Igualmente interesante y no menos importante es el campo dipolar que surge en otras circunstancias. Tengamos un cuerpo con distribución compleja carga, digamos, como la de una molécula de agua (ver figura 6.2), y sólo nos interesa el campo alejado de ella. Demostraremos que es posible obtener una expresión relativamente simple para los campos, adecuada para distancias mucho mayores que las dimensiones del cuerpo.
Podemos considerar este cuerpo como un grupo. cargos puntuales en algún área limitada (Fig. 6.7). (Más adelante, si es necesario, lo reemplazaremos con .) Dejemos que la carga se elimine del origen de coordenadas, elegido en algún lugar dentro del grupo de cargas, a una distancia . ¿Cuál es el potencial en un punto ubicado en algún lugar lejano, a una distancia mucho mayor que la mayor de ? El potencial de todo nuestro cluster se expresa mediante la fórmula
, (6.21)
¿Dónde está la distancia desde la carga (longitud del vector)? Si la distancia desde las cargas hasta (hasta el punto de observación) es extremadamente grande, entonces cada una de ellas se puede tomar como . Cada término de la suma será igual a y podrá eliminarse debajo del signo de la suma. El resultado es sencillo
, (6.22)
¿Dónde está la carga total del cuerpo? Así, estamos convencidos de que desde puntos suficientemente alejados de la acumulación de cargas, parece que se trata simplemente de una carga puntual. En general, este resultado no es muy sorprendente.
Figura 6.7. Cálculo del potencial en un punto muy alejado de un grupo de cargas.
¿Pero qué pasa si hay igual número de cargas positivas y negativas en el grupo? La carga total será entonces igual a cero. Este no es un caso tan raro; Sabemos que la mayoría de los cuerpos son neutrales. La molécula de agua es neutra, pero las cargas que contiene no están situadas en un punto, por lo que cuando nos acercamos debemos notar algunas señales de que las cargas están separadas. Para potencial distribución aleatoria cargas en un cuerpo neutro, necesitamos una aproximación mejor que la dada por la fórmula (6.22). La ecuación (6.21) sigue siendo válida, pero ya no se puede asumir. Se necesita una expresión más precisa. En una buena aproximación, se puede considerar diferente de (si el punto está muy distante) la proyección de un vector sobre un vector (ver Fig. 6.7, pero sólo debes imaginar que está mucho más lejos de lo que se muestra). En otras palabras, si es un vector unitario en la dirección, entonces se debe tomar la siguiente aproximación a
Pero lo que necesitamos no es, sino; en nuestra aproximación (teniendo en cuenta ) es igual a
(6.24)
Sustituyendo esto en (6.21), vemos que el potencial es igual a
(6.25)
Los puntos suspensivos indican miembros orden superior por lo que hemos descuidado. Al igual que los términos que escribimos, estos son términos posteriores de la expansión de la serie de Taylor en la vecindad de potencias de .
Ya hemos obtenido el primer término en (6.25); en cuerpos neutros desaparece. El segundo término, como el de un dipolo, depende de . En efecto, si definimos
como una cantidad que describe distribuciones de carga, entonces el segundo término del potencial (6.25) se convierte en
es decir, justo en el potencial dipolar. La cantidad se llama momento dipolar de la distribución. Esta es una generalización de nuestra definición anterior; se reduce a ello en el caso especial de cargos puntuales.
Como resultado, descubrimos que lo suficientemente lejos de cualquier conjunto de cargas el potencial resulta ser dipolo, siempre que este conjunto sea generalmente neutral. Disminuye como , y cambia como , y su valor depende del momento dipolar de la distribución de carga. Es por este motivo que los campos dipolares son importantes; Los pares de cargas puntuales son extremadamente raros.
Para una molécula de agua, por ejemplo, momento dipolar bastante grande. El campo eléctrico creado por este momento es responsable de algunos propiedades importantes agua. Y para muchas moléculas, digamos, el momento dipolar desaparece debido a su simetría. En el caso de moléculas de este tipo, la descomposición debe realizarse con mayor precisión, hasta los siguientes términos del potencial, que disminuyen, lo que se denomina potencial cuadrupolar. Consideraremos estos casos más adelante.
- Pieles Alexander Nikolaevich bielorruso universidad estatal, Nezavisimosti Ave., 4, 220030, Minsk, República de Bielorrusia
Anotación
En la calibración de Coulomb se calculan los potenciales de campo de una distribución arbitraria de cargas y corrientes. Se demuestra que potencial vectorial está determinado no solo por los valores de la densidad de corriente en momentos de tiempo retrasados, sino también por el historial de cambios en la densidad de carga durante un intervalo de tiempo limitado por el retraso y momentos actuales. Recibió diferentes puntos de vista Potenciales de Lienard-Wiechert en el calibre de Coulomb. Se aplican al caso de una carga puntual que se mueve uniforme y rectilíneamente.
Biografía del autor
Alexander Nikolaevich Furs, Universidad Estatal de Bielorrusia, Independence Ave., 4, 220030, Minsk, República de Bielorrusia
Doctor en Ciencias Físicas y Matemáticas, Profesor Asociado; Profesor del Departamento de Física Teórica y Astrofísica, Facultad de Física
Literatura
1. Landau L. D., Lifshits E. M. Teoría de campo. M., 1973.
2. Jackson J. Electrodinámica clásica. M., 1965.
3. Bredov M. M., Rumyantsev V. V., Toptygin I. N. Electrodinámica clásica. M., 1985.
4. Heitler W. Teoría cuántica radiación. M., 1956.
5. Ginzburg V.L. Física teórica y astrofísica. Capítulos adicionales. M., 1980.
6. Wundt B. J., Jentschura U. D. Fuentes, potenciales y campos en el calibre de Lorenz y Coulomb: Cancelación de interacciones instantáneas para cargas puntuales en movimiento // Ann. Física. 2012. vol. 327, núm. 4. P. 1217–1230.
7. Akhiezer A. I., Berestetsky V. B. Electrodinámica cuántica. M., 1969.
Invariancia de calibre, calibres de Lorentz y Coulomb, potenciales retardados, potenciales de Lienard-Wiechert
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Potencial de campo de un sistema de cargas.
Deje que el sistema esté formado por cargas puntuales estacionarias q 1, q 2, ... Según el principio de superposición en cualquier punto del campo, la intensidad es E = E 1 + E 2 +., donde E 1 es la intensidad del campo de la carga q 1, etc. Entonces podemos escribir usando la fórmula (1.8):
donde es decir El principio de superposición resulta válido también para el potencial. Por tanto, el potencial de un sistema de cargas puntuales estacionarias.
donde r i es la distancia desde la carga puntual q, al punto de campo de nuestro interés. También aquí se omite la constante arbitraria. Esto es totalmente coherente con el hecho de que cada sistema real Las cargas están limitadas en el espacio, por lo que su potencial en el infinito puede considerarse igual a cero.
Si las cargas que forman el sistema se distribuyen continuamente, entonces, como de costumbre, consideramos que cada volumen elemental dV contiene una carga "puntual" cdV, donde c es la densidad de carga volumétrica en la ubicación del volumen dV. Teniendo esto en cuenta, a la fórmula (1.10) se le puede dar una forma diferente
donde la integración se realiza ya sea en todo el espacio o en la parte del mismo que contiene cargas. Si las cargas están ubicadas solo en la superficie S , Eso
donde y - densidad superficial cargar; dS - elemento de superficie S. Una expresión similar será en el caso en que las cargas se distribuyan linealmente.
Entonces, conociendo la distribución de cargas (discreta, continua), podemos, en principio, encontrar el potencial de campo de cualquier sistema.
Relación entre potencial y intensidad de campo.
El campo eléctrico, como se sabe, está completamente descrito por la función vectorial E (r). Sabiéndolo, podemos encontrar la fuerza que actúa sobre la carga que nos interesa en cualquier punto del campo, calcular el trabajo de las fuerzas del campo para cualquier movimiento de la carga y más. ¿Qué hace la introducción de potencial? En primer lugar, resulta que conociendo el potencial μ(r) de un campo eléctrico dado, se puede simplemente restaurar el propio campo E(r). Consideremos este tema con más detalle.
La conexión entre q y E se puede establecer mediante la ecuación (1.8). Sea el desplazamiento dl paralelo al eje X. , entonces dl =Ei dx, donde i es el vector unitario del eje X; dx - incremento de coordenadas x . En este caso
¿Dónde está la proyección del vector E sobre el vector unitario i (y no sobre el desplazamiento dl)? Comparando la última expresión con la fórmula (1.8), obtenemos
donde el símbolo de la derivada parcial enfatiza que la función μ (x, y, z) debe derivarse solo con respecto a x , contando y yz siendo constante.
Usando un razonamiento similar, podemos obtener las expresiones correspondientes para las proyecciones E y y E z. Y habiendo determinado E x , E y , E z es fácil encontrar el vector E mismo
La cantidad entre paréntesis no es más que el gradiente de potencial c (grad c). Aquellos. la intensidad del campo E es igual con un signo menos al gradiente de potencial. Esta es la fórmula con la que puedes restaurar el campo E, conociendo la función μ(r).
Superficies equipotenciales
Introduzcamos el concepto de superficie equipotencial: una superficie en la que el potencial μ tiene el mismo valor en todos sus puntos. Asegurémonos de que el vector E esté dirigido en cada punto a lo largo de la normal a la superficie equipotencial en la dirección del potencial decreciente. De hecho, de la fórmula (1.13) se deduce que la proyección del vector E en cualquier dirección tangente a la superficie equipotencial en un punto dado es igual a cero. Esto significa que el vector E es normal a esta superficie. A continuación, tomemos el desplazamiento dx a lo largo de la normal a la superficie en la dirección decreciente c, luego 5c<0 и согласно (1.13) E x >0, es decir El vector E está dirigido en la dirección de q decreciente, o en la dirección opuesta al vector grad q.
Lo más recomendable es conducir superficies equipotenciales de modo que la diferencia de potencial para dos superficies adyacentes sea la misma. Entonces, por la densidad de las superficies equipotenciales, se puede juzgar claramente el valor de la intensidad del campo en diferentes puntos. Donde estas superficies son más densas (“relieve potencial más pronunciado”), la intensidad del campo es mayor.
¿Dónde está cada uno?
Sustituyendo obtenemos:
Para distribución continua similar: 
Dónde V- la región del espacio donde se encuentran las cargas (densidad de carga distinta de cero), o todo el espacio, - el radio vector del punto para el cual calculamos, - el radio vector de la fuente, que pasa por todos los puntos de la región ^V al integrar, dV- elemento de volumen.
Un campo eléctrico cuya intensidad es la misma en magnitud y dirección en cualquier punto del espacio se llama campo eléctrico uniforme .
El campo eléctrico entre dos placas metálicas planas con cargas opuestas es aproximadamente uniforme. Las líneas de tensión en un campo eléctrico uniforme son paralelas entre sí.
En distribución uniforme carga electrica q sobre la superficie del área S la densidad de carga superficial es constante e igual a
4.Potencial electrostato campos. Equipotencial superficie Equipo Ur-e. superficie
Un campo electrostático es el campo eléctrico de cargas estacionarias en el sistema de referencia elegido. Características principales campo electrostático son tensión y potencial. Potencial en cualquier punto del el.stat. hay campos cantidad fisica, determinado por la energía potencial carga positiva, colocado en este punto.
La diferencia de potencial entre dos puntos es igual al trabajo realizado al mover una unidad de carga positiva del punto 1 al punto 2.
A menudo es conveniente tomar el potencial de un punto infinitamente distante en el espacio como potencial cero. Potencial– característica energética del campo electrostático. Si el nivel cero energía potencial El sistema de cargas se elige condicionalmente en el infinito, entonces la expresión representa el trabajo de una fuerza externa para mover una sola carga positiva desde el infinito hasta el punto B considerado: 
;
Una superficie en todos los puntos de la cual el potencial de campo eléctrico tiene mismos valores, se llama superficie equipotencial.
Entre dos puntos cualesquiera de la superficie equipotencial, la diferencia de potencial es cero, por lo que el trabajo realizado por las fuerzas del campo eléctrico para cualquier movimiento de una carga a lo largo de la superficie equipotencial es cero. Esto significa que el vector de fuerza Fe en cualquier punto de la trayectoria de la carga a lo largo de la superficie equipotencial es perpendicular al vector de velocidad. En consecuencia, las líneas de intensidad del campo electrostático son perpendiculares a la superficie equipotencial.
Si el potencial se da en función de las coordenadas (x, y, z), entonces la ecuación de la superficie equipotencial tiene la forma:
φ(x, y, z) = constante
Las superficies equipotenciales del campo de una carga eléctrica puntual son esferas en cuyo centro se encuentra la carga. Las superficies equipotenciales de un campo eléctrico uniforme son planos perpendiculares a las líneas de tensión.
5. Relación entre tensión y potencial. Potenciales de campo de carga puntual y producción. cargar cuerpos. Potente. campo uniforme.
Encontremos la relación entre la intensidad del campo electrostático, que es su característica de potencia, y el potencial. características energéticas campos.
El trabajo de mover una carga positiva puntual de un punto a otro a lo largo del eje x, siempre que los puntos estén ubicados infinitamente cerca uno del otro, es igual a A = Exdxq0. El mismo trabajo es igual a A=(1-2)q0=-d Igualando ambas expresiones, podemos escribir
Ej=-d/dx. De manera similar, Ey=-д/дy, Ez=-д/z. Por lo tanto E= Exi+ Eyj+ Ezk, donde i, j, k - vectores de unidad ejes de coordenadas x, y, z. Entonces 
es decir, la intensidad del campo E es igual al gradiente de potencial con un signo menos. El signo menos está determinado por el hecho de que el vector de intensidad de campo E está dirigido en la dirección de potencial decreciente.
Para imagen grafica Las distribuciones del potencial del campo electrostático, como en el caso de la gravedad cero, utilizan superficies equipotenciales, superficies en las que el potencial tiene el mismo valor en todos los puntos. 
Si el campo es creado por una carga puntual, entonces su potencial, según, =(1/40)Q/r. Por lo tanto, las superficies equipotenciales en en este caso- esferas concéntricas.
Por el contrario, las líneas de tensión en el caso de una carga puntual son líneas rectas radiales. En consecuencia, las líneas de tensión en el caso de una carga puntual son perpendiculares a las superficies equipotenciales.
^ Potencial de campo de carga puntual q en un medio isotrópico homogéneo con constante dieléctrica :
Potencial de campo uniforme:
φ = W p / q = -E x x + C
El valor potencial en un punto dado depende de la elección. nivel cero para medir el potencial. Este nivel se elige arbitrariamente.
6. trabajo de las fuerzas del electrostático. campos para la transferencia de cargos por puntos. Electrostato de circulación y rotor. Campos
El trabajo elemental realizado por la fuerza F al mover una carga eléctrica puntual qpr de un punto del campo electrostático a otro en un segmento de trayectoria dl es, por definición, igual a 
donde es el ángulo entre el vector de fuerza F y la dirección del movimiento dl. Si el trabajo lo realizan fuerzas externas, entonces dA=0. Integrando la última expresión, obtenemos que el trabajo contra las fuerzas del campo al mover una carga de prueba qpr desde el punto “a” al punto “b” será igual a... 
Dónde - fuerza de culombio, actuando sobre la carga de prueba qpr en cada punto del campo con intensidad E. Entonces el trabajo... 
Deje que una carga se mueva en el campo de carga q desde el punto “a”, distante de q a una distancia, hasta el punto “b”, alejado de q a una distancia (figura 1.12).
Como se puede ver en la figura, entonces obtenemos 
Como se mencionó anteriormente, el trabajo de las fuerzas del campo electrostático realizado contra fuerzas externas, es igual en magnitud y de signo opuesto al trabajo de fuerzas externas, por lo tanto 
El trabajo de las fuerzas electrostáticas a lo largo de cualquier circuito cerrado es cero. aquellos. La circulación del campo electrostático a lo largo de cualquier circuito es cero. Tomemos cualquier superficie. S, basado en el contorno GRAMO.
Según el teorema de Stokes: dado que esto es para cualquier superficie
Hay una identidad: . aquellos. líneas eléctricas Los campos electrostáticos no circulan en el espacio.
7. Gauss t-ma para el campo vectorial E(r). Divergencia Electrostato. Campos. Ur-e Poisson por su potencial. Electrostato. Campos
^ Teorema de Gauss- el teorema básico de la electrodinámica, que se utiliza para calcular los campos eléctricos. Expresa la relación entre el flujo de intensidad de campo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga en el volumen limitado por esta superficie.
El flujo del vector de intensidad del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada elegida arbitrariamente es proporcional a la carga eléctrica contenida dentro de esta superficie. , donde Para el teorema de Gauss, el principio de superposición es válido, es decir, el flujo del vector de intensidad a través de la superficie no depende de la distribución de carga dentro de la superficie.
El teorema de Gauss para el vector de intensidad del campo electrostático también se puede formular en forma diferencial. De hecho, considere el campo de una carga eléctrica puntual ubicada en el origen de coordenadas: 
De la relación se sigue 
Es fácil comprobar que para , es decir, para un punto de observación en el que no hay carga eléctrica, es válida la siguiente relación: 
(1.55)
operación matemática en el lado izquierdo de la relación (1.55) tiene nombre especial"divergencia campo vectorial y designación especial 
ecuación de poisson- ecuación diferencial parcial elíptica, que, entre otras cosas, describe el campo electrostático. Esta ecuación se parece a:
donde Δ es el operador de Laplace o Laplaciano, y F- válido o función compleja en alguna variedad.
En tres dimensiones sistema cartesiano coordenadas la ecuación toma la forma:
En el sistema de coordenadas cartesiano, el operador de Laplace se escribe en la forma y la ecuación de Poisson toma la forma: Si F tiende a cero, entonces la ecuación de Poisson se convierte en la ecuación de Laplace: 
donde Ф - potencial electrostático, es la densidad de carga volumétrica y es la constante dieléctrica del vacío.
En la región del espacio donde no hay densidad de carga desapareada, tenemos: =0 y la ecuación del potencial se convierte en la ecuación de Laplace:
Un campo electrostático es un campo creado por cargas eléctricas estacionarias en el espacio e inmutables en el tiempo (en ausencia de corrientes eléctricas).
Si hay un sistema de cuerpos cargados en el espacio, entonces en cada punto de este espacio hay un campo eléctrico de fuerza. Se determina mediante la fuerza que actúa sobre una carga de prueba colocada en este campo. La carga de prueba debe ser pequeña para no afectar las características del campo electrostático.
Debido al principio de superposición, el potencial de todo el conjunto de cargas igual a la suma potenciales creados en un punto dado del campo por cada una de las cargas por separado: 
*
La cantidad se llama momento dipolar eléctrico del sistema de carga.
^ Eléctrico momento dipolar o simplemente momento dipolar sistema de cargas q i es la suma de los productos de las magnitudes de las cargas y sus vectores de radio.
Generalmente se denota el momento dipolar. letra latina d o la letra latina p.
El momento dipolar es de suma importancia en física cuando se estudian sistemas neutros. La acción de un campo eléctrico sobre un sistema neutro de cargas y el campo eléctrico creado por un sistema neutro están determinados principalmente por el momento dipolar. Esto se aplica en particular a los átomos y las moléculas.
Los sistemas neutros de cargas con un momento dipolar distinto de cero se denominan dipolos.
Propiedades: El momento dipolar total definido anteriormente depende del sistema de referencia. Sin embargo, para un sistema neutral la suma de todas las cargas es cero, por lo que la dependencia del sistema de referencia desaparece.
El dipolo mismo consta de dos idénticos. valor absoluto, pero en dirección opuesta a las cargas + q y -q, que están a cierta distancia r entre sí. El momento dipolar es entonces igual en valor absoluto a qr y se dirige de la carga positiva a la negativa. En el caso de una distribución de carga continua con densidad, el momento dipolar se determina integrando 
9. Dipolo en electrostato externo. Campo. El momento de fuerza que actúa sobre el dipolo, potencial. Energía dipolar en un campo uniforme.
Un dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas puntuales opuestas del mismo tamaño y , cuya distancia es significativamente menor que la distancia a aquellos puntos en los que se determina el campo del sistema. La línea recta que pasa por ambas cargas se llama eje dipolar. De acuerdo con el principio de superposición, el potencial de campo en algún punto A es igual a: .
| Elija el punto A de modo que la longitud sea mucho menor que las distancias y . En este caso podemos suponer que; y la fórmula para el potencial dipolar se puede reescribir:
| ¿Dónde está el ángulo entre el eje del dipolo y la dirección al punto A dibujada desde el dipolo? la obra se llama momento dipolar eléctrico o momento dipolar. El vector se dirige a lo largo del eje dipolar desde la carga negativa a la positiva. Por tanto, el producto en la fórmula es el momento dipolar y, en consecuencia: |
Momento de fuerza que actúa sobre un dipolo en un campo eléctrico externo.
Coloquemos un dipolo en un campo eléctrico. Deje que la dirección del dipolo forme un cierto ángulo con la dirección del vector de intensidad. Una carga negativa actúa sobre una fuerza dirigida contra el campo y una carga positiva actúa sobre una fuerza dirigida a lo largo del campo. Estas fuerzas se forman un par de fuerzas con par: V forma vectorial:
^ Un dipolo en un campo externo uniforme gira bajo la influencia de un par. de tal forma que la fuerza que actúa sobre la carga positiva del dipolo coincide en dirección con el vector y eje del dipolo. Esta disposición corresponde a
10. Dieléctricos en el electrostato. Campo. Vectores de polarización y el. Compensaciones. Diel. Receptivo Y perspicaz. Miércoles. La conexión entre ellos.
Los dieléctricos son sustancias que prácticamente no tienen portadores de carga libres. Por tanto, no conducen corriente, las cargas no se transfieren, sino que están polarizadas. Los dieléctricos son sustancias. estructura molecular, las fuerzas de unión de sus cargas en el interior mas fuerza campo externo y están conectados, cerrados dentro de las moléculas y sólo parcialmente desplazados por el campo externo, provocando la polarización.
En presencia de un campo electrostático externo, las moléculas dieléctricas se deforman. Una carga positiva se desplaza en la dirección del campo externo y una carga negativa en la dirección del campo externo. dirección opuesta, formando un dipolo, una carga ligada. En dieléctricos que tienen moléculas dipolo, sus momentos eléctricos bajo la influencia de un campo externo están parcialmente orientados en la dirección del campo. Para la mayoría de los dieléctricos, la dirección del vector de polarización coincide con la dirección del vector de intensidad del campo externo, y la dirección del vector de intensidad de la carga polarizada es opuesta a la dirección del vector de intensidad del campo externo (de + q A - q). 
Vector de polarización determinado por suma geométrica Momentos eléctricos de dipolos por unidad de volumen. Para la mayoría de los dieléctricos, donde k es la susceptibilidad dieléctrica relativa.
También se utiliza en cálculos eléctricos. vector desplazamiento eléctrico(inducción):,donde .El vector depende tanto de las cargas libres como de las ligadas.
Permitividad El entorno ε muestra cuántas veces la fuerza de interacción entre dos cargas electricas en un medio es menor que en el vacío. Susceptibilidad dieléctrica (polarizabilidad) sustancia: una cantidad física, una medida de la capacidad de una sustancia para polarizarse bajo la influencia de un campo eléctrico. La polarizabilidad está relacionada con la relación de la constante dieléctrica ε: 
, o.
11. Métodos gaussianos para los campos vectoriales P(r) y D(r) en integral. Y definitivamente. Formularios 
Teorema de Gauss para el vector: el flujo del vector de polarización a través de una superficie cerrada es igual al tomado de signo opuesto exceso de carga ligada del dieléctrico en el volumen cubierto por la superficie. 
forma diferencial: la divergencia del vector de polarización es igual a la densidad volumétrica del exceso de carga unida tomada con el signo opuesto en el mismo punto.
Puntos donde están las fuentes del campo (de donde divergen las líneas de campo), y viceversa, puntos donde están los sumideros del campo.
Densidad; , Cuando:
1) - el dieléctrico no es homogéneo; 2) - el campo no es uniforme.
Cuando se polariza un dieléctrico isotrópico homogéneo, sólo aparecen cargas unidas a la superficie, pero no cargas de volumen.
^ Teorema de Gauss para el vector D
El flujo del vector de desplazamiento eléctrico D a través de una superficie cerrada S es igual a suma algebraica cargas libres ubicadas en el volumen limitado por esta superficie, es decir (1)
Si no depende de las coordenadas ( medio isotrópico), Eso
De la ecuación (1) se deduce que cuando la carga se encuentra fuera del volumen limitado por una superficie cerrada S, el flujo del vector D a través de la superficie S es cero.
Aplicando el teorema de Gauss-Ostrogradsky al lado izquierdo de (1) y expresando q a través de densidad aparente carga p, obtenemos:
Como el volumen se elige arbitrariamente, los integrandos son iguales:
forma diferencial El teorema de Gauss-Ostrogradsky (2-78) establece que las fuentes del vector de desplazamiento eléctrico son cargas eléctricas. En aquellas zonas del espacio donde p=0, no hay fuentes del vector de desplazamiento eléctrico y, por tanto, las líneas de campo no tienen rupturas, ya que div D=0. Para medios con constante dieléctrica absoluta que no depende de coordenadas, podemos escribir:
Los conductores metálicos contienen portadores de carga libres: electrones de conducción ( electrones libres), que puede moverse a lo largo de todo el conductor bajo la influencia de un campo eléctrico externo. En ausencia de un campo externo campos electricos electrones de conducción y iones positivos Los metales se compensan mutuamente. Si un conductor metálico se introduce en un campo electrostático externo, entonces, bajo la influencia de este campo, los electrones de conducción se redistribuyen en el conductor de tal manera que en cualquier punto dentro del conductor el campo eléctrico de los electrones de conducción y los iones positivos compensa la campo externo.
^ El fenómeno de la inducción electrostática. Se llama redistribución de cargas en un conductor bajo la influencia de un campo electrostático externo. En este caso, aparecen cargas en el conductor que son numéricamente iguales entre sí, pero de signo opuesto: cargas inducidas (inducidas), que desaparecen tan pronto como se retira el conductor del campo eléctrico.
Dado que dentro del conductor E=-grad phi=0 el potencial será valor constante. Las cargas no compensadas se encuentran en un conductor sólo en su superficie.
al colocar un conductor neutro en un campo externo cargos gratis Comenzarán a moverse: los positivos, a lo largo del campo, y los negativos, contra el campo. Habrá un exceso de cargas positivas en un extremo del conductor y de cargas negativas en el otro. Finalmente, la intensidad del campo dentro del conductor será cero y las líneas de intensidad del campo fuera del conductor serán perpendiculares a su superficie.
^ Capacidad eléctrica de un conductor solitario.
para la pelota radio R 
Condensadores.
Para circuitos conectados en paralelo, la diferencia de potencial es la misma; para circuitos conectados en serie, las cargas de todas las placas son iguales en magnitud.
14.Energía de un condensador cargado. Energía y densidad energética del campo electrostático.
Como cualquier conductor cargado, un condensador tiene una energía igual a
W = C ()2/2=Q/2=Q2/(2C), (1) donde Q es la carga del capacitor, C es su capacidad, es la diferencia de potencial entre las placas.
Usando la expresión (1), se puede encontrar fuerza mecanica, desde donde las placas del condensador se atraen entre sí. Para hacer esto, supongamos que la distancia x entre las placas cambia, por ejemplo, en el valor Ax. Entonces fuerza efectiva funciona dA=Fdx, debido a una disminución en la energía potencial del sistema
Fdx=-dW, de donde F=dW/dx. (2) 
Al diferenciar en significado específico energía encontraremos la fuerza requerida: 
donde el signo menos indica que la fuerza F es una fuerza de atracción.
^ Energía del campo electrostático.
Transformemos la fórmula (1), expresando la energía. condensador plano a través de cargas y potenciales, usando la expresión para la capacitancia de un capacitor plano (C = 0/d) y la diferencia de potencial entre sus placas ( =Ed). Entonces obtenemos 
donde V=Sd es el volumen del condensador. Esta f-la muestra que la energía del condensador se expresa a través de una cantidad que caracteriza el campo electrostático: la intensidad E.
Densidad de energía volumétrica del campo electrostático.(energía por unidad de volumen)
w=W/V=0E2/2 = ED/2. (95,8)
La expresión (95.8) es válida sólo para un dieléctrico isotrópico, para el cual
se cumple la relación P=0E.
Las fórmulas (1) y (95.7) relacionan respectivamente la energía del condensador con la carga de sus placas y con la intensidad del campo.
Campo electromagnético - tensor campo electromagnético.
^ Vector de inducción magnética.
La inducción magnética de un campo magnético uniforme está determinada por el par máximo que actúa sobre el marco con el imán. momento igual a uno, cuando la normal es perpendicular a la dirección del campo.
^ El principio de superposición de campos magnéticos. : si un campo magnético es creado por varios conductores con corrientes, entonces el vector de inducción magnética en cualquier punto de este campo es igual a la suma del vector inducción magnética creado en este punto por cada corriente por separado:
Fuerza de Lorentz.
módulo de fuerza de Lorentz igual al producto el módulo de inducción del campo magnético B(vector) en el que se encuentra la partícula cargada, el módulo de carga q de esta partícula, su velocidad υ y el seno del ángulo entre las direcciones de la velocidad y el vector de inducción del campo magnético. la fuerza de Lorentz es perpendicular al vector velocidad de la partícula, no puede cambiar el valor de la velocidad, solo cambia su dirección y, por lo tanto, no realiza trabajo.
^ Movimiento de partículas cargadas en un campo magnético.
Si una partícula cargada se mueve hacia un campo magnético. Si el campo es perpendicular al vector B, entonces la fuerza de Lorentz es de magnitud constante y normal a la trayectoria de la partícula.
^ Corriente eléctrica Es el movimiento ordenado de partículas cargadas en un conductor. Para que surja, primero se debe crear un campo eléctrico, bajo cuya influencia las partículas cargadas antes mencionadas comenzarán a moverse.
^ Ley de Ohm-La intensidad de la corriente en una sección homogénea del circuito es directamente proporcional al voltaje aplicado a la sección e inversamente proporcional. resistencia electrica esta área.
La intensidad de la corriente es una cantidad física escalar determinada por la relación de la carga Δq que pasa a través de sección transversal conductor durante un cierto período de tiempo Δt, hasta este período de tiempo. 
EN problemas reales, que se puede encontrar en el proceso de estudio de física o en la práctica técnica y tecnológica, generalmente no se realiza una imagen simplificada con un conjunto discreto de cargas puntuales. Cada molécula está formada por átomos con núcleos cargados positivamente rodeados de cargas negativas: los electrones. Como resultado, la carga total del sistema no se describe mediante un conjunto de cargas puntuales, sino función p(t) (la dependencia del tiempo no se considera en electrostática) distribuciones de densidad de carga. Esta función determina la carga en el volumen infinitesimal que rodea el punto en cuestión.
Usando p(r), la carga total del sistema se determina como
Arroz. 5.20.
La función de distribución de densidad de carga es muy característica importante sistemas de carga, porque, conociendo esta función, se pueden calcular las propiedades de los sistemas de carga.
Considere el campo creado. sistema arbitrario cargas eléctricas distribuidas continuamente sobre un cuerpo cargado, descrita por la función p(r) (figura 5.20).
Plantémonos la tarea de calcular el campo de este sistema en algún momento. A, por suficiente larga distancia (g >> g") del sistema de carga seleccionado. Dirijamos el eje del sistema de coordenadas. Onz con el punto de partida en el punto ACERCA DE para que el punto A resultó estar sobre este eje. Potencial electrico en el punto A Según el principio de superposición de campos, la suma.
reducción de contribuciones de todos los cargos d q = p(r)dF" = = p(x", y", z") dV, creando un campo, es decir (en SI)
Dónde GRAMO- módulo vectorial de radio GRAMO agujas A, B cual se calcula el potencial; GRAMO"- argumento de función
distribución de carga; R=|l| = gramo - gramo", aquellos. distancia desde el elemento de volumen d V, en el que se concentra la carga d q al punto A. La integración se realiza sobre el volumen (o coordenadas GRAMO") en toda la zona V, que contiene cargas d q. Denotaremos 0 el ángulo entre los vectores.
r y r" y tener en cuenta que por el teorema del coseno R=(r 2 + + r" 2 - 2/r"cos 0) 1/2. Entonces la integral (5.54) se reescribirá en la forma
5.1. Campo electrostático 369
El valor de cada uno de los términos integrales en (5.56) depende de las características de la distribución de cargas en el sistema (es decir, en p (r")). Una vez calculados, se representan mediante números. ko, k Y a 2, respectivamente, y la dependencia de fl en GRAMO se puede representar por la suma
Cantidades A" llamado momentos eléctricos del sistema(primero, segundo, tercero y así sucesivamente pedidos, si la expansión continúa). Analicemos los términos entre paréntesis (5.57).
Magnitud a 0 está determinada por la integral
y representa la carga total del sistema concentrada en el origen de coordenadas (punto ACERCA DE en la figura. 5.20). lo llaman momento de monopolio(o simplemente monopolo). Naturalmente, para un sistema eléctricamente neutro a 0 = 0.
Cantidades A Y a 2, a diferencia de a 0, Depende de la forma de la distribución de carga. Coeficiente A representa el promedio momento dipolar eléctrico de un sistema de cargas
Dado que el valor r"cos 0 es la coordenada del elemento d V en el eje Onz, resulta que k x caracteriza el desplazamiento relativo de positivo y cargas negativas p(r")dV" a lo largo de este eje. De hecho, si imaginamos un sistema formado por dos cargas diferentes ± q en los puntos (0, 0, z) y (0, 0, - z) Con z= -/, donde / es la distancia
entre cargas, entonces se puede sacar el valor r"cosQ = ±-/
para el signo de la integral (5.59). Entonces la expresión restante Jp(r")dF" se convierte en igual a la carga q, y todo el coeficiente kb igual lq=p, constituirá un momento dipolar eléctrico orientado a lo largo de la dirección GRAMO(introducido en la subsección 5.1.5).
Coeficiente a 2 es una expresión
y se llama momento cuadripolar. En el SI, el momento cuadripolar se mide en unidades de C m. Para una distribución de carga esféricamente simétrica a 2= 0. Para “oblato” a lo largo del eje Onz distribución de carga positiva a 2 0, y para negativo a 2> 0. Si la distribución de carga se alarga a lo largo del eje Onz, entonces la relación entre los signos de las cargas para a 2 será todo lo contrario.
Un hecho importante es que, según la expresión (5.57), el potencial del campo electrostático de un sistema de cargas distribuidas disminuye de manera diferente al aumentar la distancia r al punto de observación: cuanto mayor es el orden del momento eléctrico, más rápido es el potencial de el campo creado por él disminuye con la distancia. Incluso los sistemas neutros (átomos, moléculas) crean un campo eléctrico a su alrededor, a través del cual estos sistemas interactúan entre sí. En consecuencia, cuanto mayor sea el orden del momento eléctrico, menor será la energía de interacción de la carga con el campo; por ejemplo, la interacción de los dipolos entre sí (interacción dipolo-dipolo) es notable interacción más débil cargas puntuales (monopolos) con potencial de Coulomb, etc.
- El momento cuadripolar se analiza con más detalle en la subsección 9.2.3 del análisis.
- Propiedades del núcleo atómico.
