લાઇન પર કયા અંતરાલ બતાવવામાં આવ્યા છે? કાર્ય.કાર્ય ગ્રાફ

બી) સંખ્યા રેખા

નંબર લાઇનને ધ્યાનમાં લો (ફિગ. 6):

તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહને ધ્યાનમાં લો

દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને અમુક બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે સંખ્યા અક્ષ. તેથી, સંખ્યાઓ આકૃતિમાં ચિહ્નિત થયેલ છે.

ચાલો તે સાબિત કરીએ.

પુરાવો.ત્યાં એક અપૂર્ણાંક રહેવા દો: . અમને આ અપૂર્ણાંકને અવિભાજ્ય ગણવાનો અધિકાર છે. ત્યારથી, પછી - સંખ્યા સમ છે: - વિચિત્ર. તેની અભિવ્યક્તિને બદલે, આપણે શોધીએ છીએ: , જેમાંથી તે અનુસરે છે કે - સમ સંખ્યા. અમે એક વિરોધાભાસ મેળવ્યો છે જે નિવેદનને સાબિત કરે છે.

તેથી, સંખ્યા અક્ષ પરના તમામ બિંદુઓ રજૂ કરતા નથી તર્કસંગત સંખ્યાઓ. તે બિંદુઓ જે તર્કસંગત સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા નથી તે સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જેને કહેવાય છે અતાર્કિક.

ફોર્મની કોઈપણ સંખ્યા , , કાં તો પૂર્ણાંક અથવા અતાર્કિક સંખ્યા છે.

સંખ્યાત્મક અંતરાલો

સંખ્યાત્મક વિભાગો, અંતરાલો, અર્ધ-અંતરો અને કિરણોને આંકડાકીય અંતરાલ કહેવામાં આવે છે.

ચાલો સંકલન રેખા પરની સંખ્યાઓ રજૂ કરીએ aઅને b, તેમજ નંબર xતેમની વચ્ચે.

તમામ સંખ્યાઓનો સમૂહ જે શરતને પૂર્ણ કરે છે a ≤ x ≤ b, કહેવાય છે સંખ્યાત્મક સેગમેન્ટઅથવા માત્ર એક સેગમેન્ટ. તે નીચે મુજબ નિયુક્ત થયેલ છે: [ a; b] - તે આ રીતે વાંચે છે: a થી b સુધીનો સેગમેન્ટ.

સંખ્યાઓનો સમૂહ જે શરતને પૂર્ણ કરે છે a< x < b , કહેવાય છે અંતરાલ. તે નીચે મુજબ નિયુક્ત થયેલ છે: ( a; b)

તે આના જેવું વાંચે છે: a થી b સુધીનું અંતરાલ.

શરતોને સંતોષતી સંખ્યાઓનો સમૂહ a ≤ x< b или a<x ≤ b, કહેવાય છે અડધા અંતરાલો. હોદ્દો:

≤ x સેટ કરો< b обозначается так:[a; b), આના જેવું વાંચે છે: થી અર્ધ-અંતરાલ aથી b, સહિત a.

ઘણા a<x ≤ bનીચે પ્રમાણે સૂચવવામાં આવે છે:( a; b], આના જેવું વાંચે છે: અર્ધ-અંતરાંત થી aથી b, સહિત b.

હવે કલ્પના કરીએ બીમએક બિંદુ સાથે a, જેમાંથી જમણી અને ડાબી બાજુએ સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

a, શરત પૂરી x ≥ એ, કહેવાય છે સંખ્યાત્મક બીમ.

તે નીચે મુજબ નિયુક્ત થયેલ છે: [ a; +∞)-આના જેવું વાંચે છે: માંથી સંખ્યાત્મક કિરણ aવત્તા અનંત સુધી.

બિંદુની જમણી બાજુએ સંખ્યાઓનો સમૂહ a, અસમાનતાને અનુરૂપ x>a, કહેવાય છે ઓપન નંબર બીમ.

તે નીચે મુજબ નિયુક્ત થયેલ છે: ( a; +∞-આના જેવું વાંચે છે: માંથી એક ખુલ્લું સંખ્યાત્મક કિરણ aવત્તા અનંત સુધી.

a, શરત પૂરી x ≤ એ, કહેવાય છે માઇનસ અનંતથી સંખ્યાત્મક કિરણa .

તે નીચે મુજબ નિયુક્ત થયેલ છે:( - ∞; a]-આના જેવું વાંચે છે: માઈનસ અનંતથી એક સંખ્યાત્મક કિરણ a.

બિંદુની ડાબી બાજુએ સંખ્યાઓનો સમૂહ a, અસમાનતાને અનુરૂપ x< a , કહેવાય છે માઈનસ અનંતથી સુધીના નંબર રે ખોલોa .

તે નીચે મુજબ નિયુક્ત થયેલ છે: ( - ∞; a-આના જેવું વાંચે છે: માઈનસ અનંતથી સુધીનો એક ઓપન નંબર રે a.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ સમગ્ર સંકલન રેખા દ્વારા રજૂ થાય છે. તેઓ તેને બોલાવે છે સંખ્યા રેખા. તે નીચે મુજબ નિયુક્ત કરવામાં આવે છે: ( - ∞; + ∞ )

3) એક ચલ સાથે રેખીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓ, તેમના ઉકેલો:

ચલ ધરાવતા સમીકરણને એક ચલ સાથેનું સમીકરણ અથવા એક અજ્ઞાત સાથેનું સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક ચલ સાથેનું સમીકરણ 3(2x+7)=4x-1 છે.

સમીકરણનું મૂળ અથવા ઉકેલ એ ચલનું મૂલ્ય છે કે જેના પર સમીકરણ સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા બની જાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 1 એ 2x+5=8x-1 સમીકરણનો ઉકેલ છે. સમીકરણ x2+1=0 નો કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે સમીકરણની ડાબી બાજુ હંમેશા શૂન્ય કરતા મોટી હોય છે. સમીકરણ (x+3)(x-4) =0 બે મૂળ ધરાવે છે: x1= -3, x2=4.

સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના તમામ મૂળ શોધવા અથવા સાબિત કરવું કે ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.

સમીકરણોને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે જો પ્રથમ સમીકરણના તમામ મૂળ બીજા સમીકરણના મૂળ હોય અને તેનાથી વિપરીત, બીજા સમીકરણના તમામ મૂળ પ્રથમ સમીકરણના મૂળ હોય અથવા જો બંને સમીકરણોમાં કોઈ મૂળ ન હોય. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણો x-8=2 અને x+10=20 સમકક્ષ છે, કારણ કે પ્રથમ સમીકરણ x=10 નું મૂળ પણ બીજા સમીકરણનું મૂળ છે, અને બંને સમીકરણો સમાન મૂળ ધરાવે છે.

સમીકરણો હલ કરતી વખતે, નીચેના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ થાય છે:

જો તમે સમીકરણમાં કોઈ શબ્દને એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં ખસેડો છો, તેનું ચિહ્ન બદલો છો, તો તમને આપેલ એકની સમકક્ષ સમીકરણ મળશે.

જો સમીકરણની બંને બાજુઓ સમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવામાં આવે, તો તમને આપેલ એકની સમકક્ષ સમીકરણ મળશે.

સમીકરણ ax=b, જ્યાં x એ ચલ છે અને a અને b કેટલીક સંખ્યાઓ છે, તેને એક ચલ સાથેનું રેખીય સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

જો a¹0 હોય, તો સમીકરણમાં અનન્ય ઉકેલ છે.

જો a=0, b=0, તો સમીકરણ x ના કોઈપણ મૂલ્યથી સંતુષ્ટ થાય છે.

જો a=0, b¹0, તો સમીકરણ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે ચલના કોઈપણ મૂલ્ય માટે 0x=b ચલાવવામાં આવતું નથી.
ઉદાહરણ 1. સમીકરણ ઉકેલો: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુના કૌંસને ખોલીએ, સમીકરણની ડાબી બાજુએ x સાથેના તમામ પદોને ખસેડીએ, અને એવા શબ્દો કે જેમાં x નથી જમણી બાજુએ, આપણને મળે છે:

16x-15x=88-40-12

ઉદાહરણ 2. સમીકરણો ઉકેલો:

x3-2x2-98x+18=0;

આ સમીકરણો રેખીય નથી, પરંતુ અમે બતાવીશું કે આવા સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલી શકાય.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે, જો એક પરિબળ શૂન્ય સમાન હોય, તો આપણને x1=0 મળે છે; x2= .

જવાબ: 0; .

સમીકરણની ડાબી બાજુ ફેક્ટર કરો:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), એટલે કે. (x-2)(x-3)(x+3)=0. આ બતાવે છે કે આ સમીકરણના ઉકેલો x1=2, x2=3, x3=-3 નંબરો છે.

c) 7x ની 3x+4x તરીકે કલ્પના કરો, તો આપણી પાસે છે: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, તેથી x1=-3, x2=- 4.

જવાબ:-3; - 4.
ઉદાહરણ 3. સમીકરણ ઉકેલો: ½x+1ç+½x-1ç=3.

ચાલો સંખ્યાના મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા યાદ કરીએ:

ઉદાહરણ તરીકે: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½=4.

આ સમીકરણમાં, મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ x-1 અને x+1 નંબરો છે. જો x –1 કરતા ઓછો હોય, તો સંખ્યા x+1 ઋણ છે, પછી ½x+1½=-x-1. અને જો x>-1, તો ½x+1½=x+1. x=-1 ½x+1½=0 પર.

આમ,

તેવી જ રીતે

એ) ધ્યાનમાં લો આપેલ સમીકરણ x£-1 માટે ½x+1½+½x-1½=3, તે સમીકરણ -x-1-x+1=3, -2x=3, x= સમકક્ષ છે, આ સંખ્યા x£-1 સમૂહની છે .

b) ચાલો -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) કેસ x>1 ધ્યાનમાં લો.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . આ સંખ્યા x>1 સમૂહની છે.

જવાબ: x1=-1.5; x2=1.5.
ઉદાહરણ 4. સમીકરણ ઉકેલો:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

અમે તમને બતાવીશું ટૂંકી નોંધસમીકરણ ઉકેલવું, મોડ્યુલસની નિશાની "ઓવર અંતરાલો" જાહેર કરવી.

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

જવાબ: [-2; 0]
ઉદાહરણ 5. સમીકરણ ઉકેલો: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), પરિમાણ a ના તમામ મૂલ્યો માટે.

આ સમીકરણમાં વાસ્તવમાં બે ચલ છે, પરંતુ x ને અજ્ઞાત અને a ને પેરામીટર ગણો. પરિમાણ a ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે ચલ x માટે સમીકરણ ઉકેલવા માટે તે જરૂરી છે.

જો a=1 હોય, તો સમીકરણનું સ્વરૂપ 0×x=0 છે; કોઈપણ સંખ્યા આ સમીકરણને સંતોષે છે.

જો a=-1 હોય, તો સમીકરણ 0×x=-2 જેવું લાગે છે; એક પણ સંખ્યા આ સમીકરણને સંતોષતી નથી.

જો a¹1, a¹-1 હોય, તો સમીકરણનો અનન્ય ઉકેલ છે.

જવાબ: જો a=1, તો x એ કોઈપણ સંખ્યા છે;

જો a=-1, તો કોઈ ઉકેલ નથી;

જો a¹±1, તો.

બી) એક ચલ સાથે રેખીય અસમાનતા.

જો ચલ x ને કોઈપણ સંખ્યાત્મક મૂલ્ય આપવામાં આવે, તો આપણને મળશે સંખ્યાત્મક અસમાનતા, સાચા અથવા ખોટા નિવેદનને વ્યક્ત કરવું. ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતા 5x-1>3x+2 આપીએ. x=2 માટે આપણને 5·2-1>3·2+2 મળે છે – સાચું નિવેદન(સાચો નંબર સ્ટેટમેન્ટ); x=0 માટે આપણને 5·0-1>3·0+2 મળે છે - એક ખોટું નિવેદન. ચલનું કોઈપણ મૂલ્ય કે જેના પર આ અસમાનતાચલ સાથે સાચા આંકડાકીય અસમાનતામાં ફેરવાય છે તેને અસમાનતાનો ઉકેલ કહેવામાં આવે છે. ચલ સાથે અસમાનતાને ઉકેલવાનો અર્થ છે તેના તમામ ઉકેલોનો સમૂહ શોધવો.

સમાન ચલ x સાથેની બે અસમાનતાઓ સમકક્ષ કહેવાય છે જો આ અસમાનતાઓના ઉકેલોના સમૂહો એકરૂપ થાય.

અસમાનતાને હલ કરવાનો મુખ્ય વિચાર નીચે મુજબ છે: અમે આ અસમાનતાને બીજી, સરળ, પરંતુ આપેલની સમકક્ષ સાથે બદલીએ છીએ; અમે ફરીથી પરિણામી અસમાનતાને તેની સમકક્ષ સરળ અસમાનતા સાથે બદલીએ છીએ, વગેરે.

આવા ફેરબદલી નીચેના નિવેદનોના આધારે કરવામાં આવે છે.

પ્રમેય 1. જો એક ચલ સાથેની અસમાનતાનો કોઈપણ શબ્દ અસમાનતાના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં ટ્રાન્સફર કરવામાં આવે તો વિરોધી ચિહ્ન, અસમાનતાના ચિહ્નને યથાવત રાખીને, અમને આપેલ એકની સમકક્ષ અસમાનતા મળે છે.

પ્રમેય 2. જો એક ચલ સાથેની અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન હકારાત્મક સંખ્યા વડે ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવામાં આવે, તો અસમાનતાના ચિહ્નને યથાવત રાખીને, આપેલ એકની સમકક્ષ અસમાનતા પ્રાપ્ત થશે.

પ્રમેય 3. જો એક ચલ સાથેની અસમાનતાની બંને બાજુઓ સમાન વડે ગુણાકાર કે ભાગાકાર કરવામાં આવે તો નકારાત્મક સંખ્યા, અસમાનતાના ચિન્હને વિરુદ્ધમાં બદલીને, આપણને આપેલ એકની સમકક્ષ અસમાનતા મળે છે.

ax+b>0 ફોર્મની અસમાનતાને રેખીય કહેવામાં આવે છે (અનુક્રમે, ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

ઉદાહરણ 1. અસમાનતા ઉકેલો: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).

કૌંસ ખોલીને, આપણને 2x-6+5-5x³6x-15 મળે છે,

જવાબ - સમૂહ (-∞;+∞) ને સંખ્યા રેખા કહેવામાં આવે છે, અને કોઈપણ સંખ્યા આ રેખા પર એક બિંદુ છે. ચાલો એક - મનસ્વી બિંદુસંખ્યા રેખા અને δ

ધન સંખ્યા. અંતરાલ (a-δ; a+δ) ને બિંદુ a ની δ-પડોશી કહેવામાં આવે છે.

સમૂહ X ઉપરથી (નીચેથી) બંધાયેલ છે જો ત્યાં કોઈ સંખ્યા c હોય કે જે કોઈપણ x ∈ X માટે અસમાનતા x≤с (x≥c) ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં c નંબરને X સમૂહની ઉપલી (નીચલી) બાઉન્ડ કહેવામાં આવે છે. ઉપર અને નીચે બંને રીતે બંધાયેલ સમૂહને બાઉન્ડેડ કહેવામાં આવે છે. સમૂહના ઉપલા (નીચલા) સીમાઓમાંથી સૌથી નાનું (સૌથી મોટું) આ સમૂહનું ચોક્કસ ઉપલું (નીચલું) બાઉન્ડ કહેવાય છે.

સંખ્યાત્મક અંતરાલ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો જોડાયેલ સમૂહ છે, એટલે કે, જો 2 સંખ્યાઓ આ સમૂહની હોય, તો તેમની વચ્ચેની તમામ સંખ્યાઓ પણ આ સમૂહની છે. બિન-ખાલીના કેટલાક અંશે વિવિધ પ્રકારો છે સંખ્યાત્મક અંતરાલો: સીધો, ખુલ્લી બીમ, બંધ બીમ, સેગમેન્ટ, અર્ધ-અંતરાલ, અંતરાલ

સંખ્યા રેખા

તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહને સંખ્યા રેખા પણ કહેવામાં આવે છે. તેઓ લખે છે.

વ્યવહારમાં, ભૌમિતિક અર્થમાં સંકલન અથવા સંખ્યા રેખાની વિભાવના અને આ વ્યાખ્યા દ્વારા રજૂ કરાયેલ સંખ્યા રેખાના ખ્યાલ વચ્ચે તફાવત કરવાની જરૂર નથી. તેથી, આ વિવિધ વિભાવનાઓ સમાન શબ્દ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

ઓપન બીમ

સંખ્યાઓનો સમૂહ જેમ કે ઓપન નંબર રે કહેવાય છે. તેઓ લખે છે અથવા તે મુજબ: .

બંધ બીમ

સંખ્યાઓનો સમૂહ જેમ કે બંધ સંખ્યા રેખા કહેવાય છે. તેઓ લખે છે અથવા તે મુજબ:.

સંખ્યાઓના સમૂહને સંખ્યા સેગમેન્ટ કહેવામાં આવે છે.

ટિપ્પણી. વ્યાખ્યા એ નિર્ધારિત કરતી નથી. એવું માનવામાં આવે છે કે કેસ શક્ય છે. પછી સંખ્યાત્મક અંતરાલ બિંદુમાં ફેરવાય છે.

અંતરાલ

સંખ્યાઓનો સમૂહ કે જેને સંખ્યાત્મક અંતરાલ કહેવામાં આવે છે.

ટિપ્પણી. ખુલ્લા બીમ, સીધી રેખા અને અંતરાલના હોદ્દાનો સંયોગ આકસ્મિક નથી. ખુલ્લા કિરણને અંતરાલ તરીકે સમજી શકાય છે, જેનો એક છેડો અનંત સુધી દૂર કરવામાં આવે છે, અને સંખ્યા રેખા - એક અંતરાલ તરીકે, જેના બંને છેડા અનંત સુધી દૂર કરવામાં આવે છે.

અર્ધ-અંતરાલ

આના જેવી સંખ્યાઓના સમૂહને સંખ્યાત્મક અર્ધ-અંતર કહેવામાં આવે છે.

તેઓ લખે છે અથવા અનુક્રમે,

3.ફંક્શન.ફંક્શનનો ગ્રાફ. કાર્ય સ્પષ્ટ કરવા માટેની પદ્ધતિઓ.

જવાબ - જો બે ચલ x અને y આપવામાં આવે છે, તો ચલ y એ ચલ xનું કાર્ય કહેવાય છે જો આ ચલો વચ્ચે આવો સંબંધ આપવામાં આવે જે દરેક મૂલ્યને y ની કિંમત વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવા માટે પરવાનગી આપે છે.

સંકેત F = y(x) નો અર્થ એ છે કે એક કાર્યને ધ્યાનમાં લેવામાં આવી રહ્યું છે જે સ્વતંત્ર ચલ x (જેમાંથી દલીલ x સામાન્ય રીતે લઈ શકે છે તેમાંથી) આશ્રિત ચલ y ના અનુરૂપ મૂલ્યને શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે.

કાર્ય સ્પષ્ટ કરવા માટેની પદ્ધતિઓ.

ફંક્શનને સૂત્ર દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે:

y = 3x2 – 2.

કાર્ય ગ્રાફ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. આલેખનો ઉપયોગ કરીને, તમે નિર્ધારિત કરી શકો છો કે કયું કાર્ય મૂલ્ય નિર્દિષ્ટ દલીલ મૂલ્યને અનુરૂપ છે. આ સામાન્ય રીતે કાર્યનું અંદાજિત મૂલ્ય છે.

4. કાર્યની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ: એકવિધતા, સમાનતા, સામયિકતા.

જવાબ -સામયિકતા વ્યાખ્યા. જો આવી સંખ્યા હોય તો ફંકશન f ને સામયિક કહેવામાં આવે છે
, તે f(x+
)=f(x), બધા x માટે D(f). સ્વાભાવિક રીતે, આવી સંખ્યાઓની અસંખ્ય સંખ્યાઓ છે. સૌથી નાની ધન સંખ્યા ^ T ને કાર્યનો સમયગાળો કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણો. A. y = cos x, T = 2 . V. y = tg x, T = . S. y = (x), T = 1. D. y = , આ કાર્ય સામયિક નથી. સમાનતા વ્યાખ્યા. F(-x) = f(x) ગુણધર્મ D(f) માં તમામ x માટે ધરાવે છે તો પણ ફંક્શન f કહેવાય છે. જો f(-x) = -f(x), તો કાર્યને વિષમ કહેવામાં આવે છે. જો દર્શાવેલ સંબંધોમાંથી કોઈ પણ સંતુષ્ટ ન હોય, તો કાર્યને સામાન્ય કાર્ય કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણો. A. y = cos (x) - સમ; V. y = tg (x) - વિચિત્ર; S. y = (x); y=sin(x+1) – સામાન્ય સ્વરૂપના કાર્યો. એકવિધતાની વ્યાખ્યા. ફંક્શન f: X -> R જો કોઈ હોય તો તેને વધતું (ઘટતું) કહેવાય છે
શરત પૂરી થાય છે:
વ્યાખ્યા. એક ફંક્શન X -> R એ X પર મોનોટોનિક કહેવાય છે જો તે X પર વધતું અથવા ઘટતું હોય. જો X ના કેટલાક સબસેટ પર f એકવિધ હોય, તો તેને પીસવાઈઝ મોનોટોન કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ. y = cos x - piecewise monotonic function.

સંખ્યાત્મક અંતરાલો. સંદર્ભ. વ્યાખ્યા

સમાનતા (સમીકરણ) ની સંખ્યા રેખા પર એક બિંદુ હોય છે (જોકે આ બિંદુ કરવામાં આવેલ પરિવર્તન અને પસંદ કરેલ રૂટ પર આધાર રાખે છે). સમીકરણનો ઉકેલ પોતે એક સંખ્યાત્મક સમૂહ હશે (કેટલીકવાર એક જ સંખ્યાનો સમાવેશ કરે છે). જો કે, આ બધું નંબર લાઇન પર છે (સેટનું વિઝ્યુલાઇઝેશન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ) માત્ર પોઇન્ટવાઇઝ પ્રદર્શિત થશે, પરંતુ ત્યાં વધુ પણ છે સામાન્ય પ્રકારોબે સંખ્યાઓ વચ્ચેના સંબંધો - અસમાનતા. તેમાં, સંખ્યા રેખા ચોક્કસ સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત થાય છે અને તેમાંથી કાપી નાખવામાં આવે છે ચોક્કસ ભાગ- અભિવ્યક્તિના મૂલ્યો અથવા સંખ્યાત્મક અંતરાલ.

અસમાનતાઓ સાથે સંખ્યાત્મક અંતરાલોના વિષય પર ચર્ચા કરવી તાર્કિક છે, પરંતુ આનો અર્થ એ નથી કે તે ફક્ત તેમની સાથે જોડાયેલ છે. સંખ્યાત્મક અંતરાલો (અંતરો, સેગમેન્ટ્સ, કિરણો) એ ચલ મૂલ્યોનો સમૂહ છે જે ચોક્કસ અસમાનતાને સંતોષે છે. એટલે કે, સારમાં, આ સંખ્યા રેખા પરના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે, જે અમુક પ્રકારના ફ્રેમવર્ક દ્વારા મર્યાદિત છે. તેથી, સંખ્યાત્મક અંતરાલોનો વિષય ખ્યાલ સાથે સૌથી નજીકથી સંબંધિત છે ચલ. જ્યાં સંખ્યા રેખા પર ચલ, અથવા મનસ્વી બિંદુ x હોય છે, અને તેનો ઉપયોગ થાય છે, ત્યાં સંખ્યાત્મક અંતરાલો, અંતરાલો - x મૂલ્યો પણ છે. ઘણીવાર મૂલ્ય કંઈપણ હોઈ શકે છે, પરંતુ આ એક સંખ્યાત્મક અંતરાલ પણ છે જે સમગ્ર સંખ્યા રેખાને આવરી લે છે.

ચાલો ખ્યાલ રજૂ કરીએ સંખ્યાત્મક અંતરાલ. વચ્ચે નંબર સેટ, એટલે કે, સમૂહો કે જેના ઑબ્જેક્ટ સંખ્યાઓ છે, કહેવાતા સંખ્યાત્મક અંતરાલોને અલગ પાડે છે. તેમનું મૂલ્ય એ છે કે નિર્દિષ્ટ સંખ્યાત્મક અંતરાલને અનુરૂપ સમૂહની કલ્પના કરવી ખૂબ જ સરળ છે, અને ઊલટું. તેથી, તેમની સહાયથી અસમાનતાના ઘણા ઉકેલો લખવાનું અનુકૂળ છે. જ્યારે સમીકરણના ઉકેલોનો સમૂહ સંખ્યાત્મક અંતરાલ નહીં હોય, પરંતુ સંખ્યા રેખા પરની સંખ્યાબંધ સંખ્યાઓ, અસમાનતા સાથે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ચલના મૂલ્ય પરના કોઈપણ નિયંત્રણો, સંખ્યાત્મક અંતરાલ દેખાય છે.

સંખ્યા અંતરાલ એ સંખ્યા રેખા પરના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે, જે આપેલ સંખ્યા અથવા સંખ્યાઓ (નંબર રેખા પરના બિંદુઓ) દ્વારા મર્યાદિત છે.

કોઈપણ પ્રકારનું સંખ્યાત્મક અંતરાલ (ચોક્કસ સંખ્યાઓ વચ્ચે બંધ x મૂલ્યોનો સમૂહ) હંમેશા ત્રણ રીતે રજૂ કરી શકાય છે ગાણિતિક સંકેત: અંતરાલો, અસમાનતાઓની સાંકળો (સિંગલ અસમાનતા અથવા બેવડી અસમાનતા) અથવા સંખ્યા રેખા પર ભૌમિતિક રીતે માટે વિશેષ સંકેતો. અનિવાર્યપણે, આ તમામ હોદ્દાઓનો સમાન અર્થ છે. તેઓ કેટલાક ગાણિતિક ઑબ્જેક્ટના મૂલ્યો પર અવરોધ(ઓ) પ્રદાન કરે છે, ચલ કદ(કેટલાક ચલ, ચલ સાથેની કોઈપણ અભિવ્યક્તિ, કાર્ય, વગેરે).

ઉપરથી તે સમજી શકાય છે કે સંખ્યા રેખાના વિસ્તારને અલગ અલગ રીતે મર્યાદિત કરવાનું શક્ય છે (ત્યાં છે વિવિધ પ્રકારોઅસમાનતા), પછી સંખ્યાત્મક અંતરાલોના વિવિધ પ્રકારો છે.

સંખ્યાત્મક અંતરાલોના પ્રકાર

દરેક પ્રકારનો નંબર અંતરાલ હોય છે યોગ્ય નામ, ખાસ હોદ્દો. સંખ્યાત્મક અંતરાલો સૂચવવા માટે, રાઉન્ડ અને ચોરસ કૌંસનો ઉપયોગ થાય છે. કૌંસનો અર્થ એ છે કે આ કૌંસની સંખ્યા રેખા (અંત) પર અંતિમ, સીમા-વ્યાખ્યાયિત બિંદુ આ અંતરાલના બિંદુઓના સમૂહમાં શામેલ નથી. ચોરસ કૌંસએટલે કે અંત અંતરમાં પ્રવેશે છે. અનંત સાથે (આ બાજુ અંતરાલ મર્યાદિત નથી) કૌંસનો ઉપયોગ કરો. ક્યારેક બદલે કૌંસતમે ચોરસ લખી શકો છો, અંદર ફેરવો વિપરીત બાજુ: (a;b) ⇔]a;b[

અંતરાલોના નામ સાથે મૂંઝવણ હોઈ શકે છે: ત્યાં છે મોટી રકમવિકલ્પો તેથી, તેમને ચોક્કસ રીતે સૂચવવું હંમેશા વધુ સારું છે. અંગ્રેજી સાહિત્યમાં આ શબ્દનો જ ઉપયોગ થાય છે અંતરાલ ("અંતરાલ") - ખુલ્લું, બંધ, અર્ધ-ખુલ્લું (અર્ધ-બંધ). ત્યાં ઘણી વિવિધતાઓ છે.

ગણિતમાં અંતરાલોનો ઉપયોગ ખૂબ જ સૂચવે છે મોટી સંખ્યામાંવસ્તુઓ: સમીકરણો ઉકેલતી વખતે અલગતાના અંતરાલો, એકીકરણના અંતરાલો, શ્રેણીના કન્વર્જન્સના અંતરાલો હોય છે. ફંક્શનનો અભ્યાસ કરતી વખતે, અંતરાલોનો ઉપયોગ હંમેશા તેના મૂલ્યોની શ્રેણી અને વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રને દર્શાવવા માટે થાય છે. ગાબડા ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, ઉદાહરણ તરીકે, ત્યાં છે બોલઝાનો-કોચી પ્રમેય(તમે વિકિપીડિયા પર વધુ શોધી શકો છો).

સિસ્ટમો અને અસમાનતાના સેટ

અસમાનતા સિસ્ટમ

તેથી, ચલ x અથવા અમુક અભિવ્યક્તિના મૂલ્યને અમુક સાથે સરખાવી શકાય છે સતત મૂલ્ય- આ એક અસમાનતા છે, પરંતુ તમે આ અભિવ્યક્તિની તુલના અનેક જથ્થાઓ સાથે કરી શકો છો - બેવડી અસમાનતા, અસમાનતાની સાંકળ વગેરે. આ બરાબર તે જ છે જે ઉપર દર્શાવવામાં આવ્યું હતું - એક અંતરાલ અને સેગમેન્ટ તરીકે. બંને છે અસમાનતા સિસ્ટમ.

તેથી, જો કાર્ય સેટ શોધવાનું છે સામાન્ય ઉકેલોબે કે તેથી વધુ અસમાનતાઓ, તો પછી આપણે અસમાનતાઓની સિસ્ટમ ઉકેલવા વિશે વાત કરી શકીએ છીએ (જેમ કે સમીકરણોની જેમ - જો કે આપણે કહી શકીએ કે સમીકરણો એક વિશિષ્ટ કેસ છે).

પછી તે સ્પષ્ટ છે કે અસમાનતાઓમાં ઉપયોગમાં લેવાતા ચલનું મૂલ્ય, જેના પર તેમાંથી દરેક સાચું બને છે, તેને અસમાનતાઓની સિસ્ટમનો ઉકેલ કહેવામાં આવે છે.

સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ તમામ અસમાનતાઓ સંયુક્ત છે સર્પાકાર તાણવું- "(". કેટલીકવાર તેઓ ફોર્મમાં લખવામાં આવે છે બેવડી અસમાનતા(ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે) અથવા તો અસમાનતાની સાંકળ. લાક્ષણિક એન્ટ્રીનું ઉદાહરણ: f x ≤ 30 g x 5 .

સિસ્ટમ્સ સોલ્યુશન રેખીય અસમાનતાઓમાં એક ચલ સાથે સામાન્ય કેસઆ 4 પ્રકારો નીચે આવે છે: x > a x > b (1) x > a x< b (2) x < a x >b(3)x< a x < b (4) . Здесь предполагается, что b > a.

નંબર લાઇનનો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ સિસ્ટમને ગ્રાફિકલી ઉકેલી શકાય છે. જ્યાં સિસ્ટમ બનાવેલી અસમાનતાઓના ઉકેલો એકબીજાને છેદે છે, ત્યાં સિસ્ટમનો જ ઉકેલ હશે.

ચાલો દરેક કેસ માટે ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન રજૂ કરીએ.