Module numérique un est la distance de l'origine au point UN(un).
Pour comprendre cette définition, remplaçons la variable un n’importe quel nombre, par exemple 3 et essayez de le relire :
Module numérique 3 est la distance de l'origine au point UN(3 ).
Il devient clair que le module n'est rien de plus qu'une distance ordinaire. Essayons de voir la distance entre l'origine et le point A( 3 )
Distance de l'origine au point A( 3 ) est égal à 3 (trois unités ou trois pas).
Le module d'un nombre est noté deux lignes verticales, Par exemple:
Le module du nombre 3 est noté ainsi : |3|
Le module du nombre 4 est noté ainsi : |4|
Le module du nombre 5 est noté ainsi : |5|
Nous avons cherché le module du nombre 3 et avons découvert qu'il est égal à 3. Nous l'écrivons donc :
Se lit comme : "Le module du nombre trois est trois"
Essayons maintenant de trouver le module du nombre -3. Encore une fois, nous revenons à la définition et y remplaçons le nombre -3. Seulement au lieu d'un point UN nous utilisons nouveau point B. Arrêt complet UN nous avons déjà utilisé dans le premier exemple.
Module du nombre - 3 est la distance de l'origine à un point B(—3 ).
La distance d'un point à un autre ne peut pas être négative. Par conséquent, le module de tout nombre négatif, étant une distance, ne sera pas non plus négatif. Le module du nombre -3 sera le nombre 3. La distance de l'origine au point B(-3) est également égale à trois unités :
Se lit comme : "Le module de moins trois est trois."
Le module du nombre 0 est égal à 0, puisque le point de coordonnée 0 coïncide avec l'origine, c'est-à-dire distance de l'origine au point O(0) est égal à zéro :
"Module zéro égal à zéro»
Nous tirons des conclusions :
- Le module d'un nombre ne peut pas être négatif ;
- Pour un nombre positif et zéro, le module est égal au nombre lui-même, et pour un nombre négatif - le chiffre opposé;
- Les nombres opposés ont modules égaux.
Numéros opposés
Les nombres qui ne diffèrent que par leurs signes sont appelés opposé. Par exemple, les nombres −2 et 2 sont opposés. Ils ne diffèrent que par leurs signes. Le nombre −2 a un signe moins et 2 a un signe plus, mais nous ne le voyons pas, car le plus, comme nous l'avons dit plus tôt, ne s'écrit traditionnellement pas.
Autres exemples de nombres opposés :
Les nombres opposés ont des modules égaux. Par exemple, trouvons les modules pour −2 et 2
La figure montre que la distance de l'origine aux points UNE(−2) Et B(2)également égal à deux pas.
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>>Mathématiques : module Nombre (rus)
La distance du point M (- 6) à l'origine O est égale à 6 segments unitaires (Fig. 63). Le nombre 6 est appelé module du nombre -6.
Ils écrivent : |-6|=6.
Le module d'un nombre est la distance (en segments unitaires) depuis le début coordonnées au point A (a).
Le module du nombre 5 est égal à 5, puisque le point B (5) est à 5 de l'origine segments simples.
Ils écrivent : |5|=5.
Le module du nombre O est égal à 0, puisque le point de coordonnée 0 coïncide avec l'origine de O, c'est-à-dire qu'il en est éloigné de 0 segments unitaires (voir Fig. 63). Ils écrivent : |0I=0.
Le module d'un nombre ne peut pas être négatif. Pour le positif et le zéro, il est égal au nombre lui-même, et pour le négatif, il est égal au nombre opposé. Les nombres opposés ont des modules égaux : I-aI = |a|.
? Quel est le module d'un nombre ?
Comment trouver le module d'un nombre positif ou nul ?
Comment trouver le module d’un nombre négatif ?
Le module d’un nombre quelconque peut-il être un nombre négatif ?
À 934. Trouvez le module de chacun des nombres : 81, 1,3 ; -5,2 ;
Écrivez les égalités correspondantes.
935. Trouvez la valeur de l'expression |x|, si x= -12,3 ;
936. Trouver la distance (en segments unitaires) de l'origine à chacun des points : A (3,7), B (- 7,8), C (- 200),
937. Trouvez le sens de l'expression :
938. Le point A se trouve à 5,8 unités à gauche de l'origine et le point B à 9,8 unités à droite. Quelle est la coordonnée de chaque point ? Quel est le module de chaque coordonnée ?
939. Trouvez :
a) un nombre négatif dont le module est 25 ; ; 7.4 ;
b) un nombre positif dont le module est 12 ; 1 ; ; 3.2.
940. Écrivez tous les nombres qui ont un module :
941. On sait que IаI=7. Qu'est-ce qui est égal à | -un|?
942. Parmi deux nombres, choisissez celui dont le module est le plus grand :
P. 943. Parmi les nombres, indiquez les paires de : a) nombres opposés ; b) nombres réciproques.
944. Calculer oralement :
945. Quel numéro se trouve à droite : -2 ou -1 ; -battre -7 ; 0 ou -4,2 ; -Est-ce que -15 ?
M 946. La figure 64a montre un cône. La base du cône est un cercle et le développement de la surface latérale est un secteur (voir Fig. 64, b). Calculez la surface du cône si le rayon eTo de la base est de 3 cm et que le développement de la surface latérale est un secteur à angle droit, le rayon de ce secteur est de 12 cm. Y a-t-il des données supplémentaires dans. l'énoncé du problème ?
947. Trouvez la valeur de k si - k est -3,5 ; 6,8 ; 
948. Résolvez l'équation :
949. Nina a dépensé 4,8 roubles dans le magasin. Combien argent Olya a dépensé, si l'on sait que Nina a dépensé :
a) de 0,3 frotter. plus d'Olia ;
b) de 0,5 frotter. moins Olia;
c) 2 fois plus qu'Olia ;
d) 1,5 fois moins qu'Olia ;
e) ce qu'Olia a dépensé ;
f) ce qu'Olia a dépensé ;
g) 0,2 de ce qu'Olia a dépensé ; Olia a dépensé ;
h) 25 % de ce qu'Olia a dépensé ;
i) de 25 % de plus, Quoi
j) 125 % de ce qu'Olia a dépensé ?
950. Trouvez le sens de l'expression :
951. Marquer sur la ligne de coordonnées les nombres dont les modules sont égaux à 3 ; 8 ; 1 ; 3,5 ; 5.
952. Parmi deux nombres, choisissez celui dont le module est le plus grand :
953. L'aire du premier champ est l'aire du deuxième champ. A quoi est-il égal carré le deuxième champ, si la superficie du premier est de 12,6 hectares ?
954. Le prix Ivanov représente 75 % du prix Sergeev. À quoi équivaut le prix Sergeev si le prix Ivanov est de 73,2 roubles ?
955. La vitesse du camion était la même que celle d'une voiture de tourisme. Trouvez la vitesse de la voiture si la vitesse du camion est inférieure de 22 km/h à la vitesse de la voiture.
956. Le rendement du coton dans le premier champ est inférieur de 12,5% au rendement du coton dans le deuxième champ. Quel est le rendement du coton dans le premier champ si dans le deuxième champ il est de 28 quintaux par hectare ?
957. Trouver le sens de l'expression 
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Mathématiques pour la 6e année, Manuel pour lycée
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L'un des plus sujets difficiles pour les étudiants, il s'agit de résoudre des équations contenant une variable sous le signe du module. Voyons d'abord à quoi cela est lié ? Pourquoi, par exemple, la plupart des enfants résolvent-ils des équations du second degré comme des fous, alors que celle-ci est loin d’être la meilleure ? concept complexe Comment le module a-t-il tant de problèmes ?
À mon avis, toutes ces difficultés sont liées au manque de règles clairement formulées pour résoudre les équations avec un module. Alors, décidant équation quadratique, l'étudiant sait avec certitude qu'il doit d'abord appliquer la formule discriminante, puis les formules des racines de l'équation quadratique. Que faire si un module est trouvé dans l'équation ? Nous essaierons de décrire clairement le plan d'action nécessaire pour le cas où l'équation contient une inconnue sous le signe du module. Nous donnerons plusieurs exemples pour chaque cas.
Mais d'abord, rappelons-nous définition du module. Donc modulo le nombre un ce numéro lui-même est appelé si un non négatif et -un, si numéro un inférieur à zéro. Vous pouvez l'écrire comme ceci :
|une| = a si a ≥ 0 et |a| = -a si un< 0
Parler de géométriquement module, il ne faut pas oublier que chaque nombre réel correspond à un certain point sur axe des nombres- elle à 
coordonner. Donc, module ou valeur absolue le nombre est la distance entre ce point et l'origine de l'axe des nombres. La distance est toujours spécifiée sous forme de nombre positif. Ainsi, le module de tout nombre négatif est un nombre positif. À propos, même à ce stade, de nombreux étudiants commencent à être confus. Le module peut contenir n'importe quel nombre, mais le résultat de l'utilisation du module est toujours un nombre positif.
Passons maintenant directement à la résolution des équations.
1. Considérons une équation de la forme |x| = c, où c est un nombre réel. Cette équation peut être résolue en utilisant la définition du module.
Tous nombres réels Divisons-le en trois groupes : ceux qui supérieur à zéro, ceux qui sont inférieurs à zéro, et le troisième groupe est le nombre 0. Écrivons la solution sous forme de schéma :
(±c, si c > 0
Si |x| = c, alors x = (0, si c = 0
(pas de racines si avec< 0
1) |x| = 5, parce que 5 > 0, alors x = ±5 ;
2) |x| = -5, car -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, alors x = 0.
2. Équation de la forme |f(x)| = b, où b > 0. Pour résoudre cette équation il faut se débarrasser du module. Nous procédons de cette façon : f(x) = b ou f(x) = -b. Vous devez maintenant résoudre chacune des équations résultantes séparément. Si dans l'équation originale b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, parce que 4 > 0, alors
x + 2 = 4 ou x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, parce que 11 > 0, alors
x 2 – 5 = 11 ou x 2 – 5 = -11
x2 = 16 x2 = -6
x = ± 4 pas de racines
3) |x2 – 5x| = -8, car -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Une équation de la forme |f(x)| = g(x). Selon la signification du module, une telle équation aura des solutions si son membre de droite est supérieur ou égal à zéro, c'est-à-dire g(x) ≥ 0. Alors on aura :
f(x) = g(x) ou f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x – 10. Cette équation aura des racines si 5x – 10 ≥ 0. C'est là que commence la solution de telles équations.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Solutions :
2x – 1 = 5x – 10 ou 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Nous combinons O.D.Z. et la solution, on obtient :
La racine x = 11/7 ne correspond pas à l'O.D.Z., elle est inférieure à 2, mais x = 3 satisfait cette condition.
Réponse : x = 3
2) |x – 1| = 1 – x2 .
1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Résolvons cette inégalité en utilisant la méthode des intervalles :
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Solutions :
x – 1 = 1 – x 2 ou x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 ou x = 1 x = 0 ou x = 1
3. Nous combinons la solution et O.D.Z. :
Seules les racines x = 1 et x = 0 conviennent.
Réponse : x = 0, x = 1.
4. Équation de la forme |f(x)| = |g(x)|. Cette équation équivaut à deux les équations suivantes f(x) = g(x) ou f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Cette équation est équivalente aux deux suivantes :
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 ou x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 ou x = 4 x = 2 ou x = 1
Réponse : x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Équations résolues par la méthode de substitution (remplacement de variable). Cette méthode les solutions sont plus faciles à expliquer dans exemple spécifique. Donnons donc une équation quadratique de module :
x2 – 6|x| + 5 = 0. Par la propriété de module x 2 = |x| 2, donc l’équation peut être réécrite comme suit :
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Faisons le remplacement |x| = t ≥ 0, alors on aura :
t 2 – 6t + 5 = 0. Résolution équation donnée, on obtient que t = 1 ou t = 5. Revenons au remplacement :
|x| = 1 ou |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Réponse : x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Regardons un autre exemple :
x2 + |x| – 2 = 0. Par la propriété de module x 2 = |x| 2, donc
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Faisons le remplacement |x| = t ≥ 0, alors :
t 2 + t – 2 = 0. En résolvant cette équation, on obtient t = -2 ou t = 1. Revenons au remplacement :
|x| = -2 ou |x| = 1
Pas de racines x = ± 1
Réponse : x = -1, x = 1.
6. Un autre type d'équations est celui des équations à module « complexe ». De telles équations incluent des équations qui ont des « modules dans un module ». Les équations de ce type peuvent être résolues en utilisant les propriétés du module.
1) |3 – |x|| = 4. Nous agirons de la même manière que dans les équations du deuxième type. Parce que 4 > 0, alors on obtient deux équations :
3 – |x| = 4 ou 3 – |x| = -4.
Exprimons maintenant le module x dans chaque équation, alors |x| = -1 ou |x| = 7.
Nous résolvons chacune des équations résultantes. Il n’y a pas de racines dans la première équation, car -1< 0, а во втором x = ±7.
Réponse x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Nous résolvons cette équation de la même manière :
3 + |x + 1| = 5 ou 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 ou x + 1 = -2. Pas de racines.
Réponse : x = -3, x = 1.
Il existe également une méthode universelle pour résoudre des équations avec un module. Il s'agit de la méthode des intervalles. Mais nous y reviendrons plus tard.
site Web, lors de la copie totale ou partielle du matériel, un lien vers la source est requis.
Le module fait partie de ces choses dont tout le monde semble avoir entendu parler, mais en réalité personne ne comprend vraiment. Il y aura donc aujourd'hui grande leçon, dédié à la résolution d'équations avec modules.
Je le dis tout de suite : la leçon ne sera pas difficile. Et en général, les modules sont un sujet relativement simple. « Oui bien sûr, ce n’est pas compliqué ! Cela m’époustoufle ! - diront beaucoup d'étudiants, mais toutes ces fractures cérébrales sont dues au fait que la plupart des gens n'ont pas de connaissances dans leur tête, mais une sorte de merde. Et le but de cette leçon est de transformer la merde en connaissance :)
Un peu de théorie
Alors, allons-y. Commençons par le plus important : qu’est-ce qu’un module ? Je vous rappelle que le module d'un nombre est simplement le même nombre, mais pris sans le signe moins. C'est, par exemple, $\left| -5 \right|=5$. Ou $\left| -129,5 \right|=$129,5.
Est-ce si simple ? Oui, simple. Quelle est alors la valeur absolue d’un nombre positif ? C'est encore plus simple ici : le module d'un nombre positif est égal à ce nombre lui-même : $\left| 5 \droite|=5$; $\gauche| 129,5 \right|=$129,5, etc.
Il s'avère une chose curieuse : différents numéros peut avoir le même module. Par exemple : $\left| -5 \droite|=\gauche| 5 \droite|=5$; $\gauche| -129,5 \droite|=\gauche| 129,5\droite|=129,5$. Il est facile de voir de quels types de nombres s'agit-il qui ont les mêmes modules : ces nombres sont opposés. Ainsi, constatons par nous-mêmes que les modules de nombres opposés sont égaux :
\[\gauche| -a \droite|=\gauche| a\droit|\]
Un autre fait important: le module n'est jamais négatif. Quel que soit le nombre que l'on prend - qu'il soit positif ou négatif - son module s'avère toujours positif (ou en dernier recours zéro). C'est pourquoi le module est souvent appelé la valeur absolue d'un nombre.
De plus, si l'on combine la définition du module pour un nombre positif et négatif, on obtient une définition globale du module pour tous les nombres. A savoir : le module d'un nombre est égal au nombre lui-même si le nombre est positif (ou nul), ou égal au nombre opposé si le nombre est négatif. Vous pouvez écrire ceci sous forme de formule :
Il existe également un module nul, mais il est toujours égal à zéro. De plus, zéro singulier, qui n'a pas de vis-à-vis.
Ainsi, si l'on considère la fonction $y=\left| x \right|$ et essayez de dessiner son graphique, vous obtiendrez quelque chose comme ceci :
Graphique de module et exemple de résolution de l'équation
De cette image, il est immédiatement clair que $\left| -m \droite|=\gauche| m \right|$, et le graphique du module ne tombe jamais en dessous de l'axe des x. Mais ce n'est pas tout : la ligne rouge marque la droite $y=a$, qui, pour $a$ positif, nous donne deux racines à la fois : $((x)_(1))$ et $((x) _(2)) $, mais nous en reparlerons plus tard :)
En dehors purement définition algébrique, il y a géométrique. Disons qu'il y a deux points sur la droite numérique : $((x)_(1))$ et $((x)_(2))$. Dans ce cas, l'expression $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ est simplement la distance entre les points spécifiés. Ou, si vous préférez, la longueur du segment reliant ces points :
Le module est la distance entre les points sur une droite numérique Cette définition implique également que le module est toujours non négatif. Mais assez de définitions et de théorie - passons aux vraies équations :)
Formule de base
D'accord, nous avons réglé la définition. Mais cela n’a pas rendu les choses plus faciles. Comment résoudre des équations contenant ce même module ?
Du calme, juste du calme. Commençons par les choses les plus simples. Considérez quelque chose comme ceci :
\[\gauche| x\droite|=3\]
Le module de $x$ est donc 3. À quoi $x$ pourrait-il être égal ? Eh bien, à en juger par la définition, nous sommes plutôt satisfaits de $x=3$. Vraiment:
\[\gauche| 3\droite|=3\]
Y a-t-il d'autres numéros ? Cap semble laisser entendre que c'est le cas. Par exemple, $x=-3$ est également $\left| -3 \right|=3$, c'est-à-dire l'égalité requise est satisfaite.
Alors peut-être que si nous cherchons et réfléchissons, nous trouverons plus de chiffres ? Mais interrompez-le : plus de numéros Non. Équation $\left| x \right|=3$ n'a que deux racines : $x=3$ et $x=-3$.
Maintenant, compliquons un peu la tâche. Laissez la fonction $f\left(x \right)$ traîner sous le signe du module au lieu de la variable $x$, et au lieu du triple à droite on met nombre arbitraire$un$. On obtient l'équation :
\[\gauche| f\gauche(x \droite) \droite|=a\]
Alors, comment pouvons-nous résoudre ce problème ? Permettez-moi de vous rappeler : $f\left(x \right)$ est une fonction arbitraire, $a$ est n'importe quel nombre. Ceux. N'importe quoi du tout ! Par exemple:
\[\gauche| 2x+1 \droite|=5\]
\[\gauche| 10x-5 \droite|=-65\]
Faisons attention à la deuxième équation. On peut tout de suite dire de lui : il n'a pas de racines. Pourquoi? Tout est correct : car il faut que le module soit égal à un nombre négatif, ce qui n'arrive jamais, puisque l'on sait déjà que le module est toujours un nombre positif ou, dans les cas extrêmes, zéro.
Mais avec la première équation, tout est plus amusant. Il y a deux options : soit il y a une expression positive sous le signe du module, et alors $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, ou cette expression est toujours négative, et alors $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. Dans le premier cas, notre équation sera réécrite comme suit :
\[\gauche| 2x+1 \droite|=5\Flèche droite 2x+1=5\]
Et soudain, il s'avère que l'expression sous-modulaire $2x+1$ est vraiment positive - elle est égale au nombre 5. C'est-à-dire nous pouvons résoudre cette équation en toute sécurité - la racine résultante sera un élément de la réponse :
Les personnes particulièrement méfiantes peuvent essayer de remplacer la racine trouvée dans équation originale et assurez-vous qu'il y a bien un nombre positif sous le module.
Regardons maintenant le cas d'une expression sous-modulaire négative :
\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Flèche droite 2x+1=-5\]
Oups ! Encore une fois, tout est clair : nous avons supposé que $2x+1 \lt 0$, et en conséquence nous avons obtenu que $2x+1=-5$ - en effet, cette expression est inférieure à zéro. Nous résolvons l'équation résultante, tout en sachant déjà avec certitude que la racine trouvée nous conviendra :
Au total, nous avons à nouveau reçu deux réponses : $x=2$ et $x=3$. Oui, la quantité de calculs s'est avérée un peu plus grande que dans la très simple équation $\left| x \right|=3$, mais rien n'a fondamentalement changé. Alors peut-être existe-t-il une sorte d’algorithme universel ?
Oui, un tel algorithme existe. Et maintenant, nous allons l'analyser.
Se débarrasser du signe du module
Donnons-nous l'équation $\left| f\left(x \right) \right|=a$, et $a\ge 0$ (sinon, comme on le sait déjà, il n'y a pas de racines). Ensuite, vous pouvez vous débarrasser du signe du module en utilisant la règle suivante :
\[\gauche| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]
Ainsi, notre équation avec module se divise en deux, mais sans module. C'est tout ce qu'est la technologie ! Essayons de résoudre quelques équations. Commençons par ça
\[\gauche| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]
Considérons séparément quand il y a un plus dix à droite, et séparément quand il y a un moins. Nous avons:
\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\fin (aligner)\]
C'est ça! Nous avons deux racines : $x=1,2$ et $x=-2,8$. La solution entière prenait littéralement deux lignes.
Ok, pas de doute, regardons quelque chose d'un peu plus sérieux :
\[\gauche| 7-5x\droite|=13\]
Encore une fois, nous ouvrons le module avec plus et moins :
\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\fin (aligner)\]
Encore quelques lignes - et la réponse est prête ! Comme je l'ai dit, il n'y a rien de compliqué dans les modules. Il vous suffit de vous rappeler quelques règles. Par conséquent, nous passons à autre chose et commençons par des tâches vraiment plus complexes.
Le cas d'une variable de droite
Considérons maintenant cette équation :
\[\gauche| 3x-2 \droite|=2x\]
Cette équation est fondamentalement différente de toutes les précédentes. Comment? Et le fait qu'à droite du signe égal se trouve l'expression $2x$ - et on ne peut pas savoir à l'avance si elle est positive ou négative.
Que faire dans ce cas ? Premièrement, nous devons comprendre une fois pour toutes que si le côté droit de l’équation s’avère négatif, alors l’équation n’aura pas de racines- on sait déjà que le module ne peut pas être égal à un nombre négatif.
Et deuxièmement, si la partie droite est toujours positive (ou égale à zéro), alors vous pouvez agir exactement de la même manière que précédemment : ouvrez simplement le module séparément avec un signe plus et séparément avec un signe moins.
Ainsi, nous formulons une règle pour les fonctions arbitraires $f\left(x \right)$ et $g\left(x \right)$ :
\[\gauche| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]
Par rapport à notre équation on obtient :
\[\gauche| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]
Eh bien, nous parviendrons d'une manière ou d'une autre à répondre à l'exigence $2x\ge 0$. En fin de compte, nous pouvons bêtement substituer les racines que nous obtenons de la première équation et vérifier si l’inégalité est vraie ou non.
Résolvons donc l’équation elle-même :
\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Flèche Droite 3x=0\Flèche Droite x=0. \\\fin (aligner)\]
Eh bien, laquelle de ces deux racines satisfait à l’exigence $2x\ge 0$ ? Oui les deux ! Par conséquent, la réponse sera deux nombres : $x=(4)/(3)\;$ et $x=0$. C'est la solution :)
Je soupçonne que certains étudiants commencent déjà à s'ennuyer ? Eh bien, regardons une équation encore plus complexe :
\[\gauche| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]
Même si cela semble maléfique, il s’agit en fait toujours de la même équation de la forme « module égal à fonction » :
\[\gauche| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]
Et cela se résout exactement de la même manière :
\[\gauche| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]
Nous traiterons des inégalités plus tard - c'est en quelque sorte trop mauvais (en fait, c'est simple, mais nous ne le résoudrons pas). Pour l’instant, il vaut mieux s’occuper des équations résultantes. Considérons le premier cas - c'est celui où le module est développé avec un signe plus :
\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
Eh bien, il va de soi que vous devez tout rassembler sur la gauche, en apporter des similaires et voir ce qui se passe. Et voici ce qui se passe :
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\fin (aligner)\]
Nous le retirons multiplicateur commun$((x)^(2))$ hors parenthèses et on obtient une équation très simple :
\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\fin (aligner) \right.\]
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]
Ici, nous avons utilisé propriété importante produit, pour lequel nous avons factorisé le polynôme d'origine : le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro.
Traitons maintenant la deuxième équation exactement de la même manière, qui s'obtient en développant le module avec un signe moins :
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\gauche(-3x+2 \droite)=0. \\\fin (aligner)\]
Encore la même chose : le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro. Nous avons:
\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]
Eh bien, nous avons trois racines : $x=0$, $x=1.5$ et $x=(2)/(3)\;$. Eh bien, lequel de ces éléments entrera dans la réponse finale ? Pour ce faire, rappelons que nous avons une contrainte supplémentaire sous forme d’inégalité :
Comment prendre en compte cette exigence ? Remplaçons simplement les racines trouvées et vérifions si l'inégalité est valable ou non pour ces $x$. Nous avons:
\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\fin (aligner)\]
Ainsi, la racine $x=1.5$ ne nous convient pas. Et en réponse il n'y aura que deux racines :
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]
Comme vous pouvez le constater, même dans ce cas, il n'y avait rien de compliqué - les équations avec modules sont toujours résolues à l'aide d'un algorithme. Il vous suffit d'avoir une bonne compréhension des polynômes et des inégalités. Par conséquent, passons à des tâches plus complexes - il n'y aura déjà pas un, mais deux modules.
Équations à deux modules
Jusqu'à présent, nous n'avons étudié que la plupart équations simples— il y avait un module et autre chose. Nous avons envoyé cet « autre chose » dans une autre partie de l'inégalité, en dehors du module, pour qu'au final tout se réduise à une équation de la forme $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ ou encore plus simple $\left| f\left(x \right) \right|=a$.
Mais maternelle terminé - il est temps d'envisager quelque chose de plus sérieux. Commençons par des équations comme celle-ci :
\[\gauche| f\left(x \right) \right|=\left| g\gauche(x \droite) \droite|\]
Il s’agit d’une équation de la forme « module égal module ». Fondamentalement point important est l'absence d'autres termes et facteurs : un seul module à gauche, un module de plus à droite - et rien de plus.
Certains penseront maintenant que de telles équations sont plus difficiles à résoudre que celles que nous avons étudiées jusqu’à présent. Mais non : ces équations sont encore plus faciles à résoudre. Voici la formule :
\[\gauche| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]
Tous! Nous assimilons simplement les expressions sous-modulaires en mettant un signe plus ou moins devant l’une d’elles. Et puis nous résolvons les deux équations résultantes - et les racines sont prêtes ! Pas de restrictions supplémentaires, pas d'inégalités, etc. C'est très simple.
Essayons de résoudre ce problème :
\[\gauche| 2x+3 \droite|=\gauche| 2x-7 \droite|\]
Élémentaire, Watson ! Extension des modules :
\[\gauche| 2x+3 \droite|=\gauche| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]
Considérons chaque cas séparément :
\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\gauche(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\fin (aligner)\]
La première équation n'a pas de racines. Parce que quand est-ce que 3$=-7$ ? A quelles valeurs de $x$ ? « Qu'est-ce que c'est que $x$ ? Êtes-vous défoncé ? Il n’y a pas de $x$ du tout », dites-vous. Et vous aurez raison. Nous avons obtenu une égalité qui ne dépend pas de la variable $x$, et en même temps l'égalité elle-même est incorrecte. C'est pourquoi il n'y a pas de racines :)
Avec la deuxième équation, tout est un peu plus intéressant, mais aussi très, très simple :
Comme vous pouvez le voir, tout a été résolu littéralement en quelques lignes - nous n'attendions rien d'autre d'une équation linéaire :)
En conséquence, la réponse finale est : $x=1$.
Alors comment ? Difficile? Bien sûr que non. Essayons autre chose :
\[\gauche| x-1 \droite|=\gauche| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]
Encore une fois, nous avons une équation de la forme $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x\right) \right|$. Par conséquent, nous le réécrivons immédiatement, révélant le signe du module :
\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]
Peut-être que quelqu'un demandera maintenant : « Hé, quelle absurdité ? Pourquoi « plus-moins » apparaît-il sur l’expression de droite et pas sur celle de gauche ? » Calme-toi, je vais tout t'expliquer maintenant. En effet, dans le bon sens, nous aurions dû réécrire notre équation comme suit :
Ensuite, vous devez ouvrir les parenthèses, déplacer tous les termes d'un côté du signe égal (puisque l'équation, évidemment, sera quadratique dans les deux cas), puis trouver les racines. Mais il faut être d’accord : quand « plus ou moins » apparaît devant trois termes (surtout quand l’un de ces termes est expression quadratique), cela semble en quelque sorte plus compliqué que la situation où « plus-moins » n’apparaît que devant deux termes.
Mais rien n’empêche de réécrire l’équation originale comme suit :
\[\gauche| x-1 \droite|=\gauche| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \droite|\]
Ce qui s'est passé? Rien de spécial : ils ont juste changé celui de gauche et côté droità certains endroits. Une petite chose qui va finalement nous faciliter un peu la vie :)
En général, nous résolvons cette équation en considérant les options avec un plus et un moins :
\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\fin (aligner)\]
La première équation a les racines $x=3$ et $x=1$. Le second est généralement un carré exact :
\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]
Il n’a donc qu’une seule racine : $x=1$. Mais nous avons déjà obtenu cette racine plus tôt. Ainsi, seuls deux chiffres entreront dans la réponse finale :
\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]
Mission accomplie ! Vous pouvez prendre une tarte sur l'étagère et la manger. Il y en a 2, le vôtre est celui du milieu :)
Remarque importante. Disponibilité racines identiques avec différentes options pour étendre le module signifie que les polynômes d'origine sont factorisés, et parmi ces facteurs, il y en aura certainement un commun. Vraiment:
\[\begin(align)& \left| x-1 \droite|=\gauche| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \gauche| x-1 \droite|=\gauche| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\fin (aligner)\]
Une des propriétés du module : $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (c'est-à-dire le module du produit égal au produit modules), donc l’équation originale peut être réécrite comme suit :
\[\gauche| x-1 \droite|=\gauche| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \droite|\]
Comme vous pouvez le constater, nous avons vraiment un point commun. Maintenant, si vous rassemblez tous les modules d'un côté, vous pouvez retirer ce facteur du support :
\[\begin(align)& \left| x-1 \droite|=\gauche| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \droite|; \\& \gauche| x-1 \droite|-\gauche| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \gauche| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\fin (aligner)\]
Eh bien, rappelez-vous maintenant que le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro :
\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \droite|=0, \\& \gauche| x-2 \right|=1. \\\fin (aligner) \right.\]
Ainsi, l'équation originale à deux modules a été réduite aux deux équations les plus simples dont nous avons parlé au tout début de la leçon. De telles équations peuvent être résolues littéralement en quelques lignes :)
Cette remarque peut paraître inutilement complexe et inapplicable en pratique. Cependant, en réalité, vous pourriez rencontrer beaucoup plus tâches complexes, que ceux que nous analysons aujourd’hui. Dans ceux-ci, les modules peuvent être combinés avec des polynômes, racines arithmétiques, logarithmes, etc. Et dans de telles situations, la possibilité de réduire diplôme général les équations en mettant quelque chose entre parenthèses peuvent être très, très utiles :)
Je voudrais maintenant analyser une autre équation qui, à première vue, peut paraître folle. De nombreux étudiants restent bloqués là-dessus, même ceux qui pensent avoir une bonne compréhension des modules.
Cependant, cette équation est encore plus facile à résoudre que celle que nous avons examinée précédemment. Et si vous comprenez pourquoi, vous obtiendrez une autre astuce pour solution rapideéquations avec modules.
L'équation est donc :
\[\gauche| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]
Non, ce n'est pas une faute de frappe : c'est un plus entre les modules. Et nous devons trouver à quel $x$ la somme de deux modules est égale à zéro :)
Quel est le problème de toute façon ? Mais le problème est que chaque module est un nombre positif ou, dans les cas extrêmes, zéro. Que se passe-t-il si vous additionnez deux nombres positifs ? Évidemment, c'est encore un nombre positif :
\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]
La dernière ligne pourrait vous donner une idée : le seul cas où la somme des modules est nulle, c'est si chaque module est nul :
\[\gauche| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align) \right.\]
Et quand le module est-il égal à zéro ? Seulement dans un cas - lorsque l'expression sous-modulaire est égale à zéro :
\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]
Ainsi, nous avons trois points auxquels le premier module est remis à zéro : 0, 1 et −1 ; ainsi que deux points auxquels le deuxième module est remis à zéro : −2 et 1. Cependant, nous avons besoin que les deux modules soient remis à zéro en même temps, donc parmi les nombres trouvés, nous devons choisir ceux qui sont inclus dans les deux ensembles. Évidemment, il n'existe qu'un seul nombre de ce type : $x=1$ - ce sera la réponse finale.
Méthode de clivage
Eh bien, nous avons déjà abordé un tas de problèmes et appris beaucoup de techniques. Pensez-vous que c'est tout ? Mais non ! Nous allons maintenant examiner la technique finale - et en même temps la plus importante. Nous parlerons de fractionnement d'équations avec module. De quoi allons-nous même parler ? Revenons un peu en arrière et regardons une équation simple. Par exemple ceci :
\[\gauche| 3x-5 \droite|=5-3x\]
En principe, nous savons déjà comment résoudre une telle équation, car il s'agit d'une construction standard de la forme $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Mais essayons d’examiner cette équation sous un angle légèrement différent. Plus précisément, considérons l'expression sous le signe du module. Permettez-moi de vous rappeler que le module de n'importe quel nombre peut être égal au nombre lui-même, ou il peut être opposé à ce nombre :
\[\gauche| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]
En fait, c'est cette ambiguïté qui est tout le problème : puisque le nombre sous le module change (cela dépend de la variable), il ne nous est pas clair s'il est positif ou négatif.
Mais que se passe-t-il si vous exigez initialement que ce nombre soit positif ? Par exemple, exigeons que $3x-5 \gt 0$ - dans ce cas, nous sommes assurés d'obtenir un nombre positif sous le signe du module, et nous pouvons complètement nous débarrasser de ce même module :
Ainsi, notre équation se transformera en une équation linéaire, qui peut être facilement résolue :
Certes, toutes ces pensées n'ont de sens que sous la condition $3x-5 \gt 0$ - nous avons nous-mêmes introduit cette exigence afin de révéler sans ambiguïté le module. Par conséquent, remplaçons le $x=\frac(5)(3)$ trouvé dans cette condition et vérifions :
Il s'avère que lorsque valeur spécifiée$x$ notre exigence n'est pas satisfaite, car l'expression s'est avérée égale à zéro, et nous avons besoin qu'elle soit strictement supérieure à zéro. Triste. :(
Mais ça va ! Après tout, il existe une autre option $3x-5 \lt 0$. De plus : il y a aussi le cas $3x-5=0$ - cela doit également être pris en compte, sinon la solution sera incomplète. Considérons donc le cas $3x-5 \lt 0$ :
Évidemment, le module s'ouvrira avec un signe moins. Mais alors il surgit situation étrange: à gauche et à droite dans l'équation originale, la même expression ressortira :
Je me demande à quel $x$ l'expression $5-3x$ sera égale à l'expression $5-3x$ ? Même Captain Obviousness s'étoufferait avec sa salive à cause de telles équations, mais nous le savons : cette équation est une identité, c'est-à-dire c'est vrai pour n'importe quelle valeur de la variable !
Cela signifie que n'importe quel $x$ nous conviendra. Cependant, nous avons une limite :
En d’autres termes, la réponse ne sera pas un seul nombre, mais tout un intervalle :
Enfin, il reste un autre cas à considérer : $3x-5=0$. Tout est simple ici : sous le module il y aura zéro, et le module de zéro est aussi égal à zéro (cela découle directement de la définition) :
Mais alors l'équation originale $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ sera réécrit comme suit :
Nous avons déjà obtenu cette racine plus haut, lorsque nous avons considéré le cas de $3x-5 \gt 0$. De plus, cette racine est une solution de l'équation $3x-5=0$ - c'est la limitation que nous avons nous-mêmes introduite pour réinitialiser le module :)
Ainsi, en plus de l'intervalle, on se contentera également du nombre se trouvant à la toute fin de cet intervalle :
Combiner des racines dans des équations modulo Réponse finale totale : $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Il n'est pas très courant de voir de telles conneries dans la réponse à une équation assez simple (essentiellement linéaire) avec module, vraiment ? Eh bien, il faut s'y habituer : la difficulté du module est que les réponses à de telles équations peuvent être complètement imprévisibles.
Autre chose est bien plus important : nous venons d'analyser un algorithme universel de résolution d'une équation avec un module ! Et cet algorithme comprend les étapes suivantes :
- Égalisez chaque module de l’équation à zéro. Nous obtenons plusieurs équations ;
- Résolvez toutes ces équations et marquez les racines sur la droite numérique. En conséquence, la ligne droite sera divisée en plusieurs intervalles, à chacun desquels tous les modules seront révélés de manière unique ;
- Résolvez l'équation originale pour chaque intervalle et combinez vos réponses.
C'est ça! Il ne reste qu’une seule question : que faire des racines obtenues à l’étape 1 ? Disons que nous avons deux racines : $x=1$ et $x=5$. Ils diviseront la droite numérique en 3 morceaux :
Diviser la droite numérique en intervalles à l'aide de points Alors, quels sont les intervalles ? Force est de constater qu'il y en a trois :
- Celui le plus à gauche : $x \lt 1$ — l'unité elle-même n'est pas incluse dans l'intervalle ;
- Central : $1\le x \lt 5$ - ici un est inclus dans l'intervalle, mais cinq n'est pas inclus ;
- Tout à droite : $x\ge 5$ - cinq n'est inclus qu'ici !
Je pense que vous comprenez déjà le modèle. Chaque intervalle inclut l'extrémité gauche et n'inclut pas l'extrémité droite.
À première vue, une telle entrée peut sembler gênante, illogique et généralement un peu folle. Mais croyez-moi : après un peu de pratique, vous constaterez que cette approche est la plus fiable et ne gêne pas l'ouverture sans ambiguïté des modules. Il vaut mieux utiliser un tel schéma que de penser à chaque fois : donner l'extrémité gauche/droite à l'intervalle actuel ou le « jeter » dans le suivant.
