આ લેખમાં આપણે બતાવીશું કે કેવી રીતે આપવું ત્રિકોણમિતિમાં કોણ અને સંખ્યાના સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટિંજન્ટની વ્યાખ્યાઓ. અહીં આપણે નોટેશન વિશે વાત કરીશું, એન્ટ્રીઓના ઉદાહરણો આપીશું અને ગ્રાફિક ચિત્રો આપીશું. નિષ્કર્ષમાં, ચાલો ત્રિકોણમિતિ અને ભૂમિતિમાં સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓ વચ્ચે સમાંતર દોરીએ.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યા

ચાલો જોઈએ કે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટનો વિચાર કેવી રીતે રચાય છે શાળા અભ્યાસક્રમગણિત ભૂમિતિના પાઠોમાં, સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યા આપવામાં આવે છે. તીવ્ર કોણકાટકોણ ત્રિકોણમાં. અને બાદમાં ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, જે પરિભ્રમણ અને સંખ્યાના કોણના સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ વિશે વાત કરે છે. ચાલો આ બધી વ્યાખ્યાઓ રજૂ કરીએ, ઉદાહરણો આપીએ અને જરૂરી ટિપ્પણીઓ આપીએ.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણ

ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાંથી આપણે કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણની સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યા જાણીએ છીએ. તેઓ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓના ગુણોત્તર તરીકે આપવામાં આવે છે. ચાલો તેમના ફોર્મ્યુલેશન આપીએ.

વ્યાખ્યા.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણની સાઈનકર્ણની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે.

વ્યાખ્યા.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણનો કોસાઇનએક વલણ છે અડીને પગકર્ણ માટે.

વ્યાખ્યા.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણની સ્પર્શક- આ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે.

વ્યાખ્યા.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણનો કોટિંજન્ટ- આ બાજુની બાજુ અને વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે.

સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ માટેના હોદ્દાઓ પણ ત્યાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે - અનુક્રમે sin, cos, tg અને ctg.

ઉદાહરણ તરીકે, જો ABC એ કાટકોણ C સાથેનો કાટકોણ ત્રિકોણ છે, તો તીવ્ર કોણ A ની સાઈન ગુણોત્તર સમાનકર્ણ AB ની વિરુદ્ધ બાજુ BC, એટલે કે, sin∠A=BC/AB.

આ વ્યાખ્યાઓ તમને કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓની જાણીતી લંબાઇમાંથી તેમજ એક્યુટ કોણના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. જાણીતા મૂલ્યોસાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ અને એક બાજુની લંબાઈનો ઉપયોગ કરીને બીજી બાજુઓની લંબાઈ શોધો. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે જાણતા હોઈએ કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં લેગ AC 3 ની બરાબર છે અને કર્ણો AB 7 ની બરાબર છે, તો આપણે વ્યાખ્યા દ્વારા તીવ્ર કોણ A ના કોસાઇનની કિંમતની ગણતરી કરી શકીએ: cos∠A=AC/ AB=3/7.

પરિભ્રમણ કોણ

ત્રિકોણમિતિમાં, તેઓ કોણને વધુ વ્યાપક રીતે જોવાનું શરૂ કરે છે - તેઓ પરિભ્રમણના કોણની વિભાવના રજૂ કરે છે. પરિભ્રમણ કોણની તીવ્રતા, તીવ્ર કોણથી વિપરીત, 0 થી 90 ડિગ્રી સુધી મર્યાદિત નથી;

આ પ્રકાશમાં, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓ તીવ્ર કોણની નહીં, પરંતુ મનસ્વી કદના કોણ - પરિભ્રમણનો કોણ છે. તેઓ બિંદુ A 1 ના x અને y કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં કહેવાતા પ્રારંભિક બિંદુ A(1, 0) તેના પરિભ્રમણ પછી O બિંદુની આસપાસ α કોણ દ્વારા જાય છે - લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની શરૂઆત અને એકમ વર્તુળનું કેન્દ્ર.

વ્યાખ્યા.

પરિભ્રમણ કોણની સાઈનα એ બિંદુ A 1 નો ઓર્ડિનેટ છે, એટલે કે, sinα=y.

વ્યાખ્યા.

પરિભ્રમણ કોણનો કોસાઇનα એ બિંદુ A 1 નો એબ્સીસા કહેવાય છે, એટલે કે, cosα=x.

વ્યાખ્યા.

પરિભ્રમણ કોણની સ્પર્શકα એ પોઈન્ટ A 1 ના ઓર્ડિનેટ અને તેના એબ્સીસાનો ગુણોત્તર છે, એટલે કે, tanα=y/x.

વ્યાખ્યા.

પરિભ્રમણ કોણનો કોટેન્જેન્ટα એ પોઈન્ટ A 1 ના એબ્સીસા અને તેના ઓર્ડિનેટનો ગુણોત્તર છે, એટલે કે, ctgα=x/y.

સાઈન અને કોસાઈન કોઈપણ કોણ α માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, કારણ કે આપણે હંમેશા બિંદુના એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટને નિર્ધારિત કરી શકીએ છીએ, જે પ્રારંભિક બિંદુને કોણ α દ્વારા ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે. પરંતુ સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ કોઈપણ ખૂણા માટે વ્યાખ્યાયિત નથી. સ્પર્શક એ કોણ α માટે વ્યાખ્યાયિત નથી કે જેના પર પ્રારંભિક બિંદુ શૂન્ય એબ્સીસા (0, 1) અથવા (0, −1) સાથે બિંદુ પર જાય છે, અને આ 90°+180° k, k∈Z (π) ખૂણા પર થાય છે /2+π·k રેડ). ખરેખર, પરિભ્રમણના આવા ખૂણા પર, tgα=y/x અભિવ્યક્તિનો કોઈ અર્થ નથી, કારણ કે તે શૂન્ય વડે ભાગાકાર ધરાવે છે. કોટેન્જેન્ટ માટે, તે કોણ α માટે વ્યાખ્યાયિત નથી કે જેના પર શૂન્ય ઓર્ડિનેટ (1, 0) અથવા (−1, 0) સાથે પ્રારંભિક બિંદુ જાય છે, અને આ કોણ 180° k, k ∈Z માટે થાય છે. (π·k rad).

તેથી, સાઈન અને કોસાઈન કોઈપણ પરિભ્રમણ ખૂણા માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, સ્પર્શક 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) સિવાયના તમામ ખૂણાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને 180° ·k સિવાયના તમામ ખૂણાઓ માટે કોટેન્જેન્ટ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. , k∈Z (π·k rad).

વ્યાખ્યાઓમાં sin, cos, tg અને ctg અમને પહેલાથી જ જાણીતા હોદ્દાઓનો સમાવેશ થાય છે, તેનો ઉપયોગ પરિભ્રમણના ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટને નિયુક્ત કરવા માટે પણ થાય છે (કેટલીકવાર તમે ટેન અને કોટૅન્જેન્ટને સ્પર્શક અને કોટૅન્જેન્ટને અનુરૂપ હોદ્દો શોધી શકો છો) . તેથી 30 ડિગ્રીના પરિભ્રમણ ખૂણાની સાઈનને sin30° તરીકે લખી શકાય છે, એન્ટ્રીઓ tg(−24°17′) અને ctgα પરિભ્રમણ કોણ −24 ડિગ્રી 17 મિનિટની સ્પર્શક અને પરિભ્રમણ કોણ α ની સ્પર્શકને અનુરૂપ છે. . યાદ કરો કે જ્યારે કોણનું રેડિયન માપ લખવામાં આવે છે, ત્યારે હોદ્દો "રેડ" ઘણીવાર અવગણવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ પી રેડના પરિભ્રમણ કોણના કોસાઇનને સામાન્ય રીતે cos3·π તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.

આ મુદ્દાના નિષ્કર્ષમાં, એ નોંધવું યોગ્ય છે કે જ્યારે પરિભ્રમણના ખૂણાના સાઈન, કોસાઇન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ વિશે વાત કરવામાં આવે છે, ત્યારે શબ્દસમૂહ "પરિભ્રમણનો કોણ" અથવા "પરિભ્રમણ" શબ્દ ઘણીવાર અવગણવામાં આવે છે. એટલે કે, "રોટેશન એન્ગલ આલ્ફાની સાઈન" વાક્યને બદલે "આલ્ફા એન્ગલની સાઈન" અથવા તેનાથી પણ ટૂંકા, "સાઈન આલ્ફા" વાક્યનો સામાન્ય રીતે ઉપયોગ થાય છે. આ જ કોસાઇન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટને લાગુ પડે છે.

અમે એમ પણ કહીશું કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણની સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓ 0 થી 90 ડિગ્રી સુધીના પરિભ્રમણના કોણની સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ માટે આપવામાં આવેલી વ્યાખ્યાઓ સાથે સુસંગત છે. અમે આને યોગ્ય ઠેરવીશું.

સંખ્યાઓ

વ્યાખ્યા.

સંખ્યાની સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ t એ સંખ્યા છે સાઈન સમાન, અનુક્રમે ટી રેડિયનમાં પરિભ્રમણ કોણના કોસાઇન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ.

ઉદાહરણ તરીકે, વ્યાખ્યા દ્વારા સંખ્યા 8 π ની કોસાઇન એ સંખ્યા છે કોસાઇન સમાન 8·π રેડનો કોણ. અને કોણનો કોસાઇન 8 π rad છે એક સમાન, તેથી, સંખ્યા 8·π નો કોસાઇન 1 બરાબર છે.

સંખ્યાની સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ નક્કી કરવા માટેનો બીજો અભિગમ છે. તે હકીકતમાં સમાવે છે કે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યાટી બિંદુ સાથે મેળ ખાય છે એકમ વર્તુળલંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના મૂળ પર કેન્દ્રિત છે, અને સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ચાલો આને વધુ વિગતમાં જોઈએ.

ચાલો બતાવીએ કે વર્તુળ પરની વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને બિંદુઓ વચ્ચે પત્રવ્યવહાર કેવી રીતે સ્થાપિત થાય છે:

• નંબર 0 એ પ્રારંભિક બિંદુ A(1, 0) સોંપેલ છે;
• સકારાત્મક સંખ્યા t એ એકમ વર્તુળ પરના બિંદુ સાથે સંકળાયેલ છે, જે જો આપણે વર્તુળની સાથે શરૂઆતના બિંદુથી ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ વધીએ તો આપણે મેળવીશું અને ચાલો માર્ગ પર ચાલીએલંબાઈ t;
• નકારાત્મક સંખ્યા t એ એકમ વર્તુળના બિંદુ સાથે સંકળાયેલું છે, જે આપણે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં શરૂઆતના બિંદુથી વર્તુળ સાથે આગળ વધીએ અને લંબાઈના માર્ગે ચાલીએ તો પ્રાપ્ત થશે |t| .

હવે આપણે t સંખ્યાની સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓ તરફ આગળ વધીએ છીએ. ચાલો ધારીએ કે સંખ્યા t વર્તુળ A 1 (x, y) પરના બિંદુને અનુરૂપ છે (ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા &pi/2; બિંદુ A 1 (0, 1) ને અનુલક્ષે છે).

વ્યાખ્યા.

નંબરની સાઈન t એ સંખ્યા t ને અનુરૂપ એકમ વર્તુળ પરના બિંદુનું ઓર્ડિનેટ છે, એટલે કે, sint=y.

વ્યાખ્યા.

સંખ્યાની કોસાઇન t એ સંખ્યા t, એટલે કે કિંમત=xને અનુરૂપ એકમ વર્તુળના બિંદુના એબ્સીસા કહેવાય છે.

વ્યાખ્યા.

સંખ્યાની સ્પર્શક t એ સંખ્યા t, એટલે કે tgt=y/xને અનુરૂપ એકમ વર્તુળ પરના બિંદુના એબ્સીસા સાથેના ઓર્ડિનેટનો ગુણોત્તર છે. અન્ય સમકક્ષ ફોર્મ્યુલેશનમાં, સંખ્યા t ની સ્પર્શક એ આ સંખ્યાની સાઈન અને કોસાઈનનો ગુણોત્તર છે, એટલે કે tgt=sint/cost.

વ્યાખ્યા.

સંખ્યાનો કોટેન્જન્ટ t એ સંખ્યા t, એટલે કે, ctgt=x/y ને અનુરૂપ એકમ વર્તુળ પરના બિંદુના ઓર્ડિનેટ સાથે એબ્સીસાનો ગુણોત્તર છે. અન્ય ફોર્મ્યુલેશન આ છે: સંખ્યા t ની સ્પર્શક એ સંખ્યા t ના કોસાઇન અને સંખ્યા t ના સાઇનનો ગુણોત્તર છે: ctgt=cost/sint.

અહીં આપણે નોંધીએ છીએ કે હમણાં જ આપેલી વ્યાખ્યાઓ આ ફકરાની શરૂઆતમાં આપેલી વ્યાખ્યા સાથે સુસંગત છે. ખરેખર, સંખ્યા tને અનુરૂપ એકમ વર્તુળ પરનો બિંદુ t રેડિયનના ખૂણા દ્વારા પ્રારંભિક બિંદુને ફેરવવાથી મેળવેલા બિંદુ સાથે એકરુપ છે.

તે હજી પણ આ મુદ્દાને સ્પષ્ટ કરવા યોગ્ય છે. ચાલો કહીએ કે અમારી પાસે એન્ટ્રી sin3 છે. આપણે કેવી રીતે સમજી શકીએ કે આપણે નંબર 3 ની સાઈન વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ કે 3 રેડિયનના પરિભ્રમણ કોણની સાઈન વિશે? આ સામાન્ય રીતે સંદર્ભથી સ્પષ્ટ છે, અન્યથા તે મૂળભૂત મહત્વની શક્યતા નથી.

કોણીય અને આંકડાકીય દલીલના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો

અગાઉના ફકરામાં આપેલી વ્યાખ્યાઓ અનુસાર, દરેક પરિભ્રમણ કોણ α ખૂબ ચોક્કસ મૂલ્ય sinα, તેમજ cosα મૂલ્યને અનુરૂપ છે. વધુમાં, 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) સિવાયના તમામ પરિભ્રમણ ખૂણા tgα મૂલ્યોને અનુરૂપ છે, અને 180°k, k∈Z (πk rad) - મૂલ્યો કરતાં અન્ય મૂલ્યો ctgα નું. તેથી sinα, cosα, tanα અને ctgα એ કોણ α ના કાર્યો છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ કોણીય દલીલના કાર્યો છે.

એ જ રીતે, આપણે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ ફંક્શન વિશે વાત કરી શકીએ છીએ સંખ્યાત્મક દલીલ. ખરેખર, દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા t ખૂબ ચોક્કસ મૂલ્ય સિન્ટ, તેમજ કિંમતને અનુલક્ષે છે. વધુમાં, π/2+π·k, k∈Z સિવાયની તમામ સંખ્યાઓ tgt મૂલ્યોને અનુરૂપ છે, અને સંખ્યાઓ π·k, k∈Z - મૂલ્યો ctgt.

વિધેયો સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ કહેવાય છે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો.

તે સામાન્ય રીતે સંદર્ભમાંથી સ્પષ્ટ થાય છે કે શું આપણે કોણીય દલીલના ત્રિકોણમિતિ વિધેયો સાથે અથવા સંખ્યાત્મક દલીલ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. નહિંતર, આપણે કોણના માપ તરીકે સ્વતંત્ર ચલને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ ( કોણ દલીલ), અને સંખ્યાત્મક દલીલ.

જો કે, શાળામાં તેઓ મુખ્યત્વે અભ્યાસ કરે છે સંખ્યાત્મક કાર્યો, એટલે કે, ફંક્શન જેની દલીલો, તેમના અનુરૂપ કાર્ય મૂલ્યોની જેમ, સંખ્યાઓ છે. તેથી, જો અમે વાત કરી રહ્યા છીએખાસ કરીને ફંક્શન્સ વિશે, ત્રિકોણમિતિ વિધેયોને સંખ્યાત્મક દલીલોના કાર્યો તરીકે ધ્યાનમાં લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

ભૂમિતિ અને ત્રિકોણમિતિમાંથી વ્યાખ્યાઓ વચ્ચેનો સંબંધ

જો આપણે 0 થી 90 ડિગ્રી સુધીના પરિભ્રમણ કોણ α ને ધ્યાનમાં લઈએ, તો ત્રિકોણમિતિના સંદર્ભમાં પરિભ્રમણ કોણની સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓ સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓ સાથે સંપૂર્ણપણે સુસંગત છે. કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણ, જે ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમમાં આપવામાં આવે છે. ચાલો આને યોગ્ય ઠેરવીએ.

ચાલો તેને લંબચોરસમાં ચિત્રિત કરીએ કાર્ટેશિયન સિસ્ટમસંકલન ઓક્સી એકમ વર્તુળ. નોંધ પ્રારંભિક બિંદુ A(1, 0) . ચાલો તેને 0 થી 90 ડિગ્રી સુધીના કોણ α દ્વારા ફેરવીએ, આપણને બિંદુ A 1 (x, y) મળે છે. ચાલો બિંદુ A 1 થી Ox અક્ષ પર કાટખૂણે A 1 H છોડીએ.

તે જોવાનું સરળ છે કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કોણ A 1 OH એ પરિભ્રમણના ખૂણા α બરાબર છે, આ ખૂણાને અડીને આવેલા પગ OH ની લંબાઈ બિંદુ A 1 ના એબ્સીસા સમાન છે, એટલે કે |OH |=x, કોણની વિરુદ્ધ પગ A 1 H ની લંબાઈ બિંદુ A 1 ના ઓર્ડિનેટ બરાબર છે, એટલે કે |A 1 H|=y, અને કર્ણો OA 1 ની લંબાઈ એક સમાન છે, કારણ કે તે એકમ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. પછી, ભૂમિતિની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, કાટકોણ ત્રિકોણ A 1 OH માં તીવ્ર કોણ α ની સાઈન એ કર્ણના વિરોધી પગના ગુણોત્તર સમાન છે, એટલે કે, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. અને ત્રિકોણમિતિની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, પરિભ્રમણ કોણ α ની સાઈન એ બિંદુ A 1 ના ઓર્ડિનેટ બરાબર છે, એટલે કે, sinα=y. આ બતાવે છે કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણની સાઈન નક્કી કરવી એ પરિભ્રમણ કોણ α ની સાઈન નક્કી કરવા સમાન છે જ્યારે α 0 થી 90 ડિગ્રી હોય છે.

એ જ રીતે, તે બતાવી શકાય છે કે તીવ્ર કોણ α ની કોસાઇન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓ પરિભ્રમણ કોણ α ની કોસાઇન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓ સાથે સુસંગત છે.

સંદર્ભો.

1. ભૂમિતિ. 7-9 ગ્રેડ: પાઠ્યપુસ્તક સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ / [એલ. એસ. અતાનાસ્યાન, વી. એફ. બુતુઝોવ, એસ. બી. કડોમત્સેવ, વગેરે.]. - 20મી આવૃત્તિ. એમ.: શિક્ષણ, 2010. - 384 પૃષ્ઠ: બીમાર. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. પોગોરેલોવ એ.વી.ભૂમિતિ: પાઠ્યપુસ્તક. 7-9 ગ્રેડ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / એ. વી. પોગોરેલોવ. - 2જી આવૃત્તિ - એમ.: શિક્ષણ, 2001. - 224 પૃષ્ઠ: બીમાર. - ISBN 5-09-010803-X.
3. બીજગણિત અને પ્રાથમિક કાર્યો : ટ્યુટોરીયલ 9મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ માટે ઉચ્ચ શાળા/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; ડોક્ટર ઓફ ફિઝિકલ એન્ડ મેથેમેટિકલ સાયન્સ ઓ.એન. ગોલોવિન દ્વારા સંપાદિત - 4ઠ્ઠી આવૃત્તિ. એમ.: શિક્ષણ, 1969.
4. બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 9મા ધોરણ માટે. સરેરાશ શાળા/યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; એડ. એસ. એ. ટેલિયાકોવસ્કી - એમ.: એજ્યુકેશન, 1990. - 272 પીપી. - ISBN 5-09-002727-7
5. બીજગણિતઅને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પ્રોક. 10-11 ગ્રેડ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn અને અન્ય; એડ. એ. એન. કોલમોગોરોવ - 14મી આવૃત્તિ - એમ.: એજ્યુકેશન, 2004. - 384 પીપી.
6. મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત. 10મા ધોરણ. 2 p પર ભાગ 1: માટે ટ્યુટોરીયલ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ (પ્રોફાઇલ સ્તર)/ એ. જી. મોર્ડકોવિચ, પી. વી. સેમેનોવ. - 4 થી આવૃત્તિ., ઉમેરો. - એમ.: નેમોસીન, 2007. - 424 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. બીજગણિતઅને શરૂ કર્યું ગાણિતિક વિશ્લેષણ. 10 મા ધોરણ: પાઠયપુસ્તક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ: મૂળભૂત અને પ્રોફાઇલ. સ્તરો /[યુ. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; દ્વારા સંપાદિત એ.બી. ઝિઝચેન્કો. - 3જી આવૃત્તિ. - I.: એજ્યુકેશન, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. બશ્માકોવ એમ. આઇ.બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પાઠ્યપુસ્તક. 10-11 ગ્રેડ માટે. સરેરાશ શાળા - 3જી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 1993. - 351 પૃષ્ઠ: બીમાર. - ISBN 5-09-004617-4.
9. ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી.ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા): પ્રોક. ભથ્થું.- એમ.; ઉચ્ચ શાળા, 1984.-351 પૃ., બીમાર.

મધ્યવર્તી સ્તર

જમણો ત્રિકોણ. સંપૂર્ણ સચિત્ર માર્ગદર્શિકા (2019)

લંબચોરસ ત્રિકોણ. એન્ટ્રી લેવલ.

સમસ્યાઓમાં, જમણો ખૂણો બિલકુલ જરૂરી નથી - નીચે ડાબે, તેથી તમારે આ સ્વરૂપમાં જમણો ત્રિકોણ ઓળખવાનું શીખવાની જરૂર છે,

અને આમાં

અને આમાં

કાટકોણ ત્રિકોણ વિશે શું સારું છે? સારું... સૌ પ્રથમ, ત્યાં ખાસ છે સુંદર નામોતેની બાજુઓ માટે.

ડ્રોઇંગ પર ધ્યાન આપો!

યાદ રાખો અને ગૂંચવશો નહીં: ત્યાં બે પગ છે, અને માત્ર એક જ કર્ણો છે(એક અને માત્ર, અનન્ય અને સૌથી લાંબી)!

ઠીક છે, અમે નામોની ચર્ચા કરી છે, હવે સૌથી મહત્વની વસ્તુ: પાયથાગોરિયન પ્રમેય.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય.

આ પ્રમેય કાટખૂણ ત્રિકોણ સાથે સંકળાયેલી ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવાની ચાવી છે. પાયથાગોરસે તેને સંપૂર્ણ રીતે સાબિત કર્યું અનાદિકાળનો સમય, અને ત્યારથી તેણીએ જેઓ તેણીને ઓળખે છે તેમના માટે ઘણો લાભ લાવ્યો છે. અને તેના વિશે સૌથી સારી બાબત એ છે કે તે સરળ છે.

તેથી, પાયથાગોરિયન પ્રમેય:

શું તમને મજાક યાદ છે: "પાયથાગોરિયન પેન્ટ બધી બાજુઓ પર સમાન છે!"?

ચાલો આ જ દોરો પાયથાગોરિયન પેન્ટઅને ચાલો તેમને જોઈએ.

શું તે અમુક પ્રકારના શોર્ટ્સ જેવું નથી લાગતું? સારું, કઈ બાજુઓ પર અને ક્યાં સમાન છે? મજાક શા માટે અને ક્યાંથી આવી? અને આ મજાક પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાથે ચોક્કસ રીતે જોડાયેલ છે, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે પાયથાગોરસ પોતે જે રીતે તેના પ્રમેયને ઘડ્યો છે તેની સાથે. અને તેણે તેને આ રીતે ઘડ્યું:

"સમ ચોરસ વિસ્તારો, પગ પર બાંધવામાં, સમાન છે ચોરસ વિસ્તાર, કર્ણ પર બનેલ છે."

શું તે ખરેખર થોડું અલગ લાગે છે? અને તેથી, જ્યારે પાયથાગોરસે તેના પ્રમેયનું નિવેદન દોર્યું, ત્યારે આ બરાબર ચિત્ર બહાર આવ્યું.

આ ચિત્રમાં, નાના ચોરસના વિસ્તારોનો સરવાળો મોટા ચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે. અને જેથી બાળકો વધુ સારી રીતે યાદ રાખી શકે કે પગના ચોરસનો સરવાળો કર્ણના ચોરસ જેટલો છે, કોઈ વિનોદી પાયથાગોરિયન પેન્ટ વિશે આ મજાક સાથે આવ્યો.

હવે આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેય શા માટે ઘડી રહ્યા છીએ?

શું પાયથાગોરસ પીડાતા હતા અને ચોરસ વિશે વાત કરતા હતા?

તમે જુઓ, પ્રાચીન સમયમાં કોઈ... બીજગણિત નહોતું! ત્યાં કોઈ ચિહ્નો નહોતા વગેરે. ત્યાં કોઈ શિલાલેખ ન હતા. શું તમે કલ્પના કરી શકો છો કે ગરીબ પ્રાચીન વિદ્યાર્થીઓ માટે બધું શબ્દોમાં યાદ રાખવું કેટલું ભયંકર હતું?! અને આપણે ખુશ થઈ શકીએ કે આપણી પાસે છે સરળ શબ્દરચનાપાયથાગોરિયન પ્રમેય. ચાલો તેને વધુ સારી રીતે યાદ રાખવા માટે તેને ફરીથી પુનરાવર્તન કરીએ:

તે હવે સરળ હોવું જોઈએ:

સારું, અહીં તે છે મુખ્ય પ્રમેયકાટકોણ ત્રિકોણ વિશે ચર્ચા કરી. જો તમને તે કેવી રીતે સાબિત થાય છે તેમાં રસ હોય, તો સિદ્ધાંતના નીચેના સ્તરો વાંચો અને હવે ચાલો આગળ વધીએ... શ્યામ જંગલ... ત્રિકોણમિતિ! ભયંકર શબ્દો માટે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ.

હકીકતમાં, બધું એટલું ડરામણી નથી. અલબત્ત, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની "વાસ્તવિક" વ્યાખ્યા લેખમાં જોવી જોઈએ. પરંતુ હું ખરેખર નથી ઇચ્છતો, શું હું? અમે આનંદ કરી શકીએ છીએ: કાટકોણ ત્રિકોણ વિશેની સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે, તમે નીચેની સરળ વસ્તુઓને ખાલી ભરી શકો છો:

શા માટે બધું માત્ર ખૂણા વિશે છે? ખૂણો ક્યાં છે? આ સમજવા માટે, તમારે જાણવાની જરૂર છે કે વિધાન 1 - 4 શબ્દોમાં કેવી રીતે લખાય છે. જુઓ, સમજો અને યાદ રાખો!

1.
વાસ્તવમાં તે આના જેવું લાગે છે:

કોણ વિશે શું? શું ત્યાં કોઈ પગ છે જે ખૂણાની વિરુદ્ધ છે, એટલે કે, વિરુદ્ધ (કોણ માટે) પગ છે? અલબત્ત ત્યાં છે! આ એક પગ છે!

કોણ વિશે શું? ધ્યાનથી જુઓ. કયો પગ ખૂણાને અડીને છે? અલબત્ત, પગ. આનો અર્થ એ છે કે કોણ માટે પગ અડીને છે, અને

હવે, ધ્યાન આપો! અમને શું મળ્યું તે જુઓ:

જુઓ કે તે કેટલું સરસ છે:

હવે આપણે સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ તરફ આગળ વધીએ.

હવે હું આને શબ્દોમાં કેવી રીતે લખી શકું? કોણના સંબંધમાં પગ શું છે? વિરુદ્ધ, અલબત્ત - તે ખૂણાની વિરુદ્ધ "જૂઠું" છે. પગ વિશે શું? ખૂણાને અડીને. તો આપણી પાસે શું છે?

જુઓ કે અંશ અને છેદના સ્થાનો કેવી રીતે બદલાયા છે?

અને હવે ફરીથી ખૂણાઓ અને વિનિમય કર્યો:

ફરી શરૂ કરો

ચાલો આપણે જે શીખ્યા તે બધું ટૂંકમાં લખીએ.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય:

કાટકોણ ત્રિકોણ વિશેનું મુખ્ય પ્રમેય પાયથાગોરિયન પ્રમેય છે.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય

માર્ગ દ્વારા, શું તમને સારી રીતે યાદ છે કે પગ અને કર્ણ શું છે? જો ખૂબ સારું ન હોય, તો પછી ચિત્ર જુઓ - તમારા જ્ઞાનને તાજું કરો

તે તદ્દન શક્ય છે કે તમે પહેલાથી જ ઘણી વખત પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કર્યો છે, પરંતુ શું તમે ક્યારેય વિચાર્યું છે કે આવી પ્રમેય કેમ સાચી છે? હું તેને કેવી રીતે સાબિત કરી શકું? ચાલો પ્રાચીન ગ્રીકોની જેમ કરીએ. ચાલો બાજુ સાથે ચોરસ દોરીએ.

જુઓ કેટલી ચતુરાઈથી અમે તેની બાજુઓને લંબાઈમાં વિભાજિત કરી છે અને!

હવે ચાલો ચિહ્નિત બિંદુઓને જોડીએ

અહીં અમે, જો કે, કંઈક બીજું નોંધ્યું છે, પરંતુ તમે જાતે જ ડ્રોઇંગ જુઓ અને વિચારો કે આવું કેમ છે.

મોટા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે? સાચું, . નાના વિસ્તાર વિશે શું? ચોક્કસપણે, . ચાર ખૂણાઓનો કુલ વિસ્તાર રહે છે. કલ્પના કરો કે અમે તેમને એક સમયે બે લીધા અને તેમના કર્ણ સાથે તેમને એકબીજાની સામે ઝુકાવી દીધા. શું થયું? બે લંબચોરસ. આનો અર્થ એ છે કે "કટ" નું ક્ષેત્રફળ સમાન છે.

ચાલો હવે તે બધાને એકસાથે મૂકીએ.

ચાલો પરિવર્તન કરીએ:

તેથી અમે પાયથાગોરસની મુલાકાત લીધી - અમે તેના પ્રમેયને પ્રાચીન રીતે સાબિત કર્યું.

કાટકોણ ત્રિકોણ અને ત્રિકોણમિતિ

કાટકોણ ત્રિકોણ માટે, નીચેના સંબંધો ધરાવે છે:

એક્યુટ એંગલની સાઈન એ કર્ણની વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તર સમાન છે

એક્યુટ એંગલનો કોસાઇન એ કર્પોટેન્યુસની બાજુના પગના ગુણોત્તર સમાન છે.

તીવ્ર કોણની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તર સમાન છે.

એક્યુટ એન્ગલનો કોટેન્જેન્ટ એ અડીને બાજુની વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તર સમાન છે.

અને ફરી એકવાર આ બધું ટેબ્લેટના રૂપમાં:

તે ખૂબ અનુકૂળ છે!

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો

I. બે બાજુઓ પર

II. પગ અને કર્ણ દ્વારા

III. કર્ણ અને તીવ્ર કોણ દ્વારા

IV. પગ અને તીવ્ર કોણ સાથે

a)

b)

ધ્યાન આપો! અહીં તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે પગ "યોગ્ય" છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તે આના જેવું જાય:

પછી ત્રિકોણ સમાન નથી, એ હકીકત હોવા છતાં કે તેમની પાસે એક સમાન તીવ્ર કોણ છે.

તે જરૂરી છે બંને ત્રિકોણમાં પગ અડીને હતો, અથવા બંનેમાં તે વિરુદ્ધ હતો.

શું તમે નોંધ્યું છે કે કાટકોણ ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો ત્રિકોણની સમાનતાના સામાન્ય ચિહ્નોથી કેવી રીતે અલગ પડે છે? વિષય જુઓ "અને એ હકીકત પર ધ્યાન આપો કે "સામાન્ય" ત્રિકોણની સમાનતા માટે, તેમના ત્રણ ઘટકો સમાન હોવા જોઈએ: બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ, બે ખૂણા અને તેમની વચ્ચેની બાજુ અથવા ત્રણ બાજુઓ. પરંતુ કાટકોણ ત્રિકોણની સમાનતા માટે, ફક્ત બે અનુરૂપ તત્વો પૂરતા છે. મહાન, અધિકાર?

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો સાથે પરિસ્થિતિ લગભગ સમાન છે.

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો

I. તીવ્ર કોણ સાથે

II. બે બાજુઓ પર

III. પગ અને કર્ણ દ્વારા

કાટકોણ ત્રિકોણમાં મધ્યક

આવું કેમ છે?

કાટકોણ ત્રિકોણને બદલે, આખા લંબચોરસને ધ્યાનમાં લો.

ચાલો એક કર્ણ દોરીએ અને એક બિંદુને ધ્યાનમાં લઈએ - કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ. તમે લંબચોરસના કર્ણ વિશે શું જાણો છો?

અને આમાંથી શું થાય છે?

તેથી તે બહાર આવ્યું છે કે

1. - મધ્યક:

આ હકીકત યાદ રાખો! ઘણી મદદ કરે છે!

તેનાથી પણ વધુ આશ્ચર્યજનક બાબત એ છે કે વિપરીત પણ સાચું છે.

એ હકીકતમાંથી શું સારું મેળવી શકાય છે કે કર્ણો તરફ દોરવામાં આવેલ મધ્યક અડધી કર્ણોની બરાબર છે? ચાલો ચિત્ર જોઈએ

ધ્યાનથી જુઓ. આપણી પાસે છે: , એટલે કે, બિંદુથી ત્રિકોણના ત્રણેય શિરોબિંદુઓનું અંતર સમાન હોવાનું બહાર આવ્યું છે. પરંતુ ત્રિકોણમાં માત્ર એક બિંદુ છે, જેમાંથી ત્રિકોણના ત્રણેય શિરોબિંદુઓથી અંતર સમાન છે, અને આ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. તો શું થયું?

તો ચાલો આ સાથે શરૂઆત કરીએ “આ સિવાય...”.

ચાલો જોઈએ અને.

પણ સમાન ત્રિકોણબધા ખૂણા સમાન છે!

અને વિશે પણ એવું જ કહી શકાય

હવે ચાલો તેને એકસાથે દોરીએ:

આ "ત્રણ" સમાનતામાંથી શું લાભ મેળવી શકાય?

સારું, ઉદાહરણ તરીકે - કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ માટેના બે સૂત્રો.

ચાલો અનુરૂપ પક્ષોના સંબંધો લખીએ:

ઊંચાઈ શોધવા માટે, અમે પ્રમાણને હલ કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ પ્રથમ સૂત્ર "કાટકોણ ત્રિકોણમાં ઊંચાઈ":

તેથી, ચાલો સમાનતા લાગુ કરીએ: .

હવે શું થશે?

ફરીથી આપણે પ્રમાણ હલ કરીએ છીએ અને બીજું સૂત્ર મેળવીએ છીએ:

તમારે આ બંને ફોર્મ્યુલાને ખૂબ સારી રીતે યાદ રાખવાની જરૂર છે અને જે વધુ અનુકૂળ હોય તેનો ઉપયોગ કરો. ચાલો તેમને ફરીથી લખીએ

પાયથાગોરિયન પ્રમેય:

કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કર્ણનો વર્ગ પગના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય છે: .

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો:

• બે બાજુઓ પર:
• પગ અને કર્ણ દ્વારા: અથવા
• પગ અને નજીકના તીવ્ર કોણ સાથે: અથવા
• પગ સાથે અને વિરુદ્ધ તીવ્ર કોણ: અથવા
• કર્ણ અને તીવ્ર કોણ દ્વારા: અથવા.

જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો:

• એક તીવ્ર ખૂણો: અથવા
• બે પગના પ્રમાણથી:
• પગ અને કર્ણની પ્રમાણસરતામાંથી: અથવા.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ

• કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર કોણની સાઈન એ કર્ણાકારની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે:
• કાટકોણ ત્રિકોણના એક્યુટ એન્ગલનો કોસાઇન એ કર્ણની બાજુના પગનો ગુણોત્તર છે:
• કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર કોણની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે:
• કાટકોણ ત્રિકોણના એક્યુટ કોણનો કોટેન્જેન્ટ એ અડીને બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે: .

કાટકોણ ત્રિકોણની ઊંચાઈ: અથવા.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં, શિરોબિંદુમાંથી દોરવામાં આવેલ મધ્યક જમણો ખૂણો, અડધા કર્ણોની બરાબર છે: .

કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:

• પગ દ્વારા:

બેક ફોરવર્ડ

ધ્યાન આપો! સ્લાઇડ પૂર્વાવલોકનો ફક્ત માહિતીના હેતુ માટે છે અને તે પ્રસ્તુતિની તમામ સુવિધાઓને રજૂ કરી શકશે નહીં. જો તમને રસ હોય તો આ કામ, કૃપા કરીને સંપૂર્ણ સંસ્કરણ ડાઉનલોડ કરો.

પાઠ હેતુઓ:

• કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન અને સ્પર્શકની વિભાવનાઓ રજૂ કરો;
• બતાવો કે કેવી રીતે સાઈન, કોસાઈન અને ટેન્જેન્ટનો ઉપયોગ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે થાય છે;
• અવલોકન, સરખામણી, પૃથ્થકરણ અને તારણો કાઢવાની કુશળતાનો વિકાસ.

પાઠ પ્રગતિ

જ્ઞાન અપડેટ કરવું (પાઠની મુખ્ય સમસ્યાને ઓળખવી)

ફ્રન્ટલ સર્વેના સ્વરૂપમાં હાથ ધરવામાં આવે છે.

શિક્ષક.બોર્ડ પર તમે 6 સમસ્યાઓનો સારાંશ જુઓ છો< Рисунок 1>. યાદ રાખો કે આમાંથી કઈ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કેવી રીતે કરવું તે તમે પહેલાથી જ જાણો છો? આ સમસ્યાઓ ઉકેલો. અનુરૂપ પ્રમેય ઘડવો.

આકૃતિ 1

વિદ્યાર્થીઓ:

કાર્ય 1.જવાબ: 5. કાટકોણ ત્રિકોણમાં, 30° કોણની સામેનો પગ કર્ણોના અડધા બરાબર છે.

કાર્ય 2.જવાબ: 41°. ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે.

કાર્ય 3.જવાબ: 10. કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણનો વર્ગ પગના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય છે.

સમસ્યાઓ 4-6અમે નક્કી કરી શકતા નથી.

શિક્ષક.તમે શા માટે 4-6 સમસ્યાઓ હલ કરી શકતા નથી? શું પ્રશ્ન ઊભો થાય છે?

વિદ્યાર્થીઓ.આપણે જાણતા નથી કે tgB, sinA, cosB શું છે.

શિક્ષક. sinA, cosB, tanB વાંચવામાં આવે છે: "કોણ A ની સાઈન", "કોણ B નો કોસાઈન" અને "કોણ B નો સ્પર્શક". આજે આપણે આ દરેક અભિવ્યક્તિનો અર્થ શું છે તે શીખીશું અને 4-6 જેવી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કેવી રીતે કરવું તે શીખીશું.

નવી સામગ્રીનો પરિચય

હ્યુરિસ્ટિક વાતચીતના રૂપમાં હાથ ધરવામાં આવે છે.

શિક્ષક.પગ 3 અને 4, 6 અને 8 સાથે જમણો ત્રિકોણ દોરો. તેમને ABC અને A 1 B 1 C 1 લેબલ કરો જેથી B અને B 1 એ પગ 4 અને 8 ની વિરુદ્ધ ખૂણા હોય અને જમણો ખૂણો C, C 1 હોય. શું ખૂણા B અને B1 સમાન છે? શા માટે?

વિદ્યાર્થીઓ. સમાન કારણ કે ત્રિકોણ સમાન છે. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 (3: 4 = 6: 8) અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાઓ બરાબર છે.<Рисунок 2>

શિક્ષક. ABC અને A 1 B 1 C 1 ત્રિકોણની સમાનતામાંથી અન્ય કયા સંબંધોને અનુસરે છે તેની સમાનતા?

વિદ્યાર્થીઓ. BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1, AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1.

શિક્ષક. AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1 = sinB = sinB 1.

BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1 = cosB = cosB 1. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 = tgB = tgB 1. લેગ AC એ કોણ B ની વિરુદ્ધ છે, અને લેગ BC આ ખૂણાને અડીને છે. સાઈન, કોસાઈન અને ટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યા જણાવો.

વિદ્યાર્થીઓ. કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણાની સાઈન એ કર્ણાકારની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે.

કાટકોણ ત્રિકોણના એક્યુટ એંગલનો કોસાઇન એ કર્ણની બાજુના પગનો ગુણોત્તર છે.

કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણાની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે.

શિક્ષક. કોણ A ના સાઈન, કોસાઈન અને સ્પર્શક જાતે લખો (સ્લાઈડ 1). પરિણામી સૂત્રો (1), (2), (3):

(1)

તેથી, આપણે શીખ્યા કે કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન અને સ્પર્શક શું છે. સામાન્ય રીતે, સાઈન, કોસાઈન અને ટેન્જેન્ટની વિભાવનાઓ હોય છે લાંબો ઇતિહાસ. ત્રિકોણની બાજુઓ અને ખૂણાઓ વચ્ચેના સંબંધનો અભ્યાસ કરીને, પ્રાચીન વૈજ્ઞાનિકોએ ગણતરી કરવાની રીતો શોધી કાઢી. વિવિધ તત્વોત્રિકોણ આ જ્ઞાનનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે પ્રાયોગિક ખગોળશાસ્ત્રની સમસ્યાઓ ઉકેલવા, દુર્ગમ અંતર નક્કી કરવા માટે થતો હતો.

એકત્રીકરણ

શિક્ષક. ચાલો સમસ્યા નંબર 591 (a, b) હલ કરીએ.

કાર્ય સ્ક્રીન પર પ્રદર્શિત થાય છે (સ્લાઇડ 2). ટાસ્ક “a” સાથે બોર્ડ પર ઉકેલાય છે સંપૂર્ણ સમજૂતી; "b" - સ્વતંત્ર રીતે, પછી એકબીજાને તપાસીને.

કાટકોણ C સાથે ત્રિકોણ ABC ના ખૂણા A અને B ની સાઈન, કોસાઈન અને સ્પર્શક શોધો, જો: a) BC = 8, AB = 17; b) BC = 21, AC = 20.

ઉકેલ. a) = = , પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે AC = 15 શોધીએ છીએ,

શિક્ષક.હવે ચાલો સમસ્યાઓ 4-6 પર પાછા ફરીએ<Рисунок 1>. ચાલો ચર્ચા કરીએ કે સમસ્યાઓ 4-6 માં શું જાણીતું છે અને શું શોધવાની જરૂર છે?

કાર્ય 4.શું જાણીતું છે? તમારે શું શોધવાની જરૂર છે?

વિદ્યાર્થીઓ. BC = 7 અને tan B = 3.5 જાણીતા છે. આપણે એસી શોધવાની જરૂર છે.

શિક્ષક. ટીજી બી શું છે?

વિદ્યાર્થીઓ. .

શિક્ષક. અમે સૂત્ર સાથે કામ કરીએ છીએ. સૂત્રમાં ત્રણ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે. તેમને નામ આપો. કયા ઘટકો જાણીતા છે? કયો ઘટક અજ્ઞાત છે? શું તમે તેને શોધી શકશો? તે શોધો.

વિદ્યાર્થીઓ. AC = BC * tg B = 7 * 3.5 = 24.5

શિક્ષક. આ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને, 5 અને 6 ની સમસ્યાઓ હલ કરો<Рисунок 1>. 1 વિદ્યાર્થી બંધ બોર્ડ પર કામ કરે છે

શિક્ષક.

1. મને કહો, શું તમે જરૂરી અજાણ્યાઓને શોધવાનું મેનેજ કર્યું છે?

2. તમારી ક્રિયાઓનો ક્રમ શું હતો?

3. કદાચ અન્ય ઉકેલો છે?

વિદ્યાર્થીઓ.1. હા. સરળતાથી. ઉદાહરણને અનુસરીને. સમસ્યા 5. જવાબ: 10. સમસ્યા 6. જવાબ: 2.5

2. પ્રથમ, અમે અનુરૂપ ગુણોત્તર સાથે વ્યાખ્યા દ્વારા અનુરૂપ ખૂણાઓની સાઈન અને કોસાઈનને બદલીએ છીએ, પછી અમે જાણીતા ડેટાને પરિણામી પ્રમાણમાં મૂકીએ છીએ, જેના પછી આપણે અજાણ્યા અજાણ્યા શોધીએ છીએ.

શિક્ષક. જે સામાન્ય નિષ્કર્ષશું તે 4-6 સમસ્યાઓ હલ કર્યા પછી કરી શકાય છે? આપણે કાટકોણ ત્રિકોણમાં કઈ નવી સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખ્યા છીએ? વિચારો અને તમારા નિષ્કર્ષની રચના કરો.

વિદ્યાર્થીઓ. જો કાટકોણ ત્રિકોણમાં તમે એક બાજુ અને તે બાજુનો ગુણોત્તર બીજી બાજુઓમાંથી એક અથવા એક બાજુ અને બીજી બાજુઓમાંથી એકનો ગુણોત્તર જાણીતી બાજુ (ક્યાં તો સાઈન, કોસાઈન અથવા સ્પર્શક) જાણો છો, તો પછી તમે આ બીજી બાજુ શોધી શકો છો.

સમસ્યાનું નિરાકરણ.

હવે આ સમસ્યાઓ 7-9 હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો<Рисунок 3>.

આકૃતિ 3

વિદ્યાર્થીઓ. અમે તેમને કેવી રીતે ઉકેલવા તે જાણતા નથી.

શિક્ષક. ચાલો સમસ્યા 1 પર પાછા ફરીએ<Рисунок 1>. ચાલો સમસ્યાની સ્થિતિ બદલીએ. ચાલો NK = 5, NM = 10. કોણ M શોધો.

વિદ્યાર્થીઓ.કોણ M એ 30° ની બરાબર છે, કારણ કે કોણ M ની સામેનો પગ અડધા કર્ણોની બરાબર છે.

શિક્ષક. એટલે કે, તે તારણ આપે છે કે જો કોણની સાઈન 0.5 છે, તો કોણ 30° છે. હવે ચાલો સમસ્યાઓ નંબર 592 (a, c, d) હલ કરીએ.

નંબર 592. એક ખૂણો બનાવો a, જો: a) c) d).

ઉકેલ.

a) જમણા ખૂણાની બાજુઓ પર આપણે લંબાઈ 1 અને 2 ના ભાગો મૂકીશું અને વિભાગોના છેડાને જોડીશું. પરિણામી ત્રિકોણમાં, લેગ 1 ની સામેનો ખૂણો ઇચ્છિત કોણ છે a;

c) 0.2 = . તેના શિરોબિંદુથી જમણા ખૂણોની એક બાજુએ આપણે લંબાઈ 1 નો સેગમેન્ટ મુકીએ છીએ. લેડ ઓફ સેગમેન્ટના અંતે કેન્દ્ર સાથે ત્રિજ્યા 5 નું વર્તુળ બનાવો. જમણા ખૂણાની બીજી બાજુ સાથે વર્તુળના આંતરછેદનું બિંદુ કોણની પ્રથમ બાજુએ મૂકેલા સેગમેન્ટના અંત સાથે જોડાયેલ છે. પરિણામી ત્રિકોણમાં, લંબાઈ 1 ના પગને અડીને આવેલો ખૂણો એ કોણ છે a; (સ્લાઇડ 4)

e) તેના શિરોબિંદુથી જમણા ખૂણોની એક બાજુએ આપણે લંબાઈ 1 ના સેગમેન્ટને મુકીએ છીએ. છૂટા કરેલા સેગમેન્ટના અંતમાં કેન્દ્ર સાથે ત્રિજ્યા 2 નું વર્તુળ બનાવો. જમણા ખૂણાની બીજી બાજુ સાથે વર્તુળના આંતરછેદનું બિંદુ કોણની પ્રથમ બાજુએ મૂકેલા સેગમેન્ટના અંત સાથે જોડાયેલ છે. પરિણામી ત્રિકોણમાં, લંબાઈ 1 ના પગની વિરુદ્ધનો ખૂણો ઇચ્છિત કોણ છે a.(સ્લાઇડ 5)

તમે ખૂણાઓ બનાવ્યા છે, જેનો અર્થ છે કે તમને ખૂણાઓ મળી ગયા છે. તેઓ માપી શકાય છે અને કોષ્ટક સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે.

એ જ રીતે, તમે 7-9 સમસ્યાઓ હલ કરી શકો છો<Рисунок 3>

સારાંશ

શિક્ષક.પ્રશ્નોના જવાબ આપો:

1. કાટકોણ ત્રિકોણમાં કાટકોણની સાઈન, કોસાઈન અને સ્પર્શક શું છે?

2. કાટકોણ ત્રિકોણમાં 6 તત્વો છે. આજે તમે કઈ નવી સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખ્યા છો? તમારી ક્રિયાનો ક્રમ શું છે? આ ક્રિયાઓ યોગ્ય રીતે કરવા માટે તમારી ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરો (વ્યક્તિગત કાર્ડ્સનું વિતરણ કરવામાં આવે છે).

કાર્ડની અંદાજિત સામગ્રી: 1. B ત્રિકોણ ABCકોણ C એ સીધી રેખા છે, BC = 2, AB શોધો. 2. ત્રિકોણ ABC માં, કોણ C એ સીધી રેખા છે, AC = 8, . AB શોધો. 3. ABC ત્રિકોણમાં, કોણ C 90° છે, AC = 6, . સૂર્ય શોધો.

વિદ્યાર્થીઓ તેમના કાર્યની તુલના સંબંધિત કાર્ડ્સ પરના તૈયાર ઉકેલો સાથે કરે છે.

હોમવર્ક સોંપણીઓ:પૃષ્ઠ 159 પર પ્રશ્ન 15; નંબર 591(c,d),592(b,d,f) (સ્લાઇડ 6)

સાહિત્ય વપરાય છે

1. ભૂમિતિ. ગ્રેડ 7-9: પાઠયપુસ્તક. માટે શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ/ [ એલ.એસ. અતાનાસ્યાન, વી.એફ. બુતુઝોવ, એસ.બી. Kadomtsev અને અન્ય]. - 2જી આવૃત્તિ. – એમ.: શિક્ષણ, 2014.

ગણિતના ક્ષેત્રો પૈકી એક કે જેમાં વિદ્યાર્થીઓ સૌથી વધુ સંઘર્ષ કરે છે તે છે ત્રિકોણમિતિ. કોઈ આશ્ચર્ય નથી: જ્ઞાનના આ ક્ષેત્રમાં અસ્ખલિત રીતે નિપુણતા મેળવવા માટે, તમારી પાસે હોવું જરૂરી છે અવકાશી વિચારસરણી, સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સાઈન, કોસાઈન્સ, સ્પર્શક, કોટેન્જેન્ટ શોધવાની ક્ષમતા, સમીકરણોને સરળ બનાવવા, ગણતરીમાં pi નો ઉપયોગ કરવામાં સક્ષમ બનો. આ ઉપરાંત, પ્રમેય સાબિત કરતી વખતે તમારે ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરવામાં સમર્થ હોવા જરૂરી છે, અને આ માટે ક્યાં તો વિકસિત હોવું જરૂરી છે ગાણિતિક મેમરી, અથવા જટિલ તાર્કિક સાંકળો મેળવવાની ક્ષમતા.

ત્રિકોણમિતિની ઉત્પત્તિ

આ વિજ્ઞાન સાથે પરિચિત થવું એ કોણની સાઈન, કોસાઈન અને સ્પર્શકની વ્યાખ્યાથી શરૂ થવું જોઈએ, પરંતુ પ્રથમ તમારે સમજવાની જરૂર છે કે સામાન્ય રીતે ત્રિકોણમિતિ શું કરે છે.

ઐતિહાસિક રીતે, આ વિભાગમાં અભ્યાસનો મુખ્ય પદાર્થ ગાણિતિક વિજ્ઞાનકાટકોણ ત્રિકોણ હતા. 90 ડિગ્રીના ખૂણાની હાજરી વિવિધ કામગીરી હાથ ધરવાનું શક્ય બનાવે છે જે વ્યક્તિને બે બાજુઓ અને એક ખૂણા અથવા બે ખૂણાઓ અને એક બાજુનો ઉપયોગ કરીને પ્રશ્નમાં આકૃતિના તમામ પરિમાણોના મૂલ્યો નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે. ભૂતકાળમાં, લોકોએ આ પેટર્નની નોંધ લીધી અને ઇમારતોના નિર્માણ, નેવિગેશન, ખગોળશાસ્ત્ર અને કલામાં પણ તેનો સક્રિયપણે ઉપયોગ કરવાનું શરૂ કર્યું.

પ્રારંભિક તબક્કો

શરૂઆતમાં, લોકો માત્ર કાટકોણ ત્રિકોણના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ખૂણા અને બાજુઓ વચ્ચેના સંબંધ વિશે વાત કરતા હતા. પછી વિશિષ્ટ સૂત્રો શોધાયા જેણે ઉપયોગની સીમાઓને વિસ્તૃત કરવાનું શક્ય બનાવ્યું રોજિંદા જીવનગણિતની આ શાખા.

આજે શાળામાં ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ કાટકોણ ત્રિકોણથી શરૂ થાય છે, જે પછી વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં અને અમૂર્ત સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં પ્રાપ્ત જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરે છે. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો, જેની સાથે હાઇ સ્કૂલમાં કામ શરૂ થાય છે.

ગોળાકાર ત્રિકોણમિતિ

પાછળથી, જ્યારે વિજ્ઞાન વિકાસના આગલા સ્તરે પહોંચ્યું, ત્યારે ગોળાકાર ભૂમિતિમાં સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ સાથેના સૂત્રોનો ઉપયોગ થવા લાગ્યો, જ્યાં વિવિધ નિયમો લાગુ પડે છે અને ત્રિકોણમાં ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા 180 અંશ કરતાં વધુ હોય છે. આ વિભાગશાળામાં ભણવામાં આવતું નથી, પરંતુ ઓછામાં ઓછા કારણ કે તેના અસ્તિત્વ વિશે જાણવું જરૂરી છે પૃથ્વીની સપાટી, અને કોઈપણ અન્ય ગ્રહની સપાટી બહિર્મુખ છે, જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ સપાટીનું નિશાન અંદર હશે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા"આર્ક-આકારનું".

ગ્લોબ અને થ્રેડ લો. થ્રેડને ગ્લોબ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ સાથે જોડો જેથી કરીને તે તંગ બને. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો - તે ચાપનો આકાર લે છે. ગોળાકાર ભૂમિતિ આવા સ્વરૂપો સાથે વ્યવહાર કરે છે, જેનો ઉપયોગ ભૂસ્તરશાસ્ત્ર, ખગોળશાસ્ત્ર અને અન્ય સૈદ્ધાંતિક અને લાગુ ક્ષેત્રોમાં થાય છે.

જમણો ત્રિકોણ

ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરવાની રીતો વિશે થોડું શીખ્યા પછી, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ શું છે, તેમની મદદથી કઈ ગણતરીઓ કરી શકાય છે અને કયા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો તે સમજવા માટે ચાલો મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ પર પાછા જઈએ.

પ્રથમ પગલું એ કાટકોણ ત્રિકોણ સંબંધિત ખ્યાલોને સમજવાનું છે. પ્રથમ, કર્ણ એ 90 ડિગ્રીના ખૂણાની વિરુદ્ધ બાજુ છે. તે સૌથી લાંબો છે. અમને યાદ છે કે પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ, તેના સંખ્યાત્મક મૂલ્યબીજી બે બાજુઓના ચોરસના સરવાળાના મૂળની બરાબર.

ઉદાહરણ તરીકે, જો બે બાજુઓ અનુક્રમે 3 અને 4 સેન્ટિમીટર હોય, તો કર્ણની લંબાઈ 5 સેન્ટિમીટર હશે. માર્ગ દ્વારા, પ્રાચીન ઇજિપ્તવાસીઓ આ વિશે લગભગ સાડા ચાર હજાર વર્ષ પહેલાં જાણતા હતા.

બે બાકી બાજુઓ, જે કાટખૂણો બનાવે છે, તેને પગ કહેવામાં આવે છે. વધુમાં, આપણે યાદ રાખવું જોઈએ કે ત્રિકોણમાં ખૂણાઓનો સરવાળો છે લંબચોરસ સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ 180 ડિગ્રી છે.

વ્યાખ્યા

છેલ્લે, ભૌમિતિક આધારની મક્કમ સમજણ સાથે, વ્યક્તિ સાઈન, કોસાઈન અને કોણની સ્પર્શકની વ્યાખ્યા તરફ વળી શકે છે.

કોણની સાઈન એ વિરુદ્ધ પગ (એટલે ​​​​કે, ઇચ્છિત ખૂણાની વિરુદ્ધ બાજુ) અને કર્ણાકારનો ગુણોત્તર છે. કોણનો કોસાઇન એ કર્ણોની બાજુની બાજુનો ગુણોત્તર છે.

યાદ રાખો કે સાઈન કે કોસાઈન એક કરતા વધારે હોઈ શકે નહિ! શા માટે? કારણ કે કર્ણો મૂળભૂત રીતે સૌથી લાંબો હોય છે, ભલે તે પગ કેટલો લાંબો હોય, તે કર્ણો કરતાં ટૂંકા હશે, જેનો અર્થ છે કે તેમનો ગુણોત્તર હંમેશા એક કરતા ઓછો હશે. આમ, જો તમારી સમસ્યાના જવાબમાં તમને 1 કરતા વધારે મૂલ્ય સાથે સાઈન અથવા કોસાઈન મળે, તો ગણતરીઓ અથવા તર્કમાં ભૂલ જુઓ. આ જવાબ સ્પષ્ટ રીતે ખોટો છે.

અંતે, ખૂણાની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે. સાઈનને કોસાઈન વડે ભાગવાથી સમાન પરિણામ મળશે. જુઓ: સૂત્ર મુજબ, આપણે બાજુની લંબાઈને કર્ણાકાર દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, પછી બીજી બાજુની લંબાઈથી ભાગીએ છીએ અને કર્ણાણ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ. આમ, આપણને સ્પર્શકની વ્યાખ્યામાં સમાન સંબંધ મળે છે.

કોટેન્જેન્ટ, તે મુજબ, ખૂણાને અડીને બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે. એકને સ્પર્શક વડે ભાગવાથી આપણને સમાન પરિણામ મળે છે.

તેથી, આપણે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ શું છે તેની વ્યાખ્યાઓ જોઈ છે અને આપણે સૂત્રો તરફ આગળ વધી શકીએ છીએ.

સૌથી સરળ સૂત્રો

ત્રિકોણમિતિમાં તમે સૂત્રો વિના કરી શકતા નથી - તેમના વિના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ કેવી રીતે શોધી શકાય? પરંતુ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ બરાબર જરૂરી છે.

ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ શરૂ કરતી વખતે તમારે જે પ્રથમ સૂત્ર જાણવાની જરૂર છે તે કહે છે કે કોણના સાઈન અને કોસાઈનના ચોરસનો સરવાળો એક સમાન છે. આ સૂત્રપાયથાગોરિયન પ્રમેયનું સીધું પરિણામ છે, પરંતુ જો તમારે બાજુને બદલે કોણનું કદ જાણવાની જરૂર હોય તો તે સમય બચાવે છે.

ઘણા વિદ્યાર્થીઓ બીજા સૂત્રને યાદ રાખી શકતા નથી, જે ઉકેલતી વખતે પણ ખૂબ જ લોકપ્રિય છે શાળા કાર્યો: એકનો સરવાળો અને કોણના સ્પર્શકનો ચોરસ એ કોણના કોસાઇનના વર્ગથી ભાગ્યા સમાન છે. નજીકથી જુઓ: આ પ્રથમ સૂત્રની જેમ જ નિવેદન છે, માત્ર ઓળખની બંને બાજુઓ કોસાઇનના વર્ગ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવી હતી. તે તારણ આપે છે કે એક સરળ ગાણિતિક કામગીરી કરે છે ત્રિકોણમિતિ સૂત્રસંપૂર્ણપણે ઓળખી ન શકાય તેવું. યાદ રાખો: સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ શું છે તે જાણવું, રૂપાંતરણ નિયમો અને કેટલાક મૂળભૂત સૂત્રોતમે કોઈપણ સમયે જરૂરી વધુ ઉપાડી શકો છો જટિલ સૂત્રોકાગળના ટુકડા પર.

ડબલ એંગલ અને દલીલોના ઉમેરા માટેના સૂત્રો

બે વધુ સૂત્રો જે તમારે શીખવાની જરૂર છે તે કોણના સરવાળા અને તફાવત માટે સાઈન અને કોસાઈનના મૂલ્યો સાથે સંબંધિત છે. તેઓ નીચેની આકૃતિમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે પ્રથમ કિસ્સામાં, સાઈન અને કોસાઈન બંને વખત ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને બીજા કિસ્સામાં, સાઈન અને કોસાઈનનું જોડીવાઇઝ ઉત્પાદન ઉમેરવામાં આવે છે.

ફોર્મમાં દલીલો સાથે સંકળાયેલા સૂત્રો પણ છે ડબલ કોણ. તેઓ સંપૂર્ણપણે અગાઉના લોકોમાંથી ઉતરી આવ્યા છે - તાલીમ તરીકે આલ્ફા એંગલ લઈને તેમને જાતે મેળવવાનો પ્રયાસ કરો કોણ સમાનબીટા

છેલ્લે, નોંધ કરો કે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ આલ્ફાની શક્તિ ઘટાડવા માટે ડબલ એંગલ ફોર્મ્યુલાને ફરીથી ગોઠવી શકાય છે.

પ્રમેય

મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિમાં બે મુખ્ય પ્રમેય સાઈન પ્રમેય અને કોસાઈન પ્રમેય છે. આ પ્રમેયની મદદથી, તમે સરળતાથી સમજી શકો છો કે સાઈન, કોસાઈન અને ટેન્જેન્ટ કેવી રીતે શોધી શકાય અને તેથી આકૃતિનો વિસ્તાર અને દરેક બાજુનું કદ વગેરે.

સાઈન પ્રમેય જણાવે છે કે ત્રિકોણની પ્રત્યેક બાજુની લંબાઈને વિરુદ્ધ કોણ વડે ભાગવાથી, આપણને મળે છે સમાન નંબર. તદુપરાંત, આ સંખ્યા પરિમાણિત વર્તુળની બે ત્રિજ્યા સમાન હશે, એટલે કે આપેલ ત્રિકોણના તમામ બિંદુઓ ધરાવતું વર્તુળ.

કોસાઇન પ્રમેય પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સામાન્ય બનાવે છે, તેને કોઈપણ ત્રિકોણ પર પ્રક્ષેપિત કરે છે. તે તારણ આપે છે કે બે બાજુઓના ચોરસના સરવાળામાંથી, નજીકના ખૂણાના ડબલ કોસાઇન દ્વારા ગુણાકાર કરીને તેમના ઉત્પાદનને બાદ કરો - પરિણામી મૂલ્ય ત્રીજી બાજુના વર્ગની બરાબર હશે. આમ, પાયથાગોરિયન પ્રમેય કોસાઇન પ્રમેયનો વિશેષ કેસ હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

બેદરકાર ભૂલો

સાઈન, કોસાઈન અને ટેન્જેન્ટ શું છે તે જાણતા હોવા છતાં, ગેરહાજર-માનસિકતા અથવા સરળ ગણતરીમાં ભૂલને કારણે ભૂલ કરવી સરળ છે. આવી ભૂલોને ટાળવા માટે, ચાલો સૌથી વધુ લોકપ્રિય મુદ્દાઓ પર એક નજર કરીએ.

પ્રથમ, તમારે અંતિમ પરિણામ ન મળે ત્યાં સુધી તમારે અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું જોઈએ નહીં - તમે જવાબ આ રીતે છોડી શકો છો સામાન્ય અપૂર્ણાંક, જ્યાં સુધી શરતોમાં અન્યથા જણાવ્યું ન હોય. આવા પરિવર્તનને ભૂલ કહી શકાય નહીં, પરંતુ તે યાદ રાખવું જોઈએ કે સમસ્યાના દરેક તબક્કે નવા મૂળ દેખાઈ શકે છે, જે લેખકના વિચાર મુજબ, ઘટાડવું જોઈએ. આ કિસ્સામાં, તમે બિનજરૂરી રીતે તમારો સમય બગાડશો ગાણિતિક ક્રિયાઓ. આ ખાસ કરીને મૂલ્યો માટે સાચું છે જેમ કે ત્રણનું મૂળ અથવા બેનું મૂળ, કારણ કે તે દરેક પગલા પર સમસ્યાઓમાં જોવા મળે છે. આ જ “નીચ” નંબરોને રાઉન્ડિંગ કરવા માટે જાય છે.

આગળ, નોંધ કરો કે કોસાઇન પ્રમેય કોઈપણ ત્રિકોણને લાગુ પડે છે, પરંતુ પાયથાગોરિયન પ્રમેયને લાગુ પડતું નથી! જો તમે ભૂલથી તેમની વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇન દ્વારા ગુણાકાર કરેલ બાજુઓના ગુણાંકમાંથી બે વાર બાદબાકી કરવાનું ભૂલી જાઓ છો, તો તમને માત્ર એક સંપૂર્ણપણે ખોટું પરિણામ મળશે નહીં, પરંતુ તમે વિષયની સંપૂર્ણ સમજણનો અભાવ પણ દર્શાવશો. આ એક બેદરકારીની ભૂલ કરતાં વધુ ખરાબ છે.

ત્રીજે સ્થાને, સાઈન, કોસાઈન્સ, ટેન્જેન્ટ્સ, કોટેન્જેન્ટ્સ માટે 30 અને 60 ડિગ્રીના ખૂણા માટેના મૂલ્યોને ગૂંચવશો નહીં. આ મૂલ્યો યાદ રાખો, કારણ કે સાઈન 30 ડિગ્રી છે કોસાઇન સમાન 60 પર, અને ઊલટું. તેમને મૂંઝવવું સરળ છે, જેના પરિણામે તમે અનિવાર્યપણે ભૂલભરેલું પરિણામ મેળવશો.

અરજી

ઘણા વિદ્યાર્થીઓ ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ શરૂ કરવાની ઉતાવળમાં નથી કારણ કે તેઓ તેનો વ્યવહારુ અર્થ સમજી શકતા નથી. એન્જિનિયર અથવા ખગોળશાસ્ત્રી માટે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ શું છે? આ એવા ખ્યાલો છે જેના કારણે તમે અંતરની ગણતરી કરી શકો છો દૂરના તારા, ઉલ્કાના પતનની આગાહી, અન્ય ગ્રહ પર સંશોધન તપાસ મોકલો. તેમના વિના, મકાન બનાવવું, કાર ડિઝાઇન કરવી, સપાટી પરના ભારની ગણતરી કરવી અથવા ઑબ્જેક્ટના માર્ગની ગણતરી કરવી અશક્ય છે. અને આ ફક્ત સૌથી સ્પષ્ટ ઉદાહરણો છે! છેવટે, એક અથવા બીજા સ્વરૂપમાં ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ સંગીતથી દવા સુધી દરેક જગ્યાએ થાય છે.

નિષ્કર્ષમાં

તો તમે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ છો. તમે તેનો ઉપયોગ ગણતરીમાં કરી શકો છો અને શાળાની સમસ્યાઓ સફળતાપૂર્વક હલ કરી શકો છો.

ત્રિકોણમિતિનો આખો મુદ્દો એ હકીકત પર આવે છે કે ત્રિકોણના જાણીતા પરિમાણોનો ઉપયોગ કરીને તમારે અજ્ઞાતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. કુલ છ પરિમાણો છે: લંબાઈ ત્રણ બાજુઓઅને ત્રણ ખૂણાના કદ. કાર્યોમાં માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે વિવિધ ઇનપુટ ડેટા આપવામાં આવે છે.

હવે તમે જાણો છો કે પગની જાણીતી લંબાઈ અથવા કર્ણના આધારે સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક કેવી રીતે શોધવી. કારણ કે આ શબ્દોનો અર્થ ગુણોત્તર કરતાં વધુ કંઈ નથી, અને ગુણોત્તર અપૂર્ણાંક છે, મુખ્ય ધ્યેય ત્રિકોણમિતિ સમસ્યાએક સામાન્ય સમીકરણ અથવા સમીકરણોની સિસ્ટમના મૂળ શોધે છે. અને અહીં નિયમિત શાળાનું ગણિત તમને મદદ કરશે.