Résoudre des équations irrationnelles contenant des fonctions trigonométriques. Méthodes de résolution d'équations irrationnelles

Répondre: x = 3.

8 méthode. Application de la dérivée à la résolution d'équations irrationnelles

La méthode la plus couramment utilisée pour résoudre des équations à l’aide de la méthode dérivée est la méthode d’estimation.

EXEMPLE 15 :

Résolvez l'équation : (1)

Solution : Depuis https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, ou (2). Considérez la fonction ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> du tout et, par conséquent, augmente. Donc l'équation équivaut à une équation dont la racine est la racine de l’équation d’origine.

Répondre:

EXEMPLE 16 :

Résolvez l’équation irrationnelle :

Le domaine d'une fonction est un segment. Trouvons le plus grand et naï valeur inférieure les valeurs de cette fonction sur l'intervalle. Pour ce faire, on trouve la dérivée de la fonction F(X): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Trouvons les valeurs de la fonction F(X) aux extrémités du segment et au point : Donc, Mais et, par conséquent, l'égalité n'est possible que si https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= "19 src=" >. La vérification montre que le nombre 3 est la racine de cette équation.

Répondre: x = 3.

9 méthode. Fonctionnel

Lors des examens, on vous demande parfois de résoudre des équations qui peuvent s'écrire sous la forme où est une fonction.

Par exemple, quelques équations : 1) 2) . En effet, dans le premier cas , dans le deuxième cas . Par conséquent, résolvez des équations irrationnelles en utilisant déclaration suivante: si la fonction est strictement croissante sur l'ensemble X et pour tout , alors les équations, etc. sont équivalentes sur l'ensemble X .

Résolvez l’équation irrationnelle : https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> augmente strictement sur le plateau R, et https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > qui a une seule racine Par conséquent, l’équation (1) qui lui est équivalente a également une seule racine.

Répondre: x = 3.

EXEMPLE 18 :

Résolvez l’équation irrationnelle : (1)

Par définition racine carrée nous constatons que si l'équation (1) a des racines, alors elles appartiennent à l'ensemble https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. 2)

Considérez la fonction https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> augmente strictement sur cet ensemble pour tout ..gif" width="100" height ="41"> qui a une seule racine Donc, et son équivalent sur l'ensemble X l'équation (1) a une seule racine

Répondre: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Solution : Cette équation est équivalente à un système mixte

Nombres réels. Approximation de nombres réels par fractions décimales finies.

Nombre réel ou réel - abstraction mathématique, né de la nécessité de mesurer les dimensions géométriques et grandeurs physiques le monde environnant, ainsi qu'effectuer des opérations telles que l'extraction de racines, le calcul de logarithmes, la résolution équations algébriques. Si entiers sont apparus au cours du processus de comptage, rationnels - de la nécessité d'opérer avec des parties d'un tout, alors les nombres réels sont destinés à mesurer quantités continues. Ainsi, l'expansion du stock de nombres considéré a conduit à un ensemble de nombres réels qui, en plus des nombres rationnels, comprennent également d'autres éléments appelés nombres irrationnels .

L'erreur absolue et sa limite.

Supposons qu'il y ait une valeur numérique, et valeur numérique, qui lui est attribué, est considéré comme exact, alors sous erreur de valeur approximative valeur numérique (erreur) comprendre la différence entre la valeur exacte et approximative d'une valeur numérique : . L'erreur peut être positive ou Sens négatif. La quantité s'appelle approximation connueà la valeur exacte d'une quantité numérique - tout nombre utilisé à la place valeur exacte. La mesure quantitative d’erreur la plus simple est l’erreur absolue. Erreur absolue une valeur approximative est une grandeur dont on sait que : L'erreur relative et sa limite.

La qualité de l'approximation dépend fortement des unités de mesure et des échelles de grandeurs acceptées, il est donc conseillé de corréler l'erreur d'une grandeur et sa valeur, pour laquelle la notion d'erreur relative est introduite. Erreur relative une valeur approximative est une quantité dont on sait que : . L'erreur relative est souvent exprimée en pourcentage. L'utilisation d'erreurs relatives est pratique, notamment parce qu'elles ne dépendent pas de l'échelle des quantités et des unités de mesure.

Équations irrationnelles

Les équations qui contiennent une variable sous le signe racine sont dites irrationnelles. Lors de la résolution d'équations irrationnelles, les solutions obtenues nécessitent une vérification, car, par exemple, une égalité incorrecte lors de la mise au carré peut donner une égalité correcte. En fait, une égalité incorrecte au carré donne l'égalité correcte 1 2 = (-1) 2, 1=1. Parfois, il est plus pratique de résoudre des équations irrationnelles en utilisant des transitions équivalentes.

Mettons au carré les deux côtés de cette équation ; Après transformations nous arrivons à une équation quadratique ; et remplaçons.

Nombres complexes. Opérations sur les nombres complexes.

Les nombres complexes sont une extension de l'ensemble des nombres réels, généralement désignés par . Tout nombre complexe peut être représenté comme une somme formelle X + je, Où X Et oui- nombres réels, je - unité imaginaire Les nombres complexes forment un corps algébriquement fermé - cela signifie qu'un polynôme de degré nà coefficients complexes a exactement n racines complexes, c'est-à-dire que le théorème fondamental de l'algèbre est vrai. C’est l’une des principales raisons de son utilisation généralisée nombres complexes V recherche mathématique. De plus, l'utilisation de nombres complexes nous permet de formuler de nombreux nombres de manière pratique et compacte. modèles mathématiques, utilisé dans physique mathématique et en sciences naturelles- génie électrique, hydrodynamique, cartographie, mécanique quantique, théorie des oscillations et bien d'autres.

Comparaison un + bi = c + di signifie que un = c Et b = d(deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelle et imaginaire sont égales).

Ajout ( un + bi) + (c + di) = (un + c) + (b + d) je .

Soustraction ( un + bi) − (c + di) = (un − c) + (b − d) je .

Multiplication

Fonction numérique. Méthodes de spécification d'une fonction

En mathématiques fonction numérique est une fonction dont les domaines de définition et de valeurs sont des sous-ensembles ensembles de nombres- généralement un ensemble de nombres réels ou un ensemble de nombres complexes.

Verbal : Avec langage naturel Igrek est égal à partie entière de x. Analytique : utilisation formule analytique F (X) = X !

Graphique Utiliser un graphique Fragment de graphique d'une fonction.

Tabulaire : Utiliser un tableau de valeurs

Propriétés de base d'une fonction

1) Domaine fonctionnel et plage de fonctions . Domaine de fonction X(variable X), pour lequel la fonction y = f(x) déterminé.

Plage de fonctions oui, ce que la fonction accepte. En mathématiques élémentaires, les fonctions sont étudiées uniquement sur l’ensemble des nombres réels.2 ) Fonction zéro) Monotonie de la fonction . Fonction croissante Fonction décroissante . Même fonction X f(-x) = f(x). Fonction étrange- une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X f (-x) = - f (x. La fonction s'appelle limité illimité .7) Périodicité de la fonction. Fonction f(x) - périodique période de la fonction

Graphiques de fonctions. Les transformations de graphiques les plus simples à l'aide de la fonction

Graphique d'une fonction- un ensemble de points dont les abscisses sont valeurs acceptables argument X, et les ordonnées sont les valeurs correspondantes de la fonction oui .

Ligne droite- calendrier fonction linéaire y = hache + b. La fonction y augmente de manière monotone pour a > 0 et diminue pour a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Parabole- graphique de fonction trinôme quadratique y = hache 2 + bx + c. Il a axe vertical symétrie. Si a > 0, a un minimum si a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения hache 2 + bx +c =0

Hyperbole- graphique de la fonction. Quand a > O il se situe dans les quartiers I et III, quand a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) ou y - x (a< 0).

Fonction logarithmique y = log a x(a > 0)

Fonctions trigonométriques. Lors de la construction de fonctions trigonométriques, nous utilisons radian mesure des angles. Alors la fonction oui= péché X est représenté par un graphique (Fig. 19). Cette courbe est appelée sinusoïde .

Graphique d'une fonction oui=cos X montré sur la fig. 20 ; c'est aussi une onde sinusoïdale résultant du déplacement du graphique oui= péché X le long de l'axe X laissé à /2.

Propriétés de base des fonctions. Monotonie, régularité, bizarrerie, périodicité des fonctions.

Domaine de fonction et domaine de fonction . Domaine de fonction est l'ensemble de toutes les valeurs valides valides de l'argument X(variable X), pour lequel la fonction y = f(x) déterminé.

Plage de fonctions est l'ensemble de toutes les valeurs réelles oui, ce que la fonction accepte.

En mathématiques élémentaires, les fonctions sont étudiées uniquement sur l’ensemble des nombres réels.2 ) Fonction zéro- la valeur de l'argument pour laquelle la valeur de la fonction est nulle.3 ) Intervalles de signe constant d'une fonction- de tels ensembles de valeurs d'arguments sur lesquels les valeurs de fonction ne sont que positives ou uniquement négatives.4 ) Monotonie de la fonction .

Fonction croissante(dans un certain intervalle) - une fonction pour laquelle valeur plus élevée l'argument de cet intervalle correspond à une valeur plus grande de la fonction.

Fonction décroissante(dans un certain intervalle) - une fonction pour laquelle une valeur plus grande de l'argument de cet intervalle correspond à une valeur plus petite de la fonction.5 ) Fonction paire (impaire) . Même fonction- une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition l'égalité f(-x) = f(x). Calendrier même fonction symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Fonction étrange- une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition, l'égalité est vraie f (-x) = - f (x). Calendrier fonction impaire symétrique par rapport à l'origine.6 ) Fonctions limitées et illimitées. La fonction s'appelle limité, s'il existe un nombre positif M tel que |f (x) | ≤ M pour toutes les valeurs de x. Si un tel nombre n’existe pas, alors la fonction est illimité .7) Périodicité de la fonction. Fonction f(x) - périodique, s'il existe un nombre non nul T tel que pour tout x du domaine de définition de la fonction, ce qui suit est valable : f (x+T) = f (x). Ce le plus petit nombre appelé période de la fonction. Toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques. (Formules trigonométriques).

Fonctions périodiques. Règles pour trouver la période principale d'une fonction.

Fonction périodique- une fonction qui répète ses valeurs après une période non nulle, c'est-à-dire qu'elle ne change pas de valeur lorsqu'un nombre fixe non nul (point) est ajouté à l'argument. Toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques. Sont infidèles déclarations concernant le montant fonctions périodiques: Somme de 2 fonctions à périodes comparables (voire basiques) T 1 et T 2 est une fonction avec période LCM ( T 1 ,T 2). Montant 2 fonctions continues avec des périodes incommensurables (même basiques) est une fonction non périodique. Il n'y a pas de fonctions périodiques égal à une constante, dont les périodes sont des nombres incommensurables.

Tracer des graphiques de fonctions de puissance.

Fonction de puissance. Voici la fonction : y = hache n, Où un- permanent. À n= 1 on obtient proportionnalité directe : oui =hache; à n = 2 - parabole carrée ; à n = 1 - proportionnalité inverse ou hyperbole. Ces fonctions sont donc des cas particuliers de la fonction puissance. Nous savons que la puissance nulle de tout nombre autre que zéro est 1, donc lorsque n = 0 fonction de puissance se transforme en valeur constante: oui =un, c'est à dire. son graphique est une droite parallèle à l'axe X, à l'exclusion de l'origine (veuillez expliquer pourquoi ?). Tous ces cas (avec un= 1) sont illustrés à la Fig. 13 ( n 0) et la figure 14 ( n < 0). Отрицательные значения X ne sont pas abordées ici, puisque certaines fonctions :

Fonction inverse

Fonction inverse- une fonction qui inverse la dépendance exprimée par cette fonction. Une fonction est inverse d'une fonction si les identités suivantes sont satisfaites : pour tout pour tous

Limite d'une fonction en un point. Propriétés de base de la limite.

La nième racine et ses propriétés.

La racine nième d'un nombre est un nombre dont la puissance nième est égale à a.

Définition : Une racine arithmétique de la puissance n de a est un nombre non négatif dont la puissance n est égale à a.

Propriétés de base des racines :

Une puissance avec un exposant réel arbitraire et ses propriétés.

Soit un nombre positif et un nombre réel arbitraire. Le nombre s’appelle la puissance, le nombre est la base de la puissance et le nombre est l’exposant.

Par définition, ils croient :

Si - nombres positifs, et n'importe quel nombres réels, alors ils sont justes propriétés suivantes:

.

.

Fonction puissance, ses propriétés et graphiques

Fonction de puissance variable complexe F (z) = z n avec un exposant entier est déterminé en utilisant la continuation analytique d'une fonction similaire de l'argument réel. À cette fin, la forme exponentielle d’écriture des nombres complexes est utilisée. une fonction puissance à exposant entier est analytique dans tout le plan complexe, comme le produit nombre fini instances de cartographie d'identité F (z) = z. Selon le théorème d’unicité, ces deux critères suffisent pour l’unicité de la suite analytique résultante. En utilisant cette définition, nous pouvons immédiatement conclure que la fonction puissance d'une variable complexe présente des différences significatives par rapport à son homologue réelle.

Ceci est fonction de la forme , . Les cas suivants sont considérés :

UN). Si donc. Alors , ; si le nombre est pair, alors la fonction est paire (c'est-à-dire Devant tout le monde); si le nombre est impair, alors la fonction est impaire (c'est-à-dire Devant tout le monde).

Fonction exponentielle, ses propriétés et graphiques

Fonction exponentielle - fonction mathématique.

Dans le cas réel, la base du diplôme est une certaine valeur non négative nombre réel, et l'argument de la fonction est un véritable exposant.

En théorie fonctions complexes considéré plus cas général, lorsque l'argument et l'exposant peuvent être un nombre complexe arbitraire.

Dans le très vue générale - tu v, introduit par Leibniz en 1695

Il convient particulièrement de noter le cas où le nombre e sert de base au diplôme. Une telle fonction est appelée exponentielle (réelle ou complexe).

Propriétés ; ; .

Équations exponentielles.

Passons directement aux équations exponentielles. Afin de décider équation exponentielle il faut utiliser le théorème suivant : Si les puissances sont égales et les bases sont égales, positives et différentes de un, alors leurs exposants sont égaux. Démontrons ce théorème : Soit a>1 et a x =a y.

Montrons que dans ce cas x=y. Supposons le contraire de ce qui doit être prouvé, c'est-à-dire supposons que x>y ou que x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х ouais. Ces deux résultats contredisent les conditions du théorème. Par conséquent, x = y, c’est ce qui devait être prouvé.

Définition 1. Une perpendiculaire à une droite donnée est un segment de droite perpendiculaire à une droite donnée, dont l'une de ses extrémités est à leur point d'intersection. L'extrémité d'un segment situé sur une ligne donnée est appelée la base de la perpendiculaire.

Définition 2. La pente tracée d'un point donné à une ligne donnée est appelée un segment reliant ce point avec n'importe quel point sur une ligne qui n'est pas la base d'une perpendiculaire tombée du même point sur une ligne donnée. AB est perpendiculaire au plan α.

AC - oblique, CB - projection.

C est la base de l'incliné, B est la base de la perpendiculaire.

L'angle entre une ligne droite et un plan.

L'angle entre une droite et un plan Tout angle entre une ligne droite et sa projection sur ce plan est appelé.

Angle dièdre.

Angle dièdre- spatial figure géométrique, formé de deux demi-plans issus d'une même ligne droite, ainsi que d'une partie de l'espace limitée par ces demi-plans. Les demi-plans sont appelés bords angle dièdre, et leur ligne droite commune est bord. Les angles dièdres sont mesurés angle linéaire, c'est-à-dire l'angle formé par l'intersection d'un angle dièdre avec un plan perpendiculaire à son bord. Tout polyèdre, régulier ou irrégulier, convexe ou concave, possède un angle dièdre sur chaque arête.

Perpendiculaire de deux plans.

SIGNE DE PERPENDICULARITÉ DES PLANS.

Si un plan passe par une droite perpendiculaire à un autre plan, alors ces plans sont perpendiculaires.

1.1 Équations irrationnelles

Les équations irrationnelles se retrouvent souvent dans Examen d'admission en mathématiques, car avec leur aide, il est facile de diagnostiquer la connaissance de concepts tels que transformations équivalentes, domaine de définition et autres. Les méthodes de résolution d'équations irrationnelles sont généralement basées sur la possibilité de remplacer (à l'aide de certaines transformations) une équation irrationnelle par une équation rationnelle, qui est soit équivalente à l'équation irrationnelle originale, soit sa conséquence. Le plus souvent, les deux membres de l’équation sont élevés à la même puissance. L'équivalence n'est pas violée lorsque les deux camps sont élevés à une puissance étrange. Sinon, il faut vérifier les solutions trouvées ou évaluer le signe des deux côtés de l'équation. Mais il existe d’autres techniques qui pourraient s’avérer plus efficaces pour résoudre des équations irrationnelles. Par exemple, la méthode substitution trigonométrique.

Exemple 1 : Résoudre l'équation

Depuis lors. On peut donc mettre . L'équation prendra la forme

Mettons où, alors

.

.

Répondre: .

Solution algébrique

Depuis lors . Moyens, , afin que vous puissiez étendre le module

.

Répondre: .

Résoudre l'équation algébriquement nécessite de bonnes compétences pour effectuer des transformations identiques et une gestion compétente des transitions équivalentes. Mais en général, les deux méthodes de décision sont équivalentes.

Exemple 2 : Résoudre l'équation

.

Solution utilisant la substitution trigonométrique

Le domaine de définition de l’équation est donné par l’inégalité, qui équivaut alors à la condition. Vous pouvez donc mettre . L'équation prendra la forme

Depuis lors. Ouvrons le module interne

Mettons , Alors

.

La condition est satisfaite par deux valeurs et .

.

.

Répondre: .

Solution algébrique

.

Mettons au carré l'équation du premier système de population et obtenons

Qu'il en soit ainsi. L'équation sera réécrite comme

En vérifiant on établit qu'il s'agit d'une racine, puis en divisant le polynôme par un binôme on obtient la décomposition du côté droit de l'équation en facteurs

Passons de variable en variable, on obtient

.

Condition satisfaire deux valeurs

.

En substituant ces valeurs dans l'équation d'origine, nous constatons que c'est la racine.

En résolvant de la même manière l’équation du deuxième système de l’ensemble original, nous constatons qu’il s’agit également d’une racine.

Répondre: .

Si dans l’exemple précédent la solution algébrique et la solution utilisant la substitution trigonométrique étaient équivalentes, alors dans dans ce cas la solution par substitution est plus rentable. Lorsque vous résolvez une équation en utilisant l’algèbre, vous devez résoudre un ensemble de deux équations, c’est-à-dire le mettre au carré deux fois. Après cette transformation inégale, on obtient deux équations du quatrième degré à coefficients irrationnels, qui peuvent être éliminées par substitution. Une autre difficulté consiste à vérifier les solutions trouvées en les substituant dans l'équation originale.

Exemple 3 : Résoudre l'équation

.

Solution utilisant la substitution trigonométrique

Depuis lors. Notez qu’une valeur négative de l’inconnu ne peut pas être une solution au problème. En effet, transformons l'équation originale sous la forme

.

Le facteur entre parenthèses du côté gauche de l’équation est positif, le côté droit de l’équation est également positif, donc le facteur du côté gauche de l’équation ne peut pas être négatif. C'est pourquoi, alors, c'est pourquoi vous pouvez mettre L'équation originale sera réécrite comme

Depuis, alors et . L'équation prendra la forme

Laisser . Passons de l'équation à un système équivalent

.

Les nombres et sont les racines de l'équation quadratique

.

Solution algébrique Mettons au carré les deux côtés de l'équation

Présentons le remplacement , alors l'équation s'écrira sous la forme

La deuxième racine est superflue, alors considérons l'équation

.

Depuis lors.

Dans ce cas, la solution algébrique dans techniquement plus simple, mais il est nécessaire de considérer la solution donnée en utilisant la substitution trigonométrique. Cela est dû, d'une part, au caractère non standard de la substitution elle-même, qui détruit le stéréotype selon lequel l'utilisation de la substitution trigonométrique n'est possible que lorsque. Il s'avère que la substitution trigonométrique trouve également une application. Deuxièmement, il est difficile de résoudre l'équation trigonométrique , qui est réduit en introduisant une substitution dans un système d'équations. Dans un certain sens, ce remplacement peut également être considéré comme non standard, et sa connaissance vous permet d'enrichir votre arsenal de techniques et de méthodes de résolution d'équations trigonométriques.

Exemple 4 : Résoudre l'équation

.

Solution utilisant la substitution trigonométrique

Puisque la variable peut prendre n'importe quel de vraies valeurs, mettons . Alors

,

Parce que .

L'équation originale, compte tenu des transformations effectuées, prendra la forme

Puisque nous divisons les deux côtés de l’équation par , nous obtenons

Laisser , Alors . L'équation prendra la forme

.

Étant donné la substitution , on obtient un ensemble de deux équations

.

Résolvons chaque équation de l'ensemble séparément.

.

Ne peut pas être une valeur sinusoïdale, car pour toutes les valeurs de l'argument.

.

Parce que et le côté droit de l’équation originale est positif, alors . D'où il résulte que .

Cette équation n'a pas de racines, puisque .

Ainsi, l’équation originale a une seule racine

.

Solution algébrique

Cette équation peut facilement être « transformée » en une équation rationnelle du huitième degré en mettant au carré les deux côtés de l’équation originale. Trouver les racines de l’équation rationnelle résultante est difficile, et il est nécessaire d’avoir haut degré ingéniosité pour faire face à la tâche. Il convient donc de connaître une autre façon de résoudre, moins traditionnelle. Par exemple, la substitution proposée par I. F. Sharygin.

Mettons , Alors

Transformons-nous côté droitéquations :

Compte tenu des transformations, l'équation prendra la forme

.

Introduisons le remplacement, puis

.

La deuxième racine est donc superflue et .

Si l'idée pour résoudre l'équation n'est pas connue à l'avance , alors résoudre la solution standard en mettant au carré les deux côtés de l'équation est problématique, car le résultat est une équation du huitième degré dont les racines sont extrêmement difficiles à trouver. La solution utilisant la substitution trigonométrique semble lourde. Il peut être difficile de trouver les racines d’une équation si l’on ne remarque pas qu’elle est réciproque. La solution de cette équation se produit à l’aide d’un appareil d’algèbre, on peut donc dire que la solution proposée est une solution combinée. Dans ce document, les informations de l'algèbre et de la trigonométrie travaillent ensemble dans un seul objectif : obtenir une solution. De plus, la résolution de cette équation nécessite un examen attentif de deux cas. La solution par substitution est techniquement plus simple et plus belle que la substitution trigonométrique. Il est conseillé aux élèves de connaître cette méthode de substitution et de l'utiliser pour résoudre des problèmes.

Nous soulignons que le recours à la substitution trigonométrique pour résoudre des problèmes doit être conscient et justifié. Il est conseillé d'utiliser la substitution dans les cas où la solution d'une autre manière est plus difficile ou totalement impossible. Donnons un autre exemple qui, contrairement au précédent, peut être résolu plus facilement et plus rapidement en utilisant la méthode standard.