Sayı çemberinin merkezi şuna denk gelir. Konuyla ilgili bir cebir dersi (10. sınıf) sunumu: Koordinat düzleminde sayı çemberi

Konuyla ilgili bir video eğitimini dikkatinize sunuyoruz. Sayı çemberi" Sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant ve fonksiyonların ne olduğuna ilişkin bir tanım verilmiştir. sen= günah X, sen= çünkü X, sen= tg X, sen= ctg X herhangi bir sayısal argüman için. Değerlendiriliyor standart görevler Her sayı için tek bir nokta bulmak ve bunun tersine, her nokta için ona karşılık gelen bir dizi sayı bulmak için birim sayı çemberindeki sayılar ve noktalar arasındaki yazışma üzerine.

Konu: Teorinin Unsurları trigonometrik fonksiyonlar

Ders: Sayı Çemberi

Acil hedefimiz trigonometrik fonksiyonları tanımlamaktır: sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant-

Sayısal argüman bir koordinat çizgisine veya bir daireye çizilebilir.

Böyle bir daireye sayısal veya birim daire denir çünkü kolaylık sağlamak için bir daire çizin

Örneğin, verilen bir noktayı koordinat çizgisi üzerinde işaretleyin

ve üzerinde sayı dairesi.

Sayı çemberi ile çalışırken saat yönünün tersine hareketin pozitif yön, saat yönünün ise negatif yön olduğu kabul edildi.

Tipik görevler - koordinatları belirlemeniz gerekir verilen nokta veya tam tersi, koordinatlarına göre bir nokta bulun.

Koordinat çizgisi, noktalar ve sayılar arasında bire bir yazışma kurar. Örneğin, bir sayı koordinatlı A noktasına karşılık gelir.

Koordinatlı her B noktası yalnızca bir sayıyla karakterize edilir - 0'dan artı veya eksi işaretiyle alınan mesafe.

Sayı çemberinde birebir yazışmalar yalnızca tek yönde çalışır.

Örneğin üzerinde B noktası var koordinat dairesi(Şekil 2), yay uzunluğu 1'dir, yani. bu nokta 1'e karşılık gelir.

Bir daire verildiğinde, çevresi O halde - uzunluk birim çember.

Eğer eklersek, aynı B noktasını elde ederiz, sonra da B noktasına ulaşırız, çıkarırız - yine B noktası.

B noktasını düşünün: yay uzunluğu = 1, o zaman sayılar sayı çemberi üzerindeki B noktasını karakterize eder.

Böylece, 1 sayısı, sayı çemberi üzerinde tek bir noktaya karşılık gelir - B noktası ve B noktası, formdaki sonsuz sayıda noktaya karşılık gelir. .

Sayı çemberi için aşağıdakiler doğrudur:

Eğer t. M Sayı çemberi bir sayıya karşılık geliyorsa, o zaman aynı zamanda formdaki bir sayıya da karşılık gelir

Sayı çemberi etrafında istediğiniz kadar pozitif veya tam dönüş yapabilirsiniz. olumsuz yön- mesele aynı. Bu yüzden trigonometrik denklemler sayısız çözümü var.

Örneğin, verilen D noktası. Karşılaştığı sayılar nelerdir?

Arkı ölçüyoruz.

D noktasına karşılık gelen tüm sayıların kümesi.

Sayı çemberindeki ana noktalara bakalım.

Tüm çevrenin uzunluğu.

Onlar. birden fazla koordinatın kaydı farklı olabilir .

düşünelim tipik görevler sayı çemberinde.

1. Verilen: . Bul: sayı çemberi üzerinde bir nokta.

Parçanın tamamını seçelim:

Sayı çemberi üzerindeki noktayı bulmak gerekir. , Daha sonra .

Bu set aynı zamanda noktayı da içerir.

2. Verilen: . Bul: sayı çemberi üzerinde bir nokta.

T'yi bulmak gerekiyor.

t.ayrıca bu kümeye aittir.

Sayı çemberindeki sayılar ve noktalar arasındaki standart yazışma problemlerini çözerek, her sayı için tek bir nokta bulabileceğimizi ve her nokta için belirli bir noktayla karakterize edilen bir dizi sayı bulabileceğimizi bulduk.

Yayı üç eşit parçaya bölün ve M ve N noktalarını işaretleyin.

Bu noktaların tüm koordinatlarını bulalım.

Dolayısıyla amacımız trigonometrik fonksiyonları tanımlamaktır. Bunu yapmak için bir fonksiyon argümanının nasıl belirleneceğini öğrenmemiz gerekir. Birim çemberin noktalarına baktık ve iki tipik problemi çözdük: sayı çemberi üzerinde bir nokta bulun ve bu noktanın tüm koordinatlarını birim çember üzerine yazın.

1. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Ders Kitabı. Genel eğitim için Kurumlar.- 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: hasta.

2. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Öğrenciler için problem kitabı. eğitim kurumları/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina ve diğerleri - 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: hasta.

3. Makarychev N. Cebir. 9. sınıf: genel eğitim öğrencileri için eğitici. kurumlar / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. baskı, rev. ve ek - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Cebir. 9. sınıf. 16. baskı. - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A.G. Cebir. 9. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. baskı, silindi. - M.: 2010. - 224 s.: hasta.

6. Cebir. 9. sınıf. 2 bölüm halinde Bölüm 2. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina ve diğerleri; Ed. A. G. Mordkovich. — 12. baskı, rev. - M.: 2010.-223 s.: hasta.

Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, vb. - 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: hasta.

№№ 531; 536; 537; 541; 552.

Bu yazıda sayı çemberinin tanımını ayrıntılı olarak analiz edeceğiz, ana özelliğini bulacağız ve 1,2,3 vb. sayıları düzenleyeceğiz. Bir daire üzerindeki diğer sayıları (pi dahil) nasıl işaretleyeceğinizi öğrenin.

Sayı çemberi noktaları birbirine karşılık gelen birim yarıçaplı bir daire denir göre düzenlenmiş kurallara uymak:

1) Başlangıç ​​noktası çemberin en sağ noktasındadır;

2) Saat yönünün tersine - pozitif yön; saat yönünde – negatif;

3) Eğer daire üzerindeki \(t\) mesafesini pozitif yönde çizersek, o zaman \(t\) değerine sahip bir noktaya ulaşacağız;

4) Eğer daire üzerindeki \(t\) mesafesini negatif yönde çizersek, o zaman \(–t\) değerine sahip bir noktaya ulaşacağız.

Çembere neden sayı çemberi deniyor?
Çünkü üzerinde numaralar var. Bunda daire şuna benzer: sayı ekseni– Çemberde ve eksende her sayı için belirli bir nokta vardır.

Sayı çemberinin ne olduğunu neden biliyorsunuz?
Sayı çemberi kullanılarak sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantların değerleri belirlenir. Bu nedenle trigonometriyi bilmek ve Birleşik Devlet Sınavını geçmek 60+ puan için sayı çemberinin ne olduğunu ve üzerine nasıl noktalar yerleştirileceğini anlamalısınız.

Tanımdaki "...birim yarıçap..." kelimeleri ne anlama geliyor?
Bu, bu dairenin yarıçapının \(1\)'e eşit olduğu anlamına gelir. Ve eğer merkezi orijinde olacak şekilde böyle bir daire inşa edersek, o zaman eksenlerle \(1\) ve \(-1\) noktalarında kesişecektir.

Küçük çizilmesine gerek yoktur; eksenler boyunca bölümlerin "boyutunu" değiştirebilirsiniz, o zaman resim daha büyük olacaktır (aşağıya bakın).

Yarıçap neden tam olarak bir? Bu daha uygundur, çünkü bu durumda çevreyi \(l=2πR\) formülünü kullanarak hesaplarken şunu elde ederiz:

Sayı çemberinin uzunluğu \(2π\) veya yaklaşık olarak \(6,28\)'dir.

“...noktaları gerçek sayılara karşılık gelenler” ne anlama geliyor?
Yukarıda söylendiği gibi, herhangi bir sayı çemberi üzerinde gerçek sayı kesinlikle onun “yeri” olacak - bu sayıya karşılık gelen bir nokta.

Sayı çemberinin kökenini ve yönünü neden belirlemelisiniz?
Ana hedef sayı çemberi - her sayı, noktasını benzersiz bir şekilde belirler. Ancak nereden sayacağınızı ve nereye hareket edeceğinizi bilmiyorsanız, noktayı nereye koyacağınızı nasıl belirleyebilirsiniz?

Burada orijini koordinat çizgisi ile sayı çemberi üzerinde karıştırmamak önemlidir - bunlar iki farklı sistemler geri sayım! Ayrıca \(x\) eksenindeki \(1\) ile daire üzerindeki \(0\)'yi karıştırmayın; bunlar farklı nesneler üzerindeki noktalardır.

Hangi noktalar \(1\), \(2\), vb. sayılarına karşılık gelir?
Sayı çemberinin yarıçapının \(1\) olduğunu varsaydığımızı hatırlıyor musunuz? Bu bizim birim segmentimiz olacak (benzeterek) sayı ekseni), bunu dairenin üzerine çizeceğiz.

1 sayısına karşılık gelen sayı çemberi üzerinde bir noktayı işaretlemek için 0'dan pozitif yönde yarıçapa eşit bir mesafeye gitmeniz gerekir.

\(2\) sayısına karşılık gelen daire üzerinde bir noktayı işaretlemek için, başlangıç ​​noktasından iki yarıçapa eşit bir mesafe kat etmeniz gerekir, böylece \(3\) üç yarıçapa eşit bir mesafe olur, vb.

Bu resme baktığınızda aklınıza 2 soru gelebilir:
1. Çember “bittiğinde” ne olacak (ör. tam dönüş)?
Cevap: ikinci tura çıkalım! İkincisi bittiğinde üçüncüye geçeceğiz ve böyle devam edecek. Bu nedenle daireye başvurabilirsiniz sonsuz sayı sayılar.

2. Nerede olacaklar negatif sayılar?
Cevap: işte orada! Ayrıca, gerekli sayıda yarıçapı sıfırdan sayarak, ancak şimdi negatif yönde de düzenlenebilirler.

Ne yazık ki sayı çemberinde tam sayıları belirlemek zordur. Bunun nedeni sayı çemberinin uzunluğunun bir tamsayıya eşit olmamasıdır: \(2π\). Ve tam da uygun yerler(eksenler ile kesişme noktalarında) tamsayılar değil kesirler de olacaktır

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Koordinat düzleminde sayı çemberi"

Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

1C'den 10. sınıfa yönelik Integral çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Parametrelerle cebirsel problemler, 9-11. Sınıflar
Geometri problemlerini çözüyoruz. 7-10. Sınıflar için etkileşimli inşaat görevleri

Neyi inceleyeceğiz:
1. Tanım.
2. Sayı çemberinin önemli koordinatları.
3. Sayı çemberinin koordinatı nasıl bulunur?
4. Sayı çemberinin ana koordinatlarının tablosu.
5. Problem çözme örnekleri.

Koordinat düzlemindeki sayı çemberinin tanımı

Sayı çemberindeki her noktanın koordinat düzleminde kendi x ve y koordinatları vardır ve:
1) $x > 0$ için, $y > 0$ - ilk çeyrekte;
2) $x 0$ için - ikinci çeyrekte;
3) $x için 4) $x > 0$ için, $y
Sayı çemberi üzerindeki herhangi bir $M(x; y)$ noktası için aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır: $-1
Sayı çemberinin denklemini hatırlayın: $x^2 + y^2 = 1$.

Şekilde gösterilen sayı çemberi üzerindeki noktaların koordinatlarını nasıl bulacağımızı öğrenmek bizim için önemlidir.

$\frac(π)(4)$ noktasının koordinatını bulalım

Sayı çemberindeki noktaların koordinatları

Örneklere bakalım

Çözüm:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Bu, $45\frac(π)(4)$ sayısının, sayı çemberi üzerinde $\frac(5π)(4)$ sayısıyla aynı noktaya karşılık geldiği anlamına gelir. Tablodaki $\frac(5π)(4)$ noktasının değerine baktığımızda şunu elde ederiz: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

Örnek 2.
Sayı çemberi üzerindeki bir noktanın koordinatını bulun: $P(-\frac(37π)(3))$.

Çözüm:

Çünkü k bir tamsayı olmak üzere $t$ ve $t+2π*k$ sayıları sayı çemberi üzerinde aynı noktaya karşılık gelir:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Bu, $-\frac(37π)(3)$ sayısının, sayı çemberi üzerinde $–\frac(π)(3)$ sayısı ve –$\frac(π) sayısıyla aynı noktaya karşılık geldiği anlamına gelir. (3)$, $\frac(5π)(3)$ ile aynı noktaya karşılık gelir. Tablodaki $\frac(5π)(3)$ noktasının değerine baktığımızda şunu elde ederiz:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

Örnek 3.
Sayı çemberinde ordinatı $y =\frac(1)(2)$ olan noktaları bulun ve bunların hangi $t$ sayılarına karşılık geldiğini yazın?

Çözüm:
$y =\frac(1)(2)$ düz çizgisi sayı çemberini M ve P noktalarında keser. M noktası $\frac(π)(6)$ sayısına karşılık gelir (tablo verilerinden). Bu, şu formdaki herhangi bir sayı anlamına gelir: $\frac(π)(6)+2π*k$. P noktası $\frac(5π)(6)$ sayısına ve dolayısıyla $\frac(5π)(6) +2 π*k$ formundaki herhangi bir sayıya karşılık gelir.
Bu gibi durumlarda sıklıkla söylendiği gibi iki değer dizisi aldık:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ ve $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Cevap: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ ve $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

Örnek 4.
Sayı çemberi üzerinde abscissa $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ ile noktaları bulun ve bunların hangi sayılara karşılık geldiğini $t$ yazın.

Çözüm:

$x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ düz çizgisi sayı çemberini M ve P noktalarında keser. $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ eşitsizliği şuna karşılık gelir: PM yayının noktalarına. M noktası $3\frac(π)(4)$ sayısına karşılık gelir (tablo verilerinden). Bu, $-\frac(3π)(4) +2π*k$ biçimindeki herhangi bir sayı anlamına gelir. P noktası $-\frac(3π)(4)$ sayısına ve dolayısıyla $-\frac(3π)(4) +2π*k$ biçimindeki herhangi bir sayıya karşılık gelir.

Sonra $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$ elde ederiz.

Cevap: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

Sayı çemberi noktaları belirli reel sayılara karşılık gelen birim çemberdir.

Birim çember yarıçapı 1 olan bir çemberdir.

Sayı çemberinin genel görünümü.

1) Yarıçapı bir ölçü birimi olarak alınır.

2) Yatay ve dikey çaplar sayı çemberini dört parçaya böler (şekle bakın). Bunlar sırasıyla birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü çeyrek olarak adlandırılır.

3) Yatay çap AC ile gösterilir ve A en sağdaki noktadır.
Dikey çap BD olarak gösterilir ve B en yüksek noktadır.
Sırasıyla:

ilk çeyrek AB yayı

ikinci çeyrek – yay BC

üçüncü çeyrek – yay CD'si

dördüncü çeyrek – yay DA

4) Sayı çemberinin başlangıç ​​noktası A noktasıdır.

Sayı çemberi boyunca sayma saat yönünde veya saat yönünün tersine yapılabilir.
A noktasından saat yönünün tersine saymaya denir olumlu yön.
A noktasından itibaren saat yönünde saymaya denir olumsuz yön.

Koordinat düzlemindeki sayı çemberi.

Sayı çemberinin yarıçapının merkezi orijine (0 sayısı) karşılık gelir.

Yatay çap eksene karşılık gelir X, dikey eksenler sen.

Sayı çemberinin başlangıç ​​noktası A eksen üzerindedir X ve koordinatları vardır (1; 0).

DeğerlerX Vesen bir sayı çemberinin çeyreğinde:

Sayı çemberinin temel değerleri:

Sayı çemberindeki ana noktaların adları ve konumları:

Sayı çemberi adları nasıl hatırlanır?

Sayı çemberinin temel adlarını kolayca hatırlamanıza yardımcı olacak birkaç basit kalıp vardır.

Başlamadan önce şunu hatırlatalım: Sayma pozitif yönde yani A noktasından (2π) saat yönünün tersine yapılıyor.

1) Şununla başlayalım: uç noktalar koordinat eksenleri üzerinde.

Başlangıç ​​noktası 2π'dir (eksenin en sağdaki noktası) X, 1'e eşit).

Bildiğiniz gibi 2π dairenin çevresidir. Bu, yarım dairenin 1π veya π olduğu anlamına gelir. Eksen X daireyi tam olarak ikiye böler. Buna göre eksenin en sol noktası X-1'e eşit olana π denir.

Eksen üzerindeki en yüksek nokta en 1'e eşit, üst yarım daireyi ikiye böler. Bu, eğer bir yarım daire π ise yarım dairenin yarısı da π/2 olur anlamına gelir.

Aynı zamanda π/2 de dairenin çeyreğidir. Birinciden üçüncüye kadar bu tür üç çeyreği sayalım - ve eksendeki en alt noktaya geleceğiz en, -1'e eşittir. Ancak dörtte üçü içeriyorsa adı 3π/2'dir.

2) Şimdi kalan noktalara geçelim. Lütfen unutmayın: tüm zıt noktalar aynı paya sahiptir ve bunlar eksene göre zıt noktalardır en, hem eksenlerin merkezine göre hem de eksene göre X. Bu, onları sıkıştırmadan puan değerlerini bilmemize yardımcı olacaktır.

Yalnızca ilk çeyreğin noktalarının anlamını hatırlamanız gerekir: π/6, π/4 ve π/3. Ve sonra bazı kalıpları “göreceğiz”:

- y eksenine göre ikinci çeyreğin noktalarında, birinci çeyreğin noktalarının tersi olarak paylardaki sayılar paydaların büyüklüğünden 1 eksiktir. Örneğin, bir noktaya değinelimπ/6. Eksene göre karşısındaki nokta en paydasında 6, payında 5 (1 eksik) bulunur. Yani bu noktanın adı: 5π/6. π/4'ün karşısındaki noktanın da paydası 4, payı ise 3'tür (1 4'ten küçük) - yani 3π/4 noktasıdır.
π/3'ün karşısındaki noktanın paydasında 3, payında ise 1 eksiği vardır: 2π/3.

- Koordinat eksenlerinin merkezine göre her şey tam tersi: zıt noktaların paylarındaki sayılar (üçüncü çeyrekte) 1'e kadar daha büyük değer paydalar. Tekrar π/6 noktasını ele alalım. Merkeze göre karşısındaki noktanın paydası da 6'dır ve payda sayı 1'den büyüktür - yani 7π/6'dır.

π/4 noktasının karşısındaki noktanın da paydasında 4 var, payda ise 1 sayı daha var: 5π/4.
π/3 noktasının karşısındaki noktanın da paydasında 3 var, payda ise 1 sayı daha var: 4π/3.

- Eksene göre X(dördüncü çeyrek) mesele daha karmaşıktır. Burada paydanın değerine 1 eksik bir sayı eklemeniz gerekir - bu toplam, karşı noktanın payının sayısal kısmına eşit olacaktır. Tekrar π/6 ile başlayalım. 6'ya eşit olan payda değerine bu sayıdan 1 eksik olan bir sayı yani 5 ekleyelim. Elde ederiz: 6 + 5 = 11. Bu, eksenin tersi olduğu anlamına gelir X noktanın paydasında 6 ve payında 11 olacaktır - yani 11π/6.

π/4 noktası. Paydanın değerine 1 eksiğini ekliyoruz: 4 + 3 = 7. Bu, eksene göre tam tersi olduğu anlamına gelir X noktanın paydasında 4 ve payında 7 vardır - yani 7π/4.
π/3 noktası. Payda 3'tür. 3'ü birer birer ekleyin daha küçük sayı- yani 2. 5 elde ederiz. Bu, karşısındaki noktanın payında 5 olduğu anlamına gelir - ve bu da 5π/3 noktasıdır.

3) Çeyreklerin orta noktalarının noktaları için başka bir model. Paydalarının 4 olduğu açıktır. Paylara dikkat edelim. İlk çeyreğin ortasının payı 1π'dir (ancak 1 yazmak alışılmış bir şey değildir). İkinci çeyreğin ortasının payı 3π'dir. Üçüncü çeyreğin ortasının payı 5π'dir. Dördüncü çeyreğin ortasının payı 7π'dir. Orta çeyreklerin paylarının artan sırada ilk dört tek sayıyı içerdiği ortaya çıktı:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Bu aynı zamanda çok basittir. Tüm çeyreklerin orta noktalarının paydası 4 olduğundan bunları zaten biliyoruz. tam isimler: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Sayı çemberinin özellikleri. Sayı doğrusuyla karşılaştırma.

Bildiğiniz gibi sayı doğrusunda her nokta şuna karşılık gelir: tekil. Örneğin bir doğru üzerindeki A noktası 3'e eşitse artık başka hiçbir sayıya eşit olamaz.

Sayı çemberinde farklıdır çünkü bu bir çemberdir. Örneğin bir çemberin A noktasından M noktasına gelmek için bunu sanki düz bir çizgi üzerindeymiş gibi (sadece bir yay geçiyormuş gibi) yapabilirsiniz ya da tüm çemberin etrafından dolaşıp M noktasına gelebilirsiniz. Çözüm:

M noktası bir t sayısına eşit olsun. Bildiğimiz gibi dairenin çevresi 2π'dir. Bu, bir çember üzerinde bir t noktasını iki şekilde yazabileceğimiz anlamına gelir: t veya t + 2π. Bunlar eşdeğer değerlerdir.
Yani t = t + 2π. Tek fark, ilk durumda daire çizmeden hemen M noktasına geldiniz, ikinci durumda ise daire yaptınız ama aynı M noktasına ulaştınız. İki, üç veya iki yüz tane yapabilirsiniz. daireler. Daire sayısını harfle belirtirsek k sonra yeni bir ifade elde ederiz:
t = t + 2π k.

Dolayısıyla formül:

Sayı daire denklemi
(ikinci denklem “Sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant” bölümündedir):

Birim numarası çemberini koordinat düzlemine yerleştirirseniz noktalarının koordinatlarını bulabilirsiniz. Sayı çemberi, merkezi düzlemin orijiniyle, yani O (0; 0) noktasıyla çakışacak şekilde konumlandırılır.

Genellikle birim numaralı daire üzerinde dairenin kökenine karşılık gelen noktalar işaretlenir

• çeyrekler - 0 veya 2π, π/2, π, (2π)/3,
• orta çeyrekler - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• çeyreğin üçte biri - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Koordinat düzleminde, birim çemberin yukarıdaki konumu ile çemberin bu noktalarına karşılık gelen koordinatları bulabilirsiniz.

Çeyreklerin uçlarının koordinatlarını bulmak çok kolaydır. Çemberin 0 noktasında x koordinatı 1, y koordinatı 0'dır. A(0) = A(1;0) şeklinde gösterebiliriz.

İlk çeyreğin sonu pozitif y ekseninde yer alacaktır. Bu nedenle B (π/2) = B (0; 1).

İkinci çeyreğin sonu negatif yarı eksendedir: C (π) = C (-1; 0).

Üçüncü çeyreğin sonu: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Peki çeyreklerin orta noktalarının koordinatları nasıl bulunur? Bunu yapmak için bir dik üçgen oluşturun. Hipotenüsü, dairenin merkezinden (veya orijininden) çeyrek dairenin orta noktasına kadar olan bir segmenttir. Bu dairenin yarıçapıdır. Daire birim olduğundan hipotenüs 1'e eşittir. Daha sonra daire üzerindeki bir noktadan herhangi bir eksene dik bir çizin. x eksenine doğru olsun. Sonuç, bacaklarının uzunlukları daire üzerindeki noktanın x ve y koordinatlarına eşit olan bir dik üçgendir.

Çeyrek daire 90°'dir. Ve çeyrekliğin yarısı 45°'dir. Hipotenüs çeyreğin orta noktasına çizildiği için hipotenüs ile orijinden uzanan kenar arasındaki açı 45° olur. Ancak herhangi bir üçgenin açılarının toplamı 180°'dir. Sonuç olarak hipotenüs ile diğer kenar arasındaki açı da 45° kalır. Bunun sonucunda ikizkenar dik üçgen elde edilir.

Pisagor teoreminden x 2 + y 2 = 1 2 denklemini elde ederiz. x = y ve 1 2 = 1 olduğundan, denklem x 2 + x 2 = 1 şeklinde sadeleşir. Çözdüğümüzde x = √½ = 1/√2 = √2/2 elde ederiz.

Böylece M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2) noktasının koordinatları elde edilir.

Diğer çeyreklerin orta noktalarının noktalarının koordinatlarında sadece işaretler değişecek ve sağ üçgen sadece ters çevrileceğinden değerlerin modülleri aynı kalacaktır. Şunu elde ederiz:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M4 ((7π)/4) = M4 (√2/2; -√2/2)

Bir dairenin çeyreklerinin üçüncü bölümlerinin koordinatlarını belirlerken aynı zamanda bir dik üçgen de oluşturulur. π/6 noktasını alıp x eksenine dik çizersek, hipotenüs ile x ekseni üzerinde bulunan kenar arasındaki açı 30° olacaktır. Bir bacağın 30° açıyla ters yattığı bilinmektedir. yarıya eşit hipotenüs. Bu, y koordinatını bulduğumuz anlamına gelir, ½'ye eşittir.

Hipotenüsün ve kenarlardan birinin uzunluğunu bildiğimizde, Pisagor teoremini kullanarak diğer kenarı buluruz:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Böylece T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

İlk çeyreğin ikinci üçte biri noktası için (π/3), y eksenine dik bir eksen çizmek daha iyidir. O zaman orijindeki açı da 30° olacaktır. Burada x koordinatı sırasıyla ½ ve y'ye eşit olacaktır, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Üçüncü çeyreğin diğer noktaları için koordinat değerlerinin işaretleri ve sırası değişecektir. X eksenine yakın olan tüm noktalar √3/2'ye eşit bir modül x koordinat değerine sahip olacaktır. Y eksenine daha yakın olan noktalar √3/2'ye eşit bir y modülü değerine sahip olacaktır.
T3 ((2π)/3) = T3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)