Bir kılavuz vektör uygulayalım
diyeceğim şey şu ki
. Mesafe noktadan
düz bir çizgiye vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın yüksekliğidir Ve
. Çapraz çarpımı kullanarak paralelkenarın alanını bulalım:

Diğer tarafta, . Son iki ilişkinin sağ taraflarının eşitliğinden şu sonuç çıkar:

. (3.27)

3.10. elipsoid

Tanım. elipsoid bazı koordinat sistemlerinde denklemle tanımlanan ikinci dereceden bir yüzeydir

. (3.28)

Denklem (3.28) elipsoidin kanonik denklemi olarak adlandırılır.

Denklem (3.28)'den koordinat düzlemlerinin elipsoidin simetri düzlemleri olduğu ve koordinatların kökeninin simetri merkezi olduğu sonucu çıkar. Sayılar
elipsoidin yarı eksenleri olarak adlandırılır ve orijinden elipsoidin koordinat eksenleriyle kesişim noktasına kadar olan bölümlerin uzunluklarını temsil eder. Elipsoid, paralelyüzlü bir çerçeve içine alınmış sınırlı bir yüzeydir.
,
,
.

Elipsoidin geometrik formunu oluşturalım. Bunu yapmak için koordinat eksenlerine paralel düzlemlerinin kesişme çizgilerinin şeklini bulalım.

Daha spesifik olmak gerekirse, elipsoidin düzlemlerle kesişme çizgilerini düşünün.
, düzleme paralel
. Kesişme çizgisinin bir düzleme izdüşümü için denklem
(3.28)'i içine koyarsak, elde edilir
. Bu projeksiyonun denklemi

. (3.29)

Eğer
, (3.29) hayali bir elipsin denklemi ve elipsoidin düzlemle kesişme noktalarıdır
HAYIR. Şunu takip ediyor
. Eğer
, daha sonra (3.29) doğrusu noktalara, yani düzlemlere dejenere olur
elipsoidin bazı noktalarına dokunun
Ve
. Eğer
, O
ve gösterimi tanıtabilirsiniz

,
. (3.30)

Daha sonra denklem (3.29) şu formu alır

, (3.31)

yani bir düzleme projeksiyon
elipsoid ile düzlemin kesişme çizgileri
eşitliklerle (3.30) belirlenen yarı eksenli bir elipstir. Yüzeyin koordinat düzlemlerine paralel düzlemlerle kesişme çizgisi yüksekliğe "yükseltilmiş" bir çıkıntı olduğundan ise kesişim çizgisinin kendisi bir elips olur.

Değeri azaltırken aks milleri Ve artacak ve en büyük değerine ulaşacak
, yani elipsoidin koordinat düzlemine göre bölümünde
yarı eksenli en büyük elips elde edilir
Ve
.

Elipsoid fikri başka bir şekilde elde edilebilir. Uçakta düşünün
yarı eksenli elips ailesi (3.31) Ve ilişkiler (Madde 3.30) ile tanımlanır ve aşağıdakilere bağlı olarak . Bu elipslerin her biri bir seviye çizgisidir, yani her noktada değeri olan bir çizgidir. aynısı. Bu elipslerin her birini bir yüksekliğe "yükseltmek" , elipsoidin uzaysal bir görünümünü elde ederiz.

Belirli bir yüzey koordinat düzlemlerine paralel düzlemlerle kesiştiğinde benzer bir resim elde edilir.
Ve
.

Dolayısıyla bir elipsoid kapalı bir eliptik yüzeydir. Ne zaman
Elipsoid bir küredir.

Bir elipsoidin herhangi bir düzlemle kesişme çizgisi bir elipstir, çünkü böyle bir çizgi ikinci dereceden sınırlı bir çizgidir ve ikinci dereceden tek sınırlı çizgi bir elipstir.

\(\blacktriangleright\) Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açı, doğru ile onun bu düzlem üzerindeki izdüşümü arasındaki açıdır (yani açıdır) \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).

\(\blacktriangleright\) \(a\) doğrusu ile \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\)) düzlemi arasındaki açıyı bulmak için ihtiyacınız olan:

Adım 1: \(A\in a\) noktasından \(\phi\) düzlemine dik bir \(AO\) çizin (\(O\) dikmenin tabanıdır);

Adım 2: o zaman \(BO\), eğimli \(AB\)'nin \(\phi\) düzlemine izdüşümüdür;

Adım 3: O halde \(a\) düz çizgisi ile \(\phi\) düzlemi arasındaki açı \(\angle ABO\)'ya eşittir.

Görev 1 #2850

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Düz çizgi \(l\) \(\alpha\) düzlemiyle kesişiyor. Düz çizgi üzerinde \(l\) \(AB=25\) parçası işaretlenmiştir ve bu parçanın \(\alpha\) düzlemine izdüşümünün \(24\)'e eşit olduğu bilinmektedir. Düz çizgi \(l\) ile \(\alpha\) düzlemi arasındaki açının sinüsünü bulun

Resme bakalım:

\(A_1B_1=24\) \(AB\)'nin \(\alpha\) düzlemine izdüşümü olsun, bu da \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) anlamına gelir. Düzleme dik iki doğru aynı düzlemde bulunduğundan \(A_1ABB_1\) – dikdörtgen yamuk. Hadi \(AH\perp BB_1\) yapalım. Sonra \(AH=A_1B_1=24\) . Bu nedenle, Pisagor teoremine göre \ Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açının, doğru ile onun düzleme izdüşümü arasındaki açı olduğunu, dolayısıyla istenen açının \(AB\) ile \(A_1B_1) arasındaki açı olduğunu da not ediyoruz. \). \(AH\parallel A_1B_1\) olduğundan, \(AB\) ve \(A_1B_1\) arasındaki açı, \(AB\) ve \(AH\) arasındaki açıya eşittir.
Daha sonra \[\sin\angle BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0,28.\]

Cevap: 0,28

Görev 2 #2851

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

\(ABC\) – düzgün üçgen\(3\) kenarı ile \(O\) üçgen düzleminin dışında kalan bir noktadır ve \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . Üçgenin düzlemi ile \(OA, OB, OC\) düz çizgilerinin oluşturduğu açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.

Üçgenin düzlemine dik bir \(OH\) ​​​​çizelim.

Hadi düşünelim \(\üçgen OAH, \üçgen OBH, \üçgen OCH\). Dikdörtgenlerdir ve kenar ve hipotenüsleri eşittir. Bu nedenle \(AH=BH=CH\) . Bu, \(H\)'nin \(ABC\) üçgeninin köşelerinden aynı uzaklıkta bulunan bir nokta olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak, \(H\) etrafını çevreleyen dairenin merkezidir. \(\ABC üçgeni\) doğru olduğundan, \(H\) kenarortayların kesişme noktasıdır (bunlar aynı zamanda yükseklikler ve açıortaylardır).
Bir doğru ile düzlem arasındaki açı, doğru ile onun bu düzleme izdüşümü arasındaki açı ve \(AH\), \(AO\)'nun üçgen düzlemine izdüşümü olduğuna göre, \( arasındaki açı AO\) ve üçgenin düzlemi \( \angle OAH\)'a eşittir.
\(AA_1\) \(\triangle ABC\)'deki medyan olsun, dolayısıyla, \ Medyanlar kesişme noktasına \(2:1\) oranında bölündüğü için, tepe noktasından sayılarak, \ Sonra dikdörtgenden \(\üçgen OAH\) : \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]

\(OAH, OBH, OCH\) üçgenlerinin eşitliğinden şu sonucun çıktığına dikkat edin: \(\açı OAH=\açı OBH=\açı OCH=60^\circ\).

Cevap: 60

Görev 3 #2852

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Düz çizgi \(l\) \(\pi\) düzlemine diktir. \(p\) doğrusu \(\pi\) düzleminde yer almıyor ve ona paralel değil, \(l\) doğrusuna da paralel değil. \(p\) ve \(l\) doğruları arasındaki ve \(p\) doğrusu ile \(\pi\) düzlemi arasındaki açıların toplamını bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.

Bu, \(p\) düz çizgisinin \(\pi\) düzlemini kesmesi koşulundan kaynaklanır. \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) olsun.

O halde \(\angle POL\), \(p\) ve \(l\) doğruları arasındaki açıdır.
Bir çizgi ile düzlem arasındaki açı, bir çizgi ile onun bu düzleme izdüşümü arasındaki açı olduğundan, \(\angle OPL\), \(p\) ve \(\pi\) arasındaki açıdır. \(\triangle OPL\) öğesinin \(\angle L=90^\circ\) ile dikdörtgen olduğunu unutmayın. Tutardan beri keskin köşeler dik üçgen\(90^\circ\)'a eşittir, o zaman \(\açı POL+\açı OPL=90^\circ\).

Yorum.
Eğer \(p\) doğrusu \(l\) doğrusuyla kesişmiyorsa, o zaman \(l\) ile kesişen bir \(p"\paralel p\) doğrusu çizeriz. Sonra \(p\) doğrusu arasındaki açı ) ve \(l\ ), \(p"\) ve \(l\) arasındaki açıya eşit olacaktır. Benzer şekilde, \(p\) ve \(\pi\) arasındaki açı, \(p"\) ve \(\pi\) arasındaki açıya eşit olacaktır. Ve \(p"\) düz çizgisi için önceki çözüm zaten doğru.

Cevap: 90

Görev 4 #2905

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kübik. \(N\) noktası \(BB_1\) kenarının orta noktasıdır ve \(M\) noktası \(BD\) doğru parçasının orta noktasıdır. \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) öğesini bulun; burada \(\alpha\), \(MN\) içeren çizgi ile \((A_1B_1C_1D_1)\) düzlemi arasındaki açıdır. Cevabınızı derece cinsinden verin.

\(NM\) – orta hat\(DBB_1\) üçgeninde \(NM \parallel B_1D\) ve \(\alpha\) \(B_1D\) ile \((A_1B_1C_1D_1)\) düzlemi arasındaki açıya eşittir.

\(DD_1\), \(A_1B_1C_1D_1\) düzlemine dik olduğundan, \(B_1D_1\), \(B_1D\)'nin \((A_1B_1C_1D_1)\) düzlemine ve \(B_1D\ arasındaki açıya) izdüşümüdür. ) ve \( (A_1B_1C_1D_1)\) düzlemi, \(B_1D\) ve \(B_1D_1\) arasındaki açıdır.

Küpün kenarı \(x\) olsun, sonra Pisagor teoremine göre \ \(B_1D_1D\) üçgeninde \(B_1D\) ile \(B_1D_1\) arasındaki açının tanjantı şuna eşittir: \(\mathrm(tg)\,\angle DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha\), Neresi \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).

Cevap: 0,5

Görev 5 #2906

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kübik. \(N\) noktası \(BB_1\) kenarının ortasıdır ve \(M\) noktası \(BD\) parçasını tepe noktasından sayılarak \(1:2\) oranında böler. \(B\) . \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) öğesini bulun; burada \(\alpha\), \(MN\) içeren çizgi ile \((ABC)\) düzlemi arasındaki açıdır. Cevabınızı derece cinsinden verin.

\(NB\) \(BB_1\) ve \(BB_1\perp (ABC)\) öğesinin bir parçası olduğundan, \(NB\perp (ABC)\) da öyle. Bu nedenle \(BM\), \(NM\)'nin \((ABC)\) düzlemine izdüşümüdür. Bu, \(\alpha\) açısının \(\angle NMB\) değerine eşit olduğu anlamına gelir.

Küpün kenarı \(x\)'e eşit olsun. Sonra \(NB=0,5x\) . Pisagor teoremine göre \(BD=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2x\) . Koşul gereği \(BM:MD=1:2\) , o zaman \(BM=\frac13BD\) , dolayısıyla \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .

Sonra dikdörtgen \(\üçgen NBM\)'den: \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg)^2\,\alpha=8.\]

Cevap: 8

Görev 6 #2907

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Eğer \(\alpha\) küpün köşegeninin yüzlerinden birine olan eğim açısı ise \(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\) neye eşittir?

İstenilen açı, küpün köşegeni ile herhangi bir yüzünün köşegeni arasındaki açıyla çakışacaktır, çünkü V bu durumda küpün köşegeni eğimli olacak, yüzün köşegeni bu eğimli yüzün düzleme izdüşümü olacaktır. Böylece istenen açı örneğin \(C_1AC\) açısına eşit olacaktır. Küpün kenarını \(x\) olarak gösterirsek, o zaman \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\), ardından istenen açının kotanjantının karesi: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]

Cevap: 2

Görev 7 #2849

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

\(\angle BAH=\angle CAH=30^\circ\) .
Pisagor teoremine göre \ Buradan, \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\]\(OH\perp (ABC)\) olduğundan, \(OH\) ​​​​bu düzlemden gelen herhangi bir düz çizgiye diktir, bu da \(\üçgen OAH\)'ın dikdörtgen olduğu anlamına gelir. Daha sonra \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0.4.\]

Cevap: 0,4

Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlanan lise öğrencilerinin, düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulmaları gereken “Uzayda Geometri” bölümündeki görevlerle nasıl başa çıkacaklarını öğrenmeleri faydalı olacaktır. Geçmiş deneyimler gösteriyor ki benzer görevler mezunlar için bazı zorluklara neden olmaktadır. Aynı zamanda bil temel teori ve herhangi bir eğitim seviyesindeki lise öğrencileri, düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının nasıl bulunacağını anlamalıdır. Ancak bu durumda makul puanlar alacaklarına güvenebilirler.

Ana nüanslar

Diğer stereometrik gibi Birleşik Devlet Sınavı görevleri Düz çizgiler ve düzlemler arasındaki açıları ve mesafeleri bulmanız gereken görevler iki yöntemle çözülebilir: geometrik ve cebirsel. Öğrenciler kendilerine en uygun olan seçeneği seçebilirler. Buna göre geometrik yöntem Doğru üzerinde uygun bir nokta bulmanız, oradan düzleme bir dik bırakmanız ve bir çıkıntı oluşturmanız gerekir. Bundan sonra mezun sadece temel bilgileri uygulamak zorunda kalacak. teorik bilgi ve açının hesaplanmasına ilişkin planimetrik problemi çözün. Cebirsel yöntemİstenilen miktarı bulmak için bir koordinat sisteminin tanıtılmasını içerir. Düz bir çizgi üzerindeki iki noktanın koordinatlarını belirlemek, düzlemin denklemini doğru bir şekilde oluşturmak ve çözmek gerekir.

Shkolkovo ile etkili hazırlık

Dersleri kolay ve eşit hale getirmek için zor görevler herhangi bir zorluk yaratmadı, bizi seçin eğitim portalı. Hepsi burada sunulmaktadır gerekli malzemeİçin başarılı tamamlama sertifika testi. Doğru olan temel bilgiler“Teorik bilgiler” bölümünde bulacaksınız. Görevleri tamamlama pratiği yapmak için matematik portalımızdaki “Katalog”a gitmeniz yeterli. Bu bölüm çok çeşitli alıştırmalar içerir değişen dereceler zorluklar. Katalogda düzenli olarak yeni görevler görünür.

Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı bulma veya üzerinde görevler gerçekleştirme, Rus okul çocukları Moskova'da veya başka bir şehirdeyken çevrimiçi olabilir. Öğrenci dilerse herhangi bir alıştırmayı “Favoriler”e kaydedebilir. Bu, gerekirse onu hızlı bir şekilde bulmanızı ve çözümünün ilerleyişini öğretmenle tartışmanızı sağlayacaktır.

UÇAKLAR ARASI AÇI

Sırasıyla denklemlerle tanımlanan iki α 1 ve α 2 düzlemini düşünün:

Altında açı iki düzlem arasında bu düzlemlerin oluşturduğu dihedral açılardan birini anlayacağız. Normal vektörler ile a1 ve a2 düzlemleri arasındaki açının, belirtilen bitişik dihedral açılardan birine eşit olduğu açıktır veya . Bu yüzden . Çünkü Ve , O

.

Örnek. Düzlemler arasındaki açıyı belirleyin X+2sen-3z+4=0 ve 2 X+3sen+z+8=0.

İki düzlemin paralellik koşulu.

İki α 1 ve α 2 düzlemi ancak ve ancak normal vektörleri paralelse paraleldir ve bu nedenle .

Dolayısıyla, iki düzlem ancak ve ancak karşılık gelen koordinatların katsayıları orantılıysa birbirine paraleldir:

veya

Düzlemlerin diklik durumu.

İki düzlemin dik olduğu ancak ve ancak normal vektörlerinin dik olması durumunda açıktır ve bu nedenle veya .

Böylece, .

Örnekler.

DÜZ UZAYDA.

BİR DOĞRU İÇİN VEKTÖR DENKLEMİ.

PARAMETRİK DİREKT DENKLEMLER

Bir çizginin uzaydaki konumu tamamen sabit noktalarından herhangi birinin belirtilmesiyle belirlenir. M 1 ve bu doğruya paralel bir vektör.

Bir doğruya paralel olan vektöre denir kılavuzlar bu çizginin vektörü.

Öyleyse düz çizgiye izin ver ben bir noktadan geçer M 1 (X 1 , sen 1 , z 1), vektöre paralel bir çizgi üzerinde uzanıyor.

Hadi düşünelim keyfi nokta M(x,y,z) düz bir çizgide. Şekilden bunu açıkça görüyoruz.

Vektörler ve doğrusaldır, dolayısıyla böyle bir sayı vardır Tçarpan nerede T herhangi birini kabul edebilir Sayısal değer noktanın konumuna bağlı olarak M düz bir çizgide. Faktör T parametre denir. Noktaların yarıçap vektörlerini belirledikten sonra M 1 ve M sırasıyla ve yoluyla elde ederiz. Bu denklem denir vektör bir doğrunun denklemi. Her parametre değeri için şunu gösterir: T bir noktanın yarıçap vektörüne karşılık gelir M, düz bir çizgi üzerinde uzanmak.

Bu denklemi koordinat formunda yazalım. Bunu unutmayın ve buradan

Ortaya çıkan denklemlere denir parametrik Doğrunun denklemleri.

Bir parametreyi değiştirirken T koordinat değişimi X, sen Ve z ve dönem M düz bir çizgide hareket eder.

DOĞRUDAN KANONİK DENKLEMLER

İzin vermek M 1 (X 1 , sen 1 , z 1) – düz bir çizgi üzerinde uzanan bir nokta ben, Ve onun yön vektörüdür. Yine doğru üzerinde keyfi bir nokta alalım M(x,y,z) ve vektörü düşünün.

Vektörlerin aynı zamanda doğrusal olduğu açıktır, bu nedenle karşılık gelen koordinatları orantılı olmalıdır, bu nedenle,

– kanonik Doğrunun denklemleri.

Not 1. Doğrunun kanonik denklemlerinin, parametreyi ortadan kaldırarak parametrik olanlardan elde edilebileceğini unutmayın. T. Aslında elde ettiğimiz parametrik denklemlerden veya .

Örnek. Doğrunun denklemini yazın parametrik formda.

Haydi belirtelim , buradan X = 2 + 3T, sen = –1 + 2T, z = 1 –T.

Not 2. Doğrunun aşağıdakilerden birine dik olmasına izin verin koordinat eksenleriörneğin eksenler Öküz. O zaman doğrunun yön vektörü diktir Öküz, buradan, M=0. Sonuç olarak, doğrunun parametrik denklemleri şu şekli alacaktır:

Parametrenin denklemlerden hariç tutulması T, formdaki çizginin denklemlerini elde ederiz

Ancak bu durumda da doğrunun kanonik denklemlerini resmi olarak şu şekilde yazmayı kabul ediyoruz: . Dolayısıyla kesirlerden birinin paydası sıfırsa bu, düz çizginin karşılık gelen koordinat eksenine dik olduğu anlamına gelir.

Aynı şekilde, kanonik denklemler eksenlere dik bir düz çizgiye karşılık gelir Öküz Ve Oy veya eksene paralel Oz.

Örnekler.

İKİ DÜZLEMİN KESİŞTİĞİ DOĞRU OLARAK GENEL DENKLEMLER

Uzaydaki her düz çizgide sayısız uçak vardır. Bunlardan herhangi ikisi kesişerek onu uzayda tanımlar. Sonuç olarak, böyle herhangi iki düzlemin denklemleri birlikte ele alındığında bu doğrunun denklemlerini temsil eder.

Genel olarak herhangi ikisi değildir paralel düzlemler, genel denklemlerle verilir

kesişimlerinin düz çizgisini belirleyin. Bu denklemlere denir genel denklemler dümdüz.

Örnekler.

Denklemlerin verdiği bir doğruyu oluşturun

Düz bir çizgi çizmek için onun herhangi iki noktasını bulmak yeterlidir. En kolay yol, çizginin kesişme noktalarını seçmektir. koordinat düzlemleri. Örneğin düzlemle kesişme noktası xOy varsayarsak, düz çizgi denklemlerinden elde ederiz z= 0:

Bu sistemi çözdükten sonra noktayı buluyoruz M 1 (1;2;0).

Benzer şekilde, varsayarsak sen= 0, doğrunun düzlemle kesişme noktasını buluruz xOz:

Doğrunun genel denklemlerinden kanonik veya parametrik denklemler. Bunu yapmak için bir nokta bulmanız gerekir M 1 düz bir çizgi üzerinde ve bir düz çizginin yön vektörü.

Nokta koordinatları M 1'i bu denklem sisteminden, koordinatlardan birine keyfi bir değer vererek elde ediyoruz. Yön vektörünü bulmak için bu vektörün her iki normal vektöre de dik olması gerektiğini unutmayın. Ve . Bu nedenle düz çizginin yön vektörünün ötesinde ben alabilirsin vektör çarpımı normal vektörler:

.

Örnek. Yol göstermek genel denklemler dümdüz kanonik forma.

Bir doğrunun üzerinde bulunan bir nokta bulalım. Bunu yapmak için keyfi olarak koordinatlardan birini seçiyoruz, örneğin, sen= 0 ve denklem sistemini çözün:

Doğruyu tanımlayan düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları vardır Bu nedenle yön vektörü düz olacaktır

. Buradan, ben: .

DÜZLER ARASINDAKİ AÇI

Açı uzaydaki düz çizgiler arasında, verilere paralel rastgele bir noktadan çizilen iki düz çizginin oluşturduğu bitişik açılardan herhangi birine diyeceğiz.

Uzayda iki satır verilsin:

Açıkçası, düz çizgiler arasındaki φ açısı, bunların yön vektörleri ile φ arasındaki açı olarak alınabilir. O zamandan beri, vektörler arasındaki açının kosinüsü formülünü kullanarak şunu elde ederiz: