ચાલો ત્રિકોણમિતિમાંથી મૂળભૂત માહિતીને યાદ કરીએ જે નીચેની બાબતો માટે જરૂરી છે.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને શરૂઆતમાં કોણના કાર્યો તરીકે ગણવામાં આવે છે, ત્યારથી સંખ્યાત્મક મૂલ્યતેમાંના દરેક (જો તે અર્થમાં હોય તો) કોણ સ્પષ્ટ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. વર્તુળના ચાપ અને વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર કેન્દ્રીય ખૂણાતમને ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને ચાપ કાર્યો તરીકે ધ્યાનમાં લેવાની મંજૂરી આપે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન દલીલ sinφઅમારી પાસે તેને કોણ તરીકે અથવા ઇચ્છા મુજબ ચાપ તરીકે અર્થઘટન કરવાની તક છે. આમ, શરૂઆતમાં ત્રિકોણમિતિ કાર્યની દલીલ ભૌમિતિક પદાર્થ તરીકે કાર્ય કરે છે - એક ખૂણો અથવા ચાપ. જો કે, ગણિતમાં જ અને તેના ઉપયોગોમાં, ત્રિકોણમિતિ વિધેયોને કાર્યો તરીકે ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે. સંખ્યાત્મક દલીલ. માં પણ શાળા ગણિતત્રિકોણમિતિ કાર્યની દલીલને હંમેશા કોણ ગણવામાં આવતું નથી. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, હાર્મોનિક ઓસીલેટરી ગતિસમીકરણનો ઉપયોગ કરીને આપવામાં આવે છે: s = A sin at.અહીં દલીલ t એ સમય છે, કોણ નથી (ગુણાંક a એ ઓસિલેશન ફ્રીક્વન્સીને દર્શાવતી સંખ્યા છે).

ખૂણા (અથવા ચાપ) માપવાની પ્રક્રિયા દરેક ખૂણો (ચાપ) ને તેના માપ તરીકે ચોક્કસ સંખ્યા સોંપે છે. કોણ (આર્ક) માપવાના પરિણામે, તમે મેળવી શકો છો કોઈપણવાસ્તવિક સંખ્યા, કારણ કે આપણે કોઈપણ કદના નિર્દેશિત ખૂણા (આર્ક) ને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ. ખૂણા (આર્ક) માટે માપનનું ચોક્કસ એકમ પસંદ કરીને, તમે દરેક ખૂણા (ચાપ) ને એક સંખ્યા સાથે સાંકળી શકો છો જે તેને માપે છે, અને તેનાથી વિપરીત, દરેક સંખ્યા આપેલ સંખ્યા દ્વારા માપવામાં આવેલ કોણ (ચાપ) ને સાંકળી શકે છે. આ ત્રિકોણમિતિ કાર્યની દલીલને સંખ્યા તરીકે અર્થઘટન કરવાની મંજૂરી આપે છે. ચાલો કેટલાક ત્રિકોણમિતિ કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, સાઈન. ચાલો x એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે, આ સંખ્યા સંપૂર્ણપણે અનુરૂપ છે ચોક્કસ ખૂણો(આર્ક), સંખ્યા x દ્વારા માપવામાં આવે છે, અને પરિણામી કોણ (આર્ક) ખૂબ ચોક્કસ સાઈન મૂલ્ય, sin xને અનુલક્ષે છે. આખરે, સંખ્યાઓ વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર પ્રાપ્ત થાય છે: દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા x સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક સંખ્યા y = sin x ને અનુલક્ષે છે. તેથી, sin x ને કાર્ય તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે સંખ્યાત્મક દલીલ. જ્યારે વિચારણા ત્રિકોણમિતિ કાર્યોસંખ્યાત્મક દલીલના કાર્યો તરીકે, માપના એકમ તરીકે ચાપ અને ખૂણાઓ લેવા પર સંમત થયા હતા રેડિયનઆ સંમેલનના આધારે, પ્રતીકો sin x, cos x, tgx અને ctg x એ કોણ (આર્ક) ના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ તરીકે અર્થઘટન કરવા જોઈએ, જેનું રેડિયન માપ નંબર x દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, પાપ 2બે રેડિયન * માં માપવામાં આવેલ આર્કની સાઈન છે.

* (નોંધ કરો કે કેટલાક માર્ગદર્શિકાઓમાં ડિગ્રી માપથી વિપરીત, રેડિયન માપને અત્યંત અસફળ રીતે અમૂર્ત કહેવામાં આવે છે. બંને માપન પદ્ધતિઓ વચ્ચે કોઈ મૂળભૂત તફાવત નથી, માત્ર માપના વિવિધ એકમો પસંદ કરવામાં આવ્યા છે. કમનસીબે, આજ સુધી આ પ્રશ્ન ક્યારેક સ્યુડોસાયન્ટિફિક, હાનિકારક "પદ્ધતિગત" નિષ્ક્રિય વાતોને જન્મ આપે છે.)

ચાપ અને ખૂણાઓ માટે માપનનું એકમ પસંદ કરવું પાસે નથીમૂળભૂત મહત્વ. રેડિયન પસંદગી નક્કી નથીઆવશ્યકતા રેડિયન માત્ર સૌથી અનુકૂળ એકમ હોવાનું બહાર આવ્યું છે, કારણ કે રેડિયન માપનમાં સૂત્રો ગાણિતિક વિશ્લેષણ, ત્રિકોણમિતિ વિધેયોથી સંબંધિત, સૌથી સરળ સ્વરૂપ લો *.

* (આ સરળીકરણ એ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું છે કે રેડિયન માપમાં આપણે લઈએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, ખૂણાઓના માપનના એકમ તરીકે ડિગ્રી. ચાલો t અને x ને અનુક્રમે ડિગ્રી અને રેડિયન માપો આપેલ કોણ, પછી અમારી પાસે છે:

દલીલના મૂલ્યો અને ત્રિકોણમિતિ કાર્ય વચ્ચેના પત્રવ્યવહારનો કાયદો સીધા સંકેત દ્વારા સ્થાપિત થતો નથી ગાણિતિક ક્રિયાઓ(સૂત્ર), જે દલીલ પર અને ભૌમિતિક રીતે * કરવું આવશ્યક છે. જો કે, કાર્ય વિશે વાત કરવા માટે સક્ષમ થવા માટે, પત્રવ્યવહારનો કાયદો હોવો જરૂરી છે, જેના આધારે દરેક સ્વીકાર્ય મૂલ્યદલીલ ચોક્કસ કાર્ય મૂલ્યને અનુરૂપ છે, પરંતુ આવશ્યક નથીઆ કાયદો કેવી રીતે સ્થાપિત થાય છે.

* (માધ્યમ દ્વારા પ્રાથમિક ગણિતનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યોને વ્યક્ત કરતા સૂત્રોનું નિર્માણ કરવું અશક્ય છે બીજગણિત કામગીરીદલીલ ઉપર. થી જાણીતા સૂત્રો ઉચ્ચ ગણિત, ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના મૂલ્યોને દલીલના મૂલ્ય દ્વારા સીધા વ્યક્ત કરવા,

sin x અને cos x ફંક્શન્સ x ના કોઈપણ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે અર્થપૂર્ણ છે, અને તેથી તેમની વ્યાખ્યાનું ડોમેન એ તમામનો સમૂહ છે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ.

ફંક્શન tg x એ x ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, થી અલગફોર્મની સંખ્યા π / 2 + kπ.

ફંક્શન ctg x એ x ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, થી અલગ kπ ફોર્મની સંખ્યાઓ.

તેથી, ત્રિકોણમિતિ કાર્યની દલીલ, આપણા વિવેકબુદ્ધિથી, કોણ તરીકે, અથવા ચાપ તરીકે, અથવા છેવટે, સંખ્યા તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે.જ્યારે દલીલને ચાપ (અથવા કોણ) કહીએ છીએ, ત્યારે આપણે તેનો અર્થ ચાપ (અથવા કોણ) પોતે નહીં, પરંતુ તે સંખ્યા કે જે તેને માપે છે તે કહી શકીએ. ભૌમિતિક પરિભાષા સાચવીને, અમે પોતાને બદલે, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના વાક્યને મંજૂરી આપીએ છીએ: "સંખ્યા π / 2 ની સાઈન" કહેવા માટે: "આર્ક π / 2 ની સાઈન".

ભૌમિતિક પરિભાષા અનુકૂળ છે કારણ કે તે અમને અનુરૂપ ભૌમિતિક છબીઓની યાદ અપાવે છે.

એક સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મોત્રિકોણમિતિ વિધેયો તેમની સામયિકતા છે. sin x અને cos x ની અવધિ 2π છે. આનો અર્થ એ છે કે x ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે સમાનતા ધરાવે છે:

sin x = sin (x + 2π) = sin (x + 4π) = ... = sin (x + 2kπ);

cos x = cos (x + 2π) = cos (x + 4π) = ... = cos (x + 2kπ),

જ્યાં k- કોઈપણ પૂર્ણાંક.

કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, sin x અને cos x છે અનંત સમૂહ સમયગાળો

±2π, ±4π, ±6π, ... ±2kπ,

નંબર 2tr, જે સૌથી નાનો સકારાત્મક સમયગાળો છે, તેને સામાન્ય રીતે ફક્ત સમયગાળો કહેવામાં આવે છે.

સામયિકતાના ગુણધર્મમાં નીચેના ભૌમિતિક અર્થઘટન છે: ત્રિકોણમિતિ કાર્યોનો અર્થ પાપ xઅને cos xજો ચાપ xમાં વર્તુળોની પૂર્ણાંક સંખ્યા ઉમેરવામાં આવે (અથવા બાદબાકી કરવામાં આવે તો) બદલાતું નથી. જો કાર્ય પાપ xઅથવા cos xદલીલ x = a ના મૂલ્ય માટે કોઈપણ ગુણધર્મ ધરાવે છે, તો તેની પાસે કોઈપણ મૂલ્યો માટે સમાન ગુણધર્મ છે a + 2kπ.

વિધેયો tg x અને ctg x પણ સામયિક છે (સૌથી નાની ધન) સંખ્યા π છે.

ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરતી વખતે સામયિક કાર્યતેને અમુક અંતરાલમાં ધ્યાનમાં લેવા માટે પૂરતું છે, જે સમયગાળાની તીવ્રતામાં સમાન છે.

ચાલો ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના મુખ્ય ગુણધર્મોની યાદી કરીએ.

1°. પાપ કાર્યસેગમેન્ટ પર x (હું અને હું નકારાત્મક ક્વાર્ટર) વધે છે. સેગમેન્ટના છેડા પરના સાઈન મૂલ્યો, એટલે કે x = π / 2 અને x = - π / 2 પર અનુક્રમે 1 અને -1 ની બરાબર છે.

2°. વાસ્તવિક સંખ્યા k ગમે તે પ્રમાણે હોય સંપૂર્ણ મૂલ્ય 1 કરતાં વધુ નહીં, સેગમેન્ટ પર - π/2 ≤x≤ π/2 એક ચાપ x = x 1 છે, જેની સાઈન k બરાબર છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સેગમેન્ટ પર સાઇનમાં, દલીલ x = x 1ના એક મૂલ્ય માટે, એક મનસ્વી છે મૂલ્ય સેટ કરો, સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં 1 થી વધુ નહીં.

હકીકતમાં, અનુસાર આપેલ મૂલ્યસાઈન I અને I નેગેટિવ ક્વાર્ટરમાં શક્ય છે ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ(આપણે હંમેશા ત્રિકોણમિતિ વર્તુળની ત્રિજ્યા 1 ની બરાબર માનીશું) અનુરૂપ ચાપ બાંધો. વર્ટિકલ વ્યાસ પર k કદના સેગમેન્ટને પ્લોટ કરવા માટે તે પૂરતું છે (k>0 માટે ઉપર અને k માટે નીચે

ગુણધર્મો 1° અને 2° સામાન્ય રીતે નીચેના શરતી નિવેદનના સ્વરૂપમાં જોડવામાં આવે છે.

સેગમેન્ટ પર - π / 2 ≤x≤ π / 2, સાઈન -1 થી 1 સુધી વધે છે.

સમાન ભૌમિતિક તર્કનો ઉપયોગ કરીને અથવા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પાપ નાખે છે(π - x) = sin x, તે સ્થાપિત કરવું સરળ છે કે સેગમેન્ટ π/2 ≤x≤ 3π/2 (એટલે ​​​​કે II અને III ક્વાર્ટરમાં) સાઈન 1 થી -1 ઘટે છે. સેગમેન્ટ્સ - π/2 ≤x≤ π/2 અને π/2 ≤x≤ 3π/2 એકસાથે બનાવે છે સંપૂર્ણ વર્તુળ, એટલે કે સાઈનનો સંપૂર્ણ સમયગાળો આવરી લે છે. સાઈનનો વધુ અભ્યાસ બિનજરૂરી બની જાય છે, અને આપણે કહી શકીએ કે કોઈપણ સેગમેન્ટ [- π / 2 +2kπ, π / 2 +2kπ] પર સાઈન -1 થી 1 સુધી વધે છે, અને કોઈપણ સેગમેન્ટ પર [π / 2 +2kπ, 3π / 2 +2kπ] સાઈન 1 થી -1 સુધી ઘટે છે. સાઈન ગ્રાફ આકૃતિ 11 માં બતાવવામાં આવ્યો છે.

કોસાઇનનો અભ્યાસ એ જ રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે. કોસાઇનના મુખ્ય ગુણધર્મો છે:

સેગમેન્ટ પર cos x ફંક્શન (એટલે ​​​​કે 1 લી અને 2જી ક્વાર્ટરમાં) 1 થી -1 સુધી ઘટે છે. સેગમેન્ટમાં [π, 2π] (એટલે ​​​​કે III અને IV ક્વાર્ટરમાં) કોસાઇન -1 થી 1 સુધી વધે છે.સામયિકતાને લીધે, કોસાઇન વિભાગો પર 1 થી -1 સુધી ઘટે છે અને વિભાગો પર -1 થી 1 સુધી વધે છે [(2k-1)π, 2kπ] (ફિગ. 12).

અંતરાલ (- π / 2, π / 2) માં કાર્ય y = tan x ને ધ્યાનમાં લો.

મર્યાદા મૂલ્યો ±π/2 બાકાત રાખવા જોઈએ કારણ કે tg(±π/2) અસ્તિત્વમાં નથી.

1°. અંતરાલમાં (- π / 2, π / 2) કાર્ય tg xવધે છે.

2°. વાસ્તવિક સંખ્યા k ગમે તે હોય, અંતરાલમાં - - π/2

આર્ક x 1 ના અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતાને ચકાસવું સરળ છે ભૌમિતિક બાંધકામ, ચિત્ર 13 માં પ્રસ્તુત.

તેથી, અંતરાલમાં (- π / 2, π / 2) સ્પર્શક વધે છે અને, દલીલના એક મૂલ્ય સાથે, મનસ્વી રીતે આપેલ છે વાસ્તવિક મૂલ્ય. ગુણધર્મો 1° અને 2° સંક્ષિપ્તમાં નીચેના વિધાન તરીકે ઘડવામાં આવે છે:

અંતરાલમાં (- π / 2, π / 2) સ્પર્શક -∞ થી ∞ સુધી વધે છે.

ગમે તે આપેલ (તમને ગમે તેટલું મોટું) હકારાત્મક સંખ્યા N, સ્પર્શક મૂલ્યો π/2 કરતા ઓછા x ના તમામ મૂલ્યો માટે N કરતા વધારે છે અને π/2 ની નજીક છે. પ્રતીકાત્મક રીતે આ નિવેદન નીચે મુજબ લખાયેલું છે:

x ના મૂલ્યો માટે - π / 2 કરતાં વધુ અને tg x ના - π / 2 y મૂલ્યોની પૂરતી નજીક છે

* (ઘણીવાર તેઓ tan π/2 = ∞ લખે છે અને કહે છે કે સ્પર્શક π/2 ની કિંમત ∞ બરાબર છે. પ્રાથમિક ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં આ વિધાન માત્ર હાસ્યાસ્પદ વિરોધી વૈજ્ઞાનિક વિચારો તરફ દોરી શકે છે. પ્રતીક ∞ એ સંખ્યા નથી અને ફંક્શનનું મૂલ્ય હોઈ શકતું નથી. સચોટ અર્થ, જેમાં ±∞ ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ, તે ટેક્સ્ટમાં સમજાવાયેલ છે.)

સ્પર્શકનો વધુ અભ્યાસ બિનજરૂરી છે, કારણ કે અંતરાલનું મૂલ્ય (- π / 2, π / 2) π બરાબર છે, એટલે કે. સંપૂર્ણ સમયગાળોસ્પર્શક પરિણામે, કોઈપણ અંતરાલમાં (- π / 2 + π, π / 2 + π) સ્પર્શક -∞ થી ∞ સુધી વધે છે, અને પોઈન્ટ x = (2k+1)π/2 પર તેનો અર્થ થાય છે. સ્પર્શક ગ્રાફ આકૃતિ 14 માં રજૂ કરવામાં આવ્યો છે.

અંતરાલ (0, π), તેમજ દરેક અંતરાલો (kπ, (k+1)π) માં ફંક્શન ctg x ∞ થી -∞ સુધી ઘટે છે, અને બિંદુઓ x = kπ પર કોટેન્જેન્ટનો કોઈ અર્થ નથી. . કોટેન્જેન્ટ ગ્રાફ આકૃતિ 15 માં પ્રસ્તુત છે.

સંખ્યાત્મક દલીલના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો. ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ગુણધર્મો અને આલેખ.

વ્યાખ્યા 1:સંખ્યાત્મક કાર્ય, સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે y=sin x ને સાઈન કહેવાય છે.

આ વળાંક કહેવાય છે - સાઈન તરંગ.

ફંક્શનના ગુણધર્મો y=sin x

2. કાર્ય મૂલ્ય શ્રેણી: E(y)=[-1; 1]

3. સમાનતા કાર્ય:

y=sin x – વિચિત્ર,.

4. સામયિકતા: sin(x+2πn)=sin x, જ્યાં n એ પૂર્ણાંક છે.

આ કાર્યચોક્કસ સમયગાળા પછી સ્વીકારે છે સમાન મૂલ્યો. કાર્યની આ ગુણધર્મ કહેવાય છે આવર્તનઅંતરાલ એ કાર્યનો સમયગાળો છે.

કાર્ય y=sin x માટે સમયગાળો 2π છે.

કાર્ય y=sin x સામયિક છે, પીરિયડ Т=2πn સાથે, n એ પૂર્ણાંક છે.

ઓછામાં ઓછું હકારાત્મક સમયગાળો T=2π.

ગાણિતિક રીતે, આને નીચે પ્રમાણે લખી શકાય: sin(x+2πn)=sin x, જ્યાં n એ પૂર્ણાંક છે.

વ્યાખ્યા 2: y=cosx સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવેલ સંખ્યાત્મક કાર્યને કોસાઇન કહેવામાં આવે છે.

ફંક્શનના ગુણધર્મો y=cos x

1. ફંક્શન ડોમેન: D(y)=R

2. કાર્ય મૂલ્ય વિસ્તાર: E(y)=[-1;1]

3. સમાનતા કાર્ય:

y=cos x – સમ.

4. સામયિકતા: cos(x+2πn)=cos x, જ્યાં n એ પૂર્ણાંક છે.

કાર્ય y=cos x સામયિક છે, પીરિયડ Т=2π સાથે.

વ્યાખ્યા 3:સૂત્ર y=tan x દ્વારા આપવામાં આવેલ સંખ્યાત્મક કાર્યને સ્પર્શક કહેવાય છે.

ફંક્શનના ગુણધર્મો y=tg x

1. ફંક્શનનું ડોમેન: D(y) - π/2+πk, k – પૂર્ણાંક સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. કારણ કે આ બિંદુઓ પર સ્પર્શક વ્યાખ્યાયિત નથી.

2. કાર્ય શ્રેણી: E(y)=R.

3. સમાનતા કાર્ય:

y=tg x – વિચિત્ર.

4. સામયિકતા: tg(x+πk)=tg x, જ્યાં k પૂર્ણાંક છે.

કાર્ય y=tg x એ પીરિયડ π સાથે સામયિક છે.

વ્યાખ્યા 4:સૂત્ર y=ctg x દ્વારા આપવામાં આવેલ સંખ્યાત્મક કાર્યને કોટેન્જેન્ટ કહેવામાં આવે છે.

ફંક્શનના ગુણધર્મો y=ctg x

1. ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન: D(y) - πk સિવાય તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, k એ પૂર્ણાંક છે. કારણ કે આ બિંદુઓ પર કોટેન્જેન્ટ વ્યાખ્યાયિત નથી.

આ પાઠમાં આપણે જોઈશું મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ, અને યાદી પણ મુખ્ય પ્રકારો ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોઅને સિસ્ટમો. વધુમાં, અમે સૂચવીએ છીએ સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના સામાન્ય ઉકેલો અને તેમના ખાસ કિસ્સાઓ.

આ પાઠ તમને કાર્યોના એક પ્રકાર માટે તૈયાર કરવામાં મદદ કરશે B5 અને C1.

ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી

પ્રયોગ

પાઠ 10. ત્રિકોણમિતિ કાર્યો. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને તેમની સિસ્ટમો.

થિયરી

પાઠ સારાંશ

આપણે "ત્રિકોણમિતિ કાર્ય" શબ્દનો ઉપયોગ ઘણી વખત કરી ચૂક્યા છીએ. આ વિષયના પહેલા પાઠમાં, અમે તેનો ઉપયોગ કરીને ઓળખી કાઢ્યા છે જમણો ત્રિકોણઅને સિંગલ ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ. ત્રિકોણમિતિ વિધેયોનો ઉલ્લેખ કરવાની આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને, અમે પહેલેથી જ નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે તેમના માટે દલીલનું એક મૂલ્ય (અથવા કોણ) કાર્યના બરાબર એક મૂલ્યને અનુરૂપ છે, એટલે કે. અમને સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ ફંક્શન કહેવાનો અધિકાર છે.

આ પાઠમાં, ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની અગાઉ ચર્ચા કરેલી પદ્ધતિઓમાંથી અમૂર્ત કરવાનો પ્રયાસ કરવાનો સમય છે. આજે આપણે સામાન્ય તરફ આગળ વધીશું બીજગણિતીય અભિગમફંક્શન્સ સાથે કામ કરીને, અમે તેમની પ્રોપર્ટીઝ જોઈશું અને આલેખ દોરીશું.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ગુણધર્મો માટે, પછી ખાસ ધ્યાનનોંધવું જોઈએ:

વ્યાખ્યાનું ડોમેન અને મૂલ્યોની શ્રેણી, કારણ કે સાઈન અને કોસાઈન માટે મૂલ્યોની શ્રેણી પર નિયંત્રણો છે, અને સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ માટે વ્યાખ્યાની શ્રેણી પર પ્રતિબંધો છે;

બધા ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની સામયિકતા, કારણ કે અમે પહેલાથી જ સૌથી નાની બિન-શૂન્ય દલીલની હાજરીની નોંધ લીધી છે, જેનો ઉમેરો ફંક્શનની કિંમતમાં ફેરફાર કરતું નથી. આ દલીલને કાર્યનો સમયગાળો કહેવામાં આવે છે અને તેને અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. સાઈન/કોસાઈન અને ટેન્જેન્ટ/કોટેન્જેન્ટ માટે આ સમયગાળો અલગ છે.

કાર્યને ધ્યાનમાં લો:

1) વ્યાખ્યાનો અવકાશ;

2) મૂલ્ય શ્રેણી ;

3) કાર્ય વિચિત્ર છે ;

ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ. આ કિસ્સામાં, તે વિસ્તારની છબી સાથે બાંધકામ શરૂ કરવું અનુકૂળ છે જે ઉપરથી ગ્રાફને નંબર 1 દ્વારા અને નીચેથી સંખ્યા દ્વારા મર્યાદિત કરે છે, જે ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી સાથે સંકળાયેલ છે. આ ઉપરાંત, બાંધકામ માટે ઘણા મૂળભૂત સાઇન્સના મૂલ્યોને યાદ રાખવું ઉપયોગી છે કોષ્ટક ખૂણા, ઉદાહરણ તરીકે, આ તમને ચાર્ટની પ્રથમ સંપૂર્ણ "તરંગ" બનાવવાની મંજૂરી આપશે અને પછી તેને જમણી અને ડાબી બાજુએ ફરીથી દોરવા દેશે, એ હકીકતનો લાભ લઈને કે ચિત્રને સમયગાળા માટે ઑફસેટ સાથે પુનરાવર્તિત કરવામાં આવશે, એટલે કે. પર

હવે ચાલો ફંક્શન જોઈએ:

આ કાર્યના મુખ્ય ગુણધર્મો:

1) વ્યાખ્યાનો અવકાશ;

2) મૂલ્ય શ્રેણી ;

3) સમ કાર્ય આ સૂચવે છે કે ફંક્શનનો ગ્રાફ ઓર્ડિનેટ વિશે સપ્રમાણ છે;

4) કાર્ય તેની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં એકવિધ નથી;

ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ. સાઈન બનાવતી વખતે, તે વિસ્તારની છબી સાથે પ્રારંભ કરવાનું અનુકૂળ છે જે ટોચ પરના ગ્રાફને નંબર 1 સાથે અને તળિયે નંબર સાથે મર્યાદિત કરે છે, જે ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી સાથે સંકળાયેલ છે. અમે ગ્રાફ પરના કેટલાક બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ પણ બનાવીશું, જેના માટે આપણે ઘણા મુખ્ય કોષ્ટક ખૂણાઓના કોસાઇન્સના મૂલ્યોને યાદ રાખવાની જરૂર છે, ઉદાહરણ તરીકે, આ બિંદુઓની મદદથી આપણે પ્રથમ સંપૂર્ણ "તરંગ" બનાવી શકીએ છીએ. ” ગ્રાફનો અને પછી તેને જમણી અને ડાબી બાજુએ ફરીથી દોરો, એ હકીકતનો લાભ લઈને કે ચિત્ર પીરિયડ શિફ્ટ સાથે પુનરાવર્તિત થશે, એટલે કે. પર

ચાલો ફંક્શન પર આગળ વધીએ:

આ કાર્યના મુખ્ય ગુણધર્મો:

1) ડોમેન સિવાય, ક્યાં. અમે અગાઉના પાઠોમાં પહેલેથી જ સૂચવ્યું છે કે તે અસ્તિત્વમાં નથી. આ વિધાનને સ્પર્શક અવધિને ધ્યાનમાં લઈને સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે;

2) મૂલ્યોની શ્રેણી, એટલે કે. સ્પર્શક મૂલ્યો મર્યાદિત નથી;

3) કાર્ય વિચિત્ર છે ;

4) કાર્ય તેની કહેવાતી સ્પર્શક શાખાઓમાં એકવિધ રીતે વધે છે, જે આપણે હવે આકૃતિમાં જોઈશું;

5) કાર્ય સમયગાળા સાથે સામયિક છે

ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ. આ કિસ્સામાં, ઇમેજથી બિલ્ડિંગ શરૂ કરવાનું અનુકૂળ છે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સપોઈન્ટ પર ગ્રાફિક્સ કે જે વ્યાખ્યા ક્ષેત્રમાં સમાવિષ્ટ નથી, એટલે કે. વગેરે આગળ, અમે એસિમ્પ્ટોટ્સ દ્વારા રચાયેલી દરેક સ્ટ્રિપ્સની અંદર સ્પર્શક શાખાઓનું નિરૂપણ કરીએ છીએ, તેમને ડાબી એસિમ્પ્ટોટ અને જમણી બાજુએ દબાવીએ છીએ. તે જ સમયે, ભૂલશો નહીં કે દરેક શાખા એકવિધ રીતે વધે છે. અમે બધી શાખાઓને એ જ રીતે દર્શાવીએ છીએ, કારણ કે ફંક્શનનો સમયગાળો બરાબર છે. આ એ હકીકત પરથી જોઈ શકાય છે કે દરેક શાખા એબ્સિસા અક્ષ સાથે પડોશીને સ્થાનાંતરિત કરીને મેળવવામાં આવે છે.

અને અમે કાર્ય પર એક નજર સાથે સમાપ્ત કરીએ છીએ:

આ કાર્યના મુખ્ય ગુણધર્મો:

1) ડોમેન સિવાય, ક્યાં. ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યોના કોષ્ટકમાંથી, આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ કે તે અસ્તિત્વમાં નથી. આ વિધાન કોટેન્જેન્ટ સમયગાળાને ધ્યાનમાં લઈને સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે;

2) મૂલ્યોની શ્રેણી, એટલે કે. કોટેન્જન્ટ મૂલ્યો મર્યાદિત નથી;

3) કાર્ય વિચિત્ર છે ;

4) ફંક્શન તેની શાખાઓમાં એકવિધ રીતે ઘટે છે, જે સ્પર્શક શાખાઓ જેવું જ છે;

5) કાર્ય સમયગાળા સાથે સામયિક છે

ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ. આ કિસ્સામાં, સ્પર્શક માટે, વ્યાખ્યા ડોમેનમાં સમાવિષ્ટ ન હોય તેવા બિંદુઓ પર ગ્રાફના વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સનું નિરૂપણ કરીને બાંધકામ શરૂ કરવું અનુકૂળ છે, એટલે કે. વગેરે આગળ, અમે એસિમ્પ્ટોટ્સ દ્વારા રચાયેલી દરેક પટ્ટાઓની અંદર કોટેન્જેન્ટની શાખાઓનું નિરૂપણ કરીએ છીએ, તેમને ડાબી એસિમ્પ્ટોટ અને જમણી બાજુએ દબાવીને. આ કિસ્સામાં, અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે દરેક શાખા એકવિધ રીતે ઘટે છે. અમે તમામ શાખાઓને સ્પર્શકની સમાન રીતે સમાન રીતે દર્શાવીએ છીએ, કારણ કે ફંક્શનનો સમયગાળો બરાબર છે.

અલગથી, એ નોંધવું જોઈએ કે જટિલ દલીલો સાથેના ત્રિકોણમિતિ કાર્યોમાં બિન-માનક અવધિ હોઈ શકે છે. તે વિશે છેફોર્મના કાર્યો વિશે:

તેમનો સમયગાળો સમાન છે. અને કાર્યો વિશે:

તેમનો સમયગાળો સમાન છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, નવા સમયગાળાની ગણતરી કરવા માટે, પ્રમાણભૂત અવધિને દલીલમાંના પરિબળ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. તે ફંક્શનના અન્ય ફેરફારો પર આધારિત નથી.

તમે વધુ વિગતવાર સમજી શકો છો અને ફંક્શનના ગ્રાફનું નિર્માણ અને રૂપાંતર કરવા વિશેના પાઠમાં આ સૂત્રો ક્યાંથી આવે છે તે સમજી શકો છો.

અમે "ત્રિકોણમિતિ" વિષયના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ભાગોમાંના એક પર આવ્યા છીએ, જેને આપણે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટે સમર્પિત કરીશું. આવા સમીકરણોને ઉકેલવાની ક્ષમતા મહત્વપૂર્ણ છે, ઉદાહરણ તરીકે, વર્ણન કરતી વખતે ઓસીલેટરી પ્રક્રિયાઓભૌતિકશાસ્ત્રમાં ચાલો કલ્પના કરીએ કે તમે સ્પોર્ટ્સ કારમાં ગો-કાર્ટમાં થોડા લેપ્સ ચલાવ્યા છે; ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ ઉકેલવાથી તમે ટ્રેક પર કારની સ્થિતિના આધારે કેટલા સમય સુધી રેસ કરી રહ્યા છો તે નક્કી કરવામાં મદદ કરશે.

ચાલો સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ લખીએ:

આવા સમીકરણનો ઉકેલ એ દલીલો છે જેની સાઈન બરાબર છે. પરંતુ આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે સાઈનની સામયિકતાને લીધે, આવી દલીલોની અસંખ્ય સંખ્યા છે. આમ, આ સમીકરણનો ઉકેલ હશે, વગેરે. આ જ અન્ય કોઈપણ સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણને ઉકેલવા માટે લાગુ પડે છે, ત્યાં હશે અનંત સંખ્યા.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઘણા મુખ્ય પ્રકારોમાં વહેંચાયેલા છે. અલગથી, આપણે સૌથી સરળ લોકો પર ધ્યાન આપવું જોઈએ, કારણ કે બાકીનું બધું તેમની પાસે આવે છે. આવા ચાર સમીકરણો છે (મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની સંખ્યા અનુસાર). સામાન્ય ઉકેલો તેમના માટે જાણીતા છે;

સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને તેમના સામાન્ય ઉકેલોઆના જેવું જુઓ:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે સાઈન અને કોસાઈનના મૂલ્યોએ અમને જાણીતી મર્યાદાઓને ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ. જો, ઉદાહરણ તરીકે, પછી સમીકરણ પાસે કોઈ ઉકેલો નથી અને ઉલ્લેખિત સૂત્ર લાગુ કરવું જોઈએ નહીં.

વધુમાં, ઉલ્લેખિત રુટ સૂત્રોમાં મનસ્વી પૂર્ણાંકના રૂપમાં પરિમાણ હોય છે. IN શાળા અભ્યાસક્રમઆ એકમાત્ર કેસ છે જ્યારે પરિમાણ વગરના સમીકરણના ઉકેલમાં પરિમાણ હોય છે. આ મનસ્વી પૂર્ણાંક દર્શાવે છે કે ઉપરોક્ત કોઈપણ સમીકરણોના મૂળની અસંખ્ય સંખ્યાને ફક્ત બદલામાં બધા પૂર્ણાંકોને બદલીને લખવાનું શક્ય છે.

તમે 10મા ધોરણના બીજગણિત કાર્યક્રમમાં પ્રકરણ “ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો”નું પુનરાવર્તન કરીને આ સૂત્રોના વિગતવાર વ્યુત્પત્તિથી પરિચિત થઈ શકો છો.

અલગથી, સાઈન અને કોસાઈન સાથેના સરળ સમીકરણોના વિશિષ્ટ કેસોને ઉકેલવા પર ધ્યાન આપવું જરૂરી છે. આ સમીકરણો આના જેવા દેખાય છે:

શોધવાના સૂત્રો તેમના પર લાગુ ન કરવા જોઈએ સામાન્ય ઉકેલો. આવા સમીકરણો ત્રિકોણમિતિ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને સૌથી વધુ સરળ રીતે ઉકેલવામાં આવે છે, જે સામાન્ય ઉકેલના સૂત્રો કરતાં વધુ સરળ પરિણામ આપે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણનો ઉકેલ છે . આ જવાબ જાતે મેળવવાનો પ્રયાસ કરો અને દર્શાવેલ બાકીના સમીકરણોને હલ કરો.

દર્શાવેલ સૌથી સામાન્ય પ્રકારના ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉપરાંત, ત્યાં ઘણા વધુ પ્રમાણભૂત સમીકરણો છે. અમે પહેલેથી જ સૂચવ્યા છે તે ધ્યાનમાં લેતા અમે તેમને સૂચિબદ્ધ કરીએ છીએ:

1) પ્રોટોઝોઆ, ઉદાહરણ તરીકે, ;

2) સરળ સમીકરણોના વિશેષ કિસ્સાઓ, ઉદાહરણ તરીકે, ;

3) જટિલ દલીલ સાથેના સમીકરણો, ઉદાહરણ તરીકે, ;

4) વ્યુત્પત્તિ દ્વારા સમીકરણો સરળમાં ઘટાડી સામાન્ય ગુણક , ઉદાહરણ તરીકે, ;

5) ત્રિકોણમિતિ વિધેયોનું રૂપાંતર કરીને સમીકરણો તેમના સરળમાં ઘટાડી દેવામાં આવ્યા છે, ઉદાહરણ તરીકે, ;

6) અવેજી દ્વારા સમીકરણો તેમના સરળમાં ઘટાડી દેવામાં આવ્યા છે, ઉદાહરણ તરીકે, ;

7) સજાતીય સમીકરણો , ઉદાહરણ તરીકે, ;

8) સમીકરણો કે જે કાર્યોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, . આ સમીકરણમાં બે ચલો છે તે હકીકતથી ગભરાશો નહીં;

તેમજ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે વિવિધ પદ્ધતિઓ.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા ઉપરાંત, તમારે તેમની સિસ્ટમો ઉકેલવામાં સમર્થ હોવા જોઈએ.

સિસ્ટમોના સૌથી સામાન્ય પ્રકારો છે:

1) જેમાં એક સમીકરણ શક્તિ છે, ઉદાહરણ તરીકે, ;

2) સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોની સિસ્ટમો, ઉદાહરણ તરીકે, .

આજના પાઠમાં આપણે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ જોયા. અમે પણ મળ્યા સામાન્ય સૂત્રોસૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના ઉકેલો, આવા સમીકરણોના મુખ્ય પ્રકારો અને તેમની સિસ્ટમો દર્શાવે છે.

પાઠના વ્યવહારુ ભાગમાં, અમે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને તેમની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓનું પરીક્ષણ કરીશું.

બોક્સ 1.સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના વિશિષ્ટ કેસોનું નિરાકરણ.

જેમ કે આપણે પાઠના મુખ્ય ભાગમાં પહેલેથી જ કહ્યું છે, ફોર્મના સાઈન અને કોસાઈન સાથેના ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના વિશેષ કિસ્સાઓ:

વધુ છે સરળ ઉકેલો, સામાન્ય ઉકેલો માટેના સૂત્રો શું આપે છે.

આ માટે ત્રિકોણમિતિ વર્તુળનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ચાલો સમીકરણના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને તેમને હલ કરવાની પદ્ધતિનું વિશ્લેષણ કરીએ.

ચાલો ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પર તે બિંદુનું નિરૂપણ કરીએ કે જેના પર કોસાઈન મૂલ્ય શૂન્ય છે, જે એબ્સીસા અક્ષ સાથે સંકલન પણ છે. જેમ તમે જોઈ શકો છો, આવા બે મુદ્દા છે. અમારું કાર્ય શું સૂચવવાનું છે કોણ સમાન, જે વર્તુળ પરના આ બિંદુઓને અનુરૂપ છે.

અમે એબ્સીસા અક્ષ (કોસાઇન અક્ષ) ની હકારાત્મક દિશામાંથી ગણતરી શરૂ કરીએ છીએ અને કોણ સેટ કરતી વખતે આપણે પ્રથમ ચિત્રિત બિંદુ પર પહોંચીએ છીએ, એટલે કે. એક ઉકેલ આ કોણ મૂલ્ય હશે. પરંતુ અમે હજી પણ બીજા મુદ્દાને અનુરૂપ કોણથી સંતુષ્ટ છીએ. તેમાં કેવી રીતે પ્રવેશવું?

આ પાઠમાં આપણે જોઈશું મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ, અને યાદી પણ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને સિસ્ટમોના મૂળભૂત પ્રકારો. વધુમાં, અમે સૂચવીએ છીએ સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના સામાન્ય ઉકેલો અને તેમના ખાસ કિસ્સાઓ.

આ પાઠ તમને કાર્યોના એક પ્રકાર માટે તૈયાર કરવામાં મદદ કરશે B5 અને C1.

ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી

પ્રયોગ

પાઠ 10. ત્રિકોણમિતિ કાર્યો. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને તેમની સિસ્ટમો.

થિયરી

પાઠ સારાંશ

આપણે "ત્રિકોણમિતિ કાર્ય" શબ્દનો ઉપયોગ ઘણી વખત કરી ચૂક્યા છીએ. આ વિષયના પહેલા પાઠમાં, અમે કાટકોણ ત્રિકોણ અને એકમ ત્રિકોણમિતિ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને તેમને વ્યાખ્યાયિત કર્યા છે. ત્રિકોણમિતિ વિધેયોનો ઉલ્લેખ કરવાની આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને, અમે પહેલેથી જ નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે તેમના માટે દલીલનું એક મૂલ્ય (અથવા કોણ) કાર્યના બરાબર એક મૂલ્યને અનુરૂપ છે, એટલે કે. અમને સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ ફંક્શન કહેવાનો અધિકાર છે.

આ પાઠમાં, ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની અગાઉ ચર્ચા કરેલી પદ્ધતિઓમાંથી અમૂર્ત કરવાનો પ્રયાસ કરવાનો સમય છે. આજે આપણે ફંક્શન્સ સાથે કામ કરવા માટેના સામાન્ય બીજગણિત અભિગમ તરફ આગળ વધીશું, અમે તેમના ગુણધર્મો જોઈશું અને આલેખનું નિરૂપણ કરીશું.

ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ગુણધર્મો વિશે, ખાસ ધ્યાન આપવું જોઈએ:

વ્યાખ્યાનું ડોમેન અને મૂલ્યોની શ્રેણી, કારણ કે સાઈન અને કોસાઈન માટે મૂલ્યોની શ્રેણી પર નિયંત્રણો છે, અને સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ માટે વ્યાખ્યાની શ્રેણી પર પ્રતિબંધો છે;

બધા ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની સામયિકતા, કારણ કે અમે પહેલાથી જ સૌથી નાની બિન-શૂન્ય દલીલની હાજરીની નોંધ લીધી છે, જેનો ઉમેરો ફંક્શનની કિંમતમાં ફેરફાર કરતું નથી. આ દલીલને કાર્યનો સમયગાળો કહેવામાં આવે છે અને તેને અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. સાઈન/કોસાઈન અને ટેન્જેન્ટ/કોટેન્જેન્ટ માટે આ સમયગાળો અલગ છે.

કાર્યને ધ્યાનમાં લો:

1) વ્યાખ્યાનો અવકાશ;

2) મૂલ્ય શ્રેણી ;

3) કાર્ય વિચિત્ર છે ;

ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ. આ કિસ્સામાં, તે વિસ્તારની છબી સાથે બાંધકામ શરૂ કરવું અનુકૂળ છે જે ઉપરથી ગ્રાફને નંબર 1 દ્વારા અને નીચેથી સંખ્યા દ્વારા મર્યાદિત કરે છે, જે ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી સાથે સંકળાયેલ છે. વધુમાં, બાંધકામ માટે ઘણા મુખ્ય કોષ્ટક ખૂણાઓના સાઇન્સના મૂલ્યોને યાદ રાખવું ઉપયોગી છે, ઉદાહરણ તરીકે, આ તમને ગ્રાફની પ્રથમ સંપૂર્ણ "તરંગ" બનાવવાની મંજૂરી આપશે અને પછી તેને જમણી બાજુએ ફરીથી દોરો અને ડાબે, એ હકીકતનો લાભ લઈને કે ચિત્રને સમયગાળો દ્વારા પાળી સાથે પુનરાવર્તિત કરવામાં આવશે, એટલે કે. પર

હવે ચાલો ફંક્શન જોઈએ:

આ કાર્યના મુખ્ય ગુણધર્મો:

1) વ્યાખ્યાનો અવકાશ;

2) મૂલ્ય શ્રેણી ;

3) સમ કાર્ય આ સૂચવે છે કે ફંક્શનનો ગ્રાફ ઓર્ડિનેટ વિશે સપ્રમાણ છે;

4) કાર્ય તેની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં એકવિધ નથી;

ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ. સાઈન બનાવતી વખતે, તે વિસ્તારની છબી સાથે પ્રારંભ કરવાનું અનુકૂળ છે જે ટોચ પરના ગ્રાફને નંબર 1 સાથે અને તળિયે નંબર સાથે મર્યાદિત કરે છે, જે ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી સાથે સંકળાયેલ છે. અમે ગ્રાફ પરના કેટલાક બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ પણ બનાવીશું, જેના માટે આપણે ઘણા મુખ્ય કોષ્ટક ખૂણાઓના કોસાઇન્સના મૂલ્યોને યાદ રાખવાની જરૂર છે, ઉદાહરણ તરીકે, આ બિંદુઓની મદદથી આપણે પ્રથમ સંપૂર્ણ "તરંગ" બનાવી શકીએ છીએ. ” ગ્રાફનો અને પછી તેને જમણી અને ડાબી બાજુએ ફરીથી દોરો, એ હકીકતનો લાભ લઈને કે ચિત્ર પીરિયડ શિફ્ટ સાથે પુનરાવર્તિત થશે, એટલે કે. પર

ચાલો ફંક્શન પર આગળ વધીએ:

આ કાર્યના મુખ્ય ગુણધર્મો:

1) ડોમેન સિવાય, ક્યાં. અમે અગાઉના પાઠોમાં પહેલેથી જ સૂચવ્યું છે કે તે અસ્તિત્વમાં નથી. આ વિધાનને સ્પર્શક અવધિને ધ્યાનમાં લઈને સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે;

2) મૂલ્યોની શ્રેણી, એટલે કે. સ્પર્શક મૂલ્યો મર્યાદિત નથી;

3) કાર્ય વિચિત્ર છે ;

4) કાર્ય તેની કહેવાતી સ્પર્શક શાખાઓમાં એકવિધ રીતે વધે છે, જે આપણે હવે આકૃતિમાં જોઈશું;

5) કાર્ય સમયગાળા સાથે સામયિક છે

ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ. આ કિસ્સામાં, વ્યાખ્યા ડોમેનમાં સમાવિષ્ટ ન હોય તેવા બિંદુઓ પર ગ્રાફના વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સનું નિરૂપણ કરીને બાંધકામ શરૂ કરવું અનુકૂળ છે, એટલે કે. વગેરે આગળ, અમે એસિમ્પ્ટોટ્સ દ્વારા રચાયેલી દરેક સ્ટ્રિપ્સની અંદર સ્પર્શક શાખાઓનું નિરૂપણ કરીએ છીએ, તેમને ડાબી એસિમ્પ્ટોટ અને જમણી બાજુએ દબાવીએ છીએ. તે જ સમયે, ભૂલશો નહીં કે દરેક શાખા એકવિધ રીતે વધે છે. અમે બધી શાખાઓને એ જ રીતે દર્શાવીએ છીએ, કારણ કે ફંક્શનનો સમયગાળો બરાબર છે. આ એ હકીકત પરથી જોઈ શકાય છે કે દરેક શાખા પડોશીને એબ્સીસા અક્ષ સાથે ખસેડીને મેળવવામાં આવે છે.

અને અમે કાર્ય પર એક નજર સાથે સમાપ્ત કરીએ છીએ:

આ કાર્યના મુખ્ય ગુણધર્મો:

1) ડોમેન સિવાય, ક્યાં. ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યોના કોષ્ટકમાંથી, આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ કે તે અસ્તિત્વમાં નથી. આ વિધાન કોટેન્જેન્ટ સમયગાળાને ધ્યાનમાં લઈને સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે;

2) મૂલ્યોની શ્રેણી, એટલે કે. કોટેન્જન્ટ મૂલ્યો મર્યાદિત નથી;

3) કાર્ય વિચિત્ર છે ;

4) ફંક્શન તેની શાખાઓમાં એકવિધ રીતે ઘટે છે, જે સ્પર્શક શાખાઓ જેવું જ છે;

5) કાર્ય સમયગાળા સાથે સામયિક છે

ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ. આ કિસ્સામાં, સ્પર્શક માટે, વ્યાખ્યા ડોમેનમાં સમાવિષ્ટ ન હોય તેવા બિંદુઓ પર ગ્રાફના વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સનું નિરૂપણ કરીને બાંધકામ શરૂ કરવું અનુકૂળ છે, એટલે કે. વગેરે આગળ, અમે એસિમ્પ્ટોટ્સ દ્વારા રચાયેલી દરેક પટ્ટાઓની અંદર કોટેન્જેન્ટની શાખાઓનું નિરૂપણ કરીએ છીએ, તેમને ડાબી એસિમ્પ્ટોટ અને જમણી બાજુએ દબાવીને. આ કિસ્સામાં, અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે દરેક શાખા એકવિધ રીતે ઘટે છે. અમે તમામ શાખાઓને સ્પર્શકની સમાન રીતે સમાન રીતે દર્શાવીએ છીએ, કારણ કે ફંક્શનનો સમયગાળો બરાબર છે.

અલગથી, એ નોંધવું જોઈએ કે જટિલ દલીલો સાથેના ત્રિકોણમિતિ કાર્યોમાં બિન-માનક અવધિ હોઈ શકે છે. અમે ફોર્મના કાર્યો વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ:

તેમનો સમયગાળો સમાન છે. અને કાર્યો વિશે:

તેમનો સમયગાળો સમાન છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, નવા સમયગાળાની ગણતરી કરવા માટે, પ્રમાણભૂત અવધિને દલીલમાંના પરિબળ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. તે ફંક્શનના અન્ય ફેરફારો પર આધારિત નથી.

તમે વધુ વિગતવાર સમજી શકો છો અને ફંક્શનના ગ્રાફનું નિર્માણ અને રૂપાંતર કરવા વિશેના પાઠમાં આ સૂત્રો ક્યાંથી આવે છે તે સમજી શકો છો.

અમે "ત્રિકોણમિતિ" વિષયના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ભાગોમાંના એક પર આવ્યા છીએ, જેને આપણે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટે સમર્પિત કરીશું. આવા સમીકરણોને ઉકેલવાની ક્ષમતા મહત્વપૂર્ણ છે, ઉદાહરણ તરીકે, ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઓસીલેટરી પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરતી વખતે. ચાલો કલ્પના કરીએ કે તમે સ્પોર્ટ્સ કારમાં ગો-કાર્ટમાં થોડા લેપ્સ ચલાવ્યા છે; ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ ઉકેલવાથી તમે ટ્રેક પર કારની સ્થિતિના આધારે કેટલા સમય સુધી રેસ કરી રહ્યા છો તે નક્કી કરવામાં મદદ કરશે.

ચાલો સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ લખીએ:

આવા સમીકરણનો ઉકેલ એ દલીલો છે જેની સાઈન બરાબર છે. પરંતુ આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે સાઈનની સામયિકતાને લીધે, આવી દલીલોની અસંખ્ય સંખ્યા છે. આમ, આ સમીકરણનો ઉકેલ હશે, વગેરે. તે જ અન્ય કોઈપણ સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણને ઉકેલવા માટે લાગુ પડે છે, તેમાંની અનંત સંખ્યા હશે.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઘણા મુખ્ય પ્રકારોમાં વહેંચાયેલા છે. અલગથી, આપણે સૌથી સરળ લોકો પર ધ્યાન આપવું જોઈએ, કારણ કે બાકીનું બધું તેમની પાસે આવે છે. આવા ચાર સમીકરણો છે (મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની સંખ્યા અનુસાર). સામાન્ય ઉકેલો તેમના માટે જાણીતા છે;

સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને તેમના સામાન્ય ઉકેલોઆના જેવું જુઓ:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે સાઈન અને કોસાઈનના મૂલ્યોએ અમને જાણીતી મર્યાદાઓને ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ. જો, ઉદાહરણ તરીકે, પછી સમીકરણ પાસે કોઈ ઉકેલો નથી અને ઉલ્લેખિત સૂત્ર લાગુ કરવું જોઈએ નહીં.

વધુમાં, ઉલ્લેખિત રુટ સૂત્રોમાં મનસ્વી પૂર્ણાંકના રૂપમાં પરિમાણ હોય છે. શાળાના અભ્યાસક્રમમાં, આ એકમાત્ર કેસ છે જ્યારે પરિમાણ વગરના સમીકરણના ઉકેલમાં પરિમાણ હોય છે. આ મનસ્વી પૂર્ણાંક દર્શાવે છે કે ઉપરોક્ત કોઈપણ સમીકરણોના મૂળની અસંખ્ય સંખ્યાને ફક્ત બદલામાં બધા પૂર્ણાંકોને બદલીને લખવાનું શક્ય છે.

તમે 10મા ધોરણના બીજગણિત કાર્યક્રમમાં પ્રકરણ “ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો”નું પુનરાવર્તન કરીને આ સૂત્રોના વિગતવાર વ્યુત્પત્તિથી પરિચિત થઈ શકો છો.

અલગથી, સાઈન અને કોસાઈન સાથેના સરળ સમીકરણોના વિશિષ્ટ કેસોને ઉકેલવા પર ધ્યાન આપવું જરૂરી છે. આ સમીકરણો આના જેવા દેખાય છે:

સામાન્ય ઉકેલો શોધવા માટેના સૂત્રો તેમના પર લાગુ ન કરવા જોઈએ. આવા સમીકરણો ત્રિકોણમિતિ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને સૌથી વધુ સરળ રીતે ઉકેલવામાં આવે છે, જે સામાન્ય ઉકેલના સૂત્રો કરતાં વધુ સરળ પરિણામ આપે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણનો ઉકેલ છે . આ જવાબ જાતે મેળવવાનો પ્રયાસ કરો અને દર્શાવેલ બાકીના સમીકરણોને હલ કરો.

દર્શાવેલ સૌથી સામાન્ય પ્રકારના ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉપરાંત, ત્યાં ઘણા વધુ પ્રમાણભૂત સમીકરણો છે. અમે પહેલેથી જ સૂચવ્યા છે તે ધ્યાનમાં લેતા અમે તેમને સૂચિબદ્ધ કરીએ છીએ:

1) પ્રોટોઝોઆ, ઉદાહરણ તરીકે, ;

2) સરળ સમીકરણોના વિશેષ કિસ્સાઓ, ઉદાહરણ તરીકે, ;

3) જટિલ દલીલ સાથેના સમીકરણો, ઉદાહરણ તરીકે, ;

4) એક સામાન્ય અવયવ કાઢીને સમીકરણો તેમના સરળમાં ઘટાડી દીધા, ઉદાહરણ તરીકે, ;

5) ત્રિકોણમિતિ વિધેયોનું રૂપાંતર કરીને સમીકરણો તેમના સરળમાં ઘટાડી દેવામાં આવ્યા છે, ઉદાહરણ તરીકે, ;

6) અવેજી દ્વારા સમીકરણો તેમના સરળમાં ઘટાડી દેવામાં આવ્યા છે, ઉદાહરણ તરીકે, ;

7) સજાતીય સમીકરણો, ઉદાહરણ તરીકે, ;

8) સમીકરણો કે જે કાર્યોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, . આ સમીકરણમાં બે ચલો છે તે હકીકતથી ગભરાશો નહીં;

તેમજ સમીકરણો કે જે વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા ઉપરાંત, તમારે તેમની સિસ્ટમો ઉકેલવામાં સમર્થ હોવા જોઈએ.

સિસ્ટમોના સૌથી સામાન્ય પ્રકારો છે:

1) જેમાં એક સમીકરણ શક્તિ છે, ઉદાહરણ તરીકે, ;

2) સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોની સિસ્ટમો, ઉદાહરણ તરીકે, .

આજના પાઠમાં આપણે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, તેમના ગુણધર્મો અને આલેખ જોયા. અમે સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને ઉકેલવા માટેના સામાન્ય સૂત્રોથી પણ પરિચિત થયા, આવા સમીકરણોના મુખ્ય પ્રકારો અને તેમની સિસ્ટમો સૂચવ્યા.

પાઠના વ્યવહારુ ભાગમાં, અમે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને તેમની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓનું પરીક્ષણ કરીશું.

બોક્સ 1.સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના વિશિષ્ટ કેસોનું નિરાકરણ.

જેમ કે આપણે પાઠના મુખ્ય ભાગમાં પહેલેથી જ કહ્યું છે, ફોર્મના સાઈન અને કોસાઈન સાથેના ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના વિશેષ કિસ્સાઓ:

સામાન્ય સોલ્યુશનના સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવેલા ઉકેલો કરતાં સરળ ઉકેલો છે.

આ માટે ત્રિકોણમિતિ વર્તુળનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ચાલો સમીકરણના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને તેમને હલ કરવાની પદ્ધતિનું વિશ્લેષણ કરીએ.

ચાલો ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પર તે બિંદુનું નિરૂપણ કરીએ કે જેના પર કોસાઈન મૂલ્ય શૂન્ય છે, જે એબ્સીસા અક્ષ સાથે સંકલન પણ છે. જેમ તમે જોઈ શકો છો, આવા બે મુદ્દા છે. અમારું કાર્ય વર્તુળ પરના આ બિંદુઓને અનુરૂપ કોણ સમાન છે તે દર્શાવવાનું છે.

અમે એબ્સીસા અક્ષ (કોસાઇન અક્ષ) ની હકારાત્મક દિશામાંથી ગણતરી શરૂ કરીએ છીએ અને કોણ સેટ કરતી વખતે આપણે પ્રથમ ચિત્રિત બિંદુ પર પહોંચીએ છીએ, એટલે કે. એક ઉકેલ આ કોણ મૂલ્ય હશે. પરંતુ અમે હજી પણ બીજા મુદ્દાને અનુરૂપ કોણથી સંતુષ્ટ છીએ. તેમાં કેવી રીતે પ્રવેશવું?

11મા ધોરણમાં ત્રિકોણમિતિ કાર્યોનો આલેખ કરવો

ગણિત શિક્ષક પ્રથમ લાયકાત શ્રેણી MAOU "જિમ્નેશિયમ નંબર 37", કાઝાન

સ્પિરિડોનોવા એલ.વી.

• આંકડાકીય દલીલના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો
• y=sin(x)+m અને y=cos(x)+m
• ફોર્મના કાર્યોના પ્લોટિંગ ગ્રાફ y=sin(x+t) અને y=cos(x+t)
• ફોર્મના કાર્યોના પ્લોટિંગ ગ્રાફ y=A · પાપ(x) અને y=A · cos(x)
• ઉદાહરણો

ત્રિકોણમિતિ કાર્યો સંખ્યાત્મક દલીલ.

y=sin(x)

y=cos(x)

કાર્ય આલેખન y = sinx .

કાર્ય આલેખન y = sinx .

કાર્ય આલેખન y = sinx .

કાર્ય આલેખન y = sinx .

ફંક્શન y = ના ગુણધર્મો પાપ ( x ) .

બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ ( આર )

2. ફેરફારોનો વિસ્તાર (મૂલ્યોનો વિસ્તાર) ,E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. કાર્ય y = પાપ ( x) વિચિત્ર, કારણ કે sin(-x ) = - પાપ x

• π .

sin(x+2 π ) = પાપ(x).

5. સતત કાર્ય

ઉતરતા: [ π /2; 3 π /2 ] .

6. વધારો: [ - π /2; π /2 ] .

+

+

+

-

-

-

કાર્ય આલેખન y = cos x .

કાર્ય y = નો ગ્રાફ cos x ટ્રાન્સફર દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે

કાર્ય y = નો આલેખ પાપ x દ્વારા છોડી દીધું π /2.

ફંક્શનના ગુણધર્મો y = co s ( x ) .

1. ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન સમૂહ છે

બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ ( આર )

2. ફેરફારનો વિસ્તાર (મૂલ્યોનો વિસ્તાર), E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. કાર્ય y = cos (X) પણ, કારણ કે cos(- એક્સ ) = cos (X)

• કાર્ય સામયિક છે, મુખ્ય અવધિ 2 સાથે π .

cos( એક્સ + 2 π ) = cos (X) .

5. સતત કાર્ય

ઉતરતા: [ 0 ; π ] .

6. વધારો: [ π ; 2 π ] .

+

+

+

+

-

-

-

બાંધકામ

આલેખ ફોર્મના કાર્યો

y = પાપ ( x ) + મી

અને

y = cos (X) + m

ઓય અક્ષ સાથે ગ્રાફનું સમાંતર ટ્રાન્સફર

કાર્યનો આલેખ y=f(x) + m તે બહાર આવ્યું છે સમાંતર ટ્રાન્સફરકાર્ય ગ્રાફિક્સ y=f(x) , ઉપર m એકમો જો m 0 ,

અથવા નીચે જો m .

રૂપાંતર: y= પાપ ( x ) +મી

શિફ્ટ y= પાપ ( x ) ધરી સાથે y ઉપર જો m 0

m

રૂપાંતર: y= cos ( x ) +મી

શિફ્ટ y= cos ( x ) ધરી સાથે y ઉપર , જો m 0

m

રૂપાંતર: y=પાપ ( x ) +મી

શિફ્ટ y= પાપ ( x ) ધરી સાથે y નીચે જો m 0

m

રૂપાંતર: y=cos ( x ) + મી

શિફ્ટ y= cos ( x ) ધરી સાથે y નીચે જો m 0

m

બાંધકામ

આલેખ ફોર્મના કાર્યો

y = પાપ ( x + t )

અને

y = cos ( એક્સ + ટી )

ઓક્સ અક્ષ સાથે ગ્રાફનું સમાંતર ટ્રાન્સફર

કાર્યનો આલેખ y = f(x + t)ફંક્શનના ગ્રાફના સમાંતર ટ્રાન્સફર દ્વારા મેળવેલ y=f(x)ધરી સાથે એક્સ પર |t| સ્કેલ એકમો બાકી, જો ટી 0

અને અધિકાર , જો t 0.

રૂપાંતર: y = પાપ(x + t)

પાળી y= f(x) ધરી સાથે એક્સ બાકી, જો t 0

t

રૂપાંતર: y = cos(x + t)

પાળી y= f(x) ધરી સાથે એક્સ બાકી, જો t 0

t

રૂપાંતર: y=sin(x+t)

પાળી y= f(x) ધરી સાથે એક્સ ખરું, જો t 0

t

રૂપાંતર: y = cos(x + t)

પાળી y= f(x) ધરી સાથે એક્સ ખરું, જો t 0

t

0

ફોર્મના કાર્યોના પ્લોટિંગ ગ્રાફ y = એ · પાપ ( x ) અને y = એ · cos ( x ) , ખાતે a 1 અને 0 એ 1

કમ્પ્રેશન અને સ્ટ્રેચિંગ બળદની ધરી સાથે

કાર્યનો આલેખ y=A · f(x ) આપણે ફંક્શનના ગ્રાફને ખેંચીને મેળવીએ છીએ y= f(x) ગુણાંક સાથે એ બળદની ધરી સાથે, જો એ 1 અને 0 ના ગુણાંક સાથે ઓક્સ અક્ષ પર સંકોચન એ .

રૂપાંતર: y = એક પાપ ( x ), a 1

ચાલો a=1.5

રૂપાંતર: y =a · cos ( x ), a 1

ચાલો a=1.5

રૂપાંતર: y = એક પાપ ( x ) , 0

ચાલો a=0.5

રૂપાંતર: y = a cos ( x ), 0

ચાલો a=0.5



પાપ (

y

x

y=sin(x) → y=sin(x- π )

x

પાપ (

y





y

પાપ (

x

y

x

- 1

y=cos(x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) → y= - cos(2x)+3

x

x

x

y

y

પાપ

y

પાપ

પાપ

પાપ

y

x

y

x

- 1

y=sin(x) → y=sin(x/3) → y=sin(x/3)-2

y

x

- 1

y=sin(x) → y=2sin(x) → y=2sin(x)-1







y

y

 

 

 

y

cos

y

cos x+2

x

cos x+2

cos x

y

x

- 1

y= cos(x) → y=1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) +2

y

x

- 1

y=cos (x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) →