તરંગ સમીકરણનો પ્રકાર ભૌતિક સિસ્ટમતેના હેમિલ્ટોનિયન દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, જે તેથી ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના સમગ્ર ગાણિતિક ઉપકરણમાં મૂળભૂત મહત્વ પ્રાપ્ત કરે છે.

મુક્ત કણના હેમિલ્ટોનિયનનું સ્વરૂપ પહેલેથી જ સ્થાપિત થઈ ગયું છે સામાન્ય જરૂરિયાતો, અવકાશની એકરૂપતા અને આઇસોટ્રોપી અને ગેલિલિયોના સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંત સાથે સંબંધિત છે. IN શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સઆ જરૂરિયાતો તેના વેગ પર કણની ઊર્જાની ચતુર્ભુજ અવલંબન તરફ દોરી જાય છે: જ્યાં અચળને કણનો સમૂહ કહેવામાં આવે છે (જુઓ I, § 4). IN ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સસમાન જરૂરિયાતો ઉર્જા અને વેગના ઇજન મૂલ્યો માટે સમાન સંબંધ તરફ દોરી જાય છે - એક સાથે માપી શકાય તેવા સંરક્ષિત (મુક્ત કણો માટે) જથ્થા.

પરંતુ ઉર્જા અને વેગના તમામ મૂલ્યો માટે સંબંધ જાળવી રાખવા માટે, તે તેમના સંચાલકો માટે પણ માન્ય હોવું આવશ્યક છે:

અહીં (15.2) અવેજીમાં, અમે ફોર્મમાં મુક્તપણે ફરતા કણનું હેમિલ્ટોનિયન મેળવીએ છીએ

ક્યાં - લેપ્લેસ ઓપરેટર.

બિન-પરસ્પર ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતા કણોની સિસ્ટમનું હેમિલ્ટોનિયન સરવાળો સમાનતેમાંના દરેકના હેમિલ્ટનિયનો:

જ્યાં અનુક્રમણિકા કણોને નંબર આપે છે; - લેપ્લેસ ઓપરેટર, જેમાં કણના કોઓર્ડિનેટ્સના સંદર્ભમાં ભિન્નતા હાથ ધરવામાં આવે છે.

ક્લાસિકલ (બિન-સાપેક્ષવાદી) મિકેનિક્સમાં, કણોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને હેમિલ્ટન ફંક્શનમાં એક ઉમેરણ શબ્દ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે - ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની સંભવિત ઊર્જા, જે કણોના કોઓર્ડિનેટ્સનું કાર્ય છે.

સિસ્ટમના હેમિલ્ટોનિયનમાં સમાન કાર્ય ઉમેરીને, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં કણોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા વર્ણવવામાં આવે છે:

પ્રથમ ટર્મને ઓપરેટર તરીકે ગણી શકાય ગતિ ઊર્જા, અને બીજો ઓપરેટર તરીકે સંભવિત ઊર્જા. ખાસ કરીને, બાહ્ય ક્ષેત્રમાં સ્થિત એક કણ માટે હેમિલ્ટોનિયન છે

જ્યાં U(x, y, z) એ બાહ્ય ક્ષેત્રમાં કણની સંભવિત ઊર્જા છે.

સમીકરણો (17.2)-(17.5) ને સામાન્ય સમીકરણ (8.1) માં બદલવાથી સંબંધિત સિસ્ટમો માટે તરંગ સમીકરણો મળે છે. ચાલો આપણે અહીં બાહ્ય ક્ષેત્રમાં કણ માટે તરંગ સમીકરણ લખીએ

સમીકરણ (10.2), જે સ્થિર અવસ્થાઓને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, તે સ્વરૂપ લે છે

સમીકરણો (17.6), (17.7) શ્રોડિંગર દ્વારા 1926 માં સ્થાપિત કરવામાં આવ્યા હતા અને તેને શ્રોડિન્જર સમીકરણો કહેવામાં આવે છે.

મુક્ત કણ માટે, સમીકરણ (17.7) ફોર્મ ધરાવે છે

આ સમીકરણમાં એવા ઉકેલો છે જે કોઈપણ માટે સમગ્ર જગ્યામાં મર્યાદિત છે હકારાત્મક મૂલ્યઊર્જા E. ગતિની ચોક્કસ દિશાઓ ધરાવતા રાજ્યો માટે, આ ઉકેલો મોમેન્ટમ ઓપરેટરના ઇજનફંક્શન્સ છે, અને . આવા સંપૂર્ણ (સમય આધારિત) તરંગ કાર્યો સ્થિર અવસ્થાઓજેવો દેખાય છે

(17,9)

આવા દરેક કાર્ય - એક પ્લેન વેવ - એક એવી સ્થિતિનું વર્ણન કરે છે જેમાં કણમાં ચોક્કસ ઊર્જા E અને વેગ હોય છે. આ તરંગની આવર્તન બરાબર છે અને તેના તરંગ વેક્ટરને અનુરૂપ તરંગલંબાઇને કણની ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ કહેવામાં આવે છે.

આમ મુક્તપણે ફરતા કણનું ઉર્જા સ્પેક્ટ્રમ સતત હોવાનું બહાર આવે છે, જે શૂન્યથી આ દરેક ઇજનવેલ્યુ સુધી વિસ્તરે છે (સિવાય કે માત્ર મૂલ્ય ડિજનરેટ છે, અને અધોગતિ અનંત ગુણાકારની છે. ખરેખર, દરેક E નું બિન-શૂન્ય મૂલ્ય અનુલક્ષે છે અનંત સમૂહ eigenfunctions (17.9), સમાન સંપૂર્ણ મૂલ્ય સાથે વેક્ટર દિશાઓમાં ભિન્ન.

ચાલો આપણે શોધી કાઢીએ કે ક્લાસિકલ મિકેનિક્સમાં મર્યાદા સંક્રમણ કેવી રીતે શ્રોડિન્જર સમીકરણમાં થાય છે, સરળતા માટે બાહ્ય ક્ષેત્રમાં માત્ર એક કણને ધ્યાનમાં લેતા. તરંગ કાર્યની મર્યાદિત અભિવ્યક્તિ (6.1) ને શ્રોડિન્જર સમીકરણ (17.6) માં બદલીને, અમે તફાવત દ્વારા મેળવીએ છીએ,

આ સમીકરણમાં સંપૂર્ણ વાસ્તવિક અને સંપૂર્ણ કાલ્પનિક શબ્દો છે (યાદ કરો કે S અને a વાસ્તવિક છે); બંનેને અલગથી શૂન્ય સાથે સરખાવીને, આપણે બે સમીકરણો મેળવીએ છીએ:

આ સમીકરણોમાંના પ્રથમમાં સમાવિષ્ટ શબ્દને અવગણવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ

(17,10)

એટલે કે, અપેક્ષા મુજબ, S કણની ક્રિયા માટે શાસ્ત્રીય હેમિલ્ટન-જેકોબી સમીકરણ. આપણે જોઈએ છીએ, માર્ગ દ્વારા, ક્લાસિકલ મિકેનિક્સમાં પ્રથમ (અને શૂન્ય નહીં) ક્રમ સહિતની માત્રા સુધી માન્ય છે.

2a વડે ગુણાકાર કર્યા પછી પરિણામી સમીકરણોમાંથી બીજાને ફોર્મમાં ફરીથી લખી શકાય છે

આ સમીકરણ દ્રશ્ય ધરાવે છે ભૌતિક અર્થ: અવકાશમાં કોઈ ચોક્કસ જગ્યાએ કણ શોધવાની સંભાવના ઘનતા હોય છે. તેથી, સમીકરણ (17.11) એ સાતત્ય સમીકરણ કરતાં વધુ કંઈ નથી, જે દર્શાવે છે કે સંભવિત ઘનતા શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સના નિયમો અનુસાર "ખસે છે". ક્લાસિક ઝડપ v દરેક બિંદુએ.

કાર્ય

ગેલિલિયન ટ્રાન્સફોર્મ હેઠળ વેવ ફંક્શન ટ્રાન્સફોર્મેશનનો નિયમ શોધો.

ઉકેલ. ચાલો એક પરિવર્તન કરીએ તરંગ કાર્ય મફત ચળવળકણો (પ્લેન તરંગ). કોઈપણ કાર્યને સમતલ તરંગોમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે, તેથી રૂપાંતર કાયદો મનસ્વી તરંગ કાર્ય માટે જોવા મળશે.

સંદર્ભ પ્રણાલી K અને K" માં પ્લેન તરંગો (K" ઝડપ V સાથે K ની તુલનામાં આગળ વધે છે):

વધુમાં, બંને પ્રણાલીઓમાં કણોની ક્ષણ અને ઊર્જા સૂત્રો દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત છે.

(જુઓ I, § 8), આ અભિવ્યક્તિઓને બદલીને આપણને મળે છે

આ ફોર્મમાં, આ ફોર્મ્યુલામાં હવે કણની મુક્ત હિલચાલને દર્શાવતા જથ્થાઓનો સમાવેશ થતો નથી, અને ઇચ્છિત સ્થાપિત કરે છે. સામાન્ય કાયદોમનસ્વી કણ અવસ્થાના તરંગ કાર્યનું પરિવર્તન. કણોની સિસ્ટમ માટે, (1) માં ઘાતાંકમાં કણોની ઉપરનો સરવાળો હોવો જોઈએ.

લેક્ચર 5. SCHRODINGER EQUATION.

ડી બ્રોગ્લી તરંગોનો સંભવિત અર્થ. વેવ ફંક્શન.

ડી બ્રોગ્લી તરંગો ચોક્કસ ધરાવે છે ક્વોન્ટમ પ્રકૃતિ, જેની શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં તરંગો સાથે કોઈ સામ્યતા નથી. આ નથી ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો, કારણ કે અવકાશમાં તેમનું વિતરણ કોઈપણના વિતરણ સાથે સંકળાયેલું નથી ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર. તરંગોની પ્રકૃતિ વિશેના પ્રશ્નને આ તરંગોના કંપનવિસ્તારના ભૌતિક અર્થ વિશેના પ્રશ્ન તરીકે ઘડી શકાય છે. કંપનવિસ્તારને બદલે, કંપનવિસ્તાર મોડ્યુલસના ચોરસના પ્રમાણસર તરંગની તીવ્રતા પસંદ કરવાનું વધુ અનુકૂળ છે.

ઇલેક્ટ્રોન વિવર્તન પરના પ્રયોગો પરથી તે અનુસરે છે કે આ પ્રયોગોમાં ઇલેક્ટ્રોન બીમનું અસમાન વિતરણ સાથે પ્રતિબિંબિત થાય છે વિવિધ દિશાઓ. તરંગોના દૃષ્ટિકોણથી, કેટલીક દિશાઓમાં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યામાં મેક્સિમાની હાજરીનો અર્થ એ છે કે આ દિશાઓ ડી બ્રોગ્લી તરંગોની સૌથી વધુ તીવ્રતા સાથે સુસંગત છે. અવકાશમાં આપેલ બિંદુ પર તરંગોની તીવ્રતા 1 સેકન્ડમાં આ બિંદુને અથડાતા ઇલેક્ટ્રોનની સંભાવના ઘનતા નક્કી કરે છે.

આનાથી ડી બ્રોગ્લી તરંગોના આંકડાકીય, સંભવિત અર્થઘટનના એક પ્રકારનો આધાર હતો.

આપેલ બિંદુ પર ડી બ્રોગ્લી તરંગ કંપનવિસ્તારની સ્ક્વેર મેગ્નિટ્યુડ એ સંભવિતતાનું માપ છે કે તે બિંદુએ કણ શોધાય છે.

માં કણ શોધવાની સંભાવના વિતરણનું વર્ણન કરવા માટે આ ક્ષણેઅવકાશમાં અમુક બિંદુએ સમય, અમે એક કાર્ય રજૂ કરીએ છીએ જે સમય અને સંકલનનું કાર્ય છે, જે સૂચિત છે ગ્રીક અક્ષર ψ અને કહેવાય છે તરંગ કાર્યઅથવા માત્ર psi કાર્ય.

વ્યાખ્યા પ્રમાણે, x, x+dx ની અંદર કણનું સંકલન હોય તેવી સંભાવના.

જો , તો એ સંભાવના છે કે કણ વોલ્યુમ dxdydz માં છે.

તેથી, કણ વોલ્યુમ તત્વ dV માં સ્થિત હોવાની સંભાવના psi ફંક્શનના મોડ્યુલસ અને વોલ્યુમ તત્વ dV ના વર્ગના પ્રમાણસર છે.

ભૌતિક અર્થ એ ફંક્શન ψ પોતે નથી, પરંતુ તેના મોડ્યુલસનો વર્ગ છે, જ્યાં ψ* એ ψ માટે ફંક્શન કોમ્પ્લેક્સ છે. તીવ્રતા અર્થમાં બનાવે છે સંભાવના ઘનતા, એટલે કે વ્યાખ્યાયિત કરે છે અવકાશમાં આપેલ બિંદુ પર કણ હોવાની સંભાવના. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે ડી બ્રોગ્લી તરંગોની તીવ્રતા નક્કી કરે છે. તરંગ કાર્ય એ સૂક્ષ્મ પદાર્થોની સ્થિતિની મુખ્ય લાક્ષણિકતા છે ( પ્રાથમિક કણો, અણુઓ, પરમાણુઓ).

અસ્થિર સમીકરણશ્રોડિન્જર.

શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં ન્યૂટનના સમીકરણો મેક્રોસ્કોપિક બોડી માટે મિકેનિક્સની મુખ્ય સમસ્યાને ઉકેલવાનું શક્ય બનાવે છે - શરીર (અથવા શરીરની સિસ્ટમ) પર કામ કરતા દળો અને પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓને જોતાં, કોઈપણ ક્ષણ માટે શરીરના કોઓર્ડિનેટ્સ અને તેની ગતિ શોધો. સમયસર, એટલે કે અવકાશ અને સમયમાં શરીરની હિલચાલનું વર્ણન કરો.

ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં સમાન સમસ્યા ઊભી કરતી વખતે, માઇક્રોપાર્ટિકલ્સ પર લાગુ થવાની સંભાવના પરના નિયંત્રણો ધ્યાનમાં લેવા જરૂરી છે. શાસ્ત્રીય ખ્યાલોસંકલન અને ગતિ. કારણ કે સમયની આપેલ ક્ષણે અવકાશમાં માઇક્રોપાર્ટિકલની સ્થિતિ તરંગ કાર્ય દ્વારા અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે, કણ શોધવાની સંભાવના દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. બિંદુ x,y,zટી સમયે, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનું મૂળભૂત સમીકરણ એ psi કાર્યના સંદર્ભમાં એક સમીકરણ છે.

આ સમીકરણ 1926 માં શ્રોડિન્જર દ્વારા પ્રાપ્ત થયું હતું. ન્યૂટનના ગતિના સમીકરણોની જેમ, શ્રોડિન્જરનું સમીકરણ વ્યુત્પન્ન થવાને બદલે અનુમાનિત છે. આ સમીકરણની માન્યતા એ હકીકત દ્વારા સાબિત થાય છે કે તેની સહાયથી મેળવેલા તારણો પ્રયોગો સાથે સારા કરારમાં છે.

શ્રોડિન્જર સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

,

અહીં m એ કણ સમૂહ છે, i છે કાલ્પનિક એકમ, એ લેપ્લેસ ઓપરેટર છે, જેનું પરિણામ અમુક કાર્ય પર કાર્ય કરે છે

.

U(x,y,z,t) – આપણી સમસ્યાઓના માળખામાં, બળ ક્ષેત્રમાં ફરતા કણની સંભવિત ઊર્જા. શ્રોડિંગર સમીકરણ પરથી તે અનુસરે છે કે psi ફંક્શનનો પ્રકાર U ફંક્શન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, એટલે કે. આખરે, કણ પર કામ કરતા દળોની પ્રકૃતિ.

શ્રોડિન્જર સમીકરણ પૂરક છે મહત્વપૂર્ણ શરતો, જે psi ફંક્શન પર સુપરઇમ્પોઝ કરવામાં આવે છે. ત્યાં ત્રણ શરતો છે:

1) ફંક્શન ψ મર્યાદિત, સતત અને અસ્પષ્ટ હોવું જોઈએ;

2) ડેરિવેટિવ્ઝ સતત હોવું જોઈએ

3) ફંક્શન એકીકૃત હોવું જોઈએ, એટલે કે. અભિન્ન

અંતિમ હોવું જોઈએ. સૌથી સરળ કિસ્સાઓમાં, ત્રીજી સ્થિતિ સામાન્યકરણની સ્થિતિમાં ઘટાડો કરે છે

આનો અર્થ એ છે કે અવકાશમાં ક્યાંક કણની હાજરી છે વિશ્વસનીય ઘટનાઅને તેની સંભાવના એક જેટલી હોવી જોઈએ. પ્રથમ બે શરતો વિભેદક સમીકરણના ઇચ્છિત ઉકેલ પર લાદવામાં આવતી સામાન્ય આવશ્યકતાઓ છે.

ચાલો સમજાવીએ કે શ્રોડિન્જર સમીકરણ પર કેવી રીતે પહોંચી શકાય. સરળતા માટે, અમે અમારી જાતને એક-પરિમાણીય કેસ સુધી મર્યાદિત કરીએ છીએ. ચાલો મુક્તપણે ફરતા કણ (U = 0) ને ધ્યાનમાં લઈએ.

ચાલો આપણે તેની સાથે તુલના કરીએ, ડી બ્રોગલીના વિચાર મુજબ, પ્લેન વેવ

ચાલો બદલો અને ફરીથી લખીએ

.

આ અભિવ્યક્તિને t ના સંદર્ભમાં એક વખત અને બીજી વખત x ના સંદર્ભમાં બે વાર અલગ કરવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ

મુક્ત કણની ઊર્જા અને ગતિ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે

આ સંબંધમાં E અને p 2 માટેના અભિવ્યક્તિઓને બદલીને

છેલ્લી અભિવ્યક્તિ U =0 પર શ્રોડિન્જર સમીકરણ સાથે એકરુપ છે.

સંભવિત ઉર્જા U દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલ બળ ક્ષેત્રમાં કણોની ગતિના કિસ્સામાં, ઊર્જા E અને મોમેન્ટમ p સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે

જણાવેલ તર્કનું કોઈ પ્રમાણિક મૂલ્ય નથી અને તેને શ્રોડિન્જર સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ તરીકે ગણી શકાય નહીં. તેમનો હેતુ સમજાવવાનો છે કે કોઈ આ સમીકરણ કેવી રીતે સ્થાપિત કરી શકે.

હેઈઝનબર્ગને એવા નિષ્કર્ષ પર લઈ જવામાં આવ્યા હતા કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં ગતિનું સમીકરણ, જે વિવિધમાં સૂક્ષ્મ કણોની હિલચાલનું વર્ણન કરે છે. બળ ક્ષેત્રો, ત્યાં એક સમીકરણ હોવું જોઈએ જેમાંથી પ્રાયોગિક રીતે અવલોકન કરાયેલ મૂલ્યો અનુસરશે તરંગ ગુણધર્મોકણો સંચાલિત સમીકરણ એ તરંગ કાર્ય Ψ માટે સમીકરણ હોવું આવશ્યક છે (x, y, z, t),કારણ કે તે ચોક્કસપણે આ છે, અથવા, વધુ સ્પષ્ટ રીતે, જથ્થો |Ψ| 2, સમયની ક્ષણે કણ હાજર હોવાની સંભાવના નક્કી કરે છે tવોલ્યુમ Δ માં વી,એટલે કે કોઓર્ડિનેટ્સવાળા વિસ્તારમાં એક્સઅને x + dx, yઅને y + dу, zઅને z+ dz.

નોન-રિલેટિવિસ્ટિક ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સનું મૂળભૂત સમીકરણ 1926 માં ઇ. શ્રોડિંગર દ્વારા ઘડવામાં આવ્યું હતું. શ્રોડિંગર સમીકરણ, ભૌતિકશાસ્ત્રના તમામ મૂળભૂત સમીકરણોની જેમ (ઉદાહરણ તરીકે, શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં ન્યૂટનના સમીકરણો અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર માટેના મેક્સવેલના સમીકરણો), વ્યુત્પન્ન નથી, પરંતુ અનુમાનિત છે. આ સમીકરણની શુદ્ધતા તેમાંથી પ્રાપ્ત અનુભવ સાથેના કરાર દ્વારા પુષ્ટિ મળે છે પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને, જે બદલામાં, તેને પ્રકૃતિના કાયદાનું પાત્ર આપે છે.

સામાન્ય સમીકરણશ્રોડિન્જર પાસે ફોર્મ છે:

જ્યાં ? =ક/(2π), m- પાર્ટિકલ માસ, Δ - લેપ્લેસ ઓપરેટર , i- કાલ્પનિક એકમ, યુ(x, y, z, t) - સંભવિત કાર્યબળ ક્ષેત્રમાં કણ જેમાં તે ફરે છે, Ψ( x, y, z, t) એ કણનું ઇચ્છિત તરંગ કાર્ય છે.

સમીકરણ (1) કોઈપણ કણ (0 ની બરાબર સ્પિન સાથે) ઓછી (પ્રકાશની ગતિની તુલનામાં) ગતિએ આગળ વધતા માટે માન્ય છે, એટલે કે. υ "સાથે.

તે શરતો દ્વારા પૂરક છે, વેવ ફંક્શન પર સુપરઇમ્પોઝ્ડ:

1) તરંગ કાર્ય મર્યાદિત, અસ્પષ્ટ અને સતત હોવું જોઈએ;

2) ડેરિવેટિવ્ઝ સતત હોવું જોઈએ;

3) કાર્ય |Ψ| 2 અવિભાજ્ય હોવું આવશ્યક છે (સૌથી સરળ કેસોમાં આ સ્થિતિ સંભાવનાઓને સામાન્ય બનાવવા માટેની સ્થિતિને ઘટાડે છે).

સમીકરણ (1) કહેવાય છે સમય-આધારિત શ્રોડિન્જર સમીકરણ.

ઘણા માટે ભૌતિક ઘટના, માઇક્રોવર્લ્ડમાં બનતું, સમીકરણ (1) ને સમય પર Ψ ની અવલંબન દૂર કરીને સરળ બનાવી શકાય છે, એટલે કે. સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ શોધો - સ્થિર ઉર્જા મૂલ્યો સાથેના રાજ્યો. આ શક્ય છે જો બળ ક્ષેત્ર કે જેમાં કણ ફરે છે તે સ્થિર હોય, એટલે કે કાર્ય યુ = યુ(x, y,z) સ્પષ્ટપણે સમય પર નિર્ભર નથી અને સંભવિત ઊર્જાનો અર્થ ધરાવે છે. IN આ કિસ્સામાંશ્રોડિન્જર સમીકરણનો ઉકેલ આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે

. (2)

સમીકરણ (2) સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ કહેવાય છે.

આ સમીકરણમાં પરિમાણ તરીકે સમાવેશ થાય છે કુલ ઊર્જા ઇકણો સિદ્ધાંતમાં વિભેદક સમીકરણોતે સાબિત થાય છે કે આવા સમીકરણોમાં અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે, જેમાંથી, લાદીને સીમા શરતોભૌતિક અર્થ ધરાવતા ઉકેલો પસંદ કરવામાં આવે છે. શ્રોડિન્જર સમીકરણ માટે આવી પરિસ્થિતિઓ છે તરંગ કાર્યોની નિયમિતતા માટેની શરતો: નવા કાર્યો તેમના પ્રથમ ડેરિવેટિવ્સની સાથે મર્યાદિત, અસ્પષ્ટ અને સતત હોવા જોઈએ.

આમ, માત્ર તે ઉકેલો કે જે નિયમિત કાર્યો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે Ψ વાસ્તવિક ભૌતિક અર્થ ધરાવે છે. પરંતુ કોઈપણ પરિમાણ મૂલ્યો માટે નિયમિત ઉકેલો થતા નથી ઇ,પરંતુ ફક્ત તેમાંથી ચોક્કસ સમૂહ માટે, આપેલ કાર્યની લાક્ષણિકતા. આ ઉર્જા મૂલ્યોને eigenvalues ​​કહેવામાં આવે છે . સોલ્યુશન્સ જે ફિટ છે eigenvaluesઊર્જાને ઇજનફંક્શન્સ કહેવામાં આવે છે . ઇજેનવેલ્યુઝ ઇસતત અને બંને રચના કરી શકે છે અલગ શ્રેણી. પ્રથમ કિસ્સામાં તેઓ સતત, અથવા નક્કર, સ્પેક્ટ્રમની વાત કરે છે, બીજામાં - એક અલગ સ્પેક્ટ્રમની.

એક-પરિમાણીય લંબચોરસ "સંભવિત કૂવા" માં કણઅનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથે

ચાલો હાથ ધરીએ ગુણાત્મક વિશ્લેષણશ્રોડિન્જર સમીકરણના ઉકેલો અનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથે એક-પરિમાણીય લંબચોરસ "સંભવિત કૂવા" માં કણ પર લાગુ થાય છે. આવા "છિદ્ર" નું વર્ણન સ્વરૂપની સંભવિત ઉર્જા દ્વારા કરવામાં આવે છે (સરળતા માટે, અમે ધારીએ છીએ કે કણ ધરી સાથે આગળ વધે છે. X)

જ્યાં l"છિદ્ર" ની પહોળાઈ છે, અને ઊર્જા તેના તળિયેથી માપવામાં આવે છે (ફિગ. 2).

એક-પરિમાણીય સમસ્યાના કિસ્સામાં સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ ફોર્મમાં લખવામાં આવશે:

. (1)

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ (અનંત ઊંચી "દિવાલો") અનુસાર, કણ "છિદ્ર" ની બહાર પ્રવેશતું નથી, તેથી "છિદ્ર" ની બહાર તેની શોધ (અને પરિણામે, તરંગ કાર્ય) ની સંભાવના શૂન્ય છે. "ખાડો" ની સીમાઓ પર (એટ એક્સ= 0 અને x = 1)સતત વેવ ફંક્શન પણ અદૃશ્ય થવું જોઈએ.

તેથી, આ કિસ્સામાં સીમાની શરતોનું સ્વરૂપ છે:

Ψ (0) = Ψ ( l) = 0. (2)

"ખાડા" ની અંદર (0 ≤ એક્સ≤ 0) શ્રોડિન્જર સમીકરણ (1) સમીકરણમાં ઘટાડવામાં આવશે:

અથવા . (3)

જ્યાં k 2 = 2mE / ? 2.(4)

વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય ઉકેલ (3):

Ψ ( x) = એપાપ kx + બી cos kx.

ત્યારથી (2) Ψ (0) = 0 મુજબ, પછી B = 0. પછી

Ψ ( x) = એપાપ kx. (5)

શરત Ψ ( l) = એપાપ kl= 0 (2) ત્યારે જ ચલાવવામાં આવે છે જ્યારે kl = nπ, ક્યાં n- પૂર્ણાંકો, એટલે કે. તે જરૂરી છે

k = nπ/l. (6)

(4) અને (6) અભિવ્યક્તિઓમાંથી તે નીચે મુજબ છે:

(n = 1, 2, 3,…), (7)

એટલે કે, સ્થિર શ્રોડિન્જર સમીકરણ, જે અનંત ઉંચી "દિવાલો" સાથે "સંભવિત કૂવા" માં કણની ગતિનું વર્ણન કરે છે, તે ફક્ત ઇજનવેલ્યુ માટે જ સંતુષ્ટ છે. ઇ પી,પૂર્ણાંક પર આધાર રાખીને પી.તેથી, ઊર્જા ઇ પીઅનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથેના "સંભવિત કૂવા" માંના કણો જ સ્વીકારે છે ચોક્કસ અલગ મૂલ્યો, એટલે કે તે પરિમાણિત છે.

પરિમાણિત ઊર્જા મૂલ્યો ઇ પીકહેવાય છે ઊર્જા સ્તરોઅને નંબર p,જે કણના ઉર્જા સ્તરો નક્કી કરે છે તેને કહેવાય છે મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર.આમ, અનંત ઊંચી "દિવાલો" વાળા "સંભવિત કૂવા" માં સૂક્ષ્મ કણો માત્ર ચોક્કસ ઉર્જા સ્તર પર હોઈ શકે છે. ઇ પી,અથવા, તેઓ કહે છે તેમ, કણ ક્વોન્ટમ સ્થિતિમાં છે પી.

(5) મૂલ્યમાં અવેજીમાં k(6) માંથી, અમે ઇજનફંક્શન્સ શોધીએ છીએ:

.

એકીકરણનું સતત એઅમે નોર્મલાઇઝેશન શરતમાંથી શોધીએ છીએ, જે આ કેસ માટે ફોર્મમાં લખવામાં આવશે:

.

એકીકરણના પરિણામે આપણે મેળવીએ છીએ , અને eigenfunctions પાસે ફોર્મ હશે:

(n = 1, 2, 3,…). (8)

ઉર્જાના સ્તરને અનુરૂપ eigenfunctions (8) ના આલેખ (7) at n= 1,2,3, ફિગમાં બતાવેલ છે. 3, એ.ફિગ માં. 3, bછિદ્રની "દિવાલો" માંથી વિવિધ અંતરે કણ શોધવાની સંભાવનાની ઘનતા દર્શાવે છે, Ψ n(x) 2 = Ψ n(x)·Ψ n * (x) માટે n = 1, 2 અને 3. તે આકૃતિમાંથી અનુસરે છે કે, ઉદાહરણ તરીકે, સાથે ક્વોન્ટમ સ્થિતિમાં n= 2, એક કણ "છિદ્ર" ની મધ્યમાં હોઈ શકતું નથી, જ્યારે સમાન રીતે તે તેના ડાબા ભાગમાં હોઈ શકે છે અને જમણા ભાગો. કણની આ વર્તણૂક સૂચવે છે કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં કણોના માર્ગની વિભાવનાઓ અસમર્થ છે.

અભિવ્યક્તિ (7) થી તે અનુસરે છે કે બે સંલગ્ન સ્તરો વચ્ચે ઊર્જા અંતરાલ બરાબર છે:

ઉદાહરણ તરીકે, સારી પરિમાણો સાથે ઇલેક્ટ્રોન માટે l= 10 -1 મીટર (ધાતુમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન) , Δ E n ≈ 10 -35 · n J ≈ 10 -1 6 n eV, એટલે કે ઊર્જા સ્તરો એટલા નજીકથી સ્થિત છે કે સ્પેક્ટ્રમ વ્યવહારીક રીતે સતત ગણી શકાય. જો કૂવાના પરિમાણો અણુ સાથે તુલનાત્મક હોય ( l ≈ 10 -10 મીટર), પછી ઇલેક્ટ્રોન Δ માટે E n ≈ 10 -17 nજે ≈ 10 2 n eV, એટલે કે દેખીતી રીતે અલગ ઊર્જા મૂલ્યો (રેખા સ્પેક્ટ્રમ) મેળવવામાં આવે છે.

આમ, શ્રોડિંગર સમીકરણને "સંભવિત કૂવા" માં અનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથેના કણ પર લાગુ કરવાથી પરિમાણિત ઊર્જા મૂલ્યો તરફ દોરી જાય છે, જ્યારે શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સ આ કણની ઊર્જા પર કોઈ નિયંત્રણો લાદતા નથી.

વધુમાં, આ સમસ્યાની ક્વોન્ટમ મિકેનિકલ વિચારણા એ નિષ્કર્ષ તરફ દોરી જાય છે કે "સંભવિત કૂવામાં" અનંત ઊંચી "દિવાલો" સાથેના કણમાં π 2 જેટલી લઘુત્તમ ઊર્જા કરતાં ઓછી ઊર્જા હોઈ શકતી નથી. ? 2 /(2t1 2). બિનશૂન્ય લઘુત્તમ ઊર્જાની હાજરી આકસ્મિક નથી અને અનિશ્ચિતતા સંબંધને અનુસરે છે. સંકલન અનિશ્ચિતતા Δ એક્સ"ખાડો" પહોળા કણો lΔ ની બરાબર એક્સ= l.

પછી, અનિશ્ચિતતા સંબંધ અનુસાર, આવેગનું ચોક્કસ, આ કિસ્સામાં શૂન્ય, મૂલ્ય હોઈ શકતું નથી. મોમેન્ટમ અનિશ્ચિતતા Δ આર ≈ h/l. વેગ મૂલ્યોનો આ ફેલાવો ગતિ ઊર્જાને અનુરૂપ છે E મિનિટ ≈(Δ પી) 2 / (2m) = ? 2 / (2મિલી 2). અન્ય તમામ સ્તરો ( p> 1) આ ન્યૂનતમ મૂલ્ય કરતાં વધુ ઊર્જા ધરાવે છે.

સૂત્રો (9) અને (7) પરથી તે અનુસરે છે કે મોટા ક્વોન્ટમ સંખ્યાઓ માટે ( n"1) Δ E n / E p ≈ 2/n“1, એટલે કે નજીકના સ્તરો નજીકથી સ્થિત છે: વધુ નજીક પી.જો nખૂબ મોટી છે, તો પછી આપણે સ્તરોના લગભગ સતત ક્રમ વિશે વાત કરી શકીએ છીએ અને લાક્ષણિક લક્ષણ ક્વોન્ટમ પ્રક્રિયાઓ- વિવેકબુદ્ધિ દૂર કરવામાં આવે છે. આ પરિણામ બોહરના પત્રવ્યવહાર સિદ્ધાંત (1923) નો એક વિશેષ કેસ છે, જે મુજબ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના નિયમો આવશ્યક છે. મોટા મૂલ્યોક્વોન્ટમ સંખ્યાઓ શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રના નિયમોમાં પરિવર્તિત થાય છે.

શ્રોડિન્જર સમીકરણના સ્થિર ઉકેલો.

પરિશિષ્ટ એ

માટે શ્રોડિંગર સમીકરણનો ઉકેલ શોધવો મફત ઇલેક્ટ્રોનવેવ પેકેટના રૂપમાં .

ચાલો ફ્રી ઈલેક્ટ્રોન માટે શ્રોડિંગર સમીકરણ લખીએ

રૂપાંતરણ પછી, શ્રોડિન્જર સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે

(A.2)

અમે આ સમીકરણને પ્રારંભિક સ્થિતિ સાથે હલ કરીએ છીએ

(A.3)

અહીં ઇલેક્ટ્રોન વેવ ફંક્શન છે પ્રારંભિક ક્ષણસમય અમે ફ્યુરિયર ઇન્ટિગ્રલના રૂપમાં સમીકરણ (A.2) નો ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ

(A.4)

અમે (A.4) ને (A.2) માં બદલીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ

ઉકેલ (A.4) હવે નીચેના ફોર્મમાં લખી શકાય છે

(A.6)

અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ પ્રારંભિક સ્થિતિ(A.3), અને (A.6) માંથી આપણે પ્રારંભિક ઈલેક્ટ્રોન વેવ ફંક્શનનું ફ્યુરીયર ઈન્ટિગ્રલમાં વિસ્તરણ મેળવીએ છીએ.

(A.7)

અભિવ્યક્તિ (A.7) માટે અમે અરજી કરીએ છીએ વ્યસ્ત રૂપાંતરફોરિયર

(A.8)

ચાલો આપણે કરેલા પરિવર્તનોનો સારાંશ આપીએ. તેથી, જો સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે ઇલેક્ટ્રોનનું તરંગ કાર્ય જાણીતું હોય, તો પછી એકીકરણ (A.8) પછી આપણે ગુણાંક શોધીએ છીએ. પછી, આ ગુણાંકને (A.6) માં બદલીને અને એકીકૃત કર્યા પછી, આપણે અવકાશમાં કોઈપણ સમયે મનસ્વી ક્ષણે ઇલેક્ટ્રોનનું વેવ ફંક્શન મેળવીએ છીએ.

કેટલાક વિતરણો માટે, એકીકરણ સ્પષ્ટ રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે અને મેળવી શકાય છે વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિશ્રોડિન્જર સમીકરણ ઉકેલવા માટે. પ્રારંભિક વેવ ફંક્શન તરીકે, અમે પ્લેન મોનોક્રોમેટિક તરંગ દ્વારા મોડ્યુલેટ કરેલ ગૌસીયન વિતરણ લઈએ છીએ.

અહીં સરેરાશ ઇલેક્ટ્રોન વેગ છે. આ ફોર્મમાં પ્રારંભિક વેવ ફંક્શન પસંદ કરવાથી અમને વેવ પેકેટના રૂપમાં શ્રોડિન્જર સમીકરણનો ઉકેલ મેળવવાની મંજૂરી મળશે.

ચાલો પ્રારંભિક તરંગ કાર્ય (A.9) ના ગુણધર્મોને વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈએ.

સૌપ્રથમ, તરંગ કાર્યને એકતામાં સામાન્ય કરવામાં આવે છે.

(A.10)

નોર્મલાઇઝેશન (A.10) નીચેના ટેબલ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી સાબિત થાય છે.

(A.11)

બીજું, જો તરંગ કાર્યને એકતામાં સામાન્ય કરવામાં આવે છે, તો તરંગ કાર્યનું સ્ક્વેર મોડ્યુલસ એ અવકાશમાં આપેલ બિંદુ પર ઇલેક્ટ્રોન શોધવાની સંભાવનાની ઘનતા છે.

અહીં જથ્થાને સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે વેવ પેકેટનું કંપનવિસ્તાર કહેવામાં આવશે. પેકેટ કંપનવિસ્તારનો ભૌતિક અર્થ છે મહત્તમ મૂલ્યસંભાવના વિતરણ. આકૃતિ 1 સંભાવના ઘનતા વિતરણનો ગ્રાફ બતાવે છે.

પ્રારંભિક સમયે સંભાવના ઘનતા વિતરણ.

ચાલો આકૃતિ 1 માં ગ્રાફની કેટલીક વિશેષતાઓ નોંધીએ.

1. કોઓર્ડિનેટ એ ધરી પરનો એક બિંદુ છે x, જેમાં સંભાવના વિતરણ મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે. તેથી અમે તે સાથે કહી શકીએ છીએ મોટે ભાગેકોઈ એક બિંદુ નજીક ઇલેક્ટ્રોન શોધી શકે છે.

2. મૂલ્ય એ બિંદુથી વિચલન નક્કી કરશે કે જેના પર વિતરણ મૂલ્ય ઘટે છે ઇમહત્તમ મૂલ્યના ગણા.

(A.13)

આ કિસ્સામાં, જથ્થાને સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે વેવ પેકેટની પહોળાઈ કહેવામાં આવે છે, અને જથ્થાને પેકેટની અડધી-પહોળાઈ કહેવામાં આવે છે.

3. અંતરાલમાં ઇલેક્ટ્રોન શોધવાની સંભાવનાની ગણતરી કરો .

(A.14)

આમ, કેન્દ્ર અને અડધી-પહોળાઈવાળા પ્રદેશમાં ઇલેક્ટ્રોન શોધવાની સંભાવના 0.843 છે. આ સંભાવના એકતાની નજીક છે, તેથી સામાન્ય રીતે અડધા-પહોળાઈવાળા પ્રદેશને તે પ્રદેશ તરીકે બોલવામાં આવે છે જ્યાં સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે ઇલેક્ટ્રોન સ્થિત છે.

ત્રીજું, પ્રારંભિક વેવ ફંક્શન એ મોમેન્ટમ ઓપરેટરનું ઇજનફંક્શન નથી. તેથી, તરંગ કાર્ય સાથેની સ્થિતિમાં ઇલેક્ટ્રોન ચોક્કસ ગતિ ધરાવતું નથી, આપણે ફક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સરેરાશ ગતિ વિશે વાત કરી શકીએ છીએ. ચાલો સરેરાશ ઇલેક્ટ્રોન વેગની ગણતરી કરીએ.

તેથી, સૂત્રમાં મૂલ્ય (A.9) એ ઇલેક્ટ્રોન મોમેન્ટમનું સરેરાશ મૂલ્ય છે. જો તમે ટેબલ ઇન્ટિગ્રલ (A.11) નો ઉપયોગ કરો છો તો ફોર્મ્યુલા (A.15) સરળતાથી સાબિત થાય છે.

આમ, પ્રારંભિક તરંગ કાર્યના ગુણધર્મોનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે. હવે ફંક્શનને ફ્યુરિયર ઇન્ટિગ્રલ (A.8) માં બદલીએ અને ગુણાંક શોધીએ.

ઈન્ટિગ્રલ (A.16) માં આપણે ઈન્ટીગ્રેશન વેરીએબલનો નીચેનો ફેરફાર કરીએ છીએ.

(A.17)

પરિણામે, ઇન્ટિગ્રલ (A.16) નીચેનું સ્વરૂપ લે છે.

(A.18)

પરિણામે, આપણે ગુણાંક માટે નીચેની અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ.

(A.18)

ગુણાંકને સૂત્ર (A.6) માં બદલીને, અમે તરંગ કાર્ય માટે નીચેની અભિન્ન અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ.

ઇન્ટિગ્રલ (A.19) માં આપણે ઇન્ટિગ્રેશન વેરીએબલનો નીચેનો ફેરફાર કરીએ છીએ.

(A.20)

પરિણામે, ઇન્ટિગ્રલ (A.19) નીચેનું સ્વરૂપ લે છે.

અમે અંતે વેવ પેકેટ માટે સૂત્ર મેળવીએ છીએ.

(A.22)

તે જોવાનું સરળ છે કે પ્રારંભિક ક્ષણ માટે, સૂત્ર (A.22) પ્રારંભિક તરંગ કાર્ય માટે સૂત્ર (A.9) માં ફેરવાય છે. ચાલો કાર્ય માટે સંભાવના ઘનતા શોધીએ (A.22).

અમે વેવ પેકેટ (A.22) ને સૂત્ર (A.23) માં બદલીએ છીએ, અને પરિણામે આપણે નીચેની અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ.

(A.24)

અહીં તરંગ પેકેટનું કેન્દ્ર, અથવા સંભવિતતા ઘનતા વિતરણની મહત્તમ, નીચેના મૂલ્યની સમાન ગતિ સાથે ખસે છે.

વેવ પેકેટની અડધી-પહોળાઈ સમય સાથે વધે છે અને તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે.

(A.26)

વેવ પેકેટનું કંપનવિસ્તાર સમય સાથે ઘટે છે અને નીચેના સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે.

(A.27)

આમ, તરંગ પેકેટ માટે સંભવિત વિતરણ નીચેના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે.

(A.28)

Fig.2 માં. સમયના સળંગ ત્રણ બિંદુઓ પર સંભાવના વિતરણ દર્શાવે છે.

સમયના સળંગ ત્રણ બિંદુઓ પર સંભવિતતાનું વિતરણ.

પરિશિષ્ટ B

સામાન્ય માહિતીશ્રોડિન્જર સમીકરણ ઉકેલવા પર .

પરિચય.

માં ક્વોન્ટમ કણની હિલચાલ સામાન્ય કેસશ્રોડિન્જર સમીકરણ દ્વારા વર્ણવેલ:

અહીં i એ કાલ્પનિક એકમ છે, h =1.0546´10 -34 (J×s) એ પ્લાન્કનો સ્થિરાંક છે. ઓપરેટર Ĥ હેમિલ્ટન ઓપરેટર કહેવાય છે. હેમિલ્ટન ઓપરેટરનું સ્વરૂપ બાહ્ય ક્ષેત્રો સાથે ઇલેક્ટ્રોનની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના પ્રકાર પર આધારિત છે.

જો આપણે ઇલેક્ટ્રોનના સ્પિન ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં ન લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિને ધ્યાનમાં ન લઈએ, તો હેમિલ્ટન ઓપરેટરને સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે.

(B.2)

અહીં ગતિ ઊર્જા ઓપરેટર છે:

, (B.3)

જ્યાં m=9.1094´10 -31 (કિલો) - ઇલેક્ટ્રોન માસ. સંભવિત ઊર્જા બાહ્ય ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર સાથે ઇલેક્ટ્રોનની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું વર્ણન કરે છે.

આમાં પ્રયોગશાળા કામઅમે ધરી સાથે ઇલેક્ટ્રોનની એક-પરિમાણીય ગતિને ધ્યાનમાં લઈશું x. આ કિસ્સામાં શ્રોડિન્જર સમીકરણ નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

. (B.4)

સમીકરણ (B.4) સાથે ગાણિતિક બિંદુદૃશ્ય એ અજાણ્યા તરંગ કાર્ય માટે આંશિક વિભેદક સમીકરણ છે વાય=વાય(x,t). તે જાણીતું છે કે આવા સમીકરણ છે ચોક્કસ નિર્ણય, જો યોગ્ય પ્રારંભિક અને સીમા શરતો ઉલ્લેખિત છે. ચોક્કસના આધારે પ્રારંભિક અને સીમાની શરતો પસંદ કરવામાં આવે છે શારીરિક સમસ્યા.

ઉદાહરણ તરીકે, કેટલાક સરેરાશ વેગ p 0 સાથે ઇલેક્ટ્રોનને ડાબેથી જમણે ખસેડવા દો. વધુમાં, પ્રારંભિક સમયે t=0, ઇલેક્ટ્રોન x m -d અવકાશના ચોક્કસ પ્રદેશમાં સ્થાનીકૃત થાય છે< x < x m +d. Здесь x m – центр области локализации электрона, а d – эффективная полуширина этой области.

આ કિસ્સામાં, પ્રારંભિક સ્થિતિ આના જેવી દેખાશે:

. (B.5)

અહીં Y 0 (x) એ પ્રારંભિક સમયે વેવ ફંક્શન છે. વેવ ફંક્શન છે જટિલ કાર્ય, તેથી ગ્રાફિકલી રીતે વેવ ફંક્શનને નહીં, પરંતુ સંભાવના ઘનતાને દર્શાવવું અનુકૂળ છે.

માં ઇલેક્ટ્રોન શોધવાની સંભાવના ઘનતા આ સ્થળઆપેલ સમયે તરંગ કાર્ય દ્વારા નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

નોંધ કરો કે સંભાવનાઓ એકતા માટે સામાન્ય હોવી જોઈએ. અહીંથી આપણે વેવ ફંક્શન માટે નોર્મલાઇઝેશન સ્થિતિ મેળવીએ છીએ:

. (B.7)

પ્રારંભિક સમયે સંભાવના ઘનતા વિતરણ

, (B.8)

ગ્રાફિકલી ચિત્રિત કરી શકાય છે. Fig.3 માં. સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે ઇલેક્ટ્રોનનું સંભવિત સ્થાન બતાવવામાં આવ્યું છે.

આ ક્ષણે ઇલેક્ટ્રોનનું સ્થાન t=0.

આ આંકડો પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે સૌથી મોટી સંભાવના સાથે ઇલેક્ટ્રોન બિંદુ x m પર સ્થિત છે. પત્ર એઅમે સંભાવના વિતરણનું કંપનવિસ્તાર (મહત્તમ મૂલ્ય) દર્શાવીશું. આ આંકડો એ પણ દર્શાવે છે કે વિતરણની પહોળાઈ 2d અથવા અડધી-પહોળાઈ d કેવી રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. જો વિતરણમાં ઘાતાંકીય અથવા ગૌસિયન અક્ષર હોય, તો વિતરણની પહોળાઈ એક સ્તર પર નક્કી કરવામાં આવે છે ઇમહત્તમ મૂલ્ય કરતાં ગણું ઓછું.

Fig.3 માં. સરેરાશ ઇલેક્ટ્રોન મોમેન્ટમનું વેક્ટર બતાવવામાં આવ્યું છે. આનો અર્થ એ છે કે ઇલેક્ટ્રોન જમણેથી ડાબે આગળ વધી રહ્યું છે, અને સંભાવના વિતરણ પણ જમણેથી ડાબે જશે. Fig.2 માં. સમયના સળંગ ત્રણ બિંદુઓ પર સંભાવના વિતરણ દર્શાવે છે. Fig.2 માં. તે જોઈ શકાય છે કે મહત્તમ વિતરણ x m (t) ડાબેથી જમણે ખસે છે.

Fig.2 માં. કોઈ નોંધ કરી શકે છે કે ઇલેક્ટ્રોનની જમણેથી ડાબે હિલચાલ સાથે સંભાવના ઘનતા વિતરણની વિકૃતિ છે. કંપનવિસ્તાર એ(t) ઘટે છે, અને અડધી-પહોળાઈ d(t) વધે છે. ઇલેક્ટ્રોનની ગતિની ઉપરોક્ત તમામ વિગતો પ્રારંભિક સ્થિતિ (B.5) સાથે શ્રોડિન્જર સમીકરણ (B4) ઉકેલીને મેળવી શકાય છે.

ફરી શરૂ કરો . ભૌતિક સમસ્યાની રચનાના આધારે, શ્રોડિન્જર સમીકરણનું સ્વરૂપ બદલાઈ શકે છે. શ્રોડિન્જર સમીકરણ દ્વારા વર્ણવેલ અમુક ભૌતિક ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે, શ્રોડિન્જર સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે જરૂરી પ્રારંભિક અને સીમાની શરતો પસંદ કરવામાં આવે છે.

શ્રોડિન્જર સમીકરણના સ્થિર ઉકેલો.

જો ઇલેક્ટ્રોન સમય-સતત બાહ્ય ક્ષેત્રમાં આગળ વધે છે, તો તેની સંભવિત ઊર્જા સમય પર આધારિત રહેશે નહીં. આ કિસ્સામાં, એક શક્ય ઉકેલોશ્રોડિંગર સમીકરણ (B.4) એ સમય-વિભાજ્ય ઉકેલ છે tઅને x સંકલન સાથે.

વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા માટે અમે ગણિતમાં જાણીતી તકનીકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમે ફોર્મમાં સમીકરણ (B.4) નો ઉકેલ શોધીએ છીએ:

. (B.9)

અમે (B.9) ને સમીકરણ (B.4) માં બદલીએ છીએ અને નીચેના સંબંધો મેળવીએ છીએ:

. (B.10)

અહીં ઇ- એક સ્થિર, જેને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જાનો અર્થ આપવામાં આવે છે. સંબંધો (B.10) નીચેના બે વિભેદક સમીકરણોની સમકક્ષ છે:

. (બી.11)

સિસ્ટમમાં પ્રથમ સમીકરણ (B.11) નીચેના ધરાવે છે સામાન્ય ઉકેલ:

અહીં સીએક મનસ્વી સ્થિરાંક છે. અમે (B.12) ને અભિવ્યક્તિ (B.9) માં બદલીએ છીએ અને ફોર્મમાં શ્રોડિંગર સમીકરણ (B.4) નો ઉકેલ મેળવીએ છીએ:

, (B.13)

કાર્ય ક્યાં છે y(x) સમીકરણને સંતોષે છે.

(બી.14)

સતત સીકાર્યમાં સમાયેલ છે y(x).

અભિવ્યક્તિ (B.13) સ્વરૂપમાં શ્રોડિન્જર સમીકરણ (B.4) ના ઉકેલને કહેવામાં આવે છે. શ્રોડિન્જર સમીકરણનો સ્થિર ઉકેલ. સમીકરણ (B.14) કહેવાય છે સ્થિર શ્રોડિન્જર સમીકરણ. કાર્ય y(x) કહેવાય છે તરંગ કાર્ય, સમયથી સ્વતંત્ર.

ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ, જે તરંગ કાર્ય (B.13) દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, કહેવામાં આવે છે સ્થિર સ્થિતિ. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ જણાવે છે કે સ્થિર સ્થિતિમાં ઇલેક્ટ્રોન હોય છે ચોક્કસ ઊર્જા ઇ.

પ્રાપ્ત પરિણામો ત્રિ-પરિમાણીય ઇલેક્ટ્રોન ગતિ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ (B.1) માં સામાન્ય કરી શકાય છે. જો હેમિલ્ટન ઓપરેટર Ĥ સમય પર સ્પષ્ટપણે આધાર રાખતો નથી, તો પછી શ્રોડિંગર સમીકરણ (B.1) ના સંભવિત ઉકેલોમાંથી એક નીચેના સ્વરૂપનું સ્થિર ઉકેલ છે:

, (B.15)

જ્યાં તરંગ કાર્ય સ્થિર શ્રોડિન્જર સમીકરણને સંતોષે છે.

(B.16)

નોંધ કરો કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં સમીકરણો (B.14) અને (B.16) પણ આ નામ ધરાવે છે. આ સમીકરણો માટે સમીકરણો છે મૂળ કાર્યોઅને eigenvaluesહેમિલ્ટન ઓપરેટર. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમીકરણ (B.16) હલ કરીને આપણે ઊર્જા શોધીએ છીએ ઇ(હેમિલ્ટન ઓપરેટરના ઇજેન મૂલ્યો) અને અનુરૂપ તરંગ કાર્યો (હેમિલ્ટન ઓપરેટરના ઇજેન કાર્યો).

ફરી શરૂ કરો . શ્રોડિન્જર સમીકરણના સ્થિર ઉકેલો એ શ્રોડિન્જર સમીકરણના અન્ય ઉકેલોના વિશાળ સમૂહમાંથી ઉકેલોનો ચોક્કસ વર્ગ છે. જો હેમિલ્ટોનિયન ઓપરેટર સમય પર સ્પષ્ટપણે નિર્ભર ન હોય તો સ્થિર ઉકેલો અસ્તિત્વમાં છે. સ્થિર સ્થિતિમાં, ઇલેક્ટ્રોનમાં ચોક્કસ ઊર્જા હોય છે. શોધવા માટે શક્ય મૂલ્યોઊર્જા, સ્થિર શ્રોડિન્જર સમીકરણ ઉકેલવા માટે જરૂરી છે.

વેવ પેકેટ.

તે જોવાનું સરળ છે કે શ્રોડિન્જર સમીકરણના સ્થિર ઉકેલો સ્થાનિક ઇલેક્ટ્રોનની ગતિનું વર્ણન કરતા નથી, જેમ કે ફિગ. 1 અને ફિગ. 2 માં બતાવ્યા પ્રમાણે. ખરેખર, જો આપણે સ્થિર સોલ્યુશન (B.13) લઈશું અને સંભાવના વિતરણ શોધીશું, તો આપણે સમય સિવાય એક કાર્ય મેળવીશું.

(B.17)

આ આશ્ચર્યજનક નથી; સ્થિર ઉકેલ (B.13) એ આંશિક વિભેદક સમીકરણ (B.4) ના સંભવિત ઉકેલોમાંથી એક છે.

પરંતુ રસપ્રદ વાત એ છે કે તરંગ કાર્યના સંદર્ભમાં શ્રોડિન્જર સમીકરણ (B.4) ની રેખીયતાને કારણે વાય(x,t), આ સમીકરણના ઉકેલ માટે સુપરપોઝિશનનો સિદ્ધાંત સંતુષ્ટ છે. સ્થિર અવસ્થાઓ માટે, આ સિદ્ધાંત નીચે મુજબ જણાવે છે. સ્થિર ઉકેલોનું કોઈપણ રેખીય સંયોજન (સાથે વિવિધ ઊર્જા ઇશ્રોડિન્જર સમીકરણ (B.4) નું ) એ પણ શ્રોડિન્જર સમીકરણ (B.4) નો ઉકેલ છે.

આપવા માટે ગાણિતિક અભિવ્યક્તિસુપરપોઝિશન સિદ્ધાંત માટે, આપણે ઇલેક્ટ્રોનના ઊર્જા વર્ણપટ વિશે થોડાક શબ્દો કહેવાની જરૂર છે. જો સ્થિર શ્રોડિન્જર સમીકરણ (B.14) ના ઉકેલમાં એક અલગ સ્પેક્ટ્રમ હોય, તો તેનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ (B.14) નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

(બી.18)

જ્યાં ઇન્ડેક્સ n પસાર થાય છે, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, મૂલ્યોની અનંત શ્રેણી n=0,1,2,¼. આ કિસ્સામાં, શ્રોડિન્જર સમીકરણ (B.4) ના ઉકેલને સ્થિર ઉકેલોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

(બી.19)

ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં તે સાબિત થયું છે કે ઇજનફંક્શન્સ yએક અલગ સ્પેક્ટ્રમના n(x) ને કાર્યોની ઓર્થોનોર્મલ સિસ્ટમ બનાવી શકાય છે. આનો અર્થ એ છે કે તે ચાલી રહ્યું છે આગામી શરતનોર્મલાઇઝેશન

(B.20)

અહીં d n m એ ક્રોનેકર પ્રતીક છે.

y n (x) ઓર્થોનોર્મલ છે, પછી ગુણાંક સી n સરવાળામાં (B.19) નો એક સરળ ભૌતિક અર્થ છે. ગુણાંકનું ચોરસ મોડ્યુલસ સી n સંભાવના સમાનકે વેવ ફંક્શન (B.19) સાથે રાજ્યમાં ઇલેક્ટ્રોન ઊર્જા ધરાવે છે ઇ n

આ વિધાનમાં સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે વેવ ફંક્શન (B.19) વાળી સ્થિતિમાં ઈલેક્ટ્રોન ચોક્કસ ઉર્જા ધરાવતું નથી. ઊર્જા માપતી વખતે, આ ઈલેક્ટ્રોન સંભાવના (B.21) સાથે સમૂહમાંથી કોઈપણ ઊર્જા ધરાવી શકે છે.

તેથી, તેઓ કહે છે કે ઇલેક્ટ્રોન પાસે સૂત્ર (B.21) દ્વારા નિર્ધારિત સંભાવના સાથે એક અથવા બીજી ઊર્જા હોઈ શકે છે.

એક ઈલેક્ટ્રોન જે સ્થિર સ્થિતિમાં હોય અને ચોક્કસ ઉર્જા ધરાવે છે તેને કહેવામાં આવશે મોનોક્રોમેટિક ઇલેક્ટ્રોન. એક ઈલેક્ટ્રોન જે સ્થિર સ્થિતિમાં નથી અને તેથી ચોક્કસ ઉર્જા ધરાવતું નથી તેને કહેવામાં આવશે બિન-મોનોક્રોમેટિક ઇલેક્ટ્રોન.

જો સ્થિર શ્રોડિન્જર સમીકરણ (B.14) ના ઉકેલમાં સતત સ્પેક્ટ્રમ હોય, તો તેનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ (B.14) નીચેના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:

, (B.22)

ઊર્જા ક્યાં છે ઇકેટલાક સતત અંતરાલ પર મૂલ્યો લે છે [ ઇમિનિટ, ઇમહત્તમ]. આ કિસ્સામાં, શ્રોડિન્જર સમીકરણ (B.4) ના ઉકેલને સ્થિર ઉકેલોના અભિન્ન અંગ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

(B.23)

સતત સ્પેક્ટ્રમના ઇજેન ફંક્શન્સ yક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, E (x) સામાન્ય રીતે d-ફંક્શનમાં સામાન્ય થાય છે:

, (B.24)

ડી-ફંક્શનની વ્યાખ્યા નીચેના અભિન્ન સંબંધોમાં સમાયેલ છે:

ડી-ફંક્શનની વર્તણૂકની કલ્પના કરવા માટે, આ કાર્યનું નીચેનું વર્ણન આપવામાં આવ્યું છે:

તેથી, જો કાર્યોની સિસ્ટમ y E (x) ને d-ફંક્શનમાં સામાન્ય કરવામાં આવે છે, પછી ગુણાંકના મોડ્યુલસનો વર્ગ સી(ઇ) અભિન્ન (B.23) માં ઘનતા સમાનતરંગ કાર્ય (B.19) સાથેની સ્થિતિમાં ઇલેક્ટ્રોન ઊર્જા ધરાવે છે તેવી સંભાવના ઇ.

શ્રોડિન્જર સમીકરણના સ્થિર ઉકેલોના સરવાળા (B.19) અથવા અભિન્ન (B.23) તરીકે રજૂ કરાયેલ તરંગ કાર્ય Y(x,t) કહેવાય છે. વેવ પેકેટ.

આમ, બિન-મોનોક્રોમેટિક ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ તરંગ પેકેટ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. કોઈ આ પણ કહી શકે છે: મોનોક્રોમેટિક ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ તેમના વજનના પરિબળો સાથે બિન-મોનોક્રોમેટિક ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિમાં ફાળો આપે છે.

Fig.1 માં. અને ફિગ.2. ઇલેક્ટ્રોન તરંગ પેકેટો જુદા જુદા સમયે દર્શાવવામાં આવ્યા છે.

ફરી શરૂ કરો . બિન-મોનોક્રોમેટિક ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ તરંગ પેકેટ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. બિન-મોનોક્રોમેટિક ઇલેક્ટ્રોનમાં ચોક્કસ ઊર્જા હોતી નથી. વેવ પેકેટને તેમની પોતાની ઊર્જા સાથે સ્થિર અવસ્થાઓના તરંગ કાર્યોના સરવાળા અથવા અભિન્ન અંગ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. બિન-મોનોક્રોમેટિક ઇલેક્ટ્રોન પાસે ઊર્જાના આ સમૂહમાંથી એક અથવા બીજી ઊર્જા હોવાની સંભાવના તરંગ પેકેટમાં સંબંધિત સ્થિર સ્થિતિઓના યોગદાન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

મુક્ત ચળવળ. શ્રોડિન્જર સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ.

ઇલેક્ટ્રોન જે ક્ષેત્ર સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે તેના આધારે, સ્થિર શ્રોડિન્જર સમીકરણ (B.14) નો ઉકેલ હોઈ શકે છે. વિવિધ પ્રકાર. આ લેબ ફ્રી હિલચાલની તપાસ કરે છે. તેથી, સમીકરણ (B.14) માં આપણે સંભવિત ઊર્જા મૂકીએ છીએ શૂન્ય બરાબર. પરિણામે આપણને મળે છે નીચેના સમીકરણ:

, (B.26)

આ સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે:

. (B.27)

અહીં C 1 અને C 2 બે મનસ્વી સ્થિરાંકો છે, k નો અર્થ તરંગ સંખ્યા છે.

હવે, અભિવ્યક્તિ (B.23) નો ઉપયોગ કરીને, અમે મુક્ત ગતિ માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ લખીએ છીએ. અમે ફંક્શન (B.27) ને અભિન્ન (B.23) માં બદલીએ છીએ. તે જ સમયે, અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે ઊર્જા પર એકીકરણની મર્યાદાઓ ઇમફત ચળવળ માટે શૂન્યથી અનંત સુધી પસંદ કરવામાં આવે છે. પરિણામે, અમને નીચેની અભિવ્યક્તિ મળે છે:

આ અવિભાજ્યમાં ઊર્જા પર એકીકરણથી આગળ વધવું અનુકૂળ છે ઇવેવ નંબર પર એકીકરણ કરવા માટે k. અમે ધારીશું કે તરંગ સંખ્યા હકારાત્મક અને બંને લઈ શકે છે નકારાત્મક મૂલ્યો. સગવડ માટે, અમે ઊર્જા સાથે સંકળાયેલ આવર્તન w દાખલ કરીએ છીએ ઇ, નીચેના સંબંધ:

ઇન્ટિગ્રલ (B.28) ને રૂપાંતરિત કરીને, અમે વેવ પેકેટ માટે નીચેની અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ:

. (બી.30)

ઇન્ટિગ્રલ (B.30) ફ્રી મોશન માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ (B.4) નો સામાન્ય ઉકેલ આપે છે. મતભેદ સી(k) પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓમાંથી જોવા મળે છે.

ચાલો પ્રારંભિક સ્થિતિ (B.5) લઈએ અને ત્યાં ઉકેલ (B.30) ને બદલીએ. પરિણામે, અમને નીચેની અભિવ્યક્તિ મળે છે:

(બી.31)

ઇન્ટિગ્રલ (B.31) એ ફ્યુરિયર ઇન્ટિગ્રલમાં પ્રારંભિક વેવ ફંક્શનના વિસ્તરણ સિવાય બીજું કંઈ નથી. ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ગુણાંક શોધીએ છીએ સી(k).

. (B.32)

ફરી શરૂ કરો . ઇલેક્ટ્રોનની મુક્ત હિલચાલ દ્વારા અમારો અર્થ ગેરહાજરીમાં હલનચલન થાય છે બાહ્ય ક્ષેત્રઅવકાશના અનંત પ્રદેશમાં. જો સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે ઇલેક્ટ્રોનનું તરંગ કાર્ય Y 0 (x) જાણીતું હોય, તો પછી સૂત્રો (B.32) અને (B.30) નો ઉપયોગ કરીને શ્રોડિન્જર સમીકરણ Y(x,t) નો સામાન્ય ઉકેલ શોધી શકાય છે. ) ઇલેક્ટ્રોનની મુક્ત હિલચાલ માટે.

§ 217. જનરલ શ્રોડિન્જર સમીકરણ. સ્થિર અવસ્થાઓ માટે શ્રોડિંગર સમીકરણ

દા બ્રોગ્લી તરંગોનું આંકડાકીય અર્થઘટન (જુઓ § 216) અને હેઇઝનબર્ગ અનિશ્ચિતતા સંબંધ (જુઓ § 215) એ નિષ્કર્ષ તરફ દોરી ગયું કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં ગતિનું સમીકરણ, જે વિવિધ બળ ક્ષેત્રોમાં માઇક્રોપાર્ટિકલ્સની હિલચાલનું વર્ણન કરે છે, તે એક સમીકરણ હોવું જોઈએ. જેમાંથી કણોના પ્રાયોગિક તરંગ ગુણધર્મો પર અવલોકનક્ષમ. સંચાલિત સમીકરણ તરંગ કાર્યના સંદર્ભમાં સમીકરણ હોવું આવશ્યક છે (x, z, t ), y,t કારણ કે તે ચોક્કસપણે આ છે, અથવા, વધુ ચોક્કસ રીતે, જથ્થો, જે સમયની ક્ષણે કણ હોવાની સંભાવના નક્કી કરે છેવોલ્યુમમાં , ડીવીx એટલે કે કોઓર્ડિનેટ્સવાળા વિસ્તારમાં x + અને . y ડીએક્સ y + અને . dy + dz . ઝુઝ આવશ્યક સમીકરણ કણોના તરંગ ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેવું આવશ્યક હોવાથી, તે હોવું આવશ્યક છેતરંગ સમીકરણ

, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોનું વર્ણન કરતા સમીકરણ જેવું જ.મૂળભૂત સમીકરણ બિન-સાપેક્ષ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ

(217.1)

E. Schrödinger દ્વારા 1926 માં ઘડવામાં આવ્યું હતું. શ્રોડિંગર સમીકરણ, ભૌતિકશાસ્ત્રના તમામ મૂળભૂત સમીકરણોની જેમ (ઉદાહરણ તરીકે, શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં ન્યૂટનના સમીકરણો અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર માટેના મેક્સવેલના સમીકરણો), વ્યુત્પન્ન નથી, પરંતુ અનુમાનિત છે.આ સમીકરણની શુદ્ધતા તેની સહાયથી પ્રાપ્ત પરિણામોના અનુભવ સાથેના કરાર દ્વારા પુષ્ટિ મળે છે, જે બદલામાં, તેને પ્રકૃતિના કાયદાનું પાત્ર આપે છે. શ્રોડિન્જર સમીકરણનું સ્વરૂપ છે ક્યાં, ,

- ટી- પાર્ટિકલ માસ, - લેપ્લેસ ઓપરેટર કાલ્પનિક એકમ, z , t ) વી(x, y, z, t ) - બળ ક્ષેત્રમાં કણનું સંભવિત કાર્ય જેમાં તે આગળ વધે છે,

(x, y, - કણનું ઇચ્છિત તરંગ કાર્ય.

સમીકરણ (217.1) કોઈપણ કણ માટે માન્ય છે (0 ની બરાબર સ્પિન સાથે; જુઓ § 225) ઓછી ઝડપે (પ્રકાશની ગતિની તુલનામાં) આગળ વધી રહ્યા છે, એટલે કે, ઝડપ સાથે તે તરંગ પર લાદવામાં આવેલી શરતો દ્વારા પૂરક છે. કાર્ય: 1) તરંગ કાર્ય મર્યાદિત, અસ્પષ્ટ અને સતત હોવું જોઈએ (જુઓ § 216); 2) ડેરિવેટિવ્ઝ

શ્રોડિન્જર સમીકરણ પર પહોંચવા માટે, મુક્તપણે ફરતા કણને ધ્યાનમાં લો, જે ડી બ્રોગલીના વિચાર મુજબ, પ્લેન વેવ સાથે સંકળાયેલ છે. સરળતા માટે, અમે એક-પરિમાણીય કેસને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. અક્ષ સાથે પ્રસરી રહેલા પ્લેન તરંગનું સમીકરણ X, ફોર્મ ધરાવે છે (જુઓ § 154), અથવા જટિલ સંકેતમાં તેથી ફ્લેટ

ડી બ્રોગ્લી તરંગનું સ્વરૂપ છે

(217.2)

(તે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, ઘાતાંકને ઓછા ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે,

પરંતુ તેનો માત્ર ભૌતિક અર્થ હોવાથી, આ (જુઓ (217.2)) બિનમહત્વપૂર્ણ છે. પછી

જ્યાં

ઊર્જા વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરવોઇ અને આવેગ અને અવેજી અભિવ્યક્તિઓ

(217.3), અમે વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ

જે કેસ માટે સમીકરણ (217.1) સાથે એકરુપ છેયુ =0 (અમે મુક્ત કણ ગણ્યા હતા).

જો કોઈ કણ સંભવિત ઉર્જા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ બળ ક્ષેત્રમાં ફરે છેયુ , તે

કુલ ઊર્જાઇ સમાવે છે લાક્ષણિક વાસ્તવિક અને સંભવિત ઊર્જા. સમાન હાથ ધરે છે

તર્ક અને વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગઇ ડીએક્સઆર (આ કેસ માટે અમે આવીશું

° (217.1) સાથે સુસંગત વિભેદક સમીકરણ.

ઉપરોક્ત તર્કને શ્રોડિન્જર સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ તરીકે ન લેવો જોઈએ. તેઓ ફક્ત સમજાવે છે કે કોઈ આ સમીકરણ પર કેવી રીતે પહોંચી શકે છે.

શ્રોડિન્જર સમીકરણની સાચીતાનો પુરાવો એ તારણો કે જેના પર તે લઈ જાય છે તેના અનુભવ સાથેનો કરાર છે. સમીકરણ (217.1) એ સામાન્ય શ્રોડિન્જર સમીકરણ છે. તેને સમય-આશ્રિત શ્રોઇડનેગર સમીકરણ પણ કહેવામાં આવે છે. માઇક્રોવર્લ્ડમાં બનતી ઘણી ભૌતિક ઘટનાઓ માટે, સમીકરણ (217.1) ને સમય પરની અવલંબન દૂર કરીને સરળ બનાવી શકાય છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, માટે શ્રોડિન્જર સમીકરણ શોધો - સ્થિર અવસ્થાઓ સ્થિર ઊર્જા મૂલ્યો સાથેના રાજ્યો. આ શક્ય છે જો બળ ક્ષેત્ર કે જેમાં કણ ફરે છે તે સ્થિર હોય, એટલે કે કાર્ય

સમય પર સ્પષ્ટપણે નિર્ભર નથી અને સંભવિત ઊર્જાનો અર્થ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, શ્રોડિન્જર સમીકરણના ઉકેલને બે કાર્યોના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેમાંથી એક માત્ર કોઓર્ડિનેટ્સનું કાર્ય છે, બીજું - માત્ર સમયનું છે, અને સમય પરની અવલંબન ગુણક દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

તેથીઇ જ્યાં

એ કણની કુલ ઊર્જા છે, જે સ્થિર ક્ષેત્રના કિસ્સામાં સ્થિર છે. (217.4) ને (217.1) માં બદલીને, આપણને મળે છે

જ્યાંથી, સામાન્ય પરિબળો અને અનુરૂપ પરિવર્તનો દ્વારા વિભાજન કર્યા પછી

(217.5)

આપણે કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરતા સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ ઇ કણો વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં, તે સાબિત થાય છે કે આવા સમીકરણોમાં અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે, જેમાંથી ભૌતિક અર્થ ધરાવતા ઉકેલોને સીમાની શરતો લાદીને પસંદ કરવામાં આવે છે. શ્રોડિન્જર સમીકરણ માટે, આવી પરિસ્થિતિઓ તરંગ કાર્યોની નિયમિતતા માટેની શરતો છે: તરંગ કાર્યો તેમના પ્રથમ ડેરિવેટિવ્સની સાથે મર્યાદિત, એકલ-મૂલ્યવાળું અને સતત હોવા જોઈએ. ઇ, આમ, ફક્ત તે ઉકેલો કે જે નિયમિત કાર્યો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે તેનો વાસ્તવિક ભૌતિક અર્થ હોય છે પરંતુ નિયમિત ઉકેલો પરિમાણના કોઈપણ મૂલ્યો માટે થતા નથી પરંતુ ફક્ત તેમાંથી ચોક્કસ સમૂહ માટે, આપેલ કાર્યની લાક્ષણિકતા. આ ઉર્જા મૂલ્યોને યોગ્ય મૂલ્યો કહેવામાં આવે છે.ઉકેલો , જે ઉર્જા ઇજનવેલ્યુને અનુરૂપ છે, કહેવામાં આવે છેપોતાના કાર્યો ઇ . ઇજેનવેલ્યુઝ

બંને કાયમી રચના કરી શકે છે

અખંડ અને અલગ શ્રેણી. પ્રથમ કિસ્સામાં, તેઓ સતત, અથવા નક્કર, સ્પેક્ટ્રમની વાત કરે છે, બીજામાં - એક અલગ સ્પેક્ટ્રમની.

§ 218. કાર્યકારણનો સિદ્ધાંત ■ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ અનિશ્ચિતતા સંબંધમાંથી, એક નિષ્કર્ષ ઘણીવાર દોરવામાં આવે છે કે કાર્યકારણનો સિદ્ધાંત માઇક્રોકોઝમમાં બનતી ઘટનાઓને લાગુ પડતો નથી. આ નીચેની બાબતો પર આધારિત છે.શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સમાં, કાર્યકારણના સિદ્ધાંત અનુસાર - સિદ્ધાંતશાસ્ત્રીય નિશ્ચયવાદ, સમયની ચોક્કસ ક્ષણે સિસ્ટમની જાણીતી સ્થિતિના આધારે (સંપૂર્ણપણે સિસ્ટમના તમામ કણોના કોઓર્ડિનેટ્સ અને મોમેન્ટાના મૂલ્યો દ્વારા નિર્ધારિત) અને તેના પર લાગુ કરાયેલા દળો, કોઈ પણ વ્યક્તિ તેની સંપૂર્ણ સચોટતા નક્કી કરી શકે છે. કોઈપણ અનુગામી ક્ષણે રાજ્ય. આથી, શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રકાર્યકારણની નીચેની સમજણ પર આધારિત છે: રાજ્ય

યાંત્રિક સિસ્ટમ

જો કે, સૂક્ષ્મ-પદાર્થોના સંબંધમાં કાર્યકારણના સિદ્ધાંતનું કોઈ ઉલ્લંઘન જોવા મળતું નથી, કારણ કે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં સૂક્ષ્મ-પદાર્થની સ્થિતિનો ખ્યાલ ક્લાસિકલ મિકેનિક્સ કરતાં સંપૂર્ણપણે અલગ અર્થ લે છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં, માઇક્રોઓબ્જેક્ટની સ્થિતિ સંપૂર્ણપણે વેવ ફંક્શન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે (x, સંચાલિત સમીકરણ તરંગ કાર્યના સંદર્ભમાં સમીકરણ હોવું આવશ્યક છે (x,z, t), મોડ્યુલસનો ચોરસ જેનું(x, સંચાલિત સમીકરણ તરંગ કાર્યના સંદર્ભમાં સમીકરણ હોવું આવશ્યક છે (x,z, t)\ 2 કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુ પર કણ શોધવાની સંભાવના ઘનતાનો ઉલ્લેખ કરે છે x, y,z.

બદલામાં, વેવ ફંક્શન(x, સંચાલિત સમીકરણ તરંગ કાર્યના સંદર્ભમાં સમીકરણ હોવું આવશ્યક છે (x,z, t) સમયના સંદર્ભમાં ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન સમાવિષ્ટ શ્રોડિંગર સમીકરણ (217.1) ને સંતોષે છે. આનો અર્થ એ પણ થાય છે કે ફંક્શન (સમય t 0 માટે) નો ઉલ્લેખ કરવો તે પછીની ક્ષણો પર તેનું મૂલ્ય નક્કી કરે છે. તેથી, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં પ્રારંભિક સ્થિતિ

ત્યાં એક કારણ છે, અને પછીની ક્ષણે રાજ્ય એક પરિણામ છે. આ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં કાર્યકારણના સિદ્ધાંતનું સ્વરૂપ છે, એટલે કે, ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરવો એ પછીની કોઈપણ ક્ષણો માટે તેના મૂલ્યો પૂર્વનિર્ધારિત કરે છે. આમ, ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં વ્યાખ્યાયિત માઇક્રોપાર્ટિકલ્સની સિસ્ટમની સ્થિતિ, કાર્યકારણના સિદ્ધાંત દ્વારા આવશ્યકતા મુજબ, અગાઉની સ્થિતિથી સ્પષ્ટપણે અનુસરે છે.