Tanım
Gerçek bir x noktasının komşuluğu 0
Bu noktayı içeren herhangi bir açık aralığa şu ad verilir:
.
burada ε 1
ve ε 2
- keyfi pozitif sayılar.
Epsilon - x noktasının mahallesi 0
x noktasına olan uzaklıktaki noktalar kümesidir 0
ε'dan küçük:
.
x noktasının delinmiş bir mahallesi 0
x noktasının hariç tutulduğu bu noktanın komşuluğudur 0
:
.
Uç noktaların mahalleleri
Başlangıçta bir noktanın komşuluğunun tanımı verildi. Olarak belirlenmiş.
(1)
.
Ancak uygun argümanları kullanarak mahallenin iki sayıya bağlı olduğunu açıkça belirtebilirsiniz:
Yani mahalle, açık bir aralığa ait noktalar kümesidir. 1
ε'yı eşitlemek 2
ε'ya
(2)
.
epsilon - mahalleyi alıyoruz:
Bir epsilon komşuluğu, uçları eşit uzaklıkta olan açık bir aralığa ait noktalar kümesidir.
Elbette epsilon harfi başka herhangi bir harfle değiştirilebilir ve δ - mahalle, σ - mahalle vb. dikkate alınabilir.
Limit teorisinde, hem küme (1) hem de küme (2)'ye dayalı bir komşuluk tanımı kullanılabilir. Bu mahallelerden herhangi birinin kullanılması eşdeğer sonuçlar verir (bkz.). Ancak tanım (2) daha basittir, dolayısıyla epsilon sıklıkla kullanılır - (2)'den belirlenen bir noktanın komşuluğu. Sol taraf, sağ taraf ve delikli mahalle kavramları da yaygın olarak kullanılmaktadır. uç noktalar
. İşte tanımları. 0
Bir x gerçel noktasının sol komşuluğu üzerinde bulunan yarı açık bir aralıktır gerçek eksen 0
x noktasının solunda
;
.
, noktanın kendisi de dahil: 0
Gerçek bir x noktasının sağ taraftaki komşuluğu 0
x noktasının solunda
;
.
x noktasının sağında bulunan yarı açık bir aralıktır
Uç noktaların delinmiş mahalleleri 0 x noktasının delinmiş mahalleleri
- bunlar, noktanın kendisinin hariç tutulduğu mahallelerle aynı mahallelerdir. Mektubun üzerinde bir daire ile gösterilirler. İşte tanımları. 0
:
.
x noktasının delinmiş mahallesi 0
:
;
.
Delinmiş epsilon - x noktasının mahallesi:
;
.
Delinmiş sol mahalle:
;
.
Sağ tarafta delinmiş
Sonsuzdaki noktaların komşulukları Bitiş noktalarının yanı sıra mahalleler de sonsuz olarak tanıtılıyor. Sonsuzda gerçek sayı olmadığından hepsi deliklidir (sonsuzdaki nokta sonsuz büyük bir dizinin limiti olarak tanımlanır).
.
;
;
.
Sonsuzdaki noktaların komşuluklarını şu şekilde belirlemek mümkündü:
.
Ancak M yerine kullanırız, böylece daha küçük ε'ya sahip mahalle, uç nokta komşuluklarında olduğu gibi, daha büyük ε'ya sahip mahallenin bir alt kümesi olur.
Mahalle mülkü
Daha sonra, bir noktanın (sonlu veya sonsuz) komşuluğunun bariz özelliğini kullanıyoruz. Bu, noktaların mahallelerinin olduğu gerçeğinde yatmaktadır. daha küçük değerlerε, büyük ε değerlerine sahip mahallelerin alt kümeleridir.
İşte daha katı formülasyonlar.
Son veya sonsuz uzaklıkta bir nokta olsun. Ve öyle olsun.
;
;
;
;
;
;
;
.
Daha sonra
Bunun tersi de doğrudur.
Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limit tanımlarının eşdeğerliği
Şimdi Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limitini belirlerken hem keyfi bir komşuluk hem de uçları eşit uzaklıkta olan bir komşuluk kullanabileceğinizi göstereceğiz.
Teorem
Keyfi komşuluklar ve eşit uzaklıkta uçları olan komşuluklar kullanan bir fonksiyonun limitinin Cauchy tanımları eşdeğerdir.
Kanıt Hadi formüle edelim.
Bir fonksiyonun limitinin ilk tanımı
.
Kanıt Bir a sayısı, herhangi bir pozitif sayı için bağlı sayılar varsa ve hepsi için a noktasının karşılık gelen mahallesine aitse, bir fonksiyonun bir noktadaki (sonlu veya sonsuzdaki) limitidir:.
bir fonksiyonun limitinin ikinci tanımı A sayısı, herhangi bir nokta için fonksiyonun limitidir. pozitif sayı
.
herkes için buna bağlı bir sayı var:
Kanıt 1 ⇒ 2
Bir a sayısının 1. tanıma göre bir fonksiyonun limiti olması durumunda 2. tanıma göre de bir limit olduğunu kanıtlayalım.
İlk tanımın karşılanmasına izin verin. Bu, ve fonksiyonlarının olduğu anlamına gelir; dolayısıyla herhangi bir pozitif sayı için aşağıdakiler geçerlidir:
nerede, nerede.
.
Sayılar keyfi olduğundan, onları eşitliyoruz:
İlk tanımın karşılanmasına izin verin. Bu, ve fonksiyonlarının olduğu anlamına gelir; dolayısıyla herhangi bir pozitif sayı için aşağıdakiler geçerlidir:
Daha sonra, ve gibi işlevler vardır, dolayısıyla aşağıdaki tutmaların tümü için:
Dikkat .
.
Pozitif sayıların en küçüğü ve olsun.
Daha sonra yukarıda belirtilenlere göre,
İlk tanımın karşılanmasına izin verin. Bu, ve fonksiyonlarının olduğu anlamına gelir; dolayısıyla herhangi bir pozitif sayı için aşağıdakiler geçerlidir:
Eğer öyleyse.
Yani, böyle bir fonksiyon bulduk, yani aşağıdaki durumların tümü için:
Bu, ikinci tanıma göre a sayısının fonksiyonun limiti olduğu anlamına gelir.
İkinci tanım karşılansın. İki pozitif sayı alalım ve .
.
Ve bu onların en küçüğü olsun. O halde, ikinci tanıma göre, öyle bir fonksiyon vardır ki, herhangi bir pozitif sayı ve tümü için, bundan şu sonuç çıkar:
.
Ama göre .
.
Bu nedenle, bundan sonra gelenlerden
Daha sonra herhangi bir pozitif sayı ve için iki sayı bulduk, yani hepsi için:
Bu, ilk tanıma göre a sayısının bir limit olduğu anlamına gelir.
Teorem kanıtlandı. Kullanılan literatür: L.D. Kudryavtsev. Kuyu
matematiksel analiz. Cilt 1. Moskova, 2003. Tanım. Sonsuzluğa işaret karmaşık düzlem isminde izole tekil noktaaçık(analitik fonksiyon F z), Eğer dıştan,
belli bir yarıçaptaki daire açık(analitik fonksiyon).
R 
onlar. Çünkü fonksiyonun sonlu tekil noktası yoktur
Fonksiyonu sonsuzdaki bir noktada incelemek için ikameyi yaparız ζ
İşlev
noktada bir tekilliğe sahip olacak 
= 0 ve bu nokta izole edilecek çünkü
çemberin içinde ζ
Koşula göre başka tekil noktalar yoktur. Bu konuda analitik olmak 
daire (sözde olanlar hariç) ζ
= 0), fonksiyon
güçlerde bir Laurent serisinde genişletilebilir analitik fonksiyon. Önceki paragrafta açıklanan sınıflandırma tamamen değişmeden kalır. analitik fonksiyon Ancak orijinal değişkene dönersek
, sonra pozitif ve negatif kuvvetlerdeki seriler 1.
yerleri 'değiştirin'. Onlar. Sonsuzdaki noktaların sınıflandırılması şu şekilde görünecektir: analitik fonksiyon =
Örnekler.
.
2.
Nokta analitik fonksiyon =
∞
Ben − 3. derecenin kutbu..
. Nokta
- önemli ölçüde analitik fonksiyon tekil nokta
açık(analitik fonksiyon§18. Yalıtılmış bir tekil noktada analitik bir fonksiyonun kalıntısı. açık(analitik fonksiyon Bırakın nokta 
0, tek değerli bir analitik fonksiyonun yalıtılmış tekil noktasıdır 
matematiksel analiz). Öncekine göre bu noktanın civarında) Laurent serisiyle benzersiz bir şekilde temsil edilebilir: açık(analitik fonksiyon Nerede analitik fonksiyon 0
Kesinti analitik fonksiyon) izole edilmiş tekil bir noktada 
isminde analitik fonksiyon 0 .
karmaşık sayı [açık(analitik fonksiyon),analitik fonksiyon 0 ].
, integralin değerine eşit fonksiyonun analitik etki alanında yer alan ve kendi içinde tek bir tekil nokta içeren herhangi bir kapalı kontur boyunca pozitif yönde alınan.
Kesinti Res sembolü ile gösterilir. Kalıntının düzenli veya çıkarılabilir tekil bir noktada olduğunu görmek kolaydır sıfıra eşit
.
Bir kutupta veya esas olarak tekil bir noktada, kalıntı katsayıya eşittirİle 
.
-1 satır Laurent:
Örnek. Kalıntının düzenli veya çıkarılabilir tekil bir noktada olduğunu görmek kolaydır Bir fonksiyonun kalıntısını bulun (Bunu görmek kolay olsun katsayı açık(analitik fonksiyon),Örnekler.
]
=
}
Terimler ile çarpıldığında -1 elde edilir N= 0:Çözünürlük[ açık(analitik fonksiyon Fonksiyonların kalıntılarını hesaplamak genellikle mümkündür. analitik fonksiyon Birinci dereceden 0 kutbu. Bu durumda, fonksiyonun Laurent serisindeki açılımı şu şekildedir (§16):. Bu eşitliği (z−z 0) ile çarpalım ve limite gidelim. 
. Sonuç olarak şunu elde ederiz: Res[ açık(analitik fonksiyon),analitik fonksiyon 0 ] =
Yani, içinde
Son örnekte Res[ var açık(analitik fonksiyon),Örnekler.
]
=
.
Daha yüksek dereceli kutuplardaki kalıntıları hesaplamak için fonksiyonu çarpın
Açık 
(M− kutup sırası) ve elde edilen serinin türevini alın ( M −
1) kez.
Bu durumda elimizde: Res[ açık(analitik fonksiyon),analitik fonksiyon 0 ]
Bir kutupta veya esas olarak tekil bir noktada, kalıntı katsayıya eşittirİle 
z= −1'de.
{
Res[ açık(analitik fonksiyon),
−1]
}
Bu noktanın komşuluğunu orijin merkezli çemberlerin dış kısmı olarak tanımladık: sen
(∞, ε
) = {analitik fonksiyon
∈ | |z
| > ε). Nokta analitik fonksiyon
= ∞ analitik fonksiyonun yalıtılmış tekil noktasıdır w
= açık
(analitik fonksiyon
), eğer bu noktanın bazı komşuluklarında bu fonksiyonun başka tekil noktaları yoksa. Bu tekil noktanın tipini belirlemek için değişken değişikliği yaparız ve nokta analitik fonksiyon
= ∞ noktaya gider analitik fonksiyon
1 = 0, fonksiyon w
= açık
(analitik fonksiyon
) formunu alacak 
. Tekil nokta türü analitik fonksiyon
= ∞ fonksiyonları w
= açık
(analitik fonksiyon
) tekil noktanın tipini arayacağız analitik fonksiyon
1 = 0 fonksiyon w
= φ
(analitik fonksiyon
1). Fonksiyonun genişletilmesi ise w
= açık
(analitik fonksiyon
) derece olarak analitik fonksiyon
bir noktanın yakınında analitik fonksiyon
= ∞, yani yeterince büyük modül değerlerinde analitik fonksiyon
, formu var, ardından değiştiriliyor analitik fonksiyon
tarihinde alacağız. Böylece değişkenin bu şekilde değişmesiyle Laurent serisinin ana ve düzgün kısımları yer değiştirir ve tekil noktanın türü de değişir. analitik fonksiyon
= ∞, Laurent serisindeki fonksiyonun kuvvetler cinsinden açılımının doğru kısmındaki terimlerin sayısıyla belirlenir. analitik fonksiyon
bir noktanın yakınında analitik fonksiyon
= 0. Bu nedenle
1. Nokta analitik fonksiyon
= ∞, eğer bu genişletme doğru kısmı içermiyorsa çıkarılabilir bir tekil noktadır (belki de terim hariç) A
0);
2. Nokta analitik fonksiyon
= ∞ - kutup (Bunu görmek kolay olsun
-inci sıra eğer sağ kısım bir terimle bitiyorsa Bir
· zn
;
3. Nokta analitik fonksiyon
= ∞, eğer normal kısım sonsuz sayıda terim içeriyorsa, esasen tekil bir noktadır.
Bu durumda değere göre tekil nokta türlerine ilişkin kriterler geçerli kalır: analitik fonksiyon= ∞ çıkarılabilir bir tekil nokta ise, bu sınır mevcuttur ve eğer analitik fonksiyon= ∞ bir kutup ise bu limit sonsuzdur, eğer analitik fonksiyon= ∞ esas itibariyle tekil bir nokta ise bu sınır mevcut değildir (ne sonlu ne de sonsuz).
Örnekler: 1. açık
(analitik fonksiyon
) = -5 + 3z
2 - analitik fonksiyon
6. Fonksiyon zaten kuvvetler cinsinden bir polinomdur analitik fonksiyon
, en yüksek derece altıncıdır, dolayısıyla analitik fonksiyon
Aynı sonuç başka bir yolla da elde edilebilir. Değiştireceğiz analitik fonksiyon
o zaman 
. İşlev için φ
(analitik fonksiyon
1) nokta analitik fonksiyon
1 = 0 altıncı dereceden bir kutuptur, dolayısıyla açık
(analitik fonksiyon
) nokta analitik fonksiyon
= ∞ - altıncı derecenin kutbu.
2. . Bu işlev için bir güç genişletmesi elde edin analitik fonksiyon
zor, öyleyse bulalım: 
; limit mevcuttur ve sonludur, dolayısıyla nokta analitik fonksiyon
3. . Güç genişletmenin doğru kısmı analitik fonksiyon
sonsuz sayıda terim içerir, yani analitik fonksiyon
= ∞ aslında tekil bir noktadır. Aksi takdirde bu gerçek, var olmadığı gerçeğinden yola çıkılarak tespit edilebilir.
Sonsuz uzaklıktaki tekil bir noktada bir fonksiyonun kalıntısı.
Son tekil nokta için A
, Nerede γ
- dışında başka hiçbir devre içermeyen bir devre A
, tekil noktalar, onun tarafından sınırlanan ve tekil noktayı içeren alan solda (saat yönünün tersine) kalacak şekilde geçilir.
Benzer şekilde tanımlayalım: 
, burada Γ - böyle bir mahalleyi sınırlayan konturdur sen
(∞, R
) puan analitik fonksiyon
= ∞, başka tekil noktalar içermez ve bu komşuluğun solda (yani saat yönünde) kalması için geçilebilir. Bu nedenle, fonksiyonun tüm diğer (son) tekil noktaları Γ − konturunun içinde yer almalıdır. Γ − konturunu geçme yönünü değiştirelim: 
. Kalıntılarla ilgili ana teoreme göre 
Toplamanın tüm sonlu tekil noktalar üzerinde gerçekleştirildiği yer. Bu nedenle nihayet
,
onlar. sonsuz uzaklıktaki tekil bir noktada kalıntı toplamına eşit ters işaretle alınan tüm sonlu tekil noktalar üzerindeki kalıntılar.
Sonuç olarak, var toplam toplam teoremi: eğer fonksiyon w = açık (analitik fonksiyon ) düzlemin her yerinde analitiktir İLE sonlu sayıda tekil nokta hariç analitik fonksiyon 1 , analitik fonksiyon 2 , analitik fonksiyon 3 , …,z k , bu durumda tüm sonlu tekil noktalardaki kalıntıların ve sonsuzdaki kalıntının toplamı sıfırdır.
şunu unutmayın: analitik fonksiyon
= ∞ çıkarılabilir tekil bir noktaysa, buradaki kalıntı sıfırdan farklı olabilir. Yani fonksiyon için açıkçası; analitik fonksiyon
= 0 bu fonksiyonun tek sonlu tekil noktasıdır, dolayısıyla 
, buna rağmen, yani. analitik fonksiyon
= ∞ çıkarılabilir bir tekil noktadır.
Eğer bazı diziler yakınsarsa sonlu sayı a, sonra yazarlar
.
Daha önce dikkate aldığımız sonsuz uzun diziler. Yakınsak olduklarını varsaydık ve sınırlarını ve sembolleriyle gösterdik. Bu semboller temsil eder sonsuzluktaki noktalar . Onlar kalabalığa ait değiller gerçek sayılar
Tanım
. Ancak limit kavramı bu tür noktaları tanıtmamıza olanak tanır ve gerçek sayıları kullanarak bu noktaların özelliklerini incelemek için bir araç sağlar. Sonsuzluğa işaret
, veya işaretsiz sonsuzluk, sonsuz büyük bir dizinin yöneldiği sınırdır. Sonsuz artı sonsuz nokta
, pozitif terimli sonsuz büyük bir dizinin yöneldiği sınırdır. Sonsuz eksi sonsuzdaki nokta
, negatif terimler içeren sonsuz büyük bir dizinin yöneldiği sınırdır.
;
.
Herhangi bir gerçek sayı için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir: Gerçek sayıları kullanarak kavramı tanıttık.
sonsuzda bir noktanın komşuluğu
Bir noktanın komşuluğu kümedir.
Son olarak bir noktanın komşuluğu kümedir.
Böylece reel sayılar kümesine yeni öğeler katarak genişlettik. Bu bağlamda, aşağıdaki tanım:
Genişletilmiş sayı doğrusu veya genişletilmiş gerçek sayılar kümesi elemanlarla tamamlanan gerçek sayılar kümesidir ve:
.
Öncelikle ve noktalarının özelliklerini yazacağız. Daha sonra katılık konusunu ele alacağız matematiksel tanım
Bu noktalara yönelik işlemler ve bu özelliklerin ispatları.
Sonsuzdaki noktaların özellikleri.
;
;
;
;
Toplam ve fark.
;
;
;
;
;
;
;
.
Ürün ve bölüm.
Gerçek sayılarla ilişki
;
;
;
;
;
.
a keyfi bir reel sayı olsun. Daha sonra > 0
izin ver
;
;
.
a keyfi bir reel sayı olsun. Daha sonra < 0
izin ver
;
.
..
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Daha sonra
Tanımlanmamış işlemler
Sonsuzdaki noktaların özelliklerinin kanıtları
Matematiksel İşlemleri Tanımlama Sonsuzdaki noktaların tanımlarını zaten vermiştik. Şimdi onlar için matematiksel işlemleri tanımlamamız gerekiyor. Bu noktaları dizilerle tanımladığımız için bu noktalarla yapılan işlemlerin de dizilerle tanımlanması gerekir.
Bu yüzden,
iki puanın toplamı
,
c = a + b,
,
genişletilmiş gerçek sayılar kümesine ait olan,
limit diyeceğiz
keyfi dizilerin sınırları nerede ve nerededir
Ve .
Çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri de benzer şekilde tanımlanır. Ancak bölme işleminde kesrin paydasındaki elemanların sıfıra eşit olmaması gerekir.
O halde iki puan farkı:
Çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri de benzer şekilde tanımlanır. Ancak bölme işleminde kesrin paydasındaki elemanların sıfıra eşit olmaması gerekir.
- sınır budur: .
Çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri de benzer şekilde tanımlanır. Ancak bölme işleminde kesrin paydasındaki elemanların sıfıra eşit olmaması gerekir.
Puanların çarpımı: Özel:, .
Burada ve limitleri sırasıyla a ve b olan keyfi dizilerdir. İÇİNDE
ikinci durum
Özelliklerin kanıtları
.
Sonsuzdaki noktaların özelliklerini kanıtlamak için sonsuz büyük dizilerin özelliklerini kullanmamız gerekir.
,
Mülkü düşünün:
1
Bunu kanıtlamak için şunu göstermeliyiz
;
.
Başka bir deyişle artı sonsuza yakınsayan iki dizinin toplamının artı sonsuza yakınsadığını kanıtlamamız gerekiyor.
.
aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır:
O zaman for ve elimizde:
Hadi koyalım.
Daha sonra
,
Nerede .
.
Bu şu anlama geliyor.
,
Diğer özellikler de benzer şekilde kanıtlanabilir. Örnek olarak başka bir kanıt verelim.
Bunu kanıtlayalım: Bunu yapmak için şunu göstermeliyiz.
burada ve limitli ve rasgele dizilerdir. 1
Bunu kanıtlamak için şunu göstermeliyiz
;
.
Başka bir deyişle artı sonsuza yakınsayan iki dizinin toplamının artı sonsuza yakınsadığını kanıtlamamız gerekiyor.
.
aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır:
O zaman for ve elimizde:
Hadi koyalım.
Daha sonra
Yani iki sonsuz büyük dizinin çarpımının sonsuz olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
büyük sıra Hadi kanıtlayalım. ve olduğundan, bazı ve fonksiyonları vardır, dolayısıyla herhangi bir pozitif M sayısı için Sonsuzdaki noktalar tanımlı değildir. Belirsizliklerini göstermek için, işlemin sonucunun içerdikleri dizilerin seçimine bağlı olduğu birkaç özel durumu vermek gerekir.
Bu işlemi düşünün:
.
Eğer ve ise dizilerin toplamının limitinin ve dizilerinin seçimine bağlı olduğunu göstermek kolaydır.
Gerçekten de alalım.
Bu dizilerin limitleri.
Tutar sınırı
sonsuza eşittir.
Şimdi alalım. Bu dizilerin limitleri de eşittir. Ama miktarlarının sınırı
sıfıra eşittir.
