ઘરરશિયન સાહિત્ય

ચતુર્ભુજ આકાર n ચલોનો f(x 1, x 2,...,x n) એ એક સરવાળો છે, જેમાંથી દરેક પદ કાં તો ચલોમાંના એકનો વર્ગ છે, અથવા ચોક્કસ ગુણાંક સાથે લેવાયેલ બે અલગ-અલગ ચલોનું ઉત્પાદન છે: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).આ ગુણાંકોથી બનેલા મેટ્રિક્સ A ને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે. તે હંમેશા છે

સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ (એટલે કે મુખ્ય કર્ણ વિશે મેટ્રિક્સ સપ્રમાણતા, a ij =a ji). IN

મેટ્રિક્સ નોટેશન

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(X) = X T AX છે, જ્યાં ખરેખરઉદાહરણ તરીકે, ચાલો અંદર લખીએ

મેટ્રિક્સ ફોર્મ

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ.

આ કરવા માટે, આપણે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ શોધીએ છીએ. તેના ત્રાંસા તત્વો ચોરસ ચલોના ગુણાંક સમાન છે, અને બાકીના તત્વો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના અનુરૂપ ગુણાંકના અર્ધભાગ સમાન છે. તેથી જ

ચલ X ના મેટ્રિક્સ-કૉલમને મેટ્રિક્સ-કૉલમ Y ના બિન-ડિજનરેટ રેખીય રૂપાંતર દ્વારા મેળવવા દો, એટલે કે. X = CY, જ્યાં C એ nમા ક્રમનું બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ છે. પછી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

આમ, બિન-ડિજનરેટ રેખીય પરિવર્તન C સાથે, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ આ સ્વરૂપ લે છે: A * =C T AC. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો રેખીય રૂપાંતર દ્વારા ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 માંથી મેળવેલ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(y 1, y 2) શોધીએ.ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ કહેવાય છે પ્રમાણભૂત(છે

પ્રામાણિક દૃશ્ય

), જો i≠j માટે તેના તમામ ગુણાંક ij = 0 હોય, એટલે કે f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .તેનું મેટ્રિક્સ કર્ણ છે.

પ્રમેય (સાબિતી અહીં આપવામાં આવી નથી). નોન-ડિજનરેટ રેખીય રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે.ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો દોરીએ

પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.આ કરવા માટે, અમે પ્રથમ પસંદ કરીએ છીએ

સંપૂર્ણ ચોરસ

ચલ x 1 સાથે:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

પછી બિન-અધોગતિ રેખીય પરિવર્તન y 1 = x 1 + x 2 ,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 અને y 3 = x 3 આ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ f(y 1 ,y 2 ,y 3) = 2y 1 પર લાવે છે 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

નોંધ કરો કે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ અસ્પષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે (સમાન ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે. અલગ અલગ રીતે 1). જો કે, પ્રાપ્ત વિવિધ રીતેપ્રમાણભૂત સ્વરૂપોમાં સંખ્યાબંધ સામાન્ય ગુણધર્મો છે. ખાસ કરીને, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના સકારાત્મક (નકારાત્મક) ગુણાંક સાથેના શબ્દોની સંખ્યા આ ફોર્મમાં ફોર્મ ઘટાડવાની પદ્ધતિ પર આધારિત નથી (ઉદાહરણ તરીકે, ધ્યાનમાં લેવાયેલા ઉદાહરણમાં હંમેશા બે નકારાત્મક અને એક હકારાત્મક ગુણાંક હશે). આ મિલકત કહેવાય છે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોની જડતાનો કાયદો.

ચાલો સમાન ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં અલગ રીતે લાવીને આને ચકાસીએ. ચાલો ચલ x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + સાથે રૂપાંતરણ શરૂ કરીએ. 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2) /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2) /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , જ્યાં y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 અને y 3 = x 1 . અહીં y 3 માટે 2 નો સકારાત્મક ગુણાંક અને y 1 અને y 2 માટે બે નકારાત્મક ગુણાંક (-3) છે (અને બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમને y 1 માટે 2 અને બે નકારાત્મક ગુણાંક - (-5) માટે ધન ગુણાંક મળ્યો છે. y 2 માટે અને (-1/20) y 3 માટે).

તે પણ નોંધવું જોઈએ કે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સની રેન્ક, કહેવાય છે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનો ક્રમ, સંખ્યા જેટલીબિન-શૂન્ય ગુણાંક પ્રમાણભૂત સ્વરૂપઅને રેખીય પરિવર્તન હેઠળ બદલાતું નથી.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(X) કહેવાય છે હકારાત્મક રીતે(નકારાત્મક)ચોક્કસ, જો એકસાથે શૂન્ય સમાન ન હોય તેવા ચલોના તમામ મૂલ્યો માટે, તે હકારાત્મક છે, એટલે કે f(X) > 0 (નકારાત્મક, એટલે કે f(X)< 0).

ઉદાહરણ તરીકે, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 હકારાત્મક નિશ્ચિત છે, કારણ કે ચોરસનો સરવાળો છે, અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 નકારાત્મક નિશ્ચિત છે, કારણ કે રજૂ કરે છે તે ફોર્મ 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 માં રજૂ કરી શકાય છે.

મોટાભાગની વ્યવહારિક પરિસ્થિતિઓમાં, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની ચોક્કસ નિશાની સ્થાપિત કરવી કંઈક વધુ મુશ્કેલ છે, તેથી આ માટે આપણે નીચેનામાંથી એક પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (અમે તેને પુરાવા વિના ઘડીશું).

), જો i≠j માટે તેના તમામ ગુણાંક ij = 0 હોય, એટલે કે f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .. એક ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક (નકારાત્મક) નિશ્ચિત છે જો અને માત્ર જો બધા eigenvaluesતેના મેટ્રિસિસ હકારાત્મક (નકારાત્મક) છે.

પ્રમેય (સિલ્વેસ્ટર માપદંડ). ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ સકારાત્મક ચોક્કસ છે જો અને માત્ર જો આ ફોર્મના મેટ્રિક્સના તમામ અગ્રણી સગીર હકારાત્મક હોય.

મુખ્ય (ખૂણો) નાનો An-th ક્રમના k-th ક્રમના મેટ્રિક્સને મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક કહેવામાં આવે છે, જે મેટ્રિક્સ A () ની પ્રથમ k પંક્તિઓ અને કૉલમથી બનેલું છે.

નોંધ કરો કે નકારાત્મક ચોક્કસ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો માટે મુખ્ય સગીરોના ચિહ્નો વૈકલ્પિક હોય છે, અને પ્રથમ ક્રમના સગીર નકારાત્મક હોવા જોઈએ.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સંકેતની નિશ્ચિતતા માટે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 તપાસીએ.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . તેથી, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક નિશ્ચિત છે.

પદ્ધતિ 2. મેટ્રિક્સ A  1 =a 11 = 2 > 0 ના પ્રથમ ક્રમનો મુખ્ય સગીર ફોર્મ ચોક્કસ હકારાત્મક છે.

અમે સંકેતની નિશ્ચિતતા માટે બીજા ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની તપાસ કરીએ છીએ, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

પદ્ધતિ 1. ચાલો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ A = નું મેટ્રિક્સ બનાવીએ. લાક્ષણિક સમીકરણજેવો દેખાશે = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . તેથી, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ નકારાત્મક નિશ્ચિત છે.

પદ્ધતિ 2. મેટ્રિક્સ A  1 =a 11 = = -2 ના પ્રથમ ક્રમનો મુખ્ય ગૌણ< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. તેથી, સિલ્વેસ્ટરના માપદંડ મુજબ, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ નકારાત્મક નિશ્ચિત છે (મુખ્ય સગીરોના ચિહ્નો વૈકલ્પિક, બાદબાકીથી શરૂ થાય છે).

અને બીજા ઉદાહરણ તરીકે, અમે ચિહ્ન-નિર્ધારિત ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 નું પરીક્ષણ કરીએ છીએ.

પદ્ધતિ 1. ચાલો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ A = નું મેટ્રિક્સ બનાવીએ. લાક્ષણિક સમીકરણનું સ્વરૂપ હશે = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . આમાંની એક સંખ્યા નકારાત્મક છે અને બીજી હકારાત્મક છે. ઇજનવેલ્યુઝના ચિહ્નો અલગ છે. પરિણામે, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ ન તો નકારાત્મક કે હકારાત્મક હોઈ શકે છે, એટલે કે. આ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ સંકેત-નિશ્ચિત નથી (તે કોઈપણ ચિહ્નના મૂલ્યો લઈ શકે છે).

પદ્ધતિ 2. મેટ્રિક્સ A ના પ્રથમ ક્રમનો મુખ્ય સગીર  1 =a 11 = 2 > 0. બીજા ક્રમનો મુખ્ય સગીર 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1 ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની ગણવામાં આવેલ પદ્ધતિ જ્યારે ચલોના વર્ગો સાથે બિન-શૂન્ય ગુણાંકનો સામનો કરવામાં આવે ત્યારે વાપરવા માટે અનુકૂળ છે. જો તેઓ ત્યાં ન હોય, તો પણ રૂપાંતરણ હાથ ધરવાનું શક્ય છે, પરંતુ તમારે કેટલીક અન્ય તકનીકોનો ઉપયોગ કરવો પડશે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2) ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, જ્યાં y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 – x 2.

વ્યાખ્યા.એક સાથે શૂન્ય ન હોય તેવા ચલોના વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે તેના તમામ મૂલ્યો ધન હોય તો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને સકારાત્મક નિશ્ચિત કહેવામાં આવે છે. દેખીતી રીતે, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક ચોક્કસ છે.

વ્યાખ્યા.ચલોના બિન-શૂન્ય મૂલ્યો માટે બિન-શૂન્ય મૂલ્યના અપવાદ સાથે, જો તેના તમામ મૂલ્યો નકારાત્મક હોય તો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને નકારાત્મક ચોક્કસ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને હકારાત્મક (નકારાત્મક) અર્ધનિશ્ચિત કહેવામાં આવે છે જો તે નકારાત્મક (હકારાત્મક) મૂલ્યો ન લે.

ચતુર્ભુજ આકારો, બંને હકારાત્મક અને લેવું નકારાત્મક મૂલ્યો, અવ્યાખ્યાયિત કહેવાય છે.

મુ n=1 ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ કાં તો સકારાત્મક નિશ્ચિત (એટ) અથવા નકારાત્મક ચોક્કસ (એટ) છે. અનિશ્ચિત સ્વરૂપોપર દેખાય છે.

), જો i≠j માટે તેના તમામ ગુણાંક ij = 0 હોય, એટલે કે f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .(ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની હકારાત્મક નિશ્ચિતતા માટે સિલ્વેસ્ટર પરીક્ષણ). ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ માટે ક્રમમાં

સકારાત્મક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હતી, તે નીચેની શરતોને પરિપૂર્ણ કરવા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે:

પુરાવો. અમે માં સમાવિષ્ટ ચલોની સંખ્યા પર ઇન્ડક્શનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. એક ચલ પર આધાર રાખીને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ માટે, અને પ્રમેયનું નિવેદન સ્પષ્ટ છે. ચાલો ધારીએ કે પ્રમેય તેના આધારે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ માટે સાચું છે n-1 ચલો.

1. આવશ્યકતાનો પુરાવો. દો

હકારાત્મક ચોક્કસ. પછી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ

હકારાત્મક ચોક્કસ હશે, કારણ કે જો , પછી પર.

ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણા દ્વારા, ફોર્મના તમામ મુખ્ય સગીર હકારાત્મક છે, એટલે કે.

તે સાબિત કરવાનું બાકી છે.

બિન-ડિજનરેટ રેખીય રૂપાંતરણ દ્વારા હકારાત્મક નિશ્ચિત ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ X=BYપ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડો

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ કર્ણ મેટ્રિક્સને અનુરૂપ છે

નિર્ધારક સાથે.

બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખીય પરિવર્તન IN, મેટ્રિક્સને પરિવર્તિત કરે છે સાથેમેટ્રિક્સમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ. પરંતુ ત્યારથી તે .

2. પર્યાપ્તતાનો પુરાવો. ધારો કે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના તમામ અગ્રણી સગીર હકારાત્મક છે: .

ચાલો સાબિત કરીએ કે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક નિશ્ચિત છે. ઇન્ડક્શન ધારણા ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની હકારાત્મક નિશ્ચિતતા સૂચવે છે . તેથી જ બિન-ડિજનરેટ રેખીય પરિવર્તન દ્વારા સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઘટાડો થાય છે. ચલોમાં યોગ્ય ફેરફાર કરીને અને મૂકવાથી, આપણને મળે છે

જ્યાં - કેટલાક નવા ગુણાંક.

ચલોમાં ફેરફાર કરીને, આપણને મળે છે

આ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક બરાબર છે, અને તેનું ચિહ્ન , પછી , અને તેથી, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના ચિહ્ન સાથે એકરુપ છે - હકારાત્મક ચોક્કસ. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ નકારાત્મક નિશ્ચિત હોવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે

હકારાત્મક ચોક્કસ હતો, જેનો અર્થ છે કે મેટ્રિક્સના તમામ મુખ્ય સગીર

હકારાત્મક હતા. પરંતુ આનો અર્થ એ છે કે

તે કે મેટ્રિક્સના મુખ્ય સગીરોના ચિહ્નો સીવૈકલ્પિક, બાદબાકી ચિહ્નથી શરૂ થાય છે.

ઉદાહરણ. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક (નકારાત્મક) નિશ્ચિત છે કે અનિશ્ચિત છે તેની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સમાં આ સ્વરૂપ છે:

ચાલો મેટ્રિક્સના મુખ્ય સગીરોની ગણતરી કરીએ સાથે:

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક નિશ્ચિત છે.

ઉકેલ. ચાલો મેટ્રિક્સના મુખ્ય સગીરોની ગણતરી કરીએ

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ અનિશ્ચિત છે.

નિષ્કર્ષમાં, અમે નીચેનું પ્રમેય ઘડીએ છીએ.

), જો i≠j માટે તેના તમામ ગુણાંક ij = 0 હોય, એટલે કે f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .(ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોની જડતાનો કાયદો). ધનની સંખ્યા અને સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઋણ ચોરસની સંખ્યા, જેમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ બિન-ડિજનરેટ રેખીય રૂપાંતરણો દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે, તે આ પરિવર્તનોની પસંદગી પર આધારિત નથી.

7.5. માટે કાર્યો સ્વતંત્ર કાર્યપ્રકરણ 7 પર

7.1. સાબિત કરો કે જો મેટ્રિક્સ સાથેનું ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હોય એસકારાત્મક નિશ્ચિત છે, પછી સાથે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સહકારાત્મક ચોક્કસ.

7.2. શોધો સામાન્ય દેખાવવિસ્તારમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

7.3. વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ડોમેનમાં સામાન્ય સ્વરૂપ શોધો

વિવિધ ચલોમાં ડિગ્રી 2 ની સજાતીય બહુપદીને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે.

ચલોનાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં બે પ્રકારનાં શબ્દોનો સમાવેશ થાય છે: ચલોના ચોરસ અને ચોક્કસ ગુણાંક સાથેના તેમના જોડીવાઇઝ ઉત્પાદનો. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ સામાન્ય રીતે નીચેના ચોરસ રેખાકૃતિ તરીકે લખવામાં આવે છે:

યુગલો સમાન સભ્યોસમાન ગુણાંક સાથે લખવામાં આવે છે, જેથી તેમાંથી દરેક ચલોના અનુરૂપ ગુણાંક સાથે ગુણાંકનો અડધો ભાગ બનાવે. આમ, દરેક ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ કુદરતી રીતે તેના ગુણાંક મેટ્રિક્સ સાથે સંકળાયેલું છે, જે સપ્રમાણ છે.

નીચેના મેટ્રિક્સ નોટેશનમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું અનુકૂળ છે. ચાલો X દ્વારા X દ્વારા ચલોની કૉલમ દર્શાવીએ - એક પંક્તિ, એટલે કે, X સાથે ટ્રાન્સપોઝ થયેલ મેટ્રિક્સ. પછી

ગણિતની ઘણી શાખાઓમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો અને તેના ઉપયોગો જોવા મળે છે.

સંખ્યા સિદ્ધાંત અને સ્ફટિક વિજ્ઞાનમાં, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોને એવી ધારણા હેઠળ ગણવામાં આવે છે કે ચલો માત્ર પૂર્ણાંક મૂલ્યો લે છે. IN વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિચતુર્ભુજ સ્વરૂપ એ ક્રમના વળાંક (અથવા સપાટી) ના સમીકરણનો એક ભાગ છે. મિકેનિક્સ અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ વ્યક્ત કરવા માટે દેખાય છે ગતિ ઊર્જાસામાન્યકૃત વેગ વગેરેના ઘટકો દ્વારા પ્રણાલીઓ આ કાર્યઆપેલ બિંદુની નજીકમાં તેની નજીક આવતા બિંદુથી વિચલિત થાય છે રેખીય કાર્ય. આ પ્રકારની સમસ્યાનું ઉદાહરણ એ ફંક્શનનો મહત્તમ અને ન્યૂનતમ અભ્યાસ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમ સુધી સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવતા બે ચલોના કાર્ય માટે મહત્તમ અને લઘુત્તમનો અભ્યાસ કરવાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લો. આવશ્યક શરતબિંદુને મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ ફંક્શન આપવા માટે, બિંદુ પરના ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્સ શૂન્યના બરાબર છે. ચાલો ધારીએ કે આ સ્થિતિ પૂરી થઈ છે. ચાલો x અને y નાના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને k આપીએ અને ટેલરના સૂત્ર મુજબ, આ ઇન્ક્રીમેન્ટ, નાના ઉચ્ચ ઓર્ડર્સ સુધી, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ સમાન છે જ્યાં બીજા ડેરિવેટિવ્ઝની કિંમતો છે. બિંદુ પર ગણવામાં આવે છે જો આ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ બધા મૂલ્યો માટે હકારાત્મક છે અને k (સિવાય), તો ફંક્શનને બિંદુ પર ન્યૂનતમ છે, તો તે મહત્તમ છે; છેલ્લે, જો ફોર્મ હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને મૂલ્યો લે છે, તો ત્યાં કોઈ મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ હશે નહીં. ના કાર્યો વધુચલો

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોના અભ્યાસમાં મુખ્યત્વે ચલોના રેખીય પરિવર્તનના એક અથવા બીજા સમૂહના સંદર્ભમાં સ્વરૂપોની સમાનતાની સમસ્યાનો અભ્યાસ કરવાનો સમાવેશ થાય છે. બે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે જો તેમાંથી એકને આપેલ સમૂહના રૂપાંતરણોમાંથી એક દ્વારા બીજામાં રૂપાંતરિત કરી શકાય. સમાનતાની સમસ્યા સાથે નજીકથી સંબંધિત ફોર્મને ઘટાડવાની સમસ્યા છે, એટલે કે. તેને કેટલાક સંભવતઃ સરળ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવું.

સપ્રમાણ વિવિધ મુદ્દાઓચતુર્ભુજ સ્વરૂપો સાથે સંકળાયેલા, ચલોના સ્વીકાર્ય પરિવર્તનના વિવિધ સેટને પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

વિશ્લેષણના પ્રશ્નોમાં, ચલોના કોઈપણ બિન-વિશિષ્ટ પરિવર્તનનો ઉપયોગ થાય છે; વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના હેતુઓ માટે, સૌથી વધુ રસ છે ઓર્થોગોનલ પરિવર્તનો, એટલે કે જે ચલોની એક સિસ્ટમમાંથી સંક્રમણને અનુરૂપ છે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સબીજાને. છેલ્લે, સંખ્યા સિદ્ધાંત અને ક્રિસ્ટલોગ્રાફીમાં પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે અને એકતાના સમાન નિર્ણાયક સાથેના રેખીય પરિવર્તનો ગણવામાં આવે છે.

અમે આમાંથી બે સમસ્યાઓ પર વિચાર કરીશું: કોઈપણ બિન-એકવચન પરિવર્તન દ્વારા ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને તેના સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો પ્રશ્ન અને ઓર્થોગોનલ ટ્રાન્સફોર્મેશન માટે સમાન પ્રશ્ન. સૌ પ્રથમ, ચાલો શોધી કાઢીએ કે ચલોના રેખીય પરિવર્તન દરમિયાન ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ કેવી રીતે રૂપાંતરિત થાય છે.

ચાલો, જ્યાં A એ ફોર્મ ગુણાંકનું સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ છે, X એ ચલોનો કૉલમ છે.

ચાલો ચલોનું રેખીય પરિવર્તન કરીએ, તેને સંક્ષિપ્તમાં લખીએ. અહીં C આ રૂપાંતરણના ગુણાંકના મેટ્રિક્સને સૂચવે છે, X એ નવા ચલોનો કૉલમ છે. પછી અને તેથી, રૂપાંતરિત ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ છે

મેટ્રિક્સ આપમેળે સપ્રમાણ બને છે, જે તપાસવું સરળ છે. આમ, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની સમસ્યા પરસ્પર સ્થાનાંતરિત મેટ્રિસિસ દ્વારા ડાબી અને જમણી બાજુએ ગુણાકાર કરીને સપ્રમાણ મેટ્રિક્સને સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની સમસ્યા સમાન છે.

ચોરસ આકાર.
સ્વરૂપોની નિશ્ચિતતા પર સહી કરો. સિલ્વેસ્ટર માપદંડ

વિશેષણ "ચતુર્ભુજ" તરત જ સૂચવે છે કે અહીં કંઈક ચોરસ (બીજી ડિગ્રી) સાથે જોડાયેલ છે, અને ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં આપણે આ "કંઈક" અને આકાર શું છે તે શોધીશું. તે જીભ ટ્વિસ્ટર હોવાનું બહાર આવ્યું :)

મારા નવા પાઠમાં સ્વાગત છે, અને તાત્કાલિક વોર્મ-અપ તરીકે અમે પટ્ટાવાળા આકારને જોઈશું રેખીય. રેખીય સ્વરૂપ ચલોકહેવાય છે સજાતીય 1લી ડિગ્રી બહુપદી:

- કેટલીક ચોક્કસ સંખ્યાઓ * (અમે ધારીએ છીએ કે તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય નથી), a એ ચલ છે જે મનસ્વી મૂલ્યો લઈ શકે છે.

* આ વિષયના માળખામાં આપણે ફક્ત વિચારણા કરીશું વાસ્તવિક સંખ્યાઓ .

અમે વિશેના પાઠમાં પહેલેથી જ "સમાન્ય" શબ્દનો સામનો કર્યો છે રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીઓ, અને માં આ કિસ્સામાંતે સૂચવે છે કે બહુપદીમાં વત્તા સ્થિર નથી.

ઉદાહરણ તરીકે: - બે ચલોનું રેખીય સ્વરૂપ

હવે આકાર ચતુર્ભુજ છે. ઘર ચલોકહેવાય છે સજાતીય 2જી ડિગ્રીનું બહુપદી, જેની દરેક મુદતચલનો ચોરસ અથવા ડબલ્સચલોનું ઉત્પાદન. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, બે ચલોના ચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે:

ધ્યાન આપો!આ પ્રમાણભૂત સંકેત, અને તમારે તેમાં કંઈપણ બદલવાની જરૂર નથી! "ડરામણી" દેખાવ હોવા છતાં, અહીં બધું સરળ છે - સ્થિરાંકોના ડબલ સબસ્ક્રિપ્ટ્સ સંકેત આપે છે કે કયા ચલો કયા શબ્દમાં શામેલ છે:
- આ શબ્દમાં ઉત્પાદન અને (ચોરસ) શામેલ છે;
- અહીં કામ છે;
- અને અહીં કામ છે.

- જ્યારે તેઓ ગુણાંકનું "માઈનસ" ગુમાવે છે, ત્યારે હું તરત જ એક ગંભીર ભૂલની અપેક્ષા રાખું છું, તે સમજાતું નથી કે તે કોઈ શબ્દનો સંદર્ભ આપે છે:

કેટલીકવાર ભાવનામાં "શાળા" ડિઝાઇન વિકલ્પ હોય છે, પરંતુ માત્ર ક્યારેક. માર્ગ દ્વારા, નોંધ કરો કે સ્થિરાંકો અમને અહીં કંઈપણ કહેતા નથી, અને તેથી "સરળ સંકેત" યાદ રાખવું વધુ મુશ્કેલ છે. ખાસ કરીને જ્યારે વધુ ચલો હોય.

અને ચતુર્ભુજ ત્રણનું સ્વરૂપચલો પહેલાથી જ છ સભ્યો ધરાવે છે:

...શા માટે "બે" પરિબળોને "મિશ્ર" શબ્દોમાં મૂકવામાં આવે છે? આ અનુકૂળ છે, અને તે શા માટે ટૂંક સમયમાં સ્પષ્ટ થશે.

જોકે સામાન્ય સૂત્રચાલો તેને લખીએ, તેને "શીટ" તરીકે ગોઠવવાનું અનુકૂળ છે:

- અમે દરેક લાઇનનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરીએ છીએ - તેમાં કંઈ ખોટું નથી!

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં ચલોના વર્ગો સાથેના પદો અને તેમના જોડી ઉત્પાદનો સાથેના પદો હોય છે (સે.મી. સંયુક્ત સંયોજન સૂત્ર) . વધુ કંઈ નહીં - કોઈ “લોનલી એક્સ” અને કોઈ એડ્ડ કોન્સ્ટન્ટ નહીં (પછી તમને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ મળશે નહીં, પરંતુ વિજાતીય 2જી ડિગ્રીનું બહુપદી).

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ સંકેત

મૂલ્યોના આધારે, પ્રશ્નમાંનું સ્વરૂપ હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને મૂલ્યો લઈ શકે છે, અને તે કોઈપણ રેખીય સ્વરૂપને લાગુ પડે છે - જો તેના ગુણાંકમાંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્યથી અલગ હોય, તો તે કાં તો હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક હોઈ શકે છે (આના પર આધાર રાખીને મૂલ્યો).

આ ફોર્મ કહેવામાં આવે છે વૈકલ્પિક ચિહ્ન. અને જો સાથે રેખીય સ્વરૂપબધું પારદર્શક છે, પછી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ સાથે વસ્તુઓ વધુ રસપ્રદ છે:

તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે આ સ્વરૂપ કોઈપણ ચિહ્નનો અર્થ લઈ શકે છે, આમ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ પણ વૈકલ્પિક હોઈ શકે છે.

અથવા કદાચ નહીં:

- હંમેશા, સિવાય કે એકસાથે શૂન્ય સમાન હોય.

- કોઈપણ માટે વેક્ટરશૂન્ય સિવાય.

અને સામાન્ય રીતે,જો કોઈ માટે બિન-શૂન્યવેક્ટર , , પછી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ કહેવાય છે હકારાત્મક ચોક્કસ; જો એમ હોય તો નકારાત્મક નિશ્ચિત.

અને બધું સારું હશે, પરંતુ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની નિશ્ચિતતા ફક્ત તેમાં જ દેખાય છે સરળ ઉદાહરણો, અને આ દૃશ્યતા થોડી જટિલતા સાથે પણ ખોવાઈ જાય છે:
– ?

કોઈ એવું માની શકે છે કે ફોર્મ હકારાત્મક ચોક્કસ છે, પરંતુ શું ખરેખર આવું છે? અચાનક એવા મૂલ્યો છે કે જેના પર તે શૂન્ય કરતાં ઓછું?

આ સ્કોર પર છે પ્રમેય: જો બધા eigenvaluesચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિસિસ હકારાત્મક છે * , પછી તે હકારાત્મક ચોક્કસ છે. જો બધા નકારાત્મક હોય, તો નકારાત્મક.

* તે સિદ્ધાંતમાં સાબિત થયું છે કે વાસ્તવિક સપ્રમાણ મેટ્રિક્સના તમામ ઇજેન મૂલ્યો માન્ય

ચાલો ઉપરના ફોર્મનું મેટ્રિક્સ લખીએ:
અને Eq થી. ચાલો તેણીને શોધીએ eigenvalues:

ચાલો સારા જૂના ઉકેલો ચતુર્ભુજ સમીકરણ:

, જેનો અર્થ થાય છે ફોર્મ હકારાત્મક રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, એટલે કે. કોઈપણ બિન-શૂન્ય મૂલ્યો માટે શૂન્ય કરતાં વધુ.

માનવામાં આવેલ પદ્ધતિ કામ કરતી હોય તેવું લાગે છે, પરંતુ ત્યાં એક મોટી પરંતુ છે. પહેલેથી જ ત્રણ-બાય-ત્રણ મેટ્રિક્સ માટે, યોગ્ય સંખ્યાઓ શોધવી એ એક લાંબુ અને અપ્રિય કાર્ય છે; ઉચ્ચ સંભાવના સાથે તમને અતાર્કિક મૂળ સાથે 3જી ડિગ્રીનો બહુપદી મળશે.

મારે શું કરવું જોઈએ? એક સરળ રસ્તો છે!

સિલ્વેસ્ટર માપદંડ

ના, સિલ્વેસ્ટર સ્ટેલોન નહીં :) પ્રથમ, ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે તે શું છે ખૂણે સગીરોમેટ્રિસિસ આ ક્વોલિફાયર જે તેની ડાબી બાજુથી "વધે છે". ટોચનો ખૂણો:

અને છેલ્લો મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક બરાબર છે.

હવે, વાસ્તવમાં, માપદંડ:

1) ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે હકારાત્મક રીતેજો અને માત્ર જો તેના બધા કોણીય સગીર શૂન્ય કરતા વધારે હોય તો: .

2) ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે નકારાત્મકજો અને માત્ર જો તેના કોણીય સગીરો ચિહ્નમાં વૈકલ્પિક હોય, જેમાં 1 લી સગીર શૂન્ય કરતા ઓછો હોય: , , જો – સમ અથવા , જો – વિષમ.

જો ઓછામાં ઓછો એક ખૂણો નાનો હોય વિરોધી ચિહ્ન, પછી ફોર્મ વૈકલ્પિક ચિહ્ન. જો કોણીય સગીર "તે" ચિહ્નના હોય, પરંતુ તેમની વચ્ચે શૂન્ય હોય, તો આ છે ખાસ કેસ, જેની હું થોડી વાર પછી ચર્ચા કરીશ, અમે વધુ સામાન્ય ઉદાહરણો પર ક્લિક કર્યા પછી.

ચાલો મેટ્રિક્સના કોણીય સગીરોનું વિશ્લેષણ કરીએ :

અને આ તરત જ અમને કહે છે કે ફોર્મ નકારાત્મક રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી.

નિષ્કર્ષ: તમામ કોર્નર સગીર શૂન્ય કરતા વધારે છે, જેનો અર્થ થાય છે ફોર્મ હકારાત્મક રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

પદ્ધતિમાં તફાવત છે eigenvalues? ;)

ચાલો માંથી ફોર્મ મેટ્રિક્સ લખીએ ઉદાહરણ 1:

પ્રથમ તેનું કોણીય ગૌણ છે, અને બીજું , જેમાંથી તે અનુસરે છે કે આકાર ચિહ્નમાં વૈકલ્પિક છે, એટલે કે. મૂલ્યો પર આધાર રાખીને, તે હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને મૂલ્યો લઈ શકે છે. જો કે, આ પહેલેથી જ સ્પષ્ટ છે.

ચાલો ફોર્મ અને તેના મેટ્રિક્સમાંથી લઈએ ઉદાહરણ 2:

આંતરદૃષ્ટિ વિના આ બહાર કાઢવાનો કોઈ રસ્તો નથી. પરંતુ સિલ્વેસ્ટરના માપદંડ સાથે અમને કોઈ પરવા નથી:
, તેથી, ફોર્મ ચોક્કસપણે નકારાત્મક નથી.

, અને ચોક્કસપણે હકારાત્મક નથી (કારણ કે તમામ કોણીય સગીર હકારાત્મક હોવા જોઈએ).

નિષ્કર્ષ: આકાર વૈકલ્પિક છે.

માટે વોર્મ-અપ ઉદાહરણો સ્વતંત્ર નિર્ણય:

ઉદાહરણ 4

સંકેતની નિશ્ચિતતા માટે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોની તપાસ કરો

એ)

આ ઉદાહરણોમાં બધું સરળ છે (પાઠનો અંત જુઓ), પરંતુ હકીકતમાં, આવા કાર્યને પૂર્ણ કરવા માટે સિલ્વેસ્ટરનો માપદંડ પૂરતો ન હોઈ શકે.

મુદ્દો એ છે કે ત્યાં "એજ" કેસો છે, એટલે કે: જો કોઈ હોય તો બિન-શૂન્યવેક્ટર, પછી આકાર નક્કી થાય છે બિન-નકારાત્મક, જો - પછી નકારાત્મક. આ સ્વરૂપો છે બિન-શૂન્યવેક્ટર્સ જેના માટે

અહીં તમે નીચેના "એકોર્ડિયન" ને ટાંકી શકો છો:

હાઇલાઇટિંગ સંપૂર્ણ ચોરસ, અમે તરત જ જોઈએ છીએ બિન-નકારાત્મકતાફોર્મ: , અને તે સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે કોઈપણ વેક્ટર માટે શૂન્ય બરાબર છે, ઉદાહરણ તરીકે: .

"મિરર" ઉદાહરણ નકારાત્મકચોક્કસ સ્વરૂપ:

અને એક વધુ તુચ્છ ઉદાહરણ:
– અહીં ફોર્મ કોઈપણ વેક્ટર માટે શૂન્ય બરાબર છે, જ્યાં એક મનસ્વી સંખ્યા છે.

બિન-નકારાત્મક અથવા બિન-સકારાત્મક સ્વરૂપો કેવી રીતે ઓળખવા?

આ માટે આપણને ખ્યાલની જરૂર છે મુખ્ય સગીરો મેટ્રિસિસ મેજર માઇનોર એ એવા તત્વોથી બનેલું માઇનોર છે જે સમાન સંખ્યાઓ સાથે પંક્તિઓ અને કૉલમના આંતરછેદ પર ઊભા હોય છે. આમ, મેટ્રિક્સમાં 1લા ક્રમના બે મુખ્ય સગીર છે:
(તત્વ 1 લી પંક્તિ અને 1 લી કૉલમના આંતરછેદ પર સ્થિત છે);
(તત્વ 2જી પંક્તિ અને 2જી કૉલમના આંતરછેદ પર છે),

અને 2જી ક્રમની એક મુખ્ય નાની:
- 1લી, 2જી પંક્તિ અને 1લી, 2જી કૉલમના ઘટકોથી બનેલું.

મેટ્રિક્સ "ત્રણ બાય ત્રણ" છે ત્યાં સાત મુખ્ય સગીર છે, અને અહીં તમારે તમારા દ્વિશિરને ફ્લેક્સ કરવું પડશે:
- પ્રથમ ક્રમના ત્રણ સગીર,
ત્રણ બીજા ક્રમના સગીર:
- 1લી, 2જી પંક્તિ અને 1લી, 2જી કૉલમના ઘટકોથી બનેલું;
- 1લી, 3જી પંક્તિ અને 1લી, 3જી કૉલમના ઘટકોથી બનેલું;
- 2જી, 3જી પંક્તિ અને 2જી, 3જી કૉલમના ઘટકોથી બનેલું,
અને એક ત્રીજો ક્રમ નાનો:
- 1લી, 2જી, 3જી પંક્તિ અને 1લી, 2જી અને 3જી કૉલમના ઘટકોથી બનેલું.
વ્યાયામસમજવા માટે: મેટ્રિક્સના તમામ મુખ્ય સગીર લખો .
અમે પાઠના અંતે તપાસ કરીએ છીએ અને ચાલુ રાખીએ છીએ.

શ્વાર્ઝેનેગર માપદંડ:

1) બિન-શૂન્ય* ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ વ્યાખ્યાયિત બિન-નકારાત્મકજો અને માત્ર જો તેના તમામ મુખ્ય સગીરો બિન-નકારાત્મક(શૂન્ય કરતા વધારે અથવા બરાબર).

* શૂન્ય (ડિજનરેટ) ચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં શૂન્ય સમાન તમામ ગુણાંક હોય છે.

2) મેટ્રિક્સ સાથે બિન-શૂન્ય ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે નકારાત્મકજો અને માત્ર જો:
- 1લી ઓર્ડરના મુખ્ય સગીરો બિન-હકારાત્મક(શૂન્ય કરતાં ઓછું અથવા બરાબર);
- 2જી ક્રમના મુખ્ય સગીરો બિન-નકારાત્મક;
- 3જી ક્રમના મુખ્ય સગીરો બિન-હકારાત્મક(પરિવર્તન શરૂ થયું);
…
- ક્રમના મુખ્ય નાના બિન-હકારાત્મક, જો - વિચિત્ર અથવા બિન-નકારાત્મક, જો - પણ.

જો ઓછામાં ઓછું એક સગીર વિરુદ્ધ ચિહ્નનું હોય, તો ફોર્મ સાઇન-વૈકલ્પિક છે.

ચાલો જોઈએ કે ઉપરોક્ત ઉદાહરણોમાં માપદંડ કેવી રીતે કાર્ય કરે છે:

ચાલો આકાર મેટ્રિક્સ બનાવીએ, અને સૌ પ્રથમચાલો કોણીય સગીરોની ગણતરી કરીએ - જો તે હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો શું?

પ્રાપ્ત મૂલ્યો સિલ્વેસ્ટર માપદંડને સંતોષતા નથી, પરંતુ બીજા નાના નકારાત્મક નથી, અને આ 2જી માપદંડને તપાસવાનું જરૂરી બનાવે છે (2જી માપદંડના કિસ્સામાં આપોઆપ પરિપૂર્ણ થશે નહીં, એટલે કે ફોર્મના ચિહ્ન પરિવર્તન વિશે તરત જ નિષ્કર્ષ દોરવામાં આવે છે).

1લા ઓર્ડરના મુખ્ય સગીર:
- હકારાત્મક,
2જી ક્રમની મુખ્ય નાની:
- નકારાત્મક નથી.

આમ, તમામ મુખ્ય સગીર નકારાત્મક નથી, જેનો અર્થ થાય છે ફોર્મ બિન-નકારાત્મક.

ચાલો ફોર્મ મેટ્રિક્સ લખીએ , જેના માટે સિલ્વેસ્ટર માપદંડ દેખીતી રીતે સંતુષ્ટ નથી. પરંતુ અમને વિરોધી ચિહ્નો પણ મળ્યા નથી (કારણ કે બંને કોણીય સગીર શૂન્ય સમાન છે). તેથી, અમે બિન-નકારાત્મકતા/બિન-સકારાત્મકતા માપદંડની પરિપૂર્ણતા તપાસીએ છીએ. 1લા ઓર્ડરના મુખ્ય સગીર:
- હકારાત્મક નથી,
2જી ક્રમની મુખ્ય નાની:
- નકારાત્મક નથી.

આમ, શ્વાર્ઝેનેગરના માપદંડ (બિંદુ 2) મુજબ, ફોર્મ બિન-સકારાત્મક રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

હવે ચાલો વધુ રસપ્રદ સમસ્યા પર નજીકથી નજર કરીએ:

ઉદાહરણ 5

ચિહ્નની નિશ્ચિતતા માટે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું પરીક્ષણ કરો

આ ફોર્મઓર્ડર "આલ્ફા" ને શણગારે છે, જે કોઈપણની સમાન હોઈ શકે છે વાસ્તવિક સંખ્યા. પરંતુ તે ફક્ત વધુ મનોરંજક હશે અમે નક્કી કરીએ છીએ.

પ્રથમ, ચાલો ફોર્મ મેટ્રિક્સ લખીએ; મુખ્ય કર્ણઅમે ચોરસ માટે ગુણાંક મૂકીએ છીએ, અને સપ્રમાણ સ્થળોએ અમે અનુરૂપ "મિશ્રિત" ઉત્પાદનોના અડધા ગુણાંક મૂકીએ છીએ:

ચાલો કોણીય સગીરોની ગણતરી કરીએ:

હું 3જી લીટી પર ત્રીજા નિર્ણાયકને વિસ્તૃત કરીશ:

ચતુર્ભુજ આકારો

ઘર n ચલોનો f(x 1, x 2,...,x n) એ એક સરવાળો છે, જેમાંથી દરેક પદ કાં તો ચલોમાંના એકનો વર્ગ છે, અથવા ચોક્કસ ગુણાંક સાથે લેવાયેલ બે અલગ-અલગ ચલોનું ઉત્પાદન છે: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

આ ગુણાંકોથી બનેલા મેટ્રિક્સ A ને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે. તે હંમેશા છે n ચલોનો f(x 1, x 2,...,x n) એ એક સરવાળો છે, જેમાંથી દરેક પદ કાં તો ચલોમાંના એકનો વર્ગ છે, અથવા ચોક્કસ ગુણાંક સાથે લેવાયેલ બે અલગ-અલગ ચલોનું ઉત્પાદન છે: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).મેટ્રિક્સ (એટલે કે મુખ્ય કર્ણ વિશે મેટ્રિક્સ સપ્રમાણતા, a ij = a ji).

મેટ્રિક્સ નોટેશનમાં, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(X) = X T AX છે, જ્યાં

મેટ્રિક્સ નોટેશન

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં લખીએ.

ચલ X ના મેટ્રિક્સ-કૉલમને મેટ્રિક્સ-કૉલમ Y ના બિન-ડિજનરેટ રેખીય રૂપાંતર દ્વારા મેળવવા દો, એટલે કે. X = CY, જ્યાં C એ nમા ક્રમનું બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ છે. પછી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T) A(CY) = Y T (C T AC)Y.

આમ, બિન-ડિજનરેટ રેખીય પરિવર્તન C સાથે, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ આ સ્વરૂપ લે છે: A * = C T AC.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો રેખીય રૂપાંતર દ્વારા ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 માંથી મેળવેલ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(y 1, y 2) શોધીએ.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ કહેવાય છે ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો રેખીય રૂપાંતર દ્વારા ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 માંથી મેળવેલ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(y 1, y 2) શોધીએ.(છે પ્રમાણભૂત), જો તેના તમામ ગુણાંક i ≠ j માટે ij = 0 હોય, એટલે કે.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

તેનું મેટ્રિક્સ કર્ણ છે.

), જો i≠j માટે તેના તમામ ગુણાંક ij = 0 હોય, એટલે કે f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .(સાબિતી અહીં આપવામાં આવી નથી). નોન-ડિજનરેટ રેખીય રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

આ કરવા માટે, પ્રથમ x 1 ચલ સાથે સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરો:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

હવે આપણે x 2 ચલ સાથે સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ છીએ:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

પછી બિન-ડિજનરેટ રેખીય પરિવર્તન y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10)x 3 અને y 3 = x 3 આ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ f(y 1, y 2) પર લાવે છે , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

નોંધ કરો કે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ અસ્પષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે (સમાન ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને અલગ અલગ રીતે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે). જો કે, વિવિધ પદ્ધતિઓ દ્વારા મેળવેલ કેનોનિકલ સ્વરૂપોમાં સંખ્યાબંધ છે સામાન્ય ગુણધર્મો. ખાસ કરીને, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના સકારાત્મક (નકારાત્મક) ગુણાંક સાથેના શબ્દોની સંખ્યા આ ફોર્મમાં ફોર્મ ઘટાડવાની પદ્ધતિ પર આધારિત નથી (ઉદાહરણ તરીકે, ધ્યાનમાં લેવાયેલા ઉદાહરણમાં હંમેશા બે નકારાત્મક અને એક હકારાત્મક ગુણાંક હશે). આ મિલકત કહેવાય છે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોની જડતાનો કાયદો.

ચાલો સમાન ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં અલગ રીતે લાવીને આને ચકાસીએ. ચાલો ચલ x 2 થી રૂપાંતરણ શરૂ કરીએ:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 -
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, જ્યાં y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 અને y 3 = x 1 . અહીં y 3 પર 2 નો સકારાત્મક ગુણાંક છે અને y 1 અને y 2 પર બે નકારાત્મક ગુણાંક (-3) છે (અને બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આપણને y 1 પર 2 નો હકારાત્મક ગુણાંક મળ્યો છે અને બે નકારાત્મક ગુણાંક - (-5) પર y 2 અને (-1/20) y 3 પર).

તે પણ નોંધવું જોઈએ કે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સની રેન્ક, કહેવાય છે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનો ક્રમ, પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બિનશૂન્ય ગુણાંકની સંખ્યા જેટલી છે અને રેખીય પરિવર્તન હેઠળ બદલાતી નથી.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f(X) કહેવાય છે હકારાત્મક રીતે (નકારાત્મક) ચોક્કસ, જો ચલોના તમામ મૂલ્યો માટે કે જે એકસાથે શૂન્ય સમાન ન હોય, તો તે હકારાત્મક છે, એટલે કે. f(X) > 0 (નકારાત્મક, એટલે કે
f(X)< 0).

ઉદાહરણ તરીકે, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 હકારાત્મક નિશ્ચિત છે, કારણ કે ચોરસનો સરવાળો છે, અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 નકારાત્મક નિશ્ચિત છે, કારણ કે રજૂ કરે છે તેને f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

), જો i≠j માટે તેના તમામ ગુણાંક ij = 0 હોય, એટલે કે f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ સકારાત્મક (નકારાત્મક) નિશ્ચિત છે જો અને માત્ર જો તેના મેટ્રિક્સના તમામ ઇજેનવેલ્યુ હકારાત્મક (નકારાત્મક) હોય.

મુખ્ય (ખૂણો) નાનો nમા ક્રમનો kth ક્રમ મેટ્રિક્સ A ને મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક કહેવામાં આવે છે, જે મેટ્રિક્સ A () ની પ્રથમ k પંક્તિઓ અને કૉલમ્સથી બનેલો છે.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; ડી = 25 – 8 = 17;
. તેથી, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક નિશ્ચિત છે.

પદ્ધતિ 2. મેટ્રિક્સ A D 1 = a 11 = 2 > 0 ના પ્રથમ ક્રમનો મુખ્ય ગૌણ. બીજા ક્રમનો મુખ્ય સગીર D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. તેથી, સિલ્વેસ્ટરના માપદંડ મુજબ, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ છે હકારાત્મક ચોક્કસ.

પદ્ધતિ 1. ચાલો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ A = નું મેટ્રિક્સ બનાવીએ. લાક્ષણિક સમીકરણનું સ્વરૂપ હશે = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; ડી = 25 – 8 = 17;
. તેથી, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ નકારાત્મક નિશ્ચિત છે.

ઋતુઓ

ચોરસ આકાર. સ્વરૂપોની નિશ્ચિતતા પર સહી કરો. સિલ્વેસ્ટર માપદંડ

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ સંકેત

સિલ્વેસ્ટર માપદંડ

ચતુર્ભુજ આકારો

ચોરસ આકાર.
સ્વરૂપોની નિશ્ચિતતા પર સહી કરો. સિલ્વેસ્ટર માપદંડ