ગુશ્ચિન ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

તમને તમારું પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવી શકે છે વ્યક્તિગત માહિતીકોઈપણ સમયે તમે અમારો સંપર્ક કરો.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર વિનંતી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે એકત્રિત કરી શકીએ છીએ વિવિધ માહિતી, તમારું નામ, ફોન નંબર, સરનામું સહિત ઈમેલવગેરે

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ આંતરિક હેતુઓ માટે પણ કરી શકીએ છીએ જેમ કે ઑડિટિંગ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ અભ્યાસોઅમે જે સેવાઓ પ્રદાન કરીએ છીએ તેમાં સુધારો કરવા અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયા, કાનૂની કાર્યવાહી અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે સરકારી એજન્સીઓરશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશ પર - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરો. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

મોલ્ડોવા પ્રજાસત્તાકના ઇન્સાર્સ્કી જિલ્લાની MBOU "મોર્ડોવ્સ્કો-પાવસ્કાયા માધ્યમિક શાળા"

દ્વારા પૂર્ણ: પેન્ટીલેકિના નાડેઝ્ડા,

11મા ધોરણનો વિદ્યાર્થી

વડા: કાદિશ્કીના એન.વી.,

ગણિત શિક્ષક

સામગ્રીઓનું કોષ્ટક

પરિચય……………………………………………………………………………….

પ્રકરણ I. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો વિશે…………………………………..…5

1) ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના મૂળભૂત પ્રકારો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ:

1. સમીકરણો સૌથી સરળ સુધી ઘટાડ્યા. …………………………………..5

2. ચતુર્ભુજ સુધી ઘટાડતા સમીકરણો……………………………….5

3. સજાતીય સમીકરણો acosx + b sin x = 0………………………………….6

4. ફોર્મના સમીકરણો acosx + b sin x = c, c≠ 0………………………………………7

5. અવયવીકરણ દ્વારા ઉકેલાયેલા સમીકરણો………………………….7

6. બિન-માનક સમીકરણો………………………………………………….8

પ્રકરણ II. ત્રિકોણમિતિના મૂળભૂત ખ્યાલો અને સૂત્રો……………………….8-10

પ્રકરણ II આઈ. પર પ્રસ્તાવિત સમીકરણો ભૂતકાળની એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષાઓવર્ષ ………………………………10-14

નિષ્કર્ષ ……………………………………………………………………………………………… 14

પરિશિષ્ટ……………………………………………………………………………………….15-17

સાહિત્ય………………………………………………………………………………………..18

પરિચય

« એકમાત્ર રસ્તોજ્ઞાન તરફ દોરી જવું એ પ્રવૃત્તિ છે..."

બર્નાર્ડ શો

કાર્યની સુસંગતતા.

થોડા મહિનામાં હું શાળામાંથી સ્નાતક થઈશ.

જેથી આગળની પસંદગીમાં કોઈ મુશ્કેલી ન આવે જીવન માર્ગ, જરૂરી શાળા પ્રમાણપત્ર મેળવો, અને શાળા પ્રમાણપત્ર મેળવવા માટે, તમારે બે પાસ કરવું આવશ્યક છે ફરજિયાત પરીક્ષાવી એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા ફોર્મ- અને તેમાંથી એકગણિત. હું શું કહી શકું? છે લ્લી પ રી ક્ષા- કોઈપણ શાળાના બાળકના જીવનનો નિર્ણાયક સમયગાળો, જેના પર માત્ર નિર્ભર નથી અંતિમ ગ્રેડપ્રમાણપત્રમાં, પણ તેના વ્યાવસાયિક ભવિષ્ય, આવક અને કારકિર્દી.

એકલુ રાજ્ય પરીક્ષા- માં જતા પહેલા આ એક મહત્વપૂર્ણ પરીક્ષા છે નવું જીવનઅને યુનિવર્સિટી અથવા કોલેજમાં પ્રવેશ. તેને પસાર કરવું ખાસ કરીને મહત્વનું છે સારા સ્કોર્સ. ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા એ એક ગંભીર પરીક્ષા છે અને સારા પાયા વિના, વિદ્યાર્થી યોગ્ય પરિણામનો દાવો કરી શકશે નહીં.

પરીક્ષામાં નાપાસ થવાથી કેવી રીતે બચવું અને સારા સ્કોર્સ મેળવવા? આ કરવા માટે, તમારે કાર્યોને સારી રીતે હલ કરવાની જરૂર છે. હું ડોળ કરતો નથી મહત્તમ સ્કોરજોકે, હું ખંતપૂર્વક તૈયારી કરી રહ્યો છું. અને મેં નોંધ્યું કે ભાગ C ના પ્રથમ કાર્ય પર પણ, એટલે કે, ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને તેમની સિસ્ટમો ઉકેલવા પર, હું ભૂલો કરું છું.પ્રથમ નજરમાં, કાર્ય C1 પ્રમાણમાં છે સરળ સમીકરણઅથવા સમીકરણોની સિસ્ટમ જેમાં ત્રિકોણમિતિ વિધેયો હોઈ શકે છે,તેમને હલ કરવા માટેના મુખ્ય અભિગમોમાંનો એક એ છે કે તેમને એક અથવા અનેક સરળમાં ઘટાડવા માટે ક્રમિક રીતે તેમને સરળ બનાવવું.તો હું કેમ ખોટો છું?

વિષયની સુસંગતતા એ હકીકત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે કે વિદ્યાર્થીઓએ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવાની ચોક્કસ પદ્ધતિઓ સમજવી આવશ્યક છે.

તેથી, મેં મારી જાતને નીચેના સેટ કર્યાલક્ષ્ય:

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓના ઉપયોગથી સંબંધિત જ્ઞાન અને કુશળતાને વ્યવસ્થિત અને વિસ્તૃત કરો.

અભ્યાસનો હેતુએકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા કાર્યોમાં ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોનો અભ્યાસ છે.

અભ્યાસનો વિષય- ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોનો ઉકેલ છે

આમ, મુખ્ય ધ્યેયઆ લખી રહ્યા છીએ કોર્સ વર્કત્રિકોણમિતિ સમીકરણો અને તેમની પ્રણાલીઓ, તેમને ઉકેલવાની પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ છે.

અભ્યાસના ધ્યેયો, ઉદ્દેશ્ય અને વિષયને અનુરૂપ, નીચેની વ્યાખ્યા આપવામાં આવી છે: કાર્યો:

1). પર ઓફર કરેલા ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને ઉકેલવા સંબંધિત તમામ કાર્યોનો અભ્યાસ કરો એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા કામ કરે છેપાછલા વર્ષો અને જ્યારે પ્રદર્શન ડાયગ્નોસ્ટિક કાર્ય;

2) ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની અભ્યાસ પદ્ધતિઓ.

3). મુખ્ય ઓળખો શક્ય ભૂલોઆવા સમીકરણો ઉકેલતી વખતે;

4). આવી ભૂલો કરવાનું કારણ શોધો.

6). તારણો દોરો.

મારા કાર્યમાં હું ઘણા ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો હલ કરીશ, તેમને ઉકેલવામાં સંભવિત ભૂલો બતાવીશ અને નીચેનાનો જવાબ આપવાનો પ્રયત્ન કરીશ પ્રશ્નો:

1). શું પ્રકાર C1 કાર્યો કરતી વખતે ભૂલો ટાળવી શક્ય છે?

2) જો હું આ પ્રકારના સમીકરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરું, તો હું કરી શકું

શું ભૂલો વિના આવા કાર્યો હાથ ધરવા શક્ય છે?

આ હેતુ માટે, મેં તમામ ડેમોનો અભ્યાસ કર્યો અને તાલીમ કાર્યોઅમારી સાથે વિતાવ્યો, એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા સામગ્રીપાછલા વર્ષો;

સંદર્ભ સ્ત્રોતોનો અભ્યાસ કર્યો;

ઈન્ટરનેટ પરથી સ્વતંત્ર રીતે હલ કરેલા કાર્યો;

મુશ્કેલીના કિસ્સામાં તેના શિક્ષકની સલાહ લીધી;

મેં પરિણામોનું વિશ્લેષણ અને યોગ્ય રીતે ફોર્મેટ કરવાનું શીખ્યા.

પ્રકરણ આઈ. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો વિશે.

1) વ્યાખ્યા 1. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ એ ચિહ્ન હેઠળ ચલ ધરાવતું સમીકરણ છે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો.

સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો સમીકરણો છે પ્રકાર પાપ x = a,

cos x=a, tg x=a, ctg x = a.

આવા સમીકરણોમાં, ચલ ત્રિકોણમિતિ કાર્યની નિશાની હેઠળ છે, અને આપેલ સંખ્યા છે.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણને ઉકેલવામાં બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે: તેના સરળ સ્વરૂપને મેળવવા માટે સમીકરણને રૂપાંતરિત કરવું અને પરિણામી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણને ઉકેલવું.

2) ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના મૂળભૂત પ્રકારો.

સમીકરણો સરળમાં ઘટાડીને.

સમીકરણ ઉકેલો

ઉકેલ:

જવાબ:

ચતુર્ભુજ સુધી ઘટાડતા સમીકરણો.

1) સમીકરણ 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 ઉકેલો.

જવાબ:

સજાતીય સમીકરણો: asinx + bcosx = 0

a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.

2sinx – 3cosx = 0 સમીકરણ ઉકેલો

ઉકેલ: ચાલો cosx = 0, પછી 2sinx = 0 અને sinx = 0 - સાથે વિરોધાભાસ

તે sin 2 x + cos 2 x = 1. આનો અર્થ છે cosx ≠ 0 અને આપણે સમીકરણને cosx વડે ભાગી શકીએ છીએ.

અમને મળે છે

જવાબ:

ઉદાહરણ:સમીકરણ ઉકેલો

ઉકેલ:

જવાબ:

અવયવીકરણ દ્વારા ઉકેલી સમીકરણો.

પ્રાઈપર: sin2x – sinx = 0 સમીકરણ ઉકેલો.

ઉકેલ: sin2x = 2sinxcosx સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx (2cosx – 1) = 0.

જો ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્ય સમાન હોય તો ઉત્પાદન શૂન્યની બરાબર છે.

જવાબ:

બિન-માનક સમીકરણો.

cosx = સમીકરણ ઉકેલો એક્સ 2 + 1.

ઉકેલ:

ચાલો કાર્યો જોઈએ

પ્રકરણ II. ત્રિકોણમિતિના મૂળભૂત ખ્યાલો અને સૂત્રો.

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો - જરૂરી વિષયકોઈપણ ગણિતની પરીક્ષા.

વિશેx, ત્રિકોણમિતિ શીખવાથી વિદ્યાર્થીઓને કેટલી પીડા થાય છે.

નજીકમાં શિક્ષક હોય તો પણ ચોક્કસ મુશ્કેલીઓ ઊભી થાય છેગણિત અને દરેક નાની વિગતો સમજાવે છે. આ સમજી શકાય તેવું છે, માત્ર મૂળભૂત સૂત્રોત્યાં વીસ કરતાં વધુ છે. અને જો આપણે તેમના ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરીએ તો... વિદ્યાર્થી ગણતરીમાં મૂંઝવણમાં પડી જાય છે અને તે પદ્ધતિને યાદ રાખી શકતો નથી કે જેના દ્વારા આ સૂત્રો શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે, .

તમે સૂત્રો જાણો છો - તમારા માટે નક્કી કરવું સરળ છે. જો તમે જાણતા નથી, તો તમે સમજી શકશો નહીં, ભલે તેઓ તમને સૂત્ર આપે.તમારે ફક્ત સૂત્ર જાણવાની જરૂર નથી, પરંતુ તમારે તે ક્યાં લાગુ કરી શકાય છે, તેને કેવી રીતે ખોલવું અને સૂત્રનો સાર શું છે તે જાણવાની જરૂર છે, અને આ માટે તમારે ખાસ કરીને તે સમસ્યાઓ માટે ઉદાહરણો ઉકેલવાની જરૂર છે જે ઉકેલવા મુશ્કેલ.

શરૂઆતમાં તે મને લાગતું હતુંત્રિકોણમિતિ એ સૂત્રો અને આલેખનો કંટાળાજનક સમૂહ છે. જો કે, જેમ જેમ હું ત્રિકોણમિતિની નવી વિભાવનાઓ અને ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓથી પરિચિત થયો તેમ, મને દર વખતે ખાતરી થઈ ગઈ કે ત્રિકોણમિતિની દુનિયા કેટલી રસપ્રદ અને આકર્ષક છે.

પ્રથમ, ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો સફળતાપૂર્વક ઉકેલવા માટે તમારે સારી રીતે જાણવાની જરૂર છે ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો, માત્ર મુખ્ય જ નહીં, પણ વધારાના પણ (ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના સરવાળાને ઉત્પાદનમાં અને ઉત્પાદનોને સરવાળામાં રૂપાંતરિત કરવા, ડિગ્રી ઘટાડવા માટેના સૂત્રો અને અન્ય),ઉપયોગ થી યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા ચીટ શીટ્સઅને મોબાઈલ ફોનપ્રતિબંધિત

(પરિશિષ્ટ 1)

બીજું , આપણે સ્પષ્ટપણે જાણવું જોઈએ પ્રમાણભૂત સૂત્રોસૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના મૂળ (યાદ રાખવા માટે ઉપયોગી અથવા તેનો ઉપયોગ કરીને મેળવવા માટે સક્ષમ ત્રિકોણમિતિ વર્તુળસમીકરણોના મૂળ માટે સરળ સૂત્રો)

આ દરેક સમીકરણો એવા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે જે તમારે જાણવું જોઈએ. આ સૂત્રો છે:

એ) કાર્યy= પાપx. કાર્ય મર્યાદિત છે: તે [-1; 1]. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે સમીકરણો ઉકેલવા જેવાsinx=2 અથવાsinxsinx

1) sinx =a,x= (-1) n ચાપsin a +n,n ઝેડ

2) sinx = - a,x= (-1) n+1 ચાપsin a +n,n ઝેડ

ઉપરાંત, તમારે વિશિષ્ટ કેસો જાણવાની જરૂર છે: 1) sinx =- 1,

2)sinx =0,

3)sinx = a,

તમારે ઉકેલ લાવવા માટે પણ સક્ષમ હોવું જરૂરી છેમૂળની બે શ્રેણીના સ્વરૂપમાં

2. કાર્ય y = cos x . કાર્ય મર્યાદિત છે: તે [-1 ની અંદર છે; 1]. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે સમીકરણો ઉકેલવા જેવાcosx=2 અથવાcosx=-5 જવાબ બહાર આવ્યો: કોઈ મૂળ નથી. ફંક્શન y= માટે ફોર્મ્યુલાcosx:

1. cosx =a, X=± arccos a+2n,n ઝેડ

2.cos x=-a, X=±(  - આર્કોસ a)+2n,n ઝેડ

ખાસ કિસ્સાઓ: 1. cosx =-1, X =  +2  એન, n ઝેડ

2. cosx =0,

3. cosx =1, X= 2n, n ઝેડ

3. કાર્યy= tgx.

વિશિષ્ટ કેસો વિના ફક્ત એક જ સૂત્ર છે:tgx = ± a .

એક્સ = ± arctan a+n,n ઝેડ

ત્રીજે સ્થાને, તમારે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યો જાણવાની જરૂર છે;

(પરિશિષ્ટ 2)

ચોથું, જો સમીકરણમાં ત્રિકોણમિતિ કાર્ય આમૂલ ચિહ્ન હેઠળ હોય, તો આવા ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ અતાર્કિક હશે. આવા સમીકરણોમાં, તમારે સામાન્ય સમીકરણો ઉકેલતી વખતે ઉપયોગમાં લેવાતા તમામ નિયમોનું પાલન કરવું આવશ્યક છે. અતાર્કિક સમીકરણો(વિસ્તાર ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોબંને સમીકરણ પોતે અને જ્યારે સમાન ડિગ્રીના મૂળમાંથી મુક્ત થાય છે).

વી. પાછલા વર્ષોની યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પર ઓફર કરાયેલ સમીકરણો.

"સોલ્યુશન પદ્ધતિ સારી છે જો આપણે શરૂઆતથી જ આગાહી કરી શકીએ - અને પછીથી તેની પુષ્ટિ કરીએ - કે આ પદ્ધતિને અનુસરીને આપણે લક્ષ્ય પ્રાપ્ત કરીશું."

લીબનીઝ

1. સમીકરણો જે ચતુર્ભુજમાં ઘટે છે.

C1. સમીકરણ ઉકેલો:

ઉકેલ: મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખનો ઉપયોગ કરીને,અમે ફોર્મમાં સમીકરણ ફરીથી લખીએ છીએ

બદલીcos= tસમીકરણ ચતુર્ભુજ સુધી ઘટે છે:2t 2 + 9 t-5 =0, જેમાં મૂળ છેt 1 = ½ અનેt 2 = -5. x ચલ પર પાછા ફરીએ છીએ, આપણને મળે છે
,

બીજા સમીકરણમાં |cosx |≥1 અને પ્રથમ x =± થી કોઈ મૂળ નથી +6k, k ઝેડ

જવાબ: =± +6k, k ઝેડ

નિષ્કર્ષ:નવું ચલ રજૂ કરતી વખતે, તમારે ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે કે sin x અને cos x ના મૂલ્યો સેગમેન્ટ દ્વારા મર્યાદિત છે.
, અન્યથા બાહ્ય મૂળ દેખાશે.

2. અવયવીકરણ દ્વારા ઉકેલાયેલા સમીકરણો

કાર્ય C1 (2011)

a) સમીકરણ ઉકેલો

b) સેગમેન્ટ સાથે જોડાયેલા સમીકરણના મૂળ સૂચવો

ઉકેલ: a) ડાબી બાજુ ફેક્ટર કરીને ઉકેલો:

જૂથ અને બહાર કાઢો સામાન્ય ગુણકકૌંસની બહાર, આપણને મળે છે

સમીકરણ 1) પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.

બીજું સમીકરણ સજાતીય છે, કોસ્ક્સ ≠0 દ્વારા પદ દ્વારા વિભાજન કરીને ઉકેલી શકાય છે, આપણને મળે છે
, ક્યાં

b)

જવાબ: a)
b)

નિષ્કર્ષ:

1. આ પ્રકારના સમીકરણને ઉકેલતી વખતે, સૌ પ્રથમ, તમારે જાણવું જરૂરી છે કે |sin x|≤1 અને |cosx |≤1, અને સમીકરણ sinx =-2 પાસે કોઈ ઉકેલ નથી;

2. બીજું, cosx ≠о દ્વારા વિભાજનને યોગ્ય ઠેરવો (કારણ કે જો cosx = 0, તો sin x = 0, પરંતુ આ અશક્ય છે;

ત્રીજે સ્થાને, આપેલ અંતરાલ સાથે જોડાયેલા મૂળ પસંદ કરવાનું વાજબી છે

3
.ઘટાડાના સૂત્રો લાગુ કરવા માટેનું સમીકરણ

C1 (2010) સમીકરણ આપેલ છે

a) સમીકરણ ઉકેલો;

b
) સેગમેન્ટ સાથે જોડાયેલા મૂળ સૂચવો

ઉકેલ: ઘટાડાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, અમને મળે છે:

sin 2 x – cos x =0,

2 sinx cosx- cosx =0,

સાથે osx (2 sinx -1)=0, જ્યાંથી cosx=0 અથવા sinx =½,

b) ચાલો k ના મૂલ્યો શોધીએ કે જેના પર મૂળ હશે

ઉલ્લેખિત અંતરાલ. મૂળ પસંદ કરવા માટે. આપેલ અંતરાલ સાથે જોડાયેલા, અમે ફોર્મમાં ઉકેલ રજૂ કરીએ છીએ:

b

) k ના મૂલ્યો શોધો કે જેના પર મૂળ નિર્દિષ્ટ અંતરાલ સાથે સંબંધિત હશે.

2)

આ અસમાનતાનું નિરાકરણ, સમગ્ર

અમને k માટે મૂલ્યો મળશે નહીં.

જવાબ: a)

b)

નિષ્કર્ષ:

આ પ્રકારના સમીકરણને હલ કરતી વખતે, આપેલ સમીકરણના સૂત્રોને જાણવું અને તેને યોગ્ય રીતે લાગુ કરવું જરૂરી છે; ઉકેલ રજૂ કરવામાં સમર્થ થાઓ
મૂળની બે શ્રેણીમાં; આપેલ સેગમેન્ટ સાથે જોડાયેલા સાચા મૂળ પસંદ કરો.

4. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોની સિસ્ટમો

C1 (2010). સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ: O.D.Z

જો અંશ 0 હોય અને છેદ 0 ન હોય તો અપૂર્ણાંક શૂન્યની બરાબર છે.

2sin 2 x – 3 sinx +1 =0 સમીકરણમાંથી, એક નવું ચલ રજૂ કરીને ઉકેલવાથી, આપણે શોધીએ છીએ

અથવા sin x =1.

1) ચાલો
, પછી
અને y = cos x = › 0 (મૂળભૂતનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણમિતિ ઓળખ)

અથવા
અને
- કોઈ નિર્ણય નથી.

2) ચાલો sinx = 1, પછી y = cos x = 0 - ત્યાં કોઈ ઉકેલ નથી.

જવાબ:
અને y =

નિષ્કર્ષ: 1) ત્રિકોણમિતિની મર્યાદાઓને ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે

કાર્યો

2) રેકોર્ડ કરો અને O.D.Z ને ધ્યાનમાં લો.

5. C1 (યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2011) સમીકરણ ઉકેલો:

ઓ.ડી.ઝેડ. - cos x ≥ 0, sin x ≤ 0.

4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 અથવા cos x =0

sinx = t

4 t 2 + 12 t + 5=0, જ્યાંથી t 1 = -½, t 2 = -

sinx = -½ sinx=- - કોઈ ઉકેલ નથી

x =

x =

O.D.Z ને ધ્યાનમાં લેતા x =

જવાબ: x =

નિષ્કર્ષ: O.D.Z ને ધ્યાનમાં લઈને જવાબ લખો.

નિષ્કર્ષ

મેં કરેલા કાર્યમાં, મેં ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના ઉકેલોનો અભ્યાસ કર્યો, ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની ભલામણો, ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ અને તેમને ઉકેલતી વખતે શક્ય હોય તેવી ભૂલો ધ્યાનમાં લીધી.

હું આવ્યો નીચેના તારણો:

1. Type C1 કાર્યો ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવાની ક્ષમતાની ચકાસણી કરે છે. આ કાર્યો, ખરેખર, સરળ છે, જે અતિશય આત્મવિશ્વાસ આપે છે અને ધ્યાન ખેંચે છે. આ કાર્યોની એકમાત્ર મુશ્કેલી એ છે કે, સમીકરણ અથવા સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કર્યા પછી, બાહ્ય મૂળને કાઢી નાખો.

2. કાર્ય C1 સૌથી વધુ છે સરળ કાર્યજૂથ C. તેને હલ કરતી વખતે, બોજારૂપ પરિવર્તનો અને જટિલ ગણતરીઓ. જો તેઓ દેખાય, તો તમારે તરત જ રોકવાની જરૂર છે, ઉકેલ તપાસો અને અહીં શું ખોટું છે તે સમજવાનો પ્રયાસ કરો.

3. આખરે,મુખ્ય જરૂરિયાત એ છે કે ઉકેલ ગાણિતિક રીતે સાક્ષર હોવો જોઈએ, અને તર્કનો કોર્સ તેમાંથી સ્પષ્ટ હોવો જોઈએ.તમારે તમારો નિર્ણય ટૂંકમાં અને સ્પષ્ટ રીતે લખવાનો પ્રયાસ કરવાની જરૂર છે, પરંતુ સૌથી અગત્યનું - યોગ્ય રીતે!

4. અને સૌથી અગત્યનું, ભૂલો વિના સમીકરણો કેવી રીતે હલ કરવી તે શીખવા માટે, તમારે તેમને હલ કરવાની જરૂર છે! છેવટે, પોલિયાએ કહ્યું તેમ, "જો તમે કેવી રીતે તરવું તે શીખવા માંગતા હો, તો પછી પાણીમાં ડૂબકી મારવા માટે નિઃસંકોચ રહો, અને જો તમે સમસ્યાઓ કેવી રીતે હલ કરવી તે શીખવા માંગતા હો, તો તમારે તેને હલ કરવાની જરૂર છે!"

પરિશિષ્ટ 1 ( મૂળભૂત સૂત્રોત્રિકોણમિતિ)

1) મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખપાપ 2 α + cos 2 α = 1,

આ સમીકરણને અનુક્રમે કોસાઈન અને સાઈનના વર્ગ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, આપણી પાસે છે

2) ડબલ દલીલ સૂત્રોપાપ2α =2પાપα cos α,

cos 2α =cos 2 α -પાપ 2 α ,

Cos 2α = 1- 2sin 2 α,

3) ડિગ્રી ઘટાડવા માટેના સૂત્રો:

4) બે દલીલોના સરવાળા અને તફાવત માટેના સૂત્રો:

પાપ(α+ β )= પાપα cosβ + cos α પાપβ

પાપ(α- β )= પાપα cos β - cos α પાપ β

cos(α+ β )= cosα cos β + પાપ α પાપ β

cos(α- β )= પાપα cos β + પાપα પાપ β

5) ઘટાડાનાં સૂત્રો

ઘટાડાના સૂત્રો નીચેના સ્વરૂપના સૂત્રો છે:

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના સરવાળો અને તફાવતો

સમાનતા

કોસાઇન-સમ, સાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ, તે જ:

સાતત્ય

સાઈન અને કોસાઈન - . સ્પર્શક અને ધરાવે છે

,કોટેન્જેન્ટ 0; ±π; ±2π;…

સામયિકતા

કાર્યોy = cosx, y = પાપx -

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર એપ્લિકેશન સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા રશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશમાં સરકારી સત્તાવાળાઓની જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા માટે. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.