BİR ÇEVRE İÇİNDEKİ AÇILAR

Açı, düzlemi iki parçaya ayırır. Parçaların her birine düzlem açısı denir. Şekil 13'te a ve b kenarlarına sahip düzlem açılarından biri gölgelendirilmiştir. Düz açılar ortak yönler ek denir.

Bir düzlem açısı bir yarım düzlemin parçasıysa, derece ölçüsüne aynı kenarlara sahip sıradan bir açının derece ölçüsü denir. Bir düzlem açısı bir yarım düzlem içeriyorsa, derece ölçüsü 360° - b'ye eşit alınır; burada b, ek bir düzlem açısının derece ölçüsüdür (Şekil 14).

Pirinç. 13

Bir dairedeki merkezi açı, merkezinde bir tepe noktası bulunan düzlemsel bir açıdır. Dairenin düzlem açısının içinde yer alan kısmına, bu merkezi açıya karşılık gelen dairenin yayı denir (Şekil 15). Bir daire yayının derece ölçüsü, karşılık gelen merkez açının derece ölçüsüdür.

Pirinç. 15

Tepe noktası bir daire üzerinde bulunan ve kenarları bu daireyle kesişen açıya daire içine yazılı açı denir. Şekil 16'daki BAC açısı bir dairenin içine yazılmıştır. A köşesi çember üzerinde yer alır ve kenarları çemberi B ve C noktalarında keser. Ayrıca A açısının BC kirişine dayandığı da söylenir. BC düz çizgisi daireyi iki yaya böler. Merkezi açı A noktasını içermeyen bu yaylarınkine karşılık gelen açıya, verilen yazılı açıya karşılık gelen merkez açı denir.

Teorem 5. Bir daire içinde yazılı açı yarıya eşit karşılık gelen merkezi açı.

Kanıt.Önce düşünelim özel durum açının kenarlarından biri dairenin merkezinden geçtiğinde (Şekil 17, a). AOB üçgeni ikizkenardır çünkü OA ve OB kenarlarının yarıçapları eşittir. Bu nedenle üçgenin A ve B açıları eşittir. Ve toplamları eşit olduğundan dış köşe O köşedeki üçgenin B açısı, AOC açısının yarısına eşit oluyorsa bunun kanıtlanması gerekir.

Genel durum, BD yardımcı çapının çizilmesiyle dikkate alınan özel duruma indirgenir (Şekil 17, b, c). Şekil 17, b'de sunulan durumda ABC = CBD + ABD = S COD + S AOD = S AOC.

Şekil 17, c'de sunulan durumda,

CBD - ABD = COD - AOD = AOC.

Teorem tamamen kanıtlanmıştır.

BİR ÇEMİNİN Akor BÖLÜMLERİNİN VE SEKANTLARININ ORANTILILIĞI

Bir çemberin AB ve CD kirişleri S noktasında kesişiyorsa

Daha sonra AS?BS=CS?DS.

Öncelikle ASD ve CSB üçgenlerinin benzer olduğunu kanıtlayalım (Şekil 19). Yazılı açılar DCB ve DAB, Teorem 5'in sonucu olarak eşittir. ASD ve BSC açıları, dikey açılara eşittir. Belirtilen açıların eşitliğinden ASZ ve CSB üçgenlerinin benzer olduğu anlaşılmaktadır.

Üçgenlerin benzerliğinden orantı gelir

AS?BS = CS?DS, kanıtlanması gereken şey buydu

Şekil 19

P noktasından, daireyi sırasıyla A, B ve C, D noktalarında kesen bir daireye iki kesen çizilirse, o zaman

A ve C noktaları, kesenlerin P noktasına en yakın daire ile kesişme noktaları olsun (Şekil 20). PAD ve PCB üçgenleri benzerdir. P köşesinde ortak bir açıları vardır ve daire içine yazılan açıların özelliğine göre B ve D köşelerindeki açılar eşittir. Üçgenlerin benzerliğinden orantı gelir

Dolayısıyla PA?PB=PC?PD'nin kanıtlanması gerekiyordu.

Konuyla ilgili 8. sınıfta geometri dersi

“Akor, teğet ve sekant bölümlerinin orantılılığı”

Dersin Hedefleri:

akor, teğet ve sekant bölümleri arasındaki kalıpları tanımlamak; teğet ile teğet noktasına çizilen kiriş arasındaki açının (ne merkezi ne de yazılı olan) ölçüsünü belirleyin;

geometrik illüstrasyon ve yazı formülleriyle yeni malzemenin algılanmasını sağlamak;

Daha önce ele alınan materyale ilişkin yol gösterici sorular aracılığıyla öğrencileri bağımsız olarak teoremlerin kanıtını keşfetmeye yönlendirmek; kanıt oluşturma becerilerinin oluşturulması;

belirli bir görevi algoritmalaştırmayı ve onu çözmek için birikmiş bilgiyi kullanmayı öğrenmek;

geometrik kanıtların tasarımında okuryazarlığın teşvik edilmesi;

analiz, sentez, tümevarım yöntemleriyle yargı ve sonuçların oluşturulması;

öğrencilerde düşüncelerin oluşumunda ve yürütülmesinde doğruluk, açıklık ve mantık gibi özelliklerin geliştirilmesi;

gelişim soyut düşünme, aktivasyon Düşünme süreci, görselliğin geliştirilmesi ve işitsel hafıza, öğrencilerin konuşma becerileri.

Ders türü: yeni materyal öğrenmek.

Ders planı.

Yeni şeyler öğrenmeye hazırlanıyorum teorik materyal ana konularda öğrencilerle anket yaparak teorik ilkeler daire ve onunla ilişkili elemanlar (teğetler, sekantlar, kirişler, açılar) hakkında.

Teorik materyalin sunumu.

1. Çap ve akor bölümlerinin orantılılığı; akor bölümlerinin orantılılığı.

   Teğet ile kiriş arasındaki açı, teğet noktasına çizilir.

   Kesen ve teğet bölümlerin orantılılığı, sekant bölümlerinin orantılılığı.

Dersin özeti: Teoremlerin formülasyonları üzerine öğrencilerle anket yapılması, teoremlerin kanıtlanması için fikirler, öğretmenin yorumlarıyla ödevlerin kaydedilmesi.

Yeni materyali incelemeye hazırlanıyorum.

Konuların ana hükümlerinin hatırlatılması" Karşılıklı düzenleme daireler ve düz çizgiler”, “Çembere teğet”, “Teğet doğru parçalarının özellikleri”, “Merkez açı”, “Yazılı açı. Yazılı bir açının merkezi bir açıyla ölçülmesi." Aşağıdaki sorular ele alınmalıdır:

Benzer üçgenler; üçgenlerin benzerlik belirtileri.

Bir çizginin ve bir dairenin göreceli konumu: bir sekantın tanımı, bir dairenin içinde yer alan bir sekantın bir parçası olarak bir akor; teğet.

Merkez açının belirlenmesi; yazılı açının belirlenmesi; merkez açının derece ölçüsü; yazılı açının merkezi olandan ölçülmesi; yazılı açı teoreminin sonuçları.

Yeni teorik materyallerin incelenmesi ve not alınması.

2.1. Akor bölümlerinin orantılılığı.

Bunda teorik kısım bir ortak noktaya sahip bir kirişin parçalarının ve bir çapın orantılılığı üzerine bir teoremi, iki kirişin durumu için bir sonucu ve bir ortak noktadan geçen herhangi bir sayıda kirişin durumu için bir genellemeyi içerir.

Teorem 1: Bir dairenin içine alınan bir (M) noktasından bir miktar kiriş (AB) ve bir çap (CD), o zaman akor bölümlerinin çarpımı () çap bölümlerinin çarpımına () eşittir
)(Şek. 1.).

D yani: tamam( HAKKINDA; OA),
- çap, AB- akor,
.

Kanıtlamak:= .

Kanıt: Eşitliği kanıtlamak için oranları karşılaştırmak yeterlidir.
Ve
. Orantılı bölümler benzer üçgenlerdeki benzer kenarlardır. Üçgenleri düşünün
Ve
. Bu üçgenler, üçgenlerin benzerliğinin ilk işaretine göre benzer olacaktır: dikey olarak; yazılı olduğu gibi, aynı yay üzerinde duruyor VE. Üçgenlerin benzerliğinden benzer kenarların orantılılığı çıkar, yani.

, veya
, veya = .

Sonuç 2: Bir dairenin iki akoru kesişirse, o zaman bir akorun bölümlerinin çarpımı diğer akorun bölümlerinin çarpımına eşittir (Şekil 2.).

Verilen: tamam( HAKKINDA; OA), AB,EF- akorlar,
.

Kanıtlamak:=
.

Kanıt:Çapı çizelim CD nokta boyunca M. Daha sonra akor için Teorem 1'e göre AB: = ;

akor için EF:
= .

Eşitliklerin sağ tarafları eşit olduğuna göre sol tarafları da eşittir.

Sonuç 3 (Sonuç 1'in genelleştirilmesi): Bir dairenin içine alınan bir (M) noktası boyunca herhangi bir sayıda kiriş (AB, EF, KL,...), o zaman her akorun bölümlerinin çarpımı, tüm akorlar için sabit olan bir sayıdır (çünkü her akor için bu çarpım, verilen noktadan geçen çapın bölümlerinin çarpımına eşittir).

Teğet ile kiriş arasındaki açı, teğet noktasına çizilir.

Bu öğe, teğet ile teğet noktasına çizilen kiriş arasındaki açının ölçüsünü belirlemenizi sağlar (bu ne merkezi bir açı ne de bir daire içine yazılmış bir açıdır). Ayrıca teğet ve sekant bölümlerinin orantılılığı teoremini kanıtlamanıza da olanak tanır.

Teorem 4: Teğet ile temas noktasına çizilen kiriş arasındaki açı, bu kirişi çevreleyen yayın yarısı kadar ölçülür (Şekil 3.).

D yani: tamam( Ah ah), AC– teğet, A- bağlantı noktası,

AB– akor.

Kanıtlamak:
.

Kanıt: Gerekenleri belirtelim
başından sonuna kadar . Çünkü AC– teğet o zaman
. Hadi düşünelim
- ikizkenar ( JSC, VO– yarıçap), o zaman

Bulalım

diğer tarafta
, buradan,
, veya
.

Teğet ve kesen parçaların orantısallığı.

Bu bölüm belirlemenizi sağlar orantılı bölümler bir noktadan çizilen bir teğet ve bir kesen için, bir noktadan belirli bir daireye çizilen iki veya daha fazla kesen için.

Teorem 5: Çemberin dışına alınan bir (M) noktasından ona bir miktar sekant (MA) ve teğet (MS) çizilirse, sekant (MA) ile onun dış kısmının (MB) çarpımı şuna eşittir: teğetin karesi (MC) ( Şek. 4.).

D yani: tamam( Ah ah), HANIM– teğet, yüksek lisans- sekant

OG– sekantın dış kısmı yüksek lisans.

Kanıtlamak:
.

Kanıt: Eşitliği kanıtlamak için oranları karşılaştırmak yeterlidir.
Ve
yani düşünün
Ve
. Benzer olduklarını gösterelim. Aslında,
- genel,
yazıldığı gibi ve
Teorem 4'e göre (teğet ile teğet noktasına çizilen kiriş arasındaki açı olarak), yani .

Yani benzerdir (üçgenlerin benzerliğinin 1. kriterine göre) ve dolayısıyla = , veya .

Sonuç 6: Bir dairenin dışından alınan bir noktadan kendisine herhangi bir sayıda kesen çizilirse, o zaman her kesenin ve onun dış kısmının çarpımı tüm bu kesanlar için sabit bir sayıdır (çünkü her kesen için bu çarpım kareye eşittir) alınan noktadan çizilen teğet).

Özetleme.

Teoremlerin ve sonuçlarının formülasyonlarının ve bunların kanıtları için fikirlerin açıklanması yoluyla teorik materyalin birincil olarak pekiştirilmesi.

Ev ödevi olarak aşağıdakiler önerildi:

teorik problem: Çap AB belirli bir dairenin bir noktanın ötesine uzatılması İÇİNDE. Bir noktadan sonra İLE bu devamın düz bir çizgisi çizilir
. Eğer keyfi nokta M bunu bu noktaya dik olarak birleştir A, sonra (ile gösterilir) bu çizginin dairesiyle ikinci kesişme noktası) çarpım
herhangi bir M noktası için sabit bir değerdir.

formüllerin uygulanmasına ilişkin 666 ve 671 numaralı problemler (L. S. Atanasyan'ın ders kitabı) orantılı bölümler akorlar, teğetler ve sekantlar;

660 numaralı görev “Yazılı Açı” konusunu gözden geçirmek;

İyi okunmuş teorik materyali öğrenin (çünkü gelecek ders ile başlaması gerekiyordu deneme çalışması Bu teoriye göre).

Verimlilik. Ders sırasında öğrenciler akor, teğet ve sekant bölümleri arasındaki kalıpları belirlediler; teğet ile teğet noktasına çizilen kiriş arasındaki açının ölçüsü belirlenir; geometrik illüstrasyon ve yazı formülleri aracılığıyla öğrencilerin yeni materyali algılaması sağlandı; Öğrenciler geometrik ispat tasarımı konusunda yetkin olacak şekilde eğitildiler.

Teoremleri kanıtlamak için “Çember” konusuyla ilgili materyale başvurmalısınız. Düz bir çizginin ve bir dairenin göreceli konumu. Merkezi ve yazılı açılar. Segmentlerin kenarlar olarak orantılılığı kavramını hatırlayın benzer üçgenler.

İki akorun bölümlerinin orantılılığını ayrı ayrı vurgulamak gerekir. İspat, sınıfa ve dersin hızına bağlı olarak hem yazılı hem de sözlü olarak yapılabilir.

Zamandan tasarruf etmek, tasarım kalitesinden tasarruf etmek ve öğrencileri mümkün olduğunca teoremlerin kanıtlarını keşfetmeye dahil etmek için öğretmenin tahtaya teorik materyali (yazma formülasyonları) yazması daha iyidir.

Yüksek çalışma temposunda düşünebilirsiniz teorik problem, önerilen Ev ödevi, ispat fikrini ortaya atın ve tasarımı eve bırakın.

Bir sonraki derste çalışılan materyali kontrol etmek için şunları yapmalısınız: ön anket formdaki teori yazılı işşunları içerebilir: Basit görev Açık temel formüller bir daire içinde orantılılık.

Edebiyat.

orantılılık bölümler? Açıkçası, benzerlikten... örneğin, dersgeometri VI'da sınıf Açık başlık"Bir üçgenin inşası İle iki açı... oluştu akor Ve teğetler uç görevi gören noktalarda yaya akorlar, eşittir"...

Akor ve sekant bölümlerinin orantılılığı.

Teğet doğru parçalarının özelliği.

Noktaların yeri ile ilgili teorem.

Dik açıortay.

Sınırlandırılmış daire. Bir daire içine yazılmış bir üçgen.

Bir üçgenin içine yazılmış bir daire.

Tüm kavram ve ifadeler için problemler önerilmektedir.

Sunum bir dizi ders için tasarlanmıştır. Uzaktan eğitim için kullanılabilir.

İndirmek:

Ön izleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

KONU: “ÇEMBER”.

Daire. Yarıçap. Akor. Çap. Orta köşe. Orta köşe. Yazılı açı. Görev. Yazılı açı özelliği. Görev. Yayların yarım toplamına ilişkin teorem. Görev. Yayların yarı farkı teoremi. Görev. Kesişen akor parçalarının çarpımı. Akor ve sekant bölümlerinin orantılılığı. Teğet doğru parçalarının özelliği. Görev. Noktaların geometrik yeri. Noktaların yeri ile ilgili teorem. Dik açıortay. Çevrelenmiş daire. Bir daire içine yazılmış bir üçgen. Görev. Görev. Bir daireye teğet. Bir üçgenin içine yazılmış bir daire. Görev. Bir dörtgenin çevrelediği daire. Görev. Dörtgen içine yazılmış bir daire. Görev.

Bir daire, belirli bir noktadan - dairenin merkezinden - eşit uzaklıkta olan düzlemin tüm noktalarından oluşan bir şekildir. Çemberin O merkezinden üzerinde bulunan A noktasına olan mesafe 5 cm'dir. Bu dairenin O noktasından B noktasına olan mesafenin 5 cm olduğunu ve O'dan üzerinde yer almayan C ve D noktalarına olan mesafenin 5 cm olduğunu kanıtlayın. 5 cm çevresine eşit değildir. O C D A B geri

RADIUS. Yarıçap, merkezi çember üzerindeki herhangi bir noktaya bağlayan segmenttir. X,Y,Z noktaları M merkezli bir daire üzerinde yer alır. Bu dairenin yarıçapı MX Segmentidir; YZ segmenti mi? Y X Z geri

AKOR. Bir dairenin akoru nedir? Akor, bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren bir segmenttir. geri O A B

ÇAP. Bir dairenin çapı nedir? Çap, merkezden geçen kiriştir. geri O A B

MERKEZ AÇI Tepe noktası çemberin merkezinde olan açıya merkez açı denir. Merkezi açının derece ölçüsü şuna karşılık gelir: derece ölçüsü dayandığı yay (yay yarım daireden küçükse). Resimdeki tüm merkez açıları adlandırın. O C A B m geri

Belirli bir dairenin merkez açıları eşitse, karşılık gelen yaylar ikili olarak eşittir. Karşıt ifadeyi formüle edin. A O C B D geri

KAPSAMLI AÇI. Tepe noktası bir daire üzerinde bulunan ve kenarları bu daireyle kesişen açıya daire içine yazılı açı denir. Bir daireye hangi açılar yazılmıştır? geri A B C

ABC açısı bir dairenin içine yazılmıştır. AC – çap. ABC açısının dik açı olduğunu kanıtlayın. Görev. geri O A C B

DAHİL AÇI ÖZELLİĞİ. Bir daireye yazılan tüm açıların eşit olduğunu, kenarlarının dairenin belirli iki noktasından geçtiğini ve köşelerin bu noktaları birleştiren düz çizginin aynı tarafında bulunduğunu kanıtlayın. geri

GÖREV. A, B ve C noktaları O merkezli bir çember üzerinde yer alır,  ABC = 50  ,  AB:  CB = 5: 8. Bu yayları ve  AOC'yi bulun. geri

TEOREMİ ŞEKİLDEN KANITLAYIN. Tepe noktası dairenin içinde olan bir açı ( ABC), biri kenarları arasında, diğeri kenarların uzantıları arasında bulunan iki yayın (AC ve D E) yarı toplamı ile ölçülür. .  ABC = 0,5 ( D E +  AC). D E A C geri

GÖREV. MK ve PT akorları A noktasında kesişir. AR = 2 dm, AT = 24 dm, AM: KA = 3: 4 ise AM uzunluğunu bulun.

TEOREMİ ŞEKİLDEN KANITLAYIN. Tepe noktası çemberin dışında kalan ve kenarları çemberle kesişen bir açı ( ABC), kenarları arasına alınmış iki yayın (AC ve D E) yarı farkıyla ölçülür.  ABC = 0,5 ( D E +  AC). B D E A C geri

GÖREV. A noktasından yarıçapı 5 cm olan bir dairenin merkezine olan mesafe 10 cm'dir. A noktasından geçen bir kesen çizilir ve daireyi B ve C noktalarında keser. B noktası AC parçasını ikiye bölerse AC'yi bulun. geri

KESİŞEN AKORLARIN SEGMENTLERİNİN ÜRÜNÜ. Kesişen akorların parçalarının uzunluklarının çarpımı eşittir. Bu teoremi “eğer” ve “o halde” sözcükleriyle ifade edin. Kendinizi test edin: “AB ve C D akorları M noktasında kesişiyorsa, AM  BM = CM  D M C B m A D geri

AKOR VE SANİYE SEKTÖRLERİNİN ORANTILILIĞI. Kesen parçaların uzunluklarının çarpımı, teğet parçanın uzunluğunun karesine eşittir. M noktasından çembere bir kesen ve bir teğet çizilirse ve A ve B noktaları çemberin kesenle kesişme noktalarıysa ve C teğet noktasıysa, AM  BM = CM. M S V A geri

Teğet Segmentlerin Özellikleri. Bir çemberin dışındaki bir noktadan çizilen iki teğetin parçaları birbirine eşittir ve eşit açılar bu noktayı merkeze bağlayan düz bir çizgi ile. Teoremi kendiniz kanıtlayın. A O C B geri

GÖREV. M noktasından O merkezli ve yarıçapı 8 cm olan bir daireye AM ve BM teğetleri çizilir (A ve B teğet noktalarıdır). AOB açısı 120  ise ABM üçgeninin çevresini bulun. geri

NOKTALARIN GEOMETRİK KONUMU. Noktaların yeri, düzlemin tüm noktalarından oluşan bir şekildir. belirli bir mülk. Bir dairenin neden belirli bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri olduğunu açıklayın. geri O A B

GEOMETRİK NOKTALARLA İLGİLİ TEOREM. Verilen iki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların yeri, bu noktaları birleştiren ve orta noktasından geçen doğru parçasına dik olan düz bir çizgidir. Verilenler: a; AB  a; AO = OB. Kanıtlayın: a - yer A ve B'ye eşit uzaklıktaki noktalar. A doğrusu üzerindeki herhangi bir noktanın A ve B'ye eşit uzaklıkta olduğunu tespit edersek teorem kanıtlanır mı? geri A B O M a

ORTA DİK. Bir AB parçasına dik açıortay, kendisine dik olan bir AB parçasının ortasından geçen bir çizgidir. Çemberin merkezinin üzerinde olduğunu kanıtlayın dik açıortay bu çemberin herhangi bir akoruna. geri

DAİRESEL DAİRE. BİR DAİRE İÇİNDE YAZILI ÜÇGEN. Bir daire, tüm köşelerinden geçiyorsa, bir üçgenin etrafında çevrelenmiş daire olarak adlandırılır. Bu durumda üçgenin bir daire içine yazıldığı söylenir. Yazılı bir üçgenin kenarlarının, etrafını çevreleyen dairenin kirişleri olduğunu kanıtlayın. Üçgenin çevrel çemberinin merkezi nerede? geri

Bir dik üçgenin çevrel çemberinin merkezi nerededir? Görev. geri O A C B

GÖREV. Kenarları 10, 12 ve 10 cm geride olan bir üçgenle çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını bulun

ÇEVREYE teğet Çemberle tek bir ortak noktası olan doğruya çembere teğet denir. Ortak noktaçember ve teğete teğet noktası denir. CDE üçgeninin çembere göre kenarları hakkında ne söylenebilir? geri

ÜÇGEN İÇİNDE YAZILI DAİRE. Bir dairenin tüm kenarlarına değmesi durumunda üçgenin içine yazıldığı söylenir. Bu durumda üçgene bir daire etrafında çevrelenmiş üçgen denir. Üçgenin içine yazılan dairenin merkezi nerede? ABC üçgeni bir daire etrafında çevrelenmiştir. AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA üçgenlerinden hangileri eşittir? geri

GÖREV. İÇİNDE dik üçgen açılardan biri 30 'dur. Yazılı dairenin yarıçapı 4 cm geride ise üçgenin küçük kenarını bulun.

BİR DÖRTGENİN ETRAFINDA TANIMLANAN DAİRE. Eğer yaklaşık dışbükey dörtgen bir daireyi tanımlayabilirseniz bunun toplamı zıt köşeler iki dik açıya eşittir. Kanıtlayın:  A +  C = 180  . Karşıt ifadeyi formüle edin. Hangi dörtgenlerin etrafına daire çizilebilir? Neden? B C D A geri

GÖREV. Bir yamuğun köşegeni c'dir büyük taban açı 30  olup yamuğun yakınında açıklanan dairenin merkezi bu tabana aittir. Yamuğun alanını bulun, eğer taraf 2 cm geriye eşit

DÖRTGEN İÇİNE YAZILI DAİRE Bir dörtgen içine bir daire yazılabiliyorsa, bu dairenin uzunluklarının toplamı zıt taraflar eşittir. Kanıtlayın: AB+C D = BC+A D. Karşıt ifadeyi formüle edin. Hangi dörtgenlere daire yazılabilir? B C D A N P K M geri

GÖREV. Alanı bul ikizkenar yamuk tabanları 2 cm ve arkadan 8 cm ise bir daire etrafında çevrelenir

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgini çektiyse bu iş lütfen tam sürümünü indirin.

Hedef:öğrenme motivasyonunu artırmak; Bilgisayar becerilerini, zekasını ve bir takımda çalışma yeteneğini geliştirin.

Dersin ilerlemesi

Bilginin güncellenmesi. Bugün çevreler hakkında konuşmaya devam edeceğiz. Size dairenin tanımını hatırlatayım: Çembere ne denir?

Daire dairenin merkezi adı verilen düzlemdeki bir noktadan belirli bir mesafede bulunan düzlemdeki tüm noktalardan oluşan bir çizgidir.

Slaytta bir daire gösteriliyor, merkezi işaretlenmiş - O noktası, iki bölüm çiziliyor: OA ve SV. Segment OA, dairenin merkezini daire üzerindeki bir noktaya bağlar. Buna RADIUS denir (Latince yarıçapta - “tekerleğin içinde konuştu”). CB segmenti dairenin iki noktasını birleştirir ve merkezinden geçer. Bu bir dairenin çapıdır (Yunancadan “çap” olarak çevrilmiştir).

Ayrıca bir daire akorunun tanımına da ihtiyacımız olacak - bu, bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren bir segmenttir (şekilde - akor DE).

Hadi soruyu bulalım düz bir çizginin ve bir dairenin göreceli konumu hakkında.

Bir sonraki soru ve asıl soru olacak: Kesişen akorların, sekantların ve teğetlerin sahip olduğu özellikleri öğrenin.

Bu özellikleri matematik derslerinde kanıtlayacaksınız ve bizim görevimiz, hem Birleşik Devlet Sınavı hem de Devlet Sınavı biçimindeki sınavlarda yaygın olarak kullanıldığı için bu özellikleri problem çözerken nasıl uygulayacağınızı öğrenmektir.

Takımlara görev.

• P noktasında kesişen CM ve NF kirişlerinin özelliklerini çizin ve yazın.
• KM teğetinin ve KF sekantının özelliklerini çizip yazın.
• KM ve MF sekantlarının özelliklerini çizip yazınız.

Şekildeki verileri kullanarak x'i bulun. Slayt 5–6

Kim daha hızlıysa o daha doğrudur. Bunu tüm sorunların çözümlerinin tartışılması ve doğrulanması izledi. Cevap verenler ekipleri için ödül puanları kazanır.

Şimdi daha ciddi sorunları çözmeye geçelim. Dikkatinize üç blok sunuyoruz: kesişen akorlar, bir teğet ve bir sekant, iki sekant. Her bloktan bir sorunun çözümünü detaylı olarak analiz edeceğiz.

(Çözüm şu şekilde analiz edilir: detaylı kayıt №4, №7, №12)

2. Sorun çözme çalıştayı

a) Kesişen akorlar

1. E – AB ve CD akorlarının kesişme noktası. AE=4, AB=10, CE:ED=1:6. CD'yi bulun.

Çözüm:

2. E – AB ve CD akorlarının kesişme noktası. AB=17, CD=18, ED=2CE. AE ve BE'yi bulun.

Çözüm:

3. E – AB ve CD akorlarının kesişme noktası. AB=10, CD=11, BE=CE+1. CE'yi bulun.

Çözüm:

4. E, AB ve CD akorlarının kesişme noktasıdır. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. CD'yi bulun.

Çözüm:

b) Teğet ve sekant

5. Bir noktadan çembere bir teğet ve bir sekant çizilir. Teğet 6, sekant 18'dir. Sekantın iç parçasını belirleyin.

Çözüm:

6. Bir noktadan çembere bir teğet ve bir kesen çizilir. Sekantın iç kısmından 4 kat daha küçük ve dış kısmından 4 kat daha büyük olduğu biliniyorsa teğeti bulun.

Çözüm:

7. Bir noktadan çembere bir teğet ve bir kesen çizilir. İç parçasının dış parçaya 3:1 oranında ilişkili olduğu ve teğet uzunluğunun 12 olduğu biliniyorsa bir kesen bulun.

Çözüm:

8. Bir noktadan çembere bir teğet ve bir kesen çizilir. İç parçasının 12 ve tanjant uzunluğunun 8 olduğu biliniyorsa, kesenin dış parçasını bulun.

Çözüm:

9. Aynı noktadan çıkan teğet ve sekant sırasıyla 12 ve 24'e eşittir. Eğer sekant merkezden 12 uzakta ise çemberin yarıçapını belirleyin.

Çözüm:

c) İki sekant

10. Bir noktadan, iç bölümleri sırasıyla 8 ve 16'ya eşit olan bir daireye iki kesen çizilir. İkinci kesenin dış bölümü, birincinin dış bölümünden 1 eksiktir. Her sekantın uzunluğunu bulun.

Çözüm:

11. Bir noktadan bir daireye iki kesen çiziliyor. Birinci sekantın dış kısmı iç kısmı ile 1:3 oranında ilişkilidir. İkinci sekantın dış bölümü, birincinin dış bölümünden 1 eksiktir ve iç bölümüyle 1:8 oranında ilişkilidir. Her sekantın uzunluğunu bulun.

Çözüm:

12. Dairenin dışında, merkezinden 7 uzaklıkta bulunan A noktasından daireyi B ve C noktalarında kesen düz bir çizgi çizilir. AB = 3, BC ise dairenin yarıçapının uzunluğunu bulun. = 5.

Çözüm:

13. A noktasından daireye 12 cm uzunluğunda bir kesen ve kesenin iç parçasının bir bileşeni olan bir teğet çiziliyor. Teğetin uzunluğunu bulun.

Çözüm:

1. 10,5; 17,5
2. 12;18

3. Bilginin pekiştirilmesi

Aşağıdaki istasyonları ziyaret ederek zihninizin labirentlerinde kısa bir yolculuğa çıkacak kadar bilgiye sahip olduğunuza inanıyorum:

• Bunu düşün!
• Karar vermek!
• Bana cevap ver!

İstasyonda en fazla 6 dakika kalabilirsiniz. Her biri için doğru karar ekip teşvik puanları alır.

Takımlara rota sayfaları verilir:

Rota sayfası

seni hayal kırıklığına uğratmak isterim dersimizin sonuçları:

Yeni bilgilerin yanı sıra, birbirinizi daha iyi tanıdığınızı ve bir ekipte çalışma deneyimi kazandığınızı umuyorum. Edinilen bilginin hayatın bir yerinde uygulandığını düşünüyor musunuz?

Şair G. Longfellow da bir matematikçiydi. Muhtemelen bu nedenle “Kawang” romanında kullandığı matematiksel kavramları süsleyen canlı görseller, bazı teoremlerin ve bunların yaşamdaki uygulamalarının basılmasını mümkün kılmaktadır. Romanda şu sorunu okuyoruz:

“Taze bir rüzgar altında su yüzeyinin bir karış üzerinde yükselen zambak, önceki yerinden iki arşın ötede gölün yüzeyine dokundu; buna dayanarak gölün derinliğini belirlemek gerekiyordu” (1 açıklık 10 inç, 2 arşın 21 inçtir).

Ve bu problem, kesişen akorların özelliği temelinde çözülmektedir. Resme baktığınızda gölün ne kadar derin olduğu anlaşılacaktır.

Çözüm:

V.Ders özeti

U. Ortaya çıkan tüm yazılı açıları adlandırın (Şekil 30).

D. CAB; ABC; Güneş.

U. Teğet ve kirişler arasındaki tüm açıları adlandırın.

D.NAB; NBA'de; KBC; KKB; MCA; MAC.

W. Hangileri eşit olacak ve neden?

D. NAB = NBA; KBC= KCB; MCA = MAC. Teğet ile kiriş arasındaki bu açıların her bir çifti aynı yayı içerir, dolayısıyla sayısal olarak yarıya, yani birbirlerine eşittirler.

W. Üçgenin hangi açıları bu üç çiftin her birine eşittir ve neden?

D. NAB = NBA = C; KBC = KCB = A; MCA = MAC = B. Teğet ile kiriş arasındaki açı, teğet ile kiriş arasındaki yayın oluşturduğu yazılı açıya eşit olduğundan.

U. ANB üçgenlerinin türü hakkında neler söyleyebilirsiniz? BKC; CMA mı?

D. bu üçgenlerin her birinin iki eşit açısı olduğundan ikizkenardırlar.

VEv ödevi

Atanasyan’ın ders kitabına göre No. 656, 663.

Teoriyi öğrenin (teste hazırlanmak).

Ders 6 – 7

Ders. Akor ve sekant bölümlerinin orantılılığı.

Dersin Hedefleri.Öğrencilerin konu hakkındaki bilgi ve anlayışlarını test edin: “Yazılı Açı”; teorik materyali göz önünde bulundurun (akorlar ve sekantlar hakkında); problem çözme becerilerini güçlendirmek.

I. Ödev soruları

II. Bilgi kontrolü

Teorinin test edilmesi, öğrencilerin “Yazılı Açı” konusundaki bilgilerinin test edilmesi bir test niteliğindedir. Test yalnızca tanım ve özelliklere ilişkin gerçek bilgiyi değil, aynı zamanda kavramlar arasındaki bağlantıların anlaşılmasını da test eder. Bu nedenle bazı sorular ders kitabına tam olarak uygun şekilde oluşturulmamaktadır. Tamamlanması 5-7 dakika sürer. Çalışmanın değerlendirilmesi gerekiyor. Öğrenci başarısız olursa, ders kitabındaki ifadelere ilişkin bilgisinin test edilmesi tavsiye edilir.

Yay, merkezi ve yazılı açılar arasındaki tüm bağlantıların çözülmesi gerektiğinden test konunun sonunda gerçekleştirilir.

Öğrencilerin sınava girerken yalnızca karşılık gelen sayıları yazmaları gerekir. Zamandan tasarruf ediyoruz ve öğrencilerin düşünmesini sağlıyoruz.

Testin ardından çoğu öğrencinin ilgisini çeken soruyu cevaplayabilirsiniz.

Test (L. S. Atanasyan'ın ders kitabına göre)

Cümlenin başlangıcını ve sonunu birleştirin doğru ifade. Cevabınızda görevin sol ve sağ kısımlarının sayısını belirtin, örneğin: 2-5.

seçenek 1

seçenek 2

Yanıtlar: 1-6; 2-4; 3-8; 4-1; 5-10; 6-9; 8-3; 9-5; 10-7.

Doğru bir ifade oluşturmak için ifadenin başlangıcını ve sonunu birleştirin. Cevabınızda görevin sol ve sağ kısımlarının sayısını belirtin, örneğin: 2-5.

seçenek 1

Yanıtlar: 1-9; 2-7; 3-8; 4-10; 5-1; 6-4; 7-2; 8-3; 9-5; 10-6.

seçenek 2

Yanıtlar. 1-4; 2-6; 3-8; 4-10; 5-7; 7-2; 8-3; 9-1; 10-5.

III. Yeni malzemenin açıklaması

U. Dersin konusunu yazalım ve bitmiş çizimi sözlü olarak kullanarak sorunu analiz edelim (Şekil 31)

U. Bir daire içinde çizilen çap AC, akorlar BD, kuzeydoğu ve AD ve teğet CN, AD kirişinin devamı ile 30°'lik bir açı oluşturur.

Bulmak DBC.

Sorunun gerekçesi:

1) Açının adı nedir DBC, Hangi yay üzerinde duruyor?

2) Kömür hakkında neler söylenebilir? OLABİLMEK?

3) Teğet özelliği CN.

4) CAN açısını nasıl hesaplayabilirsiniz ve neden?

Sonuç: DBC = 60°

Akıl yürütmemiz sırasında çizimde eşit açıların yanı sıra eşit açıları da işaretliyoruz. ACN = 90 °. Sonra üçgenleri düşünmeyi öneriyoruz YHT ve AMD'dir. Bu üçgenler benzerdir (kendiniz göremiyorsanız ipucu verebilirsiniz).

Üçgenlerin benzerliğini kanıtlamak için benzerlik işaretlerini hatırlamamız gerekir.

Çizimde eşit açılar zaten işaretlenmiştir C.B.M. = CAD(bir yay üzerinde dinlenin). Geriye kalan tek şey dikey açılara dikkat etmek :

RİA = AMD, VSM ~ ∆AMD(iki köşede).

Benzer üçgenlerin karşılık gelen kenarları hakkında ne söylenmelidir? Bir orantı oluşturun:

BMAM = CMDM = BCAD.

U.. Dairenin orana dahil olan parçaları nelerdir?

D. Akorların parçaları ve çapları.

U. Yani bir daire içinde kesişen akorlar arasında bir bağlantı olduğunu varsayabiliriz.

Teoremi formüle edelim: Bir dairenin iki kirişi kesişirse, o zaman bir kirişin parçalarının çarpımı diğer kirişin parçalarının çarpımına eşittir.

İspat Atanasyan'ın ders kitabına göre gerçekleştirilir, öğrenciler teoremi anlamaya hazırlanır ve bunu yazmak fazla zaman almamalıdır.

Sekant teoremini dikkate almanın gerekli olduğuna inanıyoruz.

Teorem için bir çizim hazırlıyoruz ve bir daireye kesen derken ne demek istediğimizi öğreniyoruz: daireyi iki noktada kesen düz bir çizgi.

Haydi yazalım teoremin formülasyonu: eğer yalan söyleyen bir noktadan

dairenin dışına iki kesen çizilir, ardından kesenin çarpımları ile dış kısımları eşittir. (Ya da: P noktasından çembere, çemberi A noktalarında kesen iki kesen çizilirse, İÇİNDE ve C, D sırasıyla,

O ARB.P. = = C.P.- D.P..)

Verilen: B.P. Ve D.P.- sekantlar (Şekil 32).

Kanıtlayın: BP AP = PD PC.

Kanıt:

1. Ek bir inşaat yapalım: GüneşnAD.

BCAD = PC/AP = BP/PD → PC PD = AP BP.

Kesenlerin ve çemberin göreceli konumunu düşünmeye devam edelim. Bu çizimi PB sekantının teğetin konumunu alacağı şekilde değiştirirsek, teoremimiz şu şekilde formüle edilecektir: eğer bu daireye bir sekant ve bir teğet dairenin dışındaki bir noktadan çizilirse, o zaman kare teğetin ürüne eşit dış kısmına sekant.

P Yani bunu kanıtlamamız gerekiyor B.P. 2 = PDPC'dir.

Akorları çizelim Güneş Ve B.D.

BDC = ½senGüneş(yazılı olduğu gibi);

SVR = ½senGüneş(teğet ve kiriş arasındaki açı), dolayısıyla

BDC = C.B.P..

∆BPD ~ ∆ C.P.B.iki köşede.

Orantıyı yazalım:

BD/BC = BP/PC =PD/BP, bunun anlamı B.P.2=PCPolis Departmanı

Teoremin formülasyonunu yazarak 670 numaralı problemi (Atanasyan) çözmek ve böylece teoremin kanıtını gerçekleştirmek mümkündür. İspat prensibi tekrarlandığından her üç teoremde de benzerlik esasına dayandığı için öğrencilerden birinden tahtada ispatı yapmasını isteyebilirsiniz.

Sorun 1

KL ve MN sekantlardır (Şekil No. 34). Hangi özellik formüle edilebilir? (Bir çizimi tartışıp hazırlıyoruz, bu çizime göre bir problem çözüyoruz.)

Akorlar MN ve KL C noktasında kesişir. Doğru parçasının uzunluğunu belirleyinC.L., EğerKK= 3cm, MS = 3cm; CH = 9 cm. başlık " Merkezi Ve yazılı açılar". Özetle ve... Bugün finalimiz var dersİle başlık: "Merkezi Ve yazılı açılar"Tekrarlıyoruz, genelleştiriyoruz, sunuyoruz...