Hogar paises del mundo En primer lugar, debemos comprender el concepto de vector en sí. Para introducir la definición.

vector geométrico

Recordemos qué es un segmento. Introduzcamos la siguiente definición.

Definición 1

Un segmento es parte de una línea que tiene dos límites en forma de puntos.

Un segmento puede tener 2 direcciones. Para denotar la dirección, llamaremos a uno de los límites del segmento su comienzo y al otro límite su final. La dirección se indica desde el inicio hasta el final del segmento.

Definición 2

Un vector o segmento dirigido será un segmento del cual se sabe cuál de los límites del segmento se considera el comienzo y cuál es su final.

Designación: En dos letras: $\overline(AB)$ – (donde $A$ es su comienzo y $B$ es su final).

En una letra minúscula: $\overline(a)$ (Fig. 1).

Introduzcamos ahora directamente el concepto de longitudes de vectores.

Definición 3

La longitud del vector $\overline(a)$ será la longitud del segmento $a$.

Notación: $|\overline(a)|$

El concepto de longitud de un vector está asociado, por ejemplo, con un concepto como la igualdad de dos vectores.

Definición 4 Llamaremos iguales a dos vectores si cumplen dos condiciones: 1. Son codireccionales; 1. Sus longitudes son iguales (Fig. 2). Para definir vectores, ingrese un sistema de coordenadas y determine las coordenadas para el vector en el sistema ingresado. Como sabemos, cualquier vector se puede descomponer en la forma $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, donde $m$ y $n$ son

números reales

, y $\overline(i)$ y $\overline(j)$ son vectores unitarios en los ejes $Ox$ y $Oy$, respectivamente.

Definición 5

Llamaremos a los coeficientes de expansión del vector $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ las coordenadas de este vector en el sistema de coordenadas introducido. Matemáticamente:

$\overline(c)=(m,n)$

¿Cómo encontrar la longitud de un vector?

Para derivar una fórmula para calcular la longitud de un vector arbitrario dadas sus coordenadas, considere el siguiente problema:

Ejemplo 1

El vector $\overline(OA)$ que hemos construido será el vector de radio para el punto $A$, por lo tanto, tendrá coordenadas $(x,y)$, lo que significa

$=x$, $[OA_2]=y$

Ahora podemos encontrar fácilmente la longitud requerida usando el teorema de Pitágoras, obtenemos

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Respuesta: $\sqrt(x^2+y^2)$.

Conclusión: Para encontrar la longitud de un vector cuyas coordenadas están dadas, es necesario encontrar la raíz del cuadrado de la suma de estas coordenadas.

Tareas de muestra

Ejemplo 2

Encuentra la distancia entre los puntos $X$ y $Y$, que tienen las siguientes coordenadas: $(-1.5)$ y $(7.3)$, respectivamente.

Dos puntos cualesquiera se pueden asociar fácilmente con el concepto de vector. Considere, por ejemplo, el vector $\overline(XY)$. Como ya sabemos, las coordenadas de dicho vector se pueden encontrar restando de las coordenadas punto final($Y$) coordenadas correspondientes punto de partida($X$). lo entendemos

Finalmente pude tener en mis manos este extenso y tan esperado tema. geometría analítica . Primero un poco sobre esta sección matemáticas superiores…. Seguro que ahora recuerdas algún curso escolar de geometría con numerosos teoremas, sus demostraciones, dibujos, etc. Qué ocultar, un tema poco apreciado y a menudo oscuro para una proporción significativa de estudiantes. La geometría analítica, por extraño que parezca, puede parecer más interesante y accesible. ¿Qué significa el adjetivo “analítico”? Inmediatamente me vienen a la mente dos frases matemáticas cliché: “método de solución gráfica” y “ método analítico soluciones." Método gráfico , por supuesto, está asociado a la construcción de gráficos y dibujos. Analítico o método implica resolver problemas principalmente a través de operaciones algebraicas. En este sentido, el algoritmo para resolver casi todos los problemas de geometría analítica es simple y transparente; a menudo basta con aplicarlo con cuidado; fórmulas necesarias- ¡Y la respuesta está lista! No, por supuesto, no podremos hacer esto sin ningún dibujo y, además, para comprender mejor el material, intentaré citarlos más allá de lo necesario.

El nuevo curso de lecciones de geometría no pretende ser teóricamente completo, sino que se centra en la resolución de problemas prácticos. Incluiré en mis conferencias sólo lo que, desde mi punto de vista, es importante en términos prácticos. Si necesita ayuda más completa sobre alguna subsección, le recomiendo la siguiente literatura bastante accesible:

1) Algo con lo que, no es broma, varias generaciones están familiarizadas: Libro de texto escolar sobre geometría., autores – L.S. Atanasyan y compañía. Este colgador de vestuario escolar ya ha pasado por 20 (!) reimpresiones, lo cual, por supuesto, no es el límite.

2) Geometría en 2 volúmenes.. Autores L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Esto es literatura para escuela secundaria, necesitarás primer volumen. Las tareas que rara vez encuentro pueden perderse de mi vista y manual de entrenamiento le brindará una ayuda invaluable.

Ambos libros se pueden descargar gratis en línea. Además, puedes utilizar mi archivo con soluciones listas para usar, que se puede encontrar en la página Descargar ejemplos en matemáticas superiores.

Entre las herramientas, vuelvo a proponer mi propio desarrollo: paquete de software en geometría analítica, lo que simplificará enormemente la vida y ahorrará mucho tiempo.

Se supone que el lector está familiarizado con los conceptos básicos. conceptos geométricos y figuras: punto, recta, plano, triángulo, paralelogramo, paralelepípedo, cubo, etc. Conviene recordar algunos teoremas, al menos el teorema de Pitágoras, hola a los repetidores)

Y ahora consideraremos secuencialmente: el concepto de vector, acciones con vectores, coordenadas vectoriales. Recomiendo leer más el artículo más importante Producto escalar de vectores, y también Vector y producto mixto de vectores.. No será superfluo problema local– División de un segmento en una proporción determinada. Con base en la información anterior, puedes dominar ecuación de una recta en un plano Con ejemplos más simples de soluciones, lo que permitirá aprender a resolver problemas de geometría. Los siguientes artículos también son útiles: Ecuación de un avión en el espacio., Ecuaciones de una recta en el espacio, Problemas básicos sobre recta y plano, otros apartados de geometría analítica. Naturalmente, a lo largo del camino se tendrán en cuenta tareas estándar.

Concepto vectorial. vector libre

Primero, repitamos la definición escolar de vector. Vector llamado dirigido un segmento para el cual se indican su inicio y final:

EN en este caso el comienzo del segmento es el punto, el final del segmento es el punto. El vector en sí se denota por . Dirección es esencial, si mueves la flecha al otro extremo del segmento, obtienes un vector, y este ya está vector completamente diferente. Conviene identificar el concepto de vector con el movimiento de un cuerpo físico: debes estar de acuerdo, entrar por las puertas de un instituto o salir por las puertas de un instituto son cosas completamente diferentes.

Es conveniente considerar los puntos individuales de un plano o espacio como los llamados vector cero. Para tal vector, el final y el comienzo coinciden.

!!! Nota: Aquí y más, se puede suponer que los vectores se encuentran en el mismo plano o se puede suponer que están ubicados en el espacio; la esencia del material presentado es válida tanto para el plano como para el espacio.

Designaciones: Muchos notaron inmediatamente el palo sin flecha en la designación y dijeron: ¡también hay una flecha en la parte superior! Es cierto que puedes escribirlo con una flecha: , pero también es posible la entrada que usaré en el futuro. ¿Por qué? Aparentemente, este hábito surgió por razones prácticas: mis tiradores en la escuela y la universidad resultaron ser de tamaños demasiado diferentes y peludos. En la literatura educativa, a veces no se preocupan en absoluto por la escritura cuneiforme, sino que resaltan las letras en negrita: , lo que implica que se trata de un vector.

Eso fue estilística, y ahora sobre formas de escribir vectores:

1) Los vectores se pueden escribir con dos letras latinas mayúsculas:
etcétera. En este caso, la primera letra Necesariamente denota el punto inicial del vector y la segunda letra denota el punto final del vector.

2) Los vectores también se escriben en minúsculas latinas:
En particular, por brevedad, nuestro vector puede redesignarse como pequeño letra latina.

Longitud o módulo No vector cero se llama longitud del segmento. La longitud del vector cero es cero. Lógico.

La longitud del vector está indicada por el signo del módulo: ,

Aprenderemos a encontrar la longitud de un vector (o lo repetiremos, según quién) un poco más tarde.

Se trataba de información básica sobre vectores, familiar para todos los escolares. En geometría analítica, la llamada vector libre.

En pocas palabras: el vector se puede trazar desde cualquier punto:

Estamos acostumbrados a llamar iguales a estos vectores (la definición de vectores iguales se dará a continuación), pero puramente por punto matemático vista es el MISMO VECTOR o vector libre. ¿Por qué gratis? Porque durante la resolución de problemas, puede "adjuntar" tal o cual vector a CUALQUIER punto del plano o espacio que necesite. ¡Esta es una característica muy interesante! Imagine un vector de longitud y dirección arbitrarias: se puede "clonar" numero infinito tiempos y en cualquier punto del espacio, de hecho, existe EN TODAS PARTES. Hay un estudiante que dice: A todos los profesores les importa un carajo el vector. Después de todo, no es sólo una rima ingeniosa, todo es matemáticamente correcto: el vector también se puede adjuntar allí. Pero no se apresure a alegrarse, son los propios estudiantes los que a menudo sufren =)

Entonces, vector libre- Este muchos segmentos dirigidos idénticos. La definición escolar de vector, dada al comienzo del párrafo: “Un segmento dirigido se llama vector...” implica específico un segmento dirigido tomado de un conjunto dado, que está vinculado a un punto específico en el plano o espacio.

Cabe señalar que desde el punto de vista de la física, el concepto de vector libre en caso general es incorrecto y el punto de aplicación del vector importa. En efecto, un golpe directo de la misma fuerza en la nariz o en la frente, suficiente para desarrollar mi estúpido ejemplo, conlleva consecuencias diferentes. Sin embargo, no libre Los vectores también se encuentran en el curso de vyshmat (no vayas allí :)).

Acciones con vectores. Colinealidad de vectores

EN curso escolar geometría, se consideran una serie de acciones y reglas con vectores: suma según la regla del triángulo, suma según la regla del paralelogramo, regla de diferencia de vectores, multiplicación de un vector por un número, producto escalar de vectores, etc. Como punto de partida, repitamos dos reglas que son especialmente relevantes para resolver problemas de geometría analítica.

La regla para sumar vectores usando la regla del triángulo.

Considere dos vectores arbitrarios distintos de cero y:

Necesitas encontrar la suma de estos vectores. Debido a que todos los vectores se consideran gratuitos, apartamos el vector de fin vector:

La suma de los vectores es el vector. Para una mejor comprensión de la regla, es recomendable incluir significado fisico: dejar que un cuerpo viaje a lo largo de un vector y luego a lo largo de un vector. Entonces la suma de vectores es el vector del camino resultante con inicio en el punto de partida y final en el punto de llegada. Se formula una regla similar para la suma de cualquier número de vectores. Como dicen, el cuerpo puede seguir su camino muy inclinado en zigzag, o tal vez en piloto automático, a lo largo del vector resultante de la suma.

Por cierto, si el vector se pospone desde comenzó vector, entonces obtenemos el equivalente regla del paralelogramo suma de vectores.

Primero, sobre la colinealidad de los vectores. Los dos vectores se llaman colineal, si se encuentran en la misma recta o en rectas paralelas. En términos generales, estamos hablando de vectores paralelos. Pero en relación con ellos siempre se utiliza el adjetivo “colineal”.

Imaginemos dos vectores colineales. Si las flechas de estos vectores están dirigidas en la misma dirección, entonces dichos vectores se llaman codirigido. Si las flechas apuntan hacia lados diferentes, entonces los vectores serán direcciones opuestas.

Designaciones: la colinealidad de los vectores se escribe con el símbolo de paralelismo habitual: , mientras que es posible detallar: (los vectores están codirigidos) o (los vectores están dirigidos de manera opuesta).

La obra un vector distinto de cero en un número es un vector cuya longitud es igual a , y los vectores y están codirigidos y dirigidos de manera opuesta a .

La regla para multiplicar un vector por un número es más fácil de entender con la ayuda de una imagen:

Veámoslo con más detalle:

1) Dirección. Si el multiplicador es negativo, entonces el vector cambia de dirección al contrario.

2) Longitud. Si el multiplicador está contenido dentro de o , entonces la longitud del vector disminuye. Entonces, la longitud del vector es la mitad de la longitud del vector. Si el módulo del multiplicador es mayor que uno, entonces la longitud del vector aumenta a veces.

3) Tenga en cuenta que todos los vectores son colineales, mientras que un vector se expresa a través de otro, por ejemplo, . Lo contrario también es cierto: si un vector se puede expresar a través de otro, entonces dichos vectores son necesariamente colineales. De este modo: si multiplicamos un vector por un número obtenemos colineal(relativo al original) vector.

4) Los vectores están codirigidos. Son vectores y también codirigidos. Cualquier vector del primer grupo tiene dirección opuesta con respecto a cualquier vector del segundo grupo.

¿Qué vectores son iguales?

Dos vectores son iguales si tienen la misma dirección y la misma longitud. Tenga en cuenta que la codireccionalidad implica colinealidad de los vectores. La definición sería inexacta (redundante) si dijéramos: “Dos vectores son iguales si son colineales, codireccionales y tienen la misma longitud”.

Desde el punto de vista del concepto de vector libre, vectores iguales son el mismo vector, como se comenta en el párrafo anterior.

Coordenadas vectoriales en el plano y en el espacio.

El primer punto es considerar vectores en el plano. Representemos el cartesiano. sistema rectangular coordenadas y desde el origen de coordenadas posponemos soltero vectores y:

Vectores y ortogonal. Ortogonal = Perpendicular. Te recomiendo que te vayas acostumbrando poco a poco a los términos: en lugar de paralelismo y perpendicularidad, utilizamos las palabras respectivamente colinealidad Y ortogonalidad.

Designación: La ortogonalidad de los vectores se escribe con el símbolo de perpendicularidad habitual, por ejemplo: .

Los vectores considerados se llaman vectores de coordenadas o ortos. Estos vectores forman base en un avión. Lo que es una base, creo, es intuitivamente claro para muchos, más información detallada se puede encontrar en el artículo Dependencia lineal (no) de vectores. Base de vectores En palabras simples, la base y el origen de las coordenadas definen todo el sistema; esta es una especie de base sobre la cual hierve una vida geométrica plena y rica.

A veces la base construida se llama ortonormal base del plano: “orto” - debido a que los vectores de coordenadas son ortogonales, el adjetivo “normalizado” significa unidad, es decir las longitudes de los vectores base son iguales a uno.

Designación: la base suele estar escrita en paréntesis, dentro del cual V secuencia estricta Se enumeran los vectores base, por ejemplo: . Vectores de coordenadas esta prohibido arreglar de nuevo.

Cualquier vector de avion la única manera expresado como:
, Dónde - números que se llaman coordenadas vectoriales V sobre esta base. Y la expresión misma. llamado descomposición vectorialpor base .

Cena servida:

Comencemos con la primera letra del alfabeto: . El dibujo muestra claramente que al descomponer un vector en una base se utilizan las que acabamos de comentar:
1) la regla para multiplicar un vector por un número: y ;
2) suma de vectores según la regla del triángulo: .

Ahora traza mentalmente el vector desde cualquier otro punto del plano. Es bastante obvio que su decadencia “lo seguirá implacablemente”. Aquí está la libertad del vector: el vector "lleva todo consigo". Esta propiedad, por supuesto, es cierta para cualquier vector. Es curioso que los vectores básicos (libres) no tengan que trazarse desde el origen; uno se puede dibujar, por ejemplo, en la parte inferior izquierda y el otro en la parte superior derecha, ¡y nada cambiará! Es cierto que no es necesario que hagas esto, ya que el profesor también mostrará originalidad y te otorgará un "crédito" en un lugar inesperado.

Los vectores ilustran exactamente la regla para multiplicar un vector por un número, el vector es codireccional con el vector base, el vector está dirigido en dirección opuesta al vector base. Para estos vectores, una de las coordenadas es igual a cero, puedes escribirlo meticulosamente así:


Y los vectores básicos, por cierto, son así: (de hecho, se expresan a través de sí mismos).

Y finalmente: , . Por cierto, ¿qué es la resta de vectores y por qué no hablé de la regla de la resta? En algún lugar en álgebra lineal, no recuerdo dónde, noté que la resta es caso especial suma. Así, las expansiones de los vectores “de” y “e” se escriben fácilmente como una suma: . Reordena los términos y observa en el dibujo qué tan bien funciona la antigua suma de vectores según la regla del triángulo en estas situaciones.

La descomposición considerada de la forma. a veces llamado descomposición vectorial en el sistema ort(es decir, en un sistema de vectores unitarios). Pero esta no es la única forma de escribir un vector; la siguiente opción es común:

O con signo igual:

Los propios vectores de base se escriben de la siguiente manera: y

Es decir, las coordenadas del vector se indican entre paréntesis. En problemas prácticos, se utilizan las tres opciones de notación.

Dudé si hablar, pero lo diré de todos modos: las coordenadas vectoriales no se pueden reorganizar. Estrictamente en primer lugar anota la coordenada que corresponde vector unitario , estrictamente en segundo lugar anotamos la coordenada que corresponde al vector unitario. De hecho, y son dos vectores diferentes.

Descubrimos las coordenadas en el avión. Ahora veamos los vectores en el espacio tridimensional, ¡casi todo es igual aquí! Solo agregará una coordenada más. Es difícil hacer dibujos tridimensionales, así que me limitaré a un vector, que por simplicidad apartaré del origen:

Cualquier vector espacio tridimensional Poder la única manera expandirse sobre una base ortonormal:
, donde están las coordenadas del vector (número) en esta base.

Ejemplo de la imagen: . Veamos cómo funcionan aquí las reglas vectoriales. Primero, multiplica el vector por el número: (flecha roja), (flecha verde) y (flecha frambuesa). En segundo lugar, aquí hay un ejemplo de cómo sumar varios vectores, en este caso tres: . El vector suma comienza en el punto inicial de salida (inicio del vector) y termina en el punto final de llegada (fin del vector).

Todos los vectores del espacio tridimensional, naturalmente, también son libres; intenta apartar mentalmente el vector de cualquier otro punto, y comprenderás que su descomposición “permanecerá con él”.

Similar al estuche plano, además de escribir. Las versiones con soportes son muy utilizadas: ya sea .

Si a la expansión le falta uno (o dos) vectores de coordenadas, luego se colocan ceros en su lugar. Ejemplos:
vector (meticulosamente ) – escribamos ;
vector (meticulosamente ) – escribamos ;
vector (meticulosamente ) – escribamos .

Los vectores base se escriben de la siguiente manera:

Este, quizás, sea todo el conocimiento teórico mínimo necesario para resolver problemas de geometría analítica. Puede haber muchos términos y definiciones, por lo que recomiendo que los principiantes vuelvan a leer y comprender esta información de nuevo. Y será útil para cualquier lector consultar lección básica para una mejor asimilación del material. Colinealidad, ortogonalidad, base ortonormal, descomposición vectorial: estos y otros conceptos se utilizarán con frecuencia en el futuro. Me gustaría señalar que los materiales del sitio no son suficientes para aprobar una prueba teórica o un coloquio sobre geometría, ya que cifro cuidadosamente todos los teoremas (y sin pruebas), en detrimento de estilo científico presentación, pero una ventaja para su comprensión del tema. Para recibir información teórica detallada, inclínese ante el profesor Atanasyan.

Y pasamos a la parte práctica:

Los problemas más simples de geometría analítica.
Acciones con vectores en coordenadas.

Es muy recomendable aprender a resolver las tareas que se considerarán de forma totalmente automática y las fórmulas. memorizar, ni siquiera lo recuerdes específicamente, ellos mismos se recordarán =) Esto es muy importante, porque en lo más simple ejemplos elementales Se basan otros problemas de geometría analítica, y será molesto gastar tiempo extra por comer peones. No es necesario abrocharse los botones superiores de la camisa; muchas cosas le resultan familiares en la escuela.

La presentación del material seguirá un curso paralelo, tanto para el avión como para el espacio. Porque todas las fórmulas... las verás por ti mismo.

¿Cómo encontrar un vector a partir de dos puntos?

Si se dan dos puntos del plano y, entonces el vector tiene las siguientes coordenadas:

Si se dan dos puntos en el espacio y, entonces el vector tiene las siguientes coordenadas:

Eso es, desde las coordenadas del final del vector. necesitas restar las coordenadas correspondientes comienzo del vector.

Ejercicio: Para los mismos puntos, escribe las fórmulas para encontrar las coordenadas del vector. Fórmulas al final de la lección.

¿Cómo encontrar la longitud de un vector?

Dados dos puntos del avión y . Encuentra coordenadas vectoriales

Solución: según la fórmula adecuada:

Alternativamente, se podría utilizar la siguiente entrada:

Los estetas decidirán esto:

Personalmente, estoy acostumbrado a la primera versión de la grabación.

Respuesta:

Según la condición, no fue necesario construir un dibujo (lo cual es típico de los problemas de geometría analítica), pero para aclarar algunos puntos para los tontos, no seré perezoso:

Definitivamente necesitas entender diferencia entre coordenadas de puntos y coordenadas vectoriales:

Coordenadas de puntos– estas son coordenadas ordinarias en un sistema de coordenadas rectangular. poner puntos en plano de coordenadas Creo que todos pueden hacerlo desde 5to-6to grado. Cada punto tiene un lugar estricto en el avión y no se pueden mover a ningún lado.

Las coordenadas del vector.– esta es su expansión según la base, en este caso. Cualquier vector es libre, por lo que si es necesario, podemos alejarlo fácilmente de algún otro punto del plano. Es interesante que para los vectores no es necesario construir ejes ni un sistema de coordenadas rectangular, solo se necesita una base, en este caso una base ortonormal del plano;

Los registros de coordenadas de puntos y coordenadas de vectores parecen ser similares: , y significado de coordenadas absolutamente diferente, y usted debe ser muy consciente de esta diferencia. esta diferencia Por supuesto, esto también es válido para el espacio.

Damas y caballeros, llenémonos las manos:

Ejemplo 2

a) Puntos y se dan. Encuentra vectores y .
b) Se dan puntos Y . Encuentra vectores y .
c) Puntos y se dan. Encuentra vectores y .
d) Se otorgan puntos. encontrar vectores .

Quizás eso sea suficiente. Estos son ejemplos para decisión independiente, intenta no descuidarlos, dará sus frutos ;-). No es necesario hacer dibujos. Soluciones y respuestas al final de la lección.

¿Qué es importante a la hora de resolver problemas de geometría analítica? Es importante tener MUCHO CUIDADO para evitar cometer el magistral error de “dos más dos es igual a cero”. Pido disculpas de inmediato si cometí un error =)

¿Cómo encontrar la longitud de un segmento?

La longitud, como ya se señaló, está indicada por el signo del módulo.

Si se dan dos puntos del plano y , entonces la longitud del segmento se puede calcular usando la fórmula

Si se dan dos puntos en el espacio y, entonces la longitud del segmento se puede calcular usando la fórmula

Nota: Las fórmulas seguirán siendo correctas si se intercambian las coordenadas correspondientes: y , pero la primera opción es más estándar

Ejemplo 3

Solución: según la fórmula adecuada:

Respuesta:

Para mayor claridad, haré un dibujo.

Segmento – esto no es un vector y, por supuesto, no puedes moverlo a ningún lado. Además, si dibujas a escala: 1 unidad. = 1 cm (dos celdas de cuaderno), entonces la respuesta resultante se puede verificar con una regla normal midiendo directamente la longitud del segmento.

Sí, la solución es breve, pero contiene un par más. puntos importantes que me gustaría aclarar:

En primer lugar, en la respuesta ponemos la dimensión: “unidades”. La condición no dice QUÉ es, milímetros, centímetros, metros o kilómetros. Por lo tanto, una solución matemáticamente correcta sería la formulación general: "unidades", abreviada como "unidades".

En segundo lugar, repitamos el material escolar, que es útil no sólo para la tarea considerada:

tenga en cuenta técnica importante – quitando el multiplicador de debajo de la raíz. Como resultado de los cálculos, tenemos un resultado y un buen estilo matemático implica eliminar el factor de debajo de la raíz (si es posible). Con más detalle, el proceso se ve así: . Por supuesto, dejar la respuesta como está no sería un error, pero sí sería sin duda un defecto y un argumento de peso para las objeciones por parte del profesor.

Aquí hay otros casos comunes:

A menudo hay suficiente en la raíz. gran número, Por ejemplo . ¿Qué hacer en tales casos? Con la calculadora comprobamos si el número es divisible por 4: . Sí, estaba completamente dividido, así: . ¿O tal vez el número se pueda volver a dividir entre 4? . De este modo: . en el numero último dígito Es impar, por lo que dividir entre 4 por tercera vez obviamente no funcionará. Intentemos dividir por nueve: . Como resultado:
Listo.

Conclusión: Si debajo de la raíz obtenemos un número que no se puede extraer en su totalidad, intentamos eliminar el factor de debajo de la raíz; usando una calculadora verificamos si el número es divisible por: 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc

Durante la decisión varias tareas Las raíces son comunes, siempre trate de extraer factores de debajo de la raíz para evitar una calificación más baja y problemas innecesarios al finalizar sus soluciones basadas en los comentarios del maestro.

Repitamos también raíces cuadradas y otras potencias:

Reglas para acciones con grados en vista general se puede encontrar en un libro de texto escolar sobre álgebra, pero creo que por los ejemplos dados todo o casi todo ya está claro.

Tarea para solución independiente con un segmento en el espacio:

Ejemplo 4

Puntos y se dan. Encuentra la longitud del segmento.

La solución y la respuesta están al final de la lección.

¿Cómo encontrar la longitud de un vector?

Si se da un vector plano, su longitud se calcula mediante la fórmula.

Si se da un vector espacial, entonces su longitud se calcula mediante la fórmula .

Suma de vectores. Longitud del vector. Queridos amigos, dentro de los tipos de exámenes de espalda existe un grupo de problemas con vectores. Las tareas son bastante amplias (es importante saber fundamentos teóricos). La mayoría se resuelven de forma oral. Las preguntas están relacionadas con encontrar la longitud de un vector, la suma (diferencia) de vectores y el producto escalar. También existen muchas tareas en las que es necesario realizar acciones con coordenadas vectoriales.

La teoría que rodea el tema de los vectores no es complicada y debe entenderse bien. En este artículo analizaremos problemas relacionados con encontrar la longitud de un vector, así como la suma (diferencia) de vectores. Algunos puntos teóricos:

Concepto vectorial

Un vector es un segmento dirigido.

Todos los vectores que tienen la misma dirección y tienen la misma longitud son iguales.

*¡Los cuatro vectores presentados arriba son iguales!

Es decir, si utilizamos transferencia paralela movemos el vector que nos dan, siempre obtendremos un vector igual al original. Por tanto, puede haber un número infinito de vectores iguales.

Notación vectorial

El vector se puede denotar en latín. en mayúsculas, Por ejemplo:

Con esta forma de notación, primero se escribe la letra que indica el comienzo del vector y luego la letra que indica el final del vector.

Otro vector se indica con una letra. alfabeto latino(capital):

También es posible la designación sin flechas:

La suma de dos vectores AB y BC será el vector AC.

Se escribe como AB + BC = AC.

Esta regla se llama - regla del triangulo.

Es decir, si tenemos dos vectores, llamémoslos condicionalmente (1) y (2), y el final del vector (1) coincide con el comienzo del vector (2), entonces la suma de estos vectores será un vector cuyo el comienzo coincide con el comienzo del vector (1) y el final coincide con el final del vector (2).

Conclusión: si tenemos dos vectores en un plano, siempre podemos encontrar su suma. Usando la traducción paralela, puedes mover cualquiera de estos vectores y conectar su comienzo con el final de otro. Por ejemplo:

Movamos el vector b, o en otras palabras, construyamos uno igual:

¿Cómo se encuentra la suma de varios vectores? Por el mismo principio:

* * *

regla del paralelogramo

Esta regla es consecuencia de lo anterior.

Para vectores con comienzo común su suma está representada por la diagonal de un paralelogramo construido sobre estos vectores.

Construyamos un vector igual al vector b para que su inicio coincida con el final del vector a, y podemos construir un vector que será su suma:

Un poquito más información importante necesario para resolver problemas.

Un vector de igual longitud que el original, pero de dirección opuesta, también se denota pero tiene el signo opuesto:

Esta información es extremadamente útil para resolver problemas que implican encontrar la diferencia entre vectores. Como puede ver, la diferencia vectorial es la misma suma en forma modificada.

Dejemos que se den dos vectores, encuentre su diferencia:

Construimos un vector opuesto al vector by encontramos la diferencia.

Coordenadas vectoriales

Para encontrar las coordenadas de un vector, debes restar las coordenadas correspondientes del principio de las coordenadas finales:

Es decir, las coordenadas vectoriales son un par de números.

Si

Y las coordenadas de los vectores se ven así:

Entonces c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

Si

Entonces c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2

módulo vectorial

El módulo de un vector es su longitud, determinada por la fórmula:

Fórmula para determinar la longitud de un vector si se conocen las coordenadas de su inicio y final:

Consideremos las tareas:

Los dos lados del rectángulo ABCD son iguales a 6 y 8. Las diagonales se cruzan en el punto O. Calcula la longitud de la diferencia entre los vectores AO y BO.

Encontremos el vector que será el resultado de AO–VO:

AO –VO =AO +(–VO )=AB

Es decir, la diferencia entre los vectores AO y VO será un vector AB. Y su longitud es ocho.

Diagonales de un rombo ABCD son iguales a 12 y 16. Encuentra la longitud del vector AB + AD.

Encontremos un vector que será la suma de los vectores AD y AB BC es igual al vector AD. Entonces AB +AD =AB +BC =AC

Las diagonales de un rombo ABCD se cortan en el punto oh y son iguales a 12 y 16. Encuentra la longitud del vector AO + BO.

Encontremos un vector que será la suma de los vectores AO y VO VO es igual al vector OD, lo que significa

Según el teorema de Pitágoras:

Las diagonales del rombo ABCD se cortan en el punto O y son iguales a 12 y 16. Calcula la longitud del vector AO – BO.

Encontremos el vector que será el resultado de AO–VO:

Según el teorema de Pitágoras:

Lados correctos triangulo abc son iguales a 3.

Encuentra la longitud del vector AB –AC.

Encontremos el resultado de la diferencia de vectores:

27663. Encuentra la longitud del vector a (6;8).

27664. Encuentra el cuadrado de la longitud del vector AB.

Vectores. Acciones con vectores. En este artículo hablaremos sobre qué es un vector, cómo encontrar su longitud y cómo multiplicar un vector por un número, así como también cómo encontrar la suma, la diferencia y el producto escalar de dos vectores.

Como siempre, un poco de la teoría más necesaria.

Un vector es un segmento dirigido, es decir, un segmento que tiene un principio y un final:

Aquí el punto A es el comienzo del vector y el punto B es su final.

Un vector tiene dos parámetros: su longitud y dirección.

La longitud de un vector es la longitud del segmento que conecta el principio y el final del vector. La longitud del vector se denota

Se dice que dos vectores son iguales., si tienen la misma longitud y están alineados.

Los dos vectores se llaman codirigido, si se encuentran en líneas paralelas y se dirigen en la misma dirección: vectores y codireccionales:

Dos vectores se llaman de dirección opuesta si se encuentran en líneas paralelas y se dirigen en direcciones opuestas: vectores y , así como y se dirigen en direcciones opuestas:

Los vectores que se encuentran en líneas paralelas se llaman colineales: vectores y son colineales.

Producto de un vector un número se llama vector codireccional al vector si title="k>0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :!}

A sumar dos vectores y necesitas conectar el principio del vector con el final del vector. El vector suma conecta el principio del vector con el final del vector:

Esta regla de suma de vectores se llama regla del triangulo.

Para sumar dos vectores por regla del paralelogramo, debes posponer los vectores desde un punto y construirlos hasta formar un paralelogramo. El vector suma conecta el punto inicial de los vectores con ángulo opuesto paralelogramo:

Diferencia de dos vectores se determina mediante la suma: la diferencia de vectores y se llama tal vector, que en suma con el vector dará el vector:

De esto se desprende regla para encontrar la diferencia de dos vectores: para restar un vector de un vector, debes trazar estos vectores desde un punto. El vector diferencia conecta el final del vector con el final del vector (es decir, el final del sustraendo con el final del minuendo):

para encontrar ángulo entre vector y vector, necesitas trazar estos vectores desde un punto. El ángulo formado por los rayos en los que se encuentran los vectores se llama ángulo entre los vectores:

El producto escalar de dos vectores es el número. igual al producto las longitudes de estos vectores por el coseno del ángulo entre ellos:

Te sugiero que resuelvas los problemas de banco abierto tareas para y luego verifique su solución con VIDEO TUTORIALES:

1. Tarea 4 (Nº 27709)

Dos lados de un rectángulo ABCD son iguales a 6 y 8. Encuentra la longitud de la diferencia entre los vectores y .

2. Tarea 4 (Nº 27710)

Dos lados de un rectángulo ABCD son iguales a 6 y 8. Encuentra el producto escalar de los vectores y . (dibujo de la tarea anterior).

3. Tarea 4 (Nº 27711)

Dos lados de un rectángulo ABCD oh. Encuentra la longitud de la suma de los vectores y .

4. Tarea 4 (Nº 27712)

Dos lados de un rectángulo ABCD son iguales a 6 y 8. Las diagonales se cruzan en el punto oh. Encuentra la longitud de la diferencia entre los vectores y . (dibujo de la tarea anterior).

5. Tarea 4 (Nº 27713)

Diagonales de un rombo ABCD son iguales a 12 y 16. Encuentra la longitud del vector.

6. Tarea 4 (Nº 27714)

Diagonales de un rombo ABCD son iguales a 12 y 16. Encuentra la longitud del vector +.

7.Tarea 4 (No. 27715)

Diagonales de un rombo ABCD son iguales a 12 y 16. Encuentre la longitud del vector - .(dibujo del problema anterior).

8.Tarea 4 (No. 27716)

Diagonales de un rombo ABCD son iguales a 12 y 16. Encuentra la longitud del vector - .

9 . Tarea 4 (Nº 27717)

Diagonales de un rombo ABCD se cruzan en un punto oh y son iguales a 12 y 16. Encuentra la longitud del vector +.

10. Tarea 4 (Nº 27718)

Diagonales de un rombo ABCD se cruzan en un punto oh y son iguales a 12 y 16. Encuentre la longitud del vector - .(dibujo del problema anterior).

11.Tarea 4 (Nº 27719)

Diagonales de un rombo ABCD se cruzan en un punto oh y son iguales a 12 y 16. Encuentra el producto escalar de los vectores y (basado en el problema anterior).

12. Tarea 4 (Nº 27720)

abecedario son iguales Encuentra la longitud del vector +.

13. Tarea 4 (Nº 27721)

Lados de un triángulo regular abecedario son iguales a 3. Encuentra la longitud del vector - (dibujo del problema anterior).

14. Tarea 4 (Nº 27722)

Lados de un triángulo regular abecedario son iguales a 3. Encuentra el producto escalar de los vectores y . (dibujo de la tarea anterior).

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Coordenadas y vectores. guía completa (2019)

En este artículo, comenzaremos a discutir una “varita mágica” que le permitirá reducir muchos problemas de geometría a aritmética simple. Este “palo” puede hacerte la vida mucho más fácil, especialmente cuando no estás seguro de cómo construir figuras espaciales, secciones, etc. Todo esto requiere cierta imaginación y habilidad práctica. El método que comenzaremos a considerar aquí le permitirá abstraerse casi por completo de cualquier tipo de construcciones geométricas y razonamiento. El método se llama "método de coordenadas". En este artículo consideraremos las siguientes preguntas:

1. Plano de coordenadas
2. Puntos y vectores en el plano.
3. Construyendo un vector a partir de dos puntos.
4. Longitud del vector (distancia entre dos puntos)​
5. Coordenadas de la mitad del segmento.
6. Producto escalar de vectores
7. Ángulo entre dos vectores

Creo que ya has adivinado por qué el método de coordenadas se llama así. Así es, recibió ese nombre porque no opera con objetos geométricos, sino con sus características numéricas(coordenadas). Y la propia transformación, que nos permite pasar de la geometría al álgebra, consiste en introducir un sistema de coordenadas. Si la figura original era plana, entonces las coordenadas son bidimensionales, y si la figura es tridimensional, entonces las coordenadas son tridimensionales. En este artículo consideraremos sólo el caso bidimensional. Y el objetivo principal del artículo es enseñarte cómo utilizar algunos tecnicas basicas método de coordenadas (a veces resultan útiles para resolver problemas de planimetría en la Parte B del Examen Estatal Unificado). Las siguientes dos secciones sobre este tema están dedicadas a una discusión de métodos para resolver el problema C2 (el problema de la estereometría).

¿Dónde sería lógico empezar a discutir el método de coordenadas? Probablemente del concepto de sistema de coordenadas. Recuerda cuando la conociste por primera vez. Me parece que en séptimo grado, cuando te enteraste de la existencia función lineal, Por ejemplo. Déjame recordarte que lo construiste punto por punto. ¿Te acuerdas? Elegiste un número arbitrario, lo sustituiste en la fórmula y lo calculaste de esa manera. Por ejemplo, si, entonces, si, entonces, etc. ¿Qué obtuviste al final? Y recibiste puntos con coordenadas: y. A continuación, dibujó una "cruz" (sistema de coordenadas), seleccionó una escala en ella (cuántas celdas tendrá segmento único) y marcaste los puntos que obtuviste en él, que luego conectaste con una línea recta, la recta resultante es la gráfica de la función;

Aquí hay algunos puntos que conviene explicarle con un poco más de detalle:

1. Eliges un solo segmento por razones de comodidad, para que todo encaje de forma hermosa y compacta en el dibujo.

2. Se acepta que el eje va de izquierda a derecha y el eje va de abajo hacia arriba.

3. Se cruzan en ángulos rectos y el punto de su intersección se llama origen. Está indicado por una letra.

4. Al escribir las coordenadas de un punto, por ejemplo, a la izquierda entre paréntesis está la coordenada del punto a lo largo del eje, y a la derecha, a lo largo del eje. En particular, simplemente significa que en el momento

5. Para fijar cualquier punto en eje de coordenadas, es necesario indicar sus coordenadas (2 números)

6. Para cualquier punto que se encuentre sobre el eje,

7. Para cualquier punto que se encuentre sobre el eje,

8. El eje se llama eje x.

9. El eje se llama eje y.

Ahora demos el siguiente paso: marque dos puntos. Conectemos estos dos puntos con un segmento. Y pondremos la flecha como si estuviéramos dibujando un segmento de punto a punto: es decir, ¡haremos nuestro segmento dirigido!

¿Recuerdas cómo se llama otro segmento direccional? Así es, ¡se llama vector!

Entonces, si conectamos punto con punto, y el comienzo será el punto A, y el final será el punto B, entonces obtenemos un vector. Tú también hiciste esta construcción en octavo grado, ¿recuerdas?

Resulta que los vectores, como los puntos, se pueden denotar con dos números: estos números se llaman coordenadas vectoriales. Pregunta: ¿Crees que nos basta con conocer las coordenadas del principio y del final de un vector para encontrar sus coordenadas? ¡Resulta que sí! Y esto se hace de forma muy sencilla:

Así, como en un vector el punto es el principio y el punto es el final, el vector tiene las siguientes coordenadas:

Por ejemplo, si, entonces las coordenadas del vector.

Ahora hagamos lo contrario, encontremos las coordenadas del vector. ¿Qué necesitamos cambiar para esto? Sí, necesitas intercambiar el principio y el final: ahora el comienzo del vector estará en el punto y el final estará en el punto. Entonces:

Mire con atención, ¿cuál es la diferencia entre vectores y? Su única diferencia son los signos en las coordenadas. Son opuestos. Este hecho suele escribirse así:

A veces, si no se indica específicamente qué punto es el comienzo del vector y cuál es el final, entonces los vectores no se indican con dos letras mayúsculas, sino con una letra minúscula, por ejemplo: , etc.

ahora un poco práctica usted mismo y encuentre las coordenadas de los siguientes vectores:

Examen:

Ahora resuelve un problema un poco más difícil:

Un vector que comienza en un punto tiene un co-o-di-na-you. Encuentra los puntos abs-cis-su.

De todos modos es bastante prosaico: sean las coordenadas del punto. Entonces

Compilé el sistema basándome en la definición de qué son las coordenadas vectoriales. Entonces el punto tiene coordenadas. Nos interesa la abscisa. Entonces

Respuesta:

¿Qué más puedes hacer con los vectores? Sí, casi todo es igual que con números ordinarios(excepto que no puedes dividir, pero puedes multiplicar de dos maneras, una de las cuales discutiremos aquí un poco más adelante)

1. Los vectores se pueden sumar entre sí.
2. Los vectores se pueden restar unos de otros.
3. Los vectores se pueden multiplicar (o dividir) por un número arbitrario distinto de cero
4. Los vectores se pueden multiplicar entre sí.

Todas estas operaciones tienen un objetivo muy claro. representación geométrica. Por ejemplo, la regla del triángulo (o paralelogramo) para la suma y la resta:

Un vector se estira, se contrae o cambia de dirección cuando se multiplica o divide por un número:

Sin embargo, aquí nos interesará la cuestión de qué sucede con las coordenadas.

1. Al sumar (restar) dos vectores, sumamos (restamos) sus coordenadas elemento por elemento. Eso es:

2. Al multiplicar (dividir) un vector por un número, todas sus coordenadas se multiplican (dividen) por este número:

Por ejemplo:

· Calcula la cantidad de co-or-di-nat siglo-a-ra.

Primero encontremos las coordenadas de cada uno de los vectores. Ambos tienen el mismo origen: el punto de origen. Sus fines son diferentes. Entonces, . Ahora calculemos las coordenadas del vector. Entonces la suma de las coordenadas del vector resultante es igual.

Respuesta:

Ahora resuelva usted mismo el siguiente problema:

· Encuentra la suma de coordenadas vectoriales.

Comprobamos:

Consideremos ahora el siguiente problema: tenemos dos puntos en el plano coordenado. ¿Cómo encontrar la distancia entre ellos? Dejemos el primer punto y el segundo. Denotemos la distancia entre ellos por. Hagamos el siguiente dibujo para mayor claridad:

¿Qué he hecho? Primero que nada, conecté puntos y,a también desde un punto tracé una recta paralela al eje, y desde un punto tracé una recta paralela al eje. ¿Se cruzaron en algún punto formando una figura notable? ¿Qué tiene de especial ella? Sí, tú y yo sabemos casi todo sobre triangulo rectángulo. Bueno, seguro que el teorema de Pitágoras. El segmento requerido es la hipotenusa de este triángulo y los segmentos son los catetos. ¿Cuáles son las coordenadas del punto? Sí, son fáciles de encontrar en la imagen: dado que los segmentos son paralelos a los ejes y, respectivamente, sus longitudes son fáciles de encontrar: si denotamos las longitudes de los segmentos por, respectivamente, entonces

Ahora usemos el teorema de Pitágoras. Conocemos las longitudes de los catetos, encontraremos la hipotenusa:

Por tanto, la distancia entre dos puntos es la raíz de la suma de las diferencias al cuadrado de las coordenadas. O bien, la distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que los conecta.

Es fácil ver que la distancia entre puntos no depende de la dirección. Entonces:

De aquí sacamos tres conclusiones:

Practiquemos un poco sobre cómo calcular la distancia entre dos puntos:

Por ejemplo, si, entonces la distancia entre y es igual a

O vayamos de otro modo: encuentra las coordenadas del vector.

Y encuentra la longitud del vector:

Como puedes ver, ¡es lo mismo!

Ahora practica un poco tú mismo:

Tarea: encuentra la distancia entre los puntos indicados:

Comprobamos:

Aquí hay un par de problemas más que usan la misma fórmula, aunque suenan un poco diferentes:

1. Encuentra el cuadrado de la longitud del párpado.

2. Encuentra el cuadrado de la longitud del párpado.

1. Y esto es para prestar atención) Ya hemos encontrado las coordenadas de los vectores anteriormente: . Entonces el vector tiene coordenadas. El cuadrado de su longitud será igual a:

2. Encuentra las coordenadas del vector.

Entonces el cuadrado de su longitud es

Nada complicado, ¿verdad? Aritmética simple, nada más.

Los siguientes problemas no se pueden clasificar sin ambigüedades; erudición general y la capacidad de hacer dibujos sencillos.

1. Encuentra el seno del ángulo del corte que conecta el punto con el eje de abscisas.

Y

¿Cómo vamos a proceder aquí? Necesitamos encontrar el seno del ángulo entre y el eje. ¿Dónde podemos buscar el seno? Así es, en un triángulo rectángulo. Entonces, ¿qué debemos hacer? ¡Construye este triángulo!

Dado que las coordenadas del punto son y, entonces el segmento es igual a y el segmento. Necesitamos encontrar el seno del ángulo. Déjame recordarte que el seno es una razón. pierna opuesta a la hipotenusa, entonces

¿Qué nos queda por hacer? Encuentra la hipotenusa. Puedes hacer esto de dos maneras: usando el teorema de Pitágoras (¡los catetos se conocen!) o usando la fórmula para la distancia entre dos puntos (de hecho, ¡lo mismo que el primer método!). Voy por el segundo camino:

Respuesta:

La siguiente tarea te parecerá aún más fácil. Ella está en las coordenadas del punto.

Tarea 2. Desde el punto en que el per-pen-di-ku-lyar desciende hasta el eje ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Hagamos un dibujo:

La base de una perpendicular es el punto en el que se cruza con el eje x (eje), para mí este es un punto. La figura muestra que tiene coordenadas: . Nos interesa la abscisa, es decir, el componente "x". Ella es igual.

Respuesta: .

Tarea 3. En las condiciones del problema anterior, encuentre la suma de las distancias desde el punto a los ejes coordenados.

La tarea es generalmente elemental si sabes cuál es la distancia de un punto a los ejes. ¿Sabes? Espero, pero aún así te lo recordaré:

Entonces, en mi dibujo de arriba, ¿ya he dibujado una de esas perpendiculares? ¿En qué eje está? Al eje. ¿Y cuál es su longitud entonces? Ella es igual. Ahora dibuja tú mismo una perpendicular al eje y encuentra su longitud. Será igual ¿no? Entonces su suma es igual.

Respuesta: .

Tarea 4. En las condiciones de la tarea 2, encuentre la ordenada del punto, punto simétrico respecto al eje de abscisas.

Creo que intuitivamente tienes claro qué es la simetría. Muchos objetos lo tienen: muchos edificios, mesas, aviones, muchos formas geométricas: bola, cilindro, cuadrado, rombo, etc. En términos generales, la simetría se puede entender de la siguiente manera: una figura consta de dos (o más) mitades idénticas. Esta simetría se llama simetría axial. ¿Qué es entonces un eje? Esta es exactamente la línea a lo largo de la cual la figura se puede, relativamente hablando, "cortar" en mitades iguales (en esta imagen el eje de simetría es recto):

Ahora volvamos a nuestra tarea. Sabemos que estamos buscando un punto que sea simétrico con respecto al eje. Entonces este eje es el eje de simetría. Esto significa que necesitamos marcar un punto tal que el eje corte el segmento en dos partes iguales. Intente marcar ese punto usted mismo. Ahora compare con mi solución:

¿Te resultó igual? ¡Bien! Nos interesa la ordenada del punto encontrado. es igual

Respuesta:

Ahora dime, después de pensar unos segundos, ¿cuál será la abscisa de un punto simétrico al punto A con respecto a la ordenada? ¿Cuál es tu respuesta? Respuesta correcta: .

En general, la regla se puede escribir así:

Un punto simétrico a un punto relativo al eje de abscisas tiene las coordenadas:

Un punto simétrico a un punto relativo al eje de ordenadas tiene coordenadas:

Bueno, ahora da mucho miedo. tarea: encuentre las coordenadas de un punto simétrico al punto relativo al origen. ¡Primero piensa por ti mismo y luego mira mi dibujo!

Respuesta:

Ahora problema del paralelogramo:

Tarea 5: Los puntos aparecen ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Encuentra or-di-en-ese punto.

Puedes resolver este problema de dos maneras: lógica y método de coordenadas. Primero usaré el método de coordenadas y luego te diré cómo puedes resolverlo de manera diferente.

Está bastante claro que las abscisas del punto son iguales. (se encuentra en la perpendicular trazada desde el punto al eje de abscisas). Necesitamos encontrar la ordenada. Aprovechemos que nuestra figura es un paralelogramo, esto quiere decir eso. Encontremos la longitud del segmento usando la fórmula para la distancia entre dos puntos:

Bajamos la perpendicular que conecta el punto con el eje. Indicaré el punto de intersección con una letra.

La longitud del segmento es igual. (encuentre usted mismo el problema donde discutimos este punto), luego encontraremos la longitud del segmento usando el teorema de Pitágoras:

La longitud de un segmento coincide exactamente con su ordenada.

Respuesta: .

Otra solución (solo daré una imagen que la ilustra)

Progreso de la solución:

1. Conducta

2. Encuentra las coordenadas del punto y la longitud.

3. Demuéstralo.

Una vez más problema de longitud de segmento:

Los puntos aparecen encima de los triángulos. Encuentra la longitud de su línea media, paralela.

¿Recuerdas lo que es? línea media¿triángulo? Entonces esta tarea es elemental para ti. Si no lo recuerdas, te lo recuerdo: la línea media de un triángulo es la línea que conecta los puntos medios. lados opuestos. Es paralela a la base e igual a la mitad de ella.

La base es un segmento. Tuvimos que buscar su longitud antes, es igual. Entonces la longitud de la línea media es la mitad e igual.

Respuesta: .

Comentario: este problema se puede solucionar de otra forma, a la que nos referiremos un poco más adelante.

Mientras tanto, aquí tienes algunos problemas, practica con ellos, son muy simples, ¡pero te ayudarán a mejorar en el uso del método de coordenadas!

1. Los puntos son la cima de las trampas. Encuentra la longitud de su línea media.

2. Puntos y apariciones ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Encuentra or-di-en-ese punto.

3. Encuentre la longitud del corte, conectando el punto y

4. Encuentra el área detrás de la figura coloreada en el plano coordinado.

5. Un círculo con centro en na-cha-le ko-or-di-nat pasa por el punto. Encuéntrala ra-di-us.

6. Encuentra-di-te ra-di-us del círculo, describe-san-noy sobre el ángulo recto-no-ka, las cimas de algo tienen un co-o -di-na-eres tan-responsable

Soluciones:

1. Se sabe que la línea media de un trapezoide es igual a la mitad de la suma de sus bases. La base es igual y la base. Entonces

Respuesta:

2. La forma más sencilla de resolver este problema es observar que (regla del paralelogramo). Calcular las coordenadas de vectores no es difícil: . Al sumar vectores, se suman las coordenadas. Entonces tiene coordenadas. El punto también tiene estas coordenadas, ya que el origen del vector es el punto con las coordenadas. Nos interesa la ordenada. Ella es igual.

Respuesta:

3. Actuamos inmediatamente según la fórmula de la distancia entre dos puntos:

Respuesta:

4. Mire la imagen y dígame ¿entre cuáles dos figuras está “intercalada” el área sombreada? Está intercalado entre dos cuadrados. Entonces el área de la figura deseada es igual al área del cuadrado grande menos el área del pequeño. El lado de un cuadrado pequeño es un segmento que conecta los puntos y su longitud es

Entonces el área del cuadrado pequeño es

Hacemos lo mismo con un cuadrado grande: su lado es un segmento que conecta los puntos y su longitud es igual a

Entonces el área del cuadrado grande es

Encontramos el área de la figura deseada usando la fórmula:

Respuesta:

5. Si una circunferencia tiene como centro el origen y pasa por un punto, entonces su radio será exactamente igual a la longitud del segmento (haz un dibujo y entenderás por qué esto es obvio). Encontremos la longitud de este segmento:

Respuesta:

6. Se sabe que el radio de un círculo circunscrito a un rectángulo es igual a la mitad de su diagonal. Encontremos la longitud de cualquiera de las dos diagonales (después de todo, ¡en un rectángulo son iguales!)

Respuesta:

Bueno, ¿lo hiciste con todo? No fue muy difícil entenderlo, ¿verdad? Aquí solo hay una regla: poder hacer una imagen visual y simplemente "leer" todos los datos que contiene.

Nos queda muy poco. Hay literalmente dos puntos más que me gustaría discutir.

Intentemos resolver este simple problema. Deja dos puntos y que te den. Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento. La solución a este problema es la siguiente: sea el punto el medio deseado, entonces tiene coordenadas:

Eso es: coordenadas de la mitad del segmento = la media aritmética de las coordenadas correspondientes de los extremos del segmento.

Esta regla es muy sencilla y no suele causar dificultades a los estudiantes. Veamos en qué problemas y cómo se utiliza:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny desde-cortar, conectar-el-punto y

2. Los puntos parecen ser la cima del mundo. Find-di-te or-di-na-tu puntos per-re-se-che-niya de su dia-go-na-ley.

3. Encuentra-di-te abs-cis-su centro del círculo, describe-san-noy sobre el rectangular-no-ka, las cimas de algo tienen co-o-di-na-tú tan-responsablemente-pero.

Soluciones:

1. El primer problema es simplemente un clásico. Procedemos inmediatamente a determinar la mitad del segmento. Tiene coordenadas. La ordenada es igual.

Respuesta:

2. Es fácil ver que este cuadrilátero es un paralelogramo (¡incluso un rombo!). Puedes comprobarlo tú mismo calculando las longitudes de los lados y comparándolas entre sí. ¿Qué sé sobre los paralelogramos? ¡Sus diagonales están divididas por la mitad por el punto de intersección! ¡Sí! ¿Cuál es entonces el punto de intersección de las diagonales? ¡Ésta es la mitad de cualquiera de las diagonales! Elegiré, en particular, la diagonal. Entonces el punto tiene coordenadas La ordenada del punto es igual a.

Respuesta:

3. ¿Con qué coincide el centro del círculo circunscrito al rectángulo? Coincide con el punto de intersección de sus diagonales. ¿Qué sabes sobre las diagonales de un rectángulo? Son iguales y el punto de intersección los divide por la mitad. La tarea quedó reducida a la anterior. Tomemos, por ejemplo, la diagonal. Entonces si es el centro de la circunferencia, entonces es el punto medio. Estoy buscando coordenadas: La abscisa es igual.

Respuesta:

Ahora practica un poco por tu cuenta, solo daré las respuestas a cada problema para que puedas ponerte a prueba.

1. Encuentra-di-te ra-di-us del círculo, describe-san-noy alrededor del triángulo, las cimas de algo tienen un co-o-di -on-you

2. Encuentra-di-te o-di-en-ese centro del círculo, describe-san-noy sobre el triángulo-no-ka, cuyas cimas tienen coordenadas

3. ¿Qué tipo de ra-di-u-sa debería tener un círculo con centro en un punto para que corresponda al eje ab-ciss?

4. Encuentre-di-esos o-di-en-ese punto de re-se-ce-ción del eje y desde-corte, conecte-el-punto y

Respuestas:

¿Todo fue exitoso? ¡Realmente lo espero! Ahora, el último empujón. Ahora tenga especial cuidado. El material que ahora explicaré está directamente relacionado no sólo con tareas simples al método de coordenadas de la parte B, pero también se encuentra en todas partes del problema C2.

¿Cuáles de mis promesas no he cumplido aún? ¿Recuerda qué operaciones con vectores prometí introducir y cuáles finalmente introduje? ¿Estás seguro de que no me he olvidado de nada? ¡Olvidó! Olvidé explicar qué significa la multiplicación de vectores.

Hay dos formas de multiplicar un vector por un vector. Dependiendo del método elegido, conseguiremos objetos de distinta naturaleza:

El producto cruzado se hace de manera bastante inteligente. Discutiremos cómo hacerlo y por qué es necesario en el próximo artículo. Y en este nos centraremos en el producto escalar.

Hay dos formas que nos permiten calcularlo:

Como habrás adivinado, ¡el resultado debería ser el mismo! Entonces, veamos primero el primer método:

Producto escalar mediante coordenadas

Encuentre: - notación generalmente aceptada para producto escalar

La fórmula para el cálculo es la siguiente:

Es decir, el producto escalar = ¡la suma de los productos de coordenadas vectoriales!

Ejemplo:

encontrar-di-te

Solución:

Encontremos las coordenadas de cada uno de los vectores:

Calculamos el producto escalar usando la fórmula:

Respuesta:

Mira, ¡absolutamente nada complicado!

Bueno, ahora pruébalo tú mismo:

· Encuentra un escalar pro-iz-ve-de-nie de siglos y

¿Lo lograste? ¿Quizás notaste un pequeño problema? Comprobemos:

¡Coordenadas vectoriales, como en el problema anterior! Respuesta: .

Además del de coordenadas, existe otra forma de calcular el producto escalar, es decir, a través de las longitudes de los vectores y el coseno del ángulo entre ellos:

Denota el ángulo entre los vectores y.

Es decir, el producto escalar es igual al producto de las longitudes de los vectores por el coseno del ángulo entre ellos.

¿Por qué necesitamos esta segunda fórmula, si tenemos la primera, que es mucho más simple, al menos no contiene cosenos? ¡Y es necesario para que a partir de la primera y segunda fórmulas tú y yo podamos deducir cómo encontrar el ángulo entre vectores!

¡Entonces recordemos la fórmula para la longitud del vector!

Luego, si sustituyo estos datos en la fórmula del producto escalar, obtengo:

Pero por otro lado:

Entonces, ¿qué obtuvimos tú y yo? ¡Ahora tenemos una fórmula que nos permite calcular el ángulo entre dos vectores! A veces también se escribe así por brevedad:

Es decir, el algoritmo para calcular el ángulo entre vectores es el siguiente:

1. Calcular el producto escalar a través de coordenadas.
2. Encuentra las longitudes de los vectores y multiplícalos.
3. Divide el resultado del punto 1 por el resultado del punto 2

Practiquemos con ejemplos:

1. Encuentra el ángulo entre los párpados y. Da la respuesta en grad-du-sah.

2. En las condiciones del problema anterior, encuentra el coseno entre los vectores.

Hagamos esto: te ayudaré a resolver el primer problema y ¡intentaré resolver el segundo tú mismo! ¿Aceptar? ¡Entonces comencemos!

1. Estos vectores son nuestros viejos amigos. Ya calculamos su producto escalar y fue igual. Sus coordenadas son: , . Luego encontramos sus longitudes:

Luego buscamos el coseno entre los vectores:

¿Cuál es el coseno del ángulo? Esta es la esquina.

Respuesta:

Bueno, ahora resuelve el segundo problema tú mismo y luego compara. Daré sólo una solución muy breve:

2. tiene coordenadas, tiene coordenadas.

Sea el ángulo entre los vectores y, entonces

Respuesta:

Cabe señalar que los problemas directamente sobre vectores y el método de coordenadas en la parte B examen bastante raro. Sin embargo, la gran mayoría de los problemas C2 se pueden resolver fácilmente introduciendo un sistema de coordenadas. Entonces puedes considerar este artículo como la base sobre la cual haremos construcciones bastante inteligentes que tendremos que resolver. tareas complejas.

COORDENADAS Y VECTORES. NIVEL MEDIO

Tú y yo continuamos estudiando el método de coordenadas. En la última parte derivamos una serie. fórmulas importantes, que permiten:

1. Encuentra coordenadas vectoriales
2. Encuentra la longitud de un vector (alternativamente: la distancia entre dos puntos)
3. Suma y resta vectores. multiplicarlos por numero real
4. encontrar el punto medio de un segmento
5. Calcular el producto escalar de vectores.
6. Encuentra el ángulo entre vectores.

Por supuesto, todo el método de coordenadas no cabe en estos 6 puntos. En ella se basa una ciencia como la geometría analítica, con la que se familiarizará en la universidad. Sólo quiero construir una base que les permita resolver problemas en un solo estado. examen. Nos hemos ocupado de las tareas de la parte B. Ahora es el momento de pasar a la alta calidad. nuevo nivel! Este artículo estará dedicado a un método para resolver aquellos problemas C2 en los que sería razonable cambiar al método de coordenadas. Esta razonabilidad está determinada por lo que se requiere encontrar en el problema y qué cifra se da. Entonces, usaría el método de coordenadas si las preguntas son:

1. Encuentra el ángulo entre dos planos.
2. Encuentra el ángulo entre una recta y un plano.
3. Encuentra el ángulo entre dos rectas.
4. Encuentra la distancia de un punto a un plano.
5. Encuentra la distancia de un punto a una recta.
6. Encuentra la distancia de una línea recta a un plano.
7. Encuentra la distancia entre dos rectas.

Si la figura dada en el planteamiento del problema es un cuerpo de rotación (bola, cilindro, cono...)

Las cifras adecuadas para el método de coordenadas son:

1. Paralelepípedo rectangular
2. Pirámide (triangular, cuadrangular, hexagonal)

También desde mi experiencia. No es apropiado utilizar el método de coordenadas para:

1. Encontrar áreas transversales
2. Cálculo de volúmenes de cuerpos.

Sin embargo, cabe señalar inmediatamente que las tres situaciones “desfavorables” para el método de coordenadas son bastante raras en la práctica. En la mayoría de las tareas, puede convertirse en tu salvador, especialmente si no eres muy fuerte en construcciones tridimensionales(que a veces puede ser bastante complejo).

¿Cuáles son todas las cifras que enumeré anteriormente? Ya no son planos, como, por ejemplo, un cuadrado, un triángulo, un círculo, ¡sino voluminosos! En consecuencia, debemos considerar no dos dimensiones, sino sistema tridimensional coordenadas Es bastante fácil de construir: además del eje de abscisas y ordenadas, introduciremos otro eje, el eje aplicado. La figura muestra esquemáticamente su posición relativa:

Todos ellos son mutuamente perpendiculares y se cruzan en un punto, al que llamaremos origen de coordenadas. Como antes, denotaremos el eje de abscisas, el eje de ordenadas - y el eje aplicado introducido - .

Si antes cada punto del plano se caracterizaba por dos números: abscisa y ordenada, entonces cada punto en el espacio ya está descrito por tres números: abscisa, ordenada y aplicada. Por ejemplo:

En consecuencia, la abscisa de un punto es igual, la ordenada es y la aplicada es .

A veces, la abscisa de un punto también se denomina proyección de un punto sobre el eje de abscisas, ordenada, la proyección de un punto sobre el eje de ordenadas y aplicada, la proyección de un punto sobre el eje de la aplicación. En consecuencia, si se da un punto, entonces un punto con coordenadas:

Se llama proyección de un punto sobre un plano.

Se llama proyección de un punto sobre un plano.

Surge una pregunta natural: ¿todas las fórmulas derivadas para el caso bidimensional son válidas en el espacio? La respuesta es sí, son justos y tienen la misma apariencia. Para un pequeño detalle. Creo que ya has adivinado cuál es. En todas las fórmulas tendremos que añadir un término más responsable del eje de aplicación. A saber.

1. Si se dan dos puntos: , entonces:

• Coordenadas vectoriales:
• Distancia entre dos puntos (o longitud del vector)
• El punto medio del segmento tiene coordenadas.

2. Si se dan dos vectores: y, entonces:

• Su producto escalar es igual a:
• El coseno del ángulo entre los vectores es igual a:

Sin embargo, el espacio no es tan sencillo. Como comprenderá, agregar una coordenada más introduce una diversidad significativa en el espectro de figuras que "viven" en este espacio. Y para una mayor narración necesitaré introducir alguna, en términos generales, "generalización" de la línea recta. Esta “generalización” será un avión. ¿Qué sabes sobre el avión? Intenta responder la pregunta, ¿qué es un avión? Es muy difícil decirlo. Sin embargo, todos imaginamos intuitivamente cómo se ve:

En términos generales, se trata de una especie de "hoja" interminable arrojada al espacio. Por “infinito” se debe entender que el plano se extiende en todas direcciones, es decir, su área es igual al infinito. Sin embargo, esta explicación “práctica” no da la menor idea sobre la estructura del avión. Y es ella quien se interesará por nosotros.

Recordemos uno de los axiomas básicos de la geometría:

• una recta pasa por dos puntos diferentes de un plano, y solo uno:

O su análogo en el espacio:

Por supuesto, recuerdas cómo derivar la ecuación de una recta a partir de dos puntos dados no es nada difícil: si el primer punto tiene coordenadas: y el segundo, entonces la ecuación de la recta será la siguiente:

Tomaste esto en séptimo grado. En el espacio, la ecuación de una recta se ve así: se nos dan dos puntos con coordenadas: , entonces la ecuación de la recta que pasa por ellos tiene la forma:

Por ejemplo, una línea pasa por puntos:

¿Cómo debería entenderse esto? Esto debe entenderse de la siguiente manera: un punto se encuentra en una recta si sus coordenadas satisfacen el siguiente sistema:

No estaremos muy interesados ​​en la ecuación de la recta, pero debemos prestar atención a la misma concepto importante línea recta vectorial rectora. - cualquier vector distinto de cero que se encuentre en una línea determinada o paralelo a ella.

Por ejemplo, ambos vectores son vectores directores de una línea recta. Sea un punto que se encuentra sobre una recta y sea su vector director. Entonces la ecuación de la recta se puede escribir de la siguiente forma:

Una vez más, no me interesará mucho la ecuación de una línea recta, ¡pero realmente necesito que recuerdes qué es un vector director! De nuevo: este es CUALQUIER vector distinto de cero que se encuentre en una línea o paralelo a ella.

Retirar ecuación de un plano basada en tres puntos dados Ya no es tan trivial y, por lo general, este tema no se aborda en el curso. escuela secundaria. ¡Pero en vano! Esta técnica es vital cuando recurrimos al método de coordenadas para resolver problemas complejos. Sin embargo, supongo que estás ansioso por aprender algo nuevo. Además, podrás impresionar a tu profesor de la universidad cuando descubras que ya sabes utilizar una técnica que normalmente se estudia en un curso de geometría analítica. Así que comencemos.

La ecuación de un plano no es muy diferente de la ecuación de una línea recta en un plano, es decir, tiene la forma:

algunos números (no todos iguales a cero), sino variables, por ejemplo: etc. Como puedes ver, la ecuación de un plano no es muy diferente de la ecuación de una recta (función lineal). Sin embargo, ¿recuerdas lo que discutimos tú y yo? Dijimos que si tenemos tres puntos que no se encuentran en la misma recta, entonces la ecuación del plano se puede reconstruir de manera única a partir de ellos. ¿Pero cómo? Intentaré explicártelo.

Dado que la ecuación del avión es:

Y los puntos pertenecen a este plano, entonces al sustituir las coordenadas de cada punto en la ecuación del plano deberíamos obtener la identidad correcta:

¡Por lo tanto, es necesario resolver tres ecuaciones con incógnitas! ¡Dilema! Sin embargo, siempre puedes asumir eso (para hacer esto necesitas dividir por). Por tanto, obtenemos tres ecuaciones con tres incógnitas:

Sin embargo, no resolveremos tal sistema, sino que escribiremos la misteriosa expresión que se desprende de él:

Ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados

\[\izquierda| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(matriz)) \right| = 0\]

¡Detener! ¿Qué es esto? ¡Algún módulo muy inusual! Sin embargo, el objeto que ves frente a ti no tiene nada que ver con el módulo. Este objeto se llama determinante de tercer orden. De ahora en adelante, cuando trabajes con el método de las coordenadas en un plano, muy a menudo encontrarás estos mismos determinantes. ¿Qué es un determinante de tercer orden? Por extraño que parezca, es sólo un número. Queda por entender qué número específico compararemos con el determinante.

Primero escribamos el determinante de tercer orden en una forma más general:

¿Dónde están algunos números? Además, por primer índice nos referimos al número de fila y por índice nos referimos al número de columna. Por ejemplo, significa que numero dado se encuentra en la intersección de la segunda fila y la tercera columna. vamos a ponérselo siguiente pregunta: ¿Cómo calcularemos exactamente tal determinante? Es decir, ¿qué número específico compararemos con él? Para el determinante de tercer orden existe una regla heurística (visual) del triángulo, que se ve así:

1. El producto de los elementos de la diagonal principal (desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha) El producto de los elementos que forman el primer triángulo “perpendicular” a la diagonal principal El producto de los elementos que forman el segundo triángulo “perpendicular” a la diagonal principal
2. El producto de los elementos de la diagonal secundaria (desde la esquina superior derecha hasta la inferior izquierda) El producto de los elementos que forman el primer triángulo “perpendicular” a la diagonal secundaria El producto de los elementos que forman el segundo triángulo “perpendicular” a la diagonal secundaria
3. Entonces el determinante igual a la diferencia valores obtenidos en el paso y

Si escribimos todo esto en números obtenemos la siguiente expresión:

Sin embargo, no es necesario recordar el método de cálculo en esta forma; basta con tener en la cabeza los triángulos y la idea misma de qué suma qué y qué luego se resta de qué).

Ilustremos el método del triángulo con un ejemplo:

1. Calcula el determinante:

Averigüemos qué sumamos y qué restamos:

Términos que vienen con un plus:

Esta es la diagonal principal: el producto de los elementos es igual a

El primer triángulo, "perpendicular a la diagonal principal: el producto de los elementos es igual a

Segundo triángulo, "perpendicular a la diagonal principal: el producto de los elementos es igual a

Suma tres números:

Términos que vienen con un menos

Esta es una diagonal lateral: el producto de los elementos es igual a

El primer triángulo, “perpendicular a la diagonal secundaria: el producto de los elementos es igual a

El segundo triángulo, “perpendicular a la diagonal secundaria: el producto de los elementos es igual a

Suma tres números:

Lo único que queda por hacer es restar la suma de los términos “más” de la suma de los términos “menos”:

De este modo,

Como puede ver, no hay nada complicado ni sobrenatural en el cálculo de determinantes de tercer orden. Sólo es importante recordar los triángulos y no cometer errores aritméticos. Ahora intenta calcularlo tú mismo:

Tarea: encuentra la distancia entre los puntos indicados:

1. El primer triángulo perpendicular a la diagonal principal:
2. Segundo triángulo perpendicular a la diagonal principal:
3. Suma de términos con más:
4. El primer triángulo perpendicular a la diagonal secundaria:
5. Segundo triángulo perpendicular a la diagonal lateral:
6. Suma de términos con menos:
7. La suma de los términos con más menos la suma de los términos con menos:

Aquí hay un par de determinantes más, calcule sus valores usted mismo y compárelos con las respuestas:

Respuestas:

Bueno, ¿coincidió todo? ¡Genial, entonces puedes seguir adelante! Si surgen dificultades, mi consejo es el siguiente: hay muchos programas en Internet para calcular el determinante en línea. Todo lo que necesitas es crear tu propio determinante, calcularlo tú mismo y luego compararlo con lo que calcula el programa. Y así sucesivamente hasta que los resultados empiecen a coincidir. ¡Estoy segura de que este momento no tardará en llegar!

Ahora volvamos al determinante que escribí cuando hablé de la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados:

Todo lo que necesitas es calcular su valor directamente (usando el método del triángulo) y establecer el resultado en cero. Naturalmente, dado que se trata de variables, obtendrá alguna expresión que depende de ellas. ¡Esta expresión será la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados que no se encuentran en la misma línea recta!

Ilustremos esto con un ejemplo sencillo:

1. Construya la ecuación de un plano que pase por los puntos.

Recopilamos un determinante para estos tres puntos:

Simplifiquemos:

Ahora lo calculamos directamente usando la regla del triángulo:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ derecha| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Así, la ecuación del plano que pasa por los puntos es:

Ahora intente resolver un problema usted mismo y luego lo discutiremos:

2. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos.

Bueno, ahora analicemos la solución:

Creemos un determinante:

Y calcula su valor:

Entonces la ecuación del avión tiene la forma:

O reduciendo por obtenemos:

Ahora dos tareas de autocontrol:

1. Construya la ecuación de un plano que pasa por tres puntos:

Respuestas:

¿Todo coincidió? Nuevamente, si hay ciertas dificultades, entonces mi consejo es el siguiente: quita tres puntos de tu cabeza (con en gran medida lo más probable es que no estén en la misma línea recta), construyes un avión basado en ellos. Y luego te revisas en línea. Por ejemplo, en el sitio:

Sin embargo, con la ayuda de determinantes construiremos no sólo una ecuación del plano. Recuerda, te dije que no solo se define el producto escalar para los vectores. También hay un producto vectorial, así como un producto mixto. Y si el producto escalar de dos vectores es un número, entonces el producto vectorial de dos vectores será un vector, y este vector será perpendicular a los dados:

Además, su módulo será igual al área paralelogramo construido sobre vectores y. este vector Lo necesitaremos para calcular la distancia de un punto a una línea. ¿Cómo podemos contar? producto vectorial vectores y, si se dan sus coordenadas? El determinante de tercer orden vuelve a venir en nuestra ayuda. Sin embargo, antes de pasar al algoritmo para calcular el producto vectorial, debo hacer una pequeña digresión.

Esta digresión se refiere a los vectores básicos.

Se muestran esquemáticamente en la figura:

¿Por qué crees que se llaman básicos? El caso es que:

O en la imagen:

La validez de esta fórmula es obvia, porque:

Ilustraciones vectoriales

Ahora puedo empezar a presentar el producto cruzado:

El producto vectorial de dos vectores es un vector, que se calcula según la siguiente regla:

Ahora demos algunos ejemplos de cálculo del producto cruzado:

Ejemplo 1: Encuentre el producto cruzado de vectores:

Solución: invento un determinante:

Y lo calculo:

Ahora, después de escribir vectores base, volveré a la notación vectorial habitual:

De este modo:

Ahora inténtalo.

¿Listo? Comprobamos:

Y tradicionalmente dos tareas de control:

1. Encuentre el producto vectorial de los siguientes vectores:
2. Encuentre el producto vectorial de los siguientes vectores:

Respuestas:

Producto mixto de tres vectores.

La última construcción que necesitaré es el producto mixto de tres vectores. Es, como un escalar, un número. Hay dos formas de calcularlo. - mediante un determinante, - mediante un producto mixto.

Es decir, nos darán tres vectores:

Entonces el producto mixto de tres vectores, denotado por, se puede calcular como:

1. - es decir, el producto mixto es el producto escalar de un vector y el producto vectorial de otros dos vectores

Por ejemplo, el producto mixto de tres vectores es:

¡Intenta calcularlo tú mismo usando el producto vectorial y asegúrate de que los resultados coincidan!

Y nuevamente, dos ejemplos de soluciones independientes:

Respuestas:

Seleccionar un sistema de coordenadas

Bueno, ahora tenemos toda la base de conocimientos necesaria para resolver problemas estereométricos complejos en geometría. Sin embargo, antes de pasar directamente a ejemplos y algoritmos para resolverlos, creo que será útil detenerse en la siguiente pregunta: ¿cómo exactamente elegir un sistema de coordenadas para una figura en particular. Después de todo, es la elección posición relativa Los sistemas de coordenadas y las formas en el espacio determinarán en última instancia cuán engorrosos serán los cálculos.

Permítanme recordarles que en este apartado consideramos las siguientes figuras:

1. Paralelepípedo rectangular
2. Prisma recto (triangular, hexagonal...)
3. Pirámide (triangular, cuadrangular)
4. Tetraedro (igual que la pirámide triangular)

Para un paralelepípedo o cubo rectangular, te recomiendo la siguiente construcción:

Es decir, colocaré la figura “en la esquina”. El cubo y el paralelepípedo son muy buenas figuras. Para ellos, siempre podrás encontrar fácilmente las coordenadas de sus vértices. Por ejemplo, si (como se muestra en la figura)

entonces las coordenadas de los vértices son las siguientes:

Por supuesto, no es necesario recordar esto, pero es aconsejable recordar cuál es la mejor manera de colocar un cubo o un paralelepípedo rectangular.

Prisma recto

El prisma es una figura más dañina. Se puede colocar en el espacio de diferentes formas. Sin embargo, la siguiente opción me parece la más aceptable:

Prisma triangular:

Es decir, colocamos uno de los lados del triángulo enteramente sobre el eje, y uno de los vértices coincide con el origen de coordenadas.

Prisma hexagonal:

Es decir, uno de los vértices coincide con el origen y uno de los lados se encuentra sobre el eje.

Pirámide cuadrangular y hexagonal:

La situación es similar a un cubo: alineamos dos lados de la base con los ejes de coordenadas y alineamos uno de los vértices con el origen de coordenadas. La única pequeña dificultad será calcular las coordenadas del punto.

Para una pirámide hexagonal, lo mismo que para un prisma hexagonal. La tarea principal volverá a ser encontrar las coordenadas del vértice.

Tetraedro (pirámide triangular)

La situación es muy similar a la que di para un prisma triangular: un vértice coincide con el origen, un lado se encuentra en el eje de coordenadas.

Bueno, ahora tú y yo finalmente estamos cerca de comenzar a resolver problemas. De lo que dije al principio del artículo, se puede sacar la siguiente conclusión: la mayoría de los problemas de C2 se dividen en 2 categorías: problemas de ángulos y problemas de distancia. Primero, veremos los problemas de encontrar un ángulo. A su vez se dividen en las siguientes categorías (a medida que aumentan en complejidad):

Problemas para encontrar ángulos.

1. Encontrar el ángulo entre dos rectas
2. Encontrar el ángulo entre dos planos.

Veamos estos problemas secuencialmente: comencemos por encontrar el ángulo entre dos líneas rectas. Bueno, recuerda, ¿no hemos resuelto tú y yo ejemplos similares antes? ¿Recuerdas que ya teníamos algo similar? Estábamos buscando el ángulo entre dos vectores. Permítanme recordarles, si se dan dos vectores: y, entonces el ángulo entre ellos se encuentra a partir de la relación:

Ahora nuestro objetivo es encontrar el ángulo entre dos líneas rectas. Veamos la “imagen plana”:

¿Cuántos ángulos obtuvimos cuando dos rectas se cortaron? Sólo algunas cosas. Es cierto que sólo dos de ellos son desiguales, mientras que los demás son verticales a ellos (y por tanto coinciden con ellos). Entonces, ¿qué ángulo debemos considerar el ángulo entre dos rectas: o? Aquí la regla es: El ángulo entre dos rectas siempre no supera los grados.. Es decir, de dos ángulos siempre elegiremos el ángulo con menor medida de grado. Es decir, en esta imagen el ángulo entre dos rectas es igual. Para no molestarse cada vez en encontrar el menor de dos ángulos, los astutos matemáticos sugirieron utilizar un módulo. Así, el ángulo entre dos rectas está determinado por la fórmula:

Usted, como lector atento, debería haber tenido una pregunta: ¿de dónde exactamente obtenemos estos números que necesitamos para calcular el coseno de un ángulo? Respuesta: ¡los tomaremos de los vectores directores de las líneas! Así, el algoritmo para encontrar el ángulo entre dos rectas es el siguiente:

1. Aplicamos la fórmula 1.

O con más detalle:

1. Buscamos las coordenadas del vector director de la primera recta.
2. Buscamos las coordenadas del vector director de la segunda recta.
3. Calculamos el módulo de su producto escalar.
4. Buscamos la longitud del primer vector.
5. Buscamos la longitud del segundo vector.
6. Multiplica los resultados del punto 4 por los resultados del punto 5
7. Dividimos el resultado del punto 3 por el resultado del punto 6. Obtenemos el coseno del ángulo entre las rectas
8. Si este resultado nos permite calcular con precisión el ángulo, lo buscamos
9. De lo contrario escribimos mediante arco coseno.

Bueno, ahora es el momento de pasar a los problemas: demostraré la solución a los dos primeros en detalle, presentaré la solución a otro en en resumen, y para los dos últimos problemas solo daré respuestas; debes realizar todos los cálculos tú mismo.

Tareas:

1. En el tetra-ed-re derecho, encuentra el ángulo entre la altura del tetra-ed-ra y el lado medio.

2. En la pi-r-mi-de de seis esquinas de la derecha, los cien os-no-va-niyas son iguales y los bordes laterales son iguales, encuentre el ángulo entre las líneas y.

3. Las longitudes de todos los bordes de la pi-ra-mi-dy derecha de cuatro carbones son iguales entre sí. Encuentra el ángulo entre las líneas rectas y si desde el corte estás con el pi-ra-mi-dy dado, el punto está se-re-di-en sus segundas costillas bo-co-

4. En el borde del cubo hay un punto para que Encuentre el ángulo entre las líneas rectas y

5. Punto - en los bordes del cubo Encuentra el ángulo entre las líneas rectas y.

No es casualidad que haya ordenado las tareas en este orden. Si bien aún no has tenido tiempo de comenzar a navegar por el método de coordenadas, yo mismo analizaré las figuras más "problemáticas" y te dejaré ocuparte del cubo más simple. Poco a poco tendrás que aprender a trabajar con todas las figuras; iré aumentando la complejidad de las tareas de un tema a otro.

Empecemos a resolver problemas:

1. Dibuja un tetraedro, colócalo en el sistema de coordenadas como sugerí antes. Como el tetraedro es regular, todas sus caras (incluida la base) son triangulos regulares. Como no nos dan la longitud del lado, puedo considerarla igual. ¿Creo que entiendes que el ángulo en realidad no dependerá de cuánto esté “estirado” nuestro tetraedro? También dibujaré la altura y la mediana en el tetraedro. En el camino dibujaré su base (también nos será útil).

Necesito encontrar el ángulo entre y. ¿Qué sabemos? Sólo conocemos la coordenada del punto. Esto significa que necesitamos encontrar las coordenadas de los puntos. Ahora pensamos: un punto es el punto de intersección de las altitudes (o bisectrices o medianas) del triángulo. Y un punto es un punto elevado. El punto es la mitad del segmento. Luego finalmente necesitamos encontrar: las coordenadas de los puntos: .

Empecemos por lo más sencillo: las coordenadas de un punto. Mire la figura: está claro que la aplicación de un punto es igual a cero (el punto se encuentra en el plano). Su ordenada es igual (ya que es la mediana). Es más difícil encontrar su abscisa. Sin embargo, esto se hace fácilmente basándose en el teorema de Pitágoras: considere un triángulo. Su hipotenusa es igual y uno de sus catetos es igual Entonces:

Finalmente tenemos: .

Ahora busquemos las coordenadas del punto. Está claro que su aplicada es nuevamente igual a cero, y su ordenada es la misma que la de un punto, es decir. Encontremos su abscisa. Esto se hace de manera bastante trivial si recuerdas que alturas triangulo equilatero el punto de intersección se divide en proporción, contando desde arriba. Dado que: , entonces la abscisa requerida del punto es igual a la longitud segmento es igual a: . Así, las coordenadas del punto son:

Encontremos las coordenadas del punto. Está claro que su abscisa y ordenada coinciden con la abscisa y ordenada del punto. Y la aplicación es igual a la longitud del segmento. - este es uno de los catetos del triángulo. La hipotenusa de un triángulo es un segmento, un cateto. Se busca por motivos que he resaltado en negrita:

El punto es la mitad del segmento. Luego debemos recordar la fórmula para las coordenadas del punto medio del segmento:

Eso es todo, ahora podemos buscar las coordenadas de los vectores directores:

Bueno, todo está listo: sustituimos todos los datos en la fórmula:

De este modo,

Respuesta:

No debería asustarse por respuestas tan “aterradoras”: para los problemas C2 esta es una práctica común. Preferiría sorprenderme con la "hermosa" respuesta de esta parte. Además, como habrás notado, prácticamente no recurrí a nada más que al teorema de Pitágoras y la propiedad de las alturas de un triángulo equilátero. Es decir, para resolver el problema estereométrico, utilicé el mínimo de estereometría. La ganancia en esto se “extingue” parcialmente mediante cálculos bastante engorrosos. ¡Pero son bastante algorítmicos!

2. Dibujemos el correcto. pirámide hexagonal junto con el sistema de coordenadas, así como su base:

Necesitamos encontrar el ángulo entre las líneas y. Así, nuestra tarea se reduce a encontrar las coordenadas de los puntos: . Las coordenadas de los tres últimos las encontraremos mediante un pequeño dibujo, y la coordenada del vértice la encontraremos a través de la coordenada del punto. ¡Hay mucho trabajo por hacer, pero tenemos que empezar!

a) Coordenada: está claro que su aplicada y su ordenada son iguales a cero. Encontremos la abscisa. Para hacer esto, considere un triángulo rectángulo. Por desgracia, en él solo conocemos la hipotenusa, que es igual. Intentaremos encontrar el cateto (pues está claro que el doble de longitud del cateto nos dará la abscisa del punto). ¿Cómo podemos buscarlo? ¿Recordemos qué tipo de figura tenemos en la base de la pirámide? Este es un hexágono regular. ¿Qué quiere decir esto? Esto significa que todos los lados y todos los ángulos son iguales. Necesitamos encontrar uno de esos ángulos. ¿Alguna idea? Hay muchas ideas, pero hay una fórmula:

La suma de los ángulos de un n-gón regular es .

Por tanto, la suma de los ángulos de un hexágono regular es igual a grados. Entonces cada uno de los ángulos es igual a:

Miremos la imagen nuevamente. Está claro que el segmento es la bisectriz del ángulo. Entonces el ángulo es igual a grados. Entonces:

Entonces de dónde.

Por tanto, tiene coordenadas

b) Ahora podemos encontrar fácilmente la coordenada del punto: .

c) Encuentra las coordenadas del punto. Como su abscisa coincide con la longitud del segmento, es igual. Encontrar la ordenada tampoco es muy difícil: si conectamos los puntos y designamos el punto de intersección de la línea como, digamos, . (Hágalo usted mismo construcción simple). Entonces, la ordenada del punto B es igual a la suma de las longitudes de los segmentos. Miremos el triángulo nuevamente. Entonces

Entonces desde Entonces el punto tiene coordenadas

d) Ahora busquemos las coordenadas del punto. Considere el rectángulo y demuestre que Por tanto, las coordenadas del punto son:

e) Queda por encontrar las coordenadas del vértice. Está claro que su abscisa y ordenada coinciden con la abscisa y ordenada del punto. Busquemos la aplicación. Desde entonces. Considere un triángulo rectángulo. Según las condiciones del problema. costilla lateral. Esta es la hipotenusa de mi triángulo. Entonces la altura de la pirámide es un cateto.

Entonces el punto tiene coordenadas:

Bueno, eso es todo, tengo las coordenadas de todos los puntos que me interesan. Busco las coordenadas de los vectores directores de rectas:

Buscamos el ángulo entre estos vectores:

Respuesta:

Nuevamente, para resolver este problema no utilicé ninguna técnica sofisticada excepto la fórmula para la suma de los ángulos de un n-gón regular, así como la definición del coseno y el seno de un triángulo rectángulo.

3. Como nuevamente no se nos dan las longitudes de las aristas de la pirámide, las consideraré iguales a uno. Por lo tanto, dado que TODAS las aristas, y no solo las laterales, son iguales entre sí, entonces en la base de la pirámide y en mí hay un cuadrado, y caras laterales- triángulos regulares. Dibujemos dicha pirámide, así como su base en un plano, anotando todos los datos dados en el texto del problema:

Buscamos el ángulo entre y. Haré cálculos muy breves cuando busque las coordenadas de los puntos. Necesitará “descifrarlos”:

b) - la mitad del segmento. Sus coordenadas:

c) Encontraré la longitud del segmento usando el teorema de Pitágoras en un triángulo. Puedo encontrarlo usando el teorema de Pitágoras en un triángulo.

Coordenadas:

d) - la mitad del segmento. Sus coordenadas son

e) Coordenadas vectoriales

f) Coordenadas vectoriales

g) Buscando el ángulo:

cubo - figura más simple. Estoy seguro de que lo descubrirás por tu cuenta. Las respuestas a los problemas 4 y 5 son las siguientes:

Encontrar el ángulo entre una línea recta y un plano

Bueno, ¡se acabó el tiempo de los acertijos simples! Ahora los ejemplos serán aún más complicados. Para encontrar el ángulo entre una recta y un plano procederemos de la siguiente manera:

1. Usando tres puntos construimos una ecuación del plano.
   ,
   utilizando un determinante de tercer orden.
2. Utilizando dos puntos buscamos las coordenadas del vector director de la recta:
3. Aplicamos la fórmula para calcular el ángulo entre una recta y un plano:

Como puedes ver, esta fórmula es muy similar a la que usamos para encontrar ángulos entre dos líneas rectas. La estructura del lado derecho es simplemente la misma, y ​​en el izquierdo ahora buscamos el seno, no el coseno como antes. Bueno, se agregó una acción desagradable: buscar la ecuación del avión.

No procrastinemos ejemplos de solución:

1. El prisma directo principal-pero-va-ni-em-somos iguales al-triángulo-de-ren-pobre-apodo de usted-y-ese prisma-somos iguales. Encuentra el ángulo entre la recta y el plano.

2. En un par-ral-le-le-pi-pe-de rectangular desde el oeste Encuentra el ángulo entre la recta y el plano.

3. En un prisma hexagonal recto, todas las aristas son iguales. Encuentra el ángulo entre la recta y el plano.

4. En el pi-r-mi-de triangular derecho con el os-no-va-ni-em de las costillas conocidas Encuentra una esquina, ob-ra-zo-van -plana en la base y recta, pasando por el gris costillas y

5. Las longitudes de todas las aristas de una pi-ra-mi-dy cuadrangular recta con vértice son iguales entre sí. Encuentra el ángulo entre la línea recta y el plano si el punto está en el medio del borde de la pirámide.

Nuevamente, resolveré los dos primeros problemas en detalle, el tercero brevemente y dejaré los dos últimos para que los resuelvas por tu cuenta. Además, ya has tenido que lidiar con lo triangular y pirámides cuadrangulares, pero con prismas, todavía no.

Soluciones:

1. Representemos un prisma, así como su base. Combinémoslo con el sistema de coordenadas y anotemos todos los datos que se dan en el planteamiento del problema:

Pido disculpas por algún incumplimiento de las proporciones, pero esto, de hecho, no es tan importante para resolver el problema. El avión es simplemente la "pared trasera" de mi prisma. Basta con adivinar que la ecuación de dicho plano tiene la forma:

Sin embargo, esto se puede mostrar directamente:

Elijamos tres puntos arbitrarios en este plano: por ejemplo, .

Creemos la ecuación del avión:

Ejercicio para usted: calcule usted mismo este determinante. ¿Tuviste éxito? Entonces la ecuación del avión queda así:

O simplemente

De este modo,

Para resolver el ejemplo, necesito encontrar las coordenadas del vector director de la recta. Dado que el punto coincide con el origen de coordenadas, las coordenadas del vector simplemente coincidirán con las coordenadas del punto. Para ello, primero encontramos las coordenadas del punto.

Para hacer esto, considere un triángulo. Dibujemos la altura (también conocida como mediana y bisectriz) desde el vértice. Desde entonces, la ordenada del punto es igual a. Para encontrar la abscisa de este punto, necesitamos calcular la longitud del segmento. Según el teorema de Pitágoras tenemos:

Entonces el punto tiene coordenadas:

Un punto es un punto "elevado":

Entonces las coordenadas vectoriales son:

Respuesta:

Como puede ver, no hay nada fundamentalmente complicado a la hora de resolver este tipo de problemas. De hecho, el proceso se simplifica un poco más por la “rectitud” de una figura como un prisma. Ahora pasemos al siguiente ejemplo:

2. Dibuja un paralelepípedo, dibuja en él un plano y una línea recta, y también dibuja por separado su base inferior:

Primero encontramos la ecuación del plano: Las coordenadas de los tres puntos que se encuentran en él:

(Las dos primeras coordenadas se obtienen de forma obvia y puedes encontrar fácilmente la última coordenada en la imagen del punto). Luego componemos la ecuación del avión:

Calculamos:

Buscamos las coordenadas del vector guía: Está claro que sus coordenadas coinciden con las coordenadas del punto, ¿no? ¿Cómo encontrar coordenadas? ¡Estas son las coordenadas del punto, elevadas en uno a lo largo del eje de aplicación! . Luego buscamos el ángulo deseado:

Respuesta:

3. Dibuja una pirámide hexagonal regular y luego dibuja un plano y una línea recta en ella.

Aquí incluso es problemático dibujar un plano, sin mencionar resolver este problema, ¡pero al método de coordenadas no le importa! ¡Su versatilidad es su principal ventaja!

El avión pasa por tres puntos: . Buscamos sus coordenadas:

1). Descubra usted mismo las coordenadas de los dos últimos puntos. ¡Necesitarás resolver el problema de la pirámide hexagonal para esto!

2) Construimos la ecuación del avión:

Buscamos las coordenadas del vector: . (¡Vea nuevamente el problema de la pirámide triangular!)

3) Buscando un ángulo:

Respuesta:

Como puedes ver, no hay nada sobrenaturalmente difícil en estas tareas. Sólo hay que tener mucho cuidado con las raíces. Sólo daré respuestas a los dos últimos problemas:

Como puede ver, la técnica para resolver problemas es la misma en todas partes: la tarea principal es encontrar las coordenadas de los vértices y sustituirlas en determinadas fórmulas. Todavía tenemos que considerar una clase más de problemas para calcular ángulos, a saber:

Calcular ángulos entre dos planos.

El algoritmo de solución será el siguiente:

1. Utilizando tres puntos buscamos la ecuación del primer plano:
2. Utilizando los otros tres puntos buscamos la ecuación del segundo plano:
3. Aplicamos la fórmula:

Como ves, la fórmula es muy similar a las dos anteriores, con la ayuda de las cuales buscamos ángulos entre rectas y entre una recta y un plano. Así que no te resultará difícil recordar este. Pasemos al análisis de las tareas:

1. El lado de la base del prisma triangular rectángulo es igual y la diagonal de la cara lateral es igual. Encuentra el ángulo entre el plano y el plano del eje del prisma.

2. En la pi-r-mi-de de cuatro esquinas derecha, cuyos bordes son iguales, encuentre el seno del ángulo entre el plano y el hueso plano, pasando por el punto per-pen-di-ku- mentiroso, pero recto.

3. En un prisma regular de cuatro esquinas, los lados de la base son iguales y los bordes laterales son iguales. Hay un punto en el borde de-me-che-on para que. Encuentra el ángulo entre los planos y

4. En un prisma cuadrangular recto, los lados de la base son iguales y los bordes laterales son iguales. Hay un punto en el borde desde el punto para que Encuentre el ángulo entre los planos y.

5. En un cubo, encuentre el coseno del ángulo entre los planos y

Soluciones de problemas:

1. Dibujo el correcto (en la base hay un triángulo equilátero) prisma triangular y marca en él los planos que aparecen en el planteamiento del problema:

Necesitamos encontrar las ecuaciones de dos planos: La ecuación de la base es trivial: puedes componer el determinante correspondiente usando tres puntos, pero yo haré la ecuación de inmediato:

Ahora encontremos la ecuación El punto tiene coordenadas Punto: dado que es la mediana y la altitud del triángulo, se encuentra fácilmente usando el teorema de Pitágoras en el triángulo. Entonces el punto tiene coordenadas: Encontremos la aplicación del punto. Para ello, consideremos un triángulo rectángulo.

Luego obtenemos las siguientes coordenadas: Componemos la ecuación del plano.

Calculamos el ángulo entre los planos:

Respuesta:

2. Hacer un dibujo:

Lo más difícil es entender qué tipo de plano misterioso es este, que pasa perpendicularmente por el punto. Bueno, lo principal es, ¿qué es? ¡Lo principal es la atención! De hecho, la línea es perpendicular. La recta también es perpendicular. Entonces el plano que pasa por estas dos rectas será perpendicular a la recta y, por cierto, pasará por el punto. Este plano también pasa por la cima de la pirámide. Entonces el avión deseado - Y el avión ya nos lo han entregado. Buscamos las coordenadas de los puntos.

Encontramos la coordenada del punto que pasa por el punto. De pequeño dibujo Es fácil deducir que las coordenadas del punto serán las siguientes: ¿Qué queda ahora por encontrar para encontrar las coordenadas de la cima de la pirámide? También necesitas calcular su altura. Esto se hace usando el mismo teorema de Pitágoras: primero demuestra eso (trivialmente a partir de pequeños triángulos que forman un cuadrado en la base). Ya que por condición tenemos:

Ahora todo está listo: coordenadas de vértice:

Componemos la ecuación del avión:

Ya eres un experto en el cálculo de determinantes. Sin dificultad recibirás:

O en caso contrario (si multiplicamos ambos lados por la raíz de dos)

Ahora encontremos la ecuación del avión:

(No has olvidado cómo obtenemos la ecuación de un avión, ¿verdad? Si no entiendes de dónde viene este menos uno, ¡vuelve a la definición de la ecuación de un avión! Siempre resultaba antes de eso. ¡Mi avión pertenecía al origen!)

Calculamos el determinante:

(¡Puedes notar que la ecuación del plano coincide con la ecuación de la recta que pasa por los puntos y! ¡Piensa por qué!)

Ahora calculemos el ángulo:

Necesitamos encontrar el seno:

Respuesta:

3. Pregunta capciosa: ¿qué es? prisma rectangular, ¿Cómo piensas? ¡Esto es sólo un paralelepípedo que conoces bien! ¡Hagamos un dibujo ahora mismo! Ni siquiera es necesario representar la base por separado; aquí es de poca utilidad:

El plano, como señalamos anteriormente, se escribe en forma de ecuación:

Ahora creemos un avión.

Inmediatamente creamos la ecuación del avión:

Buscando un ángulo:

Ahora las respuestas a los dos últimos problemas:

Bueno, ahora es el momento de tomarnos un pequeño descanso, ¡porque tú y yo somos geniales y hemos hecho un gran trabajo!

Coordenadas y vectores. nivel avanzado

En este artículo discutiremos contigo otra clase de problemas que se pueden resolver usando el método de coordenadas: los problemas de cálculo de distancias. Es decir, consideraremos los siguientes casos:

1. Cálculo de la distancia entre líneas que se cruzan.

He ordenado estas tareas en orden de dificultad creciente. Resulta ser más fácil de encontrar. distancia de un punto a un plano, y lo más difícil es encontrar distancia entre líneas que se cruzan. Aunque, por supuesto, ¡nada es imposible! No pospongamos las cosas y pasemos inmediatamente a considerar la primera clase de problemas:

Calcular la distancia de un punto a un plano.

¿Qué necesitamos para solucionar este problema?

1. Coordenadas de puntos

Entonces, tan pronto como recibamos todos los datos necesarios, aplicamos la fórmula:

Ya deberías saber cómo construimos la ecuación de un plano a partir de tareas anteriores, que hablé en la última parte. Vayamos directamente a las tareas. El esquema es el siguiente: 1, 2 - Te ayudo a decidir, y con cierto detalle, 3, 4 - solo la respuesta, tú mismo resuelves y comparas. ¡Empecemos!

Tareas:

1. Dado un cubo. La longitud de las aristas del cubo es igual. Encuentra la distancia desde el se-re-di-na desde el corte hasta el plano.

2. Dado el pi-ra-mi-sí de cuatro carbones derecho, el lado del lado es igual a la base. Encuentre la distancia desde el punto al plano donde - se-re-di-en los bordes.

3. En el triángulo recto pi-r-mi-de con el os-no-va-ni-em, el borde lateral es igual y el cien-ro-en el os-no-va-nia es igual. Encuentra la distancia desde la cima al avión.

4. En un prisma hexagonal rectángulo, todas las aristas son iguales. Calcula la distancia de un punto a un plano.

Soluciones:

1. Dibuja un cubo con aristas simples, construye un segmento y un plano, indica el medio del segmento con una letra.

.

Primero, comencemos con lo fácil: encontrar las coordenadas del punto. Desde entonces (¡recuerda las coordenadas de la mitad del segmento!)

Ahora componemos la ecuación del avión usando tres puntos.

\[\izquierda| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Ahora puedo empezar a encontrar la distancia:

2. ¡Empezamos de nuevo con un dibujo en el que marcamos todos los datos!

Para una pirámide, sería útil dibujar su base por separado.

¡Incluso el hecho de que dibujo como un pollo con su pata no nos impedirá resolver este problema con facilidad!

Ahora es fácil encontrar las coordenadas de un punto.

Dado que las coordenadas del punto, entonces

2. Dado que las coordenadas del punto a son la mitad del segmento, entonces

Sin problemas podemos encontrar las coordenadas de dos puntos más del plano. Creamos una ecuación para el plano y la simplificamos:

\[\izquierda| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Como el punto tiene coordenadas: , calculamos la distancia:

Respuesta (¡muy rara!):

Bueno, ¿lo descubriste? Me parece que aquí todo es tan técnico como en los ejemplos que vimos en la parte anterior. Así que estoy seguro de que si dominas ese material, entonces no te resultará difícil resolver los dos problemas restantes. Sólo te daré las respuestas:

Calcular la distancia de una línea recta a un plano

De hecho, no hay nada nuevo aquí. ¿Cómo se pueden posicionar una línea recta y un plano entre sí? Sólo tienen una posibilidad: cruzarse, o ser una recta paralela al plano. ¿Cuál crees que es la distancia de una línea recta al plano con el que se cruza esta línea recta? Me parece que aquí está claro que esa distancia es igual a cero. No es un caso interesante.

El segundo caso es más complicado: aquí la distancia ya es distinta de cero. Sin embargo, como la recta es paralela al plano, entonces cada punto de la recta equidista de este plano:

De este modo:

Esto significa que mi tarea se ha reducido a la anterior: buscamos las coordenadas de cualquier punto en línea recta, buscamos la ecuación del plano y calculamos la distancia del punto al plano. De hecho, estas tareas son extremadamente raras en el Examen Estatal Unificado. ¡Logré encontrar solo un problema y los datos que contenía eran tales que el método de coordenadas no era muy aplicable!

Ahora pasemos a otra cosa, mucho más. clase importante tareas:

Calcular la distancia de un punto a una recta

¿Qué necesitamos?

1. Coordenadas del punto desde el que buscamos la distancia:

2. Coordenadas de cualquier punto que se encuentre en una línea.

3. Coordenadas del vector director de la recta.

¿Qué fórmula utilizamos?

Deberías tener claro lo que significa el denominador de esta fracción: esta es la longitud del vector director de la línea recta. ¡Este es un numerador muy complicado! La expresión significa el módulo (longitud) del producto vectorial de vectores y Cómo calcular el producto vectorial, lo estudiamos en la parte anterior del trabajo. Actualice sus conocimientos, ¡los necesitaremos mucho ahora!

Así, el algoritmo para la resolución de problemas será el siguiente:

1. Buscamos las coordenadas del punto desde el que buscamos la distancia:

2. Buscamos las coordenadas de cualquier punto de la recta al que buscamos la distancia:

3. Construye un vector

4. Construya un vector director de una línea recta.

5. Calcula el producto vectorial.

6. Buscamos la longitud del vector resultante:

7. Calcula la distancia:

¡Tenemos mucho trabajo por hacer y los ejemplos serán bastante complejos! ¡Así que ahora centra toda tu atención!

1. Dada una pi-r-mi-da triangular recta con cima. El cien-ro-sobre la base del pi-ra-mi-dy es igual, ustedes son iguales. Encuentra la distancia desde el borde gris hasta la línea recta, donde los puntos y son los bordes grises y desde veterinaria.

2. Las longitudes de los bordes y el ángulo recto-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da son iguales en consecuencia y encuentre la distancia desde la parte superior hasta la línea recta.

3. En un prisma hexagonal rectángulo, todas las aristas son iguales, encuentra la distancia de un punto a una línea recta.

Soluciones:

1. Hacemos un dibujo cuidado en el que marcamos todos los datos:

¡Tenemos mucho trabajo por hacer! Primero, me gustaría describir con palabras qué buscaremos y en qué orden:

1. Coordenadas de puntos y

2. Coordenadas de puntos

3. Coordenadas de puntos y

4. Coordenadas de vectores y

5. Su producto cruzado

6. Longitud del vector

7. Longitud del producto vectorial

8. Distancia de a

Bueno, ¡tenemos mucho trabajo por delante! ¡Vamos a ello con las mangas arremangadas!

1. Para encontrar las coordenadas de la altura de la pirámide, necesitamos saber las coordenadas del punto. Su aplicada es igual a cero y su ordenada es igual a su abscisa, ya que es igual a la longitud del segmento. altura de un triángulo equilátero, se divide en proporción, contando desde el vértice, desde aquí. Finalmente obtuvimos las coordenadas:

Coordenadas de puntos

2.- mitad del segmento

3.- mitad del segmento

Punto medio del segmento

4.Coordenadas

Coordenadas vectoriales

5. Calcula el producto vectorial:

6. Longitud del vector: la forma más sencilla de reemplazar es que el segmento sea la línea media del triángulo, lo que significa que es igual a la mitad de la base. Entonces.

7. Calcule la longitud del producto vectorial:

8. Finalmente, encontramos la distancia:

¡Uf, eso es todo! Te lo diré honestamente: resolver este problema usando métodos tradicionales (mediante la construcción) sería mucho más rápido. ¡Pero aquí reduje todo a un algoritmo ya preparado! ¿Creo que el algoritmo de solución te resulta claro? Por lo tanto, le pediré que resuelva usted mismo los dos problemas restantes. ¿Comparemos las respuestas?

Nuevamente repito: es más fácil (más rápido) resolver estos problemas mediante construcciones, que recurrir a método de coordenadas. Demostré este método de solución sólo para mostrarles un método universal que les permite "no terminar de construir nada".

Finalmente, considere la última clase de problemas:

Calcular la distancia entre líneas que se cruzan

Aquí el algoritmo de resolución de problemas será similar al anterior. Lo que tenemos:

3. Cualquier vector que conecte los puntos de la primera y segunda línea:

¿Cómo encontramos la distancia entre líneas?

La fórmula es la siguiente:

El numerador es el módulo del producto mixto (lo introdujimos en la parte anterior), y el denominador es, como en la fórmula anterior (el módulo del producto vectorial de los vectores directores de las rectas, la distancia entre las cuales están buscando).

te recordaré que

Entonces la fórmula para la distancia se puede reescribir como:

¡Este es un determinante dividido por un determinante! Aunque, para ser honesto, ¡aquí no tengo tiempo para bromas! Esta fórmula, de hecho, es muy engorroso y conduce a bastante cálculos complejos. ¡Si yo fuera usted, recurriría a ello sólo como último recurso!

Intentemos resolver algunos problemas utilizando el método anterior:

1. En un prisma triangular rectángulo, cuyos bordes son iguales, encuentre la distancia entre las líneas rectas y.

2. Dado un prisma triangular rectángulo, todas las aristas de la base son iguales a la sección que pasa por la nervadura del cuerpo y las nervaduras se-re-di-well son un cuadrado. Encuentra la distancia entre las rectas y

¡Yo decido lo primero, y en base a ello, tú decides lo segundo!

1. Dibujo un prisma y marco líneas rectas y

Coordenadas del punto C: entonces

Coordenadas de puntos

Coordenadas vectoriales

Coordenadas de puntos

Coordenadas vectoriales

Coordenadas vectoriales

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Calculamos el producto vectorial entre vectores y

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Ahora calculamos su longitud:

Respuesta:

Ahora intenta completar la segunda tarea con cuidado. La respuesta será: .

Coordenadas y vectores. Breve descripción y fórmulas básicas.

Un vector es un segmento dirigido. - el comienzo del vector, - el final del vector.
Un vector se denota por o.

valor absoluto vector: la longitud del segmento que representa el vector. Denotado como.

Coordenadas vectoriales:

,
¿Dónde están los extremos del vector \displaystyle a ?

Suma de vectores: .

Producto de vectores:

Producto escalar de vectores: