Qu'est-ce que la trigonométrie. Reportage sur la trigonométrie dans la vraie vie

En faisant transformations trigonométriques suivez ces conseils :

1. N'essayez pas immédiatement de proposer un schéma pour résoudre l'exemple du début à la fin.
2. N'essayez pas de convertir l'intégralité de l'exemple en une seule fois. Faites de petits pas en avant.
3. N'oubliez pas qu'en plus des formules trigonométriques en trigonométrie, vous pouvez toujours appliquer toutes les formules justes transformations algébriques(mises entre parenthèses, fractions réductrices, formules de multiplication abrégées, etc.).
4. Croyez que tout ira bien.

Formules trigonométriques de base

La plupart des formules en trigonométrie sont souvent utilisées à la fois de droite à gauche et de gauche à droite, vous devez donc si bien apprendre ces formules que vous pouvez facilement appliquer une formule dans les deux sens. Écrivons d’abord les définitions des fonctions trigonométriques. Soit un triangle rectangle :

Ensuite, la définition du sinus :

Définition du cosinus :

Définition de la tangente :

Définition de cotangente :

Identité trigonométrique de base :

Les corollaires les plus simples de l’identité trigonométrique de base :

Formules double angle. Sinus du double angle :

Cosinus du double angle :

Tangente du double angle :

Cotangente du double angle :

Formules trigonométriques supplémentaires

Formules d'addition trigonométriques. Sinus de la somme :

Sinus de la différence :

Cosinus de la somme :

Cosinus de la différence :

Tangente de la somme :

Tangente de différence :

Cotangente du montant :

Cotangente de la différence :

Formules trigonométriques pour convertir une somme en produit. Somme des sinus :

Différence sinusoïdale :

Somme des cosinus :

Différence de cosinus :

Somme des tangentes :

Différence tangente :

Somme des cotangentes :

Différence cotangente :

Formules trigonométriques pour convertir un produit en somme. Produit des sinus :

Produit du sinus et du cosinus :

Produit des cosinus :

Formules de réduction de diplôme.

Formules demi-angle.

Formules de réduction trigonométrique

La fonction cosinus s'appelle cofonction fonctions sinusoïdales et vice versa. De même, les fonctions tangente et cotangente sont des cofonctions. Les formules de réduction peuvent être formulées comme la règle suivante :

• Si dans la formule de réduction un angle est soustrait (ajouté) de 90 degrés ou 270 degrés, alors la fonction réduite se transforme en cofonction ;
• Si dans la formule de réduction l'angle est soustrait (ajouté) de 180 degrés ou 360 degrés, alors le nom de la fonction réduite est conservé ;
• Dans ce cas, le signe que la fonction réduite (c'est-à-dire originale) a dans le quadrant correspondant est placé devant la fonction réduite, si l'on considère que l'angle soustrait (ajouté) est aigu.

Formules de réduction sont donnés sous forme de tableau :

Par cercle trigonométrique facile à définir valeurs du tableau fonctions trigonométriques:

Équations trigonométriques

Pour résoudre une certaine équation trigonométrique, elle doit être réduite à l'une des équations trigonométriques les plus simples, qui sera discutée ci-dessous. Pour ça:

• Peut être utilisé formules trigonométriques donnée ci-dessus. Dans le même temps, vous n’avez pas besoin d’essayer de transformer l’ensemble de l’exemple d’un coup, mais vous devez avancer par petites étapes.
• Il ne faut pas oublier la possibilité de transformer une expression en utilisant méthodes algébriques, c'est à dire. par exemple, retirer quelque chose des parenthèses ou, au contraire, ouvrir des parenthèses, réduire une fraction, appliquer une formule de multiplication abrégée, ramener des fractions à un dénominateur commun, etc.
• Lors de la résolution d'équations trigonométriques, vous pouvez utiliser méthode de regroupement. Il faut rappeler que pour que le produit de plusieurs facteurs soit égal à zéro, il suffit que l'un d'entre eux soit égal à zéro, et le reste existait.
• Candidature méthode de remplacement des variables, comme d'habitude, l'équation après l'introduction du remplacement devrait devenir plus simple et ne pas contenir la variable d'origine. Vous devez également penser à effectuer un remplacement inversé.
• N'oubliez pas que les équations homogènes apparaissent souvent en trigonométrie.
• Lorsque vous ouvrez des modules ou résolvez des équations irrationnelles avec des fonctions trigonométriques, vous devez vous rappeler et prendre en compte toutes les subtilités de la résolution des équations correspondantes avec des fonctions ordinaires.
• N'oubliez pas l'ODZ (dans les équations trigonométriques, les restrictions sur l'ODZ se résument principalement au fait qu'on ne peut pas diviser par zéro, mais n'oubliez pas les autres restrictions, notamment sur la positivité des expressions dans pouvoirs rationnels et sous des racines de degrés pairs). N'oubliez pas non plus que les valeurs du sinus et du cosinus ne peuvent être comprises que entre moins un et plus un inclus.

L'essentiel est que si vous ne savez pas quoi faire, faites au moins quelque chose, et l'essentiel est d'utiliser correctement les formules trigonométriques. Si ce que vous obtenez s'améliore de plus en plus, continuez la solution, et si la situation empire, revenez au début et essayez d'appliquer d'autres formules, faites-le jusqu'à ce que vous trouviez la bonne solution.

Formules pour les solutions des équations trigonométriques les plus simples. Pour le sinus, il existe deux formes équivalentes d’écriture de la solution :

Pour les autres fonctions trigonométriques, la notation est sans ambiguïté. Pour le cosinus :

Pour la tangente :

Pour la cotangente :

Résolution d'équations trigonométriques dans certains cas particuliers :

La mise en œuvre réussie, assidue et responsable de ces trois points vous permettra de vous présenter au CT excellent résultat, le maximum de ce dont vous êtes capable.

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Lycée MBOU Tselinnaya

Rapport de trigonométrie vrai vie

Préparé et réalisé

professeur de mathématiques

catégorie de qualification

Ilyina V.P.

Village de Tselinny, mars 2014

Table des matières.

1. Introduction .

2. Historique de la création de la trigonométrie :

Premiers siècles.

La Grèce ancienne.

Moyen-âge.

Nouvelle heure.

De l'histoire du développement de la géométrie sphérique.

3.Trigonométrie et vie réelle :

Application de la trigonométrie à la navigation.

Trigonométrie en algèbre.

Trigonométrie en physique.

Trigonométrie en médecine et biologie.

Trigonométrie en musique.

Trigonométrie en informatique

Trigonométrie en construction et géodésie.

4. Conclusion .

5. Liste des références.

Introduction

Il est depuis longtemps une pratique établie en mathématiques que, lorsque nous étudions systématiquement les mathématiques, nous, les étudiants, devons rencontrer la trigonométrie trois fois. En conséquence, son contenu semble consister en trois parties. Lors de la formation, ces parties sont séparées les unes des autres dans le temps et ne se ressemblent pas tant dans le sens investi dans l'explication des concepts de base, que dans les appareils développés et dans les fonctions de service (applications).

En effet, nous avons découvert le matériel trigonométrique pour la première fois en 8e année lors de l'étude du sujet « Relations entre les côtés et les angles ». triangle rectangle" Nous avons donc appris ce que sont le sinus, le cosinus et la tangente, et appris à résoudre des triangles plans.

Cependant, un certain temps a passé et en 9e année, nous sommes revenus à nouveau à la trigonométrie. Mais cette trigonométrie ne ressemble pas à ce qui a été étudié auparavant. Ses relations sont désormais déterminées à l’aide d’un cercle (demi-cercle unité) plutôt que d’un triangle rectangle. Bien qu’ils soient encore définis en fonction d’angles, ces angles sont déjà arbitrairement grands.

Après être passés en 10e année, nous avons de nouveau rencontré la trigonométrie et avons vu qu'elle était devenue encore plus compliquée, le concept de mesure d'angle en radian a été introduit et ils semblent différents identités trigonométriques, poser des problèmes et interpréter leurs solutions. Des graphiques de fonctions trigonométriques sont introduits. Apparaissent enfin équations trigonométriques. Et tout ce matériel est apparu devant nous comme faisant partie de l'algèbre, et non comme de la géométrie. Et nous sommes devenus très intéressés par l'étude de l'histoire de la trigonométrie, de son application dans Vie courante, parce que l'utilisation des mathématiques par l'enseignant information historique n’est pas obligatoire lors de la présentation du matériel de cours. Cependant, comme le souligne K. A. Malygin, "... les excursions dans le passé historique animent la leçon, soulagent le stress mental, suscitent l'intérêt pour la matière étudiée et contribuent à sa solide assimilation". De plus, le matériel sur l'histoire des mathématiques est très complet et intéressant, car le développement des mathématiques est étroitement lié à la solution de problèmes urgents qui se sont posés à toutes les périodes de l'existence de la civilisation.

Ayant appris raisons historiques les origines de la trigonométrie, et avoir étudié comment les fruits du travail de grands scientifiques ont influencé le développement de cette branche des mathématiques et la solution tâches spécifiques, parmi nous, écoliers, l'intérêt pour la matière étudiée augmente, et nous verrons sa signification pratique.

Objectif du projet - développement de l'intérêt pour l'étude du thème « Trigonométrie » dans le cours d'algèbre et début de l'analyse à travers le prisme valeur appliquée la matière étudiée ; extension représentations graphiques, contenant des fonctions trigonométriques ; l'utilisation de la trigonométrie dans des sciences telles que la physique, la biologie, etc.

Le lien de la trigonométrie avec le monde extérieur, l'importance de la trigonométrie dans la résolution de nombreux problèmes pratiques et les capacités graphiques des fonctions trigonométriques permettent de « matérialiser » les connaissances des écoliers. Cela nous permet de mieux comprendre nécessité vitale Les connaissances acquises en étudiant la trigonométrie augmentent l'intérêt pour l'étude de ce sujet.

Objectifs de recherche:

1. Considérez l'histoire de l'émergence et du développement de la trigonométrie.

2.Afficher sur exemples spécifiques Applications pratiques trigonométrie dans diverses sciences.

3. À l'aide d'exemples précis, révéler les possibilités d'utilisation de fonctions trigonométriques, qui permettent de transformer des fonctions « peu intéressantes » en fonctions dont les graphiques ont un aspect très original.

« Une chose reste claire : le monde est structuré de manière menaçante et magnifique. »

N. Rubtsov

Trigonométrie - il s'agit d'une branche des mathématiques dans laquelle sont étudiées les relations entre les valeurs des angles et les longueurs des côtés des triangles, ainsi que les identités algébriques des fonctions trigonométriques. C’est difficile à imaginer, mais nous rencontrons cette science non seulement dans les cours de mathématiques, mais aussi dans notre vie quotidienne. Nous n’en sommes peut-être pas conscients, mais la trigonométrie se retrouve dans des sciences comme la physique, la biologie, etc. dernier rôle il joue également un rôle en médecine et, ce qui est le plus intéressant, même la musique et l'architecture ne peuvent s'en passer. Rôle important dans le développement de compétences d’application pratique connaissance théorique obtenus en étudiant les mathématiques sont joués par des problèmes à contenu pratique. Chaque étudiant en mathématiques s'intéresse à la manière et à l'endroit où les connaissances acquises sont appliquées. Ce travail apporte la réponse à cette question.

Histoire de la création de la trigonométrie

Premiers siècles

La mesure familière des angles en degrés, minutes et secondes provient des mathématiques babyloniennes (l'introduction de ces unités dans les mathématiques grecques antiques est généralement attribuée au IIe siècle avant JC).

La principale réalisation de cette période était la relation entre les jambes et l'hypoténuse dans un triangle rectangle, qui reçut plus tard ce nom.

La Grèce ancienne

Présentation générale et logiquement cohérente rapports trigonométriques est apparu dans la géométrie grecque antique. Les mathématiciens grecs n’avaient pas encore identifié la trigonométrie comme une science distincte ; pour eux, elle faisait partie de l’astronomie.
La principale réalisation de l'Antiquité théorie trigonométrique est devenu la décision en vue générale le problème de « résoudre des triangles », c’est-à-dire trouver les éléments inconnus d’un triangle en fonction de trois donnés ses éléments (dont au moins un est un côté).

Moyen-âge

Au IVe siècle, après la mort de la science ancienne, le centre de développement des mathématiques s'est déplacé en Inde. Ils ont modifié certains concepts de la trigonométrie, les rapprochant des concepts modernes : par exemple, ils ont été les premiers à introduire le cosinus dans l'usage.
Le premier traité spécialisé sur la trigonométrie fut l'œuvre du scientifique d'Asie centrale (X-XI siècles) « Le Livre des clés de la science de l'astronomie » (995-996). L'ensemble du cours de trigonométrie contenait Travail principal Al-Biruni - « Le Canon de Mas'ud » (Livre III). En plus des tables de sinus (par incréments de 15"), Al-Biruni a donné des tables de tangentes (par incréments de 1°).

Après la parution des traités arabes XII-XIII siècles traduites en latin, de nombreuses idées de mathématiciens indiens et persans sont devenues la propriété de la science européenne. Apparemment, la première connaissance des Européens avec la trigonométrie a eu lieu grâce à zij, dont deux traductions ont été réalisées au XIIe siècle.

Le premier ouvrage européen entièrement consacré à la trigonométrie est souvent appelé les « Quatre traités sur les accords droits et inversés » par un astronome anglais (vers 1320). Les tableaux trigonométriques, souvent traduits de l'arabe, mais parfois originaux, sont contenus dans les œuvres de plusieurs autres auteurs des XIVe-XVe siècles. Parallèlement, la trigonométrie prend sa place parmi les cursus universitaires.

Nouvelle heure

Le mot « trigonométrie » apparaît pour la première fois (1505) dans le titre d'un livre du théologien et mathématicien allemand Pitiscus. L'origine de ce mot est grecque : triangle, mesure. En d’autres termes, la trigonométrie est la science qui consiste à mesurer les triangles. Bien que le nom soit apparu relativement récemment, de nombreux concepts et faits désormais liés à la trigonométrie étaient déjà connus il y a deux mille ans.

Longue histoire a le concept de sinus. En fait différentes relations les segments d'un triangle et d'un cercle (et, en substance, des fonctions trigonométriques) se trouvent déjà au ẫẫẫẫ siècle. avant JC e dans les travaux des grands mathématiciens de la Grèce antique - Euclide, Archimède, Apollonius de Perge. A l'époque romaine, ces relations étaient déjà assez systématiquement étudiées par Ménélas (~ siècle avant JC), bien qu'elles n'acquièrent pas de nom particulier. L'angle négatif moderne, par exemple, a été étudié comme le produit de la demi-corde sur laquelle repose l'angle central, ou comme la corde de l'arc doublé.

Dans la période suivante, les mathématiques pendant longtemps développé le plus activement par les scientifiques indiens et arabes. En ′V- Vdes siècles En particulier, un terme spécial est apparu dans les travaux sur l'astronomie du grand scientifique indien Aryabhata (476-c. 550), en l'honneur duquel le premier satellite indien de la Terre a été nommé.

Plus tard, plus de nom court jiva. Mathématiciens arabes en ΙXV. le mot jiva (ou jiba) a été remplacé par le mot arabe jaib (convexité). Lors de la traduction de textes mathématiques arabes versXΙΙV. ce mot a été remplacé par le latin sinus(sinus-flexion, courbure)

Le mot cosinus est beaucoup plus récent. Le cosinus est une contraction expression latine complémentsinus, c'est-à-dire « sinus supplémentaire » (ou autrement « sinus de l'arc supplémentaire » ; rappelez-vousparce queun= péché(90°- un)).

Lorsqu’il s’agit de fonctions trigonométriques, nous allons bien au-delà de la tâche de « mesurer des triangles ». Par conséquent, le célèbre mathématicien F. Klein (1849-1925) a proposé d'appeler différemment la doctrine des fonctions « trigonométriques » - goniométrie (angle). Cependant, ce nom n’a pas fait son chemin.

Les tangentes sont apparues dans le cadre de la résolution du problème de la détermination de la longueur d'une ombre. La tangente (ainsi que la cotangente, la sécante et la cosécante) est introduite dansXV. Mathématicien arabe Abu-l-Wafa, qui a compilé les premiers tableaux pour trouver des tangentes et des cotangentes. Cependant, ces découvertes sont restées longtemps inconnues des scientifiques européens et des tangentes ont été redécouvertes enXVV. d'abord par le scientifique anglais T. Braverdin, puis par le mathématicien et astronome allemand Regiomontanus (1467). Le nom « tangente » vient du latintanger(toucher), apparu en 1583Tangentestraduit par "tangentiel" (rappelez-vous : la ligne tangente est la tangente au cercle unité)

Désignations modernesarcsin Et arctgapparaissent en 1772 dans les travaux du mathématicien viennois Scherfer et du célèbre scientifique français J.L. Lagrange, bien qu'un peu plus tôt ils aient déjà été envisagés par J. Bernoulli, qui utilisait une symbolique différente. Mais ces symboles ne furent généralement acceptés qu'à la finXVΙΙΙdes siècles. Le préfixe « arc » vient du latinarcusX, par exemple, est un angle (et on pourrait dire un arc) dont le sinus est égal àX.

Longue durée la trigonométrie développée dans le cadre de la géométrie, c'est-à-dire les faits que nous formulons maintenant en termes de fonctions trigonométriques ont été formulés et prouvés en utilisant concepts géométriques et des déclarations. Les plus grandes incitations au développement de la trigonométrie sont peut-être liées à la solution de problèmes d'astronomie, qui présentaient un grand intérêt pratique (par exemple, pour résoudre des problèmes de détermination de l'emplacement d'un navire, de prévision des éclipses, etc.)

Les astronomes s'intéressaient aux relations entre les côtés et les angles des triangles sphériques constitués de grands cercles posés sur une sphère. Et il convient de noter que les mathématiciens anciens ont réussi à résoudre des problèmes beaucoup plus difficiles que les problèmes de résolution de triangles plans.

En tout cas, dans Forme géométrique de nombreuses formules trigonométriques que nous connaissons ont été découvertes et redécouvertes par d'anciens mathématiciens grecs, indiens et arabes (cependant, les formules pour la différence des fonctions trigonométriques ne sont devenues connues qu'enXVΙۀ siècle - ils ont été développés par le mathématicien anglais Napier pour simplifier les calculs avec des fonctions trigonométriques. Et le premier dessin d'une onde sinusoïdale est apparu en 1634)

La compilation de la première table des sinus par C. Ptolémée (on l'a longtemps appelée la table des accords) était d'une importance fondamentale : un moyen pratique de résoudre un certain nombre de problèmes appliqués, et principalement des problèmes d'astronomie, est apparu.

Lorsqu'on utilise des tableaux prêts à l'emploi ou qu'on utilise une calculatrice, on ne pense souvent pas au fait qu'il fut un temps où les tableaux n'avaient pas encore été inventés. Pour les compiler, il était nécessaire non seulement d'effectuer un grand nombre de calculs, mais également de trouver un moyen de compiler des tableaux. Les tableaux de Ptolémée sont précis à cinq décimales incluses.

La forme moderne de la trigonométrie a été donnée par le plus grand mathématicienXVIIe siècle L. Euler (1707-1783), Suisse de naissance, qui a travaillé de nombreuses années en Russie et a été membre de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg. C'est Euler qui a introduit pour la première fois les définitions bien connues des fonctions trigonométriques, a commencé à considérer les fonctions d'un angle arbitraire et a obtenu des formules de réduction. Tout cela n'est qu'une petite fraction de ce que longue vie Euler a réussi à faire beaucoup en mathématiques : il a écrit plus de 800 articles et démontré de nombreux théorèmes devenus classiques, relatifs à divers domaines des mathématiques. Mais si vous essayez d’opérer avec des fonctions trigonométriques sous forme géométrique, c’est-à-dire comme l’ont fait de nombreuses générations de mathématiciens avant Euler, vous pourrez apprécier les mérites d’Euler dans la systématisation de la trigonométrie. Après Euler, la trigonométrie a acquis une nouvelle forme de calcul : divers faits ont commencé à être prouvés grâce à l'application formelle de formules trigonométriques, les preuves sont devenues beaucoup plus compactes et plus simples.

De l'histoire du développement de la géométrie sphérique .

Il est bien connu que la géométrie euclidienne est l'une des sciences les plus anciennes : déjà enIIIsiècle avant JC L'œuvre classique d'Euclide, Elements, est apparue. Ce que l’on sait moins, c’est que la géométrie sphérique n’est que légèrement plus jeune. Sa première présentation systématique fait référence àje- IIdes siècles. Dans le livre "Spherics", écrit par le mathématicien grec Ménélas (jec.), les propriétés des triangles sphériques ont été étudiées ; Il a été prouvé notamment que la somme des angles d’un triangle sphérique est supérieure à 180 degrés. Grand pas un autre mathématicien grec Claudius Ptolémée (IIV.). Essentiellement, il fut le premier à compiler des tableaux de fonctions trigonométriques et à introduire la projection stéréographique.

Tout comme la géométrie euclidienne, la géométrie sphérique est née pour résoudre des problèmes de nature pratique, et principalement des problèmes d'astronomie. Ces tâches étaient nécessaires, par exemple, aux voyageurs et aux marins qui naviguaient selon les étoiles. Et puisque dans les observations astronomiques, il convient de supposer que le Soleil, la Lune et les étoiles se déplacent le long de la trajectoire représentée " sphère céleste", alors il est naturel que pour étudier leur mouvement, il fallait connaître la géométrie de la sphère. Ce n'est pas un hasard si le plus œuvre célèbre Ptolémée était appelé « Grand construction mathématique l'astronomie en 13 livres.

La période la plus importante l'histoire de la trigonométrie sphérique est associée aux activités des scientifiques du Moyen-Orient. Les scientifiques indiens ont résolu avec succès les problèmes de trigonométrie sphérique. Cependant, la méthode décrite par Ptolémée et basée sur le théorème du quadrilatère complet de Ménélas n'a pas été utilisée par eux. Et en trigonométrie sphérique, ils utilisaient des méthodes projectives qui correspondaient aux méthodes de l'Analemme de Ptolémée. En conséquence, ils ont obtenu un ensemble de règles de calcul spécifiques qui ont permis de résoudre presque tous les problèmes d’astronomie sphérique. Avec leur aide, cette tâche a finalement été réduite à comparer des triangles rectangles plats similaires entre eux. Lors de la prise de décisions, la théorie était souvent utilisée équations du second degré et la méthode des approximations successives. Un exemple de problème astronomique que les scientifiques indiens ont résolu à l'aide des règles développées par lui est le problème considéré dans l'ouvrage « Panga Siddhantika » de Varahamihira (V- VI). Elle consiste à trouver l'altitude du Soleil, si l'on connaît la latitude du lieu, la déclinaison du Soleil et son angle horaire. À la suite de la résolution de ce problème, après une série de constructions, une relation est établie qui est équivalente au théorème du cosinus moderne pour un triangle sphérique. Cependant, cette relation et un autre équivalent au théorème des sinus n'ont pas été généralisés comme règles applicables à tout triangle sphérique.

Parmi les premiers scientifiques orientaux qui se sont tournés vers le théorème de Ménélas, il faut citer les frères Banu Moussa - Muhammad, Hassan et Ahmad, les fils de Moussa ibn Shakir, qui ont travaillé à Bagdad et ont étudié les mathématiques, l'astronomie et la mécanique. Mais le premier ouvrage survivant sur le théorème de Ménélas est le « Traité sur la figure des sécantes » de leur élève Thabit ibn Qorra (836-901).

Le traité de Thabit ibn Qorra nous est parvenu dans sa version originale arabe. Et en traduction latineXIIV. Cette traduction de Gérande de Crémone (1114-1187) s'est répandue dans l'Europe médiévale.

L'histoire de la trigonométrie, en tant que science des relations entre les angles et les côtés d'un triangle et les autres formes géométriques, s'étend sur plus de deux millénaires. La plupart de ces relations ne peuvent pas être exprimées à l'aide d'opérations algébriques ordinaires et il a donc fallu introduire des fonctions trigonométriques spéciales, initialement présentées sous forme de tableaux numériques.
Les historiens pensent que la trigonométrie a été créée par d'anciens astronomes et qu'un peu plus tard, elle a commencé à être utilisée en architecture. Au fil du temps, le champ d'application de la trigonométrie s'est constamment élargi et comprend aujourd'hui presque tout. sciences naturelles, la technologie et un certain nombre d'autres domaines d'activité.

Les problèmes trigonométriques appliqués sont très divers - par exemple, des résultats d'actions pratiquement mesurables sur les quantités répertoriées (par exemple, la somme des angles ou le rapport des longueurs des côtés) peuvent être spécifiés.

Parallèlement au développement de la trigonométrie plane, les Grecs, sous l'influence de l'astronomie, ont fait progresser considérablement la trigonométrie sphérique. Dans les Éléments d'Euclide, il n'y a qu'un théorème sur ce sujet sur le rapport des volumes de sphères de différents diamètres, mais les besoins de l'astronomie et de la cartographie ont provoqué le développement rapide de la trigonométrie sphérique et des domaines connexes - systèmes de coordonnées célestes, théories projections cartographiques, technologies des instruments astronomiques.

cours.

Trigonométrie et vraie vie

Les fonctions trigonométriques ont trouvé une application dans analyse mathematique, physique, informatique, géodésie, médecine, musique, géophysique, navigation.

Application de la trigonométrie à la navigation

Navigation (ce mot vient du latinnavigation- naviguer sur un bateau) est l'une des sciences les plus anciennes. Les tâches de navigation les plus simples, telles que déterminer l'itinéraire le plus court et choisir la direction du voyage, étaient confrontées aux tout premiers navigateurs. Actuellement, ces mêmes problèmes et d’autres doivent être résolus non seulement par les marins, mais aussi par les pilotes et les astronautes. Examinons plus en détail certains concepts et tâches de navigation.

Tâche. Connu coordonnées géographiques– latitude et longitude des points A et B la surface de la terre: , Et, . Besoin de trouver distance la plus courte entre les points A et B le long de la surface terrestre (le rayon de la terre est considéré comme connu :R.= 6371km)

Solution. Rappelons d'abord que la latitude d'un point M de la surface terrestre est la valeur de l'angle formé par le rayon OM, où O est le centre de la Terre, avec le plan équatorial : ≤ , et la latitude au nord de l'équateur est considéré comme positif et au sud – négatif (Figure 1)

La longitude du point M est la valeur de l'angle dièdre entre les plans COM et SON, où C est pôle Nord Terre, et H est le point correspondant à l'Observatoire de Greenwich : ≤ (à l'est du méridien de Greenwich, la longitude est considérée comme positive, à l'ouest - négative).

Comme on le sait déjà, la distance la plus courte entre les points A et B à la surface de la Terre est la longueur du plus petit des arcs. grand cercle, reliant A et B (un tel arc est appelé orthodrome - traduit du grec signifie « course droite »). Par conséquent, notre tâche consiste à déterminer la longueur du côté AB d'une forme sphérique triangle ABC(N – pôle nord).

En utilisant la notation standard pour les éléments du triangle ABC et l'angle trièdre correspondant OABC, à partir des conditions du problème, nous trouvons : α = = - , β = (Fig. 2).

L'angle C n'est pas non plus difficile à exprimer à travers les coordonnées des points A et B. Par définition, ≤ donc, soit l'angle C =, si ≤, soit -, si. Connaître = utiliser le théorème du cosinus : = + (-). Connaissant et donc l'angle, on trouve la distance recherchée : =.

Trigonométrie en navigation 2.

Pour tracer la route du navire sur une carte réalisée selon la projection de Gerhard Mercator (1569), il fallait déterminer la latitude. En naviguant sur mer Méditerranée dans les directions nautiques jusqu'àXVIIIeV. la latitude n’a pas été précisée. Edmond Gunther (1623) fut le premier à utiliser les calculs trigonométriques en navigation.

La trigonométrie permet de calculer l'effet du vent sur le vol d'un avion. Le triangle de vitesse est le triangle formé par le vecteur vitesse (V), vecteur vent (W), vecteur vitesse au sol (V P. ). PU – angle de cap, UL – angle du vent, KUV – angle du vent de cap.

La relation entre les éléments du triangle de vitesse de navigation a la forme :

V P. = V parce que CC + W parce que UV ; péché CC = * péché UV, tg CH =

Le triangle des vitesses de navigation est résolu à l'aide d'appareils de calcul, sur une règle de navigation et approximativement dans l'esprit.

Trigonométrie en algèbre.

Voici un exemple de solution équation complexe en utilisant la substitution trigonométrique.

Étant donné l'équation

Laisser , on a

;

où: ou

en tenant compte des restrictions que nous obtenons :

Trigonométrie en physique

Partout où nous devons traiter de processus et d'oscillations périodiques - qu'il s'agisse d'acoustique, d'optique ou du balancement d'un pendule, nous avons affaire à des fonctions trigonométriques. Formules d'oscillation :

Où UN– amplitude d'oscillation, - fréquence angulaire d'oscillation, -phase initiale fluctuations

Phase d'oscillation.

péché α /péché β = n 1 /n 2

Où:

n°1 - indice de réfraction du premier milieu
n°2 - indice de réfraction du deuxième milieu

α -angle d'incidence, β - angle de réfraction de la lumière.

Pénétration de particules chargées dans la haute atmosphère des planètes vent solaire déterminé par l’interaction du champ magnétique de la planète avec le vent solaire.

La force agissant sur une particule chargée se déplaçant dans un champ magnétique est appelée force de Lorentz. Elle est proportionnelle à la charge de la particule et au produit vectoriel du champ et de la vitesse de la particule.

Comme exemple pratique considérer problème physique, qui est résolu par trigonométrie.

Tâche. Sur un plan incliné faisant un angle de 24,5 avec l'horizonÔ , il y a un corps pesant 90 kg. Trouvez la force avec laquelle ce corps appuie plan incliné(c'est-à-dire quelle pression le corps exerce-t-il sur ce plan).

Solution:

Après avoir désigné les axes X et Y, nous commençons à construire des projections de forces sur l'axe, en utilisant d'abord cette formule :

maman = N + mg , puis regarde le dessin,