Introducción................................................. ....................................................... ............. ....... 2

Capítulo I. Aspectos teóricos generales del estudio. material algebraico en la escuela primaria................................................. ......................................... ................ ................ 7

1.1 Experiencia de introducción de elementos de álgebra en la escuela primaria................................. 7

1.2 Fundamentos psicológicos introducción de conceptos algebraicos

en la escuela primaria................................................. .......................................... 12

1.3 El problema del origen de los conceptos algebraicos y su significado.

para construir un sujeto educativo................................................ ............ ....... 20

2.1 El aprendizaje en la escuela primaria desde la perspectiva de las necesidades

escuela secundaria................................................ ........................................................ 33

2.1 Comparación (contraste) de conceptos en lecciones de matemáticas.... 38

2.3 Estudio conjunto de suma y resta, multiplicación y división 48

Capítulo III. Práctica del estudio de material algebraico en lecciones de matemáticas en escuela primaria Escuela secundaria n.° 4 en Rylsk................................. 55

3.1 Justificación del uso tecnologías innovadoras(tecnologías

consolidación de unidades didácticas)................................................. ...... 55

3.2 Sobre la experiencia de familiarización con conceptos algebraicos en el grado I.... 61

3.3 Aprender a resolver problemas relacionados con el movimiento de los cuerpos................................. 72

Conclusión................................................. ................................................. ...... .76

Bibliografía.......................................................................... 79

Introducción

En cualquier momento sistema moderno Las matemáticas de educación general son una de las lugares centrales, lo que sin duda indica la singularidad de esta área del conocimiento.

¿Qué son las matemáticas modernas? ¿Por qué es necesario? Los niños suelen hacer estas y otras preguntas similares a los profesores. Y cada vez la respuesta será diferente dependiendo del nivel de desarrollo del niño y de su necesidades educativas.

Se suele decir que las matemáticas son el lenguaje de la ciencia moderna. Sin embargo, parece haber un error importante en esta afirmación. El lenguaje de las matemáticas está tan extendido y a menudo es eficaz precisamente porque las matemáticas no pueden reducirse a él.

El destacado matemático ruso A.N. Kolmogorov escribió: “Las matemáticas no son sólo uno de los lenguajes. Las matemáticas son el lenguaje más el razonamiento, es como el lenguaje y la lógica juntos, es una herramienta para pensar. Concentra los resultados del pensamiento exacto de muchas personas. conectar un razonamiento con otro... Las obvias complejidades de la naturaleza con sus extrañas leyes y reglas, cada una de las cuales permite una muy diferente explicación detallada, de hecho están estrechamente relacionados. Sin embargo, si no quieres utilizar las matemáticas, entonces en esta enorme variedad de hechos no verás que la lógica te permite pasar de uno a otro" (p. 44).

Así, las matemáticas nos permiten formar ciertas formas de pensamiento necesarias para estudiar el mundo que nos rodea.

Actualmente, se hace cada vez más evidente la desproporción entre el grado de nuestro conocimiento de la naturaleza y nuestra comprensión del hombre, su psique y sus procesos de pensamiento. W. W. Sawyer en el libro “Preludio a las Matemáticas” (p. 7) señala: “Podemos enseñar a los estudiantes a resolver muchos tipos de problemas, pero la verdadera satisfacción sólo llegará cuando seamos capaces de impartir a nuestros estudiantes no sólo conocimientos, sino también flexibilidad. mental ", lo que les daría la oportunidad en el futuro no sólo de resolver de forma independiente, sino también de plantearse nuevas tareas.

Por supuesto, aquí existen ciertos límites que no deben olvidarse: mucho está determinado por las habilidades y el talento innatos. Sin embargo, podemos observar toda una serie de factores que dependen de la educación y la crianza. Esto hace que sea extremadamente importante evaluar correctamente el enorme potencial desaprovechado de la educación en general y de la educación matemática en particular.

En los últimos años ha habido una tendencia constante de penetración métodos matemáticos en ciencias como la historia, la filología, sin mencionar la lingüística y la psicología. Por tanto, el círculo de personas que en su posterior actividad profesional Quizás apliquen las matemáticas, expandiéndose.

Nuestro sistema educativo está diseñado de tal manera que para muchos, la escuela brinda la única oportunidad en la vida de unirse a una cultura matemática y dominar los valores contenidos en las matemáticas.

¿Cuál es la influencia de las matemáticas en general y matematicas escolares en particular para la educación personalidad creativa? Enseñar el arte de resolver problemas en las lecciones de matemáticas nos brinda una oportunidad extremadamente favorable para desarrollar una determinada mentalidad en los estudiantes. Necesidad actividades de investigación desarrolla interés en los patrones, enseña a ver la belleza y la armonía del pensamiento humano. Todo esto es en nuestra opinión. el elemento más importante cultura general. El curso de matemáticas tiene una influencia importante en la formación. varias formas pensamiento: lógico, espacial-geométrico, algorítmico. Cualquier proceso creativo Comienza con la formulación de una hipótesis. Las matemáticas, con la adecuada organización de la formación, siendo una buena escuela para construir y probar hipótesis, enseñan comparación. varias hipótesis, encuentre la mejor opción, establezca nuevas tareas, busque formas de resolverlas. Entre otras cosas, también desarrolla el hábito del trabajo metódico, sin el cual no es concebible ningún proceso creativo. Al maximizar las posibilidades del pensamiento humano, las matemáticas son su mayor logro. Ayuda a una persona a comprenderse a sí misma y formar su carácter.

esto es un poco de gran lista razones por las que el conocimiento matemático debería convertirse en una parte integral de la cultura general y elemento obligatorio en la crianza y educación de un niño.

El curso de matemáticas (sin geometría) en nuestra escuela de 10 años se divide en realidad en tres partes principales: aritmética (grados I - V), álgebra (grados VI - VIII grados) y elementos de análisis (grados IX - X). ¿Cuál es la base de tal división?

Por supuesto, cada una de estas partes tiene su propia "tecnología" especial. Entonces, en aritmética se asocia, por ejemplo, con cálculos realizados en números de varios dígitos, en álgebra - con transformaciones idénticas, logaritmo, en análisis - con diferenciación, etc. Pero ¿cuáles son las razones más profundas asociadas con el contenido conceptual de cada parte?

Siguiente pregunta se refiere a la base para distinguir entre aritmética y álgebra escolar (es decir, la primera y segunda parte del curso). La aritmética incluye el estudio de los números naturales (enteros positivos) y fracciones (primos y decimales). Sin embargo análisis especial muestra que la combinación de estos tipos de números en una materia escolar es ilegal.

El caso es que estos números tienen diferentes funciones: los primeros están asociados con contar objetos, los segundos con medir cantidades. Esta circunstancia es muy importante para comprender el hecho de que los números fraccionarios (racionales) son sólo un caso especial de los números reales.

Desde el punto de vista de la medición de cantidades, como señala A.N. Kolmogorov, “no existe una diferencia tan profunda entre los números reales racionales e irracionales. Por razones pedagógicas, se detienen durante mucho tiempo en los números racionales, ya que son fáciles de escribir en forma de fracciones, sin embargo, el uso que se les da; desde el principio debería conducir inmediatamente a números reales en su totalidad" (), p. 9).

UN. Kolmogorov consideró justificada tanto desde el punto de vista de la historia del desarrollo de las matemáticas como esencialmente la propuesta de A. Lebesgue de pasar en la enseñanza después de los números naturales directamente al origen y la naturaleza lógica de los números reales. Al mismo tiempo, como señaló A.N. Kolmogorov, “el enfoque de la construcción de números racionales y reales desde el punto de vista de la medición de cantidades no es menos científico que, por ejemplo, la introducción de números racionales en forma de “pares” para la escuela tiene un valor indudable. ventaja” (pág. 10).

entonces hay verdadera oportunidad sobre la base de los números naturales (enteros), forme inmediatamente el “concepto más general de número” (en la terminología de A. Lebesgue), el concepto de número real. Pero desde el punto de vista de la construcción del programa, esto significa ni más ni menos que la eliminación de la aritmética de fracciones en su interpretación escolar. La transición de números enteros a números reales es una transición de la aritmética al "álgebra", a la creación de una base para el análisis.

Estas ideas, expresadas hace más de 20 años, siguen siendo vigentes hoy. ¿Es posible cambiar la estructura de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria en esta dirección? ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de la “algebraización”? educacion primaria¿matemáticas? El propósito de este trabajo es intentar dar respuestas a las preguntas planteadas.

La realización de este objetivo requiere resolver las siguientes tareas:

Consideración de aspectos teóricos generales de la introducción de conceptos algebraicos de magnitud y número en la escuela primaria. Esta tarea se plantea en el primer capítulo de la obra;

Estudio de métodos específicos para la enseñanza de estos conceptos en la escuela primaria. Aquí, en particular, se pretende considerar la denominada teoría de la ampliación de unidades didácticas (UDE), que se comentará a continuación;

Mostrar la aplicabilidad práctica de las disposiciones bajo consideración sobre lecciones escolares matemáticas en la escuela primaria (las lecciones fueron impartidas por el autor en escuela secundaria Nº 4 Rylsk). A ello está dedicado el tercer capítulo de la obra.

En relación con la bibliografía dedicada a este problema, se puede señalar lo siguiente. A pesar de que en últimamente cantidad total publicado literatura metodológica en matemáticas es sumamente insignificante; no faltó información a la hora de redactar el trabajo. De hecho, desde 1960 (el momento en que se planteó el problema) hasta 1990. En nuestro país se ha publicado una gran cantidad de literatura educativa, científica y metodológica que, en un grado u otro, aborda el problema de la introducción de conceptos algebraicos en los cursos de matemáticas para escuela primaria. Además, estas cuestiones se tratan periódicamente en revistas especializadas. Así, a la hora de redactar el trabajo se utilizaron en gran medida publicaciones en las revistas “Pedagogía”, “Enseñanza de las matemáticas en la escuela” y “Escuela primaria”.

Capítulo I. Aspectos teóricos generales del estudio de material algebraico en la escuela primaria 1.1 Experiencia en la introducción de los elementos del álgebra en la escuela primaria

El contenido de una materia académica, como se sabe, depende de muchos factores: de las exigencias de la vida sobre los conocimientos de los estudiantes, del nivel de las ciencias pertinentes, de las capacidades mentales y físicas de los niños, etc. La correcta consideración de estos factores es una condición esencial para la mayoría aprendizaje efectivo escolares, ampliando sus capacidades cognitivas. Pero a veces esta condición no se cumple por una razón u otra. En este caso, la enseñanza no produce el efecto deseado en términos de dominio del círculo por parte de los niños. conocimientos necesarios, y en relación con el desarrollo de su inteligencia.

Parece que en la actualidad los programas de enseñanza de algunas materias académicas, en particular las matemáticas, no se corresponden con las nuevas exigencias de la vida, el nivel de desarrollo de las ciencias modernas (por ejemplo, las matemáticas) y los nuevos datos. psicología del desarrollo y lógica. Esta circunstancia dicta la necesidad de realizar pruebas teóricas y experimentales integrales de posibles proyectos de nuevos contenidos de las materias educativas.

Base conocimiento matemático comienza en la escuela primaria. Pero, lamentablemente, tanto los propios matemáticos como los metodólogos y psicólogos prestan muy poca atención al contenido. matemáticas elementales. Baste decir que el programa de matemáticas en la escuela primaria (grados I a IV) en sus características principales se formó hace 50 a 60 años y refleja naturalmente el sistema de ideas matemáticas, metodológicas y psicológicas de esa época.

consideremos rasgos característicos estándar estatal en matemáticas en la escuela primaria. Su contenido principal son los números enteros y las operaciones sobre ellos, estudiados en una secuencia determinada. Primero, se estudian cuatro operaciones en el límite de 10 y 20, luego, cálculos orales en el límite de 100, cálculos orales y escritos en el límite de 1000 y, finalmente, en el límite de millones y miles de millones. En el grado IV se estudian algunas relaciones entre datos y resultados. operaciones aritméticas, así como fracciones simples. Junto a esto, el programa implica estudiar medidas métricas y medidas de tiempo, dominar la capacidad de usarlos para medir, conocer algunos elementos de la geometría visual: dibujar un rectángulo y un cuadrado, medir segmentos, áreas de un rectángulo y un cuadrado, calcular volúmenes.

Los estudiantes deben aplicar los conocimientos y habilidades adquiridos para resolver problemas y realizar cálculos simples. A lo largo del curso, la resolución de problemas se lleva a cabo en paralelo con el estudio de números y operaciones; para ello se dedica la mitad del tiempo correspondiente. Resolver problemas ayuda a los estudiantes a comprender significado específico acciones, comprender los distintos casos de su aplicación, establecer la relación entre cantidades y adquirir habilidades básicas de análisis y síntesis. Desde el grado I al IV, los niños resuelven los siguientes tipos principales de problemas (simples y compuestos): encontrar la suma y el resto, producto y cociente, aumentar y disminuir números dados, diferencia y comparación múltiple, simple regla de tres, sobre división proporcional, sobre cómo encontrar una incógnita por dos diferencias, sobre cómo calcular la media aritmética y algunos otros tipos de problemas.

Los niños encuentran diferentes tipos de dependencias cuantitativas al resolver problemas. Pero es muy típico que los estudiantes comiencen a resolver problemas después y mientras estudian los números; Lo principal que se requiere al resolver es encontrar una respuesta numérica. niños con con gran dificultad Identificar las propiedades de relaciones cuantitativas en situaciones específicas y particulares, que se consideran problemas aritméticos. La práctica demuestra que la manipulación de números a menudo reemplaza el análisis real de las condiciones del problema desde el punto de vista de las dependencias de las cantidades reales. Además, los problemas presentados en los libros de texto no representan un sistema en el que situaciones más “complejas” estarían asociadas con capas “más profundas” de relaciones cuantitativas. Se pueden encontrar problemas de la misma dificultad tanto al principio como al final del libro de texto. Varían de una sección a otra y de una clase a otra en términos de la complejidad de la trama (el número de acciones aumenta), el rango de los números (de diez a mil millones), la complejidad de las dependencias físicas (desde problemas de distribución hasta problemas de movimiento). problemas) y otros parámetros. Sólo un parámetro, la profundización en el propio sistema de leyes matemáticas, se manifiesta débil e indistintamente en ellos. Por tanto, es muy difícil establecer un criterio para la dificultad matemática de un problema particular. ¿Por qué surgen problemas para encontrar una incógnita usando dos diferencias y encontrar la media aritmética (grado III)? tareas más difíciles para diferencia y comparación múltiple (Clase II)? La metodología no proporciona una respuesta lógica y convincente a esta pregunta.

Así, los estudiantes clases primarias no reciben un conocimiento adecuado y completo sobre las dependencias de cantidades y propiedades generales ah cantidades ni al estudiar los elementos de la teoría de números, porque en el curso escolar se asocian principalmente con la técnica de cálculo, ni al resolver problemas, porque estos últimos no tienen la forma correspondiente y no cuentan con el sistema requerido. Los intentos de los metodólogos por mejorar los métodos de enseñanza, aunque conducen a éxitos parciales, no cambian la situación general, ya que están limitados de antemano por el marco de los contenidos aceptados.

Parece que el análisis crítico del programa aritmético adoptado debería basarse en las siguientes disposiciones:

El concepto de número no es idéntico al concepto de características cuantitativas de los objetos;

El número no es la forma original de expresar relaciones cuantitativas.

Proporcionemos la justificación de estas disposiciones.

Es bien sabido que las matemáticas modernas (en particular, el álgebra) estudian aspectos de las relaciones cuantitativas que no tienen una capa numérica. También es bien sabido que algunas relaciones cuantitativas son bastante expresables sin números y antes de números, por ejemplo, en segmentos, volúmenes, etc. (relación “más”, “menos”, “igual”). Presentación del general original. conceptos matemáticos V directrices modernas llevado a cabo en tal simbolismo que no implica necesariamente la expresión de objetos mediante números. Entonces, en el libro de E.G. En la "Aritmética teórica" de Gonin, los objetos matemáticos básicos se indican desde el principio con letras y signos especiales(, págs. 12 – 15). Es característico que ciertos tipos de números y dependencias numéricas se dan sólo como ejemplos, ilustraciones de las propiedades de los conjuntos, y no como sus únicas y únicas posibles. forma existente expresiones. Además, es digno de mención que muchas ilustraciones de definiciones matemáticas individuales se dan en forma gráfica, a través de la proporción de segmentos, áreas (, págs. 14-19). Todas las propiedades básicas de conjuntos y cantidades pueden deducirse y justificarse sin involucrar sistemas numéricos; Además, estos últimos se justifican sobre la base de conceptos matemáticos generales.

A su vez, numerosas observaciones de psicólogos y profesores muestran que las ideas cuantitativas surgen en los niños mucho antes de que adquieran conocimientos sobre los números y cómo utilizarlos. Es cierto que existe una tendencia a clasificar estas ideas como "formaciones prematemáticas" (lo cual es bastante natural para los métodos tradicionales que identifican las características cuantitativas de un objeto con un número), pero esto no cambia su función esencial en el conocimiento general del niño. Orientación en las propiedades de las cosas. Y a veces sucede que la profundidad de estas supuestas "formaciones prematemáticas" es más importante para el desarrollo del propio pensamiento matemático del niño que el conocimiento de las complejidades de la tecnología informática y la capacidad de encontrar dependencias puramente numéricas. Es de destacar que el académico UN. Kolmogorov, al caracterizar las características de la creatividad matemática, señala especialmente la siguiente circunstancia: “La base de la mayoría de los descubrimientos matemáticos es una idea simple: visual construcción geométrica, nueva desigualdad elemental, etc. Sólo necesitas aplicar esto correctamente. idea sencilla para resolver un problema que a primera vista parece inaccesible" (, p. 17).

En la actualidad, son apropiadas una variedad de ideas sobre la estructura y las formas de construir un nuevo programa. En el trabajo de su construcción es necesario involucrar a matemáticos, psicólogos, lógicos y metodólogos. Pero en todas sus variantes específicas, parece tener que cumplir los siguientes requisitos básicos:

Superar la brecha existente entre el contenido de matemáticas en las escuelas primarias y secundarias;

Proporcionar un sistema de conocimiento sobre las leyes básicas de las relaciones cuantitativas del mundo objetivo; en este caso, las propiedades de los números, como forma especial de expresar cantidades, deberían convertirse en una sección especial, pero no principal, del programa;

Inculcar en los niños los métodos del pensamiento matemático, y no solo las habilidades de cálculo: se trata de construir un sistema de problemas basado en profundizar en la esfera de las dependencias de las cantidades reales (la conexión de las matemáticas con la física, la química, la biología y otras ciencias que estudian específicas cantidades);

Simplifique decisivamente todas las técnicas de cálculo, minimizando el trabajo que no se puede realizar sin tablas, libros de referencia y otros medios auxiliares (en particular, electrónicos) adecuados.

El significado de estos requisitos es claro: en la escuela primaria es muy posible enseñar matemáticas como ciencia sobre las leyes de las relaciones cuantitativas, sobre las dependencias de las cantidades; Las técnicas informáticas y los elementos de la teoría de números deberían convertirse en una sección especial y privada del programa.

La experiencia de construcción de un nuevo programa de matemáticas y sus pruebas experimentales, llevadas a cabo desde finales de la década de 1960, permiten ahora hablar de la posibilidad de introducir un curso sistemático de matemáticas en la escuela a partir del primer grado, proporcionando conocimientos sobre relaciones y dependencias cuantitativas. de cantidades en forma algebraica.

1.2 Fundamentos psicológicos para la introducción de conceptos algebraicos en la escuela primaria.

Recientemente, en la modernización de los programas se ha concedido especial importancia a sentar las bases teóricas de conjuntos para el curso escolar (esta tendencia se manifiesta claramente tanto aquí como en el extranjero). La implementación de esta tendencia en la enseñanza (especialmente en los grados elementales, como se observa, por ejemplo, en una escuela estadounidense) planteará inevitablemente una serie de problemas. preguntas dificiles frente a la guardería y psicología educativa y antes que la didáctica, porque ahora casi no existen estudios que revelen las características de la asimilación por parte del niño del significado del concepto de conjunto (a diferencia de la asimilación del conteo y el número, que se ha estudiado de manera muy exhaustiva).

Investigación lógica y psicológica. últimos años(especialmente el trabajo de J. Piaget) reveló la conexión entre algunos "mecanismos" pensamiento de los niños con conceptos matemáticos generales. A continuación discutimos específicamente las características de esta conexión y su significado para la construcción de las matemáticas como materia educativa (hablaremos de lado teórico caso, y no sobre ninguna versión particular del programa).

Un número natural es concepto fundamental matemáticas a lo largo de su historia; juega un papel muy importante en todas las áreas de producción, tecnología, la vida cotidiana. Esto permite a los matemáticos teóricos darle un lugar especial entre otros conceptos de las matemáticas. EN diferentes formas Se hacen afirmaciones de que el concepto de número natural es la etapa inicial. abstracción matemática, que es la base para la construcción de la mayoría de las disciplinas matemáticas.

La elección de los elementos iniciales de las matemáticas como materia implementa esencialmente estos disposiciones generales. Se supone que, al familiarizarse con los números, el niño descubre al mismo tiempo las características iniciales de las relaciones cuantitativas. El conteo y los números son la base de todo aprendizaje posterior de las matemáticas en la escuela.

Sin embargo, hay razones para creer que estas disposiciones, si bien resaltan correctamente el significado especial y fundamental del número, al mismo tiempo expresan de manera inadecuada su conexión con otros conceptos matemáticos y evalúan de manera inexacta el lugar y el papel del número en el proceso de dominio de las matemáticas. . Debido a esta circunstancia, en particular, surgen algunas deficiencias importantes en los programas, métodos y libros de texto adoptados en matemáticas. Es necesario considerar específicamente la conexión real del concepto de número con otros conceptos.

Muchos conceptos matemáticos generales, y en particular los conceptos de relaciones de equivalencia y orden, se consideran sistemáticamente en matemáticas independientemente de la forma numérica. Estos conceptos no pierden su carácter independiente; a partir de ellos se puede describir y estudiar un tema determinado, diferente. sistemas numéricos, cuyos conceptos por sí solos no cubren el significado y el significado de las definiciones originales. y en la historia ciencia matemática Los conceptos generales se desarrollaron precisamente en la medida en que las "operaciones algebraicas" ejemplo famoso que proporcionan las cuatro operaciones de la aritmética, comenzó a aplicarse a elementos de naturaleza completamente no numérica.

Recientemente, se ha intentado ampliar la etapa de introducción del niño a las matemáticas en la enseñanza. Esta tendencia encuentra expresión en manuales metodológicos, así como en algunos libros de texto experimentales. Así, en un libro de texto estadounidense destinado a enseñar a niños de 6 a 7 años (), en las primeras páginas se presentan tareas y ejercicios que capacitan específicamente a los niños para establecer la identidad de los grupos de materias. A los niños se les muestra la técnica de conectar conjuntos y se les presenta el simbolismo matemático correspondiente. Trabajar con números se basa en conocimientos básicos sobre conjuntos.

El contenido de los intentos concretos de implementar esta tendencia se puede evaluar de otra manera, pero, en nuestra opinión, es bastante legítimo y prometedor.

A primera vista, los conceptos de “relación”, “estructura”, “leyes de composición”, etc., tienen complejos definiciones matemáticas, no puede asociarse con la formación representaciones matemáticas en niños pequeños. Por supuesto, todo el significado verdadero y abstracto de estos conceptos y su lugar en construcción axiomática La matemática como ciencia es objeto de asimilación de una cabeza ya bien desarrollada y “entrenada” en matemáticas. Sin embargo, algunas propiedades de las cosas fijadas por estos conceptos, de una forma u otra, le aparecen al niño relativamente temprano: existe evidencia psicológica específica de esto.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que desde el momento del nacimiento hasta los 7-10 años, un niño se desarrolla y se desarrolla. sistemas altamente complejos ideas generales sobre el mundo que nos rodea y sienta las bases para un pensamiento significativo y sustantivo. Además, basándose en material empírico relativamente limitado, los niños distinguen esquemas generales orientaciones en las dependencias espacio-temporales y de causa y efecto de las cosas. Estos diagramas sirven como una especie de marco para ese "sistema de coordenadas" dentro del cual el niño comienza a dominar cada vez más profundamente. diferentes propiedades mundo diverso. Por supuesto, estos patrones generales son poco comprendidos y, en pequeña medida, pueden ser expresados por el propio niño en forma de juicio abstracto. Ellos, en sentido figurado, son una forma intuitiva de organizar el comportamiento del niño (aunque, por supuesto, se reflejan cada vez más en los juicios).

EN últimas décadas El famoso psicólogo suizo J. Piaget y sus colegas estudiaron con especial intensidad las cuestiones de la formación de la inteligencia de los niños y el surgimiento de sus ideas generales sobre la realidad, el tiempo y el espacio. Algunas de sus obras tienen relación directa a los problemas del desarrollo del pensamiento matemático de un niño y, por lo tanto, es importante que los consideremos en relación con las cuestiones de diseño plan de estudios.

En uno de sus últimos libros() J. Piaget proporciona datos experimentales sobre la génesis y formación en niños (hasta 12 - 14 años) de tales escuelas primarias. estructuras lógicas, como clasificación y seriación. La clasificación implica realizar una operación de inclusión (por ejemplo, A + A" = B) y su operación inversa (B - A" = A). La seriación es la ordenación de objetos en filas sistemáticas (por ejemplo, en una fila se pueden colocar palos de diferentes longitudes, cada miembro de los cuales es más grande que todos los anteriores y más pequeño que todos los siguientes).

Analizando la formación de la clasificación, J. Piaget muestra cómo desde su forma original, de la creación de un "agregado figurativo", basado únicamente en la proximidad espacial de los objetos, los niños pasan a una clasificación basada en la relación de similitud ("agregados no figurativos"), y luego a la forma más compleja: a la inclusión de clases, debido a la conexión entre el volumen y el contenido del concepto. El autor considera específicamente la cuestión de formar una clasificación no sólo según uno, sino también según dos o tres criterios, y sobre el desarrollo en los niños de la capacidad de cambiar la base de clasificación al agregar nuevos elementos. Los autores encuentran etapas similares en el proceso de formación de la seriación.

Estos estudios perseguían un objetivo muy específico: identificar los patrones de formación de las estructuras operativas de la mente y, en primer lugar, una propiedad constitutiva de ellas como la reversibilidad, es decir. la capacidad de la mente para avanzar y retroceder. La reversibilidad ocurre cuando “las operaciones y acciones pueden desarrollarse en dos direcciones, y la comprensión de una de estas direcciones causa ipso facto [en virtud del hecho mismo] la comprensión de la otra” (, p. 15).

La reversibilidad, según J. Piaget, representa la ley fundamental de composición inherente a la mente. Tiene dos formas complementarias e irreductibles: reversión (inversión o negación) y reciprocidad. La inversión ocurre, por ejemplo, en el caso en que el movimiento espacial de un objeto de A a B se puede cancelar transfiriendo el objeto de regreso de B a A, lo que en última instancia equivale a una transformación cero (el producto de una operación y su inversa). es una operación idéntica, o una transformación cero).

La reciprocidad (o compensación) implica el caso en el que, por ejemplo, cuando un objeto se mueve de A a B, el objeto permanece en B, pero el propio niño se mueve de A a B y se reproduce. posición inicial cuando el objeto estaba contra su cuerpo. El movimiento del objeto no se cancela aquí, sino que se compensa con el movimiento correspondiente. propio cuerpo- y esta es una forma diferente de transformación que la conversión (, p. 16).

En sus trabajos, J. Piaget demostró que estas transformaciones aparecen por primera vez en forma de circuitos sensoriomotores (de 10 a 12 meses). Coordinación gradual de circuitos sensorio-motores, simbolismo funcional y visualización de idioma llevar a que a través de una serie de etapas, la circulación y la reciprocidad se conviertan en propiedades de las acciones intelectuales (operaciones) y se sinteticen en una única estructura operadora (en el período de 7 a 11 y de 12 a 15 años). Ahora el niño puede coordinar todos los movimientos en uno según dos sistemas de referencia a la vez: uno móvil y otro fijo.

J. Piaget cree que investigación psicológica desarrollo de operaciones aritméticas y geométricas en la mente del niño (especialmente aquellas operaciones lógicas que se llevan a cabo en ellos condiciones previas) le permite correlacionar con precisión las estructuras de pensamiento de los operadores con estructuras algebraicas, estructuras de orden y topológicas (, p. 13). Así, la estructura algebraica (“grupo”) corresponde a los mecanismos operadores de la mente, sujetos a una de las formas de reversibilidad: la inversión (negación). El grupo tiene cuatro propiedades elementales: el producto de dos elementos del grupo también da un elemento del grupo; una operación directa corresponde a una y sólo una operación inversa; hay una operación de identidad; las composiciones sucesivas son asociativas. En el lenguaje de las acciones intelectuales esto significa:

La coordinación de dos sistemas de acción es nuevo esquema, adjunto a los anteriores;

La operación puede desarrollarse en dos direcciones;

Cuando volvemos al punto de partida lo encontramos sin cambios;

Puedes llegar al mismo punto. de diferentes maneras, y el punto en sí permanece sin cambios.

Hechos del desarrollo infantil “independiente” (es decir, desarrollo independiente de influencia directa enseñanza) muestran una discrepancia entre el orden de las etapas de geometría y las etapas de formación conceptos geométricos en un niño. Estos últimos se aproximan al orden de sucesión de los grupos principales, donde la topología es lo primero. Un niño, según J. Piaget, primero desarrolla una intuición topológica y luego se orienta en la dirección de estructuras proyectivas y métricas. Por lo tanto, en particular, como señala J. Piaget, durante los primeros intentos de dibujar, el niño no distingue entre cuadrados, círculos, triángulos y otras figuras métricas, pero distingue perfectamente entre figuras abiertas y cerradas, la posición “afuera” o “adentro”. ”en relación a la frontera, división y proximidad (sin distinguir distancias por el momento), etc. (, pág. 23).

Estos datos indican que psicología tradicional y la pedagogía no tuvo suficientemente en cuenta la naturaleza compleja y amplia de las etapas del desarrollo mental del niño que están asociadas con el período de 2 a 7 y de 7 a 11 años.

La consideración de los resultados obtenidos por J. Piaget nos permite sacar una serie de conclusiones importantes en relación con el diseño de un plan de estudios de matemáticas. En primer lugar, los datos fácticos sobre la formación del intelecto de un niño de 2 a 11 años indican que en este momento no sólo las propiedades de los objetos descritas a través de los conceptos matemáticos de "relación - estructura" no son "ajenas" para él, sino que estos últimos entran orgánicamente en el pensamiento del niño.

Los programas tradicionales no tienen esto en cuenta. Por lo tanto, no aprovechan muchas de las oportunidades ocultas en el proceso. desarrollo intelectual niño.

Los materiales disponibles en la psicología infantil moderna nos permiten evaluar positivamente idea general construcción de una asignatura educativa que se fundamentaría en los conceptos de estructuras matemáticas iniciales. Por supuesto, en el camino hay grandes dificultades, ya que aún no existe experiencia en la construcción de un tema educativo de este tipo. En particular, uno de ellos está relacionado con la determinación del “umbral” de edad a partir del cual es factible la formación en el nuevo programa. Si seguimos la lógica de J. Piaget, entonces, aparentemente, estos programas sólo pueden enseñarse cuando los niños ya tienen estructuras de operadores completamente formadas (de 14 a 15 años). Pero si asumimos que el pensamiento matemático real del niño se forma precisamente dentro del proceso que J. Piaget designa como el proceso de plegado de estructuras de operadores, entonces estos programas se pueden introducir mucho antes (por ejemplo, de 7 a 8 años). , cuando los niños comienzan a formar operaciones específicas con el mayor nivel de reversibilidad. En condiciones “naturales”, cuando se estudia según los programas tradicionales, las operaciones formales pueden tomar forma sólo entre los 13 y 15 años. ¿Pero es posible “acelerar” su formación introduciendo antes tales material educativo, ¿cuya asimilación requiere un análisis directo de estructuras matemáticas?

Parece que tales posibilidades existen. A la edad de 7 a 8 años, los niños ya han desarrollado suficientemente un plan de acciones mentales, y al entrenarlos en un programa apropiado, en el que las propiedades de las estructuras matemáticas se dan "explícitamente" y los niños reciben los medios para analizarlas, Es posible llevar a los niños más rápidamente al nivel de operaciones “formales” que en el lapso de tiempo en el que esto se lleva a cabo durante el descubrimiento “independiente” de estas propiedades.

Es importante tener en cuenta la siguiente circunstancia. Hay motivos para creer que las peculiaridades del pensamiento en el nivel de operaciones específicas, fechadas por J. Piaget entre los 7 y los 11 años, están indisolublemente ligadas a las formas de organización del aprendizaje características de la escuela primaria tradicional. Esta formación (tanto aquí como en el extranjero) se lleva a cabo sobre la base de un contenido extremadamente empírico, a menudo nada relacionado con una actitud conceptual (teórica) hacia el objeto. Este tipo de entrenamiento apoya y fortalece en los niños el pensamiento basado en la percepción externa, directa y en los signos perceptibles de las cosas.

Así, en la actualidad, existen datos fácticos que muestran una estrecha conexión entre las estructuras del pensamiento de los niños y las estructuras algebraicas generales, aunque el "mecanismo" de esta conexión está lejos de ser claro y casi inexplorado. La presencia de esta conexión abre posibilidades fundamentales (¡por ahora sólo posibilidades!) para la construcción de un sujeto educativo que se desarrolle según el esquema “desde estructuras simples- a sus combinaciones complejas". Una de las condiciones para la realización de estas posibilidades es el estudio de la transición al pensamiento mediado y sus estándares de edad. Este método de construir las matemáticas como una materia académica puede ser en sí mismo una poderosa palanca para la formación en hijos de tal pensamiento, que se basa en una base conceptual bastante sólida.

1.3 El problema del origen de los conceptos algebraicos y su significado para la construcción de una asignatura educativa

Separación curso escolar matemáticas para álgebra y aritmética, por supuesto, condicionalmente. La transición de uno a otro se produce de forma paulatina. EN práctica escolar El significado de esta transición está enmascarado por el hecho de que el estudio de fracciones en realidad ocurre sin un soporte extenso para medir cantidades: las fracciones se dan como proporciones de pares de números (aunque la importancia de medir cantidades se reconoce formalmente en los manuales metodológicos). Una introducción extensa a los números fraccionarios basados en la medición de cantidades conduce inevitablemente al concepto de número real. Pero esto último generalmente no sucede, ya que los estudiantes trabajan con números racionales durante mucho tiempo y, por lo tanto, se retrasa su transición al "álgebra".

En otras palabras, el álgebra escolar comienza precisamente cuando se crean las condiciones para la transición de números enteros a números reales, para expresar el resultado de una medición como una fracción (simple y decimal, finita y luego infinita).

Además, el paso inicial puede ser familiarizarse con la operación de medición, obteniendo el resultado final. decimales y estudiar acciones sobre ellos. Si los estudiantes ya conocen esta forma de registrar el resultado de una medición, esto sirve como condición previa para "abandonar" la idea de que un número se puede expresar. fracción infinita. Y es recomendable crear este requisito previo ya en la escuela primaria.

Si el concepto de número fraccionario (racional) se elimina del ámbito de la aritmética escolar, entonces la frontera entre este y el "álgebra" pasará por la línea de diferencia entre números enteros y reales. Es esto lo que “divide” el curso de matemáticas en dos partes. No se trata de una simple diferencia, sino de un “dualismo” fundamental de fuentes: conteo y medición.

Siguiendo las ideas de Lebesgue sobre el “concepto general de número”, es posible asegurar una unidad completa en la enseñanza de las matemáticas, pero sólo desde el momento y después de familiarizar a los niños con el conteo y los números enteros (naturales). Por supuesto, el momento de esta familiarización preliminar puede ser diferente (en los programas tradicionales para las escuelas primarias, estos elementos están claramente retrasados); medidas practicas(como es el caso en el programa); sin embargo, todo esto no elimina las diferencias en los fundamentos de la aritmética y el "álgebra" como materias educativas. El “dualismo” de los puntos de partida también impide que los apartados relacionados con la medición de cantidades y la transición a fracciones reales “echen raíces” realmente en un curso de aritmética. Los autores de los programas y metodólogos se esfuerzan por mantener la estabilidad y la "pureza" de la aritmética como materia escolar. Esta diferencia en las fuentes es la razón principal para enseñar matemáticas según el esquema: primero aritmética (número entero), luego "álgebra" (número real).

Este esquema parece bastante natural e inquebrantable; además, está justificado por muchos años de práctica en la enseñanza de las matemáticas. Pero hay circunstancias que lógicamente punto psicológico Estos puntos de vista requieren un análisis más profundo de la legalidad de este rígido esquema de enseñanza.

El caso es que, a pesar de todas las diferencias entre estos tipos de números, se refieren específicamente a números, es decir, a una forma especial de mostrar relaciones cuantitativas. El hecho de que los números enteros y reales pertenezcan a “números” sirve de base para suponer que las diferencias entre contar y medir son derivadas genéticas: tienen una fuente única y especial que corresponde a la forma misma del número. El conocimiento de las características de esta base unificada de conteo y medición permitirá imaginar más claramente las condiciones de su origen, por un lado, y la relación, por el otro.

A dónde acudir para encontrar raíz común¿árbol ramificado de números? Parece que antes que nada es necesario analizar el contenido del concepto de cantidad. Es cierto que este término se asocia inmediatamente con otro: dimensión. Sin embargo, la legitimidad de tal conexión no excluye una cierta independencia del significado de “magnitud”. La consideración de este aspecto nos permite sacar conclusiones que combinan, por un lado, la medición y el conteo, y por otro, la manipulación de números con ciertas relaciones y patrones matemáticos generales.

Entonces, ¿qué es “cantidad” y qué interés tiene para la construcción de los apartados iniciales de la matemática escolar?

En el uso general, el término “magnitud” se asocia con los conceptos “igual”, “más”, “menos”, que describen una variedad de cualidades (longitud y densidad, temperatura y blancura). V.F. Kagan plantea la cuestión de qué propiedades comunes tienen estos conceptos. Muestra que pertenecen a agregados - conjuntos objetos homogéneos, cuya comparación de elementos nos permite aplicar los términos “más”, “igual”, “menos” (por ejemplo, a conjuntos de todos los segmentos de recta, pesos, velocidades, etc.).

Un conjunto de objetos sólo se transforma en magnitud cuando se establecen criterios que permitan establecer, respecto de cualquiera de sus elementos A y B, si A será igual a B, mayor que B o menor que B. Es más, para dos elementos cualesquiera A y B, uno y solo uno de las razones: A=B, A>B, A<В.

Estas oraciones constituyen una disyunción completa (al menos una es válida, pero cada una excluye a todas las demás).

V.F. Kagan identifica las siguientes ocho propiedades básicas de los conceptos "igual", "más", "menos": (, págs. 17-31).

1) Al menos una de las relaciones se cumple: A=B, A>B, A<В.

2) Si la relación A = B se cumple, entonces la relación A no se cumple<В.

3) Si la relación A=B se cumple, entonces la relación A>B no se cumple.

4) Si A=B y B=C, entonces A=C.

5) Si A>B y B>C, entonces A>C.

6) Si un<В и В<С, то А<С.

7) La igualdad es una relación reversible: de la relación A=B siempre se sigue la relación B=A.

8) La igualdad es una relación recíproca: cualquiera que sea el elemento A del conjunto considerado, A = A.

Las primeras tres oraciones caracterizan la disyunción de las relaciones básicas "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых трех элементах А, В и С. Следующие предложения 7 - 8 характеризуют только равенство - его обратимость и возвратность (или рефлексивность). Эти восемь основных положений В.Ф.Каган называет поcтулатами сравнения, на базе которых можно вывести ряд других свойств величины.

Estas propiedades inferenciales de V.F. Kagan lo describe en forma de ocho teoremas:

I. La relación A>B excluye la relación B>A (A<В исключает В<А).

II. Si A>B, entonces B<А (если А<В, то В>A).

III. Si A>B se cumple, entonces A no se cumple.

IV. Si A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1, entonces A1=An.

V. Si A1>A2, A2>A3,.., An-1>An, entonces A1>An.

VI. Si A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Si A=C y B=C, entonces A=B.

VIII. Si hay igualdad o desigualdad A=B, o A>B, o A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа:

si A=B y A=C, entonces C=B;

si A>B y A=C, entonces C>B, etc.).

Postulados y teoremas de comparación, señala V.F. Kagan, “se agotan todas aquellas propiedades de los conceptos “igual”, “más” y “menos”, que en matemáticas están asociadas a ellos y encuentran aplicación independientemente de las propiedades individuales del conjunto a los elementos en los que las aplicamos. varios casos especiales” (, página 31).

Las propiedades especificadas en postulados y teoremas pueden caracterizar no sólo aquellas características inmediatas de los objetos que estamos acostumbrados a asociar con "igual", "más", "menos", sino también con muchas otras características (por ejemplo, pueden caracterizar la relación “antepasado - descendiente”). Esto nos permite adoptar un punto de vista general al describirlos y considerar, por ejemplo, desde el punto de vista de estos postulados y teoremas, tres tipos de relaciones “alfa”, “beta”, “gamma” (en este caso es posible establecer si estas relaciones satisfacen los postulados y teoremas y bajo qué condiciones).

Desde este punto de vista, se pueden, por ejemplo, considerar propiedades de las cosas como la dureza (más dura, más blanda, igual dureza), la secuencia de eventos en el tiempo (siguiente, anterior, simultánea), etc. En todos estos casos, los ratios “alfa”, “beta”, “gamma” reciben su propia interpretación específica. La tarea asociada con la selección de un conjunto de cuerpos que tendrían estas relaciones, así como la identificación de signos por los cuales se podrían caracterizar "alfa", "beta", "gamma": esta es la tarea de determinar los criterios de comparación. en un determinado conjunto de cuerpos (en la práctica, en algunos casos no es fácil de resolver). “Al establecer criterios de comparación transformamos multitud en magnitud”, escribió V.F. Kagan (, pág. 41).

Los objetos reales pueden verse desde la perspectiva de diferentes criterios. Así, un grupo de personas puede considerarse según un criterio como la secuencia de momentos de nacimiento de cada uno de sus miembros. Otro criterio es la posición relativa que adoptarán las cabezas de estas personas si se colocan una al lado de la otra en un mismo plano horizontal. En cada caso, el grupo se transformará en una cantidad que tiene un nombre correspondiente: edad, altura. En la práctica, una cantidad generalmente no denota el conjunto de elementos en sí, sino un nuevo concepto introducido para distinguir los criterios de comparación (el nombre de la cantidad). Surgen así los conceptos de “volumen”, “peso”, “tensión eléctrica”, etc. "Al mismo tiempo, para un matemático, el valor está completamente definido cuando se indican muchos elementos y criterios de comparación", señaló V.F. Kagan (, pág. 47).

Esto es según V.F. Kagan, el contenido de la teoría cuantitativa, que juega un papel crucial en la base de todas las matemáticas.

Trabajando con cantidades (es recomendable registrar sus valores individuales en letras), se puede realizar un sistema complejo de transformaciones, estableciendo las dependencias de sus propiedades, pasando de la igualdad a la desigualdad, realizando sumas (y restas), y al sumar Puedes guiarte por las propiedades conmutativas y asociativas. Entonces, si se da la relación A = B, entonces al “resolver” problemas puedes guiarte por la relación B = A. En otro caso, si existen relaciones A>B, B=C, podemos concluir que A>C. Dado que para a>b existe un c tal que a=b+c, entonces podemos encontrar la diferencia entre a y b (a-b=c), etc. Todas estas transformaciones se pueden hacer en cuerpos fisicos y otros objetos, estableciendo criterios de comparación y cumplimiento de las relaciones seleccionadas con los postulados de comparación.

Los materiales anteriores nos permiten concluir que tanto los números naturales como los reales están igualmente fuertemente asociados con las cantidades y algunas de sus características esenciales. ¿Es posible convertir estas y otras propiedades en un objeto? estudio especial niño incluso antes de que se introduzca la forma numérica de describir la relación de cantidades? Pueden servir como condiciones previas para la posterior introducción detallada del número y sus diferentes tipos, en particular para la propedéutica de fracciones, conceptos de coordenadas, funciones y otros conceptos que ya se encuentran en los grados inferiores.

¿Cuál podría ser el contenido de este? sección inicial? Esta es una introducción a objetos fisicos, criterios para su comparación, destacando una cantidad como tema de consideración matemática, familiaridad con métodos de comparación y medios simbólicos para registrar sus resultados, con técnicas para analizar las propiedades generales de las cantidades. Este contenido debe desarrollarse en un programa de enseñanza relativamente detallado y, lo más importante, vincularse con aquellas acciones del niño a través de las cuales puede dominar este contenido (por supuesto, en la forma adecuada). Al mismo tiempo, es necesario establecer experimentalmente si los niños de 7 años pueden dominar este programa y cuál es la viabilidad de su introducción en la enseñanza posterior de las matemáticas en los grados de primaria con el fin de acercar la aritmética y el álgebra primaria. juntos.

Hasta ahora, nuestro razonamiento ha sido de naturaleza teórica y apuntaba a aclarar los prerrequisitos matemáticos para construir una sección inicial del curso que presentaría a los niños conceptos algebraicos básicos (hasta introducción especial números).

Las principales propiedades que caracterizan las cantidades se describieron anteriormente. Naturalmente, no tiene sentido que niños de 7 años den “sermones” sobre estas propiedades. Era necesario encontrar esa forma de trabajo para los niños con material didáctico, a través del cual podrían, por un lado, identificar estas propiedades en las cosas que los rodean, por otro, aprenderían a fijarlas con cierto simbolismo y realizar tareas elementales. análisis matemático relaciones asignadas.

En este sentido, el programa debe contener, en primer lugar, una indicación de aquellas propiedades de la materia que se van a dominar, en segundo lugar, una descripción de los materiales didácticos, en tercer lugar - y esto es lo principal desde un punto de vista psicológico - las características de aquellas acciones mediante las cuales el niño identifica ciertas propiedades de un objeto y las domina. Estos “componentes” forman el programa de enseñanza en el sentido propio de la palabra.

Características específicas Tiene sentido presentar este programa hipotético y sus “componentes” al describir el proceso de aprendizaje en sí y sus resultados. Aquí está el resumen de este programa y sus temas clave.

Tema I. Nivelación y finalización de objetos (por longitud, volumen, peso, composición de piezas y otros parámetros).

Problemas prácticos para igualación y adquisición. Identificación de características (criterios) mediante las cuales los mismos objetos pueden ser igualados o completados. Designación verbal de estas características (“por longitud”, por peso”, etc.).

Estas tareas se resuelven en el proceso de trabajo con material didáctico (barras, pesas, etc.) mediante:

Elegir el “mismo” artículo,

Reproducción (construcción) del “mismo” objeto según un parámetro seleccionado (especificado).

Tema II. Comparar objetos y fijar sus resultados mediante la fórmula de igualdad-desigualdad.

1. Tareas de comparar objetos y designar simbólicamente los resultados de esta acción.

2. Registro verbal de los resultados de la comparación (términos “más”, “menos”, “igual”). signos escritos ">", "<", "=".

3. Indicación del resultado de la comparación con un dibujo (“copiando” y luego “abstracto” - líneas).

4. Designación de objetos comparados con letras. Registrar el resultado de la comparación usando las fórmulas: A=B; A<Б, А>B.

Una letra como signo que fija un valor particular dado directamente de un objeto según un parámetro seleccionado (por peso, por volumen, etc.).

5. Imposibilidad de fijar el resultado de la comparación utilizando fórmulas diferentes. Seleccionar una fórmula específica para un resultado dado (disyunción completa de las relaciones mayor - menor - igual).

Tema III. Propiedades de la igualdad y la desigualdad.

1. Reversibilidad y reflexividad de la igualdad (si A=B, entonces B=A; A=A).

2. La conexión entre las relaciones “más” y “menos” en las desigualdades durante las “permutaciones” de las partes comparadas (si A>B, entonces B<А и т.п.).

3. Transitividad como propiedad de la igualdad y la desigualdad:

si A=B, si A>B, si A<Б,

a B=B, a B>B, a B<В,

entonces A=B; entonces A>B; entonces A<В.

4. Pasar de trabajar con material didáctico temático a evaluar las propiedades de igualdad y desigualdad en presencia de fórmulas únicamente literales. Resolver diversos problemas que requieran conocimiento de estas propiedades (por ejemplo, resolver problemas relacionados con la conexión de relaciones del tipo: dado que A>B y B=C; averiguar la relación entre A y C).

Tema IV. Operación de suma (resta).

1. Observaciones de cambios en objetos según uno u otro parámetro (por volumen, por peso, por duración, etc.). Ilustración de aumento y disminución con signos "+" y "-" (más y menos).

2. Violación de la igualdad previamente establecida con el correspondiente cambio en uno u otro de sus bandos. La transición de la igualdad a la desigualdad. Escribir fórmulas como:

si A=B, si A=B,

entonces A+K>B; luego A-K<Б.

3. Métodos de transición a una nueva igualdad (su “restauración” según el principio: añadir “igual” a “igual” da “igual”).

Trabajando con fórmulas como:

entonces A+K>B,

pero A+K=B+K.

4. Resolver varios problemas que requieren el uso de la suma (resta) al pasar de la igualdad a la desigualdad y viceversa.

Tema V. Transición de la desigualdad tipo A<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Tareas que requieran dicha transición. La necesidad de determinar el valor de la cantidad en la que difieren los objetos comparados. La capacidad de escribir igualdad cuando se desconoce el valor específico de esta cantidad. Método de uso de x (x).

Escribir fórmulas como:

si un<Б, если А>B,

entonces A+x=B; entonces A-x=B.

2. Determinar el valor de x. Sustituyendo este valor en la fórmula (introducción entre paréntesis). Tipo de fórmulas

3. Resolver problemas (incluidos los “textuales argumentales”) que requieran realizar las operaciones especificadas.

Tema Vl. Suma-resta de igualdades-desigualdades. Sustitución.

1. Suma-resta de igualdades-desigualdades:

si A=B si A>B si A>B

y M=D, y K>E, y B=G,

entonces A+M=B+D; entonces A+K>B+E; entonces A+-B>C+-G.

2. La capacidad de representar el valor de una cantidad como la suma de varios valores. Tipo de sustitución:

3. Resolver diversos problemas que requieren tener en cuenta las propiedades de las relaciones con las que los niños se familiarizaron en el proceso de trabajo (muchas tareas requieren consideración simultánea de varias propiedades, inteligencia para evaluar el significado de las fórmulas; las descripciones de los problemas y las soluciones se dan a continuación ).

Este es un programa diseñado para 3,5 a 4 meses. primer semestre del año. Como muestra la experiencia de la enseñanza experimental, con una planificación adecuada de las lecciones, la mejora de los métodos de enseñanza y una elección exitosa de los medios didácticos, los niños pueden absorber completamente todo el material presentado en el programa en un período de tiempo más corto (en 3 meses). .

¿Cómo va nuestro programa? En primer lugar, los niños se familiarizan con el método de obtención de un número que expresa la relación de un objeto en su conjunto (la misma cantidad representada por un objeto continuo o discreto) con su parte. Esta relación en sí y su significado específico se representan mediante la fórmula A/K = n, donde n es cualquier número entero, que generalmente expresa la relación a la “unidad” más cercana (sólo con una selección especial de material o contando sólo “cualitativamente” cosas individuales se puede obtener un número entero absolutamente exacto). Desde el principio, los niños se ven “obligados” a tener en cuenta que al medir o contar puede resultar un resto, cuya presencia debe estar especialmente estipulada. Este es el primer paso para el trabajo posterior con fracciones.

Con esta forma de obtener un número, no es difícil llevar a los niños a describir un objeto con una fórmula como A = 5k (si la proporción fuera igual a “5”). Junto con la primera fórmula, abre oportunidades para un estudio especial de las dependencias entre el objeto, la base (medida) y el resultado del conteo (medición), que también sirve como propedéutica para la transición a números fraccionarios (en particular , para comprender la propiedad básica de una fracción).

Otra línea de desarrollo del programa, implementada ya en primer grado, es la transferencia a números (enteros) de las propiedades básicas de la cantidad (disyunción igualdad-desigualdad, transitividad, invertibilidad) y las operaciones de la suma (conmutatividad, asociatividad, monotonicidad, la posibilidad de restar). En particular, al trabajar en la recta numérica, los niños pueden convertir rápidamente secuencias de números en magnitudes (por ejemplo, evaluar claramente su transitividad haciendo notaciones de tipo 3).<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.).

La familiaridad con algunas de las características llamadas “estructurales” de la igualdad permite a los niños abordar la conexión entre la suma y la resta de manera diferente. Así, al pasar de la desigualdad a la igualdad, se realizan las siguientes transformaciones: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; encuentre la relación entre los lados izquierdo y derecho de la fórmula para 8+1-4...6+3-2; en caso de desigualdad, lleve esta expresión a la igualdad (primero debe poner un signo "menor que" y luego agregar un "dos" en el lado izquierdo).

Por lo tanto, tratar una serie numérica como una cantidad le permite desarrollar las habilidades de suma y resta (y luego de multiplicación y división) de una manera nueva.

Capítulo II. Recomendaciones metodológicas para el estudio de material algebraico en la escuela primaria 2.1 La enseñanza en la escuela primaria desde el punto de vista de las necesidades de la escuela secundaria

Como sabes, cuando se estudian matemáticas en 5º grado, una parte importante del tiempo se dedica a repetir lo que los niños deberían haber aprendido en la escuela primaria. Esta repetición en casi todos los libros de texto existentes requiere 1,5 trimestres académicos. Esta situación no surgió por casualidad. Su motivo es el descontento de los profesores de matemáticas de secundaria con la preparación de los egresados de primaria. ¿A qué se debe esta situación? Para ello se analizaron los cinco libros de texto de matemáticas de primaria más conocidos en la actualidad. Estos son los libros de texto de M.I. Moro, I.I. Arginskaya, N.B. Istomina, L.G. Peterson y V.V. Davydova (, , , ,).

En los años 50 se encontró un método para dominar eficazmente la tabla de multiplicar. Consiste en organizar un determinado sistema de ejercicios, al realizarlos los propios niños construyen una tabla de multiplicar. Sin embargo, este método no está implementado en ninguno de los libros de texto revisados.

Otro punto negativo que incide en la educación superior es que en muchos casos la presentación del material en los libros de texto de matemáticas de la escuela primaria está estructurada de tal manera que en el futuro habrá que volver a capacitar a los niños, y esto, como sabemos, es mucho más difícil. que enseñar. En relación al estudio de material algebraico, un ejemplo sería la resolución de ecuaciones en la escuela primaria. En todos los libros de texto, la resolución de ecuaciones se basa en las reglas para encontrar componentes desconocidos de acciones.

Esto se hace de forma algo diferente sólo en el libro de texto de L.G. Peterson, donde, por ejemplo, la resolución de ecuaciones de multiplicación y división se basa en correlacionar los componentes de la ecuación con los lados y el área de un rectángulo y, en última instancia, también se reduce a reglas, pero estas son reglas para encontrar el lado o el área de un rectángulo. Mientras tanto, a partir del sexto grado, a los niños se les enseña un principio completamente diferente para resolver ecuaciones, basado en el uso de transformaciones idénticas. Esta necesidad de reaprendizaje lleva al hecho de que resolver ecuaciones sea una tarea bastante difícil para la mayoría de los niños.

Al analizar los libros de texto, también encontramos el hecho de que al presentar el material en ellos, a menudo hay una distorsión de los conceptos. Por ejemplo, la formulación de muchas definiciones se da en forma de implicaciones, mientras que por la lógica matemática se sabe que cualquier definición es una equivalencia. A modo de ilustración, podemos citar la definición de multiplicación del libro de texto de I.I. Arginskaya: "Si todos los términos de la suma son iguales entre sí, entonces la suma se puede reemplazar por otra acción: la multiplicación". (Todos los términos de la suma son iguales entre sí. Por lo tanto, la suma se puede reemplazar por la multiplicación). Como puede ver, esta es una implicación en su forma pura. Esta formulación no solo es analfabeta desde el punto de vista de las matemáticas, no solo forma incorrectamente en los niños una idea de lo que es una definición, sino que también es muy dañina porque en el futuro, por ejemplo, al construir En la tabla de multiplicar, los autores de libros de texto utilizan la sustitución del producto por la suma de términos idénticos, lo que la formulación presentada no permite. Un trabajo tan incorrecto con afirmaciones escritas en forma de implicaciones forma en los niños un estereotipo incorrecto, que será difícil de superar en las lecciones de geometría, cuando los niños no sentirán la diferencia entre una afirmación directa y otra inversa, entre el signo de una figura y su propiedad. El error de utilizar el teorema inverso al resolver problemas, cuando sólo se ha demostrado el teorema directo, es muy común.

Otro ejemplo de formación incorrecta de conceptos es trabajar con la relación de igualdad literal. Por ejemplo, las reglas para multiplicar un número por uno y un número por cero en todos los libros de texto se dan en forma de letras: a x 1 = a, a x 0 = 0. La relación de igualdad, como se sabe, es simétrica y, por lo tanto, tal una notación proporciona no sólo que cuando se multiplica por 1 se obtiene el mismo número, sino también que cualquier número puede representarse como el producto de este número por uno. Sin embargo, la formulación verbal propuesta en los libros de texto después de la entrada de la letra habla sólo de la primera posibilidad. Los ejercicios sobre este tema también están destinados únicamente a practicar la sustitución del producto de un número por uno por este número. Todo esto lleva no sólo al hecho de que un punto muy importante no pasa a ser objeto de la conciencia de los niños: cualquier número se puede escribir en forma de producto, lo que en álgebra causará las correspondientes dificultades al trabajar con polinomios, sino también a la hecho de que los niños, en principio, no saben trabajar correctamente la relación de igualdad. Por ejemplo, cuando trabajan con la fórmula de diferencia de cuadrados, los niños, por regla general, hacen frente a la tarea de factorizar la diferencia de cuadrados. Sin embargo, aquellas tareas en las que se requiere la acción contraria causan dificultades en muchos casos. Otro ejemplo sorprendente de esta idea es el trabajo con la ley distributiva de la multiplicación relativa a la suma. También en este caso, a pesar de la redacción literal de la ley, tanto su formulación verbal como el sistema de ejercicios sólo entrenan la capacidad de abrir paréntesis. Como resultado, sacar el factor común entre paréntesis causará importantes dificultades en el futuro.

Muy a menudo en la escuela primaria, incluso cuando una definición o regla está formulada correctamente, el aprendizaje se estimula no apoyándose en ellas, sino en algo completamente diferente. Por ejemplo, al estudiar la tabla de multiplicar por 2, todos los libros de texto revisados muestran cómo construirla. En el libro de texto M.I. Moro lo hizo así:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Con este método de trabajo, los niños notarán muy rápidamente el patrón de la serie numérica resultante.

Después de 3-4 igualdades, dejarán de sumar de dos en dos y comenzarán a escribir el resultado basándose en el patrón observado. Así, el método de construcción de la tabla de multiplicar no se convertirá en tema de su conciencia, lo que resultará en su frágil asimilación.

Al estudiar material en la escuela primaria, se confía en acciones objetivas y claridad ilustrativa, lo que conduce a la formación del pensamiento empírico. Por supuesto, es casi imposible prescindir de esa visibilidad en la escuela primaria. Pero debería servir sólo como ilustración de tal o cual hecho, y no como base para la formación de un concepto. El uso de claridad ilustrativa y acciones sustantivas en los libros de texto a menudo conduce a que el concepto mismo quede “confuso”. Por ejemplo, en métodos matemáticos para los grados 1 a 3, M.I. Moreau dice que los niños tienen que dividir organizando objetos en montones o haciendo un dibujo durante 30 lecciones. Tales acciones pierden la esencia de la operación de división como acción inversa de la multiplicación. Como resultado, la división se aprende con mayor dificultad y es mucho peor que otras operaciones aritméticas.

Cuando se enseñan matemáticas en la escuela primaria, no se habla de probar ninguna afirmación. Mientras tanto, recordando lo difícil que será enseñar la prueba en la escuela secundaria, es necesario comenzar a prepararse para esto ya en los grados de primaria. Además, esto se puede hacer con material bastante accesible para los niños de primaria. Dicho material, por ejemplo, pueden ser las reglas para dividir un número por 1, cero por un número y un número por sí mismo. Los niños son muy capaces de demostrarlos utilizando la definición de división y las reglas de multiplicación correspondientes.

Hablando de las deficiencias de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria, que interfieren con el aprendizaje posterior, es necesario enfatizar especialmente el hecho de que a menudo el material de los libros de texto se presenta sin mirar cómo funcionará en el futuro. Un ejemplo muy llamativo de esto es la organización del aprendizaje de la multiplicación por 10, 100, 1000, etc. En todos los libros de texto revisados, la presentación de este material está estructurada de tal manera que conduce inevitablemente a la formación en la mente de los niños de la regla: “Para multiplicar un número por 10, 100, 1000, etc., es necesario para agregar tantos ceros al lado derecho como hay en 10, 100, 1000, etc." Esta regla es de las que se aprenden muy bien en la escuela primaria. Y esto conduce a una gran cantidad de errores al multiplicar fracciones decimales por unidades de dígitos enteros. Incluso después de recordar la nueva regla, los niños suelen añadir automáticamente un cero a la derecha del decimal al multiplicar por 10. Además, cabe señalar que al multiplicar un número natural y al multiplicar una fracción decimal por unidades de dígitos enteros, sucede esencialmente lo mismo: cada dígito del número se desplaza hacia la derecha el número de dígitos correspondiente. Por tanto, no tiene sentido enseñar a los niños dos reglas separadas y completamente formales. Es mucho más útil enseñarles una forma general de proceder a la hora de resolver problemas similares.

2.1 Comparación (contraste) de conceptos en lecciones de matemáticas

El programa actual prevé el estudio en el grado I de sólo dos operaciones del primer nivel: la suma y la resta. Limitar el primer año de estudio a sólo dos operaciones es, en esencia, una desviación de lo que ya se había logrado en los libros de texto anteriores a los actuales: ni un solo profesor se quejó entonces de que la multiplicación y la división, digamos, hasta 20, estuvieran más allá de 20. las capacidades de los alumnos de primer grado. También es digno de atención que en las escuelas de otros países, donde la educación comienza a los 6 años, el primer año escolar incluye un conocimiento inicial de las cuatro operaciones aritméticas. Las matemáticas se basan principalmente en cuatro acciones, y cuanto antes se incluyan en la práctica del pensamiento del estudiante, más estable y confiable será el desarrollo posterior del curso de matemáticas.

Para ser justos, cabe señalar que en las primeras versiones de los libros de texto de M.I. Moro para el primer grado se proporcionaban multiplicación y división. Sin embargo, un accidente impidió el asunto: los autores de los nuevos programas se aferraron persistentemente a una "novedad": la cobertura en el primer grado de todos los casos de suma y resta hasta 100 (37+58 y 95-58, etc.). Pero como no había tiempo suficiente para estudiar un volumen tan amplio de información, se decidió trasladar la multiplicación y la división por completo al siguiente año de estudio.

Así, la fascinación por la linealidad del programa, es decir, una expansión puramente cuantitativa del conocimiento (las mismas acciones, pero con mayor número), consumió el tiempo que antes se dedicaba a la profundización cualitativa del conocimiento (estudiando las cuatro acciones dentro de dos docenas). Estudiar multiplicación y división ya en primer grado supone un salto cualitativo en el pensamiento, ya que permite dominar procesos de pensamiento condensados.

Según la tradición, el estudio de la suma y la resta hasta 20 solía ser un tema especial. La necesidad de este enfoque en la sistematización del conocimiento se ve incluso en el análisis lógico de la pregunta: el hecho es que la tabla completa para sumar es de un solo dígito. Los números se desarrollan dentro de dos decenas (0+1= 1, ...,9+9=18). Así, los números hasta 20 forman un sistema completo de relaciones en sus conexiones internas; de ahí que quede clara la conveniencia de preservar los “Veinte” como segundo tema holístico (el primero de estos temas son las acciones dentro de los primeros diez).

El caso que estamos discutiendo es precisamente uno en el que la concentricidad (preservar la segunda decena como un tema especial) resulta ser más beneficiosa que la linealidad (“disolver” la segunda decena en el tema de los “Cien”).

En el libro de texto de M.I. Moro, el estudio de los primeros diez se divide en dos secciones separadas: primero se estudia la composición de los números de los primeros diez, y en el siguiente tema se consideran las acciones dentro de 10 en el libro de texto experimental. por P.M. Erdnieva, por el contrario, llevó a cabo un estudio conjunto de la numeración, la composición de números y operaciones (suma y resta) dentro de 10 a la vez en una sección. Con este enfoque, se utiliza un estudio monográfico de los números, a saber: dentro del número considerado (por ejemplo, 3), se comprenden inmediatamente todas las "matemáticas monetarias": 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 – 1 = 2; 3 – 2 = 1.

Si, según los programas actuales, se asignaron 70 horas para estudiar los primeros diez, entonces en el caso de la formación experimental, todo este material se estudió en 50 horas (y además del programa, se consideraron algunos conceptos adicionales que no estaban en el libro de texto estable, pero estaban relacionados estructuralmente con el material principal).

La cuestión de la clasificación de las tareas y la denominación de sus tipos requiere una atención especial en la metodología de la formación inicial. Generaciones de metodólogos trabajaron para racionalizar el sistema de tareas escolares, crear sus tipos y variedades efectivos, hasta la selección de términos exitosos para los nombres de las tareas destinadas a estudiar en la escuela. Se sabe que al menos la mitad del tiempo lectivo en las lecciones de matemáticas se dedica a resolverlas. Las tareas escolares ciertamente necesitan sistematización y clasificación. Qué tipo de tarea estudiar, cuándo estudiarla, qué tipo de problema estudiar en relación con el paso de una sección en particular: este es un objeto legítimo de estudio de la metodología y el contenido central de los programas. La importancia de esta circunstancia se desprende claramente de la historia de la metodología matemática.

En los materiales didácticos experimentales del autor, se presta especial atención a la clasificación de tareas y la distribución de sus tipos y variedades necesarios para la enseñanza en una clase en particular. Actualmente, los nombres clásicos de tipos de problemas (hallar una suma, un término desconocido, etc.) han desaparecido incluso del índice de un libro de texto estable de primer grado. En el libro de texto de prueba P.M. Erdniev, estos nombres “funcionan”: son útiles como hitos didácticos no sólo para el alumno, sino también para el profesor. Presentamos el contenido del primer tema del libro de texto de prueba de matemáticas, que se caracteriza por la integridad lógica de los conceptos.

primeros diez

Comparando los conceptos de alto - abajo, izquierda - derecha, entre, más corto - más largo, más ancho - más estrecho, más grueso - más delgado, más viejo - más joven, más lejos - más cerca, más lento - más rápido, más liviano - más pesado, poco - mucho.

Estudio monográfico de los números de la decena primera: nombre, designación, comparación, colocación de números en el ábaco y designación de números en la recta numérica; signos: igual (=), distinto de (¹), mayor que (>), menor que (<).

Líneas rectas y curvas; círculo y óvalo.

Punto, recta, segmento, su designación mediante letras; medir la longitud de un segmento y establecer segmentos de una longitud determinada; designación, denominación, construcción, recorte de triángulos iguales, polígonos iguales. Elementos de un polígono: vértices, lados, diagonales (indicados por letras).

Estudio monográfico de números dentro del número en cuestión:

composición de números, suma y resta.

Los nombres de los componentes de la suma y la resta.

Cuatro ejemplos de suma y resta:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

Ejemplos deformados (faltan números y signos):

X + 5 = 7; 6 – X = 4; 6 = 3A2.

Resolver problemas de suma y sumando, diferencia, minuendo y sustraendo. Recopilación y solución de problemas mutuamente inversos.

Tres tareas: aumentar y disminuir un número en varias unidades y hacer una comparación de diferencias. Comparación de segmentos por longitud.

Ley conmutativa de la suma. Un cambio en una suma dependiendo de un cambio en un término. La condición cuando la cantidad no cambia. Las expresiones literales más simples: a + b = b + a, a + 0 = a, a – a = 0.

Compilación y resolución de problemas de expresión.

En la siguiente presentación, consideraremos las principales cuestiones de la metodología para presentar esta sección inicial de matemáticas escolares, teniendo en cuenta que la metodología para presentar las secciones posteriores debe ser en muchos aspectos similar al proceso de dominio del material del primer tema. .

A continuación se muestran ejemplos de los pares de conceptos más comunes que deberían usarse en las lecciones no solo de matemáticas, sino también de desarrollo del habla:

Más - menos, más largo - más corto, más alto - más bajo, más pesado - más ligero, más ancho - más estrecho, más grueso - más delgado, derecha - izquierda, más lejos - más cerca, mayor - más joven, más rápido - más lento, etc.

Al trabajar en estos pares de conceptos, es importante utilizar no sólo las ilustraciones del libro de texto, sino también las observaciones de los niños; así, por ejemplo, desde la ventana del aula ven que hay una casa al otro lado del río, e inventan las frases: “El río está más cerca de la escuela que la casa, y la casa está más lejos de la escuela que el río .”

Deje que el alumno sostenga alternativamente un libro y un cuaderno en la mano. La maestra pregunta: ¿qué es más pesado: un libro o un cuaderno? ¿Cuál es más fácil? "Un libro pesa más que un cuaderno y un cuaderno es más liviano que un libro".

Habiendo colocado al estudiante más alto y más bajo de la clase uno al lado del otro frente a la clase, inmediatamente inventamos dos frases: "Misha es más alta que Kolya y Kolya es más baja que Misha".

En estos ejercicios, es importante lograr una sustitución gramaticalmente correcta de un juicio por uno dual: “Una casa de piedra es más alta que una de madera, lo que significa que una casa de madera es más baja que una de piedra”.

Al familiarizarse con el concepto "más largo - más corto", puede mostrar una comparación de objetos en longitud superponiendo uno encima del otro (¿cuál es más largo: un bolígrafo o un estuche de lápices?).

En las lecciones de aritmética y desarrollo del habla, es útil resolver problemas lógicos con el objetivo de enseñar el uso de conceptos opuestos: “¿Quién es mayor: padre o hijo? ¿Quién es más joven: padre o hijo? ¿Cuál nació primero? ¿Quién llega más tarde?

“Compare el ancho de un libro y un maletín. ¿Qué es más ancho: un libro o un maletín? ¿Qué es ya un libro o un maletín? ¿Qué pesa más: un libro o un maletín?

La enseñanza del proceso de comparación puede hacerse más interesante introduciendo los llamados ejercicios matriciales (tabulares). En la pizarra se construye una tabla de cuatro celdas y se explica el significado de los conceptos “columna” y “fila”. Introducimos los conceptos de “columna izquierda” y “columna derecha”, “fila superior” y “fila inferior”.

Junto con los estudiantes mostramos (imitamos) la interpretación semántica de estos conceptos.

Muestre la columna (los niños mueven la mano de arriba a abajo).

Muestre la columna de la izquierda, la columna de la derecha (los niños mueven los brazos dos veces de arriba a abajo).

Muestre la línea (mueva la mano de izquierda a derecha).

Muestre la línea superior y la línea inferior (dos movimientos con la mano que muestran la línea superior y la línea inferior).

Es necesario asegurarse de que los estudiantes indiquen con precisión la posición de la celda: “celda superior izquierda”, “celda inferior derecha”, etc. Inmediatamente se resuelve el problema inverso, a saber: el profesor señala alguna celda de la tabla (matriz) , el estudiante da el nombre correspondiente a esta celda. Entonces, si se señala una celda que se encuentra en la intersección de la fila superior y la columna izquierda, entonces el estudiante debe nombrar: "Celda superior izquierda". Estos ejercicios acostumbran gradualmente a los niños a la orientación espacial y son importantes a la hora de estudiar posteriormente el método de coordenadas de las matemáticas.

Trabajar la serie numérica es de gran importancia para las primeras lecciones de matemáticas elementales.

Es conveniente ilustrar el crecimiento de una serie numérica sumando uno por uno moviéndose hacia la derecha a lo largo de la recta numérica.

Si el signo (+) está asociado con moverse a lo largo de una recta numérica hacia la derecha en uno, entonces el signo (-) está asociado con retroceder hacia la izquierda en uno, etc. (Por lo tanto, mostramos ambos signos simultáneamente en el mismo lección.)

Trabajando con la serie numérica, introducimos los siguientes conceptos: el comienzo de la serie numérica (el número cero) representa el extremo izquierdo del rayo; El número 1 corresponde a un segmento unitario, que debe representarse por separado de la serie numérica.

Haga que los estudiantes trabajen en una recta numérica hasta tres.

Seleccionamos dos números vecinos cualesquiera, por ejemplo 2 y 3. Pasando del número 2 al número 3, los niños razonan así: "Al número 2 le sigue el número 3". Pasando del número 3 al número 2, dicen:

“El número 3 viene antes del número 2” o: “El número 2 viene antes del número 3”.

Este método le permite determinar el lugar de un número determinado en relación con los números anteriores y posteriores; Es apropiado prestar atención inmediatamente a la relatividad de la posición del número, por ejemplo: el número 3 es simultáneamente posterior (detrás del número 2) y anterior (antes del número 4).

Las transiciones indicadas a lo largo de la serie numérica deben estar asociadas con las operaciones aritméticas correspondientes.

Por ejemplo, la frase “Al número 2 le sigue el número 3” se representa simbólicamente de la siguiente manera: 2 + 1 = 3; sin embargo, es psicológicamente beneficioso crear inmediatamente después la conexión de pensamientos opuesta, a saber: la expresión “Antes del número 3 viene el número 2” está respaldada por la entrada: 3 – 1 = 2.

Para comprender el lugar de un número en una serie numérica, se deben formular preguntas pareadas:

1. ¿A qué número le sigue el número 3? (El número 3 viene después del número 2.) ¿Qué número va antes del número 2? (El número 2 viene antes del número 3.)

2. ¿Qué número viene después del número 2? (El número 2 va seguido del número 3.) ¿Qué número viene antes del número 3? (El número 3 está precedido por el número 2.)

3. ¿Entre qué números se encuentra el número 2? (El número 2 está entre el número 1 y el número 3.) ¿Qué número está entre los números 1 y 3? (Entre los números 1 y 3 está el número 2.)

En estos ejercicios, la información matemática está contenida en palabras funcionales: antes, detrás, entre.

Es conveniente combinar el trabajo con una serie numérica con la comparación de números por magnitud, así como con la comparación de la posición de los números en la recta numérica. Las conexiones de juicios de naturaleza geométrica se desarrollan gradualmente: el número 4 está en la recta numérica a la derecha del número 3; eso significa que 4 es mayor que 3. Y viceversa: el número 3 está en la recta numérica a la izquierda del número 4; esto significa que el número 3 es menor que el número 4. Así se establece una conexión entre pares de conceptos: a la derecha - más, a la izquierda - menos.

De lo anterior, vemos un rasgo característico de la asimilación integrada de conocimientos: todo el conjunto de conceptos asociados con la suma y la resta se ofrecen juntos, en sus continuas transiciones (recodificaciones) entre sí.

El principal medio para dominar las relaciones numéricas en nuestro libro de texto son las barras de colores; Es conveniente compararlas por longitud, estableciendo cuántas celdas son mayores o menores que ellas en la barra superior o inferior. En otras palabras, no presentamos el concepto de “comparación de diferencias de segmentos” como un tema especial, pero los estudiantes se familiarizan con él desde el comienzo del estudio de los números de los primeros diez. En las lecciones dedicadas al estudio de los diez primeros, conviene utilizar barras de colores, que permiten realizar la propedéutica de los principales tipos de tareas de las acciones de la primera etapa.

Veamos un ejemplo.

Dejemos que se superpongan dos barras de colores, divididas en celdas:

en el inferior - 3 celdas, en el superior - 2 celdas (ver figura).

Comparando el número de celdas en las barras superior e inferior, el profesor compone dos ejemplos de acciones mutuamente inversas (2 + 1 = 3, 3 – 1 = 2), y las soluciones a estos ejemplos se leen en pares de todas las formas posibles:

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

a) suma 1 a 2: obtienes 3; a) resta 1 de 3: obtienes 2;

b) aumenta 2 por 1: obtienes 3; b) reduce 3 en 1: obtienes 2;

c) 3 es más de 2 por 1; c) 2 es menor que 3 por 1;

d) 2 si 1 será 3; d) 3 sin 1 será 2;

e) suma el número 2 con el número 1 - e) resta el número 1 del número 3 -

resulta 3. resulta 2.

Maestro. Si se multiplica 2 por 1 ¿cuánto será?

Alumno. Si aumentas 2 en 1, obtienes 3.

Maestro. Ahora dime ¿qué hay que hacer con el número 3 para obtener 2?

Alumno. Reduce 3 en 1 para obtener 2.

Llamemos la atención aquí sobre la necesidad de que en este diálogo se lleve a cabo de forma metódica y competente la operación de oposición. ,

El dominio seguro de los niños del significado de conceptos emparejados (suma - resta, aumento - disminución, más - menos, sí - sin, suma - resta) se logra usándolos en una lección, basada en el mismo triple de números (por ejemplo, 2 + 1 = =3, 3-1=2), basado en una demostración: comparar las longitudes de dos barras.

Ésta es la diferencia fundamental entre el sistema metodológico de consolidación de unidades de asimilación y el sistema de estudio separado de estos conceptos básicos, en el que conceptos contrastantes de matemáticas se introducen, por regla general, por separado en la práctica del habla de los estudiantes.

La experiencia de aprendizaje muestra las ventajas de la introducción simultánea de pares de conceptos mutuamente opuestos, a partir de las primeras lecciones de aritmética.

Entonces, por ejemplo, el uso simultáneo de tres verbos: "agregar" (agregar 1 a 2), "agregar" (agregar el número 2 al número 1), "aumentar" (2 aumentar en 1), que se representan simbólicamente idénticamente (2+1= 3), ayuda a los niños a aprender la similitud y la cercanía del significado de estas palabras (se puede realizar un razonamiento similar con respecto a las palabras "restar", "restar", "reducir").

De la misma manera, la esencia de la comparación de diferencias se aprende mediante el uso repetido de comparar pares de números desde el comienzo del entrenamiento, y en cada parte del diálogo de la lección se utilizan todas las formas verbales posibles de interpretación del ejemplo resuelto: “¿Qué es mayor: 2 o 3? ¿Cuánto más es 3 que 2? ¿Cuánto necesitas sumar a 2 para obtener 3? etc. El cambio de formas gramaticales y el uso frecuente de formas interrogativas son de gran importancia para dominar el significado de estos conceptos.

Pruebas de larga duración han demostrado las ventajas del estudio monográfico de los diez primeros números. Cada número sucesivo es sometido a un análisis multilateral, enumerándose todas las opciones posibles para su formación; dentro de este número, se realizan todas las acciones posibles, se repiten "todas las matemáticas disponibles", se utilizan todas las formas gramaticales aceptables para expresar la relación entre números. Por supuesto, con este sistema de estudio, en relación con la cobertura de números posteriores, se repiten ejemplos previamente estudiados, es decir, la expansión de la serie numérica se realiza con repetición constante de combinaciones de números previamente consideradas y variedades de problemas simples. .

2.3 Estudio conjunto de suma y resta, multiplicación y división.

En la metodología de las matemáticas elementales, los ejercicios sobre estas dos operaciones suelen considerarse por separado. Mientras tanto, parece más preferible el estudio simultáneo de la operación dual “suma - descomposición en términos”.

Deje que los estudiantes resuelvan el problema de suma: “Suma 1 barra a tres barras y obtendrás 4 barras”. Después de esta tarea, inmediatamente se debe formular la pregunta: “¿De qué números se compone el número 4?” 4 palitos constan de 3 palitos (el niño cuenta 3 palitos) y 1 palito (separa 1 palito más).

El ejercicio inicial puede ser la descomposición de un número. La maestra pregunta: "¿De qué números se compone el número 5?" (El número 5 consta de 3 y 2.) E inmediatamente se hace una pregunta sobre los mismos números: "¿Cuánto obtienes si sumas 2 a 3?" (Suma 2 a 3 y obtienes 5).

Con el mismo propósito, es útil practicar la lectura de ejemplos en dos direcciones: 5+2=7. Suma 2 a 5 y obtienes 7 (léelo de izquierda a derecha). 7 consta de los términos 2 y 5 (leídos de derecha a izquierda).

Es útil acompañar la oposición verbal con ejercicios de este tipo sobre el ábaco en el aula, que permiten ver el contenido específico de las operaciones correspondientes. Los cálculos en el ábaco son indispensables como medio para visualizar acciones sobre los números, y el tamaño de los números hasta 10 se asocia aquí con la longitud de un conjunto de huesos ubicados en un cable (esta longitud la percibe visualmente el estudiante). Es imposible estar de acuerdo con tal “innovación” cuando los libros de texto y programas actuales han abandonado por completo el uso del ábaco ruso en las lecciones.

Entonces, al resolver un ejemplo de suma (5+2=7), el estudiante primero contó 5 piedras en el ábaco, luego les agregó 2 y luego anunció la suma: “Suma 2 a 5 - obtienes 7” (el nombre del número resultante 7, el alumno establece recalculando la nueva totalidad: “Uno - dos - tres - cuatro - cinco - seis - siete”).

Alumno. Suma 2 a 5 y obtienes 7.

Maestro. Ahora muestra en qué términos se compone el número 7.

Estudiante (primero separa dos huesos a la derecha, luego habla). El número 7 se compone de 2 y 5.

Al realizar estos ejercicios, es recomendable utilizar los conceptos “primer término” (5), “segundo término” (2) y “suma” desde el principio.

Se ofrecen los siguientes tipos de tareas: a) la suma de dos términos es 7; encontrar los términos; b) ¿de qué componentes consta el número 7?; c) descomponer la suma 7 en 2 términos (en 3 términos). Etc.

Dominar un concepto algebraico tan importante como la ley conmutativa de la suma requiere una variedad de ejercicios, inicialmente basados en manipulaciones prácticas con objetos.

Maestro. Toma 3 palos en tu mano izquierda y 2 en tu mano derecha. ¿Cuántos palos hay en total?

Alumno. Hay 5 palos en total.

Maestro. ¿Cómo puedo decir más sobre esto?

Alumno. Agregue 2 palitos a 3 palitos; habrá 5 palitos.

Maestro. Redacte este ejemplo a partir de números cortados. (El estudiante hace un ejemplo: 3+2=5.)

Maestro. Ahora intercambie los palillos: transfiera los palillos de su mano izquierda a su derecha y transfiera los palillos de su mano derecha a su izquierda. ¿Cuántos palos hay ahora en ambas manos?

Alumno. En total, había 5 palos en dos manos, y ahora nuevamente hay 5 palos.

Maestro. ¿Por qué sucedió esto?

Alumno. Porque no apartamos nada y no añadimos palos, cuantos había, quedaron tantos.

Maestro. Redacte ejemplos resueltos a partir de los números cortados.

Estudiante (deja a un lado: 3+2=5, 2+3=5). Aquí estaba el número 3, y ahora el número 2. Y aquí estaba el número 2, y ahora el número 3.

Maestro. Intercambiamos los números 2 y 3, pero el resultado siguió siendo el mismo:

5. (Se hace un ejemplo a partir de números divididos: 3+2=2+3.)

La ley conmutativa también se aprende en ejercicios sobre la descomposición de un número en términos.

¿Cuándo introducir la ley conmutativa de la suma?

El objetivo principal de la enseñanza de la suma, ya dentro de los primeros diez, es enfatizar constantemente el papel de la ley conmutativa en los ejercicios.

Deje que los niños cuenten primero 6 palitos; luego les sumamos tres palos y recalculando (“siete - ocho - nueve”) establecemos la suma: 6 sí 3 - será 9. Es necesario ofrecer inmediatamente un nuevo ejemplo: 3 + 6; Inicialmente, la nueva cantidad se puede establecer nuevamente mediante un nuevo cálculo (es decir, de la forma más primitiva), pero de forma gradual y decidida se debe formular un método de solución en un código superior, es decir, lógicamente, sin nuevo cálculo.

Si 6 y 3 son 9 (la respuesta se establece mediante recálculo), entonces 3 y 6 (¡sin recálculo!) también serán 9.

En resumen, la propiedad conmutativa de la suma debe introducirse desde el principio de los ejercicios de suma de diferentes términos, de modo que componer (pronunciar) soluciones a cuatro ejemplos se convierta en un hábito:

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

Recopilar cuatro ejemplos es una forma de ampliar el conocimiento accesible a los niños.

Vemos que una característica tan importante de la operación de suma como su conmutabilidad no debería ocurrir ocasionalmente, sino que debería convertirse en el principal medio lógico para fortalecer las asociaciones numéricas correctas. La principal propiedad de la suma, la conmutabilidad de términos, debe considerarse constantemente en relación con la acumulación de nuevos resultados tabulares en la memoria.

Vemos: la relación de operaciones lógicas o computacionales más complejas se basa en una relación similar por pares (proximidad) de operaciones elementales a través de las cuales se realizan un par de operaciones "complejas". En otras palabras, la oposición explícita de conceptos complejos se basa en la oposición implícita (subconsciente) de conceptos más simples.

Es recomendable realizar el estudio inicial de multiplicación y división en la siguiente secuencia de tres ciclos de problemas (tres tareas en cada ciclo):

Ciclo: a, b) multiplicación con multiplicando constante y división por contenido (juntos); c) división en partes iguales.

Ciclo II: a, b) disminuir y aumentar en número varias veces (juntos); c) comparación múltiple.

Ciclo III: a, b) encontrar una parte de un número y un número según el tamaño de una de sus partes (juntos); c) resolver el problema: "¿Qué parte es un número de otro?"

El sistema metodológico para estudiar estos problemas es similar al descrito anteriormente para los problemas simples de la primera etapa (suma y resta).

Estudio simultáneo de multiplicación y división en contenido. En dos o tres lecciones (¡no más!) dedicadas a la multiplicación, se aclara el significado del concepto de multiplicación como suma colapsada de términos iguales (la acción de división aún no se analiza en estas lecciones). Este tiempo es suficiente para estudiar la tabla de multiplicar el número 2 por números de un solo dígito.

Por lo general, a los estudiantes se les muestra un registro de cómo reemplazar la suma con la multiplicación: 2+2+2+2=8; 2*4=8. Aquí la conexión entre suma y multiplicación va en la dirección suma-multiplicación. Es apropiado ofrecer inmediatamente a los estudiantes un ejercicio diseñado para producir retroalimentación de la forma “multiplicación-suma” (términos iguales): al mirar esta entrada, el estudiante debe comprender que el número 2 debe repetirse como sumando tantas veces como sea posible. el multiplicador en el ejemplo muestra (2*4= 8).

La combinación de ambos tipos de ejercicio es una de las condiciones importantes que asegura la asimilación consciente del concepto de “multiplicación”, que significa suma colapsada.

En la tercera lección (o cuarta, dependiendo de la clase), para cada uno de los casos conocidos de multiplicación, se da un caso correspondiente de división. En el futuro, será beneficioso considerar la multiplicación y la división solo juntas en las mismas lecciones.

Por tanto, el concepto de “multiplicación” adquiere un rico contenido: no es sólo el resultado de la suma de términos iguales (“generalización de la suma”), sino también la base, el momento inicial de la división, que, a su vez, representa “resta colapsada”, reemplazando la “resta por 2” secuencial:

El significado de la multiplicación se comprende no tanto a través de la multiplicación misma, sino a través de constantes transiciones entre multiplicación y división, ya que la división es una multiplicación velada y “modificada”. Esto explica por qué es beneficioso estudiar posteriormente siempre la multiplicación y la división al mismo tiempo (tanto tabulares como extratabulares; tanto orales como escritas).

Las primeras lecciones sobre el estudio simultáneo de la multiplicación y la división deben dedicarse al procesamiento pedante de las operaciones lógicas mismas, apoyadas en todos los sentidos por una extensa actividad práctica en la recolección y distribución de diversos objetos (cubos, setas, palos, etc.), pero la secuencia de acciones detalladas debe seguir siendo la misma.

El resultado de este trabajo serán las tablas de multiplicar y dividir escritas una al lado de la otra:

2*2=4, 4:2=2,

2*3=6, 6: 2=3,

2*4=8, 8: 2=4,

2*5 = 10, 10: 2 = 5, etc.

Por lo tanto, la tabla de multiplicar se construye utilizando un multiplicando constante y la tabla de división se construye utilizando un divisor constante.

También es útil ofrecer a los estudiantes, junto con esta tarea, un ejercicio estructuralmente opuesto sobre la transición de la división a la resta de sustraendos iguales.

En los ejercicios de repetición es útil ofrecer tareas de este tipo: 14:2==.

Estudio de la división en partes iguales. Después de haber estudiado o repetido juntos la multiplicación del número 2 y la división por 2, se introduce en una de las lecciones el concepto de “división en partes iguales” (el tercer tipo de problema del primer ciclo).

Considere el problema: “Cuatro estudiantes trajeron 2 cuadernos. ¿Cuántos cuadernos trajiste?"

El profesor explica: toma 2 4 veces y obtendrás 8. (Aparece la entrada: 2 * 4 = 8.) ¿Quién escribirá el problema inverso?

Y una generalización de la experiencia de los profesores al impartir lecciones de matemáticas sobre este tema. El trabajo del curso consta de una introducción, dos capítulos, una conclusión y una lista de referencias. Capítulo I. Características metodológicas del estudio del área de figuras geométricas y sus unidades de medida en las lecciones de matemáticas en la escuela primaria 1.1 Características del desarrollo de los escolares más jóvenes relacionadas con la edad en la etapa de formación de conceptos geométricos...

Todavía no ilumina los problemas. Dado que el tema de los métodos de enseñanza para la transformación de tareas es el que menos se ha tratado, continuaremos estudiándolo. Capítulo II. Metodología para la enseñanza de la transformación de problemas. 2.1. Problemas de transformación en las lecciones de matemáticas en la escuela primaria. Dado que existe muy poca literatura especializada respecto a la transformación de tareas, decidimos realizar una encuesta entre docentes...

Al aprender material nuevo, se recomienda estructurar una lección de tal manera que el trabajo comience con una variedad de demostraciones realizadas por el profesor o el alumno. El uso de ayudas visuales en las lecciones de matemáticas al estudiar material geométrico permite a los niños dominar de manera firme y consciente todas las cuestiones del programa. El lenguaje de las matemáticas es un lenguaje de símbolos, signos convencionales, dibujos, geométricos...

9.3.1. Metodología para introducir el concepto de “Monomio” y desarrollar la capacidad de encontrar su valor numérico.

El conocimiento básico incluye los conceptos de expresión algebraica, producto de expresiones algebraicas, multiplicador (numérico y alfabético); a habilidades: registrar una expresión algebraica por sus elementos, resaltar los elementos de una expresión algebraica determinada.

Los conocimientos se actualizan mediante ejercicios.

1. De este conjunto, seleccione expresiones algebraicas que sean productos de varios factores: a) 5 un 2 segundo; segundo) (7 ab 2 + de 2):(5metro 2 norte); c) 8; d) 5 un 6 bb 4 un; d) ; f) g)

La condición especificada se cumple con las expresiones algebraicas: 5 un 2 segundo; 8; 5un 6 bb 4 un; ; Lo más probable es que los estudiantes no nombren 8 entre las expresiones algebraicas requeridas; ; aunque algunos podrán adivinar qué se puede representar como s. Habiendo tomado varias expresiones algebraicas, debes practicar aislando sus factores numéricos, factores de letras y escribiendo nuevas expresiones basadas en estas expresiones algebraicas.

2. Crea una nueva expresión algebraica usando las expresiones 3. un 2 segundo Y A. Posibles respuestas de los estudiantes: 3 un 2 segundo+ A; 3un 2 segundo– A; 3un 2 segundo A; 3un 2 segundo: A.

3. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son monomios: a) 5 a 3 bсab 4; b) A; c) d) 3 4 e) 7 ab 2:norte; mi) – 5 un 6 b con 2; mi) – un 3; g) h) – mnx. Nombra los factores numéricos y alfabéticos de los monomios.

4. Escribe varias expresiones algebraicas que sean monomios.

5. Escribe varios monomios que difieran sólo en su coeficiente numérico.

6. Complete los espacios en blanco: a) 12 un 3 b 4= 2A… segundo 2; b) – 24 m 2 b 7 p 6= 24pb …

7. En lugar de formulaciones verbales, escriba expresiones algebraicas: a) producto doble de números A Y b; b) triplicar el producto del cuadrado de un número A y numeros b.

8. Explica las expresiones: a) 2 A b; b) A 5b.

Por ejemplo, la expresión A 5b se puede explicar como: 1) producto de números A, 5 y b;2) producto de números A y 5 b;3) área de un rectángulo con lados A y 5 b.

Los ejercicios de los tipos 7 y 8 también contribuyen a dominar el método de resolución de problemas planteados utilizando ecuaciones, ya que la traducción de formulaciones verbales al lenguaje de números y letras y la interpretación verbal de expresiones algebraicas son componentes importantes del método de resolución de problemas utilizando ecuaciones.

9. Encuentra el valor numérico del monomio: 1) 5 mnx en metro= 3, norte= ; incógnita=8; 2) (– 0,25)A b en A=12; b=8. Al realizar tales ejercicios, se debe señalar a los estudiantes especiales la necesidad de utilizar las propiedades y leyes de las operaciones aritméticas para racionalizar los cálculos.

La organización de los ejercicios puede ser diferente: solución en la pizarra, solución independiente, solución comentada, ejecución simultánea de ejercicios en la pizarra con la participación de los alumnos débiles y el trabajo independiente de los alumnos fuertes, etc.

Como tarea, puede utilizar ejercicios para escribir números en forma estándar, que servirán como motivo para introducir el concepto de forma estándar de monomio en la próxima lección.

9.3.2. Generalización y sistematización de conocimientos sobre el tema: “Progresiones”.

La reproducción y corrección de conocimientos básicos se puede realizar mediante ejercicios para completar la tabla seguidos de discusión de los resultados.

Tenga en cuenta que las progresiones aritméticas y geométricas proporcionan un ejemplo de estudio de material en situaciones similares, por lo que los métodos de contraste y comparación deben ocupar un lugar importante en la sistematización del conocimiento sobre progresiones. La discusión de cuestiones clave se basa en la identificación de las razones de las diferencias y puntos en común en las progresiones.

Preguntas para la discusión.

A). Nombrar las estructuras comunes y diferentes de las definiciones de progresiones aritméticas y geométricas.

B). Defina una progresión geométrica infinitamente decreciente.

EN). ¿Cómo se llama la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente? Escribe su fórmula.

GRAMO). ¿Cómo demostrar que una secuencia dada es una progresión aritmética (geométrica)?

D). Usando flechas, muestre las conexiones entre las definiciones y fórmulas especificadas (Fig.7):

a	una norte = una norte -1 + d	A 1 , A 2 , … …	un norte = un l +d(n–1)
		un, d

	una norte = (un -1 + un +1)	Signo de progresión aritmética	S norte = (un 1 + un 2) norte

3. Escriba todas las definiciones y fórmulas sobre el tema "Progresión geométrica" e indique las dependencias entre ellas.

Se puede pedir a los estudiantes que completen los ejercicios 2 y 3 de forma independiente, seguido de una discusión de los resultados por parte de todos los estudiantes de la clase. Puedes realizar el ejercicio 2 de forma colectiva y ofrecer el ejercicio 3 como trabajo independiente.

Las siguientes etapas de la lección de generalización se implementan mediante ejercicios, cuya implementación requiere el análisis y uso de hechos básicos, que conducen a nuevas conexiones y relaciones entre los conceptos y teoremas estudiados.

4. Inserta un número positivo entre los números 4 y 9 para obtener tres términos consecutivos de la progresión geométrica. Formular y resolver un problema similar en relación con una progresión aritmética.

5. Definir los números un 1, un 2, un 3 Y un 4, Si un 1, un 2, un 3 son términos sucesivos de una progresión geométrica, y un 1, un 3 Y un 4– progresión aritmética y un 1 + un 4= 14, un 2 + un 3 = 12.

7. ¿Pueden tres números positivos ser simultáneamente tres términos consecutivos de una progresión aritmética y geométrica?

8. ¿Es posible decir que las progresiones aritméticas y geométricas son funciones? Si es así, ¿qué tipos de funciones son?

9. Se sabe que un = 2norte+1 – progresión aritmética. ¿Cuáles son las similitudes y diferencias entre las gráficas de esta progresión y la función lineal? F(incógnita) = 2incógnita+1?

10. ¿Es posible indicar secuencias que sean
¿Progresiones aritméticas y geométricas?

Las formas de realización de los ejercicios pueden ser diferentes: realización de ejercicios en la pizarra, soluciones comentadas, etc. Algunos de los ejercicios dados pueden ser completados por los estudiantes de forma independiente y su implementación se puede llevar a cabo dependiendo de las habilidades de los estudiantes utilizando tarjetas que contengan líneas faltantes o instrucciones para su implementación. Obviamente, cuanto menores sean las capacidades del estudiante, más extenso debe ser para él el conjunto de recomendaciones (instrucciones para su implementación).

9.3.3. Probar, evaluar y corregir conocimientos, destrezas y habilidades sobre el tema: “Multiplicación y división de números racionales”.

La evaluación del conocimiento de los estudiantes sobre material factual y su capacidad para explicar la esencia de los conceptos básicos se lleva a cabo durante una conversación seguida de ejercicios.

Preguntas para conversar

1. Formule una regla para multiplicar dos números con los mismos signos. Dar ejemplos.

2. Formule una regla para multiplicar dos números con signos diferentes. Dar ejemplos.

3. ¿Cuál es el producto de varios números si uno de ellos es cero? ¿Bajo que condiciones? a segundo = 0?

4. ¿A qué es igual el producto? A(–1)? Dar ejemplos.

5. ¿Cómo cambiará el producto cuando cambie el signo de uno de los factores?

6. Formule la ley conmutativa de la multiplicación.

7. ¿Cómo se formula la ley asociativa de la multiplicación?

8. Escribir, usando letras, las leyes conmutativa y asociativa de la multiplicación.

9. ¿Cómo encontrar el producto de tres y cuatro números racionales?

10. Un estudiante, al realizar un ejercicio para encontrar el producto 0,25 15 15 (–4), utilizó la siguiente secuencia de acciones: (0,25 (–4)) 15 15 = (–1) 15 15 = –15 15. ¿Qué leyes ¿Él usa?

11. ¿Qué factor de una expresión algebraica se llama coeficiente?

12. ¿Cómo encontrar el coeficiente de un producto que tiene varios factores alfabéticos y numéricos?

13. ¿Cuál es el coeficiente de la expresión? a; - a; ab; –ab?

14. Formule la ley distributiva de la multiplicación. Escríbelo usando letras.

15. ¿Qué términos de una suma algebraica se llaman similares?

16. Explique qué significa traer términos similares.

17. Explique con ayuda de qué leyes se lleva a cabo la reducción de términos similares en la expresión 5.2. y – 8a - 4,8y – 2A.

18. ¿Cuál es la regla para dividir números racionales con los mismos signos?

19. ¿Cuál es la regla para dividir números racionales con diferentes signos?

20. ¿En qué caso el cociente de dos números racionales es igual a cero?

21. ¿En qué orden se realizan las operaciones conjuntas con números racionales?

Algunas preguntas pueden ser objeto de discusión colectiva, otras pueden ser objeto de hojas de control mutuo de los estudiantes, es posible realizar un dictado matemático a partir de algunas preguntas, etc.

La siguiente serie de ejercicios tiene como objetivo monitorear, evaluar y corregir las habilidades de los estudiantes. Son posibles varias formas de realización de los ejercicios: decisión independiente, acompañada del autocontrol de los alumnos, decisión comentada, realización de ejercicios en la pizarra, preguntas orales, etc. Esta serie cubre dos grupos de ejercicios. El primer grupo no requiere un carácter reconstructivo de actividad mental para su realización; la implementación del segundo grupo implica la reconstrucción de conocimientos y habilidades sobre el tema en estudio.

1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?

1) (–9) (–8) = –72; 2) (–1,4) 0,5 = – 0,7;

3) 12 (–0,2) = –0,24; 4) (–3,2) (–2,1) = 6,72?

Elija la respuesta correcta.

Respuesta: 1); 2); 3); 4); No hay verdaderas igualdades.

2. Sin realizar cálculos, determine qué producto es positivo:

1) 0,26 (–17) (–52) (–34); 2) (–1) (–8) 0,4 (–3,4);

3) (–16) (–0,87) (– ) (–5); 4) 5 (–3,2) 0 (0,7).

Respuesta: 1); 2); 3); 4).

3. Especifique expresiones que tengan coeficientes iguales:

1) 9C.A y 3 incógnita(4y); 2) (–3) (–8cb) y 4 incógnita 6y;

3) abecedario y 2,75 xy; 4) 3,15abecedario y 0.001 abecedario.

4. ¿Cuál de las expresiones contiene términos similares?

1) 7A– 12ab+ 14; 2) – 0,5xy + 2,7kh – 0,5;

3) 3Con – 2,7khus – ;4) 72ab – ab + 241?

Por favor indique la respuesta correcta.

Respuesta: 1); 2); 4); No hay expresiones que contengan términos similares.

5. Especifique las igualdades correctas: : (–18.2

3. Elige el número más grande y el más pequeño entre los números.
A,A 2 ,A 3 ,A 4 , A 5 , A 6 , A 7 a las A = – 5, A = 3.

4. Simplifica la expresión:

1) – incógnita(y – 4) – 2(xy– 3) – 3INCÓGNITA; 2) a(b+ 3) – 3(2 – ab) + a.

El conjunto de tareas dado y su secuencia cubren todos los niveles de adquisición de conocimientos. La finalización de todo el conjunto de tareas corresponde a la adquisición de conocimientos y habilidades de alta calidad y puede calificarse como "excelente". La asimilación de conocimientos y habilidades al nivel de su aplicación en situaciones que no requieren la reconstrucción de conocimientos y habilidades corresponde a los ejercicios del primer grupo. Las respuestas correctas a las preguntas caracterizan la asimilación de conocimientos a nivel de reproducción. Se puede dar una calificación de "satisfactorio" a un estudiante que haya completado la mayoría de los ejercicios del primer grupo. La calificación “buena” corresponde a la realización correcta de la mayoría de los ejercicios del primer y segundo grupo.

Misiones

1. Seleccionar un tema específico para un curso de álgebra correccional y del desarrollo en una escuela secundaria. Estudie las secciones relevantes del programa y del libro de texto. Identificar las características metodológicas del estudio del tema. Desarrollar fragmentos de métodos de enseñanza para el tema. Prepare un juego de tarjetas para corregir los conocimientos de los estudiantes.

2. Asista a varias lecciones de álgebra en una de las instituciones especiales (correccionales) de tipo VII de su región. Realizar un análisis de una lección desde el punto de vista de su orientación educativa, correccional y de desarrollo, educativa y práctica.

3. Uno de los objetivos de la enseñanza de las matemáticas es la formación de una cultura matemática. La cultura computacional es uno de los componentes de la cultura matemática. Sugiera su interpretación del concepto de “cultura computacional”. ¿En qué etapas de la enseñanza de las matemáticas a estudiantes especiales, al enseñar qué contenidos, es posible y apropiado fijarse el objetivo de “formación de una cultura informática”? Dé un ejemplo específico con un sistema de tareas correspondiente. Haga una lista de literatura sobre el desarrollo del concepto de número para lectura extracurricular para estudiantes especiales. Indique en qué clases se puede utilizar.

CAPÍTULO 10. CUESTIONES SELECCIONADAS EN LOS MÉTODOS DE ENSEÑANZA DE GEOMETRÍA CORRECCIONAL Y DE DESARROLLO en la escuela primaria.

(8 horas)

Plan:

1. Los objetivos del estudio de material algebraico en los grados de primaria.

2. Propiedades de las operaciones aritméticas estudiadas en la escuela primaria.

3. Estudio de expresiones numéricas y reglas para el orden de las acciones:

Un pedido sin corchetes;

Mismo orden con paréntesis;

Expresiones sin paréntesis, incluidas 4 operaciones aritméticas, con corchetes.

4. Análisis de igualdades y desigualdades numéricas estudiadas en los grados primarios (comparación de dos números, un número y una expresión numérica, dos expresiones numéricas).

5. Introducción de símbolos alfabéticos con una variable.

6. Metodología de estudio de ecuaciones:

a) dar la definición de una ecuación (de conferencias sobre matemáticas y de un libro de texto de matemáticas para la escuela primaria),

b) resaltar el alcance y contenido del concepto,

c) ¿Qué método (abstracto-deductivo o concreto-inductivo) introducirás este concepto? Describe los pasos principales para trabajar en una ecuación.

Completa las tareas:

1. Explique la conveniencia de utilizar desigualdades con una variable en los grados de primaria.

2. Elaborar un mensaje para la lección sobre la posibilidad de desarrollar la propedéutica funcional en los estudiantes (a través del juego, a través del estudio de las desigualdades).

3. Seleccionar tareas para que los estudiantes completen las propiedades esenciales y no esenciales del concepto de “ecuación”.

1. Abramova O.A., Moro M.I. Resolver ecuaciones // Escuela primaria. – 1983. - N° 3. – págs. 78-79.

2. Ymanbekova P. Medios de visualización en la formación del concepto de “igualdad” y “desigualdad” // Escuela primaria. – 1978. – N° 11. – pág. 38-40.

3. Shchadrova I.V. Sobre el orden de las acciones en una expresión aritmética // Escuela primaria. – 2000. - N° 2. – págs. 105-107.

4. Shikhaliev Kh.Sh. Un enfoque unificado para la resolución de ecuaciones y desigualdades // Escuela primaria. – 1989. - N° 8. – págs. 83-86.

5. Nazarov I.N. Familiarización con la dependencia funcional en la enseñanza de la resolución de problemas // Escuela primaria. – 1989. - N° 1. – págs. 42-46.

6. Kuznetsova V.I. Sobre algunos errores típicos de los estudiantes relacionados con cuestiones de propedéutica algebraica // Escuela primaria. – 1974. - N° 2. – pág.31.

Características generales de la metodología de estudio.

material algebraico

La introducción de material algebraico en el curso inicial de matemáticas ayuda a preparar a los estudiantes para estudiar los conceptos básicos de las matemáticas modernas, por ejemplo, como "variable", "ecuación", "desigualdad", etc., y contribuye al desarrollo del pensamiento funcional. en niños.

Los conceptos principales del tema son “expresión”, “igualdad”, “desigualdad”, “ecuación”.

El término "ecuación" se introduce al estudiar el tema "Mil", pero el trabajo preparatorio para familiarizar a los estudiantes con las ecuaciones comienza en el primer grado. Los términos “expresión”, “significado de la expresión”, “igualdad”, “desigualdad” se incluyen en el diccionario de los estudiantes a partir del segundo grado. El concepto de “resolver la desigualdad” no se introduce en la escuela primaria.

Expresiones numéricas

En matemáticas, una expresión se entiende como una secuencia constante, de acuerdo con ciertas reglas, de símbolos matemáticos que denotan números y operaciones sobre ellos. Ejemplos de expresiones: 7; 5 + 4; 5 (3 + V); 40:5+6,etc.

Expresiones de la forma 7; 5 + 4; 10: 5 + 6; (5 + 3) 10 se llaman expresiones numéricas, a diferencia de las expresiones de la forma 8 – A; (3 + V); 50: A, llamadas expresiones literales o variables.

Objetivos de estudiar el tema.

2. Familiarizar a los estudiantes con las reglas para el orden de realizar operaciones con números y, de acuerdo con ellas, desarrollar la capacidad de encontrar los valores numéricos de las expresiones.

3. Presente a los estudiantes transformaciones idénticas de expresiones basadas en operaciones aritméticas.

En la metodología para introducir a los escolares de primaria en el concepto de expresión numérica se pueden distinguir tres etapas, que implican la familiarización con expresiones que contienen:

Una operación aritmética (etapa I);

Dos o más operaciones aritméticas de una etapa (etapa II);

Dos o más operaciones aritméticas de diferentes niveles (etapa III).

A los estudiantes se les presentan las expresiones más simples (suma y diferencia) en el primer grado (cuando estudian suma y resta hasta 10); con el producto y cociente de dos números - en el grado II.

Ya al estudiar el tema "Diez", se introducen en el diccionario de los estudiantes los nombres de las operaciones aritméticas, los términos "suma", "suma", "minuendo", "resta", "diferencia". Además de la terminología, también deben aprender algunos elementos del simbolismo matemático, en particular los signos de acción (más, menos); deben aprender a leer y escribir expresiones matemáticas simples de la forma 5 + 4 (la suma de los números “cinco” y “cuatro”); 7 – 2 (la diferencia entre los números “siete” y “dos”).

Primero se presenta a los estudiantes el término "suma" en el sentido de un número resultante de la operación de suma, y luego en el sentido de una expresión. Técnica de resta de la forma 10 – 7, 9 – 6, etc. Se basa en el conocimiento de la relación entre la suma y la resta. Por tanto, es necesario enseñar a los niños a representar un número (disminuido) como la suma de dos términos (10 es la suma de los números 7 y 3; 9 es la suma de los números 6 y 3).

Los niños se familiarizan con expresiones que contienen dos o más operaciones aritméticas en el primer año de educación cuando dominan las técnicas computacionales ± 2, ± 3, ± 1. Resuelven ejemplos de la forma 3 + 1 + 1, 6 – 1 – 1. , 2 + 2 + 2, etc. Calculando, por ejemplo, el valor de la primera expresión, el estudiante explica: “Suma uno a tres, obtienes cuatro, suma uno a cuatro, obtienes cinco”. La solución a los ejemplos de la forma 6 - 1 - 1, etc. se explica de manera similar. Así, los alumnos de primer grado se preparan gradualmente para deducir la regla sobre el orden de realización de las acciones en expresiones que contienen acciones del mismo nivel, que es. generalizado en el grado II.

En el primer grado, los niños prácticamente dominarán otra regla para el orden de realización de las acciones, a saber, realizar acciones en expresiones de la forma 8 - (4 + 2); (6 - 2) + 3, etcétera.

Se generaliza el conocimiento de los estudiantes sobre las reglas para el orden de realización de las acciones y se introduce otra regla sobre el orden de las acciones en expresiones que no tienen paréntesis y contienen operaciones aritméticas de diferentes niveles: suma, resta, multiplicación y división.

Al familiarizarse con la nueva regla sobre el orden de las acciones, el trabajo se puede organizar de diferentes maneras. Puede invitar a los niños a leer la regla del libro de texto y aplicarla al calcular los valores de las expresiones correspondientes. También puede pedir a los estudiantes que calculen, por ejemplo, el valor de la expresión 40 – 10: 2. Las respuestas pueden ser diferentes: para algunos el valor de la expresión será igual a 15, para otros será 35.

Luego de esto, el docente explica: “Para encontrar el valor de una expresión que no tiene paréntesis y contiene las acciones de suma, resta, multiplicación y división, debes realizar en orden (de izquierda a derecha) primero las operaciones de multiplicación y división, y luego (también de izquierda a derecha) suma y resta. En esta expresión, primero debes dividir 10 entre 2 y luego restar el resultado resultante 5 de 40. El valor de la expresión es 35”.

De hecho, los estudiantes de primaria se familiarizan con transformaciones idénticas de expresiones.

La transformación idéntica de expresiones es la sustitución de una expresión dada por otra cuyo valor es igual al valor dado (el término y la definición no se dan a los estudiantes de primaria).

Los estudiantes se enfrentan a la transformación de expresiones desde el primer grado en relación con el estudio de las propiedades de las operaciones aritméticas. Por ejemplo, al resolver ejemplos de la forma 10 + (50 + 3) de una manera conveniente, los niños razonan así: “Es más conveniente sumar decenas con decenas y sumar 3 unidades al resultado 60. Lo escribiré: 10 (50 + 3) = (10 + 50) + 3 = 63”.

Al realizar una tarea en la que necesitan terminar de escribir: (10 + 7) · 3 = 10 · 3 + 7 · 3..., los niños explican: “A la izquierda se multiplica la suma de los números 10 y 7 por el número 3, a la derecha, se multiplica el primer término 10 de esta suma por el número 3; Para que se conserve el signo “igual”, también se debe multiplicar el segundo término 7 por el número 3 y sumar los productos resultantes. Lo escribiré así: (10 + 7) 3 = 10 3 + 7 3”.

Al transformar expresiones, los estudiantes en ocasiones cometen errores de la forma (10 + 4) · 3 = - 10 · 3 + 4. El motivo de este tipo de errores está asociado al uso incorrecto de conocimientos previamente adquiridos (en este caso, utilizando el regla de sumar un número a la suma al resolver un ejemplo, en donde la suma debe multiplicarse por un número). Para evitar este tipo de errores, puede ofrecer a los estudiantes las siguientes tareas:

a) Compara las expresiones escritas en el lado izquierdo de las igualdades. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian? Explica cómo calculaste sus valores:

(10 + 4) + 3 = 10 + (4 + 3) = 10 + 7 = 17

(10 + 4) 3 = 10 3 + 4 3 = 30 + 12 = 42

b) Completa los espacios en blanco y encuentra el resultado:

(20 + 3) + 5 = 20 + (3 + ð); (20 + 3) 5 = 20 ð + 3 ð.

c) Compara las expresiones y pon un signo > entre ellas,< или =:

(30 + 4) + 2… 30 + (4 + 2); (30 + 4) + 2 … 30 2 + 4 2.

d) Comprobar mediante cálculo si se cumplen las siguientes igualdades:

8 3 + 7 3 = (8 + 7) 3; 30 + (5 + 7) = 30 + 7.

Expresiones literales

En los grados elementales, se prevé realizar, en estrecha relación con el estudio de la numeración y las operaciones aritméticas, trabajos preparatorios para revelar el significado de una variable. Para ello, los libros de texto de matemáticas incluyen ejercicios en los que una variable se indica mediante una “ventana”. Por ejemplo, ð< 3, 6 < ð, ð + 2 = 5 и др.

Aquí es importante animar a los estudiantes a que intenten sustituir no uno, sino varios números en la “ventana”, comprobando cada vez si la entrada es correcta.

Entonces, en el caso р< 3 в «окошко» можно подставить числа 0, 1, 2,; в случае 6 < ð - числа 7, 8, 9, 10, 20 и др.; в случае ð + 2 = 5 можно подставить только число 3.

Para simplificar el programa de matemáticas para los grados primarios y garantizar su accesibilidad, los símbolos de letras no se utilizan como medio para generalizar el conocimiento aritmético. Todas las designaciones de letras se reemplazan por formulaciones verbales.

Por ejemplo, en lugar de la tarea

La tarea se propone de la siguiente forma: “Aumentar el número 3 por 4 veces; 5 veces; 6 veces; ..."

Igualdades y desigualdades

Familiarizar a los alumnos de primaria con las igualdades y desigualdades implica resolver los siguientes problemas:

Aprenda a establecer la relación “más que”, “menor que” o “igual a” entre expresiones y escriba los resultados de la comparación mediante un signo;

La metodología para desarrollar ideas sobre igualdades y desigualdades numéricas entre los escolares más pequeños implica las siguientes etapas de trabajo.

En la etapa I, al principio de la semana escolar, los alumnos de primer grado realizan ejercicios para comparar conjuntos de objetos. Aquí lo más recomendable es utilizar la técnica de establecer una correspondencia uno a uno. En esta etapa, los resultados de la comparación aún no se escriben utilizando los signos de relación adecuados.

En la etapa II, los estudiantes comparan números, primero basándose en la claridad objetiva y luego en la propiedad de los números en la serie natural, según la cual, de dos números diferentes, el número mayor se llama más tarde al contar y el número menor se llama más temprano. Los niños registran las relaciones que se establecen de esta forma mediante signos adecuados. Por ejemplo, 3 > 2, 2< 3. В дальнейшем при изучении нумерации (в концентрах «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа») для сравнения чисел полезно применять два способа, а именно устанавливать отношения между числами: 1) по месту их расположения в натуральном ряду; 2) на основе сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высших разрядов. Например, 826 < 829, так как сотен и десятков в этих числах поровну, а единиц в первом числе меньше, чем во втором.

También puedes comparar los valores: 4 dm 5 cm > 4 dm 3 cm, ya que hay más decímetros que en el segundo. Además, los valores se pueden expresar primero en unidades de una medida y luego compararlos: 45 cm > 43 cm.

Ejercicios similares ya se introducen al estudiar sumas y restas hasta 10. Es útil realizarlos basándose en la claridad, por ejemplo: los estudiantes colocan en sus escritorios cuatro círculos a la izquierda y cuatro triángulos a la derecha. Resulta que hay el mismo número de figuras: cuatro cada una. Escribe la igualdad: 4 = 4. Luego los niños suman un círculo a las figuras de la izquierda y escriben la suma 4 + 1. Hay más figuras a la izquierda que a la derecha, lo que significa 4 + 1 > 4.

Utilizando la técnica de la ecuación, los estudiantes pasan de la desigualdad a la igualdad. Por ejemplo, sobre un lienzo tipográfico se colocan 3 setas y 4 ardillas. Para tener la misma cantidad de champiñones y ardillas, puedes: 1) agregar un champiñón (entonces quedarán 3 champiñones y 3 ardillas).

Hay 5 coches y 5 camiones en el lienzo tipográfico. Para tener más autos que otros, puedes: 1) quitar uno (dos, tres) autos (automóvil o camión) o 2) agregar uno (dos, tres) autos.

Poco a poco, al comparar expresiones, los niños pasan de depender de la visualización a comparar sus significados. Este método es el principal en la escuela primaria. Al comparar expresiones, los estudiantes también pueden confiar en el conocimiento de: a) la relación entre los componentes y el resultado de una operación aritmética: 20 + 5 * 20 + 6 (la suma de los números 20 y 5 se escribe a la izquierda, el suma de los números 20 y 6 de la derecha Los primeros términos de estas sumas son iguales, el segundo término de la suma de la izquierda es menor que el segundo término de la suma de la derecha, lo que significa la suma de la izquierda. es menor que la suma de la derecha: 20 + 5< 20 + 6); б) отношение между результатами и компонентами арифметических действий: 15 + 2 * 15 (слева и справа сначала было поровну – по 15. Затем к 15 прибавили 2, стало больше, чем 15); в) смысла действия умножения: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 * 5 · 3 (слева число 5 взяли слагаемым 5 раз, справа число 5 взяли слагаемым 3 раза, значит, сумма слева будет больше, чем справа: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 >5+5+5); d) propiedades de las operaciones aritméticas: (5 + 2) · 3 * 5 · 3 + 2 · 3 (a la izquierda, la suma de los números 5 y 2 se multiplica por el número 3, a la derecha, los productos de cada uno Los sumandos del número 3 se encuentran y se suman. Esto significa que en lugar de un asterisco, puedes poner el signo igual: (5 + 2) 3 = 5 3 + 2 3).

En estos casos, se utilizan cálculos de valores de expresión para comprobar la exactitud del signo. Para registrar desigualdades con una variable en los grados de primaria se utiliza una “ventana”: 2 > ð, ð = 5, ð > 3.

Es útil realizar los primeros ejercicios de este tipo a partir de una serie numérica, recurriendo a la cual los alumnos notan que el número 2 es mayor que uno y cero, por lo tanto en la “ventana” (2 > ð) se pueden sustituir los números 0. y 1 (2>0, 2>1).

Otros ejercicios con ventana se realizan de manera similar.

El método principal al considerar desigualdades con una variable es el método de selección.

Para simplificar los valores de una variable en desigualdades, se propone seleccionarlos de una serie específica de números. Por ejemplo, puedes proponer escribir aquellos de los números dados de la serie 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 para los cuales la notación ð - 7 es correcta.< 5.

Al completar esta tarea, el estudiante puede razonar así: “Sustituyamos el número 7 en la “ventana”: 7 menos 7 será 0, 0 es menor que 5, lo que significa que el número 7 es adecuado. Pongamos el número 8:8 menos 7 en la "ventana" y obtenemos 1, 1 es menor que 5, lo que significa que el número 8 también es adecuado... Pongamos el número 12 en la "ventana": 12 menos 7 obtiene 5, 5 es menor que 5: incorrecto, lo que significa que el número 12 no es adecuado. Para escribir ð - 7< 5 была верной, в «окошко» можно подставить любое из чисел 7, 8, 9, 10, 11».

Ecuaciones

Al final del tercer grado, los niños se familiarizan con las ecuaciones más simples de la forma: incógnita+8 =15; 5+incógnita=12; incógnita–9 =4; 13–incógnita=6; incógnita·7 =42; 4· incógnita=12; incógnita:8 =7; 72:incógnita=12.

El niño debería poder resolver ecuaciones de dos formas:

1) método de selección (en los casos más simples); 2) de una manera basada en la aplicación de reglas para encontrar componentes desconocidos de operaciones aritméticas. A continuación se muestra un ejemplo de cómo registrar una solución a una ecuación junto con la verificación y el razonamiento del niño al resolverla:

incógnita – 9 = 4 incógnita = 4 + 9 incógnita = 13

13 – 9 = 4 4 = 4

"En la ecuación incógnita– 9 = 4 x ocupa el lugar del minuendo. Para encontrar el minuendo desconocido, debes sumar el sustraendo a la diferencia ( incógnita=4+9.) Comprobemos: restamos 9 de 13, obtenemos 4. La igualdad correcta es 4 = 4, lo que significa que la ecuación se resuelve correctamente”.

En cuarto grado, se puede iniciar a un niño en la resolución de problemas simples componiendo una ecuación.

“Estudiar material algebraico en la escuela primaria”

Realizada por la profesora de la más alta categoría Averyakova N.N.

Introducción.

Capítulo 1. Aspectos teóricos generales del estudio de material algebraico en la escuela primaria.

1.1. Experiencia en la introducción de elementos de álgebra en la escuela primaria.

1.2. Bases psicológicas para la introducción de conceptos algebraicos en la escuela primaria.

1.3. El problema del origen de los conceptos algebraicos y su significado para la construcción de una asignatura educativa.

2.1. La enseñanza en la escuela primaria desde el punto de vista de las necesidades de la escuela secundaria.

2.2. Comparar (contrastar) conceptos en lecciones de matemáticas.

2.3. Estudio conjunto de suma y resta, multiplicación y división.

Capítulo 3. Trabajo de investigación sobre el estudio del material algebraico en las lecciones de matemáticas de los grados primarios de la escuela No. 72.

3.1. Justificación del uso de tecnologías innovadoras (tecnología UDE).

3.2. Sobre la experiencia de familiarización con conceptos algebraicos.

3.3.Diagnóstico de los resultados del aprendizaje de las matemáticas.

Conclusión.

Lista bibliográfica.

Introducción

En cualquier sistema moderno de educación general, las matemáticas ocupan uno de los lugares centrales, lo que sin duda habla de la singularidad de este campo del conocimiento.

¿Qué son las matemáticas modernas? ¿Por qué es necesario? Los niños suelen hacer estas y otras preguntas similares a los profesores. Y cada vez la respuesta será diferente en función del nivel de desarrollo del niño y de sus necesidades educativas.

Se suele decir que las matemáticas son el lenguaje de la ciencia moderna. Sin embargo, parece que esta afirmación tiene un defecto importante. El lenguaje de las matemáticas está tan extendido y a menudo es eficaz precisamente porque las matemáticas no pueden reducirse a él.

El destacado matemático ruso A.N Kolmogorov escribió: “Las matemáticas no son sólo uno de los idiomas. Las matemáticas son lenguaje más razonamiento, es como lenguaje y lógica juntos. Las matemáticas son una herramienta para pensar. Contiene los resultados del pensamiento preciso de muchas personas. Con la ayuda de las matemáticas uno puede relacionar un razonamiento con otro... Las aparentes complejidades de la naturaleza con sus extrañas leyes y reglas, cada una de las cuales admite una explicación separada muy detallada, de hecho están estrechamente relacionadas. Sin embargo, si no quieres utilizar las matemáticas, entonces en esta enorme variedad de hechos no verás que la lógica te permite pasar de uno a otro”.

Así, las matemáticas nos permiten formar ciertas formas de pensamiento necesarias para estudiar el mundo que nos rodea.

Nuestro sistema educativo está diseñado de tal manera que para muchos, la escuela brinda la única oportunidad de incorporarse a una cultura matemática y dominar los valores contenidos en las matemáticas.

¿Cuál es la influencia de las matemáticas en general y de las matemáticas escolares en particular en la educación de una personalidad creativa? Enseñar el arte de resolver problemas en las lecciones de matemáticas nos brinda una oportunidad extremadamente favorable para desarrollar una determinada mentalidad en los estudiantes. La necesidad de actividades de investigación desarrolla el interés por los patrones y nos enseña a ver la belleza y la armonía del pensamiento humano. Todo esto es un elemento esencial de la cultura general. El curso de matemáticas tiene una influencia importante en la formación de diversas formas de pensamiento: lógico, espacial-geométrico, algorítmico. Cualquier proceso creativo comienza con la formulación de una hipótesis. Las matemáticas, con la adecuada organización de la educación, siendo una buena escuela para construir y probar hipótesis, enseñan a comparar diferentes hipótesis, encontrar la mejor opción, plantear nuevos problemas y buscar formas de resolverlos. Al maximizar las posibilidades del pensamiento humano, las matemáticas son el mayor logro.

El curso de matemáticas (sin geometría) en realidad se divide en 3 partes principales: aritmética (grados 1 a 5), álgebra (grados 6), elementos de análisis (grados 9 a 11). Cada parte tiene su propia “tecnología” especial. Así, en aritmética se asocia, por ejemplo, con cálculos realizados con números de varios dígitos, en álgebra, con transformaciones idénticas, logaritmización, en análisis, con diferenciación. Pero ¿cuáles son las razones más profundas asociadas con el contenido conceptual de cada parte? La siguiente pregunta se refiere a la base para distinguir entre aritmética y álgebra escolar. La aritmética incluye el estudio de los números naturales (enteros positivos) y fracciones (primos y decimales). Sin embargo, un análisis especial muestra que combinar este tipo de números en una materia escolar es ilegal. El caso es que estos números tienen diferentes funciones: los primeros están asociados con contar objetos, los segundos con medir cantidades. Desde el punto de vista de la medición de cantidades, como señaló A.N. Kolmogorov, “no existe una diferencia tan profunda entre los números reales racionales e irracionales. Por razones pedagógicas es necesario detenerse en los números racionales, ya que son fáciles de escribir en forma de fracciones, pero el uso que se les dé desde el principio debe conducir inmediatamente a los números reales en toda su generalidad” (12 -p.9). Por tanto, existe una oportunidad real, a partir de los números naturales (enteros), de formar inmediatamente “el concepto más general de número” (en la terminología de A. Lebesgue), el concepto de número real. Pero desde el punto de vista de la construcción del programa, esto significa ni más ni menos que la eliminación de la aritmética de fracciones en su interpretación escolar. La transición de números enteros a números reales es una transición de la aritmética al álgebra, a la creación de una base para el análisis. Estas ideas, expresadas hace más de 30 años, siguen siendo vigentes hoy. ¿Es posible cambiar la estructura de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria en esta dirección? ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de la algebraización en la educación matemática elemental? El propósito de este trabajo es intentar dar respuesta a las preguntas planteadas.

La realización de este objetivo requiere resolver las siguientes tareas:

Consideración de aspectos teóricos generales de la introducción de conceptos algebraicos de magnitud y número en la escuela primaria;

Estudio de métodos específicos para la enseñanza de estos conceptos en la escuela primaria;

Mostrar la aplicabilidad práctica de las disposiciones consideradas en la escuela primaria durante las lecciones de matemáticas en la Escuela Secundaria No. 72 por la maestra N.N Averyakova.

CAPÍTULO 1. ASPECTOS TEÓRICOS GENERALES DEL ESTUDIO DE MATERIAL ALGEBRAICO EN LA ESCUELA PRIMARIA.

EXPERIENCIA EN INTRODUCCIÓN DE ELEMENTOS DE ÁLGEBRA EN ESCUELA PRIMARIA.

El contenido de una materia académica depende de muchos factores: de las exigencias de la vida sobre el conocimiento de los estudiantes, del nivel de las ciencias relevantes y de las capacidades físicas y mentales de los niños relacionadas con la edad. La consideración correcta de estos factores es una condición esencial para la educación más eficaz de los escolares y la ampliación de sus capacidades cognitivas. Pero a veces esta condición no se cumple por diversas razones. Parece que actualmente los programas de enseñanza de algunas materias académicas, incl. matemáticas, no se corresponden con las nuevas exigencias de la vida, el nivel de las ciencias modernas y los nuevos datos de la psicología y la lógica del desarrollo. Esta circunstancia dicta la necesidad de realizar pruebas teóricas y experimentales de posibles proyectos de nuevos contenidos de las materias educativas. Las bases de las habilidades matemáticas se sientan en la escuela primaria. Pero, lamentablemente, tanto los propios matemáticos como los metodólogos y psicólogos prestan muy poca atención al contenido de las matemáticas elementales. Baste decir que el programa de matemáticas en la escuela primaria (1-4) en sus características principales se formó hace 50-60 años y refleja naturalmente el sistema de ideas matemáticas, metodológicas y psicológicas de esa época.

Consideremos los rasgos característicos del estándar estatal en matemáticas. Su contenido principal son los números enteros y las operaciones sobre ellos, estudiados en una secuencia determinada. Además de esto, el programa implica el estudio de medidas métricas y de tiempo, dominar la capacidad de usarlas para medir, conocer algunos elementos de la geometría visual: dibujar un rectángulo, un cuadrado, medir segmentos, áreas, calcular volúmenes. Los estudiantes deben aplicar los conocimientos y habilidades adquiridos para resolver problemas y realizar cálculos simples. A lo largo del curso, la resolución de problemas se lleva a cabo en paralelo con el estudio de números y operaciones; para ello se dedica la mitad del tiempo correspondiente. La resolución de problemas ayuda a los estudiantes a comprender el significado específico de una acción, comprender diversos casos de su aplicación, establecer relaciones entre cantidades y adquirir habilidades básicas de análisis y síntesis. Desde el grado 1 al 4, los niños resuelven los siguientes tipos principales de problemas (simples y compuestos): encontrar la suma y el resto, producto y cociente, aumentar y disminuir números dados, diferencia y comparación múltiple, regla triple simple, división proporcional, encontrar un desconocido de dos diferencias y otros tipos de problemas. Los niños encuentran diferentes tipos de dependencias cuantitativas al resolver problemas. Pero, muy típicamente, los estudiantes comienzan los problemas después y mientras estudian los números; Lo principal que se requiere al resolver es encontrar una respuesta numérica. Los niños tienen grandes dificultades para identificar las propiedades de las relaciones cuantitativas en situaciones específicas y particulares, que generalmente se consideran problemas aritméticos. La práctica demuestra que la manipulación de números a menudo reemplaza el análisis real de las condiciones del problema desde el punto de vista de las dependencias de las cantidades reales. Además, los problemas presentados en los libros de texto no representan sistemas en los que situaciones más “complejas” estarían asociadas con capas “más profundas” de relaciones cuantitativas. Se pueden encontrar problemas de la misma dificultad tanto al principio como al final del libro de texto. Cambian de una sección a otra y de una clase a otra en términos de la complejidad de la trama (el número de acciones aumenta), el rango de los números (de diez a mil millones), la complejidad de las dependencias físicas (de los problemas de distribución al movimiento). problemas) y otros parámetros. En ellos sólo se manifiesta débil e indistintamente un parámetro: la profundización en el propio sistema de leyes matemáticas. Por tanto, es muy difícil establecer un criterio para la dificultad matemática de un problema particular. ¿Por qué los problemas para encontrar una incógnita a partir de dos diferencias y encontrar la media aritmética son más difíciles que los problemas de diferencias y comparaciones múltiples? La técnica no responde a esta pregunta.

Por lo tanto, los estudiantes de primaria no reciben un conocimiento adecuado y completo sobre las dependencias de las cantidades y las propiedades generales de las cantidades ni cuando estudian los elementos de la teoría de números, porque en el curso escolar se asocian principalmente con técnicas de cálculo, ni cuando resuelven problemas, porque estos últimos no tienen la forma adecuada y no cuentan con el sistema requerido. Los intentos de los metodólogos por mejorar los métodos de enseñanza, aunque conducen a éxitos parciales, no cambian la situación general, ya que están limitados de antemano por el marco de los contenidos aceptados.

Parece que el análisis crítico del programa aritmético adoptado debería basarse en las siguientes disposiciones:

El concepto de número no es idéntico al concepto de características cuantitativas de los objetos;

El número no es la forma original de expresar relaciones cuantitativas.

Proporcionemos la justificación de estas disposiciones. Es bien sabido que las matemáticas modernas (en particular, el álgebra) estudian aspectos de las relaciones cuantitativas que no tienen una capa numérica. También es bien sabido que algunas relaciones cuantitativas son bastante expresables sin números y antes de números, por ejemplo, en segmentos, volúmenes, etc. (la relación “más”, “menos”, “igual”). La presentación de conceptos matemáticos iniciales en los manuales modernos se lleva a cabo con tal simbolismo que no implica necesariamente la expresión de objetos mediante números. Así, en el libro "Aritmética teórica" de E.G. Gonin, los principales objetos matemáticos se indican desde el principio con letras y signos especiales. Es característico que ciertos tipos de números y dependencias numéricas se den sólo como ejemplos, ilustraciones de las propiedades de los conjuntos, y no como su única forma de expresión posible y única. Es de destacar que muchas ilustraciones de definiciones matemáticas individuales se dan en forma gráfica, mediante la relación de segmentos y áreas. Todas las propiedades básicas de conjuntos y cantidades pueden deducirse y justificarse sin involucrar sistemas numéricos; Además, estos últimos se justifican sobre la base de conceptos matemáticos generales.

A su vez, numerosas observaciones de psicólogos y profesores muestran que las ideas cuantitativas surgen en los niños mucho antes de que adquieran conocimientos sobre los números y cómo utilizarlos. Es cierto que existe una tendencia a clasificar estas ideas como "formaciones prematemáticas" (lo cual es bastante natural para los métodos tradicionales que identifican las características cuantitativas de un objeto con un número), pero esto no cambia la función esencial en la visión general del niño. Orientación en las propiedades de las cosas. Y a veces sucede que la profundidad de estas supuestas "formaciones prematemáticas" es más importante para el desarrollo del propio pensamiento matemático del niño que las complejidades de la tecnología informática y la capacidad de encontrar dependencias puramente numéricas. Es de destacar que el académico A.N. Kolmogorov, al caracterizar las características de la creatividad matemática, señala especialmente la siguiente circunstancia: “La base de la mayoría de los descubrimientos matemáticos es una idea simple: una construcción geométrica visual, una nueva desigualdad elemental, etc. Sólo hace falta aplicar correctamente esta sencilla idea para solucionar un problema que a primera vista parece inaccesible (12-p.17).

En la actualidad, son apropiadas una variedad de ideas sobre la estructura y las formas de construir un nuevo programa. En el trabajo de su construcción es necesario involucrar a matemáticos, psicólogos, lógicos y metodólogos. Pero en todas las opciones específicas, parece tener que cumplir los siguientes requisitos:

Superar la brecha existente entre el contenido de matemáticas en las escuelas primarias y secundarias;

Proporcionar un sistema de conocimiento sobre las leyes básicas de las relaciones cuantitativas del mundo objetivo; en este caso, las propiedades de los números como forma especial de expresar cantidades deberían convertirse en una sección especial, pero no principal, del programa;

Inculcar en los niños métodos de pensamiento matemático, y no solo habilidades de cálculo: se trata de construir un sistema de problemas basado en profundizar en la esfera de las dependencias de las cantidades reales (la conexión de las matemáticas con la física, la química, la biología y otras ciencias que estudian cantidades específicas). );

Simplifique decisivamente todas las técnicas de cálculo, minimizando el trabajo que no se puede realizar sin tablas, libros de referencia y otras herramientas auxiliares adecuadas.

El significado de estos requisitos es claro: en la escuela primaria es posible enseñar matemáticas como ciencia sobre las leyes de las relaciones cuantitativas, sobre las dependencias de las cantidades; Las técnicas informáticas y los elementos de la teoría de números deberían convertirse en una sección especial y privada del programa. La experiencia de la construcción de un nuevo programa de matemáticas y sus pruebas experimentales, realizada desde finales de 1960, nos permite ahora hablar de la posibilidad de introducir en la escuela, a partir del 1er grado, un curso de matemáticas sistemático que proporcione conocimientos sobre cuestiones cuantitativas. Relaciones y dependencias de cantidades en forma algebraica.

1.2. BASES PSICOLÓGICAS PARA LA INTRODUCCIÓN DE CONCEPTOS ALGEBRAICOS EN LA ESCUELA PRIMARIA.

Recientemente, al modernizar los programas, se ha dado especial importancia a sentar las bases teóricas de los cursos escolares (esta tendencia se manifiesta tanto aquí como en el extranjero). La implementación de esta tendencia en la enseñanza (especialmente en los grados de primaria, como se observa, por ejemplo, en una escuela estadounidense) inevitablemente planteará una serie de cuestiones difíciles para la psicología infantil y educativa y para la didáctica, porque ahora casi no hay estudios. revelar las características de la asimilación por parte del niño del significado de conjunto (a diferencia del dominio del conteo y los números, que se ha estudiado de manera muy exhaustiva).

Las investigaciones lógicas y psicológicas de los últimos años (especialmente el trabajo de J. Piaget) han revelado la conexión entre algunos mecanismos del pensamiento de los niños y los conceptos matemáticos generales. A continuación analizamos específicamente las características de esta conexión y su importancia para la construcción de las matemáticas como materia educativa (estamos hablando del lado teórico del asunto, y no de una versión particular del programa).

El número natural ha sido un concepto fundamental en matemáticas a lo largo de su historia; Desempeña un papel muy importante en todos los ámbitos de la producción, la tecnología y la vida cotidiana. Esto permite a los matemáticos teóricos darle un lugar especial entre otros conceptos de las matemáticas. De diversas formas se afirma que el concepto de número natural es la etapa inicial de la abstracción matemática, que es la base para la construcción de la mayoría de las disciplinas matemáticas.

La elección de los elementos iniciales de las matemáticas como materia académica implementa esencialmente estas disposiciones generales. En este caso, se supone que al familiarizarse con los números, el niño descubre al mismo tiempo las características iniciales de las relaciones cuantitativas. El conteo y los números son la base de todo aprendizaje posterior de las matemáticas en la escuela.

Muchos conceptos matemáticos generales, y en particular los conceptos de relaciones de equivalencia y orden, se consideran sistemáticamente en matemáticas independientemente de la forma numérica. Estos conceptos no pierden su carácter independiente; sobre su base, es posible describir y estudiar un tema particular: varios sistemas numéricos, conceptos que en sí mismos no cubren el significado y el significado de las definiciones originales. Además, en la historia de la ciencia matemática, los conceptos generales se desarrollaron precisamente en la medida en que las "operaciones algebraicas", un ejemplo bien conocido de las cuales son las cuatro operaciones de la aritmética, comenzaron a aplicarse a elementos de naturaleza completamente no numérica.

Recientemente, se ha intentado ampliar la etapa de introducción del niño a las matemáticas en la enseñanza. Esta tendencia encuentra su expresión en manuales metodológicos, así como en algunos libros de texto experimentales. Así, en un libro de texto estadounidense destinado a enseñar a niños de 6 a 7 años, en las primeras páginas se presentan tareas y ejercicios que capacitan específicamente a los niños para establecer la identidad de los grupos de materias. A los niños se les muestra la técnica de conectar conjuntos y se les presenta el simbolismo matemático correspondiente. Trabajar con números se basa en conocimientos básicos sobre conjuntos. El contenido de intentos específicos de implementar esta tendencia se puede evaluar de manera diferente, pero en sí mismo es bastante legítimo y prometedor.

A primera vista, los conceptos de “relación”, “estructura”, “leyes de composición” y otras definiciones matemáticas complejas existentes no pueden asociarse con la formación de conceptos matemáticos en los niños pequeños. Por supuesto, todo el significado verdadero y abstracto de estos conceptos y su lugar en la estructura axiomática de las matemáticas como ciencia es objeto de asimilación para una cabeza que ya está bien desarrollada y "entrenada" en matemáticas. Sin embargo, algunas propiedades de las cosas fijadas por estos conceptos, de una forma u otra, le aparecen al niño relativamente temprano: existen datos psicológicos específicos para esto.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que desde el momento del nacimiento hasta los 7-10 años, el niño desarrolla y desarrolla sistemas complejos de ideas generales sobre el mundo que lo rodea y sienta las bases para un pensamiento objetivo y significativo. Además, basándose en material empírico relativamente limitado, los niños identifican patrones generales de orientación en las dependencias espacio-temporales y de causa y efecto de las cosas. Estos diagramas sirven como una especie de marco para ese "sistema de coordenadas", dentro del cual el niño comienza a dominar cada vez más las diversas propiedades del mundo diverso. Por supuesto, estos esquemas generales apenas se realizan y, en pequeña medida, el propio niño puede expresarlos en forma de juicio abstracto. Ellos, en sentido figurado, son una forma intuitiva de organizar el comportamiento del niño (aunque, por supuesto, se reflejan cada vez más en los juicios).

En las últimas décadas, el famoso psicólogo suizo J. Piaget y sus colegas han estudiado con especial intensidad las cuestiones de la formación de la inteligencia de los niños y el surgimiento de sus ideas generales sobre la realidad, el tiempo y el espacio. Algunos de sus trabajos están directamente relacionados con los problemas del desarrollo del pensamiento matemático de un niño y, por lo tanto, es importante que los consideremos en relación con cuestiones de diseño curricular.

En uno de sus últimos libros (17), J. Piaget proporciona datos experimentales sobre la génesis y formación en niños (hasta 12-14 años) de estructuras lógicas elementales como la clasificación y la seriación. La clasificación implica realizar una operación de inclusión (por ejemplo, A+A1=B) y su operación inversa (B- A1=A). la seriación es la ordenación de objetos en filas sistemáticas (por ejemplo, se pueden colocar en una fila palos de diferentes longitudes, cada miembro de los cuales es más grande que todos los anteriores y más pequeño que todos los siguientes).

Analizando la formación de la clasificación, J. Piaget muestra cómo desde la forma inicial, desde la creación de un “agregado figurativo” basado únicamente en la proximidad espacial de los objetos, los niños pasan a una clasificación basada en la relación de similitud (“no- agregados figurativos”), y luego a la forma más compleja: a la inclusión de clases, determinada por la conexión entre el volumen y el contenido del concepto. El autor considera específicamente la cuestión de formar una clasificación no sólo según una, sino también según dos o tres características, y sobre el desarrollo en los niños de la capacidad de cambiar la base de clasificación al agregar nuevos elementos.

Estos estudios perseguían un objetivo muy específico: identificar los patrones de formación de las estructuras operativas de la mente y, en primer lugar, una propiedad constitutiva como la reversibilidad, es decir. la capacidad de la mente para avanzar y retroceder. La reversibilidad ocurre cuando “las operaciones y acciones pueden desarrollarse en dos direcciones, y la comprensión de una de estas direcciones provoca ipso facto (en virtud del hecho mismo) la comprensión de la otra (17-p. 15).

La reversibilidad, según J. Piaget, representa la ley fundamental de composición inherente a la mente. Tiene dos formas complementarias e irreductibles:inversión (inversión o negación) y reciprocidad. La inversión ocurre, por ejemplo, en el caso en que el movimiento espacial de un objeto de A a B se puede cancelar transfiriendo el objeto de regreso de B a A, lo que en última instancia equivale a una transformación cero (el producto de una operación y su inversa). es una operación idéntica, o una transformación cero).

La reciprocidad (o compensación) implica el caso en el que, por ejemplo, cuando un objeto se mueve de A a B, el objeto permanece en B, pero el niño mismo se mueve de A a B y reproduce la posición inicial cuando el objeto estaba contra su cuerpo. . El movimiento del objeto no se anulaba aquí, sino que era compensado por el movimiento correspondiente del propio cuerpo - y esto ya es una forma de transformación diferente a la circulación (17-p. 16). J. Piaget cree que el estudio psicológico del desarrollo de las operaciones aritméticas y geométricas en la mente de un niño (especialmente aquellas operaciones lógicas que llevan a cabo condiciones preliminares en ellas) nos permite correlacionar con precisión las estructuras operadoras del pensamiento con estructuras algebraicas, orden. estructuras y topológicas (17-p. 17). Así, la estructura algebraica (“grupo”) corresponde a los mecanismos operadores de la mente, sujetos a una de las formas de reversibilidad: la inversión (negación). Un grupo tiene cuatro propiedades elementales: el producto de dos elementos de un grupo también da un elemento del grupo; una operación directa corresponde a una y sólo una operación inversa; hay una operación de identidad; las composiciones sucesivas son asociativas. En el lenguaje de las acciones intelectuales esto significa:

La coordinación de dos sistemas de actuación constituye un nuevo esquema anexo a los anteriores;

La operación puede desarrollarse en dos direcciones;

Cuando volvemos al punto de partida lo encontramos sin cambios;

Se puede llegar a un mismo punto de diferentes maneras, y el punto en sí se considera inalterado.

Consideremos las principales disposiciones formuladas por J. Piaget en relación con las cuestiones de la construcción de un plan de estudios. En primer lugar, la investigación de J. Piaget muestra que durante el período de la infancia preescolar y escolar, un niño desarrolla estructuras de pensamiento operativas que le permiten evaluar las características fundamentales de las clases de objetos y sus posiciones. Además, ya en la etapa de operaciones específicas (a partir de los 7 años), el intelecto del niño adquiere la propiedad de reversibilidad, que es extremadamente importante para comprender el contenido teórico de las materias educativas, en particular las matemáticas. Estos datos indican que la psicología y la pedagogía tradicionales no tuvieron suficientemente en cuenta la naturaleza compleja y amplia de las etapas del desarrollo mental del niño asociadas con el período de 2 a 7 y de 7 a 11 años. La consideración de los resultados obtenidos por Piaget nos permite sacar una serie de conclusiones importantes en relación con el diseño de un plan de estudios de matemáticas. En primer lugar, los datos fácticos sobre la formación del intelecto de un niño de 2 a 11 años sugieren que en este momento no sólo las propiedades de los objetos descritas a través de los conceptos matemáticos de "estructura-relación" no son "ajenas" para él, sino que ellos mismos entran orgánicamente en el pensamiento del niño.

Los programas tradicionales no tienen esto en cuenta. Por lo tanto, no aprovechan muchas de las oportunidades ocultas en el proceso de desarrollo intelectual del niño. A la edad de 7 años, los niños ya han desarrollado suficientemente un plan de acciones mentales, y al enseñarles un programa apropiado en el que se dan "explícitamente" las propiedades de las estructuras matemáticas y se les da a los niños los medios para analizarlas, es posible rápidamente llevar a los niños al nivel de operaciones “formales” que en el período en el que esto se lleva a cabo durante el descubrimiento “independiente” de estas propiedades. Es importante tener en cuenta la siguiente circunstancia. Hay motivos para creer que las peculiaridades del pensamiento a nivel de operaciones específicas, fechadas por J. Piaget entre los 7 y los 11 años, están indisolublemente ligadas a las formas de organización educativa características de la escuela primaria tradicional.

Así, en la actualidad existen datos fácticos que muestran la estrecha conexión entre las estructuras del pensamiento infantil y las estructuras algebraicas generales. La presencia de esta conexión abre posibilidades fundamentales para construir un sujeto educativo que se desarrolle según el esquema "desde estructuras simples hasta combinaciones complejas". Este método puede ser una poderosa palanca para desarrollar en los niños un pensamiento que se base en una base conceptual bastante sólida.

1.3 EL PROBLEMA DEL ORIGEN DE LOS CONCEPTOS ALGEBRAICOS Y SU IMPORTANCIA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE UNA ASIGNATURA EDUCATIVA.

La división del curso de matemáticas de la escuela en álgebra y aritmética es condicional. La transición se produce gradualmente. Uno de los conceptos centrales del curso inicial es el concepto de número natural. Se interpreta como una característica cuantitativa de la clase de conjuntos equivalentes. El concepto se revela de forma concreta mediante el manejo del aparato y la medición de cantidades. Es necesario analizar el contenido del concepto “cantidad”. Es cierto que este término está asociado con otro término: "dimensión". En el uso general, el término cantidad se asocia con los conceptos “igual”, “más”, “menos”, que describen una amplia variedad de cualidades. Un conjunto de objetos sólo se transforma en cantidad cuando se establecen criterios que permitan establecer, respecto de cualquiera de sus elementos A y B, si A será igual a B, mayor que B o menor que B. Es más, para dos elementos cualesquiera A y B, se cumple una y sólo una de las relaciones: A=B, A B, A B.

V.F. Kogan identifica las siguientes ocho propiedades básicas de los conceptos "igual", "más", "menos".

1) al menos una de las relaciones se cumple: A=B, A B, A B;

2) si la relación A=B se cumple, entonces la relación A B no se cumple;

3) si A=B se cumple, entonces la relación A B no se cumple;

4) si A=B y B=C, entonces A=C;

5) si A es B y B es C, entonces A es C;

6) si A C y B C, entonces A C;

7) la igualdad es una relación reversible: A=B B=A;

8) la igualdad es una relación recíproca: cualquiera que sea el elemento A del conjunto considerado, A = A.

"Al establecer criterios de comparación, transformamos multitud en magnitud", escribió V.F. En la práctica, una cantidad generalmente no denota el conjunto mismo de elementos, sino un nuevo concepto introducido para distinguir los criterios de comparación (el nombre de la cantidad. Así es como los conceptos de "volumen", "peso", "longitud", etc. "Al mismo tiempo, para un matemático el valor está completamente definido cuando se indican muchos elementos y criterios de comparación", señaló V.F.

Este autor considera la serie natural de números como el ejemplo más importante de cantidad matemática. Desde el punto de vista de un criterio de comparación como la posición que ocupan los números en una serie (ocupa un lugar, sigue ..., precede ...), esta serie satisface los postulados y, por tanto, representa una cantidad. Trabajando con cantidades (es recomendable registrar valores individuales con letras), se puede realizar un sistema complejo de transformaciones, estableciendo la dependencia de sus propiedades, pasando de la igualdad a la desigualdad, realizando sumas y restas. Los números naturales y reales están igualmente fuertemente asociados con las cantidades y algunas de sus características esenciales. ¿Es posible hacer que éstas y otras propiedades sean objeto de estudio especial para el niño incluso antes de que se introduzca la forma numérica de describir la proporción de cantidades? Pueden servir como condiciones previas para la posterior introducción detallada del número y sus diferentes tipos, en particular para la propedéutica de fracciones, conceptos de coordenadas, funciones y otros conceptos que ya se encuentran en los grados inferiores. ¿Cuál podría ser el contenido de este apartado inicial? Se trata de conocimiento de los objetos físicos, criterios para su comparación, destacando una cantidad como tema de consideración matemática, conocimiento de los métodos de comparación y medios simbólicos para registrar sus resultados, con técnicas para analizar las propiedades generales de las cantidades. Se necesita una sección inicial del curso que presente a los niños conceptos algebraicos básicos (antes de presentarles los números). ¿Cuáles son los principales temas clave de dicho programa?

Tema 1. Nivelación y finalización de objetos (por longitud, volumen, peso, composición de piezas y otros parámetros).

Tema 2. Comparar objetos y registrar sus resultados mediante la fórmula de igualdad-desigualdad.

Tareas de comparar objetos y designar simbólicamente los resultados de esta acción;

Registro verbal de los resultados de la comparación (términos “más”, “menos”, “igual”).

signos escritos

Ilustración de los resultados de la comparación con una imagen;

Designación de objetos comparados por letras.

Tema 3. Propiedades de la igualdad y la desigualdad.

Tema 4. Operación de suma (resta).

Tema 5. Transición de desigualdad de tipo A B a igualdad mediante la operación de suma (resta).

Tema 6. Suma y resta de igualdades – desigualdades.

Con una planificación adecuada de las lecciones, la mejora de los métodos de enseñanza y una elección exitosa de los materiales didácticos, este material se puede dominar por completo en tres meses.

A continuación, los niños se familiarizan con las formas de obtener un número que exprese la relación de un objeto en su conjunto y su parte. Hay una línea que ya se implementó en el grado 1: transferir las propiedades básicas de la cantidad y la operación de suma de números (enteros). En particular, al trabajar en la recta numérica, los niños pueden transformar rápidamente una secuencia de números en un valor. Por lo tanto, tratar una serie numérica como una cantidad le permite desarrollar las habilidades mismas de suma y resta, y luego de multiplicación y división, de una manera nueva.

2.1. LA ENSEÑANZA EN PRIMARIA DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LAS NECESIDADES DE LA ESCUELA SECUNDARIA.

Como sabes, cuando se estudian matemáticas en 5º grado, una parte importante del tiempo se dedica a repetir lo que los niños deberían haber aprendido en la escuela primaria. Esta repetición en casi todos los libros de texto requiere un trimestre académico y medio. Los profesores de matemáticas de secundaria están insatisfechos con la preparación de los graduados de primaria. ¿A qué se debe esta situación? Para ello se analizaron los libros de texto de matemáticas de primaria más conocidos en la actualidad: se trata de libros de texto de los autores M.I. Moro, I.I. Arginskaya, N.B. Istomina, L.G. Peterson, V.V. Davydov, B.P.

El análisis de estos libros de texto reveló varios aspectos negativos, presentes en mayor o menor medida en cada uno de ellos y que afectan negativamente al aprendizaje posterior. En primer lugar, la asimilación del material que contienen se basa en gran medida en la memorización. Un claro ejemplo de ello es memorizar la tabla de multiplicar. En la escuela primaria se dedica mucho esfuerzo y tiempo a memorizarlo. Pero durante las vacaciones de verano los niños lo olvidan. La razón de un olvido tan rápido es el aprendizaje de memoria. Investigación de L.S. Vygotsky demostró que la memorización significativa es mucho más efectiva que la memorización mecánica, y los experimentos realizados demuestran de manera convincente que el material ingresa a la memoria a largo plazo solo si se recuerda como resultado del trabajo correspondiente a este material. Al estudiar material en la escuela primaria, se confía en acciones objetivas y claridad ilustrativa, lo que conduce a la formación del pensamiento empírico. Por supuesto, es casi imposible prescindir de esta visualización en la escuela primaria, pero debería servir sólo como ilustración de tal o cual hecho, y no como base para la formación de un concepto. El uso de claridad ilustrativa y acciones sustantivas en los libros de texto a menudo conduce a que el concepto mismo quede “confuso”. Por ejemplo, en el método matemático de M.I. Moreau se dice que los niños tienen que realizar divisiones ordenando objetos en montones o haciendo un dibujo durante 30 lecciones. Tales acciones pierden la esencia de la operación de división como acción inversa de la multiplicación como resultado de la división, que se aprende con la mayor dificultad y mucho peor que otras operaciones aritméticas.

Cuando se enseñan matemáticas en la escuela primaria, en ninguna parte se habla de demostrar afirmaciones. Mientras tanto, recordando lo difícil que será enseñar la prueba en la escuela secundaria, es necesario comenzar a prepararse para esto ya en los grados de primaria. Además, esto se puede hacer con material bastante accesible para los niños de primaria. Dicho material, por ejemplo, puede ser la regla de dividir un número por 1, cero por un número y un número por sí mismo. Los niños son muy capaces de demostrarlos utilizando la definición de división y las reglas de multiplicación correspondientes.

El material de la escuela primaria también permite la propedéutica del álgebra: trabajar con letras y expresiones de letras. La mayoría de los libros de texto evitan el uso de letras. Como resultado, los niños trabajan casi exclusivamente con números durante cuatro años, después de lo cual, por supuesto, es muy difícil acostumbrarse a trabajar con letras. sin embargo, es posible proporcionar propedéutica para tal trabajo, enseñar a los niños a sustituir un número en lugar de una letra en una expresión alfabética ya en la escuela primaria. Esto se hace maravillosamente, por ejemplo, en el libro de texto de L.G. Peterson. A partir del primer grado, los símbolos alfabéticos se introducen junto con los números y, en algunos casos, antes que ellos. Todas las reglas y conclusiones van acompañadas de una expresión alfabética. Por ejemplo, la lección 16 (grado 1, parte 2) sobre el tema "Cero" introduce a los niños a restar cero de un número y un número de sí mismo y concluye con la siguiente notación: a -0 = a a-a = 0

Lección 30 sobre el tema "Problemas de comparación" 1er grado incluye trabajo con ejercicios de comparación de la forma: a*a-3 c+4*c+5 c+0* c-0 d-1*d-2

Estos ejercicios obligan al niño a pensar y buscar evidencia de la solución elegida.

2.2. COMPARAR (CONTRASTAR) CONCEPTOS EN LAS CLASES DE MATEMÁTICAS.

El programa actual prevé el estudio en 1er grado de sólo dos operaciones de la primera etapa: la suma y la resta. Limitar el primer año de estudio a sólo dos acciones es, en esencia, una desviación de lo que ya se había logrado en los libros de texto que precedieron a los actuales: ni un solo profesor se quejó entonces de que la multiplicación y la división, digamos hasta 20, estuvieran fuera del alcance de la competencia. capacidades de los alumnos de primer grado. También es digno de atención que en las escuelas de otros países, donde la educación comienza a los 6 años, el primer año escolar incluye el conocimiento inicial de las cuatro operaciones matemáticas. Las matemáticas se basan principalmente en cuatro acciones, y cuanto antes se incluyan en la práctica del pensamiento del estudiante, más estable y confiable será el desarrollo posterior del curso de matemáticas.

En las primeras versiones del libro de texto de M.I. Moro para el primer grado, se proporcionaban multiplicación y división. Sin embargo, los autores se aferraron persistentemente a una "novedad": la cobertura en el primer grado de todos los casos de suma y resta hasta 100. Pero, como no hubo tiempo suficiente para estudiar un volumen de información tan ampliado, se decidió cambiar multiplicación y división completamente para el próximo año de estudio. Entonces, la fascinación por la linealidad del programa, es decir. La expansión puramente cuantitativa del conocimiento (las mismas acciones, pero con mayor número), tomó el tiempo que antes se asignaba a la profundización cualitativa del conocimiento (estudiando las cuatro acciones dentro de dos docenas). Estudiar multiplicación y división ya en 1º de primaria supone un salto cualitativo en el pensamiento, ya que permite dominar procesos de pensamiento condensados.

Según la tradición, el estudio de la suma y la resta hasta 20 solía ser un tema especial. La necesidad de este enfoque en la sistematización del conocimiento es visible incluso desde el análisis lógico de la pregunta: el hecho es que la tabla completa de suma de un solo número. los números de dígitos se expanden hasta dos decenas (0+1= 1… 9+9=18). Así, los números hasta 20 forman un sistema completo de relaciones en sus conexiones internas; Por lo tanto, es clara la conveniencia de preservar “20” en forma de un segundo tema holístico (el primero de estos temas son las acciones dentro de los primeros diez). El caso que nos ocupa es precisamente uno en el que la concentricidad (preservar la segunda decena como tema especial) resulta más beneficiosa que la linealidad (disolver la segunda decena en el tema de los “Cien”).

En el libro de texto de M.I. Moro, el estudio de los primeros diez se divide en dos secciones separadas: primero, se estudia la composición de los números de los primeros diez, y el siguiente tema examina las acciones dentro de los diez. Hay libros de texto experimentales donde el estudio conjunto de la numeración de la composición de números y acciones se lleva a cabo dentro de 10 a la vez en una sección (Erdniev P.M.).

En las primeras lecciones, el profesor debe fijarse el objetivo de enseñar al alumno a utilizar pares de conceptos, cuyo contenido se revela en el proceso de composición de oraciones correspondientes con estas palabras: más - menos, más largo - más corto, más alto - más bajo, más pesado - más ligero, más grueso - más delgado, derecha - izquierda , más lejos - más cerca, etc. Cuando se trabaja con pares de conceptos, es importante utilizar las observaciones de los niños. El aprendizaje del proceso de comparación puede resultar más interesante introduciendo los llamados ejercicios de tabla. Aquí se explica el significado de los conceptos “columna” y “fila”. Se introduce el concepto de columna izquierda y columna derecha, fila superior y fila inferior. Junto con los niños mostramos la interpretación semántica de estos conceptos. Estos ejercicios acostumbran gradualmente a los niños a la orientación espacial y son importantes a la hora de estudiar posteriormente el método de coordenadas de las matemáticas. Trabajar la serie numérica es de gran importancia para las primeras lecciones. Es conveniente ilustrar el crecimiento de una serie numérica sumando uno por uno moviéndose hacia la derecha a lo largo de la recta numérica. Si el signo (+) está asociado con el movimiento a lo largo de la recta numérica hacia la derecha en uno, entonces el signo (-) está asociado con el movimiento inverso hacia la izquierda en uno. (Es por eso que mostramos ambos signos al mismo tiempo en una lección). Trabajando en la serie numérica, introducimos los siguientes conceptos: el comienzo de la serie numérica (el número cero) representa el extremo izquierdo del rayo; El número 1 corresponde a un segmento unitario, que debe representarse por separado de la serie numérica. Los niños trabajan hasta tres con la barra numérica. Seleccionamos dos números adyacentes, 2 y 3. Pasando del número 2 al número 3, los niños razonan así: "Al número 2 le sigue el número 3". Pasando del número 3 al número 2, dicen: "Antes del número 3 viene el número 2" o "El número 2 viene antes del número 3". Este método le permite determinar el lugar de un número determinado en relación con los números anteriores y posteriores; Es apropiado prestar atención de inmediato a la relatividad de la posición del número, por ejemplo, el número 3 es simultáneamente posterior (detrás del número 2) y anterior (antes del número 4). Las transiciones indicadas a lo largo de la serie numérica deben estar asociadas con las operaciones aritméticas correspondientes. Por ejemplo, la frase “Al número 2 le sigue el número 3” se representa simbólicamente de la siguiente manera: 2+1=3; sin embargo, psicológicamente es beneficioso crear la conexión opuesta: “Antes del número 3 hay un número 2” y la entrada: 3-1=2. Para comprender el lugar de un número en una serie numérica, se deben formular preguntas pareadas:

1) ¿A qué número le sigue el número 3? ¿A qué número viene antes el número 2?

2) ¿Qué número viene después del número 2? ¿Qué número viene antes del número 3? Etc.

Es conveniente combinar el trabajo con una serie numérica con la comparación de números por magnitud, así como con la comparación de la posición de los números en la recta numérica. Las conexiones de juicios de naturaleza geométrica se desarrollan gradualmente: el número 4 está en la recta numérica a la derecha del número 3; significa que 4 es mayor que 3. Y viceversa: el número 3 está a la izquierda del número 4, lo que significa que el número 3 es menor que el número 4. Esto establece una conexión entre pares de conceptos: a la derecha es más, a la izquierda es menor.

De lo anterior, vemos una característica de la asimilación integrada de conocimientos: todo el conjunto de conceptos asociados con la suma y la resta se ofrecen juntos, en continuas transiciones entre sí. La experiencia de aprendizaje muestra los beneficios de introducir pares de conceptos mutuamente opuestos simultáneamente, desde las primeras lecciones. Así, por ejemplo, el uso simultáneo de tres verbos: “añadir (añadir 1 a 2), “añadir” (sumar el número 2 con el número 1), que se representan simbólicamente de forma idéntica (2 + 1 = 3), ayuda a los niños aprenda la similitud y proximidad de estas palabras por significado (se puede hacer un razonamiento similar con respecto a las palabras "restar", "restar", "reducir".

Pruebas de larga duración han demostrado las ventajas del estudio monográfico de los diez primeros números. Cada número sucesivo es sometido a un análisis multilateral, enumerándose todas las opciones posibles para su formación; dentro de este número, se realizan todas las acciones posibles, se repiten "todas las matemáticas", se utilizan todas las formas gramaticales aceptables para expresar la relación entre números. Por supuesto, con este sistema de estudio, en relación con la cobertura de números posteriores, se repiten ejemplos previamente estudiados, es decir, La expansión de la serie numérica se lleva a cabo con la repetición constante de combinaciones de números y variedades de problemas simples previamente discutidos.

2.3. ESTUDIO CONJUNTO DE SUMA Y RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.

En la metodología de las matemáticas elementales, los ejercicios sobre estas dos operaciones suelen considerarse por separado. Pero es más preferible el estudio simultáneo de la operación dual “suma-descomposición en términos”. Dicho trabajo se puede construir de la siguiente manera. Deje que los niños resuelvan el problema de suma: “Suma 1 barra a 3 barras y obtendrá 4 barras”. A continuación, inmediatamente planteamos la pregunta: "¿De qué números se compone el número 4?" 4 palitos constan de 3 palitos (el niño cuenta 3 palitos) y 1 palito (separa otro 1 palito). El ejercicio inicial puede ser la descomposición de un número. El profesor hace la pregunta: "¿De qué números se compone el número 5?" (el número 5 se compone de 3 y 2). E inmediatamente surge una pregunta sobre los mismos números: "¿Cuánto obtienes si sumas 2 a 3?" (suma 2 a 3 y obtienes 5). Con el mismo propósito, es útil practicar la lectura de ejemplos en dos direcciones: 5+2=7. Suma dos a cinco y obtienes siete. (leído de izquierda a derecha). 7 consta de los términos 2 y 5. (leído de derecha a izquierda). Es útil acompañar la oposición verbal con ejercicios de este tipo sobre el ábaco en el aula, que permiten ver el contenido específico de las operaciones correspondientes. El cálculo en el ábaco es indispensable como medio para visualizar acciones sobre números, y el valor de un número dentro de 10 está asociado aquí con la longitud del conjunto de huesos en un cable (esta longitud es percibida visualmente por el estudiante. Entonces, cuando resolviendo el ejemplo de la suma (5+2=7), el estudiante primero contó que hay 5 piedras en el ábaco, luego les sumó 2 y luego anunció la suma: “Suma 2 a 5 - obtienes 7” ( el nombre del número 7 resultante lo determina el alumno recalculando el nuevo conjunto: 1-2-3-4-5-6-7).

Estudiante: Suma 2 a 5 y obtienes 7.

Profesor: Muéstrame en qué términos se compone el número 7.

El alumno separa 2 huesos a la derecha. El número 7 es 2 y 5. Al realizar estos ejercicios, es recomendable utilizar desde el principio el concepto de “primer término” (5), “segundo término” (2), “suma” (7). Se ofrecen los siguientes tipos de tareas:

a) la suma de dos términos es 7, encuéntralos;

c) ¿de qué términos está formado el número 7?

c) descomponer la suma 7 en 2 términos, 3, etc.

Dominar un concepto algebraico tan importante como la ley conmutativa de la suma requiere una variedad de ejercicios, inicialmente basados en manipulaciones prácticas con objetos.

Maestro: Toma 3 palos en tu mano izquierda y 2 en tu mano derecha. ¿Cuántos palos hay en total?

Estudiante: Hay 5 palos en total.

Maestro: ¿Cómo puedo decir más sobre esto?

Estudiante: Agregue 2 a 2 palos; habrá 5 palos.

Maestro: Inventa este ejemplo usando números recortados. (el alumno hace un ejemplo a partir de números).

Maestro: Ahora intercambia los palillos: de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. ¿Cuántos palos hay ahora en ambas manos?

Estudiante: Solo había 5 en dos manos y ahora son 5 nuevamente.

Maestro: ¿Por qué pasó esto?

Estudiante: Porque no apartamos ni agregamos palos en ningún lado. Por mucho que hubo, mucho queda.

La ley conmutativa también se aprende en ejercicios sobre la descomposición de un número en términos. ¿Cuándo introducir la ley de desplazamiento? El objetivo principal de la enseñanza de la suma, ya dentro de los primeros diez, es enfatizar constantemente el papel de la ley conmutativa en los ejercicios. Deje que los niños cuenten 6 palos, luego les agreguen 3 palos y vuelva a calcular (siete-ocho-nueve) establezcan la suma: 6 y 3 serán 9. Inmediatamente ofrecemos un nuevo ejemplo: 3+6: se puede obtener una nueva suma establecido mediante recálculo, pero de forma gradual y decidida se debe formar un método de solución en un código superior, es decir, Lógicamente, sin recálculo. Si 6 sí 3 es 9 (respuesta recalculada), entonces 3 sí 6 (sin recálculo) es 9.

L.G Peterson introduce este método ya en la lección 13, donde los niños resuelven cuatro expresiones en símbolos de letras (T+K=F K+T=F F-T=K F-K=T), y luego en forma numérica: 2+1=3 1+. 2=3 3-2=1 3-1+2.

Recopilar cuatro ejemplos es una forma de ampliar el conocimiento accesible a los niños. Vemos que la caracterización de la operación de suma no debería ocurrir esporádicamente, sino que debería convertirse en el principal medio lógico para fortalecer las asociaciones numéricas correctas. La principal propiedad de la suma, la movilidad de los términos, debe considerarse constantemente en relación con la acumulación de nuevos resultados tabulares en la memoria. Vemos: la interconexión de operaciones lógicas o computacionales más complejas mediante las cuales se realizan un par de “operaciones complejas”. La oposición explícita de conceptos complejos se basa en la oposición implícita de conceptos más simples.

Es recomendable realizar el estudio inicial de multiplicación y división en la siguiente secuencia de tres ciclos de problemas (3 tareas en cada ciclo):

1 a), b) multiplicación con multiplicando constante y división por contenido (juntos); c) división en partes iguales.

2 a), b) disminuir y aumentar el número varias veces (juntos), c) comparación múltiple;

3 a), b) encontrar una parte de un número y un número por el tamaño de una de sus partes (juntas) c) resolver el problema “¿Qué parte es un número de otro?” Estudio simultáneo de multiplicación y división en contenido. En las lecciones 2-3 dedicadas a la multiplicación, se aclara el significado del concepto de multiplicación como suma condensada de términos iguales. Normalmente, a los estudiantes se les muestra una entrada sobre cómo reemplazar la suma con la multiplicación: 2+2+2+2=8 2*4=8 Aquí está la conexión entre la suma y la multiplicación. Sería apropiado sugerir inmediatamente un ejercicio diseñado para desencadenar la retroalimentación de “multiplicación-suma”. Al observar esta entrada, el estudiante debe comprender que el número 2 debe repetirse como sumando tantas veces como muestra el multiplicador en el ejemplo 2*4=8. La combinación de ambos tipos de ejercicio es una de las condiciones importantes que garantizan la asimilación consciente del concepto de "multiplicación". Es muy importante mostrar para cada uno de los casos correspondientes de multiplicación el caso correspondiente de división. En el futuro, será beneficioso considerar la multiplicación y la división juntas.

Al introducir el concepto de división, es necesario recordar los casos correspondientes de multiplicación para, a partir de ellos, crear el concepto de una nueva acción inversa a la multiplicación. Por tanto, el concepto de “multiplicación” adquiere un rico contenido, no es solo el resultado de la suma de términos iguales (“generalización de la suma”), sino también la base, el momento inicial de la división, que, a su vez, representa “resta colapsada”, reemplazando la “resta secuencial por 2” El significado de la multiplicación se comprende no tanto a través de la multiplicación misma, sino a través de constantes transiciones entre multiplicación y división, ya que la división es una multiplicación velada, “alterada”. Todas las operaciones lógicas apoyadas en actividades prácticas deben estar bien pensadas. El resultado del trabajo serán las tablas de multiplicar y dividir:

Por 2*2=4 4:por 2=2

2*3=6 6: 2=3 cada uno

2*4=8 8: 2=4 cada uno, etc.

La tabla de multiplicar se construye usando un factor constante de 1 y la tabla de división se construye usando un divisor constante. El estudio de la división en partes iguales se introduce después del estudio de la multiplicación y división por 2. Se asigna la tarea: “Cuatro estudiantes trajeron 2 cuadernos. ¿Cuántos cuadernos trajiste?" Al realizar una actividad práctica, recogemos cuadernos (coge 2 cuadernos 4 veces). Creemos un problema inverso: “Se repartieron 8 cuadernos, se repartieron 2 cuadernos a cada alumno”. El resultado es 4. La entrada aparece para 2t.*4=8t., 8t.: para 2t.=4t. Al principio es útil anotar los nombres detalladamente. Ahora elaboramos la 3ª tarea: “Se deben distribuir 8 cuadernos en partes iguales entre 4 alumnos. ¿Cuántos cuadernos recibirá cada persona? Al principio, también se debe demostrar la división en partes iguales de los objetos. Por tanto, el concepto de “multiplicación” adquiere un rico contenido: no es sólo el resultado de la suma de términos iguales (“generalización de la suma”), sino también la base, el momento inicial de la división, que a su vez representa un conjunto condensado. resta, reemplazando la “resta secuencial por 2”. En este caso, la explicación de los libros de texto de matemáticas de L.G. Peterson y N.B. Istomina se construyó con mucho éxito. Se introduce un nuevo concepto en la enseñanza utilizando el método de actividad, es decir. Los propios niños “descubren” su contenido y el maestro orienta sus actividades de investigación y les presenta la terminología y los símbolos generalmente aceptados. Primero, los niños repiten el significado de la multiplicación y componen el producto 2*4=8 de la imagen. El aprendizaje de las acciones de división está motivado por las actividades prácticas cotidianas de los niños. La profesora te pregunta si en tu vida has tenido que dividir algo en partes iguales y te ofrece una tarea: “Necesitamos dividir 36 caramelos en partes iguales entre cuatro personas. ¿Cuanto debo darle a cada uno? la dificultad que surge al responder a la pregunta del problema motiva la investigación utilizando modelos temáticos. Cada persona tiene preparados sobre su escritorio 36 elementos (botones, figuras, fichas, etc.). Se colocan en 4 montones del mismo tamaño, etc. El maestro muestra la entrada _ - dividir en partes iguales - esto significa encontrar la cantidad de objetos en cada parte. Al completar una serie de ejercicios, los niños llegan a la conclusión de que la operación de división es la inversa de la operación de multiplicación. Al dividir las nueces entre 4, obtenemos el número 2, que al multiplicarlo por 4 nos da 8. 8:4=2 2*4=8. Sobre el signo se les puede decir a los niños que se utiliza en matemáticas para designar oraciones que expresan lo mismo (oración equivalente). Mientras realizan ejercicios de consolidación, los niños hacen dibujos y dibujan diagramas de apoyo.

Al final de la lección, se saca una conclusión, se dice en voz alta y se extiende al caso general de división: para dividir el número a por el número b, debe seleccionar un número c que, cuando se multiplica por b, da un:

A:B=C C*B=A y se elabora un esquema de apoyo. Es importante transmitir a los niños que las expresiones y fórmulas matemáticas permiten identificar patrones generales y establecer una analogía para fenómenos que a primera vista son completamente diferentes. Ser consciente de este hecho ayudará a los estudiantes a comprender mejor la idoneidad de las generalizaciones matemáticas, el papel y el lugar de las matemáticas en el sistema de las ciencias.

CAPÍTULO 3. TRABAJOS DE INVESTIGACIÓN SOBRE EL ESTUDIO DE MATERIAL ALGEBRAICO EN LAS CLASES DE MATEMÁTICAS DE LAS CLASES DE PRIMARIA de la Institución de Educación Secundaria No. 72 CON ESTUDIO EN PROFUNDIDAD DE ASIGNATURAS INDIVIDUALES.

3.1. JUSTIFICACIÓN DEL USO DE TECNOLOGÍAS INNOVADORAS (TECNOLOGÍA UDE).

En mi trabajo utilizo con éxito la tecnología de ampliación de unidades didácticas (UDE), desarrollada por P.T. El autor propuso hace más de 30 años el concepto científico de “unidad didáctica”. Su sistema de consolidación de unidades didácticas en la escuela primaria equipa a los escolares con un algoritmo para el desarrollo creativo de la información educativa. Esta tecnología es relevante y prometedora, ya que tiene el poder de acción a largo plazo, inculca en el niño rasgos de inteligencia y contribuye a la formación de una personalidad activa.

P.M. Erdniev identifica cuatro formas principales de ampliar las unidades didácticas:

1) estudio conjunto y simultáneo de acciones y operaciones interrelacionadas;

2) el uso de ejercicios deformados;

3) uso generalizado del método del problema inverso;

4)aumentar la proporción de tareas creativas.

Cada uno de los métodos contribuye a la actualización de las reservas de pensamiento. La primera forma es estudiar conjuntamente acciones interrelacionadas, operaciones - suma - resta, multiplicación - división. En primer grado, estudiando los diez primeros, los niños se familiarizan con ejemplos de la forma: 3+4=7 utilizando la tecnología de ampliación de unidades didácticas, introduzco la propiedad conmutativa de la suma: 4+3=7 la respuesta es la igual, el registro toma la forma: 3+4= 7

Les ofrezco a los niños ejemplos de resta y la notación se ve así: 7 -3=4

4=3. El conocimiento se resume y combina y los registros se reúnen. De manera similar, puedes construir trabajos de multiplicación y división. Por ejemplo: 8+8+8+8+8=40 8*5=40 5*8=40 40:5=8 40:8=5

Los niños aprenden a distinguir entre conceptos y operaciones opuestos mientras estudian simultáneamente acciones relacionadas. Los "hábitos nerviosos", según K.D. Ushinsky, no se fijan en una persona por separado, sino en pares, filas, filas, grupos. Esta presentación de material crea las condiciones para el desarrollo de la independencia y la iniciativa en los niños.

La segunda forma de ampliar las unidades didácticas es el método de ejercicios deformados, en los que el elemento requerido no es uno, sino varios elementos. Por ejemplo, en primer grado se le puede proponer una tarea en la que es necesario determinar el signo de la acción y el componente desconocido: 8 = 2. En tales ejemplos, el estudiante primero selecciona el signo de la acción basándose en la comparación y luego encuentra el componente que falta. Al resolver un ejemplo de este tipo, el niño razona de la siguiente manera: 8 2, lo que significa que el signo menos 8 consta de 2 y 6, lo que significa que el ejemplo es 8-6 = 2. De esta manera se activa la atención y se desarrolla el pensamiento de los estudiantes a partir de la resolución de cadenas lógicas.

La tercera forma de ampliar unidades didácticas es resolver un problema directo y transformarlo en inversos y similares. La resolución de problemas en la escuela primaria es de importancia central para el desarrollo del pensamiento de los estudiantes: al resolverlos, los niños se familiarizan con la dependencia de las cantidades, con diversos aspectos de la vida, aprenden a pensar, razonar y comparar. Al enseñar a resolver problemas, es necesario enseñar a los niños a crear problemas inversos. Cada método se basa en la gran ley de la información de la naturaleza viva: la ley de la retroalimentación. Cuando se trabaja en tareas, es ventajoso utilizarlo cuando, en una serie de tareas, la siguiente difiere de la anterior en un solo elemento. En este caso, la transición de un problema a otro es más sencilla y la información obtenida al resolver el problema anterior ayuda a encontrar soluciones a los problemas posteriores. Esta técnica es especialmente útil para niños débiles y lentos. Por ejemplo, un problema para encontrar una suma, creemos sus problemas inversos. “El padre le dio a Masha 11 manzanas y la madre añadió 5 manzanas más. ¿Cuántas manzanas dieron los padres de Masha en total?

Realizamos análisis sobre las preguntas: “¿Qué se sabe del problema? ¿Qué necesitas saber? Escriba la tarea brevemente. ¿Cómo puedes saber cuántas manzanas le dieron los padres de Masha? (12+5=17)
Elaboración de un problema inverso, donde la incógnita es el número de manzanas que le dio el padre. “El padre le dio varias manzanas y la madre añadió 5 manzanas más. En total, Masha tiene ahora 17 manzanas. ¿Cuántas manzanas le dio el padre de Masha?
Puedes crear otro problema inverso, donde estará el número desconocido de manzanas que le dio a Masha su madre. “Mi padre le dio a Masha 12 manzanas y mi madre añadió algunas manzanas más. En total, Masha tiene ahora 17 manzanas. ¿Cuántas manzanas le dio la madre de Masha? (17-12=5). En cuadernos guardamos notas breves sobre las 3 tareas. Las tareas interrelacionadas se fusionan en un grupo de tareas relacionadas como una gran unidad de asimilación y forman tres tareas. Así, la principal novedad tecnológica del sistema de ampliación de unidades didácticas es la presencia de tareas en las que el alumno practica de forma independiente componiendo problemas inversos a partir de un análisis de las condiciones del problema directo, identificando una cadena lógica.

El cuarto método de consolidación es aumentar la proporción de tareas creativas. Por ejemplo, una tarea se da con una “ventana”: +7-50=20. Los niños buscan la respuesta mediante el método de selección, pero puedes resolver este problema razonando según la flecha, utilizando la operación inversa: 20+59-7=63. El número requerido es 63. Las tareas creativas deben estar presentes en cada lección. Con la ayuda de tales ejercicios, el niño se acostumbra a la continuación independiente del pensamiento, a la reestructuración del juicio, que es de importancia decisiva en el futuro para la formación de una mente humana activa y creativa, tan valiosa en su manifestación. en cualquier ámbito laboral.

3.2. DE LA EXPERIENCIA DE LOS CONCEPTOS ALGEBRAICOS.

Ya en 1er grado, enseño a los niños a establecer de forma independiente signos mediante los cuales pueden comparar ciertos objetos. La maestra muestra a los niños 2 pesas de diferentes colores. “¿Con qué criterios se pueden comparar?” Los niños dan la respuesta: "Se pueden comparar por peso, altura, trasero". ¿Qué podemos decir? Son desiguales (en peso, altura). ¿Cómo expresar esto con mayor precisión? El peso negro es más pesado, más grande y más grueso. ¿Qué significa más pesado? - Más pesado, más peso. Se lleva a cabo un trabajo similar con preguntas capciosas en relación con otras características. Junto con el profesor establecemos que “más pesado” significa más peso, “más largo” significa más largo (altura, altura), etc. La conclusión de este trabajo fue descubrir que si es posible encontrar un signo mediante el cual se comparan los objetos, entonces serán iguales o desiguales. Esto se puede escribir con signos especiales “=" y "=". L.G. Peterson compara con mucho éxito estos conceptos, y solo entonces se aclaran los signos: menos o más. Los niños están muy dispuestos a resolver estas desigualdades. También realizamos tareas inversas: se seleccionan diferentes objetos utilizando los signos "menor que" o "mayor que". En este caso, surge inmediatamente una tarea única: definir los conceptos "de izquierda a derecha": 5 es menor que 10. Además, es posible escribir con éxito no solo con números, sino también con diferentes figuras y líneas. Durante este período, se introduce sobre esta base la forma de registro por carta. Cuando se trabaja con diversos tipos de tareas, es necesario que los niños comprendan que las letras en sí no escriben el resultado de una comparación, sino que necesitan un signo que las conecte; Y solo la fórmula completa habla de este resultado: una comparación del peso, la longitud de 2 objetos o más.

El trabajo sobre este tema es de suma importancia para el desarrollo de toda la sección inicial de las matemáticas, ya que está esencialmente relacionado con la construcción en la actividad del niño de un sistema de relaciones que identifica las cantidades como base para futuras transformaciones. Las fórmulas literales, que reemplazan una serie de métodos de registro preliminares, transforman por primera vez estas relaciones en una abstracción, porque las letras mismas denotan valores específicos de cualquier cantidad específica, y la fórmula completa es cualquier posible relación de igualdad o desigualdad de estos valores. Ahora, apoyándose en fórmulas, puede estudiar sus propias propiedades de las relaciones seleccionadas, convirtiéndolas en un tema especial de análisis.

DIAGNÓSTICO DE LOS RESULTADOS DE LA FORMACIÓN EN MATEMÁTICAS.

La importancia del diagnóstico es grande, ya que con su ayuda se establece que los logros del niño cumplen con los requisitos obligatorios para los resultados del aprendizaje. Al analizar los resultados, podemos sacar conclusiones sobre qué cambios ocurren con el niño durante el proceso de aprendizaje, por qué no fue posible enseñar, qué no se tuvo en cuenta, cómo ajustar el proceso de aprendizaje, qué tipo de ayuda necesita el alumno. . Las pruebas pueden servir como herramienta de diagnóstico. Para cada línea de contenido, de acuerdo con el contenido mínimo obligatorio de la educación primaria, se elaboran tareas de prueba, que también se presentan ampliamente en publicaciones impresas ya preparadas. Ayudan a identificar brechas de aprendizaje. En mi clase se identificaron los siguientes problemas en el estudio de elementos de álgebra:

Algunos estudiantes experimentan algunas dificultades al resolver expresiones de letras (encontrar el valor numérico de una expresión de letras dados los valores dados de las letras incluidas en ella);

Al resolver ecuaciones, se cometen errores al utilizar las reglas para encontrar componentes desconocidos (dependencia entre los componentes de suma, resta, multiplicación y división);

Al comprobar las raíces de una ecuación, algunos niños no calculan el lado izquierdo de la ecuación, sino que automáticamente ponen un signo igual;

Con una estructura más compleja de ecuaciones de la forma X+10=30-7 o X+(45-17)=40, al transformar y simplificar la ecuación, algunos niños pierden la variable, dejándose llevar por los cálculos aritméticos.

Después de recibir los datos de las pruebas y analizar los resultados, elaboro un plan de trabajo para corregir lagunas y deficiencias.

Una prueba de muestra para evaluar los conocimientos de los estudiantes.

Suma a 10 9, 5, 8, 4, 7, 0.
Escribe el número en la tarjeta: 8+5 17-9

8+2+ 17-7-

Adivina qué número debería escribirse en la tarjeta:

3, 6, 9, 12, * A(13), B(15), C(18), G(otro número)

Escribe un número en la tarjeta para que la igualdad sea verdadera:

9=17-* A(6), B(15), C(4), G (otro número)

. 8+7=19-* A(3), B(15), C(4), G(otro número).

6 Indique las igualdades correctas:

A) 12+1=11 B)14-5=9 C)17+3=20 D)20-1=9 E)18+2=20 F)8-5=13 H)6+9=15

7. Ordena las expresiones en orden decreciente de sus valores: A)7-5 B)7+6 C)3+7

8. ¿Qué números pueden reemplazar *?

1)12 1* A(0, 1, 2) B(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) C(0, 1)

9. ¿Dónde está el orden correcto de acciones? A) 12-3+7 B) 19-9-5+3

10.Escribe expresiones numéricas y encuentra los valores: del número 12, resta la suma de los números 3 y 5.

A) (3+5)-12 B) 12-3+5 C) 12-(3+5) D) otra respuesta:

Esta prueba muestra cuál de los niños no domina claramente la numeración de los diez segundos números. Se trata de niños que recibieron menos de 18 puntos. Con ellos es necesario realizar un trabajo correctivo, que incluya todos los casos posibles de utilización de los conocimientos adquiridos, en los que los niños dominan bastante bien tales ejercicios. Se describe un plan para trabajar con los padres de estos niños y se brindan consultas a aquellos padres que lo necesitan. El diagnóstico final evalúa el conocimiento de todo el curso de estudio de 1er grado. Hago otro trabajo con ellos para poner a prueba su dominio de la suma y resta de números hasta 20 y luego 100. Los niños deberían poder realizar acciones utilizando las técnicas que han aprendido: encontrar el componente desconocido de la suma y la resta, comparar números y números. expresiones, poder encontrar la acción inversa. En cuanto a los programas de otros autores, se puede observar que la introducción temprana de material algebraico es bastante aceptable para todos los niños. Habiendo trabajado en diferentes programas y estudiado los métodos de enseñanza de diferentes autores de matemáticas, utilizo todos los elementos que necesito de cualquier libro de texto para hacer la lección más efectiva y productiva. En cada lección de matemáticas se incluyen ejercicios interesantes que desarrollan el pensamiento, la lógica, le enseñan a pensar, inventar y combinar. La materia favorita de mis hijos son las matemáticas. El uso de cuadernos impresos y pruebas de detección ayuda a identificar lagunas de conocimiento.

Al estudiar todas las áreas de contenido de las matemáticas, se monitorean constantemente los resultados del aprendizaje y se realizan diagnósticos de enseñanza. Los niños realizan constantemente pruebas y exámenes intermedios, por lo que es fácil monitorear el progreso de los estudiantes.

En la escuela primaria, durante la educación secundaria (1-2 grados), utilizo los siguientes niveles y criterios para el desarrollo del conocimiento del material algebraico: nivel alto (20-25 puntos): en este nivel, el niño domina conscientemente el material estudiado, domina los conceptos sobre el tema y puede trabajar de forma independiente en el tema, completa las tareas sin errores;

nivel medio (14-9 puntos): domina el tema, sabe responder preguntas indirectas, responde correctamente al tema con la ayuda de preguntas capciosas, comete 1-2 errores, los encuentra y los corrige de forma independiente;

Nivel bajo (menos de 14 puntos): comete errores en la mayoría de las tareas, no siempre responde correctamente a la pregunta directa del profesor, se necesitan ejercicios correctivos y trabajo individual adicional.

Además, al procesar el trabajo de diagnóstico, realizo un análisis elemento por elemento de los resultados de las pruebas: errores y los motivos de su aparición. Al resolver ecuaciones (en el proceso de buscar un número, cuya sustitución convierte la ecuación en una igualdad numérica correcta), son posibles y ocurren los siguientes errores:

Al elegir una operación aritmética al encontrar un componente desconocido (la razón de tal error es la incapacidad de determinar la relación entre los componentes o el desconocimiento de este material);

Errores computacionales (razones en el uso de algoritmos de suma, resta, multiplicación y división; no se realizó un análisis detallado en alguna etapa del algoritmo).

Al resolver expresiones literales con valores dados de las letras incluidas en ellas, se cometen los siguientes errores:

Cuando se utilizan algoritmos (técnicas computacionales específicas);

Con una elección específica de un valor de letra determinado (descuido, no se realizó ningún análisis de la correspondencia de una letra determinada con un número determinado).

Al comparar números y expresiones numéricas cometen errores:

En la formulación de más y menos signos (la razón es el desconocimiento de conceptos específicos, no se ha analizado la composición bit a bit y de clases de los números, desconocimiento de la numeración de los números naturales, el significado de lugar de los números);

En cálculos aritméticos.

Al encontrar el valor de una expresión numérica compuesta, se cometen errores:

En orden de acción,

Registro incorrecto de los componentes de la acción (causa de errores: no pudo determinar la estructura de la expresión original y, en consecuencia, aplicar la regla necesaria, no conocía el algoritmo para realizar acciones). Al analizar cuidadosamente los resultados del seguimiento de conocimientos, habilidades y destrezas, el docente identifica lagunas y errores en el desempeño, y se puede planificar correctamente el trabajo adicional para eliminar las deficiencias en la formación.

A continuación se muestran ejemplos de pruebas y diagnósticos de las secciones y comprobaciones realizadas.

Número de prueba

Habilidades y habilidades desarrolladas.

10-11

La puntuación está entre 20 y 100.

Tabla de sumas y restas.

Encontrar el valor de una expresión numérica en 2-4 pasos.

Leer, escribir, comparar hasta 100.

El nombre y designación de las operaciones de suma y resta.

Resolver problemas en 1-2 pasos.

Capacidad de comparar y clasificar.

Representaciones espaciales.

Conocimiento de cantidades.

Nivel de formación de habilidades básicas y desarrollo matemático.

Resultados del diagnóstico final para 1er grado.

10-11

nivel

Antónov A.

Batraeva D.

Bashlovkin D.

Belova V.

Bobyleva E.

Gabrielyan G.

Gasnikova M.

Goroshko A.

Guzaeva E.

Dvugrosheva M.

Kondrátiev D.

Konstantinov I.

Kopylov V.

Mijaílova V.

Mijaílova I.

Morozova A.

Podgorny I.

Razin N.

Romanov D.

Sinitsyna K.

Suleymanov R.

Sulyoznov A.

Teplyakova Yu.

Frolov D.

Shirshaeva K.

Corto

Promedio

Alto

Promedio

Alto

Corto

Alto

Promedio

Alto

Corto

Promedio

Alto

Promedio

promedio

Comprobación del nivel de desarrollo de la memoria.

auditivo

visual

motor

visual-auditivo

Antónov A.

Batraeva D.

Bashlovkin D.

Belova V.

Bobyleva E.

Gabrielyan G.

Gasnikova M.

Goroshko A.

Guzaeva E.

Dvugrosheva M.

Kondrátiev D.

Konstantinov I.

Kopylov V.

Mijaílova V.

Mijaílova I.

Morozova A.

Podgorny I.

Razin N.

Romanov D.

Sinitsyna K.

Suleymanov R.

Sulyoznov A.

Teplyakova Yu.

Frolov D.

Shirshaeva K.

0,4 promedio

0,2 bajo

0,6 promedio

0.8promedio

1 alto

0,7 promedio

1 alto

0,5 bajo

1 alto

0,9 promedio

1 alto

0,4 bajo

0,7 promedio

1 alto

0,7 promedio

1 alto

0,7 promedio

0,6 promedio

0,4 bajo

0,3 bajo

0,8 promedio

0,9 promedio

1 alto

0,6 promedio

1 alto

0.4bajo

1 alto

0.4bajo

0.9promedio

1 alto

0.8promedio

0.9promedio

0,9 promedio

0.8promedio

0,8 promedio

0,4 bajo

1 alto

0.9promedio

1 alto

0.8promedio

1 alto

0.5bajo

0.8promedio

0,7 promedio

1 alto

0,9 promedio

0.8promedio

1 alto

0.8promedio

0.5bajo

0,7 promedio

0,4 bajo

0,9 promedio

alto

0,8 promedio

0,9 promedio

alto

alto

0,5 bajo

alto

alto

alto

alto

alto

alto

0,4 bajo

0,9 promedio

alto

alto

0,8 promedio

0,9 promedio

0,8 promedio

0,5 promedio

С=а:N С - coeficiente de memoria, con С=1 – opción óptima - nivel alto

C=0,7 +/-0,2 - nivel medio, C - menos de 0,5 – bajo nivel de desarrollo

CONCLUSIÓN

Actualmente, han surgido condiciones bastante favorables para una mejora radical en la organización de la educación matemática en la escuela primaria:

la escuela primaria pasó de ser una escuela de tres años a una de cuatro años;
Se asignan horas para estudiar matemáticas en los primeros cuatro años, es decir, ¿El 40% del tiempo total dedicado a esta materia a lo largo de la escuela secundaria?
Cada año, un número cada vez mayor de personas con educación superior trabajan como profesores de escuela primaria;
Han aumentado las posibilidades de proporcionar mejor a profesores y escolares medios didácticos y visuales; la mayoría de ellos se fabrican en color;

No es necesario demostrar el papel decisivo de la enseñanza inicial de las matemáticas para el desarrollo de la inteligencia del estudiante en general. La riqueza de diversas asociaciones adquiridas por un escolar durante los primeros cuatro años de estudio, si se hace correctamente, se convierte en la principal condición para la autoexpansión de conocimientos en los años siguientes. Si este acervo de ideas y conceptos iniciales, líneas de pensamiento y técnicas lógicas básicas es incompleto, inflexible y empobrecido, entonces, al pasar a la escuela secundaria, los escolares experimentarán constantemente dificultades, independientemente de quién les enseñará a continuación o qué libros de texto estudiarán. de.

Como saben, las escuelas primarias han estado funcionando en nuestro país y en otros países durante muchos siglos, por lo que la teoría y la práctica de la educación primaria son mucho más ricas en tradiciones que la educación en las escuelas secundarias.

Ya en el siglo pasado L.N. Tolstoy, K.D. Ushinsky, V.A. Latyshev y otros metodólogos hicieron valiosos descubrimientos metodológicos y generalizaciones sobre la enseñanza de las matemáticas en primaria. En las últimas décadas se han obtenido resultados importantes utilizando los métodos de las matemáticas elementales en los laboratorios de L.V Zankov, A.S. Pchelko, así como en la investigación sobre la consolidación de unidades didácticas.

Con una consideración razonable de los resultados científicos disponibles obtenidos en los últimos 20 años utilizando los métodos de la educación primaria por varios equipos creativos, ahora existen todas las oportunidades para lograr "aprender con pasión" en la escuela primaria. En particular, exponer a los estudiantes a conceptos algebraicos básicos sin duda tendrá un impacto positivo en la adquisición de conocimientos relevantes en la escuela secundaria.

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Estamos rodeados de objetos. Desde los primeros días de escuela, un niño estudia el mundo que nos rodea, incluso en las lecciones de matemáticas.

Libro de texto 1er grado. Parte 1. ¿Qué vemos? Estudiamos objetos. ¿Cuál es el concepto de objeto? (este es un conjunto de propiedades esenciales de un objeto)

En los grados de primaria, muchos conceptos matemáticos se aprenden primero de manera superficial y vaga. En el primer contacto, los escolares aprenden solo algunas propiedades de los conceptos y tienen una idea muy limitada de su alcance. Y esto es natural. No todos los conceptos son fáciles de entender. Pero no cabe duda de que la comprensión y utilización oportuna por parte del docente de cierto tipo de definiciones de conceptos matemáticos es una de las condiciones para que los estudiantes desarrollen conocimientos sólidos sobre estos conceptos.

Al dominar el conocimiento científico, los estudiantes de primaria se encuentran con diferentes tipos de conceptos. La incapacidad del estudiante para diferenciar conceptos conduce a su inadecuada asimilación.

Concepto- Se trata de un conjunto de juicios, pensamientos en los que se afirma algo sobre las características distintivas del objeto en estudio. ¿Qué entendemos por alcance de un concepto? (un conjunto de objetos designados por el mismo término)

Así, el programa de formación de la "Escuela de Rusia" se basa en el hecho de que los conceptos básicos del curso inicial de matemáticas son los conceptos de "números" y "cantidades", el material algebraico y geométrico se considera en paralelo, y los problemas planteados son resuelto.

En la escuela primaria empezamos a dar las primeras definiciones de conceptos: segmento de recta, cuadrado, rayo, etc. ¿Cuál es la definición de un concepto? (operación lógica que revela el contenido de un concepto)

Según su alcance, los conceptos matemáticos se dividen en individuales y generales. Si el alcance de un concepto incluye sólo un objeto, se le llama único.

Ejemplos de conceptos únicos: “el número más pequeño de dos dígitos”, “el número 5”, “un cuadrado con un lado de 10 cm”, “un círculo con un radio de 5 cm”.

Concepto general refleja las características de un determinado conjunto de objetos. El volumen de tales conceptos siempre será mayor que el volumen de un elemento.

Ejemplos de conceptos generales: “conjunto de números de dos cifras”, “triángulos”, “ecuaciones”, “desigualdades”, “números múltiplos de 5”, “libros de texto de matemáticas para escuela primaria”.

En la enseñanza a los niños de primaria, los más comunes Definiciones contextuales y ostensivas de conceptos..

Cualquier pasaje del texto, sea cualquier contexto, en el que se presente el concepto que nos interesa es, en algún sentido, su definición implícita. El contexto conecta un concepto con otros conceptos y, por tanto, revela su contenido.

Por ejemplo, cuando trabaje con niños, utilice expresiones como “encontrar el significado de la expresión”, “comparar el significado de las expresiones 5 + a y (a - 3) × 2, si a = 7”, “leer expresiones que son sumas”, “leer expresiones, y luego leer las ecuaciones”, ampliamos el concepto de “expresión matemática” como un registro que consta de números o variables y signos de acción.

Casi todas las definiciones que encontramos en la vida cotidiana son definiciones contextuales. Habiendo escuchado una palabra desconocida, intentamos establecer nosotros mismos su significado en base a todo lo dicho.

Algo similar sucede en la enseñanza a estudiantes más jóvenes. Muchos conceptos matemáticos en la escuela primaria se definen a través del contexto. Estos son, por ejemplo, conceptos como "grande - pequeño", "cualquiera", "cualquiera", "uno", "muchos", "número", "operación aritmética", "ecuación", "tarea", etc. .d.

Las definiciones contextuales siguen siendo en gran medida incompletas e incompletas. Se utilizan debido a la falta de preparación de los escolares más jóvenes para dominar la definición completa, y especialmente científica.

Las definiciones ostensivas son definiciones por demostración. Se parecen a definiciones contextuales ordinarias, pero el contexto aquí no es un pasaje de ningún texto, sino la situación en la que se encuentra el objeto designado por el concepto.

Por ejemplo, el maestro muestra un cuadrado (un dibujo o un modelo de papel) y dice "Mira, es un cuadrado". Ésta es una definición ostensiva típica.

En la escuela primaria, las definiciones ostensivas se utilizan cuando se consideran conceptos tales como "color rojo (blanco, negro, etc.)", "izquierda - derecha", "de izquierda a derecha", "número", "número anterior y siguiente", " signos” operaciones aritméticas”, “signos comparativos”, “triángulo”, “cuadrángulo”, “cubo”, etc.

A partir de la asimilación ostensiva de los significados de las palabras, es posible introducir el significado verbal de nuevas palabras y frases en el diccionario del niño. Las definiciones ostensivas -y sólo ellas- conectan palabras con cosas.

Tenga en cuenta que en los grados de primaria, definiciones aceptables como "Usaremos la palabra "pentágono" para referirnos a un polígono de cinco lados". Ésta es la llamada “definición nominal”.

¿Qué estructura tiene un concepto? (concepto definido = genérico + específico) Da un ejemplo. Como consecuencia de esta fórmula se estructura el estudio de la materia matemática en la escuela primaria. Por ejemplo, considere los conceptos "cuadrado" y "rectángulo". El alcance del concepto “cuadrado” forma parte del alcance del concepto “rectángulo”. Por lo tanto, el primero se llama especie y el segundo, genérico. En las relaciones género-especie, conviene distinguir entre el concepto de género más cercano y las siguientes etapas genéricas.

Por ejemplo, para el tipo “cuadrado” el género más cercano será el género “rectángulo”, para un rectángulo el género más cercano será el género “paralelogramo”, para un “paralelogramo” - “cuadrilátero”, para un “cuadrilátero” - "polígono", y para "polígono" - " figura plana".

En los grados de primaria, por primera vez, cada concepto se introduce visualmente, a través de la observación de objetos específicos o de operaciones prácticas (por ejemplo, al contarlos). El maestro se basa en los conocimientos y experiencias de los niños que adquirieron en la edad preescolar. La familiarización con los conceptos matemáticos se fija mediante un término o un término y un símbolo.

Se debe prestar especial atención al concepto de número.

Un número es la relación entre lo que se está cuantificando (longitud, peso, volumen, etc.) y el estándar que se utiliza para esta evaluación. Obviamente, el número depende tanto de la cantidad que se mide como del estándar. Cuanto mayor sea el valor medido, mayor será el número con el mismo estándar. Por el contrario, cuanto mayor sea el estándar (medida), menor será el número al estimar el mismo valor. En consecuencia, los estudiantes deben comprender desde el principio que las comparaciones de números por magnitud sólo se pueden hacer cuando tienen el mismo estándar detrás. De hecho, si, por ejemplo, se obtiene cinco al medir la longitud en centímetros y tres al medir en metros, entonces tres denota un valor mayor que cinco. Si los estudiantes no comprenden la naturaleza relativa de los números, también tendrán serias dificultades para aprender el sistema numérico.

numero natural se considera como una propiedad general de la clase de conjuntos finitos equivalentes. Las primeras ideas sobre el número están asociadas a las características cuantitativas de los objetos.

(Muchos – una colección de algunos objetos, equivalente = igual en número)

Características cuantitativas del conjunto. Lo realizan los estudiantes en el proceso de establecer una correspondencia uno a uno entre los elementos de un conjunto finito no vacío y un segmento de una serie de números naturales. Esta correspondencia uno a uno se llama contar los elementos de un conjunto finito. En este caso, la característica cuantitativa de los conjuntos finitos no vacíos se expresa en relaciones como "más", "menos", "igual", indicadas por los símbolos correspondientes.

A partir del uso de la visualización de objetos se establece, por ejemplo, que el número de círculos es mayor que el de cuadrados y que hay menos cuadrados que círculos.

4, por lo tanto 5 b 4, 4 m 5

El número "cero" al principio. La escuela es considerada como una característica de un conjunto vacío basado en actividades prácticas con una variedad de objetos. Para ello se utilizan dibujos como:

. . .

. .

O basado en el resultado de una operación aritmética al considerar ejemplos de la forma: 3-1=2, 2-1=1, 1-1=0.

Los números enteros no negativos se consideran en el curso de matemáticas de la escuela primaria mediante concentración: “Números del 0 al 10”, “Números del 10 al 100”, “Números del 100 al 1000”, “Números mayores que 1000”.

Los conceptos principales en cada concentración son la numeración oral y escrita.

Numeración verbal- una forma de nombrar cada uno de los números que se encuentran en la práctica de la vida, utilizando palabras numéricas: uno, nueve, ciento dos, etc.

Numeración escrita– un método para escribir cada uno de los números que se encuentran en la práctica de la vida usando números: 1, 2, 3...9, 0 basado en el principio del valor posicional de los números (cada número, dependiendo del lugar que ocupa en el registro numérico , tiene su propio significado específico). Por ejemplo, al escribir el número 999, el número 9, que está en primer lugar de derecha a izquierda, significa 9 unidades en este número. La misma cifra, situada en segundo lugar de derecha a izquierda, significa que hay 9 decenas en el número, etc.

Las operaciones aritméticas +, -, x, : se consideran en n.s. sobre una base de teoría de conjuntos.

Suma Los números enteros no negativos están asociados con la operación de combinar conjuntos finitos disjuntos por pares.

Sustracción Los números naturales se consideran visualmente como la eliminación de una parte de un conjunto finito que es un subconjunto de este conjunto.

Multiplicación Los números enteros no negativos se consideran el número de elementos en la unión de conjuntos disjuntos por pares iguales.

División desde un punto de vista de la teoría de conjuntos, está asociado con la partición de un conjunto finito en subconjuntos disjuntos por pares iguales. Con su ayuda se resuelven dos problemas de división: encontrar el número de elementos en cada subconjunto de la partición (división en partes iguales) (ejemplo: había 15 manzanas en 3 platos. ¿Cuántas manzanas hay en cada plato?) y encontrar el número de dichos subconjuntos (división por contenido) (ejemplo: había 15 manzanas en los platos. Había 5 manzanas en cada plato. ¿Cuántos platos había en la mesa?).

La formación de las ideas de los estudiantes sobre los números y el sistema numérico decimal está estrechamente relacionada con el estudio de las cantidades.

Magnitud- esta es una determinada propiedad de un conjunto de objetos o fenómenos.

Magnitud- esta es una propiedad de objetos o fenómenos que permite comparar e identificar pares de objetos que tienen esta propiedad en igual o desigual medida.

En N.S. Se consideran cantidades como longitud, área, tiempo, volumen, masa.

Longitud– una cantidad que caracteriza la longitud, la distancia y el movimiento de los cuerpos o sus partes a lo largo de una línea determinada. Longitud de un segmento o línea recta- esta es la distancia entre sus extremos, medida por algún segmento tomado como unidad de medida de longitud.

Cuadrado– una cantidad que caracteriza figuras geométricas en un plano y está determinada por el número de cuadrados unitarios que llenan una figura plana, es decir cuadrados con un lado igual a una unidad de longitud. Medir el área de una figura- significa establecer cuántas unidades cuadradas de longitud (cm2, dm2, m2, etc.) contiene.

Volumen, capacidad es una cantidad que caracteriza los cuerpos geométricos y está determinada en los casos más simples por el número de cubos unitarios que caben en el cuerpo, es decir cubos con una arista igual a una unidad de longitud. Los cuerpos pueden tener el mismo (es decir, cuerpos del mismo tamaño) y diferentes volúmenes.

Peso es una cantidad física que es una de las principales características de la materia, determinando sus propiedades inerciales y gravitacionales. Comparación de masas corporales., las acciones sobre ellos se reducen a comparación y acciones sobre valores numéricos de masas con la misma unidad de medida de masa.

Tiempo– una cantidad que caracteriza el cambio sucesivo de fenómenos y estados de la materia, la duración de la existencia. Calendario- un sistema para contar días, meses, años. En matemáticas, el tiempo se considera una cantidad escalar (una cantidad cuyo valor puede expresarse mediante un número real), porque Los intervalos de tiempo tienen propiedades similares a las propiedades de longitud, área y masa. Los intervalos de tiempo, al igual que otras cantidades escalares, se pueden comparar, sumar, restar, multiplicar y dividir por un número real positivo. Entre cantidades del mismo tipo existen relaciones: “más”, “menos”, “igual”.

Los conceptos de fracciones y cantidades se introducen de forma visual. Compartir considerado como una de las partes iguales del todo. Fracción se define como un par de números naturales ( un), caracterizando el conjunto A de partes iguales de unidad; el primero A muestra cuanto norte- La fracción x" contiene A y se llama numerador de la fracción, la segunda norte – El número de partes iguales en las que se divide la unidad se llama denominador de la fracción.

Paralelamente al material aritmético y el estudio de cantidades, se considera material teórico: la propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación (conmutativa); la propiedad combinativa de la multiplicación y la suma (asociativa), la propiedad distributiva de la división respecto de la suma y la diferencia; propiedad distributiva de la división respecto de la suma y la diferencia; propiedad distributiva de la multiplicación relativa a la suma y la resta: consideradas reglas para multiplicar una suma (diferencia) por un número (a+b) incógnita c = un incógnita c+b incógnita do. Además, se considera la dependencia entre los componentes y el resultado de una operación aritmética. Posteriormente, en base a esta dependencia, se considera la solución de las ecuaciones.

En la práctica escolar, muchos profesores obligan a los estudiantes a memorizar definiciones de conceptos y exigen el conocimiento de sus propiedades básicas demostrables. Sin embargo, los resultados de dicha formación suelen ser insignificantes. Esto sucede porque la mayoría de los estudiantes, cuando aplican conceptos aprendidos en la escuela, se basan en signos sin importancia, mientras que los estudiantes conocen y reproducen los signos esenciales de los conceptos sólo cuando responden preguntas que requieren definir el concepto. A menudo los estudiantes reproducen conceptos con precisión, es decir, descubren conocimientos sobre sus características esenciales, pero no pueden aplicar este conocimiento en la práctica; se basan en aquellas características aleatorias identificadas a través de la experiencia directa; El proceso de dominio de conceptos se puede controlar y formar con determinadas cualidades.

Detengámonos con más detalle en la formación de conceptos paso a paso.

Después de completar de cinco a ocho tareas con objetos o modelos reales, los estudiantes, sin memorización alguna, recuerdan tanto las características del concepto como la regla de acción. Luego, la acción se traduce a una forma de habla externa, cuando las tareas se dan por escrito y los estudiantes nombran o escriben de memoria los signos de conceptos, reglas e instrucciones. En esta etapa, los estudiantes pueden trabajar en parejas, actuando alternativamente como intérprete o como controlador.

En el caso de que una acción se realice fácil y correctamente en la forma del habla externa, se puede transferir a la forma interna. La tarea se entrega por escrito y el alumno reproduce las características, las comprueba y compara en silencio los resultados obtenidos con la regla. El estudiante aún recibe instrucciones como "Nombra el primer signo", "Comprueba si existe", etc. Primero se comprueba la exactitud de cada operación y la respuesta final. Poco a poco, el control se realiza únicamente según el resultado final y se realiza según sea necesario.

Si la acción se realiza correctamente, se transfiere a la etapa mental: el propio alumno realiza y controla la acción. El programa de formación en esta etapa prevé el control por parte del docente únicamente sobre el producto final de la acción; el estudiante recibe retroalimentación si hay dificultades o incertidumbre sobre la exactitud del resultado. El proceso de ejecución ahora está oculto, la acción se ha vuelto completamente mental, ideal, pero su contenido es conocido por el maestro, ya que él mismo lo construyó y él mismo lo transformó a partir de una acción material externa.

Así, la acción se va transformando poco a poco en forma. La transformación de la acción en generalidad está asegurada por una selección especial de tareas. En este caso se tiene en cuenta tanto la parte lógica específica como la general de la base indicativa de la acción.

Para generalizar la parte específica asociada con el uso de un sistema de características necesarias y suficientes, se dan para su reconocimiento todos los tipos típicos de objetos relacionados con un concepto determinado. Por lo tanto, al formar el concepto de ángulo, es importante que los estudiantes trabajen con ángulos que difieren en tamaño (de 0° a 360° y más), en posición en el espacio, etc. Además, es importante tomar objetos que tengan solo algunos signos de un concepto determinado, pero que no pertenezcan a él.

Para generalizar la parte lógica de la acción de reconocimiento, se dan para el análisis todos los casos principales previstos por la regla lógica de subsumir el concepto, es decir, Tareas con respuestas positivas, negativas e inciertas. También puede incluir tareas con condiciones redundantes. Es característico que en la práctica docente, por regla general, se plantee un solo tipo de tarea: con un conjunto suficiente de condiciones y una respuesta positiva. Como resultado, los estudiantes aprenden el funcionamiento del reconocimiento de una forma insuficientemente generalizada, lo que naturalmente limita el ámbito de su aplicación. Los problemas con condiciones redundantes e inciertas permiten enseñar a los estudiantes no sólo a detectar ciertos signos en los objetos, sino también a establecer su idoneidad para resolver la tarea en cuestión. Estos últimos suelen aparecer como un problema independiente en la práctica de la vida.

La transformación de una acción según otras dos propiedades se logra repitiendo tareas del mismo tipo. Es recomendable hacer esto, como se indica, solo en las últimas etapas. En todas las demás etapas, sólo se asigna un número de tareas que asegure la asimilación de la acción en una forma determinada. Es imposible retrasar una acción en formas transitorias, ya que esto conducirá a su automatización en esta forma, lo que impide que la acción se transfiera a una forma nueva y posterior.

Fragmento de una lección sobre la introducción de un concepto algebraico. Métodos para estudiar material algebraico.

Introducción