છેલ્લા લેક્ચરમાં આપણે એફિન ભૂમિતિમાં ઉપયોગમાં લેવાતા સૌથી મહત્વપૂર્ણ અંદાજો વિશે વાત કરી. ચાલો હવે પરિપ્રેક્ષ્ય ભૂમિતિ અને કેટલાક નવા પ્રકારનાં પ્રક્ષેપણને ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ.
ફોટોગ્રાફ્સ, પેઇન્ટિંગ્સ અને સ્ક્રીન્સમાં, છબીઓ આપણને કુદરતી અને સાચી લાગે છે. આ છબીઓને પરિપ્રેક્ષ્ય કહેવામાં આવે છે. તેમની મિલકતો એવી છે કે વધુ દૂરની વસ્તુઓને નાના સ્કેલ પર દર્શાવવામાં આવી છે, અંદર સમાંતર રેખાઓ સામાન્ય કેસસમાંતર નથી. પરિણામે, ઇમેજની ભૂમિતિ એકદમ જટિલ હોવાનું બહાર આવ્યું છે, અને ફિનિશ્ડ ઇમેજમાંથી ઑબ્જેક્ટના અમુક ભાગોનું કદ નક્કી કરવું મુશ્કેલ છે.
સામાન્ય પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ એ પ્લેન પરનું કેન્દ્રિય પ્રક્ષેપણ છે જેમાં પ્રક્ષેપણનું કેન્દ્ર બિંદુમાંથી પસાર થતા સીધા કિરણો છે. પ્રક્ષેપણ કિરણોમાંથી એક પ્રક્ષેપણ પ્લેન પર લંબ છે અને તેને મુખ્ય કહેવામાં આવે છે. આ કિરણ અને પ્રક્ષેપણ સમતલના આંતરછેદનું બિંદુ એ ચિત્રનું મુખ્ય બિંદુ છે.
ત્રણ સંકલન પ્રણાલીઓ છે. સામાન્ય રીતે, પ્રોગ્રામર વિશ્વ કોઓર્ડિનેટ્સમાં ભૌમિતિક વસ્તુઓ વિશેના ડેટાને કામ કરે છે અને સંગ્રહિત કરે છે. વાસ્તવિકતા વધારવા માટે, જ્યારે સ્ક્રીન પર છબી પ્રદર્શિત કરવાની તૈયારી કરવામાં આવે છે, ત્યારે વિશ્વ કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી ઑબ્જેક્ટ્સ વિશેના ડેટાને કોઓર્ડિનેટ્સ જોવામાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. અને ફક્ત તે જ ક્ષણે જ્યારે છબી સીધી ડિસ્પ્લે સ્ક્રીન પર પ્રદર્શિત થાય છે, તેઓ સ્ક્રીન કોઓર્ડિનેટ્સ પર જાય છે, જે સ્ક્રીનના પિક્સેલ નંબરો છે.
પ્રથમ બે પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ બહુપરિમાણીય સંકલન પ્રણાલીઓમાં થઈ શકે છે, પરંતુ બાદમાંનો માત્ર દ્વિ-પરિમાણીય સિસ્ટમોમાં ઉપયોગ કરી શકાય છે. ઓપરેશન્સ ઉલટાવી શકાય તેવું છે, એટલે કે, દ્વિ-પરિમાણીય પ્રક્ષેપણ ઇમેજમાંથી ત્રિ-પરિમાણીય છબીને પુનઃસ્થાપિત કરવી અશક્ય છે.
સામાન્ય પરિપ્રેક્ષ્ય પરિવર્તન મેટ્રિક્સ
આ મેટ્રિક્સમાં તત્વો a, ડી, ઇસ્કેલિંગ માટે જવાબદાર છે, m, n, એલવિસ્થાપન માટે, પી, q, આરપ્રક્ષેપણ માટે, sવ્યાપક માપન માટે, એક્સપરિભ્રમણ માટે.
ચોક્કસ બિંદુએ, કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સના ક્ષેત્રમાં કોઈપણ વિકાસકર્તાને એક પ્રશ્ન છે: આ આશાસ્પદ મેટ્રિસિસ કેવી રીતે કાર્ય કરે છે? કેટલીકવાર જવાબ શોધવો ખૂબ જ મુશ્કેલ હોય છે અને, જેમ કે સામાન્ય રીતે થાય છે, મોટા ભાગના વિકાસકર્તાઓ કાર્યને અધવચ્ચે જ છોડી દે છે.
આ સમસ્યાનો ઉકેલ નથી! ચાલો તેને એકસાથે શોધીએ!
ચાલો વ્યવહારુ પૂર્વગ્રહ સાથે વાસ્તવિક બનીએ અને પરીક્ષાના વિષય તરીકે લઈએ ઓપનજીએલ સંસ્કરણો 3.3. આ સંસ્કરણથી શરૂ કરીને, દરેક વિકાસકર્તાએ સ્વતંત્ર રીતે મોડ્યુલનો અમલ કરવો જરૂરી છે મેટ્રિક્સ કામગીરી. સરસ, આ આપણને જોઈએ છે. ચાલો આપણા મુશ્કેલ કાર્યને વિઘટિત કરીએ અને મુખ્ય મુદ્દાઓને પ્રકાશિત કરીએ. ઓપનજીએલ સ્પષ્ટીકરણમાંથી કેટલાક તથ્યો:
- મેટ્રિસિસ કૉલમ્સમાં સંગ્રહિત થાય છે (કૉલમ-મેજર);
- સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ;
- કેનોનિકલ ક્લિપિંગ વોલ્યુમ (CVV) ડાબા હાથની સંકલન સિસ્ટમમાં.
સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ સંખ્યાબંધ સાથે ખૂબ જ મુશ્કેલ સિસ્ટમ નથી સરળ નિયમોપરંપરાગત કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સને માં રૂપાંતરિત કરવા પર સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સઅને પાછા. સજાતીય સંકલન એ પરિમાણનું પંક્તિ મેટ્રિક્સ છે. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટને સજાતીય કોઓર્ડિનેટમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, તે જરૂરી છે x, yઅને zકોઈપણ વડે ગુણાકાર કરો વાસ્તવિક સંખ્યા ડબલ્યુ(0 સિવાય). આગળ, તમારે પ્રથમ ત્રણ ઘટકોમાં પરિણામ લખવાની જરૂર છે, અને છેલ્લો ઘટક ગુણક સમાન હશે. ડબલ્યુ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો:
- કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ
ડબલ્યુ- વાસ્તવિક સંખ્યા 0 ની બરાબર નથી 
- સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ
થોડી યુક્તિ: જો ડબલ્યુએક સમાન છે, તો પછી અનુવાદ માટે જરૂરી છે તે ઘટકોને સ્થાનાંતરિત કરવા માટે છે x, yઅને zઅને છેલ્લા ઘટકને એક સોંપો. એટલે કે, એક પંક્તિ મેટ્રિક્સ મેળવો: 
શૂન્ય ગુણવત્તા વિશે થોડાક શબ્દો ડબલ્યુ. સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સના દૃષ્ટિકોણથી, આ તદ્દન સ્વીકાર્ય છે. સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ તમને પોઈન્ટ અને વેક્ટર વચ્ચે તફાવત કરવાની મંજૂરી આપે છે. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, આવા વિભાજન અશક્ય છે. - બિંદુ જ્યાં ( x, y, z) - કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ 
- વેક્ટર, જ્યાં ( x, y, z) – ત્રિજ્યા વેક્ટર
સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં શિરોબિંદુનું વિપરીત અનુવાદ નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે. પંક્તિ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકોને છેલ્લા ઘટક દ્વારા વિભાજિત કરવું આવશ્યક છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો: 
- સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ 
- કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ
તમારે જે મુખ્ય વસ્તુ જાણવાની જરૂર છે તે એ છે કે તમામ ઓપનજીએલ ક્લિપિંગ અને રાસ્ટરાઇઝેશન એલ્ગોરિધમ્સ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં કામ કરે છે, પરંતુ તે પહેલાં તમામ રૂપાંતરણ સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં કરવામાં આવે છે. સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં સંક્રમણ હાર્ડવેરમાં કરવામાં આવે છે.
કેનોનિકલ ક્લિપિંગ વોલ્યુમ (CVV) એ OpenGL ના સૌથી ઓછા દસ્તાવેજીકૃત ભાગોમાંનું એક છે. ફિગમાંથી જોઈ શકાય છે. 1 CVV એ અક્ષ-સંરેખિત ક્યુબ છે જે મૂળ પર કેન્દ્રિત છે અને તેની લંબાઈ બે જેટલી છે. CVV વિસ્તારની અંદર આવતી દરેક વસ્તુ રાસ્ટરાઇઝેશનને આધીન છે, CVVની બહારની દરેક વસ્તુને અવગણવામાં આવે છે. જે પણ આંશિક રીતે CVV ની બહાર આવે છે તે કાપણી અલ્ગોરિધમ્સને આધીન છે. તમારે જાણવાની સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે CVV કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ ડાબા હાથની છે!
ચોખા. 1. કેનોનિકલ ઓપનજીએલ ક્લિપિંગ વોલ્યુમ (CVV)
ડાબા હાથની સંકલન સિસ્ટમ? આ કેવી રીતે હોઈ શકે, કારણ કે OpenGL 1.0 માટે સ્પષ્ટીકરણ સ્પષ્ટપણે જણાવે છે કે વપરાયેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ જમણેરી છે? ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ.
ચોખા. 2. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ
ફિગમાંથી જોઈ શકાય છે. 2 કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ ફક્ત ધરીની દિશામાં અલગ પડે છે ઝેડ. ઓપનજીએલ 1.0 જમણા હાથની વપરાશકર્તા સંકલન સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરે છે. પરંતુ CVV કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ અને યુઝર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બે સંપૂર્ણપણે અલગ વસ્તુઓ છે. તદુપરાંત, સંસ્કરણ 3.3 મુજબ, હવે આવી વસ્તુ નથી પ્રમાણભૂત સિસ્ટમઓપનજીએલ કોઓર્ડિનેટ્સ. અગાઉ જણાવ્યા મુજબ, પ્રોગ્રામર પોતે મેટ્રિક્સ ઓપરેશન મોડ્યુલનો અમલ કરે છે. પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સની રચના, પ્રોજેક્શન મેટ્રિક્સની રચના, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની શોધ, મેટ્રિક્સ ગુણાકાર છે ન્યૂનતમ સેટમેટ્રિક્સ ઓપરેશન્સ મોડ્યુલમાં સમાવિષ્ટ કામગીરી. બે તાર્કિક પ્રશ્નો ઉભા થાય છે. જો દૃશ્યતા વોલ્યુમ બે સમાન ધારની લંબાઈ ધરાવતું ક્યુબ છે, તો પછી સ્ક્રીન પર એક દ્રશ્ય કેટલાંક હજાર એકમોનું કદ કેમ દેખાય છે? વપરાશકર્તા કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ કયા સમયે CVV કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં રૂપાંતરિત થાય છે? પ્રોજેક્શન મેટ્રિસીસ ચોક્કસ એન્ટિટી છે જે આ મુદ્દાઓ સાથે વ્યવહાર કરે છે.
ઉપરોક્તનો મુખ્ય વિચાર એ છે કે વિકાસકર્તા પોતે વપરાશકર્તા કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો પ્રકાર પસંદ કરવા માટે સ્વતંત્ર છે અને તેણે પ્રોજેક્શન મેટ્રિસિસનું યોગ્ય રીતે વર્ણન કરવું જોઈએ. આ OpenGL વિશેના તથ્યોને પૂર્ણ કરે છે અને બધું એકસાથે મૂકવાનો સમય છે.
પરિપ્રેક્ષ્ય પરિવર્તન મેટ્રિક્સ એ સૌથી સામાન્ય અને સમજવામાં મુશ્કેલ છે. તો તે CVV અને વપરાશકર્તા સંકલન સિસ્ટમ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે? નિરીક્ષકથી તેમનું અંતર વધવાથી વસ્તુઓ શા માટે નાની થતી જાય છે? અંતર વધવાથી વસ્તુઓ કેમ નાની થતી જાય છે તે સમજવા માટે, ચાલો મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશન જોઈએ ત્રિ-પરિમાણીય મોડેલપગલું દ્વારા પગલું. તે કોઈ રહસ્ય નથી કે કોઈપણ ત્રિ-પરિમાણીય મોડેલમાં શિરોબિંદુઓની મર્યાદિત સૂચિ હોય છે જે એકબીજાથી સંપૂર્ણપણે સ્વતંત્ર રીતે મેટ્રિક્સ પરિવર્તનમાંથી પસાર થાય છે. દ્વિ-પરિમાણીય મોનિટર સ્ક્રીન પર ત્રિ-પરિમાણીય શિરોબિંદુના સંકલનને નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:
- કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટને સજાતીય કોઓર્ડિનેટમાં કન્વર્ટ કરો;
- મોડલ મેટ્રિક્સ દ્વારા સજાતીય સંકલનનો ગુણાકાર કરો;
- પરિણામ દૃશ્ય મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે;
- પ્રોજેક્શન મેટ્રિક્સ દ્વારા પરિણામને ગુણાકાર કરો;
- સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી પરિણામને કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં કન્વર્ટ કરો.
હવે ચાલો ત્રીજા પગલા પર આગળ વધીએ. આ તે છે જ્યાં દૃશ્ય જગ્યા રમતમાં આવે છે. આ અવકાશમાં, કોઓર્ડિનેટ્સને નિરીક્ષકની સ્થિતિ અને દિશાના સંદર્ભમાં માપવામાં આવે છે જાણે કે તે વિશ્વનું કેન્દ્ર હોય. વ્યુ સ્પેસ એ વિશ્વ અવકાશની તુલનામાં સ્થાનિક છે, તેથી તેમાં કોઓર્ડિનેટ્સ દાખલ કરવા આવશ્યક છે (અને અગાઉના કેસની જેમ બહાર કાઢવામાં આવ્યાં નથી). પ્રત્યક્ષ મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશનઅમુક જગ્યામાંથી કોઓર્ડિનેટ્સ દૂર કરે છે. તેમને તેમાં દાખલ કરવા માટે, તેનાથી વિપરિત, મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશનને ઉલટાવવું જરૂરી છે, તેથી ટાઇપ ટ્રાન્સફોર્મેશનને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. આ કેવી રીતે મેળવવું વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ? પ્રથમ, ચાલો ડાયરેક્ટ ઓબ્ઝર્વર મેટ્રિક્સ મેળવીએ. નિરીક્ષકનું શું લક્ષણ છે? નિરીક્ષકનું વર્ણન કોઓર્ડિનેટ કે જેમાં તે સ્થિત છે અને જોવાની દિશા વેક્ટર દ્વારા કરવામાં આવે છે. નિરીક્ષક હંમેશા તેની સ્થાનિક ધરીની દિશામાં જુએ છે ઝેડ. નિરીક્ષક દ્રશ્યની આસપાસ ફરી શકે છે અને વળાંક લઈ શકે છે. ઘણી રીતે, આ મોડેલ મેટ્રિક્સના અર્થ જેવું લાગે છે. મોટા ભાગે, તે આ રીતે છે. જો કે, નિરીક્ષક માટે, સ્કેલિંગ ઓપરેશન અર્થહીન છે, તેથી, નિરીક્ષકના મોડેલ મેટ્રિક્સ અને મોડેલ મેટ્રિક્સ વચ્ચે ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થતમે સમાન ચિહ્ન મૂકી શકતા નથી. નિરીક્ષકનું મોડેલ મેટ્રિક્સ ઇચ્છિત ડાયરેક્ટ મેટ્રિક્સ છે. આ મેટ્રિક્સને ઉલટાવીને, આપણે વ્યુ મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ. વ્યવહારમાં, આનો અર્થ એ છે કે વૈશ્વિક સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સના તમામ શિરોબિંદુઓ નિરીક્ષકની તુલનામાં નવા સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ પ્રાપ્ત કરશે. તદનુસાર, જો નિરીક્ષકે ચોક્કસ શિરોબિંદુ જોયું, તો પછી સજાતીય સંકલનનું મૂલ્ય zદૃશ્ય જગ્યામાં આપેલ શિરોબિંદુ ચોક્કસપણે હશે હકારાત્મક સંખ્યા. જો શિરોબિંદુ નિરીક્ષકની પાછળ હતું, તો તેના સજાતીય સંકલનનું મૂલ્ય zદૃશ્ય જગ્યામાં ચોક્કસપણે નકારાત્મક સંખ્યા હશે.
પગલું ચાર સૌથી વધુ છે રસપ્રદ પગલું. અગાઉના પગલાંઓ જાણી જોઈને આટલી વિગતે ચર્ચા કરવામાં આવી છે કે જેથી વાચકને મળે સંપૂર્ણ ચિત્રચોથા પગલાના તમામ ઓપરેન્ડ વિશે. ચોથા પગલા પર, સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ વ્યુ સ્પેસમાંથી CVV જગ્યામાં ટ્રાન્સફર થાય છે. ફરી એકવાર, એ હકીકત પર ભાર મૂકવામાં આવે છે કે તમામ સંભવિત દૃશ્યમાન શિરોબિંદુઓ સજાતીય સંકલનનું હકારાત્મક મૂલ્ય ધરાવશે. z.
ફોર્મના મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લો:
અને નિર્દેશ કરો સજાતીય જગ્યાનિરીક્ષક:
ચાલો પ્રશ્નમાં મેટ્રિક્સ દ્વારા સજાતીય સંકલનનો ગુણાકાર કરીએ:
ચાલો પરિણામી સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સને કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં રૂપાંતરિત કરીએ:
ચાલો કહીએ કે સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વ્યુ સ્પેસમાં બે બિંદુઓ છે xઅને y, પરંતુ વિવિધ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે z. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક બિંદુ બીજાની પાછળ છે. પરિપ્રેક્ષ્ય વિકૃતિને લીધે, નિરીક્ષકે બંને બિંદુઓને જોવું આવશ્યક છે. ખરેખર, તે સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે સંકલન દ્વારા વિભાજનને કારણે z, સંકોચન મૂળ બિંદુ પર થાય છે. કેવી રીતે વધુ મૂલ્ય z(બિંદુ જેટલો આગળ નિરીક્ષક તરફથી છે), સંકોચન વધુ મજબૂત. આ પરિપ્રેક્ષ્ય અસર માટે સમજૂતી છે.
ઓપનજીએલ સ્પષ્ટીકરણ જણાવે છે કે ક્લિપિંગ અને રાસ્ટરાઇઝેશન ઓપરેશન્સ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં કરવામાં આવે છે, અને સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સને કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં રૂપાંતરિત કરવાની પ્રક્રિયા આપમેળે કરવામાં આવે છે.
મેટ્રિક્સ (1) એ પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ મેટ્રિક્સ માટેનો નમૂનો છે. અગાઉ સૂચવ્યા મુજબ, પ્રોજેક્શન મેટ્રિક્સના કાર્યમાં બે મુદ્દાઓનો સમાવેશ થાય છે: વપરાશકર્તા કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સેટ કરવી (ડાબે હાથે અથવા જમણે હાથે), નિરીક્ષકની દૃશ્યતા વોલ્યુમને CVV માં સ્થાનાંતરિત કરવું. ચાલો ડાબા હાથની વપરાશકર્તા સંકલન સિસ્ટમ માટે પરિપ્રેક્ષ્ય મેટ્રિક્સ મેળવીએ.
પ્રોજેક્શન મેટ્રિક્સનું વર્ણન ચાર પરિમાણોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે (ફિગ. 3):
- રેડિયનમાં જોવાનો ખૂણો ( fovy);
- પાસા ગુણોત્તર ( પાસું);
- નજીકના ક્લિપિંગ પ્લેનનું અંતર ( n);
- દૂરના ક્લિપિંગ પ્લેનનું અંતર ( f).
ચોખા. 3. દૃશ્યતાના પરિપ્રેક્ષ્ય વોલ્યુમ
ચાલો દૃશ્યતાના પરિપ્રેક્ષ્ય વોલ્યુમના કટઓફની આગળની ધાર પર નિરીક્ષકની જગ્યામાં એક બિંદુના પ્રક્ષેપણને ધ્યાનમાં લઈએ. વધુ સ્પષ્ટતા માટે, ફિગમાં. 4 બાજુનું દૃશ્ય બતાવે છે. તે પણ ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ કે વપરાશકર્તા કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ CVV કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સાથે સુસંગત છે, એટલે કે, ડાબા હાથની સંકલન સિસ્ટમનો ઉપયોગ દરેક જગ્યાએ થાય છે.
ચોખા. 4. પ્રક્ષેપણ મનસ્વી બિંદુ
ગુણધર્મો પર આધારિત સમાન ત્રિકોણનીચેની સમાનતાઓ માન્ય છે:
ચાલો yꞌ અને xꞌ વ્યક્ત કરીએ:
સૈદ્ધાંતિક રીતે, અભિવ્યક્તિઓ (2) પ્રક્ષેપણ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવવા માટે પૂરતા છે. જો કે, ત્રિ-પરિમાણીય વસ્તુઓને યોગ્ય રીતે સ્ક્રીન કરવા માટે, તમારે દરેક ટુકડાની ઊંડાઈ જાણવાની જરૂર છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઘટકનું મૂલ્ય સંગ્રહિત કરવું જરૂરી છે z. આ OpenGL ઊંડાઈ પરીક્ષણો માટે વપરાતું મૂલ્ય છે. ફિગ માં. 3 તે સ્પષ્ટ છે કે મૂલ્ય zꞌટુકડા ઊંડાણ તરીકે યોગ્ય નથી, કારણ કે તમામ બિંદુ અંદાજો કરી શકે છે સમાન મૂલ્ય zꞌ. આ પરિસ્થિતિમાંથી બહાર નીકળવાનો માર્ગ કહેવાતા સ્યુડો-ઊંડાઈનો ઉપયોગ કરવાનો છે.
સ્યુડો-ડેપ્થ ગુણધર્મો:
- સ્યુડો-ડેપ્થ મૂલ્યના આધારે ગણવામાં આવે છે z;
- બિંદુ નિરીક્ષકની જેટલી નજીક છે, સ્યુડોડેપ્થનું મૂલ્ય ઓછું છે;
- દૃશ્યતા વોલ્યુમના આગળના પ્લેન પર પડેલા તમામ બિંદુઓ -1 નું સ્યુડો-ઊંડાઈ મૂલ્ય ધરાવે છે;
- દૃશ્યતા વોલ્યુમના દૂરના કટીંગ પ્લેન પર પડેલા તમામ બિંદુઓનું સ્યુડો-ડેપ્થ મૂલ્ય 1 છે;
- દૃશ્યતા વોલ્યુમની અંદર પડેલા તમામ ટુકડાઓ [-1 1] શ્રેણીમાં સ્યુડો-ડેપ્થ મૂલ્ય ધરાવે છે.
મતભેદ aઅને bગણતરી કરવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, અમે સ્યુડો-ડેપ્થ 3 અને 4 ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમે બે અજ્ઞાત સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:
ચાલો સિસ્ટમના બંને ભાગો ઉમેરીએ અને પરિણામને ઉત્પાદન દ્વારા ગુણાકાર કરીએ fn, જ્યારે fઅને nશૂન્ય સમાન ન હોઈ શકે. અમને મળે છે:
ચાલો કૌંસ ખોલીએ અને શરતોને ફરીથી ગોઠવીએ જેથી માત્ર સાથેનો ભાગ હોય એ, અને માત્ર સાથે જમણી બાજુએ b:
ચાલો (6) ને (5) માં બદલીએ. ચાલો અભિવ્યક્તિને સરળ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ:
બંને બાજુઓ દ્વારા ગુણાકાર કરો -2fn, જ્યારે fઅને nશૂન્ય સમાન ન હોઈ શકે. ચાલો સમાન રજૂ કરીએ, શરતોને ફરીથી ગોઠવીએ અને વ્યક્ત કરીએ b:
ચાલો (7) ને (6) માં બદલીએ અને વ્યક્ત કરીએ a:
તદનુસાર ઘટકો aઅને bસમાન છે:
ચાલો હવે મેળવેલા ગુણાંકને વર્કપીસ મેટ્રિક્સ (1) માં બદલીએ અને જોઈએ કે કોઓર્ડિનેટનું શું થાય છે zનિરીક્ષકની સજાતીય જગ્યામાં મનસ્વી બિંદુ માટે. અવેજી નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે:
ફ્રન્ટ કટીંગ પ્લેન માટે અંતર દો n 2 ની બરાબર છે, અને દૂરના ક્લિપિંગ પ્લેનનું અંતર છે f 10 બરાબર છે. નિરીક્ષકની સજાતીય જગ્યામાં પાંચ બિંદુઓને ધ્યાનમાં લો:
| ડોટ | અર્થ  |
વર્ણન |
|---|---|---|
| 1 | 1 | બિંદુ દૃશ્યતા વોલ્યુમના આગળના ક્લિપિંગ પ્લેનની સામે સ્થિત છે. રાસ્ટરાઇઝેશન પસાર કરતું નથી. |
| 2 | 2 | બિંદુ દૃશ્યતા વોલ્યુમ કટઓફની આગળની ધાર પર સ્થિત છે. રાસ્ટરાઇઝેશન હેઠળ. |
| 3 | 5 | બિંદુ આગળની ક્લિપિંગ ધાર અને દૃશ્યતા વોલ્યુમની દૂરની ક્લિપિંગ ધારની વચ્ચે સ્થિત છે. રાસ્ટરાઇઝેશન હેઠળ. |
| 4 | 10 | બિંદુ દૃશ્યતા વોલ્યુમ કટઓફની દૂરની ધાર પર સ્થિત છે. રાસ્ટરાઇઝેશન હેઠળ. |
| 5 | 20 | બિંદુ દૃશ્યતા વોલ્યુમ કટઓફની દૂરની ધારની બહાર સ્થિત છે. રાસ્ટરાઇઝેશન પસાર કરતું નથી. |
ચાલો બધા બિંદુઓને મેટ્રિક્સ (8) વડે ગુણાકાર કરીએ, અને પછી પરિણામી સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સને માં રૂપાંતરિત કરીએ. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ 
. આ કરવા માટે, આપણે નવા સજાતીય ઘટકોના મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની જરૂર છે 
અને 
.
પોઈન્ટ 1:
નોંધ કરો કે સજાતીય સંકલન CVV માં એકદમ યોગ્ય રીતે સ્થિત છે, અને સૌથી અગત્યનું, OpenGL ડેપ્થ ટેસ્ટ હવે શક્ય છે, કારણ કે સ્યુડો-ડેપ્થ ટેસ્ટની જરૂરિયાતોને પૂર્ણપણે સંતોષે છે.
સંકલન સાથે zઅમે તેને શોધી કાઢ્યું, ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સ પર આગળ વધીએ xઅને y. અગાઉ કહ્યું તેમ, બધા આશાસ્પદ વોલ્યુમદૃશ્યતા CVV માં ફિટ હોવી જોઈએ. CVV ધારની લંબાઈ બે છે. તદનુસાર, દૃશ્યતાના પરિપ્રેક્ષ્ય વોલ્યુમની ઊંચાઈ અને પહોળાઈને બે પરંપરાગત એકમોમાં સંકુચિત કરવી આવશ્યક છે.
અમારી પાસે અમારા નિકાલ પર એક ખૂણો છે fovyઅને તીવ્રતા પાસું. ચાલો આ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને ઊંચાઈ અને પહોળાઈને વ્યક્ત કરીએ.
ચોખા. 5. દૃશ્યતા વોલ્યુમ
ફિગમાંથી. 5 તે સ્પષ્ટ છે કે:
હવે અમે CVV OpenGL સાથે કામ કરતી વૈવિધ્યપૂર્ણ ડાબા હાથની સંકલન સિસ્ટમ માટે પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રોજેક્શન મેટ્રિક્સનું અંતિમ દૃશ્ય મેળવી શકીએ છીએ:
આ મેટ્રિસીસની વ્યુત્પત્તિને પૂર્ણ કરે છે.
ડાયરેક્ટએક્સ વિશે થોડાક શબ્દો - ઓપનજીએલના મુખ્ય હરીફ. ડાયરેક્ટએક્સ ઓપનજીએલથી માત્ર CVV અને તેની સ્થિતિના પરિમાણોમાં અલગ છે. ડાયરેક્ટએક્સ સીવીવીમાં છે ક્યુબોઇડઅક્ષીય લંબાઈ સાથે xઅને yબે બરાબર અને ધરી સાથે zલંબાઈ એક સમાન છે. શ્રેણી xઅને yછે [-1 1], અને શ્રેણી zસમાન સીવીવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ માટે, ડાયરેક્ટએક્સ, ઓપનજીએલની જેમ, ડાબા હાથની સંકલન સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરે છે.
વૈવિધ્યપૂર્ણ જમણા હાથની સંકલન સિસ્ટમ માટે પરિપ્રેક્ષ્ય મેટ્રિસિસ પ્રદર્શિત કરવા માટે, તમારે ફિગને ફરીથી દોરવાની જરૂર છે. 2, ફિગ. 3 અને ફિગ. 4 નવી ધરીની દિશાને ધ્યાનમાં લેતા ઝેડ. આગળની ગણતરીઓ સંપૂર્ણપણે સમાન છે, સાઇન સુધી. ડાયરેક્ટએક્સ મેટ્રિસિસ માટે, સ્યુડો-ડેપ્થ પ્રોપર્ટીઝ 3 અને 4 શ્રેણીને અનુરૂપ ફેરફાર કરવામાં આવે છે.
આ બિંદુએ, આશાસ્પદ મેટ્રિસિસનો વિષય બંધ ગણી શકાય.
મુ કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણતમામ પ્રક્ષેપણ કિરણો અવકાશમાં ચોક્કસ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે - પ્રક્ષેપણનું કેન્દ્ર. ભૌતિક ઉપકરણ કે જે કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણને અમલમાં મૂકે છે તે લેન્સ છે. દ્રશ્ય નિરીક્ષણમાં, આંખ દ્વારા લેન્સની ભૂમિકા ભજવવામાં આવે છે. લેન્સમાં, પદાર્થો અને છબીઓની અવકાશમાં સંયુક્ત બિંદુઓને જોડતા કિરણો પાછળના મુખ્ય બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, જે પ્રક્ષેપણનું કેન્દ્ર છે (ફિગ. 1.5.3). કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણના આ મૂળભૂત ગુણધર્મમાંથી ઇમેજ બનાવવા માટે ગાણિતિક પદ્ધતિને અનુસરે છે: ઇમેજના દરેક બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ ઑબ્જેક્ટ બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના આંતરછેદના બિંદુ અને પ્રક્ષેપણ સાથેના પ્રક્ષેપણ કેન્દ્રને નિર્ધારિત કરીને ગણતરી કરી શકાય છે. (છબી) સપાટી. જો પસંદ કરેલ ઑબ્જેક્ટ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ અને ઓળખાય છે, તેમજ છબીની સપાટીનું સમીકરણ, તો સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવાના પરિણામે છબી બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવામાં આવે છે.
ચોખા. 1.5.3. કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણની સામાન્ય યોજના
મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં પ્રક્ષેપણ સપાટી સપાટ ગણી શકાય. આ અંદાજ આંખ માટે પણ એકદમ સચોટ છે. આંખની પ્રકાશ-સંવેદનશીલ સપાટી, રેટિના, લગભગ ગોળાકાર આકાર ધરાવે છે, તેમ છતાં સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિના વિસ્તાર માટે કેટલાક ડિગ્રીના કોણીય કદ દ્વારા મર્યાદિત હોય છે, તે સપાટ ગણી શકાય.
ઓપ્ટિક્સના નિયમો અનુસાર, તીક્ષ્ણ ઇમેજ મેળવવા માટે, તે જરૂરી છે કે પ્રકાશ-સંવેદનશીલ સપાટી લેન્સના ઓપ્ટિકલ અક્ષને લંબરૂપ હોવી જોઈએ અને પ્રક્ષેપણના કેન્દ્રથી ચોક્કસ અંતર પર સ્થિત છે, જે સામાન્ય રીતે લેવામાં આવે છે. કેન્દ્રીય લંબાઈની સમાન. વાસ્તવમાં, છબી પ્રક્ષેપણના કેન્દ્રથી ચિત્રના અંતરે સ્થિત છે, જે હંમેશા કેન્દ્રીય અંતર કરતા વધારે છે. જો કે, જો પદાર્થને લેન્સમાંથી અંતરે દૂર કરવામાં આવે છે, તો પછી ચિત્ર અને વચ્ચેનો તફાવત ફોકલ લંબાઈનજીવા આમ, ઇમેજ પ્લેનની સ્થિતિ પ્રક્ષેપણના કેન્દ્ર અને લેન્સની ઓપ્ટિકલ અક્ષની તુલનામાં સરળતાથી નિશ્ચિત થઈ જાય છે. જો લેન્સ ફરે છે જેથી અમુક વસ્તુઓ તેના દૃશ્ય ક્ષેત્રમાં આવે, તો ઇમેજ પ્લેન તેની સાથે ફરવું જોઈએ.
જો આપણે વાસ્તવિક છબી બનાવતા ઉપકરણોમાં કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણની નોંધાયેલ વિશેષતાઓને ધ્યાનમાં લઈએ, તો પછી ઑબ્જેક્ટની જગ્યામાં બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ અને છબીઓની જગ્યા વચ્ચેના જોડાણને સમીકરણોની સિસ્ટમ કરતાં અલગ સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે ( 1.5.7). ચાલો ઇમેજ પ્લેન માટે કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ, સંબંધિત લેન્સ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ અને ઑબ્જેક્ટ સ્પેસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (ફિગ. 1.5.4) રજૂ કરીએ. કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણની વિશિષ્ટતા નીચે મુજબ વ્યક્ત કરી શકાય છે: વેક્ટર અને પ્રક્ષેપણના કેન્દ્રને સંયોજક બિંદુઓ સાથે જોડે છે અને તે સમરેખા છે. તે અનુસરે છે
આપેલ પોઈન્ટની જોડી માટે ક્યાં સ્થિર છે અને .
ચોખા. 1.5.4. ઇમેજ પ્લેન પરિભ્રમણની યોજના
(1.5.8) થી અમે મેળવીએ છીએ કે ફિલ્માંકન કૅમેરાને ખૂણા પર અને અક્ષની તુલનામાં ફેરવી શકાય છે તે ધ્યાનમાં લેતા
, (1.5.8)
સિસ્ટમમાં ડિઝાઇન સેન્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ ક્યાં છે; - સિસ્ટમમાં ડિઝાઇન સેન્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ.
જો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ કે પ્રક્ષેપણ સપાટી સપાટ છે, તો સિસ્ટમની ઉત્પત્તિ, એક નિયમ તરીકે, ચિત્ર પ્લેનના મુખ્ય બિંદુ સાથે એકરુપ છે, જેથી અંતરે સ્થિત છે, પછી
. (1.5.9)
પ્રથમ અને બીજી લાઇનને ત્રીજા વડે વિભાજિત કરીને (1.5.9) માં સ્થિરાંકને દૂર કરીને, અમે સિસ્ટમ્સમાં સંયુક્ત બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સને લગતા સમીકરણો મેળવીએ છીએ અને:
ઇમેજ પોઈન્ટ્સના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ (1.5.10) થી, જો અવલોકન કરેલ સપાટીનું સમીકરણ આપવામાં આવે તો તમે ઑબ્જેક્ટ સ્પેસમાં સંયોજક બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરી શકો છો. 
. પછી, બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ અનુસાર, સપાટીનું સમીકરણ અને જાણીતી લાઇટિંગ પરિસ્થિતિઓ, બિંદુ વિશેષતાઓ (તેજ, રંગ) નક્કી કરી શકાય છે અને અનુરૂપ ઇમેજ પોઇન્ટ લક્ષણોની ગણતરી કરી શકાય છે. અહીં સંક્ષિપ્તમાં વર્ણવેલ ઇમેજ સિન્થેસિસ પ્રક્રિયા ઇમેજ સ્પેસમાંથી ઑબ્જેક્ટ સ્પેસમાં નીકળતા કિરણને ટ્રેક કરવા પર આધારિત છે, એટલે કે. માં કિરણોના કોર્સની વિરુદ્ધ દિશામાં વાસ્તવિક સિસ્ટમ. કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં, અમે આ અભિગમને ઇન્વર્સ રે ટ્રેસિંગ પદ્ધતિ કહીએ છીએ.
કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણની લાક્ષણિકતા એ પ્રક્ષેપણના કેન્દ્રથી જુદા જુદા અંતરે સ્થિત પદાર્થોની છબીના સ્કેલમાં નોંધપાત્ર તફાવત છે. આ ઘટાડાને કારણે છે કોણીય પરિમાણોઑબ્જેક્ટ (અને, તે મુજબ, ઇમેજ પ્લેનમાં રેખીય પરિમાણોમાં ઘટાડા સાથે) જ્યારે શૂટિંગ દ્રશ્યથી દૂર જતી વખતે. આકૃતિ 1.5.5 ઑબ્જેક્ટને સ્ટ્રીપના રૂપમાં શૂટ કરવાનું પરિણામ દર્શાવે છે જેમાં સમયાંતરે પુનરાવર્તિત લંબચોરસ લાગુ પડે છે. સ્ટ્રીપની પહોળાઈ અને લંબચોરસનું કદ બદલવાથી જગ્યામાં ઊંડાણની અનુભૂતિ થાય છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, છબીની ગણતરી કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, સૂત્રો (1.5.12) નો ઉપયોગ કરીને, પરંતુ જો તમે કિરણોના અદ્રશ્ય બિંદુને સ્પષ્ટ કરો છો તો તે પર્યાપ્ત માત્રાની ચોકસાઈ સાથે બનાવી શકાય છે. કિરણોના અદ્રશ્ય બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ વધુ સરળ છે. તેથી, વિડિયો સિમ્યુલેટરમાં દૃષ્ટિની અવલોકન કરેલ વાતાવરણનું અનુકરણ કરતી વખતે આ અભિગમનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.
આજે આપણે વર્ચ્યુઅલ કેમેરા ઉપકરણ પર નજીકથી નજર નાખીશું. ચાલો ચિત્રથી શરૂઆત કરીએ.
આકૃતિમાં આપણે કેમેરાની સંકલન જગ્યા જોઈએ છીએ. કેમેરાની દિશા ("દેખાવ") હંમેશા z-અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે એકરુપ હોય છે, અને કૅમેરા પોતે મૂળ સ્થાને સ્થિત છે.
આકૃતિમાં બતાવેલ પિરામિડની આંતરિક જગ્યા એ વર્ચ્યુઅલ વિશ્વનો તે ભાગ છે જે વપરાશકર્તા જોશે.
ત્રણ વિમાનો પર ધ્યાન આપો. પ્રથમ z અક્ષ સાથે 1 ના અંતરે સ્થિત છે. આ નજીકનું વિમાન છે. ખેલાડી તેની પહેલાં શું છે તે ક્યારેય જોઈ શકશે નહીં. IN આ કિસ્સામાં z ની કિંમત એક સમાન છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે કહીએ તો તે કંઈપણ હોઈ શકે છે. એક ગ્રાફિક્સ ડિસ્પ્લે ખામી નજીકના પ્લેન સાથે સંકળાયેલ છે. આ ખામી મુખ્યત્વે શૂટર્સમાં દેખાય છે (કારણે મહાન સ્વતંત્રતાકેમેરા). જ્યારે તમે ઑબ્જેક્ટની ખૂબ નજીક જાઓ છો, ત્યારે તમે "અંદર" થઈ શકો છો. થી નવીનતમ રમતોઆ ખામી ખાસ કરીને લેફ્ટ 4 ડેડમાં ઉચ્ચારવામાં આવી હતી: જ્યારે ઝોમ્બિઓનું ટોળું પ્લેયર પર પડે છે, ત્યારે અન્ય પાત્રોની અંદર જોવાનું ઘણી વાર શક્ય હતું.
z અક્ષ સાથે 100 એકમોના અંતરે સ્થિત વિમાનને દૂરનું વિમાન કહેવામાં આવે છે. ફરીથી, મૂલ્ય મનસ્વી હોઈ શકે છે. વપરાશકર્તા ક્યારેય આ પ્લેનથી આગળ સ્થિત વસ્તુઓ જોઈ શકશે નહીં.
છ વિમાનો કે જે જગ્યાને મર્યાદિત કરે છે જે વપરાશકર્તા જોશે તેને ક્લિપિંગ પ્લેન કહેવામાં આવે છે: ડાબે, જમણે, ઉપર, નીચે, નજીક અને દૂર.
નજીક અને દૂરની વચ્ચે સ્થિત પ્લેન પ્રક્ષેપણ છે. ભવિષ્યમાં, અમે આ પ્લેનને z=1 પર મૂકીશું, એટલે કે. તે નજીકના એક સાથે સુસંગત રહેશે. અહીં મેં નજીકના અને પ્રક્ષેપણ વિમાનોને અલગ કર્યા છે તે બતાવવા માટે કે તે સમાન વસ્તુ નથી. પ્રક્ષેપણ પ્લેન છેલ્લા સંકલન પરિવર્તન માટે છે: માંથી પરિવર્તન ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાકેમેરા - દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યામાં.
તે પ્રક્ષેપણ પ્લેનનો આભાર છે જે વપરાશકર્તા જોશે વર્ચ્યુઅલ વિશ્વ. વાસ્તવમાં, આ પ્લેન તે છે જે વપરાશકર્તા જોશે. પ્રોજેક્શન પ્લેન ફોરગ્રાઉન્ડ/બેકગ્રાઉન્ડ બફર્સ, પ્રોગ્રામ વિન્ડો અને યુઝર સ્ક્રીન જેવી વિભાવનાઓ સાથે સીધો સંબંધ ધરાવે છે. આ તમામ વિભાવનાઓને એક લંબચોરસ ચિત્ર તરીકે ગણી શકાય, જે કોમ્પ્યુટર મેમરીમાં સંખ્યાઓની શ્રેણી દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ત્રિ-પરિમાણીય વિશ્વમાંથી પ્રક્ષેપણ પ્લેનમાં કોઓર્ડિનેટ્સને રૂપાંતરિત કરવું તે સૌથી મુશ્કેલ છે આ ક્ષણેઅમારા દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.
દૃશ્ય ક્ષેત્ર
ઉપરની આકૃતિમાં, પ્રક્ષેપણ પ્લેન (અને તેથી તે છબી જે વપરાશકર્તા જોશે) ની પહોળાઈ છે વધુ ઊંચાઈ. પ્રક્ષેપણ પ્લેનની પહોળાઈ અને ઊંચાઈ કોણનો ઉપયોગ કરીને નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. મળો વિવિધ નામોઆ ખૂણાઓ: દૃશ્યનું ક્ષેત્ર અથવા જોવાનું ક્ષેત્ર. અંગ્રેજીમાં - દૃશ્યના ક્ષેત્રો. 
જોવાના વિસ્તારો બે ખૂણાઓ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. ચાલો તેમને કૉલ કરીએ: fovx - આડું જોવાનું ક્ષેત્ર, fovy - ઊભી જોવાનું ક્ષેત્ર. જોવાના વિસ્તારો વિશે વિગતો: નીચે.
Z-buffer / w-buffer / depth buffer (z-buffer / w-buffer / depth buffer)
ચાલો ચિત્ર જોઈએ, જે બે ત્રિકોણ બતાવે છે: કેમેરાથી 25 અને 50 એકમોના અંતરે. આકૃતિ (a) અવકાશમાં ત્રિકોણનું સ્થાન બતાવે છે (ટોચનું દૃશ્ય), અને આકૃતિ (b) અંતિમ છબી બતાવે છે: 
જેમ તમે અનુમાન કરી શકો છો, છબીને સૌથી દૂરના તત્વોથી શરૂ કરીને અને નજીકના તત્વો સાથે સમાપ્ત કરવાની જરૂર છે. સ્પષ્ટ ઉકેલ એ છે કે મૂળથી (કેમેરાથી) દરેક ઑબ્જેક્ટ સુધીના અંતરની ગણતરી કરવી અને પછી સરખામણી કરવી. IN કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સથોડી વધુ અદ્યતન પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે. આ મિકેનિઝમના ઘણા નામો છે: z-બફર, ડબલ્યુ-બફર, ડેપ્થ બફર. તત્વોની સંખ્યાના સંદર્ભમાં z-બફરનું કદ પૃષ્ઠભૂમિ અને મુખ્ય બફરના કદ જેટલું જ છે. કેમેરાની સૌથી નજીકના ઑબ્જેક્ટનો z- ઘટક z-બફરમાં દાખલ થાય છે. આ ઉદાહરણમાં, જ્યાં વાદળી ત્રિકોણ લીલા ત્રિકોણને ઓવરલેપ કરે છે, ત્યાં વાદળીના z-કોઓર્ડિનેટ્સ ઊંડાઈના બફરમાં દાખલ થશે. અમે એક અલગ પાઠમાં z-બફર્સ વિશે વધુ વિગતવાર વાત કરીશું.
ઓર્થોગ્રાફિક / સમાંતર પ્રક્ષેપણ
ઑપરેશન કે જેમાં અવકાશનું પરિમાણ ઘટે છે (ત્યાં ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા હતી, તે દ્વિ-પરિમાણીય બની હતી) પ્રક્ષેપણ કહેવાય છે. સૌ પ્રથમ, અમને પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણમાં રસ છે, પરંતુ પ્રથમ આપણે સમાંતર (સમાંતર અથવા ઓર્થોગ્રાફિક પ્રક્ષેપણ) થી પરિચિત થઈશું. 
ગણતરી કરવી સમાંતર પ્રક્ષેપણવધારાના સંકલનને કાઢી નાખવા માટે તે પૂરતું છે. જો આપણી પાસે અવકાશમાં એક બિંદુ છે [ 3 3 3 ], તો પછી પ્લેન z=1 પર સમાંતર પ્રક્ષેપણ સાથે, તે બિંદુમાં પ્રક્ષેપિત થશે.
પ્રોજેક્શન પ્લેન પર પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ
આ પ્રકારના પ્રક્ષેપણમાં, બધી રેખાઓ એક બિંદુ પર ભેગા થાય છે. આ જ રીતે આપણી દ્રષ્ટિ કામ કરે છે. અને તે પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણની મદદથી છે કે બધી રમતોમાં "દેખાવ" મોડેલ કરવામાં આવે છે.
અગાઉના પાઠમાંથી એકરૂપ સંકલન દર્શાવતા ચિત્ર સાથે આ ચિત્રની તુલના કરો. ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાંથી દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશમાં જવા માટે, તમારે વેક્ટરના પ્રથમ બે ઘટકોને ત્રીજા દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે: [ x/z y/z z/z ] = [ x/z y/z 1 ].
મેં ઉપર લખ્યું તેમ, પ્રોજેક્શન પ્લેન નજીક અને દૂરની વચ્ચે ગમે ત્યાં સ્થિત હોઈ શકે છે. આપણે હંમેશા પ્રોજેક્શન પ્લેનને z=1 પર રાખીશું, પરંતુ આ ટ્યુટોરીયલમાં આપણે અન્ય વિકલ્પો જોઈશું. ચાલો ચિત્ર જોઈએ:
ચાલો કોઓર્ડિનેટના મૂળથી પ્રક્ષેપણ સમતલનું અંતર d તરીકે દર્શાવીએ. અમે બે કિસ્સાઓ પર વિચાર કરીશું: d=1 અને d=5. મહત્વનો મુદ્દો: પ્રક્ષેપણ પછીના તમામ વેક્ટરનો ત્રીજો ઘટક d ની બરાબર હોવો જોઈએ - બધા બિંદુઓ સમાન સમતલ z=d માં સ્થિત છે. વેક્ટરના તમામ ઘટકોને d દ્વારા ગુણાકાર કરીને આ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે: [ xd/z yd/z zd/z ]. d=1 સાથે, આપણને મળે છે: [ x/z y/z 1 ], આ એક સૂત્ર છે જેનો ઉપયોગ સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સને બદલવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો.
હવે, જો આપણે પ્રોજેક્શન પ્લેનને બિંદુ z=5 (અનુક્રમે d=5) પર ખસેડીએ, તો આપણને મળશે: [ xd/z yd/z zd/z ] = [ 5x/z 5y/z 5 ]. છેલ્લું સૂત્ર અવકાશના તમામ વેક્ટરને એક પ્લેનમાં પ્રોજેક્ટ કરે છે, જ્યાં d=5.
અમને અહીં થોડી સમસ્યા છે. અગાઉનું સૂત્ર ત્રિ-પરિમાણીય વેક્ટર સાથે કામ કરે છે. પરંતુ અમે ઉપયોગ કરવા સંમત થયા 4D વેક્ટર. આ કિસ્સામાં ચોથો ઘટક ખાલી કાઢી શકાય છે. પરંતુ અમે આ કરીશું નહીં, કારણ કે તેનો ઉપયોગ કેટલીક વિશિષ્ટ ક્ષમતાઓ પ્રદાન કરે છે જેની આપણે પછીથી ચર્ચા કરીશું.
શોધવાની જરૂર છે સામાન્ય વિભાજકત્રીજા અને ચોથા ઘટકો, જ્યારે વિભાજિત કરવામાં આવે ત્યારે d મૂલ્ય ત્રીજા ઘટકમાં રહે છે અને ચોથામાં એકતા. આ વિભાજક d/z છે. હવે સામાન્ય વેક્ટર [ x y z 1 ] માંથી આપણે પ્રોજેક્શન (વિભાગ) [ x y z z/d ] માટે વેક્ટર તૈયાર કરવાની જરૂર છે. આ ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે (આ મેટ્રિક્સ દ્વારા કોઈપણ વેક્ટરનો ગુણાકાર કરીને પરિણામ તપાસો):
છેલ્લું પરિવર્તન હજી પ્રક્ષેપણ નથી. અહીં આપણે ફક્ત બધા વેક્ટરને આપણને જોઈતા ફોર્મમાં ઘટાડીએ છીએ. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે આપણે પ્રોજેક્શન પ્લેનને d=1 પર મુકીશું, જેનો અર્થ છે કે વેક્ટર આના જેવો દેખાશે: [ x y z z ].
પરિપ્રેક્ષ્ય પરિવર્તન મેટ્રિક્સ
અમે ડાયરેક્ટએક્સમાં વપરાતા પરિપ્રેક્ષ્ય પરિવર્તન મેટ્રિક્સને જોઈશું: 
હવે આપણે જાણીએ છીએ કે તત્વ _34 કયા હેતુ માટે છે. અમે એ પણ જાણીએ છીએ કે તત્વો _11 અને _22 છબીને આડા અને ઊભી રીતે માપે છે. ચાલો જોઈએ xScale અને yScale નામો પાછળ બરાબર શું છુપાયેલું છે.
આ ચલો આપણે ઉપર ચર્ચા કરેલ જોવાના વિસ્તારો પર આધાર રાખે છે. આ ખૂણાઓને વધારીને અથવા ઘટાડીને, તમે ઇમેજને સ્કેલ (સ્કેલ અથવા ઝૂમ) કરી શકો છો - પ્રોજેક્શન પ્લેનનું કદ અને પાસા રેશિયો બદલી શકો છો. ઝૂમ મિકેનિઝમ અસ્પષ્ટપણે કેમેરા/કેમેરામાં ઝૂમની યાદ અપાવે છે - સિદ્ધાંત ખૂબ સમાન છે. ચાલો ચિત્ર જોઈએ:
ચાલો કોણ ફોવને બે ભાગમાં વિભાજીત કરીએ અને માત્ર એક અડધા ભાગને ધ્યાનમાં લઈએ. આપણે અહીં શું જોઈએ છીએ: કોણ fov/2 (અને, તે મુજબ, કોણ fov) વધારીને, આપણે કોણનું પાપ વધારીએ છીએ અને cos ઘટાડીએ છીએ. આ પ્રોજેક્શન પ્લેનમાં વધારો તરફ દોરી જાય છે અને તે મુજબ, અંદાજિત વસ્તુઓમાં ઘટાડો થાય છે. અમારા માટે આદર્શ કોણ fov/2 = P/4 હશે. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે P/4 રેડિયનમાં કોણ 45 ડિગ્રી બરાબર છે. આ કિસ્સામાં, fov 90 ડિગ્રી સમાન હશે. શા માટે 45 ડિગ્રીનો ખૂણો આપણા માટે સારો છે? આ કિસ્સામાં, કોઈ સ્કેલિંગ નથી, અને cos(P/4)/sin(P/4)=1.
હવે આપણે અડધા વ્યુઇંગ એરિયાની સાઈન અને કોસાઈનનો ઉપયોગ કરીને ઈમેજને ઊભી રીતે (આડી રીતે) સરળતાથી માપી શકીએ છીએ (C++ માં કોટેન્જેન્ટ ફંક્શનને cot કહેવાય છે):
yScale = cos(fovY/2)/sin(fovY/2) = cot(fovY/2)
ડાયરેક્ટએક્સ ફક્ત વર્ટિકલ ફીલ્ડ ઓફ વ્યુ (fovY) નો ઉપયોગ કરે છે, અને હોરીઝોન્ટલ સ્કેલિંગ તેના પર આધાર રાખે છે વર્ટિકલ ઝોનદૃશ્ય અને પાસા રેશિયો.
ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે અમારા પ્રોગ્રામ્સની વિન્ડો 500x500 સાઈઝની છે. સાપેક્ષ ગુણોત્તર: 1 થી 1. તેથી, ચલો સમાન હશે: xScale=1, yScale=1.
માનક મોનિટર/ટીવી આસ્પેક્ટ રેશિયો: 4:3. આ ગુણોત્તર સ્ક્રીન રીઝોલ્યુશનને અનુરૂપ છે: 640x480, 800x600, 1600x1200. અમે હજી સુધી પૂર્ણ સ્ક્રીન મોડને સ્પર્શ કરીશું નહીં, પરંતુ અમે પ્રોગ્રામ વિંડોનું કદ બદલી શકીએ છીએ. તમે વિંડોનું કદ (હાલના પરિમાણોમાં) બદલી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, 640X480. પરંતુ તમામ વસ્તુઓને ખેંચાતા અટકાવવા માટે (ચોરસ લંબચોરસ જેવા દેખાશે), પ્રોજેક્શન મેટ્રિક્સમાં અનુરૂપ ચલોને બદલવાનું ભૂલશો નહીં.
હું લગભગ ભૂલી ગયો છું, ડાયરેક્ટએક્સમાં xScale માટે ફોરમ:
xScale = yScale/પાસા રેશિયો
આસ્પેક્ટ રેશિયો સરળ રીતે સેટ કરેલ છે: 1/1, 4/3, 16/9 - આ પ્રમાણભૂત છે.
પરિપ્રેક્ષ્ય પરિવર્તન મેટ્રિક્સના તત્વો _33, _34 નો હેતુ શોધવાનું બાકી છે. zf એ દૂરના વિમાનનું z-સંકલન છે (દૂરથી - દૂર), અને zn એ નજીકના વિમાનનું z-સંકલન છે (નજીકથી - નજીકથી). નોંધ કરો કે તત્વ _43 = _33 * -zn.
આ સૂત્રો બરાબર શું કરે છે તે સમજવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો છે ઉદાહરણો સાથે. ચાલો પ્રમાણભૂત વેક્ટર [ x y z w ] ને ઉપર પ્રસ્તુત મેટ્રિક્સ વડે ગુણાકાર કરીએ. હું ભલામણ કરું છું કે તમે કાગળનો ટુકડો અને પેન્સિલ લઈને આ કરો (મને આશા છે કે તમને યાદ હશે કે બે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કેવી રીતે કરવો). વેક્ટર ઘટકો નીચેનું સ્વરૂપ લેશે.
1લી = x*xસ્કેલ
2જી = y*yScale
3જી = z*(zf/(zf-zn)) + w*(-(zn*zf)/(zf-zn)) = (zf/(zf-zn))*(z - w*zn)
4થી = (w*z)/d
ચાલો પ્રોજેક્શન ટ્રાન્સફોર્મેશન કરીએ (આપણે બધા ઘટકોને 4થા ઘટકમાં વિભાજીત કરીએ છીએ, અને ધારીએ છીએ કે d=1 અને w=1):
1લી = (d*x*xScale)/(w*z) = (x*xScale)/z
2જી = (d*y*yScale)/(w*z) = (y*xScale)/z
3જી = (zf/(zf-zn))*(z - w*zn)*(w*d/z) = (zf/(zf-zn))*(1 - zn/z)
ચોથું = 1
પરિણામે, અમને ફોર્મનો વેક્ટર મળ્યો:
[ x/(z*xScale) y/(z*yScale) (zf/(zf-zn))*(1-zn/z) 1 ]
હવે, જો તમે zf અને zn માટે ચોક્કસ મૂલ્યોનો ઉલ્લેખ કરો છો, તો તમને નીચેના (માટે હકારાત્મક મૂલ્યો): જો વેક્ટર નજીકના પ્લેન પહેલાં સ્થિત હોય, તો રૂપાંતર પછી z- ઘટક હશે શૂન્ય કરતાં ઓછું, જો વેક્ટર દૂરના વિમાનની પાછળ સ્થિત છે, તો z- ઘટક એકતા કરતા વધારે હશે.
નજીકના અને દૂરના વિમાનો બરાબર ક્યાં સ્થિત છે તેમાં કોઈ તફાવત નથી: zn=1, zf=10 અથવા zn=10, અને zf=100 (અથવા અન્ય કોઈપણ મૂલ્યો) - રૂપાંતર પછી, દૃશ્યમાન વિસ્તાર અંતરાલમાં સ્થિત થશે. શૂન્યથી એક સુધી, સમાવિષ્ટ.
પ્રોજેક્શન મેટ્રિક્સના તત્વો _33, _34 માંના સૂત્રોનો હેતુ આ ચોક્કસ છે - નજીકથી દૂરના પ્લેન સુધીના અંતરને સેગમેન્ટમાં પ્રોજેક્ટ કરવા માટે. માટે ઘણા વેક્ટરના મૂલ્યોની ગણતરી કરીને આ તપાસો ચોક્કસ મૂલ્યો zn,zf (હા, કાગળના ટુકડા પર!!!).
વર્ષોના કાર્યો. વોલોશિન મેક્સિમિલિયન. કવિની વીરતા. 1. વિદેશ મોકલવાના લખાણની જેમ કવિતાને સંપાદિત કરો: શુષ્કતા, સ્પષ્ટતા, દબાણ - દરેક શબ્દ ચેતવણી પર છે.
સખત અને ખેંચાણવાળા પથ્થર પર પત્ર દ્વારા પત્ર કાપવા: કરતાં ઓછા શબ્દો, વધુ તીવ્ર તેમની તાકાત. વિચારોનો સ્વૈચ્છિક ચાર્જ શાંત પંક્તિઓ સમાન છે.
શબ્દકોષમાંથી "સુંદરતા", "પ્રેરણા" ને ભૂંસી નાખો - કવિ સમજે છે: સત્ય, ડિઝાઇન, યોજના, સમાનતા, સંક્ષિપ્તતા અને ચોકસાઈ. શાંત, કઠિન હસ્તકલા એ કવિની પ્રેરણા અને સન્માન છે: બહેરા-મૂંગા બાબતમાં, અતીન્દ્રિય જાગ્રતતાને તીક્ષ્ણ કરવા માટે. વોલોશિન એમ.એ. પુસ્તકાલય: ઓરીઓલ પ્રાદેશિક વૈજ્ઞાનિક યુનિવર્સલ લાઇબ્રેરી જાહેર પુસ્તકાલયતેમને I.A. બુનીના. - એમ., ; પસંદ કરેલી કૃતિઓ: 2 ભાગમાં.
એમ., ; રેડ સ્મોક: વાર્તાઓ. - એમ., ; રિકોનિસન્સ કંપનીમાંથી ગ્લેડીશેવ: વાર્તાઓ. - એમ., ; ઇકેલોન; અનિવાર્યતા: નવલકથાઓ. તેણે મારી અને ઉદમુર્ત કવિઓના ઘણાં અનુવાદો કર્યા. સમયાંતરે મેં ગદ્યમાં પણ હાથ અજમાવ્યો. ઓપ. મેક્સિમિલિયન એલેક્ઝાન્ડ્રોવિચ વોલોશિન () - એક મહાન કવિઓ 20મી સદીનો પ્રથમ ત્રીજો ભાગ. આ એક પ્રતિભાશાળી કલાકાર છે, બહુપક્ષીય ગીતકાર છે, પાથ ભૂતકાળપ્રતીકવાદી, વિશિષ્ટ કવિતાઓથી લઈને નાગરિક-પત્રકારાત્મક અને વૈજ્ઞાનિક-દાર્શનિક કવિતાઓ, માનવશાસ્ત્રીય પૂર્વાનુમાન દ્વારા - "ઈશ્વરના શહેરના આદર્શ" સુધી.
સૂચિત પ્રકાશન વાચકને માત્ર શ્રેષ્ઠ સાથે જ પરિચિત થવા દે છે કાવ્યાત્મક કાર્યોવોલોશિન, પણ - તેના સૌથી વધુ સાથે રસપ્રદ કાર્યોસૌંદર્ય શાસ્ત્ર, સંસ્મરણો ગદ્ય, પત્રકારત્વ અને દેશોના જીવનમાં નાટકીય ઘટનાઓથી સંબંધિત પત્રોમાં. લેખક. વોલોશિન મેક્સિમિલિયન. લેખકની બધી કવિતાઓ. કામ. કવિનું શૌર્ય. 2. તારા. લેખકો અને કવિતાઓના મનપસંદ સંગ્રહો બનાવો!
સમાન વિચાર ધરાવતા લોકો સાથે ચેટ કરો! સમીક્ષાઓ લખો, કવિતા દ્વંદ્વયુદ્ધ અને સ્પર્ધાઓમાં ભાગ લો! શ્રેષ્ઠ જોડાઓ! Poembook માં જોડાવા બદલ આભાર! એકાઉન્ટ એક્સેસ ડેટા સાથેનો એક પત્ર તમારા ઇમેઇલ પર મોકલવામાં આવ્યો છે!
તમારે 24 કલાકની અંદર લૉગ ઇન કરવું પડશે. નહિંતર, એકાઉન્ટ કાઢી નાખવામાં આવશે! નોંધાયેલા વપરાશકર્તાઓને ઘણા લાભો મળે છે: કવિતા પ્રકાશિત કરો - તમારી પ્રતિભાનો અહેસાસ કરો! લેખકો અને કવિતાઓના મનપસંદ સંગ્રહો બનાવો! સમાન વિચાર ધરાવતા લોકો સાથે ચેટ કરો! સમીક્ષાઓ લખો, કવિતા દ્વંદ્વયુદ્ધ અને સ્પર્ધાઓમાં ભાગ લો!. મેક્સિમિલિયન વોલોશિન. વર્ણન. મેક્સિમિલિયન એલેક્ઝાન્ડ્રોવિચ વોલોશિન 20મી સદીના પ્રથમ ત્રીજા ભાગના મહાન કવિઓમાંના એક છે.
તે એક પ્રતિભાશાળી કલાકાર છે, બહુપક્ષીય ગીતકાર છે, જેમણે પ્રતીકવાદી, વિશિષ્ટ કવિતાઓથી નાગરિક-પત્રકારાત્મક અને વૈજ્ઞાનિક-દાર્શનિક કવિતા તરફ, માનવશાસ્ત્રીય પૂર્વાનુમાન દ્વારા - "ભગવાનના શહેરનો આદર્શ" સુધીનો માર્ગ પસાર કર્યો છે. સૂચિત પ્રકાશન વાચકને માત્ર વોલોશિનની શ્રેષ્ઠ કાવ્યાત્મક કૃતિઓથી જ નહીં, પણ સૌંદર્ય શાસ્ત્ર, સંસ્મરણ ગદ્ય, પત્રકારત્વ અને નાટક સંબંધિત પત્રો પરની તેમની સૌથી રસપ્રદ કૃતિઓથી પણ પરિચિત થવાની તક આપે છે.
પસંદ કરેલા કાર્યો અને પત્રો. એમ. એ. વોલોશિન. કિંમત. ઘસવું મેક્સિમિલિયન એલેક્ઝાન્ડ્રોવિચ વોલોશિન 20મી સદીના પ્રથમ ત્રીજા ભાગના મહાન કવિઓમાંના એક છે. તે એક પ્રતિભાશાળી કલાકાર છે, બહુપક્ષીય ગીતકાર છે, જેમણે પ્રતીકવાદી, વિશિષ્ટ કવિતાઓથી નાગરિક-પત્રકારાત્મક અને વૈજ્ઞાનિક-દાર્શનિક કવિતા તરફ, માનવશાસ્ત્રીય પૂર્વાનુમાન દ્વારા - "ભગવાનના શહેરનો આદર્શ" સુધીનો માર્ગ પસાર કર્યો છે.
વોલોશિન એમ.એ., ધ પોએટ્સ વેલોર: સિલેક્ટેડ વર્ક્સ એન્ડ લેટર્સ. શ્રેણી: નવી લાઇબ્રેરીરશિયન ક્લાસિક: આવશ્યક નકલ પરેડ, શહેર, પૃષ્ઠ, પુસ્તકનું વર્ણન. મેક્સિમિલિયન એલેક્ઝાન્ડ્રોવિચ વોલોશિન () 20મી સદીના પ્રથમ ત્રીજા ભાગના મહાન કવિઓમાંના એક છે. તે એક પ્રતિભાશાળી કલાકાર છે, એક બહુપક્ષીય ગીતકાર છે, જેમણે પ્રતીકવાદી, વિશિષ્ટ કવિતાઓથી નાગરિક-પત્રકારાત્મક અને વૈજ્ઞાનિક-દાર્શનિક કવિતા સુધી, માનવશાસ્ત્રીય પૂર્વાનુમાન દ્વારા - "ઈશ્વરના શહેરનો આદર્શ" સુધીનો માર્ગ પ્રવાસ કર્યો છે.
શ્રેણીઓપોસ્ટ નેવિગેશન
