Simple règles mathématiques et les techniques, si elles ne sont pas utilisées constamment, sont oubliées très rapidement. Les termes disparaissent de la mémoire encore plus rapidement.
L'un d'eux gestes simples– convertir une fraction impropre en une fraction propre ou, en d’autres termes, une fraction mixte.
Fraction impropre
Une fraction impropre est une fraction dans laquelle le numérateur (le nombre au-dessus de la ligne) est supérieur ou égal au dénominateur (le nombre au-dessous de la ligne). Cette fraction est obtenue en additionnant des fractions ou en multipliant une fraction par un nombre entier. Selon les règles mathématiques, une telle fraction doit être convertie en une fraction propre.
Fraction appropriée
Il est logique de supposer que toutes les autres fractions sont dites propres. Définition stricte - une fraction dont le numérateur est inférieur au dénominateur. Une fraction comportant une partie entière est parfois appelée fraction mixte.
Conversion d'une fraction impropre en fraction propre
- Premier cas : le numérateur et le dénominateur sont égaux. Le résultat de la conversion d’une telle fraction est un. Peu importe que ce soit les trois tiers ou cent vingt-cinq cent vingt-cinquième. Essentiellement, une telle fraction désigne l’action de diviser un nombre par lui-même.
- Deuxième cas : le numérateur est supérieur au dénominateur. Ici, vous devez vous rappeler la méthode de division des nombres avec un reste.
Pour ce faire, vous devez trouver le nombre le plus proche de la valeur du numérateur, qui est divisible par le dénominateur sans reste. Par exemple, vous avez la fraction dix-neuf tiers. La plupart numéro proche qui peut être divisé par trois fait dix-huit. Cela fait six. Soustrayez maintenant le nombre obtenu du numérateur. Nous en obtenons un. C'est le reste. Notez le résultat de la conversion : six entiers et un tiers.
Mais avant de réduire la fraction à le bon genre, vous devez vérifier s'il peut être raccourci.
Vous pouvez réduire une fraction si le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun. C'est-à-dire un nombre par lequel les deux sont divisibles sans reste. S'il existe plusieurs diviseurs de ce type, vous devez trouver le plus grand.
Par exemple, tous les nombres pairs ont un diviseur commun : deux. Et la fraction seize douzièmes a un autre diviseur commun - quatre. Ce plus grand diviseur. Divisez le numérateur et le dénominateur par quatre. Résultat de la réduction : quatre tiers. Maintenant, pour vous entraîner, convertissez cette fraction en une fraction appropriée.
Instructions
Trouvez le numérateur de la fraction résultante, qui devrait rester après en avoir séparé la partie entière. Pour ce faire, multipliez la partie entière calculée (20) par le dénominateur (23) et soustrayez le résultat (20*23=460) du numérateur de la fraction d'origine (475). Cette opération peut également se faire dans votre tête, dans une colonne ou à l'aide d'une calculatrice (475-460=15).
Collecter les données calculées dans un seul enregistrement dans un formulaire fraction mixte- écrivez d'abord toute la partie (20), puis , puis écrivez la bonne avec le numérateur (15) et (23). Pour l'exemple utilisé comme échantillon, la transformation d'une fraction impropre en une fraction propre (plus précisément en une fraction mixte) peut s'écrire comme suit : 475/23=20 15/23.
Souvent, vous devez diviser quelque chose en parties, et les parties en lesquelles le tout est divisé sont des fractions. En mathématiques, il existe plusieurs types de fractions : décimales (0,1 ; 2,5 et ainsi de suite) et ordinaires (1/3 ; 5/9 ; 67/89 et ainsi de suite). Ce sont les fractions ordinaires qui sont propres et impropres.
Instructions
Ordinaire fraction est dit correct si le nombre dans son numérateur est moins de nombre, debout au dénominateur. La réduction des fractions est faite pour travailler avec le moins grands nombres.
Instructions
Pour convertir un nombre mixte
Pas fraction propre est l'un des formats pour écrire une fraction commune. Comme toute fraction ordinaire, elle comporte un nombre au-dessus de la ligne (numérateur) et en dessous - le dénominateur. Si le numérateur est supérieur au dénominateur, c'est poinçonner fractions irrégulières. Une fraction mixte peut être convertie sous cette forme. La décimale peut également être représentée sous la forme de notation irrégulière, mais seulement si le point de séparation est précédé d'un nombre autre que zéro.
Instructions
Dans un format de fraction mixte, le numérateur et le dénominateur sont séparés de la partie entière par un espace. Pour convertir une telle entrée en , multipliez d'abord sa partie entière (le nombre avant l'espace) par le dénominateur de la partie fractionnaire. Ajoutez la valeur résultante au numérateur. La valeur ainsi calculée sera le numérateur de la fraction impropre et mettra le dénominateur de la fraction mixte dans son dénominateur sans aucun changement. Par exemple, 5 7/11 au format irrégulier ordinaire peut s'écrire comme suit : (5*11+7)/11 = 62/11.
Pour convertir une fraction décimale en une notation ordinaire incorrecte, déterminez le nombre de chiffres après la virgule décimale séparant la partie entière de la partie fractionnaire - il est égal au nombre de chiffres à droite de cette virgule décimale. Utilisez le nombre obtenu comme indicateur de la puissance à laquelle vous devez augmenter dix pour calculer le dénominateur de la fraction impropre. Le numérateur est obtenu sans aucun calcul - supprimez simplement la virgule de la fraction décimale. Par exemple, si la fraction décimale d'origine est 12,585, le numérateur de la fraction irrégulière correspondante doit contenir le nombre 10³ = 1000 et le dénominateur - 12585 : 12,585 = 12585/1000.
Comme toutes les fractions ordinaires, elles peuvent et doivent être réduites. Pour ce faire, après avoir obtenu le résultat en utilisant les méthodes décrites dans les deux étapes précédentes, essayez de sélectionner le plus grand commun diviseur pour le numérateur et le dénominateur. Si vous y parvenez, divisez par ce que vous avez trouvé des deux côtés de la ligne de fraction. Pour l’exemple de la deuxième étape, un tel diviseur sera le nombre 5, donc fraction impropre peut être réduit : 12,585 = 12585/1000 = 2517/200. Mais pour l’exemple de la première étape, il n’y a pas de diviseur commun, il n’est donc pas nécessaire de réduire la fraction impropre résultante.
Vidéo sur le sujet
Les fractions décimales sont plus pratiques pour les calculs automatisés que les fractions naturelles. Tout naturel fraction peut être converti en nombres naturels soit sans perte de précision, soit avec une précision de quantité donnée décimales, en fonction de la relation entre le numérateur et le dénominateur.
Instructions
Si nécessaire, arrondissez le résultat au nombre de décimales requis. Les règles d'arrondi sont les suivantes : si le chiffre le plus élevé à supprimer contient un chiffre de 0 à 4, alors le chiffre le plus élevé suivant (qui n'est pas supprimé) ne change pas, et si le chiffre est de 5 à 9, il augmente de un. Si la dernière de ces opérations est soumise au chiffre portant le chiffre 9, l'unité est transférée vers un autre chiffre, encore plus ancien, comme une colonne. Attention, l'arrondi au nombre de places familières disponibles ne permet pas toujours d'effectuer cette opération. Parfois, il y a des bits cachés dans sa mémoire qui ne sont pas affichés sur l'indicateur. Logarithmique, ayant une faible précision (jusqu'à deux décimales), permet souvent d'arrondir à le côté droit mieux.
Si vous constatez qu’une certaine séquence de nombres est répétée après une virgule décimale, placez cette séquence entre parenthèses. On en dit qu'il est localisé "" car il se répète périodiquement. Par exemple, nombre 53.7854785478547854... peut s'écrire 53,(7854).
Une fraction propre, dont la valeur est supérieure à un, se compose de deux parties : un entier et une fraction. Tout d’abord, divisez le numérateur de la fraction par son dénominateur. Ajoutez ensuite le résultat de la division avec partie entière. Puis, si nécessaire, arrondissez le résultat à quantité requise décimales ou recherchez la périodicité et mettez-la en surbrillance entre parenthèses.
Les fractions décimales sont faciles à utiliser. Ils sont reconnus par les calculatrices et de nombreux programmes informatiques. Mais parfois il faut, par exemple, établir un prorata. Pour ce faire, vous devrez convertir la fraction décimale en fraction ordinaire. Cela ne sera pas difficile si vous faites une courte excursion dans programme scolaire.
Instructions
Réduisez la partie fractionnaire du résultat. Pour ce faire, le numérateur et le dénominateur de la fraction doivent être divisés par le même diviseur. DANS dans ce cas c'est le chiffre "5". Ainsi, « 5/10 » est converti en « 1/2 ».
Choisissez un nombre pour que le résultat de sa multiplication par le dénominateur soit 10. Raison à l'envers : est-il possible de transformer le nombre 4 en 10 ? Réponse : non, car 10 n’est pas divisible par 4. Alors 100 ? Oui, 100 est divisé par 4 sans reste, le résultat est 25. Multipliez le numérateur et le dénominateur par 25 et écrivez la réponse en décimal:
¼ = 25/100 = 0,25.
Il n'est pas toujours possible d'utiliser la méthode de sélection ; il existe deux autres méthodes. Leur principe est pratiquement le même, seul l'enregistrement diffère. L'un d'eux est l'attribution progressive des décimales. Exemple : convertissez la fraction 1/8.
Chaque homme moderne pendant mes années d'école pendant la décision problèmes mathématiques J’ai souvent été confronté à divers problèmes impliquant des fractions. Il y en a beaucoup, il est donc logique d'envisager diverses options pour résoudre les problèmes similaires les plus fondamentaux.
Fractions propres et impropres
Le nombre du haut de toute fraction est appelé le numérateur, tandis que le nombre du bas est le dénominateur. Les fractions ordinaires sont des quotients de deux nombres. De plus, l'un de ces nombres est au numérateur de la fraction et le second, par conséquent, est le dénominateur de cette fraction. Les types de ces fractions ordinaires sont déterminés en comparant les valeurs de leur dénominateur et de leur numérateur.
Fraction appropriée
Dans le cas où le dénominateur d'une fraction est nombre naturel, qui dans sa valeur est supérieure à son numérateur, également un nombre naturel, alors la fraction est dite propre. Des exemples pourraient être : 8/19 ; 14/09 ; 31/162 ; 5/37 et ainsi de suite.
Si le dénominateur d'une fraction est inférieur ou égal à son numérateur, alors une telle fraction est déjà dite impropre. Par exemple, ce sont : 7/4 ; 19/6 ; 15/3 ; 231/83 et similaires.
Pourquoi convertir une fraction impropre en fraction propre ?
Une telle manipulation mathématique est nécessaire si une opération est effectuée avec plusieurs fractions, par exemple si elles sont additionnées.
Conseil
S'il existe une fraction mixte, vous devez d'abord la convertir en fraction impropre, puis effectuer d'autres opérations mathématiques.
Conversion en fraction impropre
Pour transformer une fraction mixte en une fraction impropre, vous devez d'abord multiplier sa partie entière par le dénominateur de sa partie fractionnaire, puis ajouter le numérateur à ce travail. Ensuite, la somme est prise comme numérateur, mais avec le même dénominateur que précédemment. Pour convertir une fraction impropre en fraction propre, vous devrez diviser le numérateur d’une telle fraction impropre par son dénominateur. De plus, l'entier obtenu de cette manière doit être considéré comme la partie entière de la fraction, tandis que le reste, s'il y en a un, doit bien sûr devenir le numérateur de la partie fractionnaire de la fraction propre. Le dénominateur s’écrit de la même manière. Pour convertir une fraction impropre en décimal, vous devez d'abord déterminer s'il existe un facteur qui vous permet de réduire le dénominateur de sa partie fractionnaire au format irrégulier à un nombre égal à dix ou dix élevé à n'importe quel nombre. pouvoir. C'est-à-dire 10, 100, 1000 et ainsi de suite. S'il existe un tel facteur, vous devez alors multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur de la fraction impropre par ce facteur, le vérifiant ainsi pour ainsi dire. Et puis le numérateur multiplié devra être ajouté, séparé par une virgule, à la partie entière de la fraction impropre.
Ne peut pas être converti en arrondissant aux dixièmes
Dans le cas où un tel facteur n'existe pas en tant que tel, cela signifie qu'une telle fraction impropre n'a pas d'équivalent clair sous forme décimale. En termes simples, toutes les fractions impropres ne peuvent pas être converties en nombre décimal. Dans ce cas, vous devrez trouver la valeur approximative et maximale correspondante de la fraction. Tout dépend du degré de précision requis dans les conditions d'une tâche particulière. Calculer fraction donnée Le plus simple est d’utiliser une calculatrice, mais vous pouvez aussi le faire mentalement ou simplement dans une colonne. Par exemple, "41/7 = 5(6/7) = 5,9", ceci est arrondi au dixième le plus proche, ou "= 5,86" lorsqu'il est arrondi au centième est requis, et également "= 5,857" lorsqu'il est arrondi au dixième le plus proche. millièmes De nombreuses fractions ne peuvent pas être clairement converties en décimales, il est donc plus facile de les compter non pas dans votre tête ou dans une colonne, mais à l'aide d'une calculatrice.
Conclusion:
Sans manipuler les fractions, il n'est pas possible de faire quoi que ce soit. cours scolaire mathématiques. Et dans la vie de tous les jours, il est rare que l'on ait affaire uniquement à des nombres entiers. Par conséquent, tout le monde doit être capable de convertir des fractions régulières en fractions impropres ou de les convertir en fractions mixtes. C'est très simple et vous pouvez donc vous rappeler comment le faire littéralement après quelques exemples pratiques, résolu sur papier, puis en général - dans l'esprit. AVEC décimales la situation est quelque peu différente et tout ne peut pas être converti avec précision sous forme décimale.
Fractions mathématiques
Dans ce document, nous examinerons le concept de nombres fractionnaires. Commençons, comme toujours, par une définition et de petits exemples, puis nous expliquerons le lien entre les nombres fractionnaires et les fractions impropres. Après cela, nous apprendrons comment séparer correctement la partie entière d'une fraction et obtenir ainsi un nombre entier.
Notion de nombre mixte
Si nous prenons la somme n + a b, où la valeur de n peut être n'importe quel nombre naturel et a b est une fraction ordinaire propre, alors nous pouvons écrire la même chose sans utiliser a plus : n a b. Prenons des nombres spécifiques pour plus de clarté : par exemple, 28 + 5 7 est identique à 28 5 7. Écrire une fraction à côté d’un nombre entier s’appelle un nombre fractionnaire.
Définition 1
Numéro mixte représente un nombre égal à la somme de l'entier naturel n avec la fraction ordinaire appropriée a b. Dans ce cas, n est la partie entière du nombre et a b est sa partie fractionnaire.
De la définition, il s'ensuit que tout nombre fractionnaire est égal à ce qui est obtenu en additionnant ses parties entières et fractionnaires. Ainsi, l'égalité n a b = n + a b sera satisfaite.
Il peut également s'écrire n + a b = n a b.
Quels sont quelques exemples de nombres fractionnaires ? Ainsi, ils incluent 5 1 8, tandis que cinq est sa partie entière et un huitième est une fraction. Autres exemples : 1 1 2, 234 34 53, 34000 6 25.
Nous avons écrit ci-dessus que la partie fractionnaire d'un nombre fractionnaire ne doit contenir qu'une fraction propre. Parfois, vous pouvez trouver des entrées telles que 5 22 3, 75 7 2. Ils ne sont pas nombres mixtes, parce que leur partie fractionnaire faux. Ils doivent être compris comme la somme des parties entières et fractionnaires. Ces chiffres peuvent être réduits à vue standardécrire des nombres fractionnaires en retirant la partie entière de la fraction impropre et en l'ajoutant respectivement à 5 et 75 dans ces exemples.
Les nombres de la forme 0 3 14 ne sont pas non plus mélangés. La première partie de la condition n'est pas satisfaite ici : la partie entière doit être représentée uniquement par un nombre naturel, et zéro n'est pas un.
Comment les fractions impropres et les nombres fractionnaires sont liés les uns aux autres
Cette connexion est plus facile à voir avec un exemple spécifique.
Exemple 1
Prenons un gâteau entier et encore les trois quarts du même. Selon les règles d'addition, nous avons 1 + 3 4 gâteaux sur la table. Ce montant peut être exprimé sous forme de nombre fractionnaire comme 1 3 4 gâteaux. Si nous prenons un gâteau entier et le coupons également en quatre parties égales, nous aurons alors 7 4 gâteaux sur la table. Évidemment, la quantité n’a pas augmenté suite à la coupe, et 1 3 4 = 7 4.
Notre exemple prouve que toute fraction impropre peut être représentée comme un nombre fractionnaire.
Revenons à nos 7 4 gâteaux restant sur la table. Remontons un gâteau à partir de ses morceaux (1 + 3 4). Nous aurons à nouveau 1 3 4.
Répondre: 7 4 = 1 3 4 .
Nous comprenons comment convertir une fraction impropre en nombre fractionnaire. Si le numérateur d'une fraction impropre contient un nombre qui peut être divisé par le dénominateur sans reste, alors nous pouvons le faire, et notre fraction impropre deviendra alors un nombre naturel.
Exemple 2
Par exemple,
8 4 = 2, puisque 8 : 4 = 2.
Comment convertir un nombre fractionnaire en fraction impropre
Pour réussir à résoudre des problèmes, il est utile de pouvoir effectuer l’action inverse, c’est-à-dire former des fractions impropres à partir de nombres fractionnaires. Dans ce paragraphe, nous verrons comment procéder correctement.
Pour ce faire, vous devez reproduire la séquence d'actions suivante :
1. Pour commencer, imaginez le nombre fractionnaire disponible n a b comme la somme des parties entières et fractionnaires. Il s'avère que n + a b
3.Après cela, nous effectuons l'action déjà familière - ajoutez deux fractions ordinaires n 1 et a b. La fraction impropre résultante sera égale au nombre fractionnaire donné dans la condition.
Examinons cette action à l'aide d'un exemple spécifique.
Exemple 3
Exprimez 5 3 7 comme une fraction impropre.
Solution
Nous effectuons les étapes de l'algorithme ci-dessus de manière séquentielle. Notre nombre 5 3 7 est la somme des parties entières et fractionnaires, c'est-à-dire 5 + 3 7. Écrivons maintenant les cinq sous la forme 5 1. Nous avons la somme 5 1 + 3 7.
La dernière étape consiste à additionner des fractions avec différents dénominateurs :
5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7
Toute solution à forme abrégée peut s'écrire 5 3 7 = 5 + 3 7 = 5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7.
Répondre: 5 3 7 = 38 7 .
Ainsi, en utilisant la chaîne d’actions ci-dessus, nous pouvons convertir n’importe quel nombre fractionnaire n a b en une fraction impropre. Nous avons la formule n a b = n b + a b, que nous utiliserons pour résoudre d'autres problèmes.
Exemple 4
Exprimez 15 2 5 comme fraction impropre.
Solution
Prenons la formule indiquée et substituons-la valeurs requises. Nous avons n = 15, a = 2, b = 5, donc 15 2 5 = 15 5 + 2 5 = 77 5.
Répondre: 15 2 5 = 77 5 .
Nous n’incluons généralement pas de fraction impropre comme réponse finale. Il est d'usage de compléter le calcul et de le remplacer soit par un nombre naturel (en divisant le numérateur par le dénominateur), soit par un nombre fractionnaire. En règle générale, la première méthode est utilisée lorsque la division du numérateur par le dénominateur est possible sans reste, et la seconde méthode est utilisée lorsqu'une telle action est impossible.
Lorsque nous isolons la partie entière d’une fraction impropre, nous la remplaçons simplement par un nombre fractionnaire égal.
Voyons exactement comment cela se fait.
Définition 2
Donnons une preuve de cette affirmation.
Nous devons expliquer pourquoi q r b = a b . Pour ce faire, le nombre fractionnaire q r b doit être représenté comme une fraction impropre, en suivant toutes les étapes de l'algorithme du paragraphe précédent. Puisque est un quotient incomplet et que r est le reste de la division de a par b, alors l'égalité a = b · q + r doit être vérifiée.
Ainsi, q b + r b = a b donc q r b = a b. C'est la preuve de notre affirmation. Résumons :
Définition 3
L'isolement de la partie entière d'une fraction impropre a b s'effectue de cette manière :
1) divisez a par b avec un reste et notez séparément le quotient incomplet q et le reste r.
2) On écrit les résultats sous la forme q r b. C'est notre nombre fractionnaire, égal à la fraction impropre originale.
Exemple 5
Considérez 107 4 comme un nombre mixte.
Solution
Divisez 104 par 7 à l'aide d'une colonne :
En divisant le numérateur a = 118 par le dénominateur b = 7, nous obtenons le quotient partiel final q = 16 et le reste r = 6.
En conséquence, nous obtenons que la fraction impropre 118 7 est égale au nombre fractionnaire q r b = 16 6 7.
Répondre: 118 7 = 16 6 7 .
Il suffit de voir comment remplacer une fraction impropre par un nombre naturel (à condition que son numérateur soit divisible par le dénominateur sans reste).
Pour ce faire, rappelons quel lien existe entre fractions ordinaires et division. De là, nous pouvons déduire les égalités suivantes : a b = a : b = c. Il s'avère que la fraction impropre a b peut être remplacée par un nombre naturel c.
Exemple 6
Par exemple, si la réponse s'avère être une fraction impropre 27 3, alors nous pouvons écrire 9 à la place, puisque 27 3 = 27 : 3 = 9.
Répondre: 27 3 = 9 .
Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée
