Ondalık sayılarla denklem örnekleri. ODZ

Kesirli denklemler. ODZ.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Denklemlere hakim olmaya devam ediyoruz. Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerle nasıl çalışılacağını zaten biliyoruz. Geriye kalan son görünüm - kesirli denklemler. Veya çok daha saygın bir şekilde çağrılırlar - kesirli rasyonel denklemler. Aynı şey.

Kesirli denklemler.

Adından da anlaşılacağı gibi bu denklemlerin mutlaka kesirler içermesi gerekir. Ama sadece kesirler değil, aynı zamanda sahip olan kesirler paydada bilinmiyor. En azından birinde. Örneğin:

Size şunu hatırlatmama izin verin, eğer paydalar sadece sayılar bunlar doğrusal denklemlerdir.

Nasıl karar verilir? kesirli denklemler? Öncelikle kesirlerden kurtulun! Bundan sonra denklem çoğunlukla doğrusal veya ikinci dereceden hale gelir. Sonra da ne yapacağımızı biliyoruz... Bazı durumlarda 5=5 gibi bir özdeşliğe veya 7=2 gibi yanlış bir ifadeye dönüşebiliyor. Ancak bu nadiren olur. Aşağıda buna değineceğim.

Ama kesirlerden nasıl kurtuluruz!? Çok basit. Aynı özdeş dönüşümlerin uygulanması.

Denklemin tamamını aynı ifadeyle çarpmamız gerekiyor. Böylece tüm paydalar azaltılır! Her şey hemen kolaylaşacak. Bir örnekle açıklayayım. Denklemi çözmemiz gerekiyor:

Öğretildiği gibi genç sınıfları? Her şeyi bir tarafa taşıyoruz, oraya getiriyoruz ortak payda vesaire. Kötü bir rüya gibi unut gitsin! Ekleme veya çıkarma yaparken yapmanız gereken şey budur. kesirli ifadeler. Veya eşitsizliklerle çalışırsınız. Ve denklemlerde, hemen her iki tarafı da bize tüm paydaları azaltma fırsatı verecek bir ifadeyle (yani özünde ortak bir paydayla) çarpıyoruz. Peki bu ifade nedir?

Sol tarafta, paydayı azaltmak için şununla çarpılması gerekir: x+2. Sağda ise 2 ile çarpmak gerekiyor. Bu da denklemin ile çarpılması gerektiği anlamına geliyor. 2(x+2). Çarp:

Bu sıradan çarpma kesirler, ama ayrıntılı olarak yazacağım:

Braketi henüz açmadığımı lütfen unutmayın (x + 2)! O yüzden tamamını yazıyorum:

Sol tarafta tamamen kasılır (x+2), ve sağda 2. Gereken de buydu! İndirgemeden sonra elde ederiz doğrusal denklem:

Ve herkes bu denklemi çözebilir! x = 2.

Biraz daha karmaşık olan başka bir örneği çözelim:

3 = 3/1 olduğunu hatırlarsak ve 2x = 2x/ 1, şunu yazabiliriz:

Ve yine gerçekten sevmediğimiz şeylerden - kesirlerden - kurtuluyoruz.

Paydayı X ile azaltmak için kesri şununla çarpmamız gerektiğini görüyoruz: (x – 2). Ve birkaçı bizim için engel değil. Peki çarpalım. Tüm sol taraf Ve Tümü sağ taraf:

Tekrar parantez (x – 2) Açıklamıyorum. Parantezle bir bütün olarak sanki tek bir sayıymış gibi çalışıyorum! Bu her zaman yapılmalıdır, aksi takdirde hiçbir şey azalmayacaktır.

Derin bir tatmin duygusuyla azaltıyoruz (x – 2) ve cetvelle kesir içermeyen bir denklem elde ediyoruz!

Şimdi parantezleri açalım:

Benzerlerini getiriyoruz, her şeyi sol tarafa taşıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Ancak ondan önce diğer sorunları çözmeyi öğreneceğiz. Faiz üzerine. Bu arada bu bir tırmık!

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Kesirli Denklem ÇözmeÖrneklere bakalım. Örnekler basit ve açıklayıcıdır. Onların yardımıyla en anlaşılır şekilde anlayabileceksiniz.
Örneğin basit x/b + c = d denklemini çözmeniz gerekir.

Bu tür bir denkleme doğrusal denir çünkü Payda yalnızca sayıları içerir.

Çözüm, denklemin her iki tarafının b ile çarpılmasıyla gerçekleştirilir, ardından denklem x = b*(d – c) formunu alır, yani. kesrin sol tarafındaki paydası birbirini götürür.

Mesela nasıl çözülür kesirli denklem:
x/5+4=9
Her iki tarafı da 5 ile çarparız. Şunu elde ederiz:
x+20=45
x=45-20=25

Bilinmeyenlerin paydada olduğu başka bir örnek:

Bu tür denklemlere kesirli-rasyonel veya basitçe kesirli denir.

Kesirli bir denklemi kesirlerden kurtularak çözeriz, bundan sonra bu denklem çoğu zaman olağan şekilde çözülen doğrusal veya ikinci dereceden bir denkleme dönüşür. Aşağıdaki noktaları dikkate almanız yeterlidir:

• paydayı 0'a getiren değişkenin değeri kök olamaz;
• Bir denklemi =0 ifadesine bölemez veya çarpamazsınız.

İzin verilen değerler bölgesi (ADV) kavramının yürürlüğe girdiği yer burasıdır - bunlar, denklemin anlamlı olduğu denklemin köklerinin değerleridir.

Bu nedenle denklemi çözerken kökleri bulmak ve ardından ODZ'ye uygunluklarını kontrol etmek gerekir. ODZ'mize uymayan kökler yanıtın dışında bırakılır.

Örneğin, kesirli bir denklemi çözmeniz gerekir:

Yukarıdaki kurala göre x = 0 olamaz, yani. ODZ girişi bu durumda: x – sıfır dışında herhangi bir değer.

Denklemin tüm terimlerini x ile çarparak paydadan kurtuluruz

Ve olağan denklemi çözüyoruz

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Cevap: x = 1/3

Daha karmaşık bir denklemi çözelim:

ODZ burada da mevcuttur: x -2.

Bu denklemi çözerken her şeyi bir tarafa taşıyıp kesirleri ortak paydaya getirmeyeceğiz. Hemen denklemin her iki tarafını da tüm paydaları aynı anda iptal edecek bir ifadeyle çarpacağız.

Paydaları azaltmak için sol tarafı x+2 ile, sağ tarafı ise 2 ile çarpmanız gerekir. Bu, denklemin her iki tarafının da 2(x+2) ile çarpılması gerektiği anlamına gelir:

Bu, yukarıda tartıştığımız kesirlerin en yaygın çarpımıdır.

Aynı denklemi biraz farklı yazalım

Sol taraf (x+2), sağ taraf ise 2 azaltılır. İndirgemeden sonra olağan durumu elde ederiz. doğrusal denklem:

x = 4 – 2 = 2, bu bizim ODZ'mize karşılık gelir

Cevap: x = 2.

Kesirli Denklem Çözme göründüğü kadar zor değil. Bu yazımızda bunu örneklerle gösterdik. Eğer herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız kesirli denklemler nasıl çözülür, ardından yorumlarda aboneliğinizi iptal edin.

Kesirli denklemler zor değildir ve çok ilginçtir. Kesirli denklem türlerine ve bunların nasıl çözüleceğine bakalım.

Payda x olan kesirli denklemler nasıl çözülür?

Bilinmeyenlerin payda olduğu kesirli bir denklem verilirse, çözüm ek koşullar gerektirmez ve gereksiz güçlükler olmadan çözülür. Genel görünüm böyle bir denklem x/a + b = c'dir; burada x bilinmeyendir, a, b ve c sıradan sayılardır.

X'i bulun: x/5 + 10 = 70.

Denklemi çözmek için kesirlerden kurtulmanız gerekir. Denklemdeki her terimi 5 ile çarpın: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x ve 5 sadeleştirilir, 10 ve 70 5 ile çarpılır ve şunu elde ederiz: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

X'i bulun: x/5 + x/10 = 90.

Bu örnek, ilkinin biraz daha karmaşık bir versiyonudur. Burada iki olası çözüm var.

• Seçenek 1: Denklemin tüm terimlerini daha büyük bir paydayla yani 10 ile çarparak kesirlerden kurtuluruz: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = >x=300.
• Seçenek 2: Denklemin sol tarafını ekleyin. x/5 + x/10 = 90. Ortak payda 10. 10'u 5'e bölüp x ile çarparsak 2x elde ederiz. 10'u 10'a bölüp x ile çarparsak x: 2x+x/10 = 90 elde ederiz. Dolayısıyla 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Genellikle x'lerin şu şekilde yerleştirildiği kesirli denklemler vardır: farklı taraflar eşittir işareti. Bu gibi durumlarda X'li tüm kesirleri bir tarafa, sayıları da diğer tarafa taşımak gerekir.

• X'i bulun: 3x/5 = 130 – 2x/5.
• 2x/5 sağa doğru hareket ettirin karşıt işaret: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• 5x/5'i azaltırsak x = 130 elde ederiz.

Paydada x olan kesirli bir denklem nasıl çözülür?

Bu tür kesirli denklemler ek koşulların yazılmasını gerektirir. Bu koşulların belirtilmesi zorunlu ve ayrılmaz bir parçasıdır. doğru karar. Bunları eklemeyerek riske girersiniz çünkü cevap (doğru olsa bile) sayılmayabilir.

X'in paydada olduğu kesirli denklemlerin genel formu şöyledir: a/x + b = c, burada x bilinmeyendir, a, b, c sıradan sayılardır. Lütfen x'in herhangi bir sayı olmayabileceğini unutmayın. Örneğin x, 0'a bölünemediği için sıfıra eşit olamaz. İşte tam olarak bu ek koşul bunu belirtmemiz gerekiyor. Buna izin verilen değerler aralığı denir ve OA olarak kısaltılır.

x'i bulun: 15/x + 18 = 21.

Hemen x: x ≠ 0 için ODZ'yi yazıyoruz. Artık ODZ belirtildiğine göre, denklemi standart şemaya göre kesirlerden kurtularak çözüyoruz. Denklemin tüm terimlerini x ile çarpın. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Çoğu zaman paydanın yalnızca x'i değil aynı zamanda onunla toplama veya çıkarma gibi başka işlemleri de içerdiği denklemler vardır.

x: 15/(x-3) + 18 = 21'i bulun.

Paydanın sıfıra eşit olamayacağını zaten biliyoruz, bu da x-3 ≠ 0 anlamına gelir. -3'ü sağa kaydırıp "-" işaretini "+" olarak değiştiririz ve x ≠ 3 sonucunu elde ederiz. ODZ, belirtildi.

Denklemi çözüyoruz, her şeyi x-3 ile çarpıyoruz: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

X'leri sağa, sayıları sola hareket ettirin: 24 = 3x => x = 8.

Kesirli Denklem ÇözmeÖrneklere bakalım. Örnekler basit ve açıklayıcıdır. Onların yardımıyla en anlaşılır şekilde anlayabileceksiniz.
Örneğin basit x/b + c = d denklemini çözmeniz gerekir.

Bu tür bir denkleme doğrusal denir çünkü Payda yalnızca sayıları içerir.

Çözüm, denklemin her iki tarafının b ile çarpılmasıyla gerçekleştirilir, ardından denklem x = b*(d – c) formunu alır, yani. kesrin sol tarafındaki paydası birbirini götürür.

Örneğin, kesirli bir denklemin nasıl çözüleceği:
x/5+4=9
Her iki tarafı da 5 ile çarparız. Şunu elde ederiz:
x+20=45
x=45-20=25

Bilinmeyenlerin paydada olduğu başka bir örnek:

Bu tür denklemlere kesirli-rasyonel veya basitçe kesirli denir.

Kesirli bir denklemi kesirlerden kurtularak çözeriz, bundan sonra bu denklem çoğu zaman olağan şekilde çözülen doğrusal veya ikinci dereceden bir denkleme dönüşür. Aşağıdaki noktaları dikkate almanız yeterlidir:

• paydayı 0'a getiren değişkenin değeri kök olamaz;
• Bir denklemi =0 ifadesine bölemez veya çarpamazsınız.

İzin verilen değerler bölgesi (ADV) kavramının yürürlüğe girdiği yer burasıdır - bunlar, denklemin anlamlı olduğu denklemin köklerinin değerleridir.

Bu nedenle denklemi çözerken kökleri bulmak ve ardından ODZ'ye uygunluklarını kontrol etmek gerekir. ODZ'mize uymayan kökler yanıtın dışında bırakılır.

Örneğin, kesirli bir denklemi çözmeniz gerekir:

Yukarıdaki kurala göre x = 0 olamaz, yani. Bu durumda ODZ: x – sıfırdan farklı herhangi bir değer.

Denklemin tüm terimlerini x ile çarparak paydadan kurtuluruz

Ve olağan denklemi çözüyoruz

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Cevap: x = 1/3

Daha karmaşık bir denklemi çözelim:

ODZ burada da mevcuttur: x -2.

Bu denklemi çözerken her şeyi bir tarafa taşıyıp kesirleri ortak paydaya getirmeyeceğiz. Hemen denklemin her iki tarafını da tüm paydaları aynı anda iptal edecek bir ifadeyle çarpacağız.

Paydaları azaltmak için sol tarafı x+2 ile, sağ tarafı ise 2 ile çarpmanız gerekir. Bu, denklemin her iki tarafının da 2(x+2) ile çarpılması gerektiği anlamına gelir:

Bu, yukarıda tartıştığımız kesirlerin en yaygın çarpımıdır.

Aynı denklemi biraz farklı yazalım

Sol taraf (x+2), sağ taraf ise 2 azaltılır. İndirgemenin ardından olağan doğrusal denklemi elde ederiz:

x = 4 – 2 = 2, bu bizim ODZ'mize karşılık gelir

Cevap: x = 2.

Kesirli Denklem Çözme göründüğü kadar zor değil. Bu yazımızda bunu örneklerle gösterdik. Eğer herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız kesirli denklemler nasıl çözülür, ardından yorumlarda aboneliğinizi iptal edin.

Bu denklemi basitleştirmek için en düşük ortak payda kullanılır. Bu yöntem yazamadığınızda kullanılır. verilen denklem biriyle rasyonel ifade denklemin her iki tarafında (ve çapraz çarpma yöntemini kullanın). Bu yöntem size verildiğinde kullanılır. rasyonel denklem 3 veya daha fazla kesirli (iki kesirli olması durumunda çapraz çarpımı kullanmak daha iyidir).