ત્રિકોણનું દ્વિભાજક એ એક ખંડ છે જે ત્રિકોણના ખૂણાને બે સમાન ખૂણાઓમાં વિભાજીત કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ત્રિકોણનો કોણ 120 0 છે, તો દ્વિભાજક દોરીને, આપણે દરેક 60 0 ના બે ખૂણાઓ બનાવીશું.

અને ત્રિકોણમાં ત્રણ ખૂણા હોવાથી, ત્રણ દ્વિભાજકો દોરી શકાય છે. તેઓ બધા પાસે એક કટ-ઓફ બિંદુ છે. આ બિંદુ ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. બીજી રીતે, આ આંતરછેદ બિંદુને ત્રિકોણનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે.

જ્યારે આંતરિકના બે દ્વિભાજકો અને બાહ્ય ખૂણો, કોણ 90 0 છે. ત્રિકોણમાં બાહ્ય કોણ એ ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાને અડીને આવેલો ખૂણો છે.

ચોખા. 1. 3 દ્વિભાજકો ધરાવતો ત્રિકોણ

દ્વિભાજક વિરુદ્ધ બાજુને બે ભાગોમાં વહેંચે છે જે બાજુઓ સાથે જોડાયેલા છે:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

દ્વિભાજક બિંદુઓ કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે છે. એટલે કે, જો દ્વિભાજકના કોઈપણ બિંદુ પરથી આપણે ત્રિકોણના ખૂણાની દરેક બાજુઓ પર લંબ મૂકીએ, તો આ લંબ સમાન હશે..

જો તમે એક શિરોબિંદુમાંથી મધ્ય, દ્વિભાજક અને ઊંચાઈ દોરો છો, તો મધ્યક સૌથી લાંબો ખંડ હશે, અને ઊંચાઈ સૌથી ટૂંકી હશે.

દ્વિભાજકની કેટલીક મિલકતો

IN ચોક્કસ પ્રકારોત્રિકોણ, દ્વિભાજક છે ખાસ ગુણધર્મો. આ મુખ્યત્વે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણને લાગુ પડે છે. આ આંકડો બે સરખા છે બાજુઓ, અને ત્રીજાને આધાર કહેવામાં આવે છે.

જો ખૂણાની ટોચ પરથી સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણદ્વિભાજકને પાયા પર દોરો, પછી તેમાં ઊંચાઈ અને મધ્ય બંનેના ગુણધર્મો હશે. તદનુસાર, દ્વિભાજકની લંબાઈ મધ્ય અને ઊંચાઈની લંબાઈ સાથે એકરુપ છે.

વ્યાખ્યાઓ:

• ઊંચાઈ- ત્રિકોણના શિરોબિંદુથી વિરુદ્ધ બાજુએ દોરેલ લંબ.
• મધ્યક– એક સેગમેન્ટ જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુ અને મધ્યને જોડે છે વિરુદ્ધ બાજુ.

ચોખા. 2. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં દ્વિભાજક

આ પણ લાગુ પડે છે સમભુજ ત્રિકોણ, એટલે કે, એક ત્રિકોણ જેમાં ત્રણેય બાજુઓ સમાન હોય છે.

ઉદાહરણ સોંપણી

ત્રિકોણ ABC માં: BR એ દ્વિભાજક છે, જેમાં AB = 6 cm, BC = 4 cm અને RC = 2 cm ત્રીજી બાજુની લંબાઈ બાદ કરો.

ચોખા. 3. ત્રિકોણમાં દ્વિભાજક

ઉકેલ:

દ્વિભાજક ત્રિકોણની બાજુને વિભાજિત કરે છે ચોક્કસ પ્રમાણ. ચાલો આ પ્રમાણનો ઉપયોગ કરીએ અને AR ને વ્યક્ત કરીએ. પછી આપણે ત્રીજી બાજુની લંબાઈ એ વિભાગોના સરવાળા તરીકે શોધીએ છીએ જેમાં દ્વિભાજક આ બાજુને વિભાજિત કરે છે.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

પછી સમગ્ર સેગમેન્ટ AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 સેમી.

કુલ પ્રાપ્ત રેટિંગઃ 107.

આજે એક ખૂબ જ સરળ પાઠ હશે. અમે માત્ર એક ઑબ્જેક્ટ પર વિચાર કરીશું - કોણ દ્વિભાજક - અને તેની સૌથી મહત્વપૂર્ણ મિલકત સાબિત કરીશું, જે ભવિષ્યમાં આપણા માટે ખૂબ ઉપયોગી થશે.

ફક્ત આરામ કરશો નહીં: કેટલીકવાર જે વિદ્યાર્થીઓ મેળવવા માંગે છે ઉચ્ચ સ્કોરસમાન OGE અથવા યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પર, પ્રથમ પાઠમાં તેઓ દ્વિભાજકની વ્યાખ્યા પણ ચોક્કસ રીતે ઘડી શકતા નથી.

અને ખરેખર કરવાને બદલે રસપ્રદ કાર્યો, આપણે આવી સરળ બાબતોમાં સમય બગાડીએ છીએ. તેથી તેને વાંચો, જુઓ અને અપનાવો :)

શરૂ કરવા માટે, થોડો વિચિત્ર પ્રશ્ન: કોણ શું છે? તે સાચું છે: કોણ એ એક જ બિંદુમાંથી નીકળતી બે કિરણો છે. ઉદાહરણ તરીકે:

જેમ તમે ચિત્રમાંથી જોઈ શકો છો, ખૂણા તીવ્ર, સ્થૂળ, સીધા હોઈ શકે છે - તે હવે વાંધો નથી. ઘણી વખત, સગવડ માટે, દરેક બીમ ચિહ્નિત થયેલ છે વધારાના બિંદુઅને તેઓ કહે છે કે આપણી સામે કોણ $AOB$ છે ($\angle AOB$ તરીકે લખાયેલ છે).

કેપ્ટન ઓબ્વિયનેસ એ સંકેત આપે છે કે $OA$ અને $OB$ કિરણો ઉપરાંત, $O$ બિંદુથી વધુ કિરણોનો સમૂહ દોરવાનું હંમેશા શક્ય છે. પરંતુ તેમની વચ્ચે એક વિશેષ હશે - તેને દ્વિભાજક કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. ખૂણાનો દ્વિભાજક એ કિરણ છે જે તે ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી બહાર આવે છે અને કોણને દ્વિભાજિત કરે છે.

ઉપરોક્ત ખૂણાઓ માટે, દ્વિભાજકો આના જેવો દેખાશે:

તીવ્ર, સ્થૂળ અને જમણા ખૂણા માટે દ્વિભાજકોના ઉદાહરણો

વાસ્તવિક રેખાંકનોમાં તે હંમેશા સ્પષ્ટ નથી હોતું કે ચોક્કસ કિરણ (અમારા કિસ્સામાં તે કિરણ $OM$ છે) મૂળ કોણને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે, ભૂમિતિમાં તેને ચિહ્નિત કરવાનો રિવાજ છે. સમાન ખૂણાસમાન સંખ્યામાં ચાપ છે (આપણા ડ્રોઇંગમાં આ એક્યુટ એંગલ માટે 1 ચાપ છે, સ્થૂળ કોણ માટે બે, સીધા કોણ માટે ત્રણ છે).

ઠીક છે, અમે વ્યાખ્યા ગોઠવી દીધી છે. હવે તમારે એ સમજવાની જરૂર છે કે દ્વિભાજકમાં શું ગુણધર્મો છે.

કોણ દ્વિભાજકની મુખ્ય મિલકત

હકીકતમાં, દ્વિભાજકમાં ઘણી બધી મિલકતો છે. અને અમે ચોક્કસપણે તેમને આગામી પાઠમાં જોઈશું. પરંતુ એક યુક્તિ છે જે તમારે હમણાં સમજવાની જરૂર છે:

પ્રમેય. કોણનું દ્વિભાજક એ બાજુઓથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનું સ્થાન છે આપેલ કોણ.

ગાણિતિકમાંથી રશિયનમાં અનુવાદિત, આનો અર્થ એક સાથે બે હકીકતો છે:

1. ચોક્કસ ખૂણાના દ્વિભાજક પર પડેલો કોઈપણ બિંદુ આ ખૂણાની બાજુઓથી સમાન અંતરે છે.
2. અને ઊલટું: જો કોઈ બિંદુ આપેલ કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે આવેલું હોય, તો તે આ ખૂણાના દ્વિભાજક પર આવેલા હોવાની ખાતરી આપવામાં આવે છે.

આ વિધાનોને સાબિત કરતાં પહેલાં, ચાલો એક મુદ્દો સ્પષ્ટ કરીએ: એક બિંદુથી ખૂણાની બાજુ સુધીના અંતરને બરાબર શું કહેવાય? અહીં એક બિંદુથી એક રેખા સુધીના અંતરનું સારું જૂનું નિર્ધારણ આપણને મદદ કરશે:

વ્યાખ્યા. એક બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર એ આપેલ બિંદુથી આ રેખા સુધી દોરેલા લંબરૂપની લંબાઈ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, એક રેખા $l$ અને બિંદુ $A$ને ધ્યાનમાં લો જે આ રેખા પર ન હોય. ચાલો $AH$ પર લંબ દોરીએ, જ્યાં $H\in l$. પછી આ લંબની લંબાઈ બિંદુ $A$ થી સીધી રેખા $l$ સુધીનું અંતર હશે.

કારણ કે ખૂણો ફક્ત બે કિરણો છે, અને દરેક કિરણ એક સીધી રેખાનો ટુકડો છે, તેથી એક બિંદુથી ખૂણાની બાજુઓ સુધીનું અંતર નક્કી કરવું સરળ છે. આ માત્ર બે લંબ છે:

બસ! હવે આપણે જાણીએ છીએ કે અંતર શું છે અને દ્વિભાજક શું છે. તેથી, અમે મુખ્ય મિલકત સાબિત કરી શકીએ છીએ.

વચન મુજબ, અમે પુરાવાને બે ભાગોમાં વિભાજિત કરીશું:

1. દ્વિભાજક પરના બિંદુથી કોણની બાજુઓ સુધીનું અંતર સમાન છે

ચાલો વિચાર કરીએ મનસ્વી કોણશિરોબિંદુ $O$ અને દ્વિભાજક $OM$ સાથે:

ચાલો સાબિત કરીએ કે આ જ બિંદુ $M$ કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે છે.

પુરાવો. ચાલો બિંદુ $M$ થી ખૂણાની બાજુઓ સુધી લંબ દોરીએ. ચાલો તેમને $M((H)_(1))$ અને $M((H)_(2))$ કહીએ:

કોણની બાજુઓ પર લંબ દોરો

અમે બે કાટકોણ મેળવ્યા: $\vartriangle OM((H)_(1))$ અને $\vartriangle OM((H)_(2))$. તેમની પાસે સામાન્ય કર્ણ છે $OM$ અને સમાન ખૂણા:

1. $\કોણ MO((H)_(1))=\ કોણ MO((H)_(2))$ શરત દ્વારા (કારણ કે $OM$ એ દ્વિભાજક છે);
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ બાંધકામ દ્વારા;
3. $\કોણ OM((H)_(1))=\કોણ OM((H)_(2))=90()^\circ -\કોણ MO((H)_(1))$, ત્યારથી સરવાળો તીક્ષ્ણ ખૂણાકાટકોણ ત્રિકોણ હંમેશા 90 ડિગ્રી હોય છે.

તેથી, ત્રિકોણ બાજુ અને બેમાં સમાન છે અડીને આવેલા ખૂણા(ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો જુઓ). તેથી, ખાસ કરીને, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, એટલે કે. બિંદુ $O$ થી કોણની બાજુઓ સુધીનું અંતર ખરેખર સમાન છે. Q.E.D. :)

2. જો અંતર સમાન હોય, તો બિંદુ દ્વિભાજક પર આવેલું છે

હવે સ્થિતિ ઉલટી છે. એક ખૂણો $O$ આપવા દો અને આ ખૂણાની બાજુઓમાંથી એક બિંદુ $M$ સમાન છે:

ચાલો સાબિત કરીએ કે કિરણ $OM$ એ દ્વિભાજક છે, એટલે કે. $\કોણ MO((H)_(1))=\કોણ MO((H)_(2))$.

પુરાવો. પ્રથમ, ચાલો આ ખૂબ જ કિરણ $OM$ દોરીએ, અન્યથા સાબિત કરવા માટે કંઈ રહેશે નહીં:

ખૂણાની અંદર $OM$ બીમનું સંચાલન કર્યું

ફરીથી આપણને બે કાટકોણ મળે છે: $\vartriangle OM((H)_(1))$ અને $\vartriangle OM((H)_(2))$. દેખીતી રીતે તેઓ સમાન છે કારણ કે:

1. હાયપોટેન્યુઝ $OM$ - સામાન્ય;
2. પગ $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ શરત દ્વારા (છેવટે, બિંદુ $M$ કોણની બાજુઓથી સમાન છે);
3. બાકીના પગ પણ સમાન છે, કારણ કે પાયથાગોરિયન પ્રમેય $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$ દ્વારા.

તેથી, ત્રિકોણ $\vartriangle OM((H)_(1))$ અને $\vartriangle OM((H)_(2))$ ત્રણ બાજુઓ પર છે. ખાસ કરીને, તેમના ખૂણા સમાન છે: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. અને આનો અર્થ એ થાય કે $OM$ એ દ્વિભાજક છે.

પુરાવાને સમાપ્ત કરવા માટે, અમે પરિણામી સમાન ખૂણાઓને લાલ ચાપ સાથે ચિહ્નિત કરીએ છીએ:

દ્વિભાજક કોણ $\કોણ ((H)_(1))O((H)_(2))$ ને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે

જેમ તમે જોઈ શકો છો, કંઈ જટિલ નથી. અમે સાબિત કર્યું છે કે કોણનું દ્વિભાજક એ આ ખૂણાની બાજુઓથી સમાન બિંદુઓનું સ્થાન છે :)

હવે જ્યારે આપણે પરિભાષા વિશે વધુ કે ઓછું નક્કી કર્યું છે, હવે આગળ વધવાનો સમય છે નવું સ્તર. આગળના પાઠમાં આપણે વધુ જોઈશું જટિલ ગુણધર્મોદ્વિભાજકો અને વાસ્તવિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે શીખો.

સોરોકિના વીકા

ત્રિકોણના દ્વિભાજકના ગુણધર્મોના પુરાવા આપવામાં આવે છે અને સમસ્યાના ઉકેલ માટે સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

સારાટોવના વહીવટની શિક્ષણ સમિતિ, ઓક્ટ્યાબ્રસ્કી જિલ્લા મ્યુનિસિપલ સ્વાયત્ત શૈક્ષણિક સંસ્થાલિસિયમ નંબર 3 નામ આપવામાં આવ્યું છે. એ.એસ. પુષ્કિન.

મ્યુનિસિપલ વૈજ્ઞાનિક-વ્યવહારિક

પરિષદ

"પ્રથમ પગલાં"

વિષય: દ્વિભાજક અને તેના ગુણધર્મો.

આના દ્વારા પૂર્ણ થયેલ કાર્ય: 8મા ધોરણના વિદ્યાર્થી

સોરોકિના વિક્ટોરિયાવૈજ્ઞાનિક નિરીક્ષક: ઉચ્ચતમ શ્રેણીના ગણિત શિક્ષકપોપોવા નીના ફેડોરોવના.

સારાટોવ 2011

1. શીર્ષક પૃષ્ઠ………………………………………………………….1
2. સામગ્રીઓ……………………………………………………… 2
3. પરિચય અને ઉદ્દેશો ……………………………………………………………… ..3
4. દ્વિભાજકના ગુણધર્મોની વિચારણા

• બિંદુઓનું ત્રીજું સ્થાન………………………………….3
• પ્રમેય 1 ……………………………………………………………… 4
• પ્રમેય 2 ……………………………………………………………… 4
• ત્રિકોણના દ્વિભાજકની મુખ્ય મિલકત:

1. પ્રમેય 3 ……………………………………………………………… 4
2. કાર્ય 1 ………………………………………………………………….7
3. કાર્ય 2……………………………………………………….8
4. કાર્ય 3………………………………………………………………………………..9
5. કાર્ય 4……………………………………………………………….9-10

• પ્રમેય 4……………………………………………………………… 10-11
• દ્વિભાજક શોધવા માટેના સૂત્રો:

1. પ્રમેય 5……………………………………………………………….11
2. પ્રમેય 6……………………………………………………………….11
3. પ્રમેય 7 ……………………………………………………………….12
4. કાર્ય 5……………………………………………………………… 12-13

• પ્રમેય 8……………………………………………………………….13
• કાર્ય 6………………………………………………………….14
• કાર્ય 7 ……………………………………………………………………… 14-15
• દ્વિભાજકનો ઉપયોગ કરીને મુખ્ય દિશાઓનું નિર્ધારણ………………15

1. નિષ્કર્ષ અને નિષ્કર્ષ………………………………………………………..15
2. સંદર્ભોની યાદી………………………………………..16

દ્વિભાજક

ભૂમિતિના પાઠમાં, વિષયનો અભ્યાસ કરવો સમાન ત્રિકોણ, મને વિપરિત બાજુઓ સાથે દ્વિભાજકના સંબંધ વિશે પ્રમેય પર સમસ્યા મળી. એવું લાગે છે કે દ્વિભાજક વિષયમાં કંઈક રસપ્રદ હોઈ શકે છે, પરંતુ આ વિષય મને રસ ધરાવતો હતો, અને હું તેનો ઊંડો અભ્યાસ કરવા માંગતો હતો. છેવટે, દ્વિભાજક તેનામાં ખૂબ સમૃદ્ધ છે અદ્ભુત ગુણધર્મો, વિવિધ સમસ્યાઓ હલ કરવામાં મદદ કરે છે.

આ વિષય પર વિચાર કરતી વખતે, તમે જોશો કે ભૂમિતિના પાઠ્યપુસ્તકો દ્વિભાજકના ગુણધર્મો વિશે બહુ ઓછું કહે છે, પરંતુ પરીક્ષાઓમાં, તેમને જાણીને, તમે સમસ્યાઓને વધુ સરળ અને ઝડપી હલ કરી શકો છો. વધુમાં, GIA અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાઓ પાસ કરવા માટે, આધુનિક વિદ્યાર્થીઓએ પોતાને માટે અભ્યાસ કરવાની જરૂર છે વધારાની સામગ્રીથી શાળા અભ્યાસક્રમ. તેથી જ મેં દ્વિભાજક વિષયનો વધુ વિગતવાર અભ્યાસ કરવાનું નક્કી કર્યું.

દ્વિભાજક (લેટિન દ્વિ- "ડબલ", અને વિભાગોમાંથી કોણનું "કટીંગ") એ કોણના શિરોબિંદુ પર શરૂઆત સાથેનો કિરણ છે, જે ખૂણાને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. કોણનું દ્વિભાજક (તેના વિસ્તરણ સાથે) એ કોણની બાજુઓ (અથવા તેમના વિસ્તરણો) થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનું સ્થાન છે)

પોઈન્ટનું ત્રીજું સ્થાન

આકૃતિ એફ છે લોકસપોઈન્ટ્સ (બિંદુઓનો સમૂહ) અમુક મિલકત ધરાવે છેએ, જો બે શરતો પૂરી થાય છે:

1. હકીકત એ છે કે બિંદુ આકૃતિનો છે F, તે અનુસરે છે કે તેની પાસે મિલકત છેએ;
2. હકીકત એ છે કે બિંદુ મિલકતને સંતોષે છેએ, તે અનુસરે છે કે તે આકૃતિની છેએફ.

ભૂમિતિમાં ગણવામાં આવતા બિંદુઓનું પ્રથમ સ્થાન એક વર્તુળ છે, એટલે કે. એક નિશ્ચિત બિંદુથી સમાન અંતરે સ્થિત બિંદુઓનું સ્થાન. બીજું - લંબ દ્વિભાજકસેગમેન્ટ, એટલે કે સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતરે સ્થિત બિંદુઓનું સ્થાન. અને અંતે, ત્રીજો - દ્વિભાજક - કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનું ભૌમિતિક સ્થાન

પ્રમેય 1:

દ્વિભાજક બિંદુઓ બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છેતે ખૂણો છે.

પુરાવો:

ચાલો આર - દ્વિભાજક બિંદુએ. ચાલો બિંદુ પરથી છોડી દોપી કાટખૂણેઆરવી અને ખૂણાની બાજુઓ પર પીસી. પછી VAR = SAR કર્ણ અને તીવ્ર કોણ દ્વારા. તેથી, PB = PC

પ્રમેય 2:

જો બિંદુ P કોણ A ની બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર હોય, તો તે દ્વિભાજક પર આવેલું છે.

સાબિતી: PB = PC => VAR = CAP => BAP = CAP => AR એ દ્વિભાજક છે.

મૂળભૂત ભૌમિતિક તથ્યોમાં એ પ્રમેય છે કે દ્વિભાજક વિરોધી બાજુઓના સંબંધમાં વિરુદ્ધ બાજુને વિભાજિત કરે છે. આ હકીકત લાંબા સમય સુધી પડછાયામાં રહી, પરંતુ દરેક જગ્યાએ એવી સમસ્યાઓ છે જેનો ઉકેલ લાવવા માટે ખૂબ સરળ છે જો તમે આ અને દ્વિભાજક વિશેના અન્ય તથ્યો જાણો છો. મને રસ પડ્યો અને દ્વિભાજકની આ મિલકતને વધુ શોધવાનું નક્કી કર્યું.

ત્રિકોણના કોણ દ્વિભાજકની મુખ્ય મિલકત

પ્રમેય 3. દ્વિભાજક ત્રિકોણની વિરુદ્ધ બાજુને બાજુની બાજુઓના સંબંધમાં વિભાજિત કરે છે.

પુરાવા 1:

આપેલ: AL - ત્રિકોણ ABC નો દ્વિભાજક

સાબિત કરો:

સાબિતી: F હોઈ દો રેખાના આંતરછેદનું બિંદુએએલ અને બિંદુ પરથી પસાર થતી એક રેખા IN AC બાજુની સમાંતર.

પછી BFA = FAC = BAF. તેથી, B.A.F.સમદ્વિબાજુ અને AB = BF.ત્રિકોણની સમાનતામાંથી

અમારી પાસે ALC અને FLB છે

ગુણોત્તર

જ્યાં

પુરાવા 2

F એ રેખા AL દ્વારા છેદાયેલ બિંદુ અને આધાર AB ની સમાંતર C બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા હોવા દો. પછી તમે તર્કનું પુનરાવર્તન કરી શકો છો.

પુરાવા 3 K અને M ને રેખા પર મુકેલા લંબનો આધાર બનવા દો પોઈન્ટ B અને C થી AL
અનુક્રમે ત્રિકોણ ABL અને ACL બે ખૂણા પર સમાન છે. તેથી જ

. અને BKL અને CML ની ​​સમાનતામાંથી અમારી પાસે છે

અહીંથી

પુરાવો 4ચાલો વિસ્તાર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ. ચાલો ત્રિકોણના ક્ષેત્રોની ગણતરી કરીએ ABL અને ACL

બે રીતે.

અહીંથી.

પુરાવા 5 ચાલો α= You,φ=

BLA. ત્રિકોણ ABL માં સાઇનના પ્રમેય દ્વારા.

અને ત્રિકોણ ACL માં

કારણ કે,.

પછી, સમાનતાની બંને બાજુઓને બીજાના અનુરૂપ ભાગોમાં વિભાજીત કરીને, આપણને મળે છે

સમસ્યા 1 આપેલ:

ઉકેલ:

ABC ત્રિકોણમાં, VC એ દ્વિભાજક છે, BC = 2, KS = 1,

સમસ્યા 1

સમસ્યા 2

ઉકેલ:

24 અને 18 પગવાળા કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણાના દ્વિભાજકો શોધો

ચાલો બાજુ AC = 18, બાજુ BC = 24, એ.એમ.

- ત્રિકોણનો દ્વિભાજક.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ,

કે AB = 30.

ત્યારથી

ચાલો એ જ રીતે બીજા દ્વિભાજકને શોધીએ.

જવાબ:

સમસ્યા 3કાટકોણ ત્રિકોણમાં કાટકોણ B સાથે ABCકોણ દ્વિભાજક એબાજુ પાર કરે છે

બી.સી.

બિંદુએ ડી. તે જાણીતું છે કે BD = 4, DC = 6.ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો

ઉકેલ:

એડીસી

ત્રિકોણના દ્વિભાજકની મિલકત દ્વારા

ચાલો AB = 2 x, AC = 3 x સૂચવીએ. પ્રમેય દ્વારા

પાયથાગોરસ BC 2 + AB 2 = AC 2, અથવા 100 + 4 x 2 = 9 x 2અહીંથી આપણે તે શોધીએ છીએ

x = પછી AB = , S ABC=

આથી,

સમસ્યા 1

સમસ્યા 4સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં ABCબાજુ એબી 10 બરાબર, આધાર

AC 12 છે.ખૂણાઓના દ્વિભાજકો એ અને સીએક બિંદુ પર છેદે

ઉકેલ:

ડી. BD શોધો.

કારણ કે ત્રિકોણના દ્વિભાજકો પર છેદે છે એક બિંદુ, પછી BD એ B નો દ્વિભાજક છે. ચાલો BD ચાલુ રાખીએબિંદુ M પર AC. પછી M એ AC નો મધ્યબિંદુ છે, BM AC. તેથી જ

કારણ કે સી.ડી - ત્રિકોણનો દ્વિભાજકત્યારે BMC

આથી,.

ચાલો એ જ રીતે બીજા દ્વિભાજકને શોધીએ.

પ્રમેય 4. ત્રિકોણના ત્રણ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે.

ખરેખર, ચાલો પહેલા બે દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુ P ને ધ્યાનમાં લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે AK 1 અને વીકે 2 . આ બિંદુ AB અને AC બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છે, કારણ કે તે દ્વિભાજક પર આવેલું છેA, અને AB અને BC બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છે, જેમ કે દ્વિભાજક સાથે સંબંધિત છેB. આનો અર્થ એ છે કે તે AC અને BC બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છે અને આ રીતે તે ત્રીજા દ્વિભાજક SC સાથે સંબંધિત છે 3 , એટલે કે, બિંદુ P પર ત્રણેય દ્વિભાજકો છેદે છે.

દ્વિભાજક શોધવા માટેના સૂત્રો
પ્રમેય 5: (દ્વિભાજક માટેનું પ્રથમ સૂત્ર): જો ત્રિકોણ ABC માં સેગમેન્ટ AL એ દ્વિભાજક છે A, પછી AL² = AB·AC - LB·LC.

પુરાવો: ત્રિકોણ ABC (ફિગ. 41) ની આસપાસના વર્તુળ સાથે M એ રેખા AL ના આંતરછેદનું બિંદુ છે. કોણ BAM શરત દ્વારા કોણ MAC બરાબર છે. BMA અને BCA એંગલ્સ એ જ તાર દ્વારા સમાવિષ્ટ કોતરેલ ખૂણા તરીકે એકરૂપ છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્રિકોણ BAM અને LAC બે ખૂણામાં સમાન છે. તેથી, AL: AC = AB: AM. આનો અર્થ છે AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

પ્રમેય 6:. (દ્વિભાજક માટેનું બીજું સૂત્ર): ABC ત્રિકોણમાં બાજુઓ AB=a, AC=b અનેA 2α અને દ્વિભાજક l, સમાનતા ધરાવે છે:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

પુરાવો : ABC રહેવા દો આપેલ ત્રિકોણ, AL એ તેનો દ્વિભાજક છે, a=AB, b=AC, l=AL. પછી એસ ABC = S ALB + S ALC . તેથી, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્રમેય 7: જો a, b ત્રિકોણની બાજુઓ છે, તો Y તેમની વચ્ચેનો કોણ છે,આ કોણનો દ્વિભાજક છે. પછી.

મધ્યવર્તી સ્તર

ત્રિકોણનો દ્વિભાજક. વિગતવાર સિદ્ધાંતઉદાહરણો સાથે (2019)

ત્રિકોણનો દ્વિભાજક અને તેના ગુણધર્મો

શું તમે જાણો છો કે સેગમેન્ટનો મધ્યબિંદુ શું છે? અલબત્ત તમે કરો. વર્તુળના કેન્દ્ર વિશે શું? સમાન. કોણનું મધ્યબિંદુ શું છે? તમે કહી શકો કે આવું થતું નથી. પરંતુ એક સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં કેમ વિભાજિત કરી શકાય છે, પરંતુ કોણ નથી કરી શકતું? તે તદ્દન શક્ય છે - માત્ર એક બિંદુ નહીં, પરંતુ…. રેખા

શું તમને મજાક યાદ છે: દ્વિભાજક એ ઉંદર છે જે ખૂણાઓની આસપાસ ચાલે છે અને ખૂણાને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. તેથી, દ્વિભાજકની વાસ્તવિક વ્યાખ્યા આ મજાક જેવી જ છે:

ત્રિકોણનો દ્વિભાજક- આ ખૂણાના શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ બાજુના બિંદુ સાથે જોડતા ત્રિકોણના ખૂણાનો આ દ્વિભાજક ભાગ છે.

એક સમયે, પ્રાચીન ખગોળશાસ્ત્રીઓ અને ગણિતશાસ્ત્રીઓએ દ્વિભાજકના ઘણા રસપ્રદ ગુણધર્મો શોધી કાઢ્યા હતા. આ જ્ઞાને લોકોના જીવનને ખૂબ જ સરળ બનાવ્યું છે. તે બાંધવું, અંતર ગણવું, તોપોના ફાયરિંગને પણ વ્યવસ્થિત કરવું સરળ બની ગયું છે... આ ગુણધર્મોનું જ્ઞાન અમને કેટલાક GIA અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કાર્યોને ઉકેલવામાં મદદ કરશે!

આમાં મદદ કરશે તે પ્રથમ જ્ઞાન છે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો દ્વિભાજક.

માર્ગ દ્વારા, શું તમને આ બધી શરતો યાદ છે? શું તમને યાદ છે કે તેઓ એકબીજાથી કેવી રીતે અલગ છે? ના? ડરામણી નથી. ચાલો હવે તેને શોધી કાઢીએ.

તેથી, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો આધાર- આ તે બાજુ છે જે અન્ય કોઈની સમાન નથી. ચિત્ર જુઓ, તમને લાગે છે કે આ કઈ બાજુ છે? તે સાચું છે - આ બાજુ છે.

મધ્યક એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુમાંથી દોરેલી રેખા છે અને વિરુદ્ધ બાજુને (ફરીથી તે છે) અડધા ભાગમાં વહેંચે છે.

નોંધ લો કે આપણે એમ નથી કહેતા, "સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો મધ્યક." શું તમે જાણો છો શા માટે? કારણ કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુમાંથી દોરવામાં આવેલ મધ્યક કોઈપણ ત્રિકોણમાં વિરુદ્ધ બાજુને વિભાજિત કરે છે.

ઠીક છે, ઊંચાઈ એ ટોચ પરથી દોરેલી અને પાયા પર લંબરૂપ રેખા છે. શું તમે નોંધ્યું? અમે ફરીથી કોઈપણ ત્રિકોણ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, માત્ર એક સમદ્વિબાજુની નહીં. કોઈપણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ હંમેશા પાયાની લંબ હોય છે.

તો, શું તમે તેને શોધી કાઢ્યું છે? વેલ લગભગ. દ્વિભાજક, મધ્ય અને ઊંચાઈ શું છે તે વધુ સારી રીતે સમજવા અને કાયમ માટે યાદ રાખવા માટે, તમારે તેમની એકબીજા સાથે તુલના કરવાની અને તેઓ કેવી રીતે સમાન છે અને તેઓ એકબીજાથી કેવી રીતે અલગ છે તે સમજવાની જરૂર છે. તે જ સમયે, વધુ સારી રીતે યાદ રાખવા માટે, દરેક વસ્તુનું વર્ણન કરવું વધુ સારું છે " માનવ ભાષા" પછી તમે સરળતાથી ગણિતની ભાષામાં કામ કરશો, પરંતુ શરૂઆતમાં તમે આ ભાષા સમજી શકતા નથી અને તમારે તમારી પોતાની ભાષામાં બધું સમજવાની જરૂર છે.

તો, તેઓ કેવી રીતે સમાન છે? દ્વિભાજક, મધ્ય અને ઊંચાઈ - તે બધા ત્રિકોણના શિરોબિંદુમાંથી "બહાર આવે છે" અને વિરુદ્ધ બાજુએ આરામ કરે છે અને "કંઈક કરો" કાં તો તે કોણથી બહાર આવે છે, અથવા સાથે વિરુદ્ધ બાજુ. મને લાગે છે કે તે સરળ છે, ના?

તેઓ કેવી રીતે અલગ છે?

• દ્વિભાજક ખૂણાને વિભાજિત કરે છે જેમાંથી તે અડધા ભાગમાં બહાર આવે છે.
• મધ્યક વિરુદ્ધ બાજુને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે.
• ઊંચાઈ હંમેશા વિરુદ્ધ બાજુ પર લંબ હોય છે.

હવે બસ. તે સમજવું સરળ છે. અને એકવાર તમે સમજો છો, તમે યાદ રાખી શકો છો.

હવે આગામી પ્રશ્ન. શા માટે, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના કિસ્સામાં, દ્વિભાજક મધ્ય અને ઊંચાઈ બંને છે?

તમે માત્ર આકૃતિ જોઈ શકો છો અને ખાતરી કરી શકો છો કે મધ્યક સંપૂર્ણપણે બે ભાગમાં વિભાજિત થાય છે સમાન ત્રિકોણ. બસ! પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ તેમની આંખો પર વિશ્વાસ કરવાનું પસંદ કરતા નથી. તેઓએ બધું સાબિત કરવાની જરૂર છે. ડરામણો શબ્દ? એવું કંઈ નથી - તે સરળ છે! જુઓ: બંનેની સમાન બાજુઓ છે અને, સામાન્ય રીતે તેમની પાસે એક સામાન્ય બાજુ છે અને. (- દ્વિભાજક!) અને તેથી તે તારણ આપે છે કે બે ત્રિકોણમાં બે છે સમાન બાજુઓઅને તેમની વચ્ચેનો કોણ. અમે ત્રિકોણની સમાનતાના પ્રથમ સંકેતને યાદ કરીએ છીએ (જો તમને યાદ ન હોય, તો વિષયમાં જુઓ) અને તે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ, અને તેથી = અને.

આ પહેલેથી જ સારું છે - તેનો અર્થ એ છે કે તે મધ્યક હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

પરંતુ તે શું છે?

ચાલો ચિત્ર જોઈએ -. અને અમને તે મળ્યું. તેથી, પણ! છેલ્લે, હુરે! અને.

શું તમને આ સાબિતી થોડી ભારે લાગી? ચિત્ર જુઓ - બે સમાન ત્રિકોણ પોતાને માટે બોલે છે.

કોઈ પણ સંજોગોમાં, નિશ્ચિતપણે યાદ રાખો:

હવે તે વધુ મુશ્કેલ છે: અમે ગણતરી કરીશું કોઈપણ ત્રિકોણમાં દ્વિભાજકો વચ્ચેનો કોણ!ડરશો નહીં, તે એટલું મુશ્કેલ નથી. ચિત્ર જુઓ:

ચાલો તેને ગણીએ. શું તમને તે યાદ છે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો બરાબર છે?

ચાલો આ અદ્ભુત હકીકત લાગુ કરીએ.

એક તરફ, તરફથી:

એટલે કે.

હવે ચાલો જોઈએ:

પણ દ્વિભાજકો, દ્વિભાજક!

ચાલો આ વિશે યાદ રાખીએ:

હવે પત્રો દ્વારા

\કોણ AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)

તે આશ્ચર્યજનક નથી? તે બહાર આવ્યું છે કે બે ખૂણાના દ્વિભાજકો વચ્ચેનો કોણ ફક્ત ત્રીજા ખૂણા પર આધાર રાખે છે!

ઠીક છે, અમે બે દ્વિભાજકો તરફ જોયું. જો તેમાંથી ત્રણ હોય તો શું થાય?!! શું તેઓ બધા એક બિંદુ પર છેદે છે?

અથવા તે આના જેવું હશે?

તમે કેવી રીતે વિચારો છો? તેથી ગણિતશાસ્ત્રીઓએ વિચાર્યું અને વિચાર્યું અને સાબિત કર્યું:

તે મહાન નથી?

શું તમે જાણવા માંગો છો કે આવું કેમ થાય છે?

તો...બે કાટકોણ ત્રિકોણ: અને. તેમની પાસે છે:

• સામાન્ય કર્ણ.
• (કારણ કે તે દ્વિભાજક છે!)

આનો અર્થ છે - કોણ અને કર્ણ દ્વારા. તેથી, આ ત્રિકોણના અનુરૂપ પગ સમાન છે! એટલે કે.

અમે સાબિત કર્યું કે બિંદુ કોણની બાજુઓથી સમાન (અથવા સમાન રીતે) દૂર છે. પોઈન્ટ 1 સાથે વ્યવહાર કરવામાં આવે છે. હવે ચાલો બિંદુ 2 પર આગળ વધીએ.

શા માટે 2 સાચું છે?

અને ચાલો બિંદુઓને જોડીએ અને.

આનો અર્થ એ કે તે દ્વિભાજક પર આવેલું છે!

બસ!

સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ બધું કેવી રીતે લાગુ કરી શકાય? ઉદાહરણ તરીકે, સમસ્યાઓમાં ઘણીવાર નીચેનો વાક્ય હોય છે: "એક વર્તુળ ખૂણાની બાજુઓને સ્પર્શે છે...". સારું, તમારે કંઈક શોધવાની જરૂર છે.

પછી તમને તે ઝડપથી ખ્યાલ આવશે

અને તમે સમાનતાનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

3. ત્રિકોણમાં ત્રણ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે

દ્વિભાજકના ગુણધર્મમાંથી એક ખૂણાની બાજુઓથી સમાન અંતરના બિંદુઓના સ્થાન તરીકે, નીચેનું વિધાન નીચે મુજબ છે:

તે બરાબર કેવી રીતે બહાર આવે છે? પરંતુ જુઓ: બે દ્વિભાજકો ચોક્કસપણે છેદશે, બરાબર?

અને ત્રીજો દ્વિભાજક આની જેમ જઈ શકે છે:

પરંતુ વાસ્તવમાં, બધું વધુ સારું છે!

ચાલો બે દ્વિભાજકોના આંતરછેદ બિંદુને જોઈએ. ચાલો તેને કૉલ કરીએ.

અમે અહીં બંને વખત શું વાપર્યું? હા બિંદુ 1, અલબત્ત! જો કોઈ બિંદુ દ્વિભાજક પર સ્થિત છે, તો તે કોણની બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છે.

અને તેથી તે થયું.

પરંતુ આ બે સમાનતાને ધ્યાનથી જુઓ! છેવટે, તે તેમની પાસેથી અનુસરે છે અને તેથી, .

અને હવે તે અમલમાં આવશે બિંદુ 2: જો કોઈ ખૂણાની બાજુઓનું અંતર સમાન હોય, તો બિંદુ દ્વિભાજક પર આવેલું છે... કયો ખૂણો? ચિત્રને ફરીથી જુઓ:

અને કોણની બાજુઓનું અંતર છે, અને તે સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે બિંદુ કોણના દ્વિભાજક પર આવેલું છે. ત્રીજું દ્વિભાજક એ જ બિંદુ પરથી પસાર થયું! ત્રણેય દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે! અને વધારાની ભેટ તરીકે -

રેડી અંકિતવર્તુળો

(ખાતરી કરવા માટે, બીજો વિષય જુઓ).

સારું, હવે તમે ક્યારેય ભૂલશો નહીં:

ત્રિકોણના દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ એ તેમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

ચાલો આગળ વધીએ નીચેની મિલકત માટે... વાહ, દ્વિભાજકમાં ઘણી મિલકતો છે, ખરું ને? અને તે મહાન છે, કારણ કે વધુ ગુણધર્મો, તે વધુ સાધનોદ્વિભાજક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે.

4. દ્વિભાજક અને સમાંતરવાદ, અડીને આવેલા ખૂણાઓના દ્વિભાજકો

હકીકત એ છે કે કેટલાક કિસ્સાઓમાં દ્વિભાજક ખૂણાને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરે છે તે સંપૂર્ણપણે અનપેક્ષિત પરિણામો તરફ દોરી જાય છે. અહીં, ઉદાહરણ તરીકે,

કેસ 1

મહાન, અધિકાર? ચાલો સમજીએ કે આવું કેમ છે.

એક તરફ, આપણે દ્વિભાજક દોરીએ છીએ!

પરંતુ, બીજી બાજુ, એવા ખૂણા છે જે ક્રોસવાઇઝ આવેલા છે (થીમ યાદ રાખો).

અને હવે તે બહાર આવ્યું છે કે; વચ્ચે ફેંકી દો: ! - સમદ્વિબાજુ!

કેસ 2

ત્રિકોણની કલ્પના કરો (અથવા ચિત્ર જુઓ)

ચાલો મુદ્દાની બહાર બાજુ ચાલુ રાખીએ. હવે આપણી પાસે બે ખૂણા છે:

• - આંતરિક ખૂણો
• - બાહ્ય ખૂણો બહાર છે, બરાબર?

તેથી, અને હવે કોઈ એક નહીં, પરંતુ એક સાથે બે દ્વિભાજક દોરવા માંગે છે: બંને માટે અને માટે. શું થશે?

તે કામ કરશે? લંબચોરસ!

આશ્ચર્યજનક રીતે, આ બરાબર કેસ છે.

ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ.

તમને શું લાગે છે કે રકમ શું છે?

અલબત્ત, - છેવટે, તેઓ બધા સાથે મળીને એવો કોણ બનાવે છે કે તે સીધી રેખા બની જાય છે.

હવે યાદ રાખો કે અને દ્વિભાજકો છે અને જુઓ કે કોણની અંદર બરાબર છે અડધાચારેય ખૂણાઓના સરવાળામાંથી: અને - - એટલે કે બરાબર. તમે તેને સમીકરણ તરીકે પણ લખી શકો છો:

તેથી, અવિશ્વસનીય પરંતુ સાચું:

ત્રિકોણના આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણાઓના દ્વિભાજકો વચ્ચેનો કોણ સમાન છે.

કેસ 3

શું તમે જુઓ છો કે અહીં બધું આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણાઓ જેવું જ છે?

અથવા ચાલો ફરી વિચારીએ કે આવું કેમ થાય છે?

ફરીથી, માટે અડીને ખૂણા,

(સમાંતર પાયા સાથે અનુરૂપ).

અને ફરીથી, તેઓ બનાવે છે બરાબર અડધુરકમમાંથી

નિષ્કર્ષ:જો સમસ્યામાં દ્વિભાજકોનો સમાવેશ થાય છે અડીનેખૂણા અથવા દ્વિભાજકો સંબંધિતસમાંતર ચતુષ્કોણ અથવા ટ્રેપેઝોઇડના ખૂણા, પછી આ સમસ્યામાં ચોક્કસપણેભાગ લે છે જમણો ત્રિકોણ, અને કદાચ સંપૂર્ણ લંબચોરસ પણ.

5. દ્વિભાજક અને વિરુદ્ધ બાજુ

તે તારણ આપે છે કે ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક વિરુદ્ધ બાજુને માત્ર અમુક રીતે જ નહીં, પરંતુ ખાસ અને ખૂબ જ રસપ્રદ રીતે વિભાજિત કરે છે:

તે છે:

એક આશ્ચર્યજનક હકીકત, તે નથી?

હવે અમે આ હકીકત સાબિત કરીશું, પરંતુ તૈયાર થઈ જાઓ: તે પહેલા કરતા થોડું વધુ મુશ્કેલ હશે.

ફરીથી - "જગ્યા" પર બહાર નીકળો - વધારાની રચના!

ચાલો સીધા જઈએ.

શેના માટે? હવે જોઈશું.

ચાલો દ્વિભાજકને ચાલુ રાખીએ જ્યાં સુધી તે રેખા સાથે છેદે નહીં.

શું આ એક પરિચિત ચિત્ર છે? હા, હા, હા, પોઈન્ટ 4, કેસ 1 માં બરાબર એ જ છે - તે તારણ આપે છે કે (- દ્વિભાજક)

ક્રોસવાઇઝ બોલવું

તેથી, તે પણ.

હવે ચાલો ત્રિકોણ જોઈએ અને.

તમે તેમના વિશે શું કહી શકો?

તેઓ... સમાન છે. સારું, હા, તેમના ખૂણાઓ લંબરૂપ સમાન છે. તેથી, બે ખૂણામાં.

હવે અમને સંબંધિત પક્ષોના સંબંધો લખવાનો અધિકાર છે.

અને હવે ટૂંકી નોંધમાં:

ઓહ! મને કંઈક યાદ અપાવે છે, બરાબર ને? શું આ આપણે સાબિત કરવા માગતા નથી? હા, હા, બરાબર તે!

તમે જુઓ છો કે "સ્પેસવૉક" કેટલું મહાન સાબિત થયું - એક વધારાની સીધી રેખાનું નિર્માણ - તેના વિના કંઈ થયું ન હોત! અને તેથી, અમે તે સાબિત કર્યું છે

હવે તમે સુરક્ષિત રીતે તેનો ઉપયોગ કરી શકો છો! ચાલો ત્રિકોણના ખૂણાઓના દ્વિભાજકોની વધુ એક મિલકત જોઈએ - ગભરાશો નહીં, હવે સૌથી મુશ્કેલ ભાગ સમાપ્ત થઈ ગયો છે - તે સરળ બનશે.

અમે તે મેળવીએ છીએ

પ્રમેય 1:

પ્રમેય 2:

પ્રમેય 3:

પ્રમેય 4:

પ્રમેય 5:

પ્રમેય 6:

ભૂમિતિ એ સૌથી જટિલ અને ગૂંચવણભર્યું વિજ્ઞાન છે. તેમાં, જે પ્રથમ નજરમાં સ્પષ્ટ લાગે છે તે ભાગ્યે જ સાચું બહાર વળે છે. દ્વિભાજકો, ઊંચાઈઓ, મધ્યક, અંદાજો, સ્પર્શકો - મોટી રકમખરેખર મુશ્કેલ શરતો, જે મૂંઝવણમાં મૂકવી ખૂબ જ સરળ છે.

હકીકતમાં, યોગ્ય ઇચ્છા સાથે, તમે કોઈપણ જટિલતાના સિદ્ધાંતને સમજી શકો છો. જ્યારે દ્વિભાજકો, મધ્યક અને ઊંચાઈની વાત આવે છે, ત્યારે તમારે સમજવાની જરૂર છે કે તે ત્રિકોણ માટે અનન્ય નથી. પ્રથમ નજરમાં આ સરળ રેખાઓ, પરંતુ તેમાંના દરેકના પોતાના ગુણધર્મો અને કાર્યો છે, જેનું જ્ઞાન મોટા પ્રમાણમાં ઉકેલને સરળ બનાવે છે ભૌમિતિક સમસ્યાઓ. તો, ત્રિકોણનું દ્વિભાજક શું છે?

વ્યાખ્યા

"દ્વિભાજક" શબ્દ પોતે સંયોજનમાંથી આવ્યો છે લેટિન શબ્દો"બે" અને "કટ", "કટ", જે પહેલેથી જ પરોક્ષ રીતે તેના ગુણધર્મો સૂચવે છે. સામાન્ય રીતે, જ્યારે બાળકોને આ કિરણનો પરિચય આપવામાં આવે છે, ત્યારે તેમને યાદ રાખવા માટે એક નાનો વાક્ય આપવામાં આવે છે: "દ્વિભાજક એ એક ઉંદર છે જે ખૂણાઓની આસપાસ ચાલે છે અને ખૂણાને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે." સ્વાભાવિક રીતે, આવી સમજૂતી જૂની શાળાના બાળકો માટે યોગ્ય નથી, અને ઉપરાંત, તેઓને સામાન્ય રીતે કોણ વિશે નહીં, પરંતુ ભૌમિતિક આકૃતિ વિશે પૂછવામાં આવે છે. તેથી ત્રિકોણનું દ્વિભાજક એક કિરણ છે જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ બાજુથી જોડે છે, જ્યારે ખૂણાને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે. વિરુદ્ધ બાજુનો બિંદુ કે જેના માટે દ્વિભાજક આવે છે મનસ્વી ત્રિકોણઅવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે.

મૂળભૂત કાર્યો અને ગુણધર્મો

આ બીમમાં થોડા મૂળભૂત ગુણધર્મો છે. પ્રથમ, કારણ કે ત્રિકોણનો દ્વિભાજક કોણને દ્વિભાજિત કરે છે, તેના પર પડેલો કોઈપણ બિંદુ ચાલુ રહેશે સમાન અંતરટોચની રચના કરતી બાજુઓમાંથી. બીજું, દરેક ત્રિકોણમાં તમે ઉપલબ્ધ ખૂણાઓની સંખ્યા અનુસાર ત્રણ દ્વિભાજકો દોરી શકો છો (તેથી, સમાન ચતુર્ભુજમાં પહેલાથી જ તેમાંથી ચાર હશે, અને તેથી વધુ). ત્રણેય કિરણો જે બિંદુ પર છેદે છે તે ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

ગુણધર્મો વધુ જટિલ બની જાય છે

ચાલો સિદ્ધાંતને થોડો જટિલ કરીએ. બીજી એક વાત રસપ્રદ મિલકત: ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક વિરુદ્ધ બાજુને ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે, જેનો ગુણોત્તર શિરોબિંદુ બનાવતી બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો છે. પ્રથમ નજરમાં, આ જટિલ છે, પરંતુ હકીકતમાં બધું સરળ છે: સૂચિત આકૃતિમાં, RL: LQ = PR: PK. માર્ગ દ્વારા, આ મિલકતને "દ્વિભાજક પ્રમેય" કહેવામાં આવતું હતું અને તે પ્રથમ પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી યુક્લિડના કાર્યોમાં દેખાયું હતું. અમે તેમને એકમાં યાદ કર્યા રશિયન પાઠયપુસ્તકોમાત્ર સત્તરમી સદીના પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં.

તે થોડી વધુ જટિલ છે. ચતુર્ભુજમાં, દ્વિભાજક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણને કાપી નાખે છે. આ આંકડો મધ્યક AF માટે તમામ સમાન ખૂણાઓ દર્શાવે છે.

અને ચતુષ્કોણ અને ટ્રેપેઝોઇડ્સમાં, એક બાજુવાળા ખૂણાઓના દ્વિભાજકો એકબીજાને લંબરૂપ હોય છે. બતાવેલ ચિત્રમાં, કોણ APB 90 ડિગ્રી છે.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું દ્વિભાજક એ વધુ ઉપયોગી કિરણ છે. તે તે જ સમયે અડધા ખૂણાના વિભાજક જ નહીં, પણ મધ્ય અને ઊંચાઈ પણ છે.

મધ્યક એક સેગમેન્ટ છે જે કોઈ ખૂણેથી આવે છે અને વિરુદ્ધ બાજુની મધ્યમાં આવે છે, ત્યાં તેને સમાન ભાગોમાં વહેંચે છે. ઊંચાઈ એ શિરોબિંદુથી વિરુદ્ધ બાજુએ ઉતરેલી લંબ છે; તે તેની મદદથી કોઈપણ સમસ્યાને સરળ અને આદિમ પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાં ઘટાડી શકાય છે. આ પરિસ્થિતિમાં, ત્રિકોણનો દ્વિભાજક કર્ણોના વર્ગ અને બીજા પગ વચ્ચેના તફાવતના મૂળ જેટલો છે. માર્ગ દ્વારા, આ મિલકત મોટાભાગે ભૌમિતિક સમસ્યાઓમાં આવે છે.

એકીકૃત કરવા માટે: આ ત્રિકોણમાં, દ્વિભાજક FB એ મધ્ય છે (AB = BC) અને ઊંચાઈ (કોણ FBC અને FBA 90 ડિગ્રી છે).

સામાન્ય શબ્દોમાં

તો તમારે શું યાદ રાખવાની જરૂર છે? ત્રિકોણનો દ્વિભાજક એ કિરણ છે જે તેના શિરોબિંદુને દ્વિભાજિત કરે છે. ત્રણ કિરણોના આંતરછેદ પર આ ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે (આ ગુણધર્મનો એકમાત્ર ગેરલાભ એ છે કે તેનું કોઈ વ્યવહારુ મૂલ્ય નથી અને તે ફક્ત ડ્રોઇંગના સક્ષમ અમલ માટે જ સેવા આપે છે). તે વિરુદ્ધ બાજુને ભાગોમાં પણ વિભાજિત કરે છે, જેનો ગુણોત્તર આ કિરણ પસાર થયેલી બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો છે. ચતુર્ભુજમાં, ગુણધર્મો થોડી વધુ જટિલ બની જાય છે, પરંતુ, સ્વીકાર્યપણે, તેઓ વ્યવહારીક રીતે ક્યારેય સમસ્યાઓમાં દેખાતા નથી. શાળા સ્તર, તેથી તેઓ સામાન્ય રીતે પ્રોગ્રામમાં સ્પર્શતા નથી.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું દ્વિભાજક એ કોઈપણ શાળાના બાળકનું અંતિમ સ્વપ્ન છે. તે મધ્યક (એટલે ​​​​કે, તે વિરુદ્ધ બાજુને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે) અને ઊંચાઈ (તે બાજુ પર લંબ) બંને છે. આવા દ્વિભાજક સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવાથી પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાં ઘટાડો થાય છે.

જ્ઞાન મૂળભૂત કાર્યોદ્વિભાજક, તેમજ તેના મૂળભૂત ગુણધર્મો, સરેરાશ અને બંનેની ભૌમિતિક સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે જરૂરી છે ઉચ્ચ સ્તરજટિલતા હકીકતમાં, આ કિરણ માત્ર પ્લાનિમેટ્રીમાં જોવા મળે છે, તેથી એવું કહી શકાય નહીં કે તેના વિશેની માહિતી યાદ રાખવાથી તમે તમામ પ્રકારના કાર્યોનો સામનો કરી શકશો.