તે જાણીતું છે કે મનસ્વી બિન-મોનોક્રોમેટિક તરંગ વિક્ષેપને પ્રમાણભૂત તરંગોના સુપરપોઝિશન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, સ્પેક્ટ્રમ વિઘટન કરીને સ્પેક્ટ્રમમાં વિઘટિત થઈ શકે છે.

પ્લેન હાર્મોનિક તરંગોમાં વેવ બીમ અને કઠોળનું વિઘટન થાય છે વિશેષ અર્થઓપ્ટિક્સ માટે, કારણ કે આવા વિઘટન માત્ર અનુકૂળ નથી ગાણિતિક કામગીરી, પરંતુ તે વાસ્તવમાં એક વાસ્તવિક ઓપ્ટિકલ પ્રયોગમાં હાથ ધરવામાં આવે છે. ક્લાસિક પ્રયોગોમાંનો એક ન્યુટનનો ઉપયોગ કરીને સ્પેક્ટ્રમમાં પ્રકાશનું વિઘટન કરવાનો પ્રયોગ છે કાચ પ્રિઝમ- અનુવાદ કરવા માટે સરળ ગાણિતિક ભાષાસ્પેક્ટ્રલ વિઘટન. તેનો અર્થ એ છે કે ક્ષેત્રને પ્લેન મોનોક્રોમેટિક તરંગોના સુપરપોઝિશન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

વર્ણપટના વર્ણનનો મુખ્ય વિચાર સમયના અમુક કાર્યને રજૂ કરવાનો છે એફ(ટી), ફ્યુરિયર ઇન્ટિગ્રલના સ્વરૂપમાં પ્રકાશ વિક્ષેપનું વર્ણન:

એટલે કે, સ્પેક્ટ્રમમાં હાર્મોનિક ઓસિલેશનમાં અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, તેમાં વિઘટન કરો આવર્તન સ્પેક્ટ્રમ

ચતુર્થાંશ સ્પેક્ટ્રલ ઘટકોના કંપનવિસ્તાર એ(w) અને બી(w) અથવા સ્પેક્ટ્રલ કંપનવિસ્તાર એફ(w) અને તબક્કો j (w), જે ફંક્શનની ફ્રીક્વન્સી સ્પેક્ટ્રમ નક્કી કરે છે એફ(ટી) ની ગણતરી ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે

(3)

વિક્ષેપના દરેક હાર્મોનિક ઘટક એફ(ટી) મોનોક્રોમેટિક પ્રકાશ તરંગને ઉત્તેજિત કરે છે:

આ કાર્ય સંતુષ્ટ કરે છે તરંગ સમીકરણ. કુલ ક્ષેત્ર, જે તરંગોનું સુપરપોઝિશન છે (4), તરંગ સમીકરણને પણ સંતોષે છે:

(5)

સૂત્રોમાંથી (3) જે કંપનવિસ્તાર ગુણાંક નક્કી કરે છે એ(w) અને બી(w), તે સ્પષ્ટ છે કે એ(w) આવર્તનનું એક સમાન કાર્ય છે, અને બી(w) - વિચિત્ર: અને

તેથી, સૂત્ર (1) w-સપ્રમાણ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકાય છે:

(6)

(7)

ચાલો જટિલ સ્પેક્ટ્રલ કંપનવિસ્તારનો પરિચય આપીએ

યુલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને

ચાલો ઉત્પાદન વ્યક્ત કરીએ Fk(w) ઇઇડબલ્યુ ટી. અમને મળે છે

આનો વાસ્તવિક ભાગ જટિલ અભિવ્યક્તિઆવર્તન w, અને નું એક સમાન કાર્ય છે ન્યૂનતમ ભાગ- વિચિત્ર. તેથી, આવર્તન દ્વારા છેલ્લી અભિવ્યક્તિની જમણી અને ડાબી બાજુઓને સંકલિત કરવી અનંત મર્યાદા, અમને મળે છે

સૂત્ર (6) સાથે છેલ્લી અભિવ્યક્તિની સરખામણી કરીએ તો, આપણે મેળવીએ છીએ

(10)

(3), (8) અને (9):

(11)

ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મની જટિલ રજૂઆત છે:

અને (12)

જ્યાં, નોટેશનને સરળ બનાવવા માટે, જટિલ વર્ણપટના કંપનવિસ્તારની અનુક્રમણિકા "k" અવગણવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, સ્પેક્ટ્રલ કંપનવિસ્તાર એફ(w), સૂત્ર (12) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત, છે જટિલ કાર્યફ્રીક્વન્સીઝ:

જ્યાં એફ(w) ફંક્શનના વર્ણપટમાં આવર્તન w સાથે હાર્મોનિકનું વાસ્તવિક કંપનવિસ્તાર રજૂ કરે છે એફ(ટી). દલીલ j (w) આ ઓસિલેશનના વાસ્તવિક તબક્કાને દર્શાવે છે, કારણ કે વિવિધ હાર્મોનિક્સ જે એકસાથે સિગ્નલ બનાવે છે એફ(ટી) વિવિધ તબક્કાઓ હોઈ શકે છે. જો કે, ઓપ્ટિકલ પ્રક્રિયા વિશે આવી સંપૂર્ણ સ્પેક્ટ્રલ માહિતી પ્રાયોગિક રીતે મેળવવી મુશ્કેલ છે. પ્રાયોગિક રીતે, કહેવાતા વર્ણપટની ઘનતા સામાન્ય રીતે માપવામાં આવે છે એસ(w), જે સમગ્ર સ્પેક્ટ્રમમાં પ્રકાશ ઊર્જાના વિતરણને દર્શાવે છે. વ્યાખ્યા દ્વારા, વર્ણપટની ઘનતા એ જથ્થો છે ચોરસ સમાનજટિલ સ્પેક્ટ્રલ કંપનવિસ્તાર મોડ્યુલ:

(13)

આ અભિવ્યક્તિમાં, હાર્મોનિક ઓસિલેશનના તબક્કાઓ વિશેની બધી માહિતી જે બનાવે છે એફ(ટી), ખોવાઈ ગઈ.

સ્પેક્ટ્રલ વિઘટનનો સિદ્ધાંત કહેવાતા "પાર્સેવલ સમાનતા" નો ઉપયોગ કરે છે, જેનું સ્વરૂપ છે:

આ સમાનતાને સાબિત કરવા માટે, ફ્યુરિયર ઇન્ટિગ્રલ્સ (12) નો ઉપયોગ કરવા માટે તે પૂરતું છે. w અને ઉપર એકીકરણનો ક્રમ બદલીને ટી, અમને મળે છે

જ્યાં (*) જટિલ જોડાણ સૂચવે છે.

જેમ ઓપ્ટિક્સ પર લાગુ થાય છે, આ સંબંધ સરળ છે ભૌતિક અર્થ. જો હેઠળ એફ(ટી) તણાવ સમજો ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રઅવકાશમાં અમુક નિશ્ચિત બિંદુ પર પ્રકાશ તરંગ, પછી જથ્થો બહાર વળે છે પ્રમાણસર ઊર્જાઆપેલ બિંદુની નજીકમાં એકમ વિસ્તારના વિસ્તારમાંથી પસાર થતી પ્રકાશ પલ્સ.

ખરેખર:

જ્યાં આઈ- તીવ્રતા, પી- શક્તિ, ડબલ્યુ- આવેગ ઊર્જા.

બીજી બાજુ, પારસેવલની સમાનતા અનુસાર, સમાન જથ્થા (ઊર્જા) સ્પેક્ટ્રલ ક્ષેત્રની ઘનતાની તમામ ફ્રીક્વન્સીઝ પર અવિભાજ્ય સમાન છે. એસ(w). આનો અર્થ એ છે કે વર્ણપટની ઘનતા પ્રકાશ પલ્સ ઊર્જાના આવર્તન વિતરણનું વર્ણન કરે છે. આ રેડિયેશનની આ લાક્ષણિકતાનો ભૌતિક અર્થ છે.

સ્પેક્ટ્રલ વિઘટન કુદરતી રીતે વેવ બીમ - અવકાશી મોડ્યુલેટેડ તરંગો માટે સામાન્યકૃત છે. મર્યાદિત હદ, અથવા તેઓ કહે છે તેમ, સ્ત્રોતનું મર્યાદિત છિદ્ર એ હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે પ્લેનમાં પ્રકાશ સ્પંદનોનું કંપનવિસ્તાર બદલાય છે, દિશાને લંબરૂપપ્રકાશનો પ્રચાર - એક અવકાશી મોડ્યુલેટેડ તરંગ દેખાય છે. આવા પ્રકાશ તરંગમાં, કંપનવિસ્તાર અને તબક્કાના મૂલ્યો કોઓર્ડિનેટ્સ પર આધાર રાખે છે, એટલે કે, એવી પરિસ્થિતિ થાય છે જે પ્લેન તરંગ માટે મૂળભૂત રીતે અલગ હોય છે.

આવા અવકાશી મોડ્યુલેટેડ તરંગોને જુદી જુદી દિશામાં પ્રસરી રહેલા પ્લેન તરંગોના સુપરપોઝિશન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આવા વિઘટનમાં વિવિધ વર્ણપટના ઘટકોને તરંગ પ્રસારની દિશા અને વચ્ચેના ખૂણાઓ દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. સંકલન અક્ષો. તેથી જ તેઓ વિશે વાત કરે છે કોર્નરઅવકાશી મોડ્યુલેટેડ તરંગનું સ્પેક્ટ્રમ (અથવા અવકાશી ફ્રીક્વન્સીઝનું સ્પેક્ટ્રમ). કોણીય સ્પેક્ટ્રમમાં વિઘટન શારીરિક રીતે ખૂબ જ થાય છે સરળ પ્રયોગો. ઉદાહરણ તરીકે, લેન્સ કોણીય સ્પેક્ટ્રમના સંદર્ભમાં સમાન ફૌરીયર વિસ્તરણ કામગીરી કરે છે જે રીતે પ્રિઝમ ફ્રીક્વન્સી સ્પેક્ટ્રમના સંદર્ભમાં કરે છે.

વિશ્લેષણ કરતી વખતે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સ ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ છે આધુનિક સિસ્ટમોમાહિતીની ઓપ્ટિકલ પ્રક્રિયા. ઓપ્ટિકલ પદ્ધતિઓમોટી માત્રામાં માહિતીની પ્રક્રિયા કરવા માટે ઉચ્ચ-પ્રદર્શન સિસ્ટમ્સ બનાવવાની સમસ્યાને ઉકેલવામાં વધુને વધુ મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવી રહી છે.

પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, તરંગ (ખાસ કરીને, ઓપ્ટિકલ) ઘટના સમય નિર્ભરતા અને અવકાશી અવલંબન બંને દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, એટલે કે, કોઓર્ડિનેટ્સ પર અવલંબન. ફોરિયર ઓપ્ટિક્સમાં ખૂબ જ રસ છે અવકાશી માળખુંતરંગ જે વર્ણવેલ છે (કેસમાં હાર્મોનિક તરંગોનિશ્ચિત આવર્તન w) જટિલ તરંગ કંપનવિસ્તાર એફ(એક્સ,y,z), જે હેલ્મહોલ્ટ્ઝ સમીકરણનો ઉકેલ છે:

જ્યાં કે= w/c – વેવ નંબર.

જટિલ તરંગ કંપનવિસ્તાર એફ(એક્સ,y) ને ફોરિયર ઇન્ટિગ્રલ [સૂત્ર (10) નું દ્વિ-પરિમાણીય એનાલોગ] તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:

(15)

વિઘટનનો ભૌતિક અર્થ નીચે મુજબ છે. તમે તે કાર્ય તપાસી શકો છો

પ્લેનમાં સંતોષકારક હેલ્મહોલ્ટ્ઝ સમીકરણનો ઉકેલ છે ઝેડ= 0 સીમાની સ્થિતિ

આ વિધાન u અને પરિમાણોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સાચું છે વી. કાર્ય (16) એ પ્લેન વેવનું જટિલ કંપનવિસ્તાર અને પરિમાણો છે યુ, વી- આ તરંગમાંથી X, Y અક્ષો પર તરંગ વેક્ટરના અંદાજો, જો . જો , તો પછી અભિવ્યક્તિ (16) સમીકરણ (14) નો ઉકેલ પણ છે અને તેને અસંગત તરંગ કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, તરંગ કંપનવિસ્તાર વધવા સાથે ઘટે છે ઝેડઘાતાંકીય કારણ કે કાલ્પનિક સંખ્યા છે.

આમ, અભિવ્યક્તિ (15) એ ચોક્કસ પ્લેનમાં વ્યાખ્યાયિત મનસ્વી તરંગનું પ્રતિનિધિત્વ છે ઝેડ=co એનએસ ટી, પ્લેન તરંગોના સુપરપોઝિશનના સ્વરૂપમાં, મુસાફરી અને અસંગત બંને.

પ્લેન તરંગ વગેરે(Ux + વાય) અવકાશી ફિલ્ટરિંગ સમસ્યાઓમાં એક એનાલોગ છે હાર્મોનિક સ્પંદન ઇઇડબલ્યુ ટી. તેથી સંખ્યાઓ એક દંપતિ યુ, વીકહેવાય છે અવકાશી આવર્તન. વધુમાં, અમે તે લખી શકીએ છીએ

(17)

અભિવ્યક્તિ (15) અને (17) જોડી તરીકે ઓળખાય છે દ્વિ-પરિમાણીય પરિવર્તનફોરિયર. સમાનતા (17) ને ઘણીવાર ડાયરેક્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ કહેવામાં આવે છે, અને (15) છે વ્યસ્ત રૂપાંતરફોરિયર.

તે નોંધવું જોઈએ કે એફ(યુ, વી) સામાન્ય રીતે કહીએ તો, એક જટિલ કાર્ય છે

|એફ(યુ, વી)| અને જે ( યુ, વી) સામાન્ય રીતે કંપનવિસ્તાર કહેવાય છે અને તબક્કો સ્પેક્ટ્રમતદનુસાર, અને એફ(યુ, વી) ફોરિયર સ્પેક્ટ્રમ અથવા અવકાશી આવર્તન સ્પેક્ટ્રમ.

લેન્સ એ કોઈપણ ઓપ્ટિકલ ઉપકરણનું મુખ્ય તત્વ છે. એક આદર્શ વિકૃતિ-મુક્ત લેન્સ ફોર્મનું તબક્કાવાર મોડ્યુલેશન કરે છે

જ્યાં એફ - ફોકલ લંબાઈલેન્સ અવકાશી વિઘટન એ પ્રકાશના સમાંતર બીમ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવા માટે લેન્સની મિલકત સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે: લેન્સ એક્સ્પ પર પ્લેન વેવની ઘટના[ આઈ(Ux + વાય)] અવકાશી આવર્તન સાથે ( યુ, વી) કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે ફોકલ પ્લેન પર એક બિંદુ પર લેન્સ દ્વારા કેન્દ્રિત છે એક્સ = ફુ/કેઅને વાય = Fv/કે. લેન્સ પર જટિલ કંપનવિસ્તારની ઘટના સાથેની મનસ્વી તરંગ એફ(યુ, વી(15) મુજબ, વિવિધ દિશાઓના પ્લેન તરંગોના સુપરપોઝિશન દ્વારા, એટલે કે, વિવિધ અવકાશીઓ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. યુ, વી. આ સુપરપોઝિશનમાંના દરેક પ્લેન તરંગો લેન્સ દ્વારા ફોકલ પ્લેન પરના તેના ચોક્કસ બિંદુ પર કેન્દ્રિત થાય છે, તેમાં અનુરૂપ તરંગના કંપનવિસ્તારના પ્રમાણસર કંપનવિસ્તાર સાથે પ્રકાશ ક્ષેત્ર બનાવે છે, અને તબક્કા દ્વારા નિર્ધારિત તબક્કા સાથે. અનુરૂપ તરંગ, એટલે કે, તેમાં એક ઓસિલેશન બનાવવું, તીવ્રતાના પ્રમાણસર એફ(Kx/f, Ky/એફ), ક્યાં એફ(યુ, વી) - ફંક્શનનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ એફ(યુ, વી).

આમ, લેન્સના ફોકલ પ્લેનમાં ઉદભવતું પ્રકાશ ક્ષેત્ર લેન્સ પર તરંગની ઘટનાના અવકાશી સ્પેક્ટ્રલ વિઘટનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

પાત્ર વચ્ચેના જોડાણને ધ્યાનમાં લો સહસંબંધ કાર્યઅને અનુરૂપ રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું માળખું.

અમે "સ્પેક્ટ્રમ" ની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીશું, જેનો ઉપયોગ ફક્ત રેન્ડમ કાર્યોના સિદ્ધાંતમાં જ નહીં, પણ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને તકનીકીમાં પણ થાય છે. જો કોઈપણ ઓસીલેટરી પ્રક્રિયાને વિવિધ ફ્રીક્વન્સીઝ (કહેવાતા "હાર્મોનિક્સ") ના હાર્મોનિક ઓસિલેશનના સરવાળા તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, તો સ્પેક્ટ્રમ ઓસીલેટરી પ્રક્રિયાએક કાર્ય કહેવાય છે જે વિવિધ ફ્રીક્વન્સીઝ પર કંપનવિસ્તારના વિતરણનું વર્ણન કરે છે. સ્પેક્ટ્રમ દર્શાવે છે કે આપેલ પ્રક્રિયામાં કયા પ્રકારનાં ઓસિલેશન પ્રબળ છે, તે શું છે આંતરિક માળખું. અમે એવી જ રીતે સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાના વર્ણપટનું વર્ણન રજૂ કરીશું.

પ્રથમ, મર્યાદિત અંતરાલ (0, ટી). સહસંબંધ કાર્ય આપવા દો રેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t)

કે એક્સ(t, t + τ ) = k x(τ ).

તે આપણે જાણીએ છીએ k x(τ ) એ એક સમાન કાર્ય છે, તેથી તેનો ગ્રાફ અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે 0Yવળાંક

જ્યારે બદલાય છે t 1 અને t 2 0 થી ટીદલીલ τ થી બદલાય છે - ટીથી ટી.

તે જાણીતું છે કે અંતરાલ પર એક સમાન કાર્ય (- ટી, ટી) માત્ર સમ (કોસાઇન) હાર્મોનિક્સનો ઉપયોગ કરીને ફોરિયર શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે:

k x(τ ) = ,

ωકે= kω 1 , ω 1 = ,

અને ગુણાંક ડીકેસૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

ડી 0 = ,

ડીકે = ખાતે k ≠ 0.

તે કાર્યોને ધ્યાનમાં લેતા k x(τ ) અને cos ωકે(τ ) સમાન છે, તમે ગુણાંક માટેના સમીકરણોને નીચે પ્રમાણે રૂપાંતરિત કરી શકો છો:

ડીકે = ખાતે k ≠ 0.

તે બતાવી શકાય છે કે આવા નોટેશનમાં રેન્ડમ ફંક્શનને કેનોનિકલ વિસ્તરણ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:

= , (2)

જ્યાં યુ કે, વી કે- સાથે અસંબંધિત રેન્ડમ ચલ ગાણિતિક અપેક્ષાઓ, શૂન્ય બરાબર, અને ભિન્નતા જે દરેક જોડી માટે સમાન હોય છે રેન્ડમ ચલોસમાન ઇન્ડેક્સ સાથે k: ડી(યુ કે) = ડી(વી કે) =ડીકે, અને ભિન્નતા ડીકેસૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે (1).

વિસ્તરણ (2) કહેવાય છે સ્પેક્ટ્રલ વિઘટન સ્થિર રેન્ડમ કાર્ય.

સ્પેક્ટ્રલ વિઘટનવિવિધ ફ્રીક્વન્સીઝના હાર્મોનિક ઓસિલેશનમાં વિઘટિત સ્થિર રેન્ડમ ફંક્શનને દર્શાવે છે ω 1 , ω 2 , …, ω k , …, અને આ ઓસિલેશનના કંપનવિસ્તાર રેન્ડમ ચલ છે.

સ્પેક્ટ્રલ વિઘટન (2) દ્વારા આપવામાં આવેલ રેન્ડમ ફંક્શનનો તફાવત સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

ડીએક્સ = = = , (3)

તે સ્થિર રેન્ડમ ફંક્શનનું વિચલન તેના વર્ણપટના વિઘટનના તમામ હાર્મોનિક્સના ભિન્નતાના સરવાળા જેટલું છે.

ફોર્મ્યુલા (3) બતાવે છે કે ફંક્શનનો તફાવત વિવિધ ફ્રીક્વન્સીઝ પર જાણીતી રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે: એક આવર્તન b ને અનુરૂપ છે ઓમોટા ભિન્નતા, અન્ય - મી ઇનાના. આવર્તન વિક્ષેપ વિતરણ કહેવાતા સ્વરૂપમાં ગ્રાફિકલી ચિત્રિત કરી શકાય છે વિક્ષેપ સ્પેક્ટ્રમ . આ કરવા માટે, ફ્રીક્વન્સીઝ એબ્સીસા અક્ષ સાથે પ્લોટ કરવામાં આવે છે. ω 0 = 0, ω 1 , ω 2 , …, ω k , …, અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે – અનુરૂપ વિક્ષેપો.

દેખીતી રીતે, આ રીતે બાંધવામાં આવેલા સ્પેક્ટ્રમના તમામ ઓર્ડિનેટ્સનો સરવાળો રેન્ડમ ફંક્શનના તફાવત જેટલો છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે વર્ણપટના વિઘટનનું નિર્માણ કરતી વખતે આપણે જેટલો મોટો સમયગાળો ધ્યાનમાં લઈશું, તેટલી જ રેન્ડમ ફંક્શન વિશેની આપણી માહિતી સંપૂર્ણ હશે. તેથી, સ્પેક્ટ્રલ વિઘટનમાં મર્યાદા પર જવાનો પ્રયાસ કરવો સ્વાભાવિક છે ટી→ ∞, અને જુઓ કે રેન્ડમ ફંક્શનનું સ્પેક્ટ્રમ શેમાં ફેરવાય છે. મુ ટી → ∞ ω 1 = , તેથી ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેનું અંતર ωકે, અનિશ્ચિત રૂપે ઘટશે. આ કિસ્સામાં, અલગ સ્પેક્ટ્રમ સતત સ્પેક્ટ્રમનો સંપર્ક કરશે, જેમાં દરેક મનસ્વી રીતે નાના આવર્તન અંતરાલ પ્રારંભિક વિક્ષેપને અનુરૂપ હશે.

ચાલો સતત સ્પેક્ટ્રમનું ગ્રાફિકલી નિરૂપણ કરીએ. આ કરવા માટે, અમે ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર કાવતરું કરીશું નહીં કે વિક્ષેપ પોતે ડીકે, એ સરેરાશ વિક્ષેપ ઘનતા, એટલે કે આપેલ આવર્તન અંતરાલની એકમ લંબાઈ દીઠ વિક્ષેપ. ચાલો અડીને આવેલા ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેનું અંતર દર્શાવીએ ∆ω , અને દરેક સેગમેન્ટ પર ∆ω , આધાર પરની જેમ, આપણે વિસ્તાર સાથે એક લંબચોરસ બનાવીશું ડીકે. અમે એક સ્ટેપ ચાર્ટ મેળવીએ છીએ જે સૈદ્ધાંતિક રીતે આંકડાકીય વિતરણના હિસ્ટોગ્રામ જેવું લાગે છે.

આ વળાંક સતત સ્પેક્ટ્રમની ફ્રીક્વન્સીઝ પર વિક્ષેપોના વિતરણ ઘનતાને દર્શાવે છે, અને કાર્ય પોતે એસ એક્સ(ω ) ને સ્પેક્ટ્રલ વિક્ષેપ ઘનતા અથવા કહેવામાં આવે છે સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા સ્થિર રેન્ડમ કાર્ય.

દેખીતી રીતે, વળાંક દ્વારા બંધાયેલ વિસ્તાર એસ એક્સ(ω ), હજુ પણ વિચલનની સમાન હોવી જોઈએ ડીએક્સરેન્ડમ કાર્ય:

ડીએક્સ = . (4).

ફોર્મ્યુલા (4) એ ભિન્નતાનું વિસ્તરણ છે ડીએક્સપ્રાથમિક શરતોના સરવાળા માટે એસ એક્સ(ω )dω, જેમાંથી દરેક પ્રાથમિક આવર્તન શ્રેણી દીઠ વિક્ષેપનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે dω, બિંદુને અડીને ω .

આમ, સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાની નવી વધારાની લાક્ષણિકતા રજૂ કરવામાં આવી છે - વર્ણપટની ઘનતા, જે આવર્તન રચનાનું વર્ણન કરે છે. સ્થિર પ્રક્રિયા. જો કે, તે સ્વતંત્ર નથી - તે સંપૂર્ણપણે સહસંબંધ કાર્ય દ્વારા નક્કી થાય છે આ પ્રક્રિયા. અનુરૂપ સૂત્ર, સહસંબંધ કાર્યના વિસ્તરણમાંથી આવે છે k x(τ ) મર્યાદિત અંતરાલ પર ફોરિયર શ્રેણીમાં, આના જેવો દેખાય છે:

એસ એક્સ(ω ) = . (5)

આ કિસ્સામાં, સહસંબંધ કાર્ય પોતે સ્પેક્ટ્રલ ઘનતાના સંદર્ભમાં પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે:

k x(τ ) = . (6)

(5) અને (6) જેવા સૂત્રો, બે કાર્યોને પરસ્પર જોડતા, કહેવામાં આવે છે ફોરિયર પરિવર્તન.

નોંધ કરો કે થી સામાન્ય સૂત્ર(6) ખાતે τ = 0, અગાઉ મેળવેલ વિચલન વિઘટન (4) પ્રાપ્ત થાય છે.

વ્યવહારમાં, વર્ણપટની ઘનતાને બદલે એસ એક્સ(ω ) વારંવાર સામાન્યકૃત વર્ણપટ ઘનતાનો ઉપયોગ કરો:

s x(ω ) = ,

જ્યાં ડીએક્સરેન્ડમ ફંક્શનનો તફાવત છે.

સામાન્યકૃત સહસંબંધ કાર્ય છે તે ચકાસવું સરળ છે ρ X ( τ ) અને સામાન્યકૃત સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા s x(ω ) ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સ દ્વારા સંબંધિત છે:

ρ X ( τ ) = ,

s x(ω ) = .

આ સમાનતાઓમાં પ્રથમ ધારી રહ્યા છીએ τ = 0 અને આપેલ છે ρ x (0) = 1, આપણી પાસે છે

તે કુલ વિસ્તાર, શેડ્યૂલ દ્વારા મર્યાદિતસામાન્યકૃત સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા 1 ની બરાબર છે.

§ 7. સ્થિર રેન્ડમ કાર્યોની એર્ગોડિક મિલકત.

કેટલાક સ્થિર રેન્ડમ કાર્યને ધ્યાનમાં લો એક્સ(t) અને ધારો કે તેની લાક્ષણિકતાઓનો અંદાજ કાઢવો જરૂરી છે: ગાણિતિક અપેક્ષા m xઅને સહસંબંધ કાર્ય k x(τ ). આ લાક્ષણિકતાઓ, અથવા તેના બદલે, તેમના અંદાજો અને, જેમ કે પહેલાથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે, અનુભવમાંથી મેળવી શકાય છે જાણીતી સંખ્યારેન્ડમ કાર્ય અમલીકરણો એક્સ(t). અવલોકનોની મર્યાદિત સંખ્યાને કારણે, ફંક્શન સખત રીતે સ્થિર રહેશે નહીં અને તેને કેટલાક સ્થિરાંકો દ્વારા બદલવું પડશે; તેવી જ રીતે, વિવિધ માટે મૂલ્યોની સરેરાશ τ = t 2 – t 1, આપણે સહસંબંધ કાર્ય મેળવીએ છીએ.

આ પ્રક્રિયા પદ્ધતિ દેખીતી રીતે તદ્દન જટિલ અને બોજારૂપ છે અને વધુમાં, તેમાં બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે: રેન્ડમ ફંક્શનની લાક્ષણિકતાઓનો અંદાજિત નિર્ધારણ અને આ લાક્ષણિકતાઓની અંદાજિત સરેરાશ પણ. પ્રશ્ન સ્વાભાવિક રીતે ઉદ્ભવે છે: શું સ્થિર રેન્ડમ ફંક્શન માટે આ પ્રક્રિયાને સરળ સાથે બદલવું શક્ય છે, જે અગાઉથી એવી ધારણા પર આધારિત છે કે ગાણિતિક અપેક્ષા સમય પર આધારિત નથી, અને સહસંબંધ કાર્ય મૂળ પર આધારિત નથી. .

વધુમાં, પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: સ્થિર રેન્ડમ ફંક્શનના અવલોકનો પર પ્રક્રિયા કરતી વખતે, શું ઘણા અમલીકરણો હોવા જરૂરી છે? રેન્ડમ પ્રક્રિયા સ્થિર હોવાથી અને સમયસર એકસરખી રીતે આગળ વધે છે, એવું માનવું સ્વાભાવિક છે કે એક અને માત્ર અમલીકરણપર્યાપ્ત સમયગાળો રેન્ડમ ફંક્શનની લાક્ષણિકતાઓ મેળવવા માટે પૂરતી સામગ્રી તરીકે સેવા આપી શકે છે.

તે બહાર આવ્યું છે કે આવી તક અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ દરેક માટે નથી રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ. ઉદાહરણ તરીકે, બે સ્થિર રેન્ડમ કાર્યોને ધ્યાનમાં લો, જે તેમના અમલીકરણના સમૂહ દ્વારા રજૂ થાય છે.

		ફિગ.1		ફિગ.2

રેન્ડમ કાર્ય માટે એક્સ 1 (t) (ફિગ. 1) નીચેના લક્ષણ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે: તેના દરેક અમલીકરણ સમાન છે લાક્ષણિક લક્ષણો: સરેરાશ મૂલ્ય જેની આસપાસ ઓસિલેશન થાય છે અને આ ઓસિલેશનની સરેરાશ શ્રેણી. ચાલો આપણે આ અનુભૂતિઓમાંથી એક મનસ્વી રીતે પસંદ કરીએ અને માનસિક રીતે અનુભવ ચાલુ રાખીએ જેના પરિણામે તે ચોક્કસ સમયગાળા માટે પ્રાપ્ત થયો હતો. ટી. દેખીતી રીતે, પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે ટીઆ એક અમલીકરણ આપણને પૂરતું આપી શકે છે સારો શોસમગ્ર રીતે રેન્ડમ ફંક્શનના ગુણધર્મો વિશે. ખાસ કરીને, x-અક્ષ સાથે આ અમલીકરણના મૂલ્યોની સરેરાશ કરીને - સમય જતાં, આપણે રેન્ડમ ફંક્શનની ગાણિતિક અપેક્ષાનું અંદાજિત મૂલ્ય મેળવવું જોઈએ; આ સરેરાશમાંથી ચોરસ વિચલનોની સરેરાશ કરીને, આપણે વિભિન્નતા વગેરેનું અંદાજિત મૂલ્ય મેળવવું જોઈએ.

એવું કાર્ય હોવાનું કહેવાય છે એર્ગોડિક મિલકત . એર્ગોડિક ગુણધર્મ એ છે કે રેન્ડમ ફંક્શનનું દરેક વ્યક્તિગત અમલીકરણ, શક્ય અમલીકરણના સમગ્ર સમૂહનો "અધિકૃત પ્રતિનિધિ" છે.

જો આપણે કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ એક્સ 2 (t) (ફિગ. 2), પછી તે સ્પષ્ટ છે કે દરેક અમલીકરણ માટે સરેરાશ મૂલ્ય અન્ય કરતા અલગ અને નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે. તેથી, જો તમે બધા અમલીકરણો માટે એક સરેરાશ મૂલ્ય બનાવો છો, તો તે દરેક વ્યક્તિગત કરતાં નોંધપાત્ર રીતે અલગ હશે.

જો રેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t) એર્ગોડિક ગુણધર્મ ધરાવે છે, પછી તેના માટે સમય સરેરાશ(એકદમ મોટા અવલોકન વિસ્તાર પર) અવલોકનોના સમૂહની સરેરાશની લગભગ સમાન. માટે પણ આવું જ હશે એક્સ 2 (t), એક્સ(t)એક્સ(t+τ), વગેરે. ખાસ કરીને, પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે ટીગાણિતિક અપેક્ષા m xસૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે

. (1)

આ સૂત્રમાં, સરળતા માટે, રેન્ડમ ફંક્શનનું લક્ષણ દર્શાવતી વખતે ~ ચિહ્નને અવગણવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે આપણે પોતાની લાક્ષણિકતાઓ સાથે નહીં, પરંતુ તેમના અંદાજો સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ.

એ જ રીતે, આપણે સહસંબંધ કાર્ય શોધી શકીએ છીએ k x(τ કોઈપણ માટે τ . કારણ કે

k x(τ ) = ,

પછી આપેલ માટે આ મૂલ્યની ગણતરી કરવી τ , અમને મળે છે

k x(τ ) ≈ , (2)

જ્યાં - કેન્દ્રિત અમલીકરણ. સંખ્યાબંધ મૂલ્યો માટે અભિન્ન (2) ની ગણતરી કર્યા પછી τ , પોઈન્ટ દ્વારા સહસંબંધ કાર્ય બિંદુના અભ્યાસક્રમનું લગભગ પુનઃઉત્પાદન કરવું શક્ય છે.

વ્યવહારમાં, ઉપરોક્ત સંકલન સામાન્ય રીતે દ્વારા બદલવામાં આવે છે મર્યાદિત રકમ. આ નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે. ચાલો રેન્ડમ ફંક્શનના રેકોર્ડિંગ અંતરાલને વિભાજિત કરીએ nલંબાઈના સમાન ભાગો ∆ t, અને પરિણામી વિભાગોના મધ્યબિંદુઓને દર્શાવો t 1 , t 2 , …, tn

ચાલો આપણે અભિન્ન (1) ને પ્રાથમિક વિભાગો પરના પૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરીએ ∆ tઅને તે દરેક પર આપણે ફંક્શન મેળવીશું x(t) અંતરાલના કેન્દ્રને અનુરૂપ સરેરાશ મૂલ્ય દ્વારા અભિન્ન ચિહ્નની નીચેથી - x(t i). અમે લગભગ મેળવીએ છીએ

m x = = /

એ જ રીતે, તમે મૂલ્યો માટે સહસંબંધ કાર્યની ગણતરી કરી શકો છો τ , બરાબર 0, ∆ t, 2∆t, ... ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, મૂલ્ય આપીએ τ અર્થ

τ = 2∆t = .

ચાલો એકીકરણ અંતરાલને વિભાજિત કરીને અવિભાજ્ય (2) ની ગણતરી કરીએ

ટી - τ = =

ચાલુ n – mલંબાઈના સમાન વિભાગો ∆ tઅને સરેરાશ મૂલ્ય દ્વારા તે દરેક પરના અભિન્ન ચિહ્નમાંથી કાર્યને બહાર કાઢવું. અમને મળે છે

.

માટે આપેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સહસંબંધ કાર્યની ગણતરી કરવામાં આવે છે m= 0, 1, 2,…. સતત આવા મૂલ્યો સુધી m, જેના પર સહસંબંધ કાર્ય લગભગ શૂન્ય સમાન બની જાય છે અથવા શૂન્યની આસપાસ નાના અનિયમિત વધઘટ કરવાનું શરૂ કરે છે. સામાન્ય ચાલકાર્યો k x(τ ) વ્યક્તિગત બિંદુઓ પર પુનઃઉત્પાદિત થાય છે.

લાક્ષણિકતાઓને સંતોષકારક ચોકસાઈ સાથે નક્કી કરવા માટે, તે જરૂરી છે કે પોઈન્ટની સંખ્યા nખૂબ મોટી હતી (લગભગ 100, અને કેટલાક કિસ્સાઓમાં વધુ). પ્રાથમિક વિભાગની લંબાઈ પસંદ કરી રહ્યા છીએ ∆ tરેન્ડમ ફંક્શનમાં ફેરફારની પ્રકૃતિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: જો તે પ્રમાણમાં સરળ રીતે બદલાય છે, તો વિભાગ ∆ tજ્યારે તે તીવ્ર અને વારંવાર વધઘટ કરે છે ત્યારે તમે તેના કરતાં વધુ પસંદ કરી શકો છો. રફ માર્ગદર્શિકા તરીકે, અમે પ્રાથમિક વિભાગ પસંદ કરવાની ભલામણ કરી શકીએ છીએ જેથી કરીને સંપૂર્ણ સમયગાળોરેન્ડમ ફંક્શનમાં સૌથી વધુ-આવર્તન હાર્મોનિક લગભગ 5-10 સંદર્ભ બિંદુઓ માટે જવાબદાર છે.

ઉકેલ લાક્ષણિક કાર્યો

1. a) રેન્ડમ ફંક્શન એક્સ(t) = (t 3 + 1)યુ, ક્યાં યુ– એક રેન્ડમ ચલ જેના મૂલ્યો અંતરાલ (0; 10) સાથે સંબંધિત છે. કાર્ય અમલીકરણ શોધો એક્સ(t) બે પરીક્ષણોમાં જેમાં મૂલ્ય યુમૂલ્યો લીધા u 1 = 2, u 2 = 3.

ઉકેલ.રેન્ડમ ફંક્શનના અમલીકરણથી એક્સ(t) ને બિન-રેન્ડમ દલીલ કાર્ય કહેવાય છે t, તો પછી જથ્થાના આ મૂલ્યો માટે યુરેન્ડમ ફંક્શનના અનુરૂપ અમલીકરણો હશે

x 1 (t) = 2(t 3 + 1), x 2 (t) = 3(t 3 + 1).

b) રેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t) = યુપાપ t, ક્યાં યુ- રેન્ડમ ચલ.

વિભાગો શોધો એક્સ(t), નિશ્ચિત દલીલ મૂલ્યોને અનુરૂપ t 1 = , t 2 = .

ઉકેલ.રેન્ડમ ફંક્શનના ક્રોસ સેક્શનથી એક્સ(t) એ દલીલના નિશ્ચિત મૂલ્યને અનુરૂપ રેન્ડમ ચલ છે, પછી દલીલના આપેલ મૂલ્યો માટે અનુરૂપ ક્રોસ વિભાગો હશે

એક્સ 1 = યુ· = , એક્સ 2 = યુ· = યુ.

2. રેન્ડમ ફંક્શનની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો એક્સ(t) = યુ· ℮t, ક્યાં યુ એમ(યુ) = 5.

ઉકેલ.ચાલો તમને તે યાદ અપાવીએ ગાણિતિક અપેક્ષા રેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t) ને નોન-રેન્ડમ ફંક્શન કહેવામાં આવે છે m x(t) = એમ[એક્સ(t)], જે દલીલના દરેક મૂલ્ય માટે tરેન્ડમ ફંક્શનના અનુરૂપ વિભાગની ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે. આથી

m x(t) = એમ[એક્સ(t)] = એમ[યુ· ℮t].

m x(t) =એમ[યુ· ℮t] = ℮ ટી એમ(યુ) = 5℮t.

3. રેન્ડમ ફંક્શનની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો a) એક્સ(t) = Ut 2 +2t+1; b) એક્સ(t) = યુ sin4 t + V· cos4 t, ક્યાં યુઅને વીરેન્ડમ ચલ છે, અને એમ(યુ) = એમ(વી) = 1.

ઉકેલ. m.o ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને રેન્ડમ ફંક્શન, અમારી પાસે છે

અ) m x(t) = એમ(Ut 2 +2t+1) = એમ(Ut 2) +એમ(2t) + એમ(1) = એમ(યુ)t 2 +2t+1 = t 2 +2t+1.

b) m x(t) = એમ(યુ sin4 t + V· cos4 t) = એમ(યુ sin4 t) + એમ(V· cos4 t) = એમ(યુ)· sin4 t + એમ(વી)· cos4 t= પાપ4 t+cos4 t.

4. સહસંબંધ કાર્ય જાણીતું છે કે એક્સરેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t). રેન્ડમ ફંક્શનનું સહસંબંધ કાર્ય શોધો વાય(t) = એક્સ(t) + t 2, m.o ની વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને અને સહસંબંધ કાર્ય.

ઉકેલ.ચાલો m.o શોધીએ. રેન્ડમ કાર્ય વાય(t):

m y(t) = એમ[વાય(t)] = એમ[એક્સ(t) + t 2 ] = એમ[એક્સ(t)] + t 2 = m x(t) + t 2 .

ચાલો કેન્દ્રિય કાર્ય શોધીએ

= વાય(t) - m y(t) = [એક્સ(t) + t 2 ] – [m x(t) + t 2 ] = એક્સ(t) –m x(t) = .

K y = = = કે એક્સ.

5. સહસંબંધ કાર્ય જાણીતું છે કે એક્સરેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t). રેન્ડમ ફંક્શનનું સહસંબંધ કાર્ય શોધો a) વાય(t)=એક્સ(t)·( t+1); b) ઝેડ(t)=સી· એક્સ(t), ક્યાં સાથે- સતત.

ઉકેલ. a) ચાલો m.o શોધીએ. રેન્ડમ કાર્ય વાય(t):

m y(t) = એમ[વાય(t)] = એમ[એક્સ(t) · ( t+1)] = (t+1) · એમ[એક્સ(t)].

ચાલો કેન્દ્રિય કાર્ય શોધીએ

=વાય(t)-m y(t)=એક્સ(t)·( t+1) - (t+1)· એમ[એક્સ(t)] = (t+1)·( એક્સ(t) - એમ[એક્સ(t)]) = (t+1)·.

હવે ચાલો સહસંબંધ કાર્ય શોધીએ

K y = = = (t 1 +1)(t 2 +1)કે એક્સ.

b) કેસની જેમ જ a) તે સાબિત થઈ શકે છે

K y = સાથે 2 કે એક્સ.

6. ભિન્નતા જાણીતી છે ડીએક્સ(t) રેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t વાય(t) =એક્સ(t)+2.

ઉકેલ.રેન્ડમ ફંક્શનમાં બિન-રેન્ડમ શબ્દ ઉમેરવાથી સહસંબંધ કાર્ય બદલાતું નથી:

K y(t 1 , t 2) = કે એક્સ(t 1 , t 2).

તે આપણે જાણીએ છીએ કે એક્સ(t, t) = ડીએક્સ(t), તેથી જ

ડી(t) = K y(t, t) = કે એક્સ(t, t) = ડીએક્સ(t).

7. વિચલન જાણીતું છે ડીએક્સ(t) રેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t). રેન્ડમ ફંક્શનનો તફાવત શોધો વાય(t) = (t+3) · એક્સ(t).

ઉકેલ. ચાલો m.o શોધીએ. રેન્ડમ કાર્ય વાય(t):

m y(t) = એમ[વાય(t)] = એમ[એક્સ(t) · ( t+3)] = (t+3) · એમ[એક્સ(t)].

ચાલો કેન્દ્રિય કાર્ય શોધીએ

=વાય(t)-m y(t)=એક્સ(t)·( t+3) - (t+3)· એમ[એક્સ(t)] = (t+3)·( એક્સ(t) - એમ[એક્સ(t)]) = (t+3)·.

ચાલો સહસંબંધ કાર્ય શોધીએ

K y = = = (t 1 +3)(t 2 +3)કે એક્સ.

હવે ભિન્નતા શોધીએ

ડી(t) = K y(t, t) = (t+3)(t+3)કે એક્સ(t, t) = (t+3) 2 ડી એક્સ(t).

8. રેન્ડમ ફંક્શન આપેલ છે એક્સ(t) = યુ cos2 t, ક્યાં યુરેન્ડમ ચલ છે, અને એમ(યુ) = 5, ડી(યુ) = 6. રેન્ડમ ફંક્શનના ગાણિતિક અપેક્ષા, સહસંબંધ કાર્ય અને ભિન્નતા શોધો એક્સ(t).

ઉકેલ.ચાલો નોન-રેન્ડમ ફેક્ટર cos2 લઈને જરૂરી ગાણિતિક અપેક્ષા શોધીએ t m.o. ચિહ્ન માટે:

એમ[એક્સ(t)] = એમ[યુ cos2 t] = cos2 t · એમ(યુ) = 5cos2 t.

ચાલો કેન્દ્રિત કાર્ય શોધીએ:

= એક્સ(t) - m x(t) = યુ cos2 ટી- 5cos2 t = (યુ - 5) cos2 t.

ચાલો ઇચ્છિત સહસંબંધ કાર્ય શોધીએ:

કે એક્સ(t 1 , t 2) = = એમ{[(યુ- 5)· cos2 t 1 ] [(યુ- 5)· cos2 t 2 ]} =

Cos2 t 1 cos2 t 2 એમ(યુ- 5) 2 .

આગળ, રેન્ડમ ચલ માટે તે ધ્યાનમાં લેવું યુવ્યાખ્યા દ્વારા તફાવત સમાન છે ડી(યુ) = એમ[(U - M((યુ)] 2 = M((યુ- 5) 2 , આપણને તે મળે છે M((યુ- 5) 2 = 6. તેથી, સહસંબંધ કાર્ય માટે આખરે આપણી પાસે છે

કે એક્સ(t 1 , t 2) = 6cos2 t 1 cos2 t 2 .

ચાલો હવે જરૂરી વિક્ષેપ શોધીએ, જેના માટે આપણે સેટ કરીએ t 1 = t 2 = t:

ડીએક્સ(t) = કે એક્સ(t, t) = 6cos 2 2 t.

9. સહસંબંધ કાર્ય આપેલ છે કે એક્સ(t 1 , t 2) = t 1 t 2. સામાન્યકૃત સહસંબંધ કાર્ય શોધો.

ઉકેલ.વ્યાખ્યા દ્વારા, સામાન્યકૃત સહસંબંધ કાર્ય

ρx(t 1 , t 2) = = = .

પરિણામી અભિવ્યક્તિની નિશાની દલીલો ધરાવે છે કે કેમ તેના પર આધાર રાખે છે t 1 અને t 2 સમાન ચિહ્નોઅથવા અલગ. છેદ હંમેશા હકારાત્મક હોય છે, તેથી આપણી પાસે આખરે છે

ρx(t 1 , t 2) =

10. ગાણિતિક અપેક્ષા આપવામાં આવે છે m x(t) = t 2 + 4 રેન્ડમ કાર્યો એક્સ(t). રેન્ડમ ફંક્શનની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો વાય(t) = tX´( t) + t 2 .

ઉકેલ. રેન્ડમ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગાણિતિક અપેક્ષા તેની ગાણિતિક અપેક્ષાના વ્યુત્પન્ન સમાન છે. તેથી જ

m y(t) = એમ(વાય(t)) = એમ(tX´( t) + t 2) = એમ(tX´( t)) + એમ(t 2) =

= t∙M(એક્સ´( t)) + t 2 = t∙(m x(t))´ + t 2 = t∙(t 2 + 4)´ + t 2 = 3t 2 .

11. સહસંબંધ કાર્ય આપેલ છે કે એક્સ= રેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t). તેના વ્યુત્પન્નમાંથી સહસંબંધ કાર્ય શોધો.

ઉકેલ.વ્યુત્પન્નનું સહસંબંધ કાર્ય શોધવા માટે, તમારે મૂળ રેન્ડમ ફંક્શનના સહસંબંધ ફંક્શનને બે વાર અલગ કરવાની જરૂર છે, પ્રથમ એક દલીલના સંદર્ભમાં, પછી બીજી દલીલના સંદર્ભમાં.

= .

+ =

= .

12. રેન્ડમ ફંક્શન આપવામાં આવ્યું છે એક્સ(t) = યુ℮3 ટી cos2 t, ક્યાં યુરેન્ડમ ચલ છે, અને એમ(યુ) = 4, ડી(યુ) = 1. ગાણિતિક અપેક્ષા અને તેના વ્યુત્પન્નનું સહસંબંધ કાર્ય શોધો.

ઉકેલ. m x(t) = એમ(એક્સ(t)) = એમ(યુ℮3 ટી cos2 t) = એમ(યુ)℮3 ટી cos2 t = 4℮3 ટી cos2 t.

એમ(એક્સ(t)) = (m x(t))´ = 4(3℮ 3 ટી cos2 t – 2℮3 ટી sin2 t) = 4℮3 ટી(3cos2 t- 2sin2 t).

ચાલો મૂળ રેન્ડમ ફંક્શનનું સહસંબંધ કાર્ય શોધીએ. કેન્દ્રિત રેન્ડમ કાર્ય છે

= એક્સ(t) - m x(t) = યુ℮3 ટી cos2 ટી- 4℮3 ટી cos2 t = (યુ - 4)℮3 ટી cos2 t.

કે એક્સ(t 1 , t 2) = = એમ{[(યુ- 4) cos2 t 1 ] [(યુ- 4) cos2 t 2 ]} =

Cos2 t 1 cos2 t 2 એમ((યુ- 4) 2) = cos2 t 1 cos2 t 2 ડી(યુ)=cos2 t 1 cos2 t 2 .

ચાલો પ્રથમ દલીલના સંદર્ભમાં સહસંબંધ કાર્યનું આંશિક વ્યુત્પન્ન શોધીએ

Cos2 t 2 =

Cos2 t 2 (3cos2 t 1 - 2sin2 t 1).

ચાલો સહસંબંધ કાર્યનું બીજું મિશ્રિત વ્યુત્પન્ન શોધીએ

= (3cos2 t 1 - 2sin2 t 1) =

= (3cos2 t 1 - 2sin2 t 1) (3cos2 t 2 - 2sin2 t 2).

13. રેન્ડમ ફંક્શન આપેલ છે એક્સ(t), ગાણિતિક અપેક્ષા રાખવી

m x(t) = 3t 2 + 1. રેન્ડમ ફંક્શનની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો વાય(t)= .

ઉકેલ. જરૂરી ગાણિતિક અપેક્ષા

m y(t) = = = t 2 + t.

14. ઇન્ટિગ્રલની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો વાય(t)= , રેન્ડમ ફંક્શનની ગાણિતિક અપેક્ષા જાણીને એક્સ(t):

અ) m x(t) = t-cos2 t; b) m x(t) = 4cos 2 t.

ઉકેલ. અ) m y(t) = = = .

b) m y(t) = = = = + =

2t+ પાપ2 t.

15. રેન્ડમ ફંક્શન આપવામાં આવ્યું છે એક્સ(t) = યુ℮2ટી cos3 t, ક્યાં યુરેન્ડમ ચલ છે, અને એમ(યુ) = 5. પૂર્ણાંકની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો વાય(t)= .

ઉકેલ.પ્રથમ, ચાલો રેન્ડમ ફંક્શનની જ ગાણિતિક અપેક્ષા શોધીએ.

m x(t) = એમ(યુ℮2ટી cos3 t) = એમ(યુ)℮2ટી cos3 t = 5℮2ટી cos3 t.

m y(t) = = 5 = =

= ℮2ટી sin3 t - = =

= ℮2ટી sin3 t – =

= ℮2ટી sin3 t + ℮2ટી cos3 t – .

તેથી, અમે એક પરિપત્ર અભિન્ન પ્રાપ્ત કર્યું છે

5 + = ℮2ટી sin3 t + ℮2ટી cos3 t.

અથવા = ℮2ટી( sin3 t+cos3 t).

છેલ્લે m y(t) = ℮2ટી( sin3 t+cos3 t).

16. ઇન્ટિગ્રલની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો વાય(t) = , રેન્ડમ ફંક્શન જાણીને એક્સ(t) =યુ℮3 ટીપાપ t, ક્યાં યુરેન્ડમ ચલ છે, અને એમ(યુ)=2.

ઉકેલ. ચાલો ગાણિતિક શોધીએસૌથી રેન્ડમ કાર્ય માટે રાહ જોઈ રહ્યું છે.

m x(t) = એમ(યુ℮3ટીપાપ t) = એમ(યુ)℮3ટીપાપ t = 2℮3ટીપાપ t.

m y(t) = = 2 = =

= – 2℮3ટી cos t + = =

= – 2℮3ટી cos t + ℮3ટીપાપ t – .

અમારી પાસે છે = – ℮3ટી cos t + ℮3ટીપાપ t.

છેલ્લે m y(t) = – ℮2ટી cos t + ℮2ટીપાપ t.

17. રેન્ડમ ફંક્શન આપવામાં આવ્યું છે એક્સ(t), સહસંબંધ કાર્ય ધરાવે છે

કે એક્સ(t 1 , t 2) = t 1 t 2. અવિભાજ્યનું સહસંબંધ કાર્ય શોધો વાય(t)= .

ઉકેલ. પ્રથમ આપણે ઇન્ટિગ્રલનું સહસંબંધ કાર્ય શોધીએ છીએ, જે સમાન છે ડબલ અભિન્નઆપેલ સહસંબંધ કાર્યમાંથી. આથી,

K y(t 1 , t 2) = = = = .

પછી તફાવત Dy(t) = K y(t, t) = .

18. સહસંબંધ કાર્ય આપેલ છે કે એક્સ(t 1 , t 2) = રેન્ડમ કાર્ય એક્સ(t). અવિભાજ્યનું વિચલન શોધો વાય(t)= .

ઉકેલ. ચાલો ઇન્ટિગ્રલનું સહસંબંધ કાર્ય શોધીએ

K y(t 1 , t 2) = = =

= = .

પછી તફાવત

Dy(t) = K y(t, t) = .

19. અવિભાજ્યનું વિચલન શોધો વાય(t) = , રેન્ડમ ફંક્શનના સહસંબંધ કાર્યને જાણીને એક્સ(t):

અ) કે એક્સ(t 1 ,t 2) = ; b) કે એક્સ(t 1 , t 2) = .

ઉકેલ. અ) K y(t 1 , t 2) = = .

સ્થિર રેન્ડમ ફંક્શનના સ્પેક્ટ્રલ વિસ્તરણનું નિર્માણ

X(t)મર્યાદિત સમયગાળામાં (ઓહ, ટી),અમે સમાન અંતરાલ (કહેવાતા "અસતત" અથવા "રેખા" સ્પેક્ટ્રમ) દ્વારા વિભાજિત વ્યક્તિગત સ્વતંત્ર રેખાઓની શ્રેણીના સ્વરૂપમાં રેન્ડમ ફંક્શનના ભિન્નતાનો સ્પેક્ટ્રમ મેળવ્યો.

દેખીતી રીતે, આપણે જેટલો મોટો સમયગાળો ધ્યાનમાં લઈશું, રેન્ડમ ફંક્શન વિશેની આપણી માહિતી વધુ સંપૂર્ણ હશે. તે સ્વાભાવિક છે, તેથી, સ્પેક્ટ્રલ વિઘટનની મર્યાદા પર જવાનો પ્રયાસ કરવો ટી-> oo અને જુઓ કે સ્પેક્ટ્રમ શું થાય છે

રેન્ડમ કાર્ય. તેથી અંતર સાથે

ઓડ્સની ફ્રીક્વન્સી વચ્ચે કે જેના પર સ્પેક્ટ્રમ બાંધવામાં આવ્યું છે ટી-> oo અનિશ્ચિતપણે ઘટાડો. આ કિસ્સામાં, સ્વતંત્ર સ્પેક્ટ્રમ સતત એકનો સંપર્ક કરશે, જેમાં પ્રત્યેક મનસ્વી રીતે નાના આવર્તન અંતરાલ Aco એ પ્રાથમિક વિક્ષેપ ADco ને અનુરૂપ હશે.

ચાલો સતત સ્પેક્ટ્રમને ગ્રાફિકલી ચિત્રિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ કરવા માટે, આપણે મર્યાદિત પર અલગ સ્પેક્ટ્રમના ગ્રાફને સહેજ ફરીથી ગોઠવવો જોઈએ. ટી.એટલે કે, અમે ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર કાવતરું કરીશું નહીં કે વિક્ષેપ પોતે ડીકે(જે અનંતપણે ઘટે છે ટી-"ooo), અને સરેરાશ વિક્ષેપ ઘનતા,તે આપેલ આવર્તન અંતરાલની એકમ લંબાઈ દીઠ વિક્ષેપ. ચાલો નજીકના ફ્રીક્વન્સીઝ ACO વચ્ચેનું અંતર દર્શાવીએ:

અને દરેક સેગમેન્ટ Aso પર આધાર તરીકે આપણે વિસ્તાર સાથે એક લંબચોરસ બનાવીએ છીએ ડી કે (ચોખા 17.3.1). અમે એક સ્ટેપ ડાયાગ્રામ મેળવીએ છીએ જે આંકડાકીય વિતરણના હિસ્ટોગ્રામના નિર્માણના સિદ્ધાંતને મળતું આવે છે.

બિંદુ સોડને અડીને આવેલા વિભાગમાં રેખાકૃતિની ઊંચાઈ બરાબર છે

ચોખા. 17.3.1

અને આ વિસ્તારમાં સરેરાશ વિક્ષેપ ઘનતા દર્શાવે છે. સમગ્ર ડાયાગ્રામનો કુલ વિસ્તાર દેખીતી રીતે રેન્ડમ ફંક્શનના ભિન્નતા સમાન છે.

અમે અંતરાલ અનિશ્ચિતપણે વધારીશું ટી.આ કિસ્સામાં, Du -> O, અને સ્ટેપ્ડ વળાંક અનિશ્ચિતપણે સરળ વળાંકની નજીક આવશે S x (с) (ફિગ. 17.3.2). આ વળાંક સતત સ્પેક્ટ્રમની ફ્રીક્વન્સીઝ પર વિક્ષેપોના વિતરણ ઘનતાને દર્શાવે છે, અને કાર્ય D x.(a>) પોતે કહેવાય છે સ્પેક્ટ્રલ વિક્ષેપ ઘનતા, અથવા, ટૂંકમાં, સ્પેક્ટ્રલ ઘનતાસ્થિર રેન્ડમ કાર્ય X(t).

ચોખા. 17.3.2

દેખીતી રીતે, વળાંક D g (co) દ્વારા બંધાયેલ વિસ્તાર હજુ પણ વિખેરન સમાન હોવો જોઈએ ડીએક્સરેન્ડમ કાર્ય X(t):

ફોર્મ્યુલા (17.3.2) એ ભિન્નતાના વિસ્તરણ સિવાય બીજું કંઈ નથી ડીએક્સપ્રાથમિક શબ્દો L'Dso) s/co ના સરવાળા દ્વારા, જેમાંથી દરેક પ્રાથમિક આવર્તન શ્રેણી દીઠ વિખેરનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે ડીસીઓબિંદુને અડીને с (ફિગ. 17.3.2).

આમ, અમે સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાની એક નવી વધારાની લાક્ષણિકતા - વર્ણપટની ઘનતા, જે સ્થિર પ્રક્રિયાની આવર્તન રચનાનું વર્ણન કરે છે તે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. જો કે, આ લાક્ષણિકતા સ્વતંત્ર નથી; તે આ પ્રક્રિયાના સહસંબંધ કાર્ય દ્વારા સંપૂર્ણપણે નક્કી થાય છે. એક અલગ સ્પેક્ટ્રમના ઓર્ડિનેટ્સની જેમ ડીકેસહસંબંધ કાર્ય દ્વારા સૂત્રો (17.2.4) દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે k x ( t), વર્ણપટની ઘનતા Sx(a)સહસંબંધ કાર્ય દ્વારા પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે.

ચાલો આ અભિવ્યક્તિ મેળવીએ. આ કરવા માટે, ચાલો જઈએ પ્રમાણભૂત વિસ્તરણપર મર્યાદા સાથે સહસંબંધ કાર્ય ટી-> ઓહ અને ચાલો જોઈએ કે તે શું ફેરવે છે. અમે સહસંબંધ કાર્યના વિસ્તરણ (17.2.1) થી એક મર્યાદિત અંતરાલ પર ફોરિયર શ્રેણીમાં આગળ વધીશું. (-ટી, 7):

જ્યાં આવર્તન w/( ને અનુરૂપ વિક્ષેપ સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે

Г -> oo તરીકે મર્યાદામાં પસાર થતાં પહેલાં, ચાલો વિક્ષેપમાંથી સૂત્ર (17.3.3) માં પસાર કરીએ. ડીકેસરેરાશ વિક્ષેપ ઘનતા સુધી

કારણ કે આ ઘનતા પર પણ ગણતરી કરવામાં આવે છે અંતિમ મૂલ્ય ટીઅને તેના પર આધાર રાખે છે ટી,ચાલો તેને સૂચિત કરીએ:

અભિવ્યક્તિનું વિભાજન (17.3.4) દ્વારા આપણને મળે છે:

(17.3.5) થી તે અનુસરે છે

ચાલો અભિવ્યક્તિ (17.3.7) ને સૂત્ર (17.3.3) માં બદલીએ; અમને મળે છે:

ચાલો જોઈએ કે અભિવ્યક્તિ (17.3.8) ક્યારે પરિવર્તિત થાય છે ટી-> oo દેખીતી રીતે, આ કિસ્સામાં Aso -> 0; અલગ દલીલ ω/(સતત બદલાતી દલીલમાં રૂપાંતરિત થાય છે ω; સરવાળો ચલ ω પર અવિભાજ્યમાં પરિવર્તિત થાય છે; સરેરાશ ઘનતાભિન્નતા S X T) ( A. સાથે) વિક્ષેપ ઘનતા A L.(ω) તરફ વલણ ધરાવે છે અને મર્યાદામાં અભિવ્યક્તિ (17.3.8) સ્વરૂપ લે છે:

જ્યાં S x (с) -સ્થિર રેન્ડમ ફંક્શનની વર્ણપટની ઘનતા.

સૂત્ર (17.3.6) માં Γ -> oo તરીકે મર્યાદામાં પસાર થતાં, આપણે સહસંબંધ કાર્ય દ્વારા વર્ણપટની ઘનતા માટે અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ:

(17.3.9) જેવી અભિવ્યક્તિ ગણિતમાં તરીકે ઓળખાય છે ફોરિયર અભિન્ન.ફ્યુરિયર ઇન્ટિગ્રલ એ અનંત અંતરાલ પર ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા બિન-સામયિક કાર્યના કિસ્સામાં ફોરિયર શ્રેણીના વિસ્તરણનું સામાન્યીકરણ છે, અને સતત સ્પેક્ટ્રમ 1 સાથે પ્રારંભિક હાર્મોનિક ઓસિલેશનના સરવાળામાં કાર્યના વિસ્તરણને રજૂ કરે છે.

જેમ ફ્યુરિયર શ્રેણી શ્રેણીના ગુણાંક દ્વારા વિસ્તરણયોગ્ય કાર્યને વ્યક્ત કરે છે, જે બદલામાં વિસ્તૃત કાર્ય દ્વારા વ્યક્ત થાય છે, સૂત્રો (17.3.9) અને (17.3.10) કાર્યોને વ્યક્ત કરે છે. k x ( m) અને A x (k>) પરસ્પર છે: એકથી બીજા. ફોર્મ્યુલા (17.3.9) વર્ણપટની ઘનતાના સંદર્ભમાં સહસંબંધ કાર્યને વ્યક્ત કરે છે; સૂત્ર

(17.3.10), તેનાથી વિપરીત, સહસંબંધ કાર્ય દ્વારા વર્ણપટની ઘનતા વ્યક્ત કરે છે. (17.3.9) અને (17.3.10) જેવા સૂત્રો કે જે બે કાર્યોને પરસ્પર સંબંધ ધરાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે ફોરિયર પરિવર્તન.

આમ, ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સનો ઉપયોગ કરીને સહસંબંધ કાર્ય અને વર્ણપટની ઘનતા એકબીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત થાય છે.

નોંધ કરો કે m = 0 પર સામાન્ય સૂત્ર (17.3.9) થી ફ્રીક્વન્સીઝ (17.3.2) માં વિક્ષેપનું અગાઉ મેળવેલ વિઘટન પ્રાપ્ત થાય છે.

વ્યવહારમાં, વર્ણપટની ઘનતાને બદલે S x ( co) વારંવાર ઉપયોગ કરો સામાન્યકૃતસ્પેક્ટ્રલ ઘનતા:

જ્યાં ડીએક્સ- રેન્ડમ ફંક્શનનો તફાવત.

તે ચકાસવું સરળ છે કે સામાન્યકૃત સહસંબંધ કાર્ય p l (m) અને સામાન્યકૃત સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા l A (ω) સમાન ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સ દ્વારા સંબંધિત છે:

પ્રથમ સમીકરણ (17.3.12) t = 0 ધારીને અને p t (0) = 1 ધ્યાનમાં લેતા, આપણી પાસે છે:

તે નોર્મલાઇઝ્ડ સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી ગ્રાફ દ્વારા બંધાયેલ કુલ વિસ્તાર એકતા સમાન છે.

ઉદાહરણ 1. રેન્ડમ ફંક્શનનું સામાન્યકૃત સહસંબંધ ફંક્શન p x (m). X(t)દ્વારા ઘટે છે રેખીય કાયદોએક થી શૂન્ય સુધી 0 t 0 r l.(t) = 0 (ફિગ. 17.3.3). રેન્ડમ ફંક્શનની સામાન્યકૃત વર્ણપટની ઘનતા નક્કી કરો X(t).

ઉકેલ.સામાન્યકૃત સહસંબંધ કાર્ય દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે

સૂત્રો:

સૂત્રોમાંથી (17.3.12) અમારી પાસે છે:

ચોખા. 17.3.3

ચોખા. 17.3.4

સામાન્યકૃત સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 17.3.4. પ્રથમ - સંપૂર્ણ - મહત્તમ સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા co = 0 પર પ્રાપ્ત થાય છે; અનિશ્ચિતતા છતી કરે છે

વર્ણપટની ઘનતા સંખ્યાબંધ સંબંધિત મેક્સિમા સુધી પહોંચે છે, જેની ઊંચાઈ વધતા co સાથે ઘટે છે; જ્યારે ω -> oo l A. (o>) -> 0. વર્ણપટની ઘનતામાં ફેરફારની પ્રકૃતિ s x (с) (ઝડપી અથવા ધીમી ઘટાડો) પરિમાણ m 0 પર આધાર રાખે છે. કુલ વિસ્તાર, વળાંક દ્વારા બંધાયેલ s x(co), અચળ અને એકતા સમાન છે. m 0 માં ફેરફાર એ વળાંકના સ્કેલમાં ફેરફાર સમાન છે, s" A .(co) તેના ક્ષેત્રફળને જાળવી રાખતી વખતે બંને અક્ષો સાથે. m 0 માં વધારા સાથે, ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથેનો સ્કેલ એબ્સીસા સાથે વધે છે. અક્ષ તે ઘટે છે; સ્પેક્ટ્રમમાં શૂન્ય આવર્તનના રેન્ડમ ફંક્શનનું વર્ચસ્વ વધુ સ્પષ્ટ થાય છે, જેમ કે m -> oo, આ કિસ્સામાં, p d (m) = I, અને સ્પેક્ટ્રમ 0 = 0 સાથે સિંગલ ફ્રીક્વન્સી સાથે અલગ બની જાય છે.

ચોખા. 17.3.5

ઉદાહરણ 2. રેન્ડમ ફંક્શનની સામાન્યકૃત વર્ણપટની ઘનતા.v v (co) X(t)ચોક્કસ આવર્તન અંતરાલ a>b a>2 પર સ્થિર છે અને આ અંતરાલની બહાર શૂન્ય બરાબર છે (ફિગ. 17.3.5).

રેન્ડમ ફંક્શનનું સામાન્યકૃત સહસંબંધ કાર્ય નક્કી કરો X(t).

ઉકેલ.“t 2 પર xl (co) નું મૂલ્ય એ સ્થિતિ પરથી નક્કી થાય છે કે વક્ર દ્વારા મર્યાદિત વિસ્તાર s x(co), એક સમાન:

(17.3.12) થી અમારી પાસે છે:

ફંક્શન p d (t) નો સામાન્ય દૃશ્ય ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 17.3.6. તેમાં સંખ્યાબંધ ગાંઠો સાથે કંપનવિસ્તારમાં ઘટતા ઓસિલેશનનું પાત્ર છે જ્યાં કાર્ય અદૃશ્ય થઈ જાય છે. ચોક્કસ દૃશ્યગ્રાફિક્સ દેખીતી રીતે a>a>2 ના મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે.

ચોખા. 17.3.6

રસ એ p x (m) ફંક્શનનું “t -> ω 2 તરીકેનું મર્યાદિત સ્વરૂપ છે. દેખીતી રીતે, જ્યારે ω 2 = ω = ω, રેન્ડમ ફંક્શનનું વર્ણપટ આવર્તન ωને અનુરૂપ એક લીટી સાથે અલગ બની જાય છે; આ કિસ્સામાં, સહસંબંધ કાર્ય સરળ કોસાઇનમાં ફેરવાય છે:

ચાલો જોઈએ કે આ કિસ્સામાં રેન્ડમ ફંક્શન પોતે શું સ્વરૂપ ધરાવે છે X(t).એક લીટી સાથે એક અલગ સ્પેક્ટ્રમ સાથે

સ્થિર રેન્ડમ કાર્યનું સ્પેક્ટ્રલ વિસ્તરણ X(t)દેખાવ ધરાવે છે;

જ્યાં U vlV - શૂન્ય અને સમાન ભિન્નતા સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સાથે અસંબંધિત રેન્ડમ ચલ:

ચાલો બતાવીએ કે રેન્ડમ ફંક્શન ઓફ ટાઈપ (17.3.14) ને રેન્ડમ કંપનવિસ્તાર અને રેન્ડમ તબક્કા સાથે આવર્તન с ના એક હાર્મોનિક ઓસિલેશન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. નિયુક્ત

અમે ફોર્મમાં અભિવ્યક્તિ (17.3.14) ઘટાડીએ છીએ:

આ અભિવ્યક્તિમાં - રેન્ડમ કંપનવિસ્તાર; F - હાર્મોનિક ઓસિલેશનનો રેન્ડમ તબક્કો.

અત્યાર સુધી, અમે ફક્ત તે જ કેસને ધ્યાનમાં લીધા છે જ્યારે વિક્ષેપોની આવર્તન વિતરણ સતત હોય છે, એટલે કે. જ્યારે ફ્રીક્વન્સીઝની અનંત નાની શ્રેણી અનંત વિક્ષેપ માટે જવાબદાર હોય છે. વ્યવહારમાં, કેટલીકવાર એવા કિસ્સાઓ હોય છે કે જ્યારે રેન્ડમ ફંક્શનમાં રેન્ડમ કંપનવિસ્તાર સાથે આવર્તન o>aનો સંપૂર્ણ સામયિક ઘટક હોય છે. પછી, રેન્ડમ ફંક્શનના વર્ણપટના વિસ્તરણમાં, ફ્રીક્વન્સીઝના સતત સ્પેક્ટ્રમ ઉપરાંત, એક અલગ ફ્રીક્વન્સી કો* પણ દેખાશે, જેમાં મર્યાદિત વિક્ષેપ હશે. ડીકે.સામાન્ય કિસ્સામાં, આવા ઘણા સામયિક ઘટકો હોઈ શકે છે. પછી સહસંબંધ કાર્યના સ્પેક્ટ્રલ વિસ્તરણમાં બે ભાગોનો સમાવેશ થશે: સ્વતંત્ર અને સતત સ્પેક્ટ્રમ:

આવા "મિશ્ર" સ્પેક્ટ્રમ સાથે સ્થિર રેન્ડમ કાર્યોના કિસ્સાઓ વ્યવહારમાં ખૂબ જ દુર્લભ છે. આ કિસ્સાઓમાં, રેન્ડમ ફંક્શનને સતત અને અલગ સ્પેક્ટ્રમ સાથે - બે શબ્દોમાં વિભાજિત કરવાનો હંમેશા અર્થ થાય છે અને આ શરતોનો અલગથી અભ્યાસ કરો.

જ્યારે રેન્ડમ ફંક્શનના વર્ણપટના વિસ્તરણમાં અંતિમ વિક્ષેપ શૂન્ય આવર્તન (ω = 0) પર થાય છે ત્યારે ઘણી વાર આપણે વિશિષ્ટ કેસનો સામનો કરવો પડે છે. આનો અર્થ એ છે કે રેન્ડમ ફંક્શનમાં એક શબ્દ તરીકે ભિન્નતા સાથે સામાન્ય રેન્ડમ ચલનો સમાવેશ થાય છે D0. IN સમાન કેસોઆ રેન્ડમ ટર્મને અલગ કરવા અને તેની સાથે અલગથી કામ કરવા માટે પણ તે અર્થપૂર્ણ છે.

• ફોર્મ્યુલા (17.3.9) એ ફ્યુરિયર ઇન્ટિગ્રલનું એક વિશિષ્ટ સ્વરૂપ છે, જે કોસાઇન હાર્મોનિક્સમાં સમાન કાર્યના ફ્યુરિયર શ્રેણીના વિસ્તરણને સામાન્ય બનાવે છે. વધુ માટે સમાન અભિવ્યક્તિ લખી શકાય છે સામાન્ય કેસ.
• અહીં આપણે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સના એક ખાસ કેસ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ - કહેવાતા "કોસાઇન ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સ".

જરૂરી અને પૂરતી સ્થિતિ ergodicity ξ (t) માં

વિક્ષેપ સાથેનો સંબંધ સૂત્ર (2.5) છે, અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ છે (2.6).

સામાન્ય રીતે, સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા બિન-એર્ગોડિક હોય છે જ્યારે તે બિન-સમાન રીતે આગળ વધે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બિન-એર્ગોડિસિટી

ξ (t) એ હકીકતને કારણે થઈ શકે છે કે તેમાં m x અને D x લાક્ષણિકતાઓ સાથે રેન્ડમ ચલ X શબ્દ તરીકે છે. પછી, ત્યારથીξ 1 (t) = ξ (t) + X, પછી m ξ 1 = m ξ + m x, K ξ 1 (τ) = K ξ (τ) + D x

અને τ→∞ limK ξ 1 (τ ) = τ→∞ lim[ K ξ (τ ) + D x ] = τ→∞ limK ξ (τ ) + τ→∞ limD x = D x ≠ 0 .

2.2. સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા અને ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનું સ્પેક્ટ્રલ વિઘટન. સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના સ્પેક્ટ્રલ પ્રતિનિધિત્વનો મુખ્ય વિચાર એ છે કે તેમને ચોક્કસ હાર્મોનિક્સના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે. આ રજૂઆત રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ પર વિવિધ, રેખીય અને બિનરેખીય, પરિવર્તનોને પ્રમાણમાં સરળ રીતે હાથ ધરવાનું શક્ય બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ વ્યક્તિ અભ્યાસ કરી શકે છે કે કેવી રીતે રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું વિક્ષેપ તેના ઘટક હાર્મોનિક્સની ફ્રીક્વન્સીઝ પર વિતરિત થાય છે. આવી માહિતીનો ઉપયોગ સાર છે સ્પેક્ટ્રલ થિયરીસ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ.

સ્પેક્ટ્રલ થિયરી ગણતરીમાં રેન્ડમ પ્રક્રિયાની ફોરિયર ઈમેજનો ઉપયોગ કરવાનું શક્ય બનાવે છે. સંખ્યાબંધ કેસોમાં, આ નોંધપાત્ર રીતે ગણતરીઓને સરળ બનાવે છે અને તેનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે, ખાસ કરીને સૈદ્ધાંતિક અભ્યાસમાં.

સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા ξ (t) તેની પોતાની રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે

કેનોનિકલ અથવા સ્પેક્ટ્રલ વિઘટન દ્વારા તેમને:

k = 0

જ્યાં ψ k એ પ્રાથમિક રેન્ડમના હાર્મોનિક ઓસિલેશનનો તબક્કો છે

પ્રક્રિયા, જે અંતરાલ (0.2π), z k – am- માં અંતરાલ પર સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ રેન્ડમ ચલ છે

પ્રાથમિક રેન્ડમ પ્રક્રિયાના હાર્મોનિક ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર, અને z k પણ કેટલાક સાથે રેન્ડમ ચલ છે.

m z અને D z.

ખરેખર, ચાલો ξ k (t) = x k cos ω k t + y k sin ω k t, પછી m ξ k = 0,

K ξ k (t 1 , t 2 ) = M [ (x kcos ω kt 1 + y ksin ω kt 1 )(x kcos ω kt 2 + y ksin ω kt 2 ) ] =

M [ x k 2 cosω k t 1 cosω k t 2 + x k y k (sinω k t 1 cosω k t 2 +

કારણ ω k t 1 sinω k t 2 ) + y k 2 sinω k t 1 sinω k t 2 ] =

M [ x k 2 ] cosω k t 1 cosω k t 2 + M [ y k 2 ] sinω k t 1 sinω k t 2 =

D k cosω k (t 2 − t 1 ) = D k cosω k τ .

તેથી m ξ k = M [ z k cosψ k sinω k t + z k sinψ k sinω k t ] = 0 ,

K ξ k (t 1,t 2 ) = M [ (z k cosψ k sinω k t 1 + z k sinψ k sinω k t 1 ) × × (z cosψ cosω t + z sinψ sinω t ) ] =

M [ z k 2 ] ( M [ cos2 ψ k ] cosω k t 1 cosω k t 2 +

M [ sinψ k cosψ k ] sinω k t 1 cosω k t 2 +

M [ cosψ k sinψ k ] cosω k t 1 sinω k t 2 +

M [ sin2 ψ k ] sinω k t 1 sinω k t 2 ) = D z k + 2 m z k cos(t 2 − t 1 ) .k k k 2 k k k k 2

આમ, રેન્ડમ ચલોના આ સૂત્રોમાં સમાવિષ્ટ ગુણધર્મો વિશે સૂત્રો (2.8) અને (2.10) માં બનાવેલ ધારણાઓ હેઠળ, રજૂઆતો (2.8) અને (2.10) સમકક્ષ છે. આ કિસ્સામાં,

ચાની માત્રા z i અને ψ i,i = 1,∞ નિર્ભર છે, કારણ કે, દેખીતી રીતે, સંબંધો ધરાવે છે

સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું સહપ્રવાહ કાર્ય હોવાથી સમ કાર્ય, પછી તે અંતરાલ (− T ,T ) પર બદલાઈ શકે છે

કોસાઇન્સના સંદર્ભમાં ફોરિયર શ્રેણીમાં મૂકો, એટલે કે. K ξ (τ ) = ∑ ∞ D k cosω k τ ,

કારણ કે ω k ને સ્પેકના હાર્મોનિક્સ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે-

સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું ટ્રેલ વિસ્તરણ (2.8), પછી કુલ તફાવતસ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા, તેના પ્રમાણભૂત (સ્પેક્ટ્રલ) વિઘટન દ્વારા રજૂ થાય છે, તે તેના વર્ણપટના વિઘટનના તમામ હાર્મોનિક્સના વિક્ષેપના સરવાળા જેટલી હોય છે. ફિગ માં. 2.1

વિવિધ હાર્મોનિક્સ ω i ને અનુરૂપ વિક્ષેપો D k નો સમૂહ દર્શાવે છે. સૂત્ર મુજબ વિઘટન અંતરાલ જેટલો લાંબો છે

(2.9) લેવામાં આવશે, આ ફોર્મ્યુલા અનુસાર વિસ્તરણ વધુ સચોટ હશે. જો આપણે T′ = 2T લઈએ, તો સ્પેક્ટ્રલ વિઘટનનું વિક્ષેપ વર્ણપટ

જથ્થો S ξ (ω k ) ∆ω = D k કુલનો ભાગ દર્શાવે છે

સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા ξ (t) નું વિચલન kth હાર્મોનિકને આભારી છે. T → ∞ (અથવા ∆ω→ 0 તરીકે), કાર્ય S ξ (ω k) અનિશ્ચિતપણે વળાંક S ξ (ω) સુધી પહોંચશે, જે

સ્વર્ગને સ્થિર કેસની સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા કહેવામાં આવે છે -

પ્રક્રિયા ξ (t) (ફિગ. 2.2). (2.13) પરથી તે અનુસરે છે કે K ξ (τ) અને S ξ (ω) ફ્યુરિયર કોસાઇન ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત છે. આમ,

ચોખા. 2.2. S ξ કાર્યોનો આલેખ (ω k) અને એસξ (ω )

સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા, સંભાવના ઘનતા કાર્ય સાથે સામ્યતા દ્વારા, નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે:

1. એસξ (ω ) ≥0.

2. ∞ ∫ એસξ (ω ) ડીω = ∞ ∫ એસξ (ω ) cos(0 ω ) ડીω = કેξ (0 ) =ડીξ .

જો તમે કાર્ય દાખલ કરો એસξ (ω ) , નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત:

એસξ (ω ) =એસξ 2 (ω ) , ω≥ 0,

કહેવાય છેમાં સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાની સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા જટિલ સ્વરૂપ, તો પછી આ ફંક્શન, ઉપરોક્ત બે ગુણધર્મો ઉપરાંત, ત્રીજી મિલકત ધરાવે છે - સમાનતાની મિલકત (ફિગ. 2.3).

3. એસξ (ω ) =એસξ (− ω ) .

ચોખા. 2.3. સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા કાર્ય પ્લોટ

ચાલો નીચેના સ્વરૂપમાં (2.8) ફરીથી લખીએ:

મેળવી શકાય છેઅભિન્ન કેનોનિકલ રજૂઆત સો

રાષ્ટ્રીય રેન્ડમ પ્રક્રિયા:

ધોવાઇ " સફેદ અવાજ"(પેટાવિભાગ 2.4 જુઓ). આંકડાકીય લાક્ષણિકતાઓ

જટિલ સ્વરૂપમાં સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાના સ્પેક્ટ્રલ વિસ્તરણનું સ્વરૂપ છે

સમાન ક્રિયાઓ ફોર્મ (2.9) માં પ્રસ્તુત સહપ્રવૃત્તિ કાર્ય સાથે કરી શકાય છે, અને પ્રાપ્ત કરી શકાય છે

કે ξ (τ ) = ∑ ∞ ડી kઇ iω kt.

k=−∞

ફંક્શનના પરિચયને ધ્યાનમાં લેતા ફોર્મ્યુલા (2.13), નીચેના સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકાય છે:

એસξ (ω ) તમે ફરીથી કરી શકો છો

સૂત્રો (2.18) અને (2.19) વર્ણપટની ઘનતાના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે એસξ (ω ) અને સહપ્રવર્તન કાર્ય કેξ (τ ) જટિલ સ્વરૂપમાં.

વર્ણપટની ઘનતા હોવાથી એસξ (ω ) રજૂ કરે છે

તેના હાર્મોનિક્સની ફ્રીક્વન્સીઝ પર રેન્ડમ પ્રક્રિયાના ફેલાવાની વિતરણ ઘનતા, પછી રેન્ડમ થિયરીના કેટલાક કાર્યક્રમોમાં

nal પ્રક્રિયાઓ કેξ ( 0) = ડીξ (t) સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાની ઊર્જા તરીકે અર્થઘટન, અને એસξ (ω ) - આની ઘનતા કેવી છે

એકમ આવર્તન દીઠ ઊર્જા. આ અર્થઘટન ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગમાં સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતના ઉપયોગ પછી દેખાયું.

ઉદાહરણ 5.સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા શોધો એસξ (ω ) પ્રાથમિક રેન્ડમ પ્રક્રિયા ξ k(t) = xk cos ω kt+ ykપાપ ω kt.

= ડીk∞ ∫ [ cos(ω− ω k) τ + cos(ω+ ω k) τ ] ડીτ =

π 0

= ડીk∞ ∫ [ ઇi(ω−ω

એસξ k (ω ) =

−i(ω−ω k) τ ડી(− τ ) + ∫ ઇi(ω−ω k) τ ડીτ +

k(− 1 ) ∫ ઇ

2π

+ (−1 ) ∫ ઇ

−i(ω+ω k) τ ડી(− τ ) + ∫ ઇi(ω+ω k) τ ડીτ

k∫

ઇi(ω−ω k)(−τ ) ડી(− τ ) + ∫ ઇi(ω−ω k) τ ડીτ + (− 1 ) ∫ ઇi(ω+ω k)(−τ ) ડી(− τ ) +

2 π −∞

+ ∫ ઇi(ω+ω k) τ ડીτ

k∫ ઇi(ω−ω k) τ ડીτ +

∫ઇi

(ω+ω k) τ ડીτ

2 π −∞

= ડીk[ δ (ω− ω k) + δ (ω+ ω k) ] ,

જ્યાં δ (ω ) = 1 ∞ ∫ ઇiωτ ડીτ - પૂર્વ સ્વરૂપમાં અભિન્ન રજૂઆત

2 π −∞

ફોરિયર શિક્ષણ δ -Dirac કાર્યો. માટે અભિવ્યક્તિ એસξ k(ω )

તે રીતે છોડી શકાય છે, પરંતુ હકારાત્મક માટે ω (કારણ કે ω k> 0), ગુણધર્મો ધ્યાનમાં લેતા δ - કાર્યો (કોષ્ટક 6 જુઓ

અમને 141), δ (ω+ ω k) ≡ 0 આમ, એસξ (ω ) = ડીkδ (ω− ω k) .

પછીએસξ k(ω ) =1 2 એસξ k(ω ) =ડી2 k[ δ (ω− ω k) + δ (ω+ ω k) ] .

ચાલો હવે આપેલ વર્ણપટની ઘનતા જટિલ સ્વરૂપમાં શોધીએ. કાર્યો એસξ (ω ) અને એસξ k(ω ) - માન્ય બિન-

નકારાત્મક કાર્યો. એસξ k(ω ) - અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત સમાન કાર્ય (− ∞ ,∞ ) ,એસξ (ω ) - અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત ( 0,∞ ) , અને

આ અંતરાલ પર એસξ k(ω ) = 1 2 એસξ k(ω ) (ફિગ 2.3 જુઓ). સૂત્ર મુજબ (2.19)