Bu videoda aynı algoritma kullanılarak çözülen bir dizi doğrusal denklemi analiz edeceğiz; bu yüzden bunlara en basit denir.
Öncelikle şunu tanımlayalım: Doğrusal denklem nedir ve hangisine en basit denir?
Doğrusal denklem- yalnızca bir değişkenin olduğu ve yalnızca birinci dereceden olan bir değişken.
En basit denklem inşaat anlamına gelir:
Diğer tüm doğrusal denklemler algoritma kullanılarak en basit düzeye indirgenir:
- Varsa parantezleri genişletin;
- Değişken içeren terimleri eşittir işaretinin bir tarafına, değişken içermeyen terimleri ise diğer tarafına taşıyın;
- Eşittir işaretinin soluna ve sağına benzer terimler verin;
- Ortaya çıkan denklemi $x$ değişkeninin katsayısına bölün.
Elbette bu algoritma her zaman yardımcı olmuyor. Gerçek şu ki, bazen tüm bu entrikalardan sonra $x$ değişkeninin katsayısı şu şekilde ortaya çıkıyor: sıfıra eşit. Bu durumda iki seçenek mümkündür:
- Denklemin hiçbir çözümü yoktur. Örneğin, $0\cdot x=8$ gibi bir şey ortaya çıktığında, yani. solda sıfır, sağda ise sıfırdan farklı bir sayı var. Aşağıdaki videoda bu durumun mümkün olmasının çeşitli nedenlerine bakacağız.
- Çözüm tüm sayılardır. Bunun mümkün olduğu tek durum, denklemin $0\cdot x=0$ yapısına indirgenmiş olmasıdır. Hangi $x$'ı değiştirirsek değiştirelim, yine de "sıfır sıfıra eşittir" sonucunun ortaya çıkması oldukça mantıklıdır, yani. Doğru sayısal eşitlik.
Şimdi gerçek hayattan örnekler kullanarak tüm bunların nasıl çalıştığını görelim.
Denklem çözme örnekleri
Bugün doğrusal denklemlerle ilgileniyoruz ve yalnızca en basitleriyle. Genel olarak doğrusal denklem, tam olarak bir değişken içeren herhangi bir eşitlik anlamına gelir ve yalnızca birinci dereceye kadar gider.
Bu tür yapılar yaklaşık olarak aynı şekilde çözülür:
- Öncelikle varsa parantezleri açmanız gerekiyor (bizimki gibi). son örnek);
- Daha sonra benzerlerini birleştirin
- Son olarak değişkeni izole edin, yani. Değişkenle bağlantılı olan her şeyi (içinde bulunduğu terimleri) bir tarafa, onsuz kalan her şeyi ise diğer tarafa taşıyın.
Daha sonra, kural olarak, ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafına da benzerleri getirmeniz gerekir ve bundan sonra geriye kalan tek şey "x" katsayısına bölmek ve son cevabı alacağız.
Teorik olarak bu hoş ve basit görünüyor, ancak pratikte deneyimli lise öğrencileri bile oldukça basit doğrusal denklemlerde rahatsız edici hatalar yapabilir. Tipik olarak, parantez açılırken veya "artılar" ve "eksiler" hesaplanırken hatalar yapılır.
Ek olarak, doğrusal bir denklemin hiçbir çözümü olmadığı veya çözümün sayı doğrusunun tamamı olduğu durumlar da vardır; herhangi bir sayı. Bugünkü dersimizde bu inceliklere bakacağız. Ama sizin de zaten anladığınız gibi, en başından başlayacağız. basit görevler.
Basit doğrusal denklemleri çözme şeması
Öncelikle, en basit doğrusal denklemleri çözmek için şemanın tamamını bir kez daha yazayım:
- Varsa parantezleri genişletin.
- Değişkenleri izole ediyoruz, yani. Üzerinde “X” olan her şeyi bir tarafa, “X” içermeyen her şeyi diğer tarafa taşıyoruz.
- Benzer terimleri sunuyoruz.
- Her şeyi “x” katsayısına bölüyoruz.
Elbette bu şema her zaman işe yaramıyor; içinde bazı incelikler ve püf noktaları var ve şimdi bunları tanıyacağız.
Basit doğrusal denklemlerin gerçek örneklerini çözme
Görev No.1
İlk adım parantezleri açmamızı gerektiriyor. Ancak bu örnekte bunlar yok, dolayısıyla bu adımı atlıyoruz. İkinci adımda değişkenleri izole etmemiz gerekiyor. Lütfen aklınızda bulundurun: hakkında konuşuyoruz yalnızca bireysel terimler hakkında. Bunu yazalım:
Solda ve sağda benzer terimleri sunuyoruz, ancak bu burada zaten yapıldı. Bu nedenle, devam edelim dördüncü adım: katsayıya bölünür:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Böylece cevabı aldık.
Görev No.2
Bu problemde parantezleri görebiliyoruz, hadi onları genişletelim:
Hem solda hem de sağda yaklaşık olarak aynı tasarımı görüyoruz ama hadi algoritmaya göre hareket edelim yani. değişkenleri ayırmak:
İşte benzerlerinden bazıları:
Bu hangi köklerde işe yarıyor? Cevap: herhangi biri için. Bu nedenle $x$'in herhangi bir sayı olduğunu yazabiliriz.
Görev No.3
Üçüncü doğrusal denklem daha ilginçtir:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Birkaç parantez var ama hiçbir şeyle çarpılmıyorlar, sadece önüne bir parantez geliyor. çeşitli işaretler. Bunları parçalayalım:
Zaten bildiğimiz ikinci adımı gerçekleştiriyoruz:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Hadi matematik yapalım:
Son adımı gerçekleştiriyoruz - her şeyi "x" katsayısına bölüyoruz:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Doğrusal Denklemleri Çözerken Hatırlanması Gerekenler
Çok basit görevleri göz ardı edersek şunu söylemek isterim:
- Yukarıda söylediğim gibi, her doğrusal denklemin bir çözümü yoktur; bazen kökler yoktur;
- Kökler olsa bile aralarında sıfır olabilir - bunda yanlış bir şey yok.
Sıfır diğerleriyle aynı sayıdır; hiçbir şekilde ayrımcılık yapmamalı veya sıfır alırsanız yanlış bir şey yaptığınızı varsaymamalısınız.
Bir diğer özellik ise braketlerin açılmasıyla ilgilidir. Lütfen dikkat: Önlerinde bir “eksi” olduğunda onu kaldırırız, ancak parantez içindeki işaretleri şu şekilde değiştiririz: zıt. Ve sonra onu standart algoritmalar kullanarak açabiliriz: Yukarıdaki hesaplamalarda gördüklerimizi elde edeceğiz.
Bunu anlamak basit gerçek lisede bu tür eylemlerin hafife alındığı durumlarda aptalca ve saldırgan hatalar yapmaktan kaçınmanıza olanak tanıyacaktır.
Karmaşık doğrusal denklemleri çözme
Daha fazlasına geçelim karmaşık denklemler. Artık yapılar daha karmaşık hale gelecek ve çeşitli dönüşümler gerçekleştirilirken ikinci dereceden bir fonksiyon ortaya çıkacak. Ancak bundan korkmamalıyız, çünkü yazarın planına göre doğrusal bir denklem çözüyorsak, dönüşüm süreci sırasında ikinci dereceden bir fonksiyon içeren tüm monomlar mutlaka iptal edilecektir.
Örnek No.1
Açıkçası, ilk adım parantezleri açmaktır. Bunu çok dikkatli yapalım:
Şimdi gizliliğe bir göz atalım:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
İşte benzerlerinden bazıları:
Açıkça görülüyor ki verilen denklemÇözüm yok, bu yüzden cevaba şunu yazacağız:
\[\varhiçbir şey\]
ya da kökleri yoktur.
Örnek No.2
Aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz. İlk adım:
Değişken olan her şeyi sola ve değişken olmadan sağa taşıyalım:
İşte benzerlerinden bazıları:
Açıkçası, bu doğrusal denklemin çözümü yok, bu yüzden onu şu şekilde yazacağız:
\[\varhiçbir şey\],
ya da kökleri yoktur.
Çözümün nüansları
Her iki denklem de tamamen çözülmüştür. Bu iki ifadeyi örnek olarak kullanarak, en basit doğrusal denklemlerde bile her şeyin bu kadar basit olmayabileceğine bir kez daha ikna olduk: ya bir olabilir, ya hiç olmayabilir ya da sonsuz sayıda kök olabilir. Bizim durumumuzda, her ikisinin de kökleri olmayan iki denklemi ele aldık.
Ancak bir başka gerçeğe dikkatinizi çekmek isterim: parantezlerle nasıl çalışılır ve önlerinde eksi işareti varsa nasıl açılır. Bu ifadeyi düşünün:
Açmadan önce her şeyi “X” ile çarpmanız gerekiyor. Lütfen dikkat: çoğalır her bir terim. İçinde iki terim vardır - sırasıyla iki terim ve çarpılır.
Ve ancak bu görünüşte basit ama çok önemli ve tehlikeli dönüşümler tamamlandıktan sonra, parantezi kendisinden sonra bir eksi işareti olduğu gerçeği açısından açabilirsiniz. Evet, evet: ancak şimdi, dönüşümler tamamlandığında, parantezlerin önünde bir eksi işareti olduğunu hatırlıyoruz, bu da aşağıdaki her şeyin yalnızca işaret değiştirdiği anlamına geliyor. Aynı zamanda parantezlerin kendisi de kaybolur ve en önemlisi öndeki "eksi" de kaybolur.
Aynısını ikinci denklem için de yapıyoruz:
Bu küçük, görünüşte önemsiz gerçeklere dikkat etmem tesadüf değil. Çünkü denklemleri çözmek her zaman bir dizi temel dönüşümdür; burada açık ve yetkin bir şekilde gerçekleştirilememek basit adımlar lise öğrencilerinin bana gelip bu kadar basit denklemleri çözmeyi yeniden öğrenmelerine yol açıyor.
Elbette bu becerileri otomatiklik noktasına kadar bileyeceğiniz gün gelecek. Artık her seferinde bu kadar çok dönüşüm yapmanıza gerek kalmayacak; her şeyi tek satıra yazacaksınız. Ancak henüz öğrenirken her eylemi ayrı ayrı yazmanız gerekir.
Daha da karmaşık doğrusal denklemleri çözme
Şimdi çözeceğimiz şeyin en basit görev olduğu söylenemez, ancak anlamı aynı kalıyor.
Görev No.1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
İlk kısımdaki tüm elemanları çarpalım:
Biraz gizlilik yapalım:
İşte benzerlerinden bazıları:
Son adımı tamamlayalım:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
İşte son cevabımız. Ve çözme sürecinde ikinci dereceden fonksiyona sahip katsayılarımız olmasına rağmen, bunlar birbirini iptal etti, bu da denklemi ikinci dereceden değil doğrusal hale getiriyor.
Görev No.2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
İlk adımı dikkatli bir şekilde gerçekleştirelim: ilk parantezdeki her elemanı ikinci parantezdeki her elemanla çarpın. Dönüşümlerden sonra toplam dört yeni terim bulunmalıdır:
Şimdi her terimde çarpma işlemini dikkatli bir şekilde yapalım:
Üzerinde “X” olan terimleri sola, olmayanları ise sağa taşıyalım:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
İşte benzer terimler:
Son cevabı bir kez daha aldık.
Çözümün nüansları
Bu iki denklemle ilgili en önemli not, birden fazla terim içeren parantezleri çarpmaya başladığımızda bunu şu şekilde yapar: sonraki kural: birinciden ilk terimi alırız ve ikinciden her elemanla çarparız; daha sonra birinciden ikinci elemanı alırız ve benzer şekilde ikincinin her elemanıyla çarparız. Sonuç olarak dört dönemimiz olacak.
Cebirsel toplam hakkında
Bu son örnekle öğrencilere şunu hatırlatmak isterim. cebirsel toplam. Klasik matematikte $1-7$ ile kast ettiğimiz basit tasarım: birden yediyi çıkarın. Cebirde bununla şunu kastediyoruz: “bir” sayısına başka bir sayı yani “eksi yedi” ekliyoruz. Cebirsel bir toplamın sıradan bir aritmetik toplamdan farkı budur.
Tüm dönüşümleri, her toplama ve çarpma işlemini gerçekleştirirken, yukarıda açıklananlara benzer yapıları görmeye başladığınız anda, polinomlar ve denklemlerle çalışırken cebirde herhangi bir sorun yaşamayacaksınız.
Son olarak, az önce incelediklerimizden daha karmaşık olacak birkaç örneğe daha bakalım ve bunları çözmek için standart algoritmamızı biraz genişletmemiz gerekecek.
Kesirli Denklem Çözme
Bu tür görevleri çözmek için algoritmamıza bir adım daha eklememiz gerekecek. Ama önce size algoritmamızı hatırlatmama izin verin:
- Parantezleri açın.
- Ayrı değişkenler.
- Benzerlerini getirin.
- Orana bölün.
Ne yazık ki, bu harika algoritma, tüm etkinliğine rağmen, önümüzde kesirler varken pek de uygun olmadığı ortaya çıkıyor. Aşağıda göreceğimiz gibi, her iki denklemde de hem solda hem de sağda bir kesirimiz var.
Bu durumda nasıl çalışılır? Evet, çok basit! Bunu yapmak için algoritmaya, ilk eylemden önce ve sonra yapılabilecek, yani kesirlerden kurtulmaya bir adım daha eklemeniz gerekir. Yani algoritma aşağıdaki gibi olacaktır:
- Kesirlerden kurtulun.
- Parantezleri açın.
- Ayrı değişkenler.
- Benzerlerini getirin.
- Orana bölün.
“Kesirlerden kurtulmak” ne anlama geliyor? Peki bu neden ilk standart adımdan hem sonra hem de önce yapılabiliyor? Aslında bizim durumumuzda tüm kesirler paydalarında sayısaldır, yani. Her yerde payda sadece bir sayıdır. Dolayısıyla denklemin her iki tarafını da bu sayıyla çarparsak kesirlerden kurtuluruz.
Örnek No.1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Bu denklemdeki kesirlerden kurtulalım:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Lütfen dikkat: her şey bir kez “dört” ile çarpılır, yani. iki parantezinizin olması her birini "dört" ile çarpmanız gerektiği anlamına gelmez. Hadi yazalım:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Şimdi genişletelim:
Değişkeni ayırıyoruz:
Oyuncu kadrosunun gerçekleştirilmesi benzer terimler:
\[-4x=-1\sol| :\sol(-4 \sağ) \sağ.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Elimizde nihai karar, ikinci denkleme geçelim.
Örnek No.2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Burada aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Sorun çözüldü.
Aslında bugün sana söylemek istediğim tek şey buydu.
Önemli Noktalar
Temel bulgular şunlardır:
- Doğrusal denklemlerin çözüm algoritmasını bilir.
- Parantez açma yeteneği.
- görürseniz endişelenmeyin ikinci dereceden fonksiyonlar büyük olasılıkla, daha sonraki dönüşümler sürecinde azalacaklar.
- Doğrusal denklemlerde üç tür kök vardır, en basitleri bile: tek bir kök, sayı doğrusunun tamamı bir köktür ve hiç kökü yoktur.
Umarım bu ders, tüm matematiğin daha iyi anlaşılması için basit ama çok önemli bir konuda uzmanlaşmanıza yardımcı olur. Bir şey net değilse siteye gidin ve orada sunulan örnekleri çözün. Bizi izlemeye devam edin, daha birçok ilginç şey sizi bekliyor!
Bir doğrusal denklem sistemi, her biri k değişken içeren n tane doğrusal denklemin birleşimidir. Bu şekilde yazılmıştır:
Birçoğu, yüksek cebirle ilk kez karşılaştıklarında, yanlışlıkla denklem sayısının mutlaka değişken sayısıyla çakışması gerektiğine inanır. Okul cebirinde bu genellikle olur, ancak yüksek cebir için bu genel anlamda doğru değildir.
Bir denklem sisteminin çözümü, sistemin her denkleminin çözümü olan bir sayı dizisidir (k 1, k 2, ..., k n), yani. bu denklemde x 1, x 2, ..., x n değişkenleri yerine yerine koyarken doğru sayısal eşitliği verir.
Buna göre bir denklem sistemini çözmek, onun tüm çözümlerinin kümesini bulmak veya bu kümenin boş olduğunu kanıtlamak anlamına gelir. Denklem sayısı ile bilinmeyenlerin sayısı çakışmayabileceğinden üç durum mümkündür:
- Sistem tutarsızdır, yani. tüm çözümlerin kümesi boştur. Sistemi çözmek için hangi yöntem kullanılırsa kullanılsın kolaylıkla tespit edilen oldukça nadir bir durum.
- Sistem tutarlı ve kararlıdır, yani. tam olarak tek bir çözümü var. Klasik versiyon, okul günlerinden beri iyi biliniyor.
- Sistem tutarlı ve tanımsızdır, yani. sonsuz sayıda çözümü vardır. Bu en zor seçenektir. “Sistemin var” demek yeterli değil. sonsuz kümeçözümler” - bu setin nasıl yapılandırıldığını açıklamak gerekir.
Bir x i değişkeni, sistemin yalnızca bir denkleminde yer alıyorsa ve katsayısı 1 ise izin verilen olarak adlandırılır. Başka bir deyişle, diğer denklemlerde x i değişkeninin katsayısının sıfıra eşit olması gerekir.
Her denklemde izin verilen bir değişken seçersek, tüm denklem sistemi için izin verilen değişkenlerin bir kümesini elde ederiz. Bu formda yazılan sistemin kendisi de çözümlenmiş olarak adlandırılacaktır. Genel olarak konuşursak, bir ve aynı orijinal sistem, izin verilen farklı sistemlere indirgenebilir, ancak şimdilik bununla ilgilenmiyoruz. İzin verilen sistem örnekleri şunlardır:
Her iki sistem de x 1 , x 3 ve x 4 değişkenlerine göre çözümlenir. Ancak aynı başarı ile ikinci sistemin x 1, x 3 ve x 5'e göre çözümlendiği ileri sürülebilir. En son denklemi x 5 = x 4 formunda yeniden yazmak yeterlidir.
Şimdi daha fazlasına bakalım genel durum. Toplamda r'ye izin verilen k değişkenimiz olsun. O zaman iki durum mümkündür:
- İzin verilen değişken sayısı r, toplam k değişken sayısına eşittir: r = k. r = k izin verilen değişken olan bir k denklem sistemi elde ederiz. Böyle bir sistem ortak ve kesindir, çünkü x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
- İzin verilen değişkenlerin sayısı r daha az toplam sayı değişkenler k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.
Yani yukarıdaki sistemlerde x 2, x 5, x 6 (birinci sistem için) ve x 2, x 5 (ikinci sistem için) değişkenleri serbesttir. Serbest değişkenlerin olduğu durum bir teorem olarak daha iyi formüle edilir:
Lütfen dikkat: bu çok önemli nokta! Ortaya çıkan sistemi nasıl yazdığınıza bağlı olarak aynı değişkene izin verilebilir veya serbest olabilir. Çoğu öğretmen yüksek matematik Değişkenlerin sözlüksel sıraya göre yazılması önerilir; artan endeks. Ancak bu tavsiyeye uyma zorunluluğunuz yoktur.
Teorem. n denklemden oluşan bir sistemde x 1, x 2, ..., x r değişkenlerine izin veriliyorsa ve x r + 1, x r + 2, ..., x k serbestse, o zaman:
- Serbest değişkenlerin değerlerini (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k) ayarlayıp ardından x 1, x 2 değerlerini bulursak, ..., x r, kararlardan birini alıyoruz.
- İki çözümde serbest değişkenlerin değerleri çakışırsa, izin verilen değişkenlerin değerleri de çakışır, yani. çözümler eşittir.
Bu teoremin anlamı nedir? Çözülmüş bir denklem sisteminin tüm çözümlerini elde etmek için serbest değişkenleri izole etmek yeterlidir. Daha sonra serbest değişkenlere atama farklı anlamlar, alacağız hazır çözümler. Hepsi bu; bu şekilde sistemin tüm çözümlerini elde edebilirsiniz. Başka çözüm yok.
Sonuç: Çözülmüş denklem sistemi her zaman tutarlıdır. Çözümlenen bir sistemdeki denklem sayısı değişken sayısına eşitse sistem belirli, azsa belirsiz olacaktır.
Ve her şey yoluna girecek, ancak şu soru ortaya çıkıyor: Orijinal denklem sisteminden çözümlenmiş bir çözüm nasıl elde edilir? Bunun için var
Doğrusal bir denklem cebirsel bir denklemdir, tam derece polinomları bire eşit olan. Doğrusal denklemleri çözme - bölüm okul müfredatı ve en zoru değil. Ancak bazıları hala bu konuyu tamamlamakta zorluk çekiyor. Bu materyali okuduktan sonra sizin için tüm zorlukların geçmişte kalacağını umuyoruz. Öyleyse çözelim. doğrusal denklemler nasıl çözülür.
Genel görünüm
Doğrusal denklem şu şekilde temsil edilir:
- ax + b = 0; burada a ve b herhangi bir sayıdır.
a ve b herhangi bir sayı olabilmesine rağmen değerleri denklemin çözüm sayısını etkiler. Birkaç özel çözüm durumu vardır:
- Eğer a=b=0 ise denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır;
- a=0, b≠0 ise denklemin çözümü yoktur;
- a≠0, b=0 ise denklemin bir çözümü vardır: x = 0.
Her iki sayının da sıfırdan farklı değerlere sahip olması durumunda, değişkenin son ifadesinin elde edilebilmesi için denklemin çözülmesi gerekir.
Nasıl karar verilir?
Doğrusal bir denklemi çözmek, değişkenin neye eşit olduğunu bulmak anlamına gelir. Bu nasıl yapılır? Evet, çok basit; basit cebirsel işlemleri kullanmak ve aktarım kurallarına uymak. Denklem genel haliyle karşınıza çıkıyorsa şanslısınız;
- b'yi şuraya taşı: sağ taraf denklem, işareti değiştirmeyi unutmadan (çeviri kuralı!), dolayısıyla ax + b = 0 formundaki bir ifadeden, formun bir ifadesi elde edilmelidir: ax = -b.
- Kuralı uygulayın: Faktörlerden birini (bizim durumumuzda x -) bulmak için, çarpımı (bizim durumumuzda -b) başka bir faktöre (a - bizim durumumuzda) bölmeniz gerekir. Böylece şu şekilde bir ifade elde etmelisiniz: x = -b/a.
İşte bu; bir çözüm bulundu!
Şimdi spesifik bir örneğe bakalım:
- 2x + 4 = 0 - b'yi hareket ettir bu durumda 4, sağa
- 2x = -4 - b'yi a'ya bölün (eksi işaretini unutmayın)
- x = -4/2 = -2
İşte bu! Çözümümüz: x = -2.
Gördüğünüz gibi, tek değişkenli bir doğrusal denklemin çözümünü bulmak oldukça basittir, ancak denklemi genel haliyle bulabilecek kadar şanslıysak her şey çok basittir. Çoğu durumda, yukarıda açıklanan iki adımda bir denklemi çözmeden önce, mevcut ifadeyi genel bir forma getirmeniz gerekir. Ancak bu aynı zamanda çok da zor bir iş değildir. Örnekleri kullanarak bazı özel durumlara bakalım.
Özel durumları çözme
Öncelikle yazının başında anlattığımız durumlara bakalım ve sonsuz sayıda çözüme sahip olup çözümün olmamasının ne anlama geldiğini açıklayalım.
- Eğer a=b=0 ise denklem şu şekilde görünecektir: 0x + 0 = 0. İlk adımı uyguladığımızda şunu elde ederiz: 0x = 0. Bu saçmalık ne anlama geliyor diye haykırıyorsunuz! Sonuçta sıfırla hangi sayıyı çarparsanız çarpın, daima sıfır elde edersiniz! Sağ! Bu yüzden denklemin sonsuz sayıda çözümü olduğunu söylüyorlar; hangi sayıyı alırsanız alın eşitlik doğru olacaktır, 0x = 0 veya 0=0.
- a=0, b≠0 ise denklem şu şekilde görünecektir: 0x + 3 = 0. İlk adımı uygulayın, 0x = -3 elde ederiz. Yine saçmalık! Bu eşitliğin hiçbir zaman gerçekleşmeyeceği açıktır! Bu yüzden denklemin çözümü olmadığını söylüyorlar.
- a≠0, b=0 ise denklem şu şekilde görünecektir: 3x + 0 = 0. İlk adımı uyguladığımızda şunu elde ederiz: 3x = 0. Çözüm nedir? Kolay, x = 0.
Çeviride kayboldum
Açıklanan özel durumlar, doğrusal denklemlerin bizi şaşırtabileceği tek şey değildir. Bazen denklemi ilk bakışta tanımlamak zordur. Bir örneğe bakalım:
- 12x - 14 = 2x + 6
Bu doğrusal bir denklem mi? Sağ taraftaki sıfır ne olacak? Aceleyle sonuca varmayalım, harekete geçelim; denklemimizin tüm bileşenlerini aktaralım. sol taraf. Şunu elde ederiz:
- 12x - 2x - 14 - 6 = 0
Şimdi benzerleri benzerlerden çıkarırsak şunu elde ederiz:
- 10x - 20 = 0
Öğrendin mi? Şimdiye kadarki en doğrusal denklem! Çözüm: x = 20/10 = 2.
Peki ya şu örneğimiz varsa:
- 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)
Evet, bu da doğrusal bir denklem, yalnızca daha fazla dönüşümün yapılması gerekiyor. Öncelikle parantezleri açalım:
- (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
- 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
- 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - şimdi aktarımı gerçekleştiriyoruz:
- 25x - 4 = 0 - zaten bilinen şemayı kullanarak bir çözüm bulmaya devam ediyor:
- 25x = 4,
- x = 4/25 = 0,16
Gördüğünüz gibi her şey çözülebilir, asıl önemli olan endişelenmek değil harekete geçmektir. Unutmayın, denkleminiz yalnızca birinci dereceden değişkenleri ve sayıları içeriyorsa, başlangıçta nasıl görünürse görünsün genel bir forma indirgenip çözülebilen doğrusal bir denkleminiz olur. Umarız sizin için her şey yolunda gider! İyi şanlar!
Doğrusal denklemler. Çözüm, örnekler.
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Doğrusal denklemler.
Doğrusal denklemler en fazla değildir karmaşık konu okul matematik. Ancak burada eğitimli bir öğrenciyi bile şaşırtabilecek bazı hileler var. Hadi çözelim mi?)
Tipik olarak doğrusal bir denklem aşağıdaki formun bir denklemi olarak tanımlanır:
balta + B = 0 Nerede a ve b– herhangi bir sayı.
2x + 7 = 0. Burada a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Burada a=0,1, b=-2.3
12x + 1/2 = 0 Burada a=12, b=1/2
Karmaşık bir şey yok, değil mi? Özellikle şu kelimeleri fark etmezseniz: "burada a ve b herhangi bir sayıdır"... Ve bunu fark edip dikkatsizce düşünürseniz?) Sonuçta, eğer a=0, b=0(herhangi bir sayı mümkün mü?), o zaman komik bir ifadeyle karşılaşıyoruz:
Ama hepsi bu değil! Eğer, diyelim ki, a=0, A b=5, Bunun tamamen sıra dışı bir şey olduğu ortaya çıkıyor:
Bu sinir bozucu ve matematiğe olan güveni sarsıyor, evet...) Özellikle sınavlarda. Ancak bu tuhaf ifadelerden X'i de bulmanız gerekiyor! Bu hiç mevcut değil. Ve şaşırtıcı bir şekilde bu X'i bulmak çok kolaydır. Bunu yapmayı öğreneceğiz. Bu derste.
Doğrusal bir denklem görünümünden nasıl tanınır? Neye bağlı dış görünüş.) İşin püf noktası, yalnızca formdaki denklemlere doğrusal denklemler denilmemesidir. balta + B = 0 , aynı zamanda dönüşümler ve basitleştirmeler yoluyla bu forma indirgenebilecek tüm denklemler. Ve düşüp düşmeyeceğini kim bilebilir?)
Bazı durumlarda doğrusal bir denklem açıkça tanınabilir. Diyelim ki elimizde sadece birinci dereceye kadar bilinmeyenlerin ve sayıların olduğu bir denklem var. Ve denklemde yok kesirler bölünür bilinmiyor , bu önemli! Ve bölünerek sayı, veya sayısal bir kesir - bu hoş karşılanır! Örneğin:
Bu doğrusal bir denklemdir. Burada kesirler var ama karede, küpte vb. x yok, paydada da x yok, yani. HAYIR x'e bölme. Ve işte denklem
doğrusal olarak adlandırılamaz. Burada X'lerin hepsi birinci derecededir, ancak x ile ifadeye göre bölme. Sadeleştirmeler ve dönüşümlerden sonra doğrusal bir denklem, ikinci dereceden bir denklem veya istediğiniz herhangi bir şeyi elde edebilirsiniz.
Bazı karmaşık örneklerde doğrusal denklemi neredeyse çözene kadar tanımanın imkansız olduğu ortaya çıktı. Bu çok üzücü. Ancak ödevlerde kural olarak denklemin biçimi sorulmuyor, değil mi? Ödevler denklem istiyor karar vermek. Bu beni mutlu ediyor.)
Doğrusal denklemlerin çözümü. Örnekler.
Doğrusal denklemlerin tüm çözümü, denklemlerin özdeş dönüşümlerinden oluşur. Bu arada, bu dönüşümler (ikisi!) çözümlerin temelini oluşturuyor matematiğin tüm denklemleri. Başka bir deyişle çözüm herhangi denklem tam da bu dönüşümlerle başlar. Doğrusal denklemlerde çözüm bu dönüşümlere dayanır ve tam cevapla biter. Bağlantıyı takip etmek mantıklı değil mi?) Üstelik orada doğrusal denklem çözme örnekleri de var.
Öncelikle en basit örneğe bakalım. Hiçbir tuzak olmadan. Bu denklemi çözmemiz gerektiğini varsayalım.
x - 3 = 2 - 4x
Bu doğrusal bir denklemdir. X'lerin hepsi birinci kuvvettedir, X'lere bölünme yoktur. Ama aslında bunun nasıl bir denklem olduğu bizim için önemli değil. Bunu çözmemiz gerekiyor. Buradaki şema basittir. X olan her şeyi denklemin sol tarafında, X (sayılar) olmayan her şeyi ise sağ tarafta toplayın.
Bunu yapmak için aktarmanız gerekir - 4x giriş sol taraf elbette işaret değişikliğiyle ve - 3 - Sağa. Bu arada, bu Denklemlerin ilk özdeş dönüşümü.Şaşırmış? Bu, bağlantıyı takip etmediğiniz, ancak boşuna olduğu anlamına gelir...) Şunu elde ederiz:
x + 4x = 2 + 3
İşte benzerlerini düşünüyoruz:
Tam mutluluk için neye ihtiyacımız var? Evet, böylece solda saf bir X var! Beşi yolda. Yardımla beşten kurtulmak denklemlerin ikinci özdeş dönüşümü. Yani denklemin her iki tarafını da 5'e bölüyoruz. Hazır bir cevap alıyoruz:
Temel bir örnek elbette. Bu ısınmak için.) Burada neden aynı dönüşümleri hatırladığım çok açık değil mi? TAMAM. Boğayı boynuzlarından tutalım.) Daha sağlam bir şeye karar verelim.
Örneğin, işte denklem:
Nereden başlayacağız? X'lerle - sola mı, X'ler olmadan - sağa mı? Bu mümkün. Küçük adımlarla uzun yol. Veya bunu evrensel ve güçlü bir şekilde hemen yapabilirsiniz. Elbette cephanenizde aynı denklem dönüşümleri varsa.
Sana soruyorum anahtar soru: Bu denklemin en sevmediğiniz yanı nedir?
100 kişiden 95'i cevap verecek: kesirler ! Cevap doğru. Öyleyse onlardan kurtulalım. Bu nedenle hemen başlıyoruz ikinci kimlik dönüşümü. Paydanın tamamen azalması için soldaki kesri neyle çarpmanız gerekir? Doğru, saat 3'te. Peki sağda mı? 4'e kadar. Ama matematik her iki tarafı da çarpmamıza izin veriyor aynı numara. Nasıl dışarı çıkabiliriz? Her iki tarafı da 12 ile çarpalım! Onlar. Açık ortak payda. Sonra hem üç hem de dört azalacak. Her parçayı çarpmanız gerektiğini unutmayın tamamen. İşte ilk adım şöyle görünüyor:
Parantezleri genişletiyoruz:
Dikkat etmek! Pay (x+2) Parantez içine aldım! Bunun nedeni kesirleri çarparken payın tamamının çarpılmasıdır! Artık kesirleri azaltabilirsiniz:
Kalan parantezleri genişletin:
Örnek değil ama saf zevk!) Şimdi büyüyü hatırlayalım genç sınıfları: X ile - sola, X olmadan - sağa! Ve bu dönüşümü uygulayın:
İşte benzerlerinden bazıları:
Ve her iki parçayı da 25'e bölün, yani. ikinci dönüşümü tekrar uygulayın:
İşte bu. Cevap: X=0,16
Lütfen unutmayın: Orijinal kafa karıştırıcı denklemi güzel bir forma getirmek için iki (sadece iki!) kimlik dönüşümleri– bir denklemin işaret değişikliği ile sola-sağa çevrilmesi ve aynı sayı ile çarpma-bölme. Bu evrensel yöntem! Bu şekilde çalışacağız herhangi denklemler! Kesinlikle herhangi biri. Bu yüzden bu özdeş dönüşümleri her zaman bıkkınlıkla tekrar ediyorum.)
Gördüğünüz gibi doğrusal denklemleri çözme prensibi basittir. Denklemi alıp basitleştiriyoruz kimlik dönüşümleri bir yanıt almadan önce. Buradaki asıl problem çözüm prensibinde değil, hesaplamalardadır.
Ama... En temel doğrusal denklemleri çözme sürecinde öyle sürprizler vardır ki, sizi büyük bir şaşkınlığa sürükleyebilirler...) Neyse ki, bu türden yalnızca iki sürpriz olabilir. Bunlara özel durumlar diyelim.
Doğrusal denklemlerin çözümünde özel durumlar.
İlk sürpriz.
diyelim ki anladın en temel denklem, şunun gibi bir şey:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Biraz sıkıldık, onu X ile sola, X olmadan - sağa hareket ettiriyoruz... İşaret değişikliğiyle her şey mükemmel... Anlıyoruz:
2x-5x+3x=5-2-3
Sayıyoruz ve... ah!!! Şunu elde ederiz:
Bu eşitliğe kendi başına itiraz edilemez. Sıfır aslında sıfırdır. Ama X kayıp! Ve cevaba şunu yazmalıyız: x neye eşittir? Aksi takdirde çözüm sayılmaz, değil mi...) Çıkmaz sokak mı?
Sakinlik! Bu gibi şüpheli durumlarda en genel kurallar sizi kurtaracaktır. Denklemler nasıl çözülür? Bir denklemi çözmek ne anlama gelir? Bu şu anlama gelir, yerine konulduğunda x'in tüm değerlerini bulun orijinal denklem, bize gerçek eşitliği verecektir.
Ama gerçek eşitliğimiz var çoktan işe yaradı! 0=0, ne kadar daha doğru?! Geriye bunun hangi x'te olacağını bulmak kalıyor. X'in hangi değerleri yerine konulabilir? orijinal denklem eğer bu x'ler yine de sıfıra indirilecekler mi? Hadi?)
Evet!!! X'ler değiştirilebilir herhangi! Hangilerini istiyorsunuz? En az 5, en az 0,05, en az -220. Hala küçülecekler. Bana inanmıyorsanız kontrol edebilirsiniz.) X'in herhangi bir değerini yerine koyun orijinal denklemi kurun ve hesaplayın. Her zaman işe yarayacak saf gerçek: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 vb.
İşte cevabınız: x - herhangi bir sayı.
Cevap farklı matematiksel sembollerle yazılabilir, özü değişmez. Bu tamamen doğru ve eksiksiz bir cevaptır.
İkinci sürpriz.
Aynı temel doğrusal denklemi alalım ve içindeki yalnızca bir sayıyı değiştirelim. Buna karar vereceğiz:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Aynı özdeş dönüşümlerden sonra ilgi çekici bir şey elde ederiz:
Bunun gibi. Doğrusal bir denklem çözdük ve garip bir eşitlik elde ettik. Konuşuyorum matematik dili, elimizde sahte eşitlik. Ve konuşuyorum basit bir dille, bu doğru değil. Çılgın. Ama yine de bu saçmalık, bunun için çok iyi bir neden. doğru karar denklemler.)
Yine genel kurallara göre düşünüyoruz. Orijinal denklemde yerine konulduğunda x'ler bize ne verir? doğru eşitlik mi? Evet, hiçbiri! Böyle bir X yok. Ne koyarsanız koyun her şey azalacak, sadece saçmalık kalacak.)
İşte cevabınız: hiçbir çözüm yok.
Bu aynı zamanda tamamen eksiksiz bir cevaptır. Matematikte bu tür yanıtlara sıklıkla rastlanır.
Bunun gibi. Şimdi, umarım herhangi bir (sadece doğrusal değil) denklemin çözümü sırasında X'lerin ortadan kaybolması kafanızı hiç karıştırmaz. Bu zaten tanıdık bir konudur.)
Artık doğrusal denklemlerdeki tüm tuzakları ele aldığımıza göre, bunları çözmek mantıklı olacaktır.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
vb., diğer türdeki denklemlerle tanışmak mantıklıdır. Sıradakiler doğrusal denklemler 7. sınıfta cebir derslerinde hedeflenen çalışma başlar.
Öncelikle doğrusal denklemin ne olduğunu açıklamamız, doğrusal denklemin tanımını, katsayılarını vermemiz ve genel formunu göstermemiz gerektiği açıktır. Daha sonra katsayıların değerlerine bağlı olarak bir doğrusal denklemin kaç çözümü olduğunu ve köklerinin nasıl bulunduğunu öğrenebilirsiniz. Bu, örnekleri çözmeye devam etmenize ve böylece öğrenilen teoriyi pekiştirmenize olanak sağlayacaktır. Bu yazıda şunu yapacağız: Doğrusal denklemler ve çözümleriyle ilgili tüm teorik ve pratik noktalar üzerinde ayrıntılı olarak duracağız.
Hemen söyleyelim ki burada sadece tek değişkenli doğrusal denklemleri ele alacağız ve ayrı bir makalede çözümün ilkelerini inceleyeceğiz. iki değişkenli doğrusal denklemler.
Sayfada gezinme.
Doğrusal denklem nedir?
Doğrusal denklemin tanımı yazılış şekliyle verilir. Üstelik farklı ders kitapları Lineer denklem tanımlarının matematik ve cebir formülasyonları konunun özünü etkilemeyen bazı farklılıklara sahiptir.
Örneğin, Yu. N. Makarychev ve arkadaşlarının 7. sınıf cebir ders kitabında doğrusal bir denklem şu şekilde tanımlanır:
Tanım.
Formun denklemi ax=b x'in bir değişken, a ve b'nin ise bazı sayılar olduğu duruma ne ad verilir? tek değişkenli doğrusal denklem.
Belirtilen tanımı karşılayan doğrusal denklem örnekleri verelim. Örneğin 5 x = 10, tek değişkenli x içeren doğrusal bir denklemdir; burada a katsayısı 5 ve b sayısı 10'dur. Başka bir örnek: −2,3·y=0 da doğrusal bir denklemdir, ancak a=−2,3 ve b=0 olan y değişkenine sahiptir. Ve doğrusal denklemlerde x=−2 ve −x=3,33 a açıkça mevcut değildir ve sırasıyla 1 ve −1'e eşittir; ilk denklemde b=−2 ve ikincisinde - b=3,33.
Ve bir yıl önce, N.Ya.Vilenkin'in matematik ders kitabında, a x = b formundaki denklemlere ek olarak, bir bilinmeyenli doğrusal denklemler de terimlerin aktarılmasıyla bu forma getirilebilecek denklemler olarak kabul ediliyordu. denklemin bir kısmından diğerine karşıt işaret ve benzer terimleri azaltarak. Bu tanıma göre, 5 x = 2 x + 6 vb. formundaki denklemler. aynı zamanda doğrusal.
Buna karşılık, A. G. Mordkovich'in 7. sınıf cebir ders kitabında aşağıdaki tanım verilmiştir:
Tanım.
Tek değişkenli x ile doğrusal denklem a·x+b=0 biçiminde bir denklemdir; burada a ve b, doğrusal denklemin katsayıları olarak adlandırılan bazı sayılardır.
Örneğin, bu tür doğrusal denklemler 2 x−12=0'dır, burada a katsayısı 2'dir ve b, −12'ye eşittir ve katsayılar a=0,2 ve b =4,6 ile 0,2 y+4,6=0'dır. Ancak aynı zamanda a·x+b=0 değil, a·x=b biçiminde olan doğrusal denklem örnekleri de vardır, örneğin 3·x=12.
Gelecekte herhangi bir tutarsızlıkla karşılaşmamak için, tek değişkenli x ve katsayıları a ve b olan bir doğrusal denklem kullanarak a x + b = 0 biçiminde bir denklem anlayalım. Bu tip lineer denklem en mantıklısı gibi görünüyor çünkü lineer denklemler cebirsel denklemler birinci derece. Yukarıda bahsedilen tüm diğer denklemlerin yanı sıra aşağıdaki denklemleri kullanırız: eşdeğer dönüşümler a·x+b=0 biçimine indirgenirse şunu çağırırız: doğrusal denklemlere indirgenen denklemler. Bu yaklaşımla, 2 x+6=0 denklemi doğrusal bir denklemdir ve 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 vb. - Bunlar doğrusal olanlara indirgenen denklemlerdir.
Doğrusal denklemler nasıl çözülür?
Şimdi a·x+b=0 doğrusal denklemlerinin nasıl çözüldüğünü bulmanın zamanı geldi. Başka bir deyişle, bir doğrusal denklemin köklerinin olup olmadığını, varsa kaç tanesini ve nasıl bulunacağını öğrenmenin zamanı geldi.
Doğrusal bir denklemin köklerinin varlığı a ve b katsayılarının değerlerine bağlıdır. Bu durumda, a x+b=0 doğrusal denklemi
- a≠0 için tek kök,
- a=0 ve b≠0 için kökleri yoktur,
- a=0 ve b=0 için sonsuz sayıda kökü vardır; bu durumda her sayı bir doğrusal denklemin köküdür.
Bu sonuçların nasıl elde edildiğini açıklayalım.
Denklemleri çözmek için orijinal denklemden eşdeğer denklemlere, yani aynı kökleri olan veya orijinali gibi kökleri olmayan denklemlere geçebileceğimizi biliyoruz. Bunu yapmak için aşağıdaki eşdeğer dönüşümleri kullanabilirsiniz:
- Bir terimin denklemin bir kısmından diğerine zıt işaretle aktarılması,
- bir denklemin her iki tarafını da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak veya bölmek.
Yani, bir ile doğrusal bir denklemde formun değişkeni a x+b=0 b terimini sol taraftan şu tarafa taşıyabiliriz: sağ taraf ters işaretle. Bu durumda denklem a·x=−b formunu alacaktır.
Ve sonra denklemin her iki tarafını da a sayısına bölme sorusu ortaya çıkıyor. Ancak bir şey var: a sayısı sıfıra eşit olabilir, bu durumda böyle bir bölme mümkün değildir. Bu sorunu çözmek için öncelikle a sayısının sıfırdan farklı olduğunu varsayacağız, biraz sonra a'nın sıfıra eşit olması durumunu ayrı ayrı ele alacağız.
Yani a, sıfıra eşit olmadığında, a·x=−b denkleminin her iki tarafını da a'ya böleriz, ardından x=(−b):a formuna dönüşür, bu sonuç şöyle yazılabilir: olarak kesirli eğik çizgiyi kullanarak.
Dolayısıyla a≠0 için a·x+b=0 doğrusal denklemi, kökü görülebilen denkleme eşdeğerdir.
Bu kökün tek olduğunu, yani doğrusal denklemin başka köklerinin olmadığını göstermek kolaydır. Bu, tam tersi yöntemi yapmanızı sağlar.
Kökünü x 1 olarak gösterelim. Doğrusal denklemin x 2 ve x 2 ≠x 1 olarak gösterdiğimiz başka bir kökü olduğunu varsayalım. tanımlar eşit sayılar fark aracılığıyla x 1 −x 2 ≠0 koşuluna eşdeğerdir. x 1 ve x 2, a·x+b=0 doğrusal denkleminin kökleri olduğundan, a·x 1 +b=0 ve a·x 2 +b=0 sayısal eşitlikleri geçerlidir. Sayısal eşitliklerin özelliklerinin yapmamıza izin verdiği şekilde bu eşitliklerin karşılık gelen kısımlarını çıkarabiliriz, elimizde a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0 bulunur, buradan a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 ve sonra a·(x 1 −x 2)=0 . Ancak hem a≠0 hem de x 1 − x 2 ≠0 olduğundan bu eşitlik imkansızdır. Böylece a≠0 için a·x+b=0 doğrusal denkleminin kökünün benzersizliğini kanıtlayan bir çelişkiye geldik.
Böylece a≠0 için a·x+b=0 doğrusal denklemini çözdük. Bu paragrafın başında verilen ilk sonuç haklıdır. a=0 koşulunu karşılayan iki tane daha kaldı.
a=0 olduğunda, a·x+b=0 doğrusal denklemi 0·x+b=0 biçimini alır. Bu denklemden ve sayıları sıfırla çarpma özelliğinden, x olarak hangi sayıyı alırsak alalım, 0 x + b=0 denkleminde yerine konulduğunda b=0 sayısal eşitliğinin elde edileceği sonucu çıkar. Bu eşitlik b=0 olduğunda doğrudur, diğer durumlarda b≠0 olduğunda bu eşitlik yanlıştır.
Bu nedenle, a=0 ve b=0 ile herhangi bir sayı a·x+b=0 doğrusal denkleminin köküdür, çünkü bu koşullar altında x'in yerine herhangi bir sayı koymak doğru sayısal eşitliği 0=0 verir. Ve a=0 ve b≠0 olduğunda, a·x+b=0 doğrusal denkleminin kökleri yoktur, çünkü bu koşullar altında x yerine herhangi bir sayı koymak yanlış b=0 sayısal eşitliğine yol açar.
Verilen gerekçeler, herhangi bir doğrusal denklemi çözmemize olanak tanıyan bir dizi eylem formüle etmemize olanak tanır. Bu yüzden, doğrusal denklem çözme algoritmasışu:
- Öncelikle doğrusal denklemi yazarak a ve b katsayılarının değerlerini buluyoruz.
- Eğer a=0 ve b=0 ise bu denklemin sonsuz sayıda kökü vardır, yani her sayı bu doğrusal denklemin köküdür.
- Eğer a sıfır değilse, o zaman
- b katsayısı ters işaretle sağ tarafa aktarılır ve doğrusal denklem a·x=−b formuna dönüştürülür,
- bundan sonra ortaya çıkan denklemin her iki tarafı sıfırdan farklı bir a sayısına bölünür; bu, orijinal doğrusal denklemin istenen kökünü verir.
Yazılı algoritma, doğrusal denklemlerin nasıl çözüleceği sorusuna kapsamlı bir cevaptır.
Bu noktanın sonucu olarak, a·x=b formundaki denklemleri çözmek için benzer bir algoritmanın kullanıldığını söylemekte yarar var. Farkı, a≠0 olduğunda denklemin her iki tarafı da hemen bu sayıya bölünür; burada b zaten denklemin gerekli kısmındadır ve onu aktarmaya gerek yoktur.
a x = b formundaki denklemleri çözmek için aşağıdaki algoritma kullanılır:
- Eğer a=0 ve b=0 ise denklemin herhangi bir sayıdan oluşan sonsuz sayıda kökü vardır.
- Eğer a=0 ve b≠0 ise orijinal denklemin kökleri yoktur.
- Eğer a sıfır değilse, denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir a sayısına bölünür; buradan denklemin b/a'ya eşit tek kökü bulunur.
Doğrusal denklem çözme örnekleri
Hadi uygulamaya geçelim. Doğrusal denklemleri çözmek için algoritmanın nasıl kullanıldığına bakalım. İşte çözümler tipik örnekler, karşılık gelen farklı anlamlar Doğrusal denklemlerin katsayıları.
Örnek.
0·x−0=0 doğrusal denklemini çözün.
Çözüm.
Bu doğrusal denklemde a=0 ve b=−0 olup, b=0 ile aynıdır. Dolayısıyla bu denklemin sonsuz sayıda kökü vardır; her sayı bu denklemin köküdür.
Cevap:
x – herhangi bir sayı.
Örnek.
0 x + 2,7 = 0 doğrusal denkleminin çözümleri var mı?
Çözüm.
Bu durumda a katsayısı sıfıra eşit olup bu doğrusal denklemin b katsayısı 2,7'ye eşit yani sıfırdan farklıdır. Bu nedenle doğrusal bir denklemin kökleri yoktur.
