B12. Çöküş sırasında radyoaktif izotop kütlesi m(t) = m 0 2 -t/T yasasına göre azalır; burada m 0 (mg), izotopun başlangıç kütlesidir, t(min.) başlangıç anından itibaren geçen süredir. T(min.) - izotopun yarı ömrü. İÇİNDE başlangıç anı izotop kütlesi m 0 = 80 mg. Yarı ömür T = 3 dk. İzotopun kütlesi kaç dakika sonra 10 mg olur?
B13. Aile bir karı-koca ve onların öğrenci kızlarından oluşuyor. Kocanın maaşı iki katına çıkarsa toplam aile geliri %60 artacaktır. Kızının bursu yarıya indirilseydi ailenin toplam geliri %2 oranında azalacaktı. Kadının maaşı toplam aile gelirinin yüzde kaçını oluşturuyor?
B14. Bulmak en küçük değer[-5; aralığında y = 8x 2 - x 3 + 13 fonksiyonları; 5].
BÖLÜM 2
C1 - C6 görevlerine yönelik çözümleri ve cevapları kaydetmek için 2 numaralı cevap formunu kullanın. Önce gerçekleştirilen görevin numarasını (C1, C2 vb.), ardından gerekçeli kararın tamamını ve cevabını yazın.
C1. a) 2sin 3 x - 2sinx + cos 2 x = 0 denklemini çözün.
b) Bu denklemin [-7π/2; parçasına ait tüm köklerini bulun. -2π].
C2. E noktası ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küpünün AA 1 kenarının ortasıdır. DE ve BD 1 çizgileri arasındaki açıyı bulun.
C3. Eşitsizlik sistemini çözün
C4. İÇİNDE ABC üçgeni AA 1 ve CС 1, K ve M açıortayları çizilir - dik tabanlar B noktasından AA 1 ve CС 1 düz çizgilerine düşürülür.
a) MK = AC olduğunu kanıtlayın.
b) AC = 10, BC = 6, AB = 8 olduğu biliniyorsa KVM üçgeninin alanını bulun.
C5. Denklemin her biri için α'nın tüm değerlerini bulun
Üçten fazlası var çeşitli çözümler.
C6. Sayılar arka arkaya yazılmıştır: 1 2, 2 2 ..., (N - 1) 2, N 2. Aralarına “+” ve “-” işaretleri rastgele yerleştirilerek elde edilen toplam bulunur. Bu miktar şuna eşit olabilir mi:
a) N=12 ise 12?
b) N=70 ise 0?
c) N=48 ise 0?
d) - 3, eğer N=90 ise?
MATEMATİKTE KULLANIM TESTİ - 2014
SEÇENEK 2
BÖLÜM 1
B1 - B14 arasındaki görevlerin cevabı bir tam sayı veya sonlu bir ondalık kesir olmalıdır. Cevap, 1 numaralı cevap formunda ilk hücreden başlayarak gerçekleştirilen görev numarasının sağına yazılmalıdır. Her rakam, eksi işareti ve ondalık nokta formda verilen örneklere uygun olarak ayrı bir kutuya yazınız. Ölçü birimlerini yazmaya gerek yoktur.
B1. Perakendede haftalık "Rapor" dergisinin bir sayısı 27 ruble, bu dergiye altı aylık abonelik ise 550 ruble. Derginin altı ayda 25 sayısı yayımlanıyor. Bay Ivanov, derginin her sayısını ayrı ayrı satın almayıp abone olursa altı ayda kaç ruble tasarruf edecek?
B2. Diyagram şunu gösterir: not ortalaması 2007 yılında 4. sınıf öğrencilerinin matematik sınavına 10 ülkeden katılımcılar (10.500 puanlık bir ölçekte) katıldı.
Grafiği kullanarak ortalama puanı 495 ile 515 arasında olan ülke sayısını bulun.
B3. ABCD üçgeninin alanını bulun. Her hücrenin boyutu 1cm x 1cm'dir. Cevabınızı santimetre kare cinsinden verin.
S4. Bir grup yabancı misafir için 20 adet rehber kitap satın alınması gerekmektedir. Gerekli rehberler üç çevrimiçi mağazada bulundu. Satın alma ve teslimat şartları tabloda verilmiştir. Hangi mağazayı belirleyin toplam tutar Teslimat dahil satın almalar en düşük seviyede olacaktır. Cevabınıza en küçük miktarı ruble cinsinden yazın.
Merhaba, Sevgili arkadaşlar! Bu yazıda koninin hacmiyle ilgili birkaç probleme bakacağız. İÇİNDE son makaleçeşitli görevlerimiz var. İşin özü basit - koninin veya yarıçapın yüksekliğinin belirli bir miktarda azaltılması (arttırılması) ile ilgili bir durum var. Hacmin nasıl değiştiği sorusu gündeme geliyor.Bir kez daha koninin hacminin formülü:
Öncelikle sorunlara bakalım, ardından birkaç çözüm önerisi sunacağım.
27094. Koninin yüksekliği 3 kat azaltılırsa hacmi kaç kat azalır?
Açıkçası, yüksekliği üç kat azaltırsak hacim de üç kat azalacaktır (ilişki doğrusaldır). Resmi olarak bu şu şekilde yazılabilir:
Cevap: 3
27095. Taban yarıçapı 1,5 kat arttırılırsa koninin hacmi kaç kat artar?
Yarıçapı 1,5 kat artıralım:
Hacim 2,25 kat artacak.
Cevap: 2.25
*Yani şu sonuca varabiliriz:
Koninin tabanının yarıçapı n kat değiştirilirse (arttırılır veya azaltılırsa), hacmi buna karşılık n 2 kat artacak veya azalacaktır. Resmi girişe göz atın:
Aşağıdaki problemi ortaya koyalım.Yüksekliği 10 kat artırılırsa ve yarıçapı 4 kat azaltılırsa koninin hacmi nasıl değişir?
Koninin hacmi:
Yüksekliği 10 kat artırıp yarıçapı 4 kat azaltalım:
0,625 değeri hacmin azalacağını gösteriyor. Yani ortaya çıkan koninin hacmi orijinal koninin hacminin 0,625'i olacaktır.
Bu değişim şu şekilde de ifade edilebilir.
Orijinal koninin hacmini elde edilen koninin hacmine bölün ve azalmanın kaç kez gerçekleşeceğini belirleyin:
Yani koninin hacmi 1,6 kat azalacaktır.
Bunu söyleyebilirsiniz - ortaya çıkan koninin hacmi orijinalinden 1,6 daha azdır.
Küçük bir özet!
Gördüğünüz gibi görevler çok basit. Çözüm sürecinin özü, ortaya çıkan koninin hacmine ilişkin formülü şu forma "indirgemektir":
*Yani, ortaya çıkan hacim orijinal koninin hacmiyle ifade edilecek şekildedir.
Elbette sadece yüksekliği değiştirmekten bahsediyorsak o zaman böyle bir sorun sözlü olarak (doğrudan ilişki) çözülebilir.
Deneyiminiz varsa ikinci problem (sadece yarıçapın değiştiği yer) sözlü olarak da çözülebilir, ancak hesaplama sürecini ayrıntılı olarak yazmak daha iyidir.
Her iki miktarın da değiştirilmesinden bahsettiğimiz problemler sınavda beklenmez ancak her ihtimale karşı hazırlıklı olun.
Gelecekte, bu tür görevleri çözerken kullanımı çok uygun olan tekniği kesinlikle ele alacağız. Sadece konilerden değil diğer cisimlerden de bahsedeceğiz, kaçırmayın, haber bültenine abone olun.
Hepsi bu. Size iyi şanslar!
Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.
Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.
Bir tetrahedronun hacmi.Bu yazıda piramitlerle ilgili çeşitli görevlere bakacağız. Bildiğiniz gibi tetrahedron aynı zamanda bir piramittir. HAKKINDA tetrahedron tanımı:
Bir tetrahedron en basit polihedrondur; üçgen olan 4 yüzü vardır. Bir tetrahedronun 4 köşesi vardır, her köşeye 3 kenar yaklaşır ve toplam 6 kenarı vardır. eşkenar üçgenler doğru denir.
Bir piramidin (ve dolayısıyla bir tetrahedronun) hacmi:
S – piramidin tabanının alanı h – piramidin yüksekliği
Düzgün dört yüzlünün bir kenardaki hacmini hesaplayalım değere eşit A.
Daha sonra her yüzün alanı eşit olacaktır (içinde bu durumda ve ABC bazları):
Yüksekliğini SO hesaplayalım. düşünelim dik üçgen SOC:
*Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktasına 1'e 2 oranında bölündüğü bilinmektedir.
CM'yi hesaplayalım. Pisagor teoremine göre:
Buradan:
Böylece tetrahedronun hacmi şuna eşit olacaktır:
Aşağıda tartışılan görevlerin anlamı şudur: Piramidin tüm kenarları veya yalnızca yüksekliği birkaç kat artar. Bu durumda yüzey alanının da arttığı açıktır. Daha sonra bu artışın kaç kez gerçekleştiğini hesaplamanız gerekiyor.
1. Piramidin sadece yüksekliği artarsa ve hacmin değiştirilmesiyle ilgili bir soru varsa, bağımlılık doğrusal olduğundan piramidin başlangıç hacmi ile doğru orantılı olarak arttığı açıktır. Basitçe söylemek gerekirse, yükseklik arttıkça hacim de artar.
2. Piramidin tüm kenarlarını belirli sayıda arttırmaktan bahsediyorsak, sonucun orijinaline benzer bir piramit olduğunu ve yüzlerinin de karşılık gelen yüzlere benzer olduğunu anlamak gerekir. ortaya çıkan piramit.
Kendime izin vereceğim şu andaŞekillerin ve bedenlerin benzerliği konusunda ders kitabında ana hatlarıyla belirtilen teoriye dönmenizi öneririm. Yakın gelecekte bu konuyla ilgili kesinlikle ayrı bir makale yayınlayacağım.
Sunulan görev grubuna gelince, benzerlik özelliklerini kullanarak bu tür görevlerin pratik olarak tek bir eylemde çözüldüğünü not ediyorum.
İşte hatırlamanız ve bilmeniz gerekenler:
Yani, piramidin tüm kenarlarını k kat arttırırsak, herhangi bir yüzünün alanının orijinal karşılık gelen yüzün alanına oranı k2'ye eşit olacaktır. Doğal olarak tutum toplam alanlar bu tür piramitlerin yüzeyleri de k 2'ye eşit olacaktır.
Ve ayrıca:
Yani, piramidin tüm kenarlarını k kat arttırırsak, ortaya çıkan piramidin hacminin orijinalin hacmine oranı şuna eşit olacaktır: k3 . Görevleri ele alalım:
Düzgün bir tetrahedronun tüm kenarları on altı kat artırılırsa hacmi kaç kat artar?
Bir tetrahedron, tüm yüzleri eşkenar üçgen olan bir piramittir.
Bu piramit ile tüm kenarlarının 16 kat arttırılmasıyla elde edilen piramit benzer olacak, buna göre benzerlik katsayısı 16'ya eşit olacaktır.
Birimler benzer organlar benzerlik katsayısının küpü şeklinde ilişkilidir.Bu, daha önce de söylediğimiz gibi, ortaya çıkan piramidin hacmidir. ürüne eşit benzerlik katsayısının küpü ve orijinal piramidin hacmi:
Hacmin kaç kat artacağını belirleyelim ve hacimlerin oranını bulalım:
Yani tüm kenarlar 16 kat artırılırsa hacim 4096 kat artacaktır.
*Sorunu farklı şekilde çözebilirsiniz. Dört yüzlünün kenarını şu şekilde belirtin: A, sonra yüksekliğini ifade edin. Daha sonra formülü kullanarak piramitlerin hacimlerini belirleyin ve elde edilen hacimlerin oranını bulun. Ancak böyle bir yol mantıksız derecede uzun olacak ve çözülmesi çok daha fazla zaman gerektirecektir.
Cevap: 4096
Piramidin yüksekliği on iki kat artırılırsa hacmi kaç kat artar?
Piramidin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte birine eşittir:
S– taban alanı
H– piramidin yüksekliği
Yüksekliğin 12 kat artmasıyla piramidin hacmi de 12 kat artacaktır (bu doğrusal bir ilişkidir):
Cevap: 12
Düzenli bir tetrahedronun tüm kenarları beş kat artırılırsa yüzey alanı kaç kat artacaktır?
Bir tetrahedronun yüzey alanının, düzgün üçgen olan dört yüzünün alanlarının toplamına eşit olduğunu unutmayın.
İlk yol:
Orijinal tetrahedronun ve büyütülmüş olanın yüzey alanını belirleyelim ve ardından alanların oranını bulalım.
Dört yüzlünün kenarı eşit olsun A, o zaman yüzün alanı şuna eşit olacaktır:
*Üçgen kullandık.
Bu, orijinal tetrahedronun yüzey alanının şuna eşit olacağı anlamına gelir:
Dört yüzlünün kenarları 5 kat artırılırsa yüzey alanı şu şekilde değişecektir:
Alan oranı:
Yani bir tetrahedronun kenarları beş kat artırılırsa yüzey alanı 25 kat artacaktır.
İkinci yol:
Bir şeklin doğrusal boyutları k kat artırıldığında (azaltıldığında) buna benzer bir şekil elde edildiği; alanlarının benzerlik katsayısının karesi ile ilişkili olduğu bilinmektedir;
k – bu benzerlik katsayısıdır
Bu problemde k=5.
Yani benzerlik özelliğini kullanarak sorun sözlü olarak çözülür:
*Piramitin her yüzünün alanı 25 kat artacak, bu da tüm piramidin yüzey alanının da 25 kat artması anlamına geliyor.
Cevap: 25
27172. Piramidin tüm kenarları iki katına çıkarılırsa yüzey alanı kaç kat artar?
Bu görev öncekinden farklı değil. Bir tetrahedrondan, bir piramitten, bir küpten, bir paralelyüzlüden veya başka bir çokyüzlüden bahsetmemiz hiç fark etmez. Bütün kenarların arttığı söylenirse aynı numara kez, "yeni" gövdenin ortaya çıkan yüzleri, orijinal gövdenin karşılık gelen yüzlerine benzer olacaktır. Bu, yüzey alanının k 2 kat artacağı anlamına gelir (burada k, benzerlik katsayısıdır).
Matematikte Birleşik Devlet Sınavı testi.
Demo sürümü No. 8.
Çözüm en çok zor görevler B grubu.
B3. Paralelkenar ve dikdörtgenin kenarları aynı. Bulmak dar açı alanı dikdörtgenin alanının yarısı ise paralelkenar. Cevabınızı derece cinsinden verin.
Çözüm.
Paralelkenar alan formülü:
S= A . B. günah α, nerede A, B- paralelkenarın kenarları, sin α - aralarındaki açı.
Dikdörtgenin alanı formülü:
S= A . B, Nerede A, B- dikdörtgenin kenarları.
1) Dikdörtgenin alanını ikiye katlayın daha fazla alan kenarları eşit olan paralelkenar. Yani:
A . B = 2 (A . B. günah α).
2) α açısının sinüsünü hesaplayın:
A . B
sin α = ———— = 1/2.
2(A . B)
3) Hatırlayalım sayı dairesi: Bir açının sinüsü 1/2 ise bu açının kendisi 30°'dir. Böylece sorun çözüldü.
Cevap: 30.
B10. Jimnastik şampiyonasına 27'si Rusya'dan, 22'si ABD'den ve geri kalanı Çin'den olmak üzere 56 sporcu katılıyor. Cimnastikçilerin performans sırası kurayla belirlenir. İlk yarışan sporcunun Çinli olma olasılığını bulun.
Çözüm.
Şampiyonaya 7 Çinli jimnastikçi katılıyor (56 - 27 - 22 = 7).
Bu da Çinli bir kadının birinci olma olasılığının 56 üzerinden 7 olduğu anlamına geliyor. Bu oranı derleyip şu şekle dönüştürüyoruz: ondalık, cevap şu olacak:
7/56 = 0,125.
Cevap: 0,125.
B11. Düzgün bir tetrahedronun tüm kenarları sekiz kat artırılırsa hacmi kaç kat artar?
Çözüm.
Bir tetrahedronun hacmi için formül:
V = √2/12. A 3 nerede A- tetrahedronun kenarının uzunluğu.
Bir tetrahedronun hacminin yalnızca kenarının uzunluğuna bağlı olduğunu görüyoruz. Yani iki tetrahedronu karşılaştırırsanız farklı boyutlar, sonra ortaya çıkıyor: kaç kat daha fazla A Bir tetrahedronun 3'ü diğerine kıyasla, hacmi aynı sayıda kat daha büyüktür. Bu, sorunun basit bir şekilde çözülebileceği anlamına gelir.
İzin vermek A= 1. O zaman a 3 = 1.
Kenar uzunluğunu 8 kat arttıralım - şimdi A= 8. Bu durumda ne olacağına bakalım:
8 3 = 512.
Sonuç: Bir tetrahedronun kenarı 8 kat artırılırsa hacmi 512 kat artacaktır.
Cevap: 512.
B12. Talep hacminin bağımlılığı Q Tekelci bir işletmenin ürünleri için (aylık adet) fiyattan P(bin ruble) formülle verilir Q= 50−5P. Aylık kurumsal gelir R(bin ruble) formül kullanılarak hesaplanır R(P) = pq. En yüksek fiyatı belirleyin P, hangi ayda gelir R(P) 120 bin ruble olacak. Cevabınızı binlerce ruble olarak verin.
Çözüm.
Öncelikle problemden bildiklerimizi yazalım:
R(P) = 120,
Q= 50−5P.
Gelir formülüne R(P) = pq bu iki değeri yerine koyarız, indirimler yaparız ve elde ederiz ikinci dereceden denklem:
P(50−5P) = 120,
50P - 5P 2 = 120,
5P 2 + 50P = 120,
5P 2 + 50P - 120 = 0,
5P 2 - 50P + 120 = 0,
P 2 - 10P + 24 = 0.
İkinci dereceden denklemi çözdükten sonra iki kökünü elde ederiz:
P 1 = 4, P 2 = 6.
En yüksek fiyatı (yani iki değerden) belirlememiz gerekiyor P ikinciyi seçin: 6 (bin ruble).
Cevap: 6.
B13.İki kuru yük gemisi deniz boyunca aynı yönde paralel rotalar izliyor: birincisi 120 metre, ikincisi 80 metre uzunluğunda. İlk başta ikinci kargo gemisi birincinin gerisinde kalıyor ve bir noktada birinci kargo gemisinin kıçından ikincinin pruvasına kadar olan mesafe 400 metre oluyor. Bundan 12 dakika sonra birinci kargo gemisi ikincinin gerisinde kalıyor, böylece ikinci kargo gemisinin kıçından birincisinin pruvasına kadar olan mesafe 600 metre oluyor. Birinci kargo gemisinin hızı, ikinci kargo gemisinin hızından saatte kaç kilometre daha azdır?
Çözüm.
Anlamak önemlidir: İlki hareketsiz durmadı, ikisi de hareket etti. Hata yapmamak veya tamamlayamamak için iki kuru yük gemisini hareket halinde hayal etmek zorunludur. gereksiz eylemler bu da yanlış cevaba yol açacaktır.
1) Böylece ikinci kargo gemisi daha hızlı hareket etti ve 12 dakika içinde ilk kargo gemisini 600 metre geride bırakarak 400 metrelik gecikmeyi, ilk kargo gemisinin uzunluğunu ve kendi uzunluğuna eşit bir mesafeyi aştı. Sonuç olarak, tüm bu miktarların toplamına göre ilk kargo gemisine göre hareket etti:
80 + 400 + 120 + 600 = 1200 (m).
12 dakika - 1200 m
60 dakika — X M.
Buradan:
X= 60. 1200: 12 = 6000 m veya 6 km.
Yani ikinci kargo gemisinin hızı birinci kargo gemisinin hızından 6 km/saat daha fazladır.
Sorun çözüldü.
Cevap: 6.
