd (p (a: p), p biçiminde eşitlikler oluşturabiliriz. · (b: p)) = p · GCD (a: p , b: p) , bunların arasında kanıt olacak bu mülkün. verirken bu ifadeyi kullanırız. ortak kesirlerİle indirgenemez form.

Tanım 11

a 1, a 2, …, a k'nin en büyük ortak böleni, GCD (a 1, a 2) = d 2, OBEB (d 2, a 3) = d 3'ün sırayla hesaplanmasıyla bulunabilecek d k sayısı olacaktır. , GCD (d 3 , a 4) = d 4 , … , GCD (d k - 1 , a k) = d k .

Bu özellik, üç veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenini bulurken kullanışlıdır. Bunu kullanarak bu eylemi iki rakamlı işlemlere indirgeyebilirsiniz. Bunun temeli Öklid algoritmasından çıkan bir sonuçtur: eğer a 1, a 2 ve a 3 ortak bölenleri kümesi d 2 ve a 3 kümesiyle çakışıyorsa, o zaman d 3 bölenleriyle de çakışacaktır. a 1, a 2, a 3 ve a 4 sayılarının bölenleri d 3'ün bölenleriyle çakışacaktır, bu da bunların aynı zamanda d 4 vb.'nin bölenleriyle de çakışacağı anlamına gelir. Sonunda, a 1, a 2, ..., a k sayılarının ortak bölenlerinin d k bölenleriyle çakışacağını ve d k sayısının en büyük böleni bu sayının kendisi olacağından, o zaman GCD (a) olacağını anlıyoruz. 1, a 2, ..., a k) = d k.

En büyük ortak bölenin özellikleri hakkında size anlatmak istediğimiz tek şey bu.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Ancak birçok doğal sayı aynı zamanda diğer doğal sayılara da bölünebilir.

Örneğin:

12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünebilir;

36 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya bölünür.

Bir sayının bir tama bölünebildiği sayılara (12 için bunlar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. sayıların bölenleri. Bir doğal sayının böleni A- belirli bir sayıyı bölen bir doğal sayıdır A iz bırakmadan. İkiden fazla böleni olan doğal sayılara denir kompozit. 12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğunu lütfen unutmayın. Bu sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir.

Verilen iki sayının ortak böleni A Ve B- verilen her iki sayının da kalansız olarak bölündüğü sayıdır A Ve B. Birkaç sayının ortak böleni (GCD) her biri için bölen görevi gören bir sayıdır.

Kısaca sayıların en büyük ortak böleni A Ve Bşöyle yaz:

Örnek: OBEB (12; 36) = 12.

Çözüm gösterimindeki sayıların bölenleri şunları gösterir: büyük harf"D".

Örnek:

GCD (7; 9) = 1

7 ve 9 sayılarının yalnızca bir ortak böleni vardır - 1 sayısı. Bu sayılara denir. karşılıklı olarak asalchi slami.

Eş asal sayılar- bunlar yalnızca bir ortak böleni olan doğal sayılardır - 1 sayısı. Bunların GCD'si 1'dir.

En büyük ortak bölen (GCD), özellikler.

Temel özellik: en büyük ortak bölen M Ve N bu sayıların herhangi bir ortak bölenine bölünebilir. Örnek: 12 ve 18 sayılarının en büyük ortak böleni 6'dır; bu sayıların tüm ortak bölenlerine bölünür: 1, 2, 3, 6.
Sonuç 1: ortak bölenler kümesi M Ve N GCD bölenleri kümesiyle çakışır ( M, N).
Sonuç 2: ortak katlar kümesi M Ve N birden fazla LCM kümesiyle çakışır ( M, N).

Bu, özellikle bir kesri indirgenemez bir forma indirgemek için payını ve paydasını gcd'lerine bölmeniz gerektiği anlamına gelir.

Sayıların en büyük ortak böleni M Ve N en küçük olarak tanımlanabilir pozitif unsur bunların tüm doğrusal kombinasyonlarının kümesi:

ve bu nedenle onu sayıların doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil ederiz M Ve N:

Bu orana denir Bezout'un ilişkisi ve katsayılar sen Ve v — Bezout katsayıları. Bezout katsayıları genişletilmiş Öklid algoritması tarafından verimli bir şekilde hesaplanır. Bu ifade doğal sayı kümeleri için genelleme yapar; bunun anlamı, küme tarafından oluşturulan grubun alt grubunun döngüsel olduğu ve bir öğe tarafından oluşturulduğudur: GCD ( A 1 , A 2 , … , BİR).

En büyük ortak böleni (GCD) hesaplayın.

İki sayının gcd'sini hesaplamanın etkili yolları Öklid algoritması Ve ikilialgoritma. Ayrıca gcd'nin değeri ( M,N) eğer biliyorsanız kolayca hesaplanabilir kanonik genişleme sayılar M Ve N asal faktörlere ayrılır:

nerede farklı asal sayılardır ve negatif olmayan tam sayılardır (karşılık gelen asal genişlemede değilse sıfır olabilirler). Daha sonra GCD ( M,N) ve NOC ( M,N) aşağıdaki formüllerle ifade edilir:

İkiden fazla sayı varsa: , bunların gcd'si şu şekilde bulunur: aşağıdaki algoritmaya:

- bu istenen GCD'dir.

Ayrıca bulmak için en büyük ortak böleni verilen sayıların her birini asal çarpanlara ayırabilirsiniz. Daha sonra yalnızca hepsine dahil olan faktörleri ayrı ayrı yazın. verilen sayılar. Daha sonra yazılı sayıları birbiriyle çarpıyoruz - çarpmanın sonucu en büyük ortak bölendir .

En büyük ortak bölenin hesaplanmasına adım adım bakalım:

1. Sayıların bölenlerini asal çarpanlara ayırın:

Dikey bir çubuk kullanarak hesaplamalar yazmak uygundur. Çizginin soluna ilk önce temettüyü, sağa - böleni yazıyoruz. Daha sonra sol sütuna bölümlerin değerlerini yazıyoruz. Hemen bir örnekle açıklayalım. 28 ve 64 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.