ઑનલાઇન કાર્યની એકવિધતા નક્કી કરો. તેના વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનું અન્વેષણ શા માટે કરવું? શ્કોલ્કોવો સાથે પરીક્ષાની પરીક્ષાની તૈયારી એ તમારી સફળતાની ચાવી છે

અંતરાલ પર વધારો \(X\) જો કોઈપણ \(x_1, x_2\in X\) માટે જેમ કે \(x_1 0\) કોઈપણ \(t\in \mathbb(R)\) માટે.

આમ, ફંક્શન \(f(t)\) બધા \(t\in \mathbb(R)\) માટે સખત રીતે વધી રહ્યું છે.

આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ \(f(ax)=f(x^2)\) એ સમીકરણ \(ax=x^2\) ની સમકક્ષ છે.

\(a=0\) માટે સમીકરણ \(x^2-ax=0\) એક મૂળ \(x=0\) ધરાવે છે, અને \(a\ne 0\) માટે તે બે અલગ-અલગ મૂળ ધરાવે છે \(x_1 =0 \) અને \(x_2=a\) .
આપણે \(a\) ના મૂલ્યો શોધવાની જરૂર છે કે જેના પર સમીકરણમાં ઓછામાં ઓછા બે મૂળ હશે, એ હકીકતને પણ ધ્યાનમાં લેતા કે \(a>0\) .
તેથી, જવાબ છે: \(a\in (0;+\infty)\) .

જવાબ:

\(0;+\infty)\) .

કાર્ય 4 #1232

કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની સમાન

પરિમાણના તમામ મૂલ્યો શોધો \(a\) , જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ \

એક અનન્ય ઉકેલ છે.

ચાલો સમીકરણની જમણી અને ડાબી બાજુઓને \(2^(\sqrt(x+1))\) (થી \(2^(\sqrt(x+1))>0\) વડે ગુણાકાર કરીએ અને સમીકરણને ફરીથી લખીએ ફોર્મમાં :\

કાર્ય \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))(t+2))\) \(t\geqslant 0\) માટેનો વિચાર કરો (\(\sqrt (x) થી +1)\geqslant 0\)).

વ્યુત્પન્ન \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\ cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\જમણે)\) .

કારણ કે \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) બધા માટે \(t\geqslant 0\), પછી \( y"0\) બધા માટે \(a\). પરિણામે, સમીકરણમાં હંમેશા બે મૂળ \(x_1\) અને \(x_2\) હોય છે, અને તે અલગ-અલગ ચિહ્નોના હોય છે (કેમકે વિયેટાના પ્રમેય મુજબ \(x_1\cdot) x_2 =-\dfrac(1)(a^2) 0 પર . એક્સ= 0 વ્યુત્પન્ન શૂન્ય પર જાય છે. કાર્ય સમગ્ર સંખ્યાત્મક અક્ષ સાથે એકવિધ રીતે વધે છે.

કાર્યની આત્યંતિક

વ્યાખ્યા 1. બિંદુ એક્સ 0 ને ફંક્શનનો મહત્તમ બિંદુ કહેવામાં આવે છે f(એક્સએક્સ 0 અસમાનતા ધરાવે છે

વ્યાખ્યા 2. બિંદુ એક્સ 1 ને ફંક્શનનો લઘુત્તમ બિંદુ કહેવામાં આવે છે f(એક્સ), જો બિંદુના અમુક પડોશમાં હોય એક્સ 1, અસમાનતા ધરાવે છે

બિંદુઓ પર કાર્ય મૂલ્યો એક્સ 0 અને એક્સ 1 મુજબ બોલાવવામાં આવે છે મહત્તમ અને લઘુત્તમ કાર્ય.

મહત્તમ અને લઘુત્તમ કાર્યો એક સામાન્ય નામ દ્વારા એક થાય છે કાર્યની સીમા.

ફંક્શનની સીમાને ઘણીવાર કહેવામાં આવે છે સ્થાનિક છેડો,એ હકીકત પર ભાર મૂકે છે કે આત્યંતિક ખ્યાલ માત્ર બિંદુના પૂરતા પ્રમાણમાં નાના પડોશી સાથે સંકળાયેલ છે x n. તેથી એક અંતરાલ પર ફંક્શનમાં અનેક અંતિમો હોઈ શકે છે, અને એવું બની શકે છે કે એક બિંદુ પર લઘુત્તમ બીજા સ્થાને મહત્તમ કરતા વધારે હોય, ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિ 8 માં

અંતરાલમાં એક અલગ બિંદુ પર મહત્તમ (અથવા લઘુત્તમ) ની હાજરી એક્સતેનો અર્થ એ નથી કે આ બિંદુએ કાર્ય f(એક્સ) આ અંતરાલ પર સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય લે છે (અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, ધરાવે છે વૈશ્વિક મહત્તમ (લઘુત્તમ)).

એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી સ્થિતિ: કાર્ય માટે ક્રમમાં y = f(એક્સ) પોઈન્ટ પર એક્સ્ટ્રીમમ હતું એક્સ 0, તે જરૂરી છે કે આ બિંદુએ તેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય ( )અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

પોઈન્ટ જ્યાં થાય છે જરૂરી સ્થિતિઆત્યંતિક, એટલે કે વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી તે કહેવામાં આવે છે જટિલ(અથવા સ્થિર ).

આમ, જો કોઈ બિંદુએ એક્સ્ટ્રીમમ હોય, તો આ બિંદુ નિર્ણાયક છે. જો કે, એ નોંધવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે વાતચીત સાચી નથી. નિર્ણાયક બિંદુ એ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ હોવું જરૂરી નથી.

આકૃતિ 8 - ફંક્શન એક્સ્ટ્રીમા f(એક્સ)

ઉદાહરણ 1. કાર્યના નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો અને આ બિંદુઓ પર એક્સ્ટ્રીમમની હાજરી અથવા ગેરહાજરી ચકાસો.

કેવી રીતે દાખલ કરવું ગાણિતિક સૂત્રોસાઇટ પર?

જો તમારે ક્યારેય વેબ પેજ પર એક કે બે ગાણિતિક સૂત્રો ઉમેરવાની જરૂર હોય, તો લેખમાં વર્ણવ્યા મુજબ આ કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો છે: વુલ્ફ્રામ આલ્ફા દ્વારા આપમેળે જનરેટ થયેલા ચિત્રોના રૂપમાં ગાણિતિક સૂત્રો સરળતાથી સાઇટ પર દાખલ કરવામાં આવે છે. . સરળતા ઉપરાંત, આ સાર્વત્રિક પદ્ધતિવેબસાઇટ દૃશ્યતા સુધારવામાં મદદ કરશે શોધ એન્જિન. તે લાંબા સમયથી કામ કરી રહ્યું છે (અને, મને લાગે છે, હંમેશ માટે કામ કરશે), પરંતુ તે પહેલાથી જ નૈતિક રીતે જૂનું છે.

જો તમે તમારી સાઇટ પર સતત ગાણિતિક સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો છો, તો હું તમને મેથજેક્સનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરું છું - એક વિશિષ્ટ JavaScript લાઇબ્રેરી જે દર્શાવે છે ગાણિતિક સંકેત MathML, LaTeX અથવા ASCIIMathML માર્કઅપનો ઉપયોગ કરીને વેબ બ્રાઉઝર્સમાં.

મેથજેક્સનો ઉપયોગ શરૂ કરવાની બે રીત છે: (1) એક સરળ કોડનો ઉપયોગ કરીને, તમે તમારી સાઇટ સાથે મેથજેક્સ સ્ક્રિપ્ટને ઝડપથી કનેક્ટ કરી શકો છો, જે યોગ્ય ક્ષણરિમોટ સર્વરથી આપમેળે લોડ થાય છે (સર્વરોની સૂચિ); (2) તમારા સર્વર પર રિમોટ સર્વરથી MathJax સ્ક્રિપ્ટ ડાઉનલોડ કરો અને તેને તમારી સાઇટના તમામ પૃષ્ઠો સાથે કનેક્ટ કરો. બીજી પદ્ધતિ - વધુ જટિલ અને સમય માંગી લેતી - તમારી સાઇટના પૃષ્ઠોના લોડિંગને ઝડપી બનાવશે, અને જો પેરેન્ટ મેથજેક્સ સર્વર કોઈ કારણોસર અસ્થાયી રૂપે અનુપલબ્ધ થઈ જાય, તો આ તમારી પોતાની સાઇટને કોઈપણ રીતે અસર કરશે નહીં. આ ફાયદાઓ હોવા છતાં, મેં પ્રથમ પદ્ધતિ પસંદ કરી કારણ કે તે સરળ, ઝડપી છે અને તકનીકી કુશળતાની જરૂર નથી. મારા ઉદાહરણને અનુસરો, અને માત્ર 5 મિનિટમાં તમે તમારી સાઇટ પર MathJaxની તમામ સુવિધાઓનો ઉપયોગ કરી શકશો.

તમે મુખ્ય MathJax વેબસાઈટ પરથી અથવા દસ્તાવેજીકરણ પેજ પર લીધેલા બે કોડ વિકલ્પોનો ઉપયોગ કરીને રિમોટ સર્વરથી MathJax લાઈબ્રેરી સ્ક્રિપ્ટને કનેક્ટ કરી શકો છો:

આ કોડ વિકલ્પોમાંથી એકને તમારા વેબ પેજના કોડમાં કૉપિ કરીને પેસ્ટ કરવાની જરૂર છે, પ્રાધાન્યમાં ટૅગ્સ વચ્ચે અને અથવા ટૅગ પછી તરત જ. પ્રથમ વિકલ્પ મુજબ, MathJax ઝડપથી લોડ થાય છે અને પૃષ્ઠને ઓછું ધીમું કરે છે. પરંતુ બીજો વિકલ્પ MathJax ના નવીનતમ સંસ્કરણોને આપમેળે મોનિટર કરે છે અને લોડ કરે છે. જો તમે પ્રથમ કોડ દાખલ કરો છો, તો તેને સમયાંતરે અપડેટ કરવાની જરૂર પડશે. જો તમે બીજો કોડ દાખલ કરો છો, તો પૃષ્ઠો વધુ ધીમેથી લોડ થશે, પરંતુ તમારે MathJax અપડેટ્સનું સતત નિરીક્ષણ કરવાની જરૂર રહેશે નહીં.

MathJax ને કનેક્ટ કરવાની સૌથી સહેલી રીત બ્લોગર અથવા વર્ડપ્રેસમાં છે: સાઇટ કંટ્રોલ પેનલમાં, તૃતીય-પક્ષ જાવાસ્ક્રિપ્ટ કોડ દાખલ કરવા માટે રચાયેલ વિજેટ ઉમેરો, તેમાં ઉપર પ્રસ્તુત ડાઉનલોડ કોડના પ્રથમ અથવા બીજા સંસ્કરણની નકલ કરો અને વિજેટને નજીક મૂકો. નમૂનાની શરૂઆત સુધી (માર્ગ દ્વારા, આ બિલકુલ જરૂરી નથી, કારણ કે MathJax સ્ક્રિપ્ટ અસુમેળ રીતે લોડ થયેલ છે). બસ. હવે MathML, LaTeX, અને ASCIIMathML ના માર્કઅપ વાક્યરચના શીખો, અને તમે તમારી સાઇટના વેબ પૃષ્ઠોમાં ગાણિતિક સૂત્રો દાખલ કરવા માટે તૈયાર છો.

કોઈપણ ફ્રેક્ટલ અનુસાર બાંધવામાં આવે છે ચોક્કસ નિયમ, જે અનુક્રમે અમર્યાદિત સંખ્યામાં લાગુ થાય છે. આવા દરેક સમયને પુનરાવૃત્તિ કહેવામાં આવે છે.

મેન્જર સ્પોન્જ બનાવવા માટે પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમ એકદમ સરળ છે: બાજુ 1 સાથેના મૂળ ક્યુબને તેના ચહેરાની સમાંતર પ્લેન દ્વારા 27 માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. સમાન સમઘન. એક કેન્દ્રિય સમઘન અને ચહેરા સાથે તેની બાજુમાં 6 ક્યુબ્સ તેમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે. પરિણામ એ બાકીના 20 નાના સમઘનનો સમૂહ છે. આ દરેક ક્યુબ્સ સાથે આમ કરવાથી, આપણને 400 નાના ક્યુબ્સનો સમૂહ મળે છે. આ પ્રક્રિયા અવિરતપણે ચાલુ રાખીને, અમને મેન્જર સ્પોન્જ મળે છે.

ફંક્શનના વધતા, ઘટતા અને ચરમસીમાના અંતરાલ શોધવાનું આ પ્રમાણે છે: એક સ્વતંત્ર કાર્ય, અને અન્ય કાર્યોનો સૌથી મહત્વપૂર્ણ ભાગ, ખાસ કરીને, કાર્યનો સંપૂર્ણ અભ્યાસ. પ્રારંભિક માહિતીવ્યુત્પન્ન પરના સૈદ્ધાંતિક પ્રકરણમાં કાર્યના વધારા, ઘટાડા અને અંતિમો વિશે આપવામાં આવ્યું છે, જેનો હું પ્રારંભિક અભ્યાસ માટે ભારપૂર્વક ભલામણ કરું છું. (અથવા પુનરાવર્તન)– એ પણ કારણસર કે નીચેની સામગ્રી ખૂબ જ પર આધારિત છે આવશ્યકપણે વ્યુત્પન્ન,આ લેખનું સુમેળભર્યું ચાલુ છે. જો કે, જો સમય ઓછો હોય, તો આજના પાઠમાંથી ઉદાહરણોની સંપૂર્ણ ઔપચારિક પ્રેક્ટિસ પણ શક્ય છે.

અને આજે હવામાં દુર્લભ સર્વસંમતિની ભાવના છે, અને હું સીધો અનુભવ કરી શકું છું કે હાજર દરેક વ્યક્તિ વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને કાર્યનો અભ્યાસ કેવી રીતે કરવો તે શીખવાની ઇચ્છાથી સળગી રહ્યો છે. તેથી, વાજબી, સારી, શાશ્વત પરિભાષા તરત જ તમારા મોનિટર સ્ક્રીન પર દેખાય છે.

શેના માટે? એક કારણ સૌથી વ્યવહારુ છે: તે સ્પષ્ટ કરવા માટે કે કોઈ ચોક્કસ કાર્યમાં તમારા માટે સામાન્ય રીતે શું જરૂરી છે!

ચાલો કેટલાક કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. સરળ બનાવવા માટે, અમે ધારીએ છીએ કે તે સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત છે:

ફક્ત કિસ્સામાં, ચાલો તરત જ સંભવિત ભ્રમણાથી છૂટકારો મેળવીએ, ખાસ કરીને તે વાચકો માટે કે જેઓ ફંક્શનના સતત સંકેતના અંતરાલોથી તાજેતરમાં પરિચિત થયા છે. હવે અમને એમાં રસ નથી કે કેવી રીતે ફંક્શનનો ગ્રાફ અક્ષની સાપેક્ષમાં સ્થિત છે (ઉપર, નીચે, જ્યાં અક્ષ છેદે છે). ખાતરી કરવા માટે, માનસિક રૂપે અક્ષોને ભૂંસી નાખો અને એક ગ્રાફ છોડી દો. કારણ કે રસ ત્યાં જ રહેલો છે.

એક અંતરાલ પર ફંક્શન વધી રહ્યું છે જો, આ અંતરાલના કોઈપણ બે બિંદુઓ માટે, સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ, અસમાનતા સાચી છે. એટલે કે, વધુ મૂલ્યદલીલ ફંક્શનના મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ છે, અને તેનો ગ્રાફ "નીચેથી ઉપર" જાય છે. નિદર્શન કાર્ય અંતરાલ પર વધે છે.

તેવી જ રીતે, જો આપેલ અંતરાલના કોઈપણ બે બિંદુઓ માટે, જેમ કે અસમાનતા સાચી હોય તો અંતરાલ પર કાર્ય ઘટે છે. એટલે કે, દલીલનું મોટું મૂલ્ય અનુલક્ષે છે ઓછું મૂલ્યકાર્ય, અને તેનો ગ્રાફ ઉપરથી નીચે સુધી જાય છે. આપણું કાર્ય અંતરાલ પર ઘટે છે .

જો કોઈ કાર્ય અંતરાલ પર વધે છે અથવા ઘટે છે, તો તેને આ અંતરાલ પર સખત રીતે મોનોટોનિક કહેવામાં આવે છે. એકવિધતા શું છે? તેને શાબ્દિક રીતે લો - એકવિધતા.

તમે બિન-ઘટતા કાર્ય (પ્રથમ વ્યાખ્યામાં હળવા સ્થિતિ) અને બિન-વધતા કાર્ય (2જી વ્યાખ્યામાં હળવા સ્થિતિ) પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો. અંતરાલ પર બિન-ઘટતું અથવા ન વધતું કાર્ય કહેવાય છે એકવિધ કાર્યઆ અંતરાલ પર (કડક એકવિધતા - ખાસ કેસ"માત્ર" એકવિધતા).

થિયરી ફંક્શનના વધારા/ઘટાડાને નિર્ધારિત કરવા માટેના અન્ય અભિગમોને પણ ધ્યાનમાં લે છે, જેમાં અર્ધ-અંતરો, સેગમેન્ટ્સનો સમાવેશ થાય છે, પરંતુ તમારા માથા પર તેલ-તેલ-તેલ ન રેડવા માટે, અમે સ્પષ્ટ વ્યાખ્યાઓ સાથે ખુલ્લા અંતરાલ સાથે કામ કરવા માટે સંમત થઈશું. - આ સ્પષ્ટ છે, અને ઘણાને ઉકેલવા માટે વ્યવહારુ સમસ્યાઓતદ્દન પર્યાપ્ત.

આમ, મારા લેખોમાં, રચના "ફંક્શનની એકવિધતા" લગભગ હંમેશા છુપાવશે અંતરાલોકડક એકવિધતા (કડકમાં વધારો અથવા સખત રીતે ઘટાડો કાર્ય).

બિંદુની પડોશ. શબ્દો કે જેના પછી વિદ્યાર્થીઓ ગમે ત્યાં ભાગી જાય છે અને ખૂણામાં ભયાનક રીતે સંતાઈ જાય છે. ...જોકે પોસ્ટ પછી કૌચી મર્યાદાઓ કદાચ હવે છુપાઈ રહી નથી, પરંતુ માત્ર સહેજ ધ્રૂજી રહી છે =) ચિંતા કરશો નહીં, હવે પ્રમેયની કોઈ સાબિતી હશે નહીં ગાણિતિક વિશ્લેષણ- વ્યાખ્યાઓ વધુ કડક રીતે ઘડવા માટે મને આસપાસના વાતાવરણની જરૂર હતી આત્યંતિક બિંદુઓ. ચાલો યાદ કરીએ:

બિંદુની પડોશસમાવિષ્ટ અંતરાલ કહેવાય છે આ બિંદુ, જ્યારે સગવડ માટે અંતરાલ ઘણીવાર સપ્રમાણ હોવાનું માનવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક બિંદુ અને તેના પ્રમાણભૂત પડોશી:

વાસ્તવમાં, વ્યાખ્યાઓ:

બિંદુને કડક મહત્તમ બિંદુ કહેવામાં આવે છે જો અસ્તિત્વમાં છેતેના પડોશી, જેનાં તમામ મૂલ્યો માટે, બિંદુ સિવાય, અસમાનતા . અમારા માં ચોક્કસ ઉદાહરણઆ મુદ્દો છે.

બિંદુને કડક લઘુત્તમ બિંદુ કહેવામાં આવે છે જો અસ્તિત્વમાં છેતેના પડોશી, જેનાં તમામ મૂલ્યો માટે, બિંદુ સિવાય, અસમાનતા . ડ્રોઇંગમાં બિંદુ "a" છે.

નોંધ : પડોશી સમપ્રમાણતાની જરૂરિયાત બિલકુલ જરૂરી નથી. આ ઉપરાંત, પડોશના અસ્તિત્વની હકીકત (નાની પણ, માઇક્રોસ્કોપિક પણ) જે સંતોષે છે ઉલ્લેખિત શરતો

પોઈન્ટ્સને કડક રીતે એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ અથવા ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ કહેવામાં આવે છે. એટલે કે, તે મહત્તમ પોઈન્ટ અને ન્યૂનતમ પોઈન્ટ માટે સામાન્યકૃત શબ્દ છે.

આપણે "આત્યંતિક" શબ્દને કેવી રીતે સમજી શકીએ? હા, એકવિધતા જેટલી જ સીધી. રોલર કોસ્ટરના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ.

મોનોટોનિસિટીના કિસ્સામાં, છૂટક પોસ્ટ્યુલેટ્સ અસ્તિત્વમાં છે અને સિદ્ધાંતમાં વધુ સામાન્ય છે (જે, અલબત્ત, માનવામાં આવતા કડક કેસો હેઠળ આવે છે!):

બિંદુને મહત્તમ બિંદુ કહેવામાં આવે છે જો અસ્તિત્વમાં છેતેની આજુબાજુનું વાતાવરણ દરેક માટે એવું છે
બિંદુને લઘુત્તમ બિંદુ કહેવામાં આવે છે જો અસ્તિત્વમાં છેતેનો પડોશ એવો છે કે આ પડોશના તમામ મૂલ્યો માટે અસમાનતા છે.

નોંધ કરો કે છેલ્લી બે વ્યાખ્યાઓ અનુસાર, સ્થિર કાર્યનો કોઈપણ બિંદુ (અથવા ફંક્શનનો "સપાટ વિભાગ") મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુ બંને ગણવામાં આવે છે! કાર્ય, માર્ગ દ્વારા, બંને બિન-વધતા અને ન ઘટતા, એટલે કે, એકવિધ છે. જો કે, અમે આ વિચારણાઓ સિદ્ધાંતવાદીઓ પર છોડી દઈશું, કારણ કે વ્યવહારમાં આપણે હંમેશા પરંપરાગત "પહાડીઓ" અને "હોલોઝ" (રેખાંકન જુઓ)ને અનન્ય "પહાડીના રાજા" અથવા "સ્વેમ્પની રાજકુમારી" સાથે ચિંતન કરીએ છીએ. વિવિધતા તરીકે, તે થાય છે ટીપ, ઉપર અથવા નીચે નિર્દેશિત, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ પર કાર્યનું ન્યૂનતમ.

ઓહ, અને રોયલ્ટી વિશે બોલતા:
- મૂલ્યને કાર્યની મહત્તમ કહેવામાં આવે છે;
- મૂલ્યને કાર્યનું લઘુત્તમ કહેવામાં આવે છે.

સામાન્ય નામ- કાર્યનો અંતિમ ભાગ.

કૃપા કરીને તમારા શબ્દોથી સાવચેત રહો!

એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ "X" મૂલ્યો છે.
ચરમસીમા એ "ગેમ" મૂલ્યો છે.

! નોંધ : કેટલીકવાર સૂચિબદ્ધ શબ્દો "X-Y" બિંદુઓનો સંદર્ભ આપે છે જે સીધા જ કાર્યના ગ્રાફ પર આવેલા છે.

ફંક્શનમાં કેટલા એક્સ્ટ્રીમા હોઈ શકે?

કોઈ નહીં, 1, 2, 3, ... વગેરે. જાહેરાત અનંત ઉદાહરણ તરીકે, સાઈનમાં અનંતપણે ઘણા મિનિમા અને મેક્સિમા છે.

મહત્વપૂર્ણ! "મહત્તમ કાર્ય" શબ્દ "શબ્દ" માટે સમાન નથી મહત્તમ મૂલ્યકાર્યો." તે નોંધવું સરળ છે કે મૂલ્ય ફક્ત સ્થાનિક પડોશમાં જ મહત્તમ છે, અને ટોચની ડાબી બાજુએ "કૂલર સાથીઓ" છે. તેવી જ રીતે, "લઘુત્તમ કાર્ય" એ "જેવું" નથી ન્યૂનતમ મૂલ્યફંક્શન્સ”, અને ડ્રોઇંગમાં આપણે જોઈએ છીએ કે મૂલ્ય ફક્ત ચોક્કસ વિસ્તારમાં ન્યૂનતમ છે. આ સંદર્ભે, એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ પણ કહેવામાં આવે છે સ્થાનિક એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ, અને અંતિમ - સ્થાનિક ચરમસીમાઓ . તેઓ ચાલે છે અને નજીકમાં ભટકતા હોય છે અને વૈશ્વિકભાઈઓ તેથી, કોઈપણ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ પર હોય છે વૈશ્વિક લઘુત્તમઅથવા વૈશ્વિક મહત્તમ. આગળ, હું ચરમસીમાના પ્રકારો વચ્ચે તફાવત કરીશ નહીં, અને સમજૂતી સામાન્ય શૈક્ષણિક હેતુઓ માટે વધુ ઉચ્ચારવામાં આવે છે - વધારાના વિશેષણો "સ્થાનિક"/"વૈશ્વિક" તમને આશ્ચર્યચકિત કરવા જોઈએ નહીં.

ચાલો ટેસ્ટ શૉટ સાથે સિદ્ધાંતમાં અમારા ટૂંકા પ્રવાસનો સારાંશ આપીએ: કાર્ય "એકવિધતાના અંતરાલો અને કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ શોધો" નો અર્થ શું છે?

શબ્દો તમને શોધવા માટે પ્રોત્સાહિત કરે છે:

- વધતા/ઘટાડતા કાર્યના અંતરાલો (ઘટાડા વગરના, ન વધતા ઘણી ઓછી વાર દેખાય છે);

- મહત્તમ અને/અથવા લઘુત્તમ પોઈન્ટ (જો કોઈ હોય તો). ઠીક છે, નિષ્ફળતા ટાળવા માટે, લઘુત્તમ/મહત્તમ ;-) પોતાને શોધવાનું વધુ સારું છે.

આ બધું કેવી રીતે નક્કી કરવું?

ઘણા નિયમો, વાસ્તવમાં, ડેરિવેટિવ્ઝના અર્થ પરના પાઠમાંથી પહેલેથી જ જાણીતા અને સમજવામાં આવ્યા છે.

સ્પર્શક વ્યુત્પન્ન ખુશખુશાલ સમાચાર લાવે છે કે વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં કાર્ય વધે છે.

કોટેન્જેન્ટ અને તેના વ્યુત્પન્ન સાથે પરિસ્થિતિ બરાબર વિપરીત છે.

આર્કસાઇન અંતરાલ પર વધે છે - અહીં વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે: .
જ્યારે ફંક્શન વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ અલગ નથી. જો કે, નિર્ણાયક બિંદુ પર જમણા હાથે વ્યુત્પન્ન અને જમણા હાથની સ્પર્શક હોય છે, અને બીજી ધાર પર તેમના ડાબા હાથના સમકક્ષ હોય છે.

મને લાગે છે કે તમારા માટે આર્ક કોસાઇન અને તેના વ્યુત્પન્ન માટે સમાન તર્ક હાથ ધરવા તે ખૂબ મુશ્કેલ નહીં હોય.

સૂચિબદ્ધ તમામ કેસો, જેમાંથી ઘણા ટેબ્યુલર ડેરિવેટિવ્ઝ છે, હું તમને યાદ કરાવું છું કે, ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યામાંથી સીધા જ અનુસરો.

આ ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે તે વધુ સારી રીતે સમજવા માટે: તે ક્યાં “બોટમ-અપ” જાય છે, ક્યાં “ટોપ-ડાઉન”, જ્યાં તે ન્યૂનતમ અને મહત્તમ સુધી પહોંચે છે (જો તે બિલકુલ પહોંચે તો). બધા ફંક્શન એટલા સરળ હોતા નથી - મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં આપણને ચોક્કસ ફંક્શનના ગ્રાફ વિશે બિલકુલ ખ્યાલ હોતો નથી.

વધુ અર્થપૂર્ણ ઉદાહરણો તરફ આગળ વધવાનો અને કાર્યની એકવિધતા અને એક્સ્ટ્રીમાના અંતરાલો શોધવા માટે અલ્ગોરિધમનો વિચાર કરવાનો આ સમય છે:

ઉદાહરણ 1

ફંક્શનના વધારા/ઘટાડા અને અંતરાલો શોધો

ઉકેલ:

1) પ્રથમ પગલા પર, તમારે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધવાની જરૂર છે, અને વિરામ બિંદુઓ (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) ની પણ નોંધ લેવી જોઈએ. IN આ કિસ્સામાંફંક્શન સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત છે, અને આ ક્રિયાવી અમુક હદ સુધીઔપચારિક રીતે પરંતુ સંખ્યાબંધ કેસોમાં, ગંભીર જુસ્સો અહીં ભડકે છે, તેથી ચાલો અણગમો કર્યા વિના ફકરાની સારવાર કરીએ.

2) અલ્ગોરિધમનો બીજો મુદ્દો કારણે છે

જો કોઈ બિંદુ પર એક્સ્ટ્રીમમ હોય, તો કાં તો મૂલ્ય અસ્તિત્વમાં નથી.

અંત દ્વારા મૂંઝવણમાં છો? "મોડ્યુલસ x" ફંક્શનની સીમા .

સ્થિતિ જરૂરી છે, પરંતુ પર્યાપ્ત નથી, અને વાતચીત હંમેશા સાચી હોતી નથી. તેથી, તે હજુ સુધી સમાનતાથી અનુસરતું નથી કે કાર્ય બિંદુ પર મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ સુધી પહોંચે છે. ઉત્તમ ઉદાહરણપહેલેથી જ ઉપર પ્રકાશિત - આ એક ક્યુબિક પેરાબોલા છે અને તેનું નિર્ણાયક બિંદુ છે.

પરંતુ તે બની શકે તે રીતે, એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી સ્થિતિ શંકાસ્પદ બિંદુઓ શોધવાની જરૂરિયાત સૂચવે છે. આ કરવા માટે, વ્યુત્પન્ન શોધો અને સમીકરણ હલ કરો:

ફંક્શન ગ્રાફ વિશેના પ્રથમ લેખની શરૂઆતમાં, મેં તમને ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને પેરાબોલાને ઝડપથી કેવી રીતે બનાવવું તે કહ્યું : "...આપણે પ્રથમ વ્યુત્પન્ન લઈએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ: ...તેથી, આપણા સમીકરણનો ઉકેલ: - આ બિંદુએ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ સ્થિત છે..." હવે, મને લાગે છે કે, દરેક જણ સમજે છે કે શા માટે પેરાબોલાના શિરોબિંદુ આ બિંદુએ બરાબર સ્થિત છે =) સામાન્ય રીતે, આપણે અહીં સમાન ઉદાહરણથી શરૂઆત કરવી જોઈએ, પરંતુ તે ખૂબ સરળ છે (એક ચાની કીટલી માટે પણ). વધુમાં, ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન વિશે પાઠના ખૂબ જ અંતમાં એક એનાલોગ છે. તેથી, ચાલો ડિગ્રી વધારીએ:

ઉદાહરણ 2

એકવિધતાના અંતરાલો અને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા શોધો

માટે આ એક ઉદાહરણ છે સ્વતંત્ર નિર્ણય. સંપૂર્ણ ઉકેલઅને પાઠના અંતે કાર્યનો અંદાજિત અંતિમ નમૂનો.

અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યો સાથે મળવાની લાંબા સમયથી રાહ જોવાતી ક્ષણ આવી ગઈ છે:

ઉદાહરણ 3

પ્રથમ ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનું અન્વેષણ કરો

એક અને સમાન કાર્યને કેવી રીતે બદલી શકાય છે તેના પર ધ્યાન આપો.

ઉકેલ:

1) ફંક્શન પોઈન્ટ પર અનંત વિરામનો ભોગ બને છે.

2) અમે નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધીએ છીએ. ચાલો પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ. અપૂર્ણાંક શૂન્ય બરાબર છે જ્યારે તેનો અંશ હોય છે શૂન્ય બરાબર:

આમ, અમને ત્રણ નિર્ણાયક મુદ્દા મળે છે:

3) અમે નંબર લાઇન પરના તમામ શોધાયેલ બિંદુઓને કાવતરું કરીએ છીએ અને ડેરિવેટિવના સંકેતો નક્કી કરવા માટે અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

હું તમને યાદ કરાવું છું કે તમારે અંતરાલમાં અમુક બિંદુ લેવાની અને તેના પર વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની ગણતરી કરવાની જરૂર છે અને તેની નિશાની નક્કી કરો. ગણતરી ન કરવી પણ મૌખિક રીતે "અંદાજ" કરવી તે વધુ નફાકારક છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, અંતરાલ સાથે સંબંધિત બિંદુ લઈએ અને અવેજી કરીએ: .

બે "પ્લીસસ" અને એક "માઈનસ" એક "માઈનસ" આપે છે, તેથી, જેનો અર્થ છે કે વ્યુત્પન્ન સમગ્ર અંતરાલ પર નકારાત્મક છે.

ક્રિયા, જેમ તમે સમજો છો, છ અંતરાલોમાંથી દરેક માટે હાથ ધરવાની જરૂર છે. માર્ગ દ્વારા, નોંધ કરો કે અંશ પરિબળ અને છેદ કોઈપણ અંતરાલમાં કોઈપણ બિંદુ માટે સખત રીતે હકારાત્મક છે, જે કાર્યને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે.

તેથી, વ્યુત્પન્નએ અમને કહ્યું કે FUNCTION ITSELF દ્વારા વધે છે અને દ્વારા ઘટે છે. જોડાવા આયકન સાથે સમાન પ્રકારના અંતરાલોને જોડવાનું અનુકૂળ છે.

બિંદુએ કાર્ય તેની મહત્તમ પહોંચે છે:
બિંદુએ કાર્ય ન્યૂનતમ સુધી પહોંચે છે:

શા માટે તમારે બીજા મૂલ્યની પુનઃગણતરી કરવાની જરૂર નથી તે વિશે વિચારો ;-)

જ્યારે કોઈ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન બદલાતું નથી, તેથી ફંક્શનને ત્યાં કોઈ EXTREMUM નથી - તે બંને ઘટ્યું અને ઘટતું રહ્યું.

! ચાલો પુનરાવર્તન કરીએ મહત્વપૂર્ણ બિંદુ: બિંદુઓને નિર્ણાયક ગણવામાં આવતા નથી - કાર્ય તેમના પર નિર્ધારિત નથી. તદનુસાર, અહીં સૈદ્ધાંતિક રીતે ચરમસીમા હોઈ શકતી નથી (ભલે વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન).

જવાબ: કાર્ય દ્વારા વધે છે અને તે બિંદુએ ઘટે છે જ્યાં કાર્યની મહત્તમતા પહોંચી જાય છે: , અને બિંદુ પર - ન્યૂનતમ: .

એકવિધતા અને ચરમસીમાના અંતરાલોનું જ્ઞાન, સ્થાપિત એસિમ્પ્ટોટ્સ સાથે, પહેલેથી જ ઘણું આપે છે સારો શોઓ દેખાવકાર્ય ગ્રાફિક્સ. સરેરાશ તાલીમ સ્તરની વ્યક્તિ મૌખિક રીતે નક્કી કરવામાં સક્ષમ છે કે ફંક્શનના ગ્રાફમાં બે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ છે અને ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ. અહીં અમારો હીરો છે:

અભ્યાસના પરિણામોને આ ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સાંકળવાનો ફરી એકવાર પ્રયાસ કરો.
નિર્ણાયક બિંદુ પર કોઈ સીમા નથી, પરંતુ ગ્રાફમાં એક વળાંક બિંદુ છે (જે, નિયમ તરીકે, સમાન કિસ્સાઓમાં થાય છે).

ઉદાહરણ 4

ફંક્શનની સીમા શોધો

ઉદાહરણ 5

કાર્યના એકવિધતા અંતરાલ, મેક્સિમા અને મિનિમા શોધો

…આજે લગભગ અમુક પ્રકારની “X in a ક્યુબ” રજા જેવું છે....
સૂઓ, ગેલેરીમાં કોણે આ માટે પીવાની ઓફર કરી? =)

દરેક કાર્યમાં તેની પોતાની નોંધપાત્ર ઘોંઘાટ અને તકનીકી સૂક્ષ્મતા હોય છે, જેના પર પાઠના અંતે ટિપ્પણી કરવામાં આવે છે.

કાર્ય કહેવાય છે અંતરાલ પર વધે છે
, જો કોઈ પોઈન્ટ માટે

અસમાનતા ધરાવે છે
(મોટી દલીલ મૂલ્ય મોટા કાર્ય મૂલ્યને અનુરૂપ છે).

તેવી જ રીતે, કાર્ય
કહેવાય છે અંતરાલ પર ઘટે છે
, જો કોઈ પોઈન્ટ માટે
જો શરત પૂરી થાય તો આ અંતરાલમાંથી
અસમાનતા ધરાવે છે
(મોટી દલીલ મૂલ્ય નાના કાર્ય મૂલ્યને અનુરૂપ છે).

અંતરાલ પર વધારો
અને અંતરાલ પર ઘટે છે
કાર્યો કહેવામાં આવે છે અંતરાલ પર એકવિધ
.

ડિફરન્સિએબલ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નને જાણવાથી વ્યક્તિ તેની એકવિધતાના અંતરાલો શોધી શકે છે.

પ્રમેય (કાર્યમાં વધારો કરવા માટે પૂરતી સ્થિતિ).
કાર્યો
અંતરાલ પર હકારાત્મક
, પછી કાર્ય
આ અંતરાલ પર એકવિધ રીતે વધે છે.

પ્રમેય (ઘટાડવા માટે કાર્ય માટે પૂરતી સ્થિતિ).
કાર્યો
જો વ્યુત્પન્ન અંતરાલ પર વિભેદક હોય
, પછી કાર્ય
અંતરાલ પર નકારાત્મક

આ અંતરાલ પર એકવિધ રીતે ઘટે છે. ભૌમિતિક અર્થ
આ પ્રમેયમાંથી એ છે કે ઘટતા કાર્યોના અંતરાલો પર, અક્ષ સાથે ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક બને છે

સ્થૂળ ખૂણા, અને વધતા અંતરાલો પર - તીવ્ર (જુઓ. ફિગ. 1).
પ્રમેય (કાર્યની એકવિધતા માટે જરૂરી સ્થિતિ). જો કાર્ય
(
વિભેદક અને
) અંતરાલ પર

, પછી તે આ અંતરાલ પર ઘટતું નથી (વધારો).
:

ફંક્શનની એકવિધતાના અંતરાલો શોધવા માટે અલ્ગોરિધમઉદાહરણ.
.

ફંક્શનની એકવિધતાના અંતરાલો શોધો કહેવાય છે ડોટ

કાર્યનો મહત્તમ બિંદુ જેમ કે દરેક માટે
, સ્થિતિ સંતોષે છે
.

, અસમાનતા ધરાવે છેમહત્તમ કાર્ય

મહત્તમ બિંદુ પર કાર્યનું મૂલ્ય છે.
.

ફંક્શનની એકવિધતાના અંતરાલો શોધો કહેવાય છે આકૃતિ 2 એ ફંક્શનના ગ્રાફનું ઉદાહરણ બતાવે છે જેમાં બિંદુઓ પર મેક્સિમા હોય છે
કાર્યનો ન્યૂનતમ બિંદુ
કાર્યનો મહત્તમ બિંદુ જેમ કે દરેક માટે
, સ્થિતિ સંતોષે છે
, જો ત્યાં અમુક સંખ્યા છે .

. ફિગ. 2 ફંક્શન પોઈન્ટ પર ન્યૂનતમ છે ઉચ્ચ અને નીચા માટે એક સામાન્ય નામ છે -. તદનુસાર, મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટ કહેવામાં આવે છે આત્યંતિક બિંદુઓ.

સેગમેન્ટ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ માત્ર આ સેગમેન્ટની અંદર સ્થિત બિંદુઓ પર હોઈ શકે છે. કોઈએ પણ ફંક્શનના મહત્તમ અને ન્યૂનતમને તેની સૌથી મોટી અને સાથે ગૂંચવવું જોઈએ નહીં સૌથી નીચું મૂલ્યસેગમેન્ટ પર - આ મૂળભૂત રીતે અલગ ખ્યાલો છે.

આત્યંતિક બિંદુઓ પર, વ્યુત્પન્ન વિશેષ ગુણધર્મો ધરાવે છે.

પ્રમેય (ચરબી માટે જરૂરી સ્થિતિ). બિંદુ પર દો
કાર્ય
એક ચરમસીમા ધરાવે છે. પછી ક્યાં તો
.

અસ્તિત્વમાં નથી, અથવા
કાર્યની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી તે બિંદુઓ કે જેના પર
અસ્તિત્વમાં નથી અથવા જેમાં , કહેવાય છે.

કાર્યના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ આમ, આત્યંતિક બિંદુઓ નિર્ણાયક બિંદુઓ વચ્ચે આવેલા છે. INસામાન્ય કેસ

ફંક્શનની એકવિધતાના અંતરાલો શોધવા માટે અલ્ગોરિધમનિર્ણાયક બિંદુ એ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ હોવું જરૂરી નથી. જો કોઈ ચોક્કસ બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર હોય, તો તેનો અર્થ એ નથી કે આ બિંદુએ ફંક્શનનો એક્સ્ટ્રીમમ છે.
ચાલો વિચાર કરીએ
. અમારી પાસે છે
, પરંતુ બિંદુ

એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ નથી (જુઓ આકૃતિ 3). બિંદુ પર દો
પ્રમેય (એક અંતિમ માટે પ્રથમ પૂરતી સ્થિતિ).
બિંદુ પર દો સતત છે, અને વ્યુત્પન્ન જ્યારે કોઈ બિંદુ પરથી પસાર થાય છે

ફેરફારોનું ચિહ્ન. પછી – આત્યંતિક બિંદુ: મહત્તમ જો ચિહ્ન “+” થી “–” માં બદલાય છે, અને લઘુત્તમ જો “–” થી “+” થાય છે. જો, જ્યારે કોઈ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે

વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન બદલાતું નથી, પછી બિંદુ પર ત્યાં કોઈ આત્યંતિક નથી.
પ્રમેય (એક્સ્ટ્રીમમ માટે બીજી પર્યાપ્ત સ્થિતિ).
બિંદુ પર દો
બે વાર ડિફરન્સિબલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર ( ), અને આ બિંદુએ તેનું બીજું વ્યુત્પન્ન છે બિનશૂન્ય (
) અને બિંદુના કેટલાક પડોશમાં સતત છે
. પછી
- અંતિમ બિંદુ

; ખાતે

આ ન્યૂનતમ બિંદુ છે, અને અંતે

આ મહત્તમ બિંદુ છે.

એક્સ્ટ્રીમમ માટે પ્રથમ પર્યાપ્ત સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનની સીમા શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ: વ્યુત્પન્ન શોધો.કાર્યના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધો.

દરેકની ડાબી અને જમણી બાજુએ વ્યુત્પન્નના ચિહ્નની તપાસ કરો

નિર્ણાયક બિંદુ

ફંક્શનની એકવિધતાના અંતરાલો શોધવા માટે અલ્ગોરિધમઅને એક્સ્ટ્રીમાની હાજરી વિશે નિષ્કર્ષ દોરો.
.