મેટલેબમાં હિસ્ટોગ્રામને સંશોધિત કરવા માટેની કેટલીક પદ્ધતિઓનો અમલ

એક કરતા વધુ વખત નોંધ્યું છે તેમ, છબીની સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓમાંની એક તેના તત્વોની તેજસ્વીતાના વિતરણનો હિસ્ટોગ્રામ છે. અગાઉ, અમે હિસ્ટોગ્રામને સંશોધિત કરવાના સૈદ્ધાંતિક પાયાની સંક્ષિપ્તમાં સમીક્ષા કરી છે, તેથી આ કાર્યમાં અમે મેટલેબ સિસ્ટમમાં હિસ્ટોગ્રામને રૂપાંતરિત કરવા માટેની કેટલીક પદ્ધતિઓના અમલીકરણના વ્યવહારિક પાસાઓ પર વધુ ધ્યાન આપીશું. તે જ સમયે, અમે નોંધીએ છીએ કે હિસ્ટોગ્રામને સંશોધિત કરવું એ છબીઓની દ્રશ્ય ગુણવત્તાને સુધારવા માટેની એક પદ્ધતિ છે.

પગલું 1: મૂળ છબી વાંચવી.

અમે મેટલેબ વર્કસ્પેસમાં ફાઇલમાંથી મૂળ છબી વાંચીએ છીએ અને તેને મોનિટર સ્ક્રીન પર પ્રદર્શિત કરીએ છીએ.

L=imread("lena.bmp");

આકૃતિ, imshow(L);

અભ્યાસ હેઠળની મૂળ છબી હાફટોન હોવાથી, અમે બહુપરીમાણીય એરેના માત્ર એક ઘટકને ધ્યાનમાં લઈશું.

ચોખા. 1. મૂળ છબી.

કામ હિસ્ટોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશન પદ્ધતિઓને ધ્યાનમાં લેતું હોવાથી, અમે મૂળ છબીનો હિસ્ટોગ્રામ પણ બનાવીશું.

ફિગ.2. મૂળ છબીનો હિસ્ટોગ્રામ.

પગલું 2: સમાન હિસ્ટોગ્રામ પરિવર્તન.

હિસ્ટોગ્રામનું એકસમાન રૂપાંતર સૂત્ર અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે

જ્યાં , - મૂળ છબીની તીવ્રતા એરેના ઘટકોના લઘુત્તમ અને મહત્તમ મૂલ્યો;

મૂળ છબીની સંભાવના વિતરણ કાર્ય, જે વિતરણ હિસ્ટોગ્રામ દ્વારા અંદાજિત છે . બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમે વાત કરી રહ્યા છીએછબીના સંચિત હિસ્ટોગ્રામ વિશે.

મતલેબમાં, આને નીચે મુજબ લાગુ કરી શકાય છે. મૂળ છબીના સંચિત હિસ્ટોગ્રામની ગણતરી કરો

CH=કમસમ(H)./(N*M);

મૂળ ઇમેજના હિસ્ટોગ્રામ મૂલ્યોનો વેક્ટર, અને , આ ઇમેજના પરિમાણો છે, જે માપ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.

L1(i,j)=CH(ceil(255*L(i,j)+eps));

આકૃતિ, imshow(L1);

સંચિત હિસ્ટોગ્રામ સૂચકાંકોને શૂન્ય મૂલ્યો સોંપવાનું ટાળવા માટે eps મૂલ્યનો ઉપયોગ સીલ ફંક્શન સાથે જોડાણમાં થાય છે. યુનિફોર્મ હિસ્ટોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશન પદ્ધતિને લાગુ કરવાનું પરિણામ ફિગમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. 3.

ચોખા. 3. યુનિફોર્મ હિસ્ટોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશન મેથડ દ્વારા પ્રોસેસ કરેલ મૂળ ઈમેજ.

ફોર્મ્યુલા (1) અનુસાર રૂપાંતરિત છબીનો હિસ્ટોગ્રામ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 4. તે ખરેખર લગભગ સમગ્ર ગતિશીલ શ્રેણી પર કબજો કરે છે અને સમાન છે.

ચોખા. 4. ફિગમાં બતાવેલ છબીનો હિસ્ટોગ્રામ. 3.

ઇમેજ એલિમેન્ટ્સના તીવ્રતા સ્તરનું સમાન ટ્રાન્સમિશન તેના સંચિત હિસ્ટોગ્રામ (ફિગ. 5) દ્વારા પણ પુરાવા મળે છે.

ફિગ.5. ફિગમાં બતાવેલ છબીનો સંચિત હિસ્ટોગ્રામ. 3.

પગલું 3: ઘાતાંકીય હિસ્ટોગ્રામ પરિવર્તન.

હિસ્ટોગ્રામનું ઘાતાંકીય રૂપાંતર સૂત્ર અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે

જ્યાં ઘાતાંકીય રૂપાંતરણની તીવ્રતા દર્શાવતી ચોક્કસ સ્થિરતા છે.

મતલેબમાં, ફોર્મ્યુલા (2) અનુસાર રૂપાંતર નીચે પ્રમાણે અમલમાં મૂકી શકાય છે.

L2(i,j)=-(1/alfa1)*log10(1-CH(ceil(255*L(i,j)+eps)));

આકૃતિ, imshow(L2);

ચોખા. 6. ઘાતાંકીય હિસ્ટોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પ્રક્રિયા કર્યા પછીની મૂળ છબી.

ઘાતાંકીય રૂપાંતરણ પદ્ધતિ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ છબીનો હિસ્ટોગ્રામ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 7.

ચોખા. 7. ઘાતાંકીય રૂપાંતર પદ્ધતિ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ છબીનો હિસ્ટોગ્રામ.

રૂપાંતરણોની ઘાતાંકીય પ્રકૃતિ પ્રોસેસ્ડ ઈમેજના સંચિત હિસ્ટોગ્રામમાં સૌથી વધુ સ્પષ્ટપણે પ્રગટ થાય છે, જે ફિગમાં પ્રસ્તુત છે. 8.

ચોખા. 8. ઘાતાંકીય રૂપાંતરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પ્રક્રિયા કરેલ છબીનો સંચિત હિસ્ટોગ્રામ.

પગલું 4: રેલેના નિયમનો ઉપયોગ કરીને હિસ્ટોગ્રામને રૂપાંતરિત કરો.

રેલેના નિયમ અનુસાર હિસ્ટોગ્રામ રૂપાંતરણ અભિવ્યક્તિ અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે

જ્યાં પરિણામી ઇમેજના ઘટકોની તીવ્રતાના વિતરણના હિસ્ટોગ્રામની લાક્ષણિકતા ચોક્કસ સ્થિર છે.

ચાલો મતલબ પર્યાવરણમાં આ પરિવર્તનોના અમલીકરણને રજૂ કરીએ.

L3(i,j)=sqrt(2*alfa2^2*log10(1/(1-CH(ceil(255*L(i,j)+eps)))));

આકૃતિ, imshow(L3);

ચોખા. 9. રેલેના નિયમ અનુસાર હિસ્ટોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશન પદ્ધતિ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ મૂળ છબી.

રેલે લો ટ્રાન્સફોર્મેશન મેથડ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ ઇમેજનો હિસ્ટોગ્રામ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 10.

ચોખા. 10. રેલે લો ટ્રાન્સફોર્મેશન મેથડનો ઉપયોગ કરીને પ્રક્રિયા કરાયેલ ઈમેજનો હિસ્ટોગ્રામ.

રેલે લો ટ્રાન્સફોર્મેશન પદ્ધતિ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ ઇમેજનો સંચિત હિસ્ટોગ્રામ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 11.

ચોખા. 11. રેલે લો ટ્રાન્સફોર્મેશન મેથડનો ઉપયોગ કરીને પ્રક્રિયા કરવામાં આવેલ ઇમેજનો ક્યુમ્યુલેટિવ હિસ્ટોગ્રામ.

પગલું 5: પાવર લોનો ઉપયોગ કરીને હિસ્ટોગ્રામને રૂપાંતરિત કરો.

શક્તિના કાયદા અનુસાર ઇમેજ હિસ્ટોગ્રામનું રૂપાંતર અભિવ્યક્તિ અનુસાર લાગુ કરવામાં આવે છે

Matlab માં, આ પદ્ધતિ નીચે પ્રમાણે અમલમાં મૂકી શકાય છે.

L4(i,j)=(CH(ceil(255*L(i,j)+eps)))^(2/3);

આકૃતિ, imshow(L4);

ચોખા. 12. પાવર લો અનુસાર હિસ્ટોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશન પદ્ધતિ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ મૂળ છબી.

પ્રોસેસ્ડ ઇમેજના ઘટકોની તીવ્રતાના વિતરણનો હિસ્ટોગ્રામ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 13.

ચોખા. 13. પાવર લો અનુસાર હિસ્ટોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશન મેથડ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ ઈમેજનો હિસ્ટોગ્રામ.

પ્રોસેસ્ડ ઇમેજનો સંચિત હિસ્ટોગ્રામ, જે ગ્રે લેવલના ટ્રાન્સમિશનની પ્રકૃતિને સૌથી વધુ સ્પષ્ટ રીતે દર્શાવે છે, તે ફિગમાં પ્રસ્તુત છે. 14.

ચોખા. 14. પાવર લો ટ્રાન્સફોર્મેશન મેથડ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ ઈમેજનો ક્યુમ્યુલેટિવ હિસ્ટોગ્રામ.

પગલું 6: હાયપરબોલિક હિસ્ટોગ્રામ ટ્રાન્સફોર્મેશન.

હિસ્ટોગ્રામનું હાયપરબોલિક રૂપાંતર સૂત્ર અનુસાર અમલમાં મૂકવામાં આવે છે

જ્યાં હિસ્ટોગ્રામનું હાયપરબોલિક ટ્રાન્સફોર્મેશન હાથ ધરવામાં આવે છે તેના સંદર્ભમાં ચોક્કસ સ્થિરાંક ક્યાં છે. વાસ્તવમાં, પરિમાણ ઇમેજ ઘટકોના ન્યૂનતમ તીવ્રતા મૂલ્યની બરાબર છે.

Matlab પર્યાવરણમાં આ પદ્ધતિ નીચે પ્રમાણે અમલમાં મૂકી શકાય છે

L5(i,j)=.01^(CH(ceil(255*L(i,j)+eps))); % વી આ કિસ્સામાં A=0.01

આકૃતિ, imshow(L5);

ચોખા. 15. હાયપરબોલિક ટ્રાન્સફોર્મેશન પદ્ધતિ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ મૂળ છબી.

આ રીતે પ્રક્રિયા કરેલ છબીના ઘટકોની તીવ્રતાના વિતરણનો હિસ્ટોગ્રામ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 16.

ચોખા. 16. હાયપરબોલિક ટ્રાન્સફોર્મેશન મેથડ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ ઇમેજનો હિસ્ટોગ્રામ.

સંચિત હિસ્ટોગ્રામ, જેનો આકાર હાથ ધરવામાં આવતા પરિવર્તનની પ્રકૃતિને અનુરૂપ છે, તે ફિગમાં પ્રસ્તુત છે. 17.

ચોખા. 17. હાયપરબોલિક ટ્રાન્સફોર્મ મેથડ દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ ઇમેજનો ક્યુમ્યુલેટિવ હિસ્ટોગ્રામ.

આ કાર્યમાં, હિસ્ટોગ્રામમાં ફેરફાર કરવા માટેની કેટલીક પદ્ધતિઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી. દરેક પદ્ધતિને લાગુ કરવાનું પરિણામ એ છે કે પ્રોસેસ્ડ ઇમેજના ઘટકોની તેજસ્વીતાના વિતરણનો હિસ્ટોગ્રામ ચોક્કસ આકાર લે છે. આ પ્રકારના રૂપાંતરણનો ઉપયોગ પરિમાણ સ્તરોના પ્રસારણમાં વિકૃતિઓને દૂર કરવા માટે થઈ શકે છે જેમાં છબીઓ રચના, ટ્રાન્સમિશન અથવા ડેટા પ્રોસેસિંગના તબક્કે આધિન હતી.

એ પણ નોંધ કરો કે ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી પદ્ધતિઓ માત્ર વૈશ્વિક સ્તરે જ નહીં, પણ સ્લાઇડિંગ મોડમાં પણ લાગુ કરી શકાય છે. આ ગણતરીઓને જટિલ બનાવશે, કારણ કે દરેક પર હિસ્ટોગ્રામનું વિશ્લેષણ કરવું જરૂરી રહેશે સ્થાનિક વિસ્તાર. જો કે, બીજી બાજુ, આવા પરિવર્તનો, વૈશ્વિક અમલીકરણથી વિપરીત, સ્થાનિક વિસ્તારોની વિગતોમાં વધારો કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

રેલેના કાયદામાં સંભાવના ઘનતા (જુઓ. આકૃતિ 3.4) નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે

જ્યાં  એ રેલે વિતરણનું પરિમાણ છે (આ વિતરણના મોડની બરાબર). તેને પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે મિશ્રિત કરવાની જરૂર નથી:

.

નિષ્ફળતા દર છે:

.

રેલે ડિસ્ટ્રિબ્યુશનની લાક્ષણિકતા એક સીધી રેખા આલેખ છે  (ટી),મૂળથી શરૂ કરીને.

આ કિસ્સામાં ઑબ્જેક્ટની નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવના અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

. (3.12)

નિષ્ફળતા માટેનો સમય

. (3.13)

1. 3.4. સામાન્ય વિતરણ (ગૌસિયન વિતરણ)

સામાન્ય વિતરણ કાયદો ફોર્મની સંભાવના ઘનતા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે

, (3.14)

જ્યાં m x ,  x - અનુક્રમે ગાણિતિક અપેક્ષાઅને સરેરાશ પ્રમાણભૂત વિચલન રેન્ડમ ચલએક્સ.

ઇલેક્ટ્રિકલ ઇન્સ્ટોલેશનની વિશ્વસનીયતાનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, રેન્ડમ ચલના સ્વરૂપમાં, સમય ઉપરાંત, વર્તમાન મૂલ્યો ઘણીવાર દેખાય છે, વિદ્યુત વોલ્ટેજઅને અન્ય દલીલો. સામાન્ય કાયદો- આ બે-પેરામીટર કાયદો છે, જે લખવા માટે તમારે જાણવાની જરૂર છે m xઅને  x .

નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવના સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

, (3.15)

અને નિષ્ફળતા દર સૂત્ર મુજબ છે

.

ફિગ માં. આકૃતિ 3.5 કેસ  t  m t માટે વણાંકો (t), Р(t) અને  (t) દર્શાવે છે, જે સ્વચાલિત નિયંત્રણ પ્રણાલીઓમાં વપરાતા તત્વોની લાક્ષણિકતા છે.

આ માર્ગદર્શિકા રેન્ડમ ચલના વિતરણના માત્ર સૌથી સામાન્ય નિયમો દર્શાવે છે. ત્યાં ઘણા જાણીતા કાયદાઓ છે જેનો ઉપયોગ વિશ્વસનીયતાની ગણતરીમાં પણ થાય છે: ગામા વિતરણ, -વિતરણ, મેક્સવેલ, એરલાંગ, વગેરે વિતરણ.

એ નોંધવું જોઈએ કે જો અસમાનતા  t  m t અવલોકન કરવામાં આવતું નથી, તો કાપેલા સામાન્ય વિતરણનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ.

નિષ્ફળતા માટે સમયના વ્યવહારિક વિતરણના પ્રકારની વાજબી પસંદગી કરવા માટે, તે જરૂરી છે મોટી સંખ્યામાંસમજૂતી સાથે ઇનકાર શારીરિક પ્રક્રિયાઓ, નિષ્ફળતા પહેલા વસ્તુઓમાં થાય છે.

વિદ્યુત સ્થાપનોના અત્યંત વિશ્વસનીય ઘટકોમાં, ઓપરેશન અથવા વિશ્વસનીયતા પરીક્ષણ દરમિયાન, શરૂઆતમાં ઉપલબ્ધ વસ્તુઓનો માત્ર એક નાનો ભાગ નિષ્ફળ જાય છે. તેથી મૂલ્ય સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ, પ્રક્રિયાના પરિણામે જોવા મળે છે પ્રાયોગિક ડેટા, અપેક્ષિત સમય-થી-નિષ્ફળતા વિતરણના પ્રકાર પર ભારપૂર્વક આધાર રાખે છે. માં બતાવ્યા પ્રમાણે, જ્યારે વિવિધ કાયદાનિષ્ફળતાનો સમય, નિષ્ફળતા માટેના સરેરાશ સમયના મૂલ્યો, સમાન પ્રારંભિક ડેટામાંથી ગણવામાં આવે છે, સેંકડો વખત અલગ હોઈ શકે છે. તેથી, પસંદગીનો પ્રશ્ન સૈદ્ધાંતિક મોડેલનિષ્ફળતા માટે સમયનું વિતરણ આપવું આવશ્યક છે ખાસ ધ્યાનસૈદ્ધાંતિક અને પ્રાયોગિક વિતરણોના અનુરૂપ પુરાવા સાથે (વિભાગ 8 જુઓ).

1. 3.5. વિશ્વસનીયતાની ગણતરીમાં વિતરણ કાયદાનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો

ચાલો નિષ્ફળતાના સમયના વિતરણના સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા કાયદાઓ માટે વિશ્વસનીયતા સૂચકાંકો નક્કી કરીએ.

1. 3.5.1. ઘાતાંકીય વિતરણ કાયદા હેઠળ વિશ્વસનીયતા સૂચકાંકોનું નિર્ધારણ

ઉદાહરણ .

ઑબ્જેક્ટને નિષ્ફળતા દર  = 2.5  10 -5 1/h સાથે નિષ્ફળતાની ઘટનાના સમયનું ઘાતાંકીય વિતરણ કરવા દો.

t = 2000 કલાક માટે બિન-પુનઃસ્થાપિત ઑબ્જેક્ટના મુખ્ય વિશ્વસનીયતા સૂચકાંકોની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

t = 2000 કલાક દરમિયાન નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવના બરાબર છે

t = 2000 કલાકમાં નિષ્ફળતાની સંભાવના છે

 (2000) = 1 - P (2000) = 1 - 0.9512 = 0.0488.

નિષ્ફળતા માટેનો સમય

અભિવ્યક્તિ (2.5) નો ઉપયોગ કરીને, 500 કલાકથી 2500 કલાક સુધીના સમય અંતરાલમાં નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવના, જો કે ઑબ્જેક્ટ 500 કલાક સુધી નિષ્ફળતા વિના કામ કરે છે, તે બરાબર છે

h રેલે વિતરણની રજૂઆત જે.ડબલ્યુ. રેલે (1880) દ્વારા વધારાની સમસ્યાના સંબંધમાં કરવામાં આવી હતી.હાર્મોનિક સ્પંદનો સર્પાકાર તબક્કાઓ સાથે. રેલેના નિયમનો ઉપયોગ બિન-નકારાત્મક જથ્થાઓનું વર્ણન કરવા માટે થાય છે, ખાસ કરીને જ્યારે રેન્ડમ ચલ એ દ્વિ-પરિમાણીય ગૌસિયન વિતરણ હેઠળ ત્રિજ્યા વેક્ટર છે. વણાટ ઉદ્યોગમાં, રેલેના કાયદાનો વ્યાપકપણે વિશ્લેષણ માટે ઉપયોગ થાય છેભૌમિતિક આકાર

, ઉદાહરણ તરીકે, બિન-ગોળાઈ, બિન-નળાકારતા, વાર્પિંગ શાફ્ટ અને વીવિંગ બીમ પર વિન્ડિંગ વિલક્ષણતા. સંભાવના સિદ્ધાંતના કાર્યક્રમોમાં પણ જોવા મળે છે, ઉદાહરણ તરીકે રેડિયો એન્જિનિયરિંગ. વિતરણ છેભૌમિતિક સરવાળો

પરિમાણો સાથે ગૌસ કાયદાને આધીન રેન્ડમ ચલો: .

(2.3.1)

રેલે વિતરણની સંભાવના ઘનતાનું સ્વરૂપ છે: મૂળનું પ્રમાણભૂત વિચલન ક્યાં છેદ્વિ-પરિમાણીય વિતરણ

=). મૂલ્ય એ રેલેના કાયદાનું પરિમાણ છે.મહત્તમ મૂલ્ય .

ઘનતા સમાન છે અને તેના પર પ્રાપ્ત થાય છે (ફિગ. 2.3.1 વિવિધ માટે રેલે વિતરણ ઘનતાના આલેખ બતાવે છે)

ફિગ. 2.3.1 વિવિધ માટે રેલે વિતરણ ઘનતા આલેખ (2.3.2)

વિતરણ કાર્ય ફોર્મ ધરાવે છે:

(2.3.3)

(2.3.4)

જ્યારે નવા ચલને બદલીએ છીએ, ત્યારે અમે સામાન્યકૃત રેલે કાયદાની સંભાવના ઘનતા અને વિતરણ કાર્ય મેળવીએ છીએ:

સામાન્યકૃત સંભાવના ઘનતા અને વિતરણ કાર્યોના આલેખ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યા છે. 2.3.2.

વિભેદક વળાંક (ફિગ. 2.3.2, a)માં હકારાત્મક અસમપ્રમાણતા અને ગૌસીયન વિતરણ કરતાં વધુ તીવ્ર શિખર છે.

ફિગ.2.3.2. સામાન્યકૃત રેલે કાયદાની સંભાવના ઘનતા (a) અને વિતરણ કાર્ય (b)

ચાલો ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા અને પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરીએ:

1. ગાણિતિક અપેક્ષા. (2.3.5)

આથી,

.

.

2. વિચલન.

(2.3.6)

આથી,

(2.3.7).

ચાલો skewness અને kurtosis ની ગણતરી કરીએ:

1.અસમપ્રમાણતા.

, ક્યાં .

2. વિચલન.

(2.3.8)

2. અધિક.

, ક્યાં .

2. વિચલન.

(2.3.9)

સામાન્યકૃત રેલે વિતરણ પરિમાણ પર આધારિત નથી અને સરળતાથી ટેબ્યુલેટેડ છે.

કામનો અંત -

આ વિષય વિભાગનો છે:

ગાણિતિક આંકડાઓના વધારાના પ્રકરણો શિસ્ત પરના અહેવાલો. રીગ્રેસન વિશ્લેષણ

જો તમને જરૂર હોય વધારાની સામગ્રીઆ વિષય પર, અથવા તમે જે શોધી રહ્યા હતા તે તમને મળ્યું નથી, અમે અમારા કાર્યોના ડેટાબેઝમાં શોધનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ:

પ્રાપ્ત સામગ્રી સાથે અમે શું કરીશું:

જો આ સામગ્રી તમારા માટે ઉપયોગી હતી, તો તમે તેને સામાજિક નેટવર્ક્સ પર તમારા પૃષ્ઠ પર સાચવી શકો છો:

આ વિભાગના તમામ વિષયો:

રીગ્રેશન એનાલિસિસના પ્રકાર
મલ્ટી-સ્ટેપ રીગ્રેસન (MSRA) એ રેખીય રીગ્રેસન મોડેલમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલા ગુણાંકની સંખ્યા વધારવા અથવા ઘટાડવાની દિશામાં કરવામાં આવતા RA પગલાંઓનો ક્રમ છે.

લીનિયર રીગ્રેશન
રીગ્રેસન વિશ્લેષણ- પ્રકરણ ગાણિતિક આંકડા, એકીકરણ વ્યવહારુ પદ્ધતિઓઆંકડાકીય માહિતીના આધારે જથ્થાઓ વચ્ચેના રીગ્રેસન સંબંધોનો અભ્યાસ. સમસ્યા

હૃદયના ધબકારા અને આરએના આધારે કરવામાં આવેલ કાર્યની શક્તિ વચ્ચેના રેખીય સંબંધનો અભ્યાસ
માટે રેખીય રીગ્રેસન સમીકરણની ગણતરી કરો અને પ્લોટ કરો સંબંધિત મૂલ્યો PWC170 (1) અને 13 વિષયો માટે શટલ રન ટાઈમ 3x10 m અને સમીકરણની ગણતરીની ચોકસાઈ વિશે નિષ્કર્ષ દોરો

ઑબ્જેક્ટનું વર્ણન
અમારા કિસ્સામાં, અભ્યાસનો હેતુ મોસ્કો સરકારની કૌટુંબિક અને યુવા બાબતોની સમિતિની વેબ સાઇટ પર ટ્રાફિકના અવલોકનોનો સમૂહ છે www.telekurs.ru/ismm. સાઇટનો વિષય છે

નમૂનારૂપ ઘટનાને આકાર આપતા પરિબળો
મોડેલ માટેના પરિબળોની પસંદગી બે તબક્કામાં હાથ ધરવામાં આવે છે. ચાલુ પ્રથમ આવે છેવિશ્લેષણ, જેના પરિણામોના આધારે સંશોધક તારણ આપે છે કે ચોક્કસ ઘટનાઓને ચલ તરીકે ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે.

રીગ્રેસન સમીકરણ બનાવવું
ઉપયોગ કરીને સોફ્ટવેર"ઓલિમ્પ" (જે બદલામાં ગણતરીઓ માટે ઉપરોક્ત સિદ્ધાંતો અને સૂત્રોનો ઉપયોગ કરે છે, જે આપણું જીવન ખૂબ સરળ બનાવે છે), અમે જરૂરી સમીકરણ શોધીશું.

મોડેલનો અર્થ
જેમ જેમ દરરોજ ખાલી જગ્યાઓની સંખ્યા વધશે તેમ સાઇટની મુલાકાત લેતા લોકોની સંખ્યામાં વધારો થશે. આનો અર્થ એ છે કે માં વર્તમાન ક્ષણસાઇટ વપરાશકર્તાની વિનંતીઓને સંપૂર્ણપણે સંતોષતી નથી, જે જરૂરી છે

સામાન્ય હેતુ
પ્રકૃતિનો કોઈપણ નિયમ અથવા સામાજિક વિકાસઅભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનાઓ વચ્ચે અસ્તિત્વમાં રહેલા સંબંધો (નિર્ભરતાઓ)ની પ્રકૃતિ અથવા બંધારણના વર્ણનના સ્વરૂપમાં આખરે વ્યક્ત કરી શકાય છે.

રેખીય અને બિનરેખીય મોડલ્સનો અંદાજ
ઔપચારિક રીતે કહીએ તો, બિનરેખીય અંદાજ એ સાર્વત્રિક અંદાજ પ્રક્રિયા છે જે પ્રતિભાવ ચલ અને સ્વતંત્ર ચલોના સમૂહ વચ્ચેના કોઈપણ પ્રકારના સંબંધનું મૂલ્યાંકન કરે છે. સામાન્ય રીતે

રેખીય માળખું સાથે રીગ્રેશન મોડલ્સ
બહુપદી રીગ્રેસન. સામાન્ય "નોનલાઇનર" મોડેલ એ મોડેલ છે બહુપદી રીગ્રેસન. બિનરેખીય શબ્દ અવતરણ ચિહ્નોમાં છે કારણ કે આ મોડેલ રેખીય છે

નોંધપાત્ર રીતે બિનરેખીય રીગ્રેશન મોડલ્સ
કેટલાક રીગ્રેશન મોડલ્સ માટે કે જે રેખીય સુધી ઘટાડી શકાતા નથી, એકમાત્ર રસ્તોસંશોધન માટે બિનરેખીય અંદાજ બાકી છે. ઝડપ માટે ઉપરના ઉદાહરણમાં

બ્રેકપોઇન્ટ્સ સાથે રીગ્રેશન મોડલ્સ
ટુકડા પ્રમાણે - રેખીય રીગ્રેસન. ઘણીવાર આગાહી કરનારાઓ અને પ્રતિભાવ ચલ વચ્ચેના સંબંધનો પ્રકાર તેના આધારે અલગ પડે છે વિવિધ વિસ્તારોસ્વતંત્ર ચલોના મૂલ્યો. ઉદાહરણ તરીકે,

બિનરેખીય અંદાજ પદ્ધતિઓ
પદ્ધતિ ઓછામાં ઓછા ચોરસનુકશાન કાર્ય વેઇટેડ ન્યૂનતમ ચોરસ મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ મહત્તમ સંભાવના અને લોગિટ/પ્રોબિટ મોડ

પ્રારંભિક મૂલ્યો, સ્ટેપ સાઈઝ અને કન્વર્જન્સ માપદંડ
સામાન્ય બિંદુતમામ આકારણી પદ્ધતિઓમાં વપરાશકર્તાને ચોક્કસ સ્પષ્ટ કરવાની જરૂરિયાત છે પ્રારંભિક મૂલ્યો, સ્ટેપ સાઇઝ અને અલ્ગોરિધમ કન્વર્જન્સ માપદંડ. બધી પદ્ધતિઓ OS સાથે તેમનું કાર્ય શરૂ કરે છે

મોડેલની યોગ્યતાનું મૂલ્યાંકન
આકારણી પછી રીગ્રેસન પરિમાણો, વિશ્લેષણનું એક આવશ્યક પાસું એ સમગ્ર મોડેલની યોગ્યતા તપાસવાનું છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે રેખીય વ્યાખ્યાયિત કરો છો રીગ્રેશન મોડલ, પરંતુ વાસ્તવિક એક નિર્ભર છે

પીયર્સન (ચી-સ્ક્વેર્ડ), વિદ્યાર્થી અને ફિશર વિતરણ
આંકડાકીય એપ્લિકેશનોમાં, સંબંધિતનો ઉપયોગ કરવો ખૂબ જ સામાન્ય છે સામાન્ય વિતરણ: વિતરણ (ચી-ચોરસ

Weibull - Gnedenko વિતરણો
ઘાતાંકીય વિતરણો - ખાસ કેસકહેવાતા વેઇબુલ-ગ્નેડેન્કો વિતરણો. તેઓનું નામ એન્જિનિયર વી. વેઈબુલના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે પરિણામ વિશ્લેષણની પ્રથામાં આ વિતરણો રજૂ કર્યા હતા.

ડેટા ઘટાડવાની પદ્ધતિ તરીકે પરિબળ વિશ્લેષણ
ઘટાડાને ઘણા પ્રારંભિક જથ્થાત્મક લાક્ષણિકતાઓમાંથી પરિબળની જગ્યામાં સંક્રમણ તરીકે સમજવામાં આવે છે, જેની સંખ્યા નોંધપાત્ર છે ઓછી સંખ્યાપ્રારંભિક માત્રાત્મક લાક્ષણિકતાઓ. ઉદાહરણ તરીકે, મૂળમાંથી

પરિબળ વિશ્લેષણ પદ્ધતિઓની સામાન્ય ઝાંખી
પરિબળ વિશ્લેષણની દરેક પદ્ધતિ ગાણિતિક મોડેલ પર આધારિત છે જે પ્રારંભિક લાક્ષણિકતાઓ અને સામાન્યીકૃત પરિબળો વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરે છે. ચાલો આગળ વધીએ સંક્ષિપ્ત વર્ણનમાટે આ મોડેલો

મુખ્ય ઘટક પદ્ધતિ
પરિબળ દ્વારા પ્રારંભિક લાક્ષણિકતાઓને વ્યક્ત કરવા માટેનું મોડેલ એ ધારણા પર આધારિત છે કે પરિબળોની સંખ્યા પ્રારંભિક લાક્ષણિકતાઓ (k=m) ની સંખ્યા જેટલી છે અને ત્યાં કોઈ લાક્ષણિકતા પરિબળો નથી.

સેન્ટ્રોઇડ પદ્ધતિ
આ પદ્ધતિ એ ધારણા પર આધારિત છે કે દરેક પ્રારંભિક લક્ષણો aj(j = 1...m) નાની સંખ્યાના કાર્ય તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. સામાન્ય પરિબળો F1

પરિમાણોના આત્યંતિક જૂથીકરણની પદ્ધતિ
આ પદ્ધતિમૂળ લક્ષણો વચ્ચેના સહસંબંધ ગુણાંકના મેટ્રિક્સની પ્રક્રિયા પર પણ આધારિત છે. આ પદ્ધતિ એ પૂર્વધારણા પર આધારિત છે કે પ્રારંભિક લાક્ષણિકતાઓના સમૂહને વિભાજિત કરી શકાય છે

પરિબળોની સંખ્યાની તર્કસંગત પસંદગી માટેના માપદંડ
કેટલા પરિબળોને ઓળખવા જોઈએ, ચાલો યાદ કરીએ કે મુખ્ય ઘટક વિશ્લેષણ એ ડેટા ઘટાડવા અથવા ઘટાડવાની પદ્ધતિ છે, એટલે કે. ચલોની સંખ્યા ઘટાડીને. પ્રકૃતિવાદ ઉદ્ભવે છે

નમૂનાની ગુણાત્મક લાક્ષણિકતાઓ તપાસી રહ્યું છે
અમે એકરૂપતાના માપદંડ પર વિચાર કરીશું.

પૂર્વધારણાઓ ચકાસવા માટેનો કોઈપણ આંકડાકીય માપદંડ એ માપનનું સાધન છે. તેથી, તેનો ઉપયોગ તેટલી નિપુણતાથી થવો જોઈએ
સ્મિર્નોવ માપદંડ

એવું માનવામાં આવે છે કે વિતરણ કાર્યો અને
લેહમેન-રોઝનબ્લાટ એકરૂપતા પરીક્ષણ

લેહમેન-રોઝનબ્લાટ એકરૂપતા કસોટી એ એક પ્રકારનું પરીક્ષણ છે. માપદંડની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી
ન્યૂનતમ અંતર પદ્ધતિ યુનિફોર્મ મેટ્રિક, અથવા કોલમોગોરોવ મેટ્રિક, સૌથી જૂની અને સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતી સંભાવના મેટ્રિક્સ છે. માં "કોલ્મોગોરોવ મેટ્રિક" શબ્દરશિયન સાહિત્ય

છે
નમૂનાની માત્રાત્મક લાક્ષણિકતાઓ તપાસી રહ્યું છે §1 માં સામાન્ય વસ્તીની લાક્ષણિકતાઓ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હતી, એટલે કે. એક સાથે જોડાયેલાસામાન્ય નમૂના

, તેમજ સરેરાશ અને પ્રથમ ક્ષણ.
આ તબક્કે વિતરણ કાર્ય છે

સામાજિક-આર્થિક આગાહી સમસ્યાઓમાં ક્લસ્ટર વિશ્લેષણ
સામાજિક-આર્થિક આગાહી સમસ્યાઓમાં ક્લસ્ટર વિશ્લેષણનો સફળતાપૂર્વક ઉપયોગ કરી શકાય છે. સામાજિક-આર્થિક ઘટનાનું વિશ્લેષણ અને આગાહી કરતી વખતે, સંશોધક ઘણી વાર

અસરકારક માર્કેટિંગ ઉકેલો તૈયાર કરવાના સાધન તરીકે ક્લસ્ટર વિશ્લેષણ
આપણા દેશમાં નિષ્ફળતા અથવા વ્યવસાયની અપૂરતી ઝડપી વૃદ્ધિના કારણો ઘણીવાર અપૂર્ણ ધિરાણ પ્રણાલી, કાયદામાં અંતર, સામાન્ય આર્થિક અસ્થિરતા અને,

ક્લસ્ટર વિશ્લેષણની અધિક્રમિક પદ્ધતિઓ
ઑબ્જેક્ટ્સ વચ્ચેના અંતરની ગણતરી કરવા માટે, વિવિધ સમાનતા માપદંડો (સમાનતાના પગલાં), જેને મેટ્રિક્સ અથવા ડિસ્ટન્સ ફંક્શન પણ કહેવાય છે, તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આપવા માટેમોટા ભીંગડા

વધુ દૂર
જોડાવા અથવા લિંક કરવાની પદ્ધતિઓ જ્યારે દરેક ઑબ્જેક્ટ અલગ ક્લસ્ટર હોય છે, ત્યારે આ ઑબ્જેક્ટ્સ વચ્ચેનું અંતર પસંદ કરેલ માપ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ઉદભવે છેઆગામી પ્રશ્ન

- ક્લસ્ટરો વચ્ચેનું અંતર કેવી રીતે નક્કી કરવું? સાથે
SPSS માં અધિક્રમિક ક્લસ્ટર વિશ્લેષણ

ચાલો SPSS પેકેજ (SPSS) માં અધિક્રમિક ક્લસ્ટર વિશ્લેષણની પ્રક્રિયાને ધ્યાનમાં લઈએ. SPSS માં અધિક્રમિક ક્લસ્ટર વિશ્લેષણ માટેની પ્રક્રિયા બંને ઑબ્જેક્ટ્સ (ડેટા મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ), ટી.
ક્લસ્ટરોની સંખ્યા નક્કી કરવી

ક્લસ્ટરોની સંખ્યા નક્કી કરવામાં સમસ્યા છે. કેટલીકવાર આ સંખ્યાને પ્રાથમિકતાથી નક્કી કરવી શક્ય છે. જો કે, મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, ક્લસ્ટરોની સંખ્યા સમૂહના સમૂહ/વિભાજનની પ્રક્રિયા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા

ક્લસ્ટરોના કેન્દ્રોની ગણતરી કરવામાં આવે છે, જેનો ઉપયોગ પછી ક્લસ્ટરોની સંકલન મુજબની સરેરાશની ગણતરી કરવા માટે થાય છે. ઑબ્જેક્ટ ફરીથી વિતરિત કરવામાં આવે છે.
કેન્દ્રોની ગણતરી અને ઑબ્જેક્ટનું પુનઃવિતરણ કરવાની પ્રક્રિયા

ક્લસ્ટરિંગની ગુણવત્તા તપાસી રહ્યું છે
કે-મીન્સ ક્લસ્ટર વિશ્લેષણના પરિણામો પ્રાપ્ત કર્યા પછી, તમારે ક્લસ્ટરિંગની શુદ્ધતા તપાસવી જોઈએ (એટલે ​​​​કે, ક્લસ્ટરો એકબીજાથી કેટલા અલગ છે તેનું મૂલ્યાંકન કરો). આ માટે તેઓ ગણતરી કરે છે

અધિક્રમિક અને બિન-હાયરાર્કિકલ ક્લસ્ટરીંગ પદ્ધતિઓનું તુલનાત્મક વિશ્લેષણ
ક્લસ્ટરિંગ હાથ ધરતા પહેલા, વિશ્લેષકને પ્રશ્ન હોઈ શકે છે કે ક્લસ્ટર વિશ્લેષણ પદ્ધતિઓના કયા જૂથને પ્રાધાન્ય આપવું. અધિક્રમિક અને બિન-હાયરાર્કિકલ પદ્ધતિઓ વચ્ચે પસંદગી કરતી વખતે, તમારે કરવાની જરૂર છે

નવા અલ્ગોરિધમ્સ અને ક્લસ્ટર વિશ્લેષણ અલ્ગોરિધમ્સના કેટલાક ફેરફારો
અમે જે પદ્ધતિઓનો વિચાર કર્યો છે તે ક્લસ્ટર વિશ્લેષણની "ક્લાસિક" છે. તાજેતરમાં સુધી, મુખ્ય માપદંડ કે જેના દ્વારા ક્લસ્ટરિંગ અલ્ગોરિધમનું મૂલ્યાંકન કરવામાં આવ્યું હતું તે ક્લસ્ટરિંગની ગુણવત્તા હતી: લિંગ

BIRCH અલ્ગોરિધમનો
(હાયરાર્કીઝનો ઉપયોગ કરીને સંતુલિત પુનરાવર્તિત ઘટાડો અને ક્લસ્ટરિંગ) અલ્ગોરિધમનો પ્રસ્તાવ ટિયાન ઝાંગ અને તેમના સાથીદારો દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો.

ક્લસ્ટરોની સામાન્ય રજૂઆત માટે આભાર, ક્લસ્ટરિંગની ઝડપ
ક્લેરાન્સ અલ્ગોરિધમ (રેન્ડમાઇઝ્ડ સર્ચ પર આધારિત ક્લસ્ટરિંગ લાર્જ એપ્લીકેશન) ક્લસ્ટરિંગ સમસ્યાને ગ્રાફમાં રેન્ડમ શોધ તરીકે બનાવે છે. આ અલ્ગોરિધમના પરિણામે, નોડ્સનો સમૂહ gr

વન-વે ANOVA
એક-પરિબળ વિક્ષેપ મોડેલનું સ્વરૂપ છે: xij = μ + Fj + εij, (1) જ્યાં x

વિભિન્નતાનું બહુવિધ વિશ્લેષણ
તે તરત જ નોંધવું જોઈએ કે મલ્ટિફેક્ટોરિયલ અને સિંગલ-ફેક્ટર DA વચ્ચે કોઈ મૂળભૂત તફાવત નથી. બહુવિધ વિશ્લેષણ બદલાતું નથી સામાન્ય તર્કહા, પરંતુ તે ફક્ત તેને કંઈક અંશે જટિલ બનાવે છે, કારણ કે, ઉપરાંત

સ્થળાંતર પ્રક્રિયાઓના અભ્યાસમાં વિચલન વિશ્લેષણનો ઉપયોગ
સ્થળાંતર જટિલ છે સામાજિક ઘટના, જે મોટે ભાગે આર્થિક અને નક્કી કરે છે રાજકીય બાજુસમાજનું જીવન. સ્થળાંતર પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ રસના પરિબળોને ઓળખવા સાથે સંકળાયેલ છે

બાયોમેડિકલ સંશોધન ડેટાના ગાણિતિક અને આંકડાકીય વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો
હાથ પરના કાર્ય પર આધાર રાખીને, સામગ્રીની માત્રા અને પ્રકૃતિ, ડેટાનો પ્રકાર અને તેમના જોડાણો, પ્રારંભિક તરીકે (જાતિની પ્રકૃતિનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે) તબક્કામાં ગાણિતિક પ્રક્રિયાની પદ્ધતિઓની પસંદગી નક્કી કરવામાં આવે છે.

માટી બાયોટેસ્ટિંગ
વિવિધ પ્રદૂષકો, એગ્રોસેનોસિસમાં પ્રવેશતા, તેમાં વિવિધ પરિવર્તનો પસાર કરી શકે છે, જેનાથી તેમની ઝેરી અસર વધે છે. આ કારણોસર તે જરૂરી હતું

રસાયણશાસ્ત્રમાં વિક્ષેપ વિશ્લેષણ
DA - વિખરાઈને નિર્ધારિત કરવા માટેની પદ્ધતિઓનો સમૂહ, એટલે કે વિખરાઈ પ્રણાલીઓમાં કણોના કદની લાક્ષણિકતાઓ. હા સમાવેશ થાય છે વિવિધ રીતેકદ બદલવાનું મુક્ત કણોપ્રવાહી અને ગેસમાં

રશિયાના શિક્ષણ અને વિજ્ઞાન મંત્રાલય

ફેડરલ સ્ટેટ બજેટરી શૈક્ષણિક સંસ્થા

ઉચ્ચ વ્યાવસાયિક શિક્ષણ

“ચુવાશ સ્ટેટ યુનિવર્સિટીનું નામ I.N. ઉલિયાનોવ"

ડિઝાઇન અને કોમ્પ્યુટર ટેકનોલોજી ફેકલ્ટી

કોમ્પ્યુટર ટેકનોલોજી વિભાગ

શિસ્તમાં "વિશ્વસનીયતા, અર્ગનોમિક્સ અને સ્વચાલિત નિયંત્રણ સિસ્ટમો અને નિયંત્રણ પ્રણાલીઓની ગુણવત્તા"

વિષય પર " મૂળભૂત ગાણિતિક મોડેલો, સિદ્ધાંતમાં વપરાય છેવિશ્વસનીયતા»

પૂર્ણ:

વિદ્યાર્થી જી.આર. ZDIKT-25-08

લ્યુસેન્કોવ આઇ.વી.

તપાસેલ:

ગ્રિગોરીવ વી.જી.

ચેબોક્સરી

પરિચય

વિશ્વસનીયતા સિદ્ધાંતમાં ઉપયોગમાં લેવાતા મૂળભૂત ગાણિતિક મોડેલો…….

3

વેઇબુલ વિતરણ……………………………………………….

3

ઘાતાંકીય વિતરણ ……………………………………….

4

રેલે વિતરણ ……………………………………………………………… 5

સામાન્ય વિતરણ (ગૌસીયન વિતરણ)………………………….. 5 વિતરણ કાયદાની વ્યાખ્યા ………………………………………. 6

વિશ્વસનીયતા કાર્યક્રમોની વિશેષતાઓ……………………………………… 11

સાહિત્ય ………………………………………………………………………………… 13

વિશ્વસનીયતા સિદ્ધાંતમાં ઉપયોગમાં લેવાતા મૂળભૂત ગાણિતિક મોડલ

ઉપરોક્ત ગાણિતિક સંબંધોમાં, સંભાવના ઘનતાની વિભાવના અને વિતરણ કાયદાનો વારંવાર ઉપયોગ થતો હતો.

વિતરણ કાયદો એ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની અનુરૂપ સંભાવનાઓ વચ્ચે ચોક્કસ રીતે સ્થાપિત થયેલ જોડાણ છે.

વિતરણ (સંભાવના) ઘનતા એ વિતરણ કાયદાનું વર્ણન કરવા માટે વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાતી રીત છે

વેઇબુલ વિતરણ

વેઇબુલ વિતરણ એ બે-પેરામીટર વિતરણ છે. આ વિતરણ અનુસાર, નિષ્ફળતાના ક્ષણની સંભાવના ઘનતા

જ્યાં δ એ આકાર પરિમાણ છે (પ્રક્રિયાના પરિણામે પસંદગી દ્વારા નિર્ધારિત પ્રાયોગિક ડેટા, δ > 0);

λ - સ્કેલ પેરામીટર,

સંભાવના ઘનતા કાર્યનો આલેખ મોટાભાગે આકાર ગુણાંકના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે.

નિષ્ફળતા દર અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

(2)

નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવના

(3)

નોંધ કરો કે પરિમાણ δ = 1 સાથે વેઇબુલ વિતરણ ઘાતાંકીય બને છે, અને δ = 2 સાથે તે રેલે વિતરણ બને છે.

δ પર<1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при δ >1 એકવિધ રીતે વધે છે (પહેરનો સમયગાળો). પરિણામે, પરિમાણ δ ને પસંદ કરીને, ત્રણ વિભાગોમાંના દરેકમાં, આવા સૈદ્ધાંતિક વળાંક λ(t) મેળવવાનું શક્ય છે, જે પ્રાયોગિક વળાંક સાથે એકદમ નજીકથી મેળ ખાય છે, અને પછી જરૂરી વિશ્વસનીયતા સૂચકાંકોની ગણતરી કરી શકાય છે. જાણીતી પેટર્નના આધારે બનાવેલ છે.

ઘાતાંકીય વિતરણ

જેમ નોંધ્યું છે તેમ, નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવનાનું ઘાતાંકીય વિતરણ એ વેઇબુલ વિતરણનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે જ્યારે આકાર પરિમાણ δ = 1. આ વિતરણ એક-પેરામીટર છે, એટલે કે, ગણતરી કરેલ અભિવ્યક્તિ લખવા માટે, એક પરિમાણ λ = const પર્યાપ્ત છે. આ કાયદા માટે, વિપરીત વિધાન પણ સાચું છે: જો નિષ્ફળતા દર સ્થિર હોય, તો સમયના કાર્ય તરીકે નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવના ઘાતાંકીય કાયદાનું પાલન કરે છે:

(4)

નિષ્ફળતા-મુક્ત ઓપરેશન અંતરાલના વિતરણના ઘાતાંકીય કાયદા હેઠળ સરેરાશ નિષ્ફળતા-મુક્ત ઓપરેશન સમય સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

(5)

આમ, સરેરાશ નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરી સમય T 1 (અથવા સતત નિષ્ફળતા દર λ) ને જાણીને, ઘાતાંકીય વિતરણના કિસ્સામાં, ઑબ્જેક્ટની ક્ષણથી સમય અંતરાલ માટે નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવના શોધવાનું શક્ય છે. કોઈપણ આપેલ ક્ષણ માટે ચાલુ છે t.

રેલે વિતરણ

રેલેના નિયમમાં સંભાવના ઘનતા નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે

(6)

જ્યાં δ * એ રેલે વિતરણ પરિમાણ છે.

નિષ્ફળતા દર છે:

. (7)

રેલે ડિસ્ટ્રિબ્યુશનની લાક્ષણિકતા એ મૂળથી શરૂ થતા ગ્રાફ λ(t)ની સીધી રેખા છે.

આ કિસ્સામાં ઑબ્જેક્ટની નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવના અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

(8)

સામાન્ય વિતરણ (ગૌસિયન વિતરણ)

સામાન્ય વિતરણ કાયદો ફોર્મની સંભાવના ઘનતા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે

(9)

જ્યાં m x, σ x અનુક્રમે, રેન્ડમ ચલ Xનું ગાણિતિક અપેક્ષા અને પ્રમાણભૂત વિચલન છે.

RESI ની વિશ્વસનીયતાનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, રેન્ડમ ચલના રૂપમાં, સમય ઉપરાંત, વર્તમાન, વિદ્યુત વોલ્ટેજ અને અન્ય દલીલોના મૂલ્યો વારંવાર દેખાય છે. સામાન્ય કાયદો એ બે-પેરામીટર કાયદો છે, જેને લખવા માટે તમારે m x અને s x જાણવાની જરૂર છે.

નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીની સંભાવના સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

(10)

અને નિષ્ફળતા દર સૂત્ર મુજબ છે

(11)

આ માર્ગદર્શિકા રેન્ડમ ચલના વિતરણના માત્ર સૌથી સામાન્ય નિયમો દર્શાવે છે. ત્યાં સંખ્યાબંધ જાણીતા કાયદાઓ છે જેનો ઉપયોગ વિશ્વસનીયતાની ગણતરીમાં પણ થાય છે: ગામા વિતરણ, χ 2 વિતરણ, મેક્સવેલ, એરલાંગ વિતરણ, વગેરે.

ઉત્પાદન પ્રક્રિયાને અસર કરતા મોટાભાગના પરિબળો યથાવત રહેતા નથી. તેથી, અવલોકનના પરિણામે એકત્ર કરાયેલ સંખ્યાત્મક માહિતી સમાન હોઈ શકતી નથી, પરંતુ તેઓએ વિતરણ તરીકે ઓળખાતી ચોક્કસ પેટર્નનું પાલન કરવું જોઈએ.

જો તમે નિયંત્રિત પરિમાણને સતત માપો છો, તો તમે તેના વિતરણ ઘનતા ગ્રાફને પ્લોટ કરી શકો છો. જો કે, વ્યવહારમાં, માપન માત્ર અમુક ચોક્કસ સમયગાળામાં જ લેવામાં આવે છે અને તમામ ઉત્પાદનોના નહીં, પરંતુ માત્ર કેટલાકના. તેથી, માપનના પરિણામોના આધારે, હિસ્ટોગ્રામ સામાન્ય રીતે બનાવવામાં આવે છે - એક સ્ટેપ્ડ આકૃતિ, જેની રૂપરેખા ઘનતા ગ્રાફનો અંદાજિત ખ્યાલ આપે છે, એટલે કે, અભ્યાસ કરવામાં આવતા પરિમાણના વિતરણની પ્રકૃતિ.

હિસ્ટોગ્રામમાટે વપરાયેલ બાર ચાર્ટ છે ગ્રાફિકલ રજૂઆતઉપલબ્ધ માત્રાત્મક માહિતી.

સામાન્ય રીતે, હિસ્ટોગ્રામ બનાવવા માટેનો આધાર ફ્રીક્વન્સીઝનું અંતરાલ કોષ્ટક છે, જેમાં રેન્ડમ ચલના માપેલા મૂલ્યોની સમગ્ર શ્રેણીને અમુક ચોક્કસ સંખ્યામાં અંતરાલોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, અને દરેક અંતરાલ માટે મૂલ્યોની સંખ્યા અંદર આવતી હોય છે. આ અંતરાલ દર્શાવેલ છે.

હિસ્ટોગ્રામ બનાવવાનો ક્રમ નીચે મુજબ છે.

1. સૌથી મોટું શોધો ( Xmax) અને સૌથી નાનું ( Xmin) રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો અને ફેરફારની શ્રેણીની ગણતરી કરો આર

આર =Xmax– Xmin.

2. અંકોની ચોક્કસ સંખ્યા સેટ કરો k. મુ n< 100 સ્વીકારી શકાશેk = 6.

3. અંકની પહોળાઈ નક્કી કરો h =. ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે, પરિણામી મૂલ્ય hકોઈપણ દિશામાં ગોળાકાર.

4. અંકોની સીમાઓ સેટ કરો અને તેમાંના દરેકમાં માપની સંખ્યા ગણો. મૂલ્યની ગણતરી કરતી વખતે એક્સ, સ્રાવની સીમા પર સ્થિત છે, તે હંમેશા ડાબી અથવા જમણી બાજુએ સ્થિત ડિસ્ચાર્જને સોંપવામાં આવવી જોઈએ.

5. ઇન્સ્ટોલ કરો m i- મૂલ્યોની સંખ્યા એક્સઆ શ્રેણીમાં સમાવેશ થાય છે.

6. મૂલ્યની ઘટનાની આવર્તન નક્કી કરો p iઆ શ્રેણીમાં

p i = ,

જ્યાં n- તમામ પ્રાયોગિક ડેટાની કુલ સંખ્યા.

7. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં p i =f(એક્સ) બીટ પહોળાઈ પર hકિંમત બાજુ પર સેટ કરો p iઊંચાઈ તરીકે અને એક લંબચોરસ બિલ્ડ.

પરિણામ કોષ્ટકમાં દાખલ થયેલ છે

ટેબલ. વિતરણ હિસ્ટોગ્રામ

દેખીતી રીતે, પ્રાથમિક લંબચોરસનો વિસ્તાર

s i = હાય હું = p i,

અને સમગ્ર હિસ્ટોગ્રામનો વિસ્તાર

સ = = = 1.

આમ, હિસ્ટોગ્રામ એ લંબચોરસનો સંગ્રહ છે.

ચોખા. હિસ્ટોગ્રામ ( 1 ) અને બહુકોણ ( 2 ) મૂલ્ય વિતરણ એક્સ

હિસ્ટોગ્રામનું વિશ્લેષણ લાક્ષણિક કેસો સાથે તેની સરખામણી કરવા માટે નીચે આવે છે.

નિયમિત પ્રકાર(સપ્રમાણ અથવા ઘંટ આકારની). સૌથી વધુ આવર્તનહિસ્ટોગ્રામના તળિયે મધ્યમાં સમાપ્ત થાય છે (અને ધીમે ધીમે બંને છેડા તરફ ઘટે છે). આકાર સપ્રમાણ છે. આ હિસ્ટોગ્રામ દેખાવસામાન્ય (ગૌસીયન) વળાંક સુધી પહોંચે છે, અને એવું માની શકાય છે કે અભ્યાસ હેઠળની પ્રક્રિયાને પ્રભાવિત કરતા કોઈપણ પરિબળો અન્ય પર પ્રભુત્વ ધરાવતા નથી.

હિસ્ટોગ્રામનું આ સ્વરૂપ સૌથી સામાન્ય છે. આ કિસ્સામાં, રેન્ડમ ચલનું સરેરાશ મૂલ્ય (ટેક્નોલોજીકલ ઑપરેશનના સંબંધમાં, આ લાગણીના સ્તરનું સૂચક છે) હિસ્ટોગ્રામના પાયાની મધ્યની નજીક છે, અને તેના વિખેરવાની ડિગ્રી સંબંધિત છે. સરેરાશ મૂલ્ય (તકનીકી કામગીરી માટે, આ ચોકસાઈનું સૂચક છે) કૉલમમાં ઘટાડાની તીવ્રતા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.

ચોખા. નિયમિત હિસ્ટોગ્રામ પ્રકાર

કાંસકો(મલ્ટીમોડલ પ્રકાર). એક દ્વારા વર્ગોમાં ઓછી આવર્તન હોય છે.

હિસ્ટોગ્રામનું આ સ્વરૂપ ત્યારે થાય છે જ્યારે વર્ગમાં આવતા વ્યક્તિગત અવલોકનોની સંખ્યા વર્ગથી વર્ગમાં બદલાય છે અથવા જ્યારે ચોક્કસ નિયમડેટા રાઉન્ડિંગ ડેટાનું સ્તરીકરણ કરવું જરૂરી હોઈ શકે છે, એટલે કે, અવલોકન કરેલ મૂલ્યોને જૂથબદ્ધ કરવા માટે વધારાની લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવા માટે.

ચોખા. કાંસકો

હકારાત્મક રીતે (નકારાત્મક રીતે) ત્રાંસુ વિતરણ. સરેરાશ હિસ્ટોગ્રામ મૂલ્ય હિસ્ટોગ્રામ આધારની મધ્યમાં જમણી (ડાબે) પર સ્થિત છે. ફ્રીક્વન્સીઝ ખૂબ જ ઝડપથી ઘટી જાય છે

જ્યારે ડાબે (જમણે) અને તેનાથી વિપરીત, ધીમે ધીમે જમણી તરફ (ડાબે) જાવ. આકાર અસમપ્રમાણ છે.

હિસ્ટોગ્રામનું આ સ્વરૂપ ત્યારે થાય છે જ્યારે નીચલા (ઉપલા) મર્યાદાને સૈદ્ધાંતિક રીતે અથવા સહનશીલતા મૂલ્ય દ્વારા સમાયોજિત કરવામાં આવે છે, અથવા જ્યારે ડાબે (જમણે) મૂલ્ય અપ્રાપ્ય હોય છે. આ કિસ્સામાં, એવું પણ માની શકાય છે કે પ્રક્રિયા મુખ્યત્વે કેટલાક પરિબળથી પ્રભાવિત છે, ખાસ કરીને, જ્યારે કટીંગ ટૂલનો ધીમો (ત્વરિત) વસ્ત્રો હોય ત્યારે સમાન સ્વરૂપ થાય છે;

સમાન હિસ્ટોગ્રામ રેલે વિતરણ માટે પણ લાક્ષણિક છે, જે ઉત્પાદનના આકાર અથવા અસમપ્રમાણતાને દર્શાવે છે.

ચોખા. હકારાત્મક રીતે ત્રાંસી વિતરણ

ડાબી બાજુએ વિરામ સાથે વિતરણ(જમણે). હિસ્ટોગ્રામનો અંકગણિત સરેરાશ આધારની મધ્યમાં ડાબે (જમણે) દૂર સ્થાનીકૃત છે. જ્યારે ડાબે (જમણે) અને તેનાથી વિપરિત, ધીમે ધીમે જમણી (ડાબે) તરફ જતી વખતે ફ્રીક્વન્સીમાં તીવ્ર ઘટાડો થાય છે. આકાર અસમપ્રમાણ છે.

ચોખા. ડાબી બાજુએ વિરામ સાથે વિતરણ

આ તે સ્વરૂપોમાંનું એક છે જે પ્રક્રિયાની નબળી પુનઃઉત્પાદનક્ષમતાને કારણે ઉત્પાદનોની 100% સ્ક્રીનીંગ સાથે વારંવાર થાય છે, અને જ્યારે ઉચ્ચારણ હકારાત્મક (નકારાત્મક) અસમપ્રમાણતા દેખાય છે.

ઉચ્ચપ્રદેશ(સમાન અને લંબચોરસ વિતરણ). માં ફ્રીક્વન્સીઝ વિવિધ વર્ગોએક ઉચ્ચપ્રદેશ બનાવે છે કારણ કે તમામ વર્ગોમાં વધુ કે ઓછા સમાન અપેક્ષિત ફ્રીક્વન્સીઝ હોય છે.

ચોખા. ઉચ્ચપ્રદેશ

આ આકાર વિવિધ માધ્યમો ધરાવતા અનેક વિતરણોના મિશ્રણમાં જોવા મળે છે, પરંતુ તે કેટલાક મુખ્ય પરિબળને પણ સૂચવી શકે છે, જેમ કે કટીંગ ટૂલના સમાન વસ્ત્રો.

ડબલ પીક પ્રકાર(બિમોડલ પ્રકાર). આધારની મધ્યની નજીકમાં, આવર્તન ઓછી છે, પરંતુ દરેક બાજુએ એક શિખર છે.

આ સ્વરૂપ ત્યારે થાય છે જ્યારે વ્યાપક રીતે અલગ કરાયેલા માધ્યમો સાથેના બે વિતરણો મિશ્ર કરવામાં આવે છે, એટલે કે ડેટાને સ્તરીકરણ કરવામાં અર્થપૂર્ણ છે. હિસ્ટોગ્રામનો સમાન આકાર તે કિસ્સામાં પણ જોઈ શકાય છે જ્યારે કોઈપણ મુખ્ય પરિબળ તેની લાક્ષણિકતાઓમાં ફેરફાર કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, જો કટીંગ ટૂલ પહેલા વેગ આપે છે અને પછી ધીમો વસ્ત્રો આવે છે.

ચોખા. ડબલ પીક પ્રકાર

અલગ શિખર સાથે વિતરણ. સામાન્ય પ્રકારના વિતરણ સાથે, એક નાનું અલગ શિખર દેખાય છે.

ચોખા. આઇસોલેટેડ પીક વિતરણ

જ્યારે અન્ય વિતરણ અથવા માપન ભૂલમાંથી ડેટાના નાના સમાવેશ થાય છે ત્યારે આ આકાર દેખાય છે. આવા હિસ્ટોગ્રામ મેળવતી વખતે, તમારે પહેલા ડેટાની વિશ્વસનીયતા તપાસવી જોઈએ, અને એવા કિસ્સામાં જ્યાં માપન પરિણામો શંકાની બહાર હોય, અવલોકન કરેલ મૂલ્યોને અંતરાલોમાં વિભાજીત કરવાની પસંદ કરેલી પદ્ધતિની માન્યતા ધ્યાનમાં લો.

વધુમાં, પ્રક્રિયાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે હિસ્ટોગ્રામનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

પ્રક્રિયાની ગુણવત્તાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે હિસ્ટોગ્રામનો ઉપયોગ કરતી વખતે, અવલોકન કરેલ પરિમાણના મૂલ્યોના સ્કેલ પર, સહિષ્ણુતા ક્ષેત્ર (વિશિષ્ટતા ક્ષેત્રો) ની નીચલી અને ઉપલી મર્યાદાઓ ચિહ્નિત કરવામાં આવે છે અને હિસ્ટોગ્રામના સ્તંભોની સમાંતર બે સીધી રેખાઓ હોય છે. આ બિંદુઓ દ્વારા દોરવામાં આવે છે.

જો સમગ્ર હિસ્ટોગ્રામ સહિષ્ણુતાની મર્યાદામાં હોય, તો પ્રક્રિયા આંકડાકીય રીતે સ્થિર છે અને તેને કોઈ હસ્તક્ષેપની જરૂર નથી.

જો હિસ્ટોગ્રામની ડાબી અને જમણી સીમાઓ સહનશીલતા ક્ષેત્રની સીમાઓ સાથે સુસંગત હોય, તો પ્રક્રિયાના સ્કેટરને ઘટાડવા માટે તે ઇચ્છનીય છે, કારણ કે કોઈપણ અસર સહનશીલતાને પૂર્ણ કરતા નથી તેવા ઉત્પાદનોના દેખાવ તરફ દોરી શકે છે.

જો હિસ્ટોગ્રામના કેટલાક સ્તંભો સહિષ્ણુતા ઝોનની બહાર હોય, તો પ્રક્રિયાને સમાયોજિત કરવી જરૂરી છે જેથી કરીને સરેરાશને ક્ષેત્રના કેન્દ્રની નજીક ખસેડવામાં આવે અને ઓછા સ્કેટર પ્રાપ્ત કરવા માટે વિવિધતાને ઘટાડવાની મંજૂરી આપવામાં આવે.