ક્રોસ પ્રોડક્ટના વેક્ટરની દિશા. વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન

વ્યાખ્યા ઓર્ડર કરેલ સંગ્રહ (x 1 , x 2 , ... , x n) n વાસ્તવિક સંખ્યાઓકહેવાય છે n-પરિમાણીય વેક્ટર, અને સંખ્યાઓ x i (i = ) - ઘટકો,અથવા સંકલન,

ઉદાહરણ. જો, ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ ચોક્કસ ઓટોમોબાઈલ પ્લાન્ટે 50 કાર, 100 ટ્રક, 10 બસ, કાર માટેના સ્પેરપાર્ટ્સના 50 સેટ અને કાર માટે 150 સેટનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ. ટ્રકઅને બસો, તો પછી આ પ્લાન્ટનો ઉત્પાદન કાર્યક્રમ પાંચ ઘટકો ધરાવતા વેક્ટર (50, 100, 10, 50, 150) ના રૂપમાં લખી શકાય છે.

નોટેશન. વેક્ટર્સને બોલ્ડ લોઅરકેસ અક્ષરો અથવા ટોચ પર બાર અથવા તીર સાથેના અક્ષરો દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે, દા.ત. aઅથવા. બે વેક્ટર કહેવાય છે સમાનજો તેમની પાસે હોય સમાન સંખ્યાઘટક અને તેમના અનુરૂપ ઘટકો સમાન છે.

વેક્ટર ઘટકોની અદલાબદલી કરી શકાતી નથી, ઉદાહરણ તરીકે, (3, 2, 5, 0, 1)અને (2, 3, 5, 0, 1) વિવિધ વેક્ટર.
વેક્ટર પર કામગીરી.કામ x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) વાસ્તવિક સંખ્યા દ્વારાλ વેક્ટર કહેવાય છેλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

રકમx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) અને y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) વેક્ટર કહેવાય છે x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

વેક્ટર જગ્યા.એન -પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા આર n એ તમામ n-પરિમાણીય વેક્ટરના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેના માટે ગુણાકારની ક્રિયાઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓઅને વધુમાં.

આર્થિક ચિત્રણ. n-પરિમાણીયનું આર્થિક ચિત્ર વેક્ટર જગ્યા: માલની જગ્યા (માલ). હેઠળ માલઅમે કેટલીક સારી અથવા સેવા સમજીશું જે વેચાણ પર છે ચોક્કસ સમયચોક્કસ જગ્યાએ. ચાલો ધારીએ કે ત્યાં છે અંતિમ સંખ્યાઉપલબ્ધ માલ n; ઉપભોક્તા દ્વારા ખરીદેલ તેમાંથી દરેકની માત્રા માલના સમૂહ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

જ્યાં x i ઉપભોક્તા દ્વારા ખરીદેલ i-th ગુડની રકમ દર્શાવે છે. અમે ધારીશું કે તમામ માલસામાનમાં મનસ્વી વિભાજ્યતાની મિલકત છે, જેથી તેમાંથી દરેકની કોઈપણ બિન-નકારાત્મક જથ્થાને ખરીદી શકાય. પછી માલના તમામ સંભવિત સમૂહો માલની જગ્યાના વેક્ટર છે C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

રેખીય સ્વતંત્રતા. સિસ્ટમ ઇ 1 , ઇ 2 , ... , ઇ m n-પરિમાણીય વેક્ટર કહેવામાં આવે છે રેખીય રીતે નિર્ભર, જો આવી સંખ્યાઓ છેλ 1 , λ 2 , ... , λ m , જેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક બિન-શૂન્ય છે, જેમ કે સમાનતાλ 1 ઇ 1 + λ 2 ઇ 2 + ... + λ મી ઇ m = 0; અન્યથા આ સિસ્ટમવેક્ટર કહેવાય છે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર, એટલે કે, સૂચવેલ સમાનતા ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે બધા . ભૌમિતિક અર્થ રેખીય અવલંબનમાં વેક્ટર્સ આર 3, નિર્દેશિત વિભાગો તરીકે અર્થઘટન, નીચેના પ્રમેય સમજાવો.

પ્રમેય 1. એક વેક્ટર ધરાવતી સિસ્ટમ રેખીય રીતે નિર્ભર છે જો અને માત્ર જો આ વેક્ટર શૂન્ય હોય.

પ્રમેય 2. બે વેક્ટર્સ રેખીય રીતે નિર્ભર રહેવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તેઓ સમકક્ષ (સમાંતર) હોય.

પ્રમેય 3 . ત્રણ વેક્ટર્સ રેખીય રીતે નિર્ભર રહેવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તેઓ કોપ્લાનર (એક જ વિમાનમાં આવેલા) હોય.

વેક્ટરની ડાબી અને જમણી ત્રિપુટી. નોન-કોપ્લાનર વેક્ટરનો ટ્રિપલ a, b, cકહેવાય છે અધિકાર, જો તેમની પાસેથી નિરીક્ષક સામાન્ય શરૂઆતવેક્ટરના છેડાથી પસાર થવું a, b, cવી ઉલ્લેખિત ક્રમમાંઘડિયાળની દિશામાં થતું જણાય છે. અન્યથા a, b, c -ત્રણ બાકી. વેક્ટરના બધા જમણા (અથવા ડાબે) ત્રિપુટીઓ કહેવામાં આવે છે સમાન લક્ષી.

આધાર અને સંકલન. ટ્રોઇકા ઇ 1, ઇ 2 , ઇમાં 3 નોન-કોપ્લાનર વેક્ટર આર 3 કહેવાય છે આધાર, અને વેક્ટર પોતે ઇ 1, ઇ 2 , ઇ 3 - પાયાની. કોઈપણ વેક્ટર aબેઝિસ વેક્ટર્સમાં વિશિષ્ટ રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય છે, એટલે કે ફોર્મમાં રજૂ થાય છે

એ= x 1 ઇ 1+x2 ઇ 2 + x 3 ઇ 3, (1.1)

x 1 , x 2 , x 3 વિસ્તરણમાં (1.1) નંબરો કહેવાય છે સંકલનaઆધાર માં ઇ 1, ઇ 2 , ઇ 3 અને નિયુક્ત કરવામાં આવ્યા છે a(x 1, x 2, x 3).

ઓર્થોનોર્મલ આધાર. જો વેક્ટર્સ ઇ 1, ઇ 2 , ઇ 3 જોડી પ્રમાણે લંબ છે અને તેમાંથી દરેકની લંબાઈ એક સમાન છે, તો આધાર કહેવાય છે ઓર્થોનોર્મલ, અને કોઓર્ડિનેટ્સ x 1 , x 2 , x 3 - લંબચોરસઓર્થોનોર્મલ આધારના આધાર વેક્ટર દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવશે i, j, k.

અમે તેને અવકાશમાં ધારીશું આર 3 જમણી બાજુની કાર્ટેશિયન સિસ્ટમ પસંદ કરેલ છે લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ {0, i, j, k}.

વેક્ટર આર્ટવર્ક. વેક્ટર આર્ટવર્ક એવેક્ટર માટે bવેક્ટર કહેવાય છે c, જે નીચેની ત્રણ શરતો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

1. વેક્ટર લંબાઈ cસંખ્યાત્મક રીતે વેક્ટર પર બનેલા સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળની બરાબર aઅને bએટલે કે
c= |a||b|પાપ( a^b).

2. વેક્ટર cદરેક વેક્ટરને લંબરૂપ aઅને b

3. વેક્ટર a bઅને c, દર્શાવેલ ક્રમમાં લેવામાં આવે છે, જમણી ત્રિવિધ રચના કરે છે.

માટે વેક્ટર ઉત્પાદન cહોદ્દો રજૂ કરવામાં આવે છે c =[ab] અથવા
c = a × b

જો વેક્ટર્સ aઅને bસમરેખા છે, પછી પાપ( a^b) = 0 અને [ ab] = 0, ખાસ કરીને, [ aa] = 0. એકમ વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનો: [ ij]=k, [jk] = i, [કી]=j.

જો વેક્ટર્સ aઅને bઆધારમાં ઉલ્લેખિત છે i, j, kસંકલન a(a 1 , a 2 , a 3 ) b(b 1, b 2, b 3), પછી

મિશ્ર ટુકડો. જો બે વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન એઅને bત્રીજા વેક્ટર દ્વારા સ્કેલરલી ગુણાકાર c,પછી ત્રણ વેક્ટરના આવા ઉત્પાદનને કહેવામાં આવે છે મિશ્ર કાર્યઅને પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે a b c.

જો વેક્ટર્સ a, bઅને cઆધાર માં i, j, kતેમના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે
a(a 1 , a 2 , a 3 ) b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), પછી

.

મિશ્રિત ઉત્પાદનમાં એક સરળ ભૌમિતિક અર્થઘટન છે - તે એક સ્કેલર છે, જે ત્રણ આપેલ વેક્ટર પર બાંધવામાં આવેલા સમાંતર પાઇપના જથ્થાના ચોક્કસ મૂલ્યમાં સમાન છે.

જો વેક્ટર્સ જમણી ત્રિપુટી બનાવે છે, તો તેમનું મિશ્રિત ઉત્પાદન સૂચવેલ વોલ્યુમની સમાન હકારાત્મક સંખ્યા છે; જો તે ત્રણ છે a, b, c -બાકી, પછી a b c<0 и V = - a b c, તેથી V =|a b c|.

પ્રથમ પ્રકરણની સમસ્યાઓમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ યોગ્ય ઓર્થોનોર્મલ આધારને અનુલક્ષીને આપવામાં આવ્યા હોવાનું માનવામાં આવે છે. વેક્ટર સાથે એકમ વેક્ટર કોડાયરેક્શનલ એ,પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે એઓ. પ્રતીક આર=ઓમબિંદુ M ના ત્રિજ્યા વેક્ટર દ્વારા સૂચિત, પ્રતીકો a, AB અથવા|a|, | એબી|વેક્ટરના મોડ્યુલો સૂચવવામાં આવે છે એઅને એબી.

ઉદાહરણ 1.2. વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો શોધો a= 2m+4nઅને b= m-n, ક્યાં mઅને n-એકમ વેક્ટર અને વચ્ચેનો કોણ mઅને n 120 ઓ ની બરાબર.

ઉકેલ. અમારી પાસે છે: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, જેનો અર્થ થાય છે a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, જેનો અર્થ b = થાય છે. છેલ્લે આપણી પાસે છે: cosφ = = -1/2, φ = 120 ઓ.

ઉદાહરણ 1.3.વેક્ટરને જાણવું એબી(-3,-2.6) અને બી.સી.(-2,4,4), ત્રિકોણ ABC ની ઊંચાઈ AD ની લંબાઈની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. ત્રિકોણ ABC ના ક્ષેત્રને S દ્વારા દર્શાવતા, આપણને મળે છે:
S = 1/2 BC AD. પછી AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| એબી ×AC|. AC=AB+BC, જેનો અર્થ વેક્ટર થાય છે A.C.કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે
. .

ઉદાહરણ 1.4 . બે વેક્ટર આપવામાં આવ્યા છે a(11,10,2) અને b(4,0,3). શોધો એકમ વેક્ટર c,વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ aઅને bઅને નિર્દેશિત કરે છે કે જેથી વેક્ટરના ત્રણ ગણો આદેશ આપ્યો a, b, cસાચો હતો.

ઉકેલ.ચાલો વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂચવીએ c x, y, z ની દ્રષ્ટિએ આપેલ અધિકાર ઓર્થોનોર્મલ આધારના સંદર્ભમાં.

કારણ કે c ⊥ a, c ⊥b, તે સીએ= 0,સીબી= 0. સમસ્યાની શરતો અનુસાર, તે જરૂરી છે કે c = 1 અને a b c >0.

અમારી પાસે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે x,y,z શોધવી: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

સિસ્ટમના પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોમાંથી આપણે z = -4/3 x, y = -5/6 x મેળવીએ છીએ. ત્રીજા સમીકરણમાં y અને z ને બદલીને, આપણી પાસે છે: x 2 = 36/125, ક્યાંથી
x =± . શરતનો ઉપયોગ કરીને a b c > 0, અમને અસમાનતા મળે છે

z અને y માટેના સમીકરણોને ધ્યાનમાં લેતા, અમે પરિણામી અસમાનતાને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ: 625/6 x > 0, જે સૂચવે છે કે x>0. તેથી, x = , y = - , z =- .

વ્યાખ્યા. વેક્ટર a (મલ્ટિપ્લિકન્ડ) અને નોન-કોલિનિયર વેક્ટર (મલ્ટીપ્લિકન્ડ) નું વેક્ટર ઉત્પાદન એ ત્રીજું વેક્ટર c (ઉત્પાદન) છે, જે નીચે પ્રમાણે બનાવવામાં આવ્યું છે:

1) તેનું મોડ્યુલસ સંખ્યાત્મક છે વિસ્તાર સમાનફિગમાં સમાંતરગ્રામ. 155), વેક્ટર પર બનેલ એટલે કે તે દિશા સમાન છેકથિત સમાંતરગ્રામના સમતલને લંબરૂપ;

3) આ કિસ્સામાં, વેક્ટર c ની દિશા પસંદ કરવામાં આવી છે (બે શક્યમાંથી) જેથી વેક્ટર c યોગ્ય સિસ્ટમ(§ 110).

હોદ્દો: અથવા

વ્યાખ્યામાં ઉમેરો. જો વેક્ટર સમરેખા હોય, તો આકૃતિને (શરતી રીતે) સમાંતરગ્રામ તરીકે ધ્યાનમાં લેતા, શૂન્ય વિસ્તાર સોંપવો સ્વાભાવિક છે. તેથી, કોલિનિયર વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનને નલ વેક્ટર સમાન ગણવામાં આવે છે.

કારણ કે નલ વેક્ટરને કોઈપણ દિશા સોંપી શકાય છે, આ કરાર વ્યાખ્યાના ફકરા 2 અને 3 નો વિરોધાભાસ કરતો નથી.

ટિપ્પણી 1. "વેક્ટર ઉત્પાદન" શબ્દમાં પ્રથમ શબ્દ સૂચવે છે કે ક્રિયાનું પરિણામ વેક્ટર છે (સ્કેલર ઉત્પાદનની વિરુદ્ધ; cf. § 104, ટિપ્પણી 1).

ઉદાહરણ 1. વેક્ટર ઉત્પાદન શોધો જ્યાં જમણી સંકલન સિસ્ટમના મુખ્ય વેક્ટર છે (ફિગ. 156).

1. મુખ્ય વેક્ટરની લંબાઈ એક સ્કેલ એકમ જેટલી હોવાથી, સમાંતરગ્રામ (ચોરસ) નો વિસ્તાર સંખ્યાત્મક રીતે એક સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે વેક્ટર ઉત્પાદનનું મોડ્યુલસ એક સમાન.

2. પ્લેનનો લંબ એક અક્ષ હોવાથી, ઇચ્છિત વેક્ટર ઉત્પાદન વેક્ટર k માટે વેક્ટર કોલિનિયર છે; અને બંને પાસે મોડ્યુલસ 1 હોવાથી, ઇચ્છિત વેક્ટર ઉત્પાદન k અથવા -k ની બરાબર છે.

3. આ બે સંભવિત વેક્ટર્સમાંથી, પહેલું પસંદ કરવું આવશ્યક છે, કારણ કે વેક્ટર k જમણા હાથની સિસ્ટમ બનાવે છે (અને વેક્ટર ડાબા હાથે છે).

ઉદાહરણ 2. ક્રોસ પ્રોડક્ટ શોધો

ઉકેલ. ઉદાહરણ 1 ની જેમ, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે વેક્ટર k અથવા -k ની બરાબર છે. પરંતુ હવે આપણે -k પસંદ કરવાની જરૂર છે, કારણ કે વેક્ટર જમણા હાથની સિસ્ટમ બનાવે છે (અને વેક્ટર ડાબા હાથની સિસ્ટમ બનાવે છે). તેથી,

ઉદાહરણ 3. વેક્ટરની લંબાઈ અનુક્રમે 80 અને 50 સેમી જેટલી હોય છે અને તે 30°નો ખૂણો બનાવે છે. મીટરને લંબાઈના એકમ તરીકે લઈ, વેક્ટર ઉત્પાદન a ની લંબાઈ શોધો

ઉકેલ. વેક્ટર પર બનેલ સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ ઇચ્છિત વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ બરાબર છે

ઉદાહરણ 4. લંબાઈના એકમ તરીકે સેન્ટીમીટર લઈને, સમાન વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધો.

ઉકેલ. વેક્ટર પર બાંધવામાં આવેલા સમાંતરગ્રામનો વિસ્તાર સમાન હોવાથી, વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ 2000 સેમી જેટલી છે, એટલે કે.

ઉદાહરણો 3 અને 4 ની સરખામણીથી તે સ્પષ્ટ છે કે વેક્ટરની લંબાઈ માત્ર પરિબળોની લંબાઈ પર જ નહીં પણ લંબાઈના એકમની પસંદગી પર પણ આધારિત છે.

વેક્ટર ઉત્પાદનનો ભૌતિક અર્થ.ઘણામાંથી ભૌતિક જથ્થો, વેક્ટર ઉત્પાદન દ્વારા રજૂ થાય છે, અમે માત્ર બળના ક્ષણને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

A ને બિંદુ O ની સાપેક્ષ બળના ક્ષણને વેક્ટર ઉત્પાદન કહેવામાં આવે છે કારણ કે આ વેક્ટર ઉત્પાદનનું મોડ્યુલસ સમાંતરગ્રામ (ફિગ. 157) ના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે. ક્ષણનું મોડ્યુલસ આધાર અને ઊંચાઈના ગુણાંક સમાન છે, એટલે કે, બિંદુ O થી સીધી રેખા સુધીના અંતર દ્વારા ગુણાકાર કરેલ બળ કે જેની સાથે બળ કાર્ય કરે છે.

મિકેનિક્સમાં તે સાબિત થયું છે કે સંતુલન માટે નક્કરતે જરૂરી છે કે શરીર પર લાગુ કરાયેલા દળોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વેક્ટરનો સરવાળો શૂન્ય જેવો જ નહીં, પરંતુ દળોની ક્ષણોનો સરવાળો પણ હોવો જોઈએ. એવા કિસ્સામાં કે જ્યાં તમામ દળો એક સમતલની સમાંતર હોય, ક્ષણોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વેક્ટરનો ઉમેરો તેમની તીવ્રતાના સરવાળા અને બાદબાકી દ્વારા બદલી શકાય છે. પરંતુ દળોની મનસ્વી દિશાઓ સાથે, આવી બદલી અશક્ય છે. આને અનુરૂપ, વેક્ટર ઉત્પાદનને ચોક્કસ રીતે વેક્ટર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, સંખ્યા તરીકે નહીં.

છેવટે, મેં આ વિશાળ અને લાંબા સમયથી રાહ જોવાતી વિષય પર મારો હાથ મેળવ્યો. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ . પ્રથમ વિશે થોડું આ વિભાગ ઉચ્ચ ગણિત…. ચોક્કસ તમને હવે અસંખ્ય પ્રમેયો, તેમના પુરાવાઓ, રેખાંકનો વગેરે સાથેનો શાળા ભૂમિતિનો અભ્યાસક્રમ યાદ હશે. શું છુપાવવું, વિદ્યાર્થીઓના નોંધપાત્ર પ્રમાણ માટે અપ્રિય અને ઘણીવાર અસ્પષ્ટ વિષય. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ, વિચિત્ર રીતે પૂરતી, વધુ રસપ્રદ અને સુલભ લાગે છે. વિશેષણ "વિશ્લેષણાત્મક" નો અર્થ શું છે? બે ક્લિચ કરેલા ગાણિતિક શબ્દસમૂહો તરત જ ધ્યાનમાં આવે છે: "ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન પદ્ધતિ" અને " વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઉકેલો" ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ , અલબત્ત, આલેખ અને રેખાંકનોના નિર્માણ સાથે સંકળાયેલ છે. વિશ્લેષણાત્મકસમાન પદ્ધતિસમસ્યાઓ ઉકેલવા સમાવેશ થાય છે મુખ્યત્વેદ્વારા બીજગણિત કામગીરી. આ સંદર્ભમાં, વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની લગભગ તમામ સમસ્યાઓ હલ કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ સરળ અને પારદર્શક છે, તે ઘણીવાર કાળજીપૂર્વક લાગુ કરવા માટે પૂરતું છે જરૂરી સૂત્રો- અને જવાબ તૈયાર છે! ના, અલબત્ત, અમે ડ્રોઇંગ વિના આ બિલકુલ કરી શકીશું નહીં, અને આ ઉપરાંત, સામગ્રીની વધુ સારી સમજણ માટે, હું તેમને જરૂરિયાત કરતાં વધુ ટાંકવાનો પ્રયાસ કરીશ.

ભૂમિતિ પરના પાઠનો નવો ખોલવામાં આવેલ અભ્યાસક્રમ સૈદ્ધાંતિક રીતે સંપૂર્ણ હોવાનો ડોળ કરતો નથી; તે વ્યવહારિક સમસ્યાઓના ઉકેલ પર કેન્દ્રિત છે. હું મારા પ્રવચનોમાં ફક્ત તે જ સમાવીશ જે મારા દૃષ્ટિકોણથી વ્યવહારિક દ્રષ્ટિએ મહત્વપૂર્ણ છે. જો તમને કોઈપણ પેટા વિભાગ પર વધુ સંપૂર્ણ સહાયની જરૂર હોય, તો હું નીચેના તદ્દન સુલભ સાહિત્યની ભલામણ કરું છું:

1) એવી વસ્તુ કે જે મજાક નથી, ઘણી પેઢીઓ તેનાથી પરિચિત છે: ભૂમિતિ પર શાળા પાઠ્યપુસ્તક, લેખકો - એલ.એસ. એટાનસ્યાન એન્ડ કંપની. આ શાળા લોકર રૂમ હેંગર પહેલેથી જ 20 (!) પુનઃપ્રિન્ટમાંથી પસાર થઈ ચૂક્યું છે, જે, અલબત્ત, મર્યાદા નથી.

2) 2 વોલ્યુમોમાં ભૂમિતિ. લેખકો એલ.એસ. અતાનાસ્યાન, બાઝીલેવ વી.ટી.. માટે આ સાહિત્ય છે ઉચ્ચ શાળા, તમારે જરૂર પડશે પ્રથમ વોલ્યુમ. ભાગ્યે જ મળેલા કાર્યો મારી દૃષ્ટિની બહાર પડી શકે છે, અને ટ્યુટોરીયલઅમૂલ્ય સહાય પૂરી પાડશે.

બંને પુસ્તકો નિઃશુલ્ક ઑનલાઇન ડાઉનલોડ કરી શકાય છે. વધુમાં, તમે મારા આર્કાઇવનો ઉપયોગ કરી શકો છો તૈયાર ઉકેલો, જે પૃષ્ઠ પર મળી શકે છે ઉચ્ચ ગણિતમાં ઉદાહરણો ડાઉનલોડ કરો.

સાધનોમાં, હું ફરીથી મારા પોતાના વિકાસનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું - સોફ્ટવેર પેકેજવિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં, જે જીવનને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવશે અને ઘણો સમય બચાવશે.

એવું માનવામાં આવે છે કે વાચક મૂળભૂતથી પરિચિત છે ભૌમિતિક ખ્યાલોઅને આકૃતિઓ: બિંદુ, રેખા, સમતલ, ત્રિકોણ, સમાંતર, સમાંતર, સમઘન, વગેરે. કેટલાક પ્રમેય યાદ રાખવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, ઓછામાં ઓછું પાયથાગોરિયન પ્રમેય, પુનરાવર્તકોને નમસ્કાર)

અને હવે આપણે ક્રમિક રીતે વિચારણા કરીશું: વેક્ટરનો ખ્યાલ, વેક્ટર સાથેની ક્રિયાઓ, વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ. હું આગળ વાંચવાની ભલામણ કરું છું સૌથી મહત્વપૂર્ણ લેખ વેક્ટર્સનું ડોટ ઉત્પાદન, અને એ પણ વેક્ટર અને વેક્ટરનું મિશ્ર ઉત્પાદન. સ્થાનિક કાર્ય - આ સંદર્ભમાં સેગમેન્ટનું વિભાજન - પણ અનાવશ્યક રહેશે નહીં. ઉપરોક્ત માહિતીના આધારે, તમે માસ્ટર કરી શકો છો પ્લેનમાં રેખાનું સમીકરણસાથે ઉકેલોના સરળ ઉદાહરણો, જે પરવાનગી આપશે ભૂમિતિની સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખો. નીચેના લેખો પણ ઉપયોગી છે: અવકાશમાં પ્લેનનું સમીકરણ, અવકાશમાં રેખાના સમીકરણો, સીધી રેખા અને પ્લેન પરની મૂળભૂત સમસ્યાઓ, વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના અન્ય વિભાગો. સ્વાભાવિક રીતે, માર્ગમાં પ્રમાણભૂત કાર્યો ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે.

વેક્ટર ખ્યાલ. મુક્ત વેક્ટર

પ્રથમ, ચાલો વેક્ટરની શાળા વ્યાખ્યાનું પુનરાવર્તન કરીએ. વેક્ટરકહેવાય છે નિર્દેશિતએક સેગમેન્ટ કે જેના માટે તેની શરૂઆત અને અંત દર્શાવેલ છે:

IN આ બાબતેસેગમેન્ટની શરૂઆત બિંદુ છે, સેગમેન્ટનો અંત બિંદુ છે. વેક્ટર પોતે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. દિશાઆવશ્યક છે, જો તમે તીરને સેગમેન્ટના બીજા છેડે ખસેડો છો, તો તમને વેક્ટર મળે છે, અને આ પહેલેથી જ છે સંપૂર્ણપણે અલગ વેક્ટર. વેક્ટરની વિભાવનાને ગતિ સાથે સરળતાથી ઓળખવામાં આવે છે ભૌતિક શરીર: સંમત થાઓ, સંસ્થાના દરવાજામાં પ્રવેશવું કે સંસ્થાના દરવાજામાંથી બહાર નીકળવું એ સાવ અલગ બાબતો છે.

પ્લેન અથવા જગ્યાના વ્યક્તિગત બિંદુઓને કહેવાતા તરીકે ધ્યાનમાં લેવાનું અનુકૂળ છે શૂન્ય વેક્ટર. આવા વેક્ટર માટે, અંત અને શરૂઆત એકરૂપ થાય છે.

!!! નૉૅધ: અહીં અને આગળ, તમે ધારી શકો છો કે વેક્ટર એક જ પ્લેનમાં આવેલા છે અથવા તમે ધારી શકો છો કે તેઓ અવકાશમાં સ્થિત છે - પ્રસ્તુત સામગ્રીનો સાર પ્લેન અને જગ્યા બંને માટે માન્ય છે.

હોદ્દો:ઘણાએ તરત જ હોદ્દામાં તીર વિનાની લાકડી પર ધ્યાન આપ્યું અને કહ્યું, ટોચ પર એક તીર પણ છે! સાચું, તમે તેને તીર વડે લખી શકો છો: , પરંતુ તે પણ શક્ય છે એન્ટ્રી કે જેનો હું ભવિષ્યમાં ઉપયોગ કરીશ. શા માટે? દેખીતી રીતે, આ આદત વ્યવહારિક કારણોસર વિકસાવવામાં આવી હતી; IN શૈક્ષણિક સાહિત્યકેટલીકવાર તેઓ ક્યુનિફોર્મ લેખનથી બિલકુલ પરેશાન થતા નથી, પરંતુ બોલ્ડમાં અક્ષરોને પ્રકાશિત કરે છે: , તે સૂચવે છે કે આ એક વેક્ટર છે.

તે શૈલીશાસ્ત્ર હતું, અને હવે વેક્ટર લખવાની રીતો વિશે:

1) વેક્ટર્સ બે મોટા લેટિન અક્ષરોમાં લખી શકાય છે:
અને તેથી વધુ. આ કિસ્સામાં, પ્રથમ અક્ષર જરૂરીવેક્ટરના પ્રારંભિક બિંદુને સૂચવે છે, અને બીજો અક્ષર વેક્ટરના અંતિમ બિંદુને સૂચવે છે.

2) વેક્ટર નાના લેટિન અક્ષરોમાં પણ લખવામાં આવે છે:
ખાસ કરીને, સંક્ષિપ્તતા માટે આપણા વેક્ટરને નાના તરીકે ફરીથી ડિઝાઇન કરી શકાય છે લેટિન અક્ષર.

લંબાઈઅથવા મોડ્યુલનથી શૂન્ય વેક્ટરસેગમેન્ટની લંબાઈ કહેવાય છે. શૂન્ય વેક્ટરની લંબાઈ શૂન્ય છે. તાર્કિક.

વેક્ટરની લંબાઈ મોડ્યુલસ ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: ,

વેક્ટરની લંબાઈ કેવી રીતે શોધવી તે શીખીશું (અથવા કોના પર આધાર રાખીને તેનું પુનરાવર્તન કરીશું) થોડી વાર પછી.

તેઓ હતા મૂળભૂત માહિતીવેક્ટર વિશે, બધા શાળાના બાળકો માટે પરિચિત. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં, કહેવાતા મુક્ત વેક્ટર.

સરળ રીતે કહીએ તો - વેક્ટર કોઈપણ બિંદુ પરથી પ્લોટ કરી શકાય છે:

અમે આવા વેક્ટર્સને સમાન કહેવા માટે ટેવાયેલા છીએ (સમાન વેક્ટરની વ્યાખ્યા નીચે આપવામાં આવશે), પરંતુ સંપૂર્ણ રીતે ગાણિતિક બિંદુદૃશ્ય એ સમાન વેક્ટર છે અથવા મુક્ત વેક્ટર. શા માટે મફત? કારણ કે સમસ્યાઓના નિરાકરણ દરમિયાન, તમે આ અથવા તે વેક્ટરને પ્લેન અથવા જગ્યાના કોઈપણ બિંદુ સાથે "જોડી" શકો છો. આ એક ખૂબ જ સરસ લક્ષણ છે! મનસ્વી લંબાઈ અને દિશાના વેક્ટરની કલ્પના કરો - તેને "ક્લોન" કરી શકાય છે. અનંત સંખ્યાસમય અને અવકાશમાં કોઈપણ સમયે, હકીકતમાં, તે દરેક જગ્યાએ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. ત્યાં એક વિદ્યાર્થી કહે છે: દરેક લેક્ચરર વેક્ટર વિશે શાબ્દિક જવાબ આપે છે. છેવટે, તે માત્ર એક વિનોદી કવિતા નથી, બધું ગાણિતિક રીતે સાચું છે - વેક્ટર ત્યાં પણ જોડી શકાય છે. પરંતુ આનંદ કરવા માટે ઉતાવળ કરશો નહીં, તે વિદ્યાર્થીઓ પોતે જ છે જે ઘણીવાર પીડાય છે =)

તેથી, મુક્ત વેક્ટર- આ એક ટોળું સમાન નિર્દેશિત વિભાગો. શાળા વ્યાખ્યાફકરાની શરૂઆતમાં આપેલ વેક્ટર: "નિર્દેશિત સેગમેન્ટને વેક્ટર કહેવામાં આવે છે..." સૂચવે છે ચોક્કસઆપેલ સેટમાંથી લેવામાં આવેલ નિર્દેશિત સેગમેન્ટ, જે પ્લેન અથવા જગ્યાના ચોક્કસ બિંદુ સાથે જોડાયેલ છે.

એ નોંધવું જોઈએ કે ભૌતિકશાસ્ત્રના દૃષ્ટિકોણથી, માં મુક્ત વેક્ટરનો ખ્યાલ સામાન્ય કેસતે ખોટું છે, અને વેક્ટરના ઉપયોગનો મુદ્દો મહત્વપૂર્ણ છે. ખરેખર, નાક અથવા કપાળ પર સમાન બળનો સીધો ફટકો, જે મારા મૂર્ખ ઉદાહરણને વિકસાવવા માટે પૂરતો છે, તે વિવિધ પરિણામોનો સમાવેશ કરે છે. જો કે, મુક્તવેક્ટર્સ પણ vyshmat કોર્સમાં જોવા મળે છે (ત્યાં જશો નહીં :)).

વેક્ટર સાથેની ક્રિયાઓ. વેક્ટરની સમકક્ષતા

IN શાળા અભ્યાસક્રમભૂમિતિ, વેક્ટર્સ સાથેની સંખ્યાબંધ ક્રિયાઓ અને નિયમો ગણવામાં આવે છે: ત્રિકોણના નિયમ પ્રમાણે સરવાળો, સમાંતર ચતુષ્કોણના નિયમ પ્રમાણે સરવાળો, વેક્ટર તફાવતનો નિયમ, સંખ્યા વડે વેક્ટરનો ગુણાકાર, સ્કેલર ઉત્પાદનવેક્ટર, વગેરે.પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે, ચાલો બે નિયમોનું પુનરાવર્તન કરીએ જે ખાસ કરીને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સુસંગત છે.

ત્રિકોણ નિયમનો ઉપયોગ કરીને વેક્ટર ઉમેરવાનો નિયમ

બે મનસ્વી બિન-શૂન્ય વેક્ટર્સનો વિચાર કરો અને:

તમારે આ વેક્ટરનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. હકીકત એ છે કે તમામ વેક્ટરને મુક્ત ગણવામાં આવે છે, અમે વેક્ટરને અલગ રાખીશું અંતવેક્ટર

વેક્ટરનો સરવાળો વેક્ટર છે. નિયમની વધુ સારી સમજણ માટે, તેનો સમાવેશ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે ભૌતિક અર્થ: કેટલાક શરીરને વેક્ટર સાથે અને પછી વેક્ટર સાથે મુસાફરી કરવા દો. પછી વેક્ટર્સનો સરવાળો પરિણામી પાથનો વેક્ટર છે જેની શરૂઆત પ્રસ્થાન બિંદુ પર અને અંત આગમન બિંદુ પર છે. કોઈપણ સંખ્યાના વેક્ટરના સરવાળા માટે સમાન નિયમ ઘડવામાં આવે છે. જેમ તેઓ કહે છે, શરીર ઝિગઝેગ સાથે અથવા કદાચ ઓટોપાયલટ પર - સરવાળાના પરિણામી વેક્ટર સાથે તેના માર્ગે જઈ શકે છે.

માર્ગ દ્વારા, જો વેક્ટર થી મુલતવી રાખવામાં આવે છે શરૂ કર્યુંવેક્ટર, પછી આપણને સમકક્ષ મળે છે સમાંતરગ્રામ નિયમવેક્ટરનો ઉમેરો.

પ્રથમ, વેક્ટરની સમકક્ષતા વિશે. બે વેક્ટર કહેવાય છે સમરેખા, જો તેઓ સમાન રેખા પર અથવા સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા હોય. આશરે કહીએ તો, આપણે સમાંતર વેક્ટર વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. પરંતુ તેમના સંબંધમાં, વિશેષણ "કોલિનિયર" હંમેશા વપરાય છે.

બે કોલિનિયર વેક્ટરની કલ્પના કરો. જો આ વેક્ટરના તીરો એક જ દિશામાં નિર્દેશિત હોય, તો આવા વેક્ટર કહેવામાં આવે છે સહ-નિર્દેશિત. જો તીર તરફ નિર્દેશ કરે છે વિવિધ બાજુઓ, પછી વેક્ટર હશે વિરુદ્ધ દિશાઓ.

હોદ્દો:વેક્ટર્સની સમકક્ષતા સામાન્ય સમાંતર પ્રતીક સાથે લખવામાં આવે છે: , જ્યારે વિગતો શક્ય છે: (વેક્ટર સહ-નિર્દેશિત છે) અથવા (વેક્ટર્સ વિરુદ્ધ નિર્દેશિત છે).

કામસંખ્યા પર બિન-શૂન્ય વેક્ટર એ એક વેક્ટર છે જેની લંબાઈ , અને વેક્ટર છે અને તે સહ-નિર્દેશિત છે અને તેની વિરુદ્ધ નિર્દેશિત છે.

વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાનો નિયમ ચિત્રની મદદથી સમજવો સરળ છે:

ચાલો તેને વધુ વિગતમાં જોઈએ:

1) દિશા. જો ગુણક નકારાત્મક હોય, તો વેક્ટર દિશા બદલી નાખે છેવિરુદ્ધ

2) લંબાઈ. જો ગુણક અંદર અથવા ની અંદર સમાયેલ હોય, તો વેક્ટરની લંબાઈ ઘટે છે. તેથી, વેક્ટરની લંબાઈ વેક્ટરની લંબાઈની અડધી છે. જો ગુણકનું મોડ્યુલસ એક કરતા વધારે હોય, તો વેક્ટરની લંબાઈ વધે છેસમય માં.

3) મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે બધા વેક્ટર સમરેખા છે, જ્યારે એક વેક્ટર બીજા દ્વારા વ્યક્ત થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, . ઊલટું પણ સાચું છે: જો એક વેક્ટર બીજા દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે, તો આવા વેક્ટર આવશ્યકપણે સમરેખા હોવા જોઈએ. આમ: જો આપણે વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ, તો આપણને સમરેખા મળે છે(મૂળ સાથે સંબંધિત) વેક્ટર.

4) વેક્ટર સહ-નિર્દેશિત છે. વેક્ટર્સ અને સહ-નિર્દેશિત પણ છે. પ્રથમ જૂથનો કોઈપણ વેક્ટર બીજા જૂથના કોઈપણ વેક્ટરના સંદર્ભમાં વિરુદ્ધ રીતે નિર્દેશિત થાય છે.

કયા વેક્ટર સમાન છે?

બે વેક્ટર સમાન હોય છે જો તે એક જ દિશામાં હોય અને તેની લંબાઈ સમાન હોય. નોંધ કરો કે સહનિર્દેશકતા વેક્ટર્સની સમકક્ષતા સૂચવે છે. વ્યાખ્યા અચોક્કસ (રિડન્ડન્ટ) હશે જો આપણે એમ કહીએ કે: "બે વેક્ટર સમાન છે જો તેઓ સમરેખાકીય, સહદિશાત્મક અને સમાન લંબાઈ ધરાવતા હોય."

મુક્ત વેક્ટરની વિભાવનાના દૃષ્ટિકોણથી, સમાન વેક્ટર– આ એ જ વેક્ટર છે, જેની અગાઉના ફકરામાં ચર્ચા કરવામાં આવી હતી.

પ્લેન અને અવકાશમાં વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ કરે છે

પ્રથમ મુદ્દો એ પ્લેન પરના વેક્ટર્સને ધ્યાનમાં લેવાનો છે. ચાલો આપણે એક કાર્ટેશિયન લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીનું નિરૂપણ કરીએ અને તેને કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળમાંથી કાવતરું કરીએ. એકલુવેક્ટર અને:

વેક્ટર અને ઓર્થોગોનલ. ઓર્થોગોનલ = લંબ. હું ભલામણ કરું છું કે તમે ધીમે ધીમે શબ્દોની આદત પાડો: સમાંતરતા અને લંબરૂપતાને બદલે, અમે અનુક્રમે શબ્દોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ સમન્વયઅને ઓર્થોગોનાલિટી.

હોદ્દો:વેક્ટર્સની ઓર્થોગોનાલિટી સામાન્ય લંબતા પ્રતીક સાથે લખવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે: .

વિચારણા હેઠળના વેક્ટર્સ કહેવામાં આવે છે સંકલન વેક્ટરઅથવા orts. આ વેક્ટર રચાય છે આધારસપાટી પર. મને લાગે છે કે આધાર શું છે, તે ઘણા લોકો માટે સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ છે વિગતવાર માહિતીલેખમાં મળી શકે છે વેક્ટર્સની રેખીય (બિન) અવલંબન. વેક્ટર્સનો આધારસરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, કોઓર્ડિનેટ્સનો આધાર અને મૂળ સમગ્ર સિસ્ટમને વ્યાખ્યાયિત કરે છે - આ એક પ્રકારનો પાયો છે જેના પર સંપૂર્ણ અને સમૃદ્ધ ભૌમિતિક જીવન ઉકળે છે.

કેટલીકવાર બાંધવામાં આવેલ આધાર કહેવામાં આવે છે ઓર્થોનોર્મલપ્લેનનો આધાર: "ઓર્થો" - કારણ કે સંકલન વેક્ટર ઓર્થોગોનલ છે, વિશેષણ "સામાન્ય" નો અર્થ થાય છે એકમ, એટલે કે. આધાર વેક્ટરની લંબાઈ એક સમાન છે.

હોદ્દો:આધાર સામાન્ય રીતે લખવામાં આવે છે કૌંસ, જેની અંદર વી કડક ક્રમ આધાર વેક્ટર્સ સૂચિબદ્ધ છે, ઉદાહરણ તરીકે: . વેક્ટર્સનું સંકલન કરો તે પ્રતિબંધિત છેફરીથી ગોઠવો.

કોઈપણપ્લેન વેક્ટર એકમાત્ર રસ્તોઆ રીતે વ્યક્ત:
, ક્યાં - સંખ્યાઓજેને કહેવામાં આવે છે વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સવી આ આધારે. અને અભિવ્યક્તિ પોતે કહેવાય છે વેક્ટર વિઘટનઆધાર દ્વારા .

રાત્રિભોજન પીરસવામાં આવ્યું:

ચાલો મૂળાક્ષરના પ્રથમ અક્ષરથી શરૂઆત કરીએ: . રેખાંકન સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે વેક્ટરને આધારમાં વિઘટિત કરતી વખતે, હમણાં જ ચર્ચા કરાયેલાનો ઉપયોગ થાય છે:
1) વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાનો નિયમ: અને ;
2) ત્રિકોણના નિયમ અનુસાર વેક્ટરનો ઉમેરો: .

હવે માનસિક રીતે પ્લેન પરના કોઈપણ અન્ય બિંદુથી વેક્ટરને કાવતરું કરો. તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે તેનો ક્ષીણ "તેને અવિરતપણે અનુસરશે." તે અહીં છે, વેક્ટરની સ્વતંત્રતા - વેક્ટર "પોતાની સાથે બધું વહન કરે છે." આ ગુણધર્મ, અલબત્ત, કોઈપણ વેક્ટર માટે સાચું છે. તે રમુજી છે કે મૂળ (મફત) વેક્ટરને મૂળમાંથી બનાવવું જરૂરી નથી, ઉદાહરણ તરીકે, નીચે ડાબી બાજુએ અને બીજું જમણી બાજુએ, અને કંઈપણ બદલાશે નહીં! સાચું, તમારે આ કરવાની જરૂર નથી, કારણ કે શિક્ષક પણ મૌલિકતા બતાવશે અને તમને અણધારી જગ્યાએ "ક્રેડિટ" દોરશે.

વેક્ટર વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવા માટેના નિયમને બરાબર સમજાવે છે, વેક્ટર બેઝ વેક્ટર સાથે સહદિશાત્મક છે, વેક્ટર બેઝ વેક્ટરની વિરુદ્ધ નિર્દેશિત છે. આ વેક્ટર માટે, કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી એક શૂન્ય સમાન છે, તમે તેને આના જેવું કાળજીપૂર્વક લખી શકો છો:


અને આધારભૂત વેક્ટર્સ, માર્ગ દ્વારા, આના જેવા છે: (હકીકતમાં, તેઓ પોતાના દ્વારા વ્યક્ત થાય છે).

અને અંતે: , . માર્ગ દ્વારા, વેક્ટર બાદબાકી શું છે અને મેં બાદબાકીના નિયમ વિશે શા માટે વાત કરી નથી? ક્યાંક માં રેખીય બીજગણિત, મને ક્યાં યાદ નથી, મેં નોંધ્યું છે કે બાદબાકી છે ખાસ કેસવધુમાં આમ, વેક્ટર "de" અને "e" ના વિસ્તરણ સરળતાથી સરવાળા તરીકે લખવામાં આવે છે: , . શરતોને ફરીથી ગોઠવો અને ડ્રોઇંગમાં જુઓ કે આ પરિસ્થિતિઓમાં ત્રિકોણના નિયમ અનુસાર વેક્ટરના સારા જૂના ઉમેરણ કેટલી સારી રીતે કામ કરે છે.

ફોર્મનું માનવામાં આવેલું વિઘટન ક્યારેક વેક્ટર વિઘટન કહેવાય છે ઓર્ટ સિસ્ટમમાં(એટલે ​​​​કે એકમ વેક્ટરની સિસ્ટમમાં). પરંતુ વેક્ટર લખવાનો આ એકમાત્ર રસ્તો નથી, નીચેનો વિકલ્પ સામાન્ય છે:

અથવા સમાન ચિહ્ન સાથે:

આધાર વેક્ટર પોતે નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે: અને

એટલે કે, વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ કૌંસમાં દર્શાવેલ છે. IN વ્યવહારુ સમસ્યાઓત્રણેય રેકોર્ડિંગ વિકલ્પોનો ઉપયોગ થાય છે.

મને બોલવું કે કેમ તે અંગે શંકા હતી, પરંતુ હું તેને કોઈપણ રીતે કહીશ: વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ ફરીથી ગોઠવી શકાતા નથી. સખત રીતે પ્રથમ સ્થાનેઅમે એકમ વેક્ટરને અનુરૂપ સંકલન લખીએ છીએ, સખત રીતે બીજા સ્થાનેઅમે એકમ વેક્ટરને અનુરૂપ સંકલન લખીએ છીએ. ખરેખર, અને બે અલગ અલગ વેક્ટર છે.

અમે પ્લેનમાં કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી કાઢ્યા. હવે ચાલો ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં વેક્ટર જોઈએ, અહીં લગભગ બધું સમાન છે! તે માત્ર એક વધુ સંકલન ઉમેરશે. ત્રિ-પરિમાણીય રેખાંકનો બનાવવાનું મુશ્કેલ છે, તેથી હું મારી જાતને એક વેક્ટર સુધી મર્યાદિત કરીશ, જે સરળતા માટે હું મૂળથી અલગ રાખીશ:

કોઈપણવેક્ટર ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાકરી શકે છે એકમાત્ર રસ્તો ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે વિસ્તૃત કરો:
, આ આધારમાં વેક્ટર (સંખ્યા) ના કોઓર્ડિનેટ્સ ક્યાં છે.

ચિત્રમાંથી ઉદાહરણ: . ચાલો જોઈએ કે વેક્ટર નિયમો અહીં કેવી રીતે કામ કરે છે. પ્રથમ, વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો: (લાલ તીર), (લીલો તીર) અને (રાસ્પબેરી એરો). બીજું, આમાં ઘણા ઉમેરવાનું ઉદાહરણ અહીં છે ત્રણનો કેસ, વેક્ટર્સ: . સરવાળો વેક્ટર પ્રસ્થાનના પ્રારંભિક બિંદુ (વેક્ટરની શરૂઆત) થી શરૂ થાય છે અને આગમનના અંતિમ બિંદુ (વેક્ટરનો અંત) પર સમાપ્ત થાય છે.

ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશના તમામ વેક્ટર, કુદરતી રીતે, વેક્ટરને અન્ય કોઈપણ બિંદુથી અલગ રાખવાનો પ્રયાસ કરો, અને તમે સમજી શકશો કે તેનું વિઘટન "તેની સાથે રહેશે."

ફ્લેટ કેસ જેવું જ, લેખન ઉપરાંત કૌંસ સાથેના સંસ્કરણોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે: ક્યાં તો .

જો વિસ્તરણમાં એક (અથવા બે) સંકલન વેક્ટર ખૂટે છે, તો શૂન્ય તેમની જગ્યાએ મૂકવામાં આવે છે. ઉદાહરણો:
વેક્ટર (ચોકસાઇપૂર્વક ) - ચાલો લખીએ;
વેક્ટર (ચોકસાઇપૂર્વક ) - ચાલો લખીએ;
વેક્ટર (ચોકસાઇપૂર્વક ) - ચાલો લખીએ.

આધાર વેક્ટર નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:

તે કદાચ તમામ ન્યૂનતમ છે સૈદ્ધાંતિક જ્ઞાન, વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે જરૂરી. ત્યાં ઘણી બધી શરતો અને વ્યાખ્યાઓ હોઈ શકે છે, તેથી હું ભલામણ કરું છું કે ડમી ફરીથી વાંચે અને સમજે આ માહિતીફરી. અને તેનો સંદર્ભ લેવા માટે કોઈપણ વાચક માટે ઉપયોગી થશે મૂળભૂત પાઠસામગ્રીના વધુ સારા એસિમિલેશન માટે. સમકક્ષતા, ઓર્થોગોનાલિટી, ઓર્થોનોર્મલ આધાર, વેક્ટર વિઘટન - આ અને અન્ય ખ્યાલો ભવિષ્યમાં વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાશે. હું એ નોંધવા માંગુ છું કે સાઇટ સામગ્રીઓ સૈદ્ધાંતિક કસોટી અથવા ભૂમિતિમાં બોલચાલ પાસ કરવા માટે પૂરતી નથી, કારણ કે હું કાળજીપૂર્વક બધા પ્રમેયને એન્ક્રિપ્ટ કરું છું (અને પુરાવા વિના) - વૈજ્ઞાનિક શૈલીપ્રસ્તુતિ, પરંતુ વિષયની તમારી સમજ માટે વત્તા. વિગતવાર સૈદ્ધાંતિક માહિતી મેળવવા માટે, કૃપા કરીને પ્રોફેસર અતાનાસ્યાનને નમન કરો.

અને અમે વ્યવહારુ ભાગ તરફ આગળ વધીએ છીએ:

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની સૌથી સરળ સમસ્યાઓ.
કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટર સાથેની ક્રિયાઓ

તે ખૂબ જ સલાહભર્યું છે કે કાર્યને કેવી રીતે હલ કરવું તે શીખવું કે જે સંપૂર્ણપણે આપમેળે ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે, અને સૂત્રો યાદ રાખવું, ખાસ યાદ પણ ન રાખો, તેઓ પોતાને યાદ રાખશે =) આ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે સરળમાં પ્રાથમિક ઉદાહરણોવિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની અન્ય સમસ્યાઓ આધારિત છે, અને તે ખર્ચવા માટે હેરાન કરશે વધારે સમયપ્યાદા ખાવા માટે. તમારા શર્ટ પરના ટોચના બટનો બાંધવાની જરૂર નથી, ઘણી વસ્તુઓ તમને શાળાથી પરિચિત છે.

સામગ્રીની રજૂઆત સમાંતર કોર્સને અનુસરશે - પ્લેન અને જગ્યા બંને માટે. કારણ કે તમામ સૂત્રો... તમે તમારા માટે જોશો.

બે બિંદુઓમાંથી વેક્ટર કેવી રીતે શોધવું?

જો પ્લેનના બે બિંદુઓ અને આપવામાં આવે છે, તો વેક્ટર પાસે નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ છે:

જો અવકાશમાં બે બિંદુઓ અને આપવામાં આવે, તો વેક્ટર પાસે નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ છે:

તે જ, વેક્ટરના અંતના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથીતમારે અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ બાદ કરવાની જરૂર છે વેક્ટરની શરૂઆત.

કસરત:સમાન બિંદુઓ માટે, વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટેના સૂત્રો લખો. પાઠના અંતે સૂત્રો.

ઉદાહરણ 1

પ્લેનના બે બિંદુઓ આપેલ છે અને . વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો

ઉકેલ:દ્વારા અનુરૂપ સૂત્ર:

વૈકલ્પિક રીતે, નીચેની એન્ટ્રીનો ઉપયોગ કરી શકાય છે:

સૌંદર્યશાસ્ત્રીઓ આ નક્કી કરશે:

અંગત રીતે, હું રેકોર્ડિંગના પ્રથમ સંસ્કરણનો ઉપયોગ કરું છું.

જવાબ:

શરત અનુસાર, ડ્રોઇંગ બનાવવી જરૂરી ન હતી (જે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની સમસ્યાઓ માટે લાક્ષણિક છે), પરંતુ ડમી માટેના કેટલાક મુદ્દાઓને સ્પષ્ટ કરવા માટે, હું આળસુ નહીં રહીશ:

તમારે ચોક્કસપણે સમજવાની જરૂર છે બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેનો તફાવત:

પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સમાં સામાન્ય કોઓર્ડિનેટ્સ છે લંબચોરસ સિસ્ટમસંકલન પર પોઈન્ટ મૂકો સંકલન વિમાનમને લાગે છે કે દરેક જણ તે 5 થી 6ઠ્ઠા ધોરણથી કરી શકે છે. દરેક બિંદુ પ્લેન પર એક કડક સ્થાન ધરાવે છે, અને તેઓ ગમે ત્યાં ખસેડી શકાતા નથી.

વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ- આ કિસ્સામાં, આધાર અનુસાર તેનું વિસ્તરણ છે. કોઈપણ વેક્ટર મુક્ત છે, તેથી જો જરૂરી હોય તો, અમે તેને પ્લેનમાં કોઈ અન્ય બિંદુથી સરળતાથી દૂર ખસેડી શકીએ છીએ. તે રસપ્રદ છે કે વેક્ટર માટે તમારે અક્ષો અથવા લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બનાવવાની જરૂર નથી, આ કિસ્સામાં તમારે ફક્ત એક આધારની જરૂર છે, આ કિસ્સામાં પ્લેનનો ઓર્થોનર્મલ આધાર.

બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેક્ટર્સના કોઓર્ડિનેટ્સના રેકોર્ડ્સ સમાન લાગે છે: , અને કોઓર્ડિનેટ્સનો અર્થસંપૂર્ણપણે અલગ, અને તમારે આ તફાવતથી સારી રીતે વાકેફ હોવા જોઈએ. આ તફાવત, અલબત્ત, જગ્યા માટે પણ સાચું છે.

બહેનો અને સજ્જનો, ચાલો હાથ ભરીએ:

ઉદાહરણ 2

a) પોઈન્ટ અને આપવામાં આવે છે. વેક્ટર્સ શોધો અને.
b) પોઈન્ટ આપવામાં આવે છે અને . વેક્ટર્સ શોધો અને.
c) પોઈન્ટ અને આપવામાં આવે છે. વેક્ટર્સ શોધો અને.
ડી) પોઈન્ટ આપવામાં આવે છે. વેક્ટર્સ શોધો .

કદાચ તે પૂરતું છે. આ માટે ઉદાહરણો છે સ્વતંત્ર નિર્ણય, તેમની ઉપેક્ષા ન કરવાનો પ્રયાસ કરો, તે ચૂકવણી કરશે ;-). રેખાંકનો બનાવવાની જરૂર નથી. પાઠના અંતે ઉકેલો અને જવાબો.

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે શું મહત્વનું છે?માસ્ટરફુલ “બે વત્તા બે બરાબર શૂન્ય” ભૂલ કરવાનું ટાળવા માટે અત્યંત સાવચેત રહેવું મહત્વપૂર્ણ છે. જો મારાથી ક્યાંક ભૂલ થઈ હોય તો હું તરત જ માફી માંગુ છું =)

સેગમેન્ટની લંબાઈ કેવી રીતે શોધવી?

લંબાઈ, જેમ કે પહેલેથી જ નોંધ્યું છે, મોડ્યુલસ ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

જો સમતલના બે બિંદુઓ આપવામાં આવે છે અને, તો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સેગમેન્ટની લંબાઈની ગણતરી કરી શકાય છે.

જો અવકાશમાં બે બિંદુઓ અને આપવામાં આવે, તો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સેગમેન્ટની લંબાઈની ગણતરી કરી શકાય છે.

નૉૅધ: જો અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ સ્વેપ કરવામાં આવે તો સૂત્રો સાચા રહેશે: અને , પરંતુ પ્રથમ વિકલ્પ વધુ પ્રમાણભૂત છે

ઉદાહરણ 3

ઉકેલ:યોગ્ય સૂત્ર અનુસાર:

જવાબ:

સ્પષ્ટતા માટે, હું એક ચિત્ર બનાવીશ

રેખાખંડ - આ વેક્ટર નથી, અને, અલબત્ત, તમે તેને ગમે ત્યાં ખસેડી શકતા નથી. વધુમાં, જો તમે સ્કેલ પર દોરો છો: 1 એકમ. = 1 સેમી (બે નોટબુક કોષો), પછી પરિણામી જવાબને સેગમેન્ટની લંબાઈ સીધી માપીને નિયમિત શાસક સાથે ચકાસી શકાય છે.

હા, સોલ્યુશન ટૂંકું છે, પરંતુ તેમાં થોડા વધુ છે મહત્વપૂર્ણ મુદ્દાઓકે હું સ્પષ્ટ કરવા માંગુ છું:

પ્રથમ, જવાબમાં આપણે પરિમાણ મૂકીએ છીએ: "એકમો". શરત કહેતી નથી કે તે શું છે, મિલીમીટર, સેન્ટિમીટર, મીટર અથવા કિલોમીટર. તેથી, ગાણિતિક રીતે સાચો ઉકેલ એ સામાન્ય ફોર્મ્યુલેશન હશે: "એકમો" - "એકમો" તરીકે સંક્ષિપ્ત.

બીજું, ચાલો આપણે શાળા સામગ્રીનું પુનરાવર્તન કરીએ, જે ફક્ત ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલા કાર્ય માટે જ ઉપયોગી નથી:

ની પર ધ્યાન આપો મહત્વપૂર્ણ તકનીક – મૂળની નીચેથી ગુણકને દૂર કરી રહ્યા છીએ. ગણતરીઓના પરિણામે, અમારી પાસે પરિણામ છે અને સારી ગાણિતિક શૈલીમાં પરિબળને મૂળની નીચેથી દૂર કરવાનો સમાવેશ થાય છે (જો શક્ય હોય તો). વધુ વિગતવાર પ્રક્રિયા આના જેવી લાગે છે: . અલબત્ત, જવાબને જેમ છે તેમ છોડી દેવો એ ભૂલ હશે નહીં - પરંતુ તે ચોક્કસપણે એક ખામી હશે અને શિક્ષકના ભાગ પર કટાક્ષ કરવા માટે એક વજનદાર દલીલ હશે.

અહીં અન્ય સામાન્ય કિસ્સાઓ છે:

ઘણીવાર રુટ પર પૂરતી હોય છે મોટી સંખ્યા, દાખ્લા તરીકે . આવા કિસ્સાઓમાં શું કરવું? કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને, અમે તપાસીએ છીએ કે સંખ્યા 4 દ્વારા વિભાજ્ય છે કે કેમ: . હા, તે સંપૂર્ણપણે વિભાજિત કરવામાં આવ્યું હતું, આમ: . અથવા કદાચ સંખ્યાને ફરીથી 4 વડે ભાગી શકાય? . આમ: . નંબર પર છેલ્લો અંકવિચિત્ર છે, તેથી ત્રીજી વખત 4 વડે ભાગવાથી દેખીતી રીતે કામ નહીં થાય. ચાલો નવ વડે ભાગવાનો પ્રયત્ન કરીએ: . પરિણામ સ્વરૂપ:
તૈયાર છે.

નિષ્કર્ષ:જો રુટ હેઠળ આપણને એવી સંખ્યા મળે છે જે સંપૂર્ણ રીતે કાઢી શકાતી નથી, તો પછી આપણે મૂળમાંથી પરિબળ દૂર કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ - કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને આપણે તપાસીએ છીએ કે સંખ્યા આના દ્વારા વિભાજ્ય છે કે કેમ: 4, 9, 16, 25, 36, 49, વગેરે.

નિર્ણય દરમિયાન વિવિધ કાર્યોમૂળ સામાન્ય છે, શિક્ષકની ટિપ્પણીઓના આધારે તમારા ઉકેલોને અંતિમ સ્વરૂપ આપવામાં નીચા ગ્રેડ અને બિનજરૂરી સમસ્યાઓ ટાળવા માટે હંમેશા મૂળની નીચેથી પરિબળો કાઢવાનો પ્રયાસ કરો.

ચાલો વર્ગીકરણ મૂળ અને અન્ય શક્તિઓનું પણ પુનરાવર્તન કરીએ:

માં ડિગ્રી સાથે ક્રિયાઓ માટેના નિયમો સામાન્ય દૃશ્યમાં મળી શકે છે શાળા પાઠ્યપુસ્તકબીજગણિતમાં, પરંતુ મને લાગે છે કે આપેલ ઉદાહરણો પરથી, બધું અથવા લગભગ બધું પહેલેથી જ સ્પષ્ટ છે.

અવકાશમાં સેગમેન્ટ સાથે સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે કાર્ય:

ઉદાહરણ 4

પોઈન્ટ અને આપવામાં આવે છે. સેગમેન્ટની લંબાઈ શોધો.

ઉકેલ અને જવાબ પાઠના અંતે છે.

વેક્ટરની લંબાઈ કેવી રીતે શોધવી?

જો પ્લેન વેક્ટર આપવામાં આવે છે, તો તેની લંબાઈ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે.

જો સ્પેસ વેક્ટર આપવામાં આવે છે, તો તેની લંબાઈ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે .

એકમ વેક્ટર- આ વેક્ટર, સંપૂર્ણ મૂલ્ય(મોડ્યુલસ) જેમાંથી એક સમાન છે. એકમ વેક્ટર દર્શાવવા માટે, અમે સબસ્ક્રિપ્ટ e નો ઉપયોગ કરીશું તેથી, જો વેક્ટર આપવામાં આવે છે એ, તો તેનું એકમ વેક્ટર વેક્ટર હશે એ e એ, અને તેનું મોડ્યુલ એક સમાન છે, એટલે કે, e = 1.

દેખીતી રીતે, એ= એ એ e (a - વેક્ટર મોડ્યુલ અ). આ તે નિયમમાંથી અનુસરે છે કે જેના દ્વારા વેક્ટર દ્વારા સ્કેલરને ગુણાકાર કરવાની કામગીરી કરવામાં આવે છે.

એકમ વેક્ટરઘણીવાર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના કોઓર્ડિનેટ અક્ષો સાથે સંકળાયેલા હોય છે (ખાસ કરીને, કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની અક્ષો સાથે). આની દિશાઓ વેક્ટરઅનુરૂપ અક્ષોની દિશાઓ સાથે મેળ ખાય છે, અને તેમની ઉત્પત્તિ ઘણીવાર સંકલન પ્રણાલીની ઉત્પત્તિ સાથે જોડાય છે.

ચાલો હું તમને તે યાદ કરાવું કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમઅવકાશમાં, પરસ્પર લંબરૂપ અક્ષોની ત્રિપુટી એક બિંદુ પર છેદતી હોય છે જેને કોઓર્ડિનેટની ઉત્પત્તિ કહેવાય છે. સંકલન અક્ષોસામાન્ય રીતે X, Y, Z અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને તેને અનુક્રમે એબ્સીસા અક્ષ, ઓર્ડિનેટ અક્ષ અને એપ્લીકેટ અક્ષ કહેવામાં આવે છે. ડેસકાર્ટેસે પોતે માત્ર એક અક્ષનો ઉપયોગ કર્યો હતો, જેના પર એબ્સીસાસનું કાવતરું હતું. ઉપયોગની યોગ્યતા સિસ્ટમોકુહાડી તેના વિદ્યાર્થીઓની છે. તેથી શબ્દસમૂહ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમઐતિહાસિક રીતે ખોટું. વાત કરવી વધુ સારી છે લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમઅથવા ઓર્થોગોનલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ. જો કે, અમે પરંપરાઓને બદલીશું નહીં અને ભવિષ્યમાં અમે ધારીશું કે કાર્ટેશિયન અને લંબચોરસ (ઓર્થોગોનલ) કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ એક અને સમાન છે.

એકમ વેક્ટર, X અક્ષ સાથે નિર્દેશિત, સૂચવવામાં આવે છે i, એકમ વેક્ટર, Y અક્ષ સાથે નિર્દેશિત, સૂચવવામાં આવે છે j, એ એકમ વેક્ટર, Z અક્ષ સાથે નિર્દેશિત, સૂચવવામાં આવે છે k. વેક્ટર્સ i, j, kને બોલાવ્યા હતા orts(ફિગ. 12, ડાબે), તેમની પાસે સિંગલ મોડ્યુલો છે, એટલે કે
i = 1, j = 1, k = 1.

કુહાડીઓ અને એકમ વેક્ટર લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમકેટલાક કિસ્સાઓમાં તેઓ અલગ અલગ નામો અને હોદ્દો ધરાવે છે. આમ, એબ્સીસા અક્ષ X ને સ્પર્શક ધરી કહી શકાય, અને તેનું એકમ વેક્ટર સૂચવવામાં આવે છે. τ (ગ્રીક નાના અક્ષર tau), ઓર્ડિનેટ અક્ષ એ સામાન્ય અક્ષ છે, તેનું એકમ એકમ સૂચવવામાં આવે છે n, એપ્લીકેટ અક્ષ એ દ્વિસામાન્ય અક્ષ છે, તેનું એકમ વેક્ટર સૂચવવામાં આવે છે b. જો સાર એક જ રહે તો નામ શા માટે બદલવા?

હકીકત એ છે કે, ઉદાહરણ તરીકે, મિકેનિક્સમાં, જ્યારે શરીરની હિલચાલનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, ત્યારે લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો ઉપયોગ ઘણી વાર થાય છે. તેથી, જો સંકલન પ્રણાલી પોતે સ્થિર હોય, અને આ સ્થિર પ્રણાલીમાં મૂવિંગ ઑબ્જેક્ટના કોઓર્ડિનેટ્સમાં ફેરફાર ટ્રૅક કરવામાં આવે છે, તો સામાન્ય રીતે અક્ષોને X, Y, Z, અને તેમના એકમ વેક્ટરઅનુક્રમે i, j, k.

પરંતુ ઘણીવાર, જ્યારે કોઈ વસ્તુ અમુક સાથે આગળ વધે છે વક્રીય માર્ગ(ઉદાહરણ તરીકે, વર્તુળમાં) તે ધ્યાનમાં લેવું વધુ અનુકૂળ હોઈ શકે છે યાંત્રિક પ્રક્રિયાઓઆ ઑબ્જેક્ટ સાથે ફરતી સંકલન સિસ્ટમમાં. તે આવી મૂવિંગ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ માટે છે કે અક્ષોના અન્ય નામો અને તેમના એકમ વેક્ટરનો ઉપયોગ થાય છે. તે જે રીતે છે તે જ છે. આ કિસ્સામાં, X અક્ષ સ્પર્શક રીતે તે બિંદુ પરના બોલ તરફ નિર્દેશિત થાય છે કે જ્યાં આ ક્ષણઆ પદાર્થ સ્થિત છે. અને પછી આ અક્ષને હવે X અક્ષ નહીં, પરંતુ સ્પર્શક અક્ષ કહેવામાં આવે છે, અને તેનું એકમ વેક્ટર હવે નિયુક્ત નથી. i, એ τ . Y અક્ષ બોલની વક્રતાની ત્રિજ્યા સાથે નિર્દેશિત થાય છે (વર્તુળમાં ગતિના કિસ્સામાં - વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ). અને ત્રિજ્યા સ્પર્શકને લંબરૂપ હોવાથી, અક્ષને સામાન્ય અક્ષ કહેવામાં આવે છે (લંબ અને સામાન્ય સમાન વસ્તુ છે). આ ધરીનો એકમ વેક્ટર હવે સૂચવવામાં આવતો નથી j, એ n. ત્રીજો અક્ષ (અગાઉ Z) અગાઉના બે પર લંબ છે. આ એક ઓર્થ સાથે દ્વિસંગી છે b(ફિગ. 12, જમણે). માર્ગ દ્વારા, આ કિસ્સામાં આવા લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમઘણીવાર "કુદરતી" અથવા કુદરતી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

આ લેખમાં આપણે બે વેક્ટરના ક્રોસ પ્રોડક્ટની વિભાવનાને નજીકથી જોઈશું. અમે આપીશું જરૂરી વ્યાખ્યાઓ, અમે વેક્ટર ઉત્પાદનના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે એક સૂત્ર લખીશું, તેના ગુણધર્મોને સૂચિબદ્ધ કરીશું અને તેને ન્યાયી ઠેરવીશું. આ પછી, અમે બે વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનના ભૌમિતિક અર્થ પર ધ્યાન આપીશું અને વિવિધ લાક્ષણિક ઉદાહરણોના ઉકેલોને ધ્યાનમાં લઈશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

ક્રોસ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા.

વેક્ટર ઉત્પાદનને વ્યાખ્યાયિત કરતા પહેલા, ચાલો ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં ક્રમબદ્ધ ટ્રિપલ વેક્ટરની દિશાને સમજીએ.

ચાલો વેક્ટરને એક બિંદુથી પ્લોટ કરીએ. વેક્ટરની દિશા પર આધાર રાખીને, ત્રણ જમણી કે ડાબી હોઈ શકે છે. ચાલો વેક્ટરના છેડાથી જોઈએ કે વેક્ટરમાંથી સૌથી ટૂંકો વળાંક કેવી રીતે આવે છે. જો સૌથી ટૂંકું પરિભ્રમણ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં થાય છે, તો વેક્ટરનો ટ્રિપલ કહેવામાં આવે છે અધિકાર, અન્યથા - બાકી.

હવે ચાલો બે નોન-કોલિનિયર વેક્ટર અને લઈએ. ચાલો વેક્ટર અને બિંદુ A થી પ્લોટ કરીએ. ચાલો અને અને અને બંને માટે કેટલાક વેક્ટર લંબરૂપ બનાવીએ. દેખીતી રીતે, વેક્ટર બનાવતી વખતે, આપણે બે વસ્તુઓ કરી શકીએ છીએ, તેને કાં તો એક દિશા આપીને અથવા તેનાથી વિરુદ્ધ (ચિત્ર જુઓ).

વેક્ટરની દિશાના આધારે, વેક્ટરનો ક્રમાંકિત ત્રિપુટી જમણા હાથે અથવા ડાબા હાથે હોઈ શકે છે.

આ આપણને વેક્ટર પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યાની નજીક લાવે છે. તે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશની લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં વ્યાખ્યાયિત બે વેક્ટર માટે આપવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા.

બે વેક્ટરનું ક્રોસ પ્રોડક્ટઅને, ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશની લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં ઉલ્લેખિત, વેક્ટર કહેવાય છે જેમ કે

વેક્ટર્સનું ક્રોસ ઉત્પાદન અને તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.

વેક્ટર ઉત્પાદનના કોઓર્ડિનેટ્સ.

હવે ચાલો વેક્ટર પ્રોડક્ટની બીજી વ્યાખ્યા આપીએ, જે તમને કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે. આપેલ વેક્ટરઅને.

વ્યાખ્યા.

ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાની લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં બે વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન અને એક વેક્ટર છે, જ્યાં સંકલન વેક્ટર છે.

આ વ્યાખ્યા આપણને સંકલન સ્વરૂપમાં ક્રોસ પ્રોડક્ટ આપે છે.

ક્રોસ પ્રોડક્ટને નિર્ણાયક તરીકે રજૂ કરવું અનુકૂળ છે ચોરસ મેટ્રિક્સત્રીજો ક્રમ, જેની પ્રથમ લાઇન એકમ વેક્ટર છે, બીજી લાઇન વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે, અને ત્રીજી લાઇન આપેલ લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે:

જો આપણે આ નિર્ણાયકને પ્રથમ પંક્તિના ઘટકોમાં વિસ્તૃત કરીએ, તો આપણે કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટર ઉત્પાદનની વ્યાખ્યામાંથી સમાનતા મેળવીએ છીએ (જો જરૂરી હોય તો, લેખનો સંદર્ભ લો):

તે નોંધવું જોઈએ કે સંકલન સ્વરૂપવેક્ટર ઉત્પાદન આ લેખના પ્રથમ ફકરામાં આપેલી વ્યાખ્યા સાથે સંપૂર્ણપણે સુસંગત છે. વધુમાં, ક્રોસ પ્રોડક્ટની આ બે વ્યાખ્યાઓ સમાન છે. તમે લેખના અંતે સૂચિબદ્ધ પુસ્તકમાં આ હકીકતનો પુરાવો જોઈ શકો છો.

વેક્ટર ઉત્પાદનના ગુણધર્મો.

કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટર ઉત્પાદનને મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, તેથી નીચેનાને આધારે સરળતાથી ન્યાયી ઠેરવી શકાય છે ક્રોસ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મો:

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો વેક્ટર ઉત્પાદનની એન્ટિ-કમ્યુટિવ પ્રોપર્ટી સાબિત કરીએ.

એ-પ્રાયોરી અને . આપણે જાણીએ છીએ કે જો બે પંક્તિઓની અદલાબદલી કરવામાં આવે તો મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની કિંમત ઉલટાવી દેવામાં આવે છે, તેથી, , જે વેક્ટર ઉત્પાદનની પ્રતિકૂળ મિલકત સાબિત કરે છે.

વેક્ટર ઉત્પાદન - ઉદાહરણો અને ઉકેલો.

મુખ્યત્વે ત્રણ પ્રકારની સમસ્યાઓ છે.

પ્રથમ પ્રકારની સમસ્યાઓમાં, બે વેક્ટરની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ આપવામાં આવે છે, અને તમારે વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધવાની જરૂર છે. આ કિસ્સામાં, સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે .

ઉદાહરણ.

વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધો અને જો જાણીતી હોય તો .

ઉકેલ.

આપણે વ્યાખ્યાથી જાણીએ છીએ કે વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ અને તે વેક્ટરની લંબાઈના ઉત્પાદન અને તેમની વચ્ચેના કોણની સાઈન દ્વારા સમાન છે, તેથી, .

જવાબ:

.

બીજા પ્રકારની સમસ્યાઓ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે સંબંધિત છે, જેમાં આપેલ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા વેક્ટર ઉત્પાદન, તેની લંબાઈ અથવા અન્ય કંઈપણ શોધવામાં આવે છે. અને .

અહીં ઘણા બધા વિકલ્પો શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ અને ઉલ્લેખિત કરી શકાય નહીં, પરંતુ તેમના વિસ્તરણમાં સંકલન વેક્ટરપ્રકારની અને , અથવા વેક્ટર અને તેમના પ્રારંભ અને અંતિમ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

ચાલો લાક્ષણિક ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ.

લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં બે વેક્ટર આપવામાં આવ્યા છે . તેમની ક્રોસ પ્રોડક્ટ શોધો.

ઉકેલ.

બીજી વ્યાખ્યા મુજબ, કોઓર્ડિનેટમાં બે વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન આ રીતે લખાયેલું છે:

જો વેક્ટર ઉત્પાદન નિર્ણાયકના સંદર્ભમાં લખવામાં આવ્યું હોત તો અમે સમાન પરિણામ પર પહોંચ્યા હોત

જવાબ:

.

ઉદાહરણ.

વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધો અને , લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના એકમ વેક્ટર ક્યાં છે.

ઉકેલ.

પ્રથમ આપણે વેક્ટર ઉત્પાદનના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ છીએ આપેલ લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં.

વેક્ટર અને અનુક્રમે કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવતા હોવાથી (જો જરૂરી હોય તો, લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વેક્ટરના લેખ કોઓર્ડિનેટ્સ જુઓ), તો વેક્ટર ઉત્પાદનની બીજી વ્યાખ્યા દ્વારા આપણી પાસે

એટલે કે, વેક્ટર ઉત્પાદન માં કોઓર્ડિનેટ્સ છે આપેલ સિસ્ટમસંકલન

અમે વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ તેના કોઓર્ડિનેટ્સના ચોરસના સરવાળાના વર્ગમૂળ તરીકે શોધીએ છીએ (અમે વેક્ટરની લંબાઈ શોધવાના વિભાગમાં વેક્ટરની લંબાઈ માટે આ સૂત્ર મેળવ્યું છે):

જવાબ:

.

ઉદાહરણ.

લંબચોરસમાં કાર્ટેશિયન સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ ત્રણ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ આપવામાં આવે છે. કેટલાક વેક્ટર શોધો જે લંબરૂપ છે અને તે જ સમયે.

ઉકેલ.

વેક્ટર અને અનુક્રમે કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે (બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનો લેખ જુઓ). જો આપણે વેક્ટર્સનું વેક્ટર ઉત્પાદન શોધીએ અને , તો વ્યાખ્યા દ્વારા તે અને તે બંને માટે લંબરૂપ વેક્ટર છે, એટલે કે, તે આપણી સમસ્યાનો ઉકેલ છે. ચાલો તેને શોધીએ

જવાબ:

- લંબ વેક્ટરમાંથી એક.

ત્રીજા પ્રકારની સમસ્યાઓમાં, વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવાની કુશળતાની ચકાસણી કરવામાં આવે છે. ગુણધર્મો લાગુ કર્યા પછી, અનુરૂપ સૂત્રો લાગુ કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ.

વેક્ટર અને લંબ છે અને તેમની લંબાઈ અનુક્રમે 3 અને 4 છે. ક્રોસ પ્રોડક્ટની લંબાઈ શોધો .

ઉકેલ.

વેક્ટર ઉત્પાદનના વિતરક ગુણધર્મ દ્વારા, આપણે લખી શકીએ છીએ

ના સદ્ગુણ દ્વારા સહયોગી મિલકતઅમે તેને બહાર કાઢી લઈશું સંખ્યાત્મક મતભેદછેલ્લા અભિવ્યક્તિમાં વેક્ટર ઉત્પાદનોના સંકેત માટે:

વેક્ટર ઉત્પાદનો અને શૂન્ય સમાન છે, ત્યારથી અને , પછી .

કારણ કે વેક્ટર ઉત્પાદન વિરોધી છે, તો પછી.

તેથી, વેક્ટર ઉત્પાદનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમે સમાનતા પર પહોંચ્યા .

શરત પ્રમાણે, વેક્ટર અને લંબ છે, એટલે કે તેમની વચ્ચેનો કોણ બરાબર છે. એટલે કે, જરૂરી લંબાઈ શોધવા માટે અમારી પાસે તમામ ડેટા છે

જવાબ:

.

વેક્ટર ઉત્પાદનનો ભૌમિતિક અર્થ.

વ્યાખ્યા દ્વારા, વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ છે . અને ભૂમિતિના કોર્સમાંથી ઉચ્ચ શાળાઆપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણની બે બાજુઓની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના કોણની સાઈનના અડધા ગુણાંક જેટલું છે. પરિણામે, વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના બમણા જેટલી હોય છે જેની બાજુઓ વેક્ટર હોય છે અને , જો તે એક બિંદુથી પ્લોટ કરવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ અને તે બાજુઓ સાથેના સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળ જેટલી છે અને તેમની વચ્ચેનો કોણ . આ છે ભૌમિતિક અર્થવેક્ટર ઉત્પાદન.