Matrice normale. Voir la signification de Matrice normale dans d’autres dictionnaires

Normalioji matrica statusas T sritis fizika atitikmenys : engl. vok matrice normale. Matrice normale, f ; Normalmatrix, f rus. matrice normale, f pranc. matrice normale, f … Fizikos terminų žodynas

Une matrice carrée qui fait la navette avec son conjugué (c'est-à-dire)... Encyclopédie mathématique

Forme normale (Jordanie) des matrices. À chaque matrice carrée est associé la classe entière matrices similaires à la matrice A. Dans cette classe, il existe toujours une matrice qui a une forme de Jordan normale (ou canonique) spéciale [le terme « N. (f.) f. m."... ...

Matrice en mathématiques, système d'éléments aij (nombres, fonctions ou autres quantités sur lesquels des opérations algébriques peuvent être effectuées), disposés sous la forme diagramme rectangulaire. Si le circuit comporte m lignes et n colonnes, alors on parle de matrice (mn).… … Grande Encyclopédie Soviétique

Un tableau rectangulaire composé de m lignes et n colonnes ; son groove. M. taille Éléments (le premier index indique le numéro de ligne, le deuxième numéro de colonne) M. peut être des nombres, des fonctions ou d'autres quantités sur lesquelles des opérations algébriques peuvent être effectuées. opérations. M.… … Encyclopédie physique

1) N.f. matrices Une matrice Nprédéterminée type spécial, obtenu à partir de Ac en utilisant des transformations d'un certain type. En fonction du type de transformation considéré, de la région K à laquelle appartiennent les coefficients A, du type de A et... Encyclopédie mathématique

Ce terme a d'autres significations, voir Forme normale (significations). La forme normale en mathématiques est la plus simple soit vue canonique, auquel l'objet est réduit transformations équivalentes. Table des matières 1 Jordanova ... ... Wikipédia

Ce terme a d'autres significations, voir Matrix. La matrice est un objet mathématique écrit comme table rectangulaireéléments d'anneau ou de champ (par exemple, entiers, réels ou nombres complexes), qui représente... ... Wikipédia

Une matrice est un objet mathématique écrit sous la forme d'un tableau rectangulaire de nombres (ou d'éléments d'un anneau) et permettant des opérations algébriques (addition, soustraction, multiplication, etc.) entre celui-ci et d'autres objets similaires. Règles d'exécution... ... Wikipédia

I Matrix (allemand Matrize, du latin matrice uterus, source, début) en impression, 1) un élément remplaçable d'un moule de coulée avec une image en profondeur (parfois photographique) d'une lettre ou d'un signe, utilisé lors de la coulée typographique. .. Grande Encyclopédie Soviétique

La matrice A est satisfaite UN ∗ = UN T , et donc il est normal si UN T UN = Les AA T.

La normalité est un test pratique pour réductibilité à la forme diagonale- une matrice est normale si et seulement si elle est unitairement semblable à une matrice diagonale, et donc toute matrice A satisfaisant l'équation UN ∗ UN = Les AA ∗ , peut être réduit à une forme diagonale. (Deux matrices A et B sont dites unitairement similaires s’il existe une matrice unitaire S pour laquelle UN = S -1 BS. .)

Le concept de matrice normale peut être étendu aux opérateurs normaux dans les espaces de Hilbert de dimension infinie et aux éléments normaux dans C*-algèbres.

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Parmi les matrices complexes, toutes les matrices unitaires, hermitiennes et asymétriques sont normales. Parmi les matrices réelles, toutes les matrices orthogonales, symétriques et antisymétriques sont normales. Cependant, il n’est pas vrai que toutes les matrices normales soient unitaires, hermitiennes ou asymétriques. Par exemple,
A = (1 1 0 0 1 1 1 0 1) (\displaystyle A=(\begin(pmatrix)1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end(pmatrix)))
n'est ni unitaire, ni hermitien, ni asymétrique-hermitien, bien que ce soit normal, puisque
UNE UNE ∗ = (2 1 1 1 2 1 1 1 2) = UNE ∗ UNE .
(\displaystyle AA^(*)=(\begin(pmatrix)2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end(pmatrix))=A^(*)A.)

Conséquences Offre.
Une matrice triangulaire normale est diagonale. Soit A normal matrice triangulaire supérieure (UN ∗ UN) . Parce que le = (Les AA ∗) . Parce que le ii
, la première ligne doit avoir la même norme que la première colonne :
‖ UNE e 1 ‖ 2 = ‖ UNE ∗ e 1 ‖ 2 .
(\displaystyle \left\|Ae_(1)\right\|^(2)=\left\|A^(*)e_(1)\right\|^(2).)
Conséquences Les premiers éléments de la première ligne et de la première colonne sont identiques et le reste de la première colonne est constitué de zéros. Il s'ensuit que dans la chaîne tous les éléments de 2 à n doivent être nuls. En poursuivant ces arguments pour les paires ligne/colonne numérotées de 2 à n, nous constatons que A est diagonale. UN = La notion de normalité est importante car les matrices normales sont exactement celles que concerne le théorème spectral :Λ La notion de normalité est importante car les matrices normales sont exactement celles que concerne le théorème spectral : ∗ .
Les éléments diagonaux de la matrice Λ sont des valeurs propres, et les colonnes de U sont des vecteurs propres de la matrice A. (les valeurs propres dans Λ sont dans le même ordre que leurs vecteurs propres correspondants dans U).
Une autre façon d'énoncer le théorème spectral est de dire que les matrices normales sont exactement les matrices qui peuvent être représentées comme une matrice diagonale en choisissant un espace de base orthonormé approprié. C n. On peut également affirmer qu'une matrice est normale si et seulement si son espace propre coïncide avec C n et les vecteurs propres sont orthogonaux selon la norme produit scalaire V C n .
Le théorème spectral des matrices normales est un cas particulier de la décomposition de Schur plus générale, qui s'applique à toutes les matrices carrées. Soit A - Matrice Carrée. Ensuite, selon la décomposition de Schur, elle est unitairement similaire à une matrice triangulaire supérieure, disons B. Si A est normal, alors B est normal aussi. Mais alors B doit être diagonal pour la raison indiquée ci-dessus.
Le théorème spectral permet de classer les matrices normales en termes de spectre, par exemple :
Conséquences Matrice normale est unitaire si et seulement si son spectre se situe sur le cercle unité du plan complexe. Conséquences Une matrice normale est auto-adjointe si et seulement si son spectre est contenu dans R. .
DANS cas général la somme ou le produit de deux matrices normales n'est pas nécessairement une matrice normale. Toutefois, ce qui suit s'applique :
Conséquences Si A et B sont normaux et vrais UN B = B.A., alors UN B, Et UN + B sont également normaux. De plus, il existe une matrice unitaire U telle que UAU * et UBU ∗ sont diagonaux. Autrement dit, A et B conjointement réductible à la forme diagonale.
Dans ce cas particulier, les colonnes de la matrice La notion de normalité est importante car les matrices normales sont exactement celles que concerne le théorème spectral : ∗ sont des vecteurs propres de A et B et forment une base orthonormée dans C n. L'énoncé découle des théorèmes selon lesquels sur un corps algébriquement clos matrices de déplacement solidairement réductible à vue triangulaire et qu'une matrice normale est réductible à une matrice diagonale, en ce dernier cas avec en plus que cela peut être fait en même temps.

Définitions équivalentes

Vous pouvez donner tout à fait longue liste définitions équivalentes d’une matrice normale. Soit A - n × n matrice complexe. Les affirmations suivantes sont équivalentes:
1. A est normal.
2. Un est réduit à la forme diagonale en utilisant une matrice unitaire.
3. Tous les points de l'espace peuvent être obtenus sous forme de combinaisons linéaires d'un certain ensemble de points orthonormés. vecteurs propres matrice A.
4. ||Hache|| = ||UN ∗ X|| pour tout x.
5. La norme de Frobenius de la matrice A peut être calculée à partir de valeurs propres matrice A : tr ⁡ (UNE ∗ UNE) = ∑ j |
6. λ j | 2.(\displaystyle \operatorname (tr) (A^(*)A)=\sum \nolimits _(j)|\lambda _(j)|^(2).) Partie hermitienne(A + A ∗) / 2 (\displaystyle (A+A^(\ast ))/2)
7. UN et partie asymétrique-hermitienne n(A − A ∗) / 2 (\displaystyle (AA^(\ast ))/2)
8. UN ∗ = les matrices A commutent.∗ est un polynôme (degrés ≤
9. − 1 ) de A . UN = UA pour une matrice unitaire U. U et P commutent, où U et P représentent la décomposition polaire EN HAUT.
10. sur
11. matrice unitaire = |U et une matrice positive définie P . A fait la navette avec une matrice normale N ayant des valeurs propres différentes. σi ≤ nλ je |
pour tout 1 ≤ je, où A a n valeurs propres singulières Une matrice normale peut être considérée comme un outil d'organisation, un classeur contenant tout entrées possibles n dans l'espace n-tuples, dans lesquels rien ne manque ou n'est dupliqué. À première vue, il peut sembler que les avantages de l’utilisation de cet outil sont limités. petit, bloquer les codes, car pour les codes plus longs que

=20 espace -les tuples contiennent des millions d'éléments. Cependant, même pour les codes volumineux, la matrice normale nous permet de déterminer des caractéristiques initiales importantes, telles que les compromis possibles entre la détection et la correction d'erreurs et les limites des capacités de correction d'erreurs du code. L'une de ces restrictions, appelée

Limite de Hamming (6.52,6)

est décrit comme suit. Nombre de bits de parité : (6.52,a) Nombre de cosets : Ici, la valeur est défini par l'équation (6.16), représente le nombre de façons de choisir P. peu j erroné. Notons que la somme des termes de l’équation (6.52) située dans crochets, donne quantité minimalelignes, qui doivent être présentes dans une matrice normale pour corriger toutes les combinaisons d'erreurs, jusqu'à t crochets-erreurs de bits. L'inégalité détermine la limite inférieure du nombre P- crochets k n- lignes, qui doivent être présentes dans une matrice normale pour corriger toutes les combinaisons d'erreurs, jusqu'à bit de parité (ou cosets) en fonction des capacités de correction du code crochets-erreurs de bits. De même, on peut dire que l’inégalité donnelignes, qui doivent être présentes dans une matrice normale pour corriger toutes les combinaisons d'erreurs, jusqu'à) limite supérieure

Pour montrer comment une matrice normale peut fournir une représentation visuelle de cette limite, prenons comme exemple le code BHC (127,106). n La matrice contient tout = 2127= 1,70 x 10 38 n- des tuples d'espace. La rangée supérieure de la matrice contient = 2106 = 8,11 x 10 31 mots de code ; c'est donc le nombre de colonnes dans la matrice. La colonne la plus à gauche contient 2 097 152 éléments constitutifs des classes coset ; c'est donc le nombre de lignes dans la matrice. Même si le numéro -les tuples et les mots de code sont tout simplement énormes, cela ne nous intéresse pas type spécifique crochets chaque élément de la matrice. Le principal intérêt est le nombre de cosets. Il existe 2 097 152 cosets et donc 2 097 151 combinaisons erronées que ce code peut corriger. Ce qui suit montre comment ce nombre de cosets détermine

limite supérieure

capacités de correction de code -erreurs de bits. Puisque chaque mot de code contient 127 bits, il existe 127 possibilités d’erreur sur un bit. Nous calculons le nombre de possibilités pour que deux erreurs se produisent - = 8 001. Nous passons ensuite aux erreurs sur trois bits, car les erreurs mentionnées ci-dessus ne représentent qu'une petite partie des 2 097 151 combinaisons d'erreurs. Il y a donc = 333 375 occasions de commettre une erreur sur trois bits. Ces calculs sont donnés dans le tableau. 6.3 ; il y est également montré que zéro erroné

Tableau 6.3. Limite des possibilités de correction pour le code (127, 106)

Nombre d'erreurs sur les bits Nombre d'erreurs requises Nombre total nécessaire

cours de coset cours de coset

1. Soit un polynôme avec des coefficients du champ
Considérons une matrice carrée du ème ordre
. (36)
Il est facile de vérifier que le polynôme est un polynôme caractéristique de la matrice :
.
En revanche, le mineur de l'élément dans le déterminant caractéristique est égal à . C'est pourquoi , .
Ainsi, la matrice a un polynôme invariant unique non unité égal à .
Nous appellerons la matrice la matrice d’accompagnement du polynôme.
Soit une matrice avec des polynômes invariants
Voici tous les polynômes ont un degré supérieur à bullet, et chacun de ces polynômes, à partir du second, est un diviseur du précédent. Nous désignons les matrices qui accompagnent ces polynômes par .
Alors la matrice quasi-diagonale du ième ordre
(38)
a pour polynômes invariants les polynômes (37) (voir Théorème 4 à la page 145). Puisque les matrices et ont les mêmes polynômes invariants, elles sont similaires, c'est-à-dire qu'il existe toujours une matrice non singulière telle que
La matrice est appelée la première naturelle forme normale pour matrice. Cette forme normale se caractérise par : 1) un aspect quasi-diagonal (38), 2) une structure particulière de cellules diagonales (36) et 3) condition supplémentaire: dans une série de polynômes caractéristiques de cellules diagonales, chaque polynôme, à partir du second, est un diviseur du précédent.
2. Désignons maintenant par
(39)
diviseurs matriciels élémentaires dans un corps numérique. Nous désignons les matrices d’accompagnement correspondantes par
.
Puisque est le seul diviseur élémentaire de la matrice, alors, d'après le théorème 5, la matrice quasi-diagonale
(40)
a des polynômes (39) comme diviseurs élémentaires.
Les matrices et ont les mêmes diviseurs élémentaires dans le domaine. Ces matrices sont donc similaires, c’est-à-dire qu’il existe toujours une matrice non singulière telle que
La matrice est appelée la deuxième forme normale naturelle d'une matrice. Cette forme normale est caractérisée par : 1) une forme quasi-diagonale (40), 2) une structure particulière de cellules diagonales (36) et 3) une condition supplémentaire : le polynôme caractéristique de chaque cellule diagonale est le degré d'un polynôme irréductible Sur le terrain.
Commentaire. Les diviseurs matriciels élémentaires, contrairement aux polynômes invariants, sont essentiellement liés à un champ numérique donné. Si, à la place du champ numérique d'origine, on prend un autre champ numérique (qui contient également les éléments de cette matrice), alors les diviseurs élémentaires peuvent changer. Parallèlement aux diviseurs élémentaires, la deuxième forme normale naturelle de la matrice changera également.
Ainsi, par exemple, donnons-nous une matrice avec des éléments réels. Le polynôme caractéristique de cette matrice aura des coefficients réels. En même temps, ce polynôme peut avoir racines complexes. Si est un corps de nombres réels, alors parmi les diviseurs élémentaires il peut aussi y avoir des puissances d'irréductibles trinômes carrés avec des coefficients réels. Si est le corps des nombres complexes, alors chaque diviseur élémentaire a la forme .
3. Supposons maintenant que le champ numérique contient non seulement les éléments de la matrice, mais aussi tous les nombres caractéristiques de cette matrice. Alors les diviseurs élémentaires de la matrice ont la forme
. (41)
Considérons l'un de ces diviseurs élémentaires
et associez-le à la matrice d’ordre suivante :
. (42)
Il est facile de vérifier que cette matrice ne possède qu’un seul diviseur élémentaire. Nous appellerons matrice (42) une cellule de Jordan correspondant au diviseur élémentaire .
Les cellules de Jordan correspondant aux diviseurs élémentaires (41) sont notées
Alors la matrice quasi-diagonale
a pour diviseurs de puissance élémentaires (41).
La matrice peut également s'écrire ainsi :
Puisque les matrices et ont les mêmes diviseurs élémentaires, elles sont semblables entre elles, c'est-à-dire qu'il existe une matrice non singulière telle que
Une matrice est appelée forme normale de Jordan ou simplement forme de Jordan d'une matrice. La forme Jordan se caractérise par un aspect quasi-diagonal et une structure particulière (42) de cellules diagonales du ième ordre.
Notez également que si , alors chacune des matrices
,
n'a qu'un seul diviseur élémentaire : . Par conséquent, pour une matrice non singulière ayant des diviseurs élémentaires (41), ainsi que (III) et (IV), les représentations suivantes sont valables :

Une matrice carrée qui fait la navette avec son conjugué (c'est-à-dire)

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