Notes de cours d'algèbre pour la 8e année du secondaire
Sujet de la leçon: Fonction
Le but de la leçon :
· Éducatif: définir le concept de fonction quadratique de la forme (comparer les graphiques de fonctions et), montrer la formule pour trouver les coordonnées du sommet d'une parabole (apprendre à utiliser cette formule sur la pratique); développer la capacité de déterminer les propriétés d'une fonction quadratique à partir d'un graphe (trouver l'axe de symétrie, les coordonnées du sommet d'une parabole, les coordonnées des points d'intersection du graphe avec les axes de coordonnées).
· Du développement: développement du discours mathématique, capacité d’exprimer ses pensées correctement, de manière cohérente et rationnelle ; développer la compétence d'écrire correctement un texte mathématique à l'aide de symboles et de notations ; développement pensée analytique; développement activité cognitiveétudiants grâce à la capacité d’analyser, de systématiser et de généraliser le matériel.
· Éducatif: favoriser l'indépendance, la capacité d'écouter les autres, développer la précision et l'attention dans le discours mathématique écrit.
Type de cours: apprendre du nouveau matériel.
Méthodes d'enseignement:
heuristique reproductive et inductive généralisée.
Exigences relatives aux connaissances et aux compétences des étudiants
savoir ce qu'est une fonction quadratique de la forme, la formule pour trouver les coordonnées du sommet d'une parabole ; être capable de trouver les coordonnées du sommet d'une parabole, les coordonnées des points d'intersection du graphe d'une fonction avec les axes de coordonnées, et utiliser le graphe d'une fonction pour déterminer les propriétés d'une fonction quadratique.
Équipement:
Plan de cours
JE. Organisation du temps(1-2 minutes)
II. Actualisation des connaissances (10 min)
III. Présentation du nouveau matériel (15 min)
IV. Consolidation du nouveau matériel (12 min)
V. Résumé (3 min)
VI. Devoir (2 min)
Pendant les cours
I. Moment organisationnel
Accueillir, vérifier les absents, récupérer les cahiers.
II. Actualisation des connaissances
Professeur: Dans la leçon d'aujourd'hui, nous étudierons un nouveau sujet : "Fonction". Mais d'abord, répétons le matériel étudié précédemment.
Enquête frontale :
1) Qu’appelle-t-on une fonction quadratique ? (Une fonction dans laquelle des nombres réels donnés, une variable réelle, est appelée fonction quadratique.)
2) Qu'est-ce que le graphique d'une fonction quadratique ? (Le graphique d'une fonction quadratique est une parabole.)
3) Quels sont les zéros d'une fonction quadratique ? (Les zéros d'une fonction quadratique sont les valeurs auxquelles elle devient nulle.)
4) Répertoriez les propriétés de la fonction. (Les valeurs de la fonction sont positives à et égales à zéro à ; le graphique de la fonction est symétrique par rapport aux axes des ordonnées ; à la fonction augmente, à - diminue.)
5) Répertoriez les propriétés de la fonction. (Si, alors la fonction prend valeurs positivesà, si, alors la fonction prend des valeurs négatives à, la valeur de la fonction est 0 uniquement ; la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; si, alors la fonction augmente à et diminue à, si, alors la fonction augmente à, diminue à.)
III. Présentation du nouveau matériel
Professeur: Commençons à apprendre du nouveau matériel. Ouvrez vos cahiers, notez la date et le sujet du cours. Faites attention au tableau.
Écrire sur le tableau: Nombre.
Fonction.
Professeur: Au tableau, vous voyez deux graphiques de fonctions. Le premier graphique et le second. Essayons de les comparer.
Vous connaissez les propriétés de la fonction. Sur cette base, et en comparant nos graphiques, nous pouvons mettre en évidence les propriétés de la fonction.
Alors, selon vous, qu’est-ce qui déterminera la direction des branches de la parabole ?
Étudiants: La direction des branches des deux paraboles dépendra du coefficient.
Professeur: Absolument raison. Vous pouvez également remarquer que les deux paraboles ont un axe de symétrie. Dans le premier graphique de la fonction, quel est l’axe de symétrie ?
Étudiants: Pour une parabole, l'axe de symétrie est l'axe des ordonnées.
Professeur: Droite. Quel est l'axe de symétrie d'une parabole ?
Étudiants: L'axe de symétrie d'une parabole est la ligne qui passe par le sommet de la parabole, parallèle à l'axe des ordonnées.
Professeur: Droite. Ainsi, l'axe de symétrie du graphique d'une fonction sera appelé une droite passant par le sommet de la parabole, parallèle à l'axe des ordonnées.
Et le sommet d’une parabole est un point avec des coordonnées. Ils sont déterminés par la formule :
Écrivez la formule dans votre cahier et entourez-la dans un cadre.
Écrire au tableau et dans des cahiers
Coordonnées du sommet de la parabole.
Professeur: Maintenant, pour que ce soit plus clair, regardons un exemple.
Exemple 1: Trouver les coordonnées du sommet de la parabole.
Solution : Selon la formule
nous avons:
Professeur: Comme nous l'avons déjà noté, l'axe de symétrie passe par le sommet de la parabole. Regarde le tableau noir. Dessine cette image dans ton cahier.
Écrivez au tableau et dans des cahiers :
Professeur: Sur le dessin : - équation de l'axe de symétrie d'une parabole avec le sommet au point où se trouve l'abscisse du sommet de la parabole.
Regardons un exemple.
Exemple 2 :À l'aide du graphique de la fonction, déterminez l'équation de l'axe de symétrie de la parabole.
L'équation de l'axe de symétrie a la forme : , ce qui signifie l'équation de l'axe de symétrie d'une parabole donnée.
Réponse : - équation de l'axe de symétrie.
IV. Consolidation du nouveau matériel
Professeur: Les tâches qui doivent être résolues en classe sont écrites au tableau.
Écrire sur le tableau: № 609(3), 612(1), 613(3)
Professeur: Mais d'abord, résolvons un exemple qui ne vient pas du manuel. Nous déciderons au conseil d'administration.
Exemple 1 : Trouver les coordonnées du sommet d'une parabole
Solution : Selon la formule
nous avons:
Réponse : coordonnées du sommet de la parabole.
Exemple 2 : Trouver les coordonnées des points d'intersection de la parabole avec les axes de coordonnées.
Solution : 1) Avec essieu :
D'après le théorème de Vieta :
Les points d'intersection avec l'axe des x sont (1;0) et (2;0).
2) Avec essieu :
Le point d'intersection avec l'axe des ordonnées (0;2).
Réponse : (1;0), (2;0), (0;2) – coordonnées des points d'intersection avec les axes de coordonnées.
N° 609(3). Trouver les coordonnées du sommet de la parabole
Solution : Abscisse du sommet d'une parabole :
Ordonnée du sommet de la parabole :
Réponse : - les coordonnées du sommet de la parabole.
N° 612(1). L'axe de symétrie de la parabole passe-t-il par le point (5;10) ?
Solution : Équation de l'axe de symétrie : .
Trouver l'abscisse du sommet de la parabole : . Ainsi, l’équation de l’axe de symétrie ressemble à ceci. Traçons schématiquement cette parabole :
Par conséquent, l'axe de symétrie passe par le point (5;10).
N° 613(3). Trouvez les coordonnées des points d'intersection de la parabole avec les axes de coordonnées.
Solution : 1) Avec essieu :
Nous recherchons un discriminant :
Cela signifie qu'il n'y a pas de points d'intersection avec l'axe des abscisses.
Le point d'intersection avec l'axe des ordonnées (0;12).
Réponse : (0;12) – coordonnées du point d'intersection avec l'axe des ordonnées ; la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
V. Résumé
Professeur: Dans la leçon d'aujourd'hui, nous avons étudié un nouveau sujet : "Fonction", avons appris à trouver les coordonnées du sommet d'une parabole, les coordonnées des points d'intersection de la parabole avec les axes de coordonnées. Dans la prochaine leçon, nous continuerons à résoudre des problèmes sur ce sujet.
VI. Devoirs
Professeur: Le devoir est écrit au tableau. Notez-le dans vos journaux.
Écrire au tableau et dans les journaux : §38, n° 609(2), 612(2), 613(2).
Littérature
1. Alimov Sh.A. Algèbre 8e année
2. Sarantsev G.I. Méthodes d'enseignement des mathématiques au secondaire
3. Mishin V.I. Technique privée enseigner les mathématiques au lycée
Description de la leçon vidéo
Considérons quelques cas particuliers de la fonction quadratique.
Premier cas. Découvrons ce que représente le graphique de la fonction ig est égal à un tiers x carré plus quatre.
Pour ce faire, dans un système de coordonnées, construisons des graphiques des fonctions ygrik est égal à un tiers x carré... et... ygr est égal à un tiers x carré plus quatre.
Faisons un tableau des valeurs de la fonction yrek est égal à un tiers x carré. Construisons selon points donnés graphique de fonction.
Pour obtenir un tableau des valeurs de la fonction igrek est égal à un tiers x carré plus quatre avec les mêmes valeurs de l'argument, vous devez ajouter quatre aux valeurs trouvées de la fonction igrek est égal à un tiers x carré. .
Faisons un tableau de valeurs pour le graphique de la fonction igreq est égal à un tiers x carré plus quatre. Construisons des points en utilisant les coordonnées spécifiées et connectons-les avec une ligne lisse. On obtient le graphique de la fonction igreq est égal à un tiers x carré plus quatre.
Il est facile de comprendre que le graphique de la fonction yrek est égal à un tiers x carré plus quatre peut être obtenu à partir du graphique de la fonction yrek est égal à un tiers x carré par translation parallèle de quatre unités vers le haut le long de l'axe y.
Ainsi, le graphique de la fonction ygr est égal à un carré x plus en est une parabole, qui est obtenue à partir du graphique de la fonction ygr est égal à un carré x en utilisant une translation parallèle le long de l'axe y par module en unités vers le haut, si en Au dessus de zéro ou vers le bas si fr moins que zéro.
Deuxième cas. Considérons la fonction igrek est égale au tiers du carré de la différence entre les nombres x et six et construisons son graphique.
Construisons un tableau des valeurs de la fonction i est égal à un tiers x carré, indiquons les points obtenus sur avion coordonné et connectez-vous avec une ligne douce.
Compilons maintenant un tableau de valeurs pour la fonction i est égal au tiers du carré de la différence entre les nombres x et six. En utilisant les points indiqués, nous construirons un graphique de la fonction.
Il est à noter que chaque point du deuxième graphique est obtenu à partir du point correspondant du premier graphique en utilisant une translation parallèle de six unités le long de l'axe des x.
Le graphique de la fonction ygr est égal à a multiplié par le carré de la différence x et em... est une parabole qui peut être obtenue à partir du graphique de la fonction ygr est égal à un x carré par translation parallèle le long de l'axe des x par le module em unités à gauche, si em est supérieur à zéro ou par le module em unités à droite si um est inférieur à zéro.
Considérons maintenant le graphique de la fonction igreq est égal à un tiers du carré de la différence de x et deux plus cinq. Son graphique peut être obtenu à partir du graphique de la fonction igreq est égal à un tiers x au carré en utilisant deux traductions parallèles - en décalant la parabole vers la droite de deux unités et vers le haut de cinq unités.
Dans ce cas, les transferts parallèles peuvent être effectués dans n'importe quel ordre : d'abord le long de l'axe des x, puis le long de l'axe des y, ou vice versa.
Mais pourquoi, lors de l'ajout du nombre en à une fonction, son graphique déplace le module en unités vers le haut, si en est supérieur à zéro, ou vers le bas, si en est inférieur à zéro, et lors de l'ajout du nombre em à l'argument, la fonction se déplace module em unités à droite, si em est inférieur à zéro ou à gauche si um est supérieur à zéro ?
Considérons premier cas. Supposons qu'il soit nécessaire de construire un graphique de la fonction yrek est égal à ef à partir de x.. plus en. Notez que les ordonnées de ce graphique pour toutes les valeurs de l'argument sont en unités supérieures aux ordonnées correspondantes du graphique yrek égales à eff de x pour en positif et en unités inférieures pour en négatif. Par conséquent, le graphique de la fonction ygr est égal à ef à partir de x...plus en peut être obtenu transfert parallèle le long de l'axe des ordonnées du graphique de la fonction ygr est égal à ef à partir de x par le module en unités vers le haut, si en est supérieur à zéro, et par le module en unités vers le bas, si en est inférieur à zéro.
Considérons deuxième cas. Supposons qu'il soit nécessaire de construire un graphique de la fonction yreq est égal à ef à partir de la somme de x et em. Considérons la fonction yrek est égale à ef à partir de x, qui à un moment donné x égal à x le premier prend la valeur yk d'abord est égal à ef à partir de x d'abord. Évidemment, la fonction ygr est égale à ef à partir de la somme de x et em prendra la même valeur au point x-second dont la coordonnée est déterminée à partir de l'égalité x-second plus em est égale à x-first, c'est-à-dire c'est-à-dire que x-first est égal à x-first moins em. De plus, l'égalité considérée est valable pour toutes les valeurs de x du domaine de définition de la fonction. Par conséquent, le graphique de la fonction peut être obtenu en déplaçant parallèlement le graphique de la fonction igreq est égal à ef de x le long de l'axe des abscisses vers la gauche par le module em unités vers la gauche, si em est supérieur à zéro, et par le module em vers la droite, si em est inférieur à zéro. Le mouvement parallèle du graphique d'une fonction le long de l'axe des x d'unités em équivaut à déplacer l'axe des y du même nombre d'unités, mais dans la direction opposée.
Lorsqu’une parabole tourne autour de son axe, on obtient une figure appelée paraboloïde. Si surface intérieure fabriquez un paraboloïde miroir et dirigez dessus un faisceau de rayons parallèle à l'axe de symétrie de la parabole, puis les rayons réfléchis convergeront en un point appelé foyer. En même temps, si la source de lumière est mise au point, elle est réfléchie par surface du miroir paraboloïde, les rayons seront parallèles et non dispersés.
La première propriété permet d'obtenir au foyer d'un paraboloïde haute température. Selon la légende, cette propriété aurait été utilisée par l'ancien scientifique grec Archimède. Lors de la défense de Syracuse lors de la guerre contre les Romains, il construisit un système de miroirs paraboliques, qui permettait de focaliser le rayonnement réfléchi. rayons de soleil sur les navires des Romains. En conséquence, la température aux foyers des miroirs paraboliques s'est avérée si élevée qu'un incendie s'est déclaré sur les navires et qu'ils ont brûlé. Cette propriété est également utilisée dans la fabrication d'antennes paraboliques.
La deuxième propriété est utilisée dans la fabrication de spots et de phares de voiture.
Détermination des valeurs des coefficients d'une fonction quadratique à partir d'un graphique.
Développement méthodologique par Sagnaeva A.M.
École secondaire MBOU n° 44, Surgut, Okrug-Yugra autonome Khanty-Mansi .
Je. Trouver le coefficient UN
- A l'aide du graphique d'une parabole, on détermine les coordonnées du sommet (m,n)
2. A l'aide du graphique d'une parabole, on détermine les coordonnées de tout point A (X 1 ;oui 1 )
3. Nous substituons ces valeurs dans la formule d'une fonction quadratique spécifiée sous une forme différente :
y=a(x-m)2+n
4. résolvez l’équation résultante.
Oh 1 ;oui 1 )
parabole
Oui. Trouver le coefficient b
1. On trouve d'abord la valeur du coefficient un
2. Dans la formule de l'abscisse d'une parabole m= -b/2a remplacer les valeurs m Et un
3. Calculer la valeur du coefficient b .
Oh 1 ;oui 1 )
parabole
Oui. Trouver le coefficient c
1. On retrouve l'ordonnée du point d'intersection du graphe parabolique avec l'axe Oy, cette valeur est égale au coefficient Avec, c'est à dire. point (0;s)-le point d'intersection du graphe parabolique avec l'axe Oy.
2. S'il est impossible de trouver le point d'intersection de la parabole avec l'axe Oy à partir du graphique, alors on retrouve les coefficients un B
(voir étapes Ι, ΙΙ)
3. Remplacez les valeurs trouvées une, b, UNE(x 1; à 1 ) dans l'équation
y = hache 2 +bx+c et nous trouvons Avec.
Oh 1 ;oui 1 )
parabole
Tâches
indice
Ιx 2 Ι, et x 1 0, car a L'ordonnée du point d'intersection de la parabole avec l'axe OY est le coefficient c Réponse : 5 c x 1 x 2 "width="640" - Les branches de la parabole sont dirigées vers le bas,
- Les racines ont différents signes,Ι x 1 ΙΙх 2 Ι , et x 1 0, car un
- L'ordonnée du point d'intersection de la parabole avec l'axe OY est le coefficient Avec
X 1
X 2
P. Indice
0 x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0. Réponse : 5 "width="640" 1.Les branches de la parabole sont dirigées vers le bas, ce qui signifie
- x 1 + x 2 = - b/a 0. a 0.
0 parce que les branches de la parabole sont dirigées vers le haut ; 2. c=y(0)3. Le sommet de la parabole a une abscisse positive : dans ce cas a 0, donc b4. D0, parce que la parabole coupe l'axe OX en deux points différents. "largeur="640" La figure montre un graphique de la fonction y=ax 2 +bx+c. Préciser les signes coefficients a,b,c et le discriminant D.
Solution:
1. a0, parce que les branches de la parabole sont dirigées vers le haut ;
3. Le sommet de la parabole a une abscisse positive :
dans ce cas a 0, donc b
4. D0, parce que la parabole coupe l'axe OX en deux points différents.
L'image montre une parabole
Spécifier des valeurs k Et t .
Trouvez les coordonnées du sommet de la parabole et écrivez la fonction dont le graphique est représenté sur la figure.
Trouver où sont les abscisses des points d'intersection
paraboles et lignes droites horizontales (voir figure).
Un mauvais professeur présente la vérité, un bon professeur enseigne comment l’obtenir.
A.Disterweg
Professeur: Netikova Margarita Anatolyevna, professeur de mathématiques, école GBOU n°471 Quartier de Vyborg Saint-Pétersbourg.
Sujet de cours : « Graphique d'une fonctionoui= hache 2 »
Type de cours : leçon d’apprentissage de nouvelles connaissances.
Cible: apprendre aux élèves à représenter graphiquement une fonction oui= hache 2 .
Tâches:
Éducatif: développer la capacité de construire une parabole oui= hache 2 et établir un motif entre le graphique de la fonction oui= hache 2
et coefficient UN.
Éducatif: développement compétences cognitives, pensée analytique et comparative, culture mathématique, capacité à généraliser et à tirer des conclusions.
Éducateurs : nourrir l'intérêt pour le sujet, la précision, la responsabilité, l'exigence envers soi-même et envers les autres.
Résultats prévus :
Sujet:être capable d'utiliser une formule pour déterminer la direction des branches d'une parabole et de la construire à l'aide d'un tableau.
Personnel:être capable de défendre son point de vue et de travailler en binôme et en équipe.
Métasujet :être capable de planifier et d'évaluer le processus et le résultat de leurs activités, traiter les informations.
Technologies pédagogiques :éléments d’apprentissage avancé et par problèmes.
Équipement: tableau blanc interactif, ordinateur, documents à distribuer.
1.Formule de racines équation quadratique et décomposition trinôme quadratique par des multiplicateurs.
2. Réduction de fractions algébriques.
3. Propriétés et graphique de la fonction oui= hache 2 , dépendance de la direction des branches de la parabole, de son « étirement » et de sa « compression » le long de l'axe des ordonnées sur le coefficient un.
Structure de la leçon.
1.Partie organisationnelle.
2.Mise à jour des connaissances :
Examen devoirs
Travail oral à partir de dessins terminés
3.Travail indépendant
4.Explication du nouveau matériel
Se préparer à étudier du nouveau matériel (créer une situation problématique)
Assimilation primaire de nouvelles connaissances
5. Fixation
Application des connaissances et des compétences dans une situation nouvelle.
6. Résumer la leçon.
7.Devoirs.
8. Réflexion sur la leçon.
Carte technologique d'un cours d'algèbre en 9e sur le thème : « Graphique d'une fonctionoui=
hache 2
»
| Étapes de la leçon | Tâches de scène | Activités des enseignants | Activités étudiantes | UUD |
| 1.Partie organisationnelle 1 minute | Créer une ambiance de travail au début de la leçon | Accueille les étudiants vérifie leur préparation au cours, note les absents, écrit la date au tableau. | Se préparer à travailler en classe, saluer le professeur | Réglementaire : organisation d'activités éducatives. |
| 2.Mise à jour des connaissances 4 minutes | Vérifiez les devoirs, répétez et résumez la matière apprise dans les leçons précédentes et créez les conditions d'un travail indépendant réussi. | Recueille les cahiers de six élèves (sélectivement deux de chaque rangée) pour vérifier les devoirs en vue de leur évaluation (Annexe 1), puis travaille avec la classe sur tableau blanc interactif (Annexe 2). | Six élèves rendent leurs cahiers de devoirs puis répondent aux questions. sondage frontal (Annexe 2). | Cognitif: apporter des connaissances dans le système. Communicatif: la capacité d’écouter les opinions des autres. Réglementaire : évaluer les résultats de vos activités. Personnel: évaluer le niveau de maîtrise de la matière. |
| 3.Travail indépendant 10 minutes | Testez votre capacité à factoriser un trinôme quadratique et à réduire fractions algébriques et décrire quelques propriétés de fonctions basées sur son graphique. | Distribue des cartes aux étudiants avec des tâche différenciée (Annexe 3). et des fiches solutions. | Exécuter travail indépendant, en choisissant indépendamment le niveau de difficulté des exercices en fonction des points. | Cognitif: Personnel: évaluer le niveau de maîtrise de la matière et ses capacités. |
| 4.Explication du nouveau matériel Se préparer à étudier du nouveau matériel Assimilation primaire de nouvelles connaissances | Créer un environnement favorable pour sortir d'une situation problématique, perception et compréhension de nouveaux matériaux, indépendant arriver à la bonne conclusion | Donc, vous savez comment représenter graphiquement une fonction oui= X 2 (les graphiques sont pré-construits sur trois tableaux). Nommez les principales propriétés de cette fonction : 3. Coordonnées du sommet 5. Périodes de monotonie Qu'y a-t-il dedans dans ce caségal au coefficient à X 2 ? En utilisant l’exemple du trinôme quadratique, vous avez vu que ce n’est pas du tout nécessaire. De quel signe pourrait-il s'agir ? Donne des exemples. Vous devrez découvrir par vous-même à quoi ressembleront les paraboles avec d'autres coefficients. La meilleure façonétude quelque chose est à découvrir par vous-même. D. Poya Nous nous divisons en trois équipes (en rangées), choisissons les capitaines qui viennent au tableau. La tâche des équipes est écrite sur trois tableaux, la compétition commence ! Construire des graphiques de fonctions dans un seul système de coordonnées 1 équipe : a)y=x 2 b)y= 2x 2 c)y= x 2 Équipe 2 : a)y= - x 2 b)y=-2x 2 c)y= - x 2 Equipe 3 : a)y=x 2 b)y=4x 2 c)y=-x 2 Mission accomplie! (Annexe 4). Rechercher des fonctions qui ont propriétés identiques. Les capitaines consultent leurs équipes. De quoi cela dépend ? Mais en quoi ces paraboles diffèrent-elles et pourquoi ? Qu’est-ce qui détermine « l’épaisseur » d’une parabole ? Qu'est-ce qui détermine la direction des branches d'une parabole ? On appellera classiquement le graphe a) « initial ». Imaginez un élastique : si vous l’étirez, il devient plus fin. Cela signifie que le graphique b) a été obtenu en étirant le graphique original le long de l'ordonnée. Comment le graphique c) a-t-il été obtenu ? Donc quand X 2 il peut y avoir n'importe quel coefficient qui affecte la configuration de la parabole. C'est le sujet de notre leçon : "Graphique d'une fonctionoui= hache 2 » | 1.R 4. Branches vers le haut 5. Diminue de (- Augmente de ) Avez-vous aimé l'article? Partage avec tes amis!
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