Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi. Ortak kesirleri toplama ve çıkarma

Kesirler sıradan sayılardır ve ayrıca toplanıp çıkarılabilirler. Ancak bir payda içerdikleri için daha fazlası karmaşık kurallar tam sayılara göre.

Aynı paydalara sahip iki kesirin olduğu en basit durumu ele alalım. Daha sonra:

Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir.

Paydaları aynı olan kesirleri çıkarmak için, ikincinin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı tekrar değiştirmeden bırakmanız gerekir.

Her ifadede kesirlerin paydaları eşittir. Kesirlerin eklenmesi ve çıkarılmasının tanımı gereği şunu elde ederiz:

Gördüğünüz gibi, karmaşık bir şey yok: sadece payları topluyoruz veya çıkarıyoruz, hepsi bu.

Ama böyle bir durumda bile basit eylemler insanlar hata yapmayı başarır. Çoğu zaman unutulan şey ise paydanın değişmediğidir. Örneğin, onları eklerken onlar da toplanmaya başlar ve bu temelde yanlıştır.

Kurtulmak kötü alışkanlık Paydaları eklemek oldukça basittir. Çıkarırken de aynı şeyi deneyin. Sonuç olarak payda sıfır olacak ve kesir (birdenbire!) anlamını yitirecektir.

Bu nedenle şunu bir kez daha unutmayın: Toplama ve çıkarma sırasında payda değişmez!

Ayrıca birçok kişi birkaç tane eklerken hata yapar. negatif kesirler. İşaretlerde kafa karışıklığı var: eksi nereye koyulmalı ve artı nereye koyulmalı.

Bu sorunun çözümü de oldukça kolaydır. Bir kesirin işaretinden önceki eksinin her zaman paya aktarılabileceğini hatırlamak yeterlidir - ve bunun tersi de geçerlidir. Ve elbette iki basit kuralı da unutmayın:

Artı eksi eksi verir;
İki olumsuz bir olumlu yapar.

Tüm bunlara belirli örneklerle bakalım:

Görev. İfadenin anlamını bulun:

İlk durumda her şey basit, ancak ikincisinde kesirlerin paylarına eksileri ekliyoruz:

Paydalar farklıysa ne yapmalı

Kesirleri doğrudan ekleme farklı paydalar yasaktır. En azından bu yöntem benim için bilinmiyor. Ancak orijinal kesirler her zaman paydaları aynı olacak şekilde yeniden yazılabilir.

Kesirleri dönüştürmenin birçok yolu vardır. Bunlardan üçü “Kesirleri ortak paydaya indirgemek” dersinde tartışıldığı için burada bunlar üzerinde durmayacağız. Bazı örneklere bakalım:

Görev. İfadenin anlamını bulun:

İlk durumda, kesirleri azaltıyoruz ortak payda"çapraz çapraz" yöntemini kullanarak. İkincisinde NOC'yi arayacağız. 6 = 2 · 3 olduğuna dikkat edin; 9 = 3 · 3. Bu açılımlardaki son çarpanlar eşittir ve ilk çarpanlar göreceli olarak asaldır. Bu nedenle, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Bir kesrin tamsayı kısmı varsa ne yapmalı

Sizi memnun edebilirim: kesirlerde farklı paydalara sahip olmak en iyisi değil büyük kötülük. Fazla daha fazla hata kesirler-terimler vurgulandığında ortaya çıkar bütün kısım.

Tabii ki, bu tür kesirler için kendi toplama ve çıkarma algoritmaları vardır, ancak bunlar oldukça karmaşıktır ve gerektirir. uzun çalışma. Daha iyi kullanım basit diyagram, aşağıda verilmiştir:

Tamsayı kısmı içeren tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürün. Yukarıda tartışılan kurallara göre hesaplanan normal terimleri (farklı paydalarla bile) elde ederiz;
Aslında, ortaya çıkan kesirlerin toplamını veya farkını hesaplayın. Sonuç olarak cevabı pratik olarak bulacağız;
Görevde gerekli olan tek şey buysa, gerçekleştiririz ters dönüşüm yani kurtulmak uygunsuz kesir, içindeki bütün bir kısmı vurguluyor.

Uygunsuz kesirlere geçme ve tüm parçayı vurgulama kuralları “Sayısal kesir nedir” dersinde ayrıntılı olarak anlatılmıştır. Eğer hatırlamıyorsanız mutlaka tekrarlayınız. Örnekler:

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Burada her şey basit. Her ifadenin içindeki paydalar eşittir, dolayısıyla geriye kalan tek şey tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürmek ve saymaktır. Sahibiz:

Hesaplamaları basitleştirmek için son örneklerde bazı belirgin adımları atladım.

İki hakkında küçük bir not son örnekler, burada tamsayı kısmı vurgulanan kesirler çıkarılır. İkinci kesirden önceki eksi, kesrin yalnızca tamamının değil tamamının çıkarıldığı anlamına gelir.

Bu cümleyi tekrar okuyun, örneklere bakın ve üzerinde düşünün. Burası yeni başlayanların kabul ettiği yer büyük miktar hatalar. Bu tür görevleri vermeyi severler testler. Yakında yayınlanacak olan bu dersin testlerinde de bunlarla birkaç kez karşılaşacaksınız.

Özet: genel hesaplama şeması

Sonuç olarak vereceğim genel algoritma Bu, iki veya daha fazla kesrin toplamını veya farkını bulmanıza yardımcı olacaktır:

Bir veya daha fazla kesirin tam sayı kısmı varsa, bu kesirleri bileşik kesirlere dönüştürün;
Tüm kesirleri sizin için uygun olan herhangi bir şekilde ortak bir paydaya getirin (tabii ki sorunların yazarları bunu yapmadıkça);
Ortaya çıkan sayıları, benzer paydalara sahip kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması kurallarına göre ekleyin veya çıkarın;
Mümkünse sonucu kısaltın. Kesir yanlışsa tüm kısmı seçin.

Cevabı yazmadan hemen önce sorunun en sonunda tüm kısmı vurgulamanın daha iyi olacağını unutmayın.

Bir tanesi en önemli bilimler Kimya, fizik ve hatta biyoloji gibi disiplinlerde uygulaması görülebilen matematiktir. Bu bilimi incelemek bazı zihinsel nitelikleri geliştirmenize ve konsantre olma yeteneğinizi geliştirmenize olanak tanır. Hak eden konulardan biri özel ilgi Matematik dersinde - kesirlerde toplama ve çıkarma. Birçok öğrenci ders çalışmayı zor buluyor. Belki makalemiz bu konunun daha iyi anlaşılmasına yardımcı olacaktır.

Paydaları aynı olan kesirler nasıl çıkarılır

Kesirler, çeşitli işlemleri gerçekleştirebileceğiniz aynı sayılardır. Tam sayılardan farkı paydanın varlığında yatmaktadır. Bu nedenle kesirlerle işlemler yaparken bazı özelliklerini ve kurallarını incelemeniz gerekir. En basit durumçıkarmadır sıradan kesirler Paydaları aynı sayı olarak temsil edilen. Basit bir kural biliyorsanız, bu eylemi gerçekleştirmek zor olmayacaktır:

Bir kesirden bir saniye çıkarmak için, çıkarılan kesrin payını, azaltılan kesrin payından çıkarmak gerekir. Bu sayıyı farkın payına yazıp paydayı aynı bırakıyoruz: k/m - b/m = (k-b)/m.

Paydaları aynı olan kesirleri çıkarma örnekleri

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

“7” kesirinin payından, çıkarılacak kesirin “3” payını çıkarırsak “4” elde ederiz. Bu sayıyı cevabın payına yazıyoruz ve paydaya birinci ve ikinci kesirlerin paydalarındaki sayının aynısını - “19” koyuyoruz.

Aşağıdaki resimde birkaç benzer örnek daha gösterilmektedir.

Paydaları benzer olan kesirlerin çıkarıldığı daha karmaşık bir örneği ele alalım:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

“29” kesirinin payından, sonraki tüm kesirlerin paylarının sırayla çıkarılmasıyla azaltılır - “3”, “8”, “2”, “7”. Sonuç olarak cevabın payına yazdığımız “9” sonucunu elde ediyoruz ve paydaya da tüm bu kesirlerin paydalarındaki sayıyı - “47” yazıyoruz.

Paydaları aynı olan kesirleri toplama

Sıradan kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması aynı prensibi izler.

Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için payları eklemeniz gerekir. Ortaya çıkan sayı, toplamın payıdır ve payda aynı kalacaktır: k/m + b/m = (k + b)/m.

Bir örnek kullanarak bunun neye benzediğini görelim:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Kesirin ilk teriminin payına - “1” - kesirin ikinci teriminin payına - “2” ekleyin. Sonuç - "3" - toplamın payına yazılır ve payda, kesirlerde mevcut olan "4" ile aynı kalır.

Paydaları farklı kesirler ve bunların çıkarılması

Kesirlerle eylem aynı payda, zaten düşündük. Gördüğümüz gibi bilerek basit kurallar, bu tür örnekleri çözmek oldukça kolaydır. Peki ya farklı paydalara sahip kesirlerle bir işlem yapmanız gerekiyorsa? Birçok ortaokul öğrencisinin kafası bu tür örneklerle karıştırılıyor. Ancak burada bile çözümün prensibini biliyorsanız örnekler artık sizin için zor olmayacaktır. Burada ayrıca bu tür kesirleri çözmenin imkansız olduğu bir kural var.

Paydaları farklı olan kesirleri çıkarmak için bunların aynı en küçük paydaya indirgenmesi gerekir.

Bunun nasıl yapılacağı hakkında daha ayrıntılı olarak konuşacağız.

Kesirin özelliği

Birkaç kesiri aynı paydaya getirmek için, çözümde kesirin ana özelliğini kullanmanız gerekir: pay ve paydayı böldükten veya çarptıktan sonra aynı numara Verilen kesre eşit bir kesir elde edersiniz.

Yani örneğin 2/3 kesirinin “6”, “9”, “12” gibi paydaları olabilir, yani “3”ün katı olan herhangi bir sayı biçiminde olabilir. Pay ve paydayı “2” ile çarptığımızda 4/6 kesirini elde ederiz. Orijinal kesrin pay ve paydasını “3” ile çarptığımızda 6/9, benzer işlemi “4” rakamı ile yaparsak 8/12 elde ederiz. Bir eşitlik şu şekilde yazılabilir:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Birden fazla kesir aynı paydaya nasıl dönüştürülür?

Birden fazla kesri aynı paydaya nasıl indireceğimize bakalım. Örneğin aşağıdaki resimde gösterilen kesirleri ele alalım. Öncelikle hangi sayının hepsinin paydası olabileceğini belirlemeniz gerekir. İşleri kolaylaştırmak için mevcut paydaları çarpanlarına ayıralım.

1/2 kesirinin ve 2/3 kesirinin paydası çarpanlarına ayrılamaz. Payda 7/9'un iki çarpanı vardır: 7/9 = 7/(3 x 3), kesrin paydası 5/6 = 5/(2 x 3). Şimdi bu dört kesir için hangi faktörlerin en küçük olacağını belirlememiz gerekiyor. Birinci kesirin paydasında “2” sayısı bulunduğundan, tüm paydalarda bulunması gerektiği, 7/9 kesirinde ise iki üçlünün olması, yani her ikisinin de paydada bulunması gerektiği anlamına gelir. Yukarıdakileri dikkate alarak paydanın üç faktörden oluştuğunu belirleriz: 3, 2, 3 ve 3 x 2 x 3 = 18'e eşittir.

İlk kesri ele alalım - 1/2. Paydasında “2” var ama tek bir “3” rakamı yok ama iki olması lazım. Bunu yapmak için paydayı iki üçlüyle çarpıyoruz, ancak kesirin özelliğine göre payı iki üçlüyle çarpmamız gerekiyor:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Aynısını kalan kesirler için de yapıyoruz.

2/3 - paydada bir üç ve bir iki eksik:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
7/9 veya 7/(3 x 3) - paydada iki eksik:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
5/6 veya 5/(2 x 3) - paydada üç eksik:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Hep birlikte şuna benziyor:

Paydaları farklı olan kesirler nasıl çıkarılır ve eklenir?

Yukarıda bahsedildiği gibi, farklı paydalara sahip kesirleri toplamak veya çıkarmak için, bunların aynı paydaya indirgenmesi ve ardından daha önce tartışılan aynı paydaya sahip kesirlerin çıkarılmasına ilişkin kuralların kullanılması gerekir.

Örnek olarak şuna bakalım: 4/18 - 3/15.

18 ve 15 sayılarının katlarını bulma:

18 sayısı 3x2x3'ten oluşur.
15 sayısı 5x3'ten oluşur.
Ortak kat şu çarpanlar olacaktır: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Payda bulunduktan sonra her kesir için farklı olacak faktörü yani sadece paydanın değil payın da çarpılması gereken sayıyı hesaplamak gerekir. Bunu yapmak için bulduğumuz sayıyı (ortak kat), ek faktörleri belirlememiz gereken kesrin paydasına böleriz.

90 bölü 15. Ortaya çıkan “6” sayısı 3/15'in çarpanı olacaktır.
90 bölü 18. Ortaya çıkan “5” sayısı 4/18'in çarpanı olacaktır.

Çözümümüzün bir sonraki aşaması her kesri “90” paydasına indirgemektir.

Bunun nasıl yapılacağından daha önce bahsetmiştik. Bunun bir örnekte nasıl yazıldığını görelim:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Kesirlerin sayıları küçükse, aşağıdaki resimde gösterilen örnekte olduğu gibi ortak paydayı belirleyebilirsiniz.

Aynı şey farklı paydalara sahip olanlar için de geçerlidir.

Çıkarma ve tam sayı kısımlara sahip olma

Kesirlerin çıkarılması ve eklenmesi işlemlerini daha önce ayrıntılı olarak tartıştık. Fakat bir kesrin tamsayı kısmı varsa nasıl çıkarma yapılır? Yine birkaç kural kullanalım:

Tamsayı kısmı olan tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürün. Konuşuyorum basit kelimelerle, parçanın tamamını çıkarın. Bunu yapmak için, tamsayı kısmının sayısını kesrin paydasıyla çarpın ve elde edilen ürünü paya ekleyin. Bu işlemlerden sonra ortaya çıkan sayı bileşik kesrin payıdır. Payda değişmeden kalır.
Paydaları farklı olan kesirler aynı paydaya indirilmelidir.
Aynı paydalarla toplama veya çıkarma işlemi yapın.
Uygunsuz bir kesir alırken tüm kısmı seçin.

Kesirleri tam parçalarla toplayıp çıkarmanın başka bir yolu daha var. Bunun için işlemler tam kısımlarla ayrı ayrı, kesirli işlemler ayrı ayrı yapılır ve sonuçlar birlikte kaydedilir.

Verilen örnek paydaları aynı olan kesirlerden oluşmaktadır. Paydaların farklı olması durumunda aynı değere getirilmesi ve ardından örnekte gösterildiği gibi işlemlerin yapılması gerekir.

Tam Sayılardan Kesirleri Çıkarma

Kesirlerle yapılan başka bir eylem türü, kesirin ilk bakışta çıkarılması gerektiği durumdur. benzer örnekçözülmesi zor görünüyor. Ancak burada her şey oldukça basit. Bunu çözmek için, tamsayıyı kesirlere ve çıkarılmış kesirdeki paydaya dönüştürmeniz gerekir. Daha sonra, aynı paydalarla çıkarma işlemine benzer bir çıkarma işlemi gerçekleştiriyoruz. Bir örnekte şöyle görünür:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Bu makalede sunulan kesirlerin çıkarılması (6. sınıf) daha fazlasını çözmenin temelidir karmaşık örnekler sonraki derslerde tartışılacaktır. Bu konunun bilgisi daha sonra fonksiyonları, türevleri vb. çözmek için kullanılır. Bu nedenle yukarıda tartışılan kesirlerle yapılan işlemleri anlamak ve anlamak çok önemlidir.

Kesirli eylemler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Peki kesirlerin ne olduğunu, kesir türlerini, dönüşümleri hatırladık. Gelelim asıl meseleye.

Kesirlerle ne yapabilirsiniz? Evet, olan her şey sıradan sayılar. Ekle, çıkar, çarp, böl.

Tüm bu eylemlerle ondalık kesirlerle çalışmanın tam sayılarla çalışmaktan hiçbir farkı yoktur. Aslında onların iyi tarafı da bu, ondalık sayılar. Tek şey virgülü doğru koymanız gerektiğidir.

Karışık sayılar Daha önce de söylediğim gibi çoğu eylem için pek faydası yoktur. Hala sıradan kesirlere dönüştürülmeleri gerekiyor.

Ancak eylemler sıradan kesirler daha kurnaz olacaklar. Ve çok daha önemlisi! Size hatırlatmama izin verin: harfler, sinüsler, bilinmeyenler vb. gibi kesirli ifadelere sahip tüm eylemler, sıradan kesirli eylemlerden farklı değildir.! Sıradan kesirlerle yapılan işlemler tüm cebirin temelini oluşturur. İşte bu nedenle burada tüm bu aritmetiği çok detaylı bir şekilde analiz edeceğiz.

Kesirlerde toplama ve çıkarma.

Herkes aynı paydalara sahip kesirleri toplayabilir (çıkarabilir) (gerçekten umuyorum!). Peki, tamamen unutkan olanlara şunu hatırlatayım: Toplama (çıkarma) işleminde payda değişmez. Sonucun payını vermek için paylar eklenir (çıkarılır). Tip:

Kısacası, genel görünüm:

Paydalar farklıysa ne olur? Daha sonra, kesrin temel özelliğini kullanarak (işte yine kullanışlı oluyor!), paydaları aynı hale getiriyoruz! Örneğin:

Burada 2/5 kesirinden 4/10 kesirini yapmamız gerekiyordu. Paydaları aynı yapmak amacıyla. Her ihtimale karşı 2/5 ve 4/10'un eşit olduğunu belirteyim. aynı kesir! Sadece 2/5'i bizim için rahatsız edici, 4/10'u ise gerçekten sorun değil.

Bu arada, herhangi bir matematik problemini çözmenin özü budur. ne zaman biz rahatsız ifadeler yapıyoruz aynı şey, ancak çözmek için daha uygun.

Başka bir örnek:

Durum benzer. Burada 16 üzerinden 48 yapıyoruz. Basit çarpma ile saat 3'te. Her şey açık. Ama şöyle bir şeyle karşılaştık:

Nasıl olunur? Yediden dokuzunu çıkarmak çok zor! Ama biz akıllıyız, kuralları biliyoruz! Haydi dönüşelim Her paydaları aynı olacak şekilde kesir. Buna “ortak bir paydaya indirgemek” denir:

Vay! 63'ü nasıl bildim? Çok basit! 63, 7 ve 9'a aynı anda bölünebilen bir sayıdır. Böyle bir sayı her zaman paydaların çarpılmasıyla elde edilebilir. Örneğin bir sayıyı 7 ile çarparsak sonuç kesinlikle 7'ye bölünebilir!

Birkaç kesir eklemeniz (çıkarmanız) gerekiyorsa, bunu çiftler halinde adım adım yapmanıza gerek yoktur. Tüm kesirlerin ortak paydasını bulmanız ve her kesri aynı paydaya indirmeniz yeterlidir. Örneğin:

Peki ortak payda ne olacak? Elbette 2, 4, 8 ve 16'yı çarpabilirsiniz. 1024 elde ederiz. Kabus. 16 sayısının 2, 4 ve 8'e tam olarak bölünebileceğini tahmin etmek daha kolaydır. Dolayısıyla bu sayılardan 16'yı elde etmek kolaydır. Bu sayı ortak payda olacaktır. 1/2'yi 8/16'ya, 3/4'ü 12/16'ya çevirelim, vb.

Bu arada, 1024'ü ortak payda olarak alırsanız her şey yoluna girecek, sonunda her şey azalacak. Ama hesaplar yüzünden herkes bu sonuca varamayacak...

Örneği kendiniz tamamlayın. Bir çeşit logaritma değil... 29/16 çıkması lazım.

Yani kesirlerin eklenmesi (çıkarılması) açıktır, umarım? Elbette ek çarpanlarla kısaltılmış bir versiyonda çalışmak daha kolaydır. Ancak bu zevk, dürüst bir şekilde çalışmış olanlara açıktır. genç sınıfları... Ve hiçbir şeyi unutmadım.

Ve şimdi aynı eylemleri yapacağız, ancak kesirlerle değil, kesirli ifadeler. Burada yeni tırmık keşfedilecek evet...

Bu yüzden iki tane eklememiz gerekiyor kesirli ifadeler:

Paydaları eşitlememiz gerekiyor. Ve sadece yardımla çarpma! Bir kesrin ana özelliğinin belirttiği şey budur. Bu nedenle paydanın ilk kesirindeki X'e bir ekleyemiyorum. (bu güzel olurdu!). Ama paydaları çarparsanız her şeyin birlikte büyüdüğünü görürsünüz! Kesir doğrusunu en üste yazıyoruz boş alan Bırakalım, sonra ekleyelim ve unutmamak adına paydaların çarpımını aşağıya yazalım:

Ve elbette sağ taraftaki hiçbir şeyi çarpmıyoruz, parantezleri açmıyoruz! Şimdi sağ taraftaki ortak paydaya baktığımızda şunu anlıyoruz: İlk kesirdeki payda x(x+1)'i elde etmek için bu kesrin payını ve paydasını (x+1) ile çarpmanız gerekir. . Ve ikinci kesirde - x'e. Alacağınız şey bu:

Dikkat etmek! İşte parantez! Bu, birçok insanın bastığı tırmıktır. Elbette parantez değil, onların yokluğu. Çarpma işlemi yaptığımız için parantezler görünüyor Tümü pay ve Tümü payda! Ve onların bireysel parçaları değil...

Sağ taraftaki paya payların toplamını yazıyoruz, her şey aşağıdaki gibi sayısal kesirler, ardından sağ taraftaki paydaki parantezleri açın, yani. Her şeyi çoğaltıp benzerlerini veriyoruz. Paydalarda parantez açmaya veya herhangi bir şeyi çarpmaya gerek yok! Genel olarak, paydalarda (herhangi biri) ürün her zaman daha hoştur! Şunu elde ederiz:

Böylece cevabı aldık. Süreç uzun ve zor gibi görünse de pratiğe bağlıdır. Örnekleri çözdükten sonra alışın, her şey basitleşecek. Zamanında kesirlerde ustalaşanlar tüm bu işlemleri otomatik olarak tek sol eliyle yaparlar!

Ve bir not daha. Birçoğu kesirlerle akıllıca ilgilenir, ancak örneklere takılıp kalır. tüm sayılar. Mesela: 2 + 1/2 + 3/4= ? İki parçayı nereye tutturmalı? Herhangi bir yere sabitlemenize gerek yok, ikiden bir kesir yapmanız gerekiyor. Kolay değil ama çok basit! 2=2/1. Bunun gibi. Herhangi bir tam sayı kesirli olarak yazılabilir. Pay sayının kendisidir, payda ise birdir. 7, 7/1'dir, 3, 3/1'dir vb. Harfler için de durum aynı. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, vb. Daha sonra bu kesirlerle tüm kurallara göre çalışıyoruz.

Kesirlerde toplama ve çıkarma bilgileri tazelendi. Kesirlerin bir türden diğerine dönüştürülmesi tekrarlandı. Ayrıca kontrole de gidebilirsiniz. Biraz anlaşalım mı?)

Hesaplamak:

Cevaplar (karışıklık içinde):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Kesirlerde çarpma/bölme - bir sonraki derste. Kesirlerle yapılan tüm işlemler için de görevler vardır.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Burada nasıl olduğunu çözeceğiz kesirleri çıkarma. Öncelikle paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma kuralını öğrenelim. Daha sonra, farklı paydalara sahip kesirlerde çıkarma işlemine bakacağız ve çıkarma işlemine örnekler vereceğiz. detaylı çözümler. Bundan sonra, kesirlerden bir tanesini çıkarmaya odaklanalım. doğal sayı ve bir sayıyı bir kesirden çıkarmak. Sonuç olarak, bu eylemin özelliklerini kullanarak sıradan kesirlerin çıkarılmasının nasıl gerçekleştirildiğini göstereceğiz.

Bu yazımızda sadece çıkarma işleminden bahsedeceğimizi hemen belirtelim. daha küçük kesir itibaren daha büyük kesir. Diğer durumlar rasyonel sayılarda çıkarma makalesinde tartışılmaktadır.

Sayfada gezinme.

Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Çıkarma

Öncelikle nasıl olduğunu anlamamızı sağlayacak bir örnek verelim. paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi.

Tabakta bir elmanın sekizde beşi, yani bir elmanın 5/8'i olsun, ardından bir elmanın sekizde ikisi alınmış olsun. Çıkarma işleminin anlamına göre (genel çıkarma fikrine bakınız), belirtilen eylemşu şekilde anlatılmaktadır: . Bunun tabakta bir elmanın sekizde 5−2=3'ünü bıraktığı açıktır. Yani .

Ele alınan örnek göstermektedir Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma kuralı: Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma yapılırken, eksilen kısmın payı eksilen kısmın payından çıkarılır, ancak payda aynı kalır.

Belirtilen kural aşağıdaki gibi harfler kullanılarak yazılmıştır: . Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi yaparken bu formülü kullanacağız.

düşünelim paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma örnekleri.

Örnek.

17/15 ortak kesirini 24/15 ortak kesirinden çıkarın.

Çözüm.

Çıkarılan kesirlerin paydaları eşittir. Çıkarılanın payı 24, çıkanın payı 17, farkları 7'dir (gerekiyorsa 24−17=7 bkz. doğal sayıların çıkarılması). Bu nedenle paydaları 24/15 ve 17/15 olan kesirlerin çıkarılmasıyla 7/15 kesri elde edilir.

Kısa versiyonçözüm şuna benziyor: .

Cevap:

Mümkünse, kesirin azaltılması ve (veya) aynı paydalara sahip kesirlerin çıkarılmasıyla elde edilen uygunsuz kesirden tüm parçanın izole edilmesi gerekir.

Örnek.

Farkı hesaplayın.

Çözüm.

Paydaları benzer olan kesirleri çıkarmak için formülü kullanalım: .

Açıkçası, ortaya çıkan kesirin payı ve paydası 2'ye bölünebilir (bkz.), yani 22/12 indirgenebilir bir kesirdir. Bu kesri 2 azaltıp 11/6 kesrine ulaşıyoruz.

Kesir 11/6 uygunsuzdur (doğru ve yanlış kesirlere bakın). Bu nedenle, ondan bir parçanın tamamını seçmeniz gerekir: .

Yani paydaları aynı olan kesirlerin hesaplanan farkı eşittir.

İşte çözümün tamamı: .

Cevap:

Paydaları Farklı Kesirlerde Çıkarma

Paydaları farklı olan kesirlerin çıkarılması, paydaları benzer olan kesirlerin çıkarılmasına indirgenir. Bunu yapmak için farklı paydalara sahip kesirleri ortak bir paydaya indirgemek yeterlidir.

Yani gerçekleştirmek için paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi, gerekli:

kesirleri ortak bir paydaya indirgemek (genellikle kesirler en düşük ortak paydaya indirilir);
Ortaya çıkan kesirleri aynı paydalarla çıkarın.

düşünelim Farklı paydalara sahip kesirlerde çıkarma örnekleri.

Örnek.

Ortak kesir 1/15'i ortak kesir 2/9'dan çıkarın.

Çözüm.

Çıkarılan kesirlerin paydaları farklı olduğundan, önce kesirleri en küçük ortak paydaya indireceğiz: LCM(9, 15)=45 olduğundan, 2/9 kesirinin ek çarpanı 45:9=5 sayısıdır. 1/15 kesirinin ek çarpanı ise 45:15=3 sayısıdır, o zaman Ve .

Geriye 3/45 kesirini 10/45 kesirinden çıkarmak kalıyor, şunu elde ederiz: Bu bize farklı paydalara sahip kesirler arasında istenen farkı verir.

Kısaca çözüm şu şekilde yazılır: .

Cevap:

Çıkarma işleminden sonra elde edilen kesri azaltmanın yanı sıra tüm parçayı vurgulamayı da unutmamalıyız.

Örnek.

7/36 kesrini 19/9 kesirinden çıkarın.

Çözüm.

Farklı paydalara sahip kesirleri en düşük ortak paydaya (36) indirdikten sonra 76/9 ve 7/36 kesirlerini elde ederiz. Farklarını hesaplayalım: .

Ortaya çıkan kesir indirgenebilir; 3 oranında azalttıktan sonra 23/12 elde ederiz. Ve bu kesir uygunsuzdur, bütün kısmı ondan ayırdığımızda .

Farklı paydalara sahip başlangıç kesirlerini çıkarırken gerçekleştirilen tüm eylemleri bir araya getirelim: .

Cevap:

Ortak bir kesirden bir doğal sayıyı çıkarma

Bir doğal sayıyı kesirden çıkarma sıradan kesirlerin çıkarılmasına indirgenebilir. Bunu yapmak için bir doğal sayıyı paydası 1 olan kesir olarak temsil etmek yeterlidir. Örneğin çözümüne bakalım.

Örnek.

83/21 kesirinden 3 sayısını çıkarın.

Çözüm.

3 sayısı 3/1 kesrine eşit olduğuna göre.

Cevap:

Bununla birlikte, kesiri tam sayılı bir sayı olarak sunarak bileşik bir kesirden doğal bir sayıyı çıkarmak daha uygundur. Bir önceki örneğin çözümünü bu şekilde gösterelim.

Doğal sayıdan kesir çıkarma

Doğal sayıdan kesir çıkarma doğal bir sayıyı kesir olarak temsil ederek sıradan kesirlerin çıkarılmasına indirgenebilir. Bu yaklaşımı gösteren bir örneğin çözümüne bakalım.

Örnek.

Ortak kesir olan 5/3'ü doğal sayı olan 7'den çıkarın.

Çözüm.

7 sayısını 7/1 kesri olarak düşünelim ve ardından çıkarma işlemini gerçekleştirelim: .

Ortaya çıkan kesirden tüm parçayı ayırarak nihai cevabı elde ederiz.

Cevap:

Ancak daha fazlası var rasyonel yol bir doğal sayıdan bir kesrin çıkarılması. Avantajları özellikle doğal sayı azaltıldığında ve çıkarılan kesrin paydası çıkarıldığında fark edilir. büyük sayılar. Bütün bunlar aşağıdaki örneklerden açıkça anlaşılacaktır.

Çıkarılan kesir uygunsa, azaltılan doğal sayının yerine biri bire eşit olan iki sayının toplamı çıkarılabilir, çıkarılabilir. doğru kesir birinden başlayın ve ardından hesaplamaları tamamlayın.

Örnek.

13/62 ortak kesirini 1065 doğal sayısından çıkarın.

Çözüm.

Çıkarılan ortak kesir doğrudur. 1.065 sayısını 1.064+1 toplamı ile değiştirelim ve şunu elde edelim: . Geriye kalan tek şey, ortaya çıkan ifadenin değerini hesaplamaktır (bu tür ifadelerin hesaplanması hakkında daha fazla konuşacağız).

Çıkarma işleminin özelliklerinden dolayı elde edilen ifade şu şekilde yeniden yazılabilir: . Birimi 1/1 kesiriyle değiştirerek parantez içindeki farkın değerini hesaplayalım; . Böylece, . Bu, 13/62 kesirinin 1.065 doğal sayısından çıkarılmasını tamamlar.

İşte çözümün tamamı:

Şimdi karşılaştırma için, orijinal sayıların çıkarılmasını kesirlerin çıkarılmasına indirgemeye karar verirsek hangi sayılarla çalışmamız gerektiğini gösterelim:

Cevap:

Çıkarılan kesir uygunsuzsa, o zaman bir karma sayı ile değiştirilebilir ve ardından karma sayı doğal sayıdan çıkarılabilir.