હર્મન કોચ ઓડેસાનો સ્ટાર છે. જટિલ અથવા સરળ અને યોગ્ય? પરિચય

ખંડિત પરિમાણ તરીકે રિચાર્ડસોનિયનના મારા અર્થઘટનને વધુ સંપૂર્ણ રીતે સમજવા માટે, ચાલો કુદરતી ઘટનાઓથી આગળ વધીએ કે જેના પર આપણી પાસે ભૌમિતિક બંધારણોની શક્તિ નથી જે સંપૂર્ણપણે આપણી ઇચ્છાને આધીન છે.

સ્વ-સમાનતા અને કાસ્કેડ

અત્યાર સુધી અમે દરિયાકિનારાની ભૌમિતિક જટિલતા પર વધુ ધ્યાન કેન્દ્રિત કર્યું છે; હવે એ ઉલ્લેખ કરવાનો સમય છે કે તેમની રચના મોટાભાગે સુવ્યવસ્થિત છે.

જો કે વિવિધ સ્કેલ પર બનાવેલા નકશા ચોક્કસ વિગતોમાં ભિન્ન હોય છે, તેમ છતાં તેમની વધુ સામાન્ય વિશેષતાઓ યથાવત રહે છે. રફ અંદાજે, મોટા દરિયાકિનારાની વિગતો ભૌમિતિક રીતે નાની વિગતો જેવી જ હોય ​​છે, માત્ર તફાવત સ્કેલમાં છે.

આ આકારની તુલના તે પેટર્ન સાથે કરી શકાય છે કે કેટલાક મલ્ટિ-સ્ટેજ ફટાકડા આકાશ પર રંગ કરે છે: તેના દહનના દરેક તબક્કે, નવી, ક્યારેય નાની વિગતો એકંદર ચિત્રમાં ઉમેરવામાં આવે છે, જે પ્રારંભિક વિસ્ફોટના પરિણામ સ્વરૂપે સમાન હોય છે. જો કે, ટર્બ્યુલન્સ પર લુઈસ રિચાર્ડસનના ઉપરોક્ત કાર્યોમાંથી, આપણે વધુ યોગ્ય સરખામણી ઉછીના લઈ શકીએ છીએ અને આવી રચનાઓ ઉત્પન્ન કરતી પદ્ધતિને કાસ્કેડ કહી શકીએ છીએ.

જો ચોક્કસ સ્વરૂપનો દરેક ભાગ ભૌમિતિક રીતે સમગ્ર સાથે સમાન હોય, તો ફોર્મ અને તેને ઉત્પન્ન કરનાર કાસ્કેડ બંનેને સ્વ-સમાન કહેવામાં આવે છે. આ પ્રકરણમાં આપણે સૌથી નિયમિત આંકડાઓનો ઉપયોગ કરીને સ્વ-સમાનતાનો અભ્યાસ કરીશું.

સ્વ-સમાન આકારોનો સૌથી સંપૂર્ણ વિરોધાભાસ એ વણાંકો છે, જેમાં કાં તો માત્ર એક જ સ્કેલ (ઉદાહરણ તરીકે, એક વર્તુળ) અથવા બે સ્પષ્ટ રીતે વિભાજિત ભીંગડા હોય છે (ઉદાહરણ તરીકે, ઘણા નાના અર્ધવર્તુળોના "રિજ" સાથે સુશોભિત વર્તુળ). અમે આવા સ્વરૂપોને નોન-સ્કેલેબલ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.

દરિયાકાંઠાના નમૂનાઓ તરીકે ટેરાગોન્સ. ટ્રિનિટી કોચ કર્વ

જો આપણે સમાવિષ્ટ વળાંક મેળવવા માંગીએ છીએ અનંત સંખ્યાલંબાઇના ભીંગડા, કરવા માટે સૌથી સલામત બાબત એ છે કે તેમને જાતે જ ત્યાં એક પછી એક દાખલ કરો. 1 ની બરાબર બાજુની લંબાઈવાળા નિયમિત ત્રિકોણમાં એક સ્કેલ હોય છે, 1/3 ની બરાબર બાજુની લંબાઈવાળા નિયમિત ત્રિકોણમાં પણ એક સ્કેલ હોય છે, માત્ર નાનો - નિયમ અનુસાર બાજુની લંબાઈને વધુ ઘટાડીને, આપણને હંમેશાના ત્રિકોણ મળશે. નાના પાયે. પછી આ બધા ત્રિકોણને એકબીજાની ટોચ પર ઢાંક્યા પછી (ફિગ. 70 માં બતાવ્યા પ્રમાણે), અમે 1 કરતા ઓછા બધા ભીંગડા ધરાવતો આકાર મેળવીએ છીએ.

સારમાં, અમે ધારીએ છીએ કે દરિયાકિનારાનો અમુક વિભાગ, 1/1,000,000 ના સ્કેલ પર દોરવામાં આવે છે, તે એકમ લંબાઈની સીધી રેખા તરીકે દેખાય છે; ચાલો આવા વિભાગને પહેલવાન કહીએ. અમે પછી ધારીએ છીએ કે 3/1000,000 ના સ્કેલ પર નકશા પર ચોક્કસ વિગત દેખાય છે, એટલે કે, એક સમબાજુ ત્રિકોણના આકારમાં એક પ્રોટ્રુઝન, મૂળ સેગમેન્ટના મધ્ય ત્રીજા ભાગ પર કબજો કરે છે. આ રીતે મેળવેલ બીજો અંદાજ એ ચાર સેગમેન્ટની બનેલી તૂટેલી રેખા છે સમાન લંબાઈ- ચાલો તેને જનરેટર કહીએ. ચાલો આપણે એ પણ વધુ માની લઈએ વિગતવાર નકશો(સ્કેલ 9/1000,000) આ જ જનરેટરની નકલ સાથે જનરેટરના ચાર સેગમેન્ટમાંના દરેકને બદલવાના પરિણામ જેવું લાગે છે, એટલે કે, સમાન આકારના બે નવા પ્રોટ્રુઝન, પરંતુ કદમાં નાના, વધે છે. દરેક પ્રોટ્રુઝનમાંથી.

સમાન ભાવનામાં ચાલુ રાખીને, અમે બધા સીધા ભાગોને બદલીએ છીએ તૂટેલી રેખાઓ, અને શરૂઆતમાં સીધો આરંભ કરનાર ધીમે ધીમે વધુને વધુ લાંબા તૂટેલા વળાંકમાં ફેરવાય છે. અમે આ નિબંધ દરમિયાન આવા વળાંકો સાથે વ્યવહાર કરીશું, તેથી હું તેમના માટે એક નવો શબ્દ રજૂ કરવાનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું: ટેરેગોન્સ (ગ્રીકમાંથી "રાક્ષસ, વિચિત્ર પ્રાણી" અને "કોણ"). માર્ગ દ્વારા, મેટ્રિક સિસ્ટમમાં ઉપસર્ગ તેરાનો અર્થ થાય છે (ખૂબ જ યોગ્ય રીતે, મારે કહેવું જોઈએ) દ્વારા ગુણાકાર થાય છે.

જો આપણે ઉપર વર્ણવેલ કાસ્કેડ પ્રક્રિયાને અનંતતા સુધી ચાલુ રાખીએ, તો આપણા ટેરાગોન્સ વોન કોચ દ્વારા પ્રથમ ગણવામાં આવતી મર્યાદા સુધી ધસી જશે (જુઓ. ફિગ. 74). ચાલો આવા વળાંકને ટર્નરી કોચ કર્વ કહીએ અને તેને પ્રતીક દ્વારા દર્શાવીએ.

ફિગ માં. 71 સ્પષ્ટપણે જોવા મળે છે કે આ વળાંકનો વિસ્તાર અદૃશ્ય થઈ જાય છે. બીજી બાજુ, તેના બાંધકામના દરેક તબક્કા સાથે કુલ લંબાઈ 4/3 ના પરિબળથી વધે છે, તેથી, મર્યાદામાં, કોચ વળાંકની લંબાઈ અનંત છે. તદુપરાંત, કોચ વળાંક સતત છે, પરંતુ તેની ક્યાંય કોઈ સ્પર્શક નથી - ચોક્કસ સતત કાર્યનો આલેખ કે જેમાં કોઈ વ્યુત્પન્ન નથી.

દરિયાકાંઠાના નમૂના તરીકે, વળાંક માત્ર ખૂબ જ ઢીલો અંદાજ છે, પરંતુ એટલા માટે નહીં કે તે ખૂબ અનિયમિત છે - તેના બદલે કારણ કે, સામાન્ય દરિયાકિનારાની અનિયમિતતાની તુલનામાં, કોચ વળાંકની અનિયમિતતા ખૂબ જ અનુમાનિત છે. પ્રકરણ 24 અને 28 માં, અમે બાંધકામ પ્રક્રિયાને કંઈક અંશે રેન્ડમાઇઝ કરીને વધુ સારી રીતે યોગ્યતા પ્રાપ્ત કરવાનો પ્રયાસ કરીશું.

એક રાક્ષસ તરીકે કોચનો વળાંક

જે વ્યક્તિએ પાછલો વિભાગ વાંચ્યો છે તે કદાચ એવી છાપ ધરાવે છે કે કોચ વળાંક સૌથી સ્પષ્ટ અને સાહજિક ભૌમિતિક આકૃતિઓમાંથી એક છે. જો કે, જે કારણોએ વોન કોચને તેને બનાવવા માટે પ્રોત્સાહિત કર્યા તે એટલા સ્પષ્ટ નથી. અને ગણિતશાસ્ત્રીઓ તરફથી તેના પ્રત્યેનું વલણ સંપૂર્ણપણે રહસ્યમય લાગે છે. લગભગ સર્વસંમતિથી તેઓએ વળાંકને રાક્ષસી જાહેર કર્યો! વિગતો માટે, ચાલો ખાનની કૃતિ "ધ ક્રાઈસિસ ઓફ કોમન સેન્સ" તરફ વળીએ, જે, માર્ગ દ્વારા, આપણા માટે ઘણી વખત ઉપયોગી થશે. ખાન લખે છે: “[એક બિન-સુધારી શકાય તેવા વળાંક અથવા વળાંક કે જેના પર સ્પર્શક દોરવું અશક્ય છે] ની પ્રકૃતિ આપણે સાહજિક રીતે સમજી શકીએ છીએ તે સંપૂર્ણપણે બહાર છે. વાસ્તવમાં, એક સરળ વિભાજન ક્રિયાના માત્ર થોડા પુનરાવર્તનો પછી, પરિણામી આકૃતિ એટલી જટિલ બની જાય છે કે તેને સીધી રીતે સમજવું મુશ્કેલ છે, અને આ વળાંક મર્યાદામાં શું વલણ ધરાવે છે તેની કલ્પના કરવી સંપૂર્ણપણે અશક્ય છે. માત્ર કારણની મદદથી, ઉપયોગ કરીને તાર્કિક વિશ્લેષણ, આપણે આના ઉત્ક્રાંતિને અંત સુધી શોધી શકીએ છીએ વિચિત્ર પદાર્થ. જો આપણે પર આધાર રાખ્યો આ કિસ્સામાંસામાન્ય બુદ્ધિ, તો પછી આપણે જે વિચાર સંકલિત કર્યો છે તે મૂળભૂત રીતે ભૂલભરેલો હશે, કારણ કે સામાન્ય જ્ઞાન આપણને અનિવાર્યપણે નિષ્કર્ષ પર લઈ જશે કે વણાંકો કે જેનાં કોઈપણ બિંદુઓ પર સ્પર્શક નથી તે ફક્ત અસ્તિત્વમાં નથી. સાહજિક અભિગમની અપૂરતીતાનું આ પ્રથમ ઉદાહરણ ભિન્નતાના સૌથી મૂળભૂત ખ્યાલોને અસર કરે છે."

આપણે ખાનને તેની યોગ્યતા આપવી જોઈએ - તેના નિવેદનોમાં તે બિન-વિભેદક કાર્યો અંગે ચાર્લ્સ હર્માઈટના પ્રખ્યાત ઉદ્ગાર સુધી જતા નથી. 20 મે, 1893 ના રોજ સ્ટીલ્ટજેસને લખેલા પત્રમાં, હર્માઈટે ભયાનકતા અને અણગમો વિશે લખ્યું છે કે "ભગવાનની આ સજા, વ્યુત્પન્ન વિનાના આ તુચ્છ કાર્યો" તેમનામાં ઉત્તેજિત કરે છે (II, p. 318). અલબત્ત, આપણામાંના દરેક એવું માનવા માંગે છે કે મહાન લોકો ખામીઓ વિનાના છે અને હર્માઇટ માત્ર મજાક કરી રહ્યો હતો, પરંતુ 1922 (I) માં લખેલી લેબેસ્ગ્યુની "નોટ્સ" પરથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે આ સંપૂર્ણ રીતે સાચું નથી. સપાટીઓ પર એક લેખ લખ્યા પછી કે જેના પર સ્પર્શક વિમાનો બાંધી શકાતા નથી ("સંપૂર્ણપણે ચોળાયેલ રૂમાલ" વિશે), લેબેસ્ગ્યુએ તેને પ્રકાશન માટે એકેડેમી ઓફ સાયન્સમાં સબમિટ કર્યું, પરંતુ "હર્માઇટે પહેલા કોમ્પેટ્સ રેન્ડસ"1 માં લેખના સમાવેશનો વિરોધ કર્યો; સ્ટીલ્ટજેસને લખેલો તેમનો પત્ર આ સમયની આસપાસનો છે...”

તમે અને હું પહેલેથી જ જાણીએ છીએ કે પેરીન અને સ્ટીનહોસને રાક્ષસોનો કોઈ ડર નહોતો, પરંતુ એક માત્ર ગણિતશાસ્ત્રી કે જેમણે સામાન્ય અભિપ્રાય સામે વાંધો ઉઠાવ્યો હતો, ચોક્કસ રીતે સાહજિક વિચારણાઓના આધારે (સ્ટીનહૌસે તથ્યોના આધારે વાંધો ઉઠાવ્યો હતો), તે પોલ લેવી હતા: “[હું] તે હંમેશા હતો. સાંભળીને આશ્ચર્ય થાય છે કે જો તમે ભૂમિતિમાં સામાન્ય જ્ઞાન દ્વારા માર્ગદર્શન મેળવશો, તો તમે ચોક્કસપણે આ નિષ્કર્ષ પર આવશો કે બધું સતત કાર્યોવિભેદક જ્યાં સુધી હું મારા પોતાના અનુભવ પરથી નિર્ણય કરી શકું છું, ડેરિવેટિવ્ઝની વિભાવના સાથેના મારા પ્રથમ મુકાબલોથી આજ દિન સુધી, તે તદ્દન વિરુદ્ધ સાચું છે.

દુર્ભાગ્યે, આ અવાજો સંભળાયા નથી. લગભગ તમામ પુસ્તકો અને સંપૂર્ણપણે તમામ વિજ્ઞાન સંગ્રહાલયો અમને ખાતરી આપતા રહે છે કે અવિભાજિત કાર્યો સામાન્ય સમજ, "રાક્ષસી," "રોગવિજ્ઞાન" અથવા "સાયકોપેથિક" ની વિરુદ્ધ છે.

ટેમિંગ ધ કોચ કર્વ. પરિમાણ

હું દલીલ કરું છું કે કોચ વળાંક એ દરિયાકાંઠાનું ક્રૂડ પરંતુ ગાણિતિક રીતે સખત મોડેલ છે. પ્રથમ જથ્થાત્મક તપાસ તરીકે, કોચ ટર્નરી ટેરાગોનની લંબાઈને ધ્યાનમાં લો, જેની બાજુની લંબાઈ બરાબર છે. આ વખતે વળાંકની લંબાઈ અત્યંત સંતોષકારક પરિણામ સાથે ચોક્કસ રીતે માપી શકાય છે:

આ ચોક્કસ સૂત્ર બ્રિટનના દરિયાકાંઠાની લંબાઈ માટે રિચાર્ડસનના પ્રયોગમૂલક કાયદાની સમાન હોવાનું બહાર આવ્યું છે. ટર્નરી કોચ વળાંક માટે અમારી પાસે છે

જેનો અર્થ છે કે મૂલ્ય રિચાર્ડસન દ્વારા મેળવેલ મૂલ્યોની શ્રેણીમાં છે!

< Доказательство: તે સ્પષ્ટ છે કે, અને

આ સમીકરણ ફોર્મનો ઉકેલ ધરાવે છે જો તે સંબંધને સંતોષે છે.

તેથી, શું સાબિત થવું જોઈએ.

અલબત્ત, કોચ વળાંકના કિસ્સામાં, સૂચક એ પ્રયોગમૂલક નથી, પરંતુ ગાણિતિક સ્થિરાંક છે. આમ, આ સૂચકને પરિમાણ તરીકે ધ્યાનમાં લેવાની તરફેણમાં દલીલો દરિયાકિનારાના કિસ્સામાં કરતાં પણ વધુ વિશ્વાસપાત્ર બની જાય છે.

બીજી બાજુ, પરિમાણમાં અંદાજિત હૌસડોર્ફ એક્સ્ટેંશન (એક વિભાવના જેમાં રજૂ કરવામાં આવી હતી અગાઉનો પ્રકરણ) લંબાઈના સેગમેન્ટ્સની સંખ્યાના ઉત્પાદનની બરાબર છે, એટલે કે. આ એક સારી પુષ્ટિ છે કે જથ્થો એક Hausdorff પરિમાણ છે. કમનસીબે, આ પરિમાણની હૌસડોર્ફની વ્યાખ્યા સખત ગાણિતિક અર્થઘટન માટે ખૂબ જ નબળી છે. અને જો આવું ન હોય તો પણ, બિન-પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના સમૂહમાં પરિમાણની વિભાવનાને સામાન્ય બનાવવાનો વિચાર એટલો વ્યાપક અને આવા ગંભીર પરિણામોથી ભરપૂર છે કે તેના માટે ઊંડું સમર્થન આવકાર્ય છે.

સમાનતાનું પરિમાણ

તે તારણ આપે છે કે આપણે સ્વ-સમાન આકૃતિઓના કેસ અને સમાનતા પરિમાણની વિભાવનાને ધ્યાનમાં લઈને આપણે શોધી રહ્યા છીએ તે ઊંડું સમર્થન સરળતાથી મેળવી શકીએ છીએ. આપણે વારંવાર સાંભળીએ છીએ કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ હૌસડોર્ફ પરિમાણને અંદાજિત કરવા માટે સમાનતા પરિમાણનો ઉપયોગ કરે છે, અને આ નિબંધમાં ચર્ચા કરાયેલ મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, જેમ કે રફ અંદાજસાચું બહાર વળે છે. જ્યારે આ કિસ્સાઓ પર લાગુ થાય છે, ત્યારે આપણે ખંડિત પરિમાણને સમાનતા પરિમાણનો સમાનાર્થી ગણી શકીએ છીએ.< Аналогичным образом мы используем термин «топологическая размерность» как синоним обычной, «интуитивной», размерности.

એક પ્રકારની ઉત્તેજક પરિચય તરીકે, ચાલો પ્રમાણભૂત સ્વ-સમાન આકારો જોઈએ: રેખા વિભાગો, પ્લેન પર લંબચોરસ, વગેરે (ફિગ. 73 જુઓ). સીધી રેખાનું યુક્લિડિયન પરિમાણ 1 ની બરાબર છે, તેથી, કોઈપણ પૂર્ણાંક "આધાર" માટે, સેગમેન્ટને તેની સંપૂર્ણ "લંબાઈ" સાથે "કવર" કરી શકાય છે (દરેક બિંદુ એકવાર અને માત્ર એક જ વાર આવરી લેવામાં આવે છે) "ની ચોક્કસ સંખ્યા દ્વારા" ભાગો" સમાન. આ "ભાગો" એવા સેગમેન્ટ છે જ્યાં 1 થી . ગુણાંક સાથે સમાનતા પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને દરેક ભાગ સમગ્રમાંથી મેળવી શકાય છે .

પ્લેનનું યુક્લિડિયન પરિમાણ 2 જેટલું છે. તે એ જ રીતે અનુસરે છે કે કોઈપણ મૂલ્ય માટે "સંપૂર્ણ", તેની બાજુઓની લંબાઈ સાથે લંબચોરસનો સમાવેશ કરે છે, બાકીના ભાગોમાં "તૂટેલા" થઈ શકે છે. આ ભાગો સમીકરણોની સિસ્ટમ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત લંબચોરસ છે

ક્યાં અને 1 થી બદલો. અને અહીં દરેક ભાગ ગુણાંક સાથે સમાનતા રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને સમગ્રમાંથી મેળવી શકાય છે .

લંબચોરસ સમાંતરના કિસ્સામાં, સમાન તર્ક આપણને ગુણાંક તરફ દોરી જાય છે.

જેનું યુક્લિડિયન પરિમાણ 3 કરતા વધારે છે તે જગ્યાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં કોઈ મુશ્કેલી નથી. (અહીં અને નીચે આપણે યુક્લિડિયન - અથવા કાર્ટેશિયન - પરિમાણને અક્ષર દ્વારા સૂચવીશું.) તમામ પરિમાણીય સમાંતર પિપ્સ માટે () સમાનતા જોવા મળે છે.

.

આમ,

સમાન વૈકલ્પિક અભિવ્યક્તિઓ નીચે મુજબ છે:

ચાલો હવે બિન-માનક આંકડાઓ તરફ આગળ વધીએ. સ્વ-સમાનતા સૂચકનો ઔપચારિક અર્થ થાય તે માટે, તે માત્ર જરૂરી છે કે પ્રશ્નમાંની આકૃતિ સ્વ-સમાન હોય, એટલે કે, તેને ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકાય, જેમાંથી પ્રત્યેકનો ઉપયોગ કરીને સમગ્ર આકૃતિમાંથી મેળવી શકાય. ગુણાંક સાથે સમાનતા પરિવર્તન (વિસ્થાપન અથવા સપ્રમાણતા પરિવર્તન સાથે સંયોજનમાં). આ રીતે મેળવેલ મૂલ્ય હંમેશા સમાનતાને સંતોષે છે

ટર્નરી કોચ વળાંકના કિસ્સામાં, a, તેથી, જે સંપૂર્ણપણે Hausdorff પરિમાણ સાથે એકરુપ છે.

વણાંકો. ટોપોલોજિકલ ડાયમેન્શન

અત્યાર સુધી, બહુ વિચાર્યા વિના, અમે કોચ આકૃતિને વળાંક તરીકે ઓળખાવી; આ ખ્યાલને સમજવાનો સમય છે. સામાન્ય જ્ઞાનસૂચવે છે કે પ્રમાણભૂત ચાપ એ જોડાયેલ સમૂહ છે, અને જો તમે તેના કોઈપણ બિંદુઓને દૂર કરો છો, તો સમૂહ ડિસ્કનેક્ટ થઈ જશે. બંધ વળાંક એ જોડાયેલ સમૂહ છે જે બે બિંદુઓને દૂર કર્યા પછી બે પ્રમાણભૂત ચાપમાં વિભાજિત થાય છે. આ કારણોસર, કોચ આકૃતિ કુટિલ ગણી શકાય.

કોઈપણ ગણિતશાસ્ત્રી તમને કહેશે કે ઉપરોક્ત ગુણધર્મ ધરાવતી તમામ આકૃતિઓ (તે વક્ર હોય, અંતરાલ હોય કે વર્તુળ હોય) 1 ની બરાબર ટોપોલોજીકલ પરિમાણ ધરાવે છે. એટલે કે, આપણી પાસે પરિમાણનો બીજો ખ્યાલ છે! વિલિયમ ઓકહામના અનુયાયીઓ તરીકે, બધા વૈજ્ઞાનિકો સારી રીતે જાણે છે કે "એન્ટિટીનો બિનજરૂરી રીતે ગુણાકાર થવો જોઈએ નહીં." અહીં મારે કબૂલ કરવું જોઈએ કે ખંડિત પરિમાણના ઘણા લગભગ સમાન સ્વરૂપો વચ્ચેનું આપણું ડાર્ટિંગ ફક્ત સગવડના વિચારણા દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું છે. પરંતુ ખંડિત અને ટોપોલોજીકલ પરિમાણોનું સમાંતર અસ્તિત્વ એ સૌથી ગંભીર આવશ્યકતા છે. જે વાચકો પ્રકરણ 3 માં ડિગ્રેશન ચૂકી ગયા છે જ્યાં ફ્રેક્ટલની વ્યાખ્યા આપવામાં આવી છે, હું તેને હમણાં વાંચવાની ભલામણ કરું છું; વધુમાં, દરેક વ્યક્તિ પ્રકરણ 41 માં DIMENSION શીર્ષક ધરાવતા વિભાગથી પરિચિત હોવા જોઈએ.

પરિમાણની સાહજિક સંવેદનાડીથ્રેશોલ્ડની હાજરીમાં અને

સેસારોની એક કૃતિ એપિગ્રાફથી શરૂ થાય છે:

"...અમર્યાદ ઇચ્છા, અમર્યાદ ઇચ્છાઓ, એ હકીકત હોવા છતાં કે આપણી શક્તિ મર્યાદિત છે, અને સપનાની અનુભૂતિ શક્યતાઓની પકડમાં છે."1

ખરેખર, શક્યતાની પકડ શેક્સપિયરના ટ્રોઈલસ અને ક્રેસિડા કરતાં ઓછી નહીં પણ વૈજ્ઞાનિકો પર સત્તા ધરાવે છે. કોચ વળાંક બાંધવા માટે, દરેક વખતે ઘટતા પ્રોટ્રુઝન અનંત સુધી જાય તે જરૂરી છે, પરંતુ કુદરતમાં દરેક કાસ્કેડ કાં તો બંધ અથવા બદલવા માટે વિનાશકારી છે. અમે, અલબત્ત, પ્રોટ્રુઝન્સની અનંત શ્રેણીના અસ્તિત્વને ધારી શકીએ છીએ, પરંતુ તે ચોક્કસ મર્યાદાઓમાં જ સ્વ-સમાન તરીકે દર્શાવી શકાય છે. જ્યારે લંબાઈને નીચલી મર્યાદા કરતા ઓછા મૂલ્યોમાં ઘટાડવામાં આવે છે, ત્યારે દરિયાકિનારાની વિભાવના ભૂગોળ સાથે સંબંધિત નથી.

આમ, વાસ્તવિક દરિયાકિનારાને બે થ્રેશોલ્ડ સ્કેલને સમાવિષ્ટ વળાંક તરીકે ધ્યાનમાં લેવું વાજબી લાગે છે. બાહ્ય થ્રેશોલ્ડને ટાપુ અથવા મુખ્ય ભૂમિનું વર્ણન કરતા નાના વર્તુળનો વ્યાસ ગણી શકાય અને આંતરિક થ્રેશોલ્ડ તરીકે આપણે તે જ 20 મીટર લઈ શકીએ છીએ જેની ચર્ચા પ્રકરણ 5 માં કરવામાં આવી હતી. થ્રેશોલ્ડ, પરંતુ આ સમાન થ્રેશોલ્ડ રજૂ કરવાની જરૂરિયાત શંકાને પાત્ર નથી.

અને તેમ છતાં, આપણે સૌથી મોટી અને નાની વિગતોને કાઢી નાખ્યા પછી પણ, પ્રકરણ 3 માં વર્ણવ્યા મુજબ પરિમાણનો અર્થ અસરકારક પરિમાણ તરીકે ચાલુ રહે છે. સખત રીતે કહીએ તો, ત્રિકોણ, ડેવિડનો સ્ટાર અને કોચના મર્યાદિત ટેરાગોન્સનું પરિમાણ 1 છે. જો કે - બંને સાહજિક અને વ્યવહારિક દૃષ્ટિકોણ, જરૂરી સુધારણા શરતોની સરળતા અને પ્રાકૃતિકતા દ્વારા સંચાલિત - બાંધકામના પછીના તબક્કામાંના એક પર કોચ ટેરાગોનને વળાંક કરતાં પરિમાણ 1 સાથે વળાંકની નજીકની આકૃતિ તરીકે ધ્યાનમાં લેવું વધુ વાજબી છે. પરિમાણ 1 સાથે.

દરિયાકાંઠાની વાત કરીએ તો, તે સંભવતઃ ઘણા જુદા જુદા પરિમાણો ધરાવે છે (પ્રકરણ ત્રણમાંથી થ્રેડનો બોલ યાદ રાખો). તેનું ભૌગોલિક પરિમાણ રિચાર્ડસન ઘાતાંક છે. પરંતુ ભૌતિકશાસ્ત્ર જે કદ સાથે વ્યવહાર કરે છે તેની શ્રેણીમાં, દરિયાકાંઠાનું પરિમાણ સંપૂર્ણપણે અલગ હોઈ શકે છે - જે પાણી, હવા અને રેતી વચ્ચેના ઇન્ટરફેસના ખ્યાલ સાથે સંકળાયેલું છે.

સ્વ-છેદન વિના વૈકલ્પિક કોચ જનરેટર અને કોચ કર્વ્સ

ચાલો ફરી એક વાર ટર્નરી કોચ વળાંક બાંધવાના મૂળ સિદ્ધાંતને ઘડીએ. બાંધકામ બે આકૃતિઓથી શરૂ થાય છે: એક આરંભ કરનાર અને જનરેટર. બાદમાં એક લક્ષી તૂટેલી રેખા છે, જેમાં લંબાઈના સમાન ભાગોનો સમાવેશ થાય છે. બાંધકામના દરેક તબક્કાની શરૂઆતમાં અમારી પાસે કેટલીક તૂટેલી રેખા છે; સ્ટેજમાં જ દરેક સીધા વિભાગને જનરેટરની નકલ સાથે બદલવાનો સમાવેશ થાય છે, ઘટાડવામાં આવે છે અને ખસેડવામાં આવે છે જેથી કરીને તેના અંતિમ બિંદુઓ બદલાયેલા વિભાગના અંતિમ બિંદુઓ સાથે સુસંગત હોય. દરેક તબક્કે .

તેને બદલવું મુશ્કેલ નથી સામાન્ય દૃશ્યજનરેટરમાં ફેરફાર કરીને પરિણામી ડિઝાઇન; પ્રોટ્રુઝન અને ડિપ્રેશનના સંયોજનો ખાસ કરીને રસપ્રદ છે - ઉદાહરણો પ્રકરણ પછીના ચિત્રોમાં મળી શકે છે. આમ, વિવિધ કોચ ટેરાગોન્સને વણાંકોમાં કન્વર્જિંગ મેળવવાનું શક્ય છે જેમના પરિમાણો 1 થી 2 ની રેન્જમાં છે.

આ બધા કોચ વણાંકો પોતાને ક્યાંય પણ છેદતા નથી, તેથી, તેમને વ્યાખ્યાયિત કરતી વખતે, તેમને કોઈપણ અસ્પષ્ટતા વિના બિન-છેદેલા ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. જો કે, જો તમે કોચ વળાંક બાંધતી વખતે બેદરકારીપૂર્વક પસંદ કરેલા જનરેટરનો ઉપયોગ કરો છો, તો સ્વયં-સ્પર્શ અથવા સ્વ-છેદન અથવા સ્વ-ઓવરલેપ થવાનું જાણીતું જોખમ છે. જો ઇચ્છિત મૂલ્ય પર્યાપ્ત નાનું હોય, તો જનરેટરને કાળજીપૂર્વક પસંદ કરીને તમે સરળતાથી ડબલ પોઇન્ટના દેખાવને ટાળી શકો છો. સમસ્યા તીવ્રપણે વધુ જટિલ બની જાય છે, પરંતુ જ્યાં સુધી મૂલ્ય 2 કરતા ઓછું રહે ત્યાં સુધી ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે.

જો આપણે ઉપર વર્ણવેલ બાંધકામનો ઉપયોગ કરીને, 2 થી વધુ પરિમાણ સાથે કોચ વળાંક મેળવવાનો પ્રયાસ કરીએ, તો આપણે અનિવાર્યપણે એવા વળાંકો પર આવીશું જે વિમાનને ઘણી વખત અનંતપણે આવરી લે છે. આ કેસ વિશેષ વિચારણાને પાત્ર છે, અને અમે પ્રકરણ 7 માં તેનો સામનો કરીશું.

ARCS અને અર્ધ-સીધા બોક્સ

કેટલાક કિસ્સાઓમાં, "કોચ વળાંક" શબ્દને વધુ ચોક્કસ અને યોગ્ય સાથે બદલવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફિગમાં બતાવેલ આકૃતિ. 73 નીચે, ઔપચારિક રીતે રેખાખંડનો કોચ નકશો છે અને તેને કોચ આર્ક કહી શકાય. પરિણામે, ફિગમાં સીમા રેખા. 74 ત્રણ કોચ આર્ક્સથી બનેલું હોવાનું બહાર આવ્યું છે. કોચ અર્ધ-રેખામાં ચાપને એક્સ્ટ્રાપોલેશન કરવું તે ઘણીવાર ઉપયોગી છે - એક્સ્ટ્રાપોલેશન મૂળ ચાપને પહેલા એક પરિબળ દ્વારા વિસ્તૃત કરે છે, તેના ડાબા અંતિમ બિંદુને ફોકસ તરીકે ઉપયોગ કરીને, પછી પરિબળ વગેરે દ્વારા. દરેક અનુગામી એક્સ્ટ્રાપોલેશનના પરિણામમાં અગાઉના વળાંક, અને મર્યાદામાં પરિણામી વળાંક બધું મધ્યવર્તી અંતિમ વણાંકો ધરાવે છે.

અપૂર્ણાંક મૂલ્ય સાથે ત્રિજ્યા પરના માપનું નિર્ભરતાડી

ચાલો યુક્લિડિયન ભૂમિતિની બીજી પ્રમાણભૂત સ્થિતિને ધ્યાનમાં લઈએ અને ખંડિત પરિમાણોને ધ્યાનમાં લઈને તેને સામાન્યીકરણ કરીએ. ઘનતાના આદર્શ સજાતીય ભૌતિક પદાર્થોના કિસ્સામાં, આપણે ધારી શકીએ કે લંબાઈના સળિયા, ડિસ્ક અથવા ત્રિજ્યાના બોલનું દળ પ્રમાણસર છે. = 1.2 અને 3 પર, પ્રમાણસરતા ગુણાંક અનુક્રમે , અને .

આ નિયમ ફ્રેકટલ્સને પણ લાગુ પડે છે, જો કે તેઓ સ્વ-સમાન હોય.

ટર્નરી કોચ કર્વ્સના કિસ્સામાં, જો મૂળ કોચ અર્ધ-રેખાના અંતિમ બિંદુ સાથે એકરુપ હોય તો આ નિવેદન સૌથી સહેલાઈથી સાબિત થાય છે. જો ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં (જ્યાં) દળ હોય છે, તો ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં સમૂહ હશે . અહીંથી

તેથી, ગુણોત્તર ત્રિજ્યા પર આધારિત નથી અને ઘનતા નક્કી કરવા માટે સેવા આપી શકે છે.

કોચ મૂવમેન્ટ

કોચ અર્ધ-રેખા સાથે આગળ વધી રહેલા બિંદુની કલ્પના કરો અને સમાન સમયના અંતરાલોમાં સમાન માપની ચાપ પસાર કરો. જો આપણે હવે બિંદુની સ્થિતિના કાર્ય તરીકે સમય નક્કી કરતા ફંક્શનને ઉલટાવીએ, તો આપણને એક ફંક્શન મળે છે જે સમયના કાર્ય તરીકે બિંદુની સ્થિતિ નક્કી કરે છે, એટલે કે, ગતિનું કાર્ય. આવી ચળવળની ગતિ, અલબત્ત, અનંત છે.

રેન્ડમ કોસ્ટલાઇન્સ: પ્રારંભિક દેખાવ

કોચ વળાંક વાસ્તવિક રાશિઓ જેવો જ છે દરિયાકિનારો, જો કે, તેમાં કેટલીક નોંધપાત્ર ખામીઓ છે (આ નિબંધમાં ચર્ચા કરાયેલા તમામ પ્રારંભિક મોડેલોમાં આ ખામીઓ લગભગ યથાવત છે). તેના ભાગો એકબીજા સાથે સમાન છે, અને સમાનતાના ગુણાંક પોતે ચોક્કસપણે ફોર્મના સખત સ્કેલ દ્વારા સેટ કરવામાં આવે છે, જ્યાં પૂર્ણાંક છે, એટલે કે, વગેરે. આમ, કોચ વળાંકને માત્ર દરિયાકિનારાનું ખૂબ જ પ્રારંભિક મોડેલ ગણી શકાય.

મેં આ ખામીઓને દૂર કરવા માટે ઘણી રીતો વિકસાવી છે, પરંતુ તેમાંથી કોઈ પણ ચોક્કસ સંભવિત ગૂંચવણો વિના કરી શકતું નથી કે જેનો આપણે હાલમાં સામનો કરી શકતા નથી: પ્રથમ બિન-રેન્ડમ ફ્રેકટલ્સ સંબંધિત ઘણા મુદ્દાઓ છે જેનું સમાધાન કરવું આવશ્યક છે. પ્રોબેબિલિટી થિયરીથી પરિચિત રસ ધરાવતા વાચક માટે, મારા "સ્ક્વિગ કર્વ્સ" (જુઓ પ્રકરણ 24) અને વધુ અગત્યનું, આંશિક બ્રાઉનિયન સપાટીઓની સ્તરની રેખાઓ પર (જુઓ પ્રકરણ 28) પર આધારિત મોડલને થોડું આગળ જોવા અને પ્રશંસા કરતા કંઈપણ અટકાવતું નથી. ).

અહીં અને નીચે હું સામગ્રી પ્રસ્તુત કરવાની નીચેની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરું છું. કુદરત દ્વારા બનાવેલ અસંખ્ય પેટર્નને ક્રમાંકિત ફ્રેકટલ્સની પૃષ્ઠભૂમિ સામે ગણવામાં આવે છે, જે સેવા આપી શકે છે, જો કે ખૂબ જ અંદાજે, પરંતુ હજુ પણ વિચારણા હેઠળની ઘટનાના મોડેલ તરીકે, જ્યારે હું પ્રસ્તાવિત રેન્ડમ મોડેલો પછીના પ્રકરણોમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.

મેમો.બધા કિસ્સાઓમાં જ્યાં મૂલ્ય ચોક્કસ રીતે ઓળખાય છે, પૂર્ણાંક નથી, અને સરખામણીની સુવિધા માટે દશાંશ સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે, તે ચાર દશાંશ સ્થાનો પર જાળવવામાં આવે છે. નંબર 4 નીચેની વિચારણાઓને આધારે પસંદ કરવામાં આવ્યો હતો: હું બતાવવા માંગતો હતો કે આ કિસ્સામાં મૂલ્ય ન તો પ્રયોગમૂલક છે (બધા પ્રયોગમૂલક મૂલ્યોહાલમાં એક અથવા બે દશાંશ સ્થાનોની અંદર ઓળખાય છે), અને તે સંપૂર્ણપણે નિશ્ચિત નથી ભૌમિતિક મૂલ્ય(આવા તમામ મૂલ્યો હાલમાં એક અથવા બે દશાંશ સ્થાનોની ચોકસાઈ અથવા છ દશાંશ સ્થાનોની ચોકસાઈ માટે જાણીતા છે).

જટિલ અથવા હજુ પણ સરળ અને યોગ્ય?

કોચ વણાંકો એક નવું અને ખૂબ જ દર્શાવે છે રસપ્રદ સંયોજનસરળતા અને જટિલતા. પ્રથમ નજરમાં તેઓ કોઈપણ પ્રમાણભૂત યુક્લિડિયન વળાંક કરતાં વધુ જટિલ લાગે છે. જો કે, સિદ્ધાંત ગાણિતિક ગાણિતીક નિયમોકોલમોગોરોવ-ચૈટિન વિરુદ્ધ દાવો કરે છે: કોચ વળાંક વર્તુળ કરતાં વધુ જટિલ નથી! આ સિદ્ધાંત "અક્ષરો" અથવા "પરમાણુ ક્રિયાઓ" ના ચોક્કસ સમૂહ અને ટૂંકી લંબાઈ સાથે કાર્ય કરે છે. જાણીતા અલ્ગોરિધમનોઇચ્છિત કાર્યનું નિર્માણ હેતુ તરીકે લેવામાં આવે છે ઉપલી મર્યાદાઆ કાર્યની જટિલતા.

ચાલો વણાંકો બાંધવા માટે ઉપર વર્ણવેલ અભિગમને લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. ચાલો ગ્રાફિક પ્રક્રિયાના અક્ષરો અથવા "અણુઓ" ને સીધા "સ્ટ્રોક" વડે દર્શાવવા માટે સંમત થઈએ. આવા મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરતી વખતે, નિયમિત બહુકોણ બનાવવાની જરૂર છે મર્યાદિત સંખ્યાસ્ટ્રોક, જેમાંથી દરેકનું વર્ણન મર્યાદિત સંખ્યામાં સૂચનાઓનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે, અને પરિણામે, મર્યાદિત જટિલતાની સમસ્યા છે. વર્તુળના નિર્માણમાં, તેનાથી વિપરીત, “ અનંત સંખ્યાઅનંત ટૂંકા સ્ટ્રોક,” અને તેથી વર્તુળ આપણને અનંત જટિલતાના વળાંક તરીકે દેખાય છે. જો કે, જો તમે વર્તુળનું પુનરાવર્તિત નિર્માણ કરો છો, તો તમે જોઈ શકો છો કે માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં સૂચનાઓની જરૂર છે, અને તેથી વર્તુળ બનાવવું એ પણ મર્યાદિત જટિલતાનું કાર્ય છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, નિયમિત બહુકોણથી શરૂ કરીએ જેની બાજુઓની સંખ્યા () જેટલી હોય, પછી લંબાઈના દરેક સ્ટ્રોકને લંબાઈના બે સ્ટ્રોકથી બદલો; પછી પ્રક્રિયા ફરીથી અને ફરીથી પુનરાવર્તન કરવામાં આવે છે. કોચ વણાંકો બાંધવા માટે, સમાન અભિગમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, પરંતુ વધુ ઉપયોગ કરીને સરળ કામગીરી: દરેક સ્ટ્રોકની લંબાઈને માત્ર દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, અને સ્ટ્રોકની સંબંધિત સ્થિતિ સમગ્ર બાંધકામ દરમિયાન સમાન રહે છે. આ વિરોધાભાસી નિવેદન તરફ દોરી જાય છે: જ્યારે જટિલતા શ્રેષ્ઠની લંબાઈ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે વર્તમાન ક્ષણઆ મૂળાક્ષરો દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ અલ્ગોરિધમ, કોચ વળાંક વર્તુળ કરતા સરળ હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

તેમના બાંધકામની સંબંધિત મુશ્કેલી અનુસાર વણાંકોના આ અસામાન્ય વિતરણને ગંભીરતાથી લેવું જોઈએ નહીં. સૌથી રસપ્રદ બાબત એ છે કે વર્તુળ અને શાસક પર આધારિત મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને (એટલે ​​​​કે, વર્તુળને "અણુ" તરીકે લેવું), આપણે વિપરીત નિષ્કર્ષ પર આવીશું. અને તેમ છતાં, વ્યાજબી રીતે પસંદ કરાયેલા મૂળાક્ષરો સાથે, કોઈપણ કોચ વળાંક માત્ર મર્યાદિત જટિલતા ધરાવતો નથી, પરંતુ મોટાભાગના યુક્લિડિયન વણાંકો કરતાં વધુ સરળ હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

હું હંમેશા શબ્દોની વ્યુત્પત્તિશાસ્ત્રથી આકર્ષિત રહ્યો છું, અને તેથી હું કબૂલ કર્યા વિના આ પ્રકરણને સમાપ્ત કરી શકતો નથી કે મને કોચ વળાંકને "ખોટું" કહેવાનું નફરત છે. આ શબ્દ શાસન કરવા માટેના શબ્દ સાથે સંબંધિત છે અને, સૈદ્ધાંતિક રીતે, જો આપણે આ શબ્દને "સાચું બનાવવા, સીધા કરવા" તરીકે સમજીએ તો તે તદ્દન સ્વીકાર્ય છે: તે અસંભવિત છે કે કોઈ પણ વસ્તુ કોચ વળાંકને સીધી કરી શકે. જો કે, શાસન કરવા શબ્દનો બીજો અર્થ યાદ રાખવો અને શાસકો અથવા રાજાઓ વિશે વિચારવું (સમાન અર્થ, પરંતુ થોડી અલગ વ્યુત્પત્તિ. માર્ગ દ્વારા, લેટિન શબ્દોરેક્સ ("રાજા") અને રેગ્યુલા ("નિયમ") પણ સમાન મૂળ ધરાવે છે), એટલે કે, જેઓ અટલ નિયમોનો સમૂહ સ્થાપિત કરે છે જેનું નિઃશંકપણે પાલન કરવું જોઈએ, હું હંમેશા કમનસીબ શબ્દ સામે શાંતિપૂર્વક વિરોધ કરું છું - આ અર્થમાં , માં વિશ્વમાં કોચ વળાંક કરતાં વધુ "સાચો" કંઈ નથી.

ચોખા. 70. ટ્રિનિટી આઇલેન્ડ (અથવા સ્નોફ્લેક) કોચ. હેલ્જ વોન કોચનું મૂળ બાંધકામ (કોસ્ટલાઇન ડાયમેન્શન)

બાંધકામ "પ્રારંભિક" થી શરૂ થાય છે, એટલે કે, કાળા સમબાજુ ત્રિકોણ સાથે જેની બાજુની લંબાઈ એક જેટલી હોય છે. પછી દરેક બાજુના મધ્ય ત્રીજા ભાગમાં આપણે બનાવીએ છીએ સમભુજ ત્રિકોણ 1/3 ની બરાબર બાજુની લંબાઈ સાથે. આ તબક્કે આપણને છ-પોઇન્ટેડ સ્ટાર અથવા ડેવિડનો સ્ટાર મળે છે. પરિણામી તારાની દરેક બાજુ પર, અમે ઉપર વર્ણવેલ રીતે સમભુજ ત્રિકોણ બનાવીએ છીએ અને પ્રક્રિયા જાહેરાત અનંતનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ.

દરેક ઉમેરા સાથે કોઈપણ સેગમેન્ટના મધ્ય ત્રીજાના બિંદુઓ દ્વારા સ્થળાંતર કરવામાં આવે છે લંબ દિશા, જ્યારે ત્રિકોણાકાર આરંભકર્તાના શિરોબિંદુઓ ગતિહીન રહે છે. સ્ટાર ઓફ ડેવિડના બાકીના નવ પોઈન્ટ્સ મર્યાદિત સંખ્યામાં તબક્કાઓ પછી તેમના અંતિમ સ્થાને પહોંચે છે. કેટલાક બિંદુઓને અનંત સંખ્યામાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ દરેક વખતે થોડી માત્રામાં, અને છેવટે અમુક મર્યાદાઓ સુધી કન્વર્જ થાય છે જે દરિયાકાંઠાનો આકાર નક્કી કરે છે.

ટાપુ પોતે જ બહુકોણ દ્વારા બંધાયેલા વિસ્તારોના ક્રમની મર્યાદા દર્શાવે છે, જેમાંના દરેકમાં અગાઉના બહુકોણ દ્વારા બંધાયેલ વિસ્તારનો સમાવેશ થાય છે. આ મર્યાદાની ફોટોગ્રાફિક નકારાત્મક ફિગમાં જોઈ શકાય છે. 74.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે આ અને અન્ય ઘણા રેખાંકનોમાં, ટાપુઓ અને તળાવો ઘણીવાર દરિયાકિનારાને બદલે દર્શાવવામાં આવે છે - સામાન્ય રીતે, "નક્કર" આકૃતિઓને રૂપરેખા કરતાં સ્પષ્ટપણે પ્રાધાન્ય આપવામાં આવે છે. આને ખૂબ જ સરળ રીતે સમજાવી શકાય છે - અમે ફક્ત અમારી ગ્રાફિક્સ સિસ્ટમના ઉચ્ચ રીઝોલ્યુશનનો મહત્તમ ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યા હતા.

શા માટે આપણે આ વળાંક પર સ્પર્શક દોરી શકતા નથી?ચાલો મૂળ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓમાંથી એકને નિશ્ચિત બિંદુ તરીકે પસંદ કરીએ અને ઘડિયાળની દિશામાં મર્યાદા વળાંક પર સ્થિત ચોક્કસ બિંદુ પર સીધી રેખા દોરીએ. જેમ જેમ વળાંક પર પસંદ કરેલ બિંદુ આપણા શિરોબિંદુની નજીક આવે છે, તેમ તેમ તેમને જોડતી સીધી રેખા 30 ડિગ્રીના ખૂણામાં ઓસીલેટ થાય છે અને કોઈપણ મર્યાદા તરફ દોડવા માટે સંપૂર્ણપણે તૈયાર નથી કે જેને આપણે ઘડિયાળની દિશામાં સ્પર્શક કહી શકીએ. ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્પર્શક પણ અવ્યાખ્યાયિત છે. એક બિંદુ કે જેના પર સ્પર્શક દોરવાનું અશક્ય છે, કારણ કે તેમાંથી તારોને સંપૂર્ણપણે ઓસીલેટ કરે છે. ચોક્કસ ખૂણા, હાયપરબોલિક બિંદુ કહેવાય છે. તે બિંદુઓ માટે કે જ્યાં વળાંક અસમપ્રમાણ રૂપે વલણ ધરાવે છે, તેમના માટે સ્પર્શક દોરવાનું પણ અશક્ય છે, પરંતુ એક અલગ કારણોસર.

ચોખા. 71. ટ્રિનિટી આઇલેન્ડ (અથવા સ્નોવફ્લેક) કોચ કે. અર્નેસ્ટ સીસેરોનું વૈકલ્પિક બાંધકામ (દરિયાકાંઠાનું પરિમાણ)

કોચ ટાપુના વૈકલ્પિક બાંધકામની દરખાસ્ત સેસારોના વોન કોચ કર્વ્સ પરના લેખમાં કરવામાં આવી છે - એક કૃતિ એટલી નોંધપાત્ર છે કે જ્યારે પણ હું મેગેઝિન ખોલું છું, ત્યારે હું ભૂલી જાઉં છું કે મેં આ લેખ કેટલો સમય અને સખત રીતે જોયો હતો (અને જ્યારે મને પાછળથી ખબર પડી ત્યારે હું કેટલો ગુસ્સે થયો હતો. કે મારા બધા કામ નિરર્થક હતા - મારે તરત જ સંગ્રહ તરફ જોવું જોઈએ). મને મારા મફત અનુવાદમાં કેટલીક ખાસ કરીને આનંદદાયક પંક્તિઓ ટાંકવા દો. "આ આકૃતિનું અનંત માળખું પોતાની અંદર જ આપણને ટેનીસન જેને એક સમયે આંતરિક અનંત કહેતો હતો તેનો થોડો ખ્યાલ આપે છે - અનિવાર્યપણે એક માત્ર પ્રકારની અનંતતા જે કુદરત વિશેની આપણી ધારણા માટે સુલભ છે. આખા અને ભાગો વચ્ચેની આ સમાનતા માટે આભાર - નાનામાં નાના, અદ્રશ્ય નાના ભાગો સુધી - કોચ વળાંક ખરેખર અદ્ભુત ગુણધર્મો પ્રાપ્ત કરે છે. જો તેણીને જીવન આપવામાં આવે, તો પછી તેણીને મારવા માટે, આપણે કોઈ નિશાન વિના સમગ્ર વળાંકનો નાશ કરવો પડશે, કારણ કે તે તેના ત્રિકોણના ઊંડાણોમાંથી ફરીથી અને ફરીથી જન્મ લેશે; તેમ છતાં, સામાન્ય રીતે બ્રહ્માંડના જીવન વિશે પણ એવું જ કહી શકાય.”

સીસારોના બાંધકામમાં આરંભ કરનાર બાજુની લંબાઈ સાથેનો નિયમિત ષટ્કોણ છે. ટાપુની આસપાસનો મહાસાગર રાખોડી રંગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. દરિયાકાંઠાના દરેક સીધા વિભાગને ત્રિકોણાકાર ખાડી દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જેનું કદ બાંધકામના દરેક તબક્કા સાથે અનંત સુધી ઘટે છે, અને કોહા આઇલેન્ડ ઘટતા અંદાજની મર્યાદા બની જાય છે.

ઉપરોક્ત આકૃતિ બંને બાંધકામ પદ્ધતિઓ બતાવે છે: કોચ પદ્ધતિ (જુઓ. ફિગ. 70) અને માત્ર વર્ણવેલ સીસારો પદ્ધતિ. આ દૃષ્ટિકોણમાં, કોચનો અંતિમ દરિયાકિનારો બે ટેરેગોન વચ્ચે સેન્ડવીચ થયેલો દેખાય છે જે અંદર અને બહારથી સતત નજીક આવી રહ્યા છે. કોઈ કાસ્કેડિંગ પ્રક્રિયાની કલ્પના કરી શકે છે, જેની શરૂઆતમાં આપણી પાસે ત્રણ કેન્દ્રિત રિંગ્સ છે: નક્કર જમીન(કાળો), સ્વેમ્પ (સફેદ) અને પાણી (ગ્રે). આ કેસ્કેડીંગ પ્રક્રિયાના દરેક પગલા સાથે, સ્વેમ્પનો અમુક ભાગ કાં તો નક્કર જમીન અથવા પાણીમાં રૂપાંતરિત થાય છે. મર્યાદા પર, સ્વેમ્પ અત્યંત પાતળો બની જાય છે, "સપાટી" થી વળાંકમાં ફેરવાય છે.

મધ્ય પાળીનું અર્થઘટન.અમે જનરેટર અને નીચેના પગલાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (કોણ 120 ડિગ્રી છે):

સીધા રેખાખંડના મધ્યબિંદુને બહારની તરફ મી આંતરિક ટેરાગોન તરફ ખસેડવાથી બાહ્ય ટેરાગોન બહાર આવે છે; બહારના ટેરાગોનની અંદરની તરફનું મધ્યસ્થ વિસ્થાપન એ બહારના ટેરાગોનને આપે છે. આ અભિગમની અસરકારકતા ફિગમાં દર્શાવવામાં આવી છે. 98 અને 99, અને પ્રકરણ 25 માં પણ.

ચોખા. 73. સ્વ-સમાનતાના બે પ્રકાર: પ્રમાણભૂત અને ખંડિત

આકૃતિ બતાવે છે કે કેવી રીતે અમુક પૂર્ણાંક આપવામાં આવે છે (આ કિસ્સામાં = 5), તમે એકમ લંબાઈના સીધા સેગમેન્ટને પેટા-અંતરોમાં વિભાજિત કરી શકો છો, જેમાંથી દરેકની લંબાઈ બરાબર છે. એ જ રીતે, આપણે એકમ ચોરસને બાજુની લંબાઈ સાથે નાના ચોરસમાં વિભાજીત કરી શકીએ છીએ. બંને કિસ્સાઓમાં, જથ્થો પ્રશ્નમાં આકૃતિની સમાનતાના પરિમાણને રજૂ કરે છે, એક એવો જથ્થો કે જેનો શાળા ભૂમિતિ ઉલ્લેખ કરવો જરૂરી માનતી નથી, કારણ કે તેનો અર્થ યુક્લિડિયન પરિમાણમાં ઘટાડી દેવામાં આવ્યો છે.

નીચેનો આંકડો કોચ ટર્નરી વળાંક અથવા કોચ ટાપુનો ત્રીજો દરિયાકિનારો છે. તેને , અને સાથે મૂળ વળાંકની જેમ નાની આકૃતિઓમાં પણ વિભાજિત કરી શકાય છે. સમાનતાનું પરિમાણ આ કિસ્સામાં તે તારણ આપે છે અપૂર્ણાંક સંખ્યા(તેનું મૂલ્ય આશરે 1.2618 છે), પ્રમાણભૂત ભૂમિતિમાં કોઈ એનાલોગ નથી.

હૌસડોર્ફે બતાવ્યું કે ગણિતમાં જથ્થો ખૂબ જ ઉપયોગી હોઈ શકે છે અને તે હૌસડોર્ફ અથવા ખંડિત, પરિમાણ સાથે એકરુપ છે. હું ભારપૂર્વક કહું છું કે તમે પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાનમાં તીવ્રતા વિના કરી શકતા નથી.

ચોખા. 74. ટ્રિનિટી લેક કોખા કે (કોસ્ટલાઇનનું પરિમાણ)

ચાલો આકૃતિ 70 અને 71 ના સ્પષ્ટીકરણમાં વર્ણવેલ બાંધકામને કેટલાક અદ્યતન તબક્કામાં ચાલુ રાખીએ અને પરિણામનો ફોટોગ્રાફ કરીએ. આવા ફોટોગ્રાફની નકારાત્મક આકૃતિમાં બતાવવામાં આવી છે અને તે ટાપુને બદલે તળાવ જેવું લાગે છે.

આ તળાવને ભરવાની ગ્રે "તરંગો" ની અસામાન્ય પેટર્ન આકસ્મિક નથી. તેનું વર્ણન આકૃતિ 104 અને 105 ના સ્પષ્ટીકરણોમાં મળી શકે છે.

કોખા તળાવનો કિનારો સ્વ-સમાન નથી, કારણ કે બંધ વળાંક તેના જેવા નાના બંધ વળાંકોના સંગ્રહ તરીકે રજૂ કરી શકાતો નથી.< Хотя в главе 13 мы используем самоподобие для построения бесконечного скопления островов.

ચોખા. 75 અને 76. અન્ય ટાપુઓ અને તળાવ કોહા (કોસ્ટલાઇન ડાયમેન્શન)

અમે કોચ આઇલેન્ડના આ સંસ્કરણને ડબલ્યુ. ગોસ્પર (જુઓ): આરંભકર્તા નિયમિત ષટ્કોણ છે, અને જનરેટર આના જેવો દેખાય છે:

ચોખા. 75.અહીં "ગોસ્પર આઇલેન્ડ" બનાવવાના ઘણા તબક્કા છે (જાડી રેખા સાથે બતાવેલ છે). અમે ટાપુના આંતરિક ભરણ (પાતળી રેખા) વિશે થોડી વાર પછી વાત કરીશું (ફિગ. 106 જુઓ).

ચોખા. 76. ગોસ્પર આઇલેન્ડના નિર્માણના પછીના તબક્કામાંનો એક. પેડિંગની સમજૂતી માટે (ટાપુની અંદર વિવિધ જાડાઈની રેખાઓ), ફિગ નો સંદર્ભ લો. 106.

નોંધ કરો કે મૂળ કોચ વળાંકથી વિપરીત, આ જનરેટર તેના કેન્દ્ર વિશે સપ્રમાણ છે. તે ખાડીઓ અને દ્વીપકલ્પને એવી રીતે જોડે છે કે સમગ્ર બાંધકામ દરમિયાન ટાપુનો વિસ્તાર યથાવત રહે છે. આ જ કોચ વણાંકો માટે સાચું છે (ફિગ. 88 સુધી).

ટાઇલીંગ.ગોસ્પર ટાપુઓ અંતર વગરના વિમાનને સંપૂર્ણપણે આવરી શકે છે. આ પ્રક્રિયાને કોટિંગ અથવા ટાઇલિંગ કહેવામાં આવે છે)

પેરટેલિંગ.તદુપરાંત, આ ટાપુ સ્વ-સમાન છે, જે વિવિધ જાડાઈની રેખાઓ સાથે છાંયેલા આકૃતિમાંના વિસ્તારોને જોઈને સરળતાથી જોઈ શકાય છે. એટલે કે, દરેક ટાપુને સાત "પ્રાંતોમાં" વિભાજિત કરી શકાય છે, જેમાંથી પ્રત્યેકને આખા ટાપુમાંથી . ના ગુણાંક સાથે સમાનતા પરિવર્તન દ્વારા મેળવી શકાય છે. આવી સ્વ-સમાન ટાઇલ્સની મદદથી પ્લેનના આવરણને દર્શાવવા માટે, હું એક નવો શબ્દ, પર્ટીલિંગ (લેટિન ઉપસર્ગ- પ્રક્રિયાની સંપૂર્ણતા અને વ્યાપકતાને વ્યક્ત કરવા માટે અહીં કામ કરે છે) રજૂ કરવાનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું.

સપાટીના આવરણના મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, ટાઇલને મૂળ ટાઇલ્સની સમાન નાની ટાઇલ્સમાં વિભાજિત કરી શકાતી નથી. ઘણા લોકો, ઉદાહરણ તરીકે, અત્યંત નારાજ છે કે એકસાથે ઉમેરવામાં આવેલા નિયમિત ષટ્કોણ સમાન રીતે નિયમિત મોટા ષટ્કોણ બનાવતા નથી. ગોસ્પર ટાઇલ્સમાંથી ષટ્કોણની એકદમ નજીકની સામ્યતા "ઉત્પન્ન" કરવી તદ્દન શક્ય છે, જે સાત સમાન ભાગોમાં ચોક્કસ રીતે વિભાજિત કરવામાં સક્ષમ છે. અન્ય ફ્રેક્ટલ ટાઇલ્સ વિવિધ ભાગોમાં વિભાજન કરવાની મંજૂરી આપે છે.

ફ્રાન્સ.ભૌગોલિક વાસ્તવિકતાઓમાં એક આશ્ચર્યજનક આકૃતિ છે યોગ્ય ફોર્મ, ઘણીવાર તેની નિયમિતતા માટે ષટ્કોણ કહેવાય છે. તે વિશે છેફ્રાન્સ વિશે. એવું કહેવું જ જોઇએ કે આકૃતિ પ્રતીક છે ભૌગોલિક નકશોફ્રાન્સ, ફિગમાં દર્શાવવામાં આવેલી આકૃતિ કરતાં ષટ્કોણની યાદ અપાવે છે. 76 (જોકે અમારા ડ્રોઇંગમાં બ્રિટ્ટેની દેખાય છે, કદાચ, કંઈક અંશે કુપોષિત).

< Почему нельзя провести касательную ни в одной точке этой береговой линии? અમુક મર્યાદિત સંખ્યામાં બાંધકામના તબક્કાઓ પછી મેળવેલા દરિયાકિનારા પર એક નિશ્ચિત બિંદુ પસંદ કરો અને આ બિંદુને સીધી રેખા વડે મર્યાદિત દરિયાકિનારાના અમુક ગતિશીલ બિંદુ સાથે જોડો. જેમ જેમ મૂવિંગ પોઈન્ટ મર્યાદિત દરિયાકિનારે સ્થિર બિંદુ સુધી પહોંચે છે (પછી ભલે તે જમણી બાજુએ હોય કે ડાબે), બિંદુઓને જોડતી સીધી રેખા સતત દિશા બદલતી રહે છે. આવા નિશ્ચિત બિંદુલોક્સોડ્રોમિક બિંદુ કહેવાય છે.

ચોખા. 79. અન્ય ટાપુઓ અને તળાવો કોહા (1 થી દરિયાકાંઠાના પરિમાણો)

ખંડિત વળાંકોના આ ક્રમમાં, આરંભકર્તા છે નિયમિત બહુકોણબાજુઓની સંખ્યા સાથે, જનરેટર એવું છે કે , અને તેના પ્રથમ અને બીજા અને બીજા અને ત્રીજા ભાગો વચ્ચેના ખૂણાઓ એકરૂપ થાય છે અને તેના સમાન છે. ફિગ માં. 75 અને 76 (આ આંકડો અહીં નથી), અને વળાંક c ની ફિગમાં સમજૂતીમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે. 109. આ આંકડો નેસ્ટેડ સરોવરો અને ટાપુઓના રૂપમાં મૂલ્યો = 4, 8, 16 અને 32 માટે ટેરેગોન્સ બાંધવાના અંતિમ તબક્કા દર્શાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મૂલ્ય નીચેના જનરેટરને અનુરૂપ છે:

સેન્ટ્રલ આઇલેન્ડ () ની અંદર શેડિંગનું વર્ણન ફિગમાં સમજાવવામાં આવ્યું છે. 109 અને 110.

જો પરિમાણ અનંત સુધી જાય છે, તો અનુરૂપ વળાંક વર્તુળનો આકાર લે છે. જો તે ઘટે છે, તો પછી આપણા આંકડા "સંકોચવા" શરૂ થાય છે, પ્રથમ ધીમે ધીમે, પછી તીવ્ર કૂદકામાં. જ્યારે 3 સુધી પહોંચે છે, ત્યારે અનુરૂપ વળાંકમાં સ્વ-છેદન દેખાય છે. અમે આ કેસની ચર્ચા પછીથી કરીશું (ફિગ. 109 અને 110 જુઓ).

જટિલ પરિમાણ. જ્યારે કોઈ સેગમેન્ટને આરંભકર્તા તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે, ત્યારે કોણ 180 ડિગ્રીથી 60 ડિગ્રી સુધી કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે. જો કે, કેટલાક છે નિર્ણાયક કોણ- જેમ કે દરિયાકિનારે કોઈ સ્વ-છેદન નથી જો અને માત્ર જો. અનુરૂપ પરિમાણને સ્વ-છેદન માટે નિર્ણાયક પરિમાણ કહેવામાં આવે છે. કોણ 60 ડિગ્રીની નજીક છે.

સામાન્યીકરણ. ફિગમાં બતાવેલ માળખાં. 75-88, નીચેના સરળ સામાન્યીકરણને મંજૂરી આપો. ચાલો આકૃતિમાં બતાવેલ જનરેટરને ડાયરેક્ટ (S) કહીએ અને ઈન્વર્સ જનરેટર (F) ને રેખાની સાપેક્ષ ડાયરેક્ટ જનરેટરની મિરર ઈમેજ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ. બાંધકામના દરેક વ્યક્તિગત તબક્કે અમે એક જનરેટરનો ઉપયોગ કરીશું, જો કે, વિવિધ તબક્કાઓ માટે તમે વિવિધ જનરેટર પસંદ કરી શકો છો. આ (અને કેટલાક અનુગામી) આકૃતિઓમાં વણાંકો S-જનરેટરનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે, પરંતુ S- અને F-જનરેટરના અન્ય અનંત ક્રમ ખૂબ સમાન પરિણામો આપે છે.

< При чередовании F- и S-генераторов локсодромические точки переходят в гиперболические, как в оригинальной кривой Коха.

ફિગ માં. 79-85 ઘણા કોચ આકૃતિઓ દર્શાવે છે, જેનો આરંભ કરનાર એક ચોરસ છે (તેથી તેનું નામ ચતુર્ભુજ છે). આવા બાંધકામોનો એક ફાયદો એ છે કે તમે નબળા ગ્રાફિક્સ સિસ્ટમ્સ પર પણ તેમની સાથે પ્રયોગ કરી શકો છો.< Еще одно преимущество - квадратичные фрактальные кривые ведут непосредственно к оригинальной кривой Пеано, описанной в пояснении к рис. 95.

ચોખા. 81. અહીં આરંભ કરનાર એક ચોરસ છે, અને જનરેટર આના જેવો દેખાય છે:

ફિગ માં તરીકે. 75-79, બાંધકામના દરેક તબક્કે કુલ વિસ્તારટાપુ યથાવત છે. ફિગ માં. ઉપર 81 બાંધકામના પ્રથમ બે તબક્કા દર્શાવે છે બંધઅને નાના પાયે બે અનુગામી.

છેલ્લા તબક્કાનું પરિણામ, હજી વધુ વિસ્તૃત, ખૂબ જ પાતળા, ભાગ્યે જ દૃશ્યમાન પ્રોટ્રુઝનના સ્વરૂપમાં સૌથી નાની વિગતો દર્શાવે છે, જે, અલબત્ત, જો તમારી પાસે ન હોય તો તમે જોશો નહીં. ગ્રાફિક્સ સિસ્ટમઆવા ઉત્તમ રીઝોલ્યુશન.

ટેરેગોન્સ અને મર્યાદા વળાંક બંનેમાં કોઈ સ્વ-ઓવરલેપ, સ્વ-છેદન અથવા સ્વ-સ્પર્શ નથી. આ નિવેદન અનુગામી બાંધકામો માટે માન્ય રહે છે (ફિગ. 85 સુધી).

< Не следует забывать о том, что фракталы на рис. 81-85 представляют береговые линии; суша и море здесь - это удобные фигуры, обладающие положительными и конечными площадями. На с. 209 упоминается случай, в котором только «море», будучи объединением простых трем, имеет вполне ચોક્કસ વિસ્તાર, જ્યારે જમીનમાં એક પણ આંતરિક બિંદુ નથી.

ટાઇલિંગ અને પર્ટીલિંગ.આ ટાપુને 16 નાના ટાપુઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે (). દરેક કોહા ટાપુનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જે 16 ચોરસમાંથી એક પર બાંધવામાં આવે છે જે બાંધકામના પ્રથમ તબક્કાની રચના કરે છે.

< В главах 25 и 29 показано, что размерность характерна также для многих броуновских функций. Следовательно, это значение легко можно получить с помощью случайных кривых и поверхностей.

ચોખા. 81. સ્ક્વેર આઇલેન્ડ કોહા (કિનારાનું પરિમાણ )

ચાલો ફરી એક ચોરસને આરંભ તરીકે લઈએ, અને જનરેટર નીચેની તૂટેલી રેખા હશે:

હકીકત એ છે કે ચિત્રોની આ પસંદગીમાં પ્રસ્તુત ચતુર્ભુજ કોચ ટાપુઓનો દરિયાકિનારો ઘણી હદ સુધી આધાર રાખે છે તે ખૂબ જ નોંધપાત્ર છે. તે જ સમયે, તેમનો સામાન્ય આરંભ એક ચોરસ હોવાથી, આ ટાપુઓનો બાહ્ય આકાર લગભગ સમાન રહે છે. જો આરંભ કરનાર કોઈ અન્ય નિયમિત -ગોન () હોય, તો પછી વ્યક્તિ અવલોકન કરી શકે છે કે તે કેવી રીતે વધે છે, બાહ્ય આકાર વધુ ને વધુ સરળ બને છે. અમે પ્રકરણ 28 સુધી બાહ્ય સ્વરૂપ અને અર્થ વચ્ચેના સાચા સંબંધ વિશે શીખતા નથી, જે રેન્ડમ દરિયાકિનારાની તપાસ કરે છે જે જનરેટર અને આરંભકર્તા બંનેને અસરકારક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

< Максимальность. બાહ્ય સ્વરૂપોની સમાનતા એ હકીકત દ્વારા ફાળો આપે છે કે તે ફિગમાં દર્શાવેલ છે. 79-85 ચતુર્ભુજ કોચ વક્ર ખૂબ હોય છે રસપ્રદ મિલકતમહત્તમ ચાલો આપણે બધા કોચ જનરેટર્સને સ્વ-છેદન વિના વક્ર ઉત્પન્ન કરતા ચોરસ જાળી પર સીધી રેખાઓ, સમાંતર અને સેગમેન્ટને લંબરૂપ. ચાલો આપણે એમ પણ માની લઈએ કે આ બધા જનરેટરનો ઉપયોગ આપણી ચોરસ જાળી પરના કોઈપણ પ્રારંભિક સાથે થઈ શકે છે. ચાલો આપણે તે જનરેટરને મહત્તમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ જે લાક્ષણિકતા ધરાવે છે ઉચ્ચતમ મૂલ્યઅને, પરિણામે, . આ પ્રક્રિયા પીઆનો મર્યાદા સાથે આગળના પ્રકરણમાં સમાપ્ત થાય છે

અને તેથી - ફિગમાં વળાંક માટે. 84:

જેમ જેમ આપણે દ્વીપકલ્પના સૌથી દૂરના કેપ્સ અથવા ખાડીઓની સૌથી વધુ જમીન કાપેલી જીભ તરફ આગળ વધીએ છીએ તેમ તેમ આ પાઇલોટના દુઃસ્વપ્નોના ડેમ અને ચેનલો સાંકડી થતી જાય છે. તેના ઉપર, ખંડિત પરિમાણ વધવાથી સંકુચિત થવાની વૃત્તિ પણ જોવા મળે છે, અને આ બંધો અને નહેરો પર "ભમરી કમર" દેખાય છે.

< О турбулентной дисперсии. મારા મતે, ફિગમાં બતાવેલ ફ્રેકટલ વણાંકોના અંદાજના ક્રમ વચ્ચે. 85, અને પાણીમાં શાહીના તોફાની વિખેરવાના ક્રમિક તબક્કાઓ અસ્તિત્વમાં છે આઘાતજનક સામ્યતા. અલબત્ત, વાસ્તવિક ભિન્નતા કંઈક અંશે ઓછી છે, પરંતુ બાંધકામ પ્રક્રિયામાં અવ્યવસ્થિતતાના તત્વને રજૂ કરીને આનું અનુકરણ કરી શકાય છે.

આપણે કહી શકીએ કે અહીં આપણે રિચાર્ડસન કાસ્કેડને “ક્રિયામાં” જોઈ રહ્યા છીએ. ઉર્જાનો પ્રારંભિક નાનો જથ્થો પાણીની સપાટી પર શાહીનો ચોરસ સ્પોટ ફેલાવે છે. પ્રારંભિક વમળ પછી નાના વમળોમાં વિભાજિત થાય છે, જેની અસર વધુ હોય છે સ્થાનિક પાત્ર. પ્રારંભિક ઉર્જા હંમેશા નાના ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે જ્યાં સુધી આખરે કશું બાકી રહેતું નથી પરંતુ પરિણામી સ્થળના રૂપરેખામાં થોડો અસ્પષ્ટતા રહે છે, જેમ કે કોર્સિનના કાર્યમાંથી ઉધાર લીધેલા ચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે.

ચોખા. 84 અને 85. કોહાના ચોરસ ટાપુઓ (કિનારાના પરિમાણો અને)

તે મોટે ભાગે પ્રવાહીની પ્રારંભિક ઉર્જા અને જહાજના કદ પર આધાર રાખે છે જેમાં વિખેરાઈ જાય છે. થી ઓછી પ્રારંભિક ઊર્જા પર રાઉન્ડ સ્પોટપરિમાણ સાથેના વળાંકમાં પરિણમશે (પ્રકરણ 7 જુઓ), આપણે જોઈશું કે તે કેસ કરતાં ગુણાત્મક રીતે અલગ છે, કારણ કે તે કોઈપણ બે શાહી કણો, જે પ્રક્રિયાની શરૂઆતમાં એકબીજાથી દૂર હતા, અસમપ્રમાણમાં આવવા દે છે. સંપર્ક<Я бы совсем не удивился, если бы оказалось, что за одним термином «турбулентная дисперсия» скрываются два совершенно отличных друг от друга феномена.

પી.એસ. આ ચિત્ર 1977માં ફ્રેકટલ્સમાં દેખાયા પછી, પૌલ ડિમોટાકિસે લેમિનર વાતાવરણમાં વિખરાયેલા તોફાની જેટના પાતળા ટુકડાઓનો ફોટોગ્રાફ કર્યો. ફોટોગ્રાફ્સ અને ચિત્ર વચ્ચેની સમાનતાએ મને ખૂબ આનંદ આપ્યો.

ચોખા. 87 અને 88. સામાન્યકૃત કોચ કર્વ્સ અને અસમાન ગુણાંક (,,) સાથે સ્વ-સમાનતા

આ રચનાઓ બનાવતી વખતે, કોચ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો, પરંતુ જનરેટરની બાજુઓની અસમાન લંબાઈ સાથે. અત્યાર સુધી, અમારો અર્થ એ છે કે સમાન સમાનતા ગુણાંક બધા "ભાગો" પર લાગુ થાય છે જેમાં આપણું "સંપૂર્ણ" વિભાજિત થાય છે. અસમાન ગુણાંક સાથે, કોચ વળાંક કંઈક અંશે તેની અયોગ્ય શુદ્ધતા ગુમાવે છે. ફિગ માં. 87 તમે કોચ ટર્નરી કર્વને આ રીતે સંશોધિત જોઈ શકો છો.

નોંધ કરો કે ચિત્રોની સમગ્ર પૂર્વવર્તી શ્રેણીમાં વળાંકનું નિર્માણ ત્યાં સુધી ચાલુ રહ્યું જ્યાં સુધી તે પૂર્વનિર્ધારિત કદની સૌથી નાની વિગતો સુધી ન પહોંચે. જ્યારે ઇચ્છિત ધ્યેય બાંધકામના તબક્કાઓની ચોક્કસ પૂર્વનિર્ધારિત સંખ્યામાં પ્રાપ્ત થાય છે, ત્યારે અહીં તબક્કાઓની આવશ્યક સંખ્યા ચલ હોવાનું બહાર આવે છે. ફિગમાં બતાવેલ વળાંક તરીકે પણ ફરીથી લખી શકાય છે. 88 ટોચ પર, 2 થી સહેજ ટૂંકો. આ ટાપુની દરિયાકિનારે પીઆનો પોઇઆ વળાંક તરફ વલણ ધરાવે છે, જે પીઆનો વણાંકોમાંથી એક છે જેની ચર્ચા આગામી પ્રકરણમાં કરવામાં આવી છે. આ આંકડો અને વૃક્ષોની પંક્તિ વચ્ચેની સમાનતા આકસ્મિક નથી, જેમ કે પ્રકરણ 17 માં દર્શાવવામાં આવશે. છેલ્લે, ફિગમાં વળાંક. નીચેનું 88 માત્ર 1 કરતા થોડું મોટું છે.

વળાંક અથવા રેખા એ ભૌમિતિક ખ્યાલ છે જે ભૂમિતિની વિવિધ શાખાઓમાં અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. વિષયવસ્તુ 1 પ્રાથમિક ભૂમિતિ 2 પેરામેટ્રિક વ્યાખ્યાઓ 3 જોર્ડન વળાંક ... વિકિપીડિયા

ડેલ્ટોઇડ એ ડેલ્ટોઇડ (સ્ટીનર વળાંક) એ પ્લેન વળાંક છે જે બીજા વર્તુળની અંદરની બાજુએ ફરતા વર્તુળ પરના નિશ્ચિત બિંદુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે જેની ત્રિજ્યા પ્રથમની ત્રિજ્યા કરતા ત્રણ ગણી હોય છે. વળાંકને તેનું નામ ગ્રીક સાથે તેની સામ્યતા માટે મળ્યું... ... વિકિપીડિયા

Brachistochrone (ગ્રીક βράχιστος સૌથી ટૂંકા અને χρόνος સમયમાંથી) સૌથી ઊભો વંશનો વળાંક. તેને શોધવાનું કાર્ય 1696 માં જોહાન બર્નૌલી દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું. તે નીચે મુજબ છે: આપેલ બે બિંદુઓ A અને B ને જોડતા પ્લેન વણાંકો વચ્ચે, ... ... વિકિપીડિયા

- (ત્યારબાદ વળાંક) વળાંકની સૌથી સામાન્ય (પરંતુ વધુ પડતી નહીં) વ્યાખ્યા, જે 1921માં યુરીસોહન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી. આ વ્યાખ્યા કેન્ટરની વ્યાખ્યાને મનસ્વી પરિમાણમાં સામાન્ય બનાવે છે. વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવી છે: વળાંક એ જોડાયેલ છે... ... વિકિપીડિયા

પેરામેટ્રિક વણાંકો માટે સામાન્ય નામ જેની છબી ચોરસ ધરાવે છે (અથવા, વધુ સામાન્ય રીતે, જગ્યાના ખુલ્લા પ્રદેશો) વિષયવસ્તુ 1 ગુણધર્મો 2 ઉદાહરણો 3 સામાન્યીકરણ ... વિકિપીડિયા

લેવી વળાંક ખંડિત. ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી પી. લેવી દ્વારા પ્રસ્તાવિત. તે તારણ આપે છે જો તમે ફોર્મનો અડધો ચોરસ લો /, અને પછી દરેક બાજુને સમાન ટુકડાથી બદલો, અને, આ ક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરો, ... વિકિપીડિયા

વિવિધ પરિમાણો માટે, પીછો વળાંક એ "ચેઝ" સમસ્યાના ઉકેલનું પ્રતિનિધિત્વ કરતું વળાંક છે, જે નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવ્યું છે. ચાલો... વિકિપીડિયા

આ શબ્દના અન્ય અર્થો છે, વક્ર (અર્થ) જુઓ. વળાંક અથવા રેખા એ ભૌમિતિક ખ્યાલ છે જે ભૂમિતિની વિવિધ શાખાઓમાં અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. વિષયવસ્તુ 1 પ્રાથમિક ભૂમિતિ 2 ... વિકિપીડિયા

બેઝિયર કર્વ્સ અથવા બર્નસ્ટીન બેઝિયર કર્વ્સ 20મી સદીના 60 ના દાયકામાં રેનો ઓટોમોબાઈલ કંપનીના પિયર બેઝિયર અને સિટ્રોએન કંપનીના પૌલ ડી ફેગેટ ડી કાસ્ટેલજાઉ દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે વિકસાવવામાં આવ્યા હતા ... વિકિપીડિયા

મિન્કોવ્સ્કી વળાંકનું નિર્માણ મિન્કોવ્સ્કી વળાંક એ મિન્કોવ્સ્કી દ્વારા પ્રસ્તાવિત ઉત્તમ ભૌમિતિક ખંડિત છે. આરંભકર્તા એક સેગમેન્ટ છે, અને જનરેટર એ આઠની તૂટેલી લાઇન છે... વિકિપીડિયા

પુસ્તકો

• ફ્રેક્ટલ સેટ્સના સિદ્ધાંતના તત્વો, સેકોવાનોવ વી.એસ. ફ્રેક્ટલના ઉપયોગના ક્ષેત્રો…

આ આંકડો વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા અભ્યાસ કરાયેલ પ્રથમ ફ્રેકટલ્સમાંથી એક છે. તે ત્રણ નકલોમાંથી આવે છે કોચ વળાંક, જે સૌપ્રથમ 1904 માં સ્વીડિશ ગણિતશાસ્ત્રી હેલ્ગે વોન કોચ દ્વારા એક પેપરમાં દેખાયા હતા. આ વળાંકની શોધ સતત રેખાના ઉદાહરણ તરીકે કરવામાં આવી હતી જે કોઈપણ બિંદુને સ્પર્શક હોઈ શકતી નથી. આ મિલકત સાથેની રેખાઓ પહેલા જાણીતી હતી (કાર્લ વેયરસ્ટ્રાસે તેનું ઉદાહરણ 1872માં પાછું બનાવ્યું હતું), પરંતુ કોચ કર્વ તેની ડિઝાઇનની સરળતા માટે નોંધપાત્ર છે. તે કોઈ સંયોગ નથી કે તેના લેખને "સ્પર્શકો વિના સતત વળાંક પર, જે પ્રાથમિક ભૂમિતિમાંથી ઉદ્ભવે છે" કહેવામાં આવે છે.

ડ્રોઇંગ અને એનિમેશન સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવે છે કે કોચ કર્વ કેવી રીતે સ્ટેપ બાય સ્ટેપ બનાવવામાં આવે છે. પ્રથમ પુનરાવર્તન એ ફક્ત પ્રારંભિક સેગમેન્ટ છે. પછી તેને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, મધ્ય એક નિયમિત ત્રિકોણ બનાવવા માટે પૂર્ણ થાય છે અને પછી બહાર ફેંકવામાં આવે છે. પરિણામ એ બીજી પુનરાવૃત્તિ છે - એક તૂટેલી રેખા જેમાં ચાર ભાગોનો સમાવેશ થાય છે. તે જ કામગીરી તેમને દરેક પર લાગુ કરવામાં આવે છે, અને બાંધકામનું ચોથું પગલું પ્રાપ્ત થાય છે. સમાન ભાવનામાં ચાલુ રાખીને, તમે વધુ અને વધુ નવી લાઇન મેળવી શકો છો (તે બધી તૂટેલી રેખાઓ હશે). અને મર્યાદામાં શું થાય છે (આ પહેલેથી જ એક કાલ્પનિક પદાર્થ હશે) તેને કોચ વળાંક કહેવામાં આવે છે.

કોચ વળાંકના મૂળભૂત ગુણધર્મો

1. તે સતત છે, પરંતુ ક્યાંય અલગ નથી.આશરે કહીએ તો, આ બરાબર શા માટે તેની શોધ કરવામાં આવી હતી - આ પ્રકારના ગાણિતિક "ફ્રીક્સ" ના ઉદાહરણ તરીકે.

2. અનંત લંબાઈ ધરાવે છે.મૂળ સેગમેન્ટની લંબાઈ 1 રહેવા દો. દરેક બાંધકામના પગલા પર, અમે દરેક સેગમેન્ટને તૂટેલી લાઇનથી બદલીએ છીએ, જે 4/3 ગણી લાંબી છે. આનો અર્થ એ છે કે સમગ્ર તૂટેલી રેખાની લંબાઈને દરેક પગલા પર 4/3 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે: સંખ્યા સાથેની રેખાની લંબાઈ nબરાબર (4/3) n-1. તેથી, મર્યાદા રેખા અનંત લાંબી હોવા સિવાય કોઈ વિકલ્પ નથી.

3. કોચનો સ્નોવફ્લેક મર્યાદિત વિસ્તારને મર્યાદિત કરે છે.અને આ હકીકત હોવા છતાં કે તેની પરિમિતિ અનંત છે. આ ગુણધર્મ વિરોધાભાસી લાગે છે, પરંતુ તે સ્પષ્ટ છે - એક સ્નોવફ્લેક એક વર્તુળમાં સંપૂર્ણપણે બંધબેસે છે, તેથી તેનો વિસ્તાર દેખીતી રીતે મર્યાદિત છે. વિસ્તારની ગણતરી કરી શકાય છે, અને તમારે આ માટે વિશેષ જ્ઞાનની પણ જરૂર નથી - ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ અને ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળા માટેના સૂત્રો શાળામાં શીખવવામાં આવે છે. રસ ધરાવતા લોકો માટે, ગણતરી નીચે સરસ પ્રિન્ટમાં સૂચિબદ્ધ છે.

મૂળ નિયમિત ત્રિકોણની બાજુ સમાન થવા દો a. પછી તેનો વિસ્તાર છે. પ્રથમ બાજુ 1 છે અને વિસ્તાર છે: . પુનરાવૃત્તિ વધે તેમ શું થાય છે? આપણે ધારી શકીએ કે નાના સમબાજુ ત્રિકોણ હાલના બહુકોણ સાથે જોડાયેલા છે. પ્રથમ વખત તેમાંના ફક્ત 3 છે, અને દરેક આગલી વખતે તેમાંથી 4 ગણા વધુ છે. એટલે કે, ચાલુ nનું પગલું પૂર્ણ થશે Tn= 3 4 n-1 ત્રિકોણ. તેમાંથી દરેકની બાજુની લંબાઈ અગાઉના પગલામાં પૂર્ણ કરેલ ત્રિકોણની બાજુના ત્રીજા ભાગની છે. તેથી તે બરાબર છે (1/3) n. વિસ્તારો બાજુઓના ચોરસના પ્રમાણસર છે, તેથી દરેક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે . મોટા મૂલ્યો માટે nમાર્ગ દ્વારા, આ ખૂબ જ ઓછું છે. સ્નોવફ્લેકના ક્ષેત્રમાં આ ત્રિકોણનું કુલ યોગદાન છે Tn · એસ એન= 3/4 · (4/9) n · એસ 0 તેથી પછી n-પગલું, આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ સરવાળા જેટલું હશે એસ 0 + ટી 1 · એસ 1 + ટી 2 · એસ 2 + ... +Tnએસ n = . એક સ્નોવફ્લેક અસંખ્ય પગલાઓ પછી મેળવવામાં આવે છે, જે અનુરૂપ છે n→ ∞. પરિણામ અનંત રકમ છે, પરંતુ આ ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો છે તેના માટે એક સૂત્ર છે: . સ્નોવફ્લેકનો વિસ્તાર છે.

4. ખંડિત પરિમાણ બરાબર છે log4/log3 = log 3 4 ≈ 1.261859... . સચોટ ગણતરી માટે નોંધપાત્ર પ્રયત્નો અને વિગતવાર સમજૂતીની જરૂર પડશે, તેથી અહીં ખંડિત પરિમાણની વ્યાખ્યાનું ઉદાહરણ છે. પાવર લો ફોર્મ્યુલામાંથી એન(δ ) ~ (1/δ )ડી, ક્યાં એન- છેદતા ચોરસની સંખ્યા, δ - તેમનું કદ અને ડી- પરિમાણ, અમને તે મળે છે ડી= લોગ 1/ δ એન. આ સમાનતા અચળના ઉમેરા સુધી સાચી છે (બધા માટે સમાન δ ). આકૃતિઓ કોચ વળાંક બનાવવાની પાંચમી પુનરાવર્તન દર્શાવે છે જે તેની સાથે છેદે છે તે લીલા રંગના છે. મૂળ સેગમેન્ટની લંબાઈ 1 છે, તેથી ઉપલા આકૃતિમાં ચોરસની બાજુની લંબાઈ 1/9 છે. 12 ચોરસ શેડમાં છે, લોગ 9 12 ≈ 1.130929... . હજુ સુધી 1.261859 સાથે ખૂબ સમાન નથી... . ચાલો આગળ જોઈએ. મધ્ય ચિત્રમાં, ચોરસ અડધા કદના છે, તેમનું કદ 1/18 છે, શેડ 30 છે. લોગ 18 30 ≈ 1.176733... . પહેલેથી જ વધુ સારું. નીચે, ચોરસ હજુ પણ અડધા જેટલા મોટા છે 72 ટુકડાઓ પહેલેથી જ પેઇન્ટ કરવામાં આવ્યા છે. લોગ 72 30 ≈ 1.193426... . પણ નજીક. પછી તમારે પુનરાવૃત્તિ સંખ્યા વધારવાની જરૂર છે અને તે જ સમયે ચોરસ ઘટાડવાની જરૂર છે, પછી કોચ વળાંકના પરિમાણનું "પ્રયોગિક" મૂલ્ય સતત લોગ 3 4 સુધી પહોંચશે, અને મર્યાદામાં તે સંપૂર્ણપણે એકરૂપ થશે.

વિષય: ખંડિત.

1. પરિચય. ફ્રેકટલ્સ પર સંક્ષિપ્ત ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ. 2. ખંડિત પ્રકૃતિમાં ભૂમિતિના ઘટકો છે.

3. પ્રકૃતિમાં ખંડિત ગુણધર્મો ધરાવતા પદાર્થો. 4. પરિભાષા "ફ્રેકટલ્સ" ની વ્યાખ્યા.

5. ફ્રેકટલ્સના વર્ગો.

6. ખંડિત પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન. 7. ફ્રેકટલ સેટ્સ મેળવવા માટેની પ્રક્રિયાઓ.

8.1 તૂટેલા કોઠા (પ્રાપ્ત કરવાની પ્રક્રિયા).

8.2 કોચ સ્નોવફ્લેક (કોચ ફ્રેક્ટલ).

8.3 મેન્જર સ્પોન્જ.

9. ફ્રેકટલ્સનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો.

પરિચય. ફ્રેકટલ્સ પર સંક્ષિપ્ત ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ.

ફ્રેકલ્સ અલગ ગણિતની એક યુવાન શાખા છે.

IN 1904 માં, સ્વીડન કોચ એક સતત વળાંક સાથે આવ્યો જેમાં ક્યાંય સ્પર્શક નથી - કોચ વળાંક.

IN 1918 માં, ફ્રેન્ચમેન જુલિયાએ ફ્રેકટલ્સના આખા કુટુંબનું વર્ણન કર્યું.

IN 1938 માં, પિયર લેવીએ "પ્લેન અને અવકાશી વળાંકો અને સપાટીઓ જેમાં સમગ્ર સમાન ભાગોનો સમાવેશ થાય છે" લેખ પ્રકાશિત કર્યો.

IN 1982 બેનોઈટ મેન્ડેલબ્રોટે "પ્રકૃતિની ખંડિત ભૂમિતિ" પુસ્તક પ્રકાશિત કર્યું.

સાથે સરળ બાંધકામો અને સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, છબીઓ મેળવવામાં આવે છે. "ફ્રેક્ટલ પેઇન્ટિંગ" દેખાઈ.

1993 થી, વર્લ્ડ સાયન્ટિફિકે જર્નલ "ફ્રેક્ટલ્સ" પ્રકાશિત કર્યું છે.

ફ્રેકલ્સ પ્રકૃતિમાં ભૂમિતિના ઘટકો છે.

ફ્રેક્ટલ્સ એ પર્વતમાળાઓના નમૂનાઓ, ખરબચડી દરિયાકિનારા, ઘણી રુધિરકેશિકાઓ અને જહાજોની રુધિરાભિસરણ પ્રણાલીઓ, વૃક્ષોના મુગટ, કેસ્કેડીંગ વોટરફોલ્સ, કાચ પર હિમાચ્છાદિત પેટર્ન જેવી વસ્તુઓનું વર્ણન કરવા માટેનું એક માધ્યમ છે.

અથવા આ: ફર્ન પર્ણ, વાદળો, ડાઘ.

ફ્રેક્ટલ ગ્રાફિક્સનો ઉપયોગ કરીને આવા ઑબ્જેક્ટની છબીઓ રજૂ કરી શકાય છે.

પ્રકૃતિમાં ખંડિત ગુણધર્મો ધરાવતા પદાર્થો.

કોરલ સ્ટારફિશ અને અર્ચિનસસી શેલ્સ

ફૂલો અને છોડ (બ્રોકોલી, કોબી) ફળો (અનાનસ)

ઝાડના તાજ અને છોડના પાંદડા રુધિરાભિસરણ તંત્રનિર્જીવ પ્રકૃતિમાં મનુષ્ય અને પ્રાણીઓની શ્વાસનળી:

ભૌગોલિક વસ્તુઓની સરહદો (દેશો, પ્રદેશો, શહેરો) દરિયાકિનારા પર્વતમાળાઓ સ્નોવફ્લેક્સ વાદળો વીજળી

કાચના ક્રિસ્ટલ્સ સ્ટેલેક્ટાઈટ્સ, સ્ટેલેગ્માઈટ, હેલિકાઈટ્સ પર રચાયેલી પેટર્ન.

પરિભાષા "ફ્રેકટલ્સ" ની વ્યાખ્યા.

ખંડિત ભૌમિતિક આકારો છે જે નીચેનામાંથી એક અથવા વધુ ગુણધર્મોને સંતોષે છે:

તે કોઈપણ વિસ્તરણ પર એક જટિલ બિન-તુચ્છ માળખું ધરાવે છે (તમામ ભીંગડા પર); તે (આશરે) સ્વ-સમાન છે.

તે અપૂર્ણાંક હૌસડોર્ફ (ફ્રેક્ટલ) પરિમાણ ધરાવે છે અથવા ટોપોલોજીકલ એક કરતાં વધી જાય છે.

નિયમિત આકૃતિઓ માટે જેમ કે વર્તુળ, લંબગોળ, સરળ કાર્યનો ગ્રાફખૂબ મોટા પાયે એક નાનો ટુકડો સીધી રેખાના ટુકડા જેવો દેખાય છે. ફ્રેક્ટલ માટે, સ્કેલ વધારવાથી બંધારણનું સરળીકરણ થતું નથી;

ખંડિત વર્ગો

ફ્રેક્ટલ એ એક માળખું છે જેમાં સંપૂર્ણ સમાન ભાગો (સબસ્ટ્રક્ચર્સ) નો સમાવેશ થાય છે.

કેટલાક ફ્રેકટલ્સ, પ્રકૃતિના તત્વો તરીકે, ભૌમિતિક (રચનાત્મક) ફ્રેકટલ્સ તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે.

બાકીનાને ડાયનેમિક ફ્રેકટલ્સ (બીજગણિત) તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે.

ફ્રેક્ટલ સેટ્સ મેળવવા માટેની પ્રક્રિયાઓ.

ખંડિત વણાંકો મેળવવા માટે આ એક સરળ પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા છે: મર્યાદિત સંખ્યામાં લિંક્સ સાથે મનસ્વી રીતે તૂટેલી લાઇનનો ઉલ્લેખ કરો - એક જનરેટર. આગળ, જનરેટરના દરેક સેગમેન્ટને તેમાં બદલવામાં આવે છે. પછી તેમાંના દરેક સેગમેન્ટને ફરીથી જનરેટર દ્વારા બદલવામાં આવે છે, અને તેથી જાહેરાત અનંત.

બતાવેલ: એકમ સેગમેન્ટનું 3 ભાગો (a) માં વિભાજન, એક એકમ ચોરસ વિસ્તાર 9 ભાગો (b) માં, એક એકમ ઘન 27 ભાગો (c) અને 64 ભાગો (d). ભાગોની સંખ્યા n છે, માપન પરિબળ k છે, અને જગ્યાનું પરિમાણ d છે. અમારી પાસે નીચેના સંબંધો છે: n = kd,

જો n = 3, k = 3, તો d = 1; જો n = 9, k = 3, તો d = 2; જો n = 27, k = 3, તો d = 3.

જો n = 4, k = 4, તો d = 1; જો n = 16, k = 4, તો d = 2; જો n = 64, k = 4, તો d = 3. જગ્યાનું પરિમાણ પૂર્ણાંકોમાં વ્યક્ત થાય છે: d = 1, 2, 3; n = 64 માટે, d ની કિંમત છે

કોચ તૂટેલી લાઇન બનાવવાના પાંચ પગલાં બતાવવામાં આવ્યા છે: એકમ લંબાઈનો એક સેગમેન્ટ (a), ત્રણ ભાગોમાં વિભાજિત (k = 3), ચાર ભાગોમાંથી (n = 4) - એક તૂટેલી રેખા (b); દરેક સીધા સેગમેન્ટને ત્રણ ભાગો (k2 = 9) અને 16 ભાગો (n2 = 16) માં વહેંચવામાં આવે છે - એક તૂટેલી રેખા (c); પ્રક્રિયા k3 = 27 અને n3 = 64 - તૂટેલી રેખા (g) માટે પુનરાવર્તિત થાય છે; k5 = 243 અને n5 = 1024 માટે – તૂટેલી રેખા (e).

પરિમાણ

આ અપૂર્ણાંક અથવા ખંડિત પરિમાણ છે.

1904માં હેલ્ગ વોન કોચ દ્વારા પ્રસ્તાવિત કોચ પોલીલાઈન ફ્રેકટલ તરીકે કામ કરે છે જે દરિયાકાંઠાની કઠોરતાને મોડેલ કરવા માટે યોગ્ય છે. મેન્ડેલબ્રોટે દરિયાકાંઠાના બાંધકામ અલ્ગોરિધમમાં અવ્યવસ્થિતતાનું તત્વ રજૂ કર્યું, જે, જોકે, દરિયાકિનારાની લંબાઈ અંગેના મુખ્ય નિષ્કર્ષને અસર કરતું ન હતું. કારણ કે મર્યાદા

દરિયાકાંઠાની અવિરત કઠોરતાને કારણે દરિયાકિનારાની લંબાઈ અનંત તરફ વળે છે.

જ્યારે વધુ વિગતવાર સ્કેલથી ઓછા વિગતવાર સ્કેલ તરફ જતી વખતે દરિયાકિનારાને સરળ બનાવવા માટેની પ્રક્રિયા, એટલે કે.

કોચ સ્નોવફ્લેક (કોચ ફ્રેકટલ)

બાંધકામ માટેના આધાર તરીકે, તમે એકમની લંબાઈના સેગમેન્ટ્સ નહીં, પરંતુ એક સમભુજ ત્રિકોણ લઈ શકો છો, જેની દરેક બાજુ તમે અનિયમિતતાના ગુણાકારની પ્રક્રિયાને વિસ્તારી શકો છો. આ કિસ્સામાં, અમને કોચ સ્નોવફ્લેક (ફિગ.) મળે છે, અને તે ત્રણ પ્રકારના હોય છે: નવા રચાયેલા ત્રિકોણ અગાઉના ત્રિકોણ (a) અને (b)માંથી ફક્ત બહારની તરફ નિર્દેશિત થાય છે; માત્ર અંદર (માં); અવ્યવસ્થિત રીતે કાં તો બાહ્ય અથવા અંદરની તરફ (d) અને (e). તમે કોચ ફ્રેક્ટલ બનાવવા માટેની પ્રક્રિયા કેવી રીતે સેટ કરી શકો છો.

ચોખા. સ્નોવફ્લેક કોચ

ફિગ માં. બે વેક્ટર આકૃતિઓ બતાવવામાં આવી છે; તીર ઉપરની સંખ્યાઓ કદાચ પ્રશ્ન ઉભા કરશે: તેનો અર્થ શું છે? વેક્ટર 0 એબ્સિસા અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે એકરુપ છે, કારણ કે l = 0 પર તેનો તબક્કો પરિબળ exp (i2πl/6) તેની દિશા જાળવી રાખે છે. વેક્ટર 1 એ વેક્ટર 0 ની સાપેક્ષમાં 2π/6 ના ખૂણા દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે, જ્યારે l= 1. વેક્ટર 5 માં ફેઝ ફેક્ટર exp (i2π5/6), l = 5 છે. છેલ્લા વેક્ટરમાં પહેલા જેવો જ ફેઝ ફેક્ટર હોય છે ( l = 0). પૂર્ણાંકો l એકમ વેક્ટરના તબક્કા પરિબળના કોણને લાક્ષણિકતા આપે છે.

પ્રથમ પગલું (ફિગ.) અનુગામી તમામ પગલાઓ માટે અને ખાસ કરીને, બીજા પગલા (ફિગ.) માટે પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાનો ઉલ્લેખ કરે છે. સંખ્યાઓના સમૂહ φ1 = (0 1 5 0) થી φ2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0) સુધી કેવી રીતે જવું? જવાબ: ડાયરેક્ટ મેટ્રિક્સ ગુણાકાર દ્વારા, જ્યારે એક મેટ્રિક્સના દરેક ઘટકનો મૂળ મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. કારણ કે આ કિસ્સામાં અમે એક-પરિમાણીય એરે સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, એટલે કે. મેટ્રિક્સ વેક્ટર હોવાથી, એક મેટ્રિક્સ-વેક્ટરના દરેક ઘટકને બીજા મેટ્રિક્સ-વેક્ટરના તમામ ઘટકો દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. વધુમાં, મેટ્રિક્સ-વેક્ટર φ1 ના ઘટકોમાં ઘાતાંકીય ફંક્શન્સ exp (i2πl/6) નો સમાવેશ થાય છે, તેથી, 10 જ્યારે h નો ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે મોડ (6) અનુસાર ઉમેરવું જરૂરી રહેશે, અને ગુણાકાર નહીં.