માર્કોવ પ્રક્રિયા તરીકે બિંદુની રેન્ડમ ટ્રેજેક્ટરી. માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ

ક્યુઇંગ થિયરી એ સંભાવના સિદ્ધાંતની એક શાખા છે. આ સિદ્ધાંત ધ્યાનમાં લે છે સંભવિતસમસ્યાઓ અને ગાણિતિક મોડલ (આ પહેલા આપણે નિર્ધારિત ગાણિતિક મોડલ ગણ્યા હતા). ચાલો તમને યાદ અપાવીએ કે:

નિર્ણાયક ગાણિતિક મોડેલપરિપ્રેક્ષ્યમાં ઑબ્જેક્ટ (સિસ્ટમ, પ્રક્રિયા) ના વર્તનને પ્રતિબિંબિત કરે છે સંપૂર્ણ નિશ્ચિતતાવર્તમાન અને ભવિષ્યમાં.

સંભવિત ગાણિતિક મોડેલઑબ્જેક્ટ (સિસ્ટમ, પ્રક્રિયા) ના વર્તન પર રેન્ડમ પરિબળોના પ્રભાવને ધ્યાનમાં લે છે અને તેથી, ચોક્કસ ઘટનાઓની સંભાવનાના દૃષ્ટિકોણથી ભવિષ્યનું મૂલ્યાંકન કરે છે.

તે. અહીં, ઉદાહરણ તરીકે, રમત સિદ્ધાંતમાં સમસ્યાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે શરતોમાંઅનિશ્ચિતતા.

ચાલો આપણે સૌપ્રથમ કેટલીક વિભાવનાઓને ધ્યાનમાં લઈએ જે "સ્ટોકેસ્ટિક અનિશ્ચિતતા" ને દર્શાવે છે, જ્યારે સમસ્યામાં સમાવિષ્ટ અનિશ્ચિત પરિબળો રેન્ડમ ચલ (અથવા રેન્ડમ ફંક્શન્સ) હોય છે. સંભવિત લાક્ષણિકતાઓજે કાં તો જાણીતા છે અથવા અનુભવથી મેળવી શકાય છે. આવી અનિશ્ચિતતાને "અનુકૂળ", "સૌમ્ય" પણ કહેવામાં આવે છે.

રેન્ડમ પ્રક્રિયાનો ખ્યાલ

કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, કોઈપણ પ્રક્રિયામાં રેન્ડમ વિક્ષેપ સહજ છે. "નોન-રેન્ડમ" પ્રક્રિયા કરતાં રેન્ડમ પ્રક્રિયાના ઉદાહરણો આપવાનું સરળ છે. પણ, ઉદાહરણ તરીકે, ઘડિયાળ ચલાવવાની પ્રક્રિયા (તે સખત રીતે માપાંકિત કાર્ય લાગે છે - "ઘડિયાળની જેમ કામ કરે છે") રેન્ડમ ફેરફારોને આધીન છે (આગળ વધવું, પાછળ રહેવું, અટકવું). પરંતુ જ્યાં સુધી આ વિક્ષેપો નજીવી હોય અને અમારા રસના પરિમાણો પર તેની થોડી અસર ન થાય ત્યાં સુધી અમે તેમની અવગણના કરી શકીએ છીએ અને પ્રક્રિયાને નિર્ણાયક, બિન-રેન્ડમ ગણી શકીએ છીએ.

થોડી વ્યવસ્થા થવા દો એસ(તકનીકી ઉપકરણ, આવા ઉપકરણોનું જૂથ, તકનીકી સિસ્ટમ - મશીન, સાઇટ, વર્કશોપ, એન્ટરપ્રાઇઝ, ઉદ્યોગ, વગેરે). સિસ્ટમમાં એસલીક રેન્ડમ પ્રક્રિયા, જો તે સમય જતાં તેની સ્થિતિમાં ફેરફાર કરે છે (એક રાજ્યમાંથી બીજા રાજ્યમાં પસાર થાય છે), વધુમાં, અગાઉ અજાણ્યા રેન્ડમ રીતે.

ઉદાહરણો: 1. સિસ્ટમ એસ- તકનીકી સિસ્ટમ (મશીન વિભાગ). મશીનો સમયાંતરે તૂટી જાય છે અને રિપેર કરવામાં આવે છે. આ સિસ્ટમમાં થતી પ્રક્રિયા રેન્ડમ છે.

2. સિસ્ટમ એસ- ચોક્કસ રૂટ પર આપેલ ઊંચાઈએ ઉડતું વિમાન. ખલેલ પહોંચાડનારા પરિબળો - હવામાન પરિસ્થિતિઓ, ક્રૂની ભૂલો, વગેરે, પરિણામો - બમ્પનેસ, ફ્લાઇટ શેડ્યૂલનું ઉલ્લંઘન, વગેરે.

માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયા

રેન્ડમ પ્રક્રિયાસિસ્ટમમાં વહેતા કહેવાય છે માર્કોવ્સ્કી, જો સમયની કોઈપણ ક્ષણ માટે t 0 ભવિષ્યમાં પ્રક્રિયાની સંભવિત લાક્ષણિકતાઓ ફક્ત આ ક્ષણે તેની સ્થિતિ પર આધારિત છે t 0 અને સિસ્ટમ ક્યારે અને કેવી રીતે આ સ્થિતિમાં પહોંચી તેના પર નિર્ભર નથી.

સિસ્ટમને આ ક્ષણે t 0 ચોક્કસ સ્થિતિમાં રહેવા દો એસ 0 અમે વર્તમાનમાં સિસ્ટમની સ્થિતિની લાક્ષણિકતાઓ જાણીએ છીએ, જ્યારે બન્યું તે બધું t<t 0 (પ્રક્રિયા ઇતિહાસ). શું આપણે ભવિષ્યની આગાહી (આગાહી) કરી શકીએ છીએ, એટલે કે. ક્યારે શું થશે t>t 0? બરાબર નથી, પરંતુ પ્રક્રિયાની કેટલીક સંભવિત લાક્ષણિકતાઓ ભવિષ્યમાં મળી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંભાવના કે અમુક સમય પછી સિસ્ટમ એસસક્ષમ હશે એસ 1 અથવા રાજ્યમાં રહેશે એસ 0, વગેરે.

ઉદાહરણ. સિસ્ટમ એસ- ભાગ લેનાર વિમાનનું એક જૂથ હવાઈ ​​લડાઇ. દો x- "લાલ" વિમાનોની સંખ્યા, y- "વાદળી" એરક્રાફ્ટની સંખ્યા. સમય સુધીમાં tઅનુક્રમે 0 હયાત (શૂટ ડાઉન) વિમાનોની સંખ્યા - x 0 ,y 0 અમને એવી સંભાવનામાં રસ છે કે આ ક્ષણે સંખ્યાત્મક શ્રેષ્ઠતા "લાલ" ની બાજુમાં હશે. આ સંભાવના તે સમયે સિસ્ટમ કઈ સ્થિતિમાં હતી તેના પર આધાર રાખે છે t 0, અને તે ક્ષણ સુધી નહીં કે ક્યારે અને કયા ક્રમમાં માર્યા ગયેલા લોકો મૃત્યુ પામ્યા t 0 વિમાનો.

વ્યવહારમાં, માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ તેમના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં સામાન્ય રીતે આવી નથી. પરંતુ એવી પ્રક્રિયાઓ છે જેના માટે "પ્રાગૈતિહાસિક" ના પ્રભાવની અવગણના કરી શકાય છે. અને આવી પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે, માર્કોવ મોડલ્સનો ઉપયોગ કરી શકાય છે (કતાર સિદ્ધાંત માર્કોવ કતાર પ્રણાલીને ધ્યાનમાં લેતા નથી, પરંતુ ગાણિતિક ઉપકરણ જે તેનું વર્ણન કરે છે તે વધુ જટિલ છે).

કામગીરી સંશોધનમાં મહાન મૂલ્યઅલગ અવસ્થાઓ અને સતત સમય સાથે માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ ધરાવે છે.

પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સ્વતંત્ર રાજ્ય પ્રક્રિયા, જો તે શક્ય રાજ્યોએસ 1 ,એસ 2, ... અગાઉથી નક્કી કરી શકાય છે, અને સિસ્ટમનું રાજ્યથી રાજ્યમાં સંક્રમણ લગભગ તરત જ "એક જમ્પમાં" થાય છે.

પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સાથે પ્રક્રિયા સતત સમય , જો રાજ્યથી રાજ્યમાં સંભવિત સંક્રમણોની ક્ષણો અગાઉથી નિશ્ચિત ન હોય, પરંતુ અનિશ્ચિત, અવ્યવસ્થિત હોય અને કોઈપણ સમયે થઈ શકે છે.

ઉદાહરણ. ટેકનોલોજીકલ સિસ્ટમ (વિભાગ) એસબે મશીનોનો સમાવેશ થાય છે, જેમાંથી દરેક સમયની રેન્ડમ ક્ષણે નિષ્ફળ (નિષ્ફળ) થઈ શકે છે, જેના પછી એકમનું સમારકામ તરત જ શરૂ થાય છે, જે અજાણ્યા, રેન્ડમ સમય માટે પણ ચાલુ રહે છે. નીચેની સિસ્ટમ સ્થિતિઓ શક્ય છે:

એસ 0 - બંને મશીનો કાર્યરત છે;

એસ 1 - પ્રથમ મશીન રીપેર થઈ રહ્યું છે, બીજું કામ કરી રહ્યું છે;

એસ 2 - બીજી મશીન રિપેર કરવામાં આવી રહી છે, પ્રથમ એક કામ કરી રહ્યું છે;

એસ 3 - બંને મશીનોનું સમારકામ કરવામાં આવી રહ્યું છે.

સિસ્ટમ સંક્રમણો એસરાજ્યથી રાજ્ય સુધી લગભગ તરત જ થાય છે, રેન્ડમ ક્ષણો પર જ્યારે કોઈ ચોક્કસ મશીન નિષ્ફળ જાય અથવા સમારકામ પૂર્ણ થાય.

અલગ અવસ્થાઓ સાથે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, ભૌમિતિક યોજનાનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે - રાજ્ય ગ્રાફ. ગ્રાફના શિરોબિંદુઓ સિસ્ટમની સ્થિતિઓ છે. ગ્રાફ આર્ક્સ - રાજ્યથી રાજ્યમાં સંભવિત સંક્રમણો

ફિગ.1. સિસ્ટમ સ્ટેટ ગ્રાફ

રાજ્ય અમારા ઉદાહરણ માટે, રાજ્યનો ગ્રાફ આકૃતિ 1 માં બતાવવામાં આવ્યો છે.

નોંધ. રાજ્યમાંથી સંક્રમણ એસ 0 ઇંચ એસ 3 આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યું નથી, કારણ કે એવું માનવામાં આવે છે કે મશીનો એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે નિષ્ફળ જાય છે. અમે બંને મશીનોની એક સાથે નિષ્ફળતાની શક્યતાને અવગણીએ છીએ.

જેની ઉત્ક્રાંતિ પછી કોઈપણ મૂલ્ય સેટ કરોસમય પરિમાણ t પૂર્વવર્તી ઉત્ક્રાંતિ પર આધારિત નથી ટી,પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે આ ક્ષણે પ્રક્રિયાનું મૂલ્ય નિશ્ચિત છે (ટૂંકમાં: પ્રક્રિયાના "ભવિષ્ય" અને "ભૂતકાળ" જાણીતા "વર્તમાન" સાથે એકબીજા પર આધારિત નથી).

ચુંબકીય ક્ષેત્રને વ્યાખ્યાયિત કરતી મિલકતને સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે માર્કોવિયન; તે સૌપ્રથમ એ.એ. માર્કોવ દ્વારા ઘડવામાં આવ્યું હતું. જો કે, એલ. બેચલિયરના કામમાં પહેલેથી જ બ્રાઉનિયન ગતિને ચુંબકીય પ્રક્રિયા તરીકે અર્થઘટન કરવાના પ્રયાસને સમજી શકાય છે, એક પ્રયાસ જેને એન. વિનર (એન. વિનર, 1923)ના સંશોધન પછી વાજબી ઠેરવવામાં આવ્યો હતો. મૂળભૂત સામાન્ય સિદ્ધાંતસતત સમય ધરાવતા સાંસદોની સ્થાપના એ.એન. કોલમોગોરોવ દ્વારા કરવામાં આવી હતી.

માર્કોવ મિલકત. M. ની વ્યાખ્યાઓ છે જે એકબીજાથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે. ચાલો સંભાવના જગ્યામાપી શકાય તેવી જગ્યાના મૂલ્યો સાથેની રેન્ડમ પ્રક્રિયા આપવામાં આવે છે જ્યાં ટી -સબસેટ વાસ્તવિક ધરીદો એનટી(અનુક્રમે એનટી).ત્યાં એક s-બીજગણિત છે જથ્થા X(ઓ).એટ દ્વારા પેદા જ્યાં બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એનટી(અનુક્રમે એનટી) એ ક્ષણ સુધીની પ્રક્રિયાના ઉત્ક્રાંતિ સાથે સંકળાયેલ ઘટનાઓનો સમૂહ છે (t થી શરૂ કરીને) . પ્રક્રિયા X(t) કહેવાય છે માર્કોવ પ્રક્રિયા જો (લગભગ ચોક્કસપણે) માર્કોવ મિલકત બધા માટે ધરાવે છે:

અથવા, સમાન શું છે, જો કોઈ હોય તો

M. p., જેના માટે T સેટમાં સમાયેલ છે કુદરતી સંખ્યાઓ, કહેવાય છે માર્કોવ સાંકળ(જોકે, બાદમાંનો શબ્દ મોટાભાગે સૌથી વધુ ગણી શકાય તેવા E ના કેસ સાથે સંકળાયેલ છે) . જો ગણતરીપાત્ર કરતાં વધુ અંતરાલ હોય, તો M. કહેવાય છે. સતત સમય માર્કોવ સાંકળ. સતત-સમયની ચુંબકીય પ્રક્રિયાઓના ઉદાહરણો પ્રસરણ પ્રક્રિયાઓ અને સ્વતંત્ર વૃદ્ધિ સાથેની પ્રક્રિયાઓ દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે, જેમાં પોઈસન અને વિનર પ્રક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે.

નીચેનામાં, નિશ્ચિતતા માટે, અમે ફક્ત સૂત્રો (1) અને (2) ના કિસ્સા વિશે વાત કરીશું, "ભૂતકાળ" અને "ભવિષ્ય" ની સ્વતંત્રતાના સિદ્ધાંતનું એક જાણીતા "વર્તમાન" સાથે સ્પષ્ટ અર્થઘટન પૂરું પાડે છે, પરંતુ તેમના પર આધારિત M. p ની વ્યાખ્યા તે અસંખ્ય પરિસ્થિતિઓમાં અપૂરતી લવચીક હોવાનું બહાર આવ્યું છે જ્યારે તે એક નહીં, પરંતુ પ્રકાર (1) અથવા (2) ની શરતોના સમૂહને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે, જો કે સંમત થયા હતા. ચોક્કસ રીતે, આ પ્રકારનાં પગલાં અપનાવવા તરફ દોરી ગયા નીચેની વ્યાખ્યા(સે.મી., ).

નીચે આપેલ દો:

a) માપી શકાય તેવી જગ્યા જ્યાં s-બીજગણિતમાં E માં તમામ એક-બિંદુના સેટ હોય છે;

b) s-બીજગણિતના પરિવારથી સજ્જ માપી શકાય તેવી જગ્યા જેમ કે જો

c) ફંક્શન ("ટ્રાજેકટ્રી") x t = xt(w) , કોઈપણ માપી શકાય તેવા મેપિંગ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવું

d) દરેક માટે અને s-બીજગણિત પર સંભાવના માપ જેમ કે કાર્ય માપી શકાય તેવું છે જો અને

નામોનો સમૂહ (બિન-સમાપ્ત) માર્કોવ પ્રક્રિયા વ્યાખ્યાયિત જો -લગભગ ચોક્કસ

તેઓ ગમે તે છે અહીં જગ્યા છે પ્રાથમિક ઘટનાઓ, - ફેઝ સ્પેસ અથવા સ્ટેટ સ્પેસ, P( s, x, t, V)- સંક્રમણ કાર્યઅથવા પ્રક્રિયા X(t) ની સંક્રમણ સંભાવના . જો E ટોપોલોજીથી સંપન્ન છે, અને બોરેલ સેટનો સંગ્રહ છે ઇ,પછી એમ કહેવાનો રિવાજ છે ઇ.સામાન્ય રીતે, M. p ની વ્યાખ્યામાં તે જરૂરિયાતનો સમાવેશ થાય છે અને પછી તેને સંભવિતતા તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે x s = x.

પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું દરેક માર્કોવ સંક્રમણ કાર્ય P( s, x;ટી, વી), માપી શકાય તેવી જગ્યામાં આપેલ ચોક્કસ M. જગ્યાના સંક્રમણ કાર્ય તરીકે ગણી શકાય જો, ઉદાહરણ તરીકે, E એ અલગ કરી શકાય તેવી સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ જગ્યા છે, અને તે બોરેલ સમૂહોનો સંગ્રહ છે. ઇ.વધુમાં, દો ઇ -સંપૂર્ણ મેટ્રિક જગ્યા અને દો

A - બિંદુના ઈ-પડોશનું પૂરક એક્સ.પછી અનુરૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રને જમણી બાજુએ સતત અને ડાબી બાજુએ મર્યાદાઓ ધરાવતું ગણી શકાય (એટલે ​​કે, તેના માર્ગને આ રીતે પસંદ કરી શકાય). સતત ચુંબકીય ક્ષેત્રનું અસ્તિત્વ (જુઓ, ) પરની સ્થિતિ દ્વારા સુનિશ્ચિત થાય છે. યાંત્રિક પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતમાં, મુખ્ય ધ્યાન એકરૂપ (સમયસર) પ્રક્રિયાઓ પર આપવામાં આવે છે. અનુરૂપ વ્યાખ્યા સૂચવે છે આપેલ સિસ્ટમ વસ્તુઓ a) - d) તેના વર્ણનમાં દેખાતા પેરામીટર્સ s અને u માટે, હવે માત્ર 0 મૂલ્યની મંજૂરી છે નોટેશન પણ સરળ છે:

આગળ, જગ્યા W ની એકરૂપતા નક્કી કરવામાં આવે છે, એટલે કે, તે જરૂરી છે કે કોઈપણ માટે એવું અસ્તિત્વમાં હોય કે (w) આને કારણે, s-બીજગણિત પર એન, W માં s-બીજગણિતમાંથી સૌથી નાનો જેમાં ફોર્મની કોઈપણ ઘટના હોય છે, સમય શિફ્ટ ઓપરેટર્સ q આપવામાં આવે છે t, જે સમૂહોની યુનિયન, આંતરછેદ અને બાદબાકીની કામગીરીને સાચવે છે અને જેના માટે

નામોનો સમૂહ (બિન-સમાપ્ત) સજાતીય માર્કોવ પ્રક્રિયા જો - લગભગ ચોક્કસપણે માં વ્યાખ્યાયિત

પ્રક્રિયા X(t) ના સંક્રમણ કાર્ય માટે P( t, x, V), અને, જ્યાં સુધી વિશેષ આરક્ષણો ન હોય ત્યાં સુધી, તેઓ વધુમાં જરૂરી છે કે તે ધ્યાનમાં રાખવું ઉપયોગી છે કે તપાસ કરતી વખતે (4) ફોર્મના માત્ર સેટને ધ્યાનમાં લેવા માટે પૂરતું છે કે ક્યાં અને શું (4) હંમેશા ફીટ s-બીજગણિત દ્વારા બદલી શકાય છે, આંતરછેદ સમાનફરી ભરપાઈ ફીટતમામ સંભવિત પગલાંઓ માટે ઘણીવાર સંભાવના માપ m ("પ્રારંભિક વિતરણ") ને ઠીક કરે છે અને માર્કોવને ધ્યાનમાં લે છે રેન્ડમ કાર્યસમાનતા દ્વારા આપવામાં આવેલ માપ ક્યાં છે

એમ. પી. ક્રમશઃ માપી શકાય છે જો દરેક t>0 માટે ફંક્શન માપી શકાય તેવા મેપિંગને પ્રેરિત કરે છે જ્યાં s-બીજગણિત છે

માં બોરેલ સબસેટ . જમણા સતત સાંસદો ક્રમશઃ માપી શકાય તેવા છે. ઘટાડવાનો માર્ગ છે વિજાતીય કેસમાટે સજાતીય (જુઓ), અને ભવિષ્યમાં આપણે સજાતીય M. વસ્તુઓ વિશે વાત કરીશું.

સખત માર્કોવ મિલકત.એક મીટર દ્વારા માપી શકાય તેવી જગ્યા આપવા દો.

કાર્ય કહેવાય છે માર્કોવ ક્ષણ,જો દરેક માટે આ કિસ્સામાં, સમૂહને કુટુંબ F t તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે જો at (મોટેભાગે F t એ X(t) ની ક્ષણ t સુધીની ઉત્ક્રાંતિ સાથે સંકળાયેલ ઘટનાઓના સમૂહ તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે). વિશ્વાસ માટે

ક્રમશઃ માપી શકાય તેવું M. p. Xnaz. સખત માર્કોવ પ્રક્રિયા (s.m.p.), જો કોઈ માર્કોવ ક્ષણ m અને all અને સંબંધ માટે

(સખ્ત રીતે માર્કોવ પ્રોપર્ટી) સેટ Wt પર લગભગ ચોક્કસપણે ધરાવે છે. (5) તપાસતી વખતે, માત્ર ફોર્મના સેટને ધ્યાનમાં લેવા માટે પૂરતું છે જ્યાં આ કિસ્સામાં સપ્રમાણ જગ્યા છે, ઉદાહરણ તરીકે, ટોપોલોજીકલમાં કોઈપણ જમણી-સતત ફેલેરિયન પરિમાણીય જગ્યા. જગ્યા ઇ.એમ. પી. ફેલર માર્કોવ પ્રક્રિયા જો કાર્ય

જ્યારે પણ f સતત અને બાઉન્ડ હોય ત્યારે સતત હોય છે.

સાથે વર્ગમાં. m.p. ચોક્કસ પેટા વર્ગો અલગ પડે છે. માર્કોવ સંક્રમણ કાર્ય P( t, x, V), મેટ્રિક સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ જગ્યામાં વ્યાખ્યાયિત ઇ,સ્ટોકેસ્ટિકલી સતત:

દરેક બિંદુના કોઈપણ પડોશી U માટે પછી જો ઑપરેટરો સતત ફંક્શનનો વર્ગ લે છે જે અનંત પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે, તો ફંક્શન P( t, x, V) ધોરણ M. p ને પૂર્ણ કરે છે. X,એટલે કે સાથે જમણી તરફ સતત. એમ.પી., જેના માટે

માર્કોવ પ્રક્રિયાને સમાપ્ત કરવી.ઘણીવાર શારીરિક બિન-સમાપ્ત ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોનું વર્ણન કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, પરંતુ માત્ર રેન્ડમ લંબાઈના સમય અંતરાલ પર. વધુમાં, પણ સરળ પરિવર્તનોસાંસદો પર નિર્દિષ્ટ માર્ગ સાથે પ્રક્રિયા તરફ દોરી શકે છે રેન્ડમ અંતરાલ(સે.મી. "કાર્યકારી"માર્કોવ પ્રક્રિયામાંથી). આ વિચારણાઓ દ્વારા માર્ગદર્શન આપીને, તૂટેલા સાંસદનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે.

સંક્રમણ કાર્ય ધરાવતું તબક્કા અવકાશમાં સજાતીય ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનવા દો અને ત્યાં એક બિંદુ અને કાર્ય અસ્તિત્વમાં રહેવા દો કે જે માટે અને અન્યથા (જો ત્યાં કોઈ વિશિષ્ટ રિઝર્વેશન ન હોય, તો ધ્યાનમાં લો). નવો માર્ગ x t(w) માત્ર માટે જ ઉલ્લેખિત છે) સમાનતાના માધ્યમથી a ફીટસમૂહમાં ટ્રેસ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે

જ્યાં કહેવાય ત્યાં સેટ કરો માર્કોવ પ્રક્રિયાને સમાપ્ત કરીને (o.m.p.), તેમાંથી z સમયે સમાપ્ત (અથવા હત્યા) દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. z મૂલ્ય કહેવાય છે વિરામની ક્ષણ, અથવા જીવનનો સમય, ઓ. m.p તબક્કાની જગ્યાનવી પ્રક્રિયા ત્યાં સેવા આપે છે જ્યાં s-બીજગણિતનું નિશાન છે ઇ.સંક્રમણ કાર્ય ઓ. m.p. સેટ પ્રક્રિયા X(t) માટેનું પ્રતિબંધ છે. સખત માર્કોવ પ્રક્રિયા, અથવા પ્રમાણભૂત માર્કોવ પ્રક્રિયા જો અનુરૂપ મિલકતઅનબ્રેકેબલ M. p ને ઓ તરીકે ગણી શકાય. વિરામની ક્ષણ સાથે એમ.પી. m.p એ જ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. એમ.

માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ અને વિભેદક સમીકરણો.એમ. પી બ્રાઉનિયન ગતિપેરાબોલિક વિભેદક સમીકરણો સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. પ્રકાર સંક્રમણ ઘનતા p(s, x, t, y) પ્રસરણ પ્રક્રિયા, અમુક વધારાની ધારણાઓ હેઠળ, કોલમોગોરોવના વ્યસ્ત અને સીધા વિભેદક સમીકરણોને સંતોષે છે:

ફંક્શન p( s, x, t, y.એ સમીકરણો (6) - (7), અને પ્રથમનું ગ્રીનનું કાર્ય છે જાણીતી પદ્ધતિઓપ્રસરણ પ્રક્રિયાઓનું નિર્માણ આ કાર્યના અસ્તિત્વના પ્રમેય પર આધારિત હતું વિભેદક સમીકરણો(6) - (7). સમયસર એકરૂપ પ્રક્રિયા માટે, ઓપરેટર એલ( s, x)= એલ(x).ઓન સરળ કાર્યોલાક્ષણિકતા સાથે મેળ ખાય છે ઓપરેટર એમ. પી. (જુઓ "સંક્રમણ ઓપરેટર્સ સેમીગ્રુપ").

ગણિત. પ્રસરણ પ્રક્રિયાઓમાંથી વિવિધ કાર્યોની અપેક્ષાઓ અનુરૂપ ઉકેલો તરીકે સેવા આપે છે સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓવિભેદક સમીકરણ માટે (1). ચાલો - ગાણિતિક. માપ પર અપેક્ષા પછી કાર્ય સંતુષ્ટ થાય છે s સમીકરણ (6) અને સ્થિતિ

તેવી જ રીતે, કાર્ય

સાથે સંતુષ્ટ થાય છે s સમીકરણ

અને શરત અને 2 ( ટી, એક્સ) = 0.

પ્રથમ સીમા સુધી પહોંચવાની ક્ષણ બનવા દો ડીડીપ્રદેશ પ્રક્રિયા માર્ગ પછી, અમુક શરતો હેઠળ, કાર્ય

સમીકરણને સંતોષે છે

અને સેટ પર મૂલ્યો cp લે છે

સામાન્ય રેખીય પેરાબોલિક માટે 1લી સીમા મૂલ્યની સમસ્યાનો ઉકેલ. 2જી ક્રમ સમીકરણો

એકદમ સામાન્ય ધારણાઓ હેઠળ ફોર્મમાં લખી શકાય છે

કિસ્સામાં જ્યારે ઓપરેટર એલ અને કાર્ય કરે છે s, fપર આધાર રાખશો નહીં sરેખીય લંબગોળને ઉકેલવા માટે (9) સમાન રજૂઆત પણ શક્ય છે. સમીકરણો વધુ સ્પષ્ટ રીતે, કાર્ય

ચોક્કસ ધારણાઓ હેઠળ સમસ્યાનો ઉકેલ છે

કિસ્સામાં જ્યારે ઓપરેટર L ડિજનરેટ થાય છે (del b( s, x) = 0 ).અથવા સરહદ ડીડીપર્યાપ્ત “સારા” નથી; ઑપરેટર માટે નિયમિત સીમા બિંદુનો ખ્યાલ એલસંભવિત અર્થઘટન છે. સીમાના નિયમિત બિંદુઓ પર, સીમા મૂલ્યો કાર્યો (9), (10) દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે. સમસ્યાઓનું નિરાકરણ (8), (11) અમને અનુરૂપ પ્રસરણ પ્રક્રિયાઓના ગુણધર્મો અને તેમના કાર્યોનો અભ્યાસ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

સાંસદો બનાવવાની પદ્ધતિઓ છે જે સમીકરણો (6), (7) ના ઉકેલો બનાવવા પર આધાર રાખતી નથી, ઉદાહરણ તરીકે. પદ્ધતિ સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણો,માપનો એકદમ સતત ફેરફાર, વગેરે. આ સંજોગો, સૂત્રો (9), (10) સાથે મળીને, અમને સમીકરણ (8) માટે સીમા મૂલ્યની સમસ્યાઓના ગુણધર્મો તેમજ તેના ઉકેલના ગુણધર્મોને સંભવિત રીતે બાંધવા અને અભ્યાસ કરવાની મંજૂરી આપે છે. અનુરૂપ લંબગોળ. સમીકરણો

સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણનું સોલ્યુશન મેટ્રિક્સ b(ના અધોગતિ માટે સંવેદનશીલ ન હોવાથી s, x), તે સંભવિત પદ્ધતિઓએલિપ્ટિક અને પેરાબોલિક વિભેદક સમીકરણોને ડિજનરેટ કરવા માટે ઉકેલો બનાવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા હતા. N. M. Krylov અને N. N. Bogolyubov ના સરેરાશ સિદ્ધાંતને સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણોમાં વિસ્તરણથી, (9) નો ઉપયોગ કરીને લંબગોળ અને પેરાબોલિક વિભેદક સમીકરણો માટે અનુરૂપ પરિણામો મેળવવાનું શક્ય બન્યું. કેટલાક મુશ્કેલ કાર્યોઉચ્ચતમ વ્યુત્પન્ન પર નાના પરિમાણ સાથે આ પ્રકારના સમીકરણોના ઉકેલોના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ સંભવિત વિચારણાઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવા માટે શક્ય હોવાનું બહાર આવ્યું છે. સમીકરણ (6) માટે 2જી સીમા મૂલ્ય સમસ્યાના ઉકેલનો પણ સંભવિત અર્થ છે. અનબાઉન્ડેડ ડોમેન માટે સીમા મૂલ્યની સમસ્યાઓનું નિર્માણ સંબંધિત પ્રસરણ પ્રક્રિયાના પુનરાવૃત્તિ સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે.

સમય-સમાન પ્રક્રિયાના કિસ્સામાં (L s પર આધાર રાખતો નથી), સમીકરણનો હકારાત્મક ઉકેલ, ગુણાકાર સ્થિરાંક સુધી, ચોક્કસ ધારણાઓ સાથે એકરુપ થાય છે. સ્થિર ઘનતાબિનરેખીય પેરાબોલિક્સ માટે સીમા મૂલ્યની સમસ્યાઓ પર વિચાર કરતી વખતે સંભવિત વિચારણાઓ પણ ઉપયોગી સાબિત થાય છે. સમીકરણો આર. 3. ખાસ્મિન્સ્કી.

લિટ.: માર્કોવ A. A., "Izvestia. Phys.-Mathematics Society of Kazan University", 1906, Vol 15, No. 4, p. 135-56; V a s h e l i e r L., "એન. સાયન્ટ. ઇકોલે નોર્મ, સુપર.", 1900, v. 17, પૃષ્ઠ. 21-86; કોલમોગોરોવ એ.એન., "મઠ. એન.", 1931, બીડી 104, એસ. 415-458; rus અનુવાદ - "ઉસ્પેખી મેટેમેટિશેસ્કીખ નૌક", 1938, સદી. 5, પૃષ્ઠ. 5-41; ઝુન કાઈ-લાઈ, સજાતીય માર્કોવ સાંકળો, ટ્રાન્સ. અંગ્રેજીમાંથી, એમ., 1964; R e 1 1 e r W., "Ann. Math.", 1954, v. 60, પૃષ્ઠ. 417-36; ડાયંકિન ઇ.બી., યુશ્કેવિચ એ.એ., " થિયરી સંભવ છે. અને તેની એપ્લિકેશન્સ.", 1956, વોલ્યુમ 1, વિ. 1, પૃષ્ઠ 149-55; X અને n t J.-A., માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ અને સંભવિત, અંગ્રેજીમાંથી અનુવાદિત, M., 1962; D e L la sher અને કે., ક્ષમતાઓ અને રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ, ફ્રેંચમાંથી ટ્રાન્સ, એમ., 1975, સિદ્ધાંતની સ્થાપના. માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ, એમ., 1959; તેને, માર્કોવ પ્રોસેસીસ, એમ., 1963; G અને h માણસ I. I., S k o r o x o d A. V., થિયરી ઓફ રેન્ડમ પ્રોસેસ, વોલ્યુમ 2, M., 1973; ફ્રીડલિન M.I., પુસ્તકમાં: વિજ્ઞાનના પરિણામો. સંભાવના સિદ્ધાંત, ગાણિતિક આંકડા. - સૈદ્ધાંતિક સાયબરનેટિક્સ. 1966, એમ., 1967, પૃષ્ઠ. 7-58; X a sminskiy R. 3., "સંભાવના સિદ્ધાંત અને તેના ઉપયોગો," 1963, વોલ્યુમ 8, માં . 1, પૃ. 3-25; વેન્ટ્ઝેલ એ.ડી., ફ્રીડલિન M.I., માં વધઘટ ગતિશીલ સિસ્ટમોનાના રેન્ડમ વિક્ષેપના પ્રભાવ હેઠળ, એમ., 1979; બ્લુમેન્થલ આર.એમ., જીટીઓ આર આર કે., માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ અને સંભવિત સિદ્ધાંત, એન.વાય.-એલ., 1968; ગેટઓર આર. કે., માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ: રે પ્રક્રિયાઓ અને યોગ્ય પ્રક્રિયાઓ, વી., 1975; કુઝનેત્સોવ એસ.ઇ., "સંભાવના સિદ્ધાંત અને તેના કાર્યક્રમો," 1980, વોલ્યુમ 25, સદી. 2, પૃષ્ઠ. 389-93.

હેઠળ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઅગાઉ અજાણ્યા રેન્ડમ રીતે અમુક ભૌતિક પ્રણાલીની અવસ્થાના સમયમાં ફેરફારને સમજો. તે જ સમયે હેઠળ ભૌતિક સિસ્ટમઅમે સમજીશુંકોઈપણ તકનીકી ઉપકરણ, ઉપકરણોનું જૂથ, એન્ટરપ્રાઇઝ, ઉદ્યોગ, જૈવિક સિસ્ટમવગેરે

રેન્ડમ પ્રક્રિયાસિસ્ટમમાં વહેતા કહેવાય છે માર્કોવ્સ્કી - જો સમયની કોઈપણ ક્ષણ માટે, પ્રક્રિયાની સંભવિત લાક્ષણિકતાઓ ભવિષ્યમાં (t > ) ફક્ત તેની સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે આ ક્ષણેસમય ( વર્તમાનમાં ) અને સિસ્ટમ ક્યારે અને કેવી રીતે આ સ્થિતિમાં આવી તેના પર નિર્ભર નથી ભૂતકાળમાં (ઉદાહરણ તરીકે, ગીગર કાઉન્ટર જે કોસ્મિક કણોની સંખ્યાને રેકોર્ડ કરે છે).

માર્કોવ પ્રક્રિયાઓને સામાન્ય રીતે 3 પ્રકારોમાં વહેંચવામાં આવે છે:

1. માર્કોવ સાંકળ – એવી પ્રક્રિયા કે જેના અવસ્થાઓ અલગ હોય છે (એટલે ​​કે તેઓને પુનઃક્રમાંકિત કરી શકાય છે), અને જે સમય દ્વારા તેને ગણવામાં આવે છે તે પણ અલગ હોય છે (એટલે ​​​​કે પ્રક્રિયા તેના રાજ્યોને સમયના અમુક બિંદુઓ પર જ બદલી શકે છે). આવી પ્રક્રિયા પગલાંઓમાં (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ચક્રમાં) આગળ વધે છે (ફેરફારો).

2. અલગ માર્કોવ પ્રક્રિયા - રાજ્યોનો સમૂહ અલગ છે (સૂચિબદ્ધ કરી શકાય છે), અને સમય સતત છે (એક રાજ્યમાંથી બીજામાં સંક્રમણ - કોઈપણ સમયે).

3. સતત માર્કોવ પ્રક્રિયા - રાજ્યો અને સમયનો સમૂહ સતત છે.

વ્યવહારમાં, તેમના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં માર્કોવ પ્રક્રિયાઓનો વારંવાર સામનો થતો નથી. જો કે, પ્રાગૈતિહાસિક પ્રભાવની અવગણના કરી શકાય તેવી પ્રક્રિયાઓ સાથે વ્યવહાર કરવો ઘણીવાર જરૂરી છે. વધુમાં, જો "ભૂતકાળ" ના તમામ પરિમાણો કે જેના પર "ભવિષ્ય" આધાર રાખે છે તે "વર્તમાન" માં સિસ્ટમની સ્થિતિમાં શામેલ છે, તો તેને માર્કોવ તરીકે પણ ગણી શકાય. જો કે, આ ઘણીવાર ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા ચલોની સંખ્યામાં નોંધપાત્ર વધારો અને સમસ્યાનો ઉકેલ મેળવવાની અસમર્થતા તરફ દોરી જાય છે.

ઓપરેશન સંશોધનમાં, કહેવાતા માર્કોવ અલગ અવસ્થાઓ અને સતત સમય સાથે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ.

પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે અલગ રાજ્યો સાથે પ્રક્રિયા, જો તેના તમામ સંભવિત રાજ્યો , ,... અગાઉથી સૂચિબદ્ધ કરી શકાય છે (ફરીથી નંબર આપી શકાય છે). સિસ્ટમ રાજ્યથી રાજ્યમાં લગભગ તરત જ સંક્રમણ કરે છે - એક જમ્પમાં.

પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સતત સમય પ્રક્રિયા, જો રાજ્યથી રાજ્યમાં સંક્રમણની ક્ષણો કોઈપણ લઈ શકે છે રેન્ડમ મૂલ્યોસમય ધરી પર.

ઉદાહરણ તરીકે : ટેકનિકલ ઉપકરણ S બે ગાંઠો ધરાવે છે , જેમાંથી દરેક રેન્ડમ સમયે નિષ્ફળ થઈ શકે છે ( ઇનકાર). આ પછી, એકમનું સમારકામ તરત જ શરૂ થાય છે ( પુનઃપ્રાપ્તિ), જે રેન્ડમ સમય માટે ચાલુ રહે છે.

નીચેની સિસ્ટમ સ્થિતિઓ શક્ય છે:

બંને ગાંઠો કાર્યરત છે;

પ્રથમ યુનિટનું સમારકામ કરવામાં આવી રહ્યું છે, બીજું કામ કરી રહ્યું છે.

- બીજા એકમનું સમારકામ કરવામાં આવી રહ્યું છે, પ્રથમ એક કામ કરી રહ્યું છે

બંને એકમોનું સમારકામ કરવામાં આવી રહ્યું છે.

રાજ્યથી રાજ્યમાં સિસ્ટમનું સંક્રમણ માં થાય છે રેન્ડમ ક્ષણોસમય લગભગ તરત. સિસ્ટમની સ્થિતિઓ અને તેમની વચ્ચેના જોડાણનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી પ્રદર્શિત કરી શકાય છે રાજ્ય ગ્રાફ .

રાજ્યો

સંક્રમણો

કારણ કે ત્યાં કોઈ સંક્રમણો નથી નિષ્ફળતાઓ અને તત્વોની પુનઃસ્થાપના સ્વતંત્ર રીતે અને અવ્યવસ્થિત રીતે થાય છે, અને બે ઘટકોની એક સાથે નિષ્ફળતા (પુનઃપ્રાપ્તિ) ની સંભાવના અમર્યાદિત છે અને તેને અવગણી શકાય છે.

જો બધી ઇવેન્ટ સ્ટ્રીમ્સ સિસ્ટમને સ્થાનાંતરિત કરે છે એસરાજ્યથી રાજ્ય સુધી - પ્રોટોઝોઆ, તે પ્રક્રિયાઆવી સિસ્ટમમાં વહે છે માર્કોવ્સ્કી હશે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે સૌથી સરળ પ્રવાહની અસર નથી, એટલે કે. તેમાં, "ભવિષ્ય" એ "ભૂતકાળ" પર આધાર રાખતું નથી અને વધુમાં, તેમાં સામાન્યતાની મિલકત છે - બે અથવા વધુ ઘટનાઓની એક સાથે ઘટનાની સંભાવના અનંત ઓછી છે, એટલે કે, રાજ્યથી સંક્રમણ અનેક મધ્યવર્તી અવસ્થાઓમાંથી પસાર થયા વિના રાજ્ય અશક્ય છે.

સ્પષ્ટતા માટે, રાજ્યના આલેખ પર દરેક સંક્રમણ તીર પર આપેલ તીર સાથે સિસ્ટમને રાજ્યથી રાજ્યમાં સ્થાનાંતરિત કરતી ઘટનાઓના પ્રવાહની તીવ્રતા દર્શાવવી અનુકૂળ છે ( -ઇવેન્ટ્સના પ્રવાહની તીવ્રતા જે સિસ્ટમને રાજ્યમાંથી સ્થાનાંતરિત કરે છે વી. આવા ગ્રાફ કહેવામાં આવે છે ચિહ્નિત

લેબલ થયેલ સિસ્ટમ સ્ટેટ ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, તમે બનાવી શકો છો ગાણિતિક મોડેલઆ પ્રક્રિયાના.

ચાલો સિસ્ટમના ચોક્કસ રાજ્યમાંથી પાછલા અથવા અનુગામી એકમાં સંક્રમણને ધ્યાનમાં લઈએ. આ કિસ્સામાં રાજ્ય ગ્રાફનો ટુકડો આના જેવો દેખાશે:

સમયની ક્ષણે સિસ્ટમ દો tસ્થિતિમાં છે.

ચાલો સૂચિત કરીએ (t)- સિસ્ટમની i-th સ્થિતિની સંભાવના- આ ક્ષણે સિસ્ટમની સંભાવના tસ્થિતિમાં છે. કોઈપણ સમયે t, =1 સાચું છે.

ચાલો સંભાવના નક્કી કરીએ કે સમયની ક્ષણે t+∆t સિસ્ટમ હશે. આ નીચેના કેસોમાં હોઈ શકે છે:

1) અને સમય ∆ t દરમિયાન તેને છોડ્યો ન હતો. આનો અર્થ એ છે કે સમય દરમિયાન ∆t ઊભો થયો નથીએક ઘટના જે સિસ્ટમને રાજ્યમાં સ્થાનાંતરિત કરે છે (તીવ્રતા સાથેનો પ્રવાહ) અથવા કોઈ ઘટના જે તેને રાજ્યમાં સ્થાનાંતરિત કરે છે (તીવ્રતા સાથેનો પ્રવાહ). ચાલો નાના ∆t માટે આની સંભાવના નક્કી કરીએ.

મુ ઘાતાંકીય કાયદોબે પડોશી જરૂરિયાતો વચ્ચે સમયનું વિતરણ, ઘટનાઓના સરળ પ્રવાહને અનુરૂપ, સંભવિતતા કે સમય અંતરાલ દરમિયાન ∆ તીવ્રતા સાથે પ્રવાહમાં એક પણ જરૂરિયાત ઊભી થશે નહીં λ 1સમાન હશે

ફંક્શન f(t) ને ટેલર શ્રેણી (t>0) માં વિસ્તૃત કરવાથી આપણે મેળવીએ છીએ (t=∆t માટે)

f(∆t)=f(0)+ (0)* ∆t + *∆ + *∆ +…=

= +(-l) *∆t+ (∆ + *(∆ +..." 1-l*∆t ∆t®0 પર

તેવી જ રીતે, તીવ્રતાવાળા પ્રવાહ માટે λ 2 આપણે મેળવીએ છીએ .

સંભાવના કે સમય અંતરાલ દરમિયાન ∆t (∆t®0 પર) ત્યાં કોઈ જરૂરિયાત સમાન હશે

(∆t)/ = (∆t/ * (∆t/ = (1- *∆t)(1- *∆t) =

1 - - *∆t + 1 - ( + )*∆t + b.m.

આમ, સમય દરમિયાન સિસ્ટમે રાજ્ય છોડ્યું ન હોય તેવી સંભાવના ∆t જેટલી હશે

પી( / )=1 – ( + )* ∆t

2) તંત્રની હાલત કફોડી હતી S i -1 અને સમય માટે રાજ્યમાં પસાર થયું S i . એટલે કે, પ્રવાહમાં ઓછામાં ઓછી એક ઘટના તીવ્રતા સાથે આવી. આની સંભાવના તીવ્રતા સાથેના સરળ પ્રવાહ માટે સમાન છે λ કરશે

અમારા કેસ માટે, આવા સંક્રમણની સંભાવના સમાન હશે

3)તંત્રની હાલત કફોડી હતી અને સમય દરમિયાન ∆ રાજ્યમાં સંક્રમણ થયું નથી . આની સંભાવના રહેશે

પછી સંભવિતતા કે સિસ્ટમ સમયે (t+∆t) S i ની સ્થિતિમાં હશે

ચાલો બંને બાજુઓમાંથી P i (t) ને બાદ કરીએ, ∆t વડે ભાગીએ અને, મર્યાદામાં પસાર થતાં, ∆t→0 પર, આપણને મળે છે.

રાજ્યોથી રાજ્યોમાં સંક્રમણની તીવ્રતાના અનુરૂપ મૂલ્યોને બદલીને, અમે વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ જે સમયના કાર્યો તરીકે સિસ્ટમ સ્ટેટ્સની સંભાવનાઓમાં ફેરફારનું વર્ણન કરે છે.

આ સમીકરણોને સમીકરણો કહેવામાં આવે છે કોલમોગોરોવ-ચેપમેન એક અલગ માર્કોવ પ્રક્રિયા માટે.

પૂછીને પ્રારંભિક શરતો(ઉદાહરણ તરીકે, P 0 (t=0)=1,P i (t=0)=0 i≠0) અને તેમને હલ કર્યા પછી, અમે સમયના કાર્યો તરીકે સિસ્ટમની સ્થિતિની સંભાવનાઓ માટે અભિવ્યક્તિઓ મેળવીએ છીએ. વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલોજો સમીકરણોની સંખ્યા ≤ 2.3 હોય તો તે મેળવવું એકદમ સરળ છે. જો તેમાંના વધુ હોય, તો સમીકરણો સામાન્ય રીતે કમ્પ્યુટર પર સંખ્યાત્મક રીતે ઉકેલવામાં આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, રંજ-કુટ્ટા પદ્ધતિ દ્વારા).

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતમાં સાબિત , શું જો નંબર n સિસ્ટમ સ્ટેટ્સ ચોક્કસ અને તે દરેકમાંથી તે શક્ય છે (માટે અંતિમ સંખ્યાપગલાં) અન્ય કોઈપણ પર જાઓ, પછી એક મર્યાદા છે , જેમાં સંભાવનાઓ ક્યારે હોય છે t→ . આવી સંભાવનાઓ કહેવામાં આવે છે અંતિમ સંભાવનાઓ રાજ્યો, અને સ્થિર સ્થિતિ છે સ્થિર મોડ સિસ્ટમની કામગીરી.

બધું સ્થિર સ્થિતિમાં હોવાથી , તેથી, બધું =0. સમીકરણોની સિસ્ટમની ડાબી બાજુઓને 0 સાથે સરખાવીને અને તેમને સમીકરણ =1 સાથે પૂરક બનાવીને, આપણે રેખીય સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ બીજગણિતીય સમીકરણો, જેને હલ કરવાથી આપણે અંતિમ સંભાવનાઓના મૂલ્યો શોધીશું.

ઉદાહરણ. અમારી સિસ્ટમમાં તત્વોના નિષ્ફળતા દર અને પુનઃપ્રાપ્તિ દર નીચે મુજબ હોવા દો:

નિષ્ફળતાઓ 1el:

2el:

સમારકામ 1el:

2el:

P 0 +P 1 +P 2 +P 3 =1

0=-(1+2)P 0 +2P 1 +3 P 2

0=-(2+2)P 1 +1P 0 +3P 3

0=-(1+3)P 2 +2P 0 +2P 3

0=-(2+3)P 3 +2P 1 +1P 2

નક્કી કર્યા પછી આ સિસ્ટમ, અમને મળે છે

પી 0 =6/15=0.4; પી 1 =3/15=0.2; પી 2 =4/15=0.27; પી 3 =2/15≈0.13.

તે. વી સ્થિર સ્થિતિસરેરાશ સિસ્ટમ

40% રાજ્ય S 0 માં છે (બંને નોડ કાર્યરત છે),

20% - S 1 ની સ્થિતિમાં (1 લી એકમ રીપેર થઈ રહ્યું છે, 2 જી કાર્યરત છે),

27% - S 2 ની સ્થિતિમાં (બીજો વિદ્યુત એકમ રિપેર થઈ રહ્યો છે, પ્રથમ એક કાર્યકારી ક્રમમાં),

13% - S 3 શરતમાં - બંને એકમો સમારકામ હેઠળ છે.

અંતિમ સંભાવનાઓ જાણવી પરવાનગી આપે છે સિસ્ટમની સરેરાશ કાર્યક્ષમતા અને સમારકામ સેવાના વર્કલોડનું મૂલ્યાંકન કરો.

રાજ્ય S 0 માં સિસ્ટમને 8 પરંપરાગત એકમોની આવક પેદા કરવા દો. સમયના એકમ દીઠ; રાજ્ય S 1 માં - આવક 3 પરંપરાગત એકમો; રાજ્ય S 2 માં - આવક 5 રાજ્ય S 3 માં - આવક = 0

કિંમત સમારકામ તત્વ 1- 1(S 1, S 3) પરંપરાગત એકમો માટે સમયના એકમ દીઠ, તત્વ 2- (S 2, S 3) 2 પરંપરાગત એકમો. પછી સ્થિર સ્થિતિમાં:

સિસ્ટમ આવકપ્રતિ યુનિટ સમય હશે:

W ext =8P 0 +3P 1 +5P 2 +0P 3 =8·0.4+3·0.2+5·0.27+0·0.13=5.15 પરંપરાગત એકમો.

સમારકામ ખર્ચએકમોમાં સમય:

W rem =0P 0 +1P 1 +2P 2 +(1+2)P 3 =0·0.4+1·0.2+2·0.27+3·0.13=1.39 પરંપરાગત એકમો.

નફોસમયના એકમ દીઠ

W= W ઉચ્છવાસ -W રિપેર = 5.15-1.39= 3.76 પરંપરાગત એકમો

ચોક્કસ ખર્ચ ખર્ચીને, તમે તીવ્રતા λ અને μ અને તે મુજબ, સિસ્ટમની કાર્યક્ષમતા બદલી શકો છો. P i પુનઃગણતરી કરીને આવા ખર્ચની શક્યતાનું મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે. અને સિસ્ટમ કામગીરી સૂચકાંકો.

સમય પરિમાણના કોઈપણ આપેલ મૂલ્ય પછી જેનું ઉત્ક્રાંતિ t (\ પ્રદર્શન શૈલી t) આધાર રાખતો નથીઅગાઉના ઉત્ક્રાંતિમાંથી t (\ પ્રદર્શન શૈલી t), પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે આ ક્ષણે પ્રક્રિયાનું મૂલ્ય નિશ્ચિત છે (પ્રક્રિયાનું "ભવિષ્ય" જાણીતા "વર્તમાન" સાથેના "ભૂતકાળ" પર આધારિત નથી; અન્ય અર્થઘટન (વેન્ટ્ઝેલ): પ્રક્રિયાનું "ભવિષ્ય" આધાર રાખે છે "ભૂતકાળ" પર ફક્ત "વર્તમાન" દ્વારા).

જ્ઞાનકોશીય YouTube

1 / 3

✪ લેક્ચર 15: માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ

✪ માર્કોવ સાંકળોની ઉત્પત્તિ

✪ માર્કોવ પ્રક્રિયાનું સામાન્યકૃત મોડેલ

સબટાઈટલ

વાર્તા

માર્કોવ પ્રક્રિયાને વ્યાખ્યાયિત કરતી મિલકતને સામાન્ય રીતે માર્કોવિયન કહેવામાં આવે છે; તે સૌપ્રથમ એ.એ. માર્કોવ દ્વારા ઘડવામાં આવ્યું હતું, જેમણે, 1907 ના કાર્યોમાં, આશ્રિત પરીક્ષણોના ક્રમ અને તેમની સાથે સંકળાયેલા સરવાળોનો અભ્યાસ શરૂ કર્યો હતો. રેન્ડમ ચલો. સંશોધનની આ લાઇનને માર્કોવ ચેઇન થિયરી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

સતત-સમય માર્કોવ પ્રક્રિયાઓના સામાન્ય સિદ્ધાંતના પાયા કોલમોગોરોવ દ્વારા નાખવામાં આવ્યા હતા.

માર્કોવ મિલકત

સામાન્ય કેસ

દો (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P)))- ફિલ્ટરિંગ સાથે સંભવિત જગ્યા (F t , t ∈ T) (\displaystyle ((\mathcal (F))_(t),\ t\in T))કેટલાક (આંશિક રીતે ઓર્ડર કરેલ) સેટ ઉપર T (\Displaystyle T); અને દો (S , S) (\displaystyle (S,(\mathcal (S))))- માપી શકાય તેવી જગ્યા. રેન્ડમ પ્રક્રિયા X = (X t , t ∈ T) (\displaystyle X=(X_(t),\ t\in T)), ફિલ્ટર કરેલ સંભાવના જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત, સંતોષકારક માનવામાં આવે છે માર્કોવ મિલકત, જો દરેક માટે A ∈ S (\displaystyle A\in (\mathcal (S)))અને s , t ∈ T: s< t {\displaystyle s,t\in T:s,

(\displaystyle \mathbb (P) (X_(t)\in A|(\mathcal (F))_(s)=\mathbb (P) (X_(t)\in A|X_(s)). )માર્કોવ પ્રક્રિયા માર્કોવ મિલકતએક રેન્ડમ પ્રક્રિયા છે જે સંતોષે છે

કુદરતી ગાળણક્રિયા સાથે.

સ્વતંત્ર સમય માર્કોવ સાંકળો માટે કિસ્સામાં S (\Displaystyle S) એક અલગ સેટ છે અને T = N (\displaystyle T=\mathbb (N) )

માર્કોવ પ્રક્રિયાનું ઉદાહરણ

ચાલો માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયાના એક સરળ ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ. એક બિંદુ એબ્સીસા અક્ષ સાથે અવ્યવસ્થિત રીતે ખસે છે. શૂન્ય સમયે, બિંદુ મૂળ પર હોય છે અને એક સેકન્ડ માટે ત્યાં રહે છે. એક સેકન્ડ પછી, એક સિક્કો ફેંકવામાં આવે છે - જો આર્મ્સનો કોટ નાખવામાં આવે છે, તો પછી બિંદુ X લંબાઈના એક એકમને જમણી તરફ ખસેડે છે, જો સંખ્યા - ડાબી તરફ. એક સેકન્ડ પછી, સિક્કો ફરીથી ફેંકવામાં આવે છે અને તે જ રેન્ડમ હિલચાલ કરવામાં આવે છે, વગેરે. બિંદુની સ્થિતિ બદલવાની પ્રક્રિયા ("ચાલવું") એ એક અલગ સમય (t=0, 1, 2, ...) અને અવસ્થાઓના ગણતરીપાત્ર સમૂહ સાથેની રેન્ડમ પ્રક્રિયા છે. આવી રેન્ડમ પ્રક્રિયાને માર્કોવ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે બિંદુની આગલી સ્થિતિ ફક્ત વર્તમાન (વર્તમાન) સ્થિતિ પર આધારિત છે અને ભૂતકાળની સ્થિતિઓ પર આધારિત નથી (તે કોઈ વાંધો નથી કે કઈ રીતે અને કયા સમયે બિંદુ વર્તમાન સંકલન પર પહોંચ્યું) .

માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ 1907 માં વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા લેવામાં આવી હતી. તે સમયના અગ્રણી ગણિતશાસ્ત્રીઓએ આ સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો હતો, કેટલાક હજુ પણ તેને સુધારી રહ્યા છે. આ સિસ્ટમ અન્ય વૈજ્ઞાનિક ક્ષેત્રોમાં ફેલાઈ રહી છે. પ્રેક્ટિકલ માર્કોવ સાંકળોનો ઉપયોગ વિવિધ ક્ષેત્રોમાં થાય છે જ્યાં વ્યક્તિને અપેક્ષાની સ્થિતિમાં રહેવાની જરૂર હોય છે. પરંતુ સિસ્ટમને સ્પષ્ટ રીતે સમજવા માટે, તમારે શરતો અને જોગવાઈઓનું જ્ઞાન હોવું જરૂરી છે. મુખ્ય પરિબળ જે માર્કોવ પ્રક્રિયાને નિર્ધારિત કરે છે તે રેન્ડમનેસ માનવામાં આવે છે. સાચું, તે અનિશ્ચિતતાના ખ્યાલ જેવું નથી. તેની કેટલીક શરતો અને ચલો છે.

અવ્યવસ્થિતતા પરિબળની વિશેષતાઓ

આ સ્થિતિ સ્થિર સ્થિરતાને આધીન છે, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તેના કાયદાઓને આધીન છે, જે અનિશ્ચિતતા હેઠળ ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા નથી. બદલામાં, આ માપદંડ માર્કોવ પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતમાં ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે, જેમ કે સંભાવનાઓની ગતિશીલતાનો અભ્યાસ કરનારા વૈજ્ઞાનિક દ્વારા નોંધ લેવામાં આવી છે. તેમણે બનાવેલ કાર્ય આ ચલો સાથે સીધા વ્યવહાર કરે છે. બદલામાં, અભ્યાસ અને વિકસિત રેન્ડમ પ્રક્રિયા, જેમાં રાજ્ય અને સંક્રમણની વિભાવનાઓ છે, અને તેનો ઉપયોગ સ્ટોકેસ્ટિક અને ગાણિતિક સમસ્યાઓમાં પણ થાય છે, તે આ મોડેલોને કાર્ય કરવાનું શક્ય બનાવે છે. અન્ય બાબતોમાં, તે અન્ય મહત્વપૂર્ણ લાગુ સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારુ વિજ્ઞાનમાં સુધારો કરવાનું શક્ય બનાવે છે:

• પ્રસરણ સિદ્ધાંત;
• કતાર સિદ્ધાંત;
• વિશ્વસનીયતા અને અન્ય વસ્તુઓનો સિદ્ધાંત;
• રસાયણશાસ્ત્ર;
• ભૌતિકશાસ્ત્ર;
• મિકેનિક્સ

બિનઆયોજિત પરિબળની આવશ્યક લાક્ષણિકતાઓ

આ માર્કોવ પ્રક્રિયા રેન્ડમ ફંક્શન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, એટલે કે, દલીલનું કોઈપણ મૂલ્ય આપેલ મૂલ્ય અથવા પૂર્વ-તૈયાર સ્વરૂપ લે છે તે માનવામાં આવે છે. ઉદાહરણોમાં શામેલ છે:

• સર્કિટમાં સ્પંદનો;
• ચળવળની ગતિ;
• આપેલ વિસ્તારમાં સપાટીની ખરબચડી.

તે પણ સામાન્ય રીતે સ્વીકારવામાં આવે છે કે રેન્ડમ ફંક્શનની હકીકત સમય છે, એટલે કે, અનુક્રમણિકા થાય છે. વર્ગીકરણમાં રાજ્યનું સ્વરૂપ અને દલીલ છે. આ પ્રક્રિયા સ્વતંત્ર તેમજ સતત અવસ્થાઓ અથવા સમય સાથે હોઈ શકે છે. તદુપરાંત, કિસ્સાઓ અલગ છે: બધું એક અથવા બીજા સ્વરૂપમાં અથવા તે જ સમયે થાય છે.

રેન્ડમનેસના ખ્યાલનું વિગતવાર વિશ્લેષણ

સ્પષ્ટ રીતે વિશ્લેષણાત્મક સ્વરૂપમાં જરૂરી પ્રદર્શન સૂચકાંકો સાથે ગાણિતિક મોડેલનું નિર્માણ કરવું ખૂબ મુશ્કેલ હતું. ભવિષ્યમાં, આ કાર્યને અમલમાં મૂકવું શક્ય બન્યું, કારણ કે માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયા ઊભી થઈ. આ ખ્યાલનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીને, પ્રમેય મેળવવો જરૂરી છે. માર્કોવ પ્રક્રિયા એ ભૌતિક પ્રણાલી છે જેણે તેની સ્થિતિ અને સ્થિતિ બદલી છે, જે અગાઉથી પ્રોગ્રામ કરવામાં આવી ન હતી. આમ, તે તારણ આપે છે કે તેમાં રેન્ડમ પ્રક્રિયા થઈ રહી છે. ઉદાહરણ તરીકે: એક અવકાશ ભ્રમણકક્ષા અને એક જહાજ જે તેમાં લોંચ કરવામાં આવે છે. પરિણામ ફક્ત કેટલીક અચોક્કસતાઓ અને ગોઠવણોને કારણે પ્રાપ્ત થયું હતું, આ વિના, ઉલ્લેખિત મોડ અમલમાં આવશે નહીં. મોટાભાગની ચાલુ પ્રક્રિયાઓ અવ્યવસ્થિતતા અને અનિશ્ચિતતા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.

હકીકતમાં, લગભગ કોઈપણ વિકલ્પ કે જેને ધ્યાનમાં લઈ શકાય તે આ પરિબળને આધીન રહેશે. એક વિમાન, તકનીકી ઉપકરણ, ડાઇનિંગ રૂમ, ઘડિયાળ - આ બધું રેન્ડમ ફેરફારોને આધિન છે. તદુપરાંત, આ કાર્ય વાસ્તવિક દુનિયામાં કોઈપણ ચાલુ પ્રક્રિયામાં સહજ છે. જો કે, જ્યાં સુધી આ વ્યક્તિગત રીતે રૂપરેખાંકિત પરિમાણોની ચિંતા કરતું નથી, ત્યાં સુધી બનતી વિક્ષેપોને નિર્ણાયક તરીકે માનવામાં આવે છે.

માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયાનો ખ્યાલ

કોઈપણ તકનીકી અથવા યાંત્રિક ઉપકરણની રચના નિર્માતાને વિવિધ પરિબળોને ધ્યાનમાં લેવાની ફરજ પાડે છે, ખાસ કરીને અનિશ્ચિતતાઓ. રેન્ડમ વધઘટ અને વિક્ષેપની ગણતરી વ્યક્તિગત હિતની ક્ષણે ઊભી થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઑટોપાયલોટ અમલમાં મૂકતી વખતે. ભૌતિકશાસ્ત્ર અને મિકેનિક્સ જેવા વિજ્ઞાનમાં અભ્યાસ કરાયેલ કેટલીક પ્રક્રિયાઓ આના જેવી છે.

પરંતુ તેમના પર ધ્યાન આપવું અને સંપૂર્ણ સંશોધન કરવું તે ક્ષણે શરૂ થવું જોઈએ જ્યારે તેની તાત્કાલિક જરૂર હોય. માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયાની નીચેની વ્યાખ્યા છે: ભવિષ્યના પ્રકારની સંભાવના લાક્ષણિકતા તે સમયની આપેલ ક્ષણે કઈ સ્થિતિમાં છે તેના પર આધાર રાખે છે અને સિસ્ટમ કેવી દેખાય છે તેની સાથે કોઈ સંબંધ નથી. તેથી, આ ખ્યાલ સૂચવે છે કે પરિણામની આગાહી કરી શકાય છે, માત્ર સંભાવનાને ધ્યાનમાં રાખીને અને પૃષ્ઠભૂમિ વિશે ભૂલીને.

ખ્યાલનું વિગતવાર અર્થઘટન

આ ક્ષણે, સિસ્ટમ ચોક્કસ સ્થિતિમાં છે, તે સંક્રમણ અને બદલાતી રહે છે, અને આગળ શું થશે તેની આગાહી કરવી અનિવાર્યપણે અશક્ય છે. પરંતુ, સંભાવનાને જોતાં, અમે કહી શકીએ કે પ્રક્રિયા ચોક્કસ સ્વરૂપમાં પૂર્ણ થશે અથવા અગાઉની એક જાળવી રાખશે. એટલે કે ભૂતકાળને ભૂલીને વર્તમાનમાંથી ભવિષ્ય ઉદભવે છે. જ્યારે કોઈ સિસ્ટમ અથવા પ્રક્રિયા નવી સ્થિતિમાં પ્રવેશે છે, ત્યારે ઇતિહાસ સામાન્ય રીતે અવગણવામાં આવે છે. માર્કોવ પ્રક્રિયાઓમાં સંભાવના મહત્વની ભૂમિકા ભજવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ગીગર કાઉન્ટર કણોની સંખ્યા બતાવે છે, જે ચોક્કસ સૂચક પર આધાર રાખે છે, અને તે ચોક્કસ ક્ષણ પર નહીં કે જ્યાં તે પહોંચ્યા. અહીં મુખ્ય માપદંડ ઉપરોક્ત માપદંડ છે. પ્રાયોગિક એપ્લિકેશન્સમાં, માત્ર માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ જ નહીં, પણ સમાન પ્રક્રિયાઓ પણ ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે: એરક્રાફ્ટ સિસ્ટમ લડાઇમાં ભાગ લે છે, જેમાંથી દરેક ચોક્કસ રંગ દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, મુખ્ય માપદંડ ફરીથી સંભાવના છે. કયા બિંદુએ નંબરોમાં ફાયદો થશે, અને કયા રંગ માટે, અજ્ઞાત છે. એટલે કે, આ પરિબળ સિસ્ટમની સ્થિતિ પર આધારિત છે, અને વિમાનના મૃત્યુના ક્રમ પર નહીં.

પ્રક્રિયાઓનું માળખાકીય વિશ્લેષણ

માર્કોવ પ્રક્રિયા એ સંભવિત પરિણામો વિના અને અગાઉના ઇતિહાસને ધ્યાનમાં લીધા વિના સિસ્ટમની કોઈપણ સ્થિતિ છે. એટલે કે, જો તમે વર્તમાનમાં ભવિષ્યનો સમાવેશ કરો અને ભૂતકાળને છોડી દો. પ્રાગૈતિહાસિક સાથે આપેલ સમયની અતિસંતૃપ્તિ બહુપરીમાણ તરફ દોરી જશે અને પરિણામે સાંકળોના જટિલ બાંધકામો થશે. તેથી, ન્યૂનતમ આંકડાકીય પરિમાણો સાથે સરળ સર્કિટનો ઉપયોગ કરીને આ સિસ્ટમોનો અભ્યાસ કરવો વધુ સારું છે. પરિણામે, આ ચલોને અમુક પરિબળો દ્વારા નિર્ધારિત અને કન્ડિશન્ડ ગણવામાં આવે છે.

માર્કોવ પ્રક્રિયાઓનું ઉદાહરણ: કાર્યકારી તકનીકી ઉપકરણ જે તે ક્ષણે સારી કાર્યકારી ક્રમમાં છે. આ સ્થિતિમાં, રસ એ સંભાવનામાં છે કે ઉપકરણ લાંબા સમય સુધી કાર્ય કરવાનું ચાલુ રાખશે. પરંતુ જો આપણે ઉપકરણોને ડીબગ કરેલા તરીકે સમજીએ, તો આ વિકલ્પ હવે વિચારણા હેઠળની પ્રક્રિયા સાથે સંબંધિત રહેશે નહીં કારણ કે ઉપકરણ પહેલા કેટલા સમય સુધી કામ કરે છે અને સમારકામ કરવામાં આવ્યું હતું કે કેમ તે વિશે કોઈ માહિતી નથી. જો કે, જો આપણે આ બે સમયના ચલોને પૂરક બનાવીએ અને તેમને સિસ્ટમમાં સામેલ કરીએ, તો તેની સ્થિતિને માર્કોવિયન તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે.

સ્વતંત્ર સ્થિતિ અને સમયની સાતત્યનું વર્ણન

માર્કોવ પ્રોસેસ મોડલનો ઉપયોગ એવા સમયે થાય છે જ્યારે પાછલા ઇતિહાસની અવગણના કરવી જરૂરી છે. વ્યવહારમાં સંશોધન માટે, સ્વતંત્ર, સતત અવસ્થાઓનો મોટાભાગે સામનો કરવો પડે છે. આવી પરિસ્થિતિના ઉદાહરણો છે: સાધનસામગ્રીની રચનામાં એવા ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે જે, સંચાલનની સ્થિતિમાં, નિષ્ફળ થઈ શકે છે, અને આ બિનઆયોજિત, રેન્ડમ ક્રિયા તરીકે થાય છે. પરિણામે, સિસ્ટમની સ્થિતિ એક અથવા બીજા તત્વના સમારકામને આધિન છે, આ ક્ષણે તેમાંથી એક કાર્યરત હશે અથવા તે બંને ડીબગ કરવામાં આવશે, અથવા તેનાથી વિપરીત, તેઓ સંપૂર્ણપણે ગોઠવવામાં આવશે.

અલગ માર્કોવ પ્રક્રિયા સંભાવના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે અને તે સિસ્ટમનું એક રાજ્યમાંથી બીજા રાજ્યમાં સંક્રમણ પણ છે. તદુપરાંત, આ પરિબળ તરત જ થાય છે, ભલે આકસ્મિક ભંગાણ અને સમારકામ થાય. આવી પ્રક્રિયાનું વિશ્લેષણ કરવા માટે, રાજ્ય આલેખનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે, એટલે કે, ભૌમિતિક આકૃતિઓ. આ કિસ્સામાં સિસ્ટમ સ્ટેટ્સ વિવિધ આકૃતિઓ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: ત્રિકોણ, લંબચોરસ, બિંદુઓ, તીરો.

આ પ્રક્રિયાનું મોડેલિંગ

અલગ અવસ્થાઓ સાથેની માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ એ સંક્રમણના પરિણામે સિસ્ટમમાં શક્ય ફેરફારો છે જે તરત જ થાય છે, અને જેને ક્રમાંકિત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે ગાંઠો માટે તીરમાંથી રાજ્યનો ગ્રાફ બનાવી શકો છો, જ્યાં દરેક નિષ્ફળતા, કાર્યકારી સ્થિતિ વગેરેના અલગ-અલગ નિર્દેશિત પરિબળોનો માર્ગ સૂચવે છે. ભવિષ્યમાં, કોઈપણ પ્રશ્નો ઉભા થઈ શકે છે: જેમ કે હકીકત એ છે કે બધા ભૌમિતિક તત્વો નથી. યોગ્ય દિશામાં નિર્દેશ કરો, કારણ કે પ્રક્રિયામાં, દરેક નોડ બગડી શકે છે. કામ કરતી વખતે, ટૂંકા સર્કિટને ધ્યાનમાં લેવું મહત્વપૂર્ણ છે.

સતત-સમયની માર્કોવ પ્રક્રિયા ત્યારે થાય છે જ્યારે ડેટા અગાઉથી નિશ્ચિત ન હોય, તે અવ્યવસ્થિત રીતે થાય છે. સંક્રમણો અગાઉ બિનઆયોજિત હતા અને કોઈપણ સમયે ઉછાળામાં થાય છે. અહીં ફરીથી, સંભાવના મુખ્ય ભૂમિકા ભજવે છે. જો કે, જો વર્તમાન પરિસ્થિતિ ઉપરોક્ત સાથે સંબંધિત હોય, તો વર્ણન માટે ગાણિતિક મોડેલ વિકસાવવાની જરૂર પડશે, પરંતુ શક્યતાના સિદ્ધાંતને સમજવું મહત્વપૂર્ણ છે.

સંભવિત સિદ્ધાંતો

આ સિદ્ધાંતો સંભવિત ગાણિતિક સમસ્યાઓને ધ્યાનમાં લે છે, જેમાં નિર્ણાયક મુદ્દાઓને બદલે રેન્ડમ ક્રમ, ચળવળ અને પરિબળો જેવી લાક્ષણિકતાઓ છે, જે હવે પછી નિશ્ચિત છે. નિયંત્રિત માર્કોવ પ્રક્રિયામાં સંભાવના પરિબળ હોય છે અને તે તેના પર આધારિત હોય છે. તદુપરાંત, આ સિસ્ટમ વિવિધ પરિસ્થિતિઓ અને સમયના અંતરાલ હેઠળ તરત જ કોઈપણ રાજ્યમાં સંક્રમણ કરવામાં સક્ષમ છે.

આ સિદ્ધાંતને વ્યવહારમાં લાગુ કરવા માટે, સંભવિતતા અને તેના ઉપયોગ વિશે મહત્વપૂર્ણ જ્ઞાન હોવું જરૂરી છે. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, દરેક વ્યક્તિ અપેક્ષાની સ્થિતિમાં હોય છે, જે સામાન્ય અર્થમાં પ્રશ્નમાં રહેલો સિદ્ધાંત છે.

સંભાવના સિદ્ધાંતના ઉદાહરણો

આ પરિસ્થિતિમાં માર્કોવ પ્રક્રિયાઓના ઉદાહરણોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

• કાફે;
• ટિકિટ ઓફિસો;
• સમારકામની દુકાનો;
• વિવિધ હેતુઓ માટે સ્ટેશનો, વગેરે.

એક નિયમ તરીકે, લોકો દરરોજ આ સિસ્ટમનો સામનો કરે છે; આજે તેને કતાર કહેવામાં આવે છે. સવલતો પર જ્યાં આવી સેવા ઉપલબ્ધ છે, ત્યાં વિવિધ વિનંતીઓની વિનંતી કરવી શક્ય છે, જે પ્રક્રિયામાં સંતુષ્ટ છે.

છુપાયેલા પ્રક્રિયા મોડેલો

આવા મોડેલો સ્થિર છે અને મૂળ પ્રક્રિયાની કામગીરીની નકલ કરે છે. આ કિસ્સામાં, મુખ્ય લક્ષણ એ અજ્ઞાત પરિમાણોને મોનિટર કરવાનું કાર્ય છે જેને હલ કરવું આવશ્યક છે. પરિણામે, આ તત્વોનો ઉપયોગ પૃથ્થકરણ, પ્રેક્ટિસ અથવા વિવિધ વસ્તુઓને ઓળખવા માટે થઈ શકે છે. પરંપરાગત માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ છુપાયેલા મોડેલમાં દૃશ્યમાન સંક્રમણો અને સંભાવના પર આધારિત હોય છે, માત્ર રાજ્ય દ્વારા પ્રભાવિત અજ્ઞાત ચલો જોવા મળે છે.

છુપાયેલા માર્કોવ મોડલ્સની આવશ્યક જાહેરાત

તે અન્ય મૂલ્યો વચ્ચે સંભવિત વિતરણ પણ ધરાવે છે, પરિણામે સંશોધક પ્રતીકો અને અવસ્થાઓનો ક્રમ જોશે. દરેક ક્રિયામાં અન્ય મૂલ્યો વચ્ચે સંભાવનાનું વિતરણ હોય છે, તેથી છુપાયેલ મોડલ જનરેટ થયેલ ક્રમિક સ્થિતિઓ વિશે માહિતી પ્રદાન કરે છે. તેમની પ્રથમ નોંધો અને ઉલ્લેખો છેલ્લી સદીના સાઠના દાયકાના અંતમાં દેખાયા હતા.

પછી તેઓ વાણી ઓળખ માટે અને જૈવિક માહિતીના વિશ્લેષકો તરીકે ઉપયોગમાં લેવાનું શરૂ કર્યું. વધુમાં, છુપાયેલા મોડેલો લેખન, ચળવળ અને કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં ફેલાયા છે. ઉપરાંત, આ તત્વો મુખ્ય પ્રક્રિયાના સંચાલનનું અનુકરણ કરે છે અને સ્થિર રહે છે, જો કે, આ હોવા છતાં, ત્યાં ઘણી વધુ વિશિષ્ટ સુવિધાઓ છે. આ હકીકત ખાસ કરીને પ્રત્યક્ષ અવલોકન અને ક્રમ જનરેશનને લગતી છે.

સ્થિર માર્કોવ પ્રક્રિયા

આ સ્થિતિ સજાતીય સંક્રમણ કાર્ય માટે, તેમજ સ્થિર વિતરણ માટે અસ્તિત્વમાં છે, જે મુખ્ય અને વ્યાખ્યા દ્વારા, રેન્ડમ ક્રિયા તરીકે ગણવામાં આવે છે. આપેલ પ્રક્રિયા માટે તબક્કાની જગ્યા એ મર્યાદિત સમૂહ છે, પરંતુ આ સ્થિતિમાં, પ્રારંભિક ભિન્નતા હંમેશા અસ્તિત્વમાં છે. આ પ્રક્રિયામાં સંક્રમણની સંભાવનાઓને સમયની પરિસ્થિતિઓ અથવા વધારાના ઘટકો હેઠળ ગણવામાં આવે છે.

માર્કોવ મોડેલો અને પ્રક્રિયાઓનો વિગતવાર અભ્યાસ જીવનના વિવિધ ક્ષેત્રો અને સમાજની પ્રવૃત્તિમાં સંતોષકારક સંતુલનનો મુદ્દો છતી કરે છે. આ ઉદ્યોગ વિજ્ઞાન અને સામૂહિક સેવાઓને અસર કરે છે તે ધ્યાનમાં લેતા, સમાન ખામીયુક્ત ઘડિયાળો અથવા સાધનોની કોઈપણ ઘટનાઓ અથવા ક્રિયાઓના પરિણામનું વિશ્લેષણ અને આગાહી કરીને પરિસ્થિતિને સુધારી શકાય છે. માર્કોવ પ્રક્રિયાની ક્ષમતાઓનો સંપૂર્ણ ઉપયોગ કરવા માટે, તેમને વિગતવાર સમજવા યોગ્ય છે. છેવટે, આ ઉપકરણને માત્ર વિજ્ઞાનમાં જ નહીં, પણ રમતોમાં પણ વ્યાપક એપ્લિકેશન મળી છે. આ સિસ્ટમ તેના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં સામાન્ય રીતે ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી નથી, અને જો તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, તો તે ફક્ત ઉપરોક્ત મોડેલો અને આકૃતિઓના આધારે છે.