1. ફિલ્ડ થિયરીના મૂળભૂત ખ્યાલો

ફિલ્ડ થિયરી ઘણી બધી વિભાવનાઓને અંતર્ગત છે આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્ર, મિકેનિક્સ, ગણિત. તેના મુખ્ય ખ્યાલો ઢાળ, પ્રવાહ, સંભવિત, રોટર, વિચલન, પરિભ્રમણ, વગેરે છે. આ ખ્યાલો મૂળભૂત વિચારોમાં નિપુણતા મેળવવા માટે પણ મહત્વપૂર્ણ છે. ગાણિતિક વિશ્લેષણઘણા ચલોના કાર્યો.

ક્ષેત્ર એ જગ્યાનો પ્રદેશ G છે, જેના દરેક બિંદુએ ચોક્કસ જથ્થાનું મૂલ્ય નક્કી કરવામાં આવે છે.

IN શારીરિક સમસ્યાઓસામાન્ય રીતે બે પ્રકારના જથ્થા હોય છે: સ્કેલર અને વેક્ટર. આને અનુરૂપ, બે પ્રકારના ક્ષેત્રો ગણવામાં આવે છે.

જો આ પ્રદેશનો દરેક બિંદુ M ચોક્કસ સંખ્યા U(M) સાથે સંકળાયેલ હોય, તો તેઓ કહે છે કે in

વિસ્તાર આપવામાં આવે છે (વ્યાખ્યાયિત) એક સ્કેલર ક્ષેત્ર. કેટલાક ગરમ શરીરની અંદરનું તાપમાન ક્ષેત્ર (આ શરીરના દરેક બિંદુ M પર અનુરૂપ તાપમાન U (M) ઉલ્લેખિત છે), ક્ષેત્ર

કોઈપણ પ્રકાશ સ્ત્રોત દ્વારા બનાવવામાં આવેલ રોશની. સિસ્ટમને જગ્યામાં ઠીક કરવા દો

આ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં બિંદુ M ના કોઓર્ડિનેટ્સ. ફંક્શનU(x,y,z) ના મૂલ્યો ફીલ્ડU(M) ના મૂલ્યો સાથે મેળ ખાય છે,

તેથી, તેના માટે સમાન પ્રતીક જાળવી રાખવામાં આવે છે.

જો આ વિસ્તારનો દરેક બિંદુ M ચોક્કસ વેક્ટર (M) સાથે સંકળાયેલ હોય, તો તેઓ કહે છે કે

વેક્ટર ક્ષેત્ર સ્પષ્ટ થયેલ છે. વેક્ટર ક્ષેત્રોનું એક ઉદાહરણ સ્થિર પ્રવાહી પ્રવાહનું વેગ ક્ષેત્ર છે. તે નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: પ્રદેશ G ને દરેક બિંદુએ વહેતા પ્રવાહીથી ભરવા દો

અમુક ઝડપ v, સમયથી સ્વતંત્ર (પરંતુ

અલગ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, માં વિવિધ બિંદુઓ); G માંથી દરેક બિંદુ M ને વેક્ટરવ (M) અસાઇન કરીને, આપણે વેક્ટર ફીલ્ડ મેળવીએ છીએ જેને વેલોસીટી ફીલ્ડ કહેવાય છે.

જો a(M) માં અમુક વેક્ટર ક્ષેત્ર છે

સ્પેસ, પછી આ જગ્યામાં નિશ્ચિત લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ લઈને, આપણે કરી શકીએ છીએ

અ

કાર્યો: a (M) = (P (x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z)). આ

જો કાર્ય U (M) (અથવા a (M)) પર આધારિત નથી

સમય, પછી સ્કેલર (વેક્ટર) ક્ષેત્રને સ્થિર કહેવામાં આવે છે; સમય સાથે બદલાતા ક્ષેત્રને બિન-સ્થિર કહેવામાં આવે છે. નીચે આપણે ફક્ત સ્થિર ક્ષેત્રોને ધ્યાનમાં લઈશું.

2. સ્કેલર અને વેક્ટર ક્ષેત્રોની મૂળભૂત લાક્ષણિકતાઓ

એક વેક્ટર કે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ બિંદુ પર ફંક્શન U (x,y,z) ના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યો છે

M (x,y,z) ને ફંક્શનનો ઢાળ કહેવામાં આવે છે અને તે સૂચવે છે

gradU (x,y,z), એટલે કે.
	∂U(M)	∂U(M)	∂U(M)
gradU (x,y,z) =	∂U(M)	∂U(M)	∂U(M)
	∂x	∂y	∂z

તે જાણીતું છે કે બિંદુ M પરનો ઢાળ ફંક્શન U (x,y,z) માં સૌથી ઝડપી વૃદ્ધિની દિશા સુયોજિત કરે છે. તેઓ કહે છે કે સ્કેલર ક્ષેત્ર U જનરેટ કરે છે

વેક્ટર ગ્રેડિયન્ટ ફીલ્ડ U.

ઢાળ રેખાસ્કેલર ક્ષેત્ર U(M) કહેવાય છે

કોઈપણ વળાંક જેની સ્પર્શક દરેક બિંદુ પર તે બિંદુ પર gradU સાથે નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે.

આમ, ફીલ્ડ ગ્રેડિયન્ટ રેખાઓ તે રેખાઓ છે જેની સાથે ક્ષેત્ર સૌથી વધુ ઝડપથી બદલાય છે.

ઢાળની બીજી મિલકત બનાવવા માટે, ચાલો સ્તરની સપાટીની વ્યાખ્યા યાદ કરીએ.

સ્તર સપાટીકાર્યો (ક્ષેત્રો)U =U (x,y,z)

તે સપાટી છે જેના પર કાર્ય (ક્ષેત્ર) સાચવે છે સતત મૂલ્ય. સ્તરની સપાટીનું સમીકરણ U (x,y,z) =C સ્વરૂપ ધરાવે છે.

આમ, ક્ષેત્રના દરેક બિંદુએ, આ બિંદુમાંથી પસાર થતી સ્તરની સપાટી તરફ ઢાળ સામાન્ય સાથે નિર્દેશિત થાય છે.

પ્રવાહ Π વેક્ટર ક્ષેત્ર a = (P ,Q ,R ) મારફતે

સપાટી σ કહેવાય છે સપાટી અભિન્ન

∫∫ (P cosα + Q cosβ + R cosγ )dS

અથવા, ટૂંકમાં, ∫∫ a n dS, જ્યાં n = (cosα, cosβ, cosγ) દ્વારા

નિયુક્ત એકમ વેક્ટરસપાટી પર સામાન્ય σ, તેની બાજુ વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

માં વેક્ટર ફિલ્ડા (M) નું વિચલન
		એક એનએસ
મર્યાદા કહેવાય છે

	v→ 0
પ્રદેશ Ω G ધરાવે છે		બિંદુ M, અને σ
પ્રદેશ Ω, જે diva(M) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.
જો ખાનગી	ડેરિવેટિવ્ઝ		∂P,	∂Q,	∂R
			∂x	∂y	∂z

સતત છે, પછી

∂P+

∂Q+

∂R

div a(M) =

∂x

∂y

∂z

વેક્ટર ફિલ્ડાનું રોટર (અથવા વમળ) = (P,Q,R)

આગામી વેક્ટર કહેવાય છે

∂R

∂પ્ર

∂ પી

∂R

∂પ્ર

∂ પી

રોટ એ

∂y

∂z

∂x

∂y

ફોર્મમાં વેક્ટર ફીલ્ડના કર્લને લખવું અનુકૂળ છે

પ્રતીકાત્મક નિર્ણાયક

રોટ એ =

∂x

∂y

∂z

જ્યાં એક પ્રતીકના ગુણાકાર હેઠળ

∂x

∂z

∂y

કેટલાક

સમજાય છે

અમલ

યોગ્ય

કામગીરી

તફાવત

(ઉદાહરણ તરીકે,

સ એટલે

∂પ્ર

∂x

L ને ડોમેન Ω માં બંધ વળાંક હોવા દો. અભિન્ન

∫ P dx+ Q dy+ R dz

ક્ષેત્ર પરિભ્રમણ કહેવાય છે = (P,Q,R)

L વળાંક સાથે અને

દ્વારા સૂચિત

∫ એ ડી આર,

d r = (dx, dy, dz) .

3. સ્ટોક્સ અને ઓસ્ટ્રોગ્રેડસ્કી-ગૌસ સૂત્રો

ચાલો L દ્વારા ચોક્કસ બંધ સમોચ્ચ અને σ આ સમોચ્ચ દ્વારા ફેલાયેલી સપાટીને સૂચવીએ.

એવું માનવામાં આવે છે કે સમોચ્ચ પર દિશાની પસંદગી સપાટીની બાજુની પસંદગી સાથે સુસંગત છે (જ્યારે પસંદ કરેલી દિશામાં સમોચ્ચને પસાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે પસંદ કરેલી બાજુ ડાબી બાજુ છે).

સ્ટોક્સ સૂત્ર કહે છે કે ચોક્કસ સમોચ્ચ સાથે વેક્ટર ક્ષેત્રનું પરિભ્રમણ આ સમોચ્ચ પર વિસ્તરેલી સપાટી દ્વારા વેક્ટર ક્ષેત્રના રોટરના પ્રવાહ જેટલું હોય છે.

હવે Ω થોડા બંધ થવા દો મર્યાદિત વિસ્તાર, aσ આ વિસ્તારની સીમા છે. પછી તે વાજબી છે

σ Ω

યાદ કરો કે ફોર્મ્યુલા (5) ની ડાબી બાજુએ સપાટીના અભિન્ન ભાગને અનુસાર લેવામાં આવે છે બહારસપાટી σ.

ઓસ્ટ્રોગ્રેડસ્કી-ગૌસ સૂત્રનો અર્થ છે ત્રિવિધ અભિન્નવેક્ટર ક્ષેત્રના વિચલનથી વિસ્તાર પર પ્રવાહ સમાનઆ ક્ષેત્રની સપાટી દ્વારા આ ક્ષેત્રને બાઉન્ડિંગ.

4. હેમિલ્ટન ઓપરેટર. કેટલાક પ્રકારના સ્કેલર અને વેક્ટર ક્ષેત્રો

અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી અને મિકેનિક હેમિલ્ટને વેક્ટર ડિફરન્સિયલ ઓપરેટરની રજૂઆત કરી


∂x	∂y	∂z

નાબલા ઓપરેટરને બોલાવ્યો.

તે તરત જ નોંધવું જોઈએ કે પ્રતીકાત્મક વેક્ટર અને "વાસ્તવિક" વેક્ટર વચ્ચેની સામ્યતા નથી.

પૂર્ણ જેમ કે, પ્રતીકાત્મક વેક્ટર ધરાવતા સૂત્રો સામાન્ય સૂત્રો જેવા જ હોય છે વેક્ટર બીજગણિતઘટનામાં કે તેમાં કાર્યો શામેલ નથી ચલો(સ્કેલર અને વેક્ટર), એટલે કે, જ્યાં સુધી તમારે ચલ જથ્થાના ઉત્પાદનમાં ઑપરેશનમાં સમાવિષ્ટ ભિન્નતા લાગુ કરવાની જરૂર નથી.

નાબલા વેક્ટર, સ્કેલર ફીલ્ડ ગ્રેડિયન્ટનો ઉપયોગ કરીને

સાંકેતિક વેક્ટરને રજૂ કરવાની યોગ્યતા એ હકીકતમાં રહેલી છે કે તેની સહાયથી તે મેળવવા અને લખવાનું અનુકૂળ છે. વિવિધ સૂત્રોવેક્ટર વિશ્લેષણ.

ચાલો આને ઉદાહરણો સાથે દર્શાવીએ.

સમસ્યા 1. સાબિત કરો કે સ્કેલર ફીલ્ડ U(M) ના ઢાળનું રોટર 0 બરાબર છે, એટલે કે rot(gradU) = 0.

ચાલો પહેલા હેમિલ્ટોનિયન ઓપરેટરનો ઉપયોગ કર્યા વિના આ સમાનતા સાબિત કરીએ. આમ,

rot(gradU) = રોટ	∂U(M)	, ∂U (M) ,	∂U (M) =

	∂x	∂y	∂z

∂ ∂

= ∂ x∂ y∂ U∂ U

∂x∂y

∂z

∂યુ

∂z ∂y

∂x ∂z

∂y ∂z

∂z ∂x

∂z

∂y ∂x

∂x ∂y

k = 0,

કારણ કે, શ્વાર્ટ્ઝના પ્રમેય દ્વારા, સતત મિશ્ર વ્યુત્પન્ન સમાન છે.

હવે, ઢાળ (7) અને રોટર (9) દ્વારા લખવાના ફોર્મનો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે rot(gradU ) =× U છે.

વેક્ટર U (વેક્ટર અને સ્કેલર U નું ઉત્પાદન) વેક્ટર સાથે સમરેખીય હોવાથી, તેમના વેક્ટર

ઉત્પાદન 0 છે.

કાર્ય 2. સ્કેલર ફીલ્ડ ગ્રેડિયન્ટ div(gradU ) નો ઉપયોગ કરીને ભિન્નતા લખો.

ગ્રેડયુમાંથી વિભિન્નતાની રચના, અમને મળે છે

div(gradU) = div	∂ U s i + ∂ U s j +		∂ U k s =

∂x		∂y	∂z

= ∂ 2 U + ∂ 2 U + ∂ 2 U . ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

ઓપરેટર	∂2	∂2	∂2	ઓપરેટર કહેવાય છે
	∂x2	∂y 2	∂z 2

Laplace અને પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

= ∂ 2+ ∂ 2+ ∂ 2. ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

વેક્ટરનો સ્કેલર ચોરસ હોવાથી ચોરસ સમાનતેનું મોડ્યુલસ, પછી = 2. આમ, div(gradU) =2 U.

વેક્ટર ક્ષેત્ર a (M) ને સંભવિત કહેવાય છે,

જો તેને અમુક સ્કેલર ફીલ્ડ U(M) ના ઢાળ તરીકે રજૂ કરી શકાય:

a = ગ્રેડયુ.

સ્કેલર ફિલ્ડ U પોતે જ વેક્ટર ફિલ્ડ પોટેન્શિયા કહેવાય છે.

વેક્ટર ફીલ્ડ a(M) બનવા માટે

સમાનતા પૂર્ણ કરવાની આવશ્યકતા (10) સાબિત થઈ છે (ઉપર ચર્ચા કરેલ સમસ્યા 1 જુઓ).

વેક્ટર ક્ષેત્ર સંભવિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે


U (M) = ∫ P(x, y, z) dx+ ∫ Q(x0 , y, z) dy+ ∫ R(x0 , y0 , z) dz+ C,

જ્યાં (x 0 ,y 0 ,z 0 ) - મનસ્વી બિંદુવિસ્તારો જી.

વેક્ટર ક્ષેત્ર a(M), જેનું વિચલન

સમાન રીતે શૂન્ય સમાન, સોલેનોઇડલ (ટ્યુબ્યુલર) કહેવાય છે.

ક્રમમાં એક રચના કરવા માટે સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મોસોલેનોઇડલ ક્ષેત્ર, અમે વેક્ટર લાઇન અને વેક્ટર ટ્યુબના ખ્યાલો રજૂ કરીએ છીએ.

G માં પડેલી L રેખાને વેક્ટર કહેવામાં આવે છે

રેખા જો આ રેખાના દરેક બિંદુ પર સ્પર્શકની દિશા આ બિંદુએ વેક્ટર ક્ષેત્રની દિશા સાથે એકરુપ હોય.

તે જાણીતું છે કે વેક્ટર રેખા એ વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમનો અભિન્ન વળાંક છે

ખાસ કરીને, જો વેક્ટર ક્ષેત્ર સ્થિર પ્રવાહી પ્રવાહનું વેગ ક્ષેત્ર છે, તો તેની વેક્ટર રેખાઓ પ્રવાહી કણોની ગતિ છે.

વેક્ટર ટ્યુબ એ પ્રદેશ G માં પોઈન્ટનો બંધ Φ સમૂહ છે, જેમાં વેક્ટર ક્ષેત્ર a (M) નો ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે, જેમ કે તેની સીમાની સપાટી પર દરેક જગ્યાએ સામાન્ય વેક્ટર n (M) થી ઓર્થોગોનલ છે.

વેક્ટર ટ્યુબમાં વેક્ટર ફીલ્ડ લાઇન a(M) હોય છે. વેક્ટર લાઇન સંપૂર્ણપણે Φ if માં સમાયેલ છે

રેખાનો એક બિંદુ Φ માં સમાયેલ છે.

વિભાગમાં ટ્યુબ Φ ની તીવ્રતા આ વિભાગ દ્વારા ફીલ્ડ ફ્લક્સ (M) છે.

જો ક્ષેત્ર સોલેનોઇડલ છે, તો વેક્ટર ટ્યુબની તીવ્રતાના સંરક્ષણનો કાયદો સંતુષ્ટ છે.

સિંક અને સ્ત્રોતોની ગેરહાજરીમાં અસ્પષ્ટ પ્રવાહીના વેગ ક્ષેત્ર v(M) માટે (એટલે કે, divv(M) = 0 ની સ્થિતિ હેઠળ), વેક્ટરની તીવ્રતાના સંરક્ષણનો કાયદો

ટ્યુબ આ રીતે ઘડી શકાય છે: વેક્ટર ટ્યુબના ક્રોસ સેક્શન દ્વારા એકમ સમય દીઠ વહેતા પ્રવાહીની માત્રા તેના તમામ વિભાગો માટે સમાન છે.

નીચે કેટલાક છે લાક્ષણિક કાર્યોઉકેલો સાથે.

કાર્ય 3. સ્કેલર ફીલ્ડ લેવલ સપાટીઓ શોધો

U(M) = x2 + y2 −z.

સ્તરની સપાટીઓ લંબગોળ પેરાબોલોઇડ્સનું કુટુંબ છે જેની સમપ્રમાણતાની ધરી ઓઝ અક્ષ છે.

કાર્ય 4.

સ્કેલર ફીલ્ડમાં U (M ) = xy 2 + z 2 શોધો

બિંદુ M 0 (2,1,− 1) પર ઢાળ.

ચાલો મૂલ્યો શોધીએ

આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ

U (M) બિંદુ M 0 પર:

∂યુ

|M 0 =y 2 |M 0 = 12 = 1,

∂યુ

|M 0 = 2xy |M 0 = 2 2 1 = 4,

∂x

∂y

∂યુ

2 (− 1) =− 2.

∂z

આથી,

gradU (M 0 ) =s i + 4s j − 2k s .

વેક્ટર ક્ષેત્રના વિચલનની ગણતરી કરો

a(M) = 2 xy2 i− yz j+ 3 z2 k

બિંદુ M 0 (1,− 2,1) પર.

P = 2xy 2 ,Q =− yz ,R = 3z 2 . ચાલો મૂલ્ય શોધીએ

બિંદુ M 0 પર અનુરૂપ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ:

∂P|

2 ય 2 |

2 (− 2)2 = 8,

∂પ્ર

= − z |

= − 1,

∂x

∂y

તમે ઓપરેશન માટે "નાબલા" ઓપરેટરનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો:

તે અહીં ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે વેક્ટર ઉત્પાદનકોલિનિયર ઓપરેટર્સ શૂન્યની બરાબર છે. સીધા ભિન્નતા દ્વારા સમાન પરિણામ મેળવવાની દરખાસ્ત છે.

પ્રાપ્ત પરિણામમાંથી કોઈ મેળવી શકે છે મહત્વપૂર્ણ પરિણામ. કેટલાક બંધ વળાંક ધ્યાનમાં લો એલઅને તેના પર મનસ્વી સપાટીને ખેંચો એસ.

સ્ટોક્સના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે લખી શકીએ છીએ

ચાલો પ્રમેયના રૂપમાં મેળવેલા પરિણામને ઘડીએ:

પ્રમેય 1. કોઈપણ બંધ સમોચ્ચ સાથે વેક્ટર ક્ષેત્રનું પરિભ્રમણ શૂન્ય બરાબર છે.

કોરોલરી 1. વક્રીકૃત અભિન્નસ્કેલર ફંક્શનના ગ્રેડિયન્ટ પર એકીકરણ પાથની પસંદગી પર આધાર રાખતો નથી અને તે સંપૂર્ણ રીતે પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓએકીકરણ રેખાઓ.

પુરાવો. ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ.

ચાલો સૌથી સરળ પરિવર્તનો કરીએ

આથી

આનો અર્થ એ છે કે એકીકરણછે સંપૂર્ણ વિભેદક. પરિણામે, ઇન્ટિગ્રલનું મૂલ્ય ફક્ત પોઇન્ટ A અને B ની પસંદગી પર આધારિત છે:

ચાલો ઓપરેશનની ગણતરી કરીએ. આ કરવા માટે, અમે વેક્ટર બીજગણિતમાંથી જાણીતા ડબલ વેક્ટર ઉત્પાદન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

ચાલો આ ફોર્મ્યુલાને આપણા માટે વધુ અનુકૂળ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ

રૂપાંતરણ કરવામાં આવે છે જેથી આગળના સૂત્રોમાં "નાબલા" ઓપરેટર છેલ્લી સ્થિતિમાં દેખાતું નથી. ઓપરેટરના સંદર્ભમાં "નાબલા" આપણને મળે છે

(જો આપણે ડબલ ક્રોસ પ્રોડક્ટ માટે સામાન્ય ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીએ તો શું થશે?)

લેપ્લેસ ઓપરેટર નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને, આપણે લખી શકીએ છીએ

અમારી પાસે વેક્ટર ઘટકો માટે લખેલા ત્રણ વિભેદક સંબંધોની સિસ્ટમ છે એફ.

અમે બેઝિક સેકન્ડ ઓર્ડર ડિફરન્સલ ઑપરેશન્સ જોયા. ભવિષ્યમાં અમે વિવિધ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તેનો ઉપયોગ કરીશું.

લીલાના સૂત્રો

ચાલો થોડા વધુ સૂત્રો મેળવીએ સામાન્ય, જે ગુણધર્મોને સંબંધિત છે વિવિધ કાર્યોઅને એપ્લિકેશન્સમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. ચાલો ગૌસ-ઓસ્ટ્રોગ્રેડસ્કી સૂત્ર લખીએ

ચાલો અને બે મનસ્વી હોઈએ સ્કેલર કાર્યો. ચાલો મૂકીએ

પછી ગૌસ-ઓસ્ટ્રોગ્રેડસ્કી પ્રમેય સ્વરૂપ લે છે

તમે લખી શકો છો

અહીં નોટેશન રજૂ કરવામાં આવ્યું છે

દિશામાં કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટે

આ અભિવ્યક્તિઓને સંશોધિત ગૌસ-ઓસ્ટ્રોગ્રેડસ્કી ફોર્મ્યુલામાં બદલ્યા પછી, અમે મેળવીએ છીએ

આ સૂત્રને ગ્રીનનું પ્રથમ સૂત્ર કહેવામાં આવે છે.

એ જ રીતે, જો આપણે મૂકીએ

પછી ગ્રીનનું પ્રથમ સૂત્ર સ્વરૂપ લે છે

અનુરૂપ સૂત્રોને બાદ કરીને, આપણને મળે છે

આ સૂત્રને ગ્રીનનું બીજું સૂત્ર કહેવામાં આવે છે.

ગ્રીનના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, પસંદ કરેલ વોલ્યુમના આંતરિક બિંદુઓ અને સીમાઓ પર ફંક્શનના મૂલ્યો વચ્ચે જોડાણો મેળવવાનું શક્ય છે.

પ્રમેય 1. માં ફંક્શનની કિંમત આંતરિક બિંદુપ્રદેશ ટી, સપાટી દ્વારા મર્યાદિત એસ, સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

પોઈન્ટ અને વચ્ચેનું અંતર. પુરાવો. એક બિંદુને ધ્યાનમાં લો અને તેને એક નાનાથી ઘેરી લો ગોળાકાર સપાટીત્રિજ્યા

વેક્ટર ક્ષેત્રની સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓ રોટર અને ડાયવર્જન્સ છે. આ ફકરામાં આપણે જોઈશું ગાણિતિક વર્ણનવેક્ટર ક્ષેત્રોની આ લાક્ષણિકતાઓ અને વિભેદક કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને તેમની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિઓ. આ કિસ્સામાં, અમે ફક્ત કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીશું. વધુ સંપૂર્ણ વ્યાખ્યાવિચલન અને રોટર અને તેમના ભૌતિક અર્થઅમે તેને આગામી પ્રકરણમાં જોઈશું. અમે પછીથી વક્ર સંકલન પ્રણાલીઓમાં આ જથ્થાઓની ગણતરી પર વિચાર કરીશું.

ચાલો ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં વ્યાખ્યાયિત વેક્ટર ક્ષેત્રને ધ્યાનમાં લઈએ.

વ્યાખ્યા 1. વેક્ટર ક્ષેત્રનું વિચલન એ સંખ્યા છે જે અભિવ્યક્તિ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

એવું માનવામાં આવે છે કે અનુરૂપ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ વિચારણા હેઠળના બિંદુ પર અસ્તિત્વમાં છે. વેક્ટર ક્ષેત્રનું વિચલન, ઢાળની જેમ જ, નાબલા ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે

અહીં ભિન્નતા તરીકે રજૂ થાય છે ડોટ ઉત્પાદનવેક્ટર અને એફ. ચાલો પુરાવા વિના નોંધ લઈએ કે વિચલન ક્ષેત્ર બનાવતા સ્ત્રોતોની ઘનતાનું વર્ણન કરે છે.

ઉદાહરણ 1. એક બિંદુ પર વેક્ટર ક્ષેત્રના વિચલનની ગણતરી કરો.

વ્યાખ્યા 2. વેક્ટર ક્ષેત્રનું કર્લ એ વેક્ટર છે જે અભિવ્યક્તિ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે

નોંધ કરો કે પ્રસ્તુત સરવાળામાં, નિયમને ધ્યાનમાં લેતા, પરિપત્ર ક્રમચયના નિયમ અનુસાર સંલગ્ન શરતોમાં સૂચકાંકો બદલાય છે.

વેક્ટર ફીલ્ડના કર્લ નેબલા ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે

રોટર વેક્ટર ફીલ્ડની ફેરવવા અથવા ઘૂમવા માટેનું વલણ દર્શાવે છે, તેથી તેને ક્યારેક વમળ કહેવામાં આવે છે અને તેને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે. curlF.

ઉદાહરણ 1. એક બિંદુ પર વેક્ટર ફીલ્ડના કર્લની ગણતરી કરો.

કેટલીકવાર વેક્ટર ક્ષેત્રના ઢાળની ગણતરી કરવી જરૂરી બને છે. આ કિસ્સામાં, વેક્ટર ક્ષેત્રના દરેક ઘટકમાંથી ઢાળની ગણતરી કરવામાં આવે છે. પરિણામ એ બીજા ક્રમનું ટેન્સર છે, જે વેક્ટરનું ઢાળ નક્કી કરે છે. આ ટેન્સરને મેટ્રિક્સ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે

આવા પદાર્થોનું વર્ણન કરવા માટે ટેન્સર નોટેશનનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે

માનતા ટેન્સર પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ સરળ બનાવે છે ગાણિતિક ક્રિયાઓઆવા પદાર્થો ઉપર. ટેન્સર કેલ્ક્યુલસના ઉપકરણની વિગતવાર રજૂઆત "ફન્ડામેન્ટલ્સ ઓફ ટેન્સર એનાલિસિસ" કોર્સમાં આપવામાં આવી છે, જે કોર્સની સમાંતર રીતે "ઉચ્ચ ગણિતના વધારાના પ્રકરણો" શીખવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1. વેક્ટર ફીલ્ડના ઢાળની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. ગણતરીઓ માટે આપણે ટેન્સર નોટેશનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમારી પાસે છે

અહીં ક્રોનેકર પ્રતીક ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

ઉદાહરણ 2. સ્કેલર ફીલ્ડ ગ્રેડિયન્ટની ગણતરી કરો અને સમીકરણોની તુલના કરો અને.

નાબલા ઓપરેટરની કેટલીક મિલકતો

અગાઉ અમે વેક્ટર ડિફરન્સિયેશન ઓપરેટર રજૂ કર્યું હતું

આ ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને, અમે ટેન્સર ક્ષેત્રોમાં મુખ્ય વિભેદક કામગીરીઓ લખી છે:

ઓપરેટર એ ડિફરન્સિએશન ઓપરેટરનું સામાન્યીકરણ છે અને તેની પાસે છે અનુરૂપ ગુણધર્મોવ્યુત્પન્ન:

1) સરવાળોનું વ્યુત્પન્ન એ ડેરિવેટિવ્સના સરવાળા જેટલું છે

2) સતત પરિબળઓપરેટર સાઇન તરીકે બહાર લઈ શકાય છે

વેક્ટર ફંક્શન્સની ભાષામાં અનુવાદિત, આ ગુણધર્મોનું સ્વરૂપ છે:

આ સૂત્રો એક ચલના કાર્યના ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના અનુરૂપ સૂત્રોની જેમ જ ઉતરી આવ્યા છે.

હેમિલ્ટન ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને ટેન્સર ક્ષેત્રોમાં ભિન્નતા સંબંધિત ઘણી કામગીરીઓને સરળ બનાવવા માટે અમને પરવાનગી આપે છે. જો કે, ધ્યાનમાં રાખો કે આ ઓપરેટર વેક્ટર ઓપરેટર છે અને તેને કાળજીપૂર્વક હેન્ડલ કરવું જોઈએ. ચાલો આ ઓપરેટરની કેટલીક એપ્લિકેશનો જોઈએ. આ કિસ્સામાં, અનુરૂપ સૂત્રો હેમિલ્ટન ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને અને પરંપરાગત સંકેત બંનેમાં લખવામાં આવે છે.

રોટર (ગણિત)

રોટર, અથવા વમળવેક્ટર ક્ષેત્ર પર વેક્ટર વિભેદક ઓપરેટર છે.

નિયુક્ત

(રશિયન ભાષાના સાહિત્યમાં) અથવા

(અંગ્રેજી સાહિત્યમાં),

અને વેક્ટર ક્ષેત્ર દ્વારા વિભેદક ઓપરેટરના વેક્ટર ગુણાકાર તરીકે પણ:

ચોક્કસ વેક્ટર ક્ષેત્ર પર આ ઓપરેટરની ક્રિયાનું પરિણામ એફકહેવાય છે ક્ષેત્ર રોટર એફઅથવા, ટૂંકમાં, માત્ર રોટર એફઅને નવા વેક્ટર ક્ષેત્રનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે:

રોટ ક્ષેત્ર એફ(વેક્ટર રોટની લંબાઈ અને દિશા એફઅવકાશના દરેક બિંદુએ) એક અર્થમાં ક્ષેત્રના રોટેશનલ ઘટકને દર્શાવે છે એફઅનુક્રમે દરેક બિંદુએ.

સાહજિક છબી

જો વિ(x,y,z) એ ગેસ વેગ (અથવા પ્રવાહી પ્રવાહ) નું ક્ષેત્ર છે રોટ વિ- પ્રવાહમાં સ્થિત ધૂળ (અથવા બોલ) ના ખૂબ જ નાના અને હળવા સ્પેકના કોણીય વેગ વેક્ટરના પ્રમાણમાં વેક્ટર (અને ગેસ અથવા પ્રવાહીની હિલચાલ દ્વારા પ્રવેશ કરે છે; જો કે જો ઇચ્છિત હોય તો બોલનું કેન્દ્ર નિશ્ચિત કરી શકાય છે, જેમ કે જ્યાં સુધી તે તેની આસપાસ મુક્તપણે ફેરવી શકે છે).

ખાસ કરીને રોટ વિ = 2 ω , ક્યાં ω - આ કોણીય વેગ.

આ હકીકતના સરળ ઉદાહરણ માટે, નીચે જુઓ.

આ સામ્યતા એકદમ કડક રીતે ઘડી શકાય છે (નીચે જુઓ). પરિભ્રમણ દ્વારા મૂળભૂત વ્યાખ્યા (આગળના ફકરામાં આપેલ) આ રીતે મેળવેલી સમકક્ષ ગણી શકાય.

ગાણિતિક વ્યાખ્યા

વેક્ટર ફીલ્ડનું કર્લ એ વેક્ટર છે જેનું દરેક દિશામાં પ્રક્ષેપણ nસમોચ્ચ સાથે વેક્ટર ક્ષેત્રના પરિભ્રમણના સંબંધની મર્યાદા છે એલ, જે સપાટ વિસ્તારની ધાર છે Δ એસ, આ દિશામાં લંબરૂપ, આ વિસ્તારના કદ માટે, જ્યારે વિસ્તારના પરિમાણો શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, અને વિસ્તાર પોતે એક બિંદુ સુધી સંકોચાય છે:

સમોચ્ચના ટ્રાવર્સલની દિશા પસંદ કરવામાં આવી છે જેથી કરીને, જ્યારે દિશામાં જોતા હોય, ત્યારે સમોચ્ચ એલઘડિયાળની દિશામાં ચાલ્યો.

ત્રણ પરિમાણમાં કાર્ટેશિયન સિસ્ટમરોટરનું સંકલન કરે છે (ઉપર વ્યાખ્યાયિત કર્યા મુજબ) નીચે પ્રમાણે ગણતરી કરવામાં આવે છે (અહીં એફ- કાર્ટેશિયન ઘટકો સાથે ચોક્કસ વેક્ટર ક્ષેત્ર સૂચવે છે, અને - કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સના એકમ વેક્ટર્સ):

સગવડ માટે, અમે રોટરને નાબલા ઓપરેટર (ડાબી બાજુએ) અને વેક્ટર ફીલ્ડના વેક્ટર ઉત્પાદન તરીકે ઔપચારિક રીતે રજૂ કરી શકીએ છીએ:

(છેલ્લી સમાનતા ઔપચારિક રીતે વેક્ટર ઉત્પાદનને નિર્ણાયક તરીકે રજૂ કરે છે.)

સંબંધિત વ્યાખ્યાઓ

એક વેક્ટર ક્ષેત્ર જેનું રોટર શૂન્ય બરાબરકોઈપણ સમયે કહેવામાં આવે છે ઇરોટેશનલ અને છે સંભવિત. આ શરતો એકબીજા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત હોવાથી, બંને શબ્દો વ્યવહારિક સમાનાર્થી છે. (જો કે, આ ફક્ત કનેક્ટેડ ડોમેન પર નિર્ધારિત ક્ષેત્રોના કિસ્સામાં જ સાચું છે).

સંભવિતતાની પરસ્પર સ્થિતિ અને ક્ષેત્રની અસ્પષ્ટ પ્રકૃતિ વિશે થોડી વધુ વિગત માટે, નીચે જુઓ (મૂળભૂત ગુણધર્મો).

તેનાથી વિપરિત, એક ક્ષેત્ર જેનું કર્લ શૂન્ય બરાબર નથી તેને સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે વમળ , આવા ક્ષેત્ર સંભવિત ન હોઈ શકે.

સામાન્યીકરણ

મનસ્વી પરિમાણની જગ્યાઓ પર વ્યાખ્યાયિત વેક્ટર (અને સ્યુડોવેક્ટર) ફીલ્ડ્સ પર લાગુ કરાયેલા રોટરનું સૌથી સીધું સામાન્યીકરણ (જો કે જગ્યાનું પરિમાણ ક્ષેત્ર વેક્ટરના પરિમાણ સાથે સુસંગત હોય) નીચે મુજબ છે:

અનુક્રમણિકાઓ સાથે mઅને n 1 થી અવકાશના પરિમાણ સુધી.

આને બાહ્ય ઉત્પાદન તરીકે પણ લખી શકાય છે:

આ કિસ્સામાં, રોટર એ વેલેન્સી બેનું એન્ટિસિમેટ્રિક ટેન્સર ક્ષેત્ર છે.

પરિમાણ 3 ના કિસ્સામાં, લેવી-સિવિટા પ્રતીક સાથે આ ટેન્સરનું કન્વોલ્યુશન આપે છે સામાન્ય વ્યાખ્યાઉપરના લેખમાં આપેલ ત્રિ-પરિમાણીય રોટર.

દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યા માટે, વધુમાં, જો ઇચ્છિત હોય, તો સ્યુડોસ્કેલર ઉત્પાદન સાથેના સમાન સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય છે (આવા રોટર એ આપેલ દ્વિ-પરિમાણીય માટે અક્ષના ઓર્થોગોનલ પર પરંપરાગત વેક્ટર ઉત્પાદનના પ્રક્ષેપણ સાથે સુસંગત સ્યુડોસ્કેલર હશે. જગ્યા - જો આપણે દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશને અમુક ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં એમ્બેડ કરવા માટે ધ્યાનમાં લઈએ, જેથી પરંપરાગત વેક્ટર ઉત્પાદનનો અર્થ થાય).