લંબાઈ દરિયાકિનારો

શું તે માપી શકાય છે?
શું આપણને પાઠ્યપુસ્તકોમાં લંબાઈ આપવાનો અધિકાર છે?
દરિયાકિનારો અને શું આપણે શરમ અનુભવીશું નહીં,
વિદ્યાર્થીઓ પાસેથી આ આંકડો પૂછો છો?

કે.એસ. લઝારેવિચ

ભૂગોળના પાઠોમાં અમે ઘણા આંકડાકીય સૂચકાંકો સાથે કામ કરીએ છીએ. તેમાંના મોટાભાગના ખૂબ જ સરળ અને સ્પષ્ટ દેખાય છે: ઘણું બધું મિલિયન લોકો, આટલા લાખો ટન કોલસો, આટલા કિલોમીટર. પરંતુ જો તમે તેના વિશે વિચારતા નથી તો તે છે. પરંતુ તમારે ફક્ત કોઈપણ સંખ્યામાં ઊંડે સુધી ખોદવું પડશે અને તે સ્પષ્ટ થવાનું બંધ કરે છે. ક્યારેક તે ધૂળમાં ક્ષીણ થઈ જાય છે. અહીં ઉદાહરણો છે.
અમે તાજેતરમાં પ્રકાશિત એટલાસ ઓફ ધ વર્લ્ડ ખોલી રહ્યા છીએ, જે હમણાં જ વેચાણ પર છે (એમ.: ફેડરલ સ્ટેટ યુનિટરી એન્ટરપ્રાઇઝ કાર્ટોગ્રાફી પ્રોડક્શન એસોસિએશન, 2003). "વિશ્વના રાજ્યો અને પ્રદેશો" કોષ્ટકમાં આપણે શોધીએ છીએ: "ફ્રાન્સની રાજધાની પેરિસ છે (2,125.2 હજાર રહેવાસીઓ). જો કોઈ વિદ્યાર્થી પરીક્ષામાં આવો આંકડો આપે તો શું પરીક્ષકને સંતોષ થશે? છેવટે, પેરિસ તેમાંથી એક છે સૌથી મોટા કેન્દ્રોયુરોપ અને સેન્ટ પીટર્સબર્ગ કરતાં ઓછું નથી. પરંતુ આપેલ આકૃતિમાં કોઈ ભૂલ નથી: આ પેરિસ ઇન છે વહીવટી સીમાઓપેરિસ શહેર. અને ખરેખર સ્થાપિત શહેરી ક્લસ્ટરની સીમાઓમાં, તે દસ-મિલિયન-ડોલરનું શહેર છે.
તમે કેવી રીતે ગણતરી કરો છો તેના પર ઘણું નિર્ભર છે.
આનો અર્થ એ નથી કે અમે વિદ્યાર્થી પાસેથી 2.2 થી 10 સુધીની કોઈપણ સંખ્યાને જવાબ તરીકે સ્વીકારી શકીએ છીએ; આ અથવા તે સંખ્યા ટાંકતી વખતે, વિદ્યાર્થીએ સમજવું જોઈએ કે તેની પાછળ શું છે, શું માપવામાં આવે છે અને કેવી રીતે. એક મિલિયન ટન હાઇ-કેલરી કોલસો અને બ્રાઉન કોલસો અલગ-અલગ લાખો છે.પરંતુ તે કિલોમીટર જેવું લાગતું હતું. એક કિલોમીટર આફ્રિકામાં પણ એક કિલોમીટર છે. અને કિલોમીટરમાં શું માપવામાં આવે છે તે પ્રશ્ન કરી શકાય છે? પરંતુ તે તારણ આપે છે કે કિલોમીટરમાં લંબાઈ આપતી વખતે પણ, પાઠયપુસ્તકના લેખકે પહેલા વિચારવું જોઈએ. શિક્ષકે, પાઠ્યપુસ્તકનો ઉપયોગ કરીને, વિદ્યાર્થીઓને તેનું પ્રસારણ કરતા પહેલા અને તેમને યાદ રાખવાની આવશ્યકતા કરતા પહેલા એક આકૃતિનું વિવેચનાત્મક વિશ્લેષણ પણ કરવું આવશ્યક છે. અમે 10મા ધોરણ માટે પાઠ્યપુસ્તક વાંચીએ છીએ: “કેનેડા પાસે ત્રણ મહાસાગરો છે, અને

નકશા પરના અનિયમિત વળાંકોને વક્રીમાપકનો ઉપયોગ કરીને માપી શકાય છે - આ ઉપકરણનું વ્હીલ વળાંક સાથે વળેલું છે, દરેક વળાંકને કાળજીપૂર્વક રેકોર્ડ કરે છે. જો કે, દરિયાકાંઠાની કઠોરતા ઘણીવાર એટલી મોટી હોય છે કે તેને વળાંક સાથે અનુસરવું અશક્ય છે. તમારે માપન હોકાયંત્ર વડે વળાંક સાથે ચાલવું પડશે. સૌથી આરામદાયક પગલાની લંબાઈ 2 મીમી છે. વિવિધ ભીંગડાઓ પર, આ પગલું, અલબત્ત, વિવિધ અંતરને અનુરૂપ છે; સંબંધિત ભૂલવધુ કે ઓછા સાચવેલ.
ચાલો, ઉદાહરણ માટે, ચુકોટકા સ્વાયત્ત ઓક્રગના દરિયાકાંઠાની લંબાઈને માપવાનો પ્રયાસ કરીએ. ચાલો રશિયાની ભૂગોળ (સ્કેલ 1: 22,000,000) પર સ્કૂલ એટલાસમાંથી નકશો લઈએ અને બે-મિલિમીટર હોકાયંત્ર સ્ટેપ (44 કિમી) સાથે આખા ચુક્ચી કિનારે ચાલો. પરિણામ 4300 કિમી (98 હોકાયંત્ર પગલાં) હશે. ચાલો સ્કેલ મેપનો ઉપયોગ કરીને સમાન માપન કરીએ
1: 7,500,000 અહીં આપણે પહેલેથી જ 345 બે-મિલિમીટર (15 કિમી) પગલાં ગણીશું
5,200 કિ.મી. જો માપમાં નકશાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો તે ધારવું તાર્કિક છે મોટા પાયે, માપવામાં આવેલ દરિયાકિનારો વધુ લાંબો બનશે.
ચાલો એક વધુ પ્રયોગ કરીએ. લેનિનગ્રાડ પ્રદેશના દરિયાકાંઠાની લંબાઈ. નકશા પર
1: 22,000,000 - 300 કિમી, નકશા મુજબ 1: 2,500,000 - 555 કિમી, અને તે મુજબ ટોપોગ્રાફિક નકશો
1: 500,000 - 670 કિમી. તે જ સમયે, એકલા વાયબોર્ગ ખાડીના દરિયાકિનારાની લંબાઈ (જ્યાં કિનારા ખાસ કરીને ખાડીઓ અને ખાડીઓથી ઇન્ડેન્ટેડ હોય છે), ટોપોગ્રાફિક નકશા પરથી માપવામાં આવે છે, તે 338 કિમી છે, જ્યારે શાળા એટલાસ- 65 કિમી (ફરક કરતાં વધુ છે
5 વખત!).
આમ, માપેલ દરિયાકિનારાની લંબાઈમાં વધતા સ્કેલ સાથે કુદરતી વધારો થાય છે. કારણ માત્ર એટલું જ નથી કે હોકાયંત્રનું બે-મિલિમીટરનું પગલું જમીન પર વધુને વધુ નાના મૂલ્યને અનુરૂપ છે, પરંતુ મુખ્યત્વે કારણ કે રેખા પોતે, ભલે તે ખૂબ જ સચોટ રીતે માપવામાં આવે અને કિલોમીટરમાં સ્કેલ અનુસાર રૂપાંતરિત કરવામાં આવે તો પણ તે ખરેખર બની જાય છે. લાંબા સમય સુધી (ફિગ. 1). લેનિનગ્રાડ પ્રદેશના કિનારા નજીક રશિયાના નકશા પર. માત્ર વાયબોર્ગ ખાડી, નેવા ખાડી અને ફિનલેન્ડના અખાતના દક્ષિણ કિનારાના નાના વળાંકો જ દૃશ્યમાન છે. સ્કેલ 1: 2,500,000 ના નકશા પર, વાયબોર્ગ ખાડીની રૂપરેખા પહેલેથી જ જટિલ છે, અને દક્ષિણમાં કોપોર્સ્કાયા અને લુગા ખાડીઓ સ્પષ્ટપણે દૃશ્યમાન છે. અડધા મિલિયન વર્ષ જૂના નકશા પર વાયબોર્ગ ખાડીની અંદર બીજી ઘણી નાની ખાડીઓ છે, જેમાંથી કેટલીક યોગ્ય નામો(બાલ્ટિએટ્સ ખાડી, ક્લ્યુચેવસ્કાયા ખાડી), અને માત્ર દક્ષિણ કિનારોફિનલેન્ડનો અખાત અગાઉના સ્કેલની તુલનામાં થોડો બદલાયેલો દેખાય છે ત્યાંનો દરિયાકિનારો ઘણો ઓછો કઠોર છે.

દરિયાકાંઠાની ચોક્કસ લંબાઈ કેવી રીતે નક્કી કરવી?
અંગ્રેજ હવામાનશાસ્ત્રી રિચાર્ડસને આ ધ્યેય નક્કી કર્યો, તેના હોમ ટાપુ, ગ્રેટ બ્રિટનને પરીક્ષણ મેદાન તરીકે પસંદ કર્યું. તે નિષ્કર્ષ પર આવ્યા કે દરિયાકિનારાની લંબાઈ નકશાના વધતા સ્કેલ સાથે વધે છે જેના દ્વારા આ લંબાઈ માપવામાં આવે છે (ફિગ. 2). શું આ વધારાની કોઈ મર્યાદા છે? ભાગ્યે જ. દરિયાકાંઠાની લંબાઇ દરિયામાં જતી દરેક નાની રેતીના થૂંક દ્વારા, દરેક હોલો જે એક નાનકડી ખાડી બનાવે છે, પાણીની આસપાસ વહેતા દરેક કાંકરા દ્વારા વધે છે. મોટા પાયે નકશા પર પણ તેઓ દેખાતા નથી, તેમ છતાં વાસ્તવમાં દરિયાકિનારામાં આ બધી અનિયમિતતાઓ અસ્તિત્વમાં છે.

ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કેવી રીતે ભૌગોલિક સંશોધનને વધુ વિશ્વાસપાત્ર અને વધુ વિશ્વસનીય બનાવી શકે છે તેના ઘણા ઉદાહરણો છે. અહીં વિપરીત બન્યું: ભૌગોલિક સંશોધન - દરિયાકાંઠાની લંબાઈનો અભ્યાસ - નવા ઉદભવમાં ફાળો આપ્યો ગાણિતિક ખ્યાલ. આ વિભાવનાનું અંગ્રેજી નામ ખંડિત છે, પરંતુ રશિયનમાં તે હજુ સુધી સંપૂર્ણ રીતે સ્થાયી થયું નથી અને તે ત્રણ સંસ્કરણોમાં જોવા મળે છે: ખંડિત(જેનેટીવ અને ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટલ કેસોકરશે ખંડિત, ખંડિત), ખંડિતપુરૂષવાચી લિંગમાં ( ખંડિત, ખંડિત) અને ખંડિતસ્ત્રીની લિંગમાં ( ખંડિત, ખંડિત); માટેતાજેતરમાં તરફ ઝુકાવેલું જણાય છે.
ખંડિત
ફ્રેક્ટલ એ એક રેખા છે, જેનો દરેક ટુકડો અનંતપણે વધુ જટિલ બને છે, દરેક ટુકડાની લંબાઈ અને સમગ્ર રેખા સતત વધી રહી છે. ઉદાહરણ તરીકે સામાન્ય રીતે કોચ સ્નોવફ્લેક તરીકે ઓળખાતી આકૃતિ છે, જો કે આ નામ ખોટું છે: આ સ્નોવફ્લેક વીસમી સદીની શરૂઆતમાં બાંધવામાં આવ્યું હતું. હેલ્ગા વોન કોચ અને તેનું છેલ્લું નામ નકારવું જોઈએ નહીં. ચાલો લઈએસમભુજ ત્રિકોણ . ચાલો દરેક બાજુને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ અને દરેક બાજુના મધ્ય ભાગ પર એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવીએ. તમને નિયમિત છ-પોઇન્ટેડ સ્ટાર મળશે, છ સાથેનો આંકડોબહિર્મુખ ખૂણા અને છ ઇનકમિંગ. ચાલો તેની દરેક બાજુઓ (અને આમાંથી 12 બાજુઓ છે) ને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ અને દરેક બાજુના મધ્ય ભાગ પર ફરીથી એક સમભુજ ત્રિકોણ બનાવીએ. પરિણામ 18 બહિર્મુખ અને 30 આવર્તક ખૂણાઓ સાથે 48 બાજુઓ સાથેની આકૃતિ હશે. આ ઓપરેશનનું પુનરાવર્તનવખત (આ અલબત્ત, ફક્ત માનસિક રીતે કરી શકાય છે), અમને એક આકૃતિ મળે છે જેનો વિસ્તાર સતત વધી રહ્યો છે, પરંતુ વધુ અને વધુ ધીમે ધીમે, ધીમે ધીમે ચોક્કસ મર્યાદા (ફિગ. 3) નજીક આવી રહ્યો છે. આ આકૃતિની પરિમિતિ અનિશ્ચિત રૂપે વધે છે, કારણ કે જ્યારે પણ આપણે આકૃતિની બાજુ પર નવો સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવીએ છીએ, પછી ભલે તે ગમે તેટલો નાનો હોય, આ બાજુના ત્રણ સમાન ભાગોને ચાર સમાન ભાગો દ્વારા બદલવામાં આવે છે, અને તેથી દરેકની લંબાઈ બાજુ (અને તેથી સમગ્ર પરિમિતિ) 4/3 ગણો વધે છે, અને અનંતની સમાન શક્તિની એક કરતા મોટી કોઈપણ સંખ્યા (અને આપણે અસંખ્ય વખત બાંધકામ કરીએ છીએ) અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે.

સ્નોવફ્લેકની સરહદ પહોળી, શેગી લાઇન જેવી હશે જે સમગ્રને ભરે છે સરહદ વિસ્તારઆ આંકડો. "વિશાળ રેખા", "જાડી સપાટી" ની વિભાવનાઓ, શાસ્ત્રીય ગણિતના દૃષ્ટિકોણથી વાહિયાત લાગે છે (રેખાની કોઈ પહોળાઈ નથી, અને સપાટીની કોઈ જાડાઈ નથી), ફ્રેકટલ્સના સિદ્ધાંતના વિકાસ સાથે નાગરિકતાના અધિકારો પ્રાપ્ત કર્યા. . એવું માનવામાં આવે છે કે રેખા એક-પરિમાણીય છે, તેની માત્ર લંબાઈ છે, તેના પરના બિંદુની સ્થિતિ એક સંકલન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે; સપાટી દ્વિ-પરિમાણીય છે, તેનો વિસ્તાર છે, તેના પરના બિંદુની સ્થિતિ બે કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે; શરીર ત્રિ-પરિમાણીય છે, તેમાં વોલ્યુમ છે, ત્રણ કોઓર્ડિનેટ્સ જરૂરી છે. અને અપૂર્ણાંકનો સિદ્ધાંત અપૂર્ણાંક પરિમાણનો ખ્યાલ રજૂ કરે છે: રેખા દ્વિ-પરિમાણીય બની નથી, પરંતુ એક-પરિમાણીય બનવાનું બંધ કરી દીધું છે. તૈયારી વિનાના વ્યક્તિ માટે આ સમજવું ખૂબ મુશ્કેલ છે (તમે દોઢ વખત છીંક કરી શકતા નથી), પરંતુ જો આપણે યાદ રાખીએ કે દરિયાકિનારો કેવી રીતે વર્તે છે - માત્ર નકશા પર જ નહીં, પણ પ્રકૃતિમાં પણ, જો તમે જુઓ તો તે કેવી રીતે બદલાય છે. તે, સ્ક્વોટિંગ, પછી સંપૂર્ણ ઊંચાઈએ ઊભા થવું, પછી પર્વત પર ચડવું, પછી વિમાન અથવા સ્પેસશીપ પર ઉપડવું, આપણે એટલું સમજી શકતા નથી કે આપણે શું અનુભવીશું.જટિલ સિસ્ટમ
આ રેખા રજૂ કરે છે; તેના માટે, એક લાક્ષણિકતા ચોક્કસપણે પૂરતી નથી - લંબાઈ. અને ભૌગોલિક સંશોધનમાંથી જન્મેલા ફ્રેકટલ્સનો સિદ્ધાંત પોતે જ ભૂગોળની મદદ માટે આવે છે. ફ્રેક્ટલ તરીકે રાહતનો અભ્યાસ કરવાની પદ્ધતિ હજી વિકસિત કરવામાં આવી નથી, પરંતુ નિશ્ચિતપણે વચન છે. માં રાહત જોઈ, તેને નાના પાયે નકશા પર દોરતા, આપણે પર્વતમાળાઓ, ઉચ્ચપ્રદેશો અને ઊંડી ખીણો જોઈએ છીએ. સરેરાશ સ્કેલ પર, ટેકરીઓ, નાની ખીણો અને કોતરો પહેલેથી જ દેખાય છે. તેનાથી પણ મોટું - અને તમે રેતી પર હમ્મોક્સ અને પવનની લહેરો જોઈ શકો છો. પરંતુ આ મર્યાદા નથી: ત્યાં વ્યક્તિગત કાંકરા અને રેતીના દાણા છે. વ્યવહારિક દ્રષ્ટિએ, આ બધું મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે તમારે વિવિધ ભીંગડાના નકશા પર ચિત્રણ માટે વસ્તુઓને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે પસંદ કરવી તે શીખવાની જરૂર છે; નકશા કમ્પાઇલરની મુખ્ય ભૂલોમાંની એક નકશાની સામગ્રી અને તેના સ્કેલ વચ્ચેની વિસંગતતા છે.
પરંતુ દરિયાકિનારાની લંબાઈ સાથે શું કરવું?
તેને માપવાનો ઇનકાર કરો કારણ કે તે અમાપ છે? ના, આ વિકલ્પ નથી. ફક્ત, દરિયાકિનારાની લંબાઈ આપતી વખતે, તમારે હંમેશા સૂચવવું જોઈએ કે તે કયા સ્કેલ નકશા પર માપવામાં આવ્યું હતું અને કઈ રીતે.અને તે જ સમયે નિયત કરવાની ખાતરી કરો, ટાપુઓનો દરિયાકિનારો ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યો હતો કે નહીં.નકશાના સ્કેલને દર્શાવ્યા વિના અને ટાપુઓનો સમાવેશ કરવામાં આવ્યો છે કે નહીં, દરિયાકિનારાની લંબાઈ પરનો કોઈપણ ડેટા અર્થહીન બની જાય છે. કમનસીબે, સંપૂર્ણપણે વિશ્વસનીય હોવાનો દાવો કરતા સ્ત્રોતોમાં પણ, કોઈ ભયંકર વાહિયાતતા શોધી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રખ્યાત CIA વેબસાઇટ " વિશ્વફેક્ટબુક". અહીં, દરેક દેશ અને મહાસાગર માટે, દરિયાકિનારાનો ડેટા આપવામાં આવે છે, પરંતુ માપન પદ્ધતિ સૂચવવામાં આવી નથી. પરિણામે, કેનેડાનો દરિયાકિનારો 200 હજાર કિમીથી વધુ, આર્કટિક મહાસાગર - 45.4 હજાર કિમી, એટલાન્ટિક મહાસાગર - 111.9 હજાર કિમી (ડેટા આપેલ છે - તેને ખોટું ન વિચારશો! - સૌથી નજીકનો કિલોમીટર). કેનેડાને ટાપુઓને ધ્યાનમાં લેવાનું માનવામાં આવતું હતું, તે ચોક્કસ છે; મહાસાગરોને કેવી રીતે ગણવામાં આવતા હતા તે અજ્ઞાત છે, પરંતુ કેનેડાને ઘેરાયેલા ત્રણમાંથી બે મહાસાગરોના દરિયાકિનારા એકલા કેનેડાના દરિયાકિનારા કરતા ઓછા ઉમેરે છે. નોર્વે માટે આંકડો 21,925 કિમી છે અને નોંધ આપવામાં આવી છે: “મેઇનલેન્ડ 3419 કિમી, મોટા ટાપુઓ 2413 કિમી, લાંબા fjords, અસંખ્ય નાના ટાપુઓ અને નાના વળાંકો [શાબ્દિક અનુવાદ ખાંચો] દરિયાકિનારો 16,093 કિમી. કુલ રકમ બરાબર દર્શાવેલ છે

વિરોધાભાસનું ઉદાહરણ: જો યુ.કે.ના દરિયાકિનારાને 100 કિમીના વિભાગોમાં માપવામાં આવે, તો તેની લંબાઈ લગભગ 2,800 કિમી છે. જો 50 કિ.મી.ના વિભાગોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે, તો તેની લંબાઈ આશરે 3,400 કિમી છે, જે 600 કિમી લાંબી છે.

દરિયાકાંઠાની લંબાઈ તે કેવી રીતે માપવામાં આવે છે તેના પર આધાર રાખે છે. સેંકડો કિલોમીટરથી લઈને મિલીમીટર અથવા તેનાથી ઓછા અપૂર્ણાંક સુધીના કોઈપણ કદના વળાંકો દ્વારા લેન્ડમાસની લાક્ષણિકતા હોઈ શકે છે, તેથી માપન માટે લેવામાં આવતું સૌથી નાનું તત્વનું કદ પસંદ કરવાની કોઈ સ્પષ્ટ રીત નથી. પરિણામે, આ વિસ્તારની પરિમિતિ અસ્પષ્ટપણે નક્કી કરવી અશક્ય છે. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે વિવિધ ગાણિતિક અંદાજો છે.

સીમા અથવા દરિયાકાંઠાની લંબાઈનો અંદાજ કાઢવાની મુખ્ય પદ્ધતિ સુપરઇમ્પોઝ કરવાની હતી એન સમાન વિભાગોલંબાઈ lહોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને નકશા અથવા હવાઈ ફોટોગ્રાફ પર. સેગમેન્ટનો દરેક છેડો માપવામાં આવતી સીમાનો હોવો જોઈએ. સીમા આકારણીમાં વિસંગતતાઓની તપાસ કરીને, રિચાર્ડસને શોધ્યું કે હવે શું કહેવાય છે રિચાર્ડસન અસર: માપન સ્કેલ તમામ વિભાગોની કુલ લંબાઈના વિપરિત પ્રમાણસર છે. એટલે કે, જેટલો ટૂંકા શાસકનો ઉપયોગ થાય છે, તેટલી લાંબી માપેલી સીમા. આમ, સ્પેનિશ અને પોર્ટુગીઝ ભૌગોલિકોને અલગ-અલગ સ્કેલ પરના માપ દ્વારા માર્ગદર્શન આપવામાં આવ્યું હતું.

રિચાર્ડસન માટે સૌથી વધુ આઘાતજનક બાબત એ હતી કે જ્યારે મૂલ્ય lશૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, કિનારાની લંબાઈ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. રિચાર્ડસન શરૂઆતમાં યુક્લિડિયન ભૂમિતિના આધારે માનતા હતા કે આ લંબાઈ એક નિશ્ચિત મૂલ્ય સુધી પહોંચશે, જેમ કે નિયમિત ભૌમિતિક આકારો. ઉદાહરણ તરીકે, પરિમિતિ નિયમિત બહુકોણ, એક વર્તુળમાં અંકિત, બાજુઓની સંખ્યા વધે છે (અને દરેક બાજુની લંબાઈ ઘટે છે) તરીકે વર્તુળની લંબાઈ સુધી પહોંચે છે. ભૌમિતિક માપનના સિદ્ધાંતમાં, વર્તુળ જેવા સરળ વળાંક, જે લગભગ આપેલ મર્યાદા સાથે નાના ભાગોના સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે, તેને સુધારી શકાય તેવું વળાંક કહેવામાં આવે છે.

રિચાર્ડસને તેમનું કાર્ય પૂર્ણ કર્યાના દસ વર્ષથી વધુ સમય પછી, મેન્ડલબ્રોટે ગણિતની એક નવી શાખા વિકસાવી - ખંડિત ભૂમિતિ - પ્રકૃતિમાં અસ્તિત્વમાં છે તેવા બિન-સુધારી શકાય તેવા સંકુલનું વર્ણન કરવા માટે, જેમ કે અનંત દરિયાકિનારો. તેમના પોતાની વ્યાખ્યાતેના સંશોધનનો આધાર નીચે મુજબ છે:

મેં એક શબ્દ બનાવ્યો ખંડિત, લેટિન વિશેષણને આધાર તરીકે લેવું અસ્થિભંગ. અનુરૂપ લેટિન ક્રિયાપદ frangereઅર્થ વિરામ: અનિયમિત ટુકડાઓ બનાવો. તેથી તે વાજબી છે કે, "ફ્રેગમેન્ટરી" ઉપરાંત, અસ્થિભંગતેનો અર્થ "અનિયમિત" પણ હોવો જોઈએ.

ફ્રેકટલ્સની મુખ્ય મિલકત સ્વ-સમાનતા છે, જે તેના અભિવ્યક્તિમાં સમાવિષ્ટ છે એકંદર આકૃતિકોઈપણ સ્કેલ પર. દરિયાકાંઠાને ખાડીઓ અને કેપ્સના ફેરબદલ તરીકે માનવામાં આવે છે. કાલ્પનિક રીતે, જો આપેલ દરિયાકિનારામાં સ્વ-સમાનતાની મિલકત હોય, તો પછી ભલેને એક અથવા બીજા ભાગને ગમે તેટલું માપવામાં આવે, ત્યાં હજી પણ નાની ખાડીઓ અને હેડલેન્ડ્સની સમાન પેટર્ન હશે જે મોટા ખાડીઓ અને હેડલેન્ડ્સ પર સુપરઇમ્પોઝ કરવામાં આવશે, જે અનાજના અનાજ સુધી છે. રેતી આ ભીંગડાઓ પર, દરિયાકિનારો ખાડીઓ અને હેડલેન્ડ્સની સ્ટોકેસ્ટિક ગોઠવણી સાથે તરત જ બદલાતી, સંભવિત રીતે અનંત થ્રેડ હોય તેવું લાગે છે. આવી પરિસ્થિતિઓમાં (સરળ વળાંકોની વિરુદ્ધમાં), મેન્ડેલબ્રોટ જણાવે છે: "કિનારાની લંબાઈ એ એક પ્રપંચી ખ્યાલ છે, જે તેને સમજવાનો પ્રયાસ કરે છે તેમની આંગળીઓ વચ્ચે સરકી જાય છે."

જ્યાં દરિયાકાંઠાની લંબાઈ L એ એકમ εનું કાર્ય છે અને જમણી બાજુના અભિવ્યક્તિ દ્વારા અંદાજિત છે. F એ અચલ છે, D એ રિચાર્ડસન પરિમાણ છે, જે દરિયાકિનારા પર આધારિત છે (રિચાર્ડસને આપ્યું નથી સૈદ્ધાંતિક સમજૂતીઆ જથ્થા, જો કે મેન્ડેલબ્રોટે ડી ને હૌસડોર્ફ પરિમાણના બિન-પૂર્ણાંક સ્વરૂપ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યું, બાદમાં ખંડિત પરિમાણ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, D એ "ખરબચડી" નું વ્યવહારિક રીતે માપેલ મૂલ્ય છે). પુનઃસંગઠિત કર્યા જમણી બાજુઅભિવ્યક્તિઓ, અમને મળે છે:

જ્યાં Fε -D એ L મેળવવા માટે જરૂરી ε એકમોની સંખ્યા હોવી આવશ્યક છે. ફ્રેક્ટલ પરિમાણ એ ફ્રેક્ટલની અંદાજિત માહિતી માટે વપરાતા ઑબ્જેક્ટના પરિમાણોની સંખ્યા છે: બિંદુ માટે 0, રેખા માટે 1, વિસ્તારના આંકડાઓ માટે 2. કિનારાની લંબાઈને માપતી તૂટેલી રેખા એક દિશામાં વિસ્તરતી નથી અને તે જ સમયે કોઈ વિસ્તારનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી નથી, તેથી અભિવ્યક્તિમાં D નું મૂલ્ય વધે છે. મધ્યવર્તી સ્થિતિ 1 અને 2 ની વચ્ચે (કિનારા માટે સામાન્ય રીતે 1.5 કરતા ઓછા). તેને જાડી રેખા અથવા 2ε પહોળા પટ્ટા તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. વધુ "તૂટેલા" દરિયાકિનારા છે ઉચ્ચ મૂલ્ય D અને આમ L એ જ ε માટે લાંબો છે. મેન્ડેલબ્રોટે બતાવ્યું કે D ε પર નિર્ભર નથી.

સામાન્ય રીતે, દરિયાકિનારા ગાણિતિક ફ્રેકટલ્સથી અલગ હોય છે કારણ કે તે અસંખ્ય નાની વિગતોનો ઉપયોગ કરીને રચાય છે જે માત્ર આંકડાકીય રીતે પેટર્ન બનાવે છે.

વાસ્તવમાં, દરિયાકિનારા પર 1 સેમીથી નાની વિગતો નથી [ ] આ ધોવાણ અને અન્ય દરિયાઈ ઘટનાઓને કારણે છે. મોટાભાગના સ્થળોએ લઘુત્તમ કદ ઘણું વધારે છે. તેથી, અનંત ખંડિત મોડેલ દરિયાકિનારા માટે યોગ્ય નથી.

વ્યવહારુ કારણોસર, માપના એકમોના ક્રમની બરાબર ભાગોનું લઘુત્તમ કદ પસંદ કરો. તેથી, જો દરિયાકિનારો કિલોમીટરમાં માપવામાં આવે છે, તો નાના ફેરફારોએક કિલોમીટર કરતા ઘણી નાની લાઇનોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી નથી. દરિયાકિનારાને સેન્ટિમીટરમાં માપવા માટે, લગભગ એક સેન્ટિમીટરની તમામ નાની ભિન્નતાઓ ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે. જો કે, સેન્ટિમીટરના ક્રમ પરના ભીંગડા પર, વિવિધ મનસ્વી બિન-ફ્રેક્ટલ ધારણાઓ કરવી આવશ્યક છે, ઉદાહરણ તરીકે જ્યાં નદીમુખ સમુદ્ર સાથે જોડાય છે, અથવા સ્થાનો જ્યાં માપ પહોળા વોટ્સ પર લેવા જોઈએ. વધુમાં, ઉપયોગ વિવિધ પદ્ધતિઓમાપનના વિવિધ એકમો માટે માપન સરળ ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને આ એકમોના રૂપાંતરને મંજૂરી આપતું નથી.

રાજ્ય નક્કી કરવા પ્રાદેશિક પાણીકેનેડિયન પ્રાંત બ્રિટિશ કોલંબિયાના દરિયાકાંઠાના કહેવાતા વળાંકો બનાવી રહ્યા છે તેઓ કેનેડિયન દરિયાકિનારાની લંબાઈના 10% થી વધુ (કેનેડિયન આર્કટિક દ્વીપસમૂહના તમામ ટાપુઓને ધ્યાનમાં લેતા) - 243,042 માંથી 25,725 કિ.મી. કિમી માત્ર 965 કિમીના રેખીય અંતરે

ભૂગોળનો અભ્યાસ કરતી વખતે, તમે, અલબત્ત, યાદ રાખો કે દરેક દેશનો પોતાનો વિસ્તાર અને સરહદ લંબાઈ હોય છે, ખાસ કરીને, જો કોઈ દેશ સમુદ્ર અથવા મહાસાગર દ્વારા ધોવાઇ જાય, તો તેની ચોક્કસ લંબાઈની દરિયાઈ સરહદ હોય છે. શું તમે ક્યારેય વિચાર્યું છે કે આ સરહદની લંબાઈ કેવી રીતે નક્કી થાય છે? 1977 માં, અમેરિકન ગણિતશાસ્ત્રી બેનોઇટ મેન્ડેલબ્રોટે પોતાને સેટ કર્યો આગામી પ્રશ્ન: યુકેના દરિયાકિનારાની લંબાઈ કેટલી છે? તે બહાર આવ્યું છે કે આ "બાલિશ પ્રશ્ન" નો સાચો જવાબ આપવો અશક્ય છે. 1988 માં, નોર્વેના વૈજ્ઞાનિક જેન્સ ફેડરે નોર્વેજીયન દરિયાકિનારો કેટલો લાંબો છે તે શોધવાનું નક્કી કર્યું. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે નોર્વેનો દરિયાકિનારો ફિઓર્ડ્સ દ્વારા ભારે ઇન્ડેન્ટેડ છે. ઓસ્ટ્રેલિયાના દરિયાકિનારાની લંબાઈ વિશે અન્ય વૈજ્ઞાનિકોએ પોતાને સમાન પ્રશ્નો પૂછ્યા છે, દક્ષિણ આફ્રિકા, જર્મની, પોર્ટુગલ અને અન્ય દેશો.

અમે ફક્ત દરિયાકાંઠાની લંબાઈને આશરે માપી શકીએ છીએ. જેમ જેમ આપણે ઝૂમ આઉટ કરીએ છીએ તેમ, આપણે વધુને વધુ નાના હેડલેન્ડ્સ અને ખાડીઓને માપવા પડશે - દરિયાકાંઠાની લંબાઈ વધે છે, અને સ્કેલ ઘટાડવા માટે કોઈ ઉદ્દેશ્ય મર્યાદા નથી (અને તેથી દરિયાકિનારાની લંબાઈમાં વધારો); અમને કબૂલ કરવાની ફરજ પડી છે કે આ લાઇન છે અનંત લંબાઈ. આપણે જાણીએ છીએ કે સીધી રેખાનું પરિમાણ એક છે, ચોરસનું પરિમાણ બે છે અને ઘનનું પરિમાણ ત્રણ છે. મેન્ડેલબ્રોટે "રાક્ષસી" વળાંકોને માપવા માટે અપૂર્ણાંક પરિમાણો - હોસડોર્ફ - બેસીકોવિચ પરિમાણો - નો ઉપયોગ કરવાની દરખાસ્ત કરી. દરિયાકાંઠા જેવા અવિરત તૂટેલા વળાંકો તદ્દન રેખાઓ નથી. તેઓ સપાટીની જેમ પ્લેનના ભાગને "સ્વીપ" કરતા હોય તેવું લાગે છે. પરંતુ તેઓ સપાટી પણ નથી. આનો અર્થ એ છે કે તે ધારવું વાજબી છે કે તેમનું પરિમાણ એક કરતાં વધુ છે, પણ બે કરતાં પણ ઓછું છે, એટલે કે, આ અપૂર્ણાંક-પરિમાણીય પદાર્થો છે.

નોર્વેજીયન વૈજ્ઞાનિક ઇ. ફેડરે દરિયાકાંઠાની લંબાઈને માપવા માટે બીજી રીતનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો. નકશો ચોરસ ગ્રીડથી ઢંકાયેલો હતો, જેના કોષોના પરિમાણો e છે? e. તે જોઈ શકાય છે કે નકશા પર દરિયાકાંઠાને આવરી લેતા આવા કોષોની સંખ્યા N(e) લગભગ તે પગલાંની સંખ્યા જેટલી છે જેમાં કોઈ વ્યક્તિ નકશા પરના હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને દરિયાકિનારાની આસપાસ ચાલી શકે છે. જો e ઘટાડવામાં આવે છે, તો N(e) સંખ્યા વધશે. જો યુ.કે.ના દરિયાકાંઠાની લંબાઈ ચોક્કસ લંબાઈ L ધરાવે છે, તો સોલ્યુશન સાથે હોકાયંત્રના પગલાંની સંખ્યા (અથવા સંખ્યાચોરસ કોષો

N(e) નકશા પર દરિયાકિનારાને આવરી લે છે) e ની વિપરિત પ્રમાણસર હશે, અને મૂલ્ય Ln (e)=N(e) ? કમનસીબે, ઘણા વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા કરવામાં આવેલી ગણતરીઓ દર્શાવે છે કે આ સંપૂર્ણ રીતે સાચું નથી. જેમ જેમ પીચ ઘટે છે, માપેલ લંબાઈ વધે છે. તે બહાર આવ્યું છે કે માપેલ લંબાઈ L(e) અને સ્ટેપ e વચ્ચેનો સંબંધ અંદાજિત સંબંધ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે.ગુણાંક D ને ખંડિત પરિમાણ કહેવામાં આવે છે. ફ્રેક્ટલ શબ્દ પરથી આવ્યો છે

લેટિન શબ્દ

તેવી જ રીતે, જો પ્લેન પરનો બંધ મર્યાદિત વિસ્તાર (ફિગ. 4) બાજુ e સાથે ચોરસ ગ્રીડથી આવરી લેવામાં આવ્યો હોય, તો વિસ્તારને આવરી લેતી બાજુ e સાથે ચોરસની ન્યૂનતમ સંખ્યા બરાબર હશે.

જો આપણે માં બંધ બાઉન્ડેડ પ્રદેશને ધ્યાનમાં લઈએ ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાઅને કિનારી e સાથે ક્યુબ લો, પછી આ વિસ્તારને ભરવાના ક્યુબ્સની સંખ્યા છે

ચાલો આપણે ઉપર જણાવેલી બાબતોના આધારે ખંડિત પરિમાણ નક્કી કરીએ સામાન્ય કેસનીચે મુજબ:

ચાલો ડાબી અને જમણી બાજુઓનો લઘુગણક લઈએ

e શૂન્ય તરફ વળે છે તેમ મર્યાદામાં પસાર થવું (N અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે), આપણે મેળવીએ છીએ

આ સમાનતા એ પરિમાણની વ્યાખ્યા છે, જે d દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

જાણીતી હકીકત:

વિરોધાભાસનું ઉદાહરણ: જો યુ.કે.ના દરિયાકિનારાને 100 કિમીના વિભાગોમાં માપવામાં આવે, તો તેની લંબાઈ લગભગ 2,800 કિમી છે. જો 50 કિ.મી.ના વિભાગોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે, તો તેની લંબાઈ આશરે 3,400 કિમી છે, જે 600 કિમી લાંબી છે.

દરિયાકાંઠાની લંબાઈ તે કેવી રીતે માપવામાં આવે છે તેના પર આધાર રાખે છે. સેંકડો કિલોમીટરથી લઈને મિલીમીટર અથવા તેનાથી ઓછા અપૂર્ણાંક સુધીના કોઈપણ કદના વળાંકો દ્વારા લેન્ડમાસની લાક્ષણિકતા હોઈ શકે છે, તેથી માપન માટે લેવામાં આવતું સૌથી નાનું તત્વનું કદ પસંદ કરવાની કોઈ સ્પષ્ટ રીત નથી. પરિણામે, આ વિસ્તારની પરિમિતિ અસ્પષ્ટપણે નક્કી કરવી અશક્ય છે. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે વિવિધ ગાણિતિક અંદાજો છે.

પ્રથમ પ્રકારના ફ્રેકટલ્સથી પરિચિત થતાં પહેલાં - એટલે કે, વણાંકો સાથે કે જેનું ખંડીય પરિમાણ 1 કરતાં વધી ગયું છે - ચાલો અમુક કિનારાના લાક્ષણિક વિભાગને ધ્યાનમાં લઈએ. દેખીતી રીતે, તેની લંબાઈ તેના પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચેની સીધી રેખાના અંતર કરતાં ઓછી ન હોઈ શકે. જો કે, એક નિયમ તરીકે, દરિયાકિનારા ધરાવે છે અનિયમિત આકાર- તેઓ કપટી અને તૂટેલા છે, અને તેમની લંબાઈ, કોઈ શંકા વિના, સીધી રેખામાં માપવામાં આવેલા તેમના આત્યંતિક બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરને નોંધપાત્ર રીતે ઓળંગે છે.

દરિયાકાંઠાની લંબાઈનો વધુ સચોટ અંદાજ લગાવવાની ઘણી રીતો છે અને આ પ્રકરણમાં આપણે તેમાંના કેટલાકનું વિશ્લેષણ કરીશું. અંતે, અમે ખૂબ જ નોંધપાત્ર નિષ્કર્ષ પર આવીશું: દરિયાકાંઠાની લંબાઈ એ ખૂબ જ લપસણો ખ્યાલ છે, અને તમે તેને તમારા ખુલ્લા હાથથી સમજી શકતા નથી. આપણે માપનની કોઈપણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, પરિણામ હંમેશા એકસરખું જ આવે છે: સામાન્ય દરિયાકિનારાની લંબાઈ ખૂબ લાંબી અને એટલી અસ્પષ્ટ છે કે તેને અનંત માનવું સૌથી અનુકૂળ છે. પરિણામે, જો કોઈ વ્યક્તિ તેમની લંબાઈના દૃષ્ટિકોણથી વિવિધ કિનારાઓની તુલના કરવાનું નક્કી કરે છે, તો તેણે લંબાઈના ખ્યાલને બદલવા માટે કંઈક શોધવું પડશે, જે આ કેસલાગુ પડતું નથી.

આ પ્રકરણમાં અમે યોગ્ય રિપ્લેસમેન્ટની શોધ શરૂ કરીશું, અને શોધની પ્રક્રિયામાં અમે તેનાથી પરિચિત થવાનું ટાળી શકતા નથી. વિવિધ સ્વરૂપોપરિમાણ, માપ અને વળાંકના ખંડિત ખ્યાલો.

માપની વૈકલ્પિક પદ્ધતિઓ

પદ્ધતિ એ. ચાલો માપન હોકાયંત્રના ઉદઘાટનને ચોક્કસ આપેલ લંબાઈ પર સેટ કરીએ, જેને આપણે પગથિયાની લંબાઈ કહીએ છીએ, અને આ હોકાયંત્ર સાથે અમને રસ હોય તેવા દરિયાકિનારે ચાલીએ, દરેક નવા પગલાની શરૂઆત તે બિંદુથી કરીએ જ્યાં પાછલું પગલું સમાપ્ત થયું. લંબાઈ e દ્વારા ગુણાકાર કરેલા પગલાઓની સંખ્યા અમને બેંકની અંદાજિત લંબાઈ આપશે. અમે શાળામાંથી જાણીએ છીએ કે જો આપણે આ કામગીરીનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ, દરેક વખતે હોકાયંત્રના ઉદઘાટનને ઘટાડીએ છીએ, તો અમે અપેક્ષા રાખી શકીએ છીએ કે મૂલ્ય ઝડપથી અમુક ચોક્કસ મૂલ્ય સુધી પહોંચશે, જેને સાચી લંબાઈ કહેવાય છે. જો કે, વાસ્તવમાં જે થાય છે તે આપણી અપેક્ષાઓને અનુરૂપ નથી. સામાન્ય કિસ્સામાં, અવલોકન કરેલ લંબાઈ મર્યાદા વિના વધે છે.

આ વર્તનનું કારણ સ્પષ્ટ છે: જો તમે સ્કેલ 1/100,000 અને 1/10,000 ના નકશા પર કેટલાક દ્વીપકલ્પ અથવા ખાડી જુઓ, તો પછી છેલ્લો નકશોઅમે સ્પષ્ટપણે નાના દ્વીપકલ્પ અને ખાડીઓને અલગ પાડી શકીએ છીએ જે પહેલા એક પર દેખાતા ન હતા. સમાન વિસ્તારનો નકશો, જે 1/1000 ના સ્કેલ પર બનાવવામાં આવ્યો છે, તે આપણને તેનાથી પણ નાના દ્વીપકલ્પ અને કોવ્સ બતાવશે, વગેરે. દરેક નવી વિગત બેંકની કુલ લંબાઈને વધારે છે.

ઉપરોક્ત પ્રક્રિયા ધારે છે કે કિનારો આકારમાં ખૂબ અનિયમિત છે કારણ કે તેની લંબાઈ સીધી રીતે સરળ ભૌમિતિક વળાંકોની લંબાઈના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે, જેની લંબાઈ સંદર્ભ પુસ્તકોમાં મળી શકે છે. એટલે કે, પદ્ધતિ એક્રમ સાથે દરિયાકિનારાને બદલે છે તૂટેલી રેખાઓ, સીધા વિભાગોથી બનેલું છે, જેની લંબાઈ આપણે નક્કી કરી શકીએ છીએ.

પદ્ધતિ B.તે જ "સ્મૂથિંગ" અન્ય રીતે પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. કલ્પના કરો કે એક માણસ કિનારે ચાલી રહ્યો છે સૌથી ટૂંકો રસ્તો, જેનો માર્ગ ક્યારેય પાણીમાંથી આગળ વધતો નથી નિર્દિષ્ટ અંતર. પહોંચી ગયા છે અંતિમ બિંદુ, તે પાછું આવે છે, ની કિંમતમાં સહેજ ઘટાડો કરે છે. પછી ફરીથી અને ફરીથી, જ્યાં સુધી અંતે મૂલ્ય 50 સે.મી. સુધી પહોંચે નહીં ત્યાં સુધી તેને વધુ ઘટાડવું શક્ય નથી, કારણ કે વ્યક્તિ વધુ વિગતવાર માર્ગને શોધી શકવા માટે ખૂબ મોટી અને અણઘડ છે. મારી સામે વાંધો ઉઠાવવામાં આવી શકે છે કે આ અપ્રાપ્ય નાની વિગતો, સૌ પ્રથમ, માનવો માટે તાત્કાલિક રસ ધરાવતી નથી, અને બીજું, તેઓ વર્ષના સમય અને ભરતીની ઊંચાઈને આધારે આવા નોંધપાત્ર ફેરફારોને આધિન છે કે તેમની વિગતવાર રેકોર્ડિંગ સામાન્ય રીતે ગુમાવે છે. બધા અર્થ. અમે આ પ્રકરણમાં પછીથી આમાંના પ્રથમ વાંધાઓ પર વિચાર કરીશું. બીજા વાંધાની વાત કરીએ તો, નીચી ભરતી અને શાંત પાણીમાં ખડકાળ કિનારાને ધ્યાનમાં રાખીને તેને તટસ્થ કરી શકાય છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, કોઈ વ્યક્તિ તેની મદદ માટે માઉસને, પછી કીડીને, વગેરેને બોલાવીને વધુ વિગતવાર અંદાજિત વળાંકો શોધી શકે છે. અને ફરીથી, જેમ જેમ આપણો ચાલનાર પાણીની નજીક અને નજીકના માર્ગને અનુસરે છે, તેમ તેમ તેણે મુસાફરી કરવાનું અંતર અનિશ્ચિતપણે વધતું જાય છે.

પદ્ધતિ સી.પદ્ધતિ B પાણી અને કિનારા વચ્ચે ચોક્કસ અસમપ્રમાણતા સૂચવે છે. આ અસમપ્રમાણતાને ટાળવા માટે, કેન્ટોરએ દરિયાકિનારાને ડિફોકસ્ડ લેન્સ દ્વારા જોવાનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો, જેના પરિણામે દરેક બિંદુ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર સ્થાનમાં ફેરવાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કેન્ટોર તમામ બિંદુઓને ધ્યાનમાં લે છે - જમીન અને પાણી બંને પર - જે અંતરથી દરિયાકિનારે પોતે જ ઓળંગતું નથી. આ બિંદુઓ એક પ્રકારનું સોસેજ અથવા પહોળાઈનું રિબન બનાવે છે (આવા “સોસેજ”નું ઉદાહરણ - અલગ સંદર્ભમાં હોવા છતાં - આકૃતિ 56 માં બતાવેલ છે). ચાલો પરિણામી ટેપના ક્ષેત્રને માપીએ અને તેને વિભાજીત કરીએ. જો દરિયાકિનારો સીધો હોત, તો રિબન એક લંબચોરસ હશે, અને ઉપર વર્ણવેલ રીતે જે મૂલ્ય મળે છે તે દરિયાકિનારાની વાસ્તવિક લંબાઈ હશે. વાસ્તવિક દરિયાકિનારા સાથે કામ કરતી વખતે, અમે લંબાઈનો આશરે અંદાજ મેળવીએ છીએ, જે મર્યાદા વિના વધે છે.

પદ્ધતિડી. પોઈન્ટિલિસ્ટ કલાકારોની રીતે બનાવેલા નકશાની કલ્પના કરો, એટલે કે, જ્યાં ખંડો અને મહાસાગરોને ત્રિજ્યાના રંગીન રાઉન્ડ સ્પોટ્સ સાથે દર્શાવવામાં આવ્યા છે. ફોલ્લીઓના કેન્દ્રોને દરિયાકાંઠાના બિંદુઓ તરીકે ધ્યાનમાં લેવાને બદલે, પદ્ધતિ Cની જેમ, અમે જરૂરી કરીશું કે લાઇનને સંપૂર્ણપણે છુપાવતા સ્થળોની સંખ્યા સૌથી નાની હોય. પરિણામે, કેપ્સની નજીકના ફોલ્લીઓ મોટાભાગે જમીન પર પડેલા હશે, અને ખાડીની નજીક તેઓ સમુદ્રમાં પડશે. અહીં દરિયાકાંઠાની લંબાઈનો અંદાજ સ્પોટ દ્વારા આવરી લેવામાં આવેલા વિસ્તારને દ્વારા વિભાજિત કરવાનું પરિણામ હશે. આ મૂલ્યાંકનનું "વર્તન" પણ ઇચ્છિત થવા માટે ઘણું બધું છોડી દે છે.

માપન પરિણામોની અવ્યવસ્થિતતા

પાછલા વિભાગનો સારાંશ આપતાં, અમે નોંધીએ છીએ કે ચારમાંથી કોઈપણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનું પરિણામ હંમેશા સમાન હોય છે. જેમ જેમ e ઘટે છે તેમ, વળાંકની અંદાજિત લંબાઈ અનંત તરફ વળે છે.

આ હકીકતના મહત્વને યોગ્ય રીતે સમજવા માટે, ચાલો કોઈપણ સામાન્ય યુક્લિડિયન વળાંકની લંબાઈનું સમાન માપન કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે, સીધી રેખા સેગમેન્ટ પર, અંદાજિત અંદાજિત માપન ડેટા મૂળભૂત રીતે એકરુપ થાય છે અને જરૂરી લંબાઈ નક્કી કરે છે. વર્તુળના કિસ્સામાં અંદાજિત મૂલ્યલંબાઈ વધે છે, પરંતુ તેના બદલે ઝડપથી અમુક ચોક્કસ મર્યાદા સુધી ધસી જાય છે. વણાંકો જેની લંબાઈ આ રીતે નક્કી કરી શકાય છે તેને સુધારી શકાય તેવું કહેવાય છે.

માણસ દ્વારા પાળેલા કેટલાક દરિયાકિનારાની લંબાઈને માપવાનો પ્રયાસ કરવો તે વધુ ઉપદેશક છે - કહો કે, ચેલ્સિયા નજીકનો દરિયાકિનારો જે આજે દેખાય છે. લોકો હજુ પણ ભૂપ્રદેશના ખૂબ મોટા ફોલ્ડ્સને યથાવત છોડી દેતા હોવાથી, અમે અમારા હોકાયંત્ર પર ખૂબ જ મોટું સોલ્યુશન ઇન્સ્ટોલ કરીશું અને ધીમે ધીમે તેને ઘટાડીશું. જેમ કોઈ અપેક્ષા રાખે છે તેમ, દરિયાકાંઠાની લંબાઈ વધશે.

જો કે, ત્યાં એક છે રસપ્રદ લક્ષણ: વધુ ઘટાડા સાથે, આપણે અનિવાર્યપણે પોતાને અમુક મધ્યવર્તી ઝોનમાં શોધીએ છીએ, જ્યાં લંબાઈ લગભગ યથાવત રહે છે. આ ઝોન લગભગ 20 મીટરથી 20 સેમી (ખૂબ જ અંદાજે) સુધી વિસ્તરે છે. જ્યારે તે 20 સે.મી.થી ઓછું થઈ જાય છે, ત્યારે લંબાઈ ફરીથી વધવા લાગે છે - હવે વ્યક્તિગત પત્થરો માપન પરિણામને પ્રભાવિત કરે છે. આમ, જો તમે નાં કાર્ય તરીકે મૂલ્યમાં ફેરફારનો આલેખ બનાવો છો, તો શંકા વિના, તમને તેના પર 20 m થી 20 cm સુધીની રેન્જમાં e ની કિંમતો સાથેનો સપાટ વિસ્તાર મળશે - સમાન ગ્રાફ પર કુદરતી "જંગલી" દરિયાકિનારા માટે, આવા સપાટ વિસ્તારો જોવા મળતા નથી.

તે સ્પષ્ટ છે કે આ ફ્લેટ ઝોનમાં કરવામાં આવેલ માપ પ્રચંડ વ્યવહારુ મૂલ્ય ધરાવે છે. વચ્ચેની સીમાઓ અલગ હોવાથી વૈજ્ઞાનિક શાખાઓમુખ્યત્વે શ્રમના વિભાજન પર વૈજ્ઞાનિકો વચ્ચેના કરારનું પરિણામ છે, ઉદાહરણ તરીકે, અમે તમામ અસાધારણ ઘટનાઓ કે જેનો સ્કેલ 20 મીટરથી વધુ છે, એટલે કે જે લોકો હજી સુધી પહોંચ્યા નથી, તેને ભૂગોળ વિભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ. આવી મર્યાદા આપણને ખૂબ ચોક્કસ ભૌગોલિક લંબાઈ આપશે. કોસ્ટ ગાર્ડ"જંગલી" કિનારાઓ સાથે કામ કરવા માટે સમાન મૂલ્યનો સફળતાપૂર્વક ઉપયોગ કરી શકે છે, અને જ્ઞાનકોશ અને પંચાંગ દરેકને અનુરૂપ લંબાઈ જણાવશે.

બીજી બાજુ, મારા માટે કલ્પના કરવી મુશ્કેલ છે કે તમામ રસ ધરાવતી સરકારી એજન્સીઓ, કોઈપણ એક દેશની પણ, એક અર્થનો ઉપયોગ કરવા માટે એકબીજા સાથે સંમત થશે, અને વિશ્વના તમામ દેશો દ્વારા તેને અપનાવવાની કલ્પના કરવી સંપૂર્ણપણે અશક્ય છે. રિચાર્ડસન આ ઉદાહરણ આપે છે: સ્પેનિશ અને પોર્ટુગીઝ જ્ઞાનકોશ વિવિધ લંબાઈ આપે છે જમીન સરહદઆ દેશો વચ્ચે, 20% ના તફાવત સાથે (બેલ્જિયમ અને નેધરલેન્ડ્સ વચ્ચેની સરહદનો પણ આ જ કેસ છે). આ વિસંગતતા આંશિક રીતે વિવિધ પસંદગીઓ દ્વારા સમજાવવી આવશ્યક છે. પ્રયોગમૂલક પુરાવા, જેની આપણે ટૂંક સમયમાં ચર્ચા કરીશું, તે દર્શાવે છે કે આવા તફાવત થવા માટે, એક મૂલ્ય બીજાથી માત્ર બેના પરિબળથી અલગ પડે તે પૂરતું છે; તદુપરાંત, તે આશ્ચર્યજનક નથી કે એક નાનો દેશ (પોર્ટુગલ) તેની સરહદોની લંબાઈ તેના મોટા પાડોશી કરતાં વધુ કાળજીપૂર્વક માપે છે.

મનસ્વી પસંદગી સામે બીજી અને વધુ નોંધપાત્ર દલીલ દાર્શનિક અને સામાન્ય વૈજ્ઞાનિક પ્રકૃતિની છે. કુદરત માણસથી સ્વતંત્ર રીતે અસ્તિત્વ ધરાવે છે, અને કોઈપણ જે કોઈ ચોક્કસ અર્થને ખૂબ મહત્વ આપે છે અથવા, ધારે છે કે પ્રકૃતિને સમજવાની પ્રક્રિયામાં નિર્ણાયક કડી તેના સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત ધોરણો અથવા ખૂબ જ પરિવર્તનશીલ તકનીકી માધ્યમો સાથે માણસ છે. જો દરિયાકિનારો ક્યારેય વસ્તુઓ બનવા માટે છે વૈજ્ઞાનિક સંશોધન, તે અસંભવિત છે કે અમે તેમની લંબાઈના સંબંધમાં જોવા મળતી અનિશ્ચિતતાને પ્રતિબંધિત કરવા માટે કાયદો ઘડી શકીશું. ભલે તે બની શકે, ભૌગોલિક લંબાઈનો ખ્યાલ એટલો હાનિકારક નથી જેટલો તે પ્રથમ નજરમાં લાગે છે. તે સંપૂર્ણપણે "ઉદ્દેશ" નથી, કારણ કે આ રીતે લંબાઈ નક્કી કરતી વખતે, નિરીક્ષકનો પ્રભાવ અનિવાર્ય છે.

માપના મનસ્વી પરિણામોની માન્યતા અને મહત્વ

નિઃશંકપણે ઘણા લોકોનો અભિપ્રાય છે કે દરિયાકિનારો અફર વણાંકો છે, અને તે બાબત માટે મને યાદ નથી કે કોઈ અન્યથા વિચારે છે. જો કે, આ અભિપ્રાયની તરફેણમાં લેખિત પુરાવા માટેની મારી શોધ લગભગ સંપૂર્ણપણે નિષ્ફળ રહી હતી. બીજા પ્રકરણમાં આપેલા પેરીનના અવતરણો ઉપરાંત, સ્ટેઈનહોસના લેખમાં આ અવલોકન પણ છે: “વધતી ચોકસાઈ સાથે વિસ્ટુલાના ડાબા કાંઠાની લંબાઈને માપવાથી, વ્યક્તિ દસ, સેંકડો અને હજારો મૂલ્યો મેળવી શકે છે. શાળાનો નકશો જે આપે છે તેના કરતાં અનેક ગણો વધારે છે. આ વિધાન લોકપ્રિય માન્યતાનો વિરોધાભાસ કરે છે, જે એ હકીકત પર ઉકળે છે કે બિન-સુધારી શકાય તેવા ચાપ એ ગાણિતિક કાલ્પનિક છે, અને પ્રકૃતિમાં તમામ ચાપ સુધારી શકાય તેવા છે. આ બે વિરોધાભાસી નિવેદનોમાંથી, દેખીતી રીતે પ્રથમને સાચું માનવું જોઈએ. જો કે, પેરીન કે સ્ટેઈનહોસે તેમના અનુમાનોને વધુ વિગતવાર વિકસાવવા અને તેમને તેમના તાર્કિક નિષ્કર્ષ પર લાવવાની તસ્દી લીધી ન હતી.

કે. ફાદિમાન એક રસપ્રદ વાર્તા કહે છે. તેમના મિત્ર એડવર્ડ કેસનરે આ પ્રયોગ ઘણી વખત કર્યો: તેણે “નાના બાળકોને પૂછ્યું કે તેઓ શું વિચારે છે કે યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સના દરિયાકિનારાની કુલ લંબાઈ શું છે. બાળકોમાંના એકે એકદમ “વાજબી” અનુમાન વ્યક્ત કર્યા પછી,... કાસ્નેરે... તેમને વિચારવા આમંત્રણ આપ્યું કે જો તેઓ ખૂબ જ કાળજીપૂર્વક તમામ કેપ્સ અને ખાડીઓની પરિમિતિ માપે તો આ આંકડો કેટલો વધારી શકાય. આ દરેક કેપ્સમાં અને આ દરેક ખાડીઓમાં નાના કેપ્સ અને કોવ્સ, પછી દરેક કાંકરા અને રેતીના દરેક દાણાને માપો જે દરિયાકિનારો બનાવે છે, દરેક પરમાણુ, દરેક પરમાણુ, વગેરે. તે બહાર આવ્યું છે કે કિનારો તમારા જેટલા લાંબા હોઈ શકે છે. જેમ બાળકો તરત જ આ સમજી ગયા, પરંતુ કાસનરને પુખ્ત વયના લોકો સાથે સમસ્યા હતી. વાર્તા, અલબત્ત, ખૂબ જ સરસ છે, પરંતુ મારી શોધ સાથે તેનો કોઈ સંબંધ હોવાની શક્યતા નથી. કેસનર સ્પષ્ટપણે વધુ અભ્યાસ માટે યોગ્ય વાસ્તવિકતાના કેટલાક પાસાને પ્રકાશિત કરવા માટે તૈયાર નથી.

આમ, અમે કહી શકીએ કે તમે જે લેખ અને પુસ્તક તમારા હાથમાં પકડો છો તે આવશ્યકપણે આ વિષયને સમર્પિત પ્રથમ કાર્યોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

તેમના પુસ્તક ધ વિલ ટુ બીલીવમાં, 1 વિલિયમ જેમ્સ લખે છે: "જે વર્ગીકરણના માળખામાં બંધબેસતું નથી... મહાન શોધો માટે હંમેશા સમૃદ્ધ ક્ષેત્ર છે. કોઈપણ વિજ્ઞાનમાં, સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત અને આદેશિત તથ્યોની આસપાસ, નિયમોના અપવાદોનું ધૂળભર્યું વાદળ હંમેશા ફરતું રહે છે - અસાધારણ ઘટના કે જે સૂક્ષ્મ, અસંગત, ભાગ્યે જ જોવા મળે છે, એવી ઘટના કે જેને ધ્યાનમાં લેવા કરતાં અવગણવી સરળ છે. દરેક વિજ્ઞાન પ્રયત્ન કરે છે સંપૂર્ણ સ્થિતિસત્યોની બંધ અને કડક પ્રણાલી... પ્રણાલીમાં વર્ગીકૃત ન કરી શકાય તેવી ઘટનાઓને વિરોધાભાસી વાહિયાત ગણવામાં આવે છે અને તે દેખીતી રીતે સાચી નથી. વૈજ્ઞાનિક અંતઃકરણના શ્રેષ્ઠ ઇરાદાના આધારે તેમની ઉપેક્ષા કરવામાં આવે છે અને નકારવામાં આવે છે... કોઈપણ જે ગંભીરતાથી અનિયમિત ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરે છે તે બનાવી શકશે. નવું વિજ્ઞાનજૂનાના પાયા પર. આ પ્રક્રિયાના અંતે, નવીકરણ કરાયેલ વિજ્ઞાનના નિયમો, મોટાભાગે, ગઈકાલના અપવાદો બની જશે."

વર્તમાન નિબંધ, જેનો સાધારણ ઉદ્દેશ્ય કુદરતની ભૂમિતિનું સંપૂર્ણ નવીકરણ છે, તે અસાધારણ ઘટનાઓનું વર્ણન કરે છે કે તે ફક્ત સેન્સરની પરવાનગીથી જ તેમના વિશે વાત કરી શકે છે. તમે આગલા વિભાગમાં આમાંની પ્રથમ ઘટનાનો સામનો કરશો.

રિચાર્ડસન અસર

પદ્ધતિ A નો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ અંદાજિત લંબાઈમાં ફેરફારનો પ્રયોગમૂલક અભ્યાસ રિચાર્ડસનના લેખમાં વર્ણવવામાં આવ્યો છે, જેની લિંક નસીબદાર (અથવા ભાગ્યશાળી) તક દ્વારા મારી આંખ સામે આવી. મેં ફક્ત તેના પર ધ્યાન આપ્યું કારણ કે મેં એક ઉત્કૃષ્ટ વૈજ્ઞાનિક તરીકે લુઈસ ફ્રાય રિચાર્ડસન વિશે ઘણું સાંભળ્યું હતું જેમની વિચારસરણીની મૌલિકતા વિલક્ષણતા સમાન હતી (જુઓ પ્રકરણ 40). જેમ આપણે પ્રકરણ 10 માં જોઈશું, માનવતા અશાંતિની પ્રકૃતિ અંગેના તેના કેટલાક સૌથી ગહન અને સ્થાયી વિચારોની ઋણી છે - ખાસ ધ્યાનતેમાંથી, લાયક એક તે છે જે મુજબ અશાંતિ સ્વ-સમાન કાસ્કેડના ઉદભવની પૂર્વધારણા કરે છે. તેણે અન્ય લોકો પર પણ કામ કર્યું જટિલ સમસ્યાઓ- જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, રાજ્યો વચ્ચે સશસ્ત્ર સંઘર્ષની પ્રકૃતિ. તેમના પ્રયોગો શાસ્ત્રીય સરળતાના ઉદાહરણો હતા, પરંતુ જ્યારે જરૂરિયાત ઊભી થઈ ત્યારે તેઓ વધુ અત્યાધુનિક ખ્યાલોનો ઉપયોગ કરવામાં અચકાતા ન હતા.

ફિગમાં બતાવેલ છે. 57 આલેખ, રિચાર્ડસનના મૃત્યુ પછી તેમના પેપર્સમાં શોધાયેલ, લગભગ ગુપ્ત રીતે પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યા હતા (અને આવા પ્રકાશનો માટે સંપૂર્ણપણે અયોગ્ય) “યરબુક ઓન સામાન્ય સિસ્ટમો" આ આલેખની તપાસ કર્યા પછી, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે ત્યાં બે સ્થિરાંકો છે (ચાલો તેમને કૉલ કરીએ અને ) - જેમ કે તૂટેલી રેખાને અનુમાનિત કરીને દરિયાકિનારાની લંબાઈ નક્કી કરવા માટે, લગભગ લંબાઈના અંતરાલો લેવા અને લખવા જરૂરી છે. નીચેના સૂત્ર:

સૂચકનું મૂલ્ય દેખીતી રીતે માપવામાં આવી રહેલા દરિયાકિનારાની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખે છે, અને આ રેખાના વિવિધ વિભાગો, અલગથી ગણવામાં આવે છે, તે વિવિધ મૂલ્યો આપી શકે છે. રિચાર્ડસન માટે, તીવ્રતા એ કોઈ ખાસ અર્થ વિના માત્ર એક અનુકૂળ સૂચક હતો. જો કે, આ સૂચકનું મૂલ્ય કિનારાની લંબાઈના અંદાજ માટે પસંદ કરેલી પદ્ધતિ પર આધારિત હોય તેવું લાગતું નથી. આનો અર્થ એ છે કે તે નજીકના ધ્યાનને પાત્ર છે.

દરિયાકાંઠાનું ખંડિત પરિમાણ

રિચાર્ડસનના કાર્યનો અભ્યાસ કર્યા પછી, મેં સૂચવ્યું કે ઘાતાંક પૂર્ણાંક ન હોવા છતાં, તે પરિમાણ તરીકે સમજી શકાય છે અને જોઈએ - વધુ સ્પષ્ટ રીતે, ખંડિત પરિમાણ તરીકે. અલબત્ત, હું સંપૂર્ણપણે વાકેફ હતો કે ઉપરોક્ત તમામ માપન પદ્ધતિઓ પરિમાણની બિન-માનક સામાન્યીકૃત વ્યાખ્યાઓ પર આધારિત છે, જેનો શુદ્ધ ગણિતમાં પહેલેથી ઉપયોગ થાય છે. કિનારાના કવરેજ પર આધારિત લંબાઈ નિર્ધારણ સૌથી નાની સંખ્યાત્રિજ્યાના ફોલ્લીઓ, કોટિંગનું પરિમાણ નક્કી કરવા માટે વપરાય છે. પહોળાઈની ટેપ વડે દરિયાકિનારાને આવરી લેવાના આધારે લંબાઈનું નિર્ધારણ, કેન્ટર અને મિન્કોવસ્કીના વિચારને મૂર્ત બનાવે છે (જુઓ. આકૃતિ 56), અને અમે બુલિગનને અનુરૂપ પરિમાણના ઋણી છીએ. જો કે, આ બે ઉદાહરણો માત્ર ગણિતના વિવિધ ઉચ્ચ વિશિષ્ટ ક્ષેત્રોમાં ચમકતા ઘણા પરિમાણો (જેમાંના મોટા ભાગના માત્ર થોડા નિષ્ણાતોને જ જાણીતા છે)ના અસ્તિત્વનો સંકેત આપે છે. અમે પ્રકરણ 39 માં આમાંના કેટલાક પરિમાણોની વધુ વિગતવાર ચર્ચા કરીશું.

ગણિતશાસ્ત્રીઓને વિવિધ પરિમાણોની આ વિપુલતાનો પરિચય કરાવવાની જરૂર કેમ પડી? પછી શું માં ચોક્કસ કિસ્સાઓતેઓ સ્વીકારે છે વિવિધ અર્થો. સદભાગ્યે, તમને આ નિબંધમાં આવા કિસ્સાઓ મળશે નહીં, તેથી સંભવિત વૈકલ્પિક પરિમાણોની સૂચિ અહીં મળી શકે છે. સ્પષ્ટ અંતઃકરણઘટાડીને બે કરો, જેનો મેં હજુ સુધી ઉલ્લેખ કર્યો નથી. અમારી સૂચિ પરનું સૌથી જૂનું અને સૌથી વધુ સંપૂર્ણ રીતે અભ્યાસ કરાયેલ પરિમાણ હૉસડોર્ફ પર પાછું જાય છે અને ખંડિત પરિમાણને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે સેવા આપે છે - અમે ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં તેનો સામનો કરીશું. બીજા, સરળ, પરિમાણને સમાનતા પરિમાણ કહેવામાં આવે છે: તે સમાન નથી સામાન્ય પાત્ર, પ્રથમ પરિમાણ તરીકે, જોકે, ઘણા કિસ્સાઓમાં પર્યાપ્ત કરતાં વધુ હોવાનું બહાર આવ્યું છે - અમે તેને આગામી પ્રકરણમાં ધ્યાનમાં લઈશું.

અલબત્ત, હું અહીં આપવાનો નથી ગાણિતિક પુરાવોકે રિચાર્ડસન ઘાતાંક એક પરિમાણ છે. સાચું કહું તો, હું કલ્પના કરી શકતો નથી કે આવા પુરાવા કોઈપણ માળખામાં કેવી રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે. કુદરતી વિજ્ઞાન. હું ફક્ત એ હકીકત તરફ વાચકનું ધ્યાન દોરવા માંગુ છું કે લંબાઈનો ખ્યાલ આપણા માટે એક વૈચારિક સમસ્યા ઉભો કરે છે, અને સૂચક એક અનુકૂળ અને ભવ્ય ઉકેલ પૂરો પાડે છે. હવે જ્યારે ખંડિત પરિમાણ દરિયાકિનારાના અભ્યાસમાં સ્થાન પામ્યું છે, તે અસંભવિત છે કે આપણે કોઈ ખાસ કારણોસર, તે સમયે પાછા ફરવા માંગીએ જ્યારે આપણે વિચાર્યા વગર અને નિષ્કપટપણે માનતા હતા. કોઈપણ જે હજી પણ માને છે તેણે હવે પ્રયત્ન કરવો પડશે જો તે સાબિત કરવા માંગે છે કે તે સાચો છે.

આગળનું પગલું - દરિયાકિનારાના આકારને સમજાવવું અને અન્ય, વધુ મૂળભૂત વિચારણાઓમાંથી અર્થ મેળવવો - હું પ્રકરણ 28 સુધી મુલતવી રાખવાનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું. આ તબક્કે તે કહેવું પૂરતું છે કે, પ્રથમ અંદાજ તરીકે, . હકીકતોનું સચોટ વર્ણન કરવા માટે આ મૂલ્ય ખૂબ મોટું છે, પરંતુ અમારા માટે તે કહેવું પૂરતું છે કે દરિયાકિનારાનું પરિમાણ વળાંક માટેના સામાન્ય યુક્લિડિયન મૂલ્ય કરતાં વધુ છે તેવું માનવું શક્ય છે, જોઈએ અને સ્વાભાવિક છે.

હૉસડોર્ફનું ફ્રેકટલ ડાયમેન્શન

જો આપણે સ્વીકારીએ કે વિવિધ પ્રાકૃતિક દરિયાકિનારા અનંત લંબાઈના છે, અને એ પણ કે એન્થ્રોપોમેટ્રિક મૂલ્ય પર આધારિત લંબાઈનું મૂલ્ય વાસ્તવિક પરિસ્થિતિનો માત્ર આંશિક ખ્યાલ આપે છે, તો પછી વિવિધ દરિયાકિનારા એકબીજા સાથે કેવી રીતે સરખાવી શકાય? અનંત એ ચાર વડે ગુણાકાર કરવામાં આવેલી અનંતતાથી અલગ નથી, તેથી કોઈ પણ બૅન્કની લંબાઈ તેના કોઈપણ ક્વાર્ટરની લંબાઈ કરતાં ચાર ગણી વધારે છે એવું કહેવાથી આપણને શું ફાયદો થશે? જરૂરી છે શ્રેષ્ઠ માર્ગએકદમ વાજબી વિચાર વ્યક્ત કરવા માટે કે વળાંકમાં અમુક "માપ" હોવો જોઈએ અને સમગ્ર વળાંક માટે આ માપ તેના કોઈપણ ક્વાર્ટર માટે સમાન માપ કરતાં ચાર ગણું વધારે હોવું જોઈએ.

આ ધ્યેય હાંસલ કરવા માટે એક અત્યંત બુદ્ધિશાળી પદ્ધતિ ફેલિક્સ હોસડોર્ફ દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી. તેની પદ્ધતિ એ હકીકત પર આધારિત છે કે બહુકોણનું રેખીય માપ તેની બાજુઓની લંબાઈને કોઈપણ પરિવર્તન વિના ઉમેરીને ગણવામાં આવે છે. એવું માની શકાય છે કે આ બાજુની લંબાઈ રેખાના યુક્લિડિયન પરિમાણની સમાન શક્તિ સુધી વધારવામાં આવે છે (આ ધારણાનું કારણ ટૂંક સમયમાં સ્પષ્ટ થઈ જશે). બંધ બહુકોણના આંતરિક ક્ષેત્રની સપાટીના માપની ગણતરી એ જ રીતે કરવામાં આવે છે - તેને ચોરસથી ઢાંકીને, આ ચોરસની બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો શોધીને અને તેને પાવર સુધી વધારીને (પ્લેનનું યુક્લિડિયન પરિમાણ ). જો આપણે ગણતરીમાં "ખોટી" ડિગ્રીનો ઉપયોગ કરીએ, તો આ ગણતરીઓનું પરિણામ આપણને કંઈ આપશે નહીં. ઉપયોગી માહિતી: કોઈપણ બંધ બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ હશે શૂન્ય બરાબર, અને તેના આંતરિક પ્રદેશની લંબાઈ અનંત હશે.

ચાલો આવી સ્થિતિઓથી લંબાઈના નાના અંતરાલથી બનેલા દરિયાકિનારાના બહુકોણીય (ટુકડા પ્રમાણે રેખીય) અંદાજને ધ્યાનમાં લઈએ. અંતરાલની લંબાઈને ઘાતમાં વધારીને અને તેને અંતરાલોની સંખ્યાથી ગુણાકાર કરીને, અમે ચોક્કસ મૂલ્ય મેળવીએ છીએ જેને કામચલાઉ રીતે "પરિમાણમાં અંદાજિત લંબાઈ" કહી શકાય. કારણ કે, રિચાર્ડસન મુજબ, બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે, આપણી અંદાજિત હદ મૂલ્ય લે છે .. એટલે કે, દરિયાકિનારાની અંદાજિત હદ સમજદાર વર્તન દર્શાવે છે જો અને માત્ર જો.

વળાંકનું ખંડિત પરિમાણ એકમ કરતા વધારે હોઈ શકે છે; ફ્રેકટલ કર્વ્સ

તેના સર્જકના હેતુ મુજબ, હૌસડોર્ફ પરિમાણ સામાન્ય પરિમાણની ફરજો જાળવી રાખે છે અને માપ નક્કી કરવામાં ઘાતાંક તરીકે કામ કરે છે.

જો કે, બીજી બાજુ, પરિમાણ અત્યંત અસામાન્ય છે - તે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે અપૂર્ણાંક સંખ્યા! તદુપરાંત, તે એકતા કરતા વધારે છે, જે વણાંકો માટે "કુદરતી" પરિમાણ છે (તે સખત રીતે સાબિત થઈ શકે છે કે તેમનું ટોપોલોજીકલ પરિમાણ પણ એકતા સમાન છે).

હું એવા વળાંકોને કૉલ કરવાનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું જેનું ખંડિત પરિમાણ તેમના ટોપોલોજીકલ પરિમાણ 1 ખંડીય વણાંકો કરતાં વધી જાય. આ પ્રકરણ માટે ટૂંકા સારાંશ તરીકે, હું ઓફર કરી શકું છું આગામી નિવેદન: ભૌગોલિક ભીંગડા પર, ખંડીય વળાંકોનો ઉપયોગ કરીને દરિયાકિનારાનું મોડેલ કરી શકાય છે. દરિયાકિનારા માળખામાં ખંડિત છે.

ચોખા. 55. મંકી ટ્રી

આ તબક્કે, આ નાના ચિત્રને ફક્ત સુશોભન તત્વ તરીકે ગણવું જોઈએ, તે ખાલી જગ્યા ભરે છે.

જો કે, પ્રકરણ 14 વાંચ્યા પછી, વાચક અહીં ફિગમાં "આર્કિટેક્ચરલ" કોયડાને ઉકેલવા માટેની ચાવી શોધી શકશે. 210. નીચેના જનરેટર દ્વારા વધુ ગંભીર સંકેત આપવામાં આવ્યો છે:

જો કોઈ ગણિતશાસ્ત્રીને કેટલાક ખાસ કરીને અનિયમિત વળાંકને "કાબૂમાં" રાખવાની જરૂર હોય, તો તે નીચેની પ્રમાણભૂત પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરી શકે છે: ચોક્કસ મૂલ્ય પસંદ કરવામાં આવે છે, અને વળાંકના દરેક બિંદુની આસપાસ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ બનાવવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયા, જે ઓછામાં ઓછી હર્મન મિન્કોવ્સ્કી અને પોતે જ્યોર્જ કેન્ટોર સુધીની છે, તે કંઈક અંશે અશુદ્ધ છે, પરંતુ ખૂબ અસરકારક છે. (સોસેજ શબ્દની વાત કરીએ તો, તેની ઉત્પત્તિ, ચકાસાયેલ અફવાઓ અનુસાર, નોર્બર્ટ વિનર દ્વારા બ્રાઉનિયન વળાંકો સાથે આ પ્રક્રિયાની અરજી સાથે કોઈક રીતે જોડાયેલ છે.)

અહીં પોસ્ટ કરેલા ચિત્રોમાં, ઉપર વર્ણવેલ સ્મૂથિંગ વાસ્તવિક કિનારા પર નહીં, પરંતુ એક સૈદ્ધાંતિક વળાંક પર લાગુ કરવામાં આવે છે, જે આપણે થોડી વાર પછી બાંધીશું (જુઓ. ફિગ. 79) સતત વધુ અને વધુ બારીક વિગતો ઉમેરીને. ટોચ પર મૂકેલા સોસેજના જમણા છેડા સાથે જમણી બાજુએ બતાવેલ સોસેજના ટુકડાની સરખામણી કરીએ તો, આપણે જોઈએ છીએ કે વળાંક બાંધવાનો નિર્ણાયક તબક્કો ત્યારે થાય છે જ્યારે વળાંકમાં . કરતા નાના ભાગોનો સમાવેશ કરવાનું શરૂ થાય છે. વધુ માટે પછીના તબક્કાસોસેજ નોંધપાત્ર રીતે બદલાતું નથી.

ચોખા. 57. દરિયાકાંઠાની લંબાઈના વિકાસના દર પર રિચાર્ડસનનો પ્રયોગમૂલક ડેટા

આ આંકડો ઘટતી બાજુની લંબાઈ સાથે સમભુજ બહુકોણનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ વણાંકો પર કરવામાં આવેલ વળાંક લંબાઈ માપનના પ્રાયોગિક પરિણામો દર્શાવે છે. અપેક્ષા મુજબ, વર્તુળના કિસ્સામાં, વધતી ચોકસાઇ સાથે માપન એક મૂલ્ય આપે છે જે ખૂબ જ ચોક્કસ મૂલ્યની આસપાસ ખૂબ જ ઝડપથી સ્થિર થાય છે.

દરિયાકિનારાના કિસ્સામાં, અંદાજિત લંબાઈના મૂલ્યો, તેનાથી વિપરીત, બિલકુલ સ્થિર થતા નથી. જેમ સ્ટેપ લંબાઈ શૂન્ય તરફ વળે છે, લંબાઈના અંદાજો, ડબલ-લૉગરિધમિક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં રચાયેલ છે, નકારાત્મક ઢોળાવ સાથે સીધી રેખા બનાવે છે. દેશો વચ્ચેની જમીનની સરહદો સાથે પણ આવું જ છે. વિવિધ જ્ઞાનકોશોમાં રિચાર્ડસનની પૂછપરછમાં સંબંધિત દેશોના નકશાલેખકો દ્વારા સામાન્ય સરહદની લંબાઈના નિર્ધારણમાં નોંધપાત્ર તફાવતો બહાર આવ્યા: ઉદાહરણ તરીકે, સ્પેન અને પોર્ટુગલ વચ્ચેની સરહદની લંબાઈ સ્પેનિયાર્ડ્સના દૃષ્ટિકોણથી 987 કિમી અને 1214 કિમી છે. પોર્ટુગીઝના દૃષ્ટિકોણથી કિમી; નેધરલેન્ડ અને બેલ્જિયમ (380 અને 449 કિમી) વચ્ચેની સરહદ સમાન રીતે અસરગ્રસ્ત હતી. અનુરૂપ રેખાઓનો ઢોળાવ -0.25 હોવાથી, માપ વચ્ચે વીસ ટકાનો તફાવત એટલે આ માપ માટે સ્વીકૃત મૂલ્યો વચ્ચેનો બે ગણો તફાવત - આવી અવિશ્વસનીય ધારણા નથી.

રિચાર્ડસને કોઈ આપ્યું ન હતું સૈદ્ધાંતિક અર્થઘટનતેમની સીધી રેખાઓના વિવિધ ઢોળાવ. અમે દરિયાકિનારાને ખંડિત વણાંકોના અંદાજ તરીકે અર્થઘટન કરવા અને ધ્યાનમાં લેવાનો ઇરાદો રાખીએ છીએ ઢોળાવતફાવતના અંદાજિત મૂલ્યો તરીકે અનુરૂપ સીધી રેખાઓ, ખંડિત પરિમાણ ક્યાં છે.