Cas particuliers de résolution d'équations quadratiques. Travaux de recherche scientifique en mathématiques

Établissement d'enseignement budgétaire municipal

"Moyenne lycée N° 64" Briansk

Conférence scientifique et pratique de la ville

"Premiers pas dans la science"

Scientifique travaux de recherche

"Théorème de Viete pour les équations du troisième et du quatrième degré"

Mathématiques

Complété par : élève de 11b

Shanov Ilya Alekseevich

Responsable scientifique :

professeur de mathématiques,

Candidat de Physique et Mathématiques sciences

Bykov Sergueï Valentinovitch

Briansk 2012

Présentation………………………………………………………………………………… 3

Buts et objectifs ……………………………………………………… 4

Bref contexte historique ………………………………………… 4

Équation quadratique…………………………………………………. 5

Équation cubique……………………………………………………………. 6

Équation du quatrième degré ………………………………………… 7

Partie pratique………………………………………………………. 9

Références…………………………………………………… 12

Annexe …………………………………………………………… 13

Introduction

Le théorème fondamental de l'algèbre stipule qu'un corps est algébriquement clos, c'est-à-dire que les équations du nième degré à coefficients complexes (en cas général) sur le champ a exactement n racines complexes. Les équations du troisième degré sont résolues par la formule de Cordano. Équations du quatrième degré utilisant la méthode Ferrari. Outre le fait qu’il a été prouvé en théorie algébrique que si est la racine de l’équation, alors est aussi la racine de cette équation. Pour équation cubique les cas suivants sont possibles :

les trois racines sont réelles ;

deux racines sont complexes, l’une est réelle.

Il s’ensuit que toute équation cubique possède au moins une racine réelle.

Pour une équation du quatrième degré :

Les quatre racines sont différentes.

Deux racines sont réelles, deux sont complexes.

Les quatre racines sont complexes.

Ce travail est consacré à une étude approfondie du théorème de Vieta : sa formulation, sa preuve, ainsi que la résolution de problèmes utilisant ce théorème.

Le travail effectué vise à aider les élèves de 11e qui sont sur le point de réussir l'examen d'État unifié, ainsi que pour les jeunes mathématiciens qui ne sont pas indifférents aux choses plus simples et méthodes efficaces des solutions dans divers domaines mathématiques.

L'annexe à cet ouvrage présente un ensemble de problèmes pour décision indépendante et la consolidation du nouveau matériel que je recherchais.

Cette question ne peut être ignorée, car elle est importante pour les mathématiques, tant pour la science en général que pour les étudiants et ceux qui souhaitent résoudre de tels problèmes.

Buts et objectifs du travail:

Obtenez un analogue du théorème de Vieta pour une équation du troisième degré.

Démontrer un analogue du théorème de Vieta pour une équation du troisième degré.

Obtenez un analogue du théorème de Vieta pour une équation du quatrième degré.

Démontrer un analogue du théorème de Vieta pour une équation du quatrième degré.

Considérez l’application de ces questions à la résolution de problèmes pratiques.

• Assurez-vous que l’application de ce théorème est pratique.

Approfondir connaissances mathématiques dans le domaine de la résolution d'équations.

Développer un intérêt pour les mathématiques.

Bref contexte historique

À juste titre digne d'être chanté en poésie

Sur les propriétés des racines THÉORÈME DE VIETTE...

FRANCOIS VIET (1540-1603) - mathématicien français. Avocat de profession. En 1591, il introduisit désignations de lettres non seulement pour les quantités inconnues, mais aussi pour les coefficients d'équations ; grâce à cela, il est devenu possible pour la première fois d'exprimer les propriétés des équations et de leurs racines par des formules générales. Il était chargé d'établir une méthode uniforme pour résoudre les équations des 2e, 3e et 4e degrés. Parmi les découvertes, Viète lui-même a particulièrement apprécié l'établissement de la relation entre les racines et les coefficients des équations. Pour une solution approximative des équations avec coefficients numériques Vieth a proposé une méthode similaire à la méthode ultérieure de Newton. En trigonométrie, François Viète a donné solution complète problème de détermination de tous les éléments d'un triangle plan ou sphérique à partir de trois données, a trouvé des développements importants de cos nx et le péché nx en puissances de cos X et le péché X. Il envisage pour la première fois des œuvres infinies. Les œuvres du Viet ont été écrites langue difficile et ont donc reçu moins de distribution en leur temps qu'ils ne le méritaient .

Équation quadratique

Tout d'abord, rappelons-nous les formules de Vieta pour les équations du deuxième degré, que nous avons apprises dans le programme cours scolaire entraînement.

T
Théorème de Vietapour l'équation quadratique (8e année)

E
si et sont les racines d'une équation quadratique alors

c'est-à-dire que la somme des racines de l'équation quadratique réduite est égale au deuxième coefficient tiré de signe opposé, et le produit des racines est égal à membre gratuit.

Rappelez-vous également le théorème, inverse du théorème de Vieta:

Si les chiffres - p Et q sont tels que

alors et sont les racines de l'équation

Le théorème de Vieta est remarquable en ce sens que, sans connaître les racines du trinôme carré, nous pouvons facilement calculer leur somme et leur produit, c'est-à-dire les expressions symétriques les plus simples.

Le théorème de Vieta permet de deviner les racines entières d'un trinôme carré.

Équation cubique

Passons maintenant directement à la formulation et à la solution de l'équation cubique à l'aide du théorème de Vieta.

Formulation

À
L'équation omniprésente est une équation du troisième ordre de la forme

Où une ≠ 0.

Si une = 1, alors l'équation est appelée équation cubique réduite :

Il faut donc prouver que pour l’équation

le théorème suivant est vrai :

n
trouver les racines de cette équation, puis

Preuve

Imaginons un polynôme

effectuons les transformations :

Donc, nous comprenons cela

Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients aux puissances correspondantes sont égaux.

Cela signifie que

Q.E.D.

Considérons maintenant le théorème, inverse du théorème de Vieta pour une équation du troisième degré.

F
formulation

E
si les chiffres sont tels que

Équation du quatrième degré

Passons maintenant à l'établissement et à la résolution d'une équation du quatrième degré en utilisant le théorème de Vieta pour une équation du quatrième degré.

Formulation

U
équation du quatrième degré - une équation de la forme

G
de une ≠ 0.

E
si une = 1, alors l'équation est dite réduite

ET
alors, prouvons que pour l'équation

Avec
le théorème suivant est vrai : soit les racines de l'équation donnée, alors

Preuve

Imaginons un polynôme

effectuons les transformations :

Donc, nous comprenons cela

Nous savons que deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients aux puissances correspondantes sont égaux.

Cela signifie que

Q.E.D.

Considérons le théorème, inverse du théorème de Vieta pour une équation du quatrième degré.

Formulation

Si les chiffres sont tels que

alors ces nombres sont les racines de l'équation

Partie pratique

Examinons maintenant les solutions aux problèmes utilisant les théorèmes de Vieta pour les équations du troisième et du quatrième degré.

Tâche n°1

Réponse : 4, -4.

Tâche n°2

Réponse : 16, 24.

Pour résoudre ces équations, nous pouvons utiliser respectivement les formules de Cardano et la méthode de Ferrari, mais en utilisant le théorème de Vieta, nous connaissons la somme et le produit des racines de ces équations.

Tâche n°3

Créez une équation du troisième degré si l'on sait que la somme des racines est 6, le produit apparié des racines est 3 et le produit est -4.

Faisons une équation, on obtient

Tâche n°4

Écrivez une équation du troisième degré si l'on sait que la somme des racines est égale à 8 , le produit paire des racines est égal à 4 , le triple du produit est égal à 12 , et le produit 20 .

Solution : en utilisant la formule de Vieta, on obtient

Faisons une équation, on obtient

En utilisant le théorème de Vieta, nous avons facilement composé des équations en utilisant leurs racines. C'est le plus manière rationnelle résoudre ces problèmes.

Problème n°5

où a, b, c sont les formules de Heron.

Ouvrons les parenthèses et transformons l'expression, on obtient

Z
Notez que l’expression radicale est expression cubique. Utilisons le théorème de Vieta pour l’équation cubique correspondante, alors nous avons ça

Z

Sachant qu'on obtient :

De la solution à ce problème, il est clair que le théorème de Vieta est applicable aux problèmes de différents domaines mathématiques.

Conclusion

Dans cet article, une méthode de résolution d’équations des troisième et quatrième degrés à l’aide du théorème de Vieta a été étudiée. Les formules dérivées de l'ouvrage sont faciles à utiliser. Au cours de l'étude, il est devenu évident que dans certains cas, cette méthode est plus efficace que la formule de Cordano et la méthode de Ferrari pour les équations du troisième et du quatrième degrés, respectivement.

Le théorème de Vieta a été appliqué dans la pratique. Un certain nombre de problèmes ont été résolus, ce qui a permis de mieux consolider le nouveau matériel.

Cette étude a été très intéressante et pédagogique pour moi. Ayant approfondi mes connaissances en mathématiques, j'ai découvert beaucoup de choses intéressantes et j'ai apprécié cette recherche.

Mais mes recherches dans le domaine de la résolution d’équations ne sont pas terminées. À l'avenir, je prévois d'étudier la solution d'une équation du nième degré en utilisant le théorème de Vieta.

Je tiens à exprimer ma profonde gratitude à mon superviseur scientifique, candidat aux sciences physiques et mathématiques, et la possibilité d'un tel recherche inhabituelle et une attention constante au travail.

Références

Vinogradov I.M. Encyclopédie mathématique. M., 1977.

V. B. Lidsky, L. V. Ovsyannikov, A. N. Tulaikov, M. I. Shabunin. Tâches pour mathématiques élémentaires, Fizmatlit, 1980.

"Comment résoudre des équations quadratiques incomplètes" - Compétences en résolution. Kostroma. Iaroslavl. Ladyzhenskaya Olga Alexandrovna. Steklov Vladimir Andreïevitch. Résolvons l'équation. Égalité. Travail oral. Kazan. Objet de mouvement. Table cryptographique. Nijni Novgorod. Lyapunov Alexandre Mikhaïlovitch. Résolution incomplète équations quadratiques. Vitesse. Bus. Tâches de mouvement.

« Mathématiques « Équations quadratiques » » - f) À quelle valeur de a l'équation a-t-elle une racine ? Résolution d'équations quadratiques. Résolvez oralement l’équation quadratique. Résolvez l'équation avec les coefficients des lettres. Essayez de donner à votre esprit autant de nourriture que possible. Objectif : apprendre à voir une manière rationnelle de résoudre des équations quadratiques. M.V. Lomonossov. Faire des exercices.

« François Viète et son théorème » - Deux polynômes sont identiquement égaux. Enseignement mathématique. Découvertes mathématiques. Les formules de Vieta. François Viet. Enseignants. Renseignez-vous auprès de diverses sources Qui est François Viet ? Discriminant. Le théorème de Vieta peut être généralisé aux polynômes de n'importe quel degré. Formules dérivées de Viethe pour les équations quadratiques.

"Trouver les racines d'une équation quadratique" - L'équation n'a pas de racines. Équations quadratiques incomplètes. Propriétés des coefficients d'équation. Résoudre des équations à l'aide de la formule. Résolution d'équations quadratiques incomplètes. Déterminer le nombre de racines d'une équation quadratique. Trouver les racines d'équations quadratiques incomplètes. Trouver le discriminant. Méthodes de résolution d'équations quadratiques.

«Résoudre des équations avec des racines carrées» - Annexe. Dessin. Résoudre l'équation en utilisant la méthode du "lancer". Solution graphiqueéquations quadratiques. Propriétés des coefficients d'une équation quadratique. Factorisation. Méthode de sélection carré complet. Équation. Coefficient. Somme des coefficients. Méthodes de résolution d'équations quadratiques. Membre gratuit.

"Résoudre des équations quadratiques incomplètes" - Résoudre le problème. Accumulation de faits. Répartissez ces équations en 4 groupes. Examen par les pairs. Compréhension primaire et application de la matière étudiée. Sujet de la leçon. Considérez le jour ou l'heure malheureuse où vous n'avez rien appris. Résolution d'équations quadratiques incomplètes. Question. Définir une tâche d'apprentissage.

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Aujourd'hui, elle mérite d'être chantée en poésie
Théorème de Vieta sur les propriétés des racines.
Quoi de mieux, dites-moi, une cohérence comme celle-ci :
Vous avez multiplié les racines - et la fraction est prête
Au numérateur Avec, au dénominateur UN.
Et la somme des racines de la fraction est également égale
Même avec un moins cette fraction
Quel problème
En numérateurs V, au dénominateur UN.
(Du folklore scolaire)

Dans l'épigraphe merveilleux théorème François Vieta n'est pas donné tout à fait avec précision. En fait, nous pouvons écrire une équation quadratique qui n’a pas de racines et écrire leur somme et leur produit. Par exemple, l'équation x 2 + 2x + 12 = 0 n'a pas de vraies racines. Mais, en adoptant une approche formelle, nous pouvons écrire leur produit (x 1 · x 2 = 12) et la somme (x 1 + x 2 = -2). Notre les versets correspondront au théorème avec la mise en garde : « si l'équation a des racines », c'est-à-dire D ≥ 0.

D'abord application pratique Ce théorème est la construction d'une équation quadratique qui a donné des racines. Deuxièmement, il vous permet de résoudre oralement de nombreuses équations quadratiques. Les manuels scolaires se concentrent principalement sur le développement de ces compétences.

Nous examinerons ici davantage tâches complexes, résolu en utilisant le théorème de Vieta.

Exemple 1.

L'une des racines de l'équation 5x 2 – 12x + c = 0 est trois fois supérieure à la seconde. Trouvez l'art.

Solution.

Soit la deuxième racine x 2.

Alors la première racine x1 = 3x 2.

D'après le théorème de Vieta, la somme des racines est 12/5 = 2,4.

Créons l'équation 3x 2 + x 2 = 2,4.

Donc x 2 = 0,6. Donc x 1 = 1,8.

Réponse : c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.

Exemple 2.

On sait que x 1 et x 2 sont les racines de l'équation x 2 – 8x + p = 0, avec 3x 1 + 4x 2 = 29. Trouvez p.

Solution.

D’après le théorème de Vieta, x 1 + x 2 = 8, et par condition 3x 1 + 4x 2 = 29.

Après avoir résolu le système de ces deux équations, on trouve la valeur x 1 = 3, x 2 = 5.

Et donc p = 15.

Réponse : p = 15.

Exemple 3.

Sans calculer les racines de l'équation 3x 2 + 8 x – 1 = 0, trouvez x 1 4 + x 2 4

Solution.

Notez que par le théorème de Vieta x 1 + x 2 = -8/3 et x 1 x 2 = -1/3 et transformez l'expression

a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

Réponse : 4898/9.

Exemple 4.

A quelles valeurs du paramètre a se trouve la différence entre les racines les plus grandes et les plus petites de l'équation
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 est égal à leur produit.

Solution.

Il s'agit d'une équation quadratique. Il aura 2 racines différentes si D > 0. En d’autres termes, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 ou (a – 3) 2 > 0. Par conséquent, nous avons 2 racines pour tout a, pour sauf pour a = 3.

Pour plus de précision, nous supposerons que x 1 > x 2 et obtiendrons x 1 + x 2 = (a + 1)/2 et x 1 x 2 = (a – 1)/2. Basé sur les conditions du problème x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Les trois conditions doivent être remplies simultanément. Considérons la première et la dernière équation comme un système. Il peut être facilement résolu par addition algébrique.

On obtient x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Vérifions quoi UN la deuxième égalité sera satisfaite : x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Remplaçons les valeurs obtenues et nous aurons : a/4 = (a – 1)/2. Alors a = 2. Il est évident que si a = 2, alors toutes les conditions sont remplies.

Réponse : quand a = 2.

Exemple 5.

Qu'est-ce qui est égal à plus petite valeur a, auquel la somme des racines de l'équation
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 est égal à la somme des carrés de ses racines.

Solution.

Tout d’abord, réduisons l’équation à forme canonique: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Il aura des racines si D/4 ≥ 0. Donc : a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Ou (a – 1) 2 ≥ 0. Et c’est le condition valable pour tout a.

Appliquons le théorème de Vieta : x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Calculons

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Ou après substitution x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Il reste à créer une égalité qui correspond aux conditions du problème : x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . On obtient : 2a = 4a 2 – 4a + 2. Cette équation quadratique a 2 racines : a 1 = 1 et a 2 = 1/2. Le plus petit d’entre eux est –1/2.

Réponse : 1/2.

Exemple 6.

Trouver la relation entre les coefficients de l'équation ax 2 + bx + c = 0 si la somme des cubes de ses racines est égale au produit des carrés de ces racines.

Solution.

Nous partirons du fait que équation donnée a des racines et, par conséquent, le théorème de Vieta peut lui être appliqué.

Alors la condition du problème s'écrira comme suit : x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Ou : (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.

Le deuxième facteur doit être converti. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.

On obtient (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Reste à remplacer les sommes et produits de racines par les coefficients.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Cette expression peut facilement être convertie sous la forme b(3ac – b 2)/une = c 2. La relation a été trouvée.

Commentaire. Il convient de garder à l’esprit que la relation résultante n’a de sens qu’une fois que l’autre est satisfaite : D ≥ 0.

Exemple 7.

Trouver la valeur de la variable a pour laquelle la somme des carrés des racines de l'équation x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 est la plus grande valeur.

Solution.

Si cette équation a des racines x 1 et x 2, alors leur somme est x 1 + x 2 = -2a, et le produit x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.

On calcule x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (une – 3) 2 + 22.

Or il est évident que cette expression prend valeur la plus élevéeà a = 3.

Il reste à vérifier si l'équation quadratique originale a réellement des racines en a = 3. Nous vérifions par substitution et obtenons : x 2 + 6x + 7 = 0 et pour cela D = 36 – 28 > 0.

La réponse est donc : pour a = 3.

Exemple 8.

L'équation 2x 2 – 7x – 3 = 0 a des racines x 1 et x 2. Trouvez la triple somme des coefficients de l'équation quadratique donnée, dont les racines sont les nombres X 1 = 1/x 1 et X 2 = 1/x 2. (*)

Solution.

Évidemment, x 1 + x 2 = 7/2 et x 1 x 2 = -3/2. Composons la deuxième équation à partir de ses racines sous la forme x 2 + px + q = 0. Pour ce faire, nous utilisons l'inverse du théorème de Vieta. On obtient : p = -(X 1 + X 2) et q = X 1 · X 2.

Après avoir effectué la substitution dans ces formules basées sur (*), alors : p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 et q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.

L'équation recherchée prendra la forme : x 2 + 7/3 x – 2/3 = 0. On peut maintenant facilement calculer la somme triplée de ses coefficients :

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. La réponse est reçue.

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Théorème de Vieta

Travail créatifétudiant 8e année

Établissement d'enseignement municipal "École secondaire Novokievskaya"

Lukanina Kirill

Chef : Kryzhanovskaya V.I.

I Introduction. Informations historiques.

II Partie principale

1. 
   Pages de la biographie de F. Vieta
2. 
   Activités scientifiques:

B) théorème inverse

1. 
   Exemples de résolution d'équations
2. 
   Travaux pratiques
3. 
   Quelques cas particuliers résoudre des équations

IIIConclusion. Théorème de Vieta en vers

IV Références utilisées
À juste titre digne d'être chanté en poésie

Théorème de Vieta sur les propriétés des racines.

Contexte historique

La relation entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique a été établie pour la première fois par le célèbre scientifique français François Viète.

François Viète était avocat de profession et fut conseiller du roi pendant de nombreuses années. Et même si les mathématiques n'étaient que son passe-temps, grâce à un travail acharné, il a obtenu d'excellents résultats.

En 1951, il a introduit la notation par lettres pour les coefficients d'inconnues dans les équations, ainsi que ses propriétés.

Vieta a fait de nombreuses découvertes ; il a lui-même particulièrement apprécié l’établissement de la relation entre les racines et les coefficients d’une équation quadratique, appelée théorème de Vieta.

Début du formulaire

Fin du formulaire

Seule une partie des travaux de ce scientifique talentueux et prolifique a été publiée du vivant de Vieta. Son essai principal : « Introduction à l'art analytique"()), qu'il considérait comme le début d'un traité complet, mais n'eut pas le temps de continuer. Certains éléments indiquent que le scientifique est mort de mort violente.

L'application directe des œuvres de Vieta était rendue très difficile par la lourdeur et la lourdeur de la présentation. Pour cette raison, ils n’ont pas encore été entièrement publiés. Plus ou moins réunion complète Les travaux de Wirth ont été publiés en 1646 à Leiden par le mathématicien néerlandais van Scooten sous le titre « Œuvres mathématiques de Vieta ». G. G. Zeiten a noté que la lecture des œuvres de Vieta est rendue difficile par la forme quelque peu raffinée, dans laquelle sa grande érudition transparaît partout, et un grand nombre inventé par lui et n'a pas pris racine du tout Termes grecs. Par conséquent, son influence, si significative par rapport à toutes les mathématiques ultérieures, s’est répandue relativement lentement.

RÉALISATIONS MATHÉMATIQUES
Il a écrit des ouvrages sur les mathématiques dans un langage extrêmement difficile, de sorte qu'ils n'ont pas été largement diffusés. Les œuvres de Vieth ont été rassemblées après sa mort par F. Schooten, professeur de mathématiques à Leiden. Dans les œuvres de Vieta, l'algèbre devient sciences générales sur les équations algébriques basées sur la notation symbolique. Le Viet fut le premier à désigner par des lettres non seulement les inconnues, mais aussi les grandeurs données, c'est-à-dire les coefficients des équations correspondantes. Grâce à cela, il est devenu possible pour la première fois d'exprimer les propriétés des équations et de leurs racines par des formules générales, et les expressions algébriques elles-mêmes se sont transformées en objets sur lesquels des actions pouvaient être effectuées. Le Viet a développé une méthode uniforme pour résoudre les équations des 2e, 3e et 4e degrés et nouvelle méthode solutions à l'équation cubique, a donné solution trigonométriqueéquations du 3ème degré dans le cas irréductible, ont proposé diverses transformations rationnelles racines, établi la relation entre les racines et les coefficients des équations (formules Vieta). Pour résoudre approximativement les équations avec coefficients numériques Viet a proposé une méthode similaire à celle développée plus tard par I. Newton. Les réalisations de Vieta en trigonométrie - une solution complète au problème de la détermination de tous les éléments d'un triangle plan ou sphérique à partir de trois éléments donnés, des développements importants de sin px et cos px en puissances de cos x et sinx. La connaissance de la formule des sinus et cosinus d'arcs multiples a permis à Viet de résoudre l'équation du 45e degré proposée par le mathématicien A. Roomen ; Viète a montré que la solution de cette équation se réduit à diviser l'angle en 45 parties égales et qu'il y a 23 racines positives cette équation. Vieth a résolu le problème d'Apollonius à l'aide d'une règle et d'un compas.

Activités scientifiques

Tous les mathématiciens savaient que sous leur algèbre... se cachaient des trésors incomparables, mais ils ne savaient pas comment les trouver ; les tâches qu'ils considéraient comme les plus difficiles sont tout à fait facilement résolues par dizaines à l'aide de notre art, qui représente donc le plus la bonne façon pour la recherche mathématique.

Viet divise tout au long de la présentation en deux parties : lois générales et leurs implémentations numériques concrètes. Autrement dit, il résout d'abord les problèmes dans vue générale, et seulement alors mène exemples numériques. Dans la partie générale, il désigne par des lettres non seulement les inconnues déjà rencontrées auparavant, mais aussi toutes les autres paramètres, pour lequel il a inventé le terme " chances"(littéralement: promouvoir). Vieth n'utilisait pour cela que des majuscules - les voyelles pour les inconnues, les consonnes pour les coefficients.

Le Viet applique librement une variété de transformation algébrique- par exemple, remplacer des variables ou changer le signe d'une expression lors de son déplacement vers une autre partie de l'équation. Cela mérite d'être noté, compte tenu de l'époque attitude suspecteÀ nombres négatifs. Les exposants du Viet sont toujours écrits verbalement.

Autres réalisations du Viet :

• 
  célèbre " Les formules de Vieta» pour les cotes polynôme comment ça marche racines;
• 
  nouveau méthode trigonométrique solutions à l'irréductible équation cubique, également applicable pour la trisection d'angle ;
• 
  premier exemple de produit infini :

• 
  une présentation analytique complète de la théorie des équations des quatre premiers degrés ;
• 
  idée d'application fonctions transcendantalesà une décision équations algébriques;
• 
  méthode originale solution approximative d'équations algébriques avec des coefficients numériques.

Formules Vieta

Formulation

(chaque racine est prise le nombre de fois correspondant à sa multiplicité), puis les coefficients sont exprimés sous la forme polynômes symétriquesà partir des racines, à savoir :

Autrement dit (− 1) k un k est égal à la somme de tous les produits possibles de k racines.

Si le coefficient principal du polynôme est , alors pour appliquer la formule de Vieta, il faut d'abord diviser tous les coefficients par un 0 (cela n'affecte pas la valeur des racines du polynôme). Dans ce cas, la formule de Vieta donne une expression du rapport de tous les coefficients au plus grand. De la dernière formule de Vieta, il s'ensuit que si les racines d'un polynôme sont entières, alors elles sont des diviseurs de son terme libre, qui est également entier.

Preuve

Où côté droit est un polynôme factorisé.

Après avoir multiplié les éléments du côté droit, les coefficients pour degrés égaux x doit être égal dans les deux parties, d’où découlent les formules de Vieta.

Exemples

Équation quadratique

Somme des racines de l'équation quadratique réduite x 2 + px + q= 0 est égal au coefficient p, pris avec le signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre q:

Dans le cas général (pour une équation quadratique non réduite hache 2 + bx + c = 0):

Travaux pratiques d'algèbre en 8e.

Sujet : « Théorème de Vieta »

Cible:établir un lien entre les racines d'une équation quadratique et ses coefficients.

Objet d'étude :équation quadratique et ses racines.

Connaissances, compétences et aptitudes requises pour effectuer le travail :

(c'est-à-dire ce qu'il faut retenir et répéter avant de proposer aux élèves ce travail):

• 
  le concept d'une équation quadratique complète ;
• 
  capacité d'écrire trinôme quadratique en termes généraux ;
• 
  algorithme pour résoudre une équation quadratique (à la fois complète et réduite) ;
• 
  capacité d'écrire formule générale racines d'une équation quadratique (complète et réduite).

Équations quadratiques réduites.

1.1. Résolvez les équations :

A) x2 + 4x + 3 = 0 ;

B) x 2 – 10x – 24 = 0.

1.2. Remplissez le tableau :

1.3. Comparez la somme et le produit des racines de chaque équation avec ses coefficients.

1.4. Hypothèse: Quel lien avez-vous remarqué entre les racines de l’équation quadratique ci-dessus et ses coefficients ? Écrivez-le à l’aide de symboles.

1.5. Test d'hypothèse :écrivez l'équation quadratique ci-dessus sous forme générale (x 2 + px + q = 0).

1.6. Écrivez la formule générale des racines de l’équation quadratique donnée.

(X 1 = ; X 2 = )

1.7. Trouvez la somme des racines de l'équation quadratique.

1.8. Trouvez le produit des racines de l'équation quadratique.

1.9. Tirer une conclusion

Question supplémentaire.

Vérifiez vos conclusions en résolvant l’équation : x 2 – 12x + 36 = 0.

2. Complétez les équations quadratiques.

2.1. Résolvez les équations :

A) 6 x 2 – 5x – 1 = 0 ;

B) 5 x 2 + 9x + 4 = 0.

2.1. Remplissez le tableau :

2.4. Hypothèse: Quel lien avez-vous remarqué entre les racines d’une équation quadratique complète et ses coefficients ? Écrivez-le à l’aide de symboles.

2.5. Test d'hypothèse :écrire l'équation quadratique complète sous forme générale

(hache 2 + bx + c = 0).

2.6. Écrivez la formule générale des racines d’une équation quadratique complète.

(X1 = ; X2 =)

2.7. Trouvez la somme des racines de l'équation quadratique.

2.8. Trouvez le produit des racines de l'équation quadratique.

2.9. Tirer une conclusion: énoncer le résultat obtenu. Notez-le dans votre cahier.

(L’énoncé qui en résulte s’appelle le théorème de Vieta)

Question supplémentaire.

Vérifiez vos conclusions en résolvant l'équation : -2x 2 + 8x + 3 = 0.

Tâche supplémentaire.

Trouvez la somme et le produit des racines des équations quadratiques suivantes :

A) x 2 – 5x + 6 = 0 ;

B) 3x2 – 4x – 2 = 0 ;

B) x 2 – 6x + 24 = 0 ;

D) 6x2 – 5x = 0.

2. À l’aide du théorème de Vieta, vérifiez si les racines de l’équation quadratique ont été trouvées correctement.

Trouver en utilisant le théorème, théorème inverse Racines Vieta d'une équation quadratique :

A) x 2 + 11x – 12 = 0 ; b) 2 x 2 + 9x + 8 = 0 ; c) -3x2 – 6x = 0 ; d) x 2 – 6 = 0.

Cas particuliers de résolution d'équations quadratiques

hache 2 + bx + c = 0

1. si a+b+c =0, alors x 1 = 1, x 2 =

2. si a-b+c =0, (ou a+c=b), alors x 1 = -1, x 2 = -

Par exemple : 3x 2 + 5x – 8 = 0 3 + 5 – 8 = 0 x 1 = 1 x 2 =

X 2 + 2x + 3 = 0 -1 +3 = 2 x 1 = -1 x 2 = 3

Résoudre oralement :

3x 2 – 2x – 1 = 0 3x 2 – 5x – 8 = 0

X 2 – 3x + 2 = 0 4x 2 + 7x + 3 = 0

2002х 2 – 2003х + 1 = 0

Écrivons d'abord « moins »,
A côté de lui p en deux,
Signe radical "plus-moins",
Familier pour nous depuis l'enfance.

Eh bien, à la racine, mon pote,
Tout cela ne sert à rien :
p en deux et au carré
Moins la belle q.

• 
  Depuis " Moniteurs pour bébé"(une autre option) :

Et sous la racine c'est très utile
moitié p quadrillé
moins q- et voici les solutions,
c'est-à-dire les racines de l'équation.

À juste titre digne d'être chanté en poésie

Théorème de Vieta sur les propriétés des racines.

Ce qui est mieux, dites ceci de manière cohérente :

Vous multipliez les racines et la fraction est prête :

Le numérateur est c, le dénominateur est a,

Et la somme des racines est aussi une fraction

Même si c'est une fraction avec un moins, quel problème

Le numérateur est dedans, le dénominateur est a.
Littérature utilisée :

1. 
   Dictionnaire encyclopédique d'un jeune mathématicien.

1. 
   Mathématiques. Documents de référence. V.A.Gusev, A.G.Mordkovich. M. "Lumières" 1986
2. 
   Histoire des mathématiques à l'école. G.I. Glazer

1. 
   Algèbre 8e année. édité par S.A. Telyakovsky