Le théorème de Pythagore est connu de tous depuis temps scolaire. Mathématicien exceptionnel prouvé super hypothèse, que de nombreuses personnes utilisent actuellement. La règle est la suivante : le carré de la longueur de l'hypoténuse triangle rectangle égal à la somme carrés de jambes. Pendant de nombreuses décennies, pas un seul mathématicien n’a été en mesure d’argumenter cette règle. Après tout, Pythagore a mis beaucoup de temps à atteindre son objectif, de sorte que les dessins se dérouleraient dans la vie de tous les jours.

Un petit verset de ce théorème, qui a été inventé peu de temps après la preuve, prouve directement les propriétés de l'hypothèse : « Pantalon pythagoricienégaux dans toutes les directions. » Ce vers de deux vers est gravé dans la mémoire de nombreuses personnes - à ce jour, le poème reste gravé dans les mémoires lors des calculs.
Ce théorème a été appelé « Pantalon de Pythagore » en raison du fait qu'en dessinant au milieu, on obtenait un triangle rectangle, avec des carrés de chaque côté. En apparence, ce dessin ressemblait à un pantalon - d'où le nom de l'hypothèse.
Pythagore était fier du théorème qu'il a développé, car cette hypothèse diffère des hypothèses similaires nombre maximum preuve Important : l'équation a été incluse dans le Livre Guinness des Records grâce à 370 preuves vraies.
L'hypothèse s'est avérée quantité énorme mathématiciens et professeurs de différents paysà bien des égards. Le mathématicien anglais Jones a rapidement annoncé l'hypothèse et l'a prouvée à l'aide d'une équation différentielle.
À l’heure actuelle, personne ne connaît la démonstration du théorème par Pythagore lui-même.. Les faits sur les preuves d'un mathématicien ne sont connus de personne aujourd'hui. On pense que la preuve des dessins d'Euclide est la preuve de Pythagore. Cependant, certains scientifiques contestent cette affirmation : beaucoup pensent qu'Euclide a prouvé le théorème de manière indépendante, sans l'aide du créateur de l'hypothèse.
Les scientifiques d'aujourd'hui ont découvert que grand mathématicien n'était pas le premier à découvrir cette hypothèse. L'équation était connue bien avant sa découverte par Pythagore. Ce mathématicien n'a pu que réunir l'hypothèse.
Pythagore n’a pas donné à l’équation le nom de « Théorème de Pythagore ».. Ce nom est resté après le « deux lignes bruyantes ». Le mathématicien voulait seulement que le monde entier connaisse et utilise ses efforts et ses découvertes.
Moritz Cantor, le grand mathématicien, a trouvé et vu des notes avec des dessins sur des papyrus anciens. Peu de temps après, Cantor réalisa que ce théorèmeétait connu des Égyptiens dès 2300 avant JC. Seulement alors, personne n’en a profité ni n’a essayé de le prouver.
Les scientifiques actuels pensent que l'hypothèse était connue au 8ème siècle avant JC.. Les scientifiques indiens de l'époque ont découvert un calcul approximatif de l'hypoténuse d'un triangle doté d'angles droits. Certes, à cette époque, personne n'était en mesure de prouver l'équation avec certitude à l'aide de calculs approximatifs.
Le grand mathématicien Bartel van der Waerden, après avoir prouvé l'hypothèse, conclut conclusion importante : « Le mérite du mathématicien grec n'est pas considéré comme la découverte de la direction et de la géométrie, mais seulement sa justification. Pythagore avait entre les mains des formules de calcul basées sur des hypothèses, des calculs inexacts et des idées vagues. Cependant, un scientifique exceptionnel a réussi à en faire une science exacte.
Le célèbre poète a déclaré que le jour de la découverte de son dessin, il avait érigé un glorieux sacrifice pour les taureaux.. C’est après la découverte de l’hypothèse que des rumeurs commencèrent à se répandre selon lesquelles le sacrifice d’une centaine de taureaux « allait errer dans les pages des livres et des publications ». À ce jour, on plaisante en disant que depuis lors, tous les taureaux ont eu peur de la nouvelle découverte.
Preuve que ce n'est pas Pythagore qui a inventé le poème sur le pantalon pour prouver les dessins qu'il propose : Durant la vie du grand mathématicien, il n'y avait pas encore de pantalon. Ils ont été inventés plusieurs décennies plus tard.
Les réflexions de Pythagore sur propre règle: le secret de l'existence sur terre réside dans les chiffres. Après tout, le mathématicien, s'appuyant sur sa propre hypothèse, a étudié les propriétés des nombres, identifié la paire et l'impair et créé des proportions.

« Les pantalons pythagoriciens sont égaux de tous côtés.
Pour le prouver, nous devons le filmer et le montrer.

Ce poème est connu de tous lycée, depuis qu'on a étudié le célèbre théorème de Pythagore en cours de géométrie : le carré de la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des branches. Bien que Pythagore lui-même ne portait jamais de pantalons, à cette époque, les Grecs n'en portaient pas. Qui est Pythagore ?
Pythagore de Samos de lat. Pythagore, diffuseur pythique (570-490 av. J.-C.) - philosophe, mathématicien et mystique grec ancien, créateur de l'école religieuse et philosophique des Pythagoriciens.
Parmi les enseignements contradictoires de ses professeurs, Pythagore cherchait un lien vivant, une synthèse d'un seul grand tout. Il s'est fixé un objectif : trouver le chemin menant à la lumière de la vérité, c'est-à-dire expérimenter la vie dans l'unité. A cet effet, Pythagore a visité l'ensemble monde antique. Il croyait qu'il devait élargir ses horizons déjà larges en étudiant toutes les religions, doctrines et cultes. Il vécut parmi les rabbins et apprit beaucoup de choses sur les traditions secrètes de Moïse, le législateur d'Israël. Puis il visita l'Egypte, où il fut initié aux Mystères d'Adonis, et, après avoir réussi à traverser la vallée de l'Euphrate, il resta longtemps chez les Chaldéens pour apprendre leur sagesse secrète. Pythagore a visité l'Asie et l'Afrique, notamment l'Hindoustan et Babylone. À Babylone, il étudia la connaissance des magiciens.
Le mérite des Pythagoriciens fut d'avancer l'idée de modèles quantitatifs développement du monde, qui a contribué au développement des connaissances mathématiques, physiques, astronomiques et connaissance géographique. La base des choses est le Nombre, enseignait Pythagore, connaître le monde signifie connaître les nombres qui le contrôlent. En étudiant les nombres, les Pythagoriciens développèrent des relations numériques et les trouvèrent dans tous les domaines. activité humaine. Pythagore enseignait en secret et ne laissait pas d’œuvres écrites. Pythagore a donné grande valeur nombre. Son vues philosophiques en grande partie à cause de représentations mathématiques. Il a dit : « Tout est nombre », « tout est nombre », soulignant ainsi un aspect de la compréhension du monde, à savoir sa mesurabilité. expression numérique. Pythagore croyait que le nombre contrôlait toutes choses, y compris les qualités morales et spirituelles. Il enseignait (selon Aristote) : « La justice... est un nombre multiplié par lui-même. » Il croyait que dans chaque objet, en plus de ses états changeants, il existe un être immuable, une certaine substance immuable. C'est le numéro. D'où l'idée principale du pythagorisme : le nombre est la base de tout ce qui existe. Les Pythagoriciens voyaient dans le nombre et dans les relations mathématiques l'explication sens caché phénomènes, lois de la nature. Selon Pythagore, les objets de la pensée sont plus réels que les objets connaissances sensorielles, puisque les nombres ont un caractère intemporel, c'est-à-dire éternel. Ils sont une sorte de réalité qui se situe au-dessus de la réalité des choses. Pythagore dit que toutes les propriétés d'un objet peuvent être détruites ou modifiées, sauf une. propriété numérique. Cette propriété est Unité. L'unité est l'existence des choses, indestructibles et indécomposables, immuables. Casser n'importe quel objet en morceaux petites particules– chaque particule en sera une. En affirmant que l’être numérique est le seul être immuable, Pythagore est arrivé à la conclusion que tous les objets sont des copies de nombres.
Il y a une unité nombre absolu L'unité a l'éternité. L'unité n'a pas besoin d'être en relation avec quoi que ce soit d'autre. Il existe tout seul. Deux n'est qu'une relation de un à un. Tous les chiffres sont uniquement
relations numériques de l'Unité, ses modifications. Et toutes les formes d'être ne sont que certains côtés de l'infini, et donc des Unités. L’Un originel contient tous les nombres, donc contient les éléments du monde entier. Les articles sont manifestations réellesêtre abstrait. Pythagore fut le premier à désigner le cosmos et tout ce qu'il contient comme un ordre établi par le nombre. Cet ordre est accessible à l'esprit et est reconnu par celui-ci, ce qui permet de voir le monde d'une toute nouvelle manière.
Le processus de cognition du monde, selon Pythagore, est le processus de cognition des nombres qui le contrôlent. Après Pythagore, le cosmos a commencé à être considéré comme ordonné par le nombre de l'univers.
Pythagore enseignait que l'âme humaine est immortelle. Il a eu l'idée de la transmigration des âmes. Il croyait que tout ce qui se passe dans le monde se répète encore et encore après certaines périodes de temps et que les âmes des morts, après un certain temps, en habitent d'autres. L'âme, en tant que nombre, représente l'Unité, c'est-à-dire l'âme est essentiellement parfaite. Mais toute perfection, dans la mesure où elle entre en mouvement, se transforme en imperfection, bien qu'elle s'efforce de retrouver son état parfait d'antan. Pythagore qualifiait d'imperfection la déviation de l'Unité ; par conséquent, deux était considéré comme un nombre maudit. L’âme de l’homme est dans un état d’imperfection relative. Il consiste en trois éléments: raison, intelligence, passion. Mais si les animaux ont aussi de l'intelligence et des passions, alors seul l'homme est doté de raison (raison). N'importe lequel de ces trois côtés peut prévaloir chez une personne, et alors la personne devient principalement soit raisonnable, soit saine d'esprit, soit sensuelle. En conséquence, il s'avère être soit un philosophe, soit une personne ordinaire, soit un animal.
Mais revenons aux chiffres. Oui, en effet, les nombres sont une manifestation abstraite de la loi philosophique fondamentale de l’Univers : l’unité des contraires.
Note. L'abstraction sert de base aux processus de généralisation et de formation de concepts. Elle - condition nécessaire catégorisation. Il forme des images généralisées de la réalité, permettant de mettre en évidence celles qui sont significatives pour certaines activités connexions et relations entre les objets.
L'unité des opposés de l'univers est constituée de forme et de contenu, la forme est une catégorie quantitative et le contenu est une catégorie qualitative. Naturellement, les nombres expriment des catégories quantitatives et qualitatives en abstraction. Par conséquent, l'addition (soustraction) de nombres est une composante quantitative de l'abstraction des Formes, et la multiplication (division) est une composante qualitative de l'abstraction des Contenus. Les nombres d'abstraction de la Forme et du Contenu sont dans une connexion inextricable de l'Unité des Opposés.
Essayons de produire opérations mathématiques, en plaçant au-dessus des chiffres connexion incassable Formes et contenus.

Regardons donc les séries de nombres.
1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1+2= 3 (3) 4+5=9 (9)… (6) 7+8=15 -1+5=6 (9). Suivant 10 – (1+0) + 11 (1+1) = (1+2= 3) - 12 –(1+2=3) (3) 13-(1+3= 4) + 14 –(1 +4=5) = (4+5= 9) (9) …15 –(1+5=6) (6) … 16- (1+6=7) + 17 – (1+7 =8) ( 7+8=15) – (1+5= 6) … (18) – (1+8=9) (9). 19 – (1+9= 10) (1) -20 – (2+0=2) (1+2=3) 21 –(2+1=3) (3) – 22- (2+2= 4 ) 23-(2+3=5) (4+5=9) (9) 24- (2+4=6) 25 – (2+5=7) 26 – (2+6= 8) – 7+ 8= 15 (1+5=6) (6) Etc.
De là on observe une transformation cyclique des Formes, qui correspond au cycle des Contenus - 1er - cycle - 3-9-6 - 6-9-3 2ème cycle - 3-9- 6 -6-9-3, etc.
6
9 9
3

Les cycles reflètent l'inversion du tore de l'Univers, où les Opposés des nombres d'abstraction de Forme et de Contenu sont 3 et 6, où 3 détermine la Compression, et 6 - l'Étirement. Le compromis pour leur interaction est le chiffre 9.
Suivant 1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1x2=2 (3) 4x5=20 (2+0=2) (6) 7x8=56 (5+6=11 1+1= 2) (9), etc.
Le cycle ressemble à ceci 2-(3)-2-(6)- 2- (9)… où 2 est l'élément constitutif du cycle 3-6-9.
Ci-dessous la table de multiplication :
2x1=2
2x2=4
(2+4=6)
2x3=6
2x4=8
2x5=10
(8+1+0 = 9)
2x6=12
(1+2=3)
2x7=14
2x8=16
(1+4+1+6=12;1+2=3)
2x9=18
(1+8=9)
Cycles -6.6- 9- 3.3 – 9.
3x1=3
3x2=6
3x3=9
3x4=12 (1+2=3)
3x5=15 (1+5=6)
3x6=18 (1+8=9)
3x7=21 (2+1=3)
3x8=24 (2+4=6)
3x9=27 (2+7=9)
Cycles 3-6-9 ; 3-6-9 ; 3-6-9.
4x1=4
4x2=8 (4+8=12 1+2=3)
4x3=12 (1+2=3)
4x4=16
4x5=20 (1+6+2+0=9)
4x6=24 (2+4=6)
4x7=28
4x8= 32 (2+8+3+2= 15 1+5=6)
4x9=36 (3+6=9)
Cycles 3.3 – 9 - 6.6 - 9.
5x1=5
5x2=10 (5+1+0=6)
5x3=15 (1+5=6)
5x4=20
5x5=25 (2+0+2+5=9)
5x6=30 (3+0=3)
5x7=35
5x8=40 (3+5+4+0=12 1+2=3)
5x9=45 (4+5=9)
Cycles -6.6 – 9 - 3.3- 9.
6x1 = 6
6x2=12 (1+2=3)
6x3=18 (1+8=9)
6x4=24 (2+4=6)
6x5=30 (3+0=3)
6x6=36 (3+6=9)
6x7=42 (4+2=6)
6x8=48 (4+8=12 1+2=3)
6x9=54 (5+4=9)
Cycle – 3-9-6 ; 3-9-6 ; 3-9.
7x1=7
7x2=14 (7+1+4= 12 1+2=3)
7x3=21 (2+1=3)
7x4=28
7x5=35 (2+8+3+5=18 1+8=9)
7x6=42 (4+2=6)
7x7=49
7x8=56 (4+9+5+6=24 2+4=6)
7x9=63 (6+3=9)
Cycles – 3,3 – 9 – 6,6 – 9.
8x1 = 8
8x2=16 (8+1+6= 15 1+5=6.
8x3=24 (2+4=6)
8x4=32
8x5=40 (3+2+4+0 =9)
8x6=48 (4+8=12 1+2=3)
8x7=56
8x8=64 (5+6+6+4= 21 2+1=3)
8x9=72 (7+2=9)
Cycles -6,6 – 9 – 3,3 – 9.
9x1=9
9x2= 18 (1+8=9)
9x3=27 (2+7=9)
9x4=36 (3+6=9)
9x5=45 (4+5=9)
9x6=54 (5+4=9)
9x7=63 (6+3=9)
9x8=72 (7+2=9)
9x9=81 (8+1=9).
Le cycle est 9-9-9-9-9-9-9-9-9.

Les chiffres de la catégorie qualitative de Contenu – 3-6-9, indiquent le noyau d'un atome avec différentes quantités les neutrons et les catégories quantitatives indiquent le nombre d'électrons dans un atome. Les éléments chimiques sont des noyaux dont les masses sont des multiples de 9 et les multiples de 3 et 6 sont des isotopes.
Note. Isotope (du grec « égal », « identique » et « lieu ») - variétés d'atomes et de noyaux de ceux-ci élément chimique avec un nombre différent de neutrons dans le noyau. Un élément chimique est un ensemble d’atomes possédant des charges nucléaires identiques. Les isotopes sont des variétés d'atomes d'un élément chimique avec charge égale noyaux, mais avec des nombres de masse différents.

Tous articles valides sont constitués d’atomes et les atomes sont définis par des nombres.
Il est donc naturel que Pythagore soit convaincu que les nombres sont des objets réels et non de simples symboles. Un nombre est un certain état d'objets matériels, l'essence d'une chose. Et Pythagore avait raison sur ce point.

Le potentiel de créativité est généralement attribué à sciences humaines, laissant naturellement l'analyse au scientifique, approche pratique et un langage sec de formules et de chiffres. Les mathématiques ne peuvent pas être classées comme matière de sciences humaines. Mais sans créativité, vous n’irez pas loin dans la « reine de toutes les sciences » – les gens le savent depuis longtemps. Depuis l’époque de Pythagore, par exemple.

Malheureusement, les manuels scolaires n'expliquent généralement pas qu'en mathématiques, il est important non seulement de fourrer des théorèmes, des axiomes et des formules. Il est important de comprendre et de ressentir ses principes fondamentaux. Et en même temps, essayez de libérer votre esprit des clichés et des vérités élémentaires - ce n'est que dans de telles conditions que naissent toutes les grandes découvertes.

De telles découvertes incluent ce que nous connaissons aujourd’hui sous le nom de théorème de Pythagore. Avec son aide, nous essaierons de montrer que les mathématiques non seulement peuvent, mais doivent être passionnantes. Et que cette aventure convient non seulement aux nerds aux lunettes épaisses, mais à tous ceux qui sont forts d'esprit et forts d'esprit.

De l'histoire du problème

À proprement parler, bien que le théorème soit appelé « théorème de Pythagore », Pythagore lui-même ne l’a pas découvert. Le triangle rectangle et ses propriétés particulières ont été étudiés bien avant lui. Il y en a deux points polaires avis sur cette question. Selon une version, Pythagore aurait été le premier à trouver une preuve complète du théorème. Selon un autre, la preuve n'appartient pas à la paternité de Pythagore.

Aujourd’hui, on ne peut plus vérifier qui a raison et qui a tort. Ce que l’on sait, c’est que la preuve de Pythagore, si elle a jamais existé, n’a pas survécu. Cependant, certains suggèrent que la célèbre preuve des Éléments d’Euclide pourrait appartenir à Pythagore, et qu’Euclide n’a fait que l’enregistrer.

On sait également aujourd'hui que des problèmes concernant un triangle rectangle se retrouvent dans des sources égyptiennes datant de l'époque du pharaon Amenemhat Ier, en babylonien. tablettes d'argile période du règne du roi Hammourabi, dans l'ancien traité indien « Sulva Sutra » et l'ancien ouvrage chinois « Zhou-bi suan jin ».

Comme vous pouvez le constater, le théorème de Pythagore occupe l’esprit des mathématiciens depuis l’Antiquité. Ceci est confirmé par environ 367 éléments de preuve différents qui existent aujourd’hui. En cela, aucun autre théorème ne peut rivaliser avec lui. Parmi les auteurs de preuves célèbres, on peut citer Léonard de Vinci et le vingtième président américain James Garfield. Tout cela témoigne de l'extrême importance de ce théorème pour les mathématiques : la plupart des théorèmes de géométrie en dérivent ou y sont liés d'une manière ou d'une autre.

Preuves du théorème de Pythagore

Les manuels scolaires donnent principalement des preuves algébriques. Mais l’essence du théorème est en géométrie, alors considérons d’abord les preuves du célèbre théorème qui sont basées sur cette science.

Preuve 1

Pour la plupart preuve simple Le théorème de Pythagore pour un triangle rectangle doit être donné conditions idéales: que le triangle soit non seulement rectangulaire, mais aussi isocèle. Il y a des raisons de croire que c’est précisément ce type de triangle que les mathématiciens de l’Antiquité envisageaient initialement.

Déclaration "Un carré construit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés construits sur ses pattes" peut être illustré par le dessin suivant :

Regardez le rectangle isocèle triangle ABC: Sur l'hypoténuse AC, vous pouvez construire un carré composé de quatre triangles égaux à l'ABC d'origine. Et sur les côtés AB et BC, un carré est construit, chacun contenant deux triangles similaires.

À propos, ce dessin a servi de base à de nombreuses blagues et dessins animés consacrés au théorème de Pythagore. Le plus célèbre est sans doute "Les pantalons pythagoriciens sont égaux dans toutes les directions":

Preuve 2

Cette méthode combine algèbre et géométrie et peut être considérée comme une variante de l’ancienne preuve indienne du mathématicien Bhaskari.

Construire un triangle rectangle avec des côtés a, b et c(Fig.1). Construisez ensuite deux carrés de côtés égaux à la somme des longueurs des deux jambes - (a+b). Dans chacun des carrés, réalisez des constructions comme sur les figures 2 et 3.

Dans le premier carré, construisez quatre triangles similaires à ceux de la figure 1. Le résultat est deux carrés : un de côté a, le second de côté b.

Dans le deuxième carré, quatre triangles semblables construits forment un carré avec un côté égal à l'hypoténuse c.

La somme des aires des carrés construits sur la figure 2 est égale à l'aire du carré que nous avons construit de côté c sur la figure 3. Cela peut être facilement vérifié en calculant l'aire des carrés de la figure. 2 selon la formule. Et l'aire du carré inscrit sur la figure 3. en soustrayant les aires de quatre triangles rectangles égaux inscrits dans le carré de l'aire d'un grand carré avec un côté (a+b).

En écrivant tout cela, nous avons : une 2 +b 2 =(une+b) 2 – 2ab. Ouvrez les supports et complétez tout le nécessaire calculs algébriques et prends ça une 2 +b 2 = une 2 +b 2. Dans ce cas, la zone inscrite sur la figure 3. le carré peut également être calculé à l'aide de la formule traditionnelle S = c 2. Ceux. une 2 +b 2 =c 2– vous avez prouvé le théorème de Pythagore.

Preuve 3

L'ancienne preuve indienne elle-même a été décrite au XIIe siècle dans le traité « La Couronne de la connaissance » (« Siddhanta Shiromani ») et comme argument principal, l'auteur utilise un appel adressé aux talents mathématiques et aux capacités d'observation des étudiants et des adeptes : « Regarder!"

Mais nous analyserons cette preuve plus en détail :

À l’intérieur du carré, construisez quatre triangles rectangles comme indiqué sur le dessin. Notons le côté du grand carré, également appelé hypoténuse, Avec. Appelons les jambes du triangle UN Et b. D'après le dessin, le côté du carré intérieur est (a-b).

Utilisez la formule pour l'aire d'un carré S = c 2 pour calculer l'aire du carré extérieur. Et en même temps, calculez la même valeur en additionnant l'aire du carré intérieur et les aires des quatre triangles rectangles : (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Vous pouvez utiliser les deux options pour calculer l'aire d'un carré afin de vous assurer qu'elles donnent le même résultat. Et cela vous donne le droit d'écrire ça c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. À la suite de la solution, vous recevrez la formule du théorème de Pythagore c 2 = une 2 + b 2. Le théorème a été prouvé.

Preuve 4

Cette curieuse preuve chinoise ancienne était appelée « chaise de la mariée » - en raison de la figure en forme de chaise qui résulte de toutes les constructions :

Il utilise le dessin que nous avons déjà vu sur la figure 3 dans la deuxième preuve. Et le carré intérieur de côté c est construit de la même manière que dans l’ancienne preuve indienne donnée ci-dessus.

Si vous coupez mentalement deux triangles rectangles verts du dessin de la figure 1, déplacez-les vers côtés opposés attachez un carré de côté c et d'hypoténuses aux hypoténuses des triangles lilas, vous obtiendrez une figure appelée « chaise de la mariée » (Fig. 2). Pour plus de clarté, vous pouvez faire la même chose avec des carrés et des triangles en papier. Vous veillerez à ce que la « chaise de la mariée » soit formée de deux carrés : des petits avec un côté b et grand avec un côté un.

Ces constructions ont permis aux anciens mathématiciens chinois et à nous, qui les avons suivis, de conclure que c 2 = une 2 + b 2.

Preuve 5

C'est une autre façon de trouver une solution au théorème de Pythagore en utilisant la géométrie. C'est ce qu'on appelle la méthode Garfield.

Construire un triangle rectangle abc. Nous devons prouver que BC2 = AC2 + AB2.

Pour ce faire, continuez la jambe CA et construire un segment CD, qui est égal à la jambe AB. Abaisser la perpendiculaire ANNONCE segment ED. Segments ED Et CA sont égaux. Reliez les points E Et DANS, et aussi E Et AVEC et obtenez un dessin comme l'image ci-dessous :

Pour prouver ce point, nous recourons à nouveau à la méthode que nous avons déjà essayée : trouvons la zone le chiffre résultant de deux manières et assimilez les expressions les unes aux autres.

Trouver l'aire d'un polygone COUCHÉ peut être fait en additionnant les aires des trois triangles qui le forment. Et l'un d'eux, URE, est non seulement rectangulaire, mais aussi isocèle. N'oublions pas non plus que AB = CD, AC = ED Et BC=SE– cela nous permettra de simplifier l’enregistrement et de ne pas le surcharger. Donc, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

En même temps, il est évident que COUCHÉ- C'est un trapèze. Par conséquent, nous calculons son aire à l'aide de la formule : SABED =(DE+AB)*1/2AD. Pour nos calculs, il est plus pratique et plus clair de représenter le segment ANNONCE comme la somme des segments CA Et CD.

Écrivons les deux façons de calculer l'aire d'une figure, en mettant un signe égal entre elles : AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Nous utilisons l'égalité des segments déjà connue et décrite ci-dessus pour simplifier côté droit entrées : AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Ouvrons maintenant les parenthèses et transformons l'égalité : AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Après avoir terminé toutes les transformations, nous obtenons exactement ce dont nous avons besoin : BC2 = AC2 + AB2. Nous avons prouvé le théorème.

Bien entendu, cette liste de preuves est loin d’être complète. Le théorème de Pythagore peut également être prouvé à l'aide de vecteurs, nombres complexes, équations différentielles, stéréométrie, etc. Et même les physiciens : si, par exemple, on verse du liquide dans des volumes carrés et triangulaires similaires à ceux représentés sur les dessins. En versant du liquide, vous pouvez prouver l'égalité des aires et le théorème lui-même en conséquence.

Quelques mots sur les triplés pythagoriciens

Cette question est peu ou pas étudiée dans les programmes scolaires. En attendant, c'est très intéressant et revêt une grande importance en géométrie. Les triplets de Pythagore sont utilisés pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques. Les comprendre peut vous être utile dans la poursuite de vos études.

Alors, que sont les triplés pythagoriciens ? C'est le nom des nombres naturels regroupés par groupes de trois, dont la somme des carrés de deux est égale au troisième nombre au carré.

Les triplets de Pythagore peuvent être :

primitif (les trois nombres sont relativement premiers) ;
pas primitif (si chaque nombre d'un triplet est multiplié par le même nombre, vous obtenez un nouveau triplet, qui n'est pas primitif).

Même avant notre ère, les anciens Égyptiens étaient fascinés par la manie des chiffres. Triples de Pythagore: Dans les problèmes, ils ont regardé un triangle rectangle avec des côtés de 3,4 et 5 unités. À propos, tout triangle dont les côtés sont égaux aux nombres du triplet de Pythagore est rectangulaire par défaut.

Exemples de triplets pythagoriciens : (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14 , 48, 50), (30, 40, 50), etc.

Application pratique du théorème

Le théorème de Pythagore est utilisé non seulement en mathématiques, mais aussi en architecture et en construction, en astronomie et même en littérature.

Tout d'abord à propos de la construction : le théorème de Pythagore est largement utilisé dans les problèmes différents niveaux complexité. Par exemple, regardez une fenêtre romane :

Notons la largeur de la fenêtre comme b, alors le rayon du demi-cercle majeur peut être noté R. et exprimer à travers b : R = b/2. Le rayon des demi-cercles plus petits peut également être exprimé par b : r=b/4. Dans ce problème nous nous intéressons au rayon du cercle intérieur de la fenêtre (appelons-le p).

Le théorème de Pythagore sert juste à calculer r. Pour ce faire, nous utilisons un triangle rectangle, indiqué par une ligne pointillée sur la figure. L'hypoténuse d'un triangle est constituée de deux rayons : b/4+p. Une jambe représente le rayon b/4, un autre b/2-p. En utilisant le théorème de Pythagore, nous écrivons : (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Ensuite, nous ouvrons les parenthèses et obtenons b 2 /16+ pb/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-pb+p 2. Transformons cette expression en pb/2=b 2 /4-pb. Et puis nous divisons tous les termes par b, nous en présentons des similaires pour obtenir 3/2*p=b/4. Et à la fin on découvre que p=b/6- c'est ce dont nous avions besoin.

À l'aide du théorème, vous pouvez calculer la longueur des chevrons pour un toit à pignon. Déterminez la hauteur de la tour communications mobiles le signal doit atteindre un certain règlement. Et même installer régulièrement arbre de Noël sur la place de la ville. Comme vous pouvez le constater, ce théorème ne vit pas seulement dans les pages des manuels, mais est souvent utile dans la vie réelle.

En littérature, le théorème de Pythagore a inspiré les écrivains depuis l’Antiquité et continue de le faire à notre époque. Par exemple, l’écrivain allemand du XIXe siècle Adelbert von Chamisso s’est inspiré d’un sonnet :

La lumière de la vérité ne se dissipera pas de sitôt,
Mais après avoir brillé, il est peu probable qu'il se dissipe
Et comme il y a des milliers d'années,
Cela ne suscitera ni doutes ni litiges.

Le plus sage quand il touche ton regard
Lumière de la vérité, remercie les dieux ;
Et cent taureaux abattus mentent -
Un cadeau de retour de l'heureux Pythagore.

Depuis, les taureaux rugissent désespérément :
A toujours alarmé la tribu des taureaux
Événement mentionné ici.

Il leur semble que le moment est sur le point de venir,
Et ils seront à nouveau sacrifiés
Un excellent théorème.

(traduction de Viktor Toporov)

Et au vingtième siècle écrivain soviétique Evgeniy Veltistov dans son livre « Adventures of Electronics » a consacré un chapitre entier aux preuves du théorème de Pythagore. Et un autre demi-chapitre sur une histoire sur un monde bidimensionnel qui pourrait exister si le théorème de Pythagore devenait une loi fondamentale et même une religion pour un seul monde. Vivre là-bas serait beaucoup plus facile, mais aussi beaucoup plus ennuyeux : par exemple, personne là-bas ne comprend le sens des mots « rond » et « moelleux ».

Et dans le livre « Les aventures de l'électronique », l'auteur, par la bouche du professeur de mathématiques Taratar, dit : « L'essentiel en mathématiques est le mouvement de la pensée, les nouvelles idées. C'est précisément cette envolée créatrice de la pensée qui donne naissance au théorème de Pythagore - ce n'est pas pour rien qu'il a tant de preuves variées. Cela vous aide à dépasser les limites du familier et à regarder les choses familières d’une nouvelle manière.

Conclusion

Cet article est conçu pour vous aider à regarder au-delà programme scolaire en mathématiques et apprenez non seulement les preuves du théorème de Pythagore qui sont données dans les manuels « Géométrie 7-9 » (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) et « Géométrie 7-11 » (A.V. Pogorelov), mais aussi d'autres moyens intéressants de prouver le fameux théorème. Et découvrez également des exemples de la façon dont le théorème de Pythagore peut être appliqué dans la vie de tous les jours.

Premièrement, ces informations vous permettront de bénéficier de plus scores élevés dans les cours de mathématiques - informations sur le sujet de sources supplémentaires sont toujours très appréciés.

Deuxièmement, nous voulions vous aider à comprendre comment les mathématiques science intéressante. S'assurer exemples spécifiques qu'il y a toujours une place pour la créativité. Nous espérons que le théorème de Pythagore et cet article vous inspireront recherches indépendantes et des découvertes passionnantes en mathématiques et dans d'autres sciences.

Dites-nous dans les commentaires si vous avez trouvé intéressantes les preuves présentées dans l’article. Avez-vous trouvé ces informations utiles dans vos études ? Écrivez-nous ce que vous pensez du théorème de Pythagore et de cet article - nous serons heureux de discuter de tout cela avec vous.

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Présentation sur le sujet : Les pantalons pythagoriciens sont égaux dans toutes les directions

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Diapositive n°2

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Cette remarque caustique (qui dans son intégralité a une suite : pour la prouver, il faut la retirer et la montrer), inventée par quelqu'un apparemment choqué par le contenu intérieur d'un théorème important de la géométrie euclidienne, révèle le plus précisément possible le point de départ à partir duquel la réflexion en chaîne tout à fait simple conduit rapidement à la preuve du théorème, ainsi qu'à des résultats encore plus significatifs. Ce théorème, attribué au mathématicien grec Pythagore de Samos (VIe siècle avant JC), est connu de presque tous les écoliers et ressemble à ceci : le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des jambes.

Diapositive n°3

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Peut-être que beaucoup conviendront que figure géométrique, appelé le code « Les pantalons pythagoriciens sont égaux de tous les côtés », s'appelle un carré. Eh bien, avec le sourire aux lèvres, ajoutons une blague inoffensive pour comprendre ce que signifiait la poursuite du sarcasme crypté. Ainsi, « pour le prouver, il faut le filmer et le montrer ». Il est clair que "ceci" - le pronom signifiait le théorème lui-même, "supprimer" - cela signifie mettre entre vos mains, prendre la figure nommée, "montrer" - le mot "toucher" signifiait amener certaines parties de la figure dans contact. En général, « pantalon pythagoricien » était le nom donné à un dessin graphique ressemblant à un pantalon, obtenu dans le dessin d’Euclide lors de sa démonstration très complexe du théorème de Pythagore. Lorsqu'une preuve plus simple a été trouvée, peut-être qu'un rimeur a composé cet indice virelangue pour ne pas oublier le début de l'approche de la preuve, et la rumeur populaire l'a déjà répandu dans le monde entier comme un dicton vide de sens.

Diapositive n°4

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Ainsi, si vous prenez un carré et placez un carré plus petit à l'intérieur de manière à ce que leurs centres coïncident, et que vous faites pivoter le plus petit carré jusqu'à ce que ses coins touchent les côtés du plus grand carré, alors sur la plus grande figure, vous trouverez 4 triangles rectangles identiques mis en surbrillance. sur les côtés de la petite place, de là se trouve déjà un chemin en ligne droite jusqu'à l'épreuve. théorème célèbre. Soit le côté du plus petit carré noté c. Le côté du plus grand carré est a+b, puis son aire est (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2. La même aire peut être définie comme la somme de l'aire du plus petit carré et les aires de 4 triangles rectangles identiques, c'est-à-dire comme 4 ab/2+c 2 =2ab+c 2. Mettons un signe égal entre deux calculs de même aire : a 2 +2ab+b 2 =2ab+ c 2. Après avoir réduit les termes 2ab on obtient la conclusion : le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des pattes, c'est-à-dire a 2 + b 2 =c 2.

Diapositive n°5

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Tout le monde ne comprendra pas immédiatement l’intérêt de ce théorème. D'un point de vue pratique, son intérêt réside dans le fait qu'il sert de base à de nombreux calculs géométriques, comme par exemple la détermination de la distance entre des points. plan de coordonnées. Certaines formules précieuses sont dérivées du théorème ; ses généralisations conduisent à de nouveaux théorèmes qui comblent le fossé entre les calculs dans le plan et les calculs dans l'espace. Les conséquences du théorème pénètrent dans la théorie des nombres, révélant des détails individuels de la structure d'une série de nombres. Et bien plus encore, il y en a trop pour les énumérer.

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Un regard du point de vue d'une vaine curiosité démontre la présentation de problèmes divertissants par le théorème, qui sont formulés d'une manière extrêmement claire, mais qui sont parfois difficiles à résoudre. A titre d'exemple, il suffit de citer la plus simple d'entre elles, la question dite des nombres de Pythagore, posée en termes courants comme suit : est-il possible de construire une pièce dont la longueur, la largeur et la diagonale au sol seraient mesurées simultanément uniquement en quantités entières, disons par étapes ? Le moindre changement dans ce domaine peut rendre la tâche extrêmement difficile. Et en conséquence, il y aura ceux qui voudront, par pur enthousiasme scientifique, se tester en fractionnant le prochain casse-tête mathématique. Un autre changement dans la question – et un autre casse-tête. Souvent, dans la recherche de réponses à de tels problèmes, les mathématiques évoluent, acquièrent de nouvelles perspectives sur des concepts anciens et en acquièrent de nouveaux. approches systémiques et ainsi de suite, ce qui signifie que le théorème de Pythagore, comme tout autre enseignement valable, n'est pas moins utile de ce point de vue.

Diapositive n°7

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Les mathématiques de l'époque de Pythagore ne reconnaissaient pas les nombres autres que les nombres rationnels (nombres naturels ou fractions avec un numérateur et un dénominateur naturels). Tout était mesuré en quantités entières ou en parties de quantités entières. C’est pourquoi le désir de faire de plus en plus de calculs géométriques et de résoudre des équations est compréhensible. nombres naturels. La dépendance à leur égard ouvre la voie à monde incroyable les mystères des nombres, dont un certain nombre sont interprétation géométrique apparaît initialement comme une ligne droite avec nombre infini marques Parfois la dépendance entre certains nombres d'une série, la « distance linéaire » entre eux, la proportion attire immédiatement l'attention, et parfois les structures mentales les plus complexes ne permettent pas d'établir à quels schémas est soumise la distribution de certains nombres. Il s’avère que dans le nouveau monde, dans cette « géométrie unidimensionnelle », les anciens problèmes restent valables, seule leur formulation change. Par exemple, une variante de la tâche sur les nombres de Pythagore : « Depuis la maison, le père fait x pas de x centimètres chacun, puis fait encore un autre pas de y centimètres. Le fils marche derrière lui z pas de z centimètres chacun. la taille de leurs pas serait-elle telle qu'au zième pas l'enfant suive les traces de son père ?

Diapositive n°8

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Pour être juste, il convient de noter que la méthode pythagoricienne de développement de la pensée est quelque peu difficile pour un mathématicien débutant. C'est un style particulier pensée mathématique, il faut s'y habituer. Un point intéressant. Mathématiciens état babylonien(il est apparu bien avant la naissance de Pythagore, près d'un millier et demi d'années avant lui) connaissait également, apparemment, certaines méthodes de recherche de nombres, qui devinrent plus tard connues sous le nom de pythagoriciennes. Des tablettes cunéiformes ont été trouvées là où les sages babyloniens ont écrit les triplets des nombres qu'ils ont identifiés. Certains trios comportaient trop de grands nombres, à propos duquel nos contemporains ont commencé à supposer que les Babyloniens disposaient de bonnes méthodes, et probablement même simples, pour les calculer. Malheureusement, on ne sait rien des méthodes elles-mêmes ni de leur existence.

À quoi servent les « pantalons pythagoriciens » ? Le travail a été réalisé par des élèves de 8e année

L'aire d'un carré construit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égale à la somme des aires des carrés construits sur ses pattes... Ou Le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés de ses pattes.

C'est l'un des plus célèbres théorèmes géométriques les temps anciens, appelé théorème de Pythagore. Presque tous ceux qui ont étudié la planimétrie le savent encore aujourd’hui. La raison de cette popularité du théorème de Pythagore est sa simplicité, sa beauté et sa signification. Le théorème de Pythagore est simple mais pas évident. Cette combinaison de deux principes contradictoires lui confère une force d’attraction particulière et la rend belle. Il est utilisé littéralement en géométrie à chaque étape, et le fait qu'il existe environ 500 preuves différentes de ce théorème (géométrique, algébrique, mécanique, etc.) indique sa large application.

Le théorème porte presque partout le nom de Pythagore, mais à l'heure actuelle tout le monde s'accorde à dire qu'il n'a pas été découvert par Pythagore. Cependant, certains estiment qu’il fut le premier à en apporter une preuve complète, tandis que d’autres lui nient ce mérite. Ce théorème était connu bien avant Pythagore. Ainsi, 1 500 ans avant Pythagore, les anciens Égyptiens savaient qu'un triangle de côtés 3, 4 et 5 était rectangulaire et utilisaient cette propriété pour construire des angles droits lors de la planification. terrains et des structures de construction.

La preuve du théorème était considérée comme très difficile dans les cercles des étudiants du Moyen Âge et était appelée le « pont de l'âne » ou « la fuite des misérables », et le théorème lui-même était appelé « moulin à vent" ou le "Théorème de la mariée". Les étudiants ont même dessiné des dessins animés et composé des poèmes comme celui-ci : Pantalon de Pythagore Tous les côtés sont égaux.

Preuve basée sur l'utilisation de la notion d'égale taille des chiffres. La photo montre deux carré égal. La longueur des côtés de chaque carré est a + b. Chacun des carrés est divisé en parties constituées de carrés et de triangles rectangles. Il est clair que si nous soustrayons quadruple l'aire d'un triangle rectangle avec les pattes a, b de l'aire du carré, alors il nous restera zones égales, c'est-à-dire Les anciens hindous, à qui appartient ce raisonnement, ne l'écrivaient généralement pas, mais accompagnaient le dessin d'un seul mot : « regarde ! Il est fort possible que Pythagore ait proposé la même preuve.

Preuve offerte manuel scolaire. CD – hauteur triangle ABC. AC = √ AD*AB AC 2 = AD*AB De même, BC 2 = BD*AB En considérant que AD + BD = AB, on obtient AC 2 + BC 2 = AD*AB+ BD*AB = (AD+BD)*AB = AB 2 A C B D

Problème n°1 Deux avions décollent de l'aérodrome en même temps : l'un vers l'ouest, l'autre vers le sud. Après deux heures, la distance qui les séparait était de 2000 km. Trouvez les vitesses des avions si la vitesse de l’un était 75 % de la vitesse de l’autre. Solution : D'après le théorème de Pythagore : 4x2+(0,75x*2)2=20002 6,25x2=20002 2,5x=2000 x=800 0,75x=0,75*800=600. Réponse : 800 km/h ; 600 km/h.

Problème n°2. Que doit faire un jeune mathématicien pour obtenir de manière fiable un angle droit ? Solution : Vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore et construire un triangle en donnant à ses côtés une longueur telle que le triangle s'avère rectangulaire. Le moyen le plus simple de procéder est de prendre des bandes de longueur 3, 4 et 5 de segments égaux sélectionnés au hasard.

Problème n°3. Trouver la résultante trois forces 200 N chacun, si l'angle entre la première et la deuxième force et entre la deuxième et la troisième force est de 60°. Solution : Le module de la somme du premier couple de forces est égal à : F1+22=F12+F22+2*F1*F2cosα où α est l'angle entre les vecteurs F1 et F2, soit F1+2=200√ 3 N. Comme le montrent les considérations de symétrie, le vecteur F1+2 est dirigé le long de la bissectrice de l'angle α, donc l'angle entre lui et la troisième force est égal à : β=60°+60°/ 2=90°. Trouvons maintenant la résultante des trois forces : R2=(F3+F1+2) R=400 N. Réponse : R=400 N.

Tâche n°4. Un paratonnerre protège de la foudre tous les objets dont la distance à sa base n'excède pas sa double hauteur. Déterminez la position optimale du paratonnerre sur un toit à pignon, en garantissant sa hauteur accessible la plus basse. Solution : D'après le théorème de Pythagore, h2≥ a2+b2, ce qui signifie h≥(a2+b2)1/2. Réponse : h≥(a2+b2)1/2.