બે ચલોના કાર્યના અંતિમ ભાગ માટે પૂરતી સ્થિતિ
1. બિંદુના અમુક પડોશમાં ફંક્શનને સતત અલગ-અલગ રહેવા દો અને બીજા ક્રમ (શુદ્ધ અને મિશ્ર)ના સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવો.
2. ચાલો બીજા-ક્રમ નિર્ણાયક દ્વારા સૂચિત કરીએ
એક્સ્ટ્રીમ વેરીએબલ લેક્ચર ફંક્શન
પ્રમેય
જો કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેનો બિંદુ કાર્ય માટે સ્થિર બિંદુ છે, તો પછી:
એ) તે સ્થાનિક છેડાનો એક બિંદુ છે અને, સ્થાનિક મહત્તમ પર, તે સ્થાનિક લઘુત્તમ છે;
સી) બિંદુ પર સ્થાનિક છેડો બિંદુ નથી;
સી) જો, કદાચ બંને.
પુરાવો
ચાલો ફંક્શન માટે ટેલર ફોર્મ્યુલા લખીએ, પોતાને બે શબ્દો સુધી મર્યાદિત કરીએ:
કારણ કે, પ્રમેયની શરતો અનુસાર, બિંદુ સ્થિર છે, બીજા ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્ય સમાન છે, એટલે કે. અને. પછી
ચાલો સૂચિત કરીએ
પછી ફંક્શનનો વધારો ફોર્મ લેશે:
બીજા ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ (શુદ્ધ અને મિશ્ર) ની સાતત્યને કારણે, એક બિંદુ પર પ્રમેયની શરતો અનુસાર, આપણે લખી શકીએ છીએ:
ક્યાં અથવા; ,
1. ચાલો અને, એટલે કે. અથવા
2. ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટનો ગુણાકાર કરો અને વડે ભાગાકાર કરો, આપણને મળે છે:
3. ચાલો તેમાં અભિવ્યક્તિ ઉમેરીએ સર્પાકાર કૌંસથી સંપૂર્ણ ચોરસરકમો:
4. સર્પાકાર કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ બિન-નકારાત્મક છે, ત્યારથી
5. તેથી, જો કોઈ માધ્યમ અને, પછી અને તેથી, વ્યાખ્યા અનુસાર, બિંદુ એ સ્થાનિક લઘુત્તમનો બિંદુ છે.
6. જો કોઈ અર્થ હોય અને, તો વ્યાખ્યા મુજબ, કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેનો બિંદુ એ સ્થાનિક મહત્તમનો એક બિંદુ છે.
2. ધ્યાનમાં લો ચતુર્ભુજ ત્રિપદી, તેના ભેદભાવપૂર્ણ, .
3. જો, તો એવા બિંદુઓ છે કે જે બહુપદી
4. અમે I માં મેળવેલ અભિવ્યક્તિ અનુસાર એક બિંદુ પર કાર્યની કુલ વૃદ્ધિ લખીએ છીએ:
5. બીજા ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝની સાતત્યને કારણે, એક બિંદુ પર પ્રમેયની શરતો અનુસાર, આપણે લખી શકીએ છીએ કે
તેથી, એક બિંદુની પડોશી છે જેમ કે, કોઈપણ બિંદુ માટે, ચતુર્ભુજ ત્રિપદી શૂન્ય કરતા વધારે છે:
6. બિંદુના પડોશને ધ્યાનમાં લો.
ચાલો કોઈપણ મૂલ્ય પસંદ કરીએ, તેથી સમયગાળો. ધારી રહ્યા છીએ કે કાર્યના વધારાના સૂત્રમાં
આપણને શું મળે છે:
7. ત્યારથી.
8. રુટ માટે સમાન રીતે દલીલ કરતા, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે બિંદુના કોઈપણ -પડોશમાં એક બિંદુ છે જેના માટે, તેથી, બિંદુની પડોશમાં નિશાની સાચવી શકાતી નથી, તેથી બિંદુ પર કોઈ છેડો નથી.
બે ચલોના કાર્યની શરતી સીમા
જ્યારે બે ચલોના ફંક્શનની સીમા શોધવામાં આવે છે, ત્યારે ઘણી વખત કહેવાતા કન્ડિશનલ એક્સ્ટ્રીમમ સાથે સંબંધિત સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે. આ ખ્યાલને બે ચલોના કાર્યના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને સમજાવી શકાય છે.
0xy પ્લેન પર ફંક્શન અને લીટી L આપવા દો. કાર્ય એ લીટી L પર એક બિંદુ P (x, y) શોધવાનું છે કે જેના પર બિંદુ P નજીક સ્થિત રેખા L પરના બિંદુઓ પર આ કાર્યના મૂલ્યોની તુલનામાં ફંક્શનનું મૂલ્ય સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું છે. આવા બિંદુઓ P લાઇન L પર કન્ડિશનલ એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ ફંક્શન કહેવાય છે. સામાન્ય એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટથી વિપરીત, કન્ડિશનલ એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ પરના ફંક્શનના મૂલ્યની સરખામણી તેના પડોશના તમામ પોઈન્ટ પર નહીં, પરંતુ માત્ર તે જ સાથે કરવામાં આવે છે જે જૂઠું બોલે છે. લાઇન એલ પર.
તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે આ બિંદુ પરથી પસાર થતી કોઈપણ લાઇન માટે સામાન્ય છેડાનું બિંદુ (તેઓ બિનશરતી છેડાનું પણ કહે છે) પણ શરતી અંતિમ બિંદુ છે. વાતચીત, અલબત્ત, સાચી નથી: શરતી આત્યંતિક બિંદુ સામાન્ય અંતિમ બિંદુ ન હોઈ શકે. ચાલો આને એક ઉદાહરણથી સમજાવીએ.
ઉદાહરણ નંબર 1.કાર્યનો ગ્રાફ ઉપલા ગોળાર્ધ (ફિગ. 2) છે.
ચોખા. 2.
આ કાર્ય મૂળ પર મહત્તમ છે; તે ગોળાર્ધના શિરોબિંદુ M ને અનુલક્ષે છે. જો રેખા L એ બિંદુ A અને B (તેનું સમીકરણ) માંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે, તો તે ભૌમિતિક રીતે સ્પષ્ટ છે કે આ રેખાના બિંદુઓ માટે ઉચ્ચતમ મૂલ્યફંક્શન એ પોઈન્ટ A અને B વચ્ચેના મધ્યમાં આવેલા બિંદુ પર પહોંચે છે. આ લાઇન પર ફંક્શનના શરતી સીમા (મહત્તમ) નો બિંદુ છે; તે ગોળાર્ધ પરના પોઈન્ટ M 1 ને અનુરૂપ છે, અને આકૃતિ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે અહીં કોઈ સામાન્ય અંતિમની વાત કરી શકાતી નથી.
નોંધ કરો કે કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવાની સમસ્યાના અંતિમ ભાગમાં બંધ વિસ્તારઆપણે આ પ્રદેશની સીમા પર ફંક્શનના આત્યંતિક મૂલ્યો શોધવા પડશે, એટલે કે. અમુક લાઇન પર, અને ત્યાંથી શરતી આત્યંતિક સમસ્યા હલ કરો.
વ્યાખ્યા 1.તેઓ કહે છે કે જ્યાં સમીકરણને સંતોષતા બિંદુએ શરતી અથવા સંબંધિત મહત્તમ (લઘુત્તમ) છે: જો સમીકરણને સંતોષતા કોઈપણ બિંદુ માટે અસમાનતા
વ્યાખ્યા 2.સ્વરૂપના સમીકરણને અવરોધ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.
પ્રમેય
જો વિધેયો અને બિંદુની પડોશમાં સતત ભિન્ન હોય, અને આંશિક વ્યુત્પન્ન હોય, અને બિંદુ એ અવરોધ સમીકરણના સંદર્ભમાં ફંક્શનનો શરતી આત્યંતિક બિંદુ હોય, તો બીજા-ક્રમ નિર્ણાયક શૂન્ય બરાબર:
પુરાવો
1. ત્યારથી, પ્રમેયની શરતો અનુસાર, આંશિક વ્યુત્પન્ન અને કાર્યનું મૂલ્ય, પછી ચોક્કસ લંબચોરસમાં
ગર્ભિત કાર્ય વ્યાખ્યાયિત
એક બિંદુ પર બે ચલોના જટિલ કાર્યમાં સ્થાનિક એક્સ્ટ્રામમ હશે, તેથી, અથવા.
2. ખરેખર, પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સૂત્રની આક્રમક મિલકત અનુસાર
3. જોડાણ સમીકરણ આ સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે, જેનો અર્થ થાય છે
4. સમીકરણ (2) વડે, અને (3) વડે ગુણાકાર કરો અને તેમને ઉમેરો
તેથી, જ્યારે
મનસ્વી વગેરે
પરિણામ
વ્યવહારમાં બે ચલોના કાર્યના શરતી આત્યંતિક બિંદુઓની શોધ સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે
તેથી, કનેક્શન સમીકરણમાંથી ઉપરના ઉદાહરણ નંબર 1 માં આપણી પાસે છે. અહીંથી તે તપાસવું સરળ છે કે મહત્તમ સુધી શું પહોંચે છે. પરંતુ પછી સંચાર સમીકરણમાંથી. અમે બિંદુ P મેળવીએ છીએ, જે ભૌમિતિક રીતે જોવા મળે છે.
ઉદાહરણ નંબર 2.કપ્લીંગ સમીકરણને લગતા ફંક્શનના શરતી આત્યંતિક બિંદુઓ શોધો.
ચાલો આપેલ ફંક્શન અને કપ્લીંગ સમીકરણના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ:
ચાલો બીજા-ક્રમ નિર્ણાયક બનાવીએ:
ચાલો શરતી આત્યંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ લખીએ:
આનો અર્થ એ છે કે કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે ફંક્શનના શરતી સીમાના ચાર બિંદુઓ છે: .
ઉદાહરણ નંબર 3.કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ શોધો.
આંશિક ડેરિવેટિવ્સને શૂન્ય સાથે સરખાવીને: , આપણને એક સ્થિર બિંદુ મળે છે - મૂળ. અહીં,. પરિણામે, બિંદુ (0, 0) એ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ નથી. સમીકરણ એ સમીકરણ છે હાયપરબોલિક પેરાબોલોઇડ(ફિગ. 3) આકૃતિ બતાવે છે કે બિંદુ (0, 0) એ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ નથી.
ચોખા. 3.
બંધ પ્રદેશમાં ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય
1. બંધ ડોમેન D માં ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત અને સતત રહેવા દો.
2. પ્રદેશના વ્યક્તિગત બિંદુઓ સિવાય, ફંક્શનને આ પ્રદેશમાં મર્યાદિત આંશિક ડેરિવેટિવ્સ હોવા દો.
3. વેયરસ્ટ્રાસના પ્રમેય અનુસાર, આ પ્રદેશમાં એક બિંદુ છે જ્યાં ફંક્શન સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો લે છે.
4. જો આ બિંદુઓ D પ્રદેશના આંતરિક બિંદુઓ છે, તો દેખીતી રીતે તેમની પાસે મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ હશે.
5. આ કિસ્સામાં, અમારા માટે રુચિના મુદ્દાઓ છેડા પરના શંકાસ્પદ બિંદુઓમાંના છે.
6. જો કે, કાર્ય D પ્રદેશની સીમા પર સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય પણ લઈ શકે છે.
7. પ્રદેશ D માં ફંક્શનનું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે એક્સ્ટ્રીમમ માટે શંકાસ્પદ તમામ આંતરિક બિંદુઓ શોધવાની જરૂર છે, તેમાં ફંક્શનના મૂલ્યની ગણતરી કરો, પછી ફંક્શનના મૂલ્ય સાથે સરખામણી કરો. પ્રદેશના સીમા બિંદુઓ, અને તમામ મળેલા મૂલ્યોમાં સૌથી મોટું બંધ પ્રદેશ Dમાં સૌથી મોટું હશે.
8. સ્થાનિક મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ શોધવાની પદ્ધતિની અગાઉ વિભાગ 1.2 માં ચર્ચા કરવામાં આવી હતી. અને 1.3.
9. તે પ્રદેશની સીમા પર કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધવાની પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લેવાનું બાકી છે.
10. બેના કાર્યના કિસ્સામાં ચલ વિસ્તારસામાન્ય રીતે વળાંક અથવા અનેક વળાંકો દ્વારા મર્યાદિત દેખાય છે.
11. આવા વળાંક (અથવા અનેક વળાંકો) ની સાથે, ચલો અને કાં તો એક બીજા પર આધાર રાખે છે, અથવા બંને એક પરિમાણ પર આધાર રાખે છે.
12. આમ, બાઉન્ડ્રી પર ફંક્શન એક ચલ પર આધાર રાખે છે.
13. એક ચલના ફંક્શનની સૌથી મોટી કિંમત શોધવાની પદ્ધતિની અગાઉ ચર્ચા કરવામાં આવી હતી.
14. પ્રદેશ Dની સીમા આપવા દો પેરામેટ્રિક સમીકરણો:
પછી આ વળાંક પર બે ચલોનું કાર્ય પરિમાણનું જટિલ કાર્ય હશે: . આવા કાર્ય માટે, એક ચલના કાર્ય માટે સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો નક્કી કરવા માટેની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો નક્કી કરવામાં આવે છે.
ફંક્શન z - /(x, y) ને અમુક ડોમેન D માં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો અને Mo(xo, Vo) ને આ ડોમેનનો આંતરિક બિંદુ બનવા દો. વ્યાખ્યા. જો ત્યાં એવી સંખ્યા હોય કે જે તમામ પરિસ્થિતિઓને સંતોષવા માટે અસમાનતા સાચી હોય, તો બિંદુ Mo(xo, y) ફંક્શન f(x, y) નો સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ કહેવાય છે; જો બધા Dx, Du માટે, શરતો સંતોષતા હોય તો | પછી બિંદુ Mo(xo,yo) ને પાતળો સ્થાનિક લઘુત્તમ કહેવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બિંદુ M0(x0, y0) એ ફંક્શન /(x, y) નો મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ બિંદુ છે જો બિંદુ A/o(x0, y0) ની 6-પડોશી હોય તો તે બિલકુલ આના પોઈન્ટ M(x, y) ને પાડોશમાં, ફંક્શનનો વધારો તેની નિશાની જાળવી રાખે છે. ઉદાહરણો. 1. કાર્ય બિંદુ માટે - ન્યૂનતમ બિંદુ (ફિગ. 17). 2. કાર્ય માટે, બિંદુ 0(0,0) એ મહત્તમ બિંદુ છે (ફિગ. 18). 3. ફંક્શન માટે, બિંદુ 0(0,0) એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે. 4 ખરેખર, બિંદુ 0(0, 0) ની પડોશી છે, ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિજ્યા jનું વર્તુળ (જુઓ. ફિગ. 19), જેમાંથી કોઈપણ બિંદુએ, બિંદુ 0(0,0) થી અલગ છે, ફંક્શનનું મૂલ્ય /(x,y) 1 કરતા ઓછું = અમે ફંક્શનના કડક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ બિંદુઓને ત્યારે જ ધ્યાનમાં લઈશું જ્યારે કડક અસમાનતાઅથવા કડક અસમાનતા M(x) y) બિંદુ Mq ના કેટલાક પંચર થયેલ 6-પડોશમાંથી તમામ બિંદુઓ માટે ધરાવે છે. મહત્તમ બિંદુ પર કાર્યનું મૂલ્ય મહત્તમ કહેવાય છે, અને લઘુત્તમ બિંદુ પર કાર્યનું મૂલ્ય આ કાર્યનું લઘુત્તમ કહેવાય છે. ફંક્શનના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ પોઈન્ટને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ કહેવામાં આવે છે, અને ફંક્શનના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ પોઈન્ટને તેની એક્સ્ટ્રીમા કહેવામાં આવે છે. પ્રમેય 11 (એક અંતિમ માટે જરૂરી સ્થિતિ). જો કોઈ ફંક્શન એ ઘણા ચલોના ફંક્શનની સીમા છે. જરૂરી અનેપૂરતી શરતો આત્યંતિકશરતી આત્યંતિક સૌથી મહાન અને સૌથી નાનું મૂલ્યસતત કાર્યો બિંદુ પર એક સીમા છે, પછી આ બિંદુએ દરેક આંશિક વ્યુત્પન્ન u કાં તો અદૃશ્ય થઈ જાય છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.કાર્ય z = f(x) y) ને બિંદુ M0(x0, yо) પર એક્સ્ટ્રીમમ રાખવા દો. ચાલો ચલ y ની કિંમત oo આપીએ. પછી ફંક્શન z = /(x, y) એ એક ચલનું ફંક્શન હશે x\ કારણ કે x = xo પર તેની એક સીમા છે (મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ, ફિગ. 20), પછી તેનું વ્યુત્પન્ન x = “o, | (*o,l>)" શૂન્યની બરાબર છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી. એ જ રીતે, અમને ખાતરી છે કે) કાં તો શૂન્યની બરાબર છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી. જે બિંદુઓ પર = 0 અને χ = 0 અથવા અસ્તિત્વમાં નથી તેને જટિલ કહેવામાં આવે છે. ફંક્શનના બિંદુઓ z = Dx, y). જરૂરી શરતોચરમસીમાઓ જે પર્યાપ્ત નથી. ઉદાહરણ. કાર્ય ફિગ. 18 ફિગ. 20 immt ડેરિવેટિવ્ઝ જે શૂન્ય પર વળે છે. પરંતુ આ કાર્ય સ્ટ્રમના ઇમવત પર પાતળું છે.< 0. Если же то в точке Мо(жо>ફંક્શન f(x, y) ની સીમા અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે અથવા ન પણ હોય. આ કિસ્સામાં, વધુ સંશોધન જરૂરી છે. m ચાલો આપણે પ્રમેયના વિધાન 1) અને 2) સાબિત કરવા માટે પોતાને મર્યાદિત કરીએ. ચાલો ફંક્શન /(i, y): ક્યાં માટે સેકન્ડ-ઓર્ડર ટેલર ફોર્મ્યુલા લખીએ. શરત મુજબ, તે જોઈ શકાય છે કે વૃદ્ધિ D/ નું ચિહ્ન (1) ની જમણી બાજુએ ત્રિપદીના ચિહ્ન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, એટલે કે, બીજા વિભેદક d2f ની નિશાની. ચાલો તેને સંક્ષિપ્તતા માટે સૂચવીએ. પછી સમાનતા (l) નીચે પ્રમાણે લખી શકાય: ચાલો MQ(so, V0) બિંદુ પર આપણી પાસે છે... કારણ કે, શરત દ્વારા, ફંક્શન f(s, y) ના બીજા-ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ સતત છે, પછી અસમાનતા (3) બિંદુ M0(s0,yo) ના અમુક પડોશમાં પણ રહેશે. જો સ્થિતિ સંતુષ્ટ થાય (બિંદુ А/0 પર, અને સાતત્યના આધારે, ડેરિવેટિવ /,z(s,y) બિંદુ Af0 ના ચોક્કસ પડોશમાં તેની નિશાની જાળવી રાખશે. પ્રદેશમાં જ્યાં А Ф 0, આપણી પાસે આનાથી સ્પષ્ટ છે કે જો બિંદુ M0(x0) y0 ની અમુક પડોશમાં ЛС - В2 > 0 હોય, તો ત્રિકોણીય AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 બિંદુ પર A ની નિશાની સાથે મેળ ખાય છે. (તેથી, V0) (તેમજ C ના ચિહ્ન સાથે, કારણ કે AC - B2 > 0 A અને C માટે અલગ અલગ ચિહ્નો હોઈ શકતા નથી). બિંદુ (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) પર સરવાળા AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 નું ચિહ્ન તફાવતની નિશાની નક્કી કરે છે, તેથી આપણે ત્યાં પહોંચીએ છીએ નીચેના નિષ્કર્ષ પર: જો સ્થિર બિંદુ (s0, V0) પર કાર્ય /(s,y) સ્થિતિને સંતોષે છે, તો પૂરતા પ્રમાણમાં નાના માટે || અસમાનતા સંતોષાશે. આમ, બિંદુ (sq, V0) પર ફંક્શન /(s, y) મહત્તમ છે. જો સ્થિતિ સ્થિર બિંદુ (s0, y0) પર સંતુષ્ટ છે, તો પછી બધા પર્યાપ્ત નાના માટે |Dr| અને |ડુ| અસમાનતા સાચી છે, જેનો અર્થ થાય છે કે બિંદુ (so,yo) પર ફંક્શન /(s, y) ન્યૂનતમ છે. ઉદાહરણો. 1. એક્સ્ટ્રીમમ માટે ફંક્શનની તપાસ કરો 4 એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી શરતોનો ઉપયોગ કરીને, અમે ફંક્શનના સ્થિર બિંદુઓ શોધીએ છીએ. આ કરવા માટે, આપણે આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ u શોધીએ છીએ અને તેમને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ. અમે જ્યાંથી સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ - એક સ્થિર બિંદુ. ચાલો હવે પ્રમેય 12 નો ઉપયોગ કરીએ. આપણી પાસે આનો અર્થ છે કે બિંદુ Ml પર એક સીમા છે. કારણ કે આ ન્યૂનતમ છે. જો આપણે ફંક્શન r ને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ, તો તે જોવાનું સરળ છે જમણી બાજુ(“) ન્યૂનતમ હશે જ્યારે આ કાર્યનું સંપૂર્ણ લઘુત્તમ હશે. 2. એક્સ્ટ્રીમમ માટે ફંક્શનની તપાસ કરો. કારણ કે, પ્રમેય 12 ના આધારે, બિંદુ M પર કોઈ સીમા નથી. * 3. ફંક્શનની સીમાની તપાસ કરો. સમીકરણોની સિસ્ટમમાંથી આપણે તે મેળવીએ છીએ, તેથી બિંદુ સ્થિર છે. આગળ, આપણી પાસે છે કે પ્રમેય 12 એક્સ્ટ્રીમમની હાજરી અથવા ગેરહાજરી વિશેના પ્રશ્નનો જવાબ આપતું નથી. ચાલો આ રીતે કરીએ. બિંદુથી અલગ તમામ બિંદુઓ વિશેના કાર્ય માટે, તેથી, વ્યાખ્યા દ્વારા, અને બિંદુ A/o(0,0) ફંક્શન r પાસે ચોક્કસ ન્યૂનતમ છે. સમાન ગણતરીઓ દ્વારા આપણે સ્થાપિત કરીએ છીએ કે બિંદુ પર ફંક્શન મહત્તમ હોય છે, પરંતુ ફંક્શનમાં બિંદુ પર એક્સ્ટ્રીમમ નથી. બિંદુ પર n સ્વતંત્ર ચલોના ફંક્શનને ફંક્શનનો સ્થિર બિંદુ કહેવામાં આવે છે જો પ્રમેય 13 (એકસ્ટ્રીમ માટે પૂરતી શરતો સુધી). ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરવા દો અને ફાઇન Mt(xi...) ની કેટલીક પડોશમાં બીજા ક્રમના સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્સ ધરાવો, જે એક સ્થિર ફાઇન ફંક્શન છે જો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (ફાઇનમાં f ફંક્શનનો બીજો તફાવત ધન છે. ચોક્કસ (નકારાત્મક નિશ્ચિત), ફંક્શન f નો ન્યૂનતમ બિંદુ (અનુક્રમે, મહત્તમ દંડ) પાતળો છે, જો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (4) સાઇન-વૈકલ્પિક છે, તો તે નક્કી કરવા માટે ફાઇન LG0 માં કોઈ સીમા નથી. હશે. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (4) હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક ચોક્કસ, તમે ઉપયોગ કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની હકારાત્મક (નકારાત્મક) નિશ્ચિતતા માટે સિલ્વેસ્ટરનો માપદંડ. 15.2. કન્ડિશનલ એક્સ્ટ્રીમમ અત્યાર સુધી, અમે ફંક્શનના લોકલ એક્સ્ટ્રીમાને તેની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં શોધી રહ્યા છીએ, જ્યારે ફંક્શનની દલીલો કોઈપણ વધારાની શરતોથી બંધાયેલી નથી. આવા ચરમસીમાને બિનશરતી કહેવામાં આવે છે. જો કે, ઘણીવાર કહેવાતા શરતી ચરમસીમા શોધવાની સમસ્યાઓ હોય છે. D ડોમેનમાં ફંક્શન z = /(x, y) ને વ્યાખ્યાયિત કરવા દો. ચાલો ધારીએ કે આ ડોમેનમાં વળાંક L આપવામાં આવ્યો છે, અને આપણે ફંકશન f(x> y) ની સીમા શોધવાની જરૂર છે માત્ર તેમાંથી તેના મૂલ્યો કે જે વળાંક L ના બિંદુઓને અનુરૂપ છે. સમાન છેડાને વળાંક L પરના કાર્ય z = f(x) y) ની શરતી છેડા કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા તેઓ કહે છે કે વળાંક L પર પડેલા બિંદુ પર , કાર્ય /(x, y) માં શરતી મહત્તમ (ન્યૂનતમ) હોય છે જો અસમાનતા બધા બિંદુઓ M (s, y) y) વળાંક L પર સંતુષ્ટ હોય, જે બિંદુ M0(x0, V0) ના અમુક પડોશ સાથે સંબંધિત હોય અને અલગ બિંદુ M0 થી (જો વળાંક L સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો વળાંક પર ફંક્શન r - f(x,y) ની શરતી સીમા શોધવાની સમસ્યા! નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: x ની સીમા શોધો = /(z, y) પ્રદેશ D માં, પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે આમ, જ્યારે ફંક્શન z = y ની શરતી સીમા શોધવામાં આવે છે, ત્યારે વાઇલ્ડબીસ્ટની દલીલોને હવે સ્વતંત્ર ચલ તરીકે ગણી શકાય નહીં: તેઓ એકબીજા સાથે સંબંધિત છે. સંબંધ y) = 0, જેને જોડાણ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. બિનશરતી અને શરતી સીમા વચ્ચેના તફાવતને સ્પષ્ટ કરવા માટે, ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ જ્યાં ફંક્શનની બિનશરતી મહત્તમ (ફિગ. 23) એક સમાન છે અને બિંદુ (0,0) પર પ્રાપ્ત થાય છે. તે બિંદુ M ને અનુરૂપ છે - pvvboloid નું શિરોબિંદુ ચાલો જોડાણ સમીકરણ y = j ઉમેરીએ. પછી શરતી મહત્તમ તે દેખીતી રીતે તેની બરાબર હશે (o,|), અને તે બોલના શિરોબિંદુ Afj ને અનુરૂપ છે, જે પ્લેન y = j સાથે બોલની છેદન રેખા છે. બિનશરતી mvximum ના કિસ્સામાં, અમારી પાસે સપાટીની તમામ vpplicvt વચ્ચે mvximum અરજી છે * = 1 - l;2 ~ y1; summvv શરતી - માત્ર vllikvt બિંદુઓ વચ્ચે pvraboloidv, સીધી રેખા y = j ના બિંદુ* ને અનુરૂપ, xOy પ્લેન નહીં. હાજરી અને જોડાણમાં ફંક્શનની શરતી સીમા શોધવા માટેની એક પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે. ઉદાહરણ. શરત હેઠળ ફંક્શનની સીમા શોધો અનેક વેરિયેબલ્સના ફંક્શનની એક્સ્ટ્રીમમ ઘણા ચલોના ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમની વિભાવના. એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો કન્ડીશનલ એક્સ્ટ્રીમમ સતત ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો A જોડાણ સમીકરણ (2")માંથી આપણને y = 1-x મળે છે. આ મૂલ્ય y ને (V) માં બદલીને, આપણે એક કાર્ય પ્રાપ્ત કરીએ છીએ એક દલીલ x: ચાલો તેને છેડા માટે તપાસીએ: ક્યાંથી x = 1 - નિર્ણાયક બિંદુ; , જેથી તે ફંક્શન r (ફિગ. 24) નું શરતી લઘુત્તમ પ્રદાન કરે. ચાલો કન્ડીશનલ એક્સ્ટ્રામમની સમસ્યાને હલ કરવાની બીજી રીત સૂચવીએ, જેને લેગ્રેન્જ ગુણક પદ્ધતિ કહેવાય છે. કનેક્શનની હાજરીમાં ફંક્શનનો કન્ડિશનલ એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ હોય છે. ધ્યાનમાં લેતા કે આપણે મેળવીએ છીએ કે xq બિંદુ પર ફંક્શન /(r, ip(x)) ના x સંબંધમાં વ્યુત્પન્ન એ શૂન્યની બરાબર હોવું જોઈએ અથવા, જે આની સમકક્ષ છે, f(x, y) નો તફાવત બિંદુ Mo" O શૂન્યની બરાબર હોવો જોઈએ ) કનેક્શન સમીકરણમાંથી આપણી પાસે છે (5) છેલ્લી સમાનતાને હજુ સુધી અનિર્ધારિત સંખ્યાત્મક પરિબળ A વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને સમાનતા સાથે પદ દ્વારા પદ ઉમેરીએ છીએ (4), આપણી પાસે હશે (અમે ધારીએ છીએ કે ) પછી, dx ની મનસ્વીતાને લીધે, અમે સમાનતાઓ મેળવીએ છીએ (6) અને (7) ફંક્શનના બિંદુ પર બિનશરતી એક્સ્ટ્રામમ માટે જરૂરી શરતો વ્યક્ત કરીએ છીએ જેને લેગ્રેન્જ ફંક્શન કહેવામાં આવે છે ફંક્શન /(x, y), જો, આવશ્યકપણે લેગ્રેન્જ ફંક્શનનું સ્થિર બિંદુ છે જ્યાં A કેટલાક છે. સંખ્યાત્મક ગુણાંક. અહીંથી આપણે કન્ડિશનલ એક્સ્ટ્રીમા શોધવા માટે એક નિયમ મેળવીએ છીએ: કનેક્શનની હાજરીમાં ફંક્શનના પરંપરાગત સીમાના બિંદુઓ હોઈ શકે તેવા બિંદુઓ શોધવા માટે, 1) અમે લેગ્રેન્જ ફંક્શન કંપોઝ કરીએ છીએ, 2) આના ડેરિવેટિવ્સને સમાન કરીને શૂન્ય પર ફંક્શન અને પરિણામી સમીકરણોમાં જોડાણ સમીકરણ ઉમેરીને, આપણે ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ જેમાંથી આપણે A ના મૂલ્યો અને સંભવિત એક્સ્ટ્રામમ પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સ x, y શોધીએ છીએ. શરતી સીમાના અસ્તિત્વ અને પ્રકૃતિનો પ્રશ્ન x0, V0, A ના મૂલ્યોની માનવામાં આવતી સિસ્ટમ માટે લેગ્રેન્જ ફંક્શનના બીજા વિભેદકની નિશાનીના અભ્યાસના આધારે ઉકેલવામાં આવે છે, જો કે (8) માંથી મેળવેલ જો , પછી બિંદુ (x0, V0) પર ફંક્શન /(x, y ) ની શરતી મહત્તમ છે; જો d2F > 0 - તો શરતી લઘુત્તમ. ખાસ કરીને, જો સ્થિર બિંદુ (xo, J/o) પર F(x, y) ફંક્શન માટે નિર્ણાયક D હકારાત્મક હોય, તો બિંદુ (®o, V0) પર ફંક્શન f( ની શરતી મહત્તમ હોય છે. x, y), જો અને કાર્યનું શરતી લઘુત્તમ /(x, y), જો ઉદાહરણ. ચાલો આપણે પાછલા ઉદાહરણની શરતો તરફ ફરીએ: x + y = 1 ની શરત હેઠળ ફંક્શનની સીમા શોધો. આપણે લેગ્રેન્જ ગુણક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યા હલ કરીશું. માં લેગ્રેન્જ ફંક્શન આ કિસ્સામાંશોધવા માટેનું ફોર્મ છે સ્થિર બિંદુઓસિસ્ટમ કંપોઝ કરો સિસ્ટમના પ્રથમ બે સમીકરણોમાંથી આપણે તે x = y મેળવીએ છીએ. પછી સિસ્ટમના ત્રીજા સમીકરણ (જોડાણ સમીકરણ) માંથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે x - y = j એ સંભવિત અંતિમ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે. આ કિસ્સામાં (તે દર્શાવેલ છે કે A = -1. આમ, લેગ્રેન્જ ફંક્શન એ ફંક્શનનો શરતી લઘુત્તમ બિંદુ છે * = x2 + y2 શરત હેઠળ લેગ્રેન્જ ફંક્શન માટે કોઈ બિનશરતી સીમા નથી. p(x, y) )નો અર્થ હજી સુધી કનેક્શનની હાજરીમાં ફંક્શન /(x, y) માટે શરતી સીમાની ગેરહાજરીનો અર્થ નથી ઉદાહરણ: શરત y 4 હેઠળ ફંક્શનની સીમા શોધો અમે લેગ્રેન્જ ફંક્શન કંપોઝ કરીએ છીએ અને તેના માટે સિસ્ટમ લખીએ છીએ A અને સંભવિત અંતિમ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સનું નિર્ધારણ: પ્રથમ બે સમીકરણોમાંથી આપણે x + y = 0 મેળવીએ છીએ અને આપણે સિસ્ટમ પર આવીએ છીએ જ્યાંથી x = y = A = 0. આમ, અનુરૂપ કાર્યલેગ્રેન્જનું સ્વરૂપ છે બિંદુ (0,0) પર ફંક્શન F(x, y; 0) પાસે બિનશરતી સીમા નથી, પરંતુ ફંક્શન r = xy ની શરતી સીમા છે. જ્યારે y = x, ત્યાં છે. ખરેખર, આ કિસ્સામાં r = x2. આ બતાવે છે કે બિંદુ (0,0) પર શરતી લઘુત્તમ છે. "લૅગ્રેન્જ ગુણકની પદ્ધતિ કોઈપણ સંખ્યાની દલીલોના ફંક્શનના કેસમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે. કનેક્શન સમીકરણોની હાજરીમાં ફંક્શનના અંતિમ ભાગને શોધવા દો. ચાલો લેગ્રેન્જ ફંક્શન કંપોઝ કરીએ જ્યાં A|, Az,..., એ", અનિશ્ચિત છે સતત પરિબળો. ફંક્શન F ના તમામ પ્રથમ ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્સને શૂન્યની સમાન કરીને અને પરિણામી સમીકરણોમાં જોડાણ સમીકરણો (9) ઉમેરીને, અમે n + m સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ, જેમાંથી આપણે Ab A3 |..., at અને x કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ છીએ \) x2). શરતી સીમાના સંભવિત બિંદુઓનું xn. લેગ્રેન્જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને જે બિંદુઓ મળે છે તે વાસ્તવમાં શરતી સીમાના બિંદુઓ છે કે કેમ તે પ્રશ્ન ઘણીવાર ભૌતિક અથવા ભૌમિતિક પ્રકૃતિની વિચારણાઓના આધારે ઉકેલી શકાય છે. 15.3. સતત વિધેયોના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો z = /(x, y) નું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય શોધવાનું જરૂરી છે, અમુક ચક્રીયમાં સતત મર્યાદિત વિસ્તાર D. પ્રમેય 3 દ્વારા, આ પ્રદેશમાં એક બિંદુ (xo, V0) છે જેના પર કાર્ય સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય લે છે. જો બિંદુ (xo, y0) ડોમેન D ની અંદર આવેલું છે, તો પછી કાર્ય / તેમાં મહત્તમ (લઘુત્તમ) છે, તેથી આ કિસ્સામાં અમને રસનો મુદ્દો ફંક્શનના નિર્ણાયક બિંદુઓમાં સમાયેલ છે /(x, y). જો કે, કાર્ય /(x, y) પ્રદેશની સીમા પર તેના સૌથી મોટા (નાના) મૂલ્ય સુધી પહોંચી શકે છે. તેથી, મર્યાદિત બંધ વિસ્તાર 2 માં ફંક્શન z = /(x, y) દ્વારા લેવામાં આવેલું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે આ વિસ્તારની અંદર પ્રાપ્ત કરેલ કાર્યની તમામ મહત્તમ (લઘુત્તમ) શોધવાની જરૂર છે, તેમજ આ વિસ્તારની સરહદમાં કાર્યનું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય. આ બધી સંખ્યાઓમાંથી સૌથી મોટી (નાની) 27 પ્રદેશમાં ફંક્શન z = /(x,y) ની ઇચ્છિત સૌથી મોટી (નાની) કિંમત હશે. ચાલો આપણે બતાવીએ કે ડિફરન્સિએબલ ફંક્શનના કિસ્સામાં આ કેવી રીતે થાય છે. Prmmr. પ્રદેશ 4 ના કાર્યની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધો. આપણે D પ્રદેશની અંદર ફંક્શનના નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધીએ છીએ. આ કરવા માટે, આપણે અહીંથી x = y « 0 મેળવીએ છીએ બિંદુ 0 (0,0) એ ફંક્શન xનું નિર્ણાયક બિંદુ છે. ચાલો હવે આપણે ડોમેન D ની સીમા Г પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધીએ. સીમાના ભાગ પર આપણી પાસે છે કે y = 0 એ એક મહત્વપૂર્ણ બિંદુ છે, અને ત્યારથી = પછી આ બિંદુએ ફંક્શન z = 1 + y2 પાસે ન્યૂનતમ છે, એક સમાન. સેગમેન્ટના છેડે Г", પોઈન્ટ પર (, અમારી પાસે છે. સમપ્રમાણતાની વિચારણાઓનો ઉપયોગ કરીને, અમે સીમાના અન્ય ભાગો માટે સમાન પરિણામો મેળવીએ છીએ. અમે અંતે મેળવીએ છીએ: પ્રદેશમાં z = x2+y2 નું સૌથી નાનું મૂલ્ય "B શૂન્ય બરાબર છે અને તે પ્રાપ્ત થાય છે આંતરિક બિંદુ 0(0, 0) પ્રદેશ, અને આ ફંક્શનનું મહત્તમ મૂલ્ય, બે જેટલું, સીમાના ચાર બિંદુઓ પર પ્રાપ્ત થાય છે (ફિગ. 25) ફિગ. 25 કસરતો કાર્યોની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો: સ્તરની રેખાઓ બનાવો વિધેયોના: 9 ત્રણ સ્વતંત્ર ચલોના કાર્યોની સ્તરની સપાટીઓ શોધો: કાર્યોની મર્યાદાની ગણતરી કરો: કાર્યોના આંશિક વ્યુત્પન્ન શોધો અને તેમના સંપૂર્ણ તફાવતો: જટિલ વિધેયોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો: 3 J. ઘણા ચલોના ફંક્શનનું એક્સ્ટ્રીમમ શોધો ઘણા ચલોના ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમનો ખ્યાલ. એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો કન્ડીશનલ એક્સ્ટ્રીમમ સતત કાર્યોના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો 34. ડેરિવેટિવ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને જટિલ કાર્યબે ચલ, શોધો અને કાર્યો: 35. બે ચલોના જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, |J અને કાર્યો શોધો: અસ્પષ્ટ રીતે આપેલ jj ફંક્શન શોધો: 40. શોધો ઢાળરેખા x = 3 સાથે તેના આંતરછેદના બિંદુ પર વળાંકની સ્પર્શક. 41. તે બિંદુઓ શોધો કે જેના પર વક્ર x ની સ્પર્શક Ox અક્ષની સમાંતર છે. . નીચેની સમસ્યાઓમાં, શોધો અને T: સ્પર્શક સમતલ અને સપાટીના સામાન્ય સમીકરણો લખો: 49. સપાટીના સ્પર્શક સમતલના સમીકરણો લખો x2 + 2y2 + 3r2 = 21, પ્લેનની સમાંતર x + 4y + 6z = 0. ટેલર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણના પ્રથમ ત્રણ કે ચાર શબ્દો શોધો: 50. y બિંદુની નજીકમાં (0, 0). ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, એક્સ્ટ્રીમમ માટે નીચેના કાર્યોની તપાસ કરો:). બે ચલોના ફંક્શનની સીમા માટે પૂરતી શરતોનો ઉપયોગ કરીને, ફંક્શનની સીમાની તપાસ કરો: 84. બંધ વર્તુળમાં ફંક્શન z = x2 - y2 ની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધો 85. સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધો વિધેય * = x2y(4-x-y) એક ત્રિકોણમાં જે સીધી રેખાઓ x = 0, y = 0, x + y = b દ્વારા બંધાયેલ છે. 88. સૌથી નાના સપાટી વિસ્તાર સાથે લંબચોરસ ખુલ્લા પૂલના પરિમાણો નક્કી કરો, જો તેનું વોલ્યુમ V ની બરાબર હોય. 87. પરિમાણો શોધોલંબચોરસ સમાંતર દહેજ સાથે 5 મહત્તમ વોલ્યુમ. જવાબો 1. અને | તેની બાજુઓ સહિત x રેખાખંડો દ્વારા રચાયેલ ચોરસ. 3. કેન્દ્રિત રિંગ્સનું કુટુંબ 2= 0,1,2,... .4. સીધી રેખાઓ પરના બિંદુઓ સિવાય સમગ્ર વિમાન. પેરાબોલા y = -x? ઉપર સ્થિત પ્લેનનો ભાગ. 8. વર્તુળ x ના બિંદુઓ. સીધી રેખાઓ સિવાય સમગ્ર સમતલ x આમૂલ અભિવ્યક્તિ બે કેસોમાં બિન-નકારાત્મક છે j * ^ અથવા j x ^ ^ જે અનુક્રમે અસમાનતાઓની અનંત શ્રેણીની સમકક્ષ છે, વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર શેડ ચોરસ છે (ફિગ. 26); l જે અનંત શ્રેણીની સમકક્ષ છે કાર્ય પોઈન્ટમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. a) સીધી રેખાની સમાંતર સીધી રેખાઓ x b) મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે કેન્દ્રિત વર્તુળો. 10. a) parabolas y) parabolas y a) parabolas b) hyperbolas | .પ્લેન xc. 13. પ્રિમ - ઓઝ અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણના સિંગલ-કેવિટી હાઇપરબોલોઇડ્સ; જ્યારે અને ઓઝ અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણના બે-શીટ હાઇપરબોલોઇડ્સ હોય, ત્યારે સપાટીના બંને પરિવારો શંકુ દ્વારા અલગ પડે છે; ત્યાં કોઈ મર્યાદા નથી, b) 0. 18. ચાલો y = kxt પછી z lim z = -2, તેથી આપેલ કાર્યબિંદુ (0,0) પર કોઈ મર્યાદા નથી. 19. a) બિંદુ (0,0); b) બિંદુ (0,0). 20. a) બ્રેક લાઇન - વર્તુળ x2 + y2 = 1; b) વિરામ રેખા એ સીધી રેખા y = x છે. 21. a) બ્રેક લાઇન -
સંકલન અક્ષો
ઓહ અને ઓહ; b) 0 (ખાલી સેટ). 22. બધા બિંદુઓ (m, n), જ્યાં અને n પૂર્ણાંકો છે પ્રથમ, ચાલો બે ચલોના કાર્યના કિસ્સાને ધ્યાનમાં લઈએ. $M_0(x_0;y_0)$ બિંદુ પર ફંક્શન $z=f(x,y)$ ની શરતી સીમા એ આ ફંક્શનની સીમા છે, તે શરત હેઠળ પ્રાપ્ત થાય છે કે ચલોમાં $x$ અને $y$ આ બિંદુની નજીકમાં જોડાણ સમીકરણ $\ varphi (x,y)=0$ સંતોષે છે.નામ "શરતી" એક્સ્ટ્રીમમ એ હકીકતને કારણે છે કે ચલોને આધીન છે વધારાની સ્થિતિ$\varphi(x,y)=0$. જો એક ચલને કનેક્શન સમીકરણમાંથી બીજા દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે, તો પછી શરતી સીમા નક્કી કરવાની સમસ્યા એક ચલના કાર્યની સામાન્ય સીમા નક્કી કરવાની સમસ્યામાં ઘટાડો થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કનેક્શન સમીકરણ $y=\psi(x)$ સૂચવે છે, તો $y=\psi(x)$ ને $z=f(x,y)$ માં બદલીને, અમે એક ચલ $z નું કાર્ય મેળવીએ છીએ. =f\ડાબે (x,\psi(x)\જમણે)$. IN
સામાન્ય કેસ
જો કે, આ પદ્ધતિનો થોડો ઉપયોગ થતો નથી, તેથી નવા અલ્ગોરિધમનો પરિચય જરૂરી છે.
$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(સંરેખિત) \right.
એક પર્યાપ્ત શરત કે જેનાથી વ્યક્તિ છેડાની પ્રકૃતિ નક્કી કરી શકે છે તે છે $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. જો સ્થિર બિંદુ $d^2F > 0$ પર હોય, તો આ બિંદુએ $z=f(x,y)$ ફંક્શન શરતી લઘુત્તમ ધરાવે છે, પરંતુ જો $d^2F< 0$, то условный максимум.
એક્સ્ટ્રીમની પ્રકૃતિ નક્કી કરવાની બીજી રીત છે. જોડાણ સમીકરણમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, તેથી કોઈપણ સ્થિર બિંદુ પર અમારી પાસે છે:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^(")^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^(")^2 F_(yy)^ ("") \ અધિકાર)$$
બીજું પરિબળ (કૌંસમાં સ્થિત) આ સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે:
નિર્ણાયક $\left| ના તત્વો લાલ રંગમાં પ્રકાશિત થાય છે. \\begin(એરે) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end (એરે)\right|$, જે લેગ્રેન્જ ફંક્શનનું હેસિયન છે. જો $H > 0$, તો $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, એટલે કે અમારી પાસે ફંક્શન $z=f(x,y)$નું શરતી ન્યૂનતમ છે.
નિર્ણાયક $H$ ના સંકેત સંબંધિત નોંધ. બતાવો\ છુપાવો
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ અંત(એરે) \right| $$
આ સ્થિતિમાં, ઉપર ઘડવામાં આવેલ નિયમ નીચે પ્રમાણે બદલાશે: જો $H > 0$, તો ફંક્શનમાં શરતી લઘુત્તમ છે, અને જો $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
કન્ડિશનલ એક્સ્ટ્રીમમ માટે બે ચલોના કાર્યનો અભ્યાસ કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ
- લેગ્રેન્જ ફંક્શન $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ કંપોઝ કરો
- સિસ્ટમ ઉકેલો $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(સંરેખિત) \right.$
- પાછલા ફકરામાં જોવા મળેલા દરેક સ્થિર બિંદુઓ પર છેડાની પ્રકૃતિ નક્કી કરો. આ કરવા માટે, નીચેની કોઈપણ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરો:
- $H$ ના નિર્ણાયકની રચના કરો અને તેની નિશાની શોધો
- યુગલ સમીકરણને ધ્યાનમાં રાખીને, $d^2F$ ની ચિહ્નની ગણતરી કરો
n ચલોના કાર્યો માટે લેગ્રેન્જ ગુણક પદ્ધતિ
ચાલો કહીએ કે અમારી પાસે $n$ ચલોનું કાર્ય છે $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ અને $m$ કપલિંગ સમીકરણો ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Lagrange ગુણકને $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ તરીકે દર્શાવીને, અમે લેગ્રેન્જ ફંક્શન કમ્પોઝ કરીએ છીએ:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
શરતી સીમાની હાજરી માટે જરૂરી શરતો સમીકરણોની સિસ્ટમ દ્વારા આપવામાં આવે છે જેમાંથી સ્થિર બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ અને લેગ્રેન્જ ગુણાકારના મૂલ્યો જોવા મળે છે:
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ ઓવરલાઇન(1,m)) \end(સંરેખિત) \right.$$
તમે $d^2F$ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને, પહેલાની જેમ, મળેલા બિંદુ પર ફંક્શનમાં શરતી લઘુત્તમ અથવા શરતી મહત્તમ છે કે કેમ તે શોધી શકો છો. જો મળેલ બિંદુ $d^2F > 0$ પર હોય, તો ફંક્શનમાં શરતી લઘુત્તમ હોય છે, પરંતુ જો $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક $\left| \begin(એરે) (cccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) અને \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots અને \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\આંશિક x_(2)\આંશિક x_(3)) &\ldots અને \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\આંશિક x_(3) \આંશિક x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( એરે) \right|$, મેટ્રિક્સ $L$ માં લાલ રંગમાં પ્રકાશિત, લેગ્રેન્જ ફંક્શનનું હેસિયન છે. અમે નીચેના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
- જો ચિહ્નો ખૂણે સગીરો$H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ મેટ્રિસિસ $L$ $(-1)^m$ ના ચિહ્ન સાથે એકરુપ થાય છે, પછી અભ્યાસ હેઠળનો સ્થિર બિંદુ એ ફંક્શન $નો શરતી લઘુત્તમ બિંદુ છે z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
- જો કોણીય સગીરોના ચિહ્નો $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ વૈકલ્પિક, અને નાના $H_(2m+1)$નું ચિહ્ન $(-1)^(m+1) નંબરના ચિહ્ન સાથે એકરુપ છે )$, પછી સ્થિર બિંદુ એ ફંક્શન $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ નો શરતી મહત્તમ બિંદુ છે.
ઉદાહરણ નંબર 1
$x^2+y^2=10$ શરત હેઠળ $z(x,y)=x+3y$ ફંક્શનની શરતી સીમા શોધો.
આ સમસ્યાનું ભૌમિતિક અર્થઘટન નીચે મુજબ છે: સિલિન્ડર $x^2+y સાથે તેના આંતરછેદના બિંદુઓ માટે પ્લેન $z=x+3y$ના એપ્લીકેટના સૌથી મોટા અને નાનામાં નાના મૂલ્યો શોધવા જરૂરી છે. ^2=10$.
કપલિંગ સમીકરણમાંથી એક ચલને બીજા દ્વારા વ્યક્ત કરવું અને તેને $z(x,y)=x+3y$ ફંક્શનમાં બદલવું થોડું મુશ્કેલ છે, તેથી આપણે લેગ્રેન્જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું.
$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ સૂચવતા, અમે લેગ્રેન્જ ફંક્શન કંપોઝ કરીએ છીએ:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial) F)(\આંશિક x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
ચાલો લેગ્રેન્જ ફંક્શનના સ્થિર બિંદુઓ નક્કી કરવા માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ લખીએ:
$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (સંરેખિત)\right.$$
જો આપણે $\lambda=0$ ધારીએ, તો પ્રથમ સમીકરણ બનશે: $1=0$. પરિણામી વિરોધાભાસ સૂચવે છે કે $\lambda\neq 0$. $\lambda\neq 0$ શરત હેઠળ, પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોમાંથી આપણી પાસે છે: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. પ્રાપ્ત મૂલ્યોને ત્રીજા સમીકરણમાં બદલીને, આપણને મળે છે:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(સંરેખિત) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(સંરેખિત) \right.\\ \begin(સંરેખિત) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(સંરેખિત) $$
તેથી, સિસ્ટમ પાસે બે ઉકેલો છે: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ અને $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. ચાલો આપણે દરેક સ્થિર બિંદુ પર છેડાની પ્રકૃતિ શોધીએ: $M_1(1;3)$ અને $M_2(-1;-3)$. આ કરવા માટે, ચાલો ગણતરી કરીએ નિર્ણાયકદરેક પોઈન્ટ પર $H$.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(એરે) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(એરે) \right|= \ડાબે| \begin(એરે) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(એરે) \right|= 8\cdot\left| \begin(એરે) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \ end(array) \right| $$
બિંદુ $M_1(1;3)$ પર આપણને મળે છે: $H=8\cdot\left| \begin(એરે) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \ end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(એરે) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(એરે) \right|=40 > 0$, તેથી આ પર બિંદુ $M_1(1;3)$ ફંક્શન $z(x,y)=x+3y$ પાસે શરતી મહત્તમ છે, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
એ જ રીતે, બિંદુ $M_2(-1,-3)$ પર આપણે શોધીએ છીએ: $H=8\cdot\left| \begin(એરે) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \ end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(એરે) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(એરે) \right|=-40$. $H થી< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
હું નોંધું છું કે દરેક બિંદુ પર નિર્ણાયક $H$ ના મૂલ્યની ગણતરી કરવાને બદલે, તેને વિસ્તૃત કરવું વધુ અનુકૂળ છે સામાન્ય દૃશ્ય. વિગતો સાથે ટેક્સ્ટને ગડબડ ન કરવા માટે, હું આ પદ્ધતિને નોંધ હેઠળ છુપાવીશ.
સામાન્ય સ્વરૂપમાં નિર્ણાયક $H$ લખવું. બતાવો\ છુપાવો
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(એરે)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\જમણે). $$
સૈદ્ધાંતિક રીતે, તે પહેલેથી જ સ્પષ્ટ છે કે $H$ નું શું ચિહ્ન છે. કારણ કે $M_1$ અથવા $M_2$માંથી કોઈપણ બિંદુ મૂળ સાથે એકરુપ નથી, પછી $y^2+x^2>0$. તેથી, $H$ નું ચિહ્ન $\lambda$ ના ચિહ્નની વિરુદ્ધ છે. તમે ગણતરીઓ પૂર્ણ કરી શકો છો:
$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(સંરેખિત) $$
સ્થિર બિંદુઓ $M_1(1;3)$ અને $M_2(-1;-3)$ પરના એક્સ્ટ્રીમમની પ્રકૃતિ વિશેનો પ્રશ્ન નિર્ણાયક $H$ નો ઉપયોગ કર્યા વિના ઉકેલી શકાય છે. ચાલો દરેક સ્થિર બિંદુ પર $d^2F$ ની નિશાની શોધીએ:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\જમણે) $$
મને નોંધ લેવા દો કે નોટેશન $dx^2$ નો અર્થ બરાબર $dx$ બીજા પાવરમાં વધારો થાય છે, એટલે કે. $\left(dx \જમણે)^2$. તેથી અમારી પાસે છે: $dx^2+dy^2>0$, તેથી, $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ સાથે અમને $d^2F મળે છે< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без વધારાના પરિવર્તનો. IN નીચેના ઉદાહરણ$d^2F$ ની નિશાની નક્કી કરવા માટે $dx$ અને $dy$ વચ્ચેના જોડાણને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી રહેશે.
જવાબ આપો: બિંદુએ $(-1;-3)$ ફંક્શનમાં શરતી ન્યૂનતમ છે, $z_(\min)=-10$. બિંદુએ $(1;3)$ ફંક્શનમાં શરતી મહત્તમ છે, $z_(\max)=10$
ઉદાહરણ નંબર 2
$x+y=0$ શરત હેઠળ $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ફંક્શનની શરતી સીમા શોધો.
પ્રથમ પદ્ધતિ (લેગ્રેન્જ ગુણક પદ્ધતિ)
$\varphi(x,y)=x+y$ દર્શાવતા, અમે લેગ્રેન્જ ફંક્શન કંપોઝ કરીએ છીએ: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0 \end(સંરેખિત) \right.
સિસ્ટમ હલ કર્યા પછી, અમે મેળવીએ છીએ: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ અને $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. અમારી પાસે બે સ્થિર બિંદુઓ છે: $M_1(0;0)$ અને $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. ચાલો દરેક સ્થિર બિંદુનો ઉપયોગ કરીને એક્સ્ટ્રીમમની પ્રકૃતિ શોધીએ નિર્ણાયક$H$.
$$H=\ડાબે| \begin(એરે) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(એરે) \right|= \ડાબે| \begin(એરે) (ccc) 0 અને 1 અને 1\\ 1 અને 8 અને -1 \\ 1 & -1 અને 18y \end(એરે) \right|=-10-18y $$
બિંદુએ $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, તેથી આ બિંદુએ ફંક્શનમાં શરતી મહત્તમ, $z_(\max)=\frac(500)(243)$ છે.
અમે $d^2F$ ની નિશાની પર આધારિત, એક અલગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને દરેક બિંદુએ એક્સ્ટ્રામમની પ્રકૃતિની તપાસ કરીએ છીએ:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
જોડાણ સમીકરણ $x+y=0$ પરથી આપણી પાસે છે: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
ત્યારથી $d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, પછી $M_1(0;0)$ એ $z(x,y)=3y^3+ ફંક્શનનો શરતી લઘુત્તમ બિંદુ છે 4x^ 2-xy$. તેવી જ રીતે, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
બીજી રીત
જોડાણ સમીકરણ $x+y=0$ પરથી આપણને મળે છે: $y=-x$. $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ફંકશનમાં $y=-x$ ને બદલીને, અમે $x$ ચલનું અમુક કાર્ય મેળવીએ છીએ. ચાલો આ ફંકશનને $u(x)$ તરીકે દર્શાવીએ:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
આમ, અમે બે ચલોના ફંક્શનની શરતી સીમા શોધવાની સમસ્યાને એક ચલના ફંક્શનની સીમા નક્કી કરવાની સમસ્યામાં ઘટાડો કર્યો.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);
અમે $M_1(0;0)$ અને $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ મેળવ્યા. અભ્યાસક્રમ પરથી વધુ સંશોધન જાણવા મળે છે વિભેદક કલનએક ચલ સાથેના કાર્યો. દરેક સ્થિર બિંદુ પર $u_(xx)^("")$ ના ચિહ્નની તપાસ કરીને અથવા મળેલા બિંદુઓ પર $u_(x)^(")$ ના ચિહ્નમાં ફેરફારને તપાસીને, અમે સમાન તારણો મેળવીએ છીએ જ્યારે પ્રથમ પદ્ધતિને હલ કરવી ઉદાહરણ તરીકે, અમે $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
ત્યારથી $u_(xx)^("")(M_1)>0$, તો $M_1$ એ ફંક્શન $u(x)$, અને $u_(\min)=u(0)=0 નો ન્યૂનતમ બિંદુ છે $. $u_(xx)^("")(M_2) થી<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
આપેલ કનેક્શન શરત માટે ફંક્શન $u(x)$ ના મૂલ્યો ફંકશન $z(x,y)$ ના મૂલ્યો સાથે મેળ ખાય છે, એટલે કે. ફંક્શન $u(x)$ ની શોધાયેલ એક્સ્ટ્રીમા એ $z(x,y)$ ફંક્શનની શરતી સીમા છે.
જવાબ આપો: બિંદુ $(0;0)$ પર ફંક્શનમાં શરતી ન્યૂનતમ છે, $z_(\min)=0$. બિંદુએ $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ ફંક્શનમાં શરતી મહત્તમ છે, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
ચાલો બીજા એક ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ જેમાં અમે $d^2F$ ની નિશાની નક્કી કરીને અંતિમ ભાગની પ્રકૃતિને સ્પષ્ટ કરીશું.
ઉદાહરણ નંબર 3
$z=5xy-4$ ફંકશનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધો જો $x$ અને $y$ ચલો હકારાત્મક હોય અને જોડાણ સમીકરણ $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.
ચાલો Lagrange ફંક્શન કંપોઝ કરીએ: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. ચાલો Lagrange ફંક્શનના સ્થિર બિંદુઓ શોધીએ:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(સંરેખિત) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; y > 0. \end(સંરેખિત) \right.
બધા આગળના પરિવર્તનો $x > 0 ને ધ્યાનમાં લઈને હાથ ધરવામાં આવે છે; \; y > 0$ (આ સમસ્યા નિવેદનમાં ઉલ્લેખિત છે). બીજા સમીકરણમાંથી આપણે $\lambda=-\frac(5x)(y)$ વ્યક્ત કરીએ છીએ અને પ્રથમ સમીકરણમાં મળેલ મૂલ્યને બદલીએ છીએ: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. $x=2y$ ને ત્રીજા સમીકરણમાં બદલીને, આપણને મળે છે: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.
ત્યારથી $y=1$, પછી $x=2$, $\lambda=-10$. અમે $d^2F$ ના ચિન્હના આધારે $(2;1)$ બિંદુ પર છેડાની પ્રકૃતિ નક્કી કરીએ છીએ.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
ત્યારથી $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, પછી:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
સૈદ્ધાંતિક રીતે, અહીં તમે સ્થિર બિંદુ $x=2$, $y=1$ અને પરિમાણ $\lambda=-10$ ના કોઓર્ડિનેટ્સ તરત જ બદલી શકો છો, મેળવી શકો છો:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
જો કે, શરતી સીમા પર અન્ય સમસ્યાઓમાં ઘણા સ્થિર બિંદુઓ હોઈ શકે છે. આવા કિસ્સાઓમાં, સામાન્ય સ્વરૂપમાં $d^2F$નું પ્રતિનિધિત્વ કરવું વધુ સારું છે, અને પછી દરેક મળી આવેલા સ્થિર બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સને પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં બદલો:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ને બદલીને, અમને મળે છે:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
$d^2F=-10\cdot dx^2 થી< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
જવાબ આપો: બિંદુ $(2;1)$ પર ફંક્શનમાં શરતી મહત્તમ છે, $z_(\max)=6$.
આગળના ભાગમાં આપણે વિધેયો માટે લેગ્રેન્જ પદ્ધતિના ઉપયોગ વિશે વિચારણા કરીશું વધુચલો
વ્યાખ્યા 1: ફંક્શનને બિંદુ પર સ્થાનિક મહત્તમ હોવાનું કહેવાય છે જો બિંદુની પડોશી હોય જેમ કે કોઈપણ બિંદુ માટે એમકોઓર્ડિનેટ્સ સાથે (x, y)અસમાનતા ધરાવે છે: . આ કિસ્સામાં, એટલે કે, કાર્યનો વધારો< 0.
વ્યાખ્યા2: કાર્યને બિંદુ પર લઘુત્તમ સ્થાનિક હોવાનું કહેવાય છે જો બિંદુની પડોશી હોય જેમ કે કોઈપણ બિંદુ માટે એમકોઓર્ડિનેટ્સ સાથે (x, y)અસમાનતા ધરાવે છે: . આ કિસ્સામાં, એટલે કે, કાર્યનો વધારો > 0.
વ્યાખ્યા 3: બિંદુઓ સ્થાનિક મિનિમાઅને મહત્તમ કહેવામાં આવે છે આત્યંતિક બિંદુઓ.
શરતી ચરમસીમાઓ
જ્યારે ઘણા ચલોના ફંક્શનની આત્યંતિકતા શોધવામાં આવે છે, ત્યારે ઘણીવાર કહેવાતા સંબંધિત સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે શરતી અંતિમ.આ ખ્યાલને બે ચલોના કાર્યના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને સમજાવી શકાય છે.
એક ફંક્શન અને લીટી આપવા દો એલપ્લેનમાં 0xy. કાર્ય લાઇન પર મેળવવાનું છે એલઆવા બિંદુ શોધો P(x, y),જેમાં ફંક્શનનું મૂલ્ય રેખા પરના બિંદુઓ પર આ ફંક્શનના મૂલ્યોની તુલનામાં સૌથી મોટું અથવા નાનું હોય છે એલ, બિંદુની નજીક સ્થિત છે પી. આવા બિંદુઓ પીકહેવાય છે શરતી આત્યંતિક બિંદુઓલાઇન પર કાર્યો એલ. સામાન્ય એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટથી વિપરીત, શરતી એક્સ્ટ્રામમ પોઈન્ટ પરના ફંક્શનના મૂલ્યની તુલના ફંક્શનના મૂલ્યો સાથે તેના પડોશના તમામ બિંદુઓ પર નહીં, પરંતુ ફક્ત તે જ સાથે કરવામાં આવે છે જે રેખા પર આવેલા હોય છે. એલ.
તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે સામાન્ય ચરમસીમાનો મુદ્દો (તેઓ પણ કહે છે બિનશરતી અંતિમ) આ બિંદુ પરથી પસાર થતી કોઈપણ રેખા માટે શરતી અંતિમ બિંદુ પણ છે. વાતચીત, અલબત્ત, સાચી નથી: શરતી આત્યંતિક બિંદુ સામાન્ય અંતિમ બિંદુ ન હોઈ શકે. મેં જે કહ્યું તે મને સમજાવવા દો સામાન્ય ઉદાહરણ. કાર્યનો ગ્રાફ ઉપલા ગોળાર્ધ (પરિશિષ્ટ 3 (ફિગ. 3)) છે.
આ કાર્ય મૂળ પર મહત્તમ છે; શિરોબિંદુ તેને અનુલક્ષે છે એમગોળાર્ધ જો રેખા એલબિંદુઓમાંથી પસાર થતી એક રેખા છે એઅને IN(તેનું સમીકરણ x+y-1=0), તો તે ભૌમિતિક રીતે સ્પષ્ટ છે કે આ રેખાના બિંદુઓ માટે કાર્યનું સૌથી મોટું મૂલ્ય બિંદુઓ વચ્ચે મધ્યમાં આવેલા બિંદુ પર પ્રાપ્ત થાય છે. એઅને INઆ લાઇન પર ફંક્શનના શરતી આત્યંતિક (મહત્તમ) નું બિંદુ છે; તે ગોળાર્ધ પરના પોઈન્ટ M 1 ને અનુરૂપ છે, અને આકૃતિ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે અહીં કોઈ સામાન્ય અંતિમની વાત કરી શકાતી નથી.
નોંધ કરો કે બંધ પ્રદેશમાં ફંક્શનના સૌથી મોટા અને સૌથી નાના મૂલ્યો શોધવાની સમસ્યાના અંતિમ ભાગમાં, આપણે આ પ્રદેશની સીમા પર ફંક્શનના આત્યંતિક મૂલ્યો શોધવા પડશે, એટલે કે. અમુક લાઇન પર, અને ત્યાંથી શરતી આત્યંતિક સમસ્યા હલ કરો.
ચાલો હવે Z= f(x, y) ફંક્શનના કન્ડીશનલ એક્સ્ટ્રામમ પોઈન્ટ માટે વ્યવહારુ શોધ તરફ આગળ વધીએ, જો કે x અને y ચલ સમીકરણ (x, y) = 0 દ્વારા સંબંધિત છે. અમે આ સંબંધને કહીશું જોડાણ સમીકરણ. જો કપ્લીંગ સમીકરણમાંથી y ને x: y=(x) ના સંદર્ભમાં સ્પષ્ટ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય, તો આપણે એક ચલ Z= f(x, (x)) = Ф(x) નું કાર્ય મેળવીએ છીએ.
મૂલ્ય x કે જેના પર આ ફંક્શન એક્સ્ટ્રીમમ સુધી પહોંચે છે તે શોધી કાઢ્યા પછી, અને પછી કનેક્શન સમીકરણ પરથી અનુરૂપ y મૂલ્યો નક્કી કર્યા પછી, અમે શરતી સીમાના ઇચ્છિત બિંદુઓ મેળવીએ છીએ.
તેથી, ઉપરના ઉદાહરણમાં, સંબંધ સમીકરણ x+y-1=0 પરથી આપણી પાસે y=1-x છે. અહીંથી
તે તપાસવું સરળ છે કે z તેની મહત્તમ x = 0.5 પર પહોંચે છે; પરંતુ પછી કનેક્શન સમીકરણ y = 0.5 થી, અને આપણને ભૌમિતિક વિચારણાઓમાંથી મળેલ બિંદુ P બરાબર મળે છે.
જ્યારે કનેક્શન સમીકરણને પેરામેટ્રિક સમીકરણો x=x(t), y=y(t) દ્વારા રજૂ કરી શકાય ત્યારે પણ શરતી સીમાની સમસ્યા ખૂબ જ સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. x અને y માટેના અભિવ્યક્તિઓને માં બદલીને આ કાર્ય, આપણે ફરી એક ચલના ફંક્શનની સીમા શોધવાની સમસ્યા પર આવીએ છીએ.
જો કપ્લીંગ સમીકરણ કરતાં વધુ હોય જટિલ દેખાવઅને અમે કાં તો એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં સ્પષ્ટપણે વ્યક્ત કરવામાં અસમર્થ છીએ, અથવા તેને પેરામેટ્રિક સમીકરણો સાથે બદલી શકીએ છીએ, તો શરતી સીમા શોધવાનું કાર્ય વધુ મુશ્કેલ બની જાય છે. અમે એમ માનવાનું ચાલુ રાખીશું કે ફંક્શન z= f(x, y) ની અભિવ્યક્તિમાં ચલ (x, y) = 0. ફંક્શન z= f(x, y) નું કુલ વ્યુત્પન્ન સમાન છે:
જ્યાં વિભેદક નિયમનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન y` જોવા મળે છે ગર્ભિત કાર્ય. શરતી સીમાના બિંદુઓ પર, મળી આવેલ કુલ વ્યુત્પન્ન શૂન્યની બરાબર હોવું જોઈએ; આ x અને y ને લગતું એક સમીકરણ આપે છે. કારણ કે તેઓએ જોડાણ સમીકરણને પણ સંતોષવું આવશ્યક છે, અમને બે અજ્ઞાત સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે.
ચાલો પ્રથમ સમીકરણને પ્રમાણના રૂપમાં લખીને અને નવી સહાયક અજ્ઞાત રજૂ કરીને આ સિસ્ટમને વધુ અનુકૂળમાં રૂપાંતરિત કરીએ:
(સામે માઈનસ ચિહ્ન સુવિધા માટે છે). આ સમાનતાઓમાંથી નીચેની સિસ્ટમમાં જવાનું સરળ છે:
f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),
જે, જોડાણ સમીકરણ (x, y) = 0 સાથે મળીને, અજાણ્યા x, y અને સાથે ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવે છે.
આ સમીકરણો (*) નો ઉપયોગ કરીને યાદ રાખવા માટે સૌથી સરળ છે આગામી નિયમ: ફંક્શનના શરતી એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ હોઈ શકે તેવા પોઈન્ટ શોધવા માટે
Z= f(x, y) જોડાણ સમીકરણ (x, y) = 0 સાથે, તમારે સહાયક કાર્ય બનાવવાની જરૂર છે
F(x,y)=f(x,y)+(x,y)
ક્યાં અમુક સ્થિર છે, અને આ કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ શોધવા માટે સમીકરણો બનાવો.
સમીકરણોની સૂચવેલ સિસ્ટમ, નિયમ તરીકે, ફક્ત જરૂરી શરતો પ્રદાન કરે છે, એટલે કે. મૂલ્યોની દરેક જોડી x અને y જે આ સિસ્ટમને સંતોષે છે તે આવશ્યકપણે શરતી અંતિમ બિંદુ નથી. હું શરતી આત્યંતિક બિંદુઓ માટે પૂરતી શરતો આપીશ નહીં; ઘણી વાર સમસ્યાની વિશિષ્ટ સામગ્રી પોતે જ સૂચવે છે કે શોધાયેલ બિંદુ શું છે. શરતી સીમા પર સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વર્ણવેલ તકનીકને લેગ્રેન્જ ગુણક પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.
