Tüm gerçek değerleri alan rastgele bir değişken. Rastgele değişkenlerin dağılım kanunu

Olasılık teorisinin en önemli temel kavramlarından biri rastgele değişken kavramıdır.

Rastgele değişken, deney sonucunda şu veya bu değeri alabilen ve hangisinin önceden bilinmediği bir niceliktir.

Rastgele değişken örnekleri:

1) üç atışla yapılan vuruş sayısı;

2) alınan çağrıların sayısı telefon santrali günlük;

3) 10 atışla isabet oranı.

Bu örneklerin üçünde de rastgele değişkenler, önceden numaralandırılabilen ayrı, izole edilmiş değerler alabilir.

Yani örnek 1)'de bu değerler şöyledir:

örnek 2'de):

örnek 3'te)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Yalnızca önceden numaralandırılabilen farklı değerleri alan bu tür rastgele değişkenlere süreksiz veya ayrık rastgele değişkenler adı verilir.

Başka tür rastgele değişkenler de vardır, örneğin:

1) ateşlendiğinde darbe noktasının apsisi;

2) analitik terazilerde vücudun tartılmasında hata;

3) uçağın belirli bir yüksekliğe ulaştığı andaki hızı;

4) Rastgele alınan bir buğday tanesinin ağırlığı.

Bu tür rastgele değişkenlerin olası değerleri birbirinden ayrılmaz; sürekli olarak, bazen açıkça tanımlanmış sınırları olan ve daha sıklıkla belirsiz, belirsiz sınırları olan belirli bir boşluğu doldururlar.

Bu tür rastgele değişkenler olası değerler sürekli olarak belirli bir aralığı dolduran değişkenlere sürekli rastgele değişkenler denir.

Rastgele değişken kavramı çok önemli bir rol oynar önemli rol olasılık teorisinde. Eğer “klasik” olasılık teorisi öncelikli olarak olaylarla işliyorsa, modern olasılık teorisi de mümkün olan her yerde rastgele değişkenlerle çalışmayı tercih eder.

Olasılık teorisine özgü olaylardan rastgele değişkenlere geçiş yöntemlerine örnekler verelim.

Bir olayın ortaya çıkabileceği veya görünmeyebileceği bir deney gerçekleştirilir. Bir olay yerine, olay meydana gelirse 1'e, olay meydana gelmezse 0'a eşit olan bir rastgele değişkeni düşünebiliriz. Rastgele değişken açıkça süreksizdir; iki olası değeri vardır: 0 ve 1. Bu rastgele değişken olayın karakteristik rastgele değişkeni denir. Uygulamada, olaylar yerine karakteristik rastgele değişkenlerle çalışmanın genellikle daha uygun olduğu ortaya çıkıyor. Örneğin, her birinde olayın meydana gelmesinin mümkün olduğu bir dizi deney yapılırsa, o zaman olayın toplam meydana gelme sayısı, olayın tüm deneylerdeki karakteristik rastgele değişkenlerinin toplamına eşittir. Çoğunu çözerken pratik problemler Bu tekniği kullanmanın çok uygun olduğu ortaya çıkıyor.

Öte yandan, bir olayın olasılığını hesaplamak için çoğu zaman bu olayı bir tür sürekli rastgele değişkenle (veya sürekli değişkenler sistemiyle) ilişkilendirmenin uygun olduğu ortaya çıkar.

Örneğin, bir M noktası oluşturmak için bir O nesnesinin koordinatlarını ölçelim ve bu nesneyi alanın bir panoramasında (taramasında) gösterelim. M noktası konumundaki R hatasının belirtilen değeri aşmaması durumuyla ilgileniyoruz (Şekil 2.4.1). Bir nesnenin koordinatlarının ölçülmesindeki rastgele hataları gösterelim. Açıkçası olay, merkezi O noktasında olan yarıçaplı bir daire içine düşen koordinatlara sahip rastgele bir M noktasına eşdeğerdir. Başka bir deyişle, olayın meydana gelmesi için rastgele değişkenlerin eşitsizliği sağlaması gerekir.

Bir olayın olasılığı eşitsizliğin (2.4.1) karşılanma olasılığından başka bir şey değildir. Rastgele değişkenlerin özellikleri biliniyorsa bu olasılık belirlenebilir.

Olaylar ve rastgele değişkenler arasındaki böylesine organik bir bağlantı, modern teori Mümkün olan her yerde "olay şeması"ndan "rastgele değişkenler şemasına" geçen olasılıklar. İkinci şema, birinciyle karşılaştırıldığında, rastgele olaylarla ilgili problemleri çözmek için çok daha esnek ve evrensel bir araçtır.

Rasgele değişkenin tanımı. Pek çok rastgele olay, rastgele değişkenlerle ölçülebilir.

Rastgele, rastgele koşulların birleşimine bağlı olarak değer alan bir miktardır.

Rastgele değişkenler şunlardır: doktor randevusuna gelen hasta sayısı, dinleyiciler arasındaki öğrenci sayısı, şehirdeki doğum sayısı, yaşam beklentisi bireysel kişi, bir molekülün hızı, hava sıcaklığı, herhangi bir miktarın ölçülmesinde hata vb. Bir torbadaki topları yaklaşık olarak loto çekilişinde olduğu gibi numaralandırırsanız, torbadan rastgele bir top çıkardığınızda bir sayı görünecektir. rastgele değişken.

Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler vardır.

Rastgele bir değişken, sayılabilir bir değerler kümesi alıyorsa ayrık olarak adlandırılır: bir kitabın rastgele bir sayfasındaki harf sayısı, bir atomdaki elektronun enerjisi, bir kişinin kafasındaki saç sayısı, mısır başaklarındaki tane sayısı, belirli bir gaz hacmindeki molekül sayısı, vesaire.

Sürekli bir rastgele değişken belirli bir aralıktaki herhangi bir değeri alır: vücut ısısı, tane ağırlığı V buğday başağı, merminin hedefe çarptığı yerin koordinatı (mermiyi olarak alıyoruz) maddi nokta), vesaire.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı. Olası değerleri ve karşılık gelen olasılıklar belirtilirse, ayrı bir rastgele değişkenin verildiği kabul edilir. Ayrık bir rastgele değişkeni gösterelim X, anlamları x 1 x 2,…., ve olasılıklar P(x1)= p 1, P(x2)= sayfa 2 vesaire. Koleksiyon X Ve P'ye ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı denir(Tablo 1).

Tablo 1

Rastgele değişken “Sportlo-10” oyunundaki sporun sayısıdır. Toplam sayı tür sayısı 49'dur. Bu rastgele değişkenin dağılımını belirtiniz (Tablo 3).

Tablo 3

Ne zamandan beri ben = 1 diğer iki karmaşık olay da meydana gelir: (A ve A ve A) ve (A ve A ve A), o zaman olasılık toplama teoremini (2.4) kullanarak toplam olasılığı elde etmek gerekir. ben = 1,önceki ifadeyi üç kez ekleyerek:

Anlam ben =Şekil 2, üç denemeden ikisinde A olayının meydana geldiği duruma karşılık gelmektedir. Yukarıdakine benzer bir mantık yürüterek şunu elde ederiz: tam olasılık geçici:

Şu tarihte: 1 = 3 A olayı her üç denemede de ortaya çıkıyor. Olasılık çarpım teoremini kullanarak şunu buluruz:

Uzun süreli gözlemlere dayanarak belirli bir eve doktor çağırmanın olasılığı 0,5 olarak tahmin edilmektedir. Altı gün içinde dört doktor çağrısının olma olasılığını bulun; P(A)= 0,5, n = 6,1 = 4. T (2.10) formülünü kullanalım:

Sayısal özellikler ayrık rastgele değişken.Çoğu durumda, bir rastgele değişkenin dağılımı ile birlikte veya bunun yerine, bu niceliklere ilişkin bilgi, adı verilen sayısal parametrelerle sağlanabilir. Rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri. Bunlardan en yaygın olanlarına bakalım.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi (ortalama değer), tüm olası değerlerinin çarpımlarının toplamıdır.
bu değerlerin olasılıkları üzerine:

izin ver büyük sayı testler N ayrık rastgele değişken X değerleri alır x v x 2,..., xn sırasıyla m 1, mg,..., t p bir kere. Ortalama değer:

Eğer N harika o zaman bağıl frekanslar t 1 / p, t 2 / p,... olasılıklar için çabalayacak ve ortalama değer- matematiksel beklentiye. Bu yüzden matematiksel beklenti genellikle ortalamayla tanımlanır.

Fırlatıldığında kenardaki sayıyla verilen ayrık bir rastgele değişken için matematiksel beklentiyi bulun zar(bkz. Tablo 2).

(2.11) formülünü kullanıyoruz:

Sportloto dolaşımıyla belirlenen ayrık bir rastgele değişken için matematiksel beklentiyi bulun (bkz. Tablo 3). Formül (2.11)'e göre, şunu buluyoruz:

Ayrık bir rastgele değişkenin olası değerleri matematiksel beklentisinin etrafına dağılmıştır, bazıları aşmaktadır M(X), kısım - daha az M(X). Bir rastgele değişkenin ortalama değerine göre dağılım derecesi nasıl tahmin edilir? Böyle bir problemi çözmek için tüm rastgele değişkenlerin matematiksel beklentilerinden sapmalarının hesaplanması gerektiği düşünülebilir. X - M(X), ve ardından bu sapmaların matematiksel beklentisini (ortalama değer) bulun: M[X - M(X)]. Kanıtı alarak, rastgele değişkenlerin matematiksel beklentiden sapmaları hem pozitif hem de pozitif olduğundan bu değerin sıfıra eşit olduğunu not ediyoruz. negatif değerler. Bu nedenle, her ikisinin de dikkate alınması tavsiye edilir. mutlak değerler sapmalar M[X - M(X)] veya kareleri M[X - M(X)] 2 .İkinci seçeneğin tercih edilebilir olduğu ortaya çıkıyor ve bu şekilde rastgele bir değişkenin dağılımı kavramına geliyoruz.

Bir rastgele değişkenin varyansı, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir:

Bu, varyansın rastgele değişkenin karesinin matematiksel beklentisi arasındaki farka eşit olduğu anlamına gelir. X ve matematiksel beklentisinin karesi.

Bir zar atıldığında kenardaki sayıyla verilen rastgele değişkenin varyansını bulun (bkz. Tablo 2).

Bu dağılımın matematiksel beklentisi 3,5'tur. Rastgele değişkenlerin matematiksel beklentiden sapmasının karelerinin değerlerini yazalım: (1 - 3,5) 2 = 6,25; (2 - 3,5) 2 = 2,25; (3 - 3,5) 2 = 0,25; (4 - 3,5) 2 = 0,25; (5 - 3,5) 2 = 2,25; (6 - 3,5) 2 = 6,25. Formül (2.12)'yi kullanarak, (2.11)'i hesaba katarak varyansı buluruz:

(2.12)'den de anlaşılacağı üzere varyans, rastgele değişkenin boyutunun karesi boyutundadır. Bir rastgele değişkenin mesafesini aynı boyuttaki birimler halinde tahmin etmek için kavram tanıtılmıştır. standart sapma,şu şekilde anlaşılmaktadır karekök dağılımdan:

Sürekli bir rastgele değişkenin dağılımı ve özellikleri. Sürekli bir rastgele değişken, ayrık bir değişkenle aynı dağılım yasasıyla belirlenemez. Bu durumda aşağıdaki şekilde ilerleyin.

dP sürekli bir rastgele değişkenin olasılığı olsun X arasındaki değerleri alır X Ve X+ dx. Açıkçası, Irm daha uzun bir aralıktır dx, olasılık ne kadar büyükse dP: dP ~ dx. Dahası, olasılık aynı zamanda aralığın yakınında bulunduğu rastgele Niceliğin kendisine de bağlı olmalıdır, bu nedenle

Nerede f(x)- olasılık yoğunluğu, veya olasılık dağılım fonksiyonu. Aralığa ilişkin olasılığın nasıl değiştiğini gösterir dx Bu değişkenin değerine bağlı olarak rastgele değişken:

İfadeyi (2.15) uygun sınırlar dahilinde entegre ederek, rastgele değişkenin (ab) aralığında herhangi bir değer alma olasılığını buluruz:

Sürekli bir rastgele değişken için normalizasyon koşulu şu şekildedir:

(2.19)’dan görülebileceği gibi bu fonksiyon, rastgele değişkenin şu değerlerden daha küçük değerler alma olasılığına eşittir: X:

Sürekli bir rastgele değişken için matematiksel beklenti ve varyans sırasıyla şu şekilde yazılır:

Rastgele değişken, değeri yeniden hesaplama veya ölçümler sonucunda elde edilen ve oluşum koşullarıyla kesin olarak belirlenemeyen bir niceliktir.

Yani bir rastgele değişken sayısal rastgele olayları temsil eder.

Rastgele değişkenler iki sınıfa ayrılır:

Ayrık rastgele değişkenler - bu değişkenlerin değerleri temsil eder doğal sayılar frekanslar ve olasılıklar bireysel olaylar olarak ilişkilendirilir.

Sürekli rastgele değişkenler - belirli bir aralıktan (aralıktan) herhangi bir değer alabilir. X1'den X2'ye kadar olan aralıkta olduğu düşünülürse sayısal değerler sonsuz küme ise, ХiЄ(Х1,Х2) rastgele değişkeninin belirli bir değeri alma olasılığı sonsuz küçüktür. Sürekli bir rastgele değişkenin tüm değerlerini listelemenin imkansız olduğu düşünüldüğünde pratikte aralığın ortalama değeri (X1,X2) kullanılır.

Ayrık rastgele değişkenler için, y=P(x) fonksiyonuna rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu denir ve bir grafiği vardır - buna dağıtım poligonu denir.

Aşağıdaki sayısal özellik grupları ayırt edilir: konum özellikleri (matematiksel beklenti, mod, medyan, nicelik vb.), dağılım (varyans, standart sapma vb.), dağıtım yoğunluğunun şeklinin özellikleri (asimetri göstergesi, basıklık vb.).

Matematiksel beklenti (dağılımın ortalama değeri), SV X'in türüne bağlı olarak aşağıdaki formülle belirlenen gerçek bir sayıdır:

Formülün sağ tarafındaki serinin (sırasıyla integralin) mutlak yakınsaması durumunda matematiksel bir beklenti vardır. Eğer mX = 0 ise CB X'e ortalanmış denir ( ile gösterilir).

Matematiksel beklentinin özellikleri:

burada C bir sabittir;

M = C×M[X];

M = M[X]+M[Y],

herhangi bir CB X ve Y için;

M = M[X]×M[Y] + KXY,

burada KXY = M - SV X ve Y'nin kovaryansı.

SV X dağılımının k'inci mertebesinin (k = 0, 1, 2, ...) başlangıç ​​momenti, aşağıdaki formülle belirlenen gerçek bir sayıdır:

nk = M =

SV X dağılımının k'inci sırasının merkezi momenti, aşağıdaki formülle belirlenen sayıdır:

mk = M[(X-mX)k]=

Özellikle momentlerin tanımlarından şu sonuç çıkar: n0 = m0 = 1, n1 = mX, m2 = DX = sX2.

SVNT modu, PR f(x)'in maksimum noktası olarak tanımlanan Mo(X) = x* gerçek sayısıdır. Bir mod tek bir değere (tek modlu dağılım) veya birden fazla değere (çok modlu dağılım) sahip olabilir.

SVNT'nin medyanı şu koşulu karşılayan Me(X) = x0 gerçek sayısıdır: P(X)< x0} = P{X ³ x0} или F(x0) = 0,5.

Bir p düzeyi niceliği, şu denklemi karşılayan bir gerçek sayı tp'dir: F(tp) = p. Özellikle medyanın tanımından x0 = t0,5 sonucu çıkar.

CB X'in varyansı, aşağıdaki formülle tanımlanan, negatif olmayan bir D[X] = DХ sayısıdır:

DX = M[(X-mX)2] = M - mX2 =

Eşitliğin sağ tarafındaki seri (sırasıyla integral) yakınsarsa dağılım mevcuttur. Dispersiyon özellikleri:

D[C] = 0, burada C bir sabittir;

D = C2×D[X];

dağılım açıkça SV X'in yer değiştirmesine bağlı olarak değişmez;

D = D[X] + D[Y] + 2×KXY,

burada KXY = M - SV X ve Y'nin kovaryansı;

Negatif olmayan sayı sХ = çağrıldı standart sapma SV X. SV X boyutuna sahiptir ve matematiksel beklentiye göre simetrik olan belirli bir standart ortalama kare dağılım aralığını tanımlar. (sХ değerine bazen denir standart sapma). Eğer mX = 0 ve sX = 1 ise SV X'e standartlaştırılmış denir. Eğer X = sabitse (yani X rastgele değilse), o zaman D[X] = 0 olur.

PR asimetrisinin bir göstergesi, dağılımın asimetri (“çarpıklık”) katsayısıdır: A = m3/s3X. PR basıklığının göstergesi dağılımın basıklık katsayısı (“zirve”): E = (m4/s4X)-3. Özellikle normal dağılım E = 0.

n rastgele değişkenin (SV) X1, X2, ..., Xn'nin düzenli bir koleksiyonu, birlikte ele alınır. bu deneyim, n boyutlu SV veya rastgele vektör olarak adlandırılır ve = (X1, X2, ..., Xn) ile gösterilir.

N boyutlu bir rastgele vektörün dağılım fonksiyonu (DF), n adet eşitsizliğin ortak olarak karşılanma olasılığı olarak tanımlanan, n adet gerçek değişken x1, x2, ..., xn'nin bir fonksiyonudur: F(x1, x2, ... xn) = P( X1< x1, X2 < x2,..., Xn < xn}. В частности, для двумерного случайного вектора (X, Y) по определению ФР имеем: F(x, y) = P{X < x, Y < y}. ФР F (х, у) обладает aşağıdaki özellikler:

1 0 £ F(x, y) £ 1;

2 F(x, y) argümanlarının azalmayan bir fonksiyonudur;

4.

Özellik 4'e genellikle tutarlılık koşulu denir. Bu, rastgele bir vektörün ayrı ayrı bileşenlerinin PDF'lerinin, fonksiyondan limite geçilerek bulunabileceği anlamına gelir. ortak dağıtım bu bileşenler. İsabet Olasılığı rastgele nokta(X, Y) düzleminde kenarları koordinat eksenlerine paralel olan bir dikdörtgene dönüştürmek, aşağıdaki formül kullanılarak DF kullanılarak hesaplanabilir:

P(x1 £ X< x2, y1 £ Y < y2} = F(x1, y1)+ F(x2, y2)- F(x1, y2)- F(x2, y1).

İki boyutlu bir rastgele vektöre (X,Y), eğer olası G(x, y) değerleri kümesi en fazla sayılabilirse, ayrık tipte rastgele vektör (DRV) adı verilir. Dağıtım yasası, bileşen çiftlerinin olası değerleri listesinden ((хi, yi) | (хi, yi) О G(x, y)) ve bu tür çiftlerin her birine karşılık gelen iki boyutlu bir tablo ile belirtilebilir. olasılıkların pij = P(X = xi, Y = yj ), koşulu karşılayan

İki boyutlu bir rastgele vektöre (X, Y), rastgele vektörün olasılık dağılım yoğunluğu (PD) adı verilen negatif olmayan bir f(x, y) fonksiyonu varsa, sürekli tipte rastgele bir vektör (CVNT) adı verilir: O:

f(x, y) = , sonra F(x, y) = .

PR olasılıkları aşağıdaki özelliklere sahiptir:

f(x, y) ³ 0, (x, y) О R2;

- normalleştirme koşulu.

Rastgele bir vektörün bireysel bileşenlerinin PR olasılıkları, eklem yoğunluğu:

f(x) = f(y) = .

Rastgele bir noktanın bir düzlem üzerinde keyfi bir karelenebilir S alanına düşme olasılığı aşağıdaki formülle belirlenir:

P((X, Y) О S)= .

Y bileşeninin belirli bir y değerini alması koşuluyla, rastgele bir X bileşeninin koşullu olasılık yoğunluk dağılımı, x О R gerçek değişkeninin f(x/y) fonksiyonudur: f(x/y) = f(x) , y)/f(y) . Benzer şekilde tanımlanmış geleneksel yoğunluk X bileşeninin belirli bir x değerini alması koşuluyla, Y rastgele bileşeninin olasılık dağılımı: f(y/x) = f(x, y)/f(x). SV'ler X1, X2, ..., Xn, eğer olaylar için (Xi О Bi), i = 1, 2, ..., n ise bağımsız (birlikte) olarak adlandırılır, burada B1, B2, ... Bn, sayısal düz çizgi, eşitlik geçerlidir: P(X1 Î B1, X2 Î B2, ... Xn Î Bn) = P(X1 Î B1)× P(X2 Î B2)× ... ×P(Xn Î Bn) .

Teorem: SV X1, X2, .... Xn bağımsızdır ancak ve ancak herhangi bir x = (x1, x2, ..., xn) noktasında eşitlik sağlanırsa: F(x1, x2, ..., xn ) = F(x1) × F (x2) × ... × F (xn) (veya f(x1, x2, ..., xn) = f(x1) × f(x2) × ... × f ( xn)).

İki boyutlu bir rastgele vektör (X, Y) için aşağıdaki sayısal özellikler tanıtılmıştır.

Rastgele bir vektörün (X, Y) r + s mertebesindeki başlangıç ​​momenti, aşağıdaki formülle tanımlanan nr,s gerçek sayısıdır:

nr,s = M =

Eşitliğin sağ tarafındaki integralin (sırasıyla serinin) mutlak yakınsaması durumunda nr,s başlangıç ​​momenti mevcuttur. Özellikle, nr,0 = M - karşılık gelen ilk anlar X'in bileşenleri. Rastgele olmayan koordinatlara (mX, mY) = (n1,0, n0,1) sahip bir vektöre, rastgele bir vektörün (X, Y) veya dağılım merkezinin matematiksel beklentisi denir.

Rastgele bir vektörün (X, Y) r + s mertebesindeki merkezi momenti, formülle tanımlanan mr,s gerçek sayısıdır.

mr,s = M[(X-mX)r (Y-mY)s] =

Merkezi moment mr,s, eğer eşitliğin sağ tarafındaki integral (sırasıyla seri) mutlak olarak yakınsarsa var olur. Rastgele olmayan koordinatları (DX, DY) = (m2,0, m0,2) olan bir vektöre rastgele vektörün varyansı denir.

Merkezi moment m1,1 denir korelasyon anı(kovaryansa göre): KXY = M = M[(X-mX)×(Y-mY)] = M-mX mY.

Rastgele bir vektörün iki rastgele bileşeni X ve Y'nin korelasyon katsayısı normalleştirilmiş kovaryanstır

rXY = KXY/(sXsY).

Kovaryansın özellikleri (ve korelasyon katsayısı).

Rasgele değişken kavramı

Rastgele test sonucunda, önceden bilinmeyen, testten teste değişen ve rastgele koşullara bağlı olarak şu veya bu (ancak yalnızca bir) olası değeri alan bir niceliktir. Farklı rastgele olay, hangisi niteliksel özellikler rastgele sonuç Testte, rastgele bir değişken test sonucunu niceliksel olarak karakterize eder. Rastgele değişken örnekleri arasında iş parçasının boyutu, bir ürün veya ortamın herhangi bir parametresinin ölçüm sonucundaki hata yer alır. Uygulamada karşılaşılan rastgele değişkenler arasında iki ana tür ayırt edilebilir: kesikli ve sürekli.

ayrık sonlu veya sonsuz sayılabilir değerler kümesi alan rastgele bir değişkendir. Örneğin: üç atışta isabet oranı; n adetlik bir partideki kusurlu ürün sayısı; gün içinde telefon santraline gelen çağrıların sayısı; güvenilirlik açısından test edilirken belirli bir süre boyunca cihaz elemanlarının arıza sayısı; hedefe ilk vuruşa kadar yapılan atış sayısı vb.

Sürekli sonlu veya sonsuz bir aralıktan herhangi bir değer alabilen rastgele bir değişkendir. Açıkçası, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzdur. Örneğin: radar aralığını ölçerken hata; mikro devrenin çalışma süresi; parçaların üretim hatası; tuz konsantrasyonu deniz suyu vesaire.

Rastgele değişkenler genellikle X,Y vb. harflerle, olası değerleri ise x,y vb. ile gösterilir. Bir rastgele değişkeni tanımlamak için onun tüm olası değerlerini listelemek yeterli değildir. Aynı koşullar altında yapılan testler sonucunda belirli değerlerinin ne sıklıkla ortaya çıkabileceğini de bilmek gerekir, yani bunların oluşma olasılıklarını ayarlamak gerekir. Bir rastgele değişkenin tüm olası değerleri ve bunlara karşılık gelen olasılıkların kümesi, rastgele değişkenin dağılımını oluşturur.

Rastgele değişken dağılım yasaları

Dağıtım kanunu Rastgele bir değişken, rastgele bir değişkenin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasındaki yazışmadır. Rastgele bir değişkenin itaat ettiği söylenir bu yasa dağıtımlar. İki rastgele değişken denir bağımsız Bunlardan birinin dağıtım yasası, diğer miktarın hangi olası değerleri aldığına bağlı değilse. Aksi takdirde rastgele değişkenler çağrılır. bağımlı. Birkaç rastgele değişken denir karşılıklı bağımsız Herhangi bir sayıdaki dağıtım yasaları, diğer miktarların hangi olası değerleri aldığına bağlı değilse.

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası bir tablo, dağılım fonksiyonu veya dağılım yoğunluğu şeklinde belirtilebilir. Rastgele bir değişkenin olası değerlerini ve karşılık gelen olasılıkları içeren bir tablo en basit biçim bir rastgele değişkenin dağılım yasasını belirlemek.

\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_(n-1)&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_(n-1 )&p_n\\\hline\end(dizi)

Dağıtım yasasının bir tablo spesifikasyonu yalnızca ayrık bir rastgele değişken için kullanılabilir. sonlu sayı olası değerler. Rastgele bir değişkenin yasasını belirten tablo biçimine dağılım serisi de denir.

Anlaşılır olması açısından dağıtım serisi grafiksel olarak sunulmuştur. Şu tarihte: grafik gösterimi V dikdörtgen sistem koordinatlar, apsis ekseni rastgele değişkenin tüm olası değerlerini gösterir ve ordinat ekseni karşılık gelen olasılıkları gösterir. Düz çizgi parçalarıyla birbirine bağlanan (x_i,p_i) noktalarına denir dağıtım poligonu(Şekil 5). (x_i,p_i) noktalarının bağlanmasının yalnızca netlik amacıyla yapıldığı unutulmamalıdır, çünkü x_1 ve x_2, x_2 ve x_3 vb. arasındaki aralıklarda X rastgele değişkeninin alabileceği hiçbir değer yoktur. yani bu aralıklarda ortaya çıkma olasılığı sıfıra eşittir.

Bir dağıtım poligonu, bir dağıtım serisi gibi, ayrık bir rastgele değişkenin dağıtım yasasını belirleme biçimlerinden biridir. Sahip olabilirler farklı şekil ancak herkesin bir tane vardır ortak mülkiyet: Rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin olasılıklarının toplamı olan dağıtım poligonunun köşelerinin koordinatlarının toplamı her zaman bire eşittir. Bu özellik, rastgele değişken X'in tüm olası değerlerinin formda olması gerçeğinden kaynaklanmaktadır. tam grup uyumsuz olaylar olasılıkların toplamı bire eşittir.

Olasılık dağılım fonksiyonu ve özellikleri

Dağıtım fonksiyonu en çok genel form Dağıtım yasasını belirlemek. Hem kesikli hem de sürekli rastgele değişkenleri belirtmek için kullanılır. Genellikle F(x) ile gösterilir. Dağıtım işlevi X rastgele değişkeninin sabit bir değerden daha düşük değerler alma olasılığını belirler gerçek sayı x , yani F(x)=P\(X kümülatif dağılım fonksiyonu.

Dağılım fonksiyonunun geometrik yorumu çok basittir. Rastgele bir değişken, test sonucunda eksen üzerinde bir veya başka bir konum alabilen Ox ekseninin rastgele bir X noktası olarak kabul edilirse (Şekil 6), o zaman dağılım fonksiyonu F(x) olasılıktır: Test sonucunda rastgele X noktası soldaki x noktasına düşecektir.

Değer alabilen ayrık bir rastgele değişken X için dağıtım fonksiyonu şu şekildedir:

F(x)=\toplam\limits_(x_i
eşitsizlik x_i

Sürekli bir rastgele değişkenin sürekli bir dağılım fonksiyonu vardır, bu fonksiyonun grafiği düzgün bir eğri şeklindedir (Şekil 8).

Dağıtım fonksiyonlarının genel özelliklerini ele alalım.

Özellik 1. Dağılım fonksiyonu negatif değildir, sıfır ile bir arasında bir fonksiyondur:

0\leqslant(F(x))\leqslant1

Bu özelliğin geçerliliği, F(x) dağılım fonksiyonunun X'ten oluşan rastgele bir olayın olasılığı olarak tanımlanması gerçeğinden kaynaklanmaktadır.

Özellik 2. Rastgele bir değişkenin [\alpha;\beta) aralığına düşme olasılığı, bu aralığın uçlarındaki dağılım fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir, yani.

P\(\alpha\leqslant(X)<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)

Bundan, sürekli bir rastgele değişkenin herhangi bir bireysel değerinin olasılığının sıfır olduğu sonucu çıkar.

Özellik 3. Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu azalmayan bir fonksiyondur, yani. F(\beta)\geqslant(F(\alpha)).

Özellik 4. Eksi sonsuzda dağılım fonksiyonu sıfıra eşittir ve artı sonsuzda bire eşittir, yani. \lim_(x\to-\infty)F(x)=0 Ve \lim_(x\to+\infty)F(x)=1.

Örnek 1. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu şu ifadeyle verilmektedir:

F(x)=\begin(cases)0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 0\end(durumlar).

a katsayısını bulun ve F(x) grafiğini çizin. Deney sonucunda X rastgele değişkeninin aralıkta değer alma olasılığını belirleyiniz.

Çözüm. Sürekli bir rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonu sürekli olduğundan, x=3 için a(3-1)^2=1 elde ederiz. Dolayısıyla a=\frac(1)(4) . F(x) fonksiyonunun grafiği Şekil 2’de gösterilmektedir. 9.

Dağıtım fonksiyonunun ikinci özelliğine dayanarak,

P\(1\leqslant(X)<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.

Olasılık dağılım yoğunluğu ve özellikleri

Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu onun olasılıksal özelliğidir. Ancak, sayısal eksen üzerinde bir veya başka bir noktanın küçük bir mahallesindeki rastgele bir değişkenin dağılımının doğasını bundan yargılamanın zor olması dezavantajına sahiptir. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılımının doğası hakkında daha net bir fikir, olasılık dağılım yoğunluğu veya rastgele bir değişkenin diferansiyel dağılım fonksiyonu adı verilen bir fonksiyonla verilir.

Dağıtım yoğunluğu f(x), F(x) dağılım fonksiyonunun türevine eşittir, yani.

F(x)=F"(x).

Dağılım yoğunluğunun f(x) anlamı, deneyleri tekrarlarken bir x noktasının bazı komşuluklarında bir rastgele değişken X'in ne sıklıkta ortaya çıktığını göstermesidir. Bir rastgele değişkenin dağılım yoğunluğunu f(x) gösteren bir eğriye denir. dağıtım eğrisi.

düşünelim dağıtım yoğunluğu özellikleri.

Özellik 1. Dağıtım yoğunluğu negatif değildir, yani.

F(x)\geqslant0.

Özellik 2. Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu, -\infty ila x aralığındaki yoğunluğun integraline eşittir;

F(x)=\int\limits_(-\infty)^(x)f(x)\,dx.

Özellik 3. Sürekli bir rastgele değişken X'in bir bölüme (\alpha;\beta) düşme olasılığı, bu bölüm üzerinden alınan dağılım yoğunluğunun integraline eşittir, yani;

P\(\alpha\leqslant(X)\leqslant\beta\)=\int\limits_(\alpha)^(\beta)f(x)\,dx.

Özellik 4. Dağılım yoğunluğunun sonsuz sınırları üzerindeki integrali birliğe eşittir:

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=1.

Örnek 2. Rastgele değişken X, yoğunluğa sahip bir dağılım yasasına tabidir

F(x)=\begin(durum)0,&x<0\\a\sin{x},&0\pi\end(durumlar)

a katsayısını belirleyin; bir dağıtım yoğunluk grafiği oluşturmak; Bir rastgele değişkenin 0'dan \frac(\pi)(2)'ye kadar olan alana düşme olasılığını bulun, dağılım fonksiyonunu belirleyin ve grafiğini oluşturun.

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(- a\cos(x))\Bigl|_(0)^(\pi)=2a.

Dağıtım yoğunluğunun 4. özelliğini hesaba katarak a=\frac(1)(2) buluruz. Bu nedenle dağıtım yoğunluğu şu şekilde ifade edilebilir:

F(x)=\begin(durum)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0\pi\end(durumlar).

Şekil 2'deki dağıtım yoğunluğu grafiği. 10. Özellik 3'e göre elimizde

P\!\sol\(0

Dağıtım fonksiyonunu belirlemek için özellik 2'yi kullanırız:

F(x)=\frac(1)(2)\int\limits_(0)^(x)\sin(x)\,dx=\Bigl.(\-\frac(1)(2)\cos( x))\Bigl|_(0)^(x)=\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\cos(x).

Böylece elimizde

F(x)=\begin(durum)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0\pi\end(durumlar).

Dağıtım fonksiyonu grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 11

Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri

Dağıtım yasası, olasılıksal bir bakış açısıyla rastgele bir değişkeni tam olarak karakterize eder. Ancak bir dizi pratik problemi çözerken, rastgele bir değişkenin tüm olası değerlerini ve karşılık gelen olasılıkları bilmeye gerek yoktur, ancak bazı niceliksel göstergelerin kullanılması daha uygundur. Bu tür göstergelere sayısal denir Rastgele bir değişkenin özellikleri. Bunlardan başlıcaları matematiksel beklenti, dağılım, çeşitli derecelerdeki momentler, mod ve medyandır.

Matematiksel beklentiye bazen rastgele bir değişkenin ortalama değeri denir. Değerleri alan ayrı bir rastgele X değişkenini düşünün x_1,x_2,\ldots,x_n buna göre olasılıklarla p_1,p_2,\ldots,p_n Rastgele bir değişkenin değerlerinin, oluşma olasılıklarına göre ağırlıklandırılmış aritmetik ortalamasını belirleyelim. Böylece, bir rastgele değişkenin ortalama değerini veya onun matematiksel beklentisini M(X) hesaplarız:

M(X)=\frac(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)(p_1+p_2+\cdots+p_n)=\frac(\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i)(\sum\limits_( i=1)^(n)p_i).

Bunu göz önünde bulundurarak \sum\limits_(i=1)^(n)p_i=1 alıyoruz

M(X)=\toplam\limits_(i=1)^(n)x_ip_i).~~~~~~~(4.1)

Bu yüzden, matematiksel beklenti Ayrık bir rastgele değişken, tüm olası değerlerinin ve karşılık gelen olasılıkların çarpımlarının toplamıdır.

Sürekli bir rastgele değişken için matematiksel beklenti

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)xf(x)\,dx.

Sürekli bir rastgele değişkenin beklentisi Olası değerleri segmente ait olan X,

M(X)=\int\limits_(a)^(b)xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)

Olasılık dağılım fonksiyonu F(x) kullanılarak, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi şu şekilde ifade edilebilir:

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)x\,d(F(x)).

Matematiksel beklentinin özellikleri

Özellik 1. İki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Özellik 2. İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir:

M(XY)=M(X)M(Y).

Özellik 3. Sabit bir değerin matematiksel beklentisi, sabitin kendisine eşittir:

M(c)=c.

Özellik 4. Bir rastgele değişkenin sabit çarpanı, matematiksel beklentinin işaretinden çıkarılabilir:

M(cX)=cM(X).

Özellik 5. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının matematiksel beklentisi sıfıra eşittir:

M(X-M(X))=0.

Örnek 3. Rastgele değişken X (kusurlu ürün sayısı) bir dağılım serisiyle veriliyorsa, beş üründen oluşan bir numunedeki kusurlu ürün sayısının matematiksel beklentisini bulun.

\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&0&1&2&3&4&5\\\hline(P)&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\ !0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end(array)

Çözüm. Formül (4.1)'i kullanarak şunu buluruz:

M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\ !0010 =1,\!25.

Ayrık bir rastgele değişkenin M_0 modu en olası değerine denir.

Sürekli rastgele değişkenin M_0 modu dağıtım yoğunluğunun en büyük değerine karşılık gelen değeri denir. Geometrik olarak mod, dağılım eğrisinin küresel maksimum noktasının apsisi olarak yorumlanır (Şekil 12).

Bir rastgele değişkenin medyan M_e'si eşitliğin doğru olduğu değer çağrılır

P\(X Ben\).

Geometrik açıdan medyan, olasılık dağılım eğrisi ve apsis ekseni ile sınırlanan şeklin alanının ikiye bölündüğü noktanın apsisidir (Şekil 12). Dağılım eğrisinin ve x ekseninin sınırladığı alanın tamamı birliğe eşit olduğundan, medyana karşılık gelen noktadaki dağılım fonksiyonu 0,5'e eşittir;

F(M_e)=P\(X

Dağılım ve standart sapmayı kullanarak, rastgele bir değişkenin matematiksel beklenti etrafındaki dağılımına karar verilebilir. Bir rastgele değişkenin dağılımının bir ölçüsü olarak, rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisi kullanılır. rastgele bir değişkenin varyansı X ve D[X]'i belirtin:

D[X]=M((X-M(X))^2).

Ayrık bir rastgele değişken için varyans, rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisinden ve karşılık gelen olasılıklardan karesel sapmalarının çarpımlarının toplamına eşittir:

D[X]=\toplam\limits_(i=1)^(n)(x_i-M(X))^2p_i.

Dağıtım yasası olasılık dağılım yoğunluğu f(x) ile belirtilen sürekli bir rastgele değişken için varyans

D[X]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(x-M(X))^2f(x)\,dx.

Varyansın boyutu rastgele değişkenin boyutunun karesine eşittir ve bu nedenle geometrik olarak yorumlanamaz. Formülle hesaplanan rastgele değişkenin standart sapması bu dezavantajlara sahip değildir.

\sigma=\sqrt(D[X]).

Rastgele değişkenlerin dağılımının özellikleri

Özellik 1. İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının varyansı, bu değişkenlerin varyanslarının toplamına eşittir:

D=D[X]+D[Y].

Özellik 2. Bir rastgele değişkenin varyansı, X rastgele değişkeninin karesinin matematiksel beklentisi ile matematiksel beklentisinin karesi arasındaki farka eşittir:

D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4.3).

Özellik 3. Sabit bir değerin varyansı sıfırdır:

D[c]=0.

Özellik 4. Bir rastgele değişkenin sabit çarpanı, önce bunun karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir:

D=c^2D[X].

Özellik 5. İki bağımsız rastgele değişken X ve Y'nin çarpımının varyansı aşağıdaki formülle belirlenir:

D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].

Örnek 4. Örnek 3'teki dağıtım için kusurlu ürün sayısının varyansını hesaplayın.

Çözüm. Varyansın tanımı gereği

Bir rastgele değişkenin temel sayısal özelliklerinin genelleştirilmesi, bir rastgele değişkenin momentleri kavramıdır.

Q'uncu mertebenin ilk anı bir rastgele değişken X^q değerinin matematiksel beklentisidir:

Birinci derecenin başlangıç ​​momenti matematiksel beklentiyi, ikinci derecenin merkezi momenti ise rastgele değişkenin varyansını temsil eder.

Üçüncü dereceden normalleştirilmiş merkezi moment, dağılımın çarpıklığını veya asimetrisini karakterize eder ( asimetri katsayısı):

A_s=\frac(\mu_(()_3))(\sigma^3).

Dördüncü derecenin normalize edilmiş merkezi momenti, dağılımın zirve veya düzlüğünün bir özelliği olarak hizmet eder ( aşırı):

E=\frac(\mu_(()_4))(\sigma^4)-3.

Örnek 5. Rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğuyla belirtilir

F(x)=\begin(durum)0,&x<0;\\ax^2,&02.\end(durumlar).

a katsayısını, matematiksel beklentiyi, dağılım, çarpıklık ve basıklığı bulun.

Çözüm. Dağılım eğrisinin sınırladığı alan sayısal olarak şuna eşittir:

\int\limits_(0)^(2)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(2)x^2\,dx=\left.(a\,\frac(x^) 3)(3))\right|_(0)^(2)=\frac(8)(3)\,a.

Bu alanın birliğe eşit olması gerektiğini düşünürsek a=\frac(3)(8) buluruz. Formül (4.2)'yi kullanarak matematiksel beklentiyi buluruz:

M(X)=\int\limits_(0)^(2)xf(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^3\,dx= \left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^4)(4))\right|_(0)^(2)=1,\!5.

Formül (4.3)'ü kullanarak dağılımı belirleyelim. Bunu yapmak için öncelikle rastgele değişkenin karesinin matematiksel beklentisini buluyoruz:

M(X^2)=\int\limits_(0)^(2)x^2f(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^4 \,dx=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^5)(5))\right|_(0)^(2)=2,\!4.

Böylece,

\begin(aligned)D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\ \ \sigma(X)&=\sqrt(D(X))=\sqrt(0,\!15)\approx0,\!3873.\end(aligned)

Başlangıç ​​momentlerini kullanarak üçüncü ve dördüncü mertebenin merkezi momentlerini hesaplıyoruz:

\begin(aligned)\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\ int\limits_0^2(x^3f(x)\,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^5\,dx)=\left.(\frac(3)( 8)\cdot\frac(x^6)(6))\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2(x^4f(x)\ ,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^6\,dx)=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^7)(7 ))\right|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4 +2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\ \&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4 =0,\!0696.\\ A_s&=\frac(\mu_3)(\sigma^3)=-\frac(0,\!05)((0,\!3873)^3)=-0,\ !86.\\ E&=\frac(\mu_4)(\sigma^4)-3=\frac(0,\!0696)((0,\!3873)^4)-3=-0,\! 093.\end(hizalanmış)

N bağımsız rastgele değişkenin aritmetik ortalamasının sayısal özellikleri

İzin vermek x_1,x_2,\ldots,x_n- n bağımsız testte elde edilen X rastgele değişkeninin değerleri. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi M(X) ve varyansı D[X]'tir. Bu değerler bağımsız rastgele değişkenler olarak kabul edilebilir X_1,X_2,\ldots,X_n aynı matematiksel beklentiler ve farklılıklarla:

M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n.

Bu rastgele değişkenlerin aritmetik ortalaması

\overline(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)\frac(X_i)(n).

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklenti ve dağılım özelliklerini kullanarak şunu yazabiliriz:

\begin(aligned)M(\overline(X))&=M\!\left(\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right)=\frac( 1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline(X)]&= D\!\left[\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\frac(1)(n^2)\sum\limits_(i=1 )^(n)D=\frac(D[X])(n).~~~~~~~(4.5)\end(aligned)

Eğer klasik olasılık teorisi esas olarak olayları ve bunların meydana gelme (oluşma) olasılığını inceledi, ardından modern olasılık teorisi rastgele olayları ve bunların kalıplarını rastgele değişkenler kullanarak inceler. Rastgele değişken kavramı bu nedenle olasılık teorisinde temeldir. Daha önce bile, şu veya bu sayının ortaya çıkmasından oluşan olaylar düzenlendi. Örneğin zar atarken 1, 2, 3, 4, 5, 6 sayıları ortaya çıkabilir. Ortaya çıkacak puan sayısını önceden belirlemek imkansızdır, çünkü tamamen alınamayan birçok rastgele nedene bağlıdır. dikkate alın. Bu anlamda nokta sayısı rastgele bir değer olup 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sayıları olası değerler bu değer.

Rastgele değişken deney sonucunda, önceden bilinmeyen ve önceden dikkate alınamayan rastgele nedenlere bağlı olarak şu veya bu (ve yalnızca bir ve yalnızca bir) olası sayısal değeri alan bir niceliktir.

Rastgele değişkenler genellikle büyük harflerle ve olası değerleri karşılık gelen küçük harflerle gösterilir. Örneğin, rastgele bir değişkenin üç olası değeri varsa, bunlar buna göre aşağıdaki şekilde gösterilir:. Kolaylık sağlamak için şunu yazacağız: .

ÖRNEK 1. Yüz yenidoğan arasında doğan erkek çocuk sayısı rastgele bir değerdir ve şu olası değerlere sahiptir: 0, 1, 2, ..., 100.

ÖRNEK 2. Bir merminin silahtan ateşlendiğinde kat edeceği mesafe de rastgele bir değerdir. Gerçekten de mesafe yalnızca görüşün kurulumuna değil, aynı zamanda tam olarak dikkate alınamayan diğer birçok nedene de (rüzgarın gücü ve yönü, sıcaklık vb.) bağlıdır. Bu miktarın olası değerleri belli bir aralığa (aralığa) aittir.

Her rastgele olayın, R'den değer alan bazı rastgele değişkenlerle ilişkilendirilebileceğini unutmayın. Örneğin, deneyim - hedefe atış; etkinlik - hedefi vurmak; rastgele değişken - hedefteki isabet sayısı.

Yukarıda verilen örneklere dönelim. Bunlardan ilkinde rastgele değişken şu olası değerlerden birini alabilir: 0, 1, 2,..., 100. Bu değerler birbirinden olası değerlerin olmadığı aralıklarla ayrılır. Dolayısıyla bu örnekte rastgele değişken bireysel, yalıtılmış, olası değerleri alır.

İkinci örnekte rastgele değişken aralık değerlerinden herhangi birini alabilir. Burada olası bir değeri diğerinden rastgele değişkenin olası değerlerini içermeyen bir aralıkla ayırmak imkansızdır.

Zaten söylenenlerden, yalnızca bireysel, izole edilmiş değerleri alan rastgele değişkenler ile olası değerleri belirli bir aralığı tamamen dolduran rastgele değişkenler arasında ayrım yapılmasının tavsiye edildiği sonucuna varabiliriz.

Ayrık ( aralıklı ) Rastgele değişken, sonlu veya sayılabilir 1 farklı değer kümesini alan rastgele bir değişkendir. Başka bir deyişle, belirli olasılıklarla ayrı, izole olası değerleri alan rastgele bir değişkendir.

Ayrık bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonlu veya sonsuz olabilir.

Sürekli gerçek sayı ekseninin sonlu veya sonsuz aralığındaki tüm değerleri alabilen rastgele değişken denir.

Açıkçası, öncelikle sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzdur. İkincisi, ayrık bir rastgele değişken, sürekli bir rastgele değişkenin özel bir durumudur.

Olasılık dağılım kanunu

BEN.

Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı kanunu

İlk bakışta, ayrık bir rastgele değişkeni tanımlamak için onun tüm olası değerlerini listelemek yeterli gibi görünebilir. Gerçekte durum böyle değildir: farklı rastgele değişkenler bazen aynı olası değer listelerine sahip olabilir, ancak bu değerlerin karşılık gelen olasılıkları farklı olabilir. Bu nedenle, tam bir karakterizasyon için, bir rastgele değişkenin değerlerini bilmek yeterli değildir; aynı zamanda bu değerlerin bir deneyde tekrarlandığında ne sıklıkta ortaya çıktığını da bilmeniz gerekir; ayrıca bunların oluşma olasılığını da belirtmeniz gerekir. Rastgele değişkeni düşünün

, . . . , ,

. Olası değerlerinin her birinin ortaya çıkması, grup 2'nin tamamını oluşturan olaylardan birinin meydana geldiğini gösterir. Bu olayların olasılıklarının bilindiğini varsayalım: Daha sonra:rastgele bir değişkenin olası değerleri ile olasılıkları arasında bağlantı kuran yazışmaya denir rastgele bir değişkenin olasılık dağılımı kanunu

veya basitçe – rastgele bir değişkenin dağılım yasası.

Belirli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım yasası tablo halinde (dağılım serisi), analitik olarak (formül biçiminde) ve grafiksel olarak belirtilebilir.

Bir tabloda ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını belirlerken, tablonun ilk satırı olası değerleri ve ikincisi bunların olasılıklarını içerir.

Açıklık sağlamak amacıyla, ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası, noktaların dikdörtgen bir koordinat sisteminde oluşturulduğu ve daha sonra çizgi parçalarıyla birleştirildiği grafiksel olarak da gösterilebilir. Ortaya çıkan şekle dağıtım poligonu denir. Bu durumda oluşturulan çokgenin koordinatlarının toplamı bire eşittir.

,

Belirli bir rastgele değişkenin dağılım yasasını ne belirler?

II. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı kanunu

Ayrık bir rastgele değişkenin, tüm olası değerlerinin ve olasılıklarının bir listesiyle belirlendiğini hatırlayın. Bu ayarlama yöntemi genel değildir: örneğin sürekli rastgele değişkenler için geçerli değildir.

Aslında, olası değerleri aralığı tamamen dolduran bir rastgele değişken düşünün. Olası tüm değerleri listelemek mümkün mü? Açıkçası bu yapılamaz. Bu örnek, herhangi bir rastgele değişken türünü belirlemek için genel bir yol vermenin tavsiye edilebilirliğini gösterir (daha önce belirtildiği gibi, ayrık bir rastgele değişken, sürekli bir rastgele değişkenin özel bir durumudur). Bu amaçla tanıtıyorlar integral fonksiyonu dağıtımlar.

Keyfi gerçek değerleri alan bir değişken olsun (eksende :). Bir rastgele değişkenin daha küçük bir değer alması olayını düşünün. O zaman olasılık olay bağlıdır, yani 'nin bir fonksiyonudur.

Bu fonksiyon genellikle rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu veya integral dağılım fonksiyonu ile gösterilir ve bu fonksiyon olarak adlandırılır. Başka bir deyişle: kümülatif dağılım fonksiyonu

.

her R değeri için rastgele değişkenin daha küçük bir değer alma olasılığını belirleyen bir fonksiyon olarak adlandırılır;

Geometrik olarak bu eşitlik şu şekilde yorumlanabilir: Bir rastgele değişkenin, sayı ekseninde noktanın solunda yer alan bir nokta tarafından temsil edilen bir değeri alma olasılığı vardır.

İntegral fonksiyonunun özellikleri:

Bu özelliğin kanıtı, bir integral fonksiyonunun olasılık olarak tanımlanmasından kaynaklanmaktadır: olasılık her zaman negatif olmayan ve bir'i geçmeyen bir sayıdır.
Aslında rastgele değişkenin daha küçük bir değer alması olayı olsun; benzer şekilde,

veya hangisi aynıdır:

Gösterilmesi gereken buydu. Bu özellik oldukça açıktır. Yani eğer - güvenilir bir olay ve

Aşağıdaki olayları göz önünde bulundurun: . Bunu görüyoruz - yani. olaylar uyumsuzdur. Daha sonra ,Ancak

Sonuç olarak şunu yazabiliriz: göstermemiz gereken şey buydu.

.

Sürekli bir rastgele değişken için, integral değil, diferansiyel dağılım fonksiyonu veya rastgele değişkenin sözde dağılım yoğunluğu daha açıktır.