Dependencia de la amplitud de las oscilaciones amortiguadas con el tiempo. Oscilaciones armónicas – Hipermercado del Conocimiento

1.21. 3OSCILACIONES FORZADAS Y AMORTIGUADAS

Ecuación diferencial de oscilaciones amortiguadas y su solución. Coeficiente de atenuación. Baraja logarítmicatiempo de amortiguación.Factor de calidad de oscilaciónSistema corporal.Proceso aperiódico. Ecuación diferencial de oscilaciones forzadas y su solución.Amplitud y fase de oscilaciones forzadas. El proceso de establecimiento de oscilaciones. El caso de la resonancia.Autooscilaciones.

La amortiguación de oscilaciones es una disminución gradual de la amplitud de las oscilaciones a lo largo del tiempo, debido a la pérdida de energía por parte del sistema oscilatorio.

Las oscilaciones naturales sin amortiguación son una idealización. Las razones de la atenuación pueden ser diferentes. En un sistema mecánico, las vibraciones se amortiguan por la presencia de fricción. Cuando se agote toda la energía almacenada en el sistema oscilatorio, las oscilaciones se detendrán. Por lo tanto la amplitud oscilaciones amortiguadas disminuye hasta llegar a ser igual a cero.

Oscilaciones amortiguadas, como el suyo, en sistemas de diferente naturaleza, pueden considerarse desde un único punto de vista: las características comunes. Sin embargo, características como la amplitud y el período requieren una redefinición, y otras requieren adición y aclaración en comparación con las mismas características para las oscilaciones naturales no amortiguadas. Señales generales y los conceptos de oscilaciones amortiguadas son los siguientes:

La ecuación diferencial debe obtenerse teniendo en cuenta la disminución durante el proceso de oscilación. energía vibratoria.

La ecuación de oscilación es una solución a una ecuación diferencial.

La amplitud de las oscilaciones amortiguadas depende del tiempo.

La frecuencia y el período dependen del grado de amortiguación de las vibraciones.

Fase y fase inicial tienen el mismo significado que para las oscilaciones continuas.

Oscilaciones mecánicas amortiguadas.

Sistema mecánico : péndulo de resorte teniendo en cuenta las fuerzas de fricción.

Fuerzas que actúan sobre un péndulo. :

Fuerza elástica., donde k es el coeficiente de rigidez del resorte, x es el desplazamiento del péndulo desde la posición de equilibrio.

Fuerza de resistencia. Consideremos la fuerza de resistencia, proporcional a la velocidad v movimiento (esta dependencia es típica de una gran clase de fuerzas de resistencia): . El signo menos muestra que la dirección de la fuerza de resistencia es opuesta a la dirección de la velocidad del cuerpo. Coeficiente de resistencia r numéricamente igual a la fuerza resistencia que surge a una unidad de velocidad de movimiento corporal:

ley del movimiento péndulo de resorte: esta es la segunda ley de Newton:

metro a = F ex. + F resistencia

considerando que ambos , escribimos la segunda ley de Newton en la forma:

. (21.1)

Dividiendo todos los términos de la ecuación por m y moviéndolos todos hacia el lado derecho, obtenemos ecuación diferencial oscilaciones amortiguadas:

Denotemos donde β – coeficiente de atenuación , , Dónde ω 0 – frecuencia de oscilaciones libres no amortiguadas en ausencia de pérdidas de energía en el sistema oscilatorio.

En nuevas notaciones ecuación diferencial oscilaciones amortiguadas tiene la forma:

. (21.2)

Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden.

Esta ecuación diferencial lineal se resuelve cambiando variables. Representemos la función x, dependiendo del tiempo t, en la forma:

.

Encontremos la primera y segunda derivada de esta función con respecto al tiempo, teniendo en cuenta que la función z también es función del tiempo:

, .

Sustituyamos las expresiones en la ecuación diferencial:

Presentemos términos similares en la ecuación y reduzcamos cada término en , obtenemos la ecuación:

.

Denotemos la cantidad .

Resolviendo la ecuación son las funciones , .

Volviendo a la variable x, obtenemos las fórmulas para las ecuaciones de oscilaciones amortiguadas:

De este modo , ecuación de oscilaciones amortiguadas es una solución a la ecuación diferencial (21.2):

Frecuencia amortiguada :

(por lo tanto, sólo la raíz real tiene significado físico).

Período de oscilaciones amortiguadas. :

(21.5)

El significado que se le dio al concepto de período para oscilaciones no amortiguadas no es adecuado para oscilaciones amortiguadas, ya que el sistema oscilatorio nunca regresa a su estado original debido a pérdidas de energía oscilatoria. En presencia de fricción, las vibraciones son más lentas: .

Período de oscilaciones amortiguadas. es el período mínimo de tiempo durante el cual el sistema pasa la posición de equilibrio dos veces en una dirección.

Para sistema mecánico péndulo de primavera tenemos:

, .

Amplitud de oscilaciones amortiguadas. :

Para un péndulo de resorte.

La amplitud de las oscilaciones amortiguadas no es un valor constante, sino que cambia con el tiempo, cuanto más rápido coeficiente más altoβ. Por lo tanto, la definición de amplitud dada anteriormente para oscilaciones libres no amortiguadas debe cambiarse para oscilaciones amortiguadas.

Para pequeñas atenuaciones amplitud de oscilaciones amortiguadas Se llama la mayor desviación de la posición de equilibrio durante un período.

Gráficos Los gráficos de desplazamiento versus tiempo y amplitud versus tiempo se presentan en las Figuras 21.1 y 21.2.

Figura 21.1 – Dependencia del desplazamiento en el tiempo para oscilaciones amortiguadas.

Figura 21.2 – Dependencia de la amplitud con el tiempo para oscilaciones amortiguadas

Características de las oscilaciones amortiguadas.

1. Coeficiente de atenuación β .

La amplitud de las oscilaciones amortiguadas cambia según una ley exponencial:

Deje que la amplitud de la oscilación disminuya “e” veces durante el tiempo τ (“e” es la base del logaritmo natural, e ≈ 2,718). Entonces, por un lado, , y por otro lado, habiendo descrito las amplitudes Azat. (t) y Azat. (t+τ), tenemos . De estas relaciones se deduce que βτ = 1, por lo tanto .

Intervalo de tiempo τ , durante el cual la amplitud disminuye “e” veces, se llama tiempo de relajación.

Coeficiente de atenuación β – una cantidad inversamente proporcional al tiempo de relajación.

2. Decremento de amortiguación logarítmica δ - cantidad física, numéricamente igual logaritmo natural la relación de dos amplitudes sucesivas separadas en el tiempo por un período.

Si la atenuación es pequeña, es decir el valor de β es pequeño, entonces la amplitud cambia ligeramente durante el período y el decremento logarítmico se puede definir de la siguiente manera:

,

¿Dónde está Azat? (t) y Azat. (t+NT) – amplitudes de oscilaciones en el tiempo e y después de N períodos, es decir, en el tiempo (t + NT).

3. Factor de calidad q sistema oscilatorio – una cantidad física adimensional igual al producto de la cantidad (2π) ν y la relación entre la energía W(t) del sistema en un momento arbitrario y la pérdida de energía durante un período de oscilaciones amortiguadas:

.

Como la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud, entonces

Para valores pequeños del decremento logarítmico δ, el factor de calidad del sistema oscilatorio es igual a

,

donde N e es el número de oscilaciones durante las cuales la amplitud disminuye “e” veces.

Por tanto, el factor de calidad de un péndulo de resorte es: cuanto mayor sea el factor de calidad del sistema oscilatorio, menor será la atenuación y más durará el proceso periódico en dicho sistema. Factor de calidad del sistema oscilatorio - una cantidad adimensional que caracteriza la disipación de energía en el tiempo.

4. A medida que aumenta el coeficiente β, la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas disminuye y el período aumenta. En ω 0 = β, la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas se vuelve igual a cero ω zat. = 0, y Tzat. = ∞. En este caso, las oscilaciones pierden su carácter periódico y se denominan

aperiódico. En ω 0 = β, los parámetros del sistema responsables de la disminución de la energía vibratoria toman valores llamados . crítico Para un péndulo de resorte, la condición ω 0 = β se escribirá de la siguiente manera: de donde encontramos la cantidad

.

Arroz. 21.3. Dependencia de la amplitud de las oscilaciones aperiódicas con el tiempo.

Vibraciones forzadas.

Todas las oscilaciones reales se amortiguan. Para que se produzcan oscilaciones reales durante un tiempo suficiente, es necesario reponer periódicamente la energía del sistema oscilatorio actuando sobre él con una fuerza externa que cambia periódicamente.

Consideremos el fenómeno de las oscilaciones si el exterior (forzando) la fuerza cambia con el tiempo ley armónica. En este caso, surgirán oscilaciones en los sistemas, cuya naturaleza, en un grado u otro, repetirá la naturaleza de la fuerza motriz. Estas oscilaciones se llaman forzado .

Signos generales de vibraciones mecánicas forzadas.

1. Consideremos las oscilaciones mecánicas forzadas de un péndulo de resorte, sobre el que actúa un externo. (convincente ) fuerza periódica . Las fuerzas que actúan sobre el péndulo, una vez retirado de su posición de equilibrio, se desarrollan en el propio sistema oscilatorio. Estas son la fuerza elástica y la fuerza de resistencia.

ley del movimiento (Segunda ley de Newton) se escribirá de la siguiente manera:

(21.6)

Dividamos ambos lados de la ecuación por m, tengamos en cuenta que y obtenemos ecuación diferencial oscilaciones forzadas:

Denotemos ( β – coeficiente de atenuación ), (ω 0 – frecuencia de oscilaciones libres no amortiguadas), fuerza que actúa sobre una unidad de masa. En estas notaciones ecuación diferencial Las oscilaciones forzadas tomarán la forma:

(21.7)

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden con un lado derecho distinto de cero. La solución de tal ecuación es la suma de dos soluciones.

.

– la solución general de una ecuación diferencial homogénea, es decir ecuación diferencial sin el lado derecho cuando es igual a cero. Conocemos tal solución: esta es la ecuación de oscilaciones amortiguadas, escrita con una precisión de una constante, cuyo valor está determinado por las condiciones iniciales del sistema oscilatorio:

Dónde .

Anteriormente comentamos que la solución se puede escribir en términos de funciones seno.

Si consideramos el proceso de oscilación del péndulo después de un período de tiempo suficientemente grande Δt después de activar la fuerza motriz (Figura 21.2), entonces las oscilaciones amortiguadas en el sistema prácticamente se detendrán. Y luego resolviendo la ecuación diferencial con lado derecho habrá una solución.

La solución es una solución particular de la ecuación diferencial no homogénea, es decir ecuaciones con el lado derecho. De la teoría de ecuaciones diferenciales se sabe que con el lado derecho cambiando según una ley armónica, la solución será una función armónica (sen o cos) con una frecuencia de cambio correspondiente a la frecuencia Ω de cambio del lado derecho -lado:

donde A ampl. – amplitud de oscilaciones forzadas, φ 0 – cambio de fase , aquellos. la diferencia de fase entre la fase de fuerza motriz y la fase de oscilación forzada. Y amplitud A ampl. , y el cambio de fase φ 0 dependen de los parámetros del sistema (β, ω 0) y de la frecuencia de la fuerza impulsora Ω.

Período de oscilaciones forzadas. es igual (21.9)

Gráfico de vibraciones forzadas en la Figura 4.1.

Fig.21.3. Gráfico de oscilación forzada

Las oscilaciones forzadas en estado estacionario también son armónicas.

Dependencias de la amplitud de las oscilaciones forzadas y el cambio de fase de la frecuencia de la influencia externa. Resonancia.

1. Volvamos al sistema mecánico de un péndulo de resorte, sobre el que actúa una fuerza externa que varía según una ley armónica. Para tal sistema, la ecuación diferencial y su solución, respectivamente, tienen la forma:

, .

Analicemos la dependencia de la amplitud de oscilación y el cambio de fase de la frecuencia de la fuerza impulsora externa; para ello, encontraremos la primera y segunda derivadas de x y las sustituiremos en la ecuación diferencial.

Usemos el método del diagrama vectorial. La ecuación muestra que la suma de las tres vibraciones del lado izquierdo de la ecuación (Figura 4.1) debe ser igual a la vibración del lado derecho. El diagrama vectorial está elaborado para un momento arbitrario de tiempo t. A partir de ahí puedes determinar.

Figura 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Teniendo en cuenta el valor de , , obtenemos fórmulas para φ 0 y A ampl. sistema mecánico:

,

.

2. Estudiamos la dependencia de la amplitud de las oscilaciones forzadas de la frecuencia de la fuerza impulsora y la magnitud de la fuerza de resistencia en un sistema mecánico oscilante, utilizando estos datos construimos un gráfico. . Los resultados del estudio se reflejan en la Figura 21.5, que muestra que a una determinada frecuencia de la fuerza motriz la amplitud de las oscilaciones aumenta bruscamente. Y este aumento es mayor cuanto menor es el coeficiente de atenuación β. Cuando la amplitud de las oscilaciones se vuelve infinitamente grande.

El fenómeno de un fuerte aumento de la amplitud. oscilaciones forzadas a una frecuencia de fuerza impulsora igual a , se llama resonancia.

(21.12)

Las curvas de la figura 21.5 reflejan la relación y se llaman curvas de resonancia de amplitud .

Figura 21.5 – Gráficos de la dependencia de la amplitud de las oscilaciones forzadas de la frecuencia de la fuerza impulsora.

La amplitud de las oscilaciones resonantes tomará la forma:

Las vibraciones forzadas son sin amortiguar fluctuaciones. Las inevitables pérdidas de energía debidas a la fricción se compensan con el suministro de energía de fuente externa fuerza que actúa periódicamente. Hay sistemas en los que oscilaciones no amortiguadas surgen no debido a influencias externas periódicas, sino como resultado de la capacidad de dichos sistemas para regular el suministro de energía de una fuente constante. Este tipo de sistemas se denominan autooscilante, y el proceso de oscilaciones no amortiguadas en tales sistemas es autooscilaciones.

En un sistema autooscilante se pueden distinguir tres elementos característicos: un sistema oscilatorio, una fuente de energía y un dispositivo de retroalimentación entre el sistema oscilatorio y la fuente. Como sistema oscilatorio se puede utilizar cualquier sistema mecánico capaz de realizar sus propias oscilaciones amortiguadas (por ejemplo, el péndulo de un reloj de pared).

La fuente de energía puede ser la energía de deformación de un resorte o la energía potencial de una carga en un campo gravitacional. Un dispositivo de retroalimentación es un mecanismo mediante el cual un sistema autooscilante regula el flujo de energía de una fuente. En la Fig. La figura 21.6 muestra un diagrama de la interacción de varios elementos de un sistema autooscilante.

Un ejemplo de un sistema mecánico autooscilante es un mecanismo de reloj con ancla progreso (Fig. 21.7.). La rueda dentada con dientes oblicuos está rígidamente unida a un tambor dentado, a través del cual se lanza una cadena con un peso. En el extremo superior del péndulo hay un ancla (ancla) con dos placas de material duro, dobladas a lo largo de un arco circular con el centro en el eje del péndulo. En los relojes de mano, el peso se reemplaza por un resorte y el péndulo se reemplaza por un equilibrador, un volante conectado a un resorte en espiral.

El equilibrador realiza vibraciones de torsión alrededor de su eje. El sistema oscilatorio de un reloj es un péndulo o equilibrador. La fuente de energía es un peso elevado o un resorte enrollado. El dispositivo con el que se realiza. Comentario, es un ancla que permite que la rueda gire un diente en medio ciclo.

La retroalimentación la proporciona la interacción del ancla con la rueda. Con cada oscilación del péndulo, un diente de la rueda empuja la horquilla del ancla en la dirección del movimiento del péndulo, transfiriéndole una cierta porción de energía, que compensa las pérdidas de energía debidas a la fricción. Así, la energía potencial del peso (o resorte torcido) se transfiere gradualmente, en porciones separadas, al péndulo.

Los sistemas mecánicos autooscilantes están muy extendidos en la vida que nos rodea y en la tecnología. Las autooscilaciones se producen en máquinas de vapor, motores de combustión interna, campanas eléctricas, cuerdas de instrumentos musicales de arco, columnas de aire en los tubos de instrumentos de viento, cuerdas vocales al hablar o cantar, etc.

Capítulo 5

DEPENDENCIA DE AMPLITUDES DEL TIEMPO

§ 1. Átomos en reposo; estados estacionarios

§ 2. Movimiento uniforme

§ 3. Energía potencial; conservación de energía

§ 4. Fuerzas; límite clásico

§ 5. “Precesión” de una partícula con espín 1/2

Repetir: Cap. 17 (número 2) “Espacio-tiempo”; Cap. 48 (número 4) “Beats”

§ 1. Átomos en reposo; estados estacionarios

Ahora queremos hablar un poco sobre cómo se comportan las amplitudes de probabilidad a lo largo del tiempo. Decimos “un poco” porque, de hecho, el comportamiento en el tiempo incluye necesariamente el comportamiento en el espacio. Esto significa que si queremos describir el comportamiento con toda corrección y detalle, inmediatamente nos encontramos en una situación muy difícil. Ante nosotros surge nuestra dificultad habitual: estudiar algo de forma estrictamente lógica, pero absolutamente abstracta, o no pensar en el rigor, sino dar una idea del verdadero estado de las cosas, posponiendo un estudio más completo para más adelante. Ahora, hablando de la dependencia de las amplitudes de la energía, pretendemos elegir el segundo método. Se harán varias declaraciones. No intentaremos ser demasiado rigurosos aquí, simplemente le diremos lo que se ha encontrado para que pueda tener una idea de cómo se comportan las amplitudes a lo largo del tiempo. A medida que avance nuestra presentación, la precisión de la descripción aumentará, así que no se ponga nervioso al ver a un mago sacar cosas de la nada. Realmente surgen de algo intangible: del espíritu de experimentación y de la imaginación de muchas personas. Pero recorrer todas las etapas del desarrollo histórico de un tema es un proceso muy largo, y simplemente habrá que saltarse algunas cosas. Podrías sumergirte en abstracciones y deducirlo todo estrictamente (pero difícilmente entenderías esto) o realizar muchos experimentos, confirmando con ellos cada una de tus afirmaciones. Elegiremos algo intermedio.

Un solo electrón en el espacio vacío puede, bajo ciertas condiciones, tener una energía muy específica, por ejemplo si está en reposo (es decir, no tiene movimiento móvil, ni momento, ni tampoco. energía cinética), entonces tiene energía en reposo. Un objeto más complejo, por ejemplo un átomo, también puede tener cierta energía en reposo, pero también puede estar excitado internamente, es decir, excitado a un nivel de energía diferente. (Describiremos el mecanismo de esto más adelante). A menudo tenemos razón al suponer que un átomo en un estado excitado tiene cierta energía; sin embargo, en realidad esto sólo es cierto aproximadamente. El átomo no permanece excitado para siempre porque siempre busca descargar su energía interactuando con campo electromagnetico. Por lo tanto, siempre hay cierta amplitud para que surja un nuevo estado, con el átomo en un estado de excitación más bajo y el campo electromagnético en uno más alto. La energía total del sistema antes y después es la misma, pero la energía átomo disminuye. Por lo tanto, no es muy exacto decir que un átomo excitado tiene cierto energía; pero muchas veces conviene decirlo y no está muy equivocado.

[Por cierto, ¿por qué todo fluye en una dirección y no en otra? ¿Por qué un átomo emite luz? La respuesta tiene que ver con la entropía. Cuando la energía está en un campo electromagnético, se le revelan muchas cosas. diferentes caminos- hay tantos lugares diferentes donde puede llegar - que, buscando la condición de equilibrio, estamos convencidos de que en la posición más probable el campo resulta estar excitado por un fotón y el átomo no está excitado. Y al fotón le toma mucho tiempo regresar y descubrir que puede excitar al átomo. Es completamente análogo. problema clásico: ¿Por qué se irradia una carga acelerada? No porque “quiera” perder energía, no, porque de hecho, cuando irradia, la energía del mundo sigue siendo la misma que antes. Es sólo que la emisión o la absorción siempre van en la dirección del crecimiento. entropía.

Los núcleos también pueden existir en diferentes niveles de energía, y en la aproximación cuando descuidan efectos electromagnéticos, tenemos derecho a decir que el núcleo en estado excitado permanece así. Si bien sabemos que no seguirá así para siempre, a menudo es útil comenzar con una aproximación algo idealizada que sea más fácil de ver. Además, en algunas circunstancias se trata de una aproximación jurídica. (Cuando introdujimos por primera vez las leyes clásicas de la caída de los cuerpos, no tomamos en cuenta la fricción, pero casi nunca sucede que la fricción en absoluto no tenía.)

Además, también hay “partículas extrañas” con diferentes masas. Pero los más masivos se desintegran en otros más ligeros, por lo que nuevamente sería erróneo decir que su energía está determinada con precisión. Esto sería cierto si duraran para siempre. Entonces, cuando aproximadamente consideramos que tienen cierta energía, olvidamos que deben descomponerse. Pero ahora nos olvidaremos deliberadamente de tales procesos y luego, con el tiempo, aprenderemos a tenerlos en cuenta.

Sea un átomo (o un electrón, o cualquier partícula) que posea cierta energía en reposo. mi 0. bajo la energía mi 0 nos referimos a la masa de todo multiplicado por Con 2. La masa incluye cualquier energía interna; por tanto, la masa del átomo excitado difiere de la masa del mismo átomo, pero en el estado fundamental. (Básico estado significa el estado con la energía más baja.) Llamemos mi 0 "energía en reposo". Para un átomo en el estado paz, mecánica cuántica amplitud encontrarlo en alguna parte lo mismo en todas partes; desde la posición que ella no depende. Esto, por supuesto, significa que probabilidad de detección un átomo en cualquier lugar es igual. Pero significa aún más. Probabilidad No podía depender de la posición, pero fase de amplitud al mismo tiempo, todavía podría variar de un punto a otro. Pero para una partícula en reposo, la amplitud total es la misma en todas partes. Sin embargo, depende de tiempo. Para una partícula en un estado de cierta energía. mi 0 , amplitud para detectar una partícula en un punto (x, y, z) en el momento t igual a

Dónde A - alguna constante. La amplitud de estar en tal o cual punto del espacio es la misma para todos los puntos, pero depende del tiempo según (5.1). Simplemente asumiremos que esta regla es siempre cierta.

Por supuesto, puedes escribir (5.1) así:

A METRO- masa en reposo de un estado atómico o partícula. Hay tres formas diferentes de determinar la energía: por frecuencia de amplitud, por energía en sentido clásico o por masa inerte. Todos son iguales; es sencillo diferentes caminos expresar lo mismo.

Puede que le parezca extraño imaginar una “partícula” con las mismas amplitudes en cualquier lugar del espacio. Después de todo, entre otras cosas, siempre imaginamos una “partícula” como artículo pequeño, ubicado "en algún lugar". Pero no olvide el principio de incertidumbre. Si una partícula tiene cierta energía, entonces también tiene un cierto impulso. Si la incertidumbre en el momento es cero, entonces la relación de incertidumbre D R D X=h dice que la incertidumbre en la posición debe ser infinita; Esto es exactamente lo que decimos cuando decimos que existe la misma amplitud para detectar una partícula en todos los puntos del espacio.

Si las partes internas del átomo están en un estado diferente con una energía total diferente, entonces la amplitud cambia de manera diferente con el tiempo. Y si no sabes en qué estado se encuentra el átomo, entonces habrá una cierta amplitud de ser en un estado y una cierta amplitud de ser en otro, y cada una de estas amplitudes tendrá su propia frecuencia. Entre estos dos componentes diferentes habrá interferencias como latidos, que pueden aparecer como una probabilidad variable. Habrá algo "cocinándose" dentro del átomo, incluso si está "en reposo" en el sentido de que su centro de masa no se moverá. Si el átomo tiene solo una energía específica, entonces la amplitud viene dada por la fórmula (5.1) y el cuadrado del módulo de amplitud no depende del tiempo. Por lo tanto ves que si la energía de una cosa está determinada y si haces una pregunta sobre probabilidades algo en esta cosa, entonces la respuesta no depende del tiempo. Aunque ellos mismos amplitudes Depende del tiempo, pero si de energía. cierto, cambian como una exponencial imaginaria y valor absoluto(módulo) no los cambia.

Esta es la razón por la que a menudo decimos que un átomo en un cierto nivel de energía está en estado estacionario. Si mide algo en su interior, encontrará que nada (probablemente) cambia con el tiempo. Para que la probabilidad varíe en el tiempo tendría que haber interferencia entre las dos amplitudes en dos frecuencias diferentes, lo que significaría que no se sabe cuál es la energía. Un objeto tendría una amplitud de estar en un estado con una energía y otra amplitud de estar en un estado de otra energía. Entonces en mecánica cuántica algo se describe si comportamiento este “algo” depende del tiempo.

Si hay un caso en el que se mezclan dos estados diferentes diferentes energías, entonces las amplitudes de cada uno de los dos estados cambian con el tiempo según la ecuación (5.2), digamos, como

Y si hay una combinación de estos dos estados, entonces aparecerán interferencias. Pero observe que sumar la misma constante a ambas energías no cambia nada. Si alguien más usara una escala de energía diferente, en la que todas las energías se desplazan en una constante (digamos, A), entonces las amplitudes para estar en estos dos estados, desde su punto de vista, serían

Todas sus amplitudes se multiplicarían por el mismo factor.

Exp[- yo(A/h)/t], y en todas las combinaciones lineales, en todas las interferencias, entraría el mismo factor. Calculando los módulos para determinar las probabilidades, llegaría a las mismas respuestas. Elegir un punto de referencia en nuestra escala energética no cambia nada; La energía se puede contar desde cualquier cero. Para problemas relativistas es más conveniente medir la energía de modo que la masa en reposo esté incluida en ella, pero para muchos otros propósitos no relativistas suele ser mejor restar una cantidad estándar de todas las energías que aparecen. Por ejemplo, en el caso de un átomo suele ser conveniente restar la energía M s a 2, donde METRO s - peso individual sus partes, núcleo y electrones, diferenciándose, por supuesto, de la masa del propio átomo. En otros problemas, es útil restar el número de todas las energías. METRO gramo C 2 , Dónde METRO gramo - masa de todo el átomo principalmente condición; entonces la energía restante es simplemente la energía de excitación del átomo. Esto significa que a veces tenemos derecho a cambiar muchísimo nuestra energía cero, y esto todavía no cambia nada (siempre que todas las energías en este cálculo particular se desplacen en el mismo número). Con esto nos desprenderemos de las partículas en reposo.

§ 2. Movimiento uniforme

Si asumimos que la teoría de la relatividad es correcta, entonces una partícula en reposo en una sistema inercial, en otro marco inercial puede estar en Movimiento uniforme. En el sistema de reposo de una partícula, la amplitud de probabilidad para todos x,y Y z es lo mismo pero depende t. Magnitud amplitudes para todos t es lo mismo, y fase depende de t. Podemos obtener una imagen del comportamiento de la amplitud si dibujamos líneas fase igual(digamos cero) como funciones X Y t. Para una partícula en reposo, estas líneas de fase igual son paralelas al eje X y ubicado a lo largo del eje t en distancias iguales(mostrado por líneas de puntos en la Fig. 5.1).

Higo. 5.1. Transformación relativista de amplitud en reposo. partículas en el sistema x-t.

En otro sistema, X", y", z", t", moviéndose en relación con una partícula, digamos, en la dirección X, coordenadas X" Y t" alguno punto privado Los espacios están asociados con X Y t Transformación de Lorentz. Esta transformación se puede representar gráficamente dibujando los ejes. X" Y t", como se muestra en la Fig. 5.1 [ver Cap. 17 (número 2), fig. 17.2]. Ves lo que hay en el sistema. x"--t" puntos de igual fase a lo largo del eje t" ubicados a diferentes distancias, por lo que la frecuencia de los cambios temporales es diferente. Además, la fase cambia según X". es decir, la amplitud de probabilidad debe ser una función X".

Bajo la transformación de Lorentz para la velocidad v dirigido, digamos, a lo largo dirección negativa X. tiempo t relacionado con el tiempo t" fórmula

y ahora nuestra amplitud cambia así:

En el sistema sombreado, varía en el espacio y el tiempo. Si la amplitud se escribe en la forma

entonces esta claro que MI" R =E 0 /C( 1-v 2/s 2). Esta es la energía calculada usando las reglas clásicas para una partícula con energía en reposo. mi 0 , moviéndose a velocidad v; p"=E" pag v/c 2 - el momento correspondiente de la partícula.

Lo sabes X metro =(t, x, y, z) y R metro =(mi, pag X , r. y , R GRAMO ) - cuatro vectores, a pag metro X metro = Et-px-invariante escalar. En el marco de reposo de una partícula. pag metro X metro simplemente igual Et; Esto significa que cuando se convierte a otro sistema y debe ser reemplazado por

Entonces, la amplitud de probabilidad de una partícula cuyo momento es R, será proporcional

Dónde mi R - energía de una partícula con momento R, es decir.

A mi 0 , como antes, la energía del descanso. En problemas no relativistas se puede escribir

Dónde W. pag - exceso (o falta) de energía en comparación con la energía en reposo M s de 2 partes de un átomo. En general, en W. pag tendrían que entrar tanto la energía cinética del átomo como su energía de unión o excitación, que puede denominarse energía “interna”. Entonces escribiríamos

y las amplitudes tendrían la forma

Vamos a realizar todos los cálculos de forma no relativista, por lo que este es exactamente el tipo de amplitud de probabilidad que utilizaremos.

Observe que nuestra transformación relativista nos proporcionó una fórmula para cambiar la amplitud de un átomo que se mueve en el espacio, sin requerir suposiciones adicionales. El número de onda de sus cambios en el espacio, como se desprende de (5.9), es igual a

y por tanto la longitud de onda

Esta es la misma longitud de onda que usamos anteriormente para partículas con momento. r. Fue así como De Broglie llegó por primera vez a esta fórmula. Para una partícula en movimiento frecuencia el cambio de amplitud todavía está dado por la fórmula

El valor absoluto (5.9) es simplemente la unidad, por lo que para una partícula que se mueve con una cierta energía la probabilidad de encontrarlo en cualquier lugar es la misma en todas partes y no cambia con el tiempo. (Es importante tener en cuenta que la amplitud es integral ola. Si usáramos una onda sinusoidal real, entonces su cuadrado cambiaría de un punto a otro, lo cual sería incorrecto).

Por supuesto, sabemos que hay casos en los que las partículas se mueven de un lugar a otro, por lo que la probabilidad depende de la posición y cambia con el tiempo. ¿Cómo deberían describirse estos casos? Esto se puede hacer considerando amplitudes que son una superposición de dos o más amplitudes para estados con cierta energía. Ya hemos discutido esta situación en el Cap. 48 (número 4), y específicamente para amplitudes de probabilidad. Luego encontramos que la suma de dos amplitudes con diferentes números de onda k(es decir, pulsos) y frecuencias w (es decir, energías) provocan golpes o latidos de interferencia, de modo que el cuadrado de la amplitud varía tanto en el espacio como en el tiempo. También encontramos que estos tiempos se mueven con la llamada “velocidad de grupo”, definida por la fórmula

donde Dk y Dw son las diferencias entre los números de onda y las frecuencias de las dos ondas. En ondas más complejas, compuestas por la suma de muchas amplitudes con frecuencias similares, la velocidad del grupo es igual a

desde w =E R /h, a k = p/h, Eso

Pero de (5.6) se sigue que

y desde mi pag =Mc 2 , Eso

y esto es solo velocidad clásica partículas. Incluso usando expresiones no relativistas, tendremos

es decir, nuevamente velocidad clásica.

Nuestro resultado, por lo tanto, es que si hay varias amplitudes para puro estado de energía con casi la misma energía, entonces su interferencia conduce a "ráfagas" de probabilidad que se mueven a través del espacio a una velocidad igual velocidad partícula clásica con la misma energía. Pero hay que señalar, sin embargo, que cuando decimos que podemos sumar dos amplitudes con diferentes números de onda para obtener paquetes correspondientes a una partícula en movimiento, estamos introduciendo algo nuevo, algo que no se deriva de la teoría de la relatividad. Dijimos cómo cambia la amplitud de una partícula estacionaria y luego dedujimos de esto cómo debería cambiar si la partícula se estuviera moviendo. Pero a partir de estas consideraciones incapaz deducir qué pasaría si hubiera dos ondas que se mueven a diferentes velocidades. Si detenemos a uno de ellos, no podremos detener al otro. Entonces agregamos silenciosamente uno mas Hipótesis: además del hecho de que (5.9) es posible solución, nosotros. Admitimos que el mismo sistema puede tener otras soluciones con todo tipo de pag y que diferentes términos interferirán.

§ 3. Energía potencial; el ahorro de energía

Y ahora nos gustaría aclarar la cuestión de qué pasa; cuando la energía de una partícula puede cambiar. Empecemos pensando en una partícula que se mueve en un campo de fuerzas descrito por un potencial. Consideremos primero el efecto de un potencial constante. Supongamos que tenemos una gran caja de metal, que hemos cargado a un cierto potencial electrostático j (Figura 5.2).

|Fig. 5.2. Una partícula con masa M y momento p en la región de potencial constante.

Si hay objetos cargados dentro de la caja, entonces su energía potencial será igual a q j; denotaremos este número con la letra v. Por condición, es completamente independiente de la posición del objeto mismo. No hay potencial para imponer cambios físicos dentro de la caja no sucederá, porque un potencial constante no cambia nada de lo que sucede dentro de la caja. Esto significa que no se puede deducir la ley según la cual ahora cambiará la amplitud. Uno sólo puede adivinar. Aquí está la respuesta correcta: se ve más o menos como cabría esperar: en lugar de energía necesitas poner la suma energía potencial V y energía mi R , que a su vez es la suma de las energías interna y cinética. La amplitud será entonces proporcional

Principio general es que el coeficiente en t, que podría llamarse co, siempre se da Energía completa sistema: energía interna (“energía de masa”) más energía cinética más energía potencial:

O en el caso no relativista

Bueno, ¿qué podemos decir sobre los fenómenos físicos dentro de la caja? Si estado fisico no uno, sino varios, entonces ¿qué obtenemos? A la amplitud de cada el estado entrará el mismo factor adicional

mi -( i / h ) Vermont

más allá de lo que había V=0. Esto no es diferente de desplazar el cero de nuestra escala energética. Obtendrá el mismo cambio en todas las fases de todas las amplitudes y esto, como vimos anteriormente, no cambia ninguna probabilidad. Todos los fenómenos físicos siguen siendo los mismos. (Asumimos que estamos hablando acerca de oh diferentes estados el mismo objeto cargado, entonces q j es el mismo para todos ellos. Si un objeto pudiera cambiar su carga, pasando de un estado a otro, llegaríamos a un resultado completamente diferente, pero la conservación de la carga nos protege de esto).

Hasta ahora nuestra suposición ha sido consistente con lo que se esperaría de cambio sencillo nivel de referencia de energía. Pero si esto es realmente cierto, entonces también debe serlo para la energía potencial, que no es simplemente constante. En general V puede variar arbitrariamente tanto en el tiempo como en el espacio, y el resultado final de la amplitud debe expresarse en el lenguaje de ecuaciones diferenciales. Pero no queremos empezar de inmediato. caso general, pero limitémonos a hacernos una idea de lo que está pasando. Así que por ahora sólo consideraremos el potencial que es constante en el tiempo y varía lentamente en el espacio. Entonces podremos comparar conceptos clásicos y cuánticos.

Supongamos que estamos pensando en el caso representado en la FIG. 5.3, donde dos cajas se mantienen a potenciales constantes j 1 y j 2, y en la región entre ellas el potencial cambia suavemente de j 1 a j 2.

Higo. 5.3. Amplitud de una partícula que se mueve de un potencial a otro.

Imaginemos que alguna partícula tiene la amplitud para acabar en una de estas regiones. Supongamos también que el impulso es lo suficientemente grande como para que en cualquier región pequeña que contenga muchas longitudes de onda el potencial sea casi constante. Entonces tenemos derecho a suponer que en cualquier parte del espacio la amplitud debe verse como (5.18), sólo que V Cada parte del espacio tendrá la suya.

Consideremos caso especial, cuando j 1 = 0, entonces la energía potencial en el primer cuadro es cero, en el segundo sea q j 2 será negativo, por lo que clásicamente la partícula que contiene tendrá mayor energía cinética. En el sentido clásico, se moverá más rápido en la segunda casilla y, por tanto, tendrá mayor impulso. Veamos cómo esto puede surgir de la mecánica cuántica.

Según nuestras suposiciones, la amplitud en el primer cuadro debería haber sido proporcional

Supondremos que todos los potenciales son constantes en el tiempo, de modo que nada cambia en las condiciones. Entonces asumiremos que los cambios de amplitud (es decir, su fase) tienen el mismo efecto en todas partes. frecuencia, porque en el “ambiente” entre las cajas no hay, por así decirlo, nada que dependa del tiempo. Si nada cambia en el espacio, entonces podemos suponer que una onda en un área "genera" ondas auxiliares en todo el espacio, que oscilan todas con la misma frecuencia y, como las ondas de luz que atraviesan la materia en reposo, no cambian su frecuencia. Si las frecuencias en (5.21) y (5.22) son iguales, entonces se debe satisfacer la igualdad.

Aquí, en ambos lados simplemente hay energías totales clásicas, por lo que (5.23) es una afirmación sobre la conservación de la energía. En otras palabras, la afirmación clásica sobre la conservación de la energía es bastante equivalente a la afirmación de la mecánica cuántica de que las frecuencias de una partícula son las mismas en todas partes si las condiciones no cambian con el tiempo. Todo esto es consistente con la idea de que h w =E.

En el caso particular cuando V 1 = 0, y V 2 es negativo (5.23) significa que pag 2 más R 1t. Es decir, en la región 2 las ondas son más cortas. Las superficies de fases iguales se muestran en la Fig. 5.3 línea de puntos. También hay un gráfico de la parte real de la amplitud, en el que también se puede ver cómo la longitud de onda disminuye al pasar de la región 1 a la región 2. La velocidad grupal de las ondas es igual a r/m, también aumenta como se esperaría de la conservación clásica de la energía, porque simplemente coincide con (5.23).

Hay un caso especial interesante cuando V 2 se vuelve tan grande que V 2 - V 1 ya supera pag 2 1 /2M. Entonces pag 2 2 , dado por la fórmula

se convierte negativo. Y esto significa que R 2 es un número imaginario, digamos IP". Clásicamente diríamos que la partícula nunca llegará a la región 2, no tendrá suficiente energía para subir la colina potencial. Sin embargo, en mecánica cuántica la amplitud todavía está representada por la ecuación (5.22); sus cambios en el espacio todavía siguen la ley

Pero una vez pag 2 - número imaginario, entonces la dependencia espacial se vuelve exponencial real. Si, digamos, la partícula se moviera primero en la dirección +x, entonces la amplitud comenzará a cambiar como

Con crecimiento X ella cae rápidamente.

Imaginemos que ambas áreas con diferentes potenciales están ubicados muy cerca uno del otro, de modo que la anergia potencial cambia repentinamente de V 1 a V 2 (figura 5.4, a).

Higo. 5.4. Amplitud de una partícula que se acerca a un potencial altamente repulsivo.

Al trazar la parte real de la amplitud de probabilidad, obtenemos la dependencia que se muestra en la Fig. 5.4, b. La onda en la región 1 corresponde a una partícula que intenta llegar a la región 2, pero allí la amplitud disminuye rápidamente. Existe alguna posibilidad de que la noten en el área 2, donde clásicamente de ninguna manera No resultó serlo, pero la amplitud de esto es muy pequeña (a excepción del lugar cerca de la propia frontera). La situación es muy similar a lo que encontramos para completa reflexión interna Luz. Por lo general, no sale luz, pero aún se puede ver si colocas algo a una o dos longitudes de onda de la superficie.

Recuerde que si coloca la segunda superficie cerca del límite, donde la luz se refleja completamente, aún puede hacer que algo de luz se propague en la segunda pieza de material. Lo mismo ocurre con las partículas en la mecánica cuántica. Si hay un área estrecha con un potencial tan alto V, Como la energía cinética clásica es negativa, la partícula nunca pasará a través de ella. Pero en la mecánica cuántica, una amplitud exponencialmente decreciente puede atravesar esta región y dar una pequeña posibilidad de que la partícula se encuentre en el otro lado, donde la energía cinética vuelve a ser positiva. Todo esto se muestra en la Fig. 5.5.

Higo. 5.5. Penetración de amplitud a través de una barrera de potencial.

El efecto se llama “penetración de barrera” de la mecánica cuántica.

La penetración de la amplitud de la mecánica cuántica a través de la barrera proporciona una explicación (o descripción) de la desintegración a del núcleo de uranio. La dependencia de la energía potencial de una partícula a de la distancia al centro se muestra en la figura. 5.6, A.

Higo. 5.6. Potencial de una partícula a en el núcleo de uranio (a) y aspecto de calidad amplitudes de probabilidad (b).

Si intentáramos disparar una partícula a con la energía E hasta el núcleo entonces sentiría la repulsión electrostática de la carga nuclear. z y según los cánones clásicos, no se habría acercado al núcleo a menos de esta distancia r 1 en el que energía total será igual al potencial v. Pero en algún lugar dentro del núcleo la energía potencial será mucho menor debido a la fuerte atracción de las energías de corto alcance. fuerzas nucleares. ¿Cómo entonces se puede explicar por qué? desintegración radioactiva Descubrimos partículas a que, inicialmente estando dentro del núcleo, luego se encuentran fuera de él con energía. mi?Porque ellos. con energía desde el principio mi, “filtrado” a través de la barrera potencial. En la figura 2.3 se muestra un esquema de la amplitud de probabilidad. 5.6, b, aunque en realidad la caída exponencial es mucho más fuerte de lo que se muestra. Es bastante notable que la vida media de una partícula a en un núcleo de uranio alcance los 4,5 mil millones de años, mientras que las vibraciones naturales dentro del núcleo son extremadamente rápidas: ¡hay 10,22 por segundo! ¿Cómo es posible de 10 -2 2? segundo obtener un numero del orden de 10 9 años? La respuesta es que la exponencial da un factor increíblemente pequeño del orden de 10 -4 5, lo que conduce a una probabilidad de fuga muy pequeña, aunque bastante definida. Si una partícula a ya ha entrado en el núcleo, entonces casi no hay amplitud para detectarla fuera del núcleo; Sin embargo, si tomas más de estos núcleos y esperas más tiempo, entonces puedes tener suerte y verás saltar una partícula.

§ 4. Fuerzas; límite clásico

Supongamos que una partícula se mueve a través de una región donde hay un potencial que varía a lo largo del movimiento. Clásicamente describiríamos este caso como se muestra en la Fig. 5.7.

Higo. 5.7. Deflexión de una partícula por un gradiente de potencial transversal.

Si la partícula se mueve en la dirección X y entra en una región donde hay un potencial que varía a lo largo y, entonces la partícula recibirá aceleración transversal de la fuerza F=-dV/día. Si la fuerza sólo está presente en área limitada ancho w, entonces solo será válido por un período de tiempo Virginia Occidental. La partícula recibirá impulso transversal.

pag y = Av/v

Entonces el ángulo de deflexión dq será igual a

Dónde R - impulso inicial. Sustituyendo en su lugar F número - dV/día, obtenemos

Ahora tenemos que averiguar si este resultado se puede obtener usando la idea de que las ondas obedecen a la ecuación (5.20). Examinaremos el mismo fenómeno desde el punto de vista de la mecánica cuántica, suponiendo que todas las escalas que contiene son mucho mayores que las longitudes de onda de nuestras amplitudes de probabilidad. En cualquier región pequeña podemos suponer que la amplitud varía como

¿Podemos ver cómo las partículas se desviarán desde aquí cuando V¿Habrá un gradiente transversal? En la Fig. 5.8 estimamos cómo se verían las ondas de amplitud de probabilidad.

Higo. 5.8. Amplitud de probabilidad en una región con gradiente de potencial transversal.

Hemos dibujado una serie de "nodos de onda" que se pueden considerar, por ejemplo, superficies donde la fase de la amplitud es cero. En cualquier área pequeña, la longitud de onda (distancia entre nodos adyacentes) es

Dónde R asociado con V fórmula

En la zona donde V más, ahí R más pequeñas y las olas más largas. Por lo tanto, la dirección de las líneas de los nodos de onda cambia gradualmente, como se muestra en la figura.

Para encontrar el cambio en la pendiente de las líneas de los nodos de onda, observamos que en dos caminos A Y b hay una diferencia de potencial D V=(dV/dy)D, y de ahí la diferencia D R entre pulsos. Esta diferencia se puede obtener de (5.28):

Número de onda p/h por lo tanto, también es diferente en diferentes caminos, lo que significa que las fases crecen a lo largo de ellos con a diferentes velocidades. La diferencia en la tasa de crecimiento de fase es D k=D R/h, y acumulado hasta el final w la diferencia de fase será igual

Este número muestra cuánto en el momento en que la fase abandona la franja a lo largo del camino. b“avanza” la fase a lo largo del camino A. Pero a la salida de la franja, tal avance de fase corresponde a un avance del nodo de onda en la cantidad

Haciendo referencia a la FIG. 5.8, vemos que el nuevo frente de onda girará a través del ángulo dq dado por la fórmula

entonces lo que tenemos

Y esto coincide con (5.26), si reemplazamos r/m en v, y D ENFERMEDAD VENÉREA en DVD.

El resultado que acabamos de obtener sólo es cierto cuando el potencial cambia lenta y suavemente, en el llamado límite clásico. Hemos demostrado que bajo estas condiciones obtendremos los mismos movimientos de partículas que resultarían de F=metroa, si suponemos que el potencial contribuye a la fase de la amplitud de probabilidad igual a Vt/h. En el límite clásico, la mecánica cuántica resulta estar de acuerdo con la mecánica newtoniana.

§ 5. “Precesión” de una partícula con espín 1 / 2

Tenga en cuenta que no asumimos que nuestra energía potencial sea especial, es simplemente energía cuya derivada da fuerza. Por ejemplo, en el experimento de Stern-Gerlach la energía tenía la forma Ud.=-megabyte; por tanto, si B tenía variación espacial, se obtenía la fuerza. Si necesitáramos una descripción de la mecánica cuántica del experimento, tendríamos que decir que la energía de las partículas en un haz cambia en una dirección, y en el otro haz, en reverso, (energía magnética Ud. podría insertarse en energía potencial V, o en energía “interna” W.;dónde exactamente no tiene ninguna importancia.) Debido a las variaciones de energía, las ondas se refractan y los haces se doblan hacia arriba o hacia abajo. (Ahora sabemos que la mecánica cuántica predice la misma curvatura que se desprende del cálculo de la mecánica clásica).

De la dependencia de la amplitud de la energía potencial también se deduce que para una partícula que se encuentra en un campo magnético uniforme dirigido a lo largo del eje z, la amplitud de probabilidad debe cambiar con el tiempo de acuerdo con la ley.

más allá de lo que hubiera pasado sin el campo. Dado que para una partícula con espín 1/2 el valor m z puede ser igual a más o menos algún número, digamos m, entonces para dos estados concebibles en un campo uniforme, las fases cambiarán a la misma velocidad en direcciones opuestas. Las amplitudes se multiplicarán por

Este resultado conduce a consecuencias interesantes. Supongamos que una partícula con espín 1/2 se encuentre en algún estado que no sea ni un estado de espín puro ni un estado de espín puro. Puede describirse a través de las amplitudes del estar en estos dos estados. Pero en un campo magnético, las fases de estos dos estados comenzarán a cambiar a ritmos diferentes. Y si planteamos alguna pregunta sobre amplitudes, la respuesta dependerá de cuánto tiempo pasó la partícula en este campo.

Como ejemplo, consideremos la desintegración de un muón en un campo magnético. Cuando los muones surgen de la desintegración de los mesones p, están polarizados (en otras palabras, tienen una dirección de giro preferida). Los muones, a su vez, se desintegran (en promedio después de 2,2 µs), emitiendo un electrón y un par de neutrinos:

En esta desintegración resulta que (al menos a altas energías) los electrones se emiten predominantemente en la dirección direccion opuesta giro de muones.

Supongamos entonces que existe un dispositivo experimental (figura 5.9): los muones polarizados entran por la izquierda y en el bloque de materia. A detenerse y luego desintegrarse un poco más tarde.

Higo.. 5.9. Experimente con la desintegración de muones.

Los electrones emitidos salen, por regla general, en todas las direcciones imaginables. Imaginemos, sin embargo, que todos los muones entrarán en el bloque de frenado. A de modo que sus espaldas estén vueltas en la dirección X. Sin campo magnético habría algún tipo de distribución angular de las direcciones de desintegración; queremos saber cómo cambiaría esta distribución en presencia de un campo magnético. Puedes esperar que cambie de alguna manera con el tiempo. Lo que sucede se puede averiguar preguntando cuál será la amplitud en cada momento cuando el muón se encuentre en el estado (+ X).

Este problema se puede formular de la siguiente manera: sepamos que en el momento t=0 el espín del muón se dirige hacia + X; ¿Cuál es la amplitud del hecho de que en el momento estará en el mismo estado? Y aunque no conocemos las reglas para el comportamiento de una partícula con espín 1/2 en un campo magnético perpendicular al espín, sabemos qué sucede con los estados cuando los espines se dirigen hacia arriba o hacia abajo en el campo: entonces sus amplitudes se multiplican. por la expresión (5.34). Nuestro procedimiento sería entonces elegir una representación en la que los estados base sean las direcciones de giro hacia arriba o hacia abajo con respecto a z(en relación con la dirección del campo). Y cualquier pregunta puede entonces expresarse a través de las amplitudes de estos estados.

Sea |y(t)> el estado del muón. Cuando entra al bloque A, su estado es |y (0)>, y nosotros. queremos saber |y (t)> en un momento posterior t. Si los dos estados básicos se denotan (+z) y (-z), entonces conocemos las amplitudes y - se conocen porque sabemos que |y (0)> representa un estado con un espín en la dirección (+ X). De capítulo previo se deduce que estas amplitudes son iguales

Resultan ser iguales. Como se refieren a la posición en t=0, los denotamos CON+ (0) y CON - (0).

Pero si sabemos C + (t) Y C - (t), Entonces tenemos todo para saber las condiciones en este momento. t. Sólo queda una dificultad más que superar: necesitamos la probabilidad de que el giro (en este momento t) será dirigido junto con + X. Pero nuestras reglas generales también tienen en cuenta esta tarea. Escribimos que la amplitud de estar en un estado. (+x) en el momento t[denotémoslo A + (t)]Hay

Nuevamente usando el resultado del último capítulo (o mejor la igualdad

* del cap. 3), escribimos

Entonces, en (5.37) se sabe todo. Obtenemos

¡Resultado increíblemente simple! Tenga en cuenta que la respuesta es consistente con lo que se esperaba cuando t= 0. Obtenemos A + (0)= 1, y esto es bastante correcto, porque al principio se supuso que cuando t=0 el muon pudo (+ X).

Probabilidad R + que el muón podrá (+x) en el momento t, Hay (A+) 2, es decir

La probabilidad varía de cero a uno, como se muestra en la Fig. 5.10.

Higo. 5.10. Dependencia temporal de la probabilidad de que esto ocurra. que una partícula con espín 1 / 2 estará en el estado (+) en relación con el eje x.

Tenga en cuenta que la probabilidad vuelve a uno en m Bt/h=p (no en 2p). Como el coseno está al cuadrado, la probabilidad se repite con frecuencia 2 mV/h.

Entonces, descubrimos que la posibilidad de atascarse en el contador electrónico que se muestra en la FIG. 5.9, el electrón de desintegración cambia periódicamente con el intervalo de tiempo durante el cual el muón permaneció en el campo magnético. La frecuencia depende del momento magnético (L. Así es exactamente como se midió en realidad momento magnético muón.

Por supuesto, el mismo método puede utilizarse para responder otras preguntas sobre la desintegración de muones. Por ejemplo, ¿cómo depende del tiempo? t oportunidad de notar un electrón de desintegración en la dirección y, a 90° con respecto a la dirección X,¿Pero todavía en ángulo recto con el campo? Si resuelves este problema, verás que la probabilidad de poder (+y) cambios como porque 2 ((metro BT/h)-(p/4)); fluctúa con el mismo período, pero alcanza su máximo un cuarto de ciclo después, cuando mBt/h=p/4. Lo que realmente sucede es esto: con el tiempo, el muón pasa por una secuencia de estados correspondientes a una polarización completa en una dirección que gira continuamente alrededor del eje. z. Esto se puede describir diciendo que preceses de giro con frecuencia

Debería quedarle claro qué forma adopta la descripción de la mecánica cuántica cuando describimos el comportamiento de algo a lo largo del tiempo.

*Si te perdiste el cap. 4, entonces simplemente puedes considerar (5.35) una regla no derivada por ahora. Posteriormente, en el cap. 8, analizaremos con más detalle la precesión de espín y se obtendrán estas amplitudes.

* Suponemos que las fases deben tener el mismo valor en los puntos correspondientes de los dos sistemas de coordenadas. Sin embargo, este es un punto muy delicado, ya que en la mecánica cuántica la fase es en gran medida arbitraria. Para justificar plenamente esta suposición, se necesita un razonamiento más detallado que tenga en cuenta la interferencia de dos o más amplitudes.

Ahora queremos hablar un poco sobre cómo se comportan las amplitudes de probabilidad a lo largo del tiempo. Decimos “un poco” porque, de hecho, el comportamiento en el tiempo incluye necesariamente el comportamiento en el espacio. Esto significa que si queremos describir el comportamiento con toda corrección y detalle, inmediatamente nos encontramos en una situación muy situación difícil. Ante nosotros surge nuestra dificultad habitual: estudiar algo de forma estrictamente lógica, pero absolutamente abstracta, o no pensar en el rigor, sino dar una idea del verdadero estado de las cosas, posponiendo un estudio más completo para más adelante. Ahora, hablando de la dependencia de las amplitudes de la energía, pretendemos elegir el segundo método. Se harán varias declaraciones. No intentaremos ser demasiado rigurosos aquí, simplemente le diremos lo que se ha encontrado para que pueda tener una idea de cómo se comportan las amplitudes a lo largo del tiempo. A medida que avance nuestra presentación, la precisión de la descripción aumentará, así que no se ponga nervioso al ver a un mago sacar cosas de la nada. Realmente surgen de algo intangible: del espíritu de experimentación y de la imaginación de muchas personas. Pero pasa por todas las etapas. desarrollo historico El tema es muy largo y simplemente habrá que saltarse algunas cosas. Podrías sumergirte en abstracciones y deducirlo todo estrictamente (pero difícilmente entenderías esto) o realizar muchos experimentos, confirmando con ellos cada una de tus afirmaciones. Elegiremos algo intermedio.

Un solo electrón en el espacio vacío puede, bajo ciertas condiciones, tener una energía muy específica. Por ejemplo, si está en reposo (es decir, no tiene desplazamiento, ni impulso, ni energía cinética), entonces tiene energía en reposo. Un objeto más complejo, por ejemplo un átomo, también puede tener cierta energía en reposo, pero también puede estar excitado internamente, es decir, excitado a un nivel de energía diferente. (Describiremos el mecanismo de esto más adelante). A menudo tenemos razón al suponer que un átomo en un estado excitado tiene cierta energía; sin embargo, en realidad esto sólo es cierto aproximadamente. Un átomo no permanece excitado para siempre porque siempre busca descargar su energía interactuando con el campo electromagnético. Por lo tanto, siempre hay cierta amplitud para que surja un nuevo estado, con el átomo en un estado de excitación más bajo y el campo electromagnético en uno más alto. La energía total del sistema tanto antes como después es la misma, pero la energía del átomo disminuye. Por tanto, no es muy preciso decir que un átomo excitado tiene cierta energía; pero muchas veces conviene decirlo y no está muy equivocado.

[Por cierto, ¿por qué todo fluye en una dirección y no en otra? ¿Por qué un átomo emite luz? La respuesta tiene que ver con la entropía. Cuando la energía está en un campo electromagnético, hay tantos caminos diferentes abiertos a ella - tantos lugares diferentes donde puede ir - que, buscando la condición de equilibrio, estamos convencidos de que en la posición más probable el campo resulta ser ser excitado por un fotón y el átomo no está excitado. Y el fotón tarda mucho tiempo en regresar y descubrir que puede excitar al átomo. Esto es completamente análogo al problema clásico: ¿por qué irradia una carga acelerada? No porque “quiera” perder energía, no, porque de hecho, cuando irradia, la energía del mundo sigue siendo la misma que antes. Es sólo que la emisión o la absorción siempre van en la dirección de aumentar la entropía.]

Los núcleos también pueden existir en diferentes niveles de energía, y en la aproximación, cuando se desprecian los efectos electromagnéticos, tenemos derecho a decir que el núcleo en estado excitado permanece así. Si bien sabemos que no seguirá así para siempre, a menudo es útil comenzar con una aproximación algo idealizada que sea más fácil de ver. Además, en algunas circunstancias se trata de una aproximación jurídica. (Cuando presentamos por primera vez leyes clásicas cuerpos que caen, no tomamos en cuenta la fricción, pero casi nunca sucede que no haya fricción alguna).

Además, también existen “partículas extrañas” con diferentes masas. Pero los más masivos se desintegran en otros más ligeros, por lo que nuevamente sería erróneo decir que su energía está determinada con precisión. Esto sería cierto si duraran para siempre. Entonces, cuando aproximadamente consideramos que tienen cierta energía, olvidamos que deben descomponerse. Pero ahora nos olvidaremos deliberadamente de tales procesos y luego, con el tiempo, aprenderemos a tenerlos en cuenta.

Sea un átomo (o un electrón, o cualquier partícula) que tenga cierta energía en reposo. Por energía nos referimos a la masa de ella en todo momento. La masa incluye cualquier energía interna; por tanto, la masa del átomo excitado difiere de la masa del mismo átomo, pero en el estado fundamental. (El estado fundamental significa el estado con la energía más baja). Llamémoslo "energía en reposo".

Para un átomo en reposo, la amplitud de la mecánica cuántica para detectarlo en algún lugar es la misma en todas partes; no depende de la posición. Esto, por supuesto, significa que la probabilidad de encontrar un átomo en cualquier lugar es la misma. Pero significa aún más. La probabilidad no podría depender de la posición y la fase de la amplitud aún podría variar de un punto a otro. Pero para una partícula en reposo, la amplitud total es la misma en todas partes. Sin embargo, depende del tiempo. Para una partícula en un estado de cierta energía, la amplitud para detectar la partícula en un punto en un instante es igual a

donde hay alguna constante. La amplitud de estar en tal o cual punto del espacio es la misma para todos los puntos, pero depende del tiempo según (5.1). Simplemente asumiremos que esta regla es siempre cierta.

Por supuesto, puedes escribir (5.1) así:

,

a es la masa en reposo de un estado atómico o partícula. Hay tres formas diferentes de determinar la energía: por frecuencia de amplitud, por energía en el sentido clásico o por masa inercial. Todos son iguales; son simplemente diferentes formas de expresar lo mismo.

Puede que le parezca extraño imaginar una “partícula” con las mismas amplitudes en cualquier lugar del espacio. Al fin y al cabo, entre otras cosas, siempre imaginamos una “partícula” como un pequeño objeto situado “en algún lugar”. Pero no olvide el principio de incertidumbre. Si una partícula tiene cierta energía, entonces también tiene un cierto impulso. Si la incertidumbre en el momento es cero, entonces la relación de incertidumbre dice que la incertidumbre en la posición debe ser infinita; Esto es exactamente lo que decimos cuando decimos que existe la misma amplitud para detectar una partícula en todos los puntos del espacio.

Si las partes internas del átomo están en un estado diferente con una energía total diferente, entonces la amplitud cambia de manera diferente con el tiempo. Y si no sabes en qué estado se encuentra el átomo, entonces habrá una cierta amplitud de ser en un estado y una cierta amplitud de ser en otro, y cada una de estas amplitudes tendrá su propia frecuencia. Entre estos dos componentes diferentes habrá interferencias como latidos, que pueden aparecer como una probabilidad variable. Habrá algo "cocinándose" dentro del átomo, incluso si está "en reposo" en el sentido de que su centro de masa no se moverá. Si el átomo tiene solo una energía específica, entonces la amplitud viene dada por la fórmula (5.1) y el cuadrado del módulo de amplitud no depende del tiempo. Por lo tanto, ves que si se determina la energía de una cosa y si haces una encuesta sobre la probabilidad de que haya algo en esa cosa, entonces la respuesta no depende del tiempo. Aunque las amplitudes en sí dependen del tiempo, si la energía es cierta, cambian como una exponencial imaginaria y su valor absoluto (módulo) no cambia.

Por eso decimos a menudo que un átomo está en estado estacionario a un determinado nivel de energía. Si mide algo en su interior, encontrará que nada (probablemente) cambia con el tiempo. Para que la probabilidad varíe en el tiempo tendría que haber interferencia entre dos amplitudes en dos frecuencias diferentes, lo que significaría que no se sabe cuál es la energía. Un objeto tendría una amplitud de estar en un estado con una energía y otra amplitud de estar en un estado de otra energía. Así describe la mecánica cuántica algo cuando el comportamiento de ese “algo” depende del tiempo.

Si hay un caso en el que dos se mezclan varios estados con diferentes energías, entonces las amplitudes de cada uno de los dos estados cambian con el tiempo de acuerdo con la ecuación (5.2), digamos, como

Y si hay una combinación de estos dos estados, entonces aparecerán interferencias. Pero observe que sumar la misma constante a ambas energías no cambia nada. Si alguien más usara una escala de energía diferente, en la que todas las energías se desplazan en una constante (digamos, en ), entonces las amplitudes que aparecerían en estos dos estados, desde su punto de vista, serían

Todas sus amplitudes se multiplicarían por el mismo factor. , y en todas las combinaciones lineales, todas las interferencias tendrían el mismo factor. Calculando los módulos para determinar las probabilidades, llegaría a las mismas respuestas. Elegir un punto de referencia en nuestra escala energética no cambia nada; La energía se puede contar desde cualquier cero. Para problemas relativistas es más conveniente medir la energía de modo que la masa en reposo esté incluida en ella, pero para muchos otros propósitos no relativistas suele ser mejor restar una cantidad estándar de todas las energías que aparecen. Por ejemplo, en el caso de un átomo, suele ser conveniente restarle la energía, donde está la masa de sus partes individuales, el núcleo y los electrones, que, por supuesto, difiere de la masa del propio átomo. En otros problemas, es útil restar el número de todas las energías, donde está la masa de todo el átomo en el estado fundamental; entonces la energía restante es simplemente la energía de excitación del átomo. Esto significa que tenemos derecho a cambiar nuestra energía a cero muy, muy fuertemente, pero esto aún no cambia nada (siempre que todas las energías en este cálculo particular se desplacen en el mismo número). Con esto nos desprenderemos de las partículas en reposo.

La amortiguación de las oscilaciones se llama disminución gradual amplitud de las oscilaciones en el tiempo debido a la pérdida de energía por parte del sistema oscilatorio.

Las oscilaciones naturales sin amortiguación son una idealización. Las razones de la atenuación pueden ser diferentes. En un sistema mecánico, las vibraciones se amortiguan por la presencia de fricción. EN circuito electromagnético Las pérdidas de calor en los conductores que forman el sistema provocan una disminución de la energía de vibración. Cuando se agote toda la energía almacenada en el sistema oscilatorio, las oscilaciones se detendrán. Por lo tanto la amplitud oscilaciones amortiguadas disminuye hasta llegar a ser igual a cero.

Las oscilaciones amortiguadas, como las oscilaciones naturales, en sistemas de diferente naturaleza, pueden considerarse desde un único punto de vista: las características comunes. Sin embargo, características como la amplitud y el período requieren una redefinición, y otras requieren adición y aclaración en comparación con las mismas características para las oscilaciones naturales no amortiguadas. Las características y conceptos generales de las oscilaciones amortiguadas son los siguientes:

La ecuación diferencial debe obtenerse teniendo en cuenta la disminución de la energía vibratoria durante el proceso de oscilación.

La ecuación de oscilación es una solución a una ecuación diferencial.

La amplitud de las oscilaciones amortiguadas depende del tiempo.

La frecuencia y el período dependen del grado de atenuación de las oscilaciones.

Fase y fase inicial tienen el mismo significado que para las oscilaciones no amortiguadas.

3.1. Oscilaciones amortiguadas mecánicamente

Sistema mecánico: péndulo de resorte teniendo en cuenta las fuerzas de fricción.

Fuerzas que actúan sobre un péndulo.:

fuerza elástica. , donde k es el coeficiente de rigidez del resorte, x es el desplazamiento del péndulo desde la posición de equilibrio.

Fuerza de resistencia. Consideremos una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad v del movimiento (esta dependencia es típica de una gran clase de fuerzas de resistencia): . El signo menos muestra que la dirección de la fuerza de resistencia es opuesta a la dirección de la velocidad del cuerpo. El coeficiente de arrastre r es numéricamente igual a la fuerza de arrastre que surge a una unidad de velocidad de movimiento del cuerpo:

ley del movimiento péndulo de resorte: esta es la segunda ley de Newton:

metro a = F ex. + F resistencia

considerando que ambos , escribimos la segunda ley de Newton en la forma:

.

Dividiendo todos los términos de la ecuación por m y moviéndolos todos hacia el lado derecho, obtenemos ecuación diferencial oscilaciones amortiguadas:

Denotemos , donde β – coeficiente de atenuación, , donde ω 0 es la frecuencia de oscilaciones libres no amortiguadas en ausencia de pérdidas de energía en el sistema oscilatorio.

En la nueva notación, la ecuación diferencial de oscilaciones amortiguadas tiene la forma:

.

Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden.

Ecuación de oscilación amortiguada existe una solución a la siguiente ecuación diferencial:

El Apéndice 1 muestra cómo obtener una solución a la ecuación diferencial de oscilaciones amortiguadas utilizando el método de cambio de variables.

Frecuencia amortiguada:

(por lo tanto, sólo la raíz real tiene significado físico).

Período de oscilaciones amortiguadas.:

.

El significado que se le dio al concepto de período para oscilaciones no amortiguadas no es adecuado para oscilaciones amortiguadas, ya que el sistema oscilatorio nunca regresa a su estado original debido a pérdidas de energía oscilatoria. En presencia de fricción, las vibraciones son más lentas: .

Período de oscilaciones amortiguadas. es el período mínimo de tiempo durante el cual el sistema pasa la posición de equilibrio dos veces en una dirección.

Para el sistema mecánico de un péndulo de resorte tenemos:

, .

Amplitud de oscilaciones amortiguadas.:

Para un péndulo de resorte.

La amplitud de las oscilaciones amortiguadas no es un valor constante, sino que cambia con el tiempo, cuanto más rápido, mayor es el coeficiente β. Por lo tanto, la definición de amplitud dada anteriormente para oscilaciones libres no amortiguadas debe cambiarse para oscilaciones amortiguadas.

Para pequeñas atenuaciones amplitud de oscilaciones amortiguadas Se llama la mayor desviación de la posición de equilibrio durante un período.

Gráficos Los gráficos de desplazamiento versus tiempo y amplitud versus tiempo se presentan en las Figuras 3.1 y 3.2.

Figura 3.1 – Dependencia del desplazamiento respecto del tiempo para oscilaciones amortiguadas

Figura 3.2 – Dependencia de la amplitud con el tiempo para oscilaciones amortiguadas

3.2. Oscilaciones electromagnéticas amortiguadas.

Las oscilaciones amortiguadas electromagnéticamente surgen en e sistema oscilatorio electromagnético, llamado LCR - circuito (Figura 3.3).

Figura 3.3.

Ecuación diferencial obtenemos usando la segunda ley de Kirchhoff para un circuito LCR cerrado: la suma de las caídas de voltaje a través de la resistencia activa (R) y el capacitor (C) es igual a fem inducida, desarrollado en el circuito circuito:

Caída de tensión:

En resistencia activa: , donde I es la intensidad de la corriente en el circuito;

En el capacitor (C): , donde q es la cantidad de carga en una de las placas del capacitor.

La FEM desarrollada en el circuito es la FEM inducida que se produce en el inductor cuando cambia la corriente en él y, por lo tanto, flujo magnético a través de su sección transversal: (Ley de Faraday).

Sustituyamos los valores U R , U C en la ecuación que refleja la ley de Kirchhoff, obtenemos:

.

La intensidad de la corriente se determina como la derivada de la carga, entonces , y la ecuación diferencial tomará la forma:

.

Denotemos , y en esta notación obtenemos la ecuación diferencial de oscilaciones amortiguadas en la forma:

Resolver una ecuación diferencial o ecuación de oscilación para carga en las placas del condensador se ve así:

Amplitud de las oscilaciones de carga amortiguadas. tiene la forma:

Frecuencia amortiguada en el circuito LCR:

.

Período oscilaciones electromagnéticas amortiguadas:

.

Tomemos la ecuación de la carga en la forma , entonces ecuación de voltaje en las placas del condensador se puede escribir así:
.

La cantidad se llama amplitud de voltaje a través del capacitor.

Actual en el circuito cambia con el tiempo. Ecuación para la corriente en el contorno se puede obtener usando la relación y el diagrama vectorial.

La ecuación final para la corriente es:

Dónde - fase inicial.

No es igual a α, ya que la intensidad de la corriente no cambia según el seno, que sería la derivada de la carga, sino según el coseno.

Energía Las oscilaciones en el circuito consisten en la energía del campo eléctrico.

y energía del campo magnético

Energía Total en cualquier momento:

Dónde W 0– energía total del circuito en el momento t=0 .

3.3. Características de las oscilaciones amortiguadas.

1.Coeficiente de atenuación β.

La amplitud de las oscilaciones amortiguadas cambia según una ley exponencial:

Deje que la amplitud de la oscilación disminuya “e” veces durante el tiempo τ (“e” es la base del logaritmo natural, e ≈ 2,718). Entonces, por un lado, , y por otro lado, habiendo descrito las amplitudes Azat. (t) y Azat. (t+τ), tenemos . De estas relaciones se sigue βτ = 1, por lo tanto

El período de tiempo τ durante el cual la amplitud disminuye "e" veces se llama tiempo de relajacion.

Coeficiente de atenuaciónβ es un valor inversamente proporcional al tiempo de relajación.

2. Decremento logarítmico amortiguación δ- una cantidad física numéricamente igual al logaritmo natural de la relación de dos amplitudes sucesivas separadas en el tiempo por un período.

§6 Oscilaciones amortiguadas

Disminución de la atenuación. Decremento de amortiguación logarítmica.

vibraciones libres sistemas tecnicos V condiciones reales ocurren cuando fuerzas de resistencia actúan sobre ellos. La acción de estas fuerzas conduce a una disminución de la amplitud del valor oscilante.

Las oscilaciones cuya amplitud disminuye con el tiempo debido a las pérdidas de energía del sistema oscilatorio real se denominan desvanecimiento.

Los casos más comunes son cuando la fuerza de resistencia es proporcional a la velocidad del movimiento.

Dónde r- coeficiente de resistencia del medio. El signo menos muestra queF Cdirigido en dirección opuesta a la velocidad.

Escribamos la ecuación de oscilaciones en un punto que oscila en un medio cuyo coeficiente de resistencia esr. Según la segunda ley de Newton

donde β es el coeficiente de atenuación. Este coeficiente caracteriza la tasa de atenuación de las oscilaciones. En presencia de fuerzas de resistencia, la energía del sistema oscilante disminuirá gradualmente y las oscilaciones desaparecerán.

- ecuación diferencial de oscilaciones amortiguadas.

Ud. Ecualización de oscilaciones amortiguadas.

ω - frecuencia de oscilaciones amortiguadas:

Período de oscilaciones amortiguadas:

Las oscilaciones amortiguadas, consideradas estrictamente, no son periódicas. Por tanto, podemos hablar del período de oscilaciones amortiguadas cuando β es pequeño.

Si la atenuación se expresa débilmente (β→0), entonces. Las oscilaciones amortiguadas pueden ser

considerarse como oscilaciones armónicas cuya amplitud varía según una ley exponencial

En la ecuación (1) Un 0 y φ 0 son constantes arbitrarias que dependen de la elección del momento del tiempo, a partir del cual consideramos oscilaciones

Consideremos una oscilación durante algún tiempo τ, durante la cual la amplitud disminuirá en mi una vez

τ - tiempo de relajación.

El coeficiente de amortiguación β es inversamente proporcional al tiempo durante el cual la amplitud disminuye en mi una vez. Sin embargo, el coeficiente de amortiguación no es suficiente para caracterizar la amortiguación de las oscilaciones. Por lo tanto, es necesario introducir una característica para la amortiguación de oscilaciones, que incluya el tiempo de una oscilación. Esta característica es decremento(en ruso: disminuir) atenuación D, cual igual a la proporción amplitudes separadas en el tiempo por un período:

Decremento de amortiguación logarítmica igual al logaritmo D:

La disminución de la amortiguación logarítmica es inversamente proporcional al número de oscilaciones, como resultado de lo cual la amplitud de las oscilaciones disminuyó en mi una vez. La disminución de la amortiguación logarítmica es un valor constante para un sistema dado.

Otra característica de un sistema oscilatorio es el factor de calidad.q.

El factor de calidad es proporcional al número de oscilaciones realizadas por el sistema durante el tiempo de relajación τ.

qEl sistema oscilatorio es una medida de la disipación relativa (disipación) de energía.

qsistema oscilatorio es un número que muestra cuántas veces la fuerza elástica más poder resistencia.

§7 Vibraciones forzadas.

Resonancia

En varios casos, existe la necesidad de crear sistemas que realicen oscilaciones continuas. Es posible obtener oscilaciones no amortiguadas en el sistema si compensa las pérdidas de energía actuando sobre el sistema con una fuerza que cambia periódicamente.

Dejar

Escribamos la expresión de la ecuación de movimiento. punto material, realizando un armónico movimiento oscilatorio bajo la influencia de una fuerza apremiante.

Según la segunda ley de Newton:

(1)

Ecuación diferencial de oscilaciones forzadas.

Esta ecuación diferencial es lineal no homogénea.

Su solución es igual a la suma. solución general ecuación homogénea y solución privada ecuación no homogénea:

Encontremos una solución particular a la ecuación no homogénea. Para hacer esto, reescribimos la ecuación (1) de la siguiente forma:

(2)

Buscaremos una solución particular a esta ecuación en la forma:

Entonces

Sustituyamos en (2):

porque funciona para cualquiert, entonces se debe satisfacer la igualdad γ = ω, por lo tanto,

Este Número complejo es conveniente representarlo en la forma

Dónde A está determinado por la fórmula (3 a continuación), y φ - por la fórmula (4), por lo tanto, la solución (2), en forma compleja parece

Su parte real, que fue la solución de la ecuación (1), es igual a:

Dónde

(3)

(4)

El término X o.o. juega un papel importante solo en la etapa inicial cuando se establecen las oscilaciones hasta que la amplitud de las oscilaciones forzadas alcanza el valor determinado por la igualdad (3). En estado estacionario, las oscilaciones forzadas ocurren con una frecuencia ω y son armónicas. La amplitud (3) y la fase (4) de las oscilaciones forzadas dependen de la frecuencia de la fuerza impulsora. A una determinada frecuencia de la fuerza motriz, la amplitud puede alcanzar valores muy valores grandes. Fuerte aumento Las amplitudes de oscilaciones forzadas cuando la frecuencia de la fuerza impulsora se acerca a la frecuencia natural del sistema mecánico se denomina resonancia.

La frecuencia ω de la fuerza impulsora a la que se observa resonancia se llama resonante. Para encontrar el valor de ω res, es necesario encontrar la condición para la amplitud máxima. Para hacer esto, necesita determinar la condición para el mínimo del denominador en (3) (es decir, examinar (3) para ver si hay un extremo).

La dependencia de la amplitud de una cantidad oscilante de la frecuencia de la fuerza impulsora se llama curva de resonancia. Cuanto menor sea el coeficiente de amortiguación β, mayor será la curva de resonancia y, a medida que β disminuya, el máximo de las curvas de resonancia se desplazará hacia la derecha. Si β = 0, entonces

ω res = ω 0 .

Cuando ω→0 todas las curvas llegan al valor- desviación estática.

La resonancia paramétrica ocurre cuando cambio periódico Uno de los parámetros del sistema conduce a un fuerte aumento en la amplitud del sistema oscilante. Por ejemplo, cabinas que crean un “sol” cambiando la posición del centro de gravedad del sistema (Lo mismo en “barcos”). Ver §61.t. 1 Savelyev I.V.