Uzaydaki 2 nokta arasındaki mesafe. Noktadan noktaya mesafe, formüller, örnekler, çözümler

Genel kabul gören görüşe göre başlangıç ​​meridyeni, Greenwich'teki eski Greenwich Gözlemevi'nden geçen meridyen olarak kabul edilir. Konumun coğrafi koordinatları bir GPS navigatörü kullanılarak elde edilebilir. Bu cihaz, tüm dünya için aynı olan WGS-84 koordinat sisteminde uydu konumlandırma sistemi sinyallerini alır.

Navigatör modelleri üretici, işlevsellik ve arayüz açısından farklılık gösterir. Şu anda bazı modellerde yerleşik GPS navigasyon cihazları da mevcuttur cep telefonları. Ancak herhangi bir model bir noktanın koordinatlarını kaydedebilir ve kaydedebilir.

GPS koordinatları arasındaki mesafe

Örneğin, aşağıdaki koordinatlar arasındaki mesafeyi belirleyebilirsiniz: 1 numaralı nokta - 55°45′07″ K enlemi, 37°36′56″ E boylamı; 2 numaralı nokta - 58°00′02″ K enlemi, 102°39′42″ E boylamı.

En kolay yol, iki nokta arasındaki uzunluğu hesaplamak için bir hesap makinesi kullanmaktır. Tarayıcı arama motorunda aşağıdaki arama parametrelerini ayarlamanız gerekir: çevrimiçi - iki koordinat arasındaki mesafeyi hesaplamak için. Çevrimiçi hesap makinesinde birinci ve ikinci koordinatlar için sorgu alanlarına enlem ve boylam değerleri girilir. Hesaplarken çevrimiçi hesap makinesi sonucu verdi - 3.800.619 m.

Bir sonraki yöntem daha emek yoğun ama aynı zamanda daha görsel. Mevcut herhangi bir harita veya navigasyon programını kullanmalısınız. Koordinatları kullanarak noktalar oluşturabileceğiniz ve aralarındaki mesafeleri ölçebileceğiniz programlar şunları içerir: uygulamaları takip etmek: BaseCamp (MapSource programının modern bir benzeri), Google Earth, SAS.Planet.

Yukarıdaki programların tümü herhangi bir ağ kullanıcısı tarafından kullanılabilir. Örneğin Google Earth'te iki koordinat arasındaki mesafeyi hesaplamak için birinci noktanın ve ikinci noktanın koordinatlarını gösteren iki etiket oluşturmanız gerekir. Daha sonra "Cetvel" aracını kullanarak birinci ve ikinci işaretleri bir çizgiyle bağlamanız gerekir, program otomatik olarak ölçüm sonucunu gösterecek ve yolu Dünya'nın uydu görüntüsünde gösterecektir.

Yukarıda verilen örnekte, Google Earth programı sonucu döndürdü - 1 No'lu nokta ile 2 No'lu nokta arasındaki mesafenin uzunluğu 3,817,353 m'dir.

Mesafeyi belirlerken neden bir hata var?

Matematikte problem çözmek çoğu zaman öğrenciler için pek çok zorluğu da beraberinde getirir. Öğrencinin bu zorluklarla başa çıkmasına yardımcı olun ve ona sahip olduklarını kullanmayı öğretin. teorik bilgi karar verirken belirli görevler Sitemizin temel amacı olan “Matematik” konusunun tüm bölümlerinde.

Konuyla ilgili problemleri çözmeye başlarken öğrencilerin düzlem üzerinde koordinatlarını kullanarak bir nokta oluşturabilmeleri ve verilen bir noktanın koordinatlarını bulabilmeleri gerekir.

Düzlemde alınan iki A(x A; y A) ve B(x B; y B) noktası arasındaki mesafenin hesaplanması aşağıdaki formül kullanılarak yapılır. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) burada d, düzlemdeki bu noktaları birleştiren parçanın uzunluğudur.

Segmentin uçlarından biri koordinatların kökeni ile çakışıyorsa ve diğeri M(x M; y M) koordinatlarına sahipse, o zaman d'yi hesaplama formülü OM = √(x M 2 + y M 2) formunu alacaktır. ).

1. Bu noktaların verilen koordinatlarına göre iki nokta arasındaki mesafenin hesaplanması

Örnek 1.

bağlayan parçanın uzunluğunu bulunuz. koordinat düzlemi A(2; -5) ve B(-4; 3) noktaları (Şekil 1).

Çözüm.

Problem ifadesinde şunu belirtir: x A = 2; x B = -4; y A = -5 ve y B = 3. d'yi bulun.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Verilen üç noktaya eşit uzaklıktaki bir noktanın koordinatlarının hesaplanması

Örnek 2.

A(7; -1) ve B(-2; 2) ve C(-1; -5) noktalarına eşit uzaklıkta olan O 1 noktasının koordinatlarını bulun.

Çözüm.

Problem koşullarının formülasyonundan şu sonuç çıkar: O 1 A = O 1 B = O 1 C. İstenilen O 1 noktasının (a; b) koordinatları olsun. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülünü kullanarak şunu buluruz:

Ö 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

Ö 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

Ö 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

İki denklemden oluşan bir sistem oluşturalım:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Solun karesini aldıktan sonra doğru parçalar denklemleri yazıyoruz:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Basitleştirelim, yazalım

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Sistemi çözdükten sonra şunu elde ederiz: a = 2; b = -1.

O 1 (2; -1) noktası, aynı düz çizgi üzerinde olmaması koşuluyla belirtilen üç noktaya eşit uzaklıktadır. Bu nokta üç noktadan geçen çemberin merkezidir. verilen puanlar (Şekil 2).

3. Apsis (koordinat) ekseni üzerinde bulunan ve belirli bir noktadan belirli bir mesafede bulunan bir noktanın apsisinin (koordinat) hesaplanması

Örnek 3.

B(-5; 6) noktasından Ox ekseni üzerinde bulunan A noktasına olan mesafe 10'dur. A noktasını bulun.

Çözüm.

Problem koşullarının formülasyonundan, A noktasının ordinatının sıfıra eşit olduğu ve AB = 10 olduğu sonucu çıkar.

A noktasının apsisini a ile göstererek A(a; 0) yazarız.

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

√((a + 5) 2 + 36) = 10 denklemini elde ederiz. Bunu basitleştirirsek, şunu elde ederiz:

a 2 + 10a – 39 = 0.

Bu denklemin kökleri a 1 = -13; ve 2 = 3.

A 1 (-13; 0) ve A 2 (3; 0) olmak üzere iki puan alıyoruz.

Muayene:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Elde edilen her iki nokta da problemin koşullarına göre uygundur. (Şekil 3).

4. Apsis (koordinat) ekseni üzerinde bulunan ve verilen iki noktadan aynı uzaklıkta olan bir noktanın apsisinin (koordinat) hesaplanması

Örnek 4.

Oy ekseni üzerinde A (6, 12) ve B (-8, 10) noktalarından aynı uzaklıkta olan bir nokta bulun.

Çözüm.

Sorunun koşullarının gerektirdiği Oy ekseni üzerinde bulunan noktanın koordinatları O 1 (0; b) olsun (Oy ekseni üzerinde bulunan noktada apsis sıfırdır). O 1 A = O 1 B koşulundan çıkar.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülünü kullanarak şunu buluruz:

Ö 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

Ö 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

√(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) veya 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 denklemine sahibiz.

Sadeleştirmeden sonra şunu elde ederiz: b – 4 = 0, b = 4.

Sorunun koşullarının gerektirdiği O 1 (0; 4) noktası (Şekil 4).

5. Koordinat eksenlerine aynı mesafede bulunan bir noktanın ve belirli bir noktanın koordinatlarının hesaplanması

Örnek 5.

Koordinat düzleminde, koordinat eksenlerine ve A(-2; 1) noktasına aynı uzaklıkta bulunan M noktasını bulun.

Çözüm.

Gerekli M noktası, A(-2; 1) noktası gibi, ikincide yer alır. koordinat açısı A, P 1 ve P 2 noktalarına eşit uzaklıkta olduğundan (Şekil 5). M noktasının koordinat eksenlerine olan uzaklıkları aynıdır, bu nedenle a > 0 olmak üzere koordinatları (-a; a) olacaktır.

Sorunun koşullarına göre MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

onlar. |-a| = a.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülünü kullanarak şunu buluruz:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Bir denklem kuralım:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Karesi alındıktan ve sadeleştirildikten sonra elimizde: a 2 – 6a + 5 = 0. Denklemi çözün, a 1 = 1'i bulun; ve 2 = 5.

Problemin koşullarını sağlayan iki M 1 (-1; 1) ve M 2 (-5; 5) noktası elde ediyoruz.

6. Apsis (koordinat) ekseninden ve verilen noktadan aynı uzaklıkta bulunan bir noktanın koordinatlarının hesaplanması

Örnek 6.

Ordinat ekseninden ve A(8; 6) noktasından uzaklığı 5'e eşit olacak bir M noktası bulun.

Çözüm.

Problemin koşullarından MA = 5 ve M noktasının apsisi 5'e eşit olduğu sonucu çıkar. M noktasının ordinatı b'ye eşit olsun, o zaman M(5; b) (Şekil 6).

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülüne göre elimizde:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Bir denklem kuralım:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Basitleştirirsek şunu elde ederiz: b 2 – 12b + 20 = 0. Bu denklemin kökleri b 1 = 2; b 2 = 10. Sonuç olarak problemin koşullarını sağlayan iki nokta vardır: M 1 (5; 2) ve M 2 (5; 10).

Pek çok öğrencinin olduğu biliniyor. bağımsız karar Sorunlar, bunları çözmeye yönelik teknikler ve yöntemler konusunda sürekli istişarede bulunulmasını gerektirir. Çoğu zaman öğrenci, öğretmenin yardımı olmadan bir sorunu çözmenin yolunu bulamaz. Öğrenci problemlerin çözümü konusunda gerekli tavsiyeleri web sitemizden alabilir.

Hala sorularınız mı var? Bir uçaktaki iki nokta arasındaki mesafeyi nasıl bulacağınızı bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Cetvel kullanma. Mümkün olduğu kadar ince sac malzemeden yapılması tercih edilir. Yayıldığı yüzey düz değilse terzi metresi yardımcı olacaktır. İnce bir cetveliniz yoksa ve kartı delmenin sakıncası yoksa, ölçüm için tercihen iki iğneli bir pusula kullanmak uygundur. Daha sonra bunu grafik kağıdına aktarabilir ve parçanın uzunluğunu ölçebilirsiniz.

İki nokta arasındaki yollar nadiren düzdür. Kullanışlı bir cihaz - eğrilik ölçer - hattın uzunluğunu ölçmenize yardımcı olacaktır. Bunu kullanmak için önce oku sıfırla hizalayacak şekilde silindiri döndürün. Eğrilik ölçer elektronikse manuel olarak sıfıra ayarlanmasına gerek yoktur; yalnızca sıfırlama düğmesine basmanız yeterlidir. Silindiri tutarak, gövdedeki (silindirin üzerinde bulunan) işaret doğrudan bu noktaya işaret edecek şekilde segmentin başlangıç ​​noktasına bastırın. Ardından işaret ile aynı hizaya gelinceye kadar silindiri çizgi boyunca hareket ettirin. bitiş noktası. İfadeyi okuyun. Bazı eğrilik ölçerlerin biri santimetre, diğeri inç cinsinden olmak üzere iki ölçeğe sahip olduğunu lütfen unutmayın.

Haritada ölçek göstergesini bulun; genellikle sağ alt köşede bulunur. Bazen bu gösterge, yanında hangi mesafeye karşılık geldiğinin belirtildiği kalibre edilmiş bir uzunluk parçasıdır. Bu parçanın uzunluğunu bir cetvelle ölçün. Örneğin, 4 santimetre uzunluğa sahip olduğu ortaya çıkarsa ve yanında 200 metreye karşılık geldiği belirtilirse, ikinci sayıyı birinciye bölün; haritadaki her birinin karşılık geldiğini göreceksiniz. yerde 50 metreye kadar. Bazılarında segment yerine hazır ifadeörneğin şuna benzeyebilir: "Bir santimetrede 150 metre var." Ölçek ayrıca aşağıdaki biçimdeki bir oran olarak da belirlenebilir: 1:100000. Bu durumda 100000/100 (metre cinsinden santimetre) = 1000 m olduğundan haritada bir santimetrenin yerde 1000 metreye karşılık geldiğini hesaplayabiliriz.

Cetvel veya eğrilik ölçerle ölçülen, santimetre cinsinden ifade edilen mesafeyi, haritada gösterilen veya bir santimetre olarak hesaplanan metre sayısıyla çarpın. Sonuç olacak gerçek mesafe, sırasıyla veya kilometre olarak ifade edilir.

Herhangi bir harita, bir bölgenin minyatür bir görüntüsüdür. Görüntünün ne kadar azaltıldığını gösteren bir katsayı gerçek nesne, ölçek denir. Bunu bilerek karar verebilirsiniz mesafeİle . Gerçekten mevcut haritalar kağıt üzerinde ölçek sabit bir değerdir. Sanal için elektronik kartlar bu değer, monitör ekranındaki harita görüntüsünün büyütülmesindeki değişiklikle birlikte değişir.

Talimatlar

Mesafe: harita coğrafi bilgi paketlerindeki “Cetvel” aracı kullanılarak ölçülebilir Google Earth ve uydu uydularının yer aldığı haritaların temeli olan Yandex Haritalar. Bu aracı açmanız ve rotanızın başlangıcını ve bitirmeyi planladığınız noktayı tıklamanız yeterlidir. Mesafe değeri herhangi bir ölçüm biriminde bulunabilir.

Düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafe.
Koordinat sistemleri

Düzlemin her A noktası koordinatları (x, y) ile karakterize edilir. Koordinatların orijini olan 0 noktasından çıkan 0A vektörünün koordinatlarıyla çakışırlar.

A ve B olsun keyfi noktalar sırasıyla (x 1 y 1) ve (x 2, y 2) koordinatlarına sahip düzlemler.

O zaman AB vektörünün koordinatları olduğu açıktır (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Vektör uzunluğunun karesinin olduğu bilinmektedir. toplamına eşit koordinatlarının kareleri. Bu nedenle, A ve B noktaları arasındaki d mesafesi veya aynı şey olan AB vektörünün uzunluğu şu koşuldan belirlenir:

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Ortaya çıkan formül, yalnızca bu noktaların koordinatları biliniyorsa, düzlemdeki herhangi iki nokta arasındaki mesafeyi bulmanızı sağlar.

Düzlemdeki belirli bir noktanın koordinatlarından bahsettiğimizde, iyi tanımlanmış bir x0y koordinat sistemini kastediyoruz. Genel olarak bir düzlemdeki koordinat sistemi farklı şekillerde seçilebilir. Yani x0y koordinat sistemi yerine eski koordinat eksenlerinin 0 başlangıç ​​noktası etrafında döndürülmesiyle elde edilen x"0y" koordinat sistemini düşünebilirsiniz. saat yönünün tersine köşedeki oklar α .

X0y koordinat sistemindeki düzlemin bir noktasının koordinatları (x, y) varsa, o zaman yeni sistem x"0y" koordinatları farklı koordinatlara (x", y") sahip olacaktır.

Örnek olarak, 0x ekseninde bulunan ve 0 noktasından 1 uzaklıkta ayrılan M noktasını düşünün.

Açıkçası, x0y koordinat sisteminde bu noktanın koordinatları vardır (çünkü α günah α ) ve x"0y" koordinat sisteminde koordinatlar (1,0)'dır.

A ve B düzlemindeki herhangi iki noktanın koordinatları, bu düzlemde koordinat sisteminin nasıl belirtildiğine bağlıdır. Ancak bu noktalar arasındaki mesafe koordinat sisteminin belirtilme yöntemine bağlı değildir. Bir sonraki paragrafta bu önemli durumdan önemli ölçüde yararlanacağız.

Egzersizler

I. Düzlemin noktaları arasındaki mesafeleri koordinatlarla bulun:

1) (3.5) ve (3.4); 3) (0,5) ve (5, 0); 5) (-3,4) ve (9, -17);

2) (2, 1) ve (- 5, 1); 4) (0, 7) ve (3,3); 6) (8, 21) ve (1, -3).

II. Kenarları denklemlerle verilen bir üçgenin çevresini bulun:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 ve y = 1.

III. x0y koordinat sisteminde M ve N noktaları sırasıyla (1, 0) ve (0,1) koordinatlarına sahiptir. Eski eksenlerin kendi etrafında döndürülmesi sonucu elde edilen yeni koordinat sisteminde bu noktaların koordinatlarını bulunuz. başlangıç ​​noktası saat yönünün tersine 30° açıyla.

IV. x0y koordinat sisteminde M ve N noktaları (2, 0) ve (\ / 3/2, - 1/2) sırasıyla. Eski eksenlerin başlangıç ​​noktası etrafında saat yönünde 30° açıyla döndürülmesiyle elde edilen yeni koordinat sisteminde bu noktaların koordinatlarını bulun.

Dikdörtgen bir koordinat sistemi verilsin.

Teorem 1.1. Düzlemin herhangi iki M 1 (x 1;y 1) ve M 2 (x 2;y 2) noktası için, aralarındaki d mesafesi aşağıdaki formülle ifade edilir:

Kanıt. Sırasıyla M 1 ve M 2 noktalarından M 1 B ve M 2 A dikmelerini bırakalım.

Oy ve Ox ekseninde ve M 1 B ve M 2 A çizgilerinin kesişme noktasını K ile belirtir (Şekil 1.4). Aşağıdaki durumlar mümkündür:

1) M 1, M 2 ve K noktaları farklıdır. Açıkçası, K noktasının koordinatları vardır (x 2; y 1). M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô olduğunu görmek kolaydır. Çünkü ∆M 1 KM 2 dikdörtgenseldir, bu durumda Pisagor teoremine göre d = M 1 M 2 = = .

2) K noktası, M2 noktasıyla çakışır, ancak M1 noktasından farklıdır (Şekil 1.5). Bu durumda y 2 = y 1

ve d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) K noktası M1 noktasıyla çakışır ancak M2 noktasından farklıdır. Bu durumda x 2 = x 1 ve d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) M2 noktası M1 noktasıyla çakışmaktadır. O zaman x 1 = x 2, y 1 = y 2 ve

d = M 1 M 2 = Ö = .

Bu bakımdan bir segmentin bölünmesi.

Düzlemde keyfi bir M 1 M 2 parçası verilsin ve bunun herhangi bir noktası M ─ olsun

M2 noktasından farklı segment (Şekil 1.6). l = eşitliği ile tanımlanan l sayısı , isminde davranış, bu noktada M, M 1 M 2 parçasını böler.

Teorem 1.2. Bir M(x;y) noktası M 1 M 2 parçasını l'ye göre bölerse, bu noktanın koordinatları formüllerle belirlenir.

x = , y = , (4)

burada (x 1;y 1) ─ M 1 noktasının koordinatları, (x 2;y 2) ─ M 2 noktasının koordinatları.

Kanıt. Formüllerden (4) ilkini kanıtlayalım. İkinci formül de benzer şekilde kanıtlanmıştır. İki olası durum vardır.

x = x 1 = = = .

2) M 1 M 2 düz çizgisi Ox eksenine dik değildir (Şekil 1.6). Dikleri M 1, M, M 2 noktalarından Ox eksenine indirelim ve bunların Ox ekseni ile kesişme noktalarını sırasıyla P 1, P, P 2 olarak belirleyelim. Hakkındaki teorem ile orantılı bölümler = 1.

Çünkü P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô ve (x – x 1) ve (x 2 – x) sayıları aynı işarete sahiptir (x 1'de)< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 negatif), o zaman

ben = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Sonuç 1.2.1. Eğer M 1 (x 1;y 1) ve M 2 (x 2;y 2) iki rastgele noktaysa ve M(x;y) noktası M 1 M 2 doğru parçasının ortasıysa, o zaman

x = , y = (5)

Kanıt. M 1 M = M 2 M olduğundan l = 1 olur ve formül (4)'ü kullanarak formül (5)'i elde ederiz.

Bir üçgenin alanı.

Teorem 1.3. Aynı üzerinde yer almayan herhangi bir A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) ve C(x 3;y 3) noktası için

düz, alan S ABC üçgeni formülle ifade edilir

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Kanıt. Alan ∆ ABC Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.7, aşağıdaki gibi hesaplıyoruz

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Yamukların alanını hesaplıyoruz:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Şimdi elimizde

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Başka bir ∆ ABC konumu için formül (6) benzer şekilde kanıtlanır, ancak “-” işaretiyle sonuçlanabilir. Bu nedenle formül (6)'ya modül işaretini koydular.

Ders 2.

Düzlemde düz bir çizginin denklemi: asal katsayılı bir doğrunun denklemi, genel denklem doğru, doğrunun parçalar halinde denklemi, iki noktadan geçen doğrunun denklemi. Düz çizgiler arasındaki açı, bir düzlemdeki düz çizgilerin paralellik ve diklik koşulları.

2.1. Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi ve bir L doğrusu verilsin.

Tanım 2.1. F(x;y) = 0 formundaki bir denklem: değişkenler x ve y denir çizgi denklemi L(V verilen sistem Koordinatlar), eğer bu denklem, bu çizgi üzerinde yer almayan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından değil, L çizgisi üzerinde bulunan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından karşılanıyorsa.

Düzlemdeki doğru denklemlerine örnekler.

1) Oy eksenine paralel düz bir çizgi düşünün dikdörtgen sistem koordinatlar (Şekil 2.1). Bu doğrunun Ox ekseniyle kesiştiği noktayı (a;o) ─ or- ile A harfiyle gösterelim.

dinatlar. Denklem x = a verilen doğrunun denklemidir. Aslında bu denklem, bu doğrunun herhangi bir M(a;y) noktasının koordinatları tarafından sağlanır ve bu doğru üzerinde yer almayan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından karşılanmaz. Eğer a = 0 ise düz çizgi, x = 0 denklemine sahip olan Oy ekseniyle çakışır.

2) x - y = 0 denklemi, I ve bisektörlerini oluşturan düzlemin noktaları kümesini tanımlar. III koordinatı köşeler

3) Denklem x 2 - y 2 = 0 ─ iki koordinat açısının denklemidir.

4) x 2 + y 2 = 0 denklemi düzlem üzerinde tek bir O(0;0) noktasını tanımlar.

5) Denklem x 2 + y 2 = 25 ─ yarıçapı 5 olan ve merkezi orijinde olan bir dairenin denklemi.