Características generales de la metodología de estudio de material algebraico. Enseñanza de material algebraico en la escuela primaria.

Introducción................................................. ....................................................... ............. ....... 2

Capítulo I. Aspectos teóricos generales del estudio. material algebraico en la escuela primaria................................................. ......................................... ................ ................ 7

1.1 Experiencia de introducción de elementos de álgebra en la escuela primaria................................. 7

1.2 Fundamentos psicológicos para la introducción de conceptos algebraicos.

en la escuela primaria................................................. .......................................... 12

1.3 El problema del origen de los conceptos algebraicos y su significado.

construir materia academica..................................................... 20

2.1 El aprendizaje en la escuela primaria desde la perspectiva de las necesidades

escuela secundaria................................................ ........................................................ 33

2.1 Comparación (contraste) de conceptos en lecciones de matemáticas.... 38

2.3 Estudio conjunto de suma y resta, multiplicación y división 48

Capítulo III. Práctica del estudio de material algebraico en lecciones de matemáticas en los grados primarios de la escuela secundaria No. 4 en Rylsk................................. ................... ...55

3.1 Justificación del uso tecnologías innovadoras(tecnologías

consolidación unidades didácticas)..................................................... 55

3.2 Sobre la experiencia de familiarización con conceptos algebraicos en primer grado.... 61

3.3 Aprender a resolver problemas relacionados con el movimiento de los cuerpos................................. 72

Conclusión................................................. ................................................. ...... .76

Bibliografía.......................................................................... 79

En cualquier momento sistema moderno educación general las matemáticas son una de las lugares centrales, lo que sin duda indica la singularidad de esta área del conocimiento.

Qué es matemáticas modernas? ¿Por qué es necesario? Los niños suelen hacer estas y otras preguntas similares a los profesores. Y cada vez la respuesta será diferente en función del nivel de desarrollo del niño y de sus necesidades educativas.

Se suele decir que las matemáticas son el lenguaje de la ciencia moderna. Sin embargo, parece haber un error importante en esta afirmación. El lenguaje de las matemáticas está tan extendido y a menudo es eficaz precisamente porque las matemáticas no pueden reducirse a él.

El destacado matemático ruso A.N. Kolmogorov escribió: “Las matemáticas no son sólo uno de los lenguajes. Las matemáticas son el lenguaje más el razonamiento, es como el lenguaje y la lógica juntos, es una herramienta para pensar. Concentra los resultados del pensamiento exacto de muchas personas. conectar un razonamiento con otro... Las obvias complejidades de la naturaleza con sus extrañas leyes y reglas, cada una de las cuales permite una muy diferente explicación detallada, de hecho están estrechamente relacionados. Sin embargo, si no quieres utilizar las matemáticas, entonces en esta enorme variedad de hechos no verás que la lógica te permite pasar de uno a otro" (p. 44).

Así, las matemáticas nos permiten formar ciertas formas de pensamiento necesarias para estudiar el mundo que nos rodea.

Actualmente, se hace cada vez más evidente la desproporción entre el grado de nuestro conocimiento de la naturaleza y nuestra comprensión del hombre, su psique y sus procesos de pensamiento. W. W. Sawyer en el libro “Preludio a las Matemáticas” (p. 7) señala: “Podemos enseñar a los estudiantes a resolver muchos tipos de problemas, pero la verdadera satisfacción sólo llegará cuando seamos capaces de impartir a nuestros estudiantes no sólo conocimientos, sino también flexibilidad. mental ", lo que les daría la oportunidad en el futuro no sólo de resolver de forma independiente, sino también de plantearse nuevas tareas.

Por supuesto, aquí existen ciertos límites que no deben olvidarse: mucho está determinado por las habilidades y el talento innatos. Sin embargo, podemos observar toda una serie de factores que dependen de la educación y la crianza. Esto hace que sea extremadamente importante evaluar correctamente las enormes oportunidades desaprovechadas de la educación en general y educación matemática En particular.

En los últimos años ha habido una tendencia constante de penetración métodos matemáticos en ciencias como la historia, la filología, sin mencionar la lingüística y la psicología. Por tanto, el círculo de personas que en su posterior actividades profesionales Quizás apliquen las matemáticas, expandiéndose.

Nuestro sistema educativo está diseñado de tal manera que para muchos, la escuela brinda la única oportunidad en la vida de unirse a una cultura matemática y dominar los valores contenidos en las matemáticas.

¿Cuál es la influencia de las matemáticas en general y matematicas escolares en particular para la educación personalidad creativa? Enseñar el arte de resolver problemas en las lecciones de matemáticas nos brinda una oportunidad extremadamente favorable para desarrollar una determinada mentalidad en los estudiantes. La necesidad de actividades de investigación desarrolla el interés por los patrones y nos enseña a ver la belleza y la armonía del pensamiento humano. Todo esto es en nuestra opinión. el elemento más importante cultura general. El curso de matemáticas tiene una influencia importante en la formación. varias formas pensamiento: lógico, espacial-geométrico, algorítmico. Cualquier proceso creativo Comienza con la formulación de una hipótesis. Las matemáticas, con la adecuada organización de la formación, siendo una buena escuela para construir y probar hipótesis, enseñan comparación. varias hipótesis, encuentre la mejor opción, establezca nuevas tareas, busque formas de resolverlas. Entre otras cosas, también desarrolla el hábito del trabajo metódico, sin el cual no es concebible ningún proceso creativo. Al maximizar las posibilidades del pensamiento humano, las matemáticas son su mayor logro. Ayuda a una persona a comprenderse a sí misma y formar su carácter.

esto es un poco de gran lista razones por las que el conocimiento matemático debería convertirse en una parte integral de la cultura general y elemento obligatorio en la crianza y educación de un niño.

El curso de matemáticas (sin geometría) en nuestra escuela de 10 años se divide en realidad en tres partes principales: aritmética (grados I - V), álgebra (grados VI - VIII grados) y elementos de análisis (grados IX - X). ¿Cuál es la base de tal división?

Por supuesto, cada una de estas partes tiene su propia "tecnología" especial. Entonces, en aritmética se asocia, por ejemplo, con cálculos realizados en números de varios dígitos, en álgebra - con transformaciones idénticas, logaritmos, en análisis - con diferenciación, etc. Pero ¿cuáles son las razones más profundas asociadas con el contenido conceptual de cada parte?

Siguiente pregunta se refiere a la base para distinguir entre aritmética y álgebra escolar (es decir, la primera y segunda parte del curso). La aritmética incluye el estudio de los números naturales (enteros positivos) y fracciones (primos y decimales). Sin embargo análisis especial muestra que la combinación de estos tipos de números en una materia escolar es ilegal.

El caso es que estos números tienen diferentes funciones: los primeros están asociados a contar objetos, los segundos a medir cantidades. Esta circunstancia es muy importante para comprender el hecho de que los números fraccionarios (racionales) son sólo un caso especial de los números reales.

Desde el punto de vista de la medición de cantidades, como señala A.N. Kolmogorov, “no existe una diferencia tan profunda entre los números reales racionales e irracionales. Por razones pedagógicas, se detienen durante mucho tiempo en los números racionales, ya que son fáciles de escribir en forma de fracciones, sin embargo, el uso que se les da; desde el principio debería conducir inmediatamente a números reales en su totalidad" (), p. 9).

UN. Kolmogorov consideró justificada tanto desde el punto de vista de la historia del desarrollo de las matemáticas como esencialmente la propuesta de A. Lebesgue de pasar en la enseñanza después de los números naturales directamente al origen y la naturaleza lógica de los números reales. Al mismo tiempo, como señaló A.N. Kolmogorov, “el enfoque de la construcción de números racionales y reales desde el punto de vista de la medición de cantidades no es menos científico que, por ejemplo, la introducción de números racionales en forma de “pares” para la escuela tiene un valor indudable. ventaja” (pág. 10).

Entonces hay verdadera oportunidad sobre la base de los números naturales (enteros), forme inmediatamente el “concepto más general de número” (en la terminología de A. Lebesgue), el concepto de número real. Pero desde el punto de vista de la construcción del programa, esto significa ni más ni menos que la eliminación de la aritmética de fracciones en su interpretación escolar. La transición de números enteros a números reales es una transición de la aritmética al "álgebra", a la creación de una base para el análisis.

Estas ideas, expresadas hace más de 20 años, siguen siendo vigentes hoy. ¿Es posible cambiar la estructura de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria en en esta dirección? ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de la “algebraización”? educacion primaria¿matemáticas? El propósito de este trabajo es intentar dar respuestas a las preguntas planteadas.

La realización de este objetivo requiere resolver las siguientes tareas:

Consideración de aspectos teóricos generales de la introducción de conceptos algebraicos de magnitud y número en la escuela primaria. Esta tarea se plantea en el primer capítulo de la obra;

Estudio de métodos específicos para la enseñanza de estos conceptos en la escuela primaria. Aquí, en particular, se pretende considerar la denominada teoría de la ampliación de unidades didácticas (UDE), que se comentará a continuación;

Mostrar la aplicabilidad práctica de las disposiciones bajo consideración sobre lecciones escolares matemáticas en la escuela primaria (el autor impartió las lecciones en la escuela secundaria n. ° 4 de Rylsk). A ello está dedicado el tercer capítulo de la obra.

En relación con la bibliografía dedicada a este problema, se puede señalar lo siguiente. A pesar de que recientemente cantidad total publicado literatura metodológica en matemáticas es sumamente insignificante; no faltó información a la hora de redactar el trabajo. De hecho, desde 1960 (el momento en que se planteó el problema) hasta 1990. salió en nuestro país gran número literatura educativa, científica y metodológica, en un grado u otro, abordando el problema de la introducción de conceptos algebraicos en los cursos de matemáticas para escuela primaria. Además, estas cuestiones se tratan periódicamente en revistas especializadas. Así, a la hora de redactar el trabajo se utilizaron en gran medida publicaciones en las revistas “Pedagogía”, “Enseñanza de las matemáticas en la escuela” y “Escuela primaria”.

El contenido de una materia académica, como se sabe, depende de muchos factores: de las exigencias de la vida sobre los conocimientos de los estudiantes, del nivel de las ciencias pertinentes, de las capacidades mentales y físicas de los niños, etc. La consideración correcta de estos factores es una condición esencial para la educación más eficaz de los escolares y la ampliación de sus capacidades cognitivas. Pero a veces esta condición no se cumple por una razón u otra. En este caso, la enseñanza no produce el efecto deseado en términos de dominio del círculo por parte de los niños. conocimientos necesarios, y en relación con el desarrollo de su inteligencia.

Parece que en la actualidad los programas de enseñanza de algunas materias académicas, en particular matemáticas, no responden a las nuevas exigencias de la vida y al nivel de desarrollo. ciencias modernas(por ejemplo, matemáticas) y nuevos datos psicología del desarrollo y lógica. Esta circunstancia dicta la necesidad de realizar pruebas teóricas y experimentales integrales de posibles proyectos de nuevos contenidos de las materias educativas.

Base conocimiento matemático comienza en la escuela primaria. Pero, lamentablemente, tanto los propios matemáticos como los metodólogos y psicólogos prestan muy poca atención al contenido de las matemáticas elementales. Baste decir que el programa de matemáticas en la escuela primaria (grados I a IV) en sus características principales se formó hace 50 a 60 años y refleja naturalmente el sistema de ideas matemáticas, metodológicas y psicológicas de esa época.

Veamos los rasgos característicos. estándar estatal en matemáticas en la escuela primaria. Su contenido principal son los números enteros y las operaciones sobre ellos, estudiados en una secuencia determinada. Primero, se estudian cuatro operaciones en el límite de 10 y 20, luego, cálculos orales en el límite de 100, cálculos orales y escritos en el límite de 1000 y, finalmente, en el límite de millones y miles de millones. En el grado IV se estudian algunas relaciones entre datos y resultados. operaciones aritméticas, así como fracciones simples. Junto a esto, el programa implica estudiar medidas métricas y medidas de tiempo, dominar la capacidad de usarlos para medir, conocer algunos elementos de la geometría visual: dibujar un rectángulo y un cuadrado, medir segmentos, áreas de un rectángulo y un cuadrado, calcular volúmenes.

Los estudiantes deben aplicar los conocimientos y habilidades adquiridos para resolver problemas y realizar cálculos simples. A lo largo del curso, la resolución de problemas se lleva a cabo en paralelo con el estudio de números y operaciones; para ello se dedica la mitad del tiempo correspondiente. La resolución de problemas ayuda a los estudiantes a comprender el significado específico de las acciones, comprender diversos casos de su aplicación, establecer relaciones entre cantidades y adquirir habilidades básicas de análisis y síntesis. Desde el grado I al IV, los niños resuelven los siguientes tipos principales de problemas (simples y compuestos): encontrar la suma y el resto, producto y cociente, aumentar y disminuir números dados, diferencia y comparación múltiple, simple regla de tres, en división proporcional, encontrar una incógnita a partir de dos diferencias, calcular la media aritmética y algunos otros tipos de problemas.

CON diferentes tipos Los niños encuentran dependencias de cantidades al resolver problemas. Pero es muy típico que los estudiantes comiencen a resolver problemas después y mientras estudian los números; Lo principal que se requiere al resolver es encontrar una respuesta numérica. Los niños tienen grandes dificultades para identificar las propiedades de las relaciones cuantitativas en situaciones específicas y particulares, que generalmente se consideran problemas aritméticos. La práctica demuestra que la manipulación de números a menudo reemplaza el análisis real de las condiciones del problema desde el punto de vista de las dependencias de las cantidades reales. Además, los problemas presentados en los libros de texto no representan un sistema en el que situaciones más “complejas” estarían asociadas con capas “más profundas” de relaciones cuantitativas. Se pueden encontrar problemas de la misma dificultad tanto al principio como al final del libro de texto. Cambian de sección en sección y de clase en clase según la complejidad de la trama (el número de acciones aumenta), según el rango de los números (de diez a mil millones), según la complejidad dependencias fisicas(desde problemas de distribución hasta problemas de movimiento) y según otros parámetros. Sólo un parámetro, la profundización en el propio sistema de leyes matemáticas, se manifiesta débil e indistintamente en ellos. Por lo tanto es muy difícil establecer un criterio dificultad matemática una tarea u otra. ¿Por qué surgen problemas para encontrar una incógnita usando dos diferencias y encontrar la media aritmética (grado III)? tareas más difíciles para diferencia y comparación múltiple (Clase II)? La metodología no proporciona una respuesta lógica y convincente a esta pregunta.

Por lo tanto, los estudiantes de primaria no reciben un conocimiento adecuado y completo sobre las dependencias de las cantidades y las propiedades generales de las cantidades ni cuando estudian los elementos de la teoría de números, porque en el curso escolar se asocian principalmente con técnicas de computación, ni cuando resuelven problemas, porque estos últimos no tienen la forma adecuada y no cuentan con el sistema requerido. Los intentos de los metodólogos por mejorar los métodos de enseñanza, aunque conducen a éxitos parciales, no cambian la situación general, ya que están limitados de antemano por el marco de los contenidos aceptados.

Parece que el análisis crítico del programa aritmético adoptado debería basarse en las siguientes disposiciones:

El concepto de número no es idéntico al concepto de características cuantitativas de los objetos;

El número no es la forma original de expresar relaciones cuantitativas.

Proporcionemos la justificación de estas disposiciones.

Es bien sabido que las matemáticas modernas (en particular, el álgebra) estudian aspectos de las relaciones cuantitativas que no tienen una capa numérica. También es bien sabido que algunas relaciones cuantitativas son bastante expresables sin números y antes de números, por ejemplo, en segmentos, volúmenes, etc. (relación “más”, “menos”, “igual”). Presentación de los conceptos matemáticos generales iniciales en directrices modernas llevado a cabo en tal simbolismo que no implica necesariamente la expresión de objetos mediante números. Entonces, en el libro de E.G. En la "Aritmética teórica" ​​de Gonin, los objetos matemáticos básicos se indican desde el principio con letras y signos especiales(, págs. 12 – 15). Es característico que ciertos tipos de números y dependencias numéricas se dan sólo como ejemplos, ilustraciones de las propiedades de los conjuntos, y no como sus únicas y únicas posibles. forma existente expresiones. Además, es digno de mención que muchas ilustraciones de definiciones matemáticas individuales se dan en forma gráfica, a través de la proporción de segmentos, áreas (, págs. 14-19). Todas las propiedades básicas de conjuntos y cantidades pueden deducirse y justificarse sin involucrar sistemas numéricos; Además, estos últimos se justifican sobre la base de conceptos matemáticos generales.

A su vez, numerosas observaciones de psicólogos y profesores muestran que las ideas cuantitativas surgen en los niños mucho antes de que adquieran conocimientos sobre los números y cómo utilizarlos. Es cierto que existe una tendencia a clasificar estas ideas como "formaciones prematemáticas" (lo cual es bastante natural para los métodos tradicionales que identifican las características cuantitativas de un objeto con un número), pero esto no cambia su función esencial en el conocimiento general del niño. Orientación en las propiedades de las cosas. Y a veces sucede que la profundidad de estas supuestas "formaciones prematemáticas" es más importante para el desarrollo del propio pensamiento matemático del niño que el conocimiento de las sutilezas. tecnología informática y la capacidad de encontrar dependencias puramente numéricas. Es de destacar que el académico UN. Kolmogorov, al caracterizar las características de la creatividad matemática, señala especialmente la siguiente circunstancia: “En la base de la mayoría descubrimientos matemáticos yace una idea simple: visual construcción geométrica, nueva desigualdad elemental, etc. Sólo necesitas aplicar esto correctamente. idea sencilla para resolver un problema que a primera vista parece inaccesible" (, p. 17).

En la actualidad, son apropiadas una variedad de ideas sobre la estructura y las formas de construir un nuevo programa. En el trabajo de su construcción es necesario involucrar a matemáticos, psicólogos, lógicos y metodólogos. Pero en todas sus variantes específicas, parece tener que cumplir los siguientes requisitos básicos:

Superar la brecha existente entre el contenido de matemáticas en las escuelas primarias y secundarias;

Proporcionar un sistema de conocimiento sobre las leyes básicas de las relaciones cuantitativas del mundo objetivo; en este caso, las propiedades de los números, como forma especial de expresar cantidades, deberían convertirse en una sección especial, pero no principal, del programa;

Inculcar en los niños los métodos del pensamiento matemático, y no solo las habilidades de cálculo: se trata de construir un sistema de problemas basado en profundizar en la esfera de las dependencias de las cantidades reales (la conexión de las matemáticas con la física, la química, la biología y otras ciencias que estudian específicas cantidades);

Simplifique decisivamente todas las técnicas de cálculo, minimizando el trabajo que no se puede realizar sin tablas, libros de referencia y otros medios auxiliares (en particular, electrónicos) adecuados.

El significado de estos requisitos es claro: en la escuela primaria es muy posible enseñar matemáticas como ciencia sobre las leyes de las relaciones cuantitativas, sobre las dependencias de las cantidades; Las técnicas informáticas y los elementos de la teoría de números deberían convertirse en una sección especial y privada del programa.

La experiencia de construcción de un nuevo programa de matemáticas y sus pruebas experimentales, llevadas a cabo desde finales de la década de 1960, permiten ahora hablar de la posibilidad de introducir un curso sistemático de matemáticas en la escuela a partir del primer grado, proporcionando conocimientos sobre relaciones y dependencias cuantitativas. de cantidades en forma algebraica.

1.2 Fundamentos psicológicos para la introducción de conceptos algebraicos en la escuela primaria.

Recientemente, con la modernización de los programas. significado especial dar una base teórica de conjuntos al curso escolar (esta tendencia se manifiesta claramente tanto aquí como en el extranjero). La implementación de esta tendencia en la enseñanza (especialmente en los grados elementales, como se observa, por ejemplo, en una escuela estadounidense) planteará inevitablemente una serie de problemas. preguntas dificiles frente a la guardería y psicología educativa y antes que la didáctica, porque ahora casi no existen estudios que revelen las características de la asimilación por parte del niño del significado del concepto de conjunto (a diferencia de la asimilación del conteo y el número, que se ha estudiado de manera muy exhaustiva).

Investigación lógica y psicológica. últimos años(especialmente el trabajo de J. Piaget) reveló la conexión entre algunos "mecanismos" pensamiento de los niños con conceptos matemáticos generales. A continuación analizamos específicamente las características de esta conexión y su significado para la construcción de las matemáticas como materia educativa (hablaremos de lado teórico caso, y no sobre ninguna versión particular del programa).

El número natural ha sido un concepto fundamental en matemáticas a lo largo de su historia; juega un papel muy importante en todas las áreas de producción, tecnología, la vida cotidiana. Esto permite a los matemáticos teóricos asignarle lugar especial entre otros conceptos de las matemáticas. EN diferentes formas Se hacen afirmaciones de que el concepto de número natural es la etapa inicial. abstracción matemática, que es la base para la construcción de la mayoría de las disciplinas matemáticas.

La elección de los elementos iniciales de las matemáticas como materia implementa esencialmente estos disposiciones generales. En este caso, se supone que, al familiarizarse con el número, el niño descubre al mismo tiempo por sí mismo. características originales relaciones cuantitativas. El conteo y los números son la base de todo aprendizaje posterior de las matemáticas en la escuela.

Sin embargo, hay razones para creer que estas disposiciones, si bien resaltan correctamente el significado especial y fundamental del número, al mismo tiempo expresan de manera inadecuada su conexión con otros conceptos matemáticos y evalúan de manera inexacta el lugar y el papel del número en el proceso de dominio de las matemáticas. . Debido a esta circunstancia, en particular, surgen algunas deficiencias importantes en los programas, métodos y libros de texto adoptados en matemáticas. Es necesario considerar específicamente la conexión real del concepto de número con otros conceptos.

Muchos conceptos matemáticos generales, y en particular los conceptos de relaciones de equivalencia y orden, se consideran sistemáticamente en matemáticas independientemente de la forma numérica. Estos conceptos no pierden su carácter independiente; a partir de ellos se puede describir y estudiar un tema determinado, diferente. sistemas numéricos, cuyos conceptos por sí solos no cubren el significado y la importancia de las definiciones originales. y en la historia ciencia matemática Los conceptos generales se desarrollaron precisamente en la medida en que las "operaciones algebraicas" ejemplo famoso que proporcionan las cuatro operaciones de la aritmética, comenzó a aplicarse a elementos de naturaleza completamente no numérica.

Recientemente, se ha intentado ampliar la etapa de introducción del niño a las matemáticas en la enseñanza. Esta tendencia encuentra expresión en manuales metodológicos, así como en algunos libros de texto experimentales. Así, en un libro de texto estadounidense destinado a enseñar a niños de 6 a 7 años (), en las primeras páginas se presentan tareas y ejercicios que capacitan específicamente a los niños para establecer la identidad de los grupos de materias. A los niños se les muestra la técnica de conectar conjuntos y los correspondientes. simbolismo matemático. Trabajar con números se basa en informacion basica sobre conjuntos.

El contenido de los intentos concretos de implementar esta tendencia se puede evaluar de otra manera, pero, en nuestra opinión, es bastante legítimo y prometedor.

A primera vista, los conceptos de “actitud”, “estructura”, “leyes de composición”, etc., que tienen definiciones matemáticas complejas, no pueden asociarse con la formación. representaciones matemáticas en niños pequeños. Por supuesto, todo el significado verdadero y abstracto de estos conceptos y su lugar en construcción axiomática La matemática como ciencia es objeto de asimilación de una cabeza ya bien desarrollada y “entrenada” en matemáticas. Sin embargo, algunas propiedades de las cosas fijadas por estos conceptos, de una forma u otra, le aparecen al niño relativamente temprano: existe evidencia psicológica específica de esto.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que desde el momento del nacimiento hasta los 7-10 años, un niño se desarrolla y se desarrolla. sistemas altamente complejos ideas generales sobre el mundo que nos rodea y sienta las bases para un pensamiento significativo y objetivo. Además, basándose en material empírico relativamente limitado, los niños distinguen esquemas generales orientaciones en las dependencias espacio-temporales y de causa y efecto de las cosas. Estos diagramas sirven como una especie de marco para el "sistema de coordenadas" dentro del cual el niño comienza a dominar cada vez más las diversas propiedades del mundo diverso. Por supuesto, estos esquemas generales apenas se realizan y, en pequeña medida, el propio niño puede expresarlos en forma de juicio abstracto. Ellos, en sentido figurado, son una forma intuitiva de organizar el comportamiento del niño (aunque, por supuesto, se reflejan cada vez más en los juicios).

En las últimas décadas, el famoso psicólogo suizo J. Piaget y sus colegas han estudiado con especial intensidad las cuestiones de la formación de la inteligencia de los niños y el surgimiento de sus ideas generales sobre la realidad, el tiempo y el espacio. Algunas de sus obras tienen relación directa a los problemas del desarrollo del pensamiento matemático de un niño y, por lo tanto, es importante que los consideremos en relación con las cuestiones de diseño plan de estudios.

En uno de sus últimos libros() J. Piaget proporciona datos experimentales sobre la génesis y formación de tales elementos elementales. estructuras lógicas, como clasificación y seriación. La clasificación implica realizar una operación de inclusión (por ejemplo, A + A" = B) y su operación inversa (B - A" = A). La seriación es la ordenación de objetos en filas sistemáticas (por ejemplo, en una fila se pueden colocar palos de diferentes longitudes, cada miembro de los cuales es más grande que todos los anteriores y más pequeño que todos los siguientes).

Analizando la formación de la clasificación, J. Piaget muestra cómo desde su forma inicial, desde la creación de un “agregado figurativo” basado únicamente en la proximidad espacial de los objetos, los niños pasan a una clasificación basada en la relación de similitud (“no- agregados figurativos”), y luego a la clasificación misma. forma compleja- a la inclusión de clases, determinada por la conexión entre el volumen y el contenido del concepto. El autor considera específicamente la cuestión de formar una clasificación no sólo según uno, sino también según dos o tres criterios, y sobre el desarrollo en los niños de la capacidad de cambiar la base de clasificación al agregar nuevos elementos. Los autores encuentran etapas similares en el proceso de formación de la seriación.

Estos estudios perseguían un objetivo muy específico: identificar los patrones de formación de las estructuras operativas de la mente y, en primer lugar, una propiedad constitutiva de ellas como la reversibilidad, es decir. la capacidad de la mente para avanzar y retroceder. La reversibilidad ocurre cuando “las operaciones y acciones pueden desarrollarse en dos direcciones, y la comprensión de una de estas direcciones causa ipso facto [en virtud del hecho mismo] la comprensión de la otra” (, p. 15).

La reversibilidad, según J. Piaget, representa la ley fundamental de composición inherente a la mente. Tiene dos formas complementarias e irreductibles: reversión (inversión o negación) y reciprocidad. La inversión ocurre, por ejemplo, en el caso en que el movimiento espacial de un objeto de A a B se puede cancelar transfiriendo el objeto de regreso de B a A, lo que en última instancia equivale a una transformación cero (el producto de una operación y su inversa). es una operación idéntica, o una transformación cero).

La reciprocidad (o compensación) implica el caso en el que, por ejemplo, cuando un objeto se mueve de A a B, el objeto permanece en B, pero el niño mismo se mueve de A a B y reproduce la posición inicial cuando el objeto estaba contra su cuerpo. . El movimiento del objeto no se cancela aquí, sino que se compensa con el movimiento correspondiente. propio cuerpo- y esta es una forma diferente de transformación que la conversión (, p. 16).

En sus trabajos, J. Piaget demostró que estas transformaciones aparecen por primera vez en forma de circuitos sensoriomotores (de 10 a 12 meses). Coordinación gradual de circuitos sensorio-motores, simbolismo funcional y visualización de idioma llevar a que a través de una serie de etapas, la circulación y la reciprocidad se conviertan en propiedades de las acciones intelectuales (operaciones) y se sinteticen en una única estructura operadora (en el período de 7 a 11 y de 12 a 15 años). Ahora el niño puede coordinar todos los movimientos en uno según dos sistemas de referencia a la vez: uno móvil y otro fijo.

J. Piaget cree que investigación psicológica desarrollo de operaciones aritméticas y geométricas en la mente del niño (especialmente aquellas operaciones lógicas que se llevan a cabo en ellos) condiciones previas) le permite correlacionar con precisión las estructuras de pensamiento de los operadores con estructuras algebraicas, estructuras de orden y topológicas (, p. 13). Así, la estructura algebraica (“grupo”) corresponde a los mecanismos operadores de la mente, sujetos a una de las formas de reversibilidad: la inversión (negación). El grupo tiene cuatro propiedades elementales: el producto de dos elementos del grupo también da un elemento del grupo; una operación directa corresponde a una y sólo una operación inversa; hay una operación de identidad; las composiciones sucesivas son asociativas. En el lenguaje de las acciones intelectuales esto significa:

La coordinación de dos sistemas de actuación constituye un nuevo esquema anexo a los anteriores;

La operación puede desarrollarse en dos direcciones;

Cuando volvemos al punto de partida lo encontramos sin cambios;

Puedes llegar al mismo punto. de diferentes maneras, y el punto en sí permanece sin cambios.

Hechos del desarrollo infantil “independiente” (es decir, desarrollo independiente de influencia directa enseñanza) muestran una discrepancia entre el orden de las etapas de geometría y las etapas de formación conceptos geométricos en un niño. Estos últimos se aproximan al orden de sucesión de los grupos principales, donde la topología es lo primero. Un niño, según J. Piaget, primero desarrolla una intuición topológica y luego se orienta en la dirección de estructuras proyectivas y métricas. Por lo tanto, en particular, como señala J. Piaget, durante los primeros intentos de dibujar, el niño no distingue entre cuadrados, círculos, triángulos y otras figuras métricas, pero distingue perfectamente entre figuras abiertas y cerradas, la posición “afuera” o “adentro”. ”en relación a la frontera, división y proximidad (sin distinguir distancias por el momento), etc. (, pág. 23).

Consideremos las principales disposiciones formuladas por J. Piaget en relación con las cuestiones de la construcción de un plan de estudios. En primer lugar, la investigación de J. Piaget muestra que durante la educación preescolar y infancia escolar El niño desarrolla tales estructuras operativas de pensamiento que le permiten evaluar las características fundamentales de las clases de objetos y sus relaciones. Además, ya en la etapa de operaciones específicas (de 7 a 8 años), el intelecto del niño adquiere la propiedad de reversibilidad, que es extremadamente importante para comprender el contenido teórico de las materias educativas, en particular las matemáticas.

Estos datos indican que psicología tradicional y la pedagogía no tuvo suficientemente en cuenta la naturaleza compleja y amplia de las etapas del desarrollo mental del niño que están asociadas con el período de 2 a 7 y de 7 a 11 años.

La consideración de los resultados obtenidos por J. Piaget nos permite sacar una serie de conclusiones importantes en relación con el diseño de un plan de estudios de matemáticas. En primer lugar, los datos fácticos sobre la formación del intelecto de un niño de 2 a 11 años indican que en este momento no sólo las propiedades de los objetos descritas a través de los conceptos matemáticos de "relación - estructura" no son "ajenas" para él, sino que estos últimos entran orgánicamente en el pensamiento del niño.

Los programas tradicionales no tienen esto en cuenta. Por lo tanto, no aprovechan muchas de las oportunidades ocultas en el proceso de desarrollo intelectual del niño.

Los materiales disponibles en la psicología infantil moderna nos permiten evaluar positivamente la idea general de construir una asignatura educativa que se basaría en los conceptos de estructuras matemáticas iniciales. Por supuesto, en el camino hay grandes dificultades, ya que aún no existe experiencia en la construcción de un tema educativo de este tipo. En particular, uno de ellos está asociado a la determinación del “umbral” de edad a partir del cual la formación en nuevo programa. Si seguimos la lógica de J. Piaget, entonces, aparentemente, estos programas sólo pueden enseñarse cuando los niños ya tienen estructuras de operadores completamente formadas (de 14 a 15 años). Pero si asumimos que lo real pensamiento matemático niño se forma precisamente dentro del proceso que J. Piaget designa como el proceso de plegado de estructuras de operadores, entonces estos programas se pueden introducir mucho antes (por ejemplo, de 7 a 8 años), cuando los niños comienzan a formar operaciones específicas con nivel más alto reversibilidad. En condiciones “naturales”, cuando se estudia según programas tradicionales, las operaciones formales pueden tomar forma sólo entre los 13 y 15 años. ¿Pero es posible “acelerar” su formación introduciendo antes tales material educativo, ¿cuya asimilación requiere un análisis directo de estructuras matemáticas?

Parece que tales posibilidades existen. A la edad de 7 a 8 años, los niños ya han desarrollado suficientemente un plan de acciones mentales, y al entrenarlos en un programa apropiado, en el que las propiedades de las estructuras matemáticas se dan "explícitamente" y los niños reciben los medios para analizarlas, Es posible llevar a los niños más rápidamente al nivel de operaciones “formales” que en el lapso de tiempo en el que esto se lleva a cabo durante el descubrimiento “independiente” de estas propiedades.

Es importante tener en cuenta la siguiente circunstancia. Hay motivos para creer que las peculiaridades del pensamiento en el nivel de operaciones específicas, fechadas por J. Piaget entre los 7 y los 11 años, están indisolublemente ligadas a las formas de organización del aprendizaje características de la escuela primaria tradicional. Esta formación (tanto aquí como en el extranjero) se lleva a cabo sobre la base de un contenido extremadamente empírico, a menudo nada relacionado con una actitud conceptual (teórica) hacia el objeto. Esta formación apoya y fortalece el pensamiento de los niños, que se basa en la percepción directa y externa, en los signos perceptibles de las cosas.

Por lo tanto, ahora hay evidencia que demuestra estrecha conexión estructuras del pensamiento de los niños y estructuras algebraicas generales, aunque el "mecanismo" de esta conexión está lejos de ser claro y casi inexplorado. La presencia de esta conexión abre posibilidades fundamentales (¡por ahora sólo oportunidades!) para la construcción de un sujeto educativo que se desarrolle según el esquema “desde estructuras simples- a sus combinaciones complejas". Una de las condiciones para la realización de estas posibilidades es el estudio de la transición al pensamiento mediado y sus estándares de edad. Este método de construir las matemáticas como una materia académica puede ser en sí mismo una poderosa palanca para la formación en hijos de tal pensamiento, que se basa en una base conceptual bastante sólida.

1.3 El problema del origen de los conceptos algebraicos y su significado para la construcción de una asignatura educativa

Separación curso escolar matemáticas para álgebra y aritmética, por supuesto, condicionalmente. La transición de uno a otro se produce de forma paulatina. EN práctica escolar El significado de esta transición está enmascarado por el hecho de que el estudio de fracciones en realidad ocurre sin un soporte extenso para medir cantidades: las fracciones se dan como proporciones de pares de números (aunque la importancia de medir cantidades se reconoce formalmente en los manuales metodológicos). Una introducción extensa a los números fraccionarios basados ​​en la medición de cantidades conduce inevitablemente al concepto de número real. Pero esto último generalmente no sucede, ya que los estudiantes trabajan con números racionales durante mucho tiempo y, por lo tanto, se retrasa su transición al “álgebra”.

En otras palabras, el álgebra escolar comienza precisamente cuando se crean las condiciones para la transición de números enteros a números reales, para expresar el resultado de una medición como una fracción (simple y decimal, finita y luego infinita).

Además, el paso inicial puede ser familiarizarse con la operación de medición, obteniendo el resultado final. decimales y estudiar acciones sobre ellos. Si los estudiantes ya conocen esta forma de registrar el resultado de una medición, esto sirve como condición previa para "abandonar" la idea de que un número se puede expresar. fracción infinita. Y es recomendable crear este requisito previo ya en la escuela primaria.

Si el concepto de número fraccionario (racional) se elimina del ámbito de la aritmética escolar, entonces la frontera entre este y el "álgebra" pasará por la línea de diferencia entre números enteros y reales. Es esto lo que “divide” el curso de matemáticas en dos partes. No se trata de una simple diferencia, sino de un “dualismo” fundamental de fuentes: conteo y medición.

Siguiendo las ideas de Lebesgue sobre el “concepto general de número”, es posible asegurar una unidad completa en la enseñanza de las matemáticas, pero sólo desde el momento y después de familiarizar a los niños con el conteo y los números enteros (naturales). Por supuesto, el momento de esta familiarización preliminar puede ser diferente (en los programas tradicionales para las escuelas primarias, estos elementos están claramente retrasados); medidas practicas(como es el caso en el programa); sin embargo, todo esto no elimina las diferencias en los fundamentos de la aritmética y el "álgebra" como materias educativas. El “dualismo” de los puntos de partida también impide que los apartados relacionados con la medición de cantidades y la transición a fracciones reales “echen raíces” realmente en un curso de aritmética. Los autores de los programas y metodólogos se esfuerzan por mantener la estabilidad y la "pureza" de la aritmética como materia escolar. Esta diferencia de fuentes es la razón principal para enseñar matemáticas según el esquema: primero aritmética (número entero), luego "álgebra" (número real).

Este esquema parece bastante natural e inquebrantable; además, está justificado por muchos años de práctica en la enseñanza de las matemáticas. Pero hay circunstancias que, desde un punto de vista lógico-psicológico, requieren más análisis exhaustivo la legitimidad de este rígido esquema de enseñanza.

El caso es que, a pesar de todas las diferencias entre estos tipos de números, se refieren específicamente a números, es decir, a una forma especial de mostrar relaciones cuantitativas. El hecho de que los números enteros y reales pertenezcan a "números" sirve de base para suponer que las diferencias entre contar y medir son derivadas genéticas: tienen una fuente única y especial que corresponde a la forma misma del número. El conocimiento de las características de esta base unificada de conteo y medición permitirá imaginar más claramente las condiciones de su origen, por un lado, y la relación, por el otro.

A dónde acudir para encontrar raíz común¿árbol ramificado de números? Parece que antes que nada es necesario analizar el contenido del concepto de cantidad. Es cierto que este término se asocia inmediatamente con otro: dimensión. Sin embargo, la legitimidad de tal conexión no excluye una cierta independencia del significado de “magnitud”. La consideración de este aspecto nos permite sacar conclusiones que combinan, por un lado, la medición y el conteo, y por otro, la manipulación de números con ciertas relaciones y patrones matemáticos generales.

Entonces, ¿qué es “cantidad” y qué interés tiene para la construcción de los apartados iniciales de la matemática escolar?

EN uso general El término “magnitud” está asociado a los conceptos “igual”, “más”, “menos”, que describen una variedad de cualidades (longitud y densidad, temperatura y blancura). V.F. Kagan plantea la cuestión de qué propiedades comunes tienen estos conceptos. Muestra que pertenecen a agregados - conjuntos objetos homogéneos, cuya comparación de elementos nos permite aplicar los términos “más”, “igual”, “menos” (por ejemplo, a conjuntos de todos los segmentos de recta, pesos, velocidades, etc.).

Un conjunto de objetos sólo se transforma en magnitud cuando se establecen criterios que permitan establecer, respecto de cualquiera de sus elementos A y B, si A será igual a B, mayor que B o menor que B. Es más, para dos elementos cualesquiera A y B, uno y solo uno de las razones: A=B, A>B, A<В.

Estas oraciones constituyen una disyunción completa (al menos una es válida, pero cada una excluye a todas las demás).

V.F. Kagan identifica las siguientes ocho propiedades básicas de los conceptos "igual", "más", "menos": (, págs. 17-31).

1) Al menos una de las relaciones se cumple: A=B, A>B, A<В.

2) Si la relación A = B se cumple, entonces la relación A no se cumple<В.

3) Si la relación A=B se cumple, entonces la relación A>B no se cumple.

4) Si A=B y B=C, entonces A=C.

5) Si A>B y B>C, entonces A>C.

6) Si un<В и В<С, то А<С.

7) La igualdad es una relación reversible: de la relación A=B siempre se sigue la relación B=A.

8) La igualdad es una relación recíproca: cualquiera que sea el elemento A del conjunto considerado, A = A.

Las primeras tres oraciones caracterizan la disyunción de las relaciones básicas "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых трех элементах А, В и С. Следующие предложения 7 - 8 характеризуют только равенство - его обратимость и возвратность (или рефлексивность). Эти восемь основных положений В.Ф.Каган называет поcтулатами сравнения, на базе которых можно вывести ряд других свойств величины.

Estas propiedades inferenciales de V.F. Kagan lo describe en forma de ocho teoremas:

I. La relación A>B excluye la relación B>A (A<В исключает В<А).

II. Si A>B, entonces B<А (если А<В, то В>A).

III. Si A>B se cumple, entonces A no se cumple.

IV. Si A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1, entonces A1=An.

V. Si A1>A2, A2>A3,.., An-1>An, entonces A1>An.

VI. Si A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Si A=C y B=C, entonces A=B.

VIII. Si hay igualdad o desigualdad A=B, o A>B, o A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа:

si A=B y A=C, entonces C=B;

si A>B y A=C, entonces C>B, etc.).

Postulados y teoremas de comparación, señala V.F. Kagan, “se agotan todas aquellas propiedades de los conceptos “igual”, “más” y “menos”, que en matemáticas están asociadas a ellos y encuentran aplicación independientemente de las propiedades individuales del conjunto a los elementos en los que las aplicamos. varios casos especiales” (, página 31).

Las propiedades especificadas en postulados y teoremas pueden caracterizar no sólo aquellas características inmediatas de los objetos que estamos acostumbrados a asociar con "igual", "más", "menos", sino también con muchas otras características (por ejemplo, pueden caracterizar la relación “antepasado - descendiente”). Esto nos permite adoptar un punto de vista general al describirlos y considerar, por ejemplo, desde el punto de vista de estos postulados y teoremas, tres tipos de relaciones “alfa”, “beta”, “gamma” (en este caso es posible establecer si estas relaciones satisfacen los postulados y teoremas y bajo qué condiciones).

Desde este punto de vista, se pueden, por ejemplo, considerar propiedades de las cosas como la dureza (más dura, más blanda, igual dureza), la secuencia de eventos en el tiempo (siguiente, anterior, simultánea), etc. En todos estos casos, los ratios “alfa”, “beta”, “gamma” reciben su propia interpretación específica. La tarea asociada con la selección de un conjunto de cuerpos que tendrían estas relaciones, así como la identificación de signos por los cuales se podrían caracterizar "alfa", "beta", "gamma": esta es la tarea de determinar los criterios de comparación. en un determinado conjunto de cuerpos (en la práctica, en algunos casos no es fácil de resolver). “Al establecer criterios de comparación transformamos multitud en magnitud”, escribió V.F. Kagan (, pág. 41).

Los objetos reales pueden verse desde la perspectiva de diferentes criterios. Así, un grupo de personas puede considerarse según un criterio como la secuencia de momentos de nacimiento de cada uno de sus miembros. Otro criterio es la posición relativa que adoptarán las cabezas de estas personas si se colocan una al lado de la otra en un mismo plano horizontal. En cada caso, el grupo se transformará en una cantidad que tiene un nombre correspondiente: edad, altura. En la práctica, una cantidad generalmente no denota el conjunto de elementos en sí, sino un nuevo concepto introducido para distinguir los criterios de comparación (el nombre de la cantidad). Surgen así los conceptos de “volumen”, “peso”, “tensión eléctrica”, etc. "Al mismo tiempo, para un matemático, el valor está completamente definido cuando se indican muchos elementos y criterios de comparación", señaló V.F. Kagan (, pág. 47).

Este autor considera la serie natural de números como el ejemplo más importante de cantidad matemática. Desde el punto de vista de un criterio de comparación como la posición que ocupan los números en una serie (ocupan el mismo lugar, sigue ..., precede), esta serie satisface los postulados y, por tanto, representa una cantidad. Según los correspondientes criterios de comparación, un conjunto de fracciones también se convierte en una cantidad.

Esto es según V.F. Kagan, el contenido de la teoría cuantitativa, que juega un papel vital en la base de todas las matemáticas.

Trabajando con cantidades (es recomendable registrar sus valores individuales en letras), se puede realizar un sistema complejo de transformaciones, estableciendo las dependencias de sus propiedades, pasando de la igualdad a la desigualdad, realizando sumas (y restas), y al sumar Puedes guiarte por las propiedades conmutativas y asociativas. Entonces, si se da la relación A = B, entonces al “resolver” problemas puedes guiarte por la relación B = A. En otro caso, si existen relaciones A>B, B=C, podemos concluir que A>C. Dado que para a>b existe un c tal que a=b+c, ​​entonces podemos encontrar la diferencia entre a y b (a-b=c), etc. Todas estas transformaciones se pueden hacer en cuerpos fisicos y otros objetos, estableciendo criterios de comparación y cumplimiento de las relaciones seleccionadas con los postulados de comparación.

Los materiales anteriores nos permiten concluir que tanto los números naturales como los reales están igualmente fuertemente asociados con las cantidades y algunas de sus características esenciales. ¿Es posible convertir estas y otras propiedades en un objeto? estudio especial niño incluso antes de que se introduzca la forma numérica de describir la relación de cantidades? Pueden servir como requisitos previos para la posterior introducción detallada del número y su diferentes tipos, en particular para la propedéutica de fracciones, conceptos de coordenadas, funciones y otros conceptos ya en clases junior.

¿Cuál podría ser el contenido de este? sección inicial? Esta es una introducción a objetos fisicos, criterios para su comparación, destacando una cantidad como tema de consideración matemática, familiaridad con métodos de comparación y medios simbólicos para registrar sus resultados, con técnicas para analizar las propiedades generales de las cantidades. Este contenido debe desarrollarse en un programa de enseñanza relativamente detallado y, lo más importante, vincularse con aquellas acciones del niño a través de las cuales puede dominar este contenido (por supuesto, en la forma adecuada). Al mismo tiempo, es necesario establecer experimentalmente si los niños de 7 años pueden dominar este programa y cuál es la viabilidad de su introducción en la enseñanza posterior de las matemáticas en los grados de primaria con el fin de acercar la aritmética y el álgebra primaria. juntos.

Hasta ahora, nuestro razonamiento ha sido de naturaleza teórica y apuntaba a aclarar los prerrequisitos matemáticos para construir una sección inicial del curso que presentaría a los niños conceptos algebraicos básicos (hasta introducción especial números).

Las principales propiedades que caracterizan las cantidades se describieron anteriormente. Naturalmente, no tiene sentido que niños de 7 años den “sermones” sobre estas propiedades. Era necesario encontrar esa forma de trabajo para los niños con material didáctico, a través del cual podrían, por un lado, identificar estas propiedades en las cosas que los rodean, por otro, aprenderían a fijarlas con cierto simbolismo y realizar tareas elementales. análisis matemático relaciones asignadas.

En este sentido, el programa debe contener, en primer lugar, una indicación de aquellas propiedades de la materia que se van a dominar, en segundo lugar, una descripción de los materiales didácticos, en tercer lugar - y esto es lo principal desde un punto de vista psicológico - las características de aquellas acciones mediante las cuales el niño identifica ciertas propiedades de un objeto y las domina. Estos “componentes” forman el programa de enseñanza en el sentido propio de la palabra.

Características específicas Tiene sentido presentar este programa hipotético y sus “componentes” al describir el proceso de aprendizaje en sí y sus resultados. Aquí está el resumen de este programa y sus temas clave.

Tema I. Nivelación y finalización de objetos (por longitud, volumen, peso, composición de piezas y otros parámetros).

Tareas prácticas de nivelación y adquisición. Identificación de características (criterios) mediante las cuales los mismos objetos pueden ser igualados o completados. Designación verbal de estas características (“por longitud”, por peso”, etc.).

Estas tareas se resuelven en el proceso de trabajo con material didáctico (barras, pesas, etc.) mediante:

Elegir el “mismo” artículo,

Reproducción (construcción) del “mismo” objeto según un parámetro seleccionado (especificado).

Tema II. Comparar objetos y fijar sus resultados mediante la fórmula de igualdad-desigualdad.

1. Tareas de comparar objetos y designar simbólicamente los resultados de esta acción.

2. Registro verbal de los resultados de la comparación (términos “más”, “menos”, “igual”). signos escritos ">", "<", "=".

3. Indicación del resultado de la comparación con un dibujo (“copiando” y luego “abstracto” - líneas).

4. Designación de objetos comparados con letras. Registrar el resultado de la comparación usando las fórmulas: A=B; A<Б, А>B.

Una letra como signo que fija un valor particular dado directamente de un objeto según un parámetro seleccionado (por peso, por volumen, etc.).

5. Imposibilidad de fijar el resultado de la comparación utilizando fórmulas diferentes. Elegir una fórmula específica para un resultado dado (disyunción completa de las relaciones mayor - menor - igual).

Tema III. Propiedades de la igualdad y la desigualdad.

1. Reversibilidad y reflexividad de la igualdad (si A=B, entonces B=A; A=A).

2. La conexión entre las relaciones “más” y “menos” en las desigualdades durante las “permutaciones” de las partes comparadas (si A>B, entonces B<А и т.п.).

3. Transitividad como propiedad de la igualdad y la desigualdad:

si A=B, si A>B, si A<Б,

a B=B, a B>B, a B<В,

entonces A=B; entonces A>B; entonces A<В.

4. Pasar de trabajar con material didáctico temático a evaluar las propiedades de igualdad y desigualdad en presencia de fórmulas únicamente literales. Resolver diversos problemas que requieran conocimiento de estas propiedades (por ejemplo, resolver problemas relacionados con la conexión de relaciones del tipo: dado que A>B y B=C; averiguar la relación entre A y C).

Tema IV. Operación de suma (resta).

1. Observaciones de cambios en objetos según uno u otro parámetro (por volumen, por peso, por duración, etc.). Ilustración de aumento y disminución con signos "+" y "-" (más y menos).

2. Violación de la igualdad previamente establecida con el correspondiente cambio en uno u otro de sus bandos. La transición de la igualdad a la desigualdad. Escribir fórmulas como:

si A=B, si A=B,

entonces A+K>B; luego A-K<Б.

3. Métodos de transición a una nueva igualdad (su “restauración” según el principio: añadir “igual” a “igual” da “igual”).

Trabajando con fórmulas como:

entonces A+K>B,

pero A+K=B+K.

4. Resolver varios problemas que requieren el uso de la suma (resta) al pasar de la igualdad a la desigualdad y viceversa.

Tema V. Transición de la desigualdad tipo A<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Tareas que requieran dicha transición. La necesidad de determinar el valor de la cantidad en la que difieren los objetos comparados. La capacidad de escribir igualdad cuando se desconoce el valor específico de esta cantidad. Método de uso de x (x).

Escribir fórmulas como:

si un<Б, если А>B,

entonces A+x=B; entonces A-x=B.

2. Determinar el valor de x. Sustituyendo este valor en la fórmula (introducción entre paréntesis). Tipo de fórmulas

3. Resolver problemas (incluidos los “textuales argumentales”) que requieran realizar las operaciones especificadas.

Tema Vl. Suma-resta de igualdades-desigualdades. Sustitución.

1. Suma-resta de igualdades-desigualdades:

si A=B si A>B si A>B

y M=D, y K>E, y B=G,

entonces A+M=B+D; entonces A+K>B+E; entonces A+-B>C+-G.

2. La capacidad de representar el valor de una cantidad como la suma de varios valores. Tipo de sustitución:

3. Resolver diversos problemas que requieren tener en cuenta las propiedades de las relaciones con las que los niños se familiarizaron en el proceso de trabajo (muchas tareas requieren consideración simultánea de varias propiedades, inteligencia para evaluar el significado de las fórmulas; las descripciones de los problemas y las soluciones se dan a continuación ).

Este es un programa diseñado para 3,5 a 4 meses. primer semestre del año. Como muestra la experiencia del aprendizaje experimental, con una adecuada planificación de las lecciones, la mejora de los métodos de enseñanza y buena eleccion material didáctico Todo el material presentado en el programa puede ser totalmente asimilado por los niños en más de Corto plazo(durante 3 meses).

¿Cómo va nuestro programa? En primer lugar, los niños se familiarizan con el método de obtención de un número que expresa la relación de un objeto en su conjunto (la misma cantidad representada por un objeto continuo o discreto) con su parte. Esta misma actitud y su significado específico está representado por la fórmula A/K = n, donde n es cualquier número entero, que generalmente expresa la proporción exacta a "uno" (sólo con una selección especial de material o contando sólo "cualitativamente" cosas individuales se puede obtener una relación absolutamente precisa entero). Desde el principio, los niños se ven “obligados” a tener en cuenta que al medir o contar puede resultar un resto, cuya presencia debe estar especialmente estipulada. Este es el primer paso para el trabajo posterior con fracciones.

Con esta forma de obtener un número, no es difícil llevar a los niños a describir un objeto con una fórmula como A = 5k (si la proporción fuera igual a “5”). Junto con la primera fórmula, abre oportunidades para un estudio especial de las dependencias entre un objeto, una base (medida) y el resultado del cálculo (medición), que también sirve como propedéutica para la transición a números fraccionarios(en particular, para comprender las propiedades básicas de las fracciones).

Otra línea de desarrollo del programa, implementada ya en primer grado, es la transferencia a números (enteros) de las propiedades básicas de la cantidad (disyunción igualdad-desigualdad, transitividad, invertibilidad) y las operaciones de la suma (conmutatividad, asociatividad, monotonicidad, la posibilidad de restar). En particular, trabajar para recta numérica, los niños pueden convertir rápidamente una secuencia de números en un valor (por ejemplo, evaluar claramente su transitividad realizando notaciones de tipo 3<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.).

La familiaridad con algunas de las características llamadas “estructurales” de la igualdad permite a los niños abordar la conexión entre la suma y la resta de manera diferente. Así, al pasar de la desigualdad a la igualdad, se realizan las siguientes transformaciones: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; encuentre la relación entre los lados izquierdo y derecho de la fórmula para 8+1-4...6+3-2; en caso de desigualdad, lleve esta expresión a igualdad (primero debe poner un signo "menor que" y luego agregar un "dos" en el lado izquierdo).

Por lo tanto, tratar una serie numérica como una cantidad le permite desarrollar las habilidades de suma y resta (y luego de multiplicación y división) de una manera nueva.

Como sabes, cuando se estudian matemáticas en 5º grado, una parte importante del tiempo se dedica a repetir lo que los niños deberían haber aprendido en la escuela primaria. Esta repetición en casi todos los libros de texto existentes requiere 1,5 trimestres académicos. Esta situación no surgió por casualidad. Su motivo es el descontento de los profesores de matemáticas de secundaria con la preparación de los egresados ​​de primaria. ¿A qué se debe esta situación? Para ello se analizaron los cinco libros de texto de matemáticas de primaria más famosos en la actualidad. Estos son los libros de texto de M.I. Moro, I.I. Arginskaya, N.B. Istomina, L.G. Peterson y V.V. Davydova (, , , ,).

El análisis de estos libros de texto reveló varios aspectos negativos, presentes en mayor o menor medida en cada uno de ellos y que afectan negativamente al aprendizaje posterior. En primer lugar, la asimilación del material que contienen se basa en gran medida en la memorización. Un ejemplo sorprendente de esto es memorizar la tabla de multiplicar. En la escuela primaria se dedica mucho esfuerzo y tiempo a memorizarlo. Pero durante las vacaciones de verano los niños la olvidan. La razón de un olvido tan rápido es el aprendizaje de memoria. Investigación de L.S. Vygotsky demostró que la memorización significativa es mucho más efectiva que la memorización mecánica, y experimentos posteriores demuestran de manera convincente que el material ingresa a la memoria a largo plazo solo si se recuerda como resultado del trabajo correspondiente a este material.

En los años 50 se encontró un método para dominar eficazmente la tabla de multiplicar. Consiste en organizar un determinado sistema de ejercicios, al realizarlos los propios niños construyen una tabla de multiplicar. Sin embargo, este método no está implementado en ninguno de los libros de texto revisados.

Otro punto negativo que afecta la educación superior es que en muchos casos la presentación del material en los libros de texto de matemáticas de la escuela primaria está estructurada de tal manera que en el futuro habrá que volver a capacitar a los niños, y esto, como sabemos, es mucho más difícil que enseñanza. En relación al estudio de material algebraico, un ejemplo sería la resolución de ecuaciones en la escuela primaria. En todos los libros de texto, la resolución de ecuaciones se basa en las reglas para encontrar componentes desconocidos de acciones.

Esto se hace de manera algo diferente sólo en el libro de texto de L.G. Peterson, donde, por ejemplo, la resolución de ecuaciones de multiplicación y división se basa en correlacionar los componentes de la ecuación con los lados y el área de un rectángulo y, en última instancia, también se reduce a reglas, pero estas son reglas para encontrar el lado o el área de un rectángulo. Mientras tanto, a partir del sexto grado, a los niños se les enseña un principio completamente diferente para resolver ecuaciones, basado en el uso de transformaciones idénticas. Esta necesidad de reaprendizaje lleva al hecho de que resolver ecuaciones sea una tarea bastante difícil para la mayoría de los niños.

Al analizar los libros de texto, también encontramos el hecho de que al presentar el material en ellos, a menudo hay una distorsión de los conceptos. Por ejemplo, la formulación de muchas definiciones se da en forma de implicaciones, mientras que por la lógica matemática se sabe que cualquier definición es una equivalencia. A modo de ilustración, podemos citar la definición de multiplicación del libro de texto de I.I. Arginskaya: "Si todos los términos de la suma son iguales entre sí, entonces la suma se puede reemplazar por otra acción: la multiplicación". (Todos los términos de la suma son iguales entre sí. Por lo tanto, la suma se puede reemplazar por la multiplicación). Como puede ver, esta es una implicación en su forma pura. Esta formulación no solo es analfabeta desde el punto de vista de las matemáticas, no solo forma incorrectamente en los niños una idea de lo que es una definición, sino que también es muy dañina porque en el futuro, por ejemplo, al construir En la tabla de multiplicar, los autores de libros de texto utilizan la sustitución del producto por la suma de términos idénticos, lo que la formulación presentada no permite. Un trabajo tan incorrecto con afirmaciones escritas en forma de implicaciones forma en los niños un estereotipo incorrecto, que será difícil de superar en las lecciones de geometría, cuando los niños no sentirán la diferencia entre una afirmación directa y otra inversa, entre el signo de una figura y su propiedad. El error de utilizar el teorema inverso al resolver problemas, cuando sólo se ha demostrado el teorema directo, es muy común.

Otro ejemplo de formación incorrecta de conceptos es trabajar con la relación de igualdad literal. Por ejemplo, las reglas para multiplicar un número por uno y un número por cero en todos los libros de texto se dan en forma de letras: a x 1 = a, a x 0 = 0. La relación de igualdad, como se sabe, es simétrica y, por lo tanto, tal una notación proporciona no sólo que cuando se multiplica por 1 se obtiene el mismo número, sino también que cualquier número puede representarse como el producto de este número por uno. Sin embargo, la formulación verbal propuesta en los libros de texto después de la entrada de la letra habla sólo de la primera posibilidad. Los ejercicios sobre este tema también están destinados únicamente a practicar la sustitución del producto de un número por uno por este número. Todo esto lleva no sólo al hecho de que un punto muy importante no se convierte en el tema de la conciencia de los niños: cualquier número se puede escribir en forma de producto, lo que en álgebra cuando se trabaja con polinomios causará las dificultades correspondientes, sino también a la hecho de que los niños, en principio, no saben trabajar correctamente la relación de igualdad. Por ejemplo, cuando trabajan con la fórmula de diferencia de cuadrados, los niños, por regla general, hacen frente a la tarea de factorizar la diferencia de cuadrados. Sin embargo, aquellas tareas en las que se requiere la acción contraria causan dificultades en muchos casos. Otro ejemplo sorprendente de esta idea es el trabajo con la ley distributiva de la multiplicación relativa a la suma. También en este caso, a pesar de la redacción literal de la ley, tanto su formulación verbal como el sistema de ejercicios sólo entrenan la capacidad de abrir paréntesis. Como resultado, sacar el factor común entre corchetes causará importantes dificultades en el futuro.

Muy a menudo en la escuela primaria, incluso cuando una definición o regla está formulada correctamente, el aprendizaje se estimula no apoyándose en ellas, sino en algo completamente diferente. Por ejemplo, al estudiar la tabla de multiplicar por 2, todos los libros de texto revisados ​​muestran cómo construirla. En el libro de texto M.I. Moro lo hizo así:

Con este método de trabajo, los niños notarán muy rápidamente el patrón de la serie numérica resultante.

Después de 3 o 4 igualdades, dejarán de sumar de dos en dos y comenzarán a escribir el resultado basándose en el patrón que notaron. Así, el método de construcción de la tabla de multiplicar no se convertirá en tema de su conciencia, lo que resultará en su frágil asimilación.

Al estudiar material en la escuela primaria, se confía en acciones objetivas y claridad ilustrativa, lo que conduce a la formación del pensamiento empírico. Por supuesto, es casi imposible prescindir de esa visibilidad en la escuela primaria. Pero debería servir sólo como ilustración de tal o cual hecho, y no como base para la formación de un concepto. El uso de claridad ilustrativa y acciones sustantivas en los libros de texto a menudo conduce a que el concepto mismo quede “confuso”. Por ejemplo, en métodos matemáticos para los grados 1 a 3, M.I. Moreau dice que los niños tienen que dividir organizando objetos en montones o haciendo un dibujo durante 30 lecciones. Tales acciones pierden la esencia de la operación de división como acción inversa de la multiplicación. Como resultado, la división se aprende con mayor dificultad y es mucho peor que otras operaciones aritméticas.

Cuando se enseñan matemáticas en la escuela primaria, no se habla de probar ninguna afirmación. Mientras tanto, recordando lo difícil que será enseñar la prueba en la escuela secundaria, es necesario comenzar a prepararse para esto ya en los grados de primaria. Además, esto se puede hacer con material bastante accesible para los escolares más pequeños. Dicho material, por ejemplo, pueden ser las reglas para dividir un número por 1, cero por un número y un número por sí mismo. Los niños son muy capaces de demostrarlos utilizando la definición de división y las reglas de multiplicación correspondientes.

El material de la escuela primaria también permite la propedéutica del álgebra: trabajar con letras y expresiones de letras. La mayoría de los libros de texto evitan el uso de letras. Como resultado, los niños trabajan casi exclusivamente con números durante cuatro años, después de lo cual, por supuesto, es muy difícil acostumbrarlos a trabajar con letras. Sin embargo, es posible proporcionar propedéutica para tal trabajo, enseñar a los niños a sustituir un número en lugar de una letra en una expresión alfabética ya en la escuela primaria. Esto se hizo, por ejemplo, en el libro de texto de L.G. Peterson.

Hablando de las deficiencias de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria, que interfieren con el aprendizaje posterior, es necesario enfatizar especialmente el hecho de que a menudo el material de los libros de texto se presenta sin mirar cómo funcionará en el futuro. Un ejemplo muy llamativo de esto es la organización del aprendizaje de la multiplicación por 10, 100, 1000, etc. En todos los libros de texto revisados, la presentación de este material está estructurada de tal manera que conduce inevitablemente a la formación en la mente de los niños de la regla: “Para multiplicar un número por 10, 100, 1000, etc., es necesario para agregar tantos ceros al lado derecho como hay en 10, 100, 1000, etc." Esta regla es de las que se aprenden muy bien en la escuela primaria. Y esto conduce a una gran cantidad de errores al multiplicar fracciones decimales por unidades de dígitos enteros. Incluso después de recordar la nueva regla, los niños suelen añadir automáticamente un cero a la derecha del decimal al multiplicar por 10. Además, cabe señalar que al multiplicar un número natural y al multiplicar una fracción decimal por unidades de dígitos enteros, sucede esencialmente lo mismo: cada dígito del número se desplaza hacia la derecha el número de dígitos correspondiente. Por tanto, no tiene sentido enseñar a los niños dos reglas separadas y completamente formales. Es mucho más útil enseñarles una forma general de proceder a la hora de resolver problemas similares.

2.1 Comparación (contraste) de conceptos en lecciones de matemáticas

El programa actual prevé el estudio en el grado I de sólo dos operaciones del primer nivel: la suma y la resta. Limitar el primer año de estudio a sólo dos operaciones es, en esencia, una desviación de lo que ya se había logrado en los libros de texto anteriores a los actuales: ni un solo profesor se quejó entonces de que la multiplicación y la división, digamos, hasta 20, estuvieran más allá de 20. las capacidades de los alumnos de primer grado. También es digno de atención que en las escuelas de otros países, donde la educación comienza a los 6 años, el primer año escolar incluye el conocimiento inicial de las cuatro operaciones aritméticas. Las matemáticas se basan principalmente en cuatro acciones, y cuanto antes se incluyan en la práctica del pensamiento del estudiante, más estable y confiable será el desarrollo posterior del curso de matemáticas.

Para ser justos, cabe señalar que en las primeras versiones de los libros de texto de M.I. Moro para el primer grado se proporcionaban multiplicación y división. Sin embargo, un accidente impidió el asunto: los autores de los nuevos programas se aferraron persistentemente a una "novedad": la cobertura en el primer grado de todos los casos de suma y resta hasta 100 (37+58 y 95-58, etc.). Pero como no había tiempo suficiente para estudiar un volumen tan amplio de información, se decidió trasladar la multiplicación y la división por completo al siguiente año de estudio.

Así, la fascinación por la linealidad del programa, es decir, una expansión puramente cuantitativa del conocimiento (las mismas acciones, pero con mayor número), consumió el tiempo que antes se dedicaba a la profundización cualitativa del conocimiento (estudiando las cuatro acciones dentro de dos docenas). Estudiar multiplicación y división ya en primer grado supone un salto cualitativo en el pensamiento, ya que permite dominar procesos de pensamiento condensados.

Según la tradición, el estudio de la suma y la resta hasta 20 solía ser un tema especial. La necesidad de este enfoque en la sistematización del conocimiento se ve incluso en el análisis lógico de la pregunta: el hecho es que la tabla completa para sumar es de un solo dígito. Los números se desarrollan dentro de dos decenas (0+1= 1, ...,9+9=18). Así, los números hasta 20 forman un sistema completo de relaciones en sus conexiones internas; de ahí que quede clara la conveniencia de preservar los “Veinte” como segundo tema holístico (el primero de estos temas son las acciones dentro de los primeros diez).

El caso que estamos discutiendo es precisamente uno en el que la concentricidad (preservar la segunda decena como un tema especial) resulta ser más beneficiosa que la linealidad (“disolver” la segunda decena en el tema de los “Cien”).

En el libro de texto de M.I. Moro, el estudio de los primeros diez se divide en dos secciones separadas: primero se estudia la composición de los números de los primeros diez, y en el siguiente tema se consideran las acciones dentro de 10 en el libro de texto experimental. por P.M. Erdnieva, por el contrario, llevó a cabo un estudio conjunto de la numeración, la composición de números y operaciones (suma y resta) dentro de 10 a la vez en una sección. Con este enfoque, se utiliza un estudio monográfico de los números, a saber: dentro del número considerado (por ejemplo, 3), se comprenden inmediatamente todas las "matemáticas monetarias": 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 – 1 = 2; 3 – 2 = 1.

Si, según los programas actuales, se asignaron 70 horas para estudiar los primeros diez, entonces en el caso de la formación experimental, todo este material se estudió en 50 horas (y además del programa, se consideraron algunos conceptos adicionales que no estaban en el libro de texto estable, pero estaban relacionados estructuralmente con el material principal).

La cuestión de la clasificación de las tareas y la denominación de sus tipos requiere una atención especial en la metodología de la formación inicial. Generaciones de metodólogos trabajaron para racionalizar el sistema de tareas escolares, crear sus tipos y variedades efectivos, hasta la selección de términos exitosos para los nombres de las tareas destinadas a estudiar en la escuela. Se sabe que al menos la mitad del tiempo lectivo en las lecciones de matemáticas se dedica a resolverlas. Las tareas escolares ciertamente necesitan sistematización y clasificación. Qué tipo (tipo) de problemas estudiar, cuándo estudiar, qué tipo de problemas estudiar en relación con el paso de una sección en particular: este es un objeto legítimo de estudio de la metodología y el contenido central de los programas. La importancia de esta circunstancia se desprende claramente de la historia de la metodología matemática.

En los materiales didácticos experimentales del autor, se presta especial atención a la clasificación de tareas y la distribución de sus tipos y variedades necesarios para la enseñanza en una clase en particular. Actualmente, los nombres clásicos de tipos de problemas (hallar una suma, un término desconocido, etc.) han desaparecido incluso del índice de un libro de texto estable de primer grado. En el libro de texto de prueba P.M. Erdniev, estos nombres “funcionan”: son útiles como hitos didácticos no sólo para el alumno, sino también para el profesor. Presentamos el contenido del primer tema del libro de texto de prueba de matemáticas, que se caracteriza por la integridad lógica de los conceptos.

primeros diez

Comparando los conceptos de alto - abajo, izquierda - derecha, entre, más corto - más largo, más ancho - más estrecho, más grueso - más delgado, más viejo - más joven, más lejos - más cerca, más lento - más rápido, más liviano - más pesado, poco - mucho.

Estudio monográfico de los números de la decena primera: nombre, designación, comparación, colocación de números en el ábaco y designación de números en la recta numérica; signos: igual (=), distinto de (¹), mayor que (>), menor que (<).

Líneas rectas y curvas; círculo y óvalo.

Punto, recta, segmento, su designación mediante letras; medir la longitud de un segmento y establecer segmentos de una longitud determinada; designación, denominación, construcción, recorte de triángulos iguales, polígonos iguales. Elementos de un polígono: vértices, lados, diagonales (indicados por letras).

Estudio monográfico de números dentro del número en cuestión:

composición de números, suma y resta.

Los nombres de los componentes de la suma y la resta.

Cuatro ejemplos de suma y resta:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

Ejemplos deformados (faltan números y signos):

X + 5 = 7; 6 – X = 4; 6 = 3A2.

Resolver problemas de suma y sumando, diferencia, minuendo y sustraendo. Recopilación y solución de problemas mutuamente inversos.

Tres tareas: aumentar y disminuir un número en varias unidades y hacer una comparación de diferencias. Comparación de segmentos por longitud.

Ley conmutativa de la suma. Un cambio en una suma dependiendo de un cambio en un término. La condición cuando la cantidad no cambia. Las expresiones con letras más simples: a + b = b + a, a + 0 = a, a – a = 0.

Compilación y resolución de problemas de expresión.

En la siguiente presentación, consideraremos las principales cuestiones de la metodología para presentar esta sección inicial de matemáticas escolares, teniendo en cuenta que la metodología para presentar las secciones posteriores debe ser en muchos aspectos similar al proceso de dominio del material del primer tema. .

En las primeras lecciones, el profesor debe fijarse el objetivo de enseñar al alumno a utilizar pares de conceptos, cuyo contenido se revela en el proceso de composición de oraciones correspondientes con estas palabras. (Primero, dominamos la comparación a nivel cualitativo, sin utilizar números).

A continuación se muestran ejemplos de los pares de conceptos más comunes que deberían usarse en las lecciones no solo de matemáticas, sino también en el desarrollo del habla:

Más - menos, más largo - más corto, más alto - más bajo, más pesado - más ligero, más ancho - más estrecho, más grueso - más delgado, derecha - izquierda, más lejos - más cerca, mayor - más joven, más rápido - más lento, etc.

Al trabajar en estos pares de conceptos, es importante utilizar no sólo las ilustraciones del libro de texto, sino también las observaciones de los niños; así, por ejemplo, desde la ventana del aula ven que hay una casa al otro lado del río, e inventan las frases: “El río está más cerca de la escuela que la casa, y la casa está más lejos de la escuela que el río .”

Deje que el alumno sostenga alternativamente un libro y un cuaderno en la mano. La maestra pregunta: ¿qué es más pesado: un libro o un cuaderno? ¿Qué es más fácil? "Un libro pesa más que un cuaderno y un cuaderno es más liviano que un libro".

Habiendo colocado al estudiante más alto y más bajo de la clase uno al lado del otro frente a la clase, inmediatamente inventamos dos frases: "Misha es más alta que Kolya y Kolya es más baja que Misha".

En estos ejercicios, es importante lograr una sustitución gramaticalmente correcta de un juicio por uno dual: “Una casa de piedra es más alta que una de madera, lo que significa que una casa de madera es más baja que una de piedra”.

Al familiarizarse con el concepto "más largo - más corto", puede mostrar una comparación de objetos en longitud superponiendo uno encima del otro (¿cuál es más largo: un bolígrafo o un estuche de lápices?).

En las lecciones de aritmética y desarrollo del habla, es útil resolver problemas lógicos con el objetivo de enseñar el uso de conceptos opuestos: “¿Quién es mayor: padre o hijo? ¿Quién es más joven: padre o hijo? ¿Cuál nació primero? ¿Quién llega más tarde?

“Compare el ancho de un libro y un maletín. ¿Qué es más ancho: un libro o un maletín? ¿Qué es ya un libro o un maletín? ¿Qué pesa más: un libro o un maletín?

Aprender el proceso de comparación puede resultar más interesante introduciendo los llamados ejercicios matriciales (tabulares). En la pizarra se construye una tabla de cuatro celdas y se explica el significado de los conceptos “columna” y “fila”. Introducimos los conceptos de “columna izquierda” y “columna derecha”, “fila superior” y “fila inferior”.

Junto con los estudiantes mostramos (imitamos) la interpretación semántica de estos conceptos.

Muestre la columna (los niños mueven la mano de arriba a abajo).

Muestre la columna de la izquierda, la columna de la derecha (los niños mueven los brazos dos veces de arriba a abajo).

Muestre la línea (mueva la mano de izquierda a derecha).

Muestre la línea superior y la línea inferior (dos movimientos con la mano que muestran la línea superior y la línea inferior).

Es necesario asegurarse de que los estudiantes indiquen con precisión la posición de la celda: “celda superior izquierda”, “celda inferior derecha”, etc. Inmediatamente se resuelve el problema inverso, a saber: el profesor señala alguna celda de la tabla (matriz) , el estudiante da el nombre correspondiente a esta celda. Entonces, si se señala una celda que se encuentra en la intersección de la fila superior y la columna izquierda, entonces el estudiante debe nombrar: "Celda superior izquierda". Estos ejercicios acostumbran gradualmente a los niños a la orientación espacial y son importantes a la hora de estudiar posteriormente el método de coordenadas de las matemáticas.

Trabajar la serie numérica es de gran importancia para las primeras lecciones de matemáticas elementales.

Es conveniente ilustrar el crecimiento de una serie numérica sumando uno por uno moviéndose hacia la derecha a lo largo de la recta numérica.

Si el signo (+) está asociado con moverse a lo largo de una recta numérica hacia la derecha en uno, entonces el signo (-) está asociado con retroceder hacia la izquierda en uno, etc. (Por lo tanto, mostramos ambos signos simultáneamente en el mismo lección.)

Trabajando con la serie numérica, introducimos los siguientes conceptos: el comienzo de la serie numérica (el número cero) representa el extremo izquierdo del rayo; El número 1 corresponde a un segmento unitario, que debe representarse por separado de la serie numérica.

Haga que los estudiantes trabajen en una recta numérica hasta tres.

Seleccionamos dos números vecinos cualesquiera, por ejemplo 2 y 3. Pasando del número 2 al número 3, los niños razonan así: "Al número 2 le sigue el número 3". Pasando del número 3 al número 2, dicen:

“El número 3 viene antes del número 2” o: “El número 2 viene antes del número 3”.

Este método le permite determinar el lugar de un número determinado en relación con los números anteriores y posteriores; Es apropiado prestar atención inmediatamente a la relatividad de la posición del número, por ejemplo: el número 3 es simultáneamente posterior (detrás del número 2) y anterior (antes del número 4).

Las transiciones indicadas a lo largo de la serie numérica deben estar asociadas con las operaciones aritméticas correspondientes.

Por ejemplo, la frase “Al número 2 le sigue el número 3” se representa simbólicamente de la siguiente manera: 2 + 1 = 3; sin embargo, es psicológicamente beneficioso crear inmediatamente después la conexión de pensamientos opuesta, a saber: la expresión “Antes del número 3 viene el número 2” está respaldada por la entrada: 3 – 1 = 2.

Para comprender el lugar de un número en una serie numérica, se deben formular preguntas pareadas:

1. ¿A qué número le sigue el número 3? (El número 3 viene después del número 2.) ¿Qué número viene antes del número 2? (El número 2 viene antes del número 3.)

2. ¿Qué número viene después del número 2? (El número 2 va seguido del número 3.) ¿Qué número viene antes del número 3? (El número 3 está precedido por el número 2.)

3. ¿Entre qué números se encuentra el número 2? (El número 2 está entre el número 1 y el número 3.) ¿Qué número está entre los números 1 y 3? (Entre los números 1 y 3 está el número 2.)

En estos ejercicios, la información matemática está contenida en palabras funcionales: antes, detrás, entre.

Es conveniente combinar el trabajo con una serie numérica con la comparación de números por magnitud, así como con la comparación de la posición de los números en la recta numérica. Las conexiones de juicios de naturaleza geométrica se desarrollan gradualmente: el número 4 está en la recta numérica a la derecha del número 3; eso significa que 4 es mayor que 3. Y viceversa: el número 3 está en la recta numérica a la izquierda del número 4; esto significa que el número 3 es menor que el número 4. Así se establece una conexión entre pares de conceptos: a la derecha - más, a la izquierda - menos.

De lo anterior, vemos un rasgo característico de la asimilación integrada de conocimientos: todo el conjunto de conceptos asociados con la suma y la resta se ofrecen juntos, en sus continuas transiciones (recodificaciones) entre sí.

El principal medio para dominar las relaciones numéricas en nuestro libro de texto son las barras de colores; Es conveniente compararlas por longitud, estableciendo cuántas celdas son mayores o menores que ellas en la barra superior o inferior. En otras palabras, no presentamos el concepto de “comparación de diferencias de segmentos” como un tema especial, pero los estudiantes se familiarizan con él desde el comienzo del estudio de los números de los primeros diez. En las lecciones dedicadas al estudio de los diez primeros, conviene utilizar barras de colores, que permiten realizar la propedéutica de los principales tipos de tareas de las acciones de la primera etapa.

Veamos un ejemplo.

Dejemos que se superpongan dos barras de colores, divididas en celdas:

en el inferior - 3 celdas, en el superior - 2 celdas (ver figura).

Comparando el número de celdas en las barras superior e inferior, el profesor compone dos ejemplos de acciones mutuamente inversas (2 + 1 = 3, 3 – 1 = 2), y las soluciones a estos ejemplos se leen en pares de todas las formas posibles:

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

a) suma 1 a 2: obtienes 3; a) resta 1 de 3: obtienes 2;

b) aumenta 2 por 1: obtienes 3; b) reduce 3 en 1: obtienes 2;

c) 3 es más de 2 por 1; c) 2 es menor que 3 por 1;

d) 2 si 1 será 3; d) 3 sin 1 será 2;

e) suma el número 2 con el número 1 - e) resta el número 1 del número 3 -

resulta 3. resulta 2.

Maestro. Si se multiplica 2 por 1 ¿cuánto es?

Alumno. Si aumentas 2 en 1, obtienes 3.

Maestro. Ahora dime ¿qué hay que hacer con el número 3 para obtener 2?

Alumno. Reduce 3 en 1 para obtener 2.

Llamemos la atención sobre la necesidad de que en este diálogo se lleve a cabo metódicamente y de manera competente la operación de oposición. ,

El dominio seguro de los niños del significado de conceptos emparejados (suma - resta, aumento - disminución, más - menos, sí - sin, suma - resta) se logra usándolos en una lección, basada en el mismo triple de números (por ejemplo, 2 + 1 = =3, 3-1=2), basado en una demostración: comparar las longitudes de dos barras.

Ésta es la diferencia fundamental entre el sistema metodológico de consolidación de unidades de asimilación y el sistema de estudio separado de estos conceptos básicos, en el que conceptos contrastantes de matemáticas se introducen, por regla general, por separado en la práctica del habla de los estudiantes.

La experiencia de aprendizaje muestra las ventajas de la introducción simultánea de pares de conceptos mutuamente opuestos, a partir de las primeras lecciones de aritmética.

Entonces, por ejemplo, el uso simultáneo de tres verbos: "agregar" (agregar 1 a 2), "agregar" (agregar el número 2 al número 1), "aumentar" (2 aumentar en 1), que se representan simbólicamente idénticamente (2+1= 3), ayuda a los niños a aprender la similitud y la cercanía del significado de estas palabras (se puede realizar un razonamiento similar con respecto a las palabras "restar", "restar", "reducir").

De la misma manera, la esencia de la comparación de diferencias se aprende mediante el uso repetido de comparar pares de números desde el comienzo del entrenamiento, y en cada parte del diálogo de la lección se utilizan todas las formas verbales posibles de interpretación del ejemplo resuelto: “¿Qué es mayor: 2 o 3? ¿Cuánto más es 3 que 2? ¿Cuánto necesitas sumar a 2 para obtener 3? etc. El cambio de formas gramaticales y el uso frecuente de formas interrogativas son de gran importancia para dominar el significado de estos conceptos.

Pruebas de larga duración han demostrado las ventajas del estudio monográfico de los diez primeros números. Cada número sucesivo es sometido a un análisis multilateral, enumerándose todas las opciones posibles para su formación; dentro de este número, se realizan todas las acciones posibles, se repiten "todas las matemáticas disponibles", se utilizan todas las formas gramaticales aceptables para expresar la relación entre números. Por supuesto, con este sistema de estudio, en relación con la cobertura de números posteriores, se repiten ejemplos previamente estudiados, es decir, la expansión de la serie numérica se realiza con repetición constante de combinaciones de números previamente consideradas y variedades de problemas simples. .

2.3 Estudio conjunto de suma y resta, multiplicación y división.

En la metodología de las matemáticas elementales, los ejercicios sobre estas dos operaciones suelen considerarse por separado. Mientras tanto, parece más preferible el estudio simultáneo de la operación dual “suma - descomposición en términos”.

Deje que los estudiantes resuelvan el problema de suma: “Suma 1 barra a tres barras y obtendrás 4 barras”. Después de esta tarea, inmediatamente se debe formular la pregunta: “¿De qué números se compone el número 4?” 4 palitos constan de 3 palitos (el niño cuenta 3 palitos) y 1 palito (separa 1 palito más).

El ejercicio inicial puede ser la descomposición de un número. La maestra pregunta: "¿De qué números se compone el número 5?" (El número 5 consta de 3 y 2.) E inmediatamente se hace una pregunta sobre los mismos números: "¿Cuánto obtienes si sumas 2 a 3?" (Suma 2 a 3 y obtienes 5).

Con el mismo propósito, es útil practicar la lectura de ejemplos en dos direcciones: 5+2=7. Suma 2 a 5 y obtienes 7 (léelo de izquierda a derecha). 7 consta de los términos 2 y 5 (leídos de derecha a izquierda).

Es útil acompañar la oposición verbal con ejercicios de este tipo sobre el ábaco en el aula, que permiten ver el contenido específico de las operaciones correspondientes. Los cálculos en el ábaco son indispensables como medio para visualizar acciones sobre los números, y el tamaño de los números hasta 10 se asocia aquí con la longitud de un conjunto de huesos ubicados en un cable (esta longitud la percibe visualmente el estudiante). Es imposible estar de acuerdo con tal “innovación” cuando los libros de texto y programas actuales han abandonado por completo el uso del ábaco ruso en las lecciones.

Entonces, al resolver un ejemplo de suma (5+2=7), el estudiante primero contó 5 fichas en el ábaco, luego les agregó 2 y luego anunció la suma: “Suma 2 a 5 - obtienes 7” (el nombre del número resultante 7, el alumno establece recalculando la nueva totalidad: “Uno - dos - tres - cuatro - cinco - seis - siete”).

Alumno. Suma 2 a 5 y obtienes 7.

Maestro. Ahora muestra en qué términos se compone el número 7.

Estudiante (primero separa dos huesos a la derecha, luego habla). El número 7 se compone de 2 y 5.

Al realizar estos ejercicios, es recomendable utilizar los conceptos “primer término” (5), “segundo término” (2) y “suma” desde el principio.

Se ofrecen los siguientes tipos de tareas: a) la suma de dos términos es 7; encontrar los términos; b) ¿de qué componentes consta el número 7?; c) descomponer la suma 7 en 2 términos (en 3 términos). Etc.

Dominar un concepto algebraico tan importante como la ley conmutativa de la suma requiere una variedad de ejercicios, inicialmente basados ​​​​en manipulaciones prácticas con objetos.

Maestro. Toma 3 palos en tu mano izquierda y 2 en tu mano derecha. ¿Cuántos palos hay en total?

Alumno. Hay 5 palos en total.

Maestro. ¿Cómo puedo decir más sobre esto?

Alumno. Agregue 2 palitos a 3 palitos; habrá 5 palitos.

Maestro. Redacte este ejemplo a partir de números cortados. (El estudiante inventa un ejemplo: 3+2=5.)

Maestro. Ahora intercambie los palillos: transfiera los palillos de su mano izquierda a su derecha y transfiera los palillos de su mano derecha a su izquierda. ¿Cuántos palos hay ahora en ambas manos?

Alumno. En total, había 5 palos en dos manos, y ahora nuevamente hay 5 palos.

Maestro. ¿Por qué sucedió esto?

Alumno. Porque no apartamos nada y no añadimos palos. Por mucho que haya, mucho quedó.

Maestro. Redacte ejemplos resueltos a partir de los números cortados.

Estudiante (deja a un lado: 3+2=5, 2+3=5). Aquí estaba el número 3, y ahora el número 2. Y aquí estaba el número 2, y ahora el número 3.

Maestro. Intercambiamos los números 2 y 3, pero el resultado siguió siendo el mismo:

5. (Se hace un ejemplo a partir de números divididos: 3+2=2+3.)

La ley conmutativa también se aprende en ejercicios sobre la descomposición de un número en términos.

¿Cuándo introducir la ley conmutativa de la suma?

El objetivo principal de la enseñanza de la suma, ya dentro de los primeros diez, es enfatizar constantemente el papel de la ley conmutativa en los ejercicios.

Deje que los niños cuenten primero 6 palitos; luego les sumamos tres palos y, recalculando (“siete - ocho - nueve”) establecemos la suma: 6 sí 3 - será 9. Es necesario ofrecer inmediatamente un nuevo ejemplo: 3 + 6; Inicialmente, la nueva cantidad se puede establecer nuevamente mediante un nuevo cálculo (es decir, de la forma más primitiva), pero de forma gradual y decidida se debe formular un método de solución en un código superior, es decir, lógicamente, sin nuevo cálculo.

Si 6 y 3 son 9 (la respuesta se establece mediante recálculo), entonces 3 y 6 (¡sin recálculo!) también serán 9.

En resumen, la propiedad conmutativa de la suma debe introducirse desde el principio de los ejercicios de suma de diferentes términos, de modo que componer (pronunciar) soluciones a cuatro ejemplos se convierta en un hábito:

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

Recopilar cuatro ejemplos es una forma de ampliar el conocimiento accesible a los niños.

Vemos que una característica tan importante de la operación de suma como su conmutabilidad no debería ocurrir ocasionalmente, sino que debería convertirse en el principal medio lógico para fortalecer las asociaciones numéricas correctas. La principal propiedad de la suma, la conmutabilidad de términos, debe considerarse constantemente en relación con la acumulación de nuevos resultados tabulares en la memoria.

Vemos: la relación de operaciones lógicas o computacionales más complejas se basa en una relación similar por pares (proximidad) de operaciones elementales a través de las cuales se realizan un par de operaciones "complejas". En otras palabras, la oposición explícita de conceptos complejos se basa en la oposición implícita (subconsciente) de conceptos más simples.

Es recomendable realizar el estudio inicial de multiplicación y división en la siguiente secuencia de tres ciclos de problemas (tres tareas en cada ciclo):

Ciclo: a, b) multiplicación con multiplicando constante y división por contenido (juntos); c) división en partes iguales.

Ciclo II: a, b) disminuir y aumentar en número varias veces (juntos); c) comparación múltiple.

Ciclo III: a, b) encontrar una parte de un número y un número según el tamaño de una de sus partes (juntos); c) resolver el problema: "¿Qué parte es un número de otro?"

El sistema metodológico para estudiar estos problemas es similar al descrito anteriormente para los problemas simples de la primera etapa (suma y resta).

Estudio simultáneo de multiplicación y división en contenido. En dos o tres lecciones (¡no más!) dedicadas a la multiplicación, se aclara el significado del concepto de multiplicación como suma colapsada de términos iguales (la acción de división aún no se analiza en estas lecciones). Este tiempo es suficiente para estudiar la tabla de multiplicar el número 2 por números de un solo dígito.

Por lo general, a los estudiantes se les muestra un registro de cómo reemplazar la suma con la multiplicación: 2+2+2+2=8; 2*4=8. Aquí la conexión entre suma y multiplicación va en la dirección suma-multiplicación. Es apropiado ofrecer inmediatamente a los estudiantes un ejercicio diseñado para producir retroalimentación de la forma “multiplicación-suma” (términos iguales): al mirar esta entrada, el estudiante debe comprender que el número 2 debe repetirse como sumando tantas veces como sea posible. el multiplicador en el ejemplo muestra (2*4= 8).

La combinación de ambos tipos de ejercicio es una de las condiciones importantes que asegura la asimilación consciente del concepto de “multiplicación”, que significa suma colapsada.

En la tercera lección (o cuarta, dependiendo de la clase), para cada uno de los casos conocidos de multiplicación, se da un caso correspondiente de división. En el futuro, será beneficioso considerar la multiplicación y la división solo juntas en las mismas lecciones.

Al introducir el concepto de división, es necesario recordar los casos correspondientes de multiplicación para, a partir de ellos, crear el concepto de una nueva acción inversa a la multiplicación.

Por tanto, el concepto de “multiplicación” adquiere un rico contenido: no es sólo el resultado de la suma de términos iguales (“generalización de la suma”), sino también la base, el momento inicial de la división, que, a su vez, representa “resta colapsada”, reemplazando la “resta por 2” secuencial:

El significado de la multiplicación se comprende no tanto a través de la multiplicación misma, sino a través de constantes transiciones entre multiplicación y división, ya que la división es una multiplicación velada y “modificada”. Esto explica por qué es beneficioso estudiar posteriormente siempre la multiplicación y la división al mismo tiempo (tanto tabulares como extratabulares; tanto orales como escritas).

Las primeras lecciones sobre el estudio simultáneo de la multiplicación y la división deben dedicarse al procesamiento pedante de las operaciones lógicas mismas, apoyadas en todos los sentidos por una extensa actividad práctica en la recolección y distribución de diversos objetos (cubos, setas, palos, etc.), pero la secuencia de acciones detalladas debe seguir siendo la misma.

El resultado de este trabajo serán las tablas de multiplicar y dividir escritas una al lado de la otra:

2*2=4, 4:2=2,

2*3=6, 6: 2=3,

2*4=8, 8: 2=4,

2*5 = 10, 10: 2 = 5, etc.

Por lo tanto, la tabla de multiplicar se construye utilizando un multiplicando constante y la tabla de división se construye utilizando un divisor constante.

También es útil ofrecer a los estudiantes, junto con esta tarea, un ejercicio estructuralmente opuesto sobre la transición de la división a la resta de sustraendos iguales.

En los ejercicios de repetición es útil ofrecer tareas de este tipo: 14:2==.

Estudio de la división en partes iguales. Después de haber estudiado o repetido juntos la multiplicación del número 2 y la división por 2, se introduce en una de las lecciones el concepto de “división en partes iguales” (el tercer tipo de problema del primer ciclo).

Considere el problema: “Cuatro estudiantes trajeron 2 cuadernos. ¿Cuántos cuadernos trajiste?"

El profesor explica: toma 2 4 veces y obtendrás 8. (Aparece la entrada: 2 * 4 = 8.) ¿Quién escribirá el problema inverso?

Y una generalización de la experiencia de los profesores al impartir lecciones de matemáticas sobre este tema. El trabajo del curso consta de una introducción, dos capítulos, una conclusión y una lista de referencias. Capítulo I. Características metodológicas del estudio del área de figuras geométricas y sus unidades de medida en las lecciones de matemáticas en la escuela primaria 1.1 Características del desarrollo de los escolares de primaria relacionadas con la edad en la etapa de formación de conceptos geométricos...

Todavía no ilumina los problemas. Dado que el tema de los métodos de enseñanza para la transformación de tareas es el que menos se ha tratado, continuaremos estudiándolo. Capítulo II. Metodología para la enseñanza de la transformación de problemas. 2.1. Problemas de transformación en las lecciones de matemáticas en la escuela primaria. Dado que existe muy poca literatura especializada respecto a la transformación de tareas, decidimos realizar una encuesta entre docentes...

Al aprender material nuevo, se recomienda estructurar una lección de tal manera que el trabajo comience con una variedad de demostraciones realizadas por el profesor o el alumno. El uso de ayudas visuales en las lecciones de matemáticas al estudiar material geométrico permite a los niños dominar de manera firme y consciente todas las cuestiones del programa. El lenguaje de las matemáticas es un lenguaje de símbolos, signos convencionales, dibujos, geométricos...

Tema 8. Métodos de estudio de material algebraico.

Tema 7. El concepto de perímetro de un polígono.

1. Metodología de consideración de los elementos del álgebra.

2. Igualdades y desigualdades numéricas.

3. Prepararse para familiarizarse con la variable. Elementos de los símbolos de letras.

4. Desigualdades con una variable.

5. Ecuación

1. La introducción de elementos de álgebra en el curso inicial de matemáticas permite, desde el inicio de la formación, realizar un trabajo sistemático encaminado a desarrollar en los niños conceptos matemáticos tan importantes como: expresión, igualdad, desigualdad, ecuación. La familiarización con el uso de una letra como símbolo que denota cualquier número del campo de los números conocidos por los niños crea las condiciones para generalizar muchas cuestiones de la teoría aritmética en el curso inicial y es una buena preparación para familiarizar a los niños en el futuro con los conceptos del variable de funciones. La familiarización temprana con el uso del método algebraico para resolver problemas permite realizar importantes mejoras en todo el sistema de enseñanza de los niños a resolver una variedad de problemas planteados.

Tareas: 1. Desarrollar la capacidad de los estudiantes para leer, escribir y comparar expresiones numéricas.2. Familiarizar a los estudiantes con las reglas para realizar el orden de acciones en expresiones numéricas y desarrollar la capacidad de calcular los valores de expresiones de acuerdo con estas reglas.3. Desarrollar en los estudiantes la capacidad de leer, escribir expresiones de letras y calcular su significado dado el significado de las letras.4. Familiarizar a los estudiantes con las ecuaciones de 1er grado, que contienen las acciones de la primera y segunda etapa, desarrollar la capacidad de resolverlas mediante el método de selección, así como a partir del conocimiento de la relación entre m/y componentes y la resultado de operaciones aritméticas.

El programa de la escuela primaria prevé introducir a los estudiantes en el uso de símbolos de letras, resolver ecuaciones elementales de primer grado con una incógnita y aplicarlas a problemas en un solo paso. Estas cuestiones se estudian en estrecha relación con el material aritmético, que contribuye a la formación de números y operaciones aritméticas.

Desde los primeros días de formación se comienza a trabajar para desarrollar los conceptos de igualdad entre los estudiantes. Inicialmente, los niños aprenden a comparar muchos objetos, igualar grupos desiguales y transformar grupos iguales en desiguales. Ya al ​​estudiar una docena de números se introducen ejercicios de comparación. En primer lugar, se realizan con apoyo sobre objetos.

El concepto de expresión se forma en los escolares más jóvenes en estrecha relación con los conceptos de operaciones aritméticas. La metodología para trabajar las expresiones consta de dos etapas. En 1 se forma el concepto de las expresiones más simples (suma, diferencia, producto, cociente de dos números), y en 2, sobre expresiones complejas (la suma de un producto y un número, la diferencia de dos cocientes, etc.) . Se introducen los términos “expresión matemática” y “valor de una expresión matemática” (sin definiciones). Después de registrar varios ejemplos en una actividad, el profesor informa que estos ejemplos también se denominan expresiones metamatemáticas. Al estudiar operaciones aritméticas se incluyen ejercicios de comparación de expresiones, se dividen en 3 grupos; Estudiar el reglamento interno. El objetivo en esta etapa es, basándose en las habilidades prácticas de los estudiantes, llamar su atención sobre el orden de realización de las acciones en tales expresiones y formular una regla adecuada. Los estudiantes resuelven de forma independiente ejemplos seleccionados por el maestro y explican en qué orden realizaron las acciones en cada ejemplo. A continuación, ellos mismos formulan la conclusión o la leen de un libro de texto. Una transformación idéntica de una expresión es la sustitución de una expresión dada por otra cuyo valor es igual al valor de la expresión dada. Los estudiantes realizan tales transformaciones de expresiones, basándose en las propiedades de las operaciones aritméticas y las consecuencias que surgen de ellas (cómo sumar una suma a un número, cómo restar un número de una suma, cómo multiplicar un número por un producto, etc. ). Al estudiar cada propiedad, los estudiantes se convencen de que en expresiones de cierto tipo las acciones se pueden realizar de diferentes maneras, pero el significado de la expresión no cambia.

2. Las expresiones numéricas se consideran desde el principio en inextricable conexión con los iguales y desiguales numéricos. Las igualdades y desigualdades numéricas se dividen en "verdaderas" e "incorrectas". Tareas: comparar números, comparar expresiones aritméticas, resolver desigualdades simples con una incógnita, pasar de la desigualdad a la igualdad y de la igualdad a la desigualdad.

1. Un ejercicio destinado a aclarar los conocimientos de los estudiantes sobre las operaciones aritméticas y su aplicación. Al presentar a los estudiantes las operaciones aritméticas, se comparan expresiones de la forma 5+3 y 5-3; 8*2 y 8/2. Primero se comparan las expresiones encontrando los valores de cada una y comparando los números resultantes. En el futuro, la tarea se realiza basándose en el hecho de que la suma de dos números es mayor que su diferencia y el producto es mayor que su cociente; el cálculo se utiliza sólo para comprobar el resultado. Se lleva a cabo una comparación de expresiones de la forma 7+7+7 y 7*3 para consolidar el conocimiento de los estudiantes sobre la conexión entre la suma y la multiplicación.

Durante el proceso de comparación, los estudiantes se familiarizan con el orden en que se realizan las operaciones aritméticas. Primero, consideramos expresiones que contienen corchetes de la forma 16 - (1+6).

2. A continuación se considera el orden de las acciones en expresiones sin paréntesis que contengan acciones de uno y dos grados. Los estudiantes aprenden estos significados a medida que completan los ejemplos. Primero, se considera el orden de las acciones en expresiones que contienen acciones del mismo nivel, por ejemplo: 23 + 7 - 4, 70: 7 * 3. Al mismo tiempo, los niños deben aprender que si las expresiones contienen solo suma y resta o solo multiplicación y división, luego se ejecutan en el orden en que están escritos. A continuación se introducen expresiones que contienen acciones de ambas etapas. Se informa a los estudiantes que en este tipo de expresiones deben realizar primero las operaciones de multiplicación y división en orden, y luego suma y resta, por ejemplo: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Para convencer a los estudiantes de la extrema importancia de seguir el orden de las acciones, es útil realizarlas en la misma expresión en una secuencia diferente y comparar los resultados.

3. Ejercicios en los que los estudiantes aprendan y consoliden conocimientos sobre la relación entre los componentes y resultados de operaciones aritméticas. Οʜᴎ ya se incluyen al estudiar los números diez.

En este grupo de ejercicios, los estudiantes se familiarizan con casos de cambios en los resultados de acciones a partir de un cambio en uno de los componentes. Se comparan expresiones en las que se cambia uno de los términos (6+3 y 6+4) o se reduce en 8-2 y 9-2, etc. Tareas similares también se incluyen al estudiar tablas de multiplicación y división y se realizan mediante cálculos (5*3 y 6*3, 16:2 y 18:2), etc. En el futuro, podrás comparar estas expresiones sin depender de cálculos.

Los ejercicios considerados están estrechamente relacionados con el material del programa y contribuyen a su asimilación. Junto a esto, en el proceso de comparar números y expresiones, los estudiantes reciben las primeras ideas. sobre igualdad y desigualdad.

Entonces, en 1er grado, donde los términos “igualdad” y “desigualdad” aún no se utilizan, el maestro puede, al verificar la exactitud de los cálculos realizados por los niños, hacer preguntas de la siguiente forma: “Kolya sumó ocho a seis y obtuve 15. ¿Esta solución es correcta o incorrecta?”, o sugerir a los niños ejercicios en los que deben comprobar la solución de los ejemplos dados, encontrar las entradas correctas, etc. De manera similar, al considerar desigualdades numéricas de la forma 5<6,8>4 y más complejos, el profesor puede hacer una pregunta de la siguiente forma: "¿Son correctas estas anotaciones?", y después de introducir una desigualdad: "¿Son verdaderas estas desigualdades?"

A partir del 1er grado, los niños se familiarizan con las transformaciones de expresiones numéricas, que se realizan sobre la base de la aplicación de los elementos estudiados de la teoría aritmética (numeración, significado de las acciones, etc.). Por ejemplo, basándose en el conocimiento de la numeración y el valor posicional de los números, los estudiantes pueden representar cualquier número como la suma de sus partes posicionales. Esta habilidad se utiliza al considerar transformaciones de expresión en relación con la expresión de muchas técnicas computacionales.

En relación con tales transformaciones, ya en el primer grado, los niños encuentran una “cadena” de igualdades.

Tema 8. Métodos de estudio de material algebraico. - concepto y tipos. Clasificación y características de la categoría "Conferencia 8. Métodos de estudio de material algebraico". 2017, 2018.

(8 horas)

Plan:

1. Los objetivos del estudio de material algebraico en los grados de primaria.

2. Propiedades de las operaciones aritméticas estudiadas en la escuela primaria.

3. Estudio de expresiones numéricas y reglas para el orden de las acciones:

Un pedido sin corchetes;

Mismo orden con paréntesis;

Expresiones sin paréntesis, incluidas 4 operaciones aritméticas, con corchetes.

4. Análisis de igualdades y desigualdades numéricas estudiadas en los grados primarios (comparación de dos números, un número y una expresión numérica, dos expresiones numéricas).

5. Introducción de símbolos alfabéticos con una variable.

6. Metodología de estudio de ecuaciones:

a) dar la definición de una ecuación (de conferencias sobre matemáticas y de un libro de texto de matemáticas para la escuela primaria),

b) resaltar el alcance y contenido del concepto,

c) ¿Qué método (abstracto-deductivo o concreto-inductivo) introducirás este concepto? Describe los pasos principales para trabajar en una ecuación.

Completa las tareas:

1. Explique la conveniencia de utilizar desigualdades con una variable en los grados de primaria.

2. Elaborar un mensaje para la lección sobre la posibilidad de desarrollar la propedéutica funcional en los estudiantes (a través del juego, a través del estudio de las desigualdades).

3. Seleccionar tareas para que los estudiantes completen las propiedades esenciales y no esenciales del concepto de “ecuación”.

1. Abramova O.A., Moro M.I. Resolver ecuaciones // Escuela primaria. – 1983. - N° 3. – págs. 78-79.

2. Ymanbekova P. Medios de visualización en la formación del concepto de “igualdad” y “desigualdad” // Escuela primaria. – 1978. – N° 11. – págs. 38-40.

3. Shchadrova I.V. Sobre el orden de las acciones en una expresión aritmética // Escuela primaria. – 2000. - N° 2. – págs. 105-107.

4. Shikhaliev Kh.Sh. Un enfoque unificado para la resolución de ecuaciones y desigualdades // Escuela primaria. – 1989. - N° 8. – págs. 83-86.

5. Nazarov I.N. Familiarización con la dependencia funcional en la enseñanza de la resolución de problemas // Escuela primaria. – 1989. - N° 1. – págs. 42-46.

6. Kuznetsova V.I. Sobre algunos errores típicos de los estudiantes relacionados con cuestiones de propedéutica algebraica // Escuela primaria. – 1974. - N° 2. – pág.31.

Características generales de la metodología de estudio.

material algebraico

La introducción de material algebraico en el curso inicial de matemáticas ayuda a preparar a los estudiantes para estudiar los conceptos básicos de las matemáticas modernas, por ejemplo, como "variable", "ecuación", "desigualdad", etc., y contribuye al desarrollo del pensamiento funcional. en niños.

Los conceptos principales del tema son “expresión”, “igualdad”, “desigualdad”, “ecuación”.

El término "ecuación" se introduce al estudiar el tema "Mil", pero el trabajo preparatorio para familiarizar a los estudiantes con las ecuaciones comienza en el primer grado. Los términos “expresión”, “significado de la expresión”, “igualdad”, “desigualdad” se incluyen en el diccionario de los estudiantes a partir del segundo grado. El concepto de “resolver la desigualdad” no se introduce en la escuela primaria.

Expresiones numéricas

En matemáticas, una expresión se entiende como una secuencia constante, de acuerdo con ciertas reglas, de símbolos matemáticos que denotan números y operaciones sobre ellos. Ejemplos de expresiones: 7; 5 + 4; 5 (3 + V); 40:5+6,etc.

Expresiones de la forma 7; 5 + 4; 10: 5 + 6; (5 + 3) 10 se llaman expresiones numéricas, a diferencia de las expresiones de la forma 8 – A; (3 + V); 50: A, llamadas expresiones literales o variables.

Objetivos de estudiar el tema.

2. Familiarizar a los estudiantes con las reglas para el orden de realizar operaciones con números y, de acuerdo con ellas, desarrollar la capacidad de encontrar los valores numéricos de las expresiones.

3. Presente a los estudiantes transformaciones idénticas de expresiones basadas en operaciones aritméticas.

En la metodología para introducir a los escolares de primaria en el concepto de expresión numérica se pueden distinguir tres etapas, que implican la familiarización con expresiones que contienen:

Una operación aritmética (etapa I);

Dos o más operaciones aritméticas de una etapa (etapa II);

Dos o más operaciones aritméticas de diferentes niveles (etapa III).

A los estudiantes se les presentan las expresiones más simples (suma y diferencia) en el primer grado (cuando estudian suma y resta hasta 10); con el producto y cociente de dos números - en el grado II.

Ya al ​​estudiar el tema "Diez", se introducen en el diccionario de los estudiantes los nombres de las operaciones aritméticas, los términos "suma", "suma", "minuendo", "resta", "diferencia". Además de la terminología, también deben aprender algunos elementos del simbolismo matemático, en particular los signos de acción (más, menos); deben aprender a leer y escribir expresiones matemáticas simples de la forma 5 + 4 (la suma de los números “cinco” y “cuatro”); 7 – 2 (la diferencia entre los números “siete” y “dos”).

Primero se presenta a los estudiantes el término "suma" en el sentido de un número resultante de la operación de suma, y ​​luego en el sentido de una expresión. Técnica de resta de la forma 10 – 7, 9 – 6, etc. Se basa en el conocimiento de la relación entre la suma y la resta. Por tanto, es necesario enseñar a los niños a representar un número (disminuido) como la suma de dos términos (10 es la suma de los números 7 y 3; 9 es la suma de los números 6 y 3).

Los niños se familiarizan con expresiones que contienen dos o más operaciones aritméticas en el primer año de educación cuando dominan las técnicas computacionales ± 2, ± 3, ± 1. Resuelven ejemplos de la forma 3 + 1 + 1, 6 – 1 – 1. , 2 + 2 + 2, etc. Calculando, por ejemplo, el valor de la primera expresión, el estudiante explica: “Suma uno a tres, obtienes cuatro, suma uno a cuatro, obtienes cinco”. La solución a los ejemplos de la forma 6 - 1 - 1, etc. se explica de manera similar. Así, los alumnos de primer grado se preparan gradualmente para deducir la regla sobre el orden de realización de las acciones en expresiones que contienen acciones del mismo nivel, que es. generalizado en el grado II.

En primer grado, los niños prácticamente dominarán otra regla para el orden de realización de las acciones, a saber, realizar acciones en expresiones de la forma 8 - (4 + 2); (6 - 2) + 3, etcétera.

Se generaliza el conocimiento de los estudiantes sobre las reglas para el orden de realización de las acciones y se introduce otra regla sobre el orden de las acciones en expresiones que no tienen paréntesis y contienen operaciones aritméticas de diferentes niveles: suma, resta, multiplicación y división.

Al familiarizarse con la nueva regla sobre el orden de las acciones, el trabajo se puede organizar de diferentes maneras. Puede invitar a los niños a leer la regla del libro de texto y aplicarla al calcular los valores de las expresiones correspondientes. También puede pedir a los estudiantes que calculen, por ejemplo, el valor de la expresión 40 – 10: 2. Las respuestas pueden ser diferentes: para algunos el valor de la expresión será igual a 15, para otros será 35.

Luego de esto, el docente explica: “Para encontrar el valor de una expresión que no tiene paréntesis y contiene las acciones de suma, resta, multiplicación y división, debes realizar en orden (de izquierda a derecha) primero las operaciones de multiplicación y división, y luego (también de izquierda a derecha) suma y resta. En esta expresión, primero debes dividir 10 entre 2 y luego restar el resultado resultante 5 de 40. El valor de la expresión es 35”.

De hecho, los estudiantes de primaria se familiarizan con transformaciones idénticas de expresiones.

La transformación idéntica de expresiones es la sustitución de una expresión dada por otra cuyo valor es igual al valor dado (el término y la definición no se dan a los estudiantes de primaria).

Los estudiantes se enfrentan a la transformación de expresiones desde el primer grado en relación con el estudio de las propiedades de las operaciones aritméticas. Por ejemplo, al resolver ejemplos de la forma 10 + (50 + 3) de una manera conveniente, los niños razonan así: “Es más conveniente sumar decenas con decenas y sumar 3 unidades al resultado 60. Lo escribiré: 10 (50 + 3) = (10 + 50) + 3 = 63”.

Al realizar una tarea en la que necesitan terminar de escribir: (10 + 7) · 3 = 10 · 3 + 7 · 3..., los niños explican: “A la izquierda se multiplica la suma de los números 10 y 7 por el número 3, a la derecha, se multiplica el primer término 10 de esta suma por el número 3; Para que se conserve el signo “igual”, también se debe multiplicar el segundo término 7 por el número 3 y sumar los productos resultantes. Lo escribiré así: (10 + 7) 3 = 10 3 + 7 3”.

Al transformar expresiones, los estudiantes en ocasiones cometen errores de la forma (10 + 4) · 3 = - 10 · 3 + 4. El motivo de este tipo de errores está asociado al uso incorrecto de conocimientos previamente adquiridos (en este caso, utilizando el regla de sumar un número a la suma al resolver un ejemplo, en donde la suma debe multiplicarse por un número). Para evitar este tipo de errores, puede ofrecer a los estudiantes las siguientes tareas:

a) Compara las expresiones escritas en el lado izquierdo de las igualdades. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian? Explica cómo calculaste sus valores:

(10 + 4) + 3 = 10 + (4 + 3) = 10 + 7 = 17

(10 + 4) 3 = 10 3 + 4 3 = 30 + 12 = 42

b) Completa los espacios en blanco y encuentra el resultado:

(20 + 3) + 5 = 20 + (3 + ð); (20 + 3) 5 = 20 ð + 3 ð.

c) Compara las expresiones y pon un signo > entre ellas,< или =:

(30 + 4) + 2… 30 + (4 + 2); (30 + 4) + 2 … 30 2 + 4 2.

d) Comprobar mediante cálculo si se cumplen las siguientes igualdades:

8 3 + 7 3 = (8 + 7) 3; 30 + (5 + 7) = 30 + 7.

Expresiones literales

En los grados elementales, se prevé realizar, en estrecha relación con el estudio de la numeración y las operaciones aritméticas, trabajos preparatorios para revelar el significado de una variable. Para ello, los libros de texto de matemáticas incluyen ejercicios en los que una variable se indica mediante una “ventana”. Por ejemplo, ð< 3, 6 < ð, ð + 2 = 5 и др.

Aquí es importante animar a los estudiantes a que intenten sustituir no uno, sino varios números en la “ventana”, comprobando cada vez si la entrada es correcta.

Entonces, en el caso р< 3 в «окошко» можно подставить числа 0, 1, 2,; в случае 6 < ð - числа 7, 8, 9, 10, 20 и др.; в случае ð + 2 = 5 можно подставить только число 3.

Para simplificar el programa de matemáticas para los grados primarios y garantizar su accesibilidad, los símbolos de letras no se utilizan como medio para generalizar el conocimiento aritmético. Todas las designaciones de letras se reemplazan por formulaciones verbales.

Por ejemplo, en lugar de la tarea

La tarea se propone de la siguiente forma: “Aumentar el número 3 por 4 veces; 5 veces; 6 veces; ..."

Igualdades y desigualdades

Familiarizar a los alumnos de primaria con las igualdades y desigualdades implica resolver los siguientes problemas:

Enseñar a establecer la relación “más que”, “menor que” o “igual a” entre expresiones y anotar los resultados de la comparación mediante un signo;

La metodología para desarrollar ideas sobre igualdades y desigualdades numéricas entre los escolares más pequeños implica las siguientes etapas de trabajo.

En la etapa I, al principio de la semana escolar, los alumnos de primer grado realizan ejercicios para comparar conjuntos de objetos. Aquí lo más recomendable es utilizar la técnica de establecer una correspondencia uno a uno. En esta etapa, los resultados de la comparación aún no se escriben utilizando los signos de relación adecuados.

En la etapa II, los estudiantes comparan números, primero basándose en la claridad objetiva y luego en la propiedad de los números en la serie natural, según la cual, de dos números diferentes, el número mayor se llama más tarde al contar y el número menor se llama más temprano. Los niños registran las relaciones que se establecen de esta forma mediante signos adecuados. Por ejemplo, 3 > 2, 2< 3. В дальнейшем при изучении нумерации (в концентрах «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа») для сравнения чисел полезно применять два способа, а именно устанавливать отношения между числами: 1) по месту их расположения в натуральном ряду; 2) на основе сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высших разрядов. Например, 826 < 829, так как сотен и десятков в этих числах поровну, а единиц в первом числе меньше, чем во втором.

También puedes comparar los valores: 4 dm 5 cm > 4 dm 3 cm, ya que hay más decímetros que en el segundo. Además, los valores se pueden expresar primero en unidades de una medida y luego compararlos: 45 cm > 43 cm.

Ejercicios similares ya se introducen al estudiar sumas y restas hasta 10. Es útil realizarlos basándose en la claridad, por ejemplo: los estudiantes colocan en sus escritorios cuatro círculos a la izquierda y cuatro triángulos a la derecha. Resulta que hay el mismo número de figuras: cuatro cada una. Escribe la igualdad: 4 = 4. Luego los niños suman un círculo a las figuras de la izquierda y escriben la suma 4 + 1. Hay más figuras a la izquierda que a la derecha, lo que significa 4 + 1 > 4.

Utilizando la técnica de la ecuación, los estudiantes pasan de la desigualdad a la igualdad. Por ejemplo, sobre un lienzo tipográfico se colocan 3 setas y 4 ardillas. Para tener igual número de champiñones y ardillas, puedes: 1) agregar un champiñón (entonces quedarán 3 champiñones y 3 ardillas).

Hay 5 coches y 5 camiones en el lienzo tipográfico. Para tener más autos que otros, puedes: 1) quitar uno (dos, tres) autos (automóvil o camión) o 2) agregar uno (dos, tres) autos.

Poco a poco, al comparar expresiones, los niños pasan de depender de la visualización a comparar sus significados. Este método es el principal en la escuela primaria. Al comparar expresiones, los estudiantes también pueden confiar en el conocimiento de: a) la relación entre los componentes y el resultado de una operación aritmética: 20 + 5 * 20 + 6 (la suma de los números 20 y 5 se escribe a la izquierda, el suma de los números 20 y 6 de la derecha Los primeros términos de estas sumas son iguales, el segundo término de la suma de la izquierda es menor que el segundo término de la suma de la derecha, lo que significa la suma de la izquierda. es menor que la suma de la derecha: 20 + 5< 20 + 6); б) отношение между результатами и компонентами арифметических действий: 15 + 2 * 15 (слева и справа сначала было поровну – по 15. Затем к 15 прибавили 2, стало больше, чем 15); в) смысла действия умножения: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 * 5 · 3 (слева число 5 взяли слагаемым 5 раз, справа число 5 взяли слагаемым 3 раза, значит, сумма слева будет больше, чем справа: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 >5+5+5); d) propiedades de las operaciones aritméticas: (5 + 2) · 3 * 5 · 3 + 2 · 3 (a la izquierda, la suma de los números 5 y 2 se multiplica por el número 3, a la derecha, los productos de cada uno Los sumandos del número 3 se encuentran y se suman. Esto significa que en lugar de un asterisco, puedes poner el signo igual: (5 + 2) 3 = 5 3 + 2 3).

En estos casos, se utilizan cálculos de valores de expresión para comprobar la exactitud del signo. Para registrar desigualdades con una variable en los grados de primaria se utiliza una “ventana”: 2 > ð, ð = 5, ð > 3.

Es útil realizar los primeros ejercicios de este tipo a partir de una serie numérica, recurriendo a la cual los alumnos notan que el número 2 es mayor que uno y cero, por lo tanto en la “ventana” (2 > ð) se pueden sustituir los números 0. y 1 (2 > 0, 2>1).

Otros ejercicios con ventana se realizan de manera similar.

El método principal al considerar desigualdades con una variable es el método de selección.

Para simplificar los valores de una variable en desigualdades, se propone seleccionarlos de una serie específica de números. Por ejemplo, puedes proponer escribir aquellos de los números dados de la serie 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 para los cuales la notación ð - 7 es correcta.< 5.

Al completar esta tarea, el estudiante puede razonar así: “Sustituyamos el número 7 en la “ventana”: 7 menos 7 será 0, 0 es menor que 5, lo que significa que el número 7 es adecuado. Pongamos el número 8:8 menos 7 en la "ventana" y obtenemos 1, 1 es menor que 5, lo que significa que el número 8 también es adecuado... Pongamos el número 12 en la "ventana": 12 menos 7 obtiene 5, 5 es menor que 5: incorrecto, lo que significa que el número 12 no es adecuado. Para escribir ð - 7< 5 была верной, в «окошко» можно подставить любое из чисел 7, 8, 9, 10, 11».

Ecuaciones

Al final del tercer grado, los niños se familiarizan con las ecuaciones más simples de la forma: incógnita+8 =15; 5+incógnita=12; incógnita–9 =4; 13–incógnita=6; incógnita·7 =42; 4· incógnita=12; incógnita:8 =7; 72:incógnita=12.

El niño debería poder resolver ecuaciones de dos formas:

1) método de selección (en los casos más simples); 2) de una manera basada en la aplicación de reglas para encontrar componentes desconocidos de operaciones aritméticas. A continuación se muestra un ejemplo de cómo registrar una solución a una ecuación junto con la verificación y el razonamiento del niño al resolverla:

"En la ecuación incógnita– 9 = 4 x ocupa el lugar del minuendo. Para encontrar el minuendo desconocido, debes sumar el sustraendo a la diferencia ( incógnita=4+9.) Comprobemos: restamos 9 de 13, obtenemos 4. La igualdad correcta es 4 = 4, lo que significa que la ecuación se resuelve correctamente”.

En cuarto grado, se puede iniciar a un niño en la resolución de problemas simples componiendo una ecuación.

Introducción...2

Capítulo I. Aspectos teóricos generales del estudio de material algebraico en la escuela primaria... 7

1.1 Experiencia en la introducción de elementos de álgebra en la escuela primaria... 7

1.2 Fundamentos psicológicos para la introducción de conceptos algebraicos.

en la escuela primaria... 12

1.3 El problema del origen de los conceptos algebraicos y su significado.

para la construcción de un sujeto educativo... 20

2.1 El aprendizaje en la escuela primaria desde la perspectiva de las necesidades

escuela secundaria... 33

2.1 Comparación (contraste) de conceptos en lecciones de matemáticas... 38

2.3 Estudio conjunto de suma y resta, multiplicación y división 48

Capítulo III. Práctica del estudio de material algebraico en lecciones de matemáticas en los grados primarios de la escuela secundaria No. 4 en Rylsk... 55

3.1 Justificación del uso de tecnologías innovadoras (tecnologías

consolidación de unidades didácticas)… 55

3.2 Sobre la experiencia de familiarización con conceptos algebraicos en primer grado... 61

3.3 Formación en la resolución de problemas relacionados con el movimiento de cuerpos... 72

Conclusión... 76

Bibliografía… 79

En cualquier sistema moderno de educación general, las matemáticas ocupan uno de los lugares centrales, lo que sin duda habla de la singularidad de este campo del conocimiento.

¿Qué son las matemáticas modernas? ¿Por qué es necesario? Los niños suelen hacer estas y otras preguntas similares a los profesores. Y cada vez la respuesta será diferente en función del nivel de desarrollo del niño y de sus necesidades educativas.

Se suele decir que las matemáticas son el lenguaje de la ciencia moderna. Sin embargo, parece haber un error importante en esta afirmación. El lenguaje de las matemáticas está tan extendido y a menudo es eficaz precisamente porque las matemáticas no pueden reducirse a él.

El destacado matemático ruso A.N. Kolmogorov escribió: “Las matemáticas no son sólo uno de los idiomas. Las matemáticas son lenguaje más razonamiento, es como lenguaje y lógica juntos. Las matemáticas son una herramienta para pensar. Contiene los resultados del pensamiento preciso de muchas personas. Usando las matemáticas, puedes conectar un razonamiento con otro. ... Las aparentes complejidades de la naturaleza con sus extrañas leyes y reglas, cada una de las cuales admite una explicación separada y muy detallada, están en realidad estrechamente relacionadas. Sin embargo, si no quieres utilizar las matemáticas, entonces en esta enorme variedad de hechos no verás que la lógica te permite pasar de uno a otro” (p. 44).

Así, las matemáticas nos permiten formar ciertas formas de pensamiento necesarias para estudiar el mundo que nos rodea.

Actualmente, se hace cada vez más evidente la desproporción entre el grado de nuestro conocimiento de la naturaleza y nuestra comprensión del hombre, su psique y sus procesos de pensamiento. W. W. Sawyer en el libro “Preludio a las Matemáticas” (p. 7) señala: “Podemos enseñar a los estudiantes a resolver muchos tipos de problemas, pero la verdadera satisfacción sólo llegará cuando seamos capaces de impartir a nuestros estudiantes no sólo conocimientos, sino también flexibilidad. of mind ”, lo que les daría la oportunidad en el futuro no solo de resolver de forma independiente, sino también de plantearse nuevas tareas.

Por supuesto, aquí existen ciertos límites que no deben olvidarse: mucho está determinado por las habilidades y el talento innatos. Sin embargo, podemos observar toda una serie de factores que dependen de la educación y la crianza. Esto hace que sea extremadamente importante evaluar correctamente el enorme potencial desaprovechado de la educación en general y de la educación matemática en particular.

En los últimos años, ha habido una tendencia constante a que los métodos matemáticos penetren en ciencias como la historia, la filología, por no hablar de la lingüística y la psicología. Por tanto, se está ampliando el círculo de personas que pueden utilizar las matemáticas en sus futuras actividades profesionales.

Nuestro sistema educativo está diseñado de tal manera que para muchos, la escuela brinda la única oportunidad en la vida de unirse a una cultura matemática y dominar los valores contenidos en las matemáticas.

¿Cuál es la influencia de las matemáticas en general y de las matemáticas escolares en particular en la educación de una personalidad creativa? Enseñar el arte de resolver problemas en las lecciones de matemáticas nos brinda una oportunidad extremadamente favorable para desarrollar una determinada mentalidad en los estudiantes. La necesidad de actividades de investigación desarrolla el interés por los patrones y nos enseña a ver la belleza y la armonía del pensamiento humano. Todo esto es, en nuestra opinión, el elemento más importante de la cultura general. El curso de matemáticas tiene una influencia importante en la formación de diversas formas de pensamiento: lógico, espacial-geométrico, algorítmico. Cualquier proceso creativo comienza con la formulación de una hipótesis. Las matemáticas, con la adecuada organización de la educación, siendo una buena escuela para construir y probar hipótesis, enseñan a comparar diferentes hipótesis, encontrar la mejor opción, plantear nuevos problemas y buscar formas de resolverlos. Entre otras cosas, también desarrolla el hábito del trabajo metódico, sin el cual no es concebible ningún proceso creativo. Al maximizar las posibilidades del pensamiento humano, las matemáticas son su mayor logro. Ayuda a una persona a comprenderse a sí misma y formar su carácter.

Ésta es una pequeña lista de razones por las que el conocimiento matemático debería convertirse en una parte integral de la cultura general y un elemento obligatorio en la crianza y educación de un niño.

El curso de matemáticas (sin geometría) en nuestra escuela de 10 años se divide en realidad en tres partes principales: aritmética (grados I - V), álgebra (grados VI - VIII) y elementos de análisis (grados IX - X). ¿Cuál es la base de tal división?

Por supuesto, cada una de estas partes tiene su propia "tecnología" especial. Así, en aritmética se asocia, por ejemplo, con cálculos realizados con números de varios dígitos, en álgebra - con transformaciones idénticas, logaritmización, en análisis - con diferenciación, etc. Pero ¿cuáles son las razones más profundas asociadas con el contenido conceptual de cada parte?

La siguiente pregunta se refiere a la base para distinguir entre aritmética y álgebra escolar (es decir, la primera y la segunda parte del curso). La aritmética incluye el estudio de los números naturales (enteros positivos) y fracciones (primos y decimales). Sin embargo, un análisis especial muestra que combinar este tipo de números en una materia escolar es ilegal.

El caso es que estos números tienen diferentes funciones: los primeros están asociados con cuenta objetos, el segundo - con medir cantidades. Esta circunstancia es muy importante para comprender el hecho de que los números fraccionarios (racionales) son sólo un caso especial de los números reales.

Desde el punto de vista de la medición de cantidades, como señala A.N. Kolmogorov, “no existe una diferencia tan profunda entre los números reales racionales e irracionales. Por razones pedagógicas, se detienen durante mucho tiempo en los números racionales, ya que son fáciles de escribir en forma de fracciones; sin embargo, el uso que se les da desde el principio debe conducir inmediatamente a los números reales en toda su generalidad” (), p.

UN. Kolmogorov consideró justificada tanto desde el punto de vista de la historia del desarrollo de las matemáticas como esencialmente la propuesta de A. Lebesgue de pasar en la enseñanza después de los números naturales directamente al origen y la naturaleza lógica de los números reales. Al mismo tiempo, como señaló A.N. Kolmogorov, “el enfoque para la construcción de números racionales y reales desde el punto de vista de la medición de cantidades no es menos científico que, por ejemplo, la introducción de números racionales en forma de “pares”. Para la escuela tiene una ventaja indudable” (p. 10).

Por tanto, existe una posibilidad real, a partir de los números naturales (enteros), de formar inmediatamente “el concepto más general de número” (en la terminología de A. Lebesgue), el concepto de número real. Pero desde el punto de vista de la construcción del programa, esto significa ni más ni menos que la eliminación de la aritmética de fracciones en su interpretación escolar. La transición de números enteros a números reales es una transición de la aritmética al "álgebra", a la creación de una base para el análisis.

Estas ideas, expresadas hace más de 20 años, siguen siendo vigentes hoy. ¿Es posible cambiar la estructura de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria en esta dirección? ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de “algebraizar” la enseñanza de las matemáticas en primaria? El propósito de este trabajo es intentar dar respuestas a las preguntas planteadas.

La realización de este objetivo requiere resolver las siguientes tareas:

Consideración de aspectos teóricos generales de la introducción de conceptos algebraicos de magnitud y número en la escuela primaria. Esta tarea se plantea en el primer capítulo de la obra;

Estudio de métodos específicos para la enseñanza de estos conceptos en la escuela primaria. Aquí, en particular, se pretende considerar la denominada teoría de la ampliación de unidades didácticas (UDE), que se comentará a continuación;

Muestre la aplicabilidad práctica de las disposiciones consideradas en las lecciones de matemáticas escolares en la escuela primaria (las lecciones fueron impartidas por el autor en la escuela secundaria No. 4 en Rylsk). A ello está dedicado el tercer capítulo de la obra.

En cuanto a la bibliografía dedicada a este tema, se puede señalar lo siguiente. A pesar de que recientemente la cantidad total de literatura metodológica publicada en matemáticas es extremadamente pequeña, no faltaba información a la hora de escribir trabajos. De hecho, desde 1960 (el momento en que se planteó el problema) hasta 1990. En nuestro país se ha publicado una gran cantidad de literatura educativa, científica y metodológica que, en un grado u otro, aborda el problema de la introducción de conceptos algebraicos en los cursos de matemáticas de la escuela primaria. Además, estas cuestiones se tratan periódicamente en revistas especializadas. Así, a la hora de redactar el trabajo se utilizaron en gran medida publicaciones en las revistas “Pedagogía”, “Enseñanza de las matemáticas en la escuela” y “Escuela primaria”.

Hasta ahora, nuestro razonamiento ha sido de naturaleza teórica y tenía como objetivo aclarar los requisitos matemáticos previos para construir una sección inicial del curso que presentaría a los niños los conceptos algebraicos básicos (antes de la introducción especial de los números).

Las principales propiedades que caracterizan las cantidades se describieron anteriormente. Naturalmente, no tiene sentido que niños de 7 años den “sermones” sobre estas propiedades. Era necesario encontrar una forma de trabajo infantil con material didáctico a través del cual pudieran, por un lado, identificar estas propiedades en las cosas que les rodean y, por otro, aprender a fijarlas con determinados símbolos y realizar un ejercicio elemental. análisis matemático de las relaciones identificadas.

En este sentido, el programa debe contener, en primer lugar, una indicación de aquellas propiedades de la materia que se van a dominar, en segundo lugar, una descripción de los materiales didácticos, en tercer lugar - y esto es lo principal desde un punto de vista psicológico - las características de aquellas acciones mediante las cuales el niño identifica ciertas propiedades de un objeto y las domina. Estos “componentes” forman el programa de enseñanza en el sentido propio de la palabra.

Tiene sentido presentar las características específicas de este programa hipotético y sus “componentes” al describir el proceso de aprendizaje en sí y sus resultados. Aquí está el resumen de este programa y sus temas clave.

Tema I. Nivelación y finalización de objetos (por longitud, volumen, peso, composición de piezas y otros parámetros).

Tareas prácticas de nivelación y adquisición. Identificación de características (criterios) mediante las cuales los mismos objetos pueden ser igualados o completados. Designación verbal de estas características (“por longitud”, por peso”, etc.).

Estas tareas se resuelven en el proceso de trabajo con material didáctico (barras, pesas, etc.) mediante:

- elección"mismo" elemento

- reproducción(construcción) del “mismo” objeto según el parámetro seleccionado (especificado).

Tema II. Comparar objetos y fijar sus resultados mediante la fórmula de igualdad-desigualdad.

1. Tareas de comparar objetos y designar simbólicamente los resultados de esta acción.

2. Registro verbal de los resultados de la comparación (términos “más”, “menos”, “igual”). Caracteres escritos ">", "<", "=".

3. Designación del resultado de la comparación con un dibujo ("copiando" y luego "abstracto" - pauta).

4. Designación de objetos comparados letras. Registrar el resultado de la comparación usando las fórmulas: A=B; A<Б, А>B.

Letra como firmar, que registra directamente el valor particular dado de un objeto según un parámetro seleccionado (por peso, por volumen, etc.).

5. Imposibilidad de fijar el resultado de la comparación utilizando fórmulas diferentes. Elegir una fórmula específica para un resultado dado (disyunción completa de relaciones más - menos - igual).

Tema III. Propiedades de la igualdad y la desigualdad.

1. Reversibilidad y reflexividad igualdad (si A=B, entonces B=A; A=A).

2. Conexión de relación“más” y “menos” en desigualdades cuando las “permutaciones” de los lados comparados (si A>B, entonces B<А и т.п.).

3. Transitividad como propiedad de la igualdad y la desigualdad:

si A=B, si A>B, si A<Б,

a B=B, a B>B, a B<В,

entonces A=B; entonces A>B; entonces A<В.

4. La transición de trabajar con material didáctico de la asignatura a evaluar las propiedades de igualdad-desigualdad en presencia de solo fórmulas de letras. Resolver diversos problemas que requieren conocimiento de estas propiedades (por ejemplo, resolver problemas relacionados con la conexión de relaciones como: dado que A>B y B=C; descubrir la relación entre A y C).

Tema IV. Operación de suma (resta).

1. Observaciones cambios objetos según uno u otro parámetro (por volumen, por peso, por duración, etc.). Ilustración de aumento y disminución con signos "+" y "-" ( más y menos).

2. Violación de la igualdad previamente establecida con el correspondiente cambio en uno u otro de sus bandos. La transición de la igualdad a la desigualdad. Escribir fórmulas como:

si A=B, si A=B,

entonces A+K>B; luego A-K<Б.

3. Métodos de transición a una nueva igualdad (su “restauración” según el principio: añadir “igual” a “igual” da “igual”).

Trabajando con fórmulas como:

Si A=B,

Eso A+K>B,

Pero A+K=B+K.

4. Resolver varios problemas que requieren el uso de la suma (resta) al pasar de la igualdad a la desigualdad y viceversa.

Tema V. Transición de la desigualdad tipo A<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Tareas que requieran dicha transición. La necesidad de determinar el valor de la cantidad en la que difieren los objetos comparados. La capacidad de escribir igualdad cuando se desconoce el valor específico de esta cantidad. Método de uso de x (x).

Escribir fórmulas como:

Si A<Б, Si A>B,

Eso A+x=B; Eso A-x=B.

2. Determinar el valor de x. Sustituyendo este valor en la fórmula (introducción entre paréntesis). Tipo de fórmulas

3. Resolver problemas (incluidos los “textuales argumentales”) que requieran realizar las operaciones especificadas.

Tema Vl. Suma-resta de igualdades-desigualdades. Sustitución.

1. Suma-resta de igualdades-desigualdades:

si A=B si A>B si A>B

y M=D, y K>E, y B=G,

entonces A+M=B+D; entonces A+K>B+E; entonces A+-B>C+-G.

2. Posibilidad de representar el valor de una cantidad cantidad varios significados. Tipo de sustitución:

3. Resolver diversos problemas que requieren tener en cuenta las propiedades de las relaciones con las que los niños se familiarizaron en el proceso de trabajo (muchas tareas requieren consideración simultánea de varias propiedades, inteligencia para evaluar el significado de las fórmulas; las descripciones de los problemas y las soluciones se dan a continuación ).

Este es un programa diseñado para 3,5 a 4 meses. primer semestre del año. Como muestra la experiencia de la enseñanza experimental, con una planificación adecuada de las lecciones, la mejora de los métodos de enseñanza y una elección exitosa de los medios didácticos, los niños pueden absorber completamente todo el material presentado en el programa en un período de tiempo más corto (en 3 meses). .

¿Cómo va nuestro programa? En primer lugar, los niños se familiarizan con el método de obtención. números, expresando la relación de un objeto en su conjunto (la misma cantidad representada por un objeto continuo o discreto) con su parte. Esta relación en sí y su valor específico se representan mediante la fórmula A/K = n, donde n es cualquier número entero, que generalmente expresa la relación a la “unidad” más cercana (solo con una selección especial de material o contando solo “cualitativamente” cosas individuales se puede obtener un número entero absolutamente exacto). Desde el principio, los niños se ven “obligados” a tener en cuenta que al medir o contar puede resultar un resto, cuya presencia debe estar especialmente estipulada. Este es el primer paso para el posterior trabajo con fraccionario número.

Con esta forma de obtener un número, no es difícil llevar a los niños a describir un objeto con una fórmula como A = 5k (si la proporción fuera “5”). Junto con la primera fórmula, abre oportunidades para un estudio especial. dependencias entre el objeto, la base (medida) y el resultado del conteo (medida), que también sirve como propedéutica para la transición a números fraccionarios (en particular, para comprender la propiedad básica de una fracción).

Otra línea de desarrollo del programa, implementada ya en primer grado, es la transferencia a números (enteros) de las propiedades básicas de la cantidad (disyunción igualdad-desigualdad, transitividad, invertibilidad) y las operaciones de la suma (conmutatividad, asociatividad, monotonicidad, la posibilidad de restar). En particular, trabajar para recta numérica, los niños pueden transformar rápidamente una secuencia de números en tamaño(por ejemplo, evalúe claramente su transitividad realizando entradas de tipo 3<5<8, одновременно связывая отношения «меньше-больше»: 5<8, но 5<3, и т.д.).

La familiaridad con algunas de las características llamadas “estructurales” de la igualdad permite a los niños abordar la conexión entre la suma y la resta de manera diferente. Así, al pasar de la desigualdad a la igualdad, se realizan las siguientes transformaciones: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, dado 8+1=6+3 y 4>2; encontrar la relación entre los lados izquierdo y derecho de la fórmula en 8+1-4...6+3-2; en caso de desigualdad, reduzca esta expresión a igualdad(Primero debes poner un signo "menos que" y luego agregar un "dos" en el lado izquierdo).

Por lo tanto, tratar una serie numérica como una cantidad le permite desarrollar las habilidades de suma y resta (y luego de multiplicación y división) de una manera nueva.

Capítulo II. Recomendaciones metodológicas para el estudio de material algebraico en la escuela primaria.

2.1 La enseñanza en la escuela primaria en relación con las necesidades de la escuela secundaria

Como sabes, cuando se estudian matemáticas en 5º grado, una parte importante del tiempo se dedica a repetir lo que los niños deberían haber aprendido en la escuela primaria. Esta repetición en casi todos los libros de texto existentes requiere 1,5 trimestres académicos. Esta situación no surgió por casualidad. Su motivo es el descontento de los profesores de matemáticas de secundaria con la preparación de los egresados ​​de primaria. ¿A qué se debe esta situación? Para ello se analizaron los cinco libros de texto de matemáticas de primaria más famosos en la actualidad. Estos son los libros de texto de M.I. Moro, I.I. Arginskaya, N.B. Istomina, L.G. Peterson y V.V. Davydova (, , , ,).

El análisis de estos libros de texto reveló varios aspectos negativos, presentes en mayor o menor medida en cada uno de ellos y que afectan negativamente al aprendizaje posterior. En primer lugar, la asimilación del material que contienen se basa en gran medida en la memorización. Un ejemplo sorprendente de esto es memorizar la tabla de multiplicar. En la escuela primaria se dedica mucho esfuerzo y tiempo a memorizarlo. Pero durante las vacaciones de verano los niños la olvidan. La razón de un olvido tan rápido es el aprendizaje de memoria. Investigación de L.S. Vygotsky demostró que la memorización significativa es mucho más efectiva que la memorización mecánica, y experimentos posteriores demuestran de manera convincente que el material ingresa a la memoria a largo plazo solo si se recuerda como resultado del trabajo correspondiente a este material.

En los años 50 se encontró un método para dominar eficazmente la tabla de multiplicar. Consiste en organizar un determinado sistema de ejercicios, al realizarlos los propios niños construyen una tabla de multiplicar. Sin embargo, este método no está implementado en ninguno de los libros de texto revisados.

Otro punto negativo que afecta la educación superior es que en muchos casos la presentación del material en los libros de texto de matemáticas de la escuela primaria está estructurada de tal manera que en el futuro habrá que volver a capacitar a los niños, y esto, como sabemos, es mucho más difícil que enseñanza. En relación al estudio de material algebraico, un ejemplo sería la resolución de ecuaciones en la escuela primaria. En todos los libros de texto, la resolución de ecuaciones se basa en las reglas para encontrar componentes desconocidos de acciones.

Esto se hace de manera algo diferente sólo en el libro de texto de L.G. Peterson, donde, por ejemplo, la resolución de ecuaciones de multiplicación y división se basa en correlacionar los componentes de la ecuación con los lados y el área de un rectángulo y, en última instancia, también se reduce a reglas, pero estas son reglas para encontrar el lado o el área de un rectángulo. Mientras tanto, a partir del sexto grado, a los niños se les enseña un principio completamente diferente para resolver ecuaciones, basado en el uso de transformaciones idénticas. Esta necesidad de reaprendizaje lleva al hecho de que resolver ecuaciones sea una tarea bastante difícil para la mayoría de los niños.

Al analizar los libros de texto, también encontramos el hecho de que al presentar el material en ellos, a menudo hay una distorsión de los conceptos. Por ejemplo, la formulación de muchas definiciones se da en forma de implicaciones, mientras que por la lógica matemática se sabe que cualquier definición es una equivalencia. A modo de ilustración, podemos citar la definición de multiplicación del libro de texto de I.I. Arginskaya: "Si todos los términos de la suma son iguales entre sí, entonces la suma se puede reemplazar por otra acción: la multiplicación". (Todos los términos de la suma son iguales entre sí. Por lo tanto, la suma se puede reemplazar por la multiplicación). Como puede ver, esta es una implicación en su forma pura. Esta formulación no solo es analfabeta desde el punto de vista de las matemáticas, no solo forma incorrectamente en los niños una idea de lo que es una definición, sino que también es muy dañina porque en el futuro, por ejemplo, al construir En la tabla de multiplicar, los autores de libros de texto utilizan la sustitución del producto por la suma de términos idénticos, lo que la formulación presentada no permite. Un trabajo tan incorrecto con afirmaciones escritas en forma de implicaciones forma en los niños un estereotipo incorrecto, que será difícil de superar en las lecciones de geometría, cuando los niños no sentirán la diferencia entre una afirmación directa y otra inversa, entre el signo de una figura y su propiedad. El error de utilizar el teorema inverso al resolver problemas, cuando sólo se ha demostrado el teorema directo, es muy común.

Otro ejemplo de formación incorrecta de conceptos es trabajar con la relación de igualdad literal. Por ejemplo, las reglas para multiplicar un número por uno y un número por cero en todos los libros de texto se dan en forma de letras: A x1 = A, A x 0 = 0. La relación de igualdad, como se sabe, es simétrica y, por lo tanto, dicha notación proporciona no solo que cuando se multiplica por 1 se obtiene el mismo número, sino también que cualquier número puede representarse como el producto de este número. y uno. Sin embargo, la formulación verbal propuesta en los libros de texto después de la entrada de la letra habla sólo de la primera posibilidad. Los ejercicios sobre este tema también están destinados únicamente a practicar la sustitución del producto de un número por uno por este número. Todo esto lleva no sólo al hecho de que un punto muy importante no se convierte en el tema de la conciencia de los niños: cualquier número se puede escribir en forma de producto, lo que en álgebra cuando se trabaja con polinomios causará las dificultades correspondientes, sino también a la hecho de que los niños, en principio, no saben trabajar correctamente la relación de igualdad. Por ejemplo, cuando trabajan con la fórmula de diferencia de cuadrados, los niños, por regla general, hacen frente a la tarea de factorizar la diferencia de cuadrados. Sin embargo, aquellas tareas en las que se requiere la acción contraria causan dificultades en muchos casos. Otro ejemplo sorprendente de esta idea es el trabajo con la ley distributiva de la multiplicación relativa a la suma. También en este caso, a pesar de la redacción literal de la ley, tanto su formulación verbal como el sistema de ejercicios sólo entrenan la capacidad de abrir paréntesis. Como resultado, sacar el factor común entre corchetes causará importantes dificultades en el futuro.

Muy a menudo en la escuela primaria, incluso cuando una definición o regla está formulada correctamente, el aprendizaje se estimula no apoyándose en ellas, sino en algo completamente diferente. Por ejemplo, al estudiar la tabla de multiplicar por 2, todos los libros de texto revisados ​​muestran cómo construirla. En el libro de texto M.I. Moro lo hizo así:

Con este método de trabajo, los niños notarán muy rápidamente el patrón de la serie numérica resultante.

Después de 3 o 4 igualdades, dejarán de sumar de dos en dos y comenzarán a escribir el resultado basándose en el patrón que notaron. Así, el método de construcción de la tabla de multiplicar no se convertirá en tema de su conciencia, lo que resultará en su frágil asimilación.

Al estudiar material en la escuela primaria, se confía en acciones objetivas y claridad ilustrativa, lo que conduce a la formación del pensamiento empírico. Por supuesto, es casi imposible prescindir de esa visibilidad en la escuela primaria. Pero debería servir sólo como ilustración de tal o cual hecho, y no como base para la formación de un concepto. El uso de claridad ilustrativa y acciones sustantivas en los libros de texto a menudo conduce a que el concepto mismo quede “confuso”. Por ejemplo, en métodos matemáticos para los grados 1 a 3, M.I. Moreau dice que los niños tienen que dividir organizando objetos en montones o haciendo un dibujo durante 30 lecciones. Tales acciones pierden la esencia de la operación de división como acción inversa de la multiplicación. Como resultado, la división se aprende con mayor dificultad y es mucho peor que otras operaciones aritméticas.

Cuando se enseñan matemáticas en la escuela primaria, no se habla de probar ninguna afirmación. Mientras tanto, recordando lo difícil que será enseñar la prueba en la escuela secundaria, es necesario comenzar a prepararse para esto ya en los grados de primaria. Además, esto se puede hacer con material bastante accesible para los escolares más pequeños. Dicho material, por ejemplo, pueden ser las reglas para dividir un número por 1, cero por un número y un número por sí mismo. Los niños son muy capaces de demostrarlos utilizando la definición de división y las reglas de multiplicación correspondientes.

El material de la escuela primaria también permite la propedéutica del álgebra: trabajar con letras y expresiones de letras. La mayoría de los libros de texto evitan el uso de letras. Como resultado, los niños trabajan casi exclusivamente con números durante cuatro años, después de lo cual, por supuesto, es muy difícil acostumbrarlos a trabajar con letras. Sin embargo, es posible proporcionar propedéutica para tal trabajo, enseñar a los niños a sustituir un número en lugar de una letra en una expresión alfabética ya en la escuela primaria. Esto se hizo, por ejemplo, en el libro de texto de L.G. Peterson.

Hablando de las deficiencias de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria, que interfieren con el aprendizaje posterior, es necesario enfatizar especialmente el hecho de que a menudo el material de los libros de texto se presenta sin mirar cómo funcionará en el futuro. Un ejemplo muy llamativo de esto es la organización del aprendizaje de la multiplicación por 10, 100, 1000, etc. En todos los libros de texto revisados, la presentación de este material está estructurada de tal manera que conduce inevitablemente a la formación en la mente de los niños de la regla: “Para multiplicar un número por 10, 100, 1000, etc., es necesario para agregar tantos ceros al lado derecho como hay en 10, 100, 1000, etc.” Esta regla es de las que se aprenden muy bien en la escuela primaria. Y esto conduce a una gran cantidad de errores al multiplicar fracciones decimales por unidades de dígitos enteros. Incluso después de recordar la nueva regla, los niños suelen añadir automáticamente un cero a la derecha del decimal al multiplicar por 10. Además, cabe señalar que al multiplicar un número natural y al multiplicar una fracción decimal por unidades de dígitos enteros, sucede esencialmente lo mismo: cada dígito del número se desplaza hacia la derecha el número de dígitos correspondiente. Por tanto, no tiene sentido enseñar a los niños dos reglas separadas y completamente formales. Es mucho más útil enseñarles una forma general de proceder a la hora de resolver problemas similares.

2.1 Comparación (contraste) de conceptos en lecciones de matemáticas

El programa actual prevé el estudio en el grado I de sólo dos operaciones del primer nivel: la suma y la resta. Limitar el primer año de estudio a sólo dos operaciones es, en esencia, una desviación de lo que ya se había logrado en los libros de texto anteriores a los actuales: ni un solo profesor se quejó entonces de que la multiplicación y la división, digamos, hasta 20, estuvieran más allá de 20. las capacidades de los alumnos de primer grado. También es digno de atención que en las escuelas de otros países, donde la educación comienza a los 6 años, el primer año escolar incluye el conocimiento inicial de las cuatro operaciones aritméticas. Las matemáticas se basan principalmente en cuatro acciones, y cuanto antes se incluyan en la práctica del pensamiento del estudiante, más estable y confiable será el desarrollo posterior del curso de matemáticas.

Para ser justos, cabe señalar que en las primeras versiones de los libros de texto de M.I. Moro para el primer grado se proporcionaban multiplicación y división. Sin embargo, un accidente impidió el asunto: los autores de los nuevos programas se aferraron persistentemente a una "novedad": la cobertura en el primer grado de todos los casos de suma y resta hasta 100 (37+58 y 95-58, etc.). Pero como no había tiempo suficiente para estudiar un volumen tan amplio de información, se decidió trasladar la multiplicación y la división por completo al siguiente año de estudio.

Así, la fascinación por la linealidad del programa, es decir, una expansión puramente cuantitativa del conocimiento (las mismas acciones, pero con mayor número), consumió el tiempo que antes se dedicaba a la profundización cualitativa del conocimiento (estudiando las cuatro acciones dentro de dos docenas). Estudiar multiplicación y división ya en primer grado supone un salto cualitativo en el pensamiento, ya que permite dominar procesos de pensamiento condensados.

Según la tradición, el estudio de la suma y la resta hasta 20 solía ser un tema especial. La necesidad de este enfoque en la sistematización del conocimiento se ve incluso en el análisis lógico de la pregunta: el hecho es que la tabla completa para sumar es de un solo dígito. Los números se desarrollan dentro de dos decenas (0+1= 1, ...,9+9=18). Así, los números hasta 20 forman un sistema completo de relaciones en sus conexiones internas; de ahí que quede clara la conveniencia de preservar los “Veinte” como segundo tema holístico (el primero de estos temas son las acciones dentro de los primeros diez).

El caso que nos ocupa es precisamente aquel en el que concentricidad(mantener los segundos diez como tema especial) resulta más beneficioso que linealidad(“disolución” de los segundos diez en el tema “Cien”).

En el libro de texto de M.I. Moro, el estudio de los primeros diez se divide en dos secciones separadas: primero, se estudia la composición de los números de los primeros diez, y en el siguiente tema se consideran las acciones dentro de 10. En el libro de texto experimental de. P.M. Erdnieva, por el contrario, llevó a cabo un estudio conjunto de la numeración, la composición de números y operaciones (suma y resta) dentro de 10 a la vez en una sección. Con este enfoque, se utiliza un estudio monográfico de los números, a saber: dentro del número considerado (por ejemplo, 3), se comprenden inmediatamente todas las "matemáticas monetarias": 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 – 1 = 2; 3 – 2 = 1.

Si, según los programas actuales, se asignaron 70 horas para estudiar los primeros diez, entonces en el caso de la formación experimental, todo este material se estudió en 50 horas (y además del programa, se consideraron algunos conceptos adicionales que no estaban en el libro de texto estable, pero estaban relacionados estructuralmente con el material principal).

La cuestión de la clasificación de las tareas y la denominación de sus tipos requiere una atención especial en la metodología de la formación inicial. Generaciones de metodólogos trabajaron para racionalizar el sistema de tareas escolares, crear sus tipos y variedades efectivos, hasta la selección de términos exitosos para los nombres de las tareas destinadas a estudiar en la escuela. Se sabe que al menos la mitad del tiempo lectivo en las lecciones de matemáticas se dedica a resolverlas. Las tareas escolares ciertamente necesitan sistematización y clasificación. Qué tipo (tipo) de problemas estudiar, cuándo estudiar, qué tipo de problemas estudiar en relación con el paso de una sección en particular: este es un objeto legítimo de estudio de la metodología y el contenido central de los programas. La importancia de esta circunstancia se desprende claramente de la historia de la metodología matemática.

En los materiales didácticos experimentales del autor, se presta especial atención a la clasificación de tareas y la distribución de sus tipos y variedades necesarios para la enseñanza en una clase en particular. Actualmente, los nombres clásicos de tipos de problemas (hallar una suma, un término desconocido, etc.) han desaparecido incluso del índice de un libro de texto estable de primer grado. En el libro de texto de prueba P.M. Erdniev, estos nombres “funcionan”: son útiles como hitos didácticos no sólo para el alumno, sino también para el profesor. Presentamos el contenido del primer tema del libro de texto de prueba de matemáticas, que se caracteriza por la integridad lógica de los conceptos.

primeros diez

Comparando los conceptos de alto - abajo, izquierda - derecha, entre, más corto - más largo, más ancho - más estrecho, más grueso - más delgado, más viejo - más joven, más lejos - más cerca, más lento - más rápido, más liviano - más pesado, poco - mucho.

Estudio monográfico de los números de la decena primera: nombre, designación, comparación, colocación de números en el ábaco y designación de números en la recta numérica; signos: igual (=), distinto de (¹), mayor que (>), menor que (<).

Líneas rectas y curvas; círculo y óvalo.

Punto, recta, segmento, su designación mediante letras; medir la longitud de un segmento y establecer segmentos de una longitud determinada; designación, denominación, construcción, recorte de triángulos iguales, polígonos iguales. Elementos de un polígono: vértices, lados, diagonales (indicados por letras).

Estudio monográfico de números dentro del número en cuestión:

composición de números, suma y resta.

Los nombres de los componentes de la suma y la resta.

Cuatro ejemplos de suma y resta:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

Ejemplos deformados (faltan números y signos):

X + 5 = 7; 6 – X = 4;6 = 3A2.

Resolver problemas de suma y sumando, diferencia, minuendo y sustraendo. Recopilación y solución de problemas mutuamente inversos.

Tres tareas: aumentar y disminuir un número en varias unidades y hacer una comparación de diferencias. Comparación de segmentos por longitud.

Ley conmutativa de la suma. Un cambio en una suma dependiendo de un cambio en un término. La condición cuando la cantidad no cambia. Las expresiones de letras más simples: a + b = b + a, a + 0 = a, a –a = 0.

Compilación y resolución de problemas de expresión.

En la siguiente presentación, consideraremos las principales cuestiones de la metodología para presentar esta sección inicial de matemáticas escolares, teniendo en cuenta que la metodología para presentar las secciones posteriores debe ser en muchos aspectos similar al proceso de dominio del material del primer tema. .

En las primeras lecciones, el profesor debe fijarse el objetivo de enseñar al alumno a utilizar pares de conceptos, cuyo contenido se revela en el proceso de composición de oraciones correspondientes con estas palabras. (Primero, dominamos la comparación a nivel cualitativo, sin utilizar números).

A continuación se muestran ejemplos de los pares de conceptos más comunes que deberían usarse en las lecciones no solo de matemáticas, sino también en el desarrollo del habla:

Más - menos, más largo - más corto, más alto - más bajo, más pesado - más ligero, más ancho - más estrecho, más grueso - más delgado, derecha - izquierda, más lejos - más cerca, mayor - más joven, más rápido - más lento, etc.

Al trabajar en estos pares de conceptos, es importante utilizar no sólo las ilustraciones del libro de texto, sino también las observaciones de los niños; así, por ejemplo, desde la ventana del aula ven que hay una casa al otro lado del río, e inventan las frases: “El río está más cerca de la escuela que la casa, y la casa está más lejos de la escuela que el río .”

Deje que el alumno sostenga alternativamente un libro y un cuaderno en la mano. La maestra pregunta: ¿qué es más pesado: un libro o un cuaderno? ¿Qué es más fácil? "Libro más pesado cuadernos y cuaderno más fácil libros."

Habiendo colocado al estudiante más alto y más bajo de la clase uno al lado del otro frente a la clase, inmediatamente inventamos dos frases: "Misha es más alta que Kolya y Kolya es más baja que Misha".

En estos ejercicios, es importante lograr una sustitución gramaticalmente correcta de un juicio por uno dual: “Una casa de piedra es más alta que una de madera, lo que significa que una casa de madera es más baja que una de piedra”.

Al familiarizarse con el concepto "más largo - más corto", puede mostrar una comparación de objetos en longitud superponiendo uno encima del otro (¿cuál es más largo: un bolígrafo o un estuche de lápices?).

En las lecciones de aritmética y desarrollo del habla, es útil resolver problemas lógicos con el objetivo de enseñar el uso de conceptos opuestos: “¿Quién es mayor: padre o hijo? ¿Quién es más joven: padre o hijo? ¿Cuál nació primero? ¿Quién llega más tarde?

“Compare el ancho de un libro y un maletín. ¿Qué es más ancho: un libro o un maletín? ¿Qué es ya un libro o un maletín? ¿Qué pesa más: un libro o un maletín?

Aprender el proceso de comparación puede resultar más interesante introduciendo los llamados ejercicios matriciales (tabulares). En la pizarra se construye una tabla de cuatro celdas y se explica el significado de los conceptos “columna” y “fila”. Introducimos los conceptos de “columna izquierda” y “columna derecha”, “fila superior” y “fila inferior”.

Junto con los estudiantes mostramos (imitamos) la interpretación semántica de estos conceptos.

Muestre la columna (los niños mueven la mano de arriba a abajo).

Muestre la columna de la izquierda, la columna de la derecha (los niños mueven los brazos dos veces de arriba a abajo).

Muestre la línea (mueva la mano de izquierda a derecha).

Muestre la línea superior y la línea inferior (dos movimientos con la mano que muestran la línea superior y la línea inferior).

Es necesario asegurarse de que los estudiantes indiquen con precisión la posición de la celda: “celda superior izquierda”, “celda inferior derecha”, etc. Inmediatamente se resuelve el problema inverso, a saber: el profesor señala alguna celda de la tabla (matriz) , el estudiante da el nombre correspondiente a esta celda. Entonces, si se señala una celda que se encuentra en la intersección de la fila superior y la columna izquierda, entonces el estudiante debe nombrar: "Celda superior izquierda". Estos ejercicios acostumbran gradualmente a los niños a la orientación espacial y son importantes a la hora de estudiar posteriormente el método de coordenadas de las matemáticas.

Trabajar la serie numérica es de gran importancia para las primeras lecciones de matemáticas elementales.

Es conveniente ilustrar el crecimiento de una serie numérica sumando uno por uno moviéndose hacia la derecha a lo largo de la recta numérica.

Si el signo (+) está asociado con moverse a lo largo de una recta numérica hacia la derecha en uno, entonces el signo (-) está asociado con retroceder hacia la izquierda en uno, etc. (Por lo tanto, mostramos ambos signos simultáneamente en el mismo lección.)

Trabajando con la serie numérica, introducimos los siguientes conceptos: el comienzo de la serie numérica (el número cero) representa el extremo izquierdo del rayo; El número 1 corresponde a un segmento unitario, que debe representarse por separado de la serie numérica.

Haga que los estudiantes trabajen en una recta numérica hasta tres.

Seleccionamos dos números vecinos cualesquiera, por ejemplo 2 y 3. Pasando del número 2 al número 3, los niños razonan así: "Al número 2 le sigue el número 3". Pasando del número 3 al número 2, dicen:

“El número 3 viene antes del número 2” o: “El número 2 viene antes del número 3”.

Este método le permite determinar el lugar de un número determinado en relación con los números anteriores y posteriores; Es apropiado prestar atención inmediatamente a la relatividad de la posición del número, por ejemplo: el número 3 es simultáneamente posterior (detrás del número 2) y anterior (antes del número 4).

Las transiciones indicadas a lo largo de la serie numérica deben estar asociadas con las operaciones aritméticas correspondientes.

Por ejemplo, la frase “Al número 2 le sigue el número 3” se representa simbólicamente de la siguiente manera: 2 + 1 = 3; sin embargo, es psicológicamente beneficioso crear inmediatamente después la conexión de pensamientos opuesta, a saber: la expresión “Antes del número 3 viene el número 2” está respaldada por la entrada: 3 – 1 = 2.

Para comprender el lugar de un número en una serie numérica, se deben formular preguntas pareadas:

1. ¿A qué número le sigue el número 3? (El número 3 sigue al número 2.) Antes¿En qué número está ubicado el número 2? (El número 2 viene antes del número 3.)

2. ¿Qué número sigue? para numero 2? (El número 2 va seguido del número 3.) ¿Qué número viene? antes número 3? (El número 3 está precedido por el número 2.)

3. Entre¿Qué números son el número 2? (El número 2 está entre el número 1 y el número 3.) ¿Qué número está entre los números 1 y 3? (Entre los números 1 y 3 está el número 2.)

En estos ejercicios, la información matemática está contenida en palabras funcionales: antes, detrás, entre.

Es conveniente combinar el trabajo con una serie numérica con la comparación de números por magnitud, así como con la comparación de la posición de los números en la recta numérica. Las conexiones de juicios de naturaleza geométrica se desarrollan gradualmente: el número 4 está en la recta numérica a la derecha del número 3; eso significa que 4 es mayor que 3. Y viceversa: el número 3 está en la recta numérica a la izquierda del número 4; esto significa que el número 3 es menor que el número 4. Así se establece una conexión entre pares de conceptos: a la derecha - más, a la izquierda - menos.

De lo anterior, vemos un rasgo característico de la asimilación integrada de conocimientos: todo el conjunto de conceptos asociados con la suma y la resta se ofrecen juntos, en sus continuas transiciones (recodificaciones) entre sí.

El principal medio para dominar las relaciones numéricas en nuestro libro de texto son las barras de colores; Es conveniente compararlas por longitud, estableciendo cuántas celdas son mayores o menores que ellas en la barra superior o inferior. En otras palabras, no presentamos el concepto de “comparación de diferencias de segmentos” como un tema especial, pero los estudiantes se familiarizan con él desde el comienzo del estudio de los números de los primeros diez. En las lecciones dedicadas al estudio de los diez primeros, conviene utilizar barras de colores, que permiten realizar la propedéutica de los principales tipos de tareas de las acciones de la primera etapa.

Veamos un ejemplo.

Dejemos que se superpongan dos barras de colores, divididas en celdas:

en el inferior - 3 celdas, en el superior - 2 celdas (ver figura).

Comparando el número de celdas en las barras superior e inferior, el profesor compone dos ejemplos de acciones mutuamente inversas (2 + 1 = 3, 3 – 1 = 2), y las soluciones a estos ejemplos se leen en pares de todas las formas posibles:

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

a) suma 1 a 2: obtienes 3; a) resta 1 de 3: obtienes 2;

b) aumenta 2 por 1: obtienes 3; b) reduce 3 en 1: obtienes 2;

c) 3 es más de 2 por 1; c) 2 es menor que 3 por 1;

d) 2 si 1 será 3; d) 3 sin 1 será 2;

e) suma el número 2 con el número 1 - e) resta el número 1 del número 3 -

resulta 3. resulta 2.

Maestro. Si se multiplica 2 por 1 ¿cuánto es?

Alumno. Si aumentas 2 en 1, obtienes 3.

Maestro. Ahora dime ¿qué hay que hacer con el número 3 para obtener 2?

Alumno. Reduce 3 en 1 para obtener 2.

Llamemos la atención sobre la necesidad de que en este diálogo se lleve a cabo metódicamente y de manera competente la operación de oposición. ,

El dominio seguro de los niños del significado de conceptos emparejados (suma - resta, aumento - disminución, más - menos, sí - sin, suma - resta) se logra usándolos en una lección, basada en el mismo triple de números (por ejemplo, 2 + 1 = =3, 3-1=2), basado en una demostración: comparar las longitudes de dos barras.

Ésta es la diferencia fundamental entre el sistema metodológico de consolidación de unidades de asimilación y el sistema de estudio separado de estos conceptos básicos, en el que conceptos contrastantes de matemáticas se introducen, por regla general, por separado en la práctica del habla de los estudiantes.

La experiencia de aprendizaje muestra las ventajas de la introducción simultánea de pares de conceptos mutuamente opuestos, a partir de las primeras lecciones de aritmética.

Entonces, por ejemplo, el uso simultáneo de tres verbos: "agregar" (agregar 1 a 2), "agregar" (agregar el número 2 al número 1), "aumentar" (2 aumentar en 1), que se representan simbólicamente idénticamente (2+1= 3), ayuda a los niños a aprender la similitud y la cercanía del significado de estas palabras (se puede realizar un razonamiento similar con respecto a las palabras "restar", "restar", "reducir").

De la misma manera, la esencia de la comparación de diferencias se aprende mediante el uso repetido de comparar pares de números desde el comienzo del entrenamiento, y en cada parte del diálogo de la lección se utilizan todas las formas verbales posibles de interpretación del ejemplo resuelto: “¿Qué es mayor: 2 o 3? ¿Cuánto más es 3 que 2? ¿Cuánto necesitas sumar a 2 para obtener 3? etc. El cambio de formas gramaticales y el uso frecuente de formas interrogativas son de gran importancia para dominar el significado de estos conceptos.

Muchos años de pruebas han demostrado beneficios. estudio monográfico números de los primeros diez. Cada número sucesivo es sometido a un análisis multilateral, enumerándose todas las opciones posibles para su formación; dentro de este número, se realizan todas las acciones posibles, se repiten "todas las matemáticas disponibles", se utilizan todas las formas gramaticales aceptables para expresar la relación entre números. Por supuesto, con este sistema de estudio, en relación con la cobertura de números posteriores, se repiten ejemplos previamente estudiados, es decir, la expansión de la serie numérica se realiza con repetición constante de combinaciones de números previamente consideradas y variedades de problemas simples. .

2.3 Estudio conjunto de suma y resta, multiplicación y división.

En la metodología de las matemáticas elementales, los ejercicios sobre estas dos operaciones suelen considerarse por separado. Mientras tanto, parece más preferible el estudio simultáneo de la operación dual “suma - descomposición en términos”.

Deje que los estudiantes resuelvan el problema de suma: “Suma 1 barra a tres barras y obtendrás 4 barras”. Después de esta tarea, inmediatamente cabe preguntarse: “¿A partir de qué números consiste en numero 4? 4 palitos constan de 3 palitos (el niño cuenta 3 palitos) y 1 palito (separa 1 palito más).

El ejercicio inicial puede ser la descomposición de un número. La maestra pregunta: "¿De qué números se compone el número 5?" (El número 5 consta de 3 y 2.) E inmediatamente se hace una pregunta sobre los mismos números: "¿Cuánto obtienes si sumas 2 a 3?" (Suma 2 a 3 y obtienes 5).

Con el mismo propósito, es útil practicar la lectura de ejemplos en dos direcciones: 5+2=7. Suma 2 a 5 y obtienes 7 (léelo de izquierda a derecha). 7 consta de los términos 2 y 5 (leídos de derecha a izquierda).

Es útil acompañar la oposición verbal con ejercicios de este tipo sobre el ábaco en el aula, que permiten ver el contenido específico de las operaciones correspondientes. Los cálculos en el ábaco son indispensables como medio para visualizar acciones sobre los números, y el tamaño de los números hasta 10 se asocia aquí con la longitud de un conjunto de huesos ubicados en un cable (esta longitud la percibe visualmente el estudiante). Es imposible estar de acuerdo con tal “innovación” cuando los libros de texto y programas actuales han abandonado por completo el uso del ábaco ruso en las lecciones.

Entonces, al resolver un ejemplo de suma (5+2=7), el estudiante primero contó 5 fichas en el ábaco, luego les agregó 2 y luego anunció la suma: “Suma 2 a 5 - obtienes 7” (el nombre del número resultante 7, el alumno establece recalculando la nueva totalidad: “Uno - dos - tres - cuatro - cinco - seis - siete”).

Alumno. Suma 2 a 5 y obtienes 7.

Maestro. Ahora muestra en qué términos se compone el número 7.

Alumno(primero separa dos huesos a la derecha, luego habla). El número 7 se compone de 2 y 5.

Al realizar estos ejercicios, es recomendable utilizar los conceptos “primer término” (5), “segundo término” (2) y “suma” desde el principio.

Se ofrecen los siguientes tipos de tareas: a) la suma de dos términos es 7; encontrar los términos; b) ¿de qué componentes consta el número 7?; c) descomponer la suma 7 en 2 términos (en 3 términos). Etc.

Dominar un concepto algebraico tan importante como la ley conmutativa de la suma requiere una variedad de ejercicios, inicialmente basados ​​​​en manipulaciones prácticas con objetos.

Maestro. Toma 3 palos en tu mano izquierda y 2 en tu mano derecha. ¿Cuántos palos hay en total?

Alumno. Hay 5 palos en total.

Maestro.¿Cómo puedo decir más sobre esto?

Alumno. Agregue 2 palitos a 3 palitos; habrá 5 palitos.

Maestro. Redacte este ejemplo a partir de números cortados. (El estudiante inventa un ejemplo: 3+2=5.)

Maestro. Ahora intercambie los palillos: transfiera los palillos de su mano izquierda a su derecha y transfiera los palillos de su mano derecha a su izquierda. ¿Cuántos palos hay ahora en ambas manos?

Alumno. En total, había 5 palos en dos manos, y ahora nuevamente hay 5 palos.

Maestro.¿Por qué sucedió esto?

Alumno. Porque no apartamos nada y no añadimos palos. Por mucho que haya, mucho quedó.

Maestro. Redacte ejemplos resueltos a partir de los números cortados.

Alumno(deja a un lado: 3+2=5, 2+3=5). Aquí estaba el número 3, y ahora el número 2. Y aquí estaba el número 2, y ahora el número 3.

Maestro. Intercambiamos los números 2 y 3, pero el resultado siguió siendo el mismo:

5. (Se hace un ejemplo a partir de números divididos: 3+2=2+3.)

La ley conmutativa también se aprende en ejercicios sobre la descomposición de un número en términos.

¿Cuándo introducir la ley conmutativa de la suma?

El objetivo principal de la enseñanza de la suma, ya dentro de los primeros diez, es enfatizar constantemente el papel de la ley conmutativa en los ejercicios.

Deje que los niños cuenten primero 6 palitos; luego les sumamos tres palos y, recalculando (“siete - ocho - nueve”) establecemos la suma: 6 sí 3 - será 9. Es necesario ofrecer inmediatamente un nuevo ejemplo: 3 + 6; Inicialmente, la nueva cantidad se puede establecer nuevamente mediante un nuevo cálculo (es decir, de la forma más primitiva), pero de forma gradual y decidida se debe formular un método de solución en un código superior, es decir, lógicamente, sin nuevo cálculo.

Si 6 y 3 son 9 (la respuesta se establece mediante recálculo), entonces 3 y 6 (¡sin recálculo!) también serán 9.

En resumen, la propiedad conmutativa de la suma debe introducirse desde el principio de los ejercicios de suma de diferentes términos, de modo que componer (pronunciar) soluciones a cuatro ejemplos se convierta en un hábito:

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

Recopilar cuatro ejemplos es una forma de ampliar el conocimiento accesible a los niños.

Vemos que una característica tan importante de la operación de suma como su conmutabilidad no debería ocurrir ocasionalmente, sino que debería convertirse en el principal medio lógico para fortalecer las asociaciones numéricas correctas. La principal propiedad de la suma, la conmutabilidad de términos, debe considerarse constantemente en relación con la acumulación de nuevos resultados tabulares en la memoria.

Vemos: la relación de operaciones lógicas o computacionales más complejas se basa en una relación similar por pares (proximidad) de operaciones elementales a través de las cuales se realizan un par de operaciones "complejas". En otras palabras, la oposición explícita de conceptos complejos se basa en la oposición implícita (subconsciente) de conceptos más simples.

Es recomendable realizar el estudio inicial de multiplicación y división en la siguiente secuencia de tres ciclos de problemas (tres tareas en cada ciclo):

Ciclo: a, b) multiplicación con multiplicando constante y división por contenido (juntos); c) división en partes iguales.

Ciclo II: a, b) disminuir y aumentar en número varias veces (juntos); c) comparación múltiple.

Ciclo III: a, b) encontrar una parte de un número y un número según el tamaño de una de sus partes (juntos); c) resolver el problema: "¿Qué parte es un número de otro?"

El sistema metodológico para estudiar estos problemas es similar al descrito anteriormente para los problemas simples de la primera etapa (suma y resta).

Estudio simultáneo de multiplicación y división en contenido. En dos o tres lecciones (¡no más!) dedicadas a la multiplicación, se aclara el significado del concepto de multiplicación como suma colapsada de términos iguales (la acción de división aún no se analiza en estas lecciones). Este tiempo es suficiente para estudiar la tabla de multiplicar el número 2 por números de un solo dígito.

Por lo general, a los estudiantes se les muestra un registro de cómo reemplazar la suma con la multiplicación: 2+2+2+2=8; 2*4=8. Aquí la conexión entre suma y multiplicación va en la dirección suma-multiplicación. Es apropiado ofrecer inmediatamente a los estudiantes un ejercicio diseñado para producir retroalimentación de la forma “multiplicación-suma” (términos iguales): al mirar esta entrada, el estudiante debe comprender que el número 2 debe repetirse como sumando tantas veces como sea posible. el multiplicador en el ejemplo muestra (2*4= 8).

La combinación de ambos tipos de ejercicio es una de las condiciones importantes que asegura la asimilación consciente del concepto de “multiplicación”, que significa suma colapsada.

En la tercera lección (o cuarta, dependiendo de la clase), para cada uno de los casos conocidos de multiplicación, se da un caso correspondiente de división. En el futuro, será beneficioso considerar la multiplicación y la división solo juntas en las mismas lecciones.

Al introducir el concepto de división, es necesario recordar los casos correspondientes de multiplicación para, a partir de ellos, crear el concepto de una nueva acción inversa a la multiplicación.

Por tanto, el concepto de “multiplicación” adquiere un rico contenido: no es sólo el resultado de la suma de términos iguales (“generalización de la suma”), sino también la base, el momento inicial de la división, que, a su vez, representa “resta colapsada”, reemplazando la “resta por 2” secuencial:

El significado de la multiplicación se comprende no tanto a través de la multiplicación misma, sino a través de constantes transiciones entre multiplicación y división, ya que la división es una multiplicación velada y “modificada”. Esto explica por qué es beneficioso estudiar posteriormente siempre la multiplicación y la división al mismo tiempo (tanto tabulares como extratabulares; tanto orales como escritas).

Las primeras lecciones sobre el estudio simultáneo de la multiplicación y la división deben dedicarse al procesamiento pedante de las operaciones lógicas mismas, apoyadas en todos los sentidos por una extensa actividad práctica en la recolección y distribución de diversos objetos (cubos, setas, palos, etc.), pero la secuencia de acciones detalladas debe seguir siendo la misma.

El resultado de este trabajo serán las tablas de multiplicar y dividir escritas una al lado de la otra:

2*2=4, 4: 2=2,

2*3=6, 6: 2=3,

2*4=8, 8: 2=4,

2*5 = 10, 10: 2 = 5, etc.

Por lo tanto, la tabla de multiplicar se construye utilizando un multiplicando constante y la tabla de división se construye utilizando un divisor constante.

También es útil ofrecer a los estudiantes, junto con esta tarea, un ejercicio estructuralmente opuesto sobre la transición de la división a la resta de sustraendos iguales.

En los ejercicios de repetición es útil ofrecer tareas de este tipo: 14:2==.

Estudio de la división en partes iguales. Después de haber estudiado o repetido juntos la multiplicación del número 2 y la división por 2, se introduce en una de las lecciones el concepto de “división en partes iguales” (el tercer tipo de problema del primer ciclo).

Considere el problema: “Cuatro estudiantes trajeron 2 cuadernos. ¿Cuántos cuadernos trajiste?"

El profesor explica: toma 2 4 veces y obtendrás 8. (Aparece la entrada: 2 * 4 = 8.) ¿Quién escribirá el problema inverso?

Mientras hacíamos la multiplicación, recogimos cuadernos. ¿Qué hacemos al dividir por dos?

8 cuadernos Distribuyó 2 cuadernos a cada alumno, es decir, 4 (había suficientes cuadernos para 4 estudiantes).

Aparece una entrada:

2t cada uno *4 = 8 toneladas; 8t.: 2t. = 4 (estudiantes).

Al principio, debes utilizar una notación detallada de números con nombres (en dividendo, divisor y cociente).

Ahora creemos el tercer problema: “Se deben distribuir 8 cuadernos equitativamente entre cuatro estudiantes. ¿Cuántos cuadernos recibirá cada persona?

Inicialmente, la división en partes iguales también debe demostrarse mediante la manipulación real de los objetos.

Por tanto, el concepto de “multiplicación” adquiere un rico contenido: no es sólo el resultado de la suma de términos iguales (“generalización de la suma”), sino también la base, el momento inicial de la división, que, a su vez, representa una resta colapsada, reemplazando la “resta por 2” secuencial.

Actualmente, han surgido condiciones bastante favorables para una mejora radical en la organización de la educación matemática en la escuela primaria:

1) la escuela primaria pasó de ser una escuela de tres años a una de cuatro años;

2) se destinan 700 horas al estudio de matemáticas en los primeros cuatro años, es decir, casi el 40% del tiempo total destinado a esta materia para toda la escuela secundaria;

3) cada año, un número cada vez mayor de personas con educación superior trabajan como profesores de escuela primaria;

4) ha aumentado la posibilidad de dotar mejor a profesores y escolares de medios didácticos y visuales, muchos de ellos producidos en color.

No es necesario demostrar el papel decisivo de la enseñanza inicial de las matemáticas para el desarrollo de la inteligencia del estudiante en general. La riqueza de asociaciones básicas adquiridas por un escolar durante los primeros cuatro años de estudio, si se hace correctamente, se convierte en la principal condición para la autoexpansión de conocimientos en los años siguientes. Si este acervo de ideas y conceptos iniciales, líneas de pensamiento y técnicas lógicas básicas es incompleto, inflexible y empobrecido, entonces, al pasar a la escuela secundaria, los escolares experimentarán constantemente dificultades, independientemente de quién les enseñará a continuación o qué libros de texto estudiarán. de.

Como es sabido, las escuelas primarias funcionan en nuestro país y en otros países desde hace muchos siglos, mientras que la educación secundaria universal se aplica desde hace sólo unas pocas décadas. De esto se desprende claramente que la teoría y la práctica de la educación primaria son mucho más ricas en buenas tradiciones que la educación en las escuelas secundarias.

L.N. Tolstoi, K.D. Ushinsky, S.I. Shokhor-Trotsky, V. Latyshev y otros metodólogos hicieron valiosos descubrimientos metodológicos y generalizaciones sobre la enseñanza de las matemáticas en primaria. En las últimas décadas se han obtenido resultados significativos utilizando los métodos de las matemáticas elementales en los laboratorios de L. V. Zankov, A. S. Pchelko, así como en la investigación sobre la ampliación de las unidades didácticas.

Mientras tanto, el estado actual de la enseñanza en las escuelas primarias es tal que las últimas ediciones de programas y libros de texto han pasado inesperadamente por alto las formas efectivas de mejorarla, dominadas por los maestros en los últimos años. Un grave inconveniente de los programas actuales es la falta de continuidad con los programas para las clases medias.

Por ejemplo, en los programas de la escuela primaria no se ha resuelto el problema de la propedéutica de una serie de conceptos importantes, que anteriormente se lograba con éxito en la escuela primaria. Esta propedéutica no funcionó debido a que los programas forzaban el estiramiento del material tradicional, que antes se dominaba mucho más rápido y de manera más productiva. El actual programa escolar de cuatro años se ha vuelto menos informativo que el programa escolar de tres años que lo precedió.

Con una consideración razonable de los resultados científicos disponibles obtenidos en los últimos 20 años utilizando los métodos de la educación primaria por varios equipos creativos, ahora existen todas las oportunidades para lograr "aprender con pasión" en la escuela primaria.

En particular, exponer a los estudiantes a conceptos algebraicos básicos sin duda tendrá un impacto positivo en el dominio de los conocimientos relacionados por parte de los estudiantes en la escuela secundaria.

Parece que privar a un estudiante más joven de conocimientos accesibles y necesarios le provocará un daño que nunca será reparable en el futuro.

Para la práctica de la enseñanza de las matemáticas en primaria, la técnica de combinar problemas mutuamente inversos en una lección (en el espacio de una página de un libro de texto) es de suma importancia. Por tanto, parece absolutamente necesario utilizar los nombres tradicionales de los principales tipos de tareas comparadas entre sí: si la repetición de términos iguales actúa como una multiplicación, entonces sus problemas inversos (división en partes iguales y división por contenido) deberían usarse en libros de texto, al planificar y realizar lecciones. En los programas existentes no encontramos los conceptos habituales: problemas de encontrar una suma, encontrar números a partir de dos sumas, reducir a uno, división proporcional, etc. Esta situación no es de ninguna manera una ventaja de los programas.

El psicólogo J. Piaget estableció la ley fundamental de reversibilidad de las operaciones, a la que se asocia el concepto metodológico de “problema inverso”. En particular, cualquier información percibida por una persona continúa circulando en el subconsciente (en forma inconsciente) durante 20 a 30 minutos. Y así, si al multiplicar 172 por 43 obtuvimos un producto intermedio de 688, entonces este mismo número se manifiesta (actualiza) más fácilmente al resolver el problema inverso de la división por “esquina” (7396:172). La conexión de pensamientos “multiplicación - división” parece desplazarse aquí dos veces.

Ésta es la explicación psicofisiológica de las ventajas obtenidas en la práctica de la introducción más temprana de elementos algebraicos en la escuela primaria. Esta conclusión también se ve confirmada por la experiencia docente personal del autor en las lecciones de matemáticas en los grados primarios de la Escuela Secundaria No. 4 de Rylsk.

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INTRODUCCIÓN

CONCLUSIÓN

REFERENCIAS

Introducción

En cualquier sistema moderno de educación general, las matemáticas ocupan uno de los lugares centrales, lo que sin duda habla de la singularidad de este campo del conocimiento.

¿Qué son las matemáticas modernas? ¿Por qué es necesario? Los niños suelen hacer estas y otras preguntas similares a los profesores. Y cada vez la respuesta será diferente en función del nivel de desarrollo del niño y de sus necesidades educativas.

Se suele decir que las matemáticas son el lenguaje de la ciencia moderna. Sin embargo, parece haber un error importante en esta afirmación. El lenguaje de las matemáticas está tan extendido y a menudo es eficaz precisamente porque las matemáticas no pueden reducirse a él.

El destacado matemático ruso A.N. Kolmogorov escribió: “Las matemáticas no son sólo uno de los lenguajes. Las matemáticas son el lenguaje más el razonamiento, es como el lenguaje y la lógica juntos, es una herramienta para pensar. Concentra los resultados del pensamiento exacto de muchas personas. conecte un razonamiento con otro Las complejidades obvias de la naturaleza con sus extrañas leyes y reglas, cada una de las cuales permite una explicación muy detallada por separado, en realidad están estrechamente relacionadas. Sin embargo, si no desea utilizar las matemáticas, entonces en esta enorme variedad. de hechos no verás que la lógica te permite pasar de uno a otro".

Así, las matemáticas nos permiten formar ciertas formas de pensamiento necesarias para estudiar el mundo que nos rodea.

¿Cuál es la influencia de las matemáticas en general y de las matemáticas escolares en particular en la educación de una personalidad creativa? Enseñar el arte de resolver problemas en las lecciones de matemáticas nos brinda una oportunidad extremadamente favorable para desarrollar una determinada mentalidad en los estudiantes. La necesidad de actividades de investigación desarrolla el interés por los patrones y nos enseña a ver la belleza y la armonía del pensamiento humano. Todo esto es, en nuestra opinión, el elemento más importante de la cultura general. El curso de matemáticas tiene una influencia importante en la formación de diversas formas de pensamiento: lógico, espacial-geométrico, algorítmico. Cualquier proceso creativo comienza con la formulación de una hipótesis. Las matemáticas, con la adecuada organización de la educación, siendo una buena escuela para construir y probar hipótesis, enseñan a comparar diferentes hipótesis, encontrar la mejor opción, plantear nuevos problemas y buscar formas de resolverlos. Entre otras cosas, también desarrolla el hábito del trabajo metódico, sin el cual no es concebible ningún proceso creativo. Al maximizar las posibilidades del pensamiento humano, las matemáticas son su mayor logro. Ayuda a una persona a comprenderse a sí misma y formar su carácter. Ésta es una pequeña lista de razones por las que el conocimiento matemático debería convertirse en una parte integral de la cultura general y un elemento obligatorio en la crianza y educación de un niño. El curso de matemáticas (sin geometría) en nuestra escuela de 10 años se divide en realidad en tres partes principales: aritmética (grados I - V), álgebra (grados VI - VIII) y elementos de análisis (grados IX - X). ¿Cuál es la base de tal división? Por supuesto, cada una de estas partes tiene su propia "tecnología" especial.

Así, en aritmética se asocia, por ejemplo, con cálculos realizados con números de varios dígitos, en álgebra - con transformaciones idénticas, logaritmización, en análisis - con diferenciación, etc. Pero ¿cuáles son las razones más profundas asociadas con el contenido conceptual de cada parte? La siguiente pregunta se refiere a la base para distinguir entre aritmética y álgebra escolar (es decir, la primera y la segunda parte del curso). La aritmética incluye el estudio de los números naturales (enteros positivos) y fracciones (primos y decimales). Sin embargo, un análisis especial muestra que combinar este tipo de números en una materia escolar es ilegal.

El caso es que estos números tienen diferentes funciones: los primeros están asociados a contar objetos, los segundos a medir cantidades. Esta circunstancia es muy importante para comprender el hecho de que los números fraccionarios (racionales) son sólo un caso especial de los números reales.

Desde el punto de vista de la medición de cantidades, como señala A.N. Kolmogorov, “no existe una diferencia tan profunda entre los números reales racionales e irracionales. Por razones pedagógicas, se detienen durante mucho tiempo en los números racionales, ya que son fáciles de escribir en forma de fracciones, sin embargo, el uso que se les da; desde el principio deberían conducir inmediatamente a cifras reales en su totalidad."

UN. Kolmogorov consideró justificada tanto desde el punto de vista de la historia del desarrollo de las matemáticas como esencialmente la propuesta de A. Lebesgue de pasar en la enseñanza después de los números naturales directamente al origen y la naturaleza lógica de los números reales. Al mismo tiempo, como señaló A.N. Kolmogorov, “el enfoque de la construcción de números racionales y reales desde el punto de vista de la medición de cantidades no es menos científico que, por ejemplo, la introducción de números racionales en forma de “pares” para la escuela. ventaja indudable” (.

Por tanto, existe una posibilidad real, a partir de los números naturales (enteros), de formar inmediatamente “el concepto más general de número” (en la terminología de A. Lebesgue), el concepto de número real. Pero desde el punto de vista de la construcción del programa, esto significa ni más ni menos que la eliminación de la aritmética de fracciones en su interpretación escolar. La transición de números enteros a números reales es una transición de la aritmética al "álgebra", a la creación de una base para el análisis. Estas ideas, expresadas hace más de 20 años, siguen siendo vigentes hoy.

1. Aspectos teóricos generales del estudio de material algebraico en la escuela primaria.

matemáticas de comparación escolar algebraica

1.1 Experiencia en la introducción de elementos de álgebra en la escuela primaria.

El contenido de una materia académica, como se sabe, depende de muchos factores: de las exigencias de la vida sobre los conocimientos de los estudiantes, del nivel de las ciencias pertinentes, de las capacidades mentales y físicas de los niños, etc. La consideración correcta de estos factores es una condición esencial para la educación más eficaz de los escolares y la ampliación de sus capacidades cognitivas. Pero a veces esta condición no se cumple por una razón u otra. En este caso, la enseñanza no produce el efecto deseado ni en términos de la adquisición por parte de los niños de la gama de conocimientos necesarios ni en términos del desarrollo de su inteligencia.

Parece que actualmente los programas de enseñanza de algunas materias académicas, en particular las matemáticas, no se corresponden con las nuevas exigencias de la vida, el nivel de desarrollo de las ciencias modernas (por ejemplo, las matemáticas) y los nuevos datos de la psicología y la lógica del desarrollo. Esta circunstancia dicta la necesidad de realizar pruebas teóricas y experimentales integrales de posibles proyectos de nuevos contenidos de las materias educativas.

Las bases del conocimiento matemático se sientan en la escuela primaria. Pero, lamentablemente, tanto los propios matemáticos como los metodólogos y psicólogos prestan muy poca atención al contenido de las matemáticas elementales. Baste decir que el plan de estudios de matemáticas en la escuela primaria (grados I a IV) en sus características principales se formó hace 50 a 60 años y refleja naturalmente el sistema de ideas matemáticas, metodológicas y psicológicas de esa época.

Consideremos los rasgos característicos del estándar estatal de matemáticas en la escuela primaria. Su contenido principal son los números enteros y las operaciones sobre ellos, estudiados en una secuencia determinada. Primero, se estudian cuatro operaciones en el límite de 10 y 20, luego, cálculos orales en el límite de 100, cálculos orales y escritos en el límite de 1000 y, finalmente, en el límite de millones y miles de millones. En IV grado se estudian algunas relaciones entre los datos y los resultados de operaciones aritméticas, así como fracciones simples. Además de esto, el programa implica el estudio de medidas métricas y de tiempo, el dominio de la capacidad de usarlas para medir, el conocimiento de algunos elementos de la geometría visual: dibujar un rectángulo y un cuadrado, medir segmentos, áreas de un rectángulo y un cuadrado, cálculo de volúmenes.

Los estudiantes deben aplicar los conocimientos y habilidades adquiridos para resolver problemas y realizar cálculos simples. A lo largo del curso, la resolución de problemas se lleva a cabo en paralelo con el estudio de números y operaciones; para ello se dedica la mitad del tiempo correspondiente. La resolución de problemas ayuda a los estudiantes a comprender el significado específico de las acciones, comprender diversos casos de su aplicación, establecer relaciones entre cantidades y adquirir habilidades básicas de análisis y síntesis.

Desde el grado I al IV, los niños resuelven los siguientes tipos principales de problemas (simples y compuestos): encontrar la suma y el resto, producto y cociente, aumentar y disminuir números dados, diferencia y comparación múltiple, regla triple simple, división proporcional, encontrar un desconocido por dos diferencias, cálculo de la media aritmética y algunos otros tipos de problemas.

Los niños encuentran diferentes tipos de dependencias cuantitativas al resolver problemas. Pero es muy típico que los estudiantes comiencen a resolver problemas después y mientras estudian los números; Lo principal que se requiere al resolver es encontrar una respuesta numérica. Los niños tienen grandes dificultades para identificar las propiedades de las relaciones cuantitativas en situaciones específicas y particulares, que generalmente se consideran problemas aritméticos. La práctica demuestra que la manipulación de números a menudo reemplaza el análisis real de las condiciones del problema desde el punto de vista de las dependencias de las cantidades reales. Además, los problemas presentados en los libros de texto no representan un sistema en el que situaciones más “complejas” estarían asociadas con capas “más profundas” de relaciones cuantitativas. Se pueden encontrar problemas de la misma dificultad tanto al principio como al final del libro de texto. Varían de una sección a otra y de una clase a otra en términos de complejidad de la trama (el número de acciones aumenta), el rango de los números (de diez a mil millones), la complejidad de las dependencias físicas (desde problemas de distribución hasta problemas de movimiento). problemas) y otros parámetros. Sólo un parámetro, la profundización en el propio sistema de leyes matemáticas, se manifiesta débil e indistintamente en ellos. Por tanto, es muy difícil establecer un criterio para la dificultad matemática de un problema particular. ¿Por qué los problemas de encontrar una incógnita a partir de dos diferencias y encontrar la media aritmética (grado III) son más difíciles que los problemas de diferencias y comparaciones múltiples (grado II)? La metodología no proporciona una respuesta lógica y convincente a esta pregunta.

Por lo tanto, los estudiantes de primaria no reciben un conocimiento adecuado y completo sobre las dependencias de las cantidades y las propiedades generales de las cantidades ni cuando estudian los elementos de la teoría de números, porque en el curso escolar se asocian principalmente con técnicas de computación, ni cuando resuelven problemas, porque estos últimos no tienen la forma adecuada y no cuentan con el sistema requerido. Los intentos de los metodólogos por mejorar los métodos de enseñanza, aunque conducen a éxitos parciales, no cambian la situación general, ya que están limitados de antemano por el marco de los contenidos aceptados.

Parece que el análisis crítico del programa aritmético adoptado debería basarse en las siguientes disposiciones:

El concepto de número no es idéntico al concepto de características cuantitativas de los objetos;

El número no es la forma original de relaciones cuantitativas.

Proporcionemos la justificación de estas disposiciones. Es bien sabido que las matemáticas modernas (en particular, el álgebra) estudian aspectos de las relaciones cuantitativas que no tienen una capa numérica. También es bien sabido que algunas relaciones cuantitativas son bastante expresables sin números y antes de números, por ejemplo, en segmentos, volúmenes, etc. (relación “más”, “menos”, “igual”). La presentación de los conceptos matemáticos generales originales en los manuales modernos se lleva a cabo con tal simbolismo que no implica necesariamente la expresión de objetos mediante números. Entonces, en el libro de E.G. En la "Aritmética teórica" ​​de Gonin, los objetos matemáticos básicos se indican desde el principio con letras y signos especiales.

Es característico que ciertos tipos de números y dependencias numéricas se den sólo como ejemplos, ilustraciones de las propiedades de los conjuntos, y no como su única forma de expresión posible y única. Además, cabe destacar que muchas ilustraciones de definiciones matemáticas individuales se dan en forma gráfica, mediante la proporción de segmentos y áreas. Todas las propiedades básicas de conjuntos y cantidades pueden deducirse y justificarse sin involucrar sistemas numéricos; Además, estos últimos se justifican sobre la base de conceptos matemáticos generales.

A su vez, numerosas observaciones de psicólogos y profesores muestran que las ideas cuantitativas surgen en los niños mucho antes de que adquieran conocimientos sobre los números y cómo utilizarlos. Es cierto que existe una tendencia a clasificar estas ideas como “formaciones prematemáticas” (lo cual es bastante natural para los métodos tradicionales que identifican las características cuantitativas de un objeto con un número), sin embargo, esto no cambia su función esencial en la educación del niño. Orientación general en las propiedades de las cosas. Y a veces sucede que la profundidad de estas supuestas "formaciones prematemáticas" es más importante para el desarrollo del propio pensamiento matemático del niño que el conocimiento de las complejidades de la tecnología informática y la capacidad de encontrar dependencias puramente numéricas. Es de destacar que el académico UN. Kolmogorov, al caracterizar las características de la creatividad matemática, señala especialmente la siguiente circunstancia: “La base de la mayoría de los descubrimientos matemáticos es una idea simple: una construcción geométrica visual, una nueva desigualdad elemental, etc. Solo es necesario aplicar adecuadamente esta idea simple a la solución del problema que a primera vista parece inaccesible."

En la actualidad, son apropiadas una variedad de ideas sobre la estructura y las formas de construir un nuevo programa. En el trabajo de su construcción es necesario involucrar a matemáticos, psicólogos, lógicos y metodólogos. Pero en todas sus variantes específicas, parece tener que cumplir los siguientes requisitos básicos:

Superar la brecha existente entre el contenido de matemáticas en las escuelas primarias y secundarias;

Proporcionar un sistema de conocimiento sobre las leyes básicas de las relaciones cuantitativas del mundo objetivo; en este caso, las propiedades de los números, como forma especial de expresar cantidades, deberían convertirse en una sección especial, pero no principal, del programa;

Inculcar en los niños los métodos del pensamiento matemático, y no solo las habilidades de cálculo: se trata de construir un sistema de problemas basado en profundizar en la esfera de las dependencias de las cantidades reales (la conexión de las matemáticas con la física, la química, la biología y otras ciencias que estudian específicas cantidades);

Simplifique decisivamente todas las técnicas de cálculo, minimizando el trabajo que no se puede realizar sin tablas, libros de referencia y otros medios auxiliares (en particular, electrónicos) adecuados.

El significado de estos requisitos es claro: en la escuela primaria es muy posible enseñar matemáticas como ciencia sobre las leyes de las relaciones cuantitativas, sobre las dependencias de las cantidades; Las técnicas informáticas y los elementos de la teoría de números deberían convertirse en una sección especial y privada del programa.

La experiencia de construcción de un nuevo programa de matemáticas y sus pruebas experimentales, llevadas a cabo desde finales de la década de 1960, permiten ahora hablar de la posibilidad de introducir un curso sistemático de matemáticas en la escuela a partir del primer grado, proporcionando conocimientos sobre relaciones y dependencias cuantitativas. de cantidades en forma algebraica.

1.2 El problema del origen de los conceptos algebraicos y su significado para la construcción de una asignatura educativa

La división del curso de matemáticas de la escuela en álgebra y aritmética es, por supuesto, condicional. La transición de uno a otro se produce de forma paulatina. En la práctica escolar, el significado de esta transición queda enmascarado por el hecho de que el estudio de fracciones en realidad ocurre sin un apoyo extenso para medir cantidades: las fracciones se dan como proporciones de pares de números (aunque formalmente la importancia de medir cantidades se reconoce en los manuales metodológicos ). Una introducción extensa a los números fraccionarios basados ​​en la medición de cantidades conduce inevitablemente al concepto de número real. Pero esto último generalmente no sucede, ya que los estudiantes trabajan con números racionales durante mucho tiempo y, por lo tanto, se retrasa su transición al “álgebra”.

En otras palabras, el álgebra escolar comienza precisamente cuando se crean las condiciones para la transición de números enteros a números reales, para expresar el resultado de una medición como una fracción (simple y decimal, finita y luego infinita). Además, el punto de partida puede ser familiarizarse con la operación de medición, obtener fracciones decimales finitas y aprender a operar con ellas. Si los estudiantes ya conocen esta forma de escribir el resultado de una medición, esto sirve como requisito previo para "abandonar" la idea de que un número también se puede expresar como una fracción infinita. Y es recomendable crear este requisito previo ya en la escuela primaria.

Si el concepto de número fraccionario (racional) se elimina del ámbito de la aritmética escolar, entonces la frontera entre este y el "álgebra" pasará por la línea de diferencia entre números enteros y reales. Es esto lo que “divide” el curso de matemáticas en dos partes. No se trata de una simple diferencia, sino de un “dualismo” fundamental de fuentes: conteo y medición.

Siguiendo las ideas de Lebesgue sobre el “concepto general de número”, es posible asegurar una unidad completa en la enseñanza de las matemáticas, pero sólo desde el momento y después de familiarizar a los niños con el conteo y los números enteros (naturales). Por supuesto, el momento de esta familiarización preliminar puede ser diferente (en los programas tradicionales para escuelas primarias están claramente retrasados, incluso se pueden introducir elementos de mediciones prácticas en el curso de aritmética elemental (que tiene lugar en el programa); sin embargo, Todo esto no elimina las diferencias en los fundamentos de la aritmética y el "álgebra" como materias educativas. El “dualismo” de los puntos de partida también impide que los apartados relacionados con la medición de cantidades y la transición a fracciones reales “echen raíces” realmente en un curso de aritmética. Los autores de los programas y metodólogos se esfuerzan por mantener la estabilidad y la "pureza" de la aritmética como materia escolar. Esta diferencia de fuentes es la razón principal para enseñar matemáticas según el esquema: primero aritmética (número entero), luego "álgebra" (número real).

Este esquema parece bastante natural e inquebrantable; además, está justificado por muchos años de práctica en la enseñanza de las matemáticas. Pero hay circunstancias que, desde un punto de vista lógico y psicológico, requieren un análisis más profundo de la legalidad de este rígido esquema docente.

El caso es que, a pesar de todas las diferencias entre estos tipos de números, se refieren específicamente a números, es decir, a una forma especial de mostrar relaciones cuantitativas. El hecho de que los números enteros y reales pertenezcan a "números" sirve de base para suponer que las diferencias entre contar y medir son derivadas genéticas: tienen una fuente única y especial que corresponde a la forma misma del número.

El conocimiento de las características de esta base unificada de conteo y medición permitirá imaginar más claramente las condiciones de su origen, por un lado, y la relación, por el otro.

¿A qué debemos recurrir para encontrar la raíz común del árbol ramificado de números? Parece que, en primer lugar, es necesario analizar el contenido del concepto de cantidad. Es cierto que este término se asocia inmediatamente con otro: dimensión. Sin embargo, la legitimidad de tal conexión no excluye una cierta independencia del significado de “magnitud”. La consideración de este aspecto nos permite sacar conclusiones que reúnen, por un lado, la medición y el conteo, y por otro, el funcionamiento de números con determinadas relaciones y patrones matemáticos generales.

Entonces, ¿qué es “cantidad” y qué interés tiene para la construcción de los apartados iniciales de la matemática escolar? En el uso general, el término “magnitud” se asocia con los conceptos “igual”, “más”, “menos”, que describen una variedad de cualidades (longitud y densidad, temperatura y blancura). V.F. Kagan plantea la cuestión de qué propiedades comunes tienen estos conceptos. Muestra que se relacionan con agregados: conjuntos de objetos homogéneos, cuya comparación de elementos nos permite aplicar los términos "más", "igual", "menos" (por ejemplo, a agregados de todos los segmentos rectos, pesos, velocidades , etc.).

Un conjunto de objetos sólo se transforma en magnitud cuando se establecen criterios que permitan establecer, respecto de cualquiera de sus elementos A y B, si A será igual a B, mayor que B o menor que B. Es más, para dos elementos cualesquiera A y B, uno y solo uno de las razones: A=B, A>B, A<В. Эти предложения составляют полную дизъюнкцию (по крайней мере, одно имеет место, но каждое исключает все остальные).

V.F. Kagan identifica las siguientes ocho propiedades básicas de los conceptos “igual”, “más”, “menos”: .

1) Al menos una de las relaciones se cumple: A=B, A>B, A<В.

2) Si la relación A = B se cumple, entonces la relación A no se cumple<В.

3) Si la relación A=B se cumple, entonces la relación A>B no se cumple.

4) Si A=B y B=C, entonces A=C.

5) Si A>B y B>C, entonces A>C.

6) Si un<В и В<С, то А<С.

7) La igualdad es una relación reversible: de la relación A=B siempre se sigue la relación B=A.

8) La igualdad es una relación recíproca: cualquiera que sea el elemento A del conjunto considerado, A = A.

Las primeras tres oraciones caracterizan la disyunción de las relaciones básicas "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых

tres elementos A, B y C. Las siguientes oraciones 7 - 8 caracterizan sólo la igualdad: su reversibilidad y recurrencia (o reflexividad). V.F. Kagan llama a estas ocho disposiciones básicas postulados de comparación, a partir de los cuales se pueden derivar otras propiedades de la cantidad.

Estas propiedades inferenciales de V.F. Kagan lo describe en forma de ocho teoremas:

I. La relación A>B excluye la relación B>A (A<В исключает В<А).

II. Si A>B, entonces B<А (если А<В, то В>A).

III. Si A>B se cumple, entonces A no se cumple.

IV. Si A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1, entonces A1=An.

V. Si A1>A2, A2>A3,.., An-1>An, entonces A1>An.

VI. Si A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Si A=C y B=C, entonces A=B.

VIII. Si hay igualdad o desigualdad A=B, o A>B, o A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа: если А=В и А=С, то С=В; если А>B y A=C, luego C>B, etc.).

Postulados y teoremas de comparación, señala V.F. Kagan, “se agotan todas aquellas propiedades de los conceptos “igual”, “más” y “menos”, que en matemáticas están asociadas a ellos y encuentran aplicación independientemente de las propiedades individuales del conjunto a los elementos en los que las aplicamos. varios casos especiales”.

Las propiedades especificadas en postulados y teoremas pueden caracterizar no sólo aquellas características inmediatas de los objetos que estamos acostumbrados a asociar con "igual", "más", "menos", sino también con muchas otras características (por ejemplo, pueden caracterizar la relación “antepasado - descendiente”). Esto nos permite adoptar un punto de vista general al describirlos y considerar, por ejemplo, desde el punto de vista de estos postulados y teoremas, tres tipos de relaciones “alfa”, “beta”, “gamma” (en este caso es posible establecer si estas relaciones satisfacen los postulados y teoremas y bajo qué condiciones).

Desde este punto de vista, se pueden, por ejemplo, considerar propiedades de las cosas como la dureza (más dura, más blanda, igual dureza), la secuencia de eventos en el tiempo (siguiente, anterior, simultánea), etc. En todos estos casos, los ratios “alfa”, “beta”, “gamma” reciben su propia interpretación específica. La tarea asociada con la selección de un conjunto de cuerpos que tendrían estas relaciones, así como la identificación de signos por los cuales se podrían caracterizar "alfa", "beta", "gamma": esta es la tarea de determinar los criterios de comparación. en un determinado conjunto de cuerpos (en la práctica, en algunos casos no es fácil de resolver). “Al establecer criterios de comparación transformamos multitud en magnitud”, escribió V.F. Kagán. Los objetos reales pueden verse desde la perspectiva de diferentes criterios. Así, un grupo de personas puede considerarse según un criterio como la secuencia de momentos de nacimiento de cada uno de sus miembros. Otro criterio es la posición relativa que adoptarán las cabezas de estas personas si se colocan una al lado de la otra en un mismo plano horizontal. En cada caso, el grupo se transformará en una cantidad que tiene un nombre correspondiente: edad, altura. En la práctica, una cantidad generalmente no denota el conjunto de elementos en sí, sino un nuevo concepto introducido para distinguir los criterios de comparación (el nombre de la cantidad). Surgen así los conceptos de “volumen”, “peso”, “tensión eléctrica”, etc. "Al mismo tiempo, para un matemático, el valor está completamente definido cuando se indican muchos elementos y criterios de comparación", señaló V.F. Kagán.

Este autor considera la serie natural de números como el ejemplo más importante de cantidad matemática. Desde el punto de vista de un criterio de comparación como la posición que ocupan los números en una serie (ocupan el mismo lugar, sigue ..., precede), esta serie satisface los postulados y, por tanto, representa una cantidad. Según los correspondientes criterios de comparación, un conjunto de fracciones también se convierte en una cantidad. Esto es según V.F. Kagan, el contenido de la teoría cuantitativa, que juega un papel vital en la base de todas las matemáticas.

Trabajando con cantidades (es recomendable registrar sus valores individuales en letras), se puede realizar un sistema complejo de transformaciones, estableciendo las dependencias de sus propiedades, pasando de la igualdad a la desigualdad, realizando sumas (y restas), y al sumar Puedes guiarte por las propiedades conmutativas y asociativas. Entonces, si se da la relación A = B, entonces al “resolver” problemas puedes guiarte por la relación B = A. En otro caso, si existen relaciones A>B, B=C, podemos concluir que A>C. Dado que para a>b existe un c tal que a=b+c, ​​entonces podemos encontrar la diferencia entre a y b (a-b=c), etc.

Todas estas transformaciones se pueden realizar en cuerpos físicos y otros objetos estableciendo criterios de comparación y la correspondencia de las relaciones seleccionadas con los postulados de comparación.

Los materiales anteriores nos permiten concluir que tanto los números naturales como los reales están igualmente fuertemente asociados con las cantidades y algunas de sus características esenciales. ¿Es posible hacer que éstas y otras propiedades sean objeto de estudio especial para el niño incluso antes de que se introduzca la forma numérica de describir la proporción de cantidades? Pueden servir como condiciones previas para la posterior introducción detallada del número y sus diferentes tipos, en particular para la propedéutica de fracciones, conceptos de coordenadas, funciones y otros conceptos que ya se encuentran en los grados inferiores.

¿Cuál podría ser el contenido de este apartado inicial? Se trata de conocimiento de los objetos físicos, criterios para su comparación, destacando una cantidad como tema de consideración matemática, conocimiento de los métodos de comparación y medios simbólicos para registrar sus resultados, con técnicas para analizar las propiedades generales de las cantidades. Este contenido debe desarrollarse en un programa de enseñanza relativamente detallado y, lo más importante, vincularse con aquellas acciones del niño a través de las cuales puede dominar este contenido (por supuesto, en la forma adecuada). Al mismo tiempo, es necesario establecer experimentalmente si los niños de 7 años pueden dominar este programa y cuál es la viabilidad de su introducción en la enseñanza posterior de las matemáticas en los grados de primaria con el fin de acercar la aritmética y el álgebra primaria. juntos.

Hasta ahora, nuestro razonamiento ha sido de naturaleza teórica y tenía como objetivo aclarar los requisitos matemáticos previos para construir una sección inicial del curso que presentaría a los niños los conceptos algebraicos básicos (antes de la introducción especial de los números). Las principales propiedades que caracterizan las cantidades se describieron anteriormente. Naturalmente, no tiene sentido que niños de 7 años den “sermones” sobre estas propiedades.

Era necesario encontrar una forma de trabajo infantil con material didáctico a través del cual pudieran, por un lado, identificar estas propiedades en las cosas que les rodean y, por otro, aprender a fijarlas con determinados símbolos y realizar un ejercicio elemental. análisis matemático de las relaciones identificadas.

En este sentido, el programa debe contener, en primer lugar, una indicación de aquellas propiedades de la materia que se van a dominar, en segundo lugar, una descripción de los materiales didácticos, en tercer lugar - y esto es lo principal desde un punto de vista psicológico - las características de aquellas acciones mediante las cuales el niño identifica ciertas propiedades de un objeto y las domina. Estos “componentes” forman el programa de enseñanza en el sentido propio de la palabra. Tiene sentido presentar las características específicas de este programa hipotético y sus “componentes” al describir el proceso de aprendizaje en sí y sus resultados.

Aquí está el resumen de este programa y sus temas clave.

Tema I. Nivelación y finalización de objetos (por longitud, volumen, peso, composición de piezas y otros parámetros).

Tareas prácticas de nivelación y adquisición. Identificación de características (criterios) mediante las cuales los mismos objetos pueden ser igualados o completados. Designación verbal de estas características (“por longitud”, por peso”, etc.).

Estas tareas se resuelven en el proceso de trabajo con material didáctico (barras, pesas, etc.) mediante:

Elegir el “mismo” artículo,

Reproducción (construcción) del “mismo” objeto según un parámetro seleccionado (especificado).

Tema II. Comparar objetos y fijar sus resultados mediante la fórmula de igualdad-desigualdad.

1. Tareas de comparar objetos y designar simbólicamente los resultados de esta acción.

2. Registro verbal de los resultados de la comparación (términos “más”, “menos”, “igual”). Caracteres escritos ">", "<", "=".

3. Indicación del resultado de la comparación con un dibujo (“copiando” y luego “abstracto” - líneas).

4. Designación de objetos comparados con letras. Registrar el resultado de la comparación usando las fórmulas: A=B; A<Б, А>B. Una letra como signo que fija un valor particular dado directamente de un objeto según un parámetro seleccionado (en peso, en volumen, etc.).

5. Imposibilidad de fijar el resultado de la comparación utilizando fórmulas diferentes. Elegir una fórmula específica para un resultado dado (disyunción completa de las relaciones mayor - menor - igual).

Tema III. Propiedades de la igualdad y la desigualdad.

1. Reversibilidad y reflexividad de la igualdad (si A=B, entonces B=A; A=A).

2. La conexión entre las relaciones “más” y “menos” en las desigualdades durante las “permutaciones” de las partes comparadas (si A>B, entonces B<А и т.п.).

3. Transitividad como propiedad de la igualdad y la desigualdad:

si A=B, si A>B, si A<Б,

a B=B, a B>B, a B<В,

entonces A=B; entonces A>B; entonces A<В.

4. Pasar de trabajar con material didáctico temático a evaluar las propiedades de igualdad y desigualdad en presencia de fórmulas únicamente literales. Resolver diversos problemas que requieran conocimiento de estas propiedades (por ejemplo, resolver problemas relacionados con la conexión de relaciones del tipo: dado que A>B y B=C; averiguar la relación entre A y C).

Tema IV. Operación de suma (resta).

1. Observaciones de cambios en objetos según uno u otro parámetro (por volumen, por peso, por duración, etc.). Ilustración de aumento y disminución con signos "+" y "-" (más y menos).

2. Violación de la igualdad previamente establecida con el correspondiente cambio en uno u otro de sus bandos. La transición de la igualdad a la desigualdad. Escribir fórmulas como:

si A=B, si A=B,

entonces A+K>B; luego A-K<Б.

3. Métodos de transición hacia una nueva igualdad (su “restauración” según el principio:

añadiendo "igual" a "igual" se obtiene "igual").

Trabajando con fórmulas como:

entonces A+K>B, pero A+K=B+K.

4. Resolver varios problemas que requieren el uso de la suma (resta) al pasar de la igualdad a la desigualdad y viceversa.

Tema V. Transición de la desigualdad tipo A<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Tareas que requieran dicha transición. La necesidad de determinar el valor de la cantidad en la que difieren los objetos comparados. La capacidad de escribir igualdad cuando se desconoce el valor específico de esta cantidad. Método de uso de x (x).

Escribir fórmulas como:

si un<Б, если А>B,

entonces A+x=B; entonces A-x=B.

2. Determinar el valor de x. Sustituyendo este valor en la fórmula (introducción entre paréntesis). Tipo de fórmulas

3. Resolver problemas (incluidos los “textuales argumentales”) que requieran realizar las operaciones especificadas.

Tema Vl. Suma-resta de igualdades-desigualdades. Sustitución.

1. Suma-resta de igualdades-desigualdades:

si A=B si A>B si A>B

y M=D, y K>E, y B=G, entonces A+M=B+D; entonces A+K>B+E; entonces A+-B>C+-G.

2. La capacidad de representar el valor de una cantidad como la suma de varios valores. Tipo de sustitución:

3. Resolver diversos problemas que requieren tener en cuenta las propiedades de las relaciones con las que los niños se familiarizaron en el proceso de trabajo (muchas tareas requieren consideración simultánea de varias propiedades, inteligencia para evaluar el significado de las fórmulas; las descripciones de los problemas y las soluciones se dan a continuación ).

Este es un programa diseñado para 3,5 a 4 meses. primer semestre del año. Como muestra la experiencia de la enseñanza experimental, con una planificación adecuada de las lecciones, la mejora de los métodos de enseñanza y una elección exitosa de los medios didácticos, los niños pueden absorber completamente todo el material presentado en el programa en un período de tiempo más corto (en 3 meses). . ¿Cómo va nuestro programa? En primer lugar, los niños se familiarizan con el método de obtención de un número que expresa la relación de un objeto en su conjunto (la misma cantidad representada por un objeto continuo o discreto) con su parte. Esta relación en sí y su valor específico se representan mediante la fórmula A/K = n, donde n es cualquier número entero, que generalmente expresa la relación a la “unidad” más cercana (solo con una selección especial de material o contando solo “cualitativamente” cosas individuales se puede obtener un número entero absolutamente exacto). Desde el principio, los niños se ven “obligados” a tener en cuenta que al medir o contar puede resultar un resto, cuya presencia debe estar especialmente estipulada. Este es el primer paso para el trabajo posterior con fracciones. Con esta forma de obtener un número, no es difícil llevar a los niños a describir un objeto con una fórmula como A = 5k (si la proporción fuera igual a “5”). Junto con la primera fórmula, abre oportunidades para un estudio especial de las dependencias entre el objeto, la base (medida) y el resultado del conteo (medición), que también sirve como propedéutica para la transición a números fraccionarios (en particular , para comprender la propiedad básica de una fracción). Otra línea de desarrollo del programa, implementada ya en primer grado, es la transferencia a números (enteros) de las propiedades básicas de la cantidad (disyunción igualdad-desigualdad, transitividad, invertibilidad) y las operaciones de la suma (conmutatividad, asociatividad, monotonicidad, la posibilidad de restar). En particular, al trabajar en la recta numérica, los niños pueden transformar rápidamente una secuencia de números en un valor (por ejemplo, evaluar claramente su transitividad haciendo notaciones de tipo 3).<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.) .

La familiaridad con algunas de las características llamadas “estructurales” de la igualdad permite a los niños abordar la conexión entre la suma y la resta de manera diferente. Así, al pasar de la desigualdad a la igualdad, se realizan las siguientes transformaciones: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; encuentre la relación entre los lados izquierdo y derecho de la fórmula para 8+1-4...6+3-2; en caso de desigualdad, lleve esta expresión a igualdad (primero debe poner un signo "menor que" y luego agregar un "dos" en el lado izquierdo).

Por lo tanto, tratar una serie numérica como una cantidad le permite formular las habilidades de suma y resta (y luego multiplicación y división) de una manera nueva.

2.1 La enseñanza en la escuela primaria en relación con las necesidades de la escuela secundaria

Como sabes, cuando se estudian matemáticas en 5º grado, una parte importante del tiempo se dedica a repetir lo que los niños deberían haber aprendido en la escuela primaria. Esta repetición en casi todos los libros de texto existentes requiere 1,5 trimestres académicos. Esta situación no surgió por casualidad. Su motivo es el descontento de los profesores de matemáticas de secundaria con la preparación de los egresados ​​de primaria. ¿A qué se debe esta situación? Para ello se analizaron los cinco libros de texto de matemáticas de primaria más famosos en la actualidad. Estos son los libros de texto de M.I. Moro, I.I. Arginskaya, N.B. Istomina, L.G. Peterson, , , .

El análisis de estos libros de texto reveló varios aspectos negativos, presentes en mayor o menor medida en cada uno de ellos y que afectan negativamente al aprendizaje posterior. En primer lugar, la asimilación del material que contienen se basa en gran medida en la memorización. Un ejemplo sorprendente de esto es memorizar la tabla de multiplicar. En la escuela primaria se dedica mucho esfuerzo y tiempo a memorizarlo. Pero durante las vacaciones de verano los niños la olvidan. La razón de un olvido tan rápido es el aprendizaje de memoria. Investigación de L.S. Vygotsky demostró que la memorización significativa es mucho más efectiva que la memorización mecánica, y experimentos posteriores demuestran de manera convincente que el material ingresa a la memoria a largo plazo solo si se recuerda como resultado del trabajo correspondiente a este material.

En los años 50 se encontró un método para dominar eficazmente la tabla de multiplicar. Consiste en organizar un determinado sistema de ejercicios, al realizarlos los propios niños construyen una tabla de multiplicar. Sin embargo, este método no está implementado en ninguno de los libros de texto revisados.

Otro punto negativo que afecta la educación superior es que en muchos casos la presentación del material en los libros de texto de matemáticas de la escuela primaria está estructurada de tal manera que en el futuro habrá que volver a capacitar a los niños, y esto, como sabemos, es mucho más difícil que enseñanza. En relación al estudio de material algebraico, un ejemplo sería la resolución de ecuaciones en la escuela primaria. En todos los libros de texto, la resolución de ecuaciones se basa en las reglas para encontrar componentes desconocidos de acciones.

Esto se hace de manera algo diferente sólo en el libro de texto de L.G. Peterson, donde, por ejemplo, la resolución de ecuaciones de multiplicación y división se basa en correlacionar los componentes de la ecuación con los lados y el área de un rectángulo y, en última instancia, también se reduce a reglas, pero estas son reglas para encontrar el lado o el área de un rectángulo. Mientras tanto, a partir del sexto grado, a los niños se les enseña un principio completamente diferente para resolver ecuaciones, basado en el uso de transformaciones idénticas. Esta necesidad de reaprendizaje lleva al hecho de que resolver ecuaciones sea una tarea bastante difícil para la mayoría de los niños.

Al analizar los libros de texto, también encontramos el hecho de que al presentar el material en ellos, a menudo hay una distorsión de los conceptos. Por ejemplo, la formulación de muchas definiciones se da en forma de implicaciones, mientras que por la lógica matemática se sabe que cualquier definición es una equivalencia. A modo de ilustración, podemos citar la definición de multiplicación del libro de texto de I.I. Arginskaya: "Si todos los términos de la suma son iguales entre sí, entonces la suma se puede reemplazar por otra acción: la multiplicación". (Todos los términos de la suma son iguales entre sí. Por lo tanto, la suma se puede reemplazar por la multiplicación). Como puede ver, esta es una implicación en su forma pura. Esta formulación no solo es analfabeta desde el punto de vista de las matemáticas, no solo forma incorrectamente en los niños una idea de lo que es una definición, sino que también es muy dañina porque en el futuro, por ejemplo, al construir En la tabla de multiplicar, los autores de libros de texto utilizan la sustitución del producto por la suma de términos idénticos, lo que la formulación presentada no permite. Un trabajo tan incorrecto con afirmaciones escritas en forma de implicaciones forma en los niños un estereotipo incorrecto, que será difícil de superar en las lecciones de geometría, cuando los niños no sentirán la diferencia entre una afirmación directa y otra inversa, entre el signo de una figura y su propiedad. El error de utilizar el teorema inverso al resolver problemas, cuando sólo se ha demostrado el teorema directo, es muy común.

Otro ejemplo de formación incorrecta de conceptos es trabajar con la relación de igualdad literal. Por ejemplo, las reglas para multiplicar un número por uno y un número por cero en todos los libros de texto se dan en forma de letras: a x 1 = a, a x 0 = 0. La relación de igualdad, como se sabe, es simétrica y, por lo tanto, tal una notación proporciona no sólo que cuando se multiplica por 1 se obtiene el mismo número, sino también que cualquier número puede representarse como el producto de este número por uno. Sin embargo, la formulación verbal propuesta en los libros de texto después de la entrada de la letra habla sólo de la primera posibilidad.

Los ejercicios sobre este tema también están destinados únicamente a practicar la sustitución del producto de un número por uno por este número. Todo esto lleva no sólo al hecho de que un punto muy importante no pasa a ser objeto de la conciencia de los niños: cualquier número se puede escribir en forma de producto, lo que en álgebra causará las correspondientes dificultades al trabajar con polinomios, sino también a la hecho de que los niños, en principio, no saben trabajar correctamente la relación de igualdad. Por ejemplo, cuando trabajan con la fórmula de diferencia de cuadrados, los niños, por regla general, hacen frente a la tarea de factorizar la diferencia de cuadrados. Sin embargo, aquellas tareas en las que se requiere la acción contraria causan dificultades en muchos casos. Otro ejemplo sorprendente de esta idea es el trabajo con la ley distributiva de la multiplicación relativa a la suma. También en este caso, a pesar de la redacción literal de la ley, tanto su formulación verbal como el sistema de ejercicios sólo entrenan la capacidad de abrir paréntesis. Como resultado, sacar el factor común entre corchetes causará importantes dificultades en el futuro.

Muy a menudo en la escuela primaria, incluso cuando una definición o regla está formulada correctamente, el aprendizaje se estimula no apoyándose en ellas, sino en algo completamente diferente. Por ejemplo, al estudiar la tabla de multiplicar por 2, todos los libros de texto revisados ​​muestran cómo construirla. En el libro de texto M.I. Moro lo hizo así:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Con este método de trabajo, los niños notarán muy rápidamente el patrón de la serie numérica resultante.

Después de 3-4 igualdades, dejarán de sumar de dos en dos y comenzarán a escribir el resultado basándose en el patrón observado. Así, el método de construcción de la tabla de multiplicar no se convertirá en tema de su conciencia, lo que resultará en su frágil asimilación.

Al estudiar material en la escuela primaria, se confía en acciones objetivas y claridad ilustrativa, lo que conduce a la formación del pensamiento empírico. Por supuesto, es casi imposible prescindir de esa visibilidad en la escuela primaria. Pero debería servir sólo como ilustración de tal o cual hecho, y no como base para la formación de un concepto.

El uso de claridad ilustrativa y acciones sustantivas en los libros de texto a menudo conduce a que el concepto mismo quede “confuso”. Por ejemplo, en métodos matemáticos para los grados 1-3 M.I. Moreau dice que los niños tienen que dividir organizando objetos en montones o haciendo un dibujo durante 30 lecciones. Tales acciones pierden la esencia de la operación de división como acción inversa de la multiplicación. Como resultado, la división se aprende con mayor dificultad y es mucho peor que otras operaciones aritméticas.

Cuando se enseñan matemáticas en la escuela primaria, no se habla de probar ninguna afirmación. Mientras tanto, recordando lo difícil que será enseñar la prueba en la escuela secundaria, es necesario comenzar a prepararse para esto ya en los grados de primaria. Además, esto se puede hacer con material bastante accesible para los escolares más pequeños. Dicho material, por ejemplo, pueden ser las reglas para dividir un número por 1, cero por un número y un número por sí mismo. Los niños son muy capaces de demostrarlos utilizando la definición de división y las reglas de multiplicación correspondientes.

El material de la escuela primaria también permite la propedéutica del álgebra: trabajar con letras y expresiones de letras. La mayoría de los libros de texto evitan el uso de letras. Como resultado, los niños trabajan casi exclusivamente con números durante cuatro años, después de lo cual, por supuesto, es muy difícil acostumbrarlos a trabajar con letras.

Sin embargo, es posible proporcionar propedéutica para tal trabajo, enseñar a los niños a sustituir un número en lugar de una letra en una expresión alfabética ya en la escuela primaria. Esto se hizo, por ejemplo, en el libro de texto de L.G. Peterson.

Hablando de las deficiencias de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria, que interfieren con el aprendizaje posterior, es necesario enfatizar especialmente el hecho de que a menudo el material de los libros de texto se presenta sin mirar cómo funcionará en el futuro. Un ejemplo muy llamativo de esto es la organización del aprendizaje de la multiplicación por 10, 100, 1000, etc. En todos los libros de texto revisados, la presentación de este material está estructurada de tal manera que conduce inevitablemente a la formación en la mente de los niños de la regla: “Para multiplicar un número por 10, 100, 1000, etc., es necesario para agregar tantos ceros al lado derecho como hay en 10, 100, 1000, etc." Esta regla es de las que se aprenden muy bien en la escuela primaria. Y esto conduce a una gran cantidad de errores al multiplicar fracciones decimales por unidades de dígitos enteros. Incluso después de recordar una nueva regla, los niños suelen sumar automáticamente cero al lado derecho del decimal al multiplicar por 10.

Además, cabe señalar que al multiplicar un número natural y al multiplicar una fracción decimal por unidades de dígitos enteros, sucede esencialmente lo mismo: cada dígito del número se desplaza hacia la derecha el número de dígitos correspondiente. Por tanto, no tiene sentido enseñar a los niños dos reglas separadas y completamente formales. Es mucho más útil enseñarles una forma general de proceder a la hora de resolver problemas similares.

2.2 Comparación (contraste) de conceptos en lecciones de matemáticas

El programa actual prevé el estudio en el primer grado de sólo dos operaciones del primer nivel: la suma y la resta. Limitar el primer año de estudio a sólo dos operaciones es, en esencia, una desviación de lo que ya se había logrado en los libros de texto anteriores a los actuales: ni un solo profesor se quejó entonces de que la multiplicación y la división, digamos, hasta 20, estuvieran más allá de 20. las capacidades de los alumnos de primer grado. También es digno de atención que en las escuelas de otros países, donde la educación comienza a los 6 años, el primer año escolar incluye el conocimiento inicial de las cuatro operaciones aritméticas.

Las matemáticas se basan, en primer lugar, en cuatro acciones, y cuanto antes se incluyan en la práctica del pensamiento del estudiante, más estable y fiable será el desarrollo posterior del curso de matemáticas.

Para ser justos, cabe señalar que en las primeras versiones de los libros de texto de M.I.Moro para el primer grado se proporcionaban multiplicación y división. Sin embargo, un accidente impidió el asunto: los autores de los nuevos programas se aferraron persistentemente a una "novedad": la cobertura en el primer grado de todos los casos de suma y resta hasta 100 (37+58 y 95-58, etc.). Pero como no había tiempo suficiente para estudiar un volumen tan amplio de información, se decidió trasladar la multiplicación y la división por completo al siguiente año de estudio.

Así, la fascinación por la linealidad del programa, es decir, una expansión puramente cuantitativa del conocimiento (las mismas acciones, pero con mayor número), consumió el tiempo que antes se dedicaba a la profundización cualitativa del conocimiento (estudiando las cuatro acciones dentro de dos docenas). Estudiar multiplicación y división ya en primer grado supone un salto cualitativo en el pensamiento, ya que permite dominar procesos de pensamiento condensados.

Según la tradición, el estudio de la suma y la resta hasta 20 solía ser un tema especial. La necesidad de este enfoque en la sistematización del conocimiento se ve incluso en el análisis lógico de la pregunta: el hecho es que la tabla completa para sumar es de un solo dígito. Los números se desarrollan dentro de dos decenas (0+1= 1, ...,9+9=18). Así, los números hasta 20 forman un sistema completo de relaciones en sus conexiones internas; de ahí que quede clara la conveniencia de preservar los “Veinte” como segundo tema integral (el primer tema son las acciones dentro de los primeros diez).

El caso que nos ocupa es precisamente uno en el que la concentricidad (preservar la segunda decena como tema especial) resulta más beneficiosa que la linealidad ("disolver" la segunda decena en el tema de los "Cien").

En el libro de texto de M.I. Moro, el estudio de los primeros diez se divide en dos secciones separadas: primero, se estudia la composición de los números de los primeros diez, y en el siguiente tema se consideran las acciones dentro de 10. En el libro de texto experimental de P.M. Erdnieva, por el contrario, llevó a cabo un estudio conjunto de la numeración, la composición de números y operaciones (suma y resta) dentro de 10 a la vez en una sección. Con este enfoque, se utiliza un estudio monográfico de los números, a saber: dentro del número considerado (por ejemplo, 3), se comprenden inmediatamente todas las "matemáticas monetarias": 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 - 1 = 2; 3 - 2 = 1.

Si, según los programas actuales, se asignaron 70 horas para estudiar los primeros diez, entonces en el caso de la formación experimental, todo este material se estudió en 50 horas (y además del programa, se consideraron algunos conceptos adicionales que no estaban en el libro de texto estable, pero estaban relacionados estructuralmente con el material principal).

La cuestión de la clasificación de las tareas y la denominación de sus tipos requiere una atención especial en la metodología de la formación inicial. Generaciones de metodólogos trabajaron para racionalizar el sistema de tareas escolares, crear sus tipos y variedades efectivos, hasta la selección de términos exitosos para los nombres de las tareas destinadas a estudiar en la escuela. Se sabe que al menos la mitad del tiempo lectivo en las lecciones de matemáticas se dedica a resolverlas. Las tareas escolares ciertamente necesitan sistematización y clasificación. Qué tipo (tipo) de tareas estudiar, cuándo estudiar, qué tipo de problemas estudiar en relación con el paso de una sección en particular es un objeto legítimo de estudio de la metodología y el contenido central de los programas. La importancia de esta circunstancia se desprende claramente de la historia de la metodología matemática.

Conclusión

Actualmente, han surgido condiciones bastante favorables para una mejora radical en la organización de la educación matemática en la escuela primaria:

1) la escuela primaria pasó de ser una escuela de tres años a una de cuatro años;

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