Quelle est la hauteur d'un cône. Cône (figure géométrique)

Obtenu en combinant tous les rayons émanant d'un point ( pics cône) et traversant une surface plane. Parfois, un cône fait partie d'un tel corps, obtenu en combinant tous les segments reliant le sommet et les points. surface plane(ce dernier dans ce cas est appelé base cône, et le cône s'appelle penché sur cette base). C'est le cas qui sera considéré ci-dessous, sauf indication contraire. Si la base du cône est un polygone, le cône devient une pyramide.

"== Définitions associées ==

• Le segment reliant le sommet et la limite de la base est appelé génératrice du cône.
• L'union des génératrices d'un cône s'appelle génératrice(ou côté) surface du cône. La surface de formation du cône est une surface conique.
• Un segment tombé perpendiculairement du sommet au plan de la base (ainsi que la longueur d'un tel segment) est appelé hauteur du cône.
• Si la base du cône a un centre de symétrie (par exemple, est un cercle ou une ellipse) et projection orthographique le sommet du cône sur le plan de la base coïncide avec ce centre, alors le cône s'appelle direct. Dans ce cas, la droite reliant le sommet et le centre de la base est appelée axe du cône.
• Oblique (incliné) cône - un cône dont la projection orthogonale du sommet sur la base ne coïncide pas avec son centre de symétrie.
• Cône circulaire- un cône dont la base est un cercle.
• Cône circulaire droit(souvent simplement appelé cône) peut être obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'une ligne contenant la jambe (cette ligne représente l'axe du cône).
• Un cône reposant sur une ellipse, une parabole ou une hyperbole est appelé respectivement elliptique, parabolique Et cône hyperbolique(les deux derniers ont un volume infini).
• La partie du cône située entre la base et le plan parallèle à la base et situé entre le sommet et la base s'appelle cône tronqué.

Propriétés

• Si l'aire de la base est finie, alors le volume du cône est également fini et égal au tiers du produit de la hauteur et de l'aire de la base. Ainsi, tous les cônes reposant sur une base donnée et ayant un sommet situé sur un plan donné parallèle à la base ont volume égal, puisque leurs hauteurs sont égales.
• Le centre de gravité de tout cône de volume fini se situe au quart de la hauteur de la base.
• L'angle solide au sommet d'un cône circulaire droit est égal à

• La surface latérale d'un tel cône est égale à

• Le volume d'un cône circulaire est égal à

• L'intersection d'un plan avec un cône circulaire droit est l'une des sections coniques (dans les cas non dégénérés - une ellipse, une parabole ou une hyperbole, selon la position du plan coupant).

Généralisations

En géométrie algébrique cône est un sous-ensemble arbitraire espace vectoriel sur le champ pour lequel pour tout

Voir aussi

• Cône (topologie)

Fondation Wikimédia.

2010.

Voyez ce qu'est « Cône (figure géométrique) » dans d'autres dictionnaires : Cône : En mathématiques Cône figure géométrique

. Cône sur l'espace topologique. Cône (Théorie des catégories). Dans la technique du cône, il s'agit d'une méthode d'outil permettant de coupler un outil et une broche dans des machines-outils. Unité de dispositif à cône... ... Wikipédia La géométrie est une branche des mathématiques étroitement liée au concept d'espace ; selon les formes de description de ce concept, différents types géométrie. On suppose que le lecteur, lorsqu'il commence à lire cet article, en a...

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, sur la taille, la forme et le champ gravitationnel de la Terre et des autres planètes. Il s'agit d'une branche des mathématiques appliquées, étroitement liée à la géométrie,... ...
Définitions :
Définition 1. Cône
Définition 2. Cône circulaire
Définition 3. Hauteur du cône
Définition 4. Cône droit
Définition 5. Cône circulaire droit
Théorème 1. Générateurs du cône

Théorème 1.1. Section axiale du cône
Volume et superficie :
Théorème 2. Volume d'un cône

Théorème 3. Aire de la surface latérale d'un cône
Cône tronqué :
Théorème 4. Section parallèle à la base
Définition 6. Cône tronqué
Théorème 5. Volume d'un cône tronqué

Théorème 6. Surface latérale d'un cône tronqué
Définitions Corps limité latéralement, pris entre son sommet et le plan du guide, et la base plate du guide formée par une courbe fermée, est appelé cône.

Concepts de base
Un cône circulaire est un corps constitué d'un cercle (base), d'un point ne se trouvant pas dans le plan de la base (sommet) et de tous les segments reliant le sommet aux points de la base.

Un cône droit est un cône dont la hauteur contient le centre de la base du cône.

Considérons n'importe quelle ligne (courbe, brisée ou mixte) (par exemple, je), se trouvant dans un certain plan, et point arbitraire(par exemple, M) ne se trouve pas dans ce plan. Toutes les droites possibles reliant le point M à tous les points d'une droite donnée je, formulaire surface dite canonique. Le point M est le sommet d'une telle surface, et ligne donnée je - guide. Toutes les droites reliant le point M à tous les points de la droite je, appelé formation. Une surface canonique n'est limitée ni par son sommet ni par son guide. Il s'étend indéfiniment dans les deux sens à partir du sommet. Soit maintenant le guide une ligne convexe fermée. Si le guide est ligne brisée, alors un corps délimité latéralement par une surface canonique prise entre son sommet et le plan du guide, et une base plate dans le plan du guide, est appelé une pyramide.
Si le guide est une ligne courbe ou mixte, alors le corps délimité sur les côtés par une surface canonique prise entre son sommet et le plan du guide, et une base plane dans le plan du guide, est appelé cône ou
Définition 1 . Un cône est un corps constitué d'une base - silhouette plate, délimité par une ligne fermée (courbe ou mixte), un sommet - un point qui ne se trouve pas dans le plan de la base, et tous les segments reliant le sommet à tous les points possibles de la base.
Toutes les droites passant par le sommet du cône et l'un quelconque des points de la courbe délimitant la figure de la base du cône sont appelées génératrices du cône. Le plus souvent dans les problèmes géométriques, la génératrice d'une droite désigne un segment de cette droite, enserré entre le sommet et le plan de la base du cône.
La base d’une ligne mixte limitée est un cas très rare. Elle n'est indiquée ici que parce qu'elle peut être considérée en géométrie. Le cas avec un guide courbe est plus souvent envisagé. Cependant, le cas avec une courbe arbitraire et le cas avec un guide mixte sont de peu d'utilité et il est difficile d'en déduire des modèles. Parmi les cônes, le cône circulaire droit est étudié au cours de la géométrie élémentaire.

On sait que le cercle est cas particulier ligne courbe fermée. Un cercle est une figure plate délimitée par un cercle. En prenant le cercle comme guide, on peut définir un cône circulaire.
Définition 2 . Un cône circulaire est un corps constitué d'un cercle (base), d'un point ne se trouvant pas dans le plan de la base (sommet) et de tous les segments reliant le sommet aux points de la base.
Définition 3 . La hauteur d'un cône est la perpendiculaire descendant du sommet jusqu'au plan de la base du cône. Vous pouvez sélectionner un cône dont la hauteur tombe au centre de la figure plate de la base.
Définition 4 . Un cône droit est un cône dont la hauteur contient le centre de la base du cône.
Si l'on combine ces deux définitions, on obtient un cône dont la base est un cercle, et la hauteur tombe au centre de ce cercle.
Définition 5 . Un cône circulaire droit est un cône dont la base est un cercle, et sa hauteur relie le sommet et le centre de la base de ce cône. Un tel cône est obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'une de ses pattes. Par conséquent, un cône circulaire droit est un corps de révolution et est également appelé cône de révolution. Sauf indication contraire, par souci de concision dans ce qui suit, nous disons simplement cône.
Voici donc quelques propriétés du cône :
Théorème 1. Tous les générateurs du cône sont égaux. Preuve. La hauteur du MO est perpendiculaire à toutes les droites de la base, par définition une droite perpendiculaire au plan. Par conséquent, les triangles MOA, MOB et MOS sont rectangulaires et égaux sur deux branches (MO est le triangle général, OA=OB=OS sont les rayons de la base. Par conséquent, les hypoténuses, c'est-à-dire les génératrices, sont également égales.
Le rayon de la base du cône est parfois appelé rayon du cône. La hauteur du cône est aussi appelée axe du cône, donc toute section passant par la hauteur est appelée coupe axiale. Toute section axiale coupe la base en diamètre (puisque la ligne droite le long de laquelle la section axiale et le plan de la base se croisent passe par le centre du cercle) et forme triangle isocèle.
Théorème 1.1. La section axiale du cône est un triangle isocèle. Donc le triangle AMB est isocèle, car ses deux faces MB et MA sont des générateurs. L'angle AMB est l'angle du sommet coupe axiale.

Un cône tronqué est obtenu si le cône est coupé cône plus petit plan parallèle à la base (Fig. 8.10). Un cône tronqué a deux bases : « inférieure » - la base du cône d'origine - et « supérieure » - la base du cône coupé. D'après le théorème de la section d'un cône, les bases d'un cône tronqué sont similaires. .

L'altitude d'un cône tronqué est la perpendiculaire tracée d'un point d'une base au plan d'une autre. Toutes ces perpendiculaires sont égales (voir section 3.5). La hauteur est aussi appelée leur longueur, c'est-à-dire la distance entre les plans des bases.

Le tronc de cône de révolution est obtenu à partir du cône de révolution (Fig. 8.11). Par conséquent, ses bases et toutes ses sections qui leur sont parallèles sont des cercles dont les centres sont sur la même ligne droite - sur l'axe. Un tronc de cône de révolution est obtenu en tournant trapèze rectangulaire sur son côté, perpendiculairement aux bases, ou par rotation

trapèze isocèle autour de l'axe de symétrie (Fig. 8.12).

Surface latérale d'un cône tronqué de révolution

C'est sa partie de la surface latérale du cône de révolution dont elle est issue. La surface d'un tronc de cône de révolution (ou sa surface totale) est constituée de ses bases et de sa surface latérale.

8.5. Images de cônes de révolution et de cônes tronqués de révolution.

Un cône circulaire droit est dessiné ainsi. Tout d'abord, dessinez une ellipse représentant le cercle de la base (Fig. 8.13). Ensuite, ils trouvent le centre de la base - le point O et dessinent un segment vertical PO, qui représente la hauteur du cône. A partir du point P, tracez des lignes tangentes (de référence) à l'ellipse (en pratique cela se fait à l'œil nu, en appliquant une règle) et sélectionnez les segments RA et PB de ces lignes du point P aux points de tangence A et B. Veuillez noter que le segment AB n'est pas le diamètre du cône de base, et le triangle ARV n'est pas la section axiale du cône. La section axiale du cône est un triangle APC : le segment AC passe par le point O. Les lignes invisibles sont tracées avec des traits ; Le segment OP n'est souvent pas dessiné, mais seulement tracé mentalement afin de représenter le sommet du cône P directement au-dessus du centre du point de base O.

Lorsqu'on représente un tronc de cône de révolution, il est pratique de dessiner d'abord le cône à partir duquel le tronc de cône est obtenu (Fig. 8.14).

8.6. Sections coniques. Nous l'avons déjà dit surface latérale le cylindre de rotation coupe le plan le long d'une ellipse (section 6.4). Aussi, la section de la surface latérale d'un cône de rotation par un plan qui ne coupe pas sa base est une ellipse (Fig. 8.15). Une ellipse est donc appelée section conique.

Les sections coniques comprennent également d'autres courbes bien connues - les hyperboles et les paraboles. Considérons un cône illimité obtenu en prolongeant la surface latérale du cône de révolution (Fig. 8.16). Coupons-le par un plan a qui ne passe pas par le sommet. Si a coupe toutes les génératrices du cône, alors dans la section, comme déjà dit, on obtient une ellipse (Fig. 8.15).

En faisant tourner le plan OS, on peut s'assurer qu'il coupe toutes les génératrices du cône K, sauf une (à laquelle l'OS est parallèle). Ensuite, dans la coupe transversale, nous obtenons une parabole (Fig. 8.17). Enfin, en faisant tourner davantage le plan OS, on le transfère dans une position telle que a, coupant une partie des génératrices du cône K, ne coupe plus ensemble infini ses autres constituants et parallèle à deux d'entre eux (Fig. 8.18). Puis dans la section du cône K avec le plan a on obtient une courbe appelée hyperbole (plus précisément une de ses « branches »). Ainsi, une hyperbole, qui est le graphe d'une fonction, est un cas particulier d'hyperbole - une hyperbole équilatérale, tout comme un cercle est un cas particulier d'ellipse.

Toutes les hyperboles peuvent être obtenues à partir d'hyperboles équilatérales en utilisant la projection, de la même manière qu'une ellipse est obtenue conception parallèle cercles.

Pour obtenir les deux branches de l'hyperbole, il faut prendre une section d'un cône comportant deux « cavités », c'est-à-dire un cône formé non pas de rayons, mais de lignes droites contenant les génératrices des surfaces latérales du cône de révolution (Fig. 8.19).

Les sections coniques étaient étudiées par les géomètres grecs anciens et leur théorie constituait l'un des sommets de la géométrie antique. La plupart recherche complète Les sections coniques dans l'Antiquité ont été réalisées par Apollonius de Perge (IIIe siècle avant JC).

Il y a un certain nombre propriétés importantes, combinant les ellipses, les hyperboles et les paraboles en une seule classe. Par exemple, ils épuisent les « non dégénérées », c'est-à-dire les courbes non réductibles à un point, une droite ou une paire de droites, définies sur un plan en Coordonnées cartésienneséquations de la forme

Les sections coniques jouent rôle important dans la nature : les corps se déplacent sur des orbites elliptiques, paraboliques et hyperboliques dans un champ gravitationnel (rappelez-vous les lois de Kepler). Propriétés remarquables les sections coniques sont souvent utilisées en science et technologie, par exemple dans la fabrication de certains instruments optiques ou des projecteurs (la surface du miroir sous le projecteur est obtenue en faisant tourner l'arc d'une parabole autour de l'axe de la parabole). Des sections coniques peuvent être observées comme limites de l'ombre des abat-jour ronds (Fig. 8.20).

Riz. 1. Objets de la vie qui ont la forme d’un cône tronqué

À votre avis, d’où viennent les nouvelles formes en géométrie ? C'est très simple : dans la vie, une personne est confrontée objets similaires et trouve comment les appeler. Considérez le support sur lequel sont assis les lions dans le cirque, le morceau de carotte qui apparaît lorsqu'on en coupe seulement une partie, volcan actif et, par exemple, la lumière d'une lampe de poche (voir Fig. 1).

Riz. 2. Formes géométriques

Nous voyons que toutes ces figures ont une forme similaire - en bas et au-dessus, elles sont limitées par des cercles, mais elles se rétrécissent vers le haut (voir Fig. 2).

Riz. 3. Couper le haut du cône

Cela ressemble à un cône. Il manque juste le dessus. Imaginons mentalement que nous prenons un cône et le coupons partie supérieure d'un seul coup épée tranchante(voir fig. 3).

Riz. 4. Cône tronqué

Le résultat est exactement notre figure, on l'appelle un cône tronqué (voir Fig. 4).

Riz. 5. Section parallèle à la base du cône

Qu'un cône soit donné. Dessinons un avion parallèle au plan la base de ce cône et coupant le cône (voir Fig. 5).

Cela divisera le cône en deux corps : l’un d’eux est un cône plus petit et le second est appelé cône tronqué (voir Fig. 6).

Riz. 6. Les corps résultants à section parallèle

Ainsi, un tronc de cône est une partie d'un cône enfermée entre sa base et un plan parallèle à la base. Comme pour un cône, un cône tronqué peut avoir un cercle à sa base, auquel cas il est dit circulaire. Si le cône d’origine était droit, alors le cône tronqué est dit droit. Comme pour les cônes, nous ne considérerons que les cônes tronqués circulaires droits, sauf indication contraire. nous parlons de autour d'un tronc de cône indirect ou ses bases ne sont pas des cercles.

Riz. 7. Rotation d'un trapèze rectangulaire

Notre thème mondial- les corps de révolution. Le tronc de cône ne fait pas exception ! Rappelons que pour obtenir un cône on a considéré triangle rectangle et l'a fait pivoter autour de la jambe ? Si le cône obtenu est coupé par un plan parallèle à la base, alors le triangle restera un trapèze rectangulaire. Sa rotation autour du petit côté nous donnera un cône tronqué. Notons encore que nous ne parlons bien entendu que de cône circulaire(voir fig. 7).

Riz. 8. Bases d'un cône tronqué

Faisons quelques commentaires. Base cône plein et le cercle obtenu dans la section du cône par le plan est appelé bases du tronc de cône (inférieur et supérieur) (voir Fig. 8).

Riz. 9. Générateurs d'un cône tronqué

Les segments des génératrices d'un cône complet, enfermés entre les bases d'un cône tronqué, sont appelés génératrices d'un cône tronqué. Puisque toutes les génératrices du cône originel sont égales et que toutes les génératrices du cône coupé sont égales, alors les génératrices du cône tronqué sont égales (ne confondez pas celle coupée et celle tronquée !). Cela implique que la section axiale du trapèze est isocèle (voir Fig. 9).

Le segment de l’axe de rotation enfermé à l’intérieur d’un tronc de cône est appelé axe du tronc de cône. Ce segment relie bien entendu les centres de ses bases (voir Fig. 10).

Riz. 10. Axe d'un cône tronqué

La hauteur d'un cône tronqué est une perpendiculaire tracée d'un point de l'une des bases à l'autre base. Le plus souvent, la hauteur d'un tronc de cône est considérée comme son axe.

Riz. 11. Coupe axiale d'un cône tronqué

La section axiale d'un cône tronqué est la section passant par son axe. Il a la forme d'un trapèze ; nous prouverons un peu plus tard qu'il est isocèle (voir Fig. 11).

Riz. 12. Cône avec notations introduites

Trouvons l'aire de la surface latérale du tronc de cône. Que les bases du cône tronqué aient des rayons et , et que la génératrice soit égale (voir Fig. 12).

Riz. 13. Désignation de la génératrice du cône coupé

Trouvons l'aire de la surface latérale du cône tronqué comme la différence entre les aires des surfaces latérales du cône d'origine et de celui coupé. Pour ce faire, désignons par la génératrice du cône coupé (voir Fig. 13).

Alors ce que vous recherchez.

Riz. 14. Triangles similaires

Il ne reste plus qu'à exprimer.

Notez que de la similitude des triangles, d'où (voir Fig. 14).

Il serait possible d'exprimer , en divisant par la différence des rayons, mais nous n'en avons pas besoin, car le produit recherché apparaît dans l'expression souhaitée. En remplaçant , on a finalement : .

Il est désormais facile d’obtenir une formule pour la surface totale. Pour ce faire, il suffit d'ajouter l'aire des deux cercles des bases : .

Riz. 15. Illustration du problème

Supposons qu'un cône tronqué soit obtenu en faisant tourner un trapèze rectangulaire autour de sa hauteur. La ligne médiane du trapèze est égale à , et la ligne majeure côté- (voir fig. 15). Trouvez la surface latérale du cône tronqué obtenu.

Solution

D'après la formule, nous savons que .

Le générateur du cône sera grand côté le trapèze originel, c'est-à-dire que les rayons du cône sont les bases du trapèze. Nous ne pouvons pas les trouver. Mais nous n’en avons pas besoin : nous avons seulement besoin de leur somme, et la somme des bases d’un trapèze est deux fois plus grande ligne médiane, c'est-à-dire qu'il est égal à . Alors .

Veuillez noter que lorsque nous avons parlé du cône, nous avons établi des parallèles entre celui-ci et la pyramide - les formules étaient similaires. C'est la même chose ici, car un cône tronqué est très similaire à une pyramide tronquée, donc les formules pour les aires des côtés et surfaces complètes le cône tronqué et la pyramide (et il y aura bientôt des formules pour le volume) sont similaires.

Riz. 1. Illustration du problème

Les rayons des bases du tronc de cône sont égaux à et , et la génératrice est égale à . Trouvez la hauteur du tronc de cône et l'aire de sa section axiale (voir Fig. 1).

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