આવરી લેવામાં આવેલ મુદ્દાઓ:

• 1. પ્રક્ષેપણનો ખ્યાલ
• 4. મોંગે પદ્ધતિ
• 5. એક્સોનોમેટ્રિક પ્રક્ષેપણ

પ્રક્ષેપણનો ખ્યાલ.ડ્રોઇંગમાં ઑબ્જેક્ટની છબીઓ પ્રક્ષેપણ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે . પ્રોજેક્શન પ્રોજેક્ટિંગ કિરણોનો ઉપયોગ કરીને પ્લેન પર ઑબ્જેક્ટની છબી બનાવવાની પ્રક્રિયા છે. આ પ્રક્રિયાના પરિણામ તરીકે ઓળખાતી છબી છે પ્રક્ષેપણ.

લેટિનમાંથી અનુવાદિત શબ્દ "પ્રોજેક્શન" નો અર્થ થાય છે આગળ ફેંકવું, અંતરમાં. જ્યારે પદાર્થ પ્રકાશ સ્ત્રોત દ્વારા પ્રકાશિત થાય છે ત્યારે દિવાલની સપાટી પરના પદાર્થ દ્વારા પડછાયાને જોઈને પ્રક્ષેપણ અવલોકન કરી શકાય છે. કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સપ્રક્ષેપણ સ્કેચિંગ

પ્રોજેક્શન એ પ્રક્રિયાને સંદર્ભિત કરે છે જે છબીઓમાં પરિણમે છે (પ્લેન પરના અનુમાનો), એટલે કે. જ્યારે અંદર લાક્ષણિકતા બિંદુઓકિરણો પ્લેન સાથે છેદે ત્યાં સુધી આકૃતિમાંથી દોરવામાં આવે છે, અને પ્લેન સાથેના કિરણોના આંતરછેદમાંથી પરિણામી બિંદુઓ તે મુજબ સીધી અથવા વક્ર રેખાઓ દ્વારા જોડાયેલા હોય છે.

કેન્દ્રીય (શંક્વાકાર) પ્રક્ષેપણ.અવકાશમાં એક પ્લેન P1 હશે, ચાલો તેને પ્રોજેક્શન પ્લેન અથવા પિક્ચર પ્લેન કહીએ. ચાલો કોઈપણ બિંદુ S લઈએ જે પ્રોજેક્શન પ્લેન P1 સાથે સંબંધિત નથી. ચાલો તેને પ્રક્ષેપણનું કેન્દ્ર કહીએ (ફિગ. 19).

મૂળ તરીકે ઓળખાતી આકૃતિ ABC ને પ્રોજેકટ કરવા માટે, બિંદુ S થી બિંદુ A, B, C દ્વારા સીધી રેખાઓ દોરવી જરૂરી છે, જેને પ્રક્ષેપણ કિરણો કહેવાય છે, જ્યાં સુધી તેઓ A1, B1, C1 બિંદુઓ પર પ્લેન P1 સાથે છેદે નહીં. તેમને ક્રમશઃ સીધી રેખાઓ સાથે જોડીને, આપણે આકૃતિ A1B1C1 મેળવીએ છીએ. પ્રોજેક્શન પ્લેન P1 પર આ આંકડો ABC નું કેન્દ્રિય પ્રક્ષેપણ A1B1C1 હશે.

ફિગ. 19.

સમાંતર (નળાકાર) પ્રક્ષેપણ.સમાંતર પ્રક્ષેપણ સાથે, કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણના કિસ્સામાં, પ્રક્ષેપણ પ્લેન P1 લેવામાં આવે છે, અને અંદાજો S ના કેન્દ્રને બદલે, પ્રક્ષેપણ દિશા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.

અમે પ્રક્ષેપણ S ની દિશા પ્લેન P1 ને સમાંતર ન સેટ કરીએ છીએ, તે બિંદુ S ને ધ્યાનમાં રાખીને - પ્રક્ષેપણનું કેન્દ્ર - અનંત સુધી દૂર કરવામાં આવે છે. મૂળ પ્રક્ષેપણ એ જ આકૃતિ એબીસી છે, જે અવકાશમાં સ્થિત છે. ABC આકૃતિને પ્રોજેક્ટ કરવા માટે, અમે પ્રક્ષેપણ દિશા S ની સમાંતર બિંદુઓ A, B, C દ્વારા પ્રક્ષેપણ કિરણો દોરીએ છીએ જ્યાં સુધી તેઓ A1, B1, C1 બિંદુઓ પર પ્રક્ષેપણ પ્લેન P1 સાથે છેદે નહીં. અમે બિંદુઓ A1, B1, C1 ને સીધી રેખાઓ સાથે જોડીએ છીએ, અમને A1B1C1 આંકડા મળે છે; આ પ્લેન P1 પર ABC આકૃતિનું સમાંતર પ્રક્ષેપણ હશે. આ સમાંતર પ્રક્ષેપણની પ્રક્રિયા છે (ફિગ. 20).

ફિગ.20.

જો મૂળ સીધી રેખા હોય, તો આ સીધી રેખાના બિંદુઓના તમામ પ્રક્ષેપણ કિરણો એક સમતલમાં સ્થિત હશે, જેને પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેન કહેવામાં આવે છે.

પ્લેન P, પ્રક્ષેપણ રેખાઓ BB1 અને CC1માંથી પસાર થાય છે, પ્રક્ષેપણ પ્લેન P1 ને સીધી રેખામાં છેદે છે. આ રેખાને રેખાના પ્રક્ષેપણ તરીકે ગણી શકાય, પોઈન્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે B અને C. પ્રોજેક્શન પ્લેન તરફ પ્રક્ષેપણ S ની દિશા પર આધાર રાખે છે સમાંતર પ્રક્ષેપણમાં વિભાજિત લંબચોરસ (ઓર્થોગોનલ) અને ત્રાંસુ પ્રક્ષેપણ (ફિગ. 21).

ફિગ.21 લંબચોરસ અને ત્રાંસુ પ્રક્ષેપણ

લંબચોરસ પ્રક્ષેપણ , જ્યારે પ્રક્ષેપણ પ્લેન સાથે પ્રક્ષેપણ S ની દિશા જમણો ખૂણો બનાવે છે (ફિગ. 21a).

ત્રાંસુ પ્રક્ષેપણ , જ્યારે પ્રક્ષેપણની દિશા પ્રક્ષેપણ પ્લેન (ફિગ. 21b) સાથે 90 કરતા ઓછો કોણ બનાવે છે?

મોંગે પદ્ધતિ. માહિતી અને બાંધકામની પદ્ધતિઓ, અવકાશી સ્વરૂપોની સપાટ છબીઓની જરૂરિયાત દ્વારા નિર્ધારિત, પ્રાચીન સમયથી ધીમે ધીમે સંચિત કરવામાં આવી છે. લાંબા ગાળામાં સપાટ છબીઓમુખ્યત્વે વિઝ્યુઅલ ઇમેજ તરીકે કરવામાં આવી હતી. ટેક્નોલૉજીના વિકાસ સાથે, એવી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રશ્ન છે જે છબીઓની સચોટતા અને માપનક્ષમતાને સુનિશ્ચિત કરે છે, એટલે કે, અન્ય બિંદુઓ અથવા પ્લેન અને તેના દ્વારા સંબંધિત છબીના દરેક બિંદુનું સ્થાન ચોક્કસ રીતે નક્કી કરવાની ક્ષમતા. સરળ તકનીકોરેખા વિભાગો અને આકારોના કદ નક્કી કરો. ધીમે ધીમે સંચિત અલગ નિયમોઅને 1799 માં પ્રકાશિત ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિક ગેસ્પર્ડ મોંગેના કાર્યમાં આવી છબીઓ બનાવવા માટેની તકનીકો વ્યવસ્થિત અને વિકસિત કરવામાં આવી હતી.

લંબચોરસ પ્રક્ષેપણ હા ખાસ કેસસમાંતર પ્રક્ષેપણ. ઓર્થોગોનલ અંદાજોની પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે મોંગે પદ્ધતિ . તકનીકી રેખાંકનો તૈયાર કરતી વખતે આ પદ્ધતિ સૌથી સામાન્ય છે. તે છબીની સ્પષ્ટતા પ્રદાન કરતું નથી, પરંતુ ચિત્ર દોરતી વખતે તે સરળ અને અનુકૂળ છે અને ઉચ્ચ ચોકસાઈ પ્રદાન કરે છે. મોંગે પદ્ધતિ બે પરસ્પર પર લંબચોરસ સમાંતર પ્રક્ષેપણ છે લંબરૂપ વિમાનોઅંદાજો બે પરસ્પર જોડાયેલા ઓર્થોગોનલ અંદાજોનું આ પ્રકારનું સંકુલ અવકાશમાં અંદાજિત પદાર્થની સ્થિતિ દર્શાવે છે. મોન્ગે દ્વારા દર્શાવેલ પદ્ધતિ પ્લેન પરની વસ્તુઓની છબીઓની અભિવ્યક્તિ, ચોકસાઈ અને માપનક્ષમતા સુનિશ્ચિત કરે છે અને તે તકનીકી રેખાંકનો દોરવા માટેની મુખ્ય પદ્ધતિ હતી (આકૃતિ 22).

લંબચોરસ શબ્દ ઘણીવાર ઓર્થોગોનલ શબ્દ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જે શબ્દોમાંથી બનેલો છે પ્રાચીન ગ્રીક ભાષા, "સીધો" અને "કોણ" સૂચવે છે. નીચેની પ્રસ્તુતિમાં, પરસ્પર લંબરૂપ વિમાનો પર લંબચોરસ અંદાજોની સિસ્ટમનો સંદર્ભ આપવા માટે ઓર્થોગોનલ અંદાજો શબ્દનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે. આકૃતિ 22 બે પરસ્પર લંબરૂપ વિમાનો દર્શાવે છે. ચાલો તેમને પ્રોજેક્શન પ્લેન તરીકે લઈએ. તેમાંથી એક, અક્ષર P1 દ્વારા નિયુક્ત, આડા સ્થિત છે; અન્ય, અક્ષર P2 દ્વારા નિયુક્ત, વર્ટિકલ છે. આ પ્લેન કહેવાય છે આગળનું વિમાનઅંદાજો, પ્લેન P1 કહેવાય છે આડું વિમાનઅંદાજો . પ્રોજેક્શન પ્લેન P1 અને P2 સિસ્ટમ P1, P2 બનાવે છે.

પ્રક્ષેપણ વિમાનોના આંતરછેદની રેખા કહેવામાં આવે છે પ્રક્ષેપણ અક્ષ . પ્રક્ષેપણ અક્ષ દરેક પ્લેન P1 અને P2 ને અડધા પ્લેનમાં વિભાજિત કરે છે. આ અક્ષ માટે આપણે અપૂર્ણાંક P2/P1 ના સ્વરૂપમાં સંકેત x અથવા સંકેતનો ઉપયોગ કરીશું.

ફિગ.22.

એક્સોનોમેટ્રિક પ્રક્ષેપણ. જો અક્ષો સાથેની કોઈ વસ્તુ તેને સોંપવામાં આવી હોય લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સપ્રોજેક્શન પ્લેન અને પ્રોજેક્ટની સામે સ્થિતિ સમાંતર કિરણોએક પ્લેન પર, જે આ કિસ્સામાં પિક્ચર પ્લેન કહેવાય છે, પછી આપણને મળે છે એકોનોમેટ્રિક પ્રક્ષેપણ.

ફિગ માં. આકૃતિ 23 ક્યુબ, તેને સોંપેલ લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ x0, y0, z0 ની અક્ષો, પ્રક્ષેપણ પ્લેન P અને એકોનોમેટ્રિક છબીક્યુબા.

ફિગ.23. શિક્ષણ એકોનોમેટ્રિક અંદાજો: a અને b - ફ્રન્ટલ ડાયમેટ્રિક; c અને d - આઇસોમેટ્રિક

એક્સોનોમેટ્રી - એક ગ્રીક શબ્દ, અનુવાદનો અર્થ કુહાડીઓ સાથે માપન થાય છે. એક્સોનોમેટ્રિક અંદાજો બાંધતી વખતે, પરિમાણો x, y, z અક્ષો સાથે નાખવામાં આવે છે.

એક્સોનોમેટ્રિક અંદાજો એકદમ દ્રશ્ય છે, તેથી સંખ્યાબંધ કેસોમાં તેનો ઉપયોગ જટિલ મશીનો અને મિકેનિઝમ્સ અને તેમના વ્યક્તિગત ભાગોના લંબચોરસ અંદાજોને સમજાવવા માટે થાય છે. એકોનોમેટ્રિક પ્રક્ષેપણ સાથે, એક આકૃતિ સંકલન અક્ષોની અવકાશી પ્રણાલી સાથે સંકળાયેલી હોય છે, પછી સંકલન અક્ષો સાથેની આ આકૃતિ એક સમતલ પર પ્રક્ષેપિત થાય છે. આ પ્લેન કહેવાય છે એક્સોનોમેટ્રિક અંદાજોનું પ્લેન.

સાથેની આકૃતિના લંબચોરસ પ્રક્ષેપણ દ્વારા મેળવેલ એક્સોનોમેટ્રિક અંદાજો સંકલન અક્ષો, તેને લંબચોરસ કહેવામાં આવે છે, અને ત્રાંસી પ્રક્ષેપણ દ્વારા મેળવેલા કહેવાય છે ત્રાંસુ

પ્રોજેક્શન પ્લેન પ્લેન કહેવાય છે કે જેના પર ઑબ્જેક્ટનું પ્રક્ષેપણ મેળવવામાં આવે છે.

સમાંતર પ્રક્ષેપણ

વિઝ્યુલાઇઝેશન એ કેન્દ્રિય અંદાજિત છબીઓની મૂલ્યવાન મિલકત છે. જો કે, વ્યવહારમાં મહાન મૂલ્યપ્રોજેક્શન ડ્રોઇંગમાં અન્ય ગુણો પણ છે, ખાસ કરીને, બાંધકામની સરળતા અને ઉલટાવી શકાય તેવું. આ સંદર્ભે, કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણ રેખાંકનો સૌથી અનુકૂળ નથી. તેથી જ વ્યાપકઅવકાશી આકૃતિઓની છબીઓ બનાવવા માટે સમાંતર પ્રક્ષેપણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે.

અમે કેટલાક પ્લેન સેટ કર્યા પી′, જે પ્રક્ષેપણ પ્લેન છે અને પ્રક્ષેપણની દિશા છે s, પ્રોજેક્શન પ્લેન સાથે સમાંતર નથી પી′આકૃતિ 1.2.2 અનુસાર. એક બિંદુ પ્રોજેક્ટ કરવા માટે એજગ્યા આપણે તેના દ્વારા એક પ્રોજેક્ટિંગ રેખા દોરીએ છીએ AA′, પ્રક્ષેપણની દિશાની સમાંતર s. આંતરછેદ બિંદુ A'પ્લેન સાથે સીધી રેખા રજૂ કરવી પી′છે સમાંતરબિંદુનું પ્રક્ષેપણ એપ્લેન માટે પી′.

આકૃતિ 1.2.3 – અવકાશમાં સમાંતરનું સમાંતર પ્રક્ષેપણ

સીધી રેખાઓ માટે બિલ્ટ કર્યા એબીઅને સીડીપ્રક્ષેપણ વિમાનો AA¢B¢Bઅને CC¢D¢D, નોંધ કરો કે આ વિમાનો સમાંતર છે, જેમ કે વિમાનો અનુક્રમે સાથે ખૂણા ધરાવતા હોય છે સમાંતર બાજુઓ (AB||CD; BВ¢ ||DD¢). તેથી, પ્રોજેક્શન પ્લેન પ્રોજેક્શન પ્લેનને છેદે છે પી"એકબીજાની સમાંતર બે સીધી રેખાઓ સાથે.

2) સમાંતર રેખાઓ પર પડેલા ભાગોનો ગુણોત્તર સમાંતર પ્રક્ષેપણમાં સાચવેલ છે.

દો એબીઅને સીડી- સમાંતર રેખાઓ પર પડેલા ભાગો. ચાલો તેમના અંદાજોને પ્લેન પર બાંધીએ P¢પ્રક્ષેપણ દિશામાં s(આકૃતિ 1.2.3). ચાલો પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેન્સમાં સેગમેન્ટ્સ દોરીએ А¢В1અને С¢D1, અનુક્રમે સમાંતર અને સેગમેન્ટ્સ સમાન એબીઅને સીડી. ત્રિકોણ А¢B¢B1અને С¢D¢D1સમાન છે, કારણ કે તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમાંતર છે. અહીંથી

તે અનુસરે છે કે ગુણોત્તર જેમાં બિંદુ B એ સેગમેન્ટ AC ને વિભાજિત કરે છે. સેગમેન્ટ A "C" ને વિભાજીત કરતા બિંદુ B′ માટે પ્રક્ષેપણમાં સાચવેલ છે.

આકૃતિ 1.2.4 – માં સેગમેન્ટનું વિભાજન આપેલ ગુણોત્તરસમાંતર પ્રક્ષેપણ સાથે

વસ્તુઓની છબી ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાપ્લેન પર મેળવો પ્રક્ષેપણ પદ્ધતિ.

પ્રોજેક્શનએક એવી પ્રક્રિયા છે જે ચિત્રોમાં પરિણમે છે જે પ્લેન પરના અંદાજો છે.

પ્રક્ષેપણ ઉપકરણમાં ચિત્રિત વસ્તુઓ - બિંદુઓ શામેલ છે A, B,પ્રક્ષેપણ કિરણો i અને પ્રક્ષેપણ પ્લેન પી",જેના પર આકૃતિ 1.2 અનુસાર વસ્તુઓની છબી મેળવવામાં આવે છે.

ડ્રોઇંગમાં ઑબ્જેક્ટના અંદાજો બાંધવાની બે રીત છે: કેન્દ્રિય અને સમાંતર.

પ્રોજેક્શન પદ્ધતિનું નામ	પદ્ધતિનો સાર
કેન્દ્ર પ્રક્ષેપણ	પદાર્થને પ્રક્ષેપિત કરતા તમામ કિરણો એક બિંદુ પરથી આવે છે આર,અંદાજોનું કેન્દ્ર કહેવાય છે (આકૃતિ 1.3). પરિણામી અંદાજો A", B, C"કહેવાય છે કેન્દ્રીય અંદાજોપોઈન્ટ A, B, C.
સમાંતર પ્રક્ષેપણ	તમામ પ્રક્ષેપણ કિરણો પૂર્વનિર્ધારિત દિશામાં સમાંતર પસાર થાય છે એસ, અને તેથી એકબીજાને (આકૃતિ 1.4). આને પ્રક્ષેપણના કેન્દ્રીય મોડના કેસ સાથે સરખાવી શકાય છે, જ્યારે અંદાજોનું કેન્દ્ર હોય છે એસઅનંત સુધી દૂર કરવામાં આવે છે અને તમામ પ્રક્ષેપણ કિરણો સમાંતર બની જાય છે. અંદાજો બાંધતી વખતે A", B, C"આ રીતે તેમને બિંદુઓના સમાંતર અંદાજો કહેવામાં આવે છે A, B, C.
આકૃતિ 1.3	આકૃતિ 1.4

પ્રોજેક્શન ગુણધર્મો

કેન્દ્રીય અને સમાંતર પ્રક્ષેપણ સાથે મેળવેલ અંદાજો સંખ્યાબંધ ગુણધર્મો ધરાવે છે:

રેખાનું પ્રક્ષેપણ નક્કી થાય છે જો તેના ઓછામાં ઓછા બે બિંદુઓના અંદાજો જાણીતા હોય (આકૃતિ 1.5). જો અવકાશમાં કોઈ સીધી રેખા પ્રક્ષેપણ સમતલની સમાંતર હોય

પછી તેનું પ્રક્ષેપણ સીધી રેખાની સમાંતર છે (આકૃતિ 1.6). તદુપરાંત, કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણ સાથે, સેગમેન્ટ્સના અંદાજો પોતે સેગમેન્ટના પ્રમાણસર હોય છે, અને સમાંતર પ્રક્ષેપણ સાથે, તેઓ તેમની સમાન હોય છે.	સમાંતર પ્રક્ષેપણ સાથે, રેખા વિભાગો અને તેમના અંદાજોના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર સાચવેલ છે (આકૃતિ 1.7).

આકૃતિ 1.5 આકૃતિ 1.6આકૃતિ 1.7 જો પ્લેન અંદાજોના પ્લેન સાથે સમાંતર હોય, તો કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણ સાથે તેના સપાટ આકૃતિઓના અંદાજો પોતે આકૃતિઓ જેવા જ હોય ​​છે (આકૃતિ 1.9,

એ),

અને જ્યારે સમાંતર હોય, ત્યારે તેઓ તેમના સમાન હોય છે (આકૃતિ 1.9,

b). આકૃતિ 1.9 1.5 સમાંતર પ્રક્ષેપણ અનિવાર્ય (લંબચોરસ પ્રક્ષેપણ) ઓર્થોગોનલ (લંબચોરસ) પ્રક્ષેપણ એ સમાંતર પ્રક્ષેપણનો એક ખાસ કિસ્સો છે, જ્યારે તમામ પ્રક્ષેપણ કિરણો પ્રક્ષેપણ સમતલ પર લંબરૂપ હોય છે. ઓર્થોગોનલ અંદાજોમાં સમાંતર પ્રક્ષેપણના તમામ ગુણધર્મો હોય છે, પરંતુ લંબચોરસ પ્રક્ષેપણ સાથે, સેગમેન્ટનું પ્રક્ષેપણ, જો તે પ્રક્ષેપણ પ્લેન સાથે સમાંતર ન હોય, તો તે હંમેશા સેગમેન્ટ કરતાં નાનું હોય છે (આકૃતિ 1.10). આ એ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું છે કે અવકાશમાં સેગમેન્ટ પોતે જ કર્ણ છે= જમણો ત્રિકોણ

, અને તેનું પ્રક્ષેપણ એક પગ છે: A"B". જો જમણા ખૂણાની એક બાજુ પ્રક્ષેપણ સમતલની સમાંતર હોય, અને બીજી તેની લંબ ન હોય, તો ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ સાથે જમણો ખૂણો આ સમતલ પર કાટખૂણામાં પ્રક્ષેપિત થાય છે.

ડ્રોઇંગની વિપરીતતા.એક પ્રક્ષેપણ પ્લેન પર પ્રક્ષેપણ કરવાથી એક એવી ઇમેજ ઉત્પન્ન થાય છે જે દર્શાવવામાં આવેલ ઑબ્જેક્ટના આકાર અને પરિમાણોને સ્પષ્ટપણે નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપતું નથી. પ્રોજેક્શન એ(આકૃતિ 1.8) અવકાશમાં બિંદુની સ્થિતિ નક્કી કરતું નથી, કારણ કે તે પ્રક્ષેપણ પ્લેનથી કેટલું દૂર છે તે જાણી શકાતું નથી. n"બિંદુમાંથી પસાર થતા પ્રક્ષેપણ કિરણનો કોઈપણ બિંદુ એ,તેના પ્રક્ષેપણ તરીકે એક બિંદુ હશે એક બિંદુએક પ્રક્ષેપણ રાખવાથી છબીની અનિશ્ચિતતા સર્જાય છે. આવા કિસ્સાઓમાં, તેઓ ડ્રોઇંગની બદલી ન શકાય તેવી વાત કરે છે, કારણ કે આવા ડ્રોઇંગનો ઉપયોગ કરીને મૂળનું પુનઃઉત્પાદન કરવું અશક્ય છે. અનિશ્ચિતતાને દૂર કરવા માટે, છબી જરૂરી ડેટા સાથે પૂરક છે. વ્યવહારમાં તેઓ ઉપયોગ કરે છે વિવિધ રીતેસિંગલ-વ્યુ ડ્રોઇંગમાં ઉમેરાઓ. આ કોર્સ ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ દ્વારા બે અથવા વધુ પરસ્પર લંબરૂપ પ્રક્ષેપણ પ્લેન (જટિલ રેખાંકનો) પર અને ઑબ્જેક્ટના સહાયક પ્રક્ષેપણને અનુમાનોના મુખ્ય એકોનોમેટ્રિક પ્લેન (એક્સોનોમેટ્રિક રેખાંકનો) પર પુનઃપ્રોજેક્ટ કરીને મેળવેલા રેખાંકનોની તપાસ કરશે.

આકૃતિ 1.12
ધ્યાન, પ્રશ્ન!	વિચારો, સૂચિત રેખાંકનોનું પૃથ્થકરણ કરો અને કેન્દ્રીય અને સમાંતર પ્રક્ષેપણ (આકૃતિ 1.12) ના લિસ્ટેડ ઇન્વેરિઅન્ટ્સની માન્યતા સાબિત કરો.
યાદ રાખો!	1 સમાંતર પ્રક્ષેપણના ગણવામાં આવેલ ગુણધર્મો (અવિવર્તી) પ્રક્ષેપણની કોઈપણ દિશામાં સચવાય છે. 2 મેટ્રિક સ્પષ્ટીકરણો ભૌમિતિક આકારોજ્યારે સમાંતર પ્રોજેક્ટિંગ સામાન્ય કેસસાચવેલ નથી (રેખીય અને કોણીય મૂલ્યોનું વિકૃતિ થાય છે).

સુરક્ષા પ્રશ્નો

1 શું ભૌમિતિક તત્વોપ્રક્ષેપણ ઉપકરણ શામેલ છે?

2 તમે કઈ પ્રક્ષેપણ પદ્ધતિઓ જાણો છો?

3 કેવા પ્રકારની પ્રક્ષેપણ સપાટીઓ પ્રક્ષેપણ કિરણો ઉત્પન્ન કરી શકે છે?

4 અંદાજોના મુખ્ય ગુણધર્મોની યાદી બનાવો.

5 એવા કોણનું પ્રક્ષેપણ શું છે જેનું પ્લેન કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણ સાથેના અંદાજોના સમતલની સમાંતર હોય?

6 પ્રક્ષેપણ સ્થાન પર કબજો કરતી સપાટીઓની સીધી રેખાઓ અને પ્લેન્સના અંદાજો કઈ ભૌમિતિક છબીઓમાં અધોગતિ કરે છે?

7 જમણો કોણ પ્રક્ષેપણ પ્રમેય કેવી રીતે વાંચવામાં આવે છે?

8 તમે "ઉલટાવી શકાય તેવું ચિત્ર" શબ્દને કેવી રીતે સમજો છો? ડ્રોઇંગની રિવર્સિબિલિટી કેવી રીતે પ્રાપ્ત થાય છે?
લેક્ચર નંબર 2

સમાંતર પ્રક્ષેપણને કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણનો વિશેષ કેસ ગણી શકાય.

જો અંદાજોનું કેન્દ્ર ખાતે કેન્દ્રીય કાર્યાલયઅંદાજો અનંતમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે, પછી પ્રક્ષેપણ કિરણોને સમાંતર ગણી શકાય. આથી, સમાંતર પ્રક્ષેપણ ઉપકરણમાં પ્રક્ષેપણ સમતલ P અને દિશા Pનો સમાવેશ થાય છે. કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણ સાથે, પ્રક્ષેપણ કિરણો એક બિંદુમાંથી બહાર આવે છે, અને સમાંતર પ્રક્ષેપણ સાથે, તેઓ એકબીજાના સમાંતર હોય છે.

પ્રક્ષેપણ કિરણોની દિશાના આધારે, સમાંતર પ્રક્ષેપણ ત્રાંસી હોઈ શકે છે, જ્યારે પ્રક્ષેપણ કિરણો પ્રક્ષેપણ સમતલ તરફ વળેલા હોય છે અને લંબચોરસ (ઓર્થોગોનલ) હોય છે, જ્યારે પ્રક્ષેપણ કિરણો પ્રક્ષેપણ સમતલ પર લંબરૂપ હોય છે.

ચાલો ત્રાંસી સમાંતર પ્રક્ષેપણનું ઉદાહરણ જોઈએ.

ચાલો આપેલ પ્રક્ષેપણ દિશા P1 નહીં P1 માટે, પ્લેન P1 પર સેગમેન્ટ AB ના સમાંતર પ્રક્ષેપણ A1B1 બનાવીએ. આ કરવા માટે, પ્રક્ષેપણ P ની દિશાની સમાંતર, બિંદુઓ A અને B દ્વારા પ્રોજેક્ટિંગ રેખાઓ દોરવી જરૂરી છે. જ્યારે પ્રોજેક્ટિંગ રેખાઓ પ્લેન P1 સાથે છેદે છે, ત્યારે પરિણામ આવશે સમાંતર અંદાજોપોઈન્ટ A અને B ના A1 અને B1. સમાંતર અંદાજો A1 અને B1 ને જોડીને આપણે સેગમેન્ટ AB નું સમાંતર પ્રક્ષેપણ A1B1 મેળવીએ છીએ.

એ જ રીતે, આપેલ પ્રક્ષેપણ દિશા P1 ને લંબરૂપ ન હોય તે માટે, પ્લેન P1 પર ચતુર્ભુજ ABCD ના સમાંતર પ્રક્ષેપણ A1B1C1D1 બાંધવું શક્ય છે.

આ કરવા માટે, પ્રક્ષેપણ દિશા P ની સમાંતર બિંદુઓ A, B, C, D દ્વારા પ્રોજેક્ટિંગ રેખાઓ દોરવી જરૂરી છે. જ્યારે પ્રક્ષેપણ રેખાઓ પ્લેન P1 સાથે છેદે છે, ત્યારે બિંદુ A ના સમાંતર અંદાજો A1, B1, C1, D1, B, C, D મેળવવામાં આવશે A1, B1, C1, D1 ને સમાંતર પ્રક્ષેપણ A1B1C1D1 ચતુષ્કોણ ABCD.

સમાંતર પ્રક્ષેપણ દરમિયાન અંદાજોના ગુણધર્મો:

કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણના પ્રથમ છ ગુણધર્મો સમાંતર પ્રક્ષેપણને પણ લાગુ પડે છે. ચાલો સમાંતર પ્રક્ષેપણમાં સહજ કેટલાક વધુ ગુણધર્મોને સૂચિબદ્ધ કરીએ:

1. સમાંતર રેખાઓના અંદાજો સમાંતર છે.

આકૃતિ પરથી તે સીધું જોઈ શકાય છે AA 1, BB 1, SS 1અને ડીડી 1બે સમાંતર વિમાનો બનાવો aઅને b. આ બે વિમાનો એકબીજાને છેદે છે પૃષ્ઠ 1. તેથી, તેમના આંતરછેદની રેખાઓ A 1 B 1અને C 1 D 1સમાંતર હશે.

2. જો કોઈ બિંદુ કોઈ સેગમેન્ટની લંબાઈને સંબંધમાં વિભાજિત કરે છે m:n, પછી આ બિંદુનું પ્રક્ષેપણ સેગમેન્ટના પ્રક્ષેપણની લંબાઈને સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.

બિંદુ દો સાથેસેગમેન્ટથી સંબંધિત છે એબી, અને |AC| : |SV| = 2:1. ચાલો એક સમાંતર પ્રક્ષેપણ બનાવીએ A 1 B 1સેગમેન્ટ એબી. ડોટ સી 1 A 1 B 1. ચાલો હાથ ધરીએ એસી' || A 1 C 1અને CB' || C 1 B 1, અમને બે મળે છે ત્રિકોણ જેવું જ ACC'અને CBB'. તેમની સમાનતામાંથી બાજુઓના પ્રમાણને અનુસરે છે: |AC| : |SV| = |AC'| : |CB'|, પરંતુ |CB'| = |C1B1|, એ |AC'| = |A 1 C 1 |, અહીંથી |AC| : |SV| = |A 1 C 1 | : |C 1 B 1 |.

3. સપાટ આકૃતિ, પ્લેનની સમાંતરઅંદાજો, વિકૃતિ વગર અંદાજવામાં આવે છે.

ચાલો એક ત્રિકોણ લઈએ ABCઅને તેને બે સમાંતર પ્રોજેક્શન પ્લેન પર પ્રોજેક્ટ કરો પૃષ્ઠ 1 ‘અને પૃષ્ઠ 1. કારણ કે વિભાગોની લંબાઈ સમાન છે |A 1 A 1 ‘ | = |B 1 B 1 ‘ | = |С 1 С 1 ‘ |અને વિભાગો સમાંતર છે, પછી ચતુષ્કોણ A 1 A 1 ' B 1 B 1 ', B 1 B 1 ' C 1 C 1 ', C 1 C 1 ' A 1 A 1 'સમાંતરગ્રામ છે. આથી, વિરુદ્ધ બાજુઓતેઓ લંબાઈમાં સમાન છે |A 1 B 1 | = |A 1 ‘B 1’ |, |B 1 C 1 | = |B 1 ‘C 1’ |, |A 1 C 1 | = |A 1 ‘C 1 ‘ |, જેનો અર્થ છે ત્રિકોણ સમાન છે.

તેવી જ રીતે, તે જ અન્ય કોઈપણ ફ્લેટ આકૃતિ માટે સાબિત થઈ શકે છે. સમાંતર પ્રક્ષેપણ, કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણથી વિપરીત, ઓછું દ્રશ્ય છે, પરંતુ બાંધકામમાં સરળતા અને મૂળ સાથે વધુ જોડાણ પ્રદાન કરે છે.

સમાંતર પ્રક્ષેપણ(ફિગ. 1.6) કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણના વિશિષ્ટ કેસ તરીકે ગણી શકાય, જેમાં પ્રક્ષેપણનું કેન્દ્ર અનંત સુધી દૂર કરવામાં આવે છે ( એસ∞). સમાંતર પ્રક્ષેપણમાં, સમાંતર પ્રક્ષેપણ રેખાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે પ્રોજેક્શન પ્લેનની તુલનામાં આપેલ દિશામાં દોરવામાં આવે છે.

tions જો પ્રક્ષેપણ દિશા પ્રક્ષેપણ સમતલને લંબરૂપ હોય, તો અનુમાનોને લંબચોરસ અથવા ઓર્થોગોનલ કહેવામાં આવે છે. અન્ય કિસ્સાઓમાં - ત્રાંસી (ફિગ. 1.6 માં પ્રક્ષેપણની દિશા પ્રક્ષેપણ પ્લેનના ખૂણા પર તીર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે).

સમાંતર પ્રક્ષેપણ સાથે, કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણના તમામ ગુણધર્મો સચવાય છે, અને નીચેના નવા ગુણધર્મો પણ ઉદ્ભવે છે.

1. પરસ્પર સમાંતર રેખાઓના સમાંતર અંદાજો સમાંતર હોય છે, અને આવી રેખાઓના વિભાગોની લંબાઈનો ગુણોત્તર તેમના અંદાજોની લંબાઈના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.

જો સીધા MNઅને કેએલ(ફિગ. 1.7) સમાંતર છે, પછી પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેન્સ સમાંતર છે, કારણ કે આ પ્લેનમાં છેદતી રેખાઓ પરસ્પર સમાંતર છે: - શરત દ્વારા,

પરિણામે, અંદાજો અને સમાંતર પ્લેન p અને y પ્લેન l સાથે છેદનની રેખાઓ તરીકે સમાંતર છે.

ચાલો સીધી રેખા પર ચિહ્નિત કરીએ MNમનસ્વી સેગમેન્ટ એ બીઅને સીધી રેખા પર કેએલમનસ્વી સેગમેન્ટ સીડી.ચાલો પ્લેન p માં બિંદુ દ્વારા દોરીએ એસીધી રેખા અને બિંદુ C સીધી રેખા C થી y પ્લેનમાં – . વિભાગો સમાંતર વચ્ચેના સમાંતરના ભાગો જેવા છે. સેગમેન્ટ્સ અને તેથી. સેગમેન્ટ્સ, કારણ કે તેમની બધી બાજુઓ પરસ્પર સમાંતર છે. ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે નીચે મુજબ છે:

જેની ચર્ચા કરવામાં આવી છે તેમાંથી તે નીચે મુજબ છે:

a) જો સીધા સેગમેન્ટની લંબાઈને કોઈપણ ગુણોત્તરમાં એક બિંદુ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે, તો સેગમેન્ટના પ્રક્ષેપણની લંબાઈને સમાન ગુણોત્તરમાં આ બિંદુના પ્રક્ષેપણ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે (ફિગ. 1.8):

b) પરસ્પર સમાંતર સીધી રેખાઓના સમાન લંબાઈના વિભાગોના અંદાજો પરસ્પર સમાંતર અને લંબાઈમાં સમાન છે.

આ સ્પષ્ટ છે, કારણ કે (જુઓ. ફિગ. 1.7) પર હશે. તેથી, ત્રાંસી પ્રક્ષેપણ સાથે, સામાન્ય કિસ્સામાં, એક સમાંતરચતુષ્કોણ, સમચતુર્ભુજ, લંબચોરસ, ચોરસને સમાંતરગ્રામમાં પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે.

• 2. અંદાજોના સમતલની સમાંતર એક સપાટ આકૃતિ આ સમતલ પર સમાન આકૃતિમાં સમાંતર પ્રક્ષેપણ દ્વારા પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે.
• 3. સમાંતર ટ્રાન્સફરઅવકાશમાં એક આકૃતિ અથવા પ્રક્ષેપણ પ્લેન આકૃતિના પ્રક્ષેપણના દેખાવ અને કદમાં ફેરફાર કરતું નથી.

સમાંતર પ્રક્ષેપણો, જેમ કે એક પ્રક્ષેપણ કેન્દ્ર સાથેના કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણ, પણ ડ્રોઇંગને ઉલટાવી શકતા નથી.

બિંદુ અને રેખાના સમાંતર પ્રક્ષેપણની તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને, તમે સપાટી અને શરીરના સમાંતર અંદાજો બનાવી શકો છો.

સમાંતર અંદાજોનો ઉપયોગ વિવિધ તકનીકી ઉપકરણો અને તેમના ભાગોની દ્રશ્ય છબીઓ બનાવવા માટે થાય છે.

લંબચોરસ (ઓર્થોગોનલ) પ્રક્ષેપણ

સમાંતર પ્રક્ષેપણનો એક ખાસ કિસ્સો, જેમાં પ્રક્ષેપણની દિશા પ્રક્ષેપણ સમતલને લંબરૂપ હોય છે, તેને કહેવામાં આવે છે. લંબચોરસઅથવા ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ. બિંદુનું લંબચોરસ (ઓર્થોગોનલ) પ્રક્ષેપણ એ બિંદુથી પ્રક્ષેપણ સમતલ તરફ દોરેલા કાટખૂણેનો આધાર છે. લંબચોરસ પ્રક્ષેપણ ડી 0 પોઈન્ટ ડીફિગમાં બતાવેલ છે. 1.9.

સમાંતર (ત્રાંસી) અંદાજોના ગુણધર્મો સાથે ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ છે આગામી મિલકત : બે પરસ્પર લંબ રેખાઓના ઓર્થોગોનલ અંદાજો, જેમાંથી એક પ્રક્ષેપણ સમતલની સમાંતર છે અને બીજી તેની લંબ નથી, તે પરસ્પર લંબ છે.

ફિગ માં. 1.10 ચાલો તે સાબિત કરીએ

પ્રક્ષેપણ રેખા પ્રક્ષેપણ, પ્રક્ષેપણ અને રેખાના સમતલ પર લંબ છે વી.એ.પ્લેન ) રેખા પર લંબ છે VA,કારણ કે તે આ વિમાનની બે છેદતી સીધી રેખાઓ માટે લંબરૂપ છે (શરત દ્વારા, પરંતુ બાંધકામ દ્વારા). પ્રક્ષેપણ પ્લેન પર લંબ છે, ત્યારથી. તેથી, પ્લેન પર પ્લેનનું પ્રક્ષેપણ એક સીધી રેખા છે કેએલપ્રક્ષેપણ માટે કાટખૂણે, અને રેખામાંથી કેએલપ્રક્ષેપણ એકરુપ છે °C માં 0, એટલે કે શું સાબિત કરવાની જરૂર છે.