તેના વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને કાર્યનો અભ્યાસ કરવો. આ લેખમાં આપણે ફંક્શનના ગ્રાફના અભ્યાસને લગતા કેટલાક કાર્યોનું વિશ્લેષણ કરીશું. આવી સમસ્યાઓમાં, ફંક્શન y = f (x) નો ગ્રાફ આપવામાં આવે છે અને ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન ધન (અથવા નકારાત્મક) તેમજ અન્ય બિંદુઓની સંખ્યા નક્કી કરવા સંબંધિત પ્રશ્નો ઉભા કરવામાં આવે છે. તેમને કાર્યોના અભ્યાસમાં ડેરિવેટિવ્ઝ લાગુ કરવા માટેના કાર્યો તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
આવી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ અને સંશોધન સંબંધિત સામાન્ય સમસ્યાઓનું નિરાકરણ ફક્ત કાર્યોના આલેખ અને વ્યુત્પન્નતાના અભ્યાસ માટે વ્યુત્પન્નના ગુણધર્મોની સંપૂર્ણ સમજણથી જ શક્ય છે. તેથી, હું ભારપૂર્વક ભલામણ કરું છું કે તમે સંબંધિત સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ કરો. તમે અભ્યાસ કરી શકો છો અને જોઈ પણ શકો છો (પરંતુ તેમાં સંક્ષિપ્ત સારાંશ છે).
અમે ભવિષ્યના લેખોમાં વ્યુત્પન્ન ગ્રાફ આપવામાં આવે છે તે સમસ્યાઓ પર પણ વિચારણા કરીશું, તેને ચૂકશો નહીં! તેથી, કાર્યો:
આકૃતિ y = f (x) કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે, જે અંતરાલ (−6; 8) પર વ્યાખ્યાયિત છે. વ્યાખ્યાયિત કરો:
1. પૂર્ણાંક બિંદુઓની સંખ્યા કે જેના પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે;
2. બિંદુઓની સંખ્યા કે જેના પર કાર્યના ગ્રાફની સ્પર્શક સીધી રેખા y = 2 ની સમાંતર છે;
1. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન અંતરાલો પર નકારાત્મક છે જેના પર કાર્ય ઘટે છે, એટલે કે, અંતરાલો પર (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8). તેમાં પૂર્ણાંક બિંદુઓ −5, −4, 1, 2, 3, 4 અને 7 છે. આપણને 7 પોઈન્ટ મળે છે.
2. ડાયરેક્ટ y= 2 અક્ષની સમાંતરઓહy= 2 માત્ર આત્યંતિક બિંદુઓ પર (પોઈન્ટ પર જ્યાં ગ્રાફ તેની વર્તણૂકને વધતાથી ઘટતા અથવા તેનાથી વિપરીત બદલે છે). આવા ચાર મુદ્દા છે: -3; 0; 4.2; 6.9
તમારા માટે નક્કી કરો:
પૂર્ણાંક બિંદુઓની સંખ્યા નક્કી કરો કે જેના પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન ધન છે.
આકૃતિ y = f (x) કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે, જે અંતરાલ (−5; 5) પર વ્યાખ્યાયિત છે. વ્યાખ્યાયિત કરો:
2. પૂર્ણાંક બિંદુઓની સંખ્યા કે જેના પર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક સીધી રેખા y = 3 ની સમાંતર છે;
3. બિંદુઓની સંખ્યા કે જેના પર વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે;
1. ફંક્શનના વ્યુત્પન્નના ગુણધર્મો પરથી તે જાણી શકાય છે કે તે અંતરાલો પર હકારાત્મક છે કે જેના પર કાર્ય વધે છે, એટલે કે અંતરાલો (1.4; 2.5) અને (4.4; 5) પર. તેઓ માત્ર એક પૂર્ણાંક બિંદુ x = 2 ધરાવે છે.
2. ડાયરેક્ટ y= 3 અક્ષની સમાંતરઓહ. સ્પર્શરેખા રેખાની સમાંતર હશેy= 3 માત્ર એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ પર (પોઈન્ટ પર જ્યાં ગ્રાફ તેની વર્તણૂકને વધતાથી ઘટતા અથવા તેનાથી વિપરીત બદલે છે).
આવા ચાર મુદ્દા છે: –4.3; 1.4; 2.5; 4.4
3. વ્યુત્પન્ન એ શૂન્ય છે ચાર પોઈન્ટ(આત્યંતિક બિંદુઓ પર), અમે તેમને પહેલેથી જ સૂચવ્યા છે.
તમારા માટે નક્કી કરો:
પૂર્ણાંક બિંદુઓની સંખ્યા નક્કી કરો કે જેના પર ફંક્શન f(x) નું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે.
આકૃતિ y = f (x) કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે, જે અંતરાલ (−2; 12) પર વ્યાખ્યાયિત છે. શોધો:
1. પૂર્ણાંક બિંદુઓની સંખ્યા કે જેના પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે;
2. પૂર્ણાંક બિંદુઓની સંખ્યા કે જેના પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે;
3. પૂર્ણાંક બિંદુઓની સંખ્યા કે જેના પર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક સીધી રેખા y = 2 ની સમાંતર છે;
4. બિંદુઓની સંખ્યા કે જેના પર વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે.
1. ફંક્શનના વ્યુત્પન્નના ગુણધર્મો પરથી તે જાણી શકાય છે કે તે અંતરાલો પર હકારાત્મક છે જેના પર કાર્ય વધે છે, એટલે કે અંતરાલો પર (–2; 1), (2; 4), (7; 9) અને ( 10; 11). તેઓ પૂર્ણાંક બિંદુઓ ધરાવે છે: –1, 0, 3, 8. તેમાં કુલ ચાર છે.
2. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન અંતરાલો પર નકારાત્મક છે જેના પર કાર્ય ઘટે છે, એટલે કે, અંતરાલો પર (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). તેમાં પૂર્ણાંક પોઈન્ટ 5 અને 6 છે. આપણને 2 પોઈન્ટ મળે છે.
3. ડાયરેક્ટ y= 2 અક્ષની સમાંતરઓહ. સ્પર્શરેખા રેખાની સમાંતર હશેy= 2 માત્ર એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ પર (પોઈન્ટ પર જ્યાં ગ્રાફ તેની વર્તણૂકને વધતાથી ઘટતા અથવા તેનાથી વિપરીત બદલે છે). આવા સાત મુદ્દા છે: 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.
4. વ્યુત્પન્ન સાત બિંદુઓ પર શૂન્ય બરાબર છે (એસ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ્સ પર), અમે તેમને પહેલેથી જ સૂચવ્યા છે.
વ્યાખ્યા.કાર્ય \(y = f(x) \) ને ચોક્કસ અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો જેમાં બિંદુ \(x_0\) પોતાની અંદર હોય. ચાલો દલીલને ઇન્ક્રીમેન્ટ \(\Delta x \) આપીએ જેથી તે આ અંતરાલ છોડે નહીં. ચાલો ફંક્શનનો અનુરૂપ વધારો શોધીએ \(\Delta y \) (જ્યારે બિંદુ \(x_0 \) થી બિંદુ \(x_0 + \Delta x \)) પર જઈએ અને સંબંધ \(\frac(\Delta) કંપોઝ કરીએ y)(\Delta x) \). જો આ ગુણોત્તરની મર્યાદા \(\Delta x \rightarrow 0\) હોય, તો ઉલ્લેખિત મર્યાદા કહેવામાં આવે છે કાર્યનું વ્યુત્પન્ન\(y=f(x) \) બિંદુ પર \(x_0 \) અને સૂચવો \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
સંજ્ઞા y નો ઉપયોગ ઘણીવાર વ્યુત્પન્નને દર્શાવવા માટે થાય છે નોંધ કરો કે y" = f(x) એ એક નવું કાર્ય છે, પરંતુ કુદરતી રીતે કાર્ય y = f(x) સાથે સંબંધિત છે, જે ઉપરની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં છે તે તમામ બિંદુઓ x પર વ્યાખ્યાયિત છે. આ કાર્યને આના જેવું કહેવામાં આવે છે: વિધેયનું વ્યુત્પન્ન y = f(x).
ભૌમિતિક અર્થવ્યુત્પન્નનીચે મુજબ છે. જો એબ્સીસા x=a સાથે બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય, જે y-અક્ષની સમાંતર નથી, તો f(a) સ્પર્શકનો ઢોળાવ વ્યક્ત કરે છે :
\(k = f"(a)\)
ત્યારથી \(k = tg(a) \), તો પછી સમાનતા \(f"(a) = tan(a) \) સાચી છે.
હવે ચાલો અંદાજિત સમાનતાઓના દૃષ્ટિકોણથી વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાનું અર્થઘટન કરીએ. ફંક્શન \(y = f(x)\) ને વ્યુત્પન્ન ઇન થવા દો ચોક્કસ બિંદુ\(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ xની નજીક અંદાજિત સમાનતા \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), એટલે કે \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ડેલ્ટા x\). પરિણામી અંદાજિત સમાનતાનો અર્થપૂર્ણ અર્થ નીચે મુજબ છે: ફંક્શનનો વધારો એ દલીલના વધારા માટે "લગભગ પ્રમાણસર" છે, અને પ્રમાણસરતાનો ગુણાંક એ વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય છે આપેલ બિંદુએક્સ. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન \(y = x^2\) માટે અંદાજિત સમાનતા \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) માન્ય છે. જો આપણે ડેરિવેટિવની વ્યાખ્યાનું કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણ કરીએ, તો આપણે શોધીશું કે તેમાં તેને શોધવા માટે એક અલ્ગોરિધમ છે.
ચાલો તેને ઘડીએ.
ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું?
1. \(x\) નું મૂલ્ય ઠીક કરો, \(f(x)\) શોધો
2. દલીલ \(x\) વધારો આપો \(\Delta x\), પર જાઓ નવો મુદ્દો\(x+ \Delta x \), શોધો \(f(x+ \Delta x) \)
3. ફંક્શનનો ઇન્ક્રીમેન્ટ શોધો: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. સંબંધ બનાવો \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. ગણતરી કરો $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
આ મર્યાદા બિંદુ x પરના કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે.
જો ફંક્શન y = f(x) બિંદુ x પર વ્યુત્પન્ન હોય, તો તે બિંદુ x પર વિભેદક કહેવાય છે. ફંક્શન y = f(x) નું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટેની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે તફાવતકાર્યો y = f(x).
ચાલો નીચેના પ્રશ્નની ચર્ચા કરીએ: એકબીજા સાથે સંબંધિત બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય અને ભિન્નતા કેવી રીતે છે?
બિંદુ x પર ફંક્શન y = f(x) ને વિભેદક બનવા દો. પછી બિંદુ M(x; f(x)) પરના કાર્યના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરી શકાય છે, અને યાદ કરો, સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક f "(x) ની બરાબર છે. આવો આલેખ "તોડી" શકતો નથી. બિંદુ M પર, એટલે કે કાર્ય બિંદુ x પર સતત હોવું જોઈએ.
આ "હેન્ડ-ઓન" દલીલો હતી. ચાલો વધુ સખત તર્ક આપીએ. જો x બિંદુ પર ફંક્શન y = f(x) ભિન્ન હોય, તો અંદાજિત સમાનતા \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) ધરાવે છે. જો આ સમાનતામાં \(\Delta x) \) શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, પછી \(\Delta y\) શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, અને આ એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય માટેની સ્થિતિ છે.
તેથી, જો કોઈ ફંક્શન x બિંદુ પર વિભેદક હોય, તો તે તે બિંદુ પર સતત છે.
વિપરીત નિવેદન સાચું નથી. ઉદાહરણ તરીકે: ફંક્શન y = |x| દરેક જગ્યાએ સતત છે, ખાસ કરીને બિંદુ x = 0 પર, પરંતુ "જંકશન બિંદુ" (0; 0) પર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક અસ્તિત્વમાં નથી. જો કોઈ બિંદુએ સ્પર્શકને ફંક્શનના ગ્રાફ પર ખેંચી શકાતું નથી, તો તે બિંદુએ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી.
બીજું ઉદાહરણ. ફંક્શન \(y=\sqrt(x)\) બિંદુ x = 0 સહિત સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત છે. અને કાર્યના ગ્રાફની સ્પર્શક કોઈપણ બિંદુએ અસ્તિત્વમાં છે, બિંદુ x = 0 સહિત પરંતુ આ બિંદુએ સ્પર્શક y-અક્ષ સાથે એકરુપ છે, એટલે કે, તે એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ છે, તેના સમીકરણમાં x = 0 છે. આવી સીધી રેખામાં કોણ ગુણાંક નથી, જેનો અર્થ છે કે \(f "(0)\) અસ્તિત્વમાં નથી.
તેથી, અમે ફંક્શનની નવી મિલકતથી પરિચિત થયા - ભિન્નતા. ફંક્શનના ગ્રાફ પરથી કોઈ કેવી રીતે નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે કે તે અલગ છે?
જવાબ ખરેખર ઉપર આપેલ છે. જો કોઈ બિંદુએ એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ ન હોય તેવા ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શક દોરવાનું શક્ય હોય, તો આ બિંદુએ ફંક્શન અલગ કરી શકાય તેવું છે. જો કોઈ બિંદુએ ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક અસ્તિત્વમાં ન હોય અથવા તે એબ્સીસા અક્ષને લંબરૂપ હોય, તો આ બિંદુએ ફંક્શન ભિન્નતાપાત્ર નથી.
ભિન્નતાના નિયમો
વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરી કહેવામાં આવે છે તફાવત. આ ઑપરેશન કરતી વખતે, તમારે ઘણીવાર ભાગ, સરવાળો, ફંક્શન્સના ઉત્પાદનો, તેમજ "ફંક્શન્સ ઑફ ફંક્શન્સ" એટલે કે જટિલ ફંક્શન્સ સાથે કામ કરવું પડે છે. વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાના આધારે, અમે ભેદભાવના નિયમો મેળવી શકીએ છીએ જે આ કાર્યને સરળ બનાવે છે. જો સી - સતત સંખ્યાઅને f=f(x), g=g(x) કેટલાક વિભેદક કાર્યો છે, પછી નીચેના સાચા છે તફાવત નિયમો:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
કેટલાક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $વ્યુત્પન્નના ચિહ્ન અને કાર્યની એકવિધતાની પ્રકૃતિ વચ્ચેનું જોડાણ દર્શાવે છે.
કૃપા કરીને નીચેના વિશે અત્યંત સાવચેત રહો. જુઓ, તમને શું આપવામાં આવ્યું છે તેનું શેડ્યૂલ! કાર્ય અથવા તેના વ્યુત્પન્ન
જો વ્યુત્પન્નનો આલેખ આપવામાં આવે તો, તો પછી આપણને ફંક્શન ચિહ્નો અને શૂન્યમાં જ રસ હશે. સૈદ્ધાંતિક રીતે અમને કોઈ પણ “પહાડો” કે “ખોલા”માં રસ નથી!
કાર્ય 1.
આકૃતિ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે. પૂર્ણાંક બિંદુઓની સંખ્યા નક્કી કરો કે જેના પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે.
ઉકેલ:
આકૃતિમાં, ઘટતા કાર્યના ક્ષેત્રો રંગમાં પ્રકાશિત થાય છે:
ફંક્શનના આ ઘટતા પ્રદેશોમાં 4 પૂર્ણાંક મૂલ્યો છે.
કાર્ય 2.
આકૃતિ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે. બિંદુઓની સંખ્યા શોધો કે જેના પર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક રેખાની સમાંતર હોય અથવા તેની સાથે એકરુપ હોય.
ઉકેલ:
એકવાર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક સીધી રેખા (અથવા, જે સમાન વસ્તુ છે) સાથે સમાંતર (અથવા એકરુપ) થઈ જાય ઢાળ , શૂન્ય બરાબર, પછી સ્પર્શક પણ કોણીય ગુણાંક ધરાવે છે.
બદલામાં આનો અર્થ એ થાય છે કે સ્પર્શક અક્ષની સમાંતર છે, કારણ કે ઢોળાવ એ અક્ષ તરફના સ્પર્શકના ઝોકના ખૂણાની સ્પર્શક છે.
તેથી, અમને ગ્રાફ પર આત્યંતિક બિંદુઓ (મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓ) મળે છે - તે આ બિંદુઓ પર છે કે ગ્રાફની સ્પર્શક ક્રિયાઓ અક્ષની સમાંતર હશે.
આવા 4 મુદ્દા છે.
કાર્ય 3.
આકૃતિ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે. બિંદુઓની સંખ્યા શોધો કે જેના પર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક રેખાની સમાંતર છે અથવા તેની સાથે એકરુપ છે.
ઉકેલ:
ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક એ ઢાળવાળી રેખા સાથે સમાંતર (અથવા એકરુપ) હોવાથી, સ્પર્શકને પણ ઢોળાવ હોય છે.
આ બદલામાં અર્થ એ થાય કે ટચ પોઈન્ટ પર.
તેથી, આપણે જોઈએ છીએ કે ગ્રાફ પર કેટલા બિંદુઓ ની બરાબર છે.
જેમ તમે જોઈ શકો છો, આવા ચાર મુદ્દા છે.
કાર્ય 4.
આકૃતિ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે. બિંદુઓની સંખ્યા શોધો કે જેના પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન 0 છે.
ઉકેલ:
ડેરિવેટિવ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ પર શૂન્ય બરાબર છે. અમારી પાસે તેમાંથી 4 છે:
કાર્ય 5.
આકૃતિ ફંક્શનનો ગ્રાફ અને x-અક્ષ પર અગિયાર બિંદુઓ દર્શાવે છે:. આમાંથી કેટલા બિંદુઓ પર ફંકશનનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે?
ઉકેલ:
ઘટતા કાર્યના અંતરાલો પર, તેનું વ્યુત્પન્ન લે છે નકારાત્મક મૂલ્યો. અને કાર્ય બિંદુઓ પર ઘટે છે. આવા 4 મુદ્દા છે.
કાર્ય 6.
આકૃતિ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે. ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટનો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ:
એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ– આ મહત્તમ પોઈન્ટ (-3, -1, 1) અને ન્યૂનતમ પોઈન્ટ (-2, 0, 3) છે.
એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટનો સરવાળો: -3-1+1-2+0+3=-2.
કાર્ય 7.
આકૃતિ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે. કાર્યના વધારાના અંતરાલો શોધો. તમારા જવાબમાં, આ અંતરાલોમાં સમાવિષ્ટ પૂર્ણાંક બિંદુઓનો સરવાળો સૂચવો.
ઉકેલ:
આકૃતિ અંતરાલોને પ્રકાશિત કરે છે જ્યાં ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન બિન-નકારાત્મક છે.
નાના વધતા અંતરાલ પર કોઈ પૂર્ણાંક બિંદુઓ નથી; વધતા અંતરાલ પર ચાર પૂર્ણાંક મૂલ્યો છે: , , અને .
તેમનો સરવાળો:
કાર્ય 8.
આકૃતિ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે. કાર્યના વધારાના અંતરાલો શોધો. તમારા જવાબમાં, તેમાંથી સૌથી મોટાની લંબાઈ દર્શાવો.
ઉકેલ:
આકૃતિમાં, તમામ અંતરાલો કે જેના પર વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે તે રંગમાં પ્રકાશિત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે આ અંતરાલોમાં કાર્ય પોતે વધે છે.
તેમાંથી સૌથી મોટાની લંબાઈ 6 છે.
કાર્ય 9.
આકૃતિ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે. સેગમેન્ટ પર કયા બિંદુએ તે સૌથી વધુ મૂલ્ય લે છે?
ઉકેલ:
ચાલો જોઈએ કે ગ્રાફ સેગમેન્ટ પર કેવી રીતે વર્તે છે, જેમાં અમને રસ છે માત્ર વ્યુત્પન્નની નિશાની .
ડેરિવેટિવ ઓનનું ચિહ્ન માઈનસ છે, કારણ કે આ સેગમેન્ટ પરનો ગ્રાફ અક્ષની નીચે છે.
સમસ્યા B9 એ ફંક્શન અથવા ડેરિવેટિવનો ગ્રાફ આપે છે જેમાંથી તમારે નીચેનામાંથી એક માત્રા નક્કી કરવાની જરૂર છે:
- અમુક બિંદુએ ડેરિવેટિવનું મૂલ્ય x 0,
- મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ પોઈન્ટ (એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ),
- વધતા અને ઘટતા કાર્યોના અંતરાલો (એકવિધતાના અંતરાલો).
આ સમસ્યામાં પ્રસ્તુત કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝ હંમેશા સતત હોય છે, જે ઉકેલને વધુ સરળ બનાવે છે. કાર્ય વિભાગનું છે તે હકીકત હોવા છતાં ગાણિતિક વિશ્લેષણ, તે એકદમ નબળા વિદ્યાર્થીઓની ક્ષમતાઓમાં પણ છે, કારણ કે ત્યાં કોઈ ઊંડા નથી સૈદ્ધાંતિક જ્ઞાનઅહીં જરૂરી નથી.
વ્યુત્પન્ન, આત્યંતિક બિંદુઓ અને એકવિધતા અંતરાલોનું મૂલ્ય શોધવા માટે, ત્યાં સરળ અને સાર્વત્રિક અલ્ગોરિધમ્સ છે - તે બધાની નીચે ચર્ચા કરવામાં આવશે.
મૂર્ખ ભૂલો કરવાનું ટાળવા માટે સમસ્યા B9 ની શરતોને કાળજીપૂર્વક વાંચો: કેટલીકવાર તમે ખૂબ લાંબા ગ્રંથો આવો છો, પરંતુ મહત્વપૂર્ણ શરતો, જે નિર્ણયના કોર્સને પ્રભાવિત કરે છે, ત્યાં થોડા છે.
વ્યુત્પન્ન મૂલ્યની ગણતરી. બે બિંદુ પદ્ધતિ
જો સમસ્યાને ફંક્શન f(x) નો ગ્રાફ આપવામાં આવે છે, અમુક બિંદુ x 0 પર આ આલેખને સ્પર્શક છે, અને આ બિંદુએ વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર છે, તો નીચેનો અલ્ગોરિધમ લાગુ કરવામાં આવે છે:
- સ્પર્શક ગ્રાફ પર બે "પર્યાપ્ત" બિંદુઓ શોધો: તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ. ચાલો આ બિંદુઓ A (x 1 ; y 1) અને B (x 2 ; y 2) દર્શાવીએ. કોઓર્ડિનેટ્સ યોગ્ય રીતે લખો - આ છે મુખ્ય મુદ્દોઉકેલો, અને અહીં કોઈપણ ભૂલ ખોટા જવાબમાં પરિણમે છે.
- કોઓર્ડિનેટ્સ જાણવાથી, દલીલ Δx = x 2 − x 1 અને કાર્ય Δy = y 2 − y 1 ની વૃદ્ધિની ગણતરી કરવી સરળ છે.
- અંતે, આપણે વ્યુત્પન્ન D = Δy/Δx નું મૂલ્ય શોધીએ છીએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તમારે ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટને દલીલના ઇન્ક્રીમેન્ટ દ્વારા વિભાજિત કરવાની જરૂર છે - અને આ જવાબ હશે.
ચાલો ફરી એક વાર નોંધ લઈએ: પોઈન્ટ A અને B ને સ્પર્શક પર ચોક્કસ રીતે જોવામાં આવવું જોઈએ, અને ફંક્શન f(x) ના ગ્રાફ પર નહીં, જેમ વારંવાર થાય છે. સ્પર્શરેખામાં ઓછામાં ઓછા આવા બે બિંદુઓ હોવા આવશ્યક છે - અન્યથા સમસ્યા યોગ્ય રીતે ઘડવામાં આવશે નહીં.
બિંદુઓ A (−3; 2) અને B (−1; 6) ને ધ્યાનમાં લો અને વધારો શોધો:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 −y 1 = 6 − 2 = 4.
ચાલો વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધીએ: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
કાર્ય. આકૃતિ y = f(x) ફંક્શનનો ગ્રાફ અને abscissa x 0 સાથેના બિંદુ પર તેની સ્પર્શક દર્શાવે છે. બિંદુ x 0 પર f(x) ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો.
બિંદુઓ A (0; 3) અને B (3; 0) ને ધ્યાનમાં લો, વધારો શોધો:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
હવે આપણે વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધીએ છીએ: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
કાર્ય. આકૃતિ y = f(x) ફંક્શનનો ગ્રાફ અને abscissa x 0 સાથેના બિંદુ પર તેની સ્પર્શક દર્શાવે છે. બિંદુ x 0 પર f(x) ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો.
બિંદુઓ A (0; 2) અને B (5; 2) ને ધ્યાનમાં લો અને વધારો શોધો:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
તે વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધવાનું બાકી છે: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
થી છેલ્લું ઉદાહરણઆપણે એક નિયમ ઘડી શકીએ: જો સ્પર્શક OX અક્ષની સમાંતર હોય, તો સ્પર્શક બિંદુ પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે. આ કિસ્સામાં, તમારે કંઈપણ ગણવાની જરૂર નથી - ફક્ત ગ્રાફ જુઓ.
મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટની ગણતરી
કેટલીકવાર, ફંક્શનના ગ્રાફને બદલે, પ્રોબ્લેમ B9 વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ આપે છે અને ફંક્શનનો મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ બિંદુ શોધવાની જરૂર પડે છે. આ પરિસ્થિતિમાં, બે-પોઇન્ટ પદ્ધતિ નકામી છે, પરંતુ ત્યાં અન્ય, સરળ અલ્ગોરિધમનો પણ છે. પ્રથમ, ચાલો પરિભાષા વ્યાખ્યાયિત કરીએ:
- બિંદુ x 0 એ ફંક્શન f(x) નો મહત્તમ બિંદુ કહેવાય છે જો આ બિંદુના અમુક પડોશમાં નીચેની અસમાનતા ધરાવે છે: f(x 0) ≥ f(x).
- બિંદુ x 0 એ ફંક્શન f(x) નો લઘુત્તમ બિંદુ કહેવાય છે જો આ બિંદુની અમુક પડોશમાં નીચેની અસમાનતા ધરાવે છે: f(x 0) ≤ f(x).
વ્યુત્પન્ન ગ્રાફ પર મહત્તમ અને ન્યૂનતમ બિંદુઓ શોધવા માટે, ફક્ત આ પગલાં અનુસરો:
- વ્યુત્પન્ન ગ્રાફ ફરીથી દોરો, બધી બિનજરૂરી માહિતી દૂર કરો. પ્રેક્ટિસ બતાવે છે તેમ, બિનજરૂરી ડેટા માત્ર નિર્ણયમાં દખલ કરે છે. તેથી, અમે નોંધીએ છીએ સંકલન અક્ષવ્યુત્પન્નના શૂન્ય - બસ એટલું જ.
- શૂન્ય વચ્ચેના અંતરાલ પર વ્યુત્પન્નના ચિહ્નો શોધો. જો અમુક બિંદુ x 0 માટે તે જાણીતું હોય કે f'(x 0) ≠ 0, તો માત્ર બે વિકલ્પો શક્ય છે: f'(x 0) ≥ 0 અથવા f'(x 0) ≤ 0. વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન છે મૂળ ડ્રોઇંગ પરથી નક્કી કરવું સરળ છે: જો વ્યુત્પન્ન ગ્રાફ OX અક્ષની ઉપર આવેલો છે, તો f'(x) ≥ 0. અને તેનાથી વિપરીત, જો વ્યુત્પન્ન આલેખ OX અક્ષની નીચે આવેલો છે, તો f'(x) ≤ 0.
- ફરીથી આપણે વ્યુત્પન્નના શૂન્ય અને ચિહ્નો તપાસીએ છીએ. જ્યાં ચિહ્ન માઈનસથી પ્લસમાં બદલાય છે તે ન્યૂનતમ બિંદુ છે. તેનાથી વિપરિત, જો વ્યુત્પત્તિની નિશાની વત્તાથી માઈનસમાં બદલાય છે, તો આ મહત્તમ બિંદુ છે. ગણતરી હંમેશા ડાબેથી જમણે કરવામાં આવે છે.
આ યોજના ફક્ત સતત કાર્યો માટે કાર્ય કરે છે - B9 સમસ્યામાં અન્ય કોઈ નથી.
કાર્ય. આકૃતિ અંતરાલ [−5; 5]. આ સેગમેન્ટ પર ફંક્શન f(x) નો ન્યૂનતમ બિંદુ શોધો.
ચાલો બિનજરૂરી માહિતીથી છૂટકારો મેળવીએ અને માત્ર સીમાઓ છોડીએ [−5; 5] અને વ્યુત્પન્ન x = −3 અને x = 2.5 ના શૂન્ય. અમે ચિહ્નો પણ નોંધીએ છીએ:
દેખીતી રીતે, બિંદુ x = −3 પર બાદબાકીથી વત્તામાં વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન. આ ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
કાર્ય. આકૃતિ અંતરાલ [−3; 7]. આ સેગમેન્ટ પર ફંક્શન f(x) નો મહત્તમ બિંદુ શોધો.
ચાલો માત્ર સીમાઓ છોડીને આલેખને ફરીથી દોરીએ [−3; 7] અને વ્યુત્પન્ન x = −1.7 અને x = 5 ના શૂન્ય. ચાલો પરિણામી ગ્રાફ પર વ્યુત્પન્નના ચિહ્નો નોંધીએ. અમારી પાસે છે:
દેખીતી રીતે, બિંદુ x = 5 પર વત્તાથી માઈનસમાં વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન - આ મહત્તમ બિંદુ છે.
કાર્ય. આકૃતિ ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે, જે અંતરાલ [−6; 4]. સેગમેન્ટ [−4; 3].
સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ પરથી તે અનુસરે છે કે સેગમેન્ટ [−4; 3]. એટલા માટે અમે બનાવી રહ્યા છીએ નવું શેડ્યૂલ, જેના પર આપણે ફક્ત સીમાઓને ચિહ્નિત કરીએ છીએ [−4; 3] અને તેની અંદર વ્યુત્પન્નના શૂન્ય. જેમ કે, પોઈન્ટ x = −3.5 અને x = 2. આપણને મળે છે:
આ આલેખ પર માત્ર એક મહત્તમ બિંદુ x = 2 છે. તે આ બિંદુએ છે કે વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન વત્તાથી માઈનસમાં બદલાય છે.
બિન-પૂર્ણાંક કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુઓ વિશે એક નાની નોંધ. ઉદાહરણ તરીકે, માં છેલ્લું કાર્યબિંદુ x = −3.5 ગણવામાં આવ્યો હતો, પરંતુ તે જ સફળતા સાથે આપણે x = −3.4 લઈ શકીએ છીએ. જો સમસ્યા યોગ્ય રીતે સંકલિત કરવામાં આવી હોય, તો આવા ફેરફારો જવાબને અસર કરશે નહીં, કારણ કે "નિશ્ચિત નિવાસ સ્થાન વિના" પોઈન્ટ સ્વીકારતા નથી. સીધી ભાગીદારીસમસ્યાના ઉકેલમાં. અલબત્ત, આ યુક્તિ પૂર્ણાંક બિંદુઓ સાથે કામ કરશે નહીં.
વધતા અને ઘટતા કાર્યોના અંતરાલો શોધવી
આવી સમસ્યામાં, મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓની જેમ, તે વિસ્તારો શોધવા માટે વ્યુત્પન્ન ગ્રાફનો ઉપયોગ કરવાની દરખાસ્ત કરવામાં આવે છે જેમાં કાર્ય પોતે વધે છે અથવા ઘટે છે. પ્રથમ, ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે વધારો અને ઘટાડો શું છે:
- ફંક્શન f(x) એ સેગમેન્ટ પર વધી રહ્યું હોવાનું કહેવાય છે જો આ સેગમેન્ટમાંથી કોઈપણ બે બિંદુઓ x 1 અને x 2 માટે નીચેનું વિધાન સાચું છે: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દલીલ મૂલ્ય જેટલું મોટું છે, ફંક્શન મૂલ્ય જેટલું મોટું છે.
- ફંક્શન f(x) એ સેગમેન્ટ પર ઘટતું કહેવાય છે જો આ સેગમેન્ટમાંથી કોઈપણ બે બિંદુઓ x 1 અને x 2 માટે નીચેનું વિધાન સાચું છે: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). તે. ઉચ્ચ મૂલ્યદલીલ મેળ ખાય છે ઓછી કિંમતકાર્યો
ચાલો ઘડીએ પૂરતી શરતોચડતા અને ઉતરતા:
- ક્રમમાં સતત કાર્ય f(x) સેગમેન્ટ પર વધે છે, તે પૂરતું છે કે સેગમેન્ટની અંદર તેનું ડેરિવેટિવ ધન છે, એટલે કે. f’(x) ≥ 0.
- સેગમેન્ટ પર સતત ફંક્શન f(x) ઘટાડવા માટે, તે પૂરતું છે કે સેગમેન્ટની અંદર તેનું ડેરિવેટિવ નકારાત્મક હોય, એટલે કે. f’(x) ≤ 0.
ચાલો પુરાવા વિના આ નિવેદનો સ્વીકારીએ. આમ, અમે વધતા અને ઘટતા અંતરાલો શોધવા માટે એક સ્કીમ મેળવીએ છીએ, જે ઘણી રીતે એક્સ્ટ્રામમ પોઈન્ટની ગણતરી માટેના અલ્ગોરિધમના સમાન છે:
- બધી બિનજરૂરી માહિતી દૂર કરો. વ્યુત્પન્નના મૂળ ગ્રાફમાં, અમને મુખ્યત્વે ફંક્શનના શૂન્યમાં રસ છે, તેથી અમે ફક્ત તેમને જ છોડીશું.
- શૂન્ય વચ્ચેના અંતરાલો પર વ્યુત્પન્નના ચિહ્નોને ચિહ્નિત કરો. જ્યાં f’(x) ≥ 0, કાર્ય વધે છે, અને જ્યાં f’(x) ≤ 0, તે ઘટે છે. જો સમસ્યા ચલ x પર નિયંત્રણો સેટ કરે છે, તો અમે તેને નવા ગ્રાફ પર પણ ચિહ્નિત કરીએ છીએ.
- હવે જ્યારે આપણે કાર્યની વર્તણૂક અને અવરોધો જાણીએ છીએ, તે સમસ્યામાં જરૂરી જથ્થાની ગણતરી કરવાનું બાકી છે.
કાર્ય. આકૃતિ અંતરાલ [−3; 7.5]. ફંક્શન f(x) ના ઘટાડાના અંતરાલો શોધો. તમારા જવાબમાં, આ અંતરાલોમાં સમાવિષ્ટ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો દર્શાવો.
હંમેશની જેમ, ચાલો આલેખને ફરીથી દોરીએ અને સીમાઓને ચિહ્નિત કરીએ [−3; 7.5], તેમજ ડેરિવેટિવ x = −1.5 અને x = 5.3 ના શૂન્ય. પછી આપણે વ્યુત્પન્નના ચિહ્નો નોંધીએ છીએ. અમારી પાસે છે:
વ્યુત્પન્ન અંતરાલ (− 1.5) પર નકારાત્મક હોવાથી, આ ઘટતા કાર્યનું અંતરાલ છે. આ અંતરાલની અંદરના તમામ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવાનું બાકી છે:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
કાર્ય. આકૃતિ અંતરાલ [−10; 4]. ફંક્શન f(x) ના વધારાના અંતરાલો શોધો. તમારા જવાબમાં, તેમાંથી સૌથી મોટાની લંબાઈ દર્શાવો.
ચાલો બિનજરૂરી માહિતીથી છૂટકારો મેળવીએ. ચાલો ફક્ત સીમાઓ જ છોડીએ [−10; 4] અને વ્યુત્પન્નના શૂન્ય, જેમાંથી આ વખતે ચાર હતા: x = −8, x = −6, x = −3 અને x = 2. ચાલો વ્યુત્પન્નના ચિહ્નોને ચિહ્નિત કરીએ અને નીચેનું ચિત્ર મેળવીએ:
અમે વધતા કાર્યના અંતરાલોમાં રસ ધરાવીએ છીએ, એટલે કે. જેમ કે જ્યાં f’(x) ≥ 0. ગ્રાફ પર આવા બે અંતરાલ છે: (−8; −6) અને (−3; 2). ચાલો તેમની લંબાઈની ગણતરી કરીએ:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
આપણે સૌથી મોટા અંતરાલોની લંબાઈ શોધવાની જરૂર હોવાથી, અમે જવાબ તરીકે મૂલ્ય l 2 = 5 લખીએ છીએ.
નક્કી કરતી વખતે વિવિધ કાર્યોઆ કાર્યમાંથી સમાન વિશ્લેષણાત્મક પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને ભૂમિતિ, મિકેનિક્સ, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને જ્ઞાનની અન્ય શાખાઓ જરૂરી બની ગઈ. y=f(x)પ્રાપ્ત કરો નવી સુવિધાજેને કહેવામાં આવે છે વ્યુત્પન્ન કાર્ય(અથવા માત્ર આપેલ ફંક્શન f(x) નું વ્યુત્પન્નઅને પ્રતીક દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે
પ્રક્રિયા કે જેના દ્વારા આપેલ કાર્યમાંથી f(x)નવી સુવિધા મેળવો f" (x), કહેવાય છે તફાવતઅને તે નીચેના ત્રણ પગલાઓ ધરાવે છે: 1) દલીલ આપો xવધારો
xઅને કાર્યની અનુરૂપ વૃદ્ધિ નક્કી કરો
y = f(x+
x) -f(x); 
2) સંબંધ બનાવો x 3) ગણતરી
xસતત અને 
0, અમે શોધીએ છીએ f" (x), જે આપણે દ્વારા સૂચિત કરીએ છીએ x, જાણે પર ભાર મૂકે છે કે પરિણામી કાર્ય ફક્ત મૂલ્ય પર આધારિત છે , જેના પર આપણે મર્યાદા પર જઈએ છીએ.:
વ્યાખ્યા
વ્યુત્પન્ન y " =f " (x)
આપેલ કાર્ય y=f(x)આપેલ x માટે 
ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે, જો કે, જો, અલબત્ત, આ મર્યાદા અસ્તિત્વમાં હોય, એટલે કે દલીલનો વધારો શૂન્ય તરફ વળે છે. મર્યાદિત 
આમ, x, અથવા નોંધ કરો કે જો અમુક મૂલ્ય પર, ઉદાહરણ તરીકે જ્યારે 
x=a
x, વલણ ખાતે0 નું વલણ નથી f(x)મર્યાદિત મર્યાદા નોંધ કરો કે જો અમુક મૂલ્ય પર, પછી આ કિસ્સામાં તેઓ કહે છે કે કાર્ય નોંધ કરો કે જો અમુક મૂલ્ય પરખાતે નોંધ કરો કે જો અમુક મૂલ્ય પર.
(અથવા બિંદુ પર
) નું કોઈ વ્યુત્પન્ન નથી અથવા તે બિંદુ પર અલગ નથી
f(x)
2. વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ.
ફંક્શન y = f (x) ના આલેખને ધ્યાનમાં લો, બિંદુ x 0 ની નજીકમાં વિભેદક
હવે આપણે ∆x ને ઘટાડીશું, એટલે કે. ∆х→ 0. આ કિસ્સામાં, બિંદુ B ગ્રાફ અનુસાર બિંદુ A પાસે આવશે, અને સેકન્ટ AB ફરશે. ∆x→ 0 પર સેકન્ટ AB ની સીમિત સ્થિતિ એ એક સીધી રેખા (a) હશે, જેને બિંદુ A પર કાર્ય y = f (x) ના ગ્રાફને સ્પર્શક કહેવાય છે.
જો આપણે સમાનતા tgβ =∆y/∆x માં ∆x → 0 તરીકે મર્યાદા પર જઈએ, તો આપણને મળશે 
ortg =f "(x 0), ત્યારથી 
- ઓક્સ અક્ષની હકારાત્મક દિશામાં સ્પર્શકના ઝોકનો કોણ 
, વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા દ્વારા. પરંતુ tg = k એ સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક છે, જેનો અર્થ છે k = tg = f "(x 0).
તેથી, વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ નીચે મુજબ છે:
બિંદુ x પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન 0 ની સમાન ઢાળ abscissa x સાથે બિંદુ પર દોરેલા ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક 0 .
3. વ્યુત્પન્નનો ભૌતિક અર્થ.
સીધી રેખા સાથે બિંદુની હિલચાલને ધ્યાનમાં લો. કોઈપણ સમયે બિંદુનો સંકલન x(t) આપવા દો. તે જાણીતું છે (ભૌતિકશાસ્ત્રના અભ્યાસક્રમમાંથી) કે સમયના સમયગાળા દરમિયાન સરેરાશ ઝડપ આ સમયગાળા દરમિયાન મુસાફરી કરેલા અંતરના ગુણોત્તર સમાન છે, એટલે કે.
વાવ = ∆x/∆t. ચાલો છેલ્લી સમાનતામાં ∆t → 0 તરીકેની મર્યાદા પર જઈએ.
લિમ વાવ (t) = (t 0) - ત્વરિત ગતિસમયે t 0, ∆t → 0.
અને લિમ = ∆x/∆t = x"(t 0) (વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યા દ્વારા).
તેથી, (t) =x"(t).
વ્યુત્પન્નનો ભૌતિક અર્થ નીચે મુજબ છે: કાર્યનું વ્યુત્પન્નy = f(x) બિંદુ પરx 0 ફંક્શનના ફેરફારનો દર છેf(x) બિંદુ પરx 0
વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઝડપ શોધવા માટે થાય છે જાણીતું કાર્યસમય વિરુદ્ધ સંકલન, વેગ વિરુદ્ધ સમયના જાણીતા કાર્ય પર આધારિત પ્રવેગક.
(t) = x"(t) - ઝડપ,
a(f) = "(t) - પ્રવેગક, અથવા
જો વર્તુળમાં ભૌતિક બિંદુની ગતિનો નિયમ જાણીતો હોય, તો વ્યક્તિ કોણીય વેગ શોધી શકે છે અને કોણીય પ્રવેગકરોટેશનલ ચળવળ દરમિયાન:
φ = φ(t) - સમય સાથે કોણમાં ફેરફાર,
ω = φ"(t) - કોણીય વેગ,
ε = φ"(t) - કોણીય પ્રવેગક, અથવા ε = φ"(t).
જો અસમાન સળિયાના સામૂહિક વિતરણનો કાયદો જાણીતો હોય, તો અસંગત સળિયાની રેખીય ઘનતા શોધી શકાય છે:
m = m(x) - સમૂહ,
x , l - સળિયાની લંબાઈ,
p = m"(x) - રેખીય ઘનતા.
વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને, સ્થિતિસ્થાપકતા અને હાર્મોનિક સ્પંદનોના સિદ્ધાંતમાંથી સમસ્યાઓ હલ થાય છે. તેથી, હૂકના કાયદા અનુસાર
F = -kx, x – ચલ સંકલન, k – વસંત સ્થિતિસ્થાપકતા ગુણાંક. ω 2 =k/m મૂકીને, આપણે સ્પ્રિંગ લોલક x"(t) + ω 2 x(t) = 0 નું વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ,
જ્યાં ω = √k/√m ઓસિલેશન ફ્રીક્વન્સી (l/c), k - વસંતની જડતા (H/m).
ફોર્મ y" + ω 2 y = 0 ના સમીકરણને હાર્મોનિક ઓસિલેશન (યાંત્રિક, વિદ્યુત, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક) ના સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. આવા સમીકરણોનો ઉકેલ એ કાર્ય છે.
y = અસિન(ωt + φ 0) અથવા y = Acos(ωt + φ 0), જ્યાં
A - ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર, ω - ચક્રીય આવર્તન,
φ 0 - પ્રારંભિક તબક્કો.
